2012届高三一轮复习名师一号文科数学第十模块算法初步综合检测卷

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(完整word)2012届高三数学一轮复习综合试卷3

高考综合演练3、选择题（本大题共 12小题，每小题5分，共60分）1A . 21C.45.如图，若是长方体ABCD ABQQ 1被平面EFCH 截去几何体EFGHBQ 后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH// A 1 D 1 , 则下列结论中不正确的是（）-厂「\；A. EH//FGB. 四边形EFGH 是矩形> V F f | I1 •若集合 X (A) X 22X(B)，则A B 是X 2X (C) (D)yXy X Da 的图象，可能正确的是（D ）则a 1°丄3 n N a nA . 28B . 334.已知非零向量C.33D . 28|a|b ，若a +2b 与a -2b 互相垂直,1b 1等于(B )B . 2D . 46•二项式（’7x 3'2^°的展开式中所得的x 的多项式中，系数为有理数的项共有（）A 、4项B 5项C 、 6项D 7项7•将7个市三好学生名额分配给 5个不同的学校，其中甲、乙两校至少各有两个名额，则不同的分配方案种数有（）&某班有50名学生，在一次考试中，统计数学平均成绩为 70分，方差为102,后来发现2 80分却记为50分，乙实得60分却记为90分，更正后平均成绩5C .4W x33D .— 2 W x w 4 或 4 wx 212.已知随机变量2服从正态分布N(0,)若P( >2)=0.023，贝y P(-2 2(A)0.477 (B)0.628 (C)0.954 (D)0.977、填空题（本大题共 4个小题，每小题 4分，共16 分）Tn13.设｛an ｝是等比数列，公比q亠,sn 为｛an ｝的前n 项和•记A . 25B. 35C.60 D . 120名同学的成绩有误，甲实得和方差分别为A . 70, 90B . 70, 114 C. 65, 90D . 65, 114X9.曲线y x 2在点 1, 1处的切线方程为（ (A )y 2x 1(B )y 2x 1 (C ) y 2x 3(D ) y 2x 210.函数 f(x)2sin x cosx 是( )（A ）最小正周期为 2 n 的奇函数(B ) 最小正周期为2n 的偶函数（C ）最小正周期为n的奇函数 (D )最小正周期为n 的偶函数x11•设 232，且 1 sin 2x =5^x+cosx,则()A . 0 W x <n3B .--4 W x W17S n S 2n,nan 1N ・设Tn0)为数列｛Tn｝的最大项，则n°=14.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交点为 P ,PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形•若PF1 10，双曲线的离心率的取值范围为(1,2).则该椭圆的离心率的取值范围是15.已知程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是 ____________________ .16 .设极点与原点重合，极轴与X 轴正半轴重合.已知曲线C1的极坐标方程是：x 2 2coscos( ) m3，曲线C2参数方程为：y 2sin (9为参数)，若两曲线有公共点，则实数 m 的取值范围是三、解答题(本大题共6个小题，总分74分)u _ r 亿若向量 m W 3sin X,0)n (cos X, sin x)(0)，在函数b UT r一 X [0 — ]时 f (X )f(x) m (m n) t 的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为4 '且当 '3 '的最大值为1。

2012届高考数学一轮复习测试题及答案(一)

第一章集合与简易逻辑课时训练1集合的概念与运算【说明】本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）1.(2010四川成都模拟，1)已知集合A={x||x2-4|≤1,x∈Z},则集合A的真子集个数为（）A.2个B.1个C.4个D.3个答案：D解析：A={x|3≤x2≤5,x∈Z}={2,-2},故A的真子集个数为22-1=3. 2.(2010江苏苏州一模，1)设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，集合B={2，3，4}，则A∩B等于（）A.{1}B.{0，1}C.{0，1，2，3}D.{0，1，2，3，4}答案：A解析：B={0，1}，A∩（B）={1}.3.(2010河南新乡一模，1)已知M={y|y=x2},N={y|x2+y2=2},则M∩N 等于（）A.{（1，1），（-1，1）}B.{1}C.［0，1］D.［0，2］答案：D解析：∵M=［0，+∞］，N=［-2，2］，∴M∩N=［0，2］.4.给定集合A、B，定义一种新运算：A*B={x|x∈A或x∈B,但x∉A ∩B},又已知A={0，1，2}，B={1，2，3}，则A*B等于（）A.{0}B.{3}C.{0，3}D.{0，1，2，3}答案：C解析：依题意x∈A∪B,但x∉A∩B,而A∪B={0，1，2，3}，A∩B={1，2}故A*B={0，3}.5.设M={0，1}，N={11-a,lga,2a,a},若M∩N={1}，则a值（）A.存在，且有两个值B.存在，但只有一个值C.不存在D.无法确定答案：C解析：若11-a=1,则a=10,lga=1,与集合元素互异性矛盾，同理知lga≠1;若2a=1,则a=0,此时lga无意义；若a=1,则lga=0,此时M∩N={0，1}.故不存在这样的a值.6.设集合M={x|x-m<0},N={y|y=a x-1,a>0且a≠1,x∈R},若M∩N=∅，则m的范围是（）A.m≥-1B.m>-1C.m≤-1D.m<-1答案：C解析：M={x|x<m},N={y|y>-1}，又M∩N=∅，则m≤-1.7.已知向量的集合M={a|a=λ1(1,0)+(1+λ12)(0,1)，λ1∈R},N={a|a=(1,6)+λ2(2,4)，λ2∈R},则M∩N等于（）A.{（-1，2）}B.{（-1，2），（3，10）}C.∅D.{(1,2),(-1,2)}答案：B解析：M={a |a =(λ1,λ12+1),λ1∈R }，N={a |a =(1+2λ2,6+4λ2),λ2∈R },设a ∈M ∩N,则⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧+=++=.1,11,3,461,21212122121λλλλλλλλ或即故a =（3，10）或（-1，2）.二、填空题（每小题5分，共15分）8.下列各式：①2006⊆{x|x ≤2007};②2007∈{x|x ≤2007};③{2007}{x|x ≤2007};④∅∈{x|x<2007},其中正确的是____________. 答案：②③解析：①应为2006∈{x|x ≤2007};④应为∅{x|x<2007}.9.设全集U={x|0<x<6,x ∈N },A={x|x 2-5x+q=0},B={x|x 2+px+12=0},(A)∪B={1,3,4,5},则集合A=_____________B=_______________. 答案：{2，3}{3，4}解析：U={1，2，3，4，5}，由2∉{1,3,4,5}知2∈A ，∴22-5×2+q=0即q=6.∴A={2,3},A={1,4,5},故3∈B ，∴p=-7,B={3,4}.10.已知集合A={-1，2}，B={x|mx+1=0},若A ∩B=B ，则所有实数m 的值组成的集合是_______.答案：{0，1，-21}解析：A ∩B=B ⇒B ⊆A,故B 为∅或{-1}或{2}.当B=∅时，m=0;当B={-1}时，m=1;当B={2}时，m=-21.三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）11.(2010浙江杭州二中模拟，15)已知集合A={x|x 2-3x+2=0},集合B={x|x 2-ax+a-1=0},若A ∪B=A ，求实数a 的值.解析：A={x|x 2-3x+2=0}={1,2}，A ∪B=A ⇒B ⊆A ；B={x|x 2-ax+a-1=0}={x|(x-1)(x-a+1)=0}；则有a-1=2⇒a=3或a-1=1⇒a=2.故实数a 的值为2或3.12.设函数f(x)=log 2(2x-3)的定义域为集合M ，函数g(x)=)1)(3(--x x 的定义域为集合N.（1）求集合M 、N ；（2）求集合M ∩N ，M ∪N ，（N ）∩M.解析：(1)由2x-3>0得x>23,故M={x|x>23},由（x-3）(x-1)>0得x<1或x>3,故N={x|x<1或x>3}.(2)M ∩N={x|x>3}，M ∪N={x|x<1或x>23}. ∵N={x|1≤x ≤3},∴(N)∩M={x|23<x ≤3}.13.已知集合A={x|x 2-6x+8<0},B={x|(x-a)(x-3a)<0}.(1)若A B,求a 的取值范围；（2）若A ∩B=∅,求a 的取值范围；(3)若A ∩B={x|3<x<4},求a 的取值范围.解析：A={x|2<x<4},当a>0时，B={x|a<x<3a};当a=0时，B=∅;当a<0时，B={x|3a<x<a}.(1)若A B ，则a>0且⎩⎨⎧≥≤,43,2a a 即34≤a ≤2.(2)若A ∩B=∅，则a ≤0满足;当a>0时，则3a ≤2或a ≥4.∴a 的取值范围为a ≤32或a ≥4.(3)若A ∩B={x|3<x<4}，当a>0时,则a>3；当a ≤0时不满足.∴a 的取值范围是a>3.14.已知集合A 的元素全为实数，且满足：若a ∈A ，则a a -+11∈A. (1)若a=2,求出A 中其他所有元素.（2）0是不是集合A 中的元素？请你设计一个实数a ∈A,再求出A 中的所有元素.（3）根据（1）（2），你能得出什么结论？请证明你的猜想（给出一条即可）.解析：（1）由2∈A,得2121-+=-3∈A. 又由-3∈A ，得21)3(1)3(1-=---+∈A. 再由-21∈A ，得31)21(1)21(1=---+∈A.而31∈A 时，311311-+=2∈A. 故A 中元素为2，-3，-21，31. （2）0不是A 的元素.若0∈A ，则0101-+=1∈A ，而当1∈A 时，aa -+11不存在，故0不是A 的元素.取a=3,可得A={3,-2,-21,31}. (3)猜想：①A 中没有元素-1，0，1；②A 中有4个元素，且每两个互为负倒数.证明：①由上题，0、1∉A ，若0∈A ，则由a a -+11=0,得a=-1. 而当aa -+11=-1时，a 不存在，故-1∉A,A 中不可能有元素-1，0，1. ②设a 1∈A,则a 1∈A ⇒a 2=1111a a -+∈A ⇒a 3=2211a a -+=-11a ∈A ⇒a 4=3311a a -+=1111+-a a ∈A ⇒a 5=4411a a -+=a 1∈A. 又由集合元素的互异性知，A 中最多只有4个元素：a 1,a 2,a 3,a 4,且a 1a 3=-1,a 2a 4=-1,显然a 1≠a 3,a 2≠a 4.若a 1=a 2,即a 1=1111a a -+，得a 12+1=0, 此方程无解；同理，若a 1=a 4,即a 1=1111a a +-,此方程也无实数解. 故a 1≠a 2,a 1≠a 4.∴A 中有4个元素.。

