2015年全国各地数学竞赛预赛卷 (1)

合集下载

2015第七届全国大学生数学竞赛试卷-数学类

专业:
得分

评阅人
只有零解.
三、(本题 15 分) 设 A 为 n 阶实方阵，其 n 个特征值皆为偶数. 试证明关于 X 的矩阵方程
X + AX − XA2 = 0

考生座位号:
密封线答题时不要超过此线
所在院校:

准考证号:
姓名:

第 3 页（共 6 页）
得分评阅人
2)求P 点和Q点坐标(用a, b, v, w表示).
密封线答题时不要超过此线

所在院校:
准考证号:
姓名:

第 1 页（共 6 页）
得分评阅人
二、 (本题 20 分) A为4阶复方阵，它满足关于迹的关系式：trAi = i, i = 1, 2, 3, 4. 求A的行列式.
第 2 页（共 6 页）
四、(本题 15 分) 数列 {an} 满足关系式 an+1 =
an
+
n an
,
a1
>
0.
求证
lim
n→+∞
n(an
−
n)
存在.
第 4 页（共 6 页）
专业:
得分

评阅人
五、 (本题 15 分)设 f (x) 是 [0, +∞) 上有界连续函
数, h(x) 是 [0, +∞) 上连续函数, 且
+∞ 0
|h(t)|
dt
=
a
<
1.
构造函数列如下: g0(x) = f (x),
x
gn(x) = f (x) + h(t)gn−1(t) dt, n = 1, 2, · · ·

2015年全国高中数学联赛河北省预赛试题及答案

2015年全国高中数学联赛河北省预赛试题及答案一、填空题（每小题8分，共64分） 1.已知函数())()ln 10f x ax a =+>，则()1ln ln f a f a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．答案：2 提示：()()))()2222lnln2ln 12 2.f x f x ax ax a x a x +-=++=+-+=2.设A 、B 两点分别在抛物线26y x =和圆()22:21C x y -+=上，则AB 的取值范围是．答案：[)1,+∞提示：由于1AB AC ≥-，则只需要考虑AC 的范围．而()()()2222222262413,AC x y x xx x x =-+=-+=++=++又0x ≥，故min 2AC =，故AB 的取值范围为[)1,.+∞ 3.若tan 3tan 02παββα⎛⎫=<≤< ⎪⎝⎭，则αβ-的最大值为．答案：6π．提示：()2tan tan 2tan tan 1tan tan 13tan 213tan tan tan .36αββαβαββββπ--==++=+≤= 因为02πβα<≤<，所以0.2παβ≤-<所以6παβ-≤，即αβ-的最大值为.6π 4.已知△ABC 为等腰直角三角形，其中C ∠为直角，1AC BC ==，过点B 作平面ABC 的垂线DB ，使得1DB =，在DA 、DC 上分别取点E 、F ，则△BEF 周长的最小值为．．提示：由题意可知，,4CDB π∠=且BDA ∠与CDA ∠之和为.2π如图，将侧面BDA 和侧面CDB 分别折起至面1B DA 和2B DC ，且与侧面ADC 位于同一个平面上．则△BEF 周长的最小值即面12AB DB C 上两点1B 、2B 之间的线段长．由前面的分析可知，12123.244B DB B DA ADC CDB πππ∠=∠+∠+∠=+=由余弦定理可得，12B B ===所以，△BEF5.已知函数()33f x x x =+，对任意的[]2,2,m ∈-()()820x f mx f -+<恒成立，则正实数x 的取值范围为．答案：0 2.x <<提示：由于()33f x x x =+为奇函数且为增函数，所以()()820xf mx f -+<等价于()()()822x x f mx f f -<-=-，即82.x mx -<-即280xmx +-<对任意[]2,2m ∈-恒成立．即2280,2280,xxx x ⎧+-<⎪⎨-+-<⎪⎩所以02,04,x x <<⎧⎨<<⎩即0 2.x <<6.已知向量a 、b 、c 满足()*::2::3a b c k k N =∈，且()2b a c b -=-，若α为a 、c 的夹角，则cos α的值为．答案：1.6-提示：由()2b a c b -=-得1233b ac =+，所以 222144.999b ac a c =++⋅又::2::3a b c k =，所以240241664cos ,.9999k α⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦又*k N ∈，所以2k =，所以cos α的值为1.6-7.现有一个能容纳10个半径为1的小球的封闭正四面体容器，则该容器棱长最小值为．答案：4+提示：这10个小球成棱锥形来放，第一层1个，第2层3个，第3层6个，即每一条棱是3的小球，于是正四面体的一条棱长就应该是4倍的小球的半径加上2倍的球心到四面体顶点的距离到棱长上射影的长度，又球心到顶点的距离为3，正四面体的高和棱所成角的余弦值为342343+⨯⨯=+ 8.将10个小球（5个黑球和5个白球）排成一行，从左边第一个小球开始向右数小球．无论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为．答案：1.6提示：方法一如果只有2个小球（1黑1白），那么黑球的个数总不少于白球个数的概率为12；如果只有4个小球（2黑2白），那么黑球的个数总不少于白球个数的概率为13；如果只有6个小球（3黑3白），那么黑球的个数总数不少于白球个数的概率为14；以此类推，可知将10个小球（5黑5白）排成一行，从左边一个小球开始向右数小球，无论数几个小球，黑球的个数不少于白球个数的概率为1.6方法二直接从10个小球入手分类讨论．二、解答题（第9、10、11、12题各14分，第13、14题各15分） 9.在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边的边长分别是a 、b 、c ，向量()sin sin ,sin ,p A C B =+(),q a c b a =--，且满足p q ⊥．（1）求△ABC 的内角C 的值；（2）若()2,2sin 2sin 2sin c A B C C =++=，求△ABC 的面积．解（1）由题意p q ⊥，所以()()()sin sin sin 0.a c A C b a B -++-=由正弦定理，可得()()()0.a c a c b a b -++-= 整理得222a cb ab -+=．由余弦定理可得，2221cos ,22a b c C ab +-==又()0,C π∈，所以.3C π= (2)由()2sin 2sin 2sin A B C C ++=可得，()()4sin cos sin sin .A A B A B A π++-=+整理得，()()4sin cos sin sin 2sin cos .A A B A B A B A =++-=当cos 0A =时，2A π=，此时，2cot3b π==，所以△ABC 的面积12ABC S bc ∆==当cos 0A ≠时，上式即为sin 2sin B A =，由正弦定理可得2,b a =又224a b ab +-=，解之得，a b ==所以△ABC 的面积1sin 2ABC S ab C ∆==综上所述，△ABC 的面积1sin 23ABC S ab C ∆==10.