《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修1幂函数
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修1【配套备课资源】2.4.2
2.取区间[a0，b0]的中点(如图)，则此中点对应的坐标为 x0＝a0 1 1 ＋ (b0－a0)＝ (a0＋b0)． 2 2
本 课 时 栏 目 开 关
计算 f(x0)和 f(a0)，并判断：
(1)如果 f(x0)＝0，则 x0 就是 f(x)的零点，计算终止；
(2)如果 f(a0)· 0)<0，则零点位于区间[a0，x0]中，令 a1＝a0， f(x b1＝x0； (3)如果 f(a0)· 0)>0，则零点位于区间[x0，b0]中，令 a1＝x0， f(x b1＝b0. 1 3.取区间[a1，b1]的中点，则此中点对应的坐标为 x1＝a1＋2(b1 1 －a1)＝2(a1＋b1)．
2.4.2
2.4.2
求函数零点近似解的一种计算方法—— 二分法
本 课 时 栏 目 开 关
【学习要求】 1.理解变号零点的概念， 掌握二分法求函数零点的步骤及原理； 2.了解二分法的产生过程，会用二分法求方程近似解． 【学法指导】 通过借助计算器用二分法求方程的近似解，了解数学中逼近的 思想和程序化地处理问题的思想；通过具体问题体会逼近过 程，感受精确与近似的相对统一，体会“近似是普遍的，精确 则是特殊的”辩证唯物主义观点.
填一填·知识要点、记下疑难点
2.4.2
如果函数 y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它 本 课 的两个端点处的函数值异号，即 f(a)f(b)<0 ，则这个函数在
时 栏 这个区间上，至少有 一个零点 ，即存在一点 x0∈(a，b)，使 目 开 f(x0)＝0.如果函数图象通过零点时穿过 x 轴，则称这样的零点 关
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.4.2
1.理解二分法是一种求方程近似解的常用方法．
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修1【配套备课资源】3.3
研一研·问题探究、课堂更高效
§ 3.3
1 例 1 在函数 y＝ 2,y＝2x2,y＝x2＋x,y＝1 中,幂函数的个数为 x ( B )
本 课 时 栏 目 开 关
A.0
B.1
C.2
D.3
1 － 解析 ∵y＝ 2＝x 2,所以是幂函数;y＝2x2 由于出现系数 2, x 因此不是幂函数;y＝x2＋x 是两项和的形式,不是幂函数;常函 数 y＝1 不是幂函数.
答 幂函数的定义:一般地,形如 y＝xα (α∈R)的函数叫做幂 函数,其中 α 是常数.
问题 4 判断一个函数是幂函数的标准是什么？
答 幂函数与指数函数、对数函数的定义类似,只有满足函 数解析式右边的系数为 1,底数为自变量 x,指数为一常数这 x 2 3 三个条件时,才是幂函数.如:y＝3x ,y＝(2x) ,y＝24 都不是幂 函数.
－ 2 3,在区间[0,＋∞)上是单调减函数.
因为
小结
2 2 － － 2＋a2≥2,所以(2＋a2) 3 ≤2 3 .
比较两个幂的大小要仔细观察它们的异同点,指数相
同底数不同时,要利用幂函数的单调性比较,底数相同而指数 不同时,要利用指数函数的单调性比较,指数与底数都不同时, 要通过增加一个数起桥梁作用进行比较.
§ 3.3
本 课 时 栏 目 开 关
§ 3.3
【学习要求】 1.了解幂函数的概念.
2 3
－1
本 课 时 栏 目 开 关
2.会画幂函数 y＝x,y＝x ,y＝x ,y＝x ,y＝x 的图象. 3.理解幂函数的性质. 【学法指导】 类比研究指数函数、对数函数的过程与方法,通过五个具体 幂函数认识幂函数的图象与性质.体会幂函数的变化规律及 蕴含其中的对称性,体验由特殊到一般、由具体到抽象的学 习方法,进一步渗透数形结合与类比的思想方法.
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修1【配套备课资源】2.3
分析 2 所涉及的变量的关系如何？
答 s＝13＋120t.
问题 根据分析 1、分析 2，写出例 1 的解答过程．
研一研·问题探究、课堂更高效
§2.3
本 课 所以，火车行驶总路程 s 与匀速行驶时间 t 之间的关系是 时 栏 11 目 s＝13＋120t(0≤t≤ 5 )． 开 关 11
则 2003 年(即 x＝4 时)的国内生产总值为 y＝f(4)＝0.677 7×4＋8.206 7＝10.917 5.