2012届高考数学一轮复习集合课时作业文1 北师大版

2012届高考（文科）数学一轮复习课时作业1 集合一、选择题1．（2011年江西高考文2）若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===,则集合{5,6}等于（）A.M N ⋃B.M N ⋂C.()()U U C M C N ⋃D.()()U U C M C N ⋂解析：{}4,3,2,1=⋃N M ,Φ=⋂N M ,()(){}6,5,4,3,2,1=⋃N C M C U U ， ()(){}6,5=⋂N C M C U U答案：D2．(2010年湖北高考)设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x}，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：在同一坐标系中，作出集合A 、B 所表示的图形，运用图形知A ∩B 含两个元素，共有子集的个数是22＝4，故选A.答案：A3．[2011·北京卷] 已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：由P ∪M ＝P ，可知M ⊆P ，而集合P ＝{x |－1≤x ≤1}，所以－1≤a ≤1，故选C. 答案：C4．(2011年荆州质检Ⅱ)设全集U ＝A ∪B ，定义：A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，集合A ，B 分别用圆表示，则下列图中阴影部分表示A －B 的是( )答案：C5．(2011年湖南省长沙市一中高三年级月考卷(二))已知集合M ＝{x |0<x <3}，N ＝{x |－2<x <2}，则集合(∁R M )∩N ＝( )A ．(0,2)B ．(－2,0]C．(2,3] D．(－2,3)解析：M＝(0,3)，N＝(－2,2)，所以(C R M)∩N＝(－2,0]故选B.答案：B6．满足条件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：满足条件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M为{2,3}，{1,2,3}，共两个．答案：B二、填空题7．集合M＝{x|y＝2－x2}，集合N＝{y|y＝x2－1，x∈R}，则M∩N等于________．解析：由M＝{x|y＝2－x2}＝{x|2－x2≥0}＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|y＝x2－1，x∈R}＝{y|y≥－1}，得M∩N＝{y|－1≤y≤2}．答案：{y|－1≤y≤2}8．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B ＝________.解析：A、B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．但本题要注意列举法的规范书写．答案：{(0,1)，(－1,2)}9．设全集U＝A∪B＝{x∈N＋|lg x<1}，若A∩(∁U B)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝________.解析：A∪B＝{x∈N＋|lg x<1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩(∁U B)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}＝{1,3,5,7,9}，∴B＝{2,4,6,8}．答案：{2,4,6,8}三、解答题10．已知全集为R，集合M＝{x||x|<2，x∈R}，P＝{x|x≥a}，并且M∁R P，求a的取值范围．解：M＝{x||x|<2}＝{x|－2<x<2}，∁R P＝{x|x<a}．∵M∁R P，∴由数轴知a≥2.11．已知集合A＝{x|x2＋x－2≤0}，B＝{x|2<x＋1≤4}，设集合C＝{x|x2＋bx＋c>0}，且满足(A∪B)∩C＝Ø，(A∪B)∪C＝R，求b，c的值．解：∵A＝{x|(x－1)(x＋2)≤0}＝{x|－2≤x≤1}，B＝{x|1<x≤3}，∴A ∪B ＝{x |－2≤x ≤3}． ∵(A ∪B )∩C ＝Ø，(A ∪B )∪C ＝R ， ∴全集U ＝R .∴C ＝{x |x <－2或x >3}．∵C ＝{x |x 2＋bx ＋c >0}，∴x 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x <－2或x >3}，即方程x 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为x 1＝－2和x 2＝3，由一元二次方程根与系数的关系，得b ＝－(－2＋3)＝－1，c ＝(－2)×3＝－6.12．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2m ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }． (1)若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值； (2)若A ∩B ＝{x |0≤x ≤3}，求实数m 的值； (3)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |[x －(m －2)][x －(m ＋2)]≤0，x ∈R ，m ∈R }＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}(1)∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，如图有：⎩⎪⎨⎪⎧m －2≥－1m ＋2≤3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥1m ≤1，∴m ＝1.(2)∵A ∩B ＝{x |0≤x ≤3}∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0m ＋2≥3，∴m ＝2.(3)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}． ∵A ⊆∁R B ∴m －2>3或m ＋2<－1， ∴m >5或m <－3.。