已知数列{}n a 满足：2112,2.n n n a a a a +==+（1）求证：数列(){}lg 1n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）若112n n n b a a =++，且数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证： 1.n S < 证（1）由已知得()22112,11.n n n n n a a a a a +-=++=+因为12a =，所以11n a +>，两边取对数得()()1lg 12lg 1,n n a a ++=+即()()1lg 12lg 1n n a a ++=+，故(){}lg 1n a +为以lg 3为首项，2为公比的等比数列，即()1lg 12lg3,n n a -+=即123 1.n n a -=-（2）方法一由212n n n a a a +=+，两边取倒数得1111122n n n a a a +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，所以 21122n n n a a a +=-+，即1112n nn b a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故2112,231n n S ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭故 1.n S < 方法二由于111211222221123313131112,3131n n n nn n n b -----⨯=+=+--⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭则2112 1.231n n S ⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭11.设().xf x e ax a =--（1）若()0f x ≥对一切1x ≥-恒成立，求a 的取值范围；（2）求证：1008122015.2016e -⎛⎫< ⎪⎝⎭解（1）由()0f x ≥得()1xx a e +≤，即()11xe a x x ≤>-+．令()1x e h x x =+，则()()2.1xxe h x x '=+ 由()()201xxe h x x '=>+得0.x >所以()h x 在()0,+∞上单调递增，()h x 在()1,0-单调递减．所以()()()011,h x h x ≥=>-由此得 1.a ≤又1x =-时，()1x x a e +≤即为10a e -⨯≤，此时a 取任意值都成立．综上可得 1.a ≤（2）10081220152016e-⎛⎫< ⎪⎝⎭等价于1201510152016e <等价于1201611.2016e -< 由（1）知，当1a =时()0f x ≥对一切1x ≥-恒成立，即1xe x ≥+（0x =时取等号）．取12016x =-，得1201611.2016e -< 即证得：1008122015.2016e -⎛⎫< ⎪⎝⎭12. 已知：如图，两圆交于A 、B 两点，CD 为一条外公切线，切点分别为C 、D ．过A 任意作一条直线分别交两圆于E 、F ，EC 交FD 于点P ．求证：PB 平分.EBF ∠证如图，连结BA 、BC 、,BD 延长CD ．由A 、B 、E 、C 共圆有1CBA ∠=∠，同理，2.DBA ∠=∠又12180EPF ∠+∠+∠=，所以12180.CBD CPD EPF ∠+∠=∠+∠+∠=故P 、C 、B 、D 四点共圆．则34CBP DBF ∠=∠=∠=∠（弦切角等于圆周角）．同理5.CBE DBP ∠=∠=∠ 所以,EBP EBC PBC DBP FBD FBP ∠=∠+∠=∠+∠=∠此即为PB 平分.EBF ∠13.设正数x 、y 满足33x y x y +=-，求使221x y λ+≤恒成立的实数λ的最大值．解由正数x 、y 满足33x y x y +=-，知0.x y >> 令 1.xt y=> 不等式221x y λ+≤等价于3322,x y x y x y λ++≤-等价于332322,x y x y y y x x y x yλ++≤-=-- 等价于()232,x y y x y y λ+≤-等价于22221.1x y t xy y t λ++≤=--因为()()212211122t f t t t t +==+-+--≥+=+ 等号仅当211t t-=-，即1t =λ的最大值为2+ 14.已知椭圆22:12x C y +=及点11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，过点P 作直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，过A 、B 两点分别作C 的切线交于Q ．（1）求Q 的轨迹方程：（2）求△ABQ 的面积的最小值．解（1）设()11,A x y 、()22,B x y 、()00,Q x y ，则11:12x xQA y y +=过Q ，有 101012x x y y +=； ① 22:12x xQB y y +=过Q ，有202012x x y y +=， ② 故直线AB 为0012x x y y +=，由于直线AB 过点11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，则有00122x y +=，即 00 2.x y += ③故Q 的轨迹方程为 2.x y +=（2）当直线AB 斜率不存在时，即直线AB 的方程为1x=，此时1,2A ⎛⎝⎭、1,2B ⎛- ⎝⎭、()2,0.C 所以1122ABQ S ∆==当直线AB 的斜率存在时，设直线()1:12AB y k x -=-，即1.2y kx k =+-联立2222,1,2x y y kx k ⎧+=⎪⎨=+-⎪⎩消去y 得 ()()222321212220.2kx k k x k k ⎛⎫++-+--= ⎪⎝⎭于是有()1222122221,213222.21k k x x k k k x x k -⎧+=⎪+⎪⎨--⎪=⎪+⎩又①-②，得到0002x ky +=与③联立，可解得42,2112kQ k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，则()()12322212443,42121AQB S AB d x k k k k ∆==-++=⋅+-可得 ()()()3222224431.82121AQB k k S k k ∆++=⋅+- 令()()()()322224432121k k f k kk ++=+-，则()()()()()()22233284431843,2121k k k k k f k kk -+++-+'=+-故()f k 在区间(),1-∞-上单调递减，11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，又()lim 4,k f k →+∞=所以()()min 11.3f k f =-=于是，当1k =-时，△AQB 面积的最小值为min S =。