所以 2003 年国内生产总值约为 10.917 5 万亿元．
本 课 小结 依据问题给出的数据，建立反映数据变化规律的函数模 时 栏 型的探索方法为： 目 开 (1)首先建立直角坐标系，画出散点图； 关
1 y 随时间 t 变化的关系式为 y＝1－10t (0≤t≤10)．
研一研·问题探究、课堂更高效 探究点二 二次函数模型的应用
例2
§2.3
某农家旅游公司有客房 30，并提高租金. 如果每间日房 租每增加 2 元，客房出租数就会减少 10 间. 若不考虑其他
3.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方 式是月租 20 元，B 种方式是月租 0 元．一 个月的本地网内打出电话时间 t(分钟)与打
本 课 时 栏 目 开 关
§2.3
出电话费 s(元)的函数关系如图，当打出电 话 150 分钟时，这两种方式电话费相差 ( A ) 40 A．10 元 B．20 元 C．30 元 D. 元 3 解析 设 A 种方式对应的函数解析式为 S＝k1t＋20，
§2.3
本 课 时 栏 目 开 关
§2.3
【学习要求】 1.通过运用函数的有关知识解决实际生活中的问题，加深对函
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修1【配套备课资源】1.1.1
1.1.1
1.1.1 集合的概念
【学习要求】 1.初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法．
本 课 时 栏 目 开 关
2.初步了解“属于”关系的意义． 3.初步了解有限集、无限集、空集的意义． 【学法指导】 通过实际生活中经常用到的集合思想，抽象概括出集合的定义， 感知集合的含义，进一步理解分类的思想；通过由自然语言描述 集合到用抽象的符号语言描述集合的过程，体会集合语言的精确 性和简洁性.
A．著名数学家 C．聪明的人
B．很大的数 D．小于 3 的实数
解析 由于只有选项 D 有明确的标准，能组成一个集合．
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点三 集合与集合中的元素的关系及表达
1.1.1
问题 1 集合及集合中的元素用怎样的字母来表示？
本 课 拉丁字母 a，b，c，„表示集合中的元素． 时 栏 目 问题 2 集合与元素之间的关系如何表示？ 开 关 答 如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于 A，记作 a∈A，读作
1.1.1
跟踪训练 3 用符号“∈”或“ ”填空：
本 课 时 栏 目 开 关
∈ －3________N；3.14________Q； ∈ ∈ 1________N＋；π________R.
3______Q；
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1.1.1
1.下列各条件中能构成集合的是( C )
本 课 时 栏 目 开 关
175 厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是
答 某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标 准，高于 175 厘米的男生能构成一个集合，因标准确定．
元素确定性的含义是：集合中的元素必须是确定的，也就是说， 给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修1函数的表示方法(二)
2.1.2 函数的表示方法(二)一、基础过关1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5(x ≥6)，f (x ＋2)(x <6)，则f (3)为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (0≤x ≤1)2 (1<x <2)3 (x ≥2)的值域是( )A ．RB ．[0,2]∪{3}C ．[0，＋∞)D ．[3，＋∞)3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值为( )A ．－3或－1B ．－1C ．1D ．－34．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( )A ．13立方米B ．14立方米C ．18立方米D ．26立方米5．已知函数f (x )的图象如下图所示，则f (x )的解析式是__________________．6．已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为________． 7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (－1≤x ≤1)1 (x >1或x <－1)，(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的定义域和值域．8．如图，动点P 从边长为4的正方形ABCD 的顶点B 开始，顺次经C 、D 、A 绕边界运动，用x 表示点P 的行程，y 表示△APB 的面积，求函数y ＝f (x )的解析式．二、能力提升9．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1(x ≤0)，－2x (x >0)，使函数值为5的x 的值是( )A ．－2B ．2或－52C ．2或－2D ．2或－2或－5210．在函数y ＝|x |(x ∈[－1,1])的图象上有一点P (t ，|t |)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( )11．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1x )＋x ，则f (x )的解析式为________________．12．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，求f (x )． 三、探究与拓展13．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度 (单位：千米/小时)是车流密度 (单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式．答案1．A 2．B 3．D 4．A5．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， －1≤x <0－x ， 0≤x ≤16．f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －87.解 (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示． (2)由条件知， 函数f (x )的定义域为R . 由图象知，当－1≤x ≤1时， f (x )＝x 2的值域为[0,1]， 当x >1或x <－1时，f (x )＝1， 所以f (x )的值域为[0,1]． 8．解 当点P 在BC 上运动，即0≤x ≤4时，y ＝12×4x ＝2x ；当点P 在CD 上运动，即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8；当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时， y ＝12×4×(12－x )＝24－2x . 综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， 0≤x ≤4，8， 4<x ≤8，24－2x ， 8<x ≤12.9．A 10．B 11．f (x )＝－x 2＋23x(x ≠0)12．解 由题意，设函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， ∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9， ∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9， 即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝23a ＋2b ＝9，∴a ＝1，b ＝3.∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3.13．解 由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，由已知⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝020a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－13b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0≤x ≤2013(200－x )， 20<x ≤200.。
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修1【配套备课资源】3.1.1(二)
3
1 2
3＋
1 2
＝a ;
8 3
7 2
2 2 3 2 2＋ a2· a ＝a2· 3 ＝a 3 ＝a a
;
4 1 2 3 ) 2＝a 3 .