2012届高三一轮复习名师一号文科数学第一模块集合与常用逻辑用语综合检测

第一模块集合与常用逻辑用语综合检测(时间120分钟,满分150分)一､选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列命题中,正确的是( )A.存在一个实数,使-2x2+x-4=0B.所有的质数都是奇数C.在同一平面中斜率相等且不重合的两条直线都平行D.对数函数在定义域上是单调增函数答案:C2.“m>0>n”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A3.已知集合A={x|x2-3x<0},B={x||x|<1},则A∪B=( )A.(-1,1)B.(0,1)C.(1,3)D.(-1,3)答案:D4.“a=1”是“函数y=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案:B5.已知命题p:|x-1|≥2,命题q:x∈Z,如果“p且q”与“非q”同时为假命题,则满足条件的x为( )A.{x|x≥3或x≤-1,x∉Z}B.{x|-1≤x≤3,x∉Z}C.{-1,0,1,2,3}D.{0,1,2}解析:由题意知p假q真,由p假可知|x-1|<2,-1<x<3,由q真知x∈Z,∴x=0,1,2,故选D.答案:D6.已知集合I=R,集合M={x|x2-x<0},集合N={x|1x≤1}.则下列关系正确的是( )A.M ∁I NB.M ∁I NC.M=∁I ND.∁I M∪N=R 解析:∵M={x|0<x<1},N=11xx⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤=1xxx-⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤={x|x<0或x≥1},∴∁I N={x|0≤x<1},故选A. 答案:A7.已知函数f(x)=2(1)(1)log x x x c x ⎧⎨+<⎩≤,则“c=-1”是函数f(x)在R 上递增的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当c=-1时,f(x)在(-∞,1)､[1,+∞)上分别是增函数,且log 21=0,则f(x)在R 上是增函数,反之,当f(x)在R 上是增函数,只须1+c≤0,而c≤-1,∴“c=-1”是“函数f(x)在R 上递增”的充分不必要条件.答案:A8.P={α|α=(-1,1)+m(1,2),m∈R },Q={β|β=(1,-2)+n(2,3),n∈R }是两个向量集合,则P∩Q 等于( )A.{(1,-2)}B.{(-13,-23)}C.{(1,2)}D.{(-23,-13)}解析:先化简,α=(m-1,2m+1),β=(2n+1,3n-2).依题意,α=β.得121,2132,m n m n -=+⎧⎨+=-⎩解得n=-7,m=-12.∴α=β=(-13,-23),故选B.答案:B9.给出下列四个命题:①点(a,b)关于直线y=1的对称点的坐标是(a,2-b);②与坐标轴距离相等的点的轨迹方程是x+y=0;③直线Ax+By=0与圆x 2+y 2+Ax+By=0相切;④直线y=xtan α+b 的倾斜角一定是角α.其中正确命题的是( )A.①②B.③④C.①③D.②④解析:与坐标轴距离相等的点的轨迹方程为y=±x,故②不正确;直线y=xtan α+b,当α∉(0,π)时,不是直线的倾斜角,故④不正确.故选C.答案:C10.对任意x∈R ,kx 2-kx-1<0是真命题,则实数k 的最大取值范围为( )A.-4≤k≤0B.-4≤k<0C.-4<k≤0D.-4<k<0解析:当k=0时,kx 2-kx-1=-1<0, 当k≠0时,2040,k K k <⎧⎨+<⎩得-4<k<0, ∴-4<k≤0,故选C.答案:C二､填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上.11.已知P={x|2≤x≤6},Q={x|a≤x≤a+1},若Q ⊆P,则a 的取值范围是________.解析:由题意知,216a a ⎧⎨+⎩≥≤,∴2≤a≤5. 答案:{a|2≤a≤5}12.命题p:对任意x∈R ,x 2-x+14<0,命题q:存在x∈R ,sinx=sin2x,则命题“p 且q”、“p 或q”、“¬p”、“¬q”中真命题有________个.解析:∵x 2-x+14=212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥0, ∴命题p 为假命题.∵当x=0时,sinx=sin2x,∴命题q 为真命题.故p 且q 为假,p 或q 为真,¬p 为真,¬q 为假.答案:2 13.命题:“对任意x∈13110,,32xlog x ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”的否定是____________________. 答案:存在x∈10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭,1312xlog x ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥ 14.设命题p:点(2x+3-x 2,x-2)在第四象限,命题q:x 2-(3a+6)x+2a 2+6a<0,若¬p 是¬q 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是________. 解析:命题p:223020x x x ⎧+->⎨-<⎩,∴-1<x<2.命题q:x 2-(3a+6)x+2a 2+6a<0,即(x-a)(x-2a-6)<0,当a<-6,q:2a+6<x<a,当a>-6,q:a<x<2a+6. 由题可知¬p ⇐¬q,∴p ⇒q,∴62612a a a <-⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≥或61262a a a >-⎧⎪-⎨⎪+⎩≤≥解得-2≤a≤-1.经检验a=-1和a=-2时,符合条件. 答案:[-2,-1]15.“a=18”是“对任意的正数x,2x+ax≥1”的________条件.解析:对任意正数x,2x+ax≥1,即2x2+a≥x,即2x2-x+a≥0恒成立,∴2214x⎛⎫-⎪⎝⎭≥18-a恒成立,∴18-a≤0,a≥18,故“a=18”是它的充分不必要条件.答案:充分不必要三､解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.16.已知全集U=R,A={x|x2-2x>0},B=322xxx+⎧⎫⎨⎬-⎩⎭≥,求:(1)A∩B;(2)(∁U A)∩(∁U B). 解:(1)A={x|x<0或x>2},由32xx+-≥2得72xx--≤0,即2<x≤7,∴B={x|2<x≤7},∴A∩B={x|2<x≤7}.(2)∁U A={x|0≤x≤2},∁U B={x|x≤2或x>7},(∁U A)∩(∁U B)={x|0≤x≤2}.17.(2011•福建模拟)已知p:x2-3x-4<0,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若¬p是¬q的充分而不必要条件,求实数m的取值范围.解:由x2-3x-4<0,得-1<x<4,∴¬p:x≤-1或x≥4.由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m,∴¬q:x<1-m或x>1+m.∵¬p是¬q的充分不必要条件,∴1141mm--⎧⎨+⎩≤≥,∴0<m≤2.经检验m=2时¬p是¬q的充分不必要条件. 故实数m的取值范围为0<m≤2.18.已知A={x|2x2-ax+b=0},B={x|bx2+(a+2)x+5+b=0},且A∩B=12⎧⎫⎨⎬⎩⎭,求A∪B.解:∵A∩B=12⎧⎫⎨⎬⎩⎭,∴12为方程2x2-ax+b=0及bx2+(a+2)x+5+b=0的公共根,∴2211202211(2)5022a bb a b⎧⎛⎫⨯-⨯+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⨯++⨯++=⎪⎪⎝⎭⎩解得439269ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.∴A=2432612620,9929x x x ⎧⎫⎧⎫+-==-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭, B=22625191190,999213x x x ⎧⎫⎧⎫--+==-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭. ∴A∪B=11926,,2139⎧⎫--⎨⎬⎩⎭. 19.已知c>0,设命题p:函数y=c x 为减函数.命题q:当x∈1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,函数f(x)=x+11x c >恒成立.如果p 或q 为真命题,p 且q 为假命题.求c 的取值范围.解:由命题p 知0<c<1｡由命题q 知2≤x+1x ≤52, 要使此式恒成立,则2>1c ,即c>12, 又由p 或q 为真,p 且q 为假知,p 、q 必有一真一假,当p 为真,q 为假时,c 的取值范围为0<c≤12, 当p 为假,q 为真时,c 的取值范围为c≥1,综上知,c 的取值范围为{c|0<c≤12或c≥1}. 20.已知三个集合A=10mx x x -⎧⎫<⎨⎬⎩⎭,B={x|x 2-3x-4≤0},C={x|12log x>1};三个命题p:实数m 为小于6的正整数,q:A 是B 成立的充分不必要条件,r:A 是C 成立的必要不充分条件.已知三个命题p 、q 、r 都是真命题,求实数m 的值.解:∵命题p 是真命题,即0<m<6,m∈N* ①∵A=11|0|0mx x x x x m -⎧⎫⎧⎫<=<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭, B={x|x 2-3x-4≤0}={x|-1≤x≤4}, C={x|12log x>1}=102x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭, 又∵命题q 、r 都是真命题, ∴14112m m ⎧⎪⎪⎨⎪>⎪⎩≤,②由①②得m=1. 21.已知函数f(x)=4sin 2(4πcos2x-1,且满足条件p:“4π≤x≤2π”. (1)求f(x)的最大值和最小值;(2)若又给条件q:“|f(x)-m|<2”,且p 是q 的充分条件,求实数m 的取值范围. 解:(1)∵f(x)=2[1-cos(2πcos2x-1214(2)13x sin x π+=-+, ∵4π≤x≤2π, ∴6π≤2x -3π≤23π, ∴2≤4sin(2x -3π)≤4, ∴3≤f(x)≤5.即f(x)的最大值为5,最小值为3.(2)∵|f(x)-m|<2,∴m-2<f(x)<m+2,又p是q的充分条件,∴2325mm-<⎧⎨+>⎩,解得3<m<5,即m的取值范围是(3,5).。