历届全国大学生数学竞赛预赛试卷

全国大学生数学比赛初赛试卷（非数学类）2009 年第一届全国大学生数学比赛初赛试卷（非数学类）一、填空题（每题5 分，共 20 分）( x y)ln(1y)1．计算xdxdy ____________，此中地区D 由直线 x y 1 与两坐标轴D1 x y所围成三角形地区 .2．设 f ( x) 是连续函数，且知足f ( x) 3 x22f ( x)dx 2 ，则 f ( x) ____________.3．曲面 zx 2 y 22 平行平面 2x2 y z0 的切平面方程是 __________.24．设函数 yy( x) 由方程 xe f ( y )e yln 29 确立，此中 f 拥有二阶导数，且 f1 ，则d 2 y ________________.dx2二、（ 5 分）求极限 lim (e xe 2 xe nxen) x，此中 n 是给定的正整数 .x 01 三、（ 15 分）设函数 f ( x) 连续， g ( x)f ( xt)dt ，且 limf (x)A ， A 为常数，求 g (x) 并x 0x议论 g (x) 在 x 0处的连续性 .四、（15 分）已知平面地区 D {( x, y) | 0x, 0 y} ， L 为 D 的正向界限，试证：（1） xe sin y dyye sin x dx xe sin y dyye sin x dx ；LL（2） xe sin y dyye sin y dx 5 2 .L2五、（ 10 分）已知 y 1 xe x e 2 x ， y 2 xe x e x ， y 3 xe x e 2 x e x 是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（ 10 分）设抛物线 y ax 2 bx 2 ln c 过原点 . 当 0 x 1时， y 0 ，又已知该抛物线与 x 轴及直线 x 1所围图形的面积为1. 试确立 a, b, c ，使此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 V 最小 .3七、（ 15 分）已知 u n ( x) 知足 u n ( x)u n (x)x n 1e x n 1,2,L，且 u n (1)e，求函数项级数nu n ( x) 之和 .n 1八、（ 10 分）求 x1 时，与x n 2 等价的无量大批 .n 02010 年第二届全国大学生数学比赛初赛试卷（非数学类）一、（ 25 分，每题5 分）（ 1）设 x n (1 a)(1 a 2 )L (1 a 2 n ) ，此中 | a | 1, 求 lim x n .n1 x 2（ 2）求 lim e x 1 .xx（ 3）设 s 0 ，求 I ne sx x n dx(n1,2,L ) .（ 4）设函数 f (t) 有二阶连续导数， rx2y 2, g(x, y)f 1，求2g2g .rx 2y 2（ 5）求直线 l 1 : xy 0与直线 l 2 : x 2y 1z3的距离 .z 0421二、（ 15 分）设函数 f (x) 在 ( ,) 上拥有二阶导数，而且f (x) 0 ， lim f (x)0 ，xlim f ( x)0 ，且存在一点 x 0 ，使得 f ( x 0 )0 . 证明：方程 f ( x)0 在 (,) 恰有两个实x根 .x 2t t 223三、（ 15 分）设函数 yf ( x) 由参数方程d yy(t ) (t1) 所确立，且 dx 24(1 t )，此中 (t) 拥有二阶导数，曲线y(t ) 与 yt 2eu 2du3在 t 1出相切，求函数(t) .12e四、（ 15 分）设 a nn0, S na k ，证明：k1（1）当1时，级数a n 收敛；n 1 S n（2）当1且 s n( n) 时，级数a n 发散 .n 1 S n五、（ 15 分）设 l 是过原点、方向为 ( , , ) ，（此中2221) 的直线，平均椭球x 2y 2 z 2 1（此中 0c b a ，密度为1）绕 l 旋转 .a2b2c2（ 1）求其转动惯量；（ 2）求其转动惯量对于方向 ( , , ) 的最大值和最小值 .六、 (15 分) 设函数 ( x) 拥有连续的导数，在环绕原点的随意圆滑的简单闭曲线C2 xydx ( x)dy 0 的值为常数 .上，曲线积分?Lx 4y 2（1）设 L 为正向闭曲线 (x 2) 2y 21 ，证明 ?L2xydx(x)dy ；x 4y 2（ 2）求函数 ( x) ；（ 3）设 C 是环绕原点的圆滑简单正向闭曲线，求?C 2xydx ( x)dy .x 4y 22011 年第三届全国大学生数学比赛初赛试卷（非数学类）一、计算以下各题（此题共3 小题，每题各5 分，共 15 分）1（ 1）求 limsin x 1 cosx ；x 0x（ 2）. 求 lim1 1 (1)；nn 1n 2n n2t，求 d 2y 2.（ 3）已知xln 1eytdxt arctane二、（此题 10 分）求方程2x y 4 dx x y 1 dy 0的通解 .三、（此题 15 分）设函数 f (x) 在 x 0 的某邻域内拥有二阶连续导数，且 f 0 , f 0 , f 0均不为 0，证明：存在独一一组实数k 1,k 2 , k 3 ，使得lim k 1 fh k 2 f 2h 2 k 3 f 3hf 00 .h 0h222 四、（此题 17 分）设1 :xyz1 ，此中 a b c0 ， 2 : z 2x22，为 1 与2的222yabc交线，求椭球面 1 在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值.五、（此题 16 分）已知 S 是空间曲线x 2 3y21绕 y 轴旋转形成的椭球面的上半部分z 0（ z 0 ）（取上侧），是 S 在 P( x, y, z) 点处的切平面，(x, y, z) 是原点到切平面的距离，,, 表示 S 的正法向的方向余弦 . 计算：（ 1）z dS ；（ 2） z x3 ydz SSx, y, zS六、（此题 12 分）设 f ( x) 是在 ( ,) 内的可微函数，且f (x)mf (x) ，此中 0 m 1 ，任取实数 a 0 ，定义 a nln f (a n 1), n 1,2,... ，证明：(a na n 1 ) 绝对收敛 .n 1七、（此题 15 分）能否存在区间0,2上的连续可微函数f ( x) ，知足 f (0) f (2)1，f ( x) 1 ，2f (x)d x 1?请说明原因 .2012 年第四届全国大学生数学比赛初赛试卷（非数学类）一、（本大题共 5 小题，每题6 分，共 30 分）解答以下各题（要求写出重要步骤） .1（ 1）求极限 lim( n!) n 2 .n（ 2）求经过直线 l :2 x y 3z 2 0 的两个相互垂直的平面 1和 2 ，使此中一个平面5x 5 y 4z 3 0过点 (4, 3,1).（ 3）已知函数 zu( x , y)eaxby，且2u0 . 确立常数 a 和 b ，使函数 z z(x , y) 知足方程 xy2z zz. x yxzy（ 4）设函数 uu( x) 连续可微， u(2) 1 ，且 ( x 2 y)udx ( xu 3 )udy 在右半平面与路径无L关，求 u (x , y) .（ 5）求极限 lim 3xx 1sin tdt .xxt cost二、（此题 10 分）计算e 2x sin x dx .三、（此题 10 分）求方程 x 2sin12x 501的近似解，精准到 0.001.x四、（此题 12 分）设函数 yf (x) 二阶可导，且 f ( x)0 ， f (0)0 ， f(0) 0 ，求3limx f (u )3 ，此中 u 是曲线 y f (x) 上点 P( x , f ( x)) 处的切线在 x 轴上的截距 .x 0f ( x)sin u五、（此题 12 分）求最小实数 C ，使得知足1f (x) dx 1 的连续函数 f ( x) 都有1f ( x )dxC .六、（此题 12 分）设 f ( x) 为连续函数， t 0 . 地区是由抛物面 zx 2 y 2 和球面x 2y 2 z 2t 2 ( z 0) 所围起来的部分 . 定义三重积分 F (t ) f ( x 2 y 2 z 2 )d v ，求 F (t) 的导数 F (t) .