a a＝
3
＝
＝(a
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例 2 计算下列各式(式中字母都是正数).
2 1 1 5 1 1 (1)(2a 3 b 2 )(－6a 2 b 3 )÷ (－3a 6 b 6 );
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例 3 化简下列各式:
3.1.1(二)
(1)
本 课 时 栏 目 开 关
;
(2)
.
2 1 24 － ＋1－ 3×y 解 (1)原式＝ 5 ×5×x 3
1 1 1 1 － ＋ 0 2 2 6＝24x y 6
1 ＝24y 6 ;
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3.1.1(二)
(2)原式＝
1 ＝5 ＝5;
－1
1－5 － － － ×－ ＝(2 1) 5＝2( 1) ( 5)＝32; 2 3 3 4×－ － 4 16 4 2 2 － 27 3＝ . ＝3 ＝3 8 81
小结
在进行求解时,首先要把比较大的整数化成比较小的
本 课 时 栏 目 开 关
C.(a3)2＝a9
1 1 1 D.a 2 ÷ 3 ＝a 6 a
解析 a
a
－ 1 2
3 1 3 11 1 ＋ 3 · 2 ＝a 3 2＝a 6 ≠a. a
1 · 2 ＝a0＝1≠0,(a3)2＝a6≠a9. a
a ÷ a
1 2
1 3
1 1 1 － ＝a 2 3 ＝a 6
《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版必修1【配套备课资源】2.1.1第2课时
开
这样对集合 A 中的每一名同学，在集合 B 中都有唯一的成绩
与之对应．
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2.1.1 第2课时
问题 3 数轴上的点集与实数集 R，通过怎样的法则构成一种 对应？ 答 数轴上任一点 P，对应唯一实数 x，使|x|等于点 P 到原
关 本 点 O 的距离．
课
时 当点 P 在数轴的正半轴上时，取 x>0；
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2.1.1 第2课时
探究点一 映射的概念及应用
问题 1 初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些
对应实例，你能举出几个？
关本
课 答 对于坐标平面内任何一个点 A，都有唯一的有序实数对
时 栏
(x，y)和它对应；
目
开 对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；
某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它
＝f(x)，x 称作 y 的原象．
小结 集合 A 到 B 的映射 f 可记为 f：A→B 或 x→f(x)．其中
A 叫做映射 f 的定义域 (函数定义域的推广)，由所有象 f(x)
构成的集合叫做映射 f 的值域，通常记作 f(A)．
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2.1.1 第2课时
问题 6 映射与函数存在怎样的关系？ 答 映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，特
证关系.
填一填·知识要点、记下疑难点
2.1.1 第2课时
1.映射的概念
设 A，B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则 f，对 A
关本 课
中的任意一个元素 x，在 B 中有一个且仅有 一个元素 y 与
时 栏
x 对应，则称 f 是集合 A 到集合 B 的映射 ．这时，称 y 是
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修1【配套备课资源】2.1.4(一)
对称性？具有奇函数图象对称性的函数是否为奇函数？ 答 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标
(1)f(x)＝(x－2)
本 课 时 栏 目 开 关
x<－1， x＋2 2＋x ； (2)f(x)＝0 |x|≤1， 2－x －x＋2 x>1.