2012年高考总复习一轮《名师一号-数学》第3章检测题

第三章数列名师检测题时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．数列1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1,2，…，其相邻的两个1被2隔开，第n 对1之间有n 个2，则该数列的前1234项的和为( )A ．2450B ．2419C ．4919D ．1234解析：将数列1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1，…进行分组：第1组：1,2，第2组：1,2,2，第3组：1,2,2,2， …第n 组：∴前n 组一共有(2＋n ＋1)n 2＝n (n ＋3)2项．当n ＝48时，有48×512＝1224项；当n ＝49时，有49×522＝1274项，即前1234项可以排满前48组，在第49组只能排前10项．故前1234项中含49个1，其余的均为2，故该数列前1234项的和为49×1＋(1234－49)×2＝2419，故选B. 答案：B2．数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 2，则a n ＝( )A.13·2n －1 B.12·3n －1 C.12n D.n 3n 解析：令n ＝1，得a 1＝12，排除A 、D ；再令n ＝2，得a 2＝16，排除C ，故选B.答案：B3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1，n ∈N *)，第k 项满足750<a k <900，则k 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：依题意，由a n ＋1＝3S n 及a n ＝3S n －1，两式相减得a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)＝3a n ，即a n ＋1＝4a n (n ≥2)，a 2＝3，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝13×4n －2n ≥2，将a k 代入不等式750<3×4k －2<900验证，知k ＝6.答案：C4．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝( )A.212 B ．6 C ．10D ．11解析：依题意得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2＝12，则a n ＋2＝a n ，即数列{a n }中的奇数项、偶数项分别相等，则a 21＝a 1＝1.S 21＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＋a 21＝10(a 1＋a 2)＋a 21＝10×12＋1＝6，选B.答案：B5．数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当n ∈N *时，a n ＋2等于a n a n ＋1的个位数，若数列{a n }的前k 项和为243，则k ＝( )A ．61B ．62C ．63D ．64解析：依题意得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝2，a 4＝4，a 5＝8，a 6＝2，a 7＝6，a 8＝2，a 9＝2，a 10＝4，a 11＝8，a 12＝2，a 13＝6，…，数列{a n }除第一项外，其余的项形成以6为周期的数列，且从a 2到a 7这六项的和等于24，注意到243＝1＋24×10＋2，因此k ＝1＋6×10＋1＝62，选B.答案：B6．把正整数排列成三角形数阵(如图甲)，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到新的三角形数阵(如图乙)，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a n }，则a 2010＝( )A ．3955B ．3957C ．3959D ．3961解析：注意到图乙中，第n 行有n 个数，且第n 行的最后一个数是n 2，又62×632<2010<63×642，因此a 2010位于图乙中第63行中的第57个数，第63行的最后一个数是632＝3969，且第63行的数自左向右依次形成公差为2的等差数列，于是a 2010＋(63－57)×2＝3969，a 2010＝3957.答案：B7．若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( ) A ．公差为3的等差数列 B ．公差为4的等差数列 C ．公差为6的等差数列 D ．公差为9的等差数列解析：设{a n }的公差为d ，则d ＝1，设c n ＝a 2n －1＋2a 2n ，则c n ＋1＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2，c n ＋1－c n ＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2－a 2n －1－2a 2n ＝6d ＝6，选择C.答案：C8．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝158，a 2a 3＝－89，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＝( )A.53 B.35 C ．－53D ．－35解析：依题意，设公比为q ，则q ≠1，因此⎩⎨⎧a 1(1－q 4)1－q ＝158①a12q 3＝－98②，又1a 1，1a 2，1a 3，1a 4构成以1a 1为首项，以1q 为公比的等比数列，所以1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＝1a 1[1－⎝⎛⎭⎫1q 4]1－1q ＝(1－q 4)a 1q 3(1－q )，①÷②得(1－q 4)a 1q 3(1－q )＝－53，即1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＝－53，选择C.答案：C9．设{a n }是等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，对任意正整数n ，有a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0，又a 1＝2，则S 101＝( )A ．200B ．2C ．－2D ．0解析：设等比数列{a n }的公比为q ，因为对任意正整数，有a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0，a n ＋2a n q＋a n q 2＝0，因为a n ≠0，所以1＋2q ＋q 2＝0，q ＝－1，S 101＝2×(1＋1)1＋1＝2，选择B.答案：B10．已知a n ＝sin n π6＋162＋sinn π6(n ∈N *)，则数列{a n }的最小值为( ) A ．6 B ．7 C ．8D.193解析：令t ＝2＋sin n π6(1≤t ≤3)，则a n ＝f (t )＝t ＋16t －2，f ′(t )＝1－16t 2<0，∴f (t )在其定义域上单调递减，∴当t ＝3，即sin n π6＝1时，a n 取得最小值193，故选D.答案：D11．数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2)，则a 2008＝( )A.13 B.35 C.20092008D.40114009解析：由a n ＝2－1a n －1(n ≥2)得，a n －1＝1－1a n －1＝a n －1－1a n －1，即1a n －1＝a n －1a n －1－1＝1＋1a n －1－1，∴数列{1a n －1}是首项为1a 1－1＝－52，公差为1的等差数列．故1a n －1＝－52＋n －1＝n －72，∴a n ＝2n －52n －7，∴a 2008＝40114009.故选D.答案：D12．数列{a n }满足a 1＝32，a n ＋1＝a n 2－a n ＋1(n ∈N *)，则m ＝1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2009的整数部分是( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：依题意得a 1＝32，a 2＝74，a 3＝3716>2，a n ＋1－a n ＝(a n －1)2>0，数列{a n }是递增数列，∴a 2010>a 3>2，∴a 2010－1>1，∴1<2－1a 2010－1<2.由a n ＋1＝a n 2－a n ＋1得1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1，故1a 1＋1a 2＋…＋1a 2009＝⎝⎛⎭⎫1a 1－1－1a 2－1＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1－1a 3－1＋…＋⎝⎛⎭⎫1a 2009－1－1a 2010－1＝1a 1－1－1a 2010－1＝2－1a 2010－1∈(1,2)，因此选C.答案：C第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上．) 13．已知数列{a n }的第一项都是非负实数，且对任意m ，n ∈N *有a m ＋n －a m －a n ＝0或a m ＋n －a m －a n ＝1.又知a 2＝0，a 3>0，a 99＝33.则a 3＝________，a 10＝________.解析：a 2＝a 1＋a 1或a 2＝a 1＋a 1＋1，由a 2＝0，得a 1＝0，或a 1＝－12(不符合题意，舍去)，a 3＝a 1＋a 2或a 3＝a 1＋a 2＋1，由a 1＝a 2＝0，a 3>0，得a 3＝1(a 3＝0舍去)；由条件a m ＋n ＝a m ＋a n 或a m ＋n ＝a m ＋a n ＋1，可知a n ∈N ，a 100＝a 99＋a 1或a 100＝a 99＋a 1＋1，∵a 99＝33，∴a 100＝33或34.又∵a m ＋n ≥a m ＋a n ，∴a 100≥10a 10，∴a 10≤3.3或a 10≤3.4；而a 9≥3a 3＝3，a 10≥a 9≥3，所以a 10＝3.答案：1 314．考虑以下数列{a n }，n ∈N *：①a n ＝n 2＋n ＋1；②a n ＝2n ＋1；③a n ＝ln nn ＋1.其中满足性质“对任意的正整数n ，a n ＋2＋a n2≤a n ＋1都成立”的数列有________(写出所有满足条件的序号)；若数列{a n }满足上述性质，且a 1＝1，a 20＝58，则a 10的最小值为________．解析：对于①，a 1＝3，a 2＝7，a 3＝13，a 1＋a 32>a 2，因此{a n }不满足“对任意的正整数n ，a n ＋2＋a n 2≤a n ＋1都成立”．对于②，易知数列{a n }是等差数列，故有a n ＋2＋a n 2＝a n ＋1，因此{a n }满足“对任意的正整数n ，a n ＋2＋a n 2≤a n ＋1都成立”．对于③，a n ＋2＋a n ＝ln n (n ＋2)(n ＋3)(n ＋1)，2a n ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋22，n (n ＋2)(n ＋3)(n ＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋22＝n (n ＋2)3－(n ＋3)(n ＋1)3(n ＋3)(n ＋1)(n ＋2)2＝－2n －3(n ＋3)(n ＋1)(n ＋2)2<0，即有a n ＋2＋a n 2<a n ＋1，因此{a n }满足“对任意的正整数n ，a n ＋2＋a n2≤a n ＋1都成立”．