七、（此题 14 分）设a n 与b n 为正项级数，证明：n 1n 1（ 1）若（ 2）若lima n1 ，则级数a n 收敛；na n 1b n b n 1n 1lima n1 ，且级数b n 发散，则级数a n 发散 .na n 1b nb n 1n 1n 12013 年第五届全国大学生数学比赛初赛试卷（非数学类）一、解答以下各题（每题 6 分，共 24 分，要求写出重要步骤）1. 求极限 lim 12nsin1 .4nn2. 证明广义积分sin x dx 不是绝对收敛的 .x3. 设函数 y y(x) 由 x 33x 2 y 2 y 32 确立，求 y( x) 的极值 .4. 过曲线 y3x (x0) 上的点 A 作切线，使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形的面积为3，求点 A4的坐标 .x二、（满分 12 分）计算定积分Ixsin x arctane2dx .1 cos x三、（满分 12 分）设 fx 在 x 0 处存在二阶导数 f (0) ，且 limf x0 . 证明：级数1 收敛 .fx 0xn 1n四、（满分 12 分）设 f ( x), f (x)m 0(a xb) ，证明b2 .a sin f ( x)dxm五、（满分 14 分）设是一个圆滑关闭曲面，方向朝外.给定第二型的曲面积分Ix 3x dydz2 y3 y dzdx3 z 3 z dxdy . 试确立曲面，使积分 I 的值最小，并求该最小值 .六、（满分 14 分）设 I a (r )ydx xdy ，此中 a 为常数，曲线 C 为椭圆x 2 xy y 2r 2 ，取正向 . 求极C( x2y 2 )a限 lim I a (r ) .r11L1七、（满分14 分）判断级数2 n的敛散性，若收敛，求其和 .n 1 n 1 n22014 年第六届全国大学生数学比赛初赛试卷（非数学类）一、填空题（共有 5 小题，每题 6 分，共 30 分）1. 已知 y 1e x 和 y 1 xe x 是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是.2. 设有曲面 S : z x 2 2y 2 和平面 L : 2x 2 y z 0 . 则与 L 平行的 S 的切平面方程是 .3. 设函数 yy x t dt 所确立 . 求 dy.y(x) 由方程 xsin 214 dx x 04. nk ，则 lim x n设 x n.1)!k 1(kn1f (x)5. 已知 lim1 xf ( x)x3.e ，则 limx 2x 0xx 01二、（此题 12 分）设 n 为正整数，计算Ie 2 nd 1 cos lndx.dxx三、（此题 14 分）设函数 f (x) 在 [0,1] 上有二阶导数，且有正常数A, B 使得 f (x)A ，| f "( x) |B . 证明：对随意 x[ 0,1] B，有 | f '(x) | 2 A.2四、（此题 14 分）（ 1）设一球缺高为h ，所在球半径为 R . 证明该球缺体积为(3R h)h 2 ，球冠面积3为 2 Rh ；（ 2）设球体 ( x 1) 2 ( y 1) 2 ( z 1) 2 12被平面 P : xy z 6 所截的小球缺为，记球缺上的球冠为，方向指向球外，求第二型曲面积分I xdydz ydzdx zdxdy .五、（此题 15 分）设 f 在 [ a,b] 上非负连续，严格单增，且存在 x n [a,b] ，使得[ f ( x n )]n1b[ f (x)]n dx . 求 lim x n . b a a n六、（此题 15 分）设 A nnnLn，求 lim nA n . 22222n 1 n2n nn42015 年第七届全国大学生数学比赛初赛试卷（非数学类）一、填空题（每题6 分，共 5 小题，满分 30 分）sinsin 2sin（ 1）极限 lim n nn.Lnnn 2 1 n 2 2 n 2（ 2）设函数 zz x, y 由方程 Fxz, y z0 所决定，此中 F u,v 拥有连续偏导y x数，且 xF uyF v0 则 x z y z .xy（ 3）曲面 z x 2y 2 1在点 M 1, 1,3 的切平面与曲面所围地区的体积是 .（ 4）函数 fx3,x 5,0 在5,5 的傅立叶级数在 x0 收敛的是 .0, x 0,5（ 5）设区间 0,上的函数 u x 定义域为 u xe xt 2 dt ，则 u x 的初等函数表达式是 .二、（ 12 分）设 M 是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程.三、（ 12 分）设 fx在 a,b 内二次可导，且存在常数, ，使得对于x a,b ，有f xf xfx，则 f x 在 a, b 内无量次可导 .四、（ 14 分）求幂级数n 3 2 x 1 n的收敛域及其和函数 .n 0n 1 !五、（ 16 分）设函数 f x 在 0,1 上连续，且1f x dx11 . 试证：0 0, xf x dx（ 1） x 0 0,1 使 f x 0 4 ；（ 2） x 10,1 使 f x 14 .五、（ 16 分）设f x, y 在x2y21上有连续的二阶偏导数，且f xx2 2 f xy2 f yy2M .若f 0,0 0, f x 0,0 f y 0,0 0 ，证明： f x, y dxdy M .x2 y 2 142016 年第八届全国大学生数学比赛初赛试卷（非数学类）一、填空题（每题 5 分，满分 30 分）1nf a1、若f x在点 x a 可导，且f a0，则lim n__________.f an2、若f10， f1存在，求极限 I lim f sin 2 x cosx tan3 x2.x 0x1 sin xe3、设f x有连续导数，且 f 1 2 ，记 z f e x y2，若zz ，求f x 在x 0的表达式. x4、设f x e x sin2 x ，求 0a n， f40.25、求曲面z x2y2平行于平面 2 x 2 y z0 的切平面方程.2二、（ 14 分）设f x在0,1上可导， f00 ，且当 x0,1，0f x1，试证当 a0,1 ，a 2a3x dx .0 fx dx0f三、（ 14 分）某物体所在的空间地区为: x2y22z2x y2z，密度函数为 x2y2z2，求质量 M x2y2z2dxdydz .四、（ 14 分）设函数f x在闭区间0,1上拥有连续导数，f00 ， f 1 1 ，证明： lim n1f x dx1n k 1.n0n k 1n2五、（ 14 分）设函数f x在闭区间0,1 上连续，且 I 10 ，证明：在0,1内存0f x dx在不一样的两点 x1, x2，使得11 2 .f x1 f x2I六、（ 14 分）设f x 在,可导，且 f x f x 2 f x3. 用 Fourier 级数理论证明 f x 为常数.2017 年第九届全国大学生数学比赛初赛试卷（非数学类）一、1.已知可导函数() 知足cos xf (x)2x f (t) sin tdt x1，则 f ( x) =_________.????0．求lim sin2n2n .2n3. 设w f (u, v) 拥有二阶连续偏导数，且u=x cy，v=x+cy ，此中c为非零常数.则wxx1=_________.c2wyy4.设f (x)有二阶导数连续，且 f (0) f '(0)0, f "(0) 6 ，则 lim f (sin2 x)=____.x4x 05. 不定积分I e sin x sin 22x dx=________.(1 sin x)6.记曲面 z2 x2 y2和z4 x2 y2围成空间地区为 V ，则三重积分zdxdydz=___________.V二、（此题满分14 分 ) 设二元函数 f ( x, y)在平面上有连续的二阶偏导数. 对任何角度，定义一元函数g (t ) f (t cos , t sin ) .若对任何都有dg (0)0且 d 2 g(0) 0 .证明f (0,0)是 f ( x, y) 的极小值. dt dt 2三、 ( 此题满分 14 分 ) 设曲线为在x2y2z21，x z1， x 0, y 0, z 0上从 A(1,0,0) 到 B(0,0,1) 的一段.求曲线积分I ydx zdy xdz .四、 ( 此题满分 15 分 ) 设函数f ( x)0 且在实轴上连续，若对随意实数t ，有e |t x|f ( x) dx 1 ，则 a, b( a b) ，b b a 2 .f (x)dxa2五、 ( 此题满分 15 分 ) 设{ a n}为一个数列，p 为固定的正整数。