2＋x 解 (1)由 ≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称， 2－x
故 f(x)为非奇非偶函数．
(2)x<－1 时，f(x)＝x＋2，－x>1，
1 1 1 对函数 f(x)＝x有： f(－3)＝－3＝－f(3)， f(－2)＝－2＝－f(2)， f(－1)＝－1＝－f(1)．
存在的规律是：两个关于原点对称的 x 的值，其函数值互为 相反数．
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2.1.4(一)
问题 3
你能把问题 2 中的由具体的函数值得出的规律扩展到
(3)函数的定义域为 R，由于 f(－x)＝0＝f(x)，
所以函数为偶函数．
小结 利用定义法判断函数是不是偶函数时，首先应看函数 定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个 x， 则－x 也一定是定义域内的一个自变量．
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2.1.4(一)
跟踪训练 1 判断下列函数是否为偶函数． (1)f(x)＝(x＋1)(x－1)； x3－x2 (2)f(x)＝ . x－1 解 (1)函数的定义域为 R， 因函数 f(x)＝(x＋1)(x－1)＝x2－1，
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修1【配套备课资源】2.1.2(一)
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2.1.2(一)
跟踪训练 3 已知 f( x－1)＝3－x，求 f(x)的解析式．
解
本 课 时 栏 目 开 关
令 x－1＝t，则 t≥0，且 x＝t2＋1，
所以 f(t)＝3－(t2＋1)＝2－t2，
即 f(x)＝2－x2(x≥0).
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2.1.2(一)
x 0 y 0
0.5 0.7
1 1.5
2
2.5
3
3.5 4 4.5
5
„ „
1 1.2 1.4 1.6 1.7 1.9 2 2.1 2.2
以这 11 个有序数对(x，y)为坐标，在直角坐标系中画出所对 应的 11 个点， 由这些点连成的一条光滑曲线就是函数 y＝ x 的图象．
研一研·问题探究、课堂更高效
图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函
求函数的解析式的关键是理解对应法则 f 的本质与特点(对 应法则就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么 字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定 义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方 程组法．
填一填·知识要点、记下疑难点
2.1.2(一)
1.列表法：通过列出 自变量与对应函数值 的表来表示函数关系
本 的方法叫做列表法． 课 时 2.图象法：如果图形 F 是函数 y＝f(x)的图象，则图象上的任一 栏 目 点的坐标(x，y)都满足函数关系 y＝f(x)，反之，满足函数关 开 关 系 y＝f(x)的点(x，y)都在图象 F 上．这种用 “图形”表示函数
解 因为 f(0)＝1，
本 课 时 栏 目 开 关
所以 f(1)＝1· f(1－1)＝1· f(0)＝1，
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修1【配套备课资源】1.2.1
②∅⊆A(空集是任意一个集合的 子集 )．
3.真子集：如果集合 A 是集合 B 的子集，并且 B 中至少有一 个元素不属于 A，那么集合 A 叫做集合 B 的 真子集 ，记作 A (或 B 读作“ A真包含于B”， B A)， 或“ B真包含A ”．
填一填·知识要点、记下疑难点
1.2.1
4.维恩图：我们常用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集 合，这种图形通常叫做 维恩(Venn)图 .
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探究点二 问题 1 吗？ 集合的相等
1.2.1
观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系
(1)集合 C＝{x|x 是两条边相等的三角形}， D＝{x|x 是等腰三
本 课 时 栏 目 开 关
角形}； (2)集合 C＝{2,4,6}，D＝{6,4,2}； (3)集合 A＝{x|(x＋1)(x＋2)＝0}，B＝{－1，－2}．
解析 (1)0∈{0},0∉∅，∅ {0}；
(2)∅＝{x|x2＋1＝0，x∈R}，{0} 2＋1＝0，x∈R}； {x|x
(3)A，B，C 均表示所有奇数组成的集合，∴A＝B＝C.
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1.2.1
探究点三 问题 1
集合关系与其特征性质之间的关系
已知集合 A 的特征性质为 p(x)， 集合 B 的特征性质为
(2)当 k∈N*，l∈N*时，n＝2k＋1⇒m＝2l－1，所以 C⊆D.