综上所述，满足性质“对任意的正整数n ，a n ＋2＋a n2≤a n ＋1都成立”的数列为②③.对于满足上述性质的数列{a n }，令d n ＝a n ＋1－a n .由a n ＋2＋a n2≤a n ＋1得a n ＋1－a n ≥a n ＋2－a n ＋1，即d n ≥d n ＋1.又a 10＝a 1＋d 1＋d 2＋…＋d 9≥a 1＋9d 9，a 10＝a 20－(d 19＋d 18＋…＋d 10)≥a 20－10d 10，即a 10－a 19≥d 9，a 10－a 2010≥－d 10，所以a 10－a 19＋a 10－a 2010≥d 9－d 10≥0，即a 10－19＋a 10－5810≥0，由此解得a 10≥28，即a 10的最小值为28.答案：②③ 2815．设{a n }是等比数列，公比q ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．记T n ＝17S n －S 2n a n ＋1，n ∈N *.设Tn 0为数列{T n }的最大项，则n 0＝________.解析：根据等比数列的通项公式S n ＝a 1(1－q n )1－q ，故T n ＝17×a 1(1－q n )1－q －a 1(1－q 2n )1－q a 1q n ＝q 2n －17q n ＋16(1－q )q n＝11－q (q n ＋16q n －17)，令q n ＝(2)n ＝t ，则函数g (t )＝t ＋16t ，当t ＝4时函数g (t )取得最小值，此时n ＝4，而11－q ＝11－2<0，故此时T n 最大，所以n 0＝4. 答案：416．若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为“调和数列”．已知数列{1x n}为“调和数列”，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 3x 18的最大值是________．解析：因为数列{1x n}为“调和数列”，所以x n ＋1－x n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，即数列{x n }为等差数列，由x 1＋x 2＋…＋x 20＝200得20(x 1＋x 20)2＝20(x 3＋x 18)2＝200，即x 3＋x 18＝20，易知x 3、x 18都为正数时，x 3x 18取得最大值，所以x 3x 18≤⎝⎛⎭⎫x 3＋x 1822＝100，即x 3x 18的最大值为100.答案：100三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝12na n ＋a n －c (c 是常数，n ∈N *)，a 2＝6.(1)求c 的值及{a n }的通项公式； (2)证明：1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<18. 解析：(1)因为S n ＝12na n ＋a n －c ，所以当n ＝1时，S 1＝12a 1＋a 1－c ，解得a 1＝2c ，当n ＝2时，S 2＝a 2＋a 2－c ，即a 1＋a 2＝2a 2－c ，解得a 2＝3c ，所以3c ＝6，解得c ＝2；则a 1＝4，数列{a n }的公差d ＝a 2－a 1＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋2. (2)证明：因为1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝14×6＋16×8＋…＋1(2n ＋2)(2n ＋4)＝12⎝⎛⎭⎫14－16＋12⎝⎛⎭⎫16－18＋…＋12⎝⎛⎭⎫12n ＋2－12n ＋4＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14－16＋⎝⎛⎭⎫16－18＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＋2－12n ＋4 ＝12⎝⎛⎭⎫14－12n ＋4＝18－14(n ＋2).因为n ∈N *，所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<18.18．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n . (1)设b n ＝a n2n －1，证明：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)证明：由已知a n ＋1＝2a n ＋2n 得 b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n2n －1＋1＝b n ＋1.又b 1＝a 1＝1，因此{b n }是首项为1，公差为1的等差数列． (2)由(1)知a n 2n －1 ＝n ，即a n ＝n ·2n －1.S n ＝1＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1，两边乘以2得，2S n ＝2＋2×22＋…＋n ×2n . 两式相减得S n ＝－1－21－22－…－2n －1＋n ·2n＝－(2n －1)＋n ·2n ＝(n －1)2n ＋1.19．(本小题满分12分)已知递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2、a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)(理)若b n ＝log 2a n ＋1，S n 是数列{b n }的前n 项和，求使S n >42＋4n 成立的n 的最小值． (文)若b n ＝log 2a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n . 解析：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，依题意有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，①又a 2＋a 3＋a 4＝28，将①代入得a 3＝8.所以a 2＋a 4＝20.于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝12.又{a n }是递增的，故a 1＝2，q ＝2. 所以a n ＝2n . (2)(理)b n ＝log 22n ＋1＝n ＋1，S n ＝n 2＋3n 2.故由题意可得n 2＋3n2>42＋4n ，解得n >12或n <－7.又n ∈N *所以满足条件的n 的最小值为13. (文)b n ＝log 22n ＋1＝n ＋1.故S n ＝n 2＋3n2.20．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，公比q >1，且a 2＝3，S 3＝13.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1a 1＋b 2a 2＋b 3a 3＋…＋b na n ＝n (n ＋2)，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：(1)由已知，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，q >1S 3＝3q ＋3＋3q ＝13⇒q ＝3. ∴a 1＝1，a n ＝a 1q n －1＝3n －1.(2)∵b 1a 1＋b 2a 2＋b 3a 3＋…＋b na n ＝n (n ＋2)(n ∈N *)，当n ＝1时，b 1a 1＝3，∴b 1＝3.当n ≥2时，∵b 1a 1＋b 2a 2＋b 3a 3＋…＋b n －1a n －1＝(n －1)(n ＋1)，∴b na n ＝n (n ＋2)－(n －1)(n ＋1)＝2n ＋1，即b n ＝(2n ＋1)·3n －1.经检验，得b n ＝(2n ＋1)·3n －1(n ∈N *)．∵T n ＝3×30＋5×31＋7×32＋…＋(2n ＋1)×3n －1，3T n ＝3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1＋(2n ＋1)×3n .两式相减，得－2T n ＝3＋2(31＋32＋…＋3n －1)－(2n ＋1)·3n ＝3n －(2n ＋1)×3n ，∴T n ＝n ·3n .21．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1＋1n a n ＋n ＋12n . (1)设b n ＝a nn ，求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解析：(1)由已知得b 1＝a 1＝1，且a n ＋1n ＋1＝a n n ＋12n ，即b n ＋1＝b n ＋12n ，从而b 2＝b 1＋12，b 3＝b 2＋122，…b n ＝b n －1＋12n －1(n ≥2)，于是b n ＝b 1＋12＋122＋…＋12n －1＝2－12n －1(n ≥2)．又b 1＝1，故所求数列{b n }的通项公式为b n ＝2－12n －1.(2)由(1)知a n ＝n ⎝⎛⎭⎫2－12n －1＝2n －n2n －1.令T n ＝k2k －1，则2T n ＝k 2k －2，于是T n ＝2T n －T n ＝12k －1－n2n －1＝4－n ＋22n －1.又(2k)＝n(n ＋1)，所以S n ＝n(n ＋1)＋n ＋22n －1－4.22．(本小题满分12分)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n .已知2a 2＝a 1＋a 3，数列{S n }是公差为d 的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式(用n ，d 表示)；(2)设c 为实数，对满足m ＋n ＝3k 且m ≠n 的任意正整数m ，n ，k ，不等式S m ＋S n >cS k都成立．求证：c 的最大值为92.解析：(1)由题设知，S n ＝S 1＋(n －1)d ＝a 1＋(n －1)d ，则当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(S n －S n －1)(S n ＋S n －1)＝2d a 1－3d 2＋2d 2n.由2a 2＝a 1＋a 3，得2(2d a 1＋d 2)＝a 1＋2d a 1＋3d 2，解得a 1＝d. 故当n ≥2时，a n ＝2nd 2－d 2.又a 1＝d 2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝(2n －1)d 2.(2)证明：由a 1＝d 及S n ＝a 1＋(n －1)d ，得d>0，S n ＝d 2n 2.于是，对满足题设的m ，n ，k ，m ≠n ，有S m ＋S n ＝(m 2＋n 2)d 2>(m ＋n )22d 2＝92d 2k 2＝92S k .所以c 的最大值c max ≥92.另一方面，任取实数a>92.设k 为偶数，令m ＝32k ＋1，n ＝32k －1，则m ，n ，k 符合条件，且S m ＋S n ＝d 2(m 2＋n 2)＝d 2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32k ＋12＋⎝⎛⎭⎫32k －12＝12d 2(9k 2＋4)．于是，只要9k 2＋4<2ak 2，即当k>22a －9时，就有 S m ＋S n <12d 2·2ak 2＝aS k .所以满足条件的c ≤92，从而c max ≤92.因此c 的最大值为92.。