2015年全国高中数学联合竞赛XX省预赛校模拟试卷(高一年级)

3．若对于任意实数 x ， | x + a | - | x + 1 |≤ 2a 恒成立，则实数 a 的最小值为 1a2015}，则集合 S中的元| x x2015年全国高中数学联合竞赛XX 省预赛校模拟试卷（高一年级）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分．）1．已知数列{a n } 是等差数列，a 2 和 a 项的和为 1209 ．2014是方程 5x 2 - 6 x + 1 = 0 的两根，则数列{a n } 的前 20152．已知 a , b 是常数，函数 f ( x ) = ax 3 + b ln( x +x 2 + 1) + 3 在 (-∞,0) 上的最大值为 10,则 f ( x )在 (0,+∞) 上的最小值为－4 ．3 ．4．设 a = 2 n , b = 5n - 1(n ∈ N *)， S = {a , a , , ann12素的个数为504 ．2015} {b , b , , b1 2△5．ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ．若 a - c = a sin C ，则 sinA - C B+ sin 的值为2 21．6．设多项式 f ( x ) 满足 f ( x ) + f ( x + 1) = -2x 2 + 2x + 3 ，则 f (1) + f (2) + + f (9) = －186 ．7．已知点 P 在 △Rt ABC 所在平面内，∠BAC = 90︒ ，∠CAP 为锐角， AP |= 2 ，AP ⋅ AC = 2 ，AP ⋅ AB = 1 ．当 | AB + AC + AP | 取得最小值时， tan ∠CAP =72 ．8． 8sin 2 10︒ + 1 sin10︒的值为 6 ．9．函数 f ( x ) = 8 - x + 3x + 6 的最小值为10 ．p + 1p 2 + 110．使得和都是完全平方数的最大质数 p 为7 ．2 2二、解答题（本大题共3小题，每小题20分，共60分．） 11．定义在 (0,+∞) 上的函数 f ( x ) 满足：x① f (2) = 1 ；②当 x > 1时， f ( x ) > 0 ；③ f ( ) = f ( x ) - f ( y ) ．y（1）试判断函数 f ( x ) 的单调性；（2）若 f (t ) + f (t - 3) ≤ 2 ，试求 t 的取值范围．x x解（1）设 0 < x < x ，则 2 > 1 ，故 f ( 2 ) > 0 ，即 f ( x ) - f ( x ) > 0 ，所以 f ( x ) > f ( x ) ，1 2 2 1 2 1 1 1故 f ( x ) 在 (0,+∞) 上是单调增函数． ………………………………………（5 分）4（2）因为 f (2) = f ( ) = f (4) - f (2) ，所以 f (4) = 2 f (2) = 2 ，从而2f (t ) + f (t - 3) ≤ f (4) ． ………………………………………（10 分）即 f (t ) ≤ f ( 4 t - 3) ，于是⎨t - 3 > 0,………………………………………（15 分）⎪⎩ t - 312．已知正实数 a , b , c 满足 a 2 + b 2 = c 2 ，求 (1 +)(1 + ) 的最小值．当 x = 2 时， u ＝ (1 + )(1 + ) 取得最小值1 +（2）设 S n = T 12 + T 22 + + T n 2 ，求证： a n +1 - 1 < S n < a n +1 - ． a n +1 n +1 = n +1 = =1 - a n +1 1 - a n n + 1 n + 1n + 1n +1 - ；……………（15 分）n + - = - = a n +1 - ． < S n < a n +1 - ． ………………………………………（20分） ⎧⎪t > 0,⎪ ⎪ 4 t ≤ . 解得 3 < t ≤ 4 ．故 t 的取值范围是 (3,4] ．………………………………………（20 分）c ca bπ解设 a = c ⋅ sin α , b = c ⋅ cos α ， α ∈ (0, ) ，则2c c 1 1 sin α + cos α + 1u = (1 + )(1 + ) = (1 + )(1 + ) = 1 + ． …………………（5 分）a b cos α sin α sin α cos απ令 x = sin α + cos α ，则 x = 2 sin(α + ) ，1 < x ≤ 2 ． …………………（10 分）4x 2 - 1 x + 1 2又 sin α cos α = ，所以 u = 1 + = 1 +2 x 2 - 1 x - 1 2 c c 2a b 2 - 1． ………………………………（15 分）= 3 + 2 2 ．…………………（20 分）13．设 T n 是数列{a n } 的前 n 项之积，满足 T n = 1 - a n , n ∈ N * ．（1）求数列{a n } 的通项公式；1 2 3解（1）易知 T 1 = a 1 = 12， T ≠ 0, a ≠ 1 ，且由 T n n n +1 = 1 - a n +1 , T = 1 - a ，得n nT 1 - a 1 1 1a n +1 ，即，即 - = 1． ……………（5 分） T 1 - a 1 - a 1 - a n n n +1 n 1 1 1所以 = + n - 1 = + n - 1 = n + 1 ，故1 - a 1 - a1 n 1 1 -21 na = 1 - = ． ………………………………………（10 分） n 1（2）由（1）得 T = a a a = ．n 1 2 n一方面， S = n 1 1 1+ + +2 2 32 (n + 1) 21 1 1 1 1 1 > + + + = - = a2 ⋅3 3 ⋅4 (n + 1)(n + 2) 2 n + 2 2 另一方面，S < 1n 2 2 - 1 4 + 1 + + 11 1 32 - (n + 1) 2 -4 4 = 1 + 1 + + 35 5 7 ⋅ ⋅ 2 2 2 211 3 (n + )(n + )2 2 = 2 3- 1 n + 2 ． 32 1 又 -3 2 3< 2 1 n + 1 1 1 3 n + 2 n + 2 3 3所以 a n +1 - 1 2 1 3。

2015年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题及参考标准答案

２015年福建省高中数学竞赛暨２０15年全国高中数学联赛(福建省赛区）预赛试卷（考试时间:2０15年５月２4日上午9:0０-11：3０，满分16０分）一、填空题(共10小题,每小题6分，满分6０分。

请直接将答案写在题中的横线上）1.设集合403x A x x Z x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，,从集合A 中随机抽取一个元素x ,记2x ξ=,则随机变量ξ的数学期望E ξ= 。

2．已知()()f x x g x =+,其中()g x 是定义在R 上，最小正周期为2的函数。

若()f x 在区间[)24，上的最大值为1，则()f x 在区间[)1012，上的最大值为。

3.1F 、2F 为椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>)的左、右焦点,若椭圆C 上存在一点P ,使得12PF PF ⊥,则椭圆离心率e 的取值范围为。

4.已知实数x ,y ,z 满足2222324x y z ++=，则23x y z ++的最小值为。

5.已知函数2()cos 2xf x x π=,数列{}n a 中，()(1)n a f n f n =++(*n N ∈），则数列{}n a 的前１0０项之和100S = 。

6．如图,在四面体ABCD 中,2DA DB DC ===,DA DB ⊥，DA DC ⊥,且DA 与平面ABC 所成角的余弦值为63R = 。

７.在复平面内,复数1z 、2z 、3z 的对应点分别为1Z 、2Z 、3Z 。

若122z z ==120OZ OZ ⋅=，1231z z z +-=,则3z 的取值范围是。

８.已知函数()()x x f x e x ae =-恰有两个极值点1x ，2x (12x x <），则a 的取值范围为。

９．已知2()2x f x m x nx =⋅++,若{}{}()0(())0x f x x f f x φ===≠,则m n +的取值范围为。

2015年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题详解

当且仅当
3
x 2 1 4 1 x 即 x , y 时等号成立，因此 x 2 y 的最大值是． 2 3 3 27
6．将正整数列 1, 2,3,
中的所有完全平方数去掉后仍按原顺序构成数列 an ，
则 a2015 _________________________________________________ ．解析：依题意知：若 k an k 1
sin A sin B sin C 3， cos A cos B cos C
则 B _________________________________________________ ．（培优教程一试三角函数最后一节的习题 8）解析：原式可化为： sin A 3 cos A sin B 3 cos B sin C 3 cos C 0 ， ∵ sin A
,99 ，现随机选取集合 M 中 9 个元素做成子集，记该子集中的
_________________________________________________ ．
8 解析：集合 M 中以正整数 k 1 k 99 为最小数的 9 元子集有 C99 k 个，
故 E 1
8 8 8 8 C98 C97 C96 C95 2 3 9 4 9 9 9 C99 C99 C99 C99
9 C9
10 C100 10 ． 9 C99
二、解答题（本大题共 4 个小题，共 70 分，需写出详细的解答过程） 11．（本小题满分 15 分）求证：不存在这样的函数 f : z 1, 2,3 满足对任意的整数
x, y ，若 x y 2,3,5 ，则 f x f y ．

2015 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

AB AC ， EF BC ，则 C B ____________.
【答】 60 .
E
作 EM BC 于点 M ， FN BC 于点 N ， FP EM 于点 P .
∵ E 、 F 分别为△ ABD 、△ ACD 的外心，∴ M 、 N 分别为 BD 、CD 的中
点.又 EF BC ，∴ PF MN 1 BC 1 EF ，∴ PEF 30 .
6. 设 n 是小于 100 的正整数且使 5n2 3n 5 是 15 的倍数，则符合条件的所有正整数 n 的和是（）
A.285. 【答】D.
B.350.
C.540.
D.635.
∵ 5n2 3n 5 是 15 的倍数，∴ 5 | (5n2 3n 5) ，∴ 5 | 3n ，∴ 5 | n ，设 n 5m （ m 是正整数），
∴符合条件的所有正整数 n 的和是（2＋8＋14＋…＋86＋92＋98）＋（4＋10＋16＋…＋82＋88＋94）
＝1634. 二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分） 1．题目和解答与（A）卷第 1 题相同. 2. 三边长均为整数且周长为 24 的三角形的个数为________. 【答】12.
C E
B
G
∴ GF 11， GE 10 ，∴ EF GE2 GF 2 221 .
4. 已知 O 为坐标原点，位于第一象限的点 A 在反比例函数 y 1 (x 0) 的图象上，位于第二象限的 x
点 B 在反比例函数 y 4 (x 0) 的图象上，且 OA OB ，则 tan ABO 的值为 x
同理可知： C 不小于 9, D 不小于 12, E 不小于 15, F 不小于 18.
因此，第三列所填 6 个数字之和 A ＋ B ＋ C ＋ D ＋ E + F 3 6 9 12 15 18 63.