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1.2.1
1.下列命题： ①空集没有子集；
本 课 时 栏 目 开 关
②任何集合至少有两个子集； ③空集是任何集合的真子集； ④若∅ A，则 A≠∅. 其中正确的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 ( B )
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修1【配套备课资源】2.1.3
研一研·问题探究、课堂更高效
2.1.3
本 课 时 栏 目 开 关
[问题情境]
函数是描述事物运动变化规律的数学模型．如果
了解了函数的变化规律， 那么也就把握了相应事物的变化规 律．因此研究函数的性质是非常重要的．日常生活中，我们 有过这样的体验：从阶梯教室前向后走，逐步上升，从阶梯 教室后向前走，逐步下降．很多函数也具有类似性质，这就 是我们要研究的函数的重要性质——函数的单调性．
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2.1.3
跟踪训练 3 已知函数 f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，判断 3 2 f(a －a＋1)与 f4的大小关系．
本 课 时 栏 目 开 关
解 由于 a
2
12 3 3 －a＋1＝a－2 ＋4≥4，
又因函数 f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，
小”？
答 分别表示为：当 Δx>0 时，Δy>0；当 Δx>0 时，Δy<0.
研一研·问题探究、课堂更高效
2.1.3
问题 4
对于函数 f(x)，当 Δx>0 时，有 Δy>0，我们说 f(x)是
增函数；当 Δx>0 时，有 Δy<0. 我们说 f(x)是减函数．如果 给出函数 y＝f(x)，x∈A，你能给增函数和减函数下个定义
本 课 时 栏 目 开 关
解 函数在[－1,0]上是减函数，
在[0,2]上是增函数，
在[2,4]上是减函数，
在[4,5]上是增函数．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.1.3
探究点二 问题 1
增函数、减函数的证明或判断
判断函数单调性的方法有哪些？
答 定义法，图象法．
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修1【配套备课资源】3.2.3
研一研·问题探究、课堂更高效
3.2.3
本 课 时 栏 目 开 关
问题 3 如何求函数 y＝5x (x∈R)的反函数？
y 答 把 y 作为自变量,x 作为 y 的函数,则 x＝5,y∈R.通常自变 x 量用 x 表示,函数用 y 表示,则反函数为 y＝5,x∈R.
研一研·问题探究、课堂更高效
例 1 写出下列函数的反函数: (1)y＝lg x;(2)y＝log 1 x;
解析 ∵y＝f－1(x)的图象过点(2,0),
本 课 时 栏 目 开 关
∴y＝f(x)的图象过点(0,2). ∴2＝a0－k,∴k＝－1.∴f(x)＝ax＋1. 又∵y＝f(x)的图象过点(1,3),∴3＝a1＋1, ∴a＝2.∴f(x)＝2x＋1.
小结 由互为反函数的图象关于直线 y＝x 对称可知:若点(a,b) 在 y＝f(x)的图象上,则点(b,a)必在 y＝f－1(x)的图象上.
研一研·问题探究、课堂更高效
3.2.3
探究点三 指数函数与对数函数的增长差异 问题 1
本 课 时 栏 目 开 关
观察函数 y＝2x 与 y＝log2x 的图象,指出两个函数的
增长有怎样的差异？
答 根据图象,可以看到,在区间[1,＋∞)内,指数函数 y＝2x 随 着 x 的增长,函数值的增长速度逐渐加快,而对数函数 y＝ log2x 的增长的速度逐渐变得很缓慢.
别是函数 y＝log2x 的值域和定义域.
问题 2 在列表画函数 y＝2x 的图象时,当 x 分别取－3,－2, －1,0,1,2,3 这 6 个数值时,对应的 y 值分别是什么？ 111 答 y 值分别是:8,4,2,1,2,4,8.
问 题 3 在 列 表 画 函 数 y ＝ log2x 的 图 象 时 , 当 x 分 别 取 111 8,4,2,1,2,4,8 时,对应的 y 值分别是什么？
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修1【配套备课资源】3.4
x
两边取对数,得 xlg 1.012 5＝lg 14－lg 12,
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§ 3.4
lg 14－lg 12 所以 x＝ ≈12.4. lg 1.012 5
本 课 时 栏 目 开 关
所以 13 年后,即 2008 年我国人口总数将超过 14 亿.