2012年高考数学一轮复习单元能力测试卷10B

第十章单元能力测试卷(B 版)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1．如右图所示，是一个正方体的表面展开图，A 、B 、C 均为棱的中点，D 是顶点，则在正方体中，异面直线AB 和CD 的夹角的余弦值为( )A.25B.35 C.105 D.55答案 C解析把展开图复原为正方体后示意图如右图所示，∠EGF 为AB 和CD 所成的角，F 为正方体一棱的中点．∴EF ＝GF ＝52，EG ＝ 2. ∴cos ∠EGF ＝105. 2．空间四点A 、B 、C 、D 满足|AB →|＝3，|BC →|＝7，|CD →|＝11，|DA →|＝9，则AC →·BD →的取值( )A ．只有一个B ．有两个C ．有四个D ．有无穷多个答案 A解析注意到32＋112＝72＋92＝130，由于AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，则|DA →2|＝DA →2＝(AB →＋BC →＋CD →)2＝AB →2＋BC →2＋CD →2＋2(AB →·BC →＋BC →·CD →＋CD →·AB →) ＝AB →2－BC →2＋CD →2＋2(BC →2＋AB →·BC →＋BC →·CD →＋CD →·AB →) ＝AB →2－BC →2＋CD →2＋2(AB →＋BC →)·(BC →＋CD →)．即2AC →·BD →＝AD →2＋BC →2－AB →2－CD →2＝0，所以AC →·BD →只有一个值0，故选A.3．在半径为10 cm 的球面上有A 、B 、C 三点，且AB ＝8 3 cm ，∠ACB ＝60°，则球心O 到平面ABC 的距离为( )A ．2 cmB ．4 cmC ．6 cmD ．8 cm 答案 C解析设平面ABC 对应的小圆圆心为M ，即三角形ABC 的外接圆的圆心，设小圆的半径为r ，根据正弦定理有2r ＝AB sin ∠ACB ＝83sin60°， ∴r ＝8 cm.根据球体的性质OM ⊥平面ABC ，即球心O 到平面ABC 的距离d ＝OM ，且三角形OCM 为直角三角形，所以d ＝R 2－r 2＝d ＝102－82，∴d ＝6 cm.∴选C.4．已知直线m 、n 、l 和平面α、β、γ，下列条件中，能推出α∥β的是( ) A ．m ⊂α，n ⊂β，m ∥n B ．m ⊥α，m ⊥βC ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥βD ．α⊥γ，β⊥γ 答案 B解析如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行．本题也可以通过反例否定错误选项，从而筛选出正确结论．例如，对于A ，如果α∩β＝l ，m ∥l ，n ∥l ，那么α与β不平行，对于选项C ，当α与β相交时，存在直线m⊂α、n⊂α，使得m∥β，n∥β，从而可排除C.对于选项D，设α、β为正方体相邻两个侧面，γ为底面，则满足α⊥γ，β⊥γ，但α与β不平行，从而可剔除D.5．如右图所示，正四棱锥P－ABCD的底面积为3，体积为22，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案 C解析连结AC、BD交于点O，连结OE，易得OE∥PA.∴所求角为∠BEO.由所给条件易得OB＝62，OE＝12PA＝22，BE＝2，∴cos∠OEB＝12，∴∠OEB＝60°，选C.6．已知平面α⊥平面β，m是α内一条直线，n是β内一条直线，且m⊥n，那么，①m⊥β；②n⊥α；③m⊥β或n⊥α；④m⊥β且n⊥α.这四个结论中，不正确．．．的三个是( ) A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④答案 B解析对于结论③，可用反证法证明其正确性．假设m⊥β和n⊥α都不成立，因为m⊥n，根据三垂线定理的逆定理，m垂直于n在α上的射影．由于m和n不可能都与α、β的交线平行，不妨设n与α、β的交线不平行，从而n与它在α上的射影相交，故m⊥β.这与假设矛盾，故m⊥β或n⊥α.7．正三棱锥P－ABC中，M、N是侧棱PB、PC的中点，若截面AMN垂直于侧面PBC，则棱锥的侧面积与底面积的比为( )A ．1∶2B.2∶ 3 C.3∶2 D.6∶1 答案 D解析如右图所示，∵M 、N 为正三棱锥的侧棱PB 、PC 之中点，∴MN ∥BC ，AM ＝AN . 设MN 的中点为F ，连结AF ，连结PF 并延长交BC 于E ，连结AE ，则E 为BC 的中点．∵平面AMN ⊥侧面PBC ，而MN ＝平面AMN ∩平面PBC ， ∴AF ⊥PE .又F 为PE 之中点， ∴PA ＝AE .设底面边长为a ，斜高为h ′. 则S 侧＝12×3a ·h ′，S 底＝34a 2.又PB ＝PA ＝AE ＝32a ，BE ＝12a ， ∴h ′＝PE ＝PB 2－BE 2＝22a . ∴S 侧S 底＝12×3a ·h ′34a 2＝12×3a ×22a34a 2＝6∶1. 8．位于北纬x 度的A 、B 两地经度相差90°，且A 、B 两地间的球面距离为π3R (R 为地球半径)，那么x 等于( )A ．30B ．45C ．60D ．75 答案 B解析记球心为点O ，依题意得∠AOB ＝π3，OA ＝OB ＝R ，因此AB ＝R .又A 、B 两地经度相差90°，因此A 、B 两地所在的纬线圈的半径是22R ，x ＝45，选B. 9．ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，点P 在线段A 1C 1上运动，异面直线BP 与AD 1所成角为θ，则θ的取值X 围是( )A ．0<θ<π2B ．0<θ≤π2C ．0<θ<π3D ．0<θ≤π3 答案 D解析因为AD 1∥BC 1，所以BP 与AD 1所成的角θ＝∠C 1BP ，因为P 在A 1C 1上运动，所以0<θ≤π3，故选D. 10．如右图所示的多面体是过正四棱柱的底面正方形ABCD 的点A 作截面AB 1C 1D 1而截得的，且B 1B ＝D 1D .已知截面AB 1C 1D 1与底面ABCD 成30°的二面角，AB ＝1，则这个多面体的体积为( )A.62B.63 C.64D.66答案 D解析将多面体补形，补成一个高为CC 1 的正四棱柱，则V 棱柱＝2V 多．又∵截面与底面成30°， ∴∠C 1AC ＝30°.在Rt △ACC 1中，AC ＝2， ∴C 1C ＝2tan30°＝33×2＝63. ∴V 柱＝S ABCD ·CC 1＝63. ∴V 多＝12V 柱＝66.11．半径为4的球面上有A ，B ，C ，D 四点，且满足AB →·AC →＝0，AD →·AC →＝0，AB →·AD →＝0，则△ABC ，△ACD ，△ADB 面积之和S △ABC ＋S △ACD ＋S △ADB 的最大值为( )A ．8B ．16C ．32D ．64 答案 C解析设AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，则S △ABC ＋S △ACD ＋S △ADB ＝12(ab ＋ac ＋bc )≤12(a 2＋b 22＋a 2＋c 22＋b 2＋c 22) ＝12(a 2＋b 2＋c 2) ＝12×4R 2＝12×4×42＝32，当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”．12．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150° B．45° C ．60° D．120° 答案 C解析由条件，知CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，CD →＝CA →＋AB →＋BD →.∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉＝(217)2，∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12，〈CA →，BD →〉＝120°，∴二面角的大小为60°，故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知△ABC 的顶点坐标为A (1,1,1)、B (2,2,2)、C (3,2,4)，则△ABC 的面积是________．答案62解析AB →＝(1,1,1)，AC →＝(2,1,3)， cos 〈AB →，AC →〉＝63·14＝427，∴sin A ＝77. 因为S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin A ＝123·14·77＝62.14．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1棱长为1，点P 在线段BD 1上，当∠APC 最大时，三棱锥P －ABC 的体积为________．答案118解析以B 为坐标原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，BB 1为z 轴建立空间直角坐标系，设BP →＝λBD 1→，可得P (λ，λ，λ)，再由cos ∠APC ＝AP →·CP→|AP →||CP →|可求得当λ＝13时，∠APC 最大，故V P －ABC ＝13×12×1×1×13＝118.15．已知四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F 则EF →＝________.答案3a ＋3b －5c解析EF →＝EA →＋AB →＋BF →，又EF →＝EC →＋CD →＋DF →，两式相加，得 2EF →＝(EA →＋EC →)＋AB →＋CD →＋(BF →＋DF →)，因为E 是AC 中点，故EA →＋EC →＝0，同理BF →＋DF →＝0，所以2EF →＝AB →＋CD →＝(a －2c )＋(5a ＋6b －8c )＝6a ＋6b －10c ， ∴EF →＝3a ＋3b －5c16．如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E 、F 、分别为PA 、PD 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE 与直线CF 异面； ②直线BF 与直线AF 异面 ③直线EF ∥平面PBC ； ④平面BCE ⊥平面PAD . 其中正确的有______个．