全国大学生数学竞赛预赛试题(1-9届)

全国大学生数学竞赛预赛试题(1-9届)第三届全国大学生数学竞赛预赛试题一．计算下列各题（共3小题，每小题各5分，共15分）（1）.求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫⎪⎝⎭；（2）.求111lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭；（3）已知()2ln 1arctan ttx e y t e ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，求22d ydx。

二．（10分）求方程()()2410x y dx x y dy +-++-=的通解。

三．（15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且()()()'"0,0,0f f f 均不为0，证明：存在唯一一组实数123,,k k k ，使得()()()()1232230lim0h k f h k f h k f h f h→++-=。

四．（17分）设2221222:1x y z a b c∑++=，其中0a b c >>>，2222:z x y ∑=+，Γ为1∑与2∑的交线，求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。

五．（16分）已知S 是空间曲线2231x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分（0z ≥）取上侧，∏是S 在(),,Px y z 点处的切平面，(),,x y z ρ是原点到切平面∏的距离，,,λμν表示S的正法向的方向余弦。

计算：（1）(),,S zdS x y z ρ⎰⎰；（2）()3S z x y z dS λμν++⎰⎰六．（12分）设f(x)是在(),-∞+∞内的可微函数，且()()f x mf x <、，其中01m <<，任取实数0a ，定义()1ln ,1,2,...,n n a f a n -==证明：()11n n n a a ∞-=-∑绝对收敛。

七．（15分）是否存在区间[]0,2上的连续可微函数f(x)，满足()()021f f ==，()()201,1fx f x dx ≤≤⎰、？请说明理由。

2015全国高中数学联赛江苏预赛试题及答案

2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．） 1．已知点P (4，1)在函数f (x )＝log a (x －b ) (b ＞0)的图象上，则ab 的最大值是．解：由题意知，log a (4－b )＝1，即a ＋b ＝4，且a ＞0，a ≠1，b ＞0，从而ab ≤(a ＋b )24＝4，当a ＝b ＝2时，ab 的最大值是4．2．函数f (x )＝3sin(2x －π4)在x ＝43π24处的值是．解：2x －π4＝43π12－π4＝40π12＝10π3＝2π＋4π3，所以f (43π24)＝3sin 4π3＝－32．3．若不等式|ax ＋1|≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，则实数a 的值是．解：设函数f (x )＝|ax ＋1|，则f (－2)＝ f (1)＝3，故a ＝2．4．第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是．解：有两类情况：同为白球的概率是3×1025×25＝30625，同为红球的概率是7×625×25＝42625，所求的概率是72625．5．在平面直角坐标系xOy 中，设焦距为2c 的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与椭圆x 2b 2＋y 2c 2＝1有相同的离心率e ，则e 的值是．解：若c ＞b ，则c 2a 2＝c 2－b 2c 2，得a ＝b ，矛盾，因此c ＜b ，且有c 2a 2＝b 2－c 2b 2，解得e ＝－1＋52．6．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1交于E 点．记四棱锥E －ABCD 的体积为V 1，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V 2，则V 1V 2的值是．（第6题图） A 1解：记四棱锥B 1－ABCD 的体积为V ．如图，DE ＝23DB 1，从而V 1＝23V ．又V ＝13V 2，所以V 1V 2＝29．7．若实数集合A ＝{31x ，65y }与B ＝{5xy ，403}仅有一个公共元素，则集合A ∪B 中所有元素之积的值是．解：因为31x ×65y ＝5xy ×403＝2015xy ．若xy ≠0，则集合A 和集合B 中有一组相等，则另一组也必然相等，这不合题意．所以xy ＝0，从而A ∪B 中所有元素之积的值为0． 8．设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin α，cos α)．向量x 1，x 2，…，x 7中有3个为a ，其余为b ；向量y 1，y 2，…，y 7中有2个为a ，其余为b ．则7∑i =1x i y i 的可能取值中最小的为．解：因为a ·a ＝b ·b ＝1，a ·b ＝0，所以7∑i =1x i y i 的最小值为2．9．在3×3的幻方中填数，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等．如图，三个方格中的数分别为1，2，2015，则幻方中其余6个数之和为．解：如图，设幻方正中间的数为x ，则由题意知a ＝－2012，从而对角线上三个数的和为x －2011．因此b ＝x －2014，c ＝－4026，d ＝－2013，e ＝x ＋2014．由b ＋e ＋x ＝x －2011，解得x ＝－20112．这9个数的和为3×(－20112－2011)＝－180992，所以幻方中其余6个数之和为－180992－2018＝－221352．10．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是满足x ≥0，y ≥0，x ＋y ＋[x ]＋[y ]≤19的点(x ，y )形成的区域（其中[x ]是不超过x 的最大整数）．则区域D 中整点的个数为．解：区域D 中整点的个数为1＋2＋3＋…＋10＝55．（第9题图） 12 2015（第9题图）e c d ab1 2 2015x （第6题图）A 1二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．在等比数列{a n }中，a 2＝2，q 是公比．记S n 为{a n }的前n 项和，T n 为数列{a 2n }的前n 项和．若S 2n ＝2T n ，求q 的值．解：若q ＝1，则a n ＝a 2＝2，a 2n ＝4，则S 2n ＝4n ，T n ＝4n ，S 2n ≠2T n ．若q ＝－1，则a n ＝2×(－1)n ，a 2n ＝4，则S 2n ＝0，T n ＝4n ，S 2n ≠2T n ．……………………………… 5分若q ≠±1，则a n ＝2q n －2，a 2n ＝4q 2n －4，从而S 2n ＝2q ×(1－q 2n )1－q ，T n ＝4q 2×(1－q 2n )1－q 2． ……………………………… 15分由S 2n ＝2T n ，则4q (1＋q )＝1，q 2＋q －4＝0，解得q ＝－1±172．综上，q 的值为－1＋172和－1－172． ……………………………… 20分12．如图，△ABC 中，AB ＞AC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且BD ＝CE ．∠BAC 的外角平分线与△ADE 的外接圆交于A 、P 两点．求证：A 、P 、B 、C 四点共圆．证明：如图，连结PD ，PE ，PC ．因为四边形APDE 是圆内接四边形, 所以∠P AD ＝∠PED ，∠P AF ＝∠PDE ．又因为AP 是∠BAC 的外角平分线，所以∠P AD ＝∠P AF ，从而∠PED ＝∠PDE ，故PD ＝PE ． ……………………………… 10分又∠ADP ＝∠AEP ，所以∠BDP ＝∠CEP ．又因为BD ＝CE ，所以△BDP ≌△CEP ，从而∠PBD ＝∠PCE ，即∠PBA ＝∠PCA ，ABCDP(第12题图)EA BC DP (第12题图)EF所以A 、P 、B 、C 四点共圆． ……………………………… 10分13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆O 1、圆O 2都与直线l ：y ＝kx 及x 轴正半轴相切．若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为P (2，2)，求直线l 的方程．解：由题意，圆心O 1，O 2都在x 轴与直线l若直线l 的斜率k ＝tanα，设t ＝tan α2，则k ＝2t1－t 2．圆心O 1，O 2在直线y ＝tx 上，可设O 1(m ，mt )，O 2(n ，nt )．交点P (2，2)在第一象限，m ，n ，t ＞0． ……………………………… 4分所以⊙O 1：(x －m )2+(y －mt )2=(mt )2，⊙O 1：(x －n )2+(y －nt )2=(nt )2，所以⎩⎨⎧(2－m )2＋(2－mt )2＝(mt )2，(2－n )2＋(2－nt )2＝(nt )2，即⎩⎨⎧m 2－(4＋4t )m ＋8＝0，n 2－(4＋4t )n ＋8＝0，……………… 8分所以 m ，n 是方程X 2－(4+4t )X ＋8=0的两根，mn ＝8．由半径的积(mt )(nt )＝2，得t 2＝14，故t ＝12．……………………………… 16分所以 k ＝2t 1－t 2＝11－14＝43，直线l ：y ＝43x ． ……………………………… 20分14．将正十一边形的k 个顶点染红色，其余顶点染蓝色．（1）当k ＝2时，求顶点均为蓝色的等腰三角形的个数；（2）k 取何值时，三个顶点同色(同红色或同蓝色)的等腰三角形个数最少？并说明理由．解：（1）设正十一边形的顶点A 1，A 2，A 3，…，A 11，则易知其中任意三点为顶点的三角形都不是正三角形．以这些点为顶点的等腰三角形个数可以如此计算：以A i (i ＝1，2，3，…，11)为顶角顶点的等腰三角形有11－12＝5个，这些三角形均不是等边三角形，即当j ≠i 时，以A j 为顶角顶点的等腰三角形都不是上述等腰三角形．故所有的等腰三角形共有5×11＝55个． …………………… 5分当k ＝2时，设其中A m ，A n 染成红色，其余染成蓝色．以A m 为顶角顶点的等腰三角形有5个，以A m 为底角顶点的等腰三角形有10个；同时以A m ，A n 为顶点的等腰三角形有3个，这些等腰三角形的顶点不同色，且共有(5＋10)×2－3＝27个．注意到仅有这些等腰三角形的三个顶点不同蓝色，故所求三个顶点同为蓝色的等腰三角形有55－27＝28个． ………………………… 10分（2）若11个顶点中k 个染红色，其余11－k 个染蓝色．则这些顶点间连线段(边或对角线)中，两端点染红色的有k (k －1)2条，两端点染蓝色的有(11－k )(10－k )2条，两端点染一红一蓝的有k (11－k )条．并且每条连线段必属于且仅属于3个等腰三角形．把等腰三角形分4类：设其中三个顶点均为红色的等腰三角形有x 1个，三个顶点均为蓝色的等腰三角形有x 2个，两个顶点为红色一个顶点为蓝色的等腰三角形有x 3个，两个顶点为蓝色一个顶点为红色的等腰三角形有x 4个，则按顶点颜色计算连线段，3x 1＋x 3＝3×k (k －1)2， ①3x 2＋x 4＝3×(11－k )(10－k )2， ②2x 3＋2x 4＝3×k (11－k )， ③由①＋②得 3(x 1＋x 2)＋x 3＋x 4＝32[k (k －1)＋(11－k )(10－k )]，用③代入得 x 1＋x 2＝12[ k (k －1)＋(11－k )(10－k )－k (11－k )]＝12(3k 2－33k ＋110)．当k ＝5或6时，(x 1＋x 2)min ＝12(5×4＋6×5－5×6)＝10．即顶点同色的等腰三角形最少有10个，此时k ＝5或6．………… 20分。