比另一种投资 5 年可多得利息多少钱？(结果精确到 0.01 万 元)
解 本金 100 万元,年利率 10%,按单利计算,5 年后的本息和 是 100×(1＋10%×5)＝150(万元). 本金 100 万元,年利率 9%,按每年复利一次计算,5 年后的本息 和是 100×(1＋9%)5≈153.86(万元).
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探究点二 复利问题
§ 3.4
例 2 有一种储蓄按复利计算利息,本金为 a 元,每期利率为 r, 设本利和为 y,存期为 x,写出本利和 y 随存期 x 变化的函数式.
本 课 时 栏 目 开 关
如果存入本金 1 000 元,每期利率 2.25%,试计算 5 期后的本 利和是多少(精确到 0.01 元)?
∴1＋x≈1.017,得 x＝1.7%. (2)依题意,y≤12.48(1＋1%)10, 得 lg y≤lg 12.48＋10×lg 1.01≈1.139 2, ∴y≤13.78,故人口至多有 13.78 亿. 答 每年人口平均增长率为 1.7%,2008 年人口至多有 13.78 亿.
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解得 Q＝10,即燕子静止时的耗氧量为 10 个单位.
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§ 3.4
(2)将耗氧量 Q＝80 代入公式得: 80 本 v＝5log210＝5log28＝15 (m/s),
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修1【配套备课资源】2.4.1
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2.4.1
探究点一 导引
函数零点的定义
考察下列一元二次方程与对应的二次函数：
(1)方程 x2－2x－3＝0 与函数 y＝x2－2x－3；
本 (2)方程 x2－2x＋1＝0 与函数 y＝x2－2x＋1； 课 时 (3)方程 x2－2x＋3＝0 与函数 y＝x2－2x＋3. 栏 目 问题 1 你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与 x 轴 开 关 的交点坐标吗？
个数有
本 课 时 栏 目 开 关
A．0
解析 因为 ac<0，所以 Δ＝b2－4ac>0，
所以函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴有两个交点，
即函数 f(x)的零点个数为 2.
小结
求函数的零点或判断零点的个数除了利用零点的定
义外，还经常利用其等价结论．
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2.4.1
跟踪训练 1 C．(4,0)
解析
令 x2－4＝0，得 x＝± 2，
故交点坐标为(± 2,0)，所以函数的零点为± 2.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.4.1
2.若函数 f(x)在定义域 R 上的图象是连续的，图象穿过区间 (0,4)，且方程 f(x)＝0 在(0,4)内仅有一个实数根，则 f(0)· f(4) 的值
本 课 时 栏 目 开 关
问题 5 函数的零点与函数图象上的点有什么区别？ 答 函数的零点不是点， 是函数值为 0 时对应的自变量的值，
也是函数图象与 x 轴交点的横坐标；函数图象上的点可用有 序实数对表示，而函数的零点只用一个实数表示．
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2.4.1
例1
已知函数 y＝ax2＋bx＋c，若 ac<0，则函数 f(x)的零点 ( C ) B．1 C．2 D．不确定
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填一填·知识要点、记下疑难点
3.1.1(一)
3.如果存在实数 x,使得 xn＝a (a∈R,n>1,n∈N＋ ),则 x 叫做 a的n次方根 求 a 的 n 次方根,叫做把 a 开 n 次方,称作
本 课 时 栏 目 开 关
开方 运算.正数 a 的正 n 次方根叫做 a 的 n 次 算术根 当 n a n 有意义的时候, a叫做 根式 ,n 叫做根指数.当 n 为奇数时, 正数的 n 次方根是一个 正数 ,负数的 n 次方根是一个 负数 ,
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3.1.1(一)
跟踪训练 3 化简 a ＋ 1－a4的结果是
3
3
4
( C )
A.1
本 课 时 栏 目 开 关
B.2a－1 D.0
a≤1 a>1 .
1， 4 3 4 a ＋ 1－a ＝a＋|1－a|＝ 2a－1，
C.1 或 2a－1
解析 3
故选 C.
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3.1.1(一)
小结
本 课 时 栏 目 开 关
一个数到底有没有 n 次方根,我们一定先考虑被开方数
到底是正数还是负数,还要分清 n 为奇数和 n 为偶数这两种情 况.