答案 2解析将几何体展开拼成几何体(如图)，因为E 、F 分别为PA 、PD 的中点，所以EF ∥AD ∥BC ，即直线BE 与CF 共面，①错；因为B ∉平面PAD ，E ∈平面PAD ，E ∉AF ，所以BE 与AF 是异面直线，②正确；因为EF ∥AD ∥BC ，EF⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC ，③正确；平面PAD 与平面BCE 不一定垂直，④错．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)如右图所示，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PB 与底面所成的角是30°，∠BAD ＝90°.AB ∥CD ，AD ＝CD ＝a ，AB ＝2a .(1)若AE ⊥PB 于E ，求证：DE ⊥PB . (2)求异面直线AE 与BC 的夹角的余弦．解析 (1)以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． ∵PA ⊥平面ABCD ，∴∠PBA 是PB 与底面ABCD 所成的角． ∵∠PBA ＝30°，∴PA ＝233a .A (0,0,0)，B (2a,0,0)，D (0，a,0)，P (0,0，233a )， AD →＝(0，a,0)，PB →＝(2a,0，－233a )． ∵AD →·PB →＝(0，a,0)·(2a,0，－233a )＝0，∴PB →⊥AD →.又PB →⊥AE →， ∴PB ⊥平面ADE ，∴PB ⊥DE . (2)过E 作EF ⊥AB 于F ，AE ＝a ，EF ＝32a ，AF ＝12a ，E (12a,0，32a )， ∴AE →＝(12a,0，32a )．又C (a ，a,0)，∴BC →＝(－a ，a,0)．设AE →与BC 的夹角是θ，则 cos θ＝AE →·BC →|AE →|·|BC →|＝－24，∴异面直线AE 与BC 的夹角的余弦是24. 18．(本小题满分12分)如右图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA ＝CB ＝a ，∠BCA ＝90°，AA 1＝2a ，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点．(1)求BN 的长； (2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉； (3)求证：A 1B ⊥C 1M .解析以C 为原点建立空间直角坐标系． (1)B (0，a,0)，N (a,0，a )， |BN →|＝a －02＋0－a2＋a －02＝3a .(2)A 1(a,0,2a )，C (0,0,0)，B 1(0，a,2a )，∴BA 1→＝(a ，－a,2a )，CB 1→＝(0，a,2a )，BA 1→·CB 1→＝a ·0＋(－a )·a ＋2a ·2a ＝3a 2， |BA 1→|＝a －02＋0－a2＋2a －02＝6a ， |CB 1→|＝0－02＋a －02＋2a －02＝5a ，∴cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝36×5＝3010.(3)C 1(0,0,2a )，M (a 2，a 2，2a )，C 1M →＝(a 2，a 2，0)，A 1B →＝(－a ，a ，－2a )，∴A 1B →·C 1M →＝(－a )·a 2＋a ·a 2＋(－2a )·0＝0，∴A 1B →⊥C 1M →，∴A 1B ⊥C 1M .19．(本小题满分12分)已知M 、N 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱B 1C 1和B 1B 的中点．(1)求MN 与A 1C 1所成角的大小； (2)求MN 与平面ACC 1A 1所成角的大小．解析 (1)设正方体的棱长为1，建立直角坐标系D －xyz (如图)．则A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，M (12，1,1)，N (1,1，12)．∴MN →＝(12，0，－12)，A 1C 1→＝(－1,1,0)．∴cos 〈MN →，A 1C 1→〉＝MN →·A 1C 1→|MN →||A 1C 1→|＝－1222×2＝－12，∴〈MN →，A 1C 1→〉＝120°.而异面直线所成角在(0,90°]内，∴MN 与A 1C 1成60°角．(2)设平面ACC 1A 1的法向量n ＝(1，α，β)，则n ⊥AA 1→，(1，α，β)·(0,0,1)＝0，∴β＝0，又n ⊥AC →.∴(1，α，β)·(－1,1,0)＝0，∴a ＝1， ∴n ＝(1,1,0)，∴cos 〈n ，MN →〉＝n ·MN →|n ||MN →|＝12，∴〈n ，MN →〉＝60°， ∴MN 与面ACC 1A 1成30°角．20．(本小题满分12分)如右图所示，已知四棱锥P —ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝2，点M 、N 分别在棱PD 、PC 上，且PN →＝12NC →，PM ＝MD .(1)求证：PC ⊥AM ；(3)求二面角B —AN —M 的大小．解析 (1)证明：因为四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，故建立如右图所示的空间直角坐标系A —xyz ，又PA ＝AD ＝2，则有P (0,0,2)，D (0,2,0)，∴M (0,1,1)，C (2,2,0)， ∴PC →＝(2,2，－2)，AM →＝(0,1,1)， ∵PC →·AM →＝0＋2－2＝0，∴PC ⊥AM .(2)证明：设N (x ，y ，z )，∵PN →＝12NC →，则有x －0＝12(2－x )，∴x ＝23.同理可得y ＝23，z ＝43.即N (23，23，43)．由PC →·AN →＝43＋43－83＝0，∴PC ⊥AN .又∵PC ⊥AM ，AM ∩AN ＝A ，∴PC ⊥平面AMN .(3)解：连接BN ，设平面BAN 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧n ·AB→＝2x ＝0，n ·AN →＝23x ＋23y ＋43z ＝0，取n ＝(0，－2,1)．而PC →＝(2,2，－2)为平面AMN 的法向量． ∴cos 〈n ，PC →〉＝n ·PC →|n |·|PC →|＝－4－25·12＝－155.结合图形可知，所求二面角B —AN —M 的大小为π－arccos155. 21．(本小题满分12分)(2010·某某卷，文)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝2，点E 是棱PB 的中点．(2)若AD ＝1，求二面角B －EC －D 的平面角的余弦值．解析 (1)如图，由PA ⊥底面ABCD ，得PA ⊥AB .又PA ＝AB ，故△PAB 为等腰直角三角形，而点E 是棱PB 的中点，所以AE ⊥PB .由题意知BC ⊥AB, 又AB 是PB 在平面ABCD 内的射影，由三垂线定理得BC ⊥PB ，从而BC ⊥平面PAB ，故BC ⊥AE .因为AE ⊥PB ，AE ⊥BC ，所以AE ⊥平面PBC .(2)由(1)知BC ⊥平面PAB ，又AD ∥BC ，得AD ⊥平面PAB ，故AD ⊥AE .在Rt △PAB 中，PA ＝AB ＝2，AE ＝12PB ＝12PA 2＋AB 2＝1.从而在Rt △DAE 中，DE ＝AE 2＋AD 2＝ 2.在Rt △CBE 中，CE ＝BE 2＋BC 2＝ 2.又CD ＝2，所以△CED 为等边三角形．取CE 的中点F ，连接DF ，则DF ⊥CE .因为BE ＝BC ＝1，且BC ⊥BE ，则△EBC 为等腰直角三角形，连接BF ，则BF ⊥CE ，所以∠BFD 为二面角B －EC －D 的平面角．连接BD ，在△BFD 中，DF ＝CD ·sin π3＝62，BF ＝12CE ＝22，BD ＝BC 2＋CD 2＝ 3.所以cos BFD ＝DF 2＋BF 2－BD 22·DF ·BF ＝－33.故二面角B －EC －D 的平面角的余弦值为－33. 22．(本小题满分12分)如图所示，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是以∠C 为直角的等腰直角三角形，AC ＝BC ＝CC 1＝2，M ，N 分别在棱CC 1，A 1B 1上，N 是A 1B 1的中点．(1)若M 是CC 1的中点，求异面直线AN 与BM 所成的角；(2)若点C 关于平面ABM 的对称点恰好在平面ABB 1A 1上，试确定M 点在CC 1上的位置．解析 (1)以CB 、CA 、CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．则C (0,0,0)，A (0，－2,0)，B (2,0,0)，C 1(0,0,2)，A 1(0，－2,2)，B 1(2,0,2)，由于N 是A 1B 1的中点，M 是CC 1的中点，所以M (0,0,1)，N (1，－1,2)，于是AN →＝(1,1,2)，BM →＝(－2,0,1)，因此cos 〈AN →，BM →〉＝06×5＝0，所以异面直线AN 与BM 所成的角等于90°.(2)设M (0,0，z )(0<z ≤2)，由于点C 关于平面ABM 的对称点恰好在平面ABB 1A 1上，取AB 的中点D ，连接CD 、DN 、MD ，易知CD ⊥AB ，ND ⊥AB ，所以AB ⊥平面C 1NDC ，而AB ⊂平面ABM ，所以平面ABM ⊥平面C 1NDC ，又平面ABM ∩平面C 1NDC ＝DM ，过C 作CH ⊥DM ，则CH ⊥平面ABM ，延长CH 至P ，使PH ＝CH ，则点P 就是点C 关于平面ABM 的对称点，所以P 点在平面C 1NDC 中，又P 点恰好在平面ABB 1A 1上，所以P 点应该在直线ND 上．由于D (1，－1,0)，所以MD →＝(1，－1，－z )，而点H 在线段MD 上，所以设MH →＝λ·MD →＝(λ，－λ，－λz )，则CH →＝CM →＋MH →＝(λ，－λ，z －λz )，故CP →＝2CH →＝(2λ，－2λ，2z －2λz )，所以P (2λ，－2λ，2z －2λz )，于是DP →＝(2λ－1，－2λ＋1,2z －2λz )，而DN →＝(0,0,2)，由于P 点应该在直线ND 上，且DC ＝DP ，所以⎩⎨⎧2λ－1＝0，－2λ＋1＝0，|2z －2λz |＝2，得z ＝2，所以当点C 关于平面ABM 的对称点恰好在平面ABB 1A 1上时，CM ＝ 2.。