2015年福建省高中数学竞赛暨2015年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷及参考答案

2015年福建省高中数学竞赛暨2015年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷及参考答案2015年福建省高中数学竞赛暨2015年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷（考试时间：2015年5月24日上午9：00—11: 30,满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。

请直接将答案写在题中的横线上）*JC +4I1 .设集合^ = J x∖—≤0,x∈Z ,从集合』中随机抽取一个元素，记W,则随机x-3 J '变量J的数学期望^ _____________________ 。

2 •已知∕fχ）= χ4g（jc）,其中g（x）是定义在R上，最小正周期为2的函数。

若/衣）在区间上的最大值为1 ,则幷）在区间［10,12）上的最大值为___________________ OJ L Z3 . ! ■、为椭圆：［∙I （—7 ）的左、右焦点，若椭圆「上存在一点/ ,使a b得门一宀；，则椭圆离心率J的取值范围为_______________ O4 •已知实数X, y, Z满足^ .,贝U - 2；- - 的最小值为_________________ o5•已知函数,数列-；•中，, ∙ n（―「「），则数列的前100项之和；O6 •如图，在四面体中二」，占畳1；L ］, "― L山—L∙L ,且川与平面二L所成角的余弦值为"。

则该四面体外接球半径H ______________________________________ O37•在复平面内，复数召、4、百的对应点分别为Z］、&&、。

若I=ISiM,OZ1［OZ^=0, I石4勺-® I二1,则I I的取值范围是 ________________________ o 8•已知函数恰有两个极值点［,［（H.）,则'.L的取值范围为__________________ O9•已知.;■!<- T ,若卜」Q —j — b I「「11 - + ij ,则：'■■；■ λ 的取值范围为_____________________ O亠兀2兀n兀 1 4兀 a ,亠10.若Sin Sin -∙ Sin tan ,则正整数lr:的最小值为。

2015年全国初中数学联赛试题及参考答案_第一试_

２２２ ∵ ａ＋ｂ＋ｃ＝３，ａ＋ｂ＋ｃ＝４，２２２２２２２４－ａ＋ｂｂ＋ｃｃ＋ａｃ ∴ ＋＋＝＋２－ｃ２－ａ２－ｂ２－ｃ２２ａｂ４－４－）＋＝（２＋ｃ＋（２＋ａ）＋（２＋ｂ）＝６２－ａ２－ｂ）＋（ａ＋ｂ＋ｃ＝９．
２依题意，有ｎ＝ｍ２＋ｂｍ＋ｃ＝（ｍ－８）＋
第二象限的点Ｂ在反比例函数ｙ＝－４（ｘ＜ｘ）的图像上，且Ｏ则ｔ０Ａ ⊥ＯＢ，ａｎ∠ＡＢＯ的值为（．）１２槡（Ａ）（Ｂ）２２（Ｃ）１答（Ａ）．（Ｄ）２
２
过点Ａ、Ｂ分别作ＡＣ ⊥ｘ轴，ＢＤ ⊥ｘ轴，，垂足为Ｃ、由Ｏ于Ｄ．Ａ ⊥ＯＢ得 ∠ＡＯＢ＝９０ ° 是可得 △ＡＯＣ∽△ＯＢＤ， ∴ ｔａｎ ∠ＡＢＯ＝
ＯＡ＝ＯＢ
槡
Ｓ△ＡＯＣ＝Ｓ△ＯＢＤ
１
矩形Ａ３．ＢＣＤ中，，ＡＤ＝５ＡＢ＝１０，Ｅ、Ｆ分别为矩形外的两点，
已知实数ｘ、５．ｙ满足关系式ｘｙ－ｘ－ｙ＝２２则ｘ＋１，．）ｙ的最小值为（（（Ａ）３－２槡２Ｂ）６－４槡２（Ｃ）１答（Ｂ）．，设ｘ＋则由题设条件可知ｘｔｙ＝ｙｙ＝ｘ＋（Ｄ）６＋４槡２
ｚｘｓｓ．ｃｂｔ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔｚｘｓｓｈｉｎａｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃｎ网址：电子邮箱：＠ｃｐｊ