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n n
3.1.1(一)
本 课 时 栏 目 开 关
问题 4 根据 n 次方根的意义,可得:( a) ＝a,即( a)n＝a 肯定 n n n n n 成立, a 表示 a 的 n次方根,等式 a ＝a 一定成立吗？如果 n n 不一定成立,那么 a 等于什么？
3.1.1(一)
本 课 时 栏 目 开 关
3.1.1(一)
3.1.1 实数指数幂及其运算(一)
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§3.3 幂函数
一、基础过关
1．幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，1
2
)，那么f (8)的值为
( )
A ．2 6
B ．64 C.2
4
D.164 2．函数y ＝x 1
2
－1的图象关于x 轴对称的图象大致是
( )
3．下列是y ＝x 2
3
的图象的是
( )
4．图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±1
2四个值，则相应于曲线C 1，
C 2，C 3，C 4的n 依次为
( )
A ．－2，－12，1
2，2
B ．2，12，－1
2，－2
C ．－12，－2,2，1
2
D ．2，12，－2，－1
2
5．给出以下结论：
①当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线； ②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；
③若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大； ④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限． 则正确结论的序号为________．
6．函数y ＝x 12＋x －
1的定义域是________．
7．写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性： (1)y ＝x 2＋x －
2；
(2)y ＝x 12＋x －1
2；
(3)f (x )＝x 12＋3(－x )1
4
.
8．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·xm 2＋m －1，m 为何值时，函数f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．
二、能力提升 9．设a ＝(35)25，b ＝(25)35，c ＝(25)2
5，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．a >c >b
B ．a >b >c
C ．c >a >b
D ．b >c >a
10．函数f (x )＝x α，x ∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f (x )>|x |成立，则在α∈{－2，－1,0,1,2}的条
件下，α可以取值的个数是( )
A ．0
B ．2
C ．3
D ．4
11．若(a ＋1)－12<(3－2a )－1
2
，则a 的取值范围是________．
12．已知幂函数f (x )的图象过点(2，2)，幂函数g (x )的图象过点(2，1
4
)．
(1)求f (x )，g (x )的解析式；
(2)当x 为何值时，①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )． 三、探究与拓展
13．已知幂函数f (x )＝x m －
3(m ∈N ＋)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足
(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m
3
的a 的取值范围．
答案
1．C 2．B 3．B 4．B 5．④ 6．(0，＋∞)
7．解 (1)y ＝x 2＋x －
2＝x 2＋1x
2，∴此函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵f (－x )＝(－x )2＋1(－x )2＝x 2
＋1x 2＝f (x )， ∴此函数为偶函数．
(2)y ＝x 12＋x －12＝x ＋1
x ，
∴此函数的定义域为(0，＋∞) ∵此函数的定义域不关于原点对称， ∴此函数为非奇非偶函数． (3)f (x )＝x 12＋3(－x )1
4
＝x ＋34
－x ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥0－x ≥0
，∴x ＝0， ∴此函数的定义域为{0}， ∴此函数既是奇函数又是偶函数． 8．解 (1)若f (x )为正比例函数， 则⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0⇒m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数， 则⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1. (3)若f (x )为二次函数，则 ⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2＋m －1＝2，m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1±132.
(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1， ∴m ＝－1±2. 9．A 10．B
11．(23，32
)
12．解 (1)设f (x )＝x α，∵其图象过点(2，2)，故2＝(2)α，解得α＝2，∴f (x )＝x 2.
设g (x )＝x β，∵其图象过点(2，1
4
)，
∴1
4＝2β， 解得β＝－2，∴g (x )＝x －
2.
(2)在同一坐标系下作出f (x )＝x 2与g (x )＝x －2
的图象，如图所示．由图象可知：f (x )，g (x )的图
象均过点(－1,1)与(1,1)． ∴①当x >1或x <－1时， f (x )>g (x )；
②当x ＝1或x ＝－1时，f (x )＝g (x )； ③当－1<x <1且x ≠0时， f (x )<g (x )．
13．解 ∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m －3<0，解得m <3. ∵m ∈N ＋，∴m ＝1,2.
又函数的图象关于y 轴对称，∴m －3是偶数，
而2－3＝－1为奇数，1－3＝－2为偶数，∴m ＝1.
而f (x )＝x －1
3在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，
∴(a ＋1)－13<(3－2a )－1
3等价于a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a .
解得a <－1或23<a <3
2
.
故a 的取值范围为{a |a <－1或23<a <3
2
}．。