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2015全国高中数学联赛安徽省初赛试卷（考试时间：2015年7月4日上午9:00—11:30）注意： 1．本试卷共12小题，满分150分； 2．请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；3．书写不要超过装订线； 4．不得使用计算器．一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分,请将答案填在答题卡的相应位置. 1..函数()|1||3|,x f x x x e x R -=++++∈的最小值是．2.设11111,,224n n n x x x n x ---==≥+,数列}{n x 的通项公式是=n x ．3.设平面向量,αβ 满足1||,||,||3αβαβ≤+≤ ,则αβ⋅的取值范围是4.设)(x f 是定义域为R 且最小正周期π2的奇函数,并且0)4()3(==f f ,则)(x f 在]10,0[中至少有个零点．5.设a 为实数,且关于x 的方程1)sin )(cos (=-+x a x a 有实根,则实数a 的取值范围是6.给定定点)1,0(P ,动点Q 满足线段PQ 的垂直平分线与抛物线2x y =相切,则动点Q 的轨迹方程是7.设z x yi =+为复数,其中,x y 是实数,i 是虚数单位,其满足z 的虚部和1z iz--的实部均非负,则满足条件的复平面上的点集(,)x y 所构成区域的面积是8.设n 是正整数,把男女乒乓球选手各n 3人配成男双、女双、混双各n 对,每位选手均不兼项,则配对方式总数是．二、解答题:本大题共4小题,共86分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 9(本小题满分20分)设正实数b a ,满足1=+b a ,求证:31122≥+++bb a a ．10(本小题满分22分)在如图所示的多面体ABCDEF 中,已知CF BE AD ,,都与平面ABC 垂直,设c CF b BE a AD ===，，,1===BC AC AB ．求四面体ABCE 与BDEF 公共部分的体积(用c b a ,,表示)．11(本小题满分22分)设平面四边形ABCD 的四边长分别为4个连续的正整数.证明：四边形ABCD 的面积的最大值不是整数。

12(本小题满分22分)已知31位学生参加了某次考试，考试共有10道题，每位学生解出了至少6道题．求证：存在两位学生，他们解出的题目中至少有5道相同．试题解答一、填空题（每题8分，共64分）1.当3x ≤-时,()24e ,x f x x -=--+()20x f x e -'=--<, 因此()f x 单调减；当31x -≤≤-时，()2e ,x f x -=+()e 0x f x -'=-<,此时)(x f 亦单调减；当1-≥x 时，()24x f x x e -=++，()2x f x e -'=-. 令()0f x '=得ln 2,x =- 因此)(x f 在ln 2x =-处取得最小值62ln 2-2.设cos ,sin u a x v a x =+=-．方程有实根⇔双曲线1=uv 与圆1)()(22=-+-a v a u 有公共交点. 注意到圆的圆心位于直线y x =之上,只须找到圆与双曲线相切时圆心的位置即可. 易计算得，圆与双曲线切于A(1,1)点时，圆心坐标为12-或12+.圆与双曲线切于(1,1)B --点时,圆心坐标为12--或12-+. 因此,实数a的取值范围为[11[1--+ ． 3.由4213111++=+--n n n x x x 和421221211++=+--n n n x x x ，可得2111133()212212n n n n n x x x x ---++==++．故222223232-----⋅-=n n n n n x ．4.222119917(||||||)222αβαβαβ--⋅=+--≥=- ．2219(||||)44αβαβαβ⋅=+--≤ ．以上等号均可取到．故αβ⋅的取值范围是179[,]24-．5.由题设可知()()()f x f x f x πππ+=-+=--.令0x =,得0=)(πf .另一方面，(24)(4)(4)0.f f f π-=-=-= 类似地，(23)0f π-= 因此，)(x f 在]10,0[中的零点一定包含34,3,32,44,2,4,32,,3,420-+---ππππππππ,这11个零点．6.设PQ 的垂直平分线l 与抛物线2x y =相切于),(2t t ，切向为(1,2)t . 则l 的方程为2)(2t t x t y +-=．设),(y x Q ,由PQ 与l 垂直且PQ 中点在l 上,可得22(1)01(1)2x t y y t x t +-=⎧⎪⎨+=-⎪⎩①②．由①解得yxt 22-=，代入②得Q 的轨迹方程为0)1)(1(2)12(22=-++-y y x y ，1[1,]2y ∈-．7.22(1)(1)(1)Re()Re()011(1)z i x y i x x y yz x yi x y -+----==≥----+等价于22111()()222x y -+-≤ 又由于0y ≥,故满足条件的点集构成了圆的一部分,计算得其面积为823+π．8.从3n 名男选手中选取2n 人作为男双选手有23nn C 种选法,把他们配成n 对男双选手有(2)!2!n n n 种配对方式.女选手类似.把n 个男选手和n 个女选手配成n 对混双有!n 种配对方式.因此,配对方式总数是223232!(3)!()!2(!)2nnn n n nn n C C n n =．二、解答题（第9题20分，第10━12题每题22分，共86分） 9.证明:【方法一:】对任意(0,1)a ∈,由均值不等式有14 4.a a +≥= ----------------------------------（5分）因此,a a a aa a a a a -=+-≥++-=+2441441222．------------（15分）同理,对于任意(0,1)b ∈2.b -因此，3221122=-+-≥+++b a bb a a ．---------------------（20分）也可以由244102a a a -+≥⇔≥-推得【方法二:】82223381119288a a a a a a --+=+++≥=⨯ 个413332a --⨯413332b --⨯4114333332()32a b ----≥⨯+≥⨯⨯1111363332()32()32a b ab ----+=⨯≥⨯=【方法三:】因为114a b ab =+≥≤所以22211a b a b =++++2()2a b a b ab ab +=+-++2()2a b a b ab ab +=+-++112ab ab =-++112ab ab =-++112ab ab =-++11129144≥-⨯++所以3≥【方法四:】94≥,方法同方法三的后面,再用均值不等式10.设,AE BD G BF CE H == ,则四面体BEGH 是ABCE 与BDEF 的公共部分．-----------------------------------------------------（5分）易计算得：G 到直线AB 的距离ba abd +=1，---------------------------------（10分） G 到平面BCFE 的距离a d d 2312=， ------------------------------------------（15分） H 到直线BC 的距离c b bc d +=3，23d b S BEH -=∆．----------------（20分）因此，23BEH BEGH S d V ∆==．---------------------（22分）11.不妨设ABCD 是凸四边形，其面积为S ．记DA d CD c BC b AB a ====，，，。

由2222211sin sin 222cos 2cos S ab B cd D AC a b ab B c d cd D=+=+-=+-，，可得2sin sin S ab B cd D =+，22221()cos cos 2a b c d ab B cd D +--=-，--------------（8分）两遍平方和得2222222214()()2cos()()4S ab cd abcd B D a b c d =+-+-+--2222221()()4ab cd a b c d ≤+-+--1()()()()4b c d a a c d b a b d c a b c d =++-++-++-++-．等号成立当且仅当π=+D B ，即D C B A ,,,四点共圆--------------------（16分）现根据假设d c b a ,,,为四个连续整数,1,2,3(1).n n n n n +++≥ 由此3)S =显然 2233 1.n n S n n +<<++ 因此，S 不是整数----------------------------------------------------(22分)12.证明：设S 是所有试题的集合,i S 是第i 位学生解出的试题的集合,i i S S T \=．题目即证存在j i ≠使得5≥j i S S ．--------------------------------（5分）不妨设i T S i i ∀==，，4 6．S 共有120310=C 个三元子集，每个i T 恰包含4个三元子集．因此，存在j i ≠使得j i T T ,包含相同的三元子集，3≥j i T T ．---（15分）从而，52≥+=-+=j i j i j i j i T T S S S S S S ．-----------------（22分）。