2012年高考数学一轮复习单元能力测试卷10A

第十章单元能力测试卷(A 版)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1．(2010·上海春季高考)若空间三条直线a 、b 、c 满足a ⊥b ，b ⊥c ，则直线a 与c ( ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定是异面直线D ．平行、相交、是异面直线都有可能答案 D2．已知高为3的直棱柱ABC —A ′B ′C ′的底面是边长为1的正三角形(如图所示)，则三棱锥B ′—ABC 的体积为( )A.14 B.12 C.36D.34答案 D解析 V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.3．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，沿对角线BD 将△ABD 折起，使A 点在平面BCD 内的射影O 落在BC 边上，若二面角C —AB —D 的平面角大小为θ，则sin θ的值等于( )A.34 B.74C.377D.43答案 A解析 ∵BC ⊥CD ，BC 是AC 在平面BCD 上的射影， ∴AC ⊥CD ，∴CD ⊥平面ABC ， ∵AD ⊥AB ，∴AC ⊥AB ，∴θ＝∠DAC ，∴sin θ＝CD AD ＝34.4．位于北纬x 度的A 、B 两地经度相差90°，且A 、B 两地间的球面距离为π3R (R 为地球半径)，那么x 等于( )A ．30B ．45C ．60D ．75答案 B解析记球心为点O ，依题意得∠AOB ＝π3，OA ＝OB ＝R ，因此AB ＝R .又A 、B 两地经度相差90°，因此A 、B 两地所在的纬线圈的半径是22R ，x ＝45，选B. 5．设a 、b 是两条互不垂直的异面直线，过a 、b 分别作平面α、β，对于下面四种情况：①b ∥α，②b ⊥α；③α∥β；④α⊥β.其中可能的情况有( )A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种答案 C解析 ①③④都有可能，②不可能，否则有b ⊥a ，与已知矛盾．6．在三棱锥A －BCD 中，若AD ⊥BC ，BD ⊥AD ，ΔBCD 是锐角三角形，那么必有( ) A ．平面ABD ⊥平面ADC B ．平面ABD ⊥平面ABC C ．平面ADC ⊥平面BCD D ．平面ABC ⊥平面BCD 答案 C解析由AD ⊥BC ，BD ⊥AD ⇒AD ⊥平面BCD .又AD ⊂平面ADC ， ∴平面ADC ⊥平面BCD .7．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝AA 1＝a ，则点A 到平面A 1BC 的距离是( ) A ．a B.2a C.22a D.3a答案 C解析取A 1C 的中点O ，连接AO . ∵AC ＝AA 1，∴AO ⊥A 1C .又该三棱柱是直三棱柱，∴平面A 1C ⊥平面ABC . 又∵BC ⊥AC ，∴BC ⊥AO .因此AO ⊥平面A 1BC ，即AO 的长等于A 到平面ABC 的距离，解得AO ＝22a . 8．在△ABC 中，AB ＝15，∠BCA ＝120°.若△ABC 所在平面α外一点P 到A 、B 、C 的距离都是14，则P 到α的距离是( )A．13 B．11 C．9 D．7 答案 B解析作PO⊥α于点O，连结OA、OB、OC.∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC.∴O为△ABC的外心．∴OA＝AB2sin∠BCA＝152sin120°＝5 3.∴PO＝PA2－OA2＝11为所求．9．高为5，底面边长为43的正三棱柱形容器(下有底)，可放置最大球的半径是( )A.32B．2C.322D. 2答案 B解析如上图所示，过球心作平行于底的截面，R＝23tan30°＝2.10．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM( )A．是AC和MN的公垂线B．垂直于AC，但不垂直于MNC．垂直于MN，但不垂直于ACD．与AC，MN都不垂直答案 A解析∵MO在面ABCD上的射影为OD，OD⊥AC，∴OM⊥AC，又∵MO在面CC1D1D中的射影与MN垂直，∴MO⊥MN，∴OM是AC和MN的公垂线．11．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是( )A.22B.32C. 2D. 3答案 C解析如图，△ABE 为题中三角形，由已知得AB ＝2，BE ＝2×32＝3，BF ＝23BE ＝233， ∴AF ＝AB 2－BF 2＝4－43＝83， ∴△ABE 的面积为S △＝12×BE ×AF ＝12×3×83＝ 2.故选C. 12．已知二面角α—l —β的平面角为θ，PA ⊥α，PB ⊥β，A 、B 为垂足，且PA ＝4，PB ＝5，设A 、B 到棱l 的距离分别为x 、y ，当θ变化时，点(x ，y )的轨迹是下列图形中的( )答案 D解析如图，PO 2＝PA 2＋OA 2＝PB 2＋OB 2， ∴16＋x 2＝25＋y 2.∴x 2－y 2＝9且x ≥3，y >0.故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，PM ⊥平面ABC ，当BC ＝18，PM ＝33时，PN 和平面ABC 所成的角是________．答案 30°解析 ∵PM ⊥平面ABC ，∴∠PNM 为PN 与平面ABC 所成的角．tan ∠PNM ＝PM MN ＝339＝33，∴∠PNM ＝30°.14．有两个半径都是r 的球，其中一个球的球心在另一个球的球面上，则这两个球的交线长为________．答案3πr解析由题意得交线为半径为32r 的圆周，其长为3πr . 15．在正四面体A —BCD 中，O 为底面△BCD 的中心，M 是线段AO 上一点，且使得∠BMC ＝90°，则AM MO＝________.答案 1解析如右图所示，设正四面体A —BCD 的棱长为2，由∠BMC ＝90°，得BM ＝ 2.又可得BO ＝233，在Rt △BOM 中，MO ＝63，由勾股定理得AO ＝263，所以得AMMO ＝1.16．如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E 、F 、分别为PA 、PD 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE 与直线CF 异面； ②直线BF 与直线AF 异面 ③直线EF ∥平面PBC ； ④平面BC ⊥平面PAD . 其中正确的有______个．答案 2解析将几何图展开拼成几何体(如图)，因为E 、F 分别为PA 、PD 的中点，所以EF ∥AD ∥BC ，即直线BE 与CF 共面，①错；因为B ∉平面PAD ，E ∈平面PAD ，E ∉AF ，所以BE 与AF 是异面直线，②正确；因为EF ∥AD ∥BC ，EF⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以EF ∥⊥平面PBC ，③正确；平面PAD 与平面BCE 不一定垂直，④错．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)如图所示，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证：MN ∥平面PAD证明取PD 的中点E ，连接AE ，NE ，则NE 綊12DC又∵AM 綊12DC ，∴NE 綊AM∴四边形AENM 为▱.∴MN ∥AE 又AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ， ∴ MN ∥平面PAD .18．(本小题满分12分)如右图所示，已知直二面角α—PQ —β，A ∈PQ ，B ∈α，C ∈β，CA ＝CB ，∠BAP ＝45°，直线CA 和平面α所成的角为30°.(1)证明：BC ⊥PQ ；(2)求二面角B —AC —P 的大小．解析 (1)如右图，在平面β内过点C 作CO ⊥PQ 于点O ，连结OB .因为α⊥β，α∩β＝PQ ，所以CO ⊥α.又因为CA ＝CB ，所以OA ＝OB .而∠BAO ＝45°，所以∠ABO ＝45°，∠AOB ＝90°.从而BO ⊥PQ . 又CO ⊥PQ ，所以PQ ⊥平面OBC .因为BC ⊂平面OBC ，故PQ ⊥BC . (2)由(1)知，BO ⊥PQ ，又α⊥β，α∩β＝PQ ，BO ⊂α，所以BO ⊥β. 过点O 作OH ⊥AC 于点H ，连结BH ，由三垂线定理知，BH ⊥AC . 故∠BHO 是二面角B —AC —P 的平面角．由(1)知，CO ⊥α，所以∠CAO 是CA 和平面α所成的角，则∠CAO ＝30°. 不妨设AC ＝2，则AO ＝3，OH ＝AO sin30°＝32. 在Rt △OAB 中，∠ABO ＝∠BAO ＝45°，所以BO ＝AO ＝ 3. 于是在Rt △BOH 中，tan ∠BHO ＝BO OH＝332＝2.故二面角B —AC —P 的大小为arctan2.19．(本小题满分12分)如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是菱形，四边形BCC 1B 1是矩形，AB ⊥BC ，CB ＝3，AB ＝4，∠A 1AB ＝60°.(1)求证：平面CA 1B ⊥平面A 1ABB 1；(2)求直线A 1C 与平面BCC 1B 1所成角的正切值； (3)求点C 1到平面A 1CB 的距离．解析证明：(1)四边形BCC 1B 1是矩形，∴BC ⊥BB 1. 又∵AB ⊥BC ，∴BC ⊥平面A 1ABB 1.∵BC ⊂平面CA 1B ，∴平面CA 1B ⊥平面A 1ABB 1.解：(2)过A 1作A 1D ⊥B 1B 于D ，D 即为B 1B 的中点，连接DC . ∵BC ⊥平面A 1ABB 1，∴BC ⊥A 1D ，∴A 1D ⊥平面BCC 1B 1，故∠A 1CD 为直线A 1C 与平面BCC 1B 1所成的角．在矩形BCC 1B 1中，DC ＝13.∵四边形A 1ABB 1是菱形，∠A 1AB ＝60°，CB ＝3，AB ＝4，∴A 1D ＝23，∴tan ∠A 1CD ＝A 1D CD ＝2313＝23913. (3)∵B 1C 1∥BC ，∴B 1C 1∥平面A 1BC ，∴C 1到平面A 1BC 的距离即为B 1到平面A 1BC 的距离．连接AB 1，AB 1与A 1B 交于点O . ∵四边形A 1ABB 1是菱形，∴B 1O ⊥A 1B . ∵平面CA 1B ⊥平面A 1ABB 1，∴B 1O ⊥平面A 1BC . ∴B 1O 即为C 1到平面A 1BC 的距离，又B 1O ＝23， ∴C 1到平面A 1BC 的距离为2 3.20．(本小题满分12分)(09·广东)如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 是正方形BCC 1B 1的中心，点F 、G 分别是棱C 1D 、AA 1的中点．设点E 1、G 1分别是点E 、G 在平面DCC 1D 1内的正投影．(1)求以E 为顶点，以四边形FGAE 在平面DCC 1D 1内的正投影为底面边界的棱锥的体积； (2)证明：直线FG 1⊥平面FEE 1；(3)求异面直线E 1G 1与EA 所成角的正弦值．解析 (1)点A 、E 、G 、F 在平面DCC 1D 1的投影分别为点D 、E 1、G 1、F ，连结EF 、EE 1、EG 1、ED .则VE －DE 1FG 1＝VF －EE 1G 1＋VD －EE 1G 1＝13×1×1＋13×1×1＝23.(2)∵点E 在平面DCC 1D 1的正投影为点E 1，则EE 1⊥面DCC 1D 1.∵FG 1⊂平面DCC 1D 1，∴EE 1⊥FG 1.在△E 1FG 1中，FG 1＝FD 12＋G 1D 12＝2，E 1F ＝FC 12＋E 1C 12＝2，E 1G 1＝2， ∴FE 12＋FG 12＝E 1G 12＝4，∴FG 1⊥FE 1， ∵FE 1∩EE 1于点E 1，∴FG 1⊥平面FEE 1.(3)取正方形ADD 1A 1的中心为M ，连结EM 、AM ，则EM 綊E 1G 1，且EM ⊥面AA 1D 1D ，∴EM ⊥AM .∵AM ＝AG 2＋MG 2＝2，AE ＝AB 2＋BC22＋AG 2＝6，EM ＝2， ∴sin ∠AEM ＝AM AE＝26＝33. ∴异面直线E 1G 1与EA 所成角的正弦值为33. 21．(本小题满分12分)如图所示，M 、N 、P 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 、DD 1上的点．(1)若BM MA ＝BN NC，求证：无论点P 在DD 1上如何移动，总有BP ⊥MN ； (2)若D 1P ∶PD ＝1∶2，且PB ⊥平面B 1MN ，求二面角N —B 1M —B 的余弦值． (3)在棱DD 1上是否存在这样的点P ，使得平面APC 1⊥平面ACC 1？证明你的结论．解析 (1)证明：∵在底面ABCD 内，BM MA ＝BNNC，∴BM ＝BN ，MN ∥AC . 又∵AC ⊥BD ，∴MN ⊥BD . 又BB 1⊥MN ，∴MN ⊥平面BB 1D 1D . 而BP ⊂平面BB 1D 1D ，∴MN ⊥BP .(2)解：在AA 1上取点Q ，使A 1Q ∶QA ＝1∶2，连接PQ 、BQ 、BD ，则PQ ⊥平面A 1ABB 1. ∵PB ⊥平面B 1MN ，∴PB ⊥MN ，PB ⊥B 1M ， ∴根据三垂线定理逆定理，DB ⊥MN ，QB ⊥B 1M . 设BQ ∩B 1M ＝H ，连接NH . ∵NB ⊥平面B 1MB ，∴NH ⊥B 1M ，∴∠NHB 为二面角N —B 1M —B 的平面角．令AB ＝3，则AQ ＝2，BQ ＝13， ∴cos ∠HBM ＝BH BM ＝BA BQ ＝313，∴在Rt △NBH 中，tan ∠NHB ＝BN BH ＝BM BH ＝133， ∴cos ∠NHB ＝32222.(3)解：存在点P ，且P 在DD 1的中点，使得平面APC 1⊥平面ACC 1.证明如下： ∵C 1C ⊥底面ABCD ，∴C 1C ⊥BD . 又AC ⊥BD ，∴BD ⊥平面ACC 1，取AC 1中点O ，连接PO ，易证PO ∥BD ，从而PO ⊥平面ACC 1，∵PO ⊂平面APC 1，∴平面APC 1⊥平面ACC 1.22．(本小题满分12分)如右图所示，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，PA ＝AD ＝a ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．(1)求平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的大小； (2)求证：平面MND ⊥平面PCD ；(3)当AB 的长度变化时，求异面直线PC 与AD 所成角的取值范围．解析 (1)PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，∴PD ⊥CD . 故∠PDA 是平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的平面角．在Rt △PAD 中，PA ⊥AD ，PA ＝AD ， ∴∠PDA ＝45°.(2)如右图所示，取PD 中点E ，连结AE 、EN .由M 、N 分别是AB 、PC 的中点， ∴EN 綊12CD 綊12AB .∴AMNE 为平行四边形．∴MN ∥AE .在等腰Rt △PAD 中，AE 是斜边的中线，∴AE ⊥PD . 又CD ⊥PD ，CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD .∴CD ⊥AE .又PD ∩CD ＝D ，∴AE ⊥平面PCD .∴MN ⊥平面PCD .∴平面MND ⊥平面PCD . (3)∵AD ∥BC ，∴∠PCB 为异面直线PC 、AD 所成的角．由三垂线定理知PB ⊥BC . 设AB ＝x (x >0)，∴tan ∠PCB ＝a 2＋x 2a＝1＋x a2>1.用心爱心专心 - 11 - 又∠PCB 为锐角，∴∠PCB ∈(π4，π2)，即异面直线PC 、AD 所成角的范围是(π4，π2)．。

2012届高考数学第一轮章节复习考试题10

第2章第6节一、选择题 1．若a>1，b>0，且ab ＋a －b ＝22，则ab －a －b 的值等于( )A. 6 B ．2或－2C ．－2D ．2[答案] D[解析] ∵a>1，b>0，∴ab>a －b.又∵ab ＋a －b ＝22，∴(ab ＋a －b)2＝a2b ＋a －2b ＋2＝8，∴(ab －a －b)2＝a2b ＋a －2b －2＝4，∴ab －a －b ＝2.2．若函数y ＝ax ＋b －1 (a>0，且a≠1)的图像经过第二、三、四象限，则一定有( )A ．0<a<1，且b>0B ．a>1，且b>0C ．0<a<1，且b<0D ．a>1，且b<0[答案] C[解析] 如图所示，图像与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，即a0＋b －1<0，∴b<0，又图像经过第二、三、四象限，∴0<a<1.故选C.3．设f(x)＝|3x －1|，c<b<a 且f(c)>f(a)>f(b)，则下列关系式中一定成立的是( )A ．3c>3bB ．3b>3aC ．3c ＋3a>2D ．3c ＋3a<2[答案] D[解析] 作f(x)＝|3x －1|的图像如图所示，由图可知，要使c<b<a 且f(c)>f(a)>f(b)成立，则有c<0且a>0，∴3c<1<3a ，∴f(c)＝1－3c ，f(a)＝3a －1.又f(c)>f(a)，∴1－3c>3a －1，即3a ＋3c<2，故选D.4．函数的y ＝3x 图像与函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2的图像关于( ) A ．点(－1,0)对称B ．直线x ＝1对称C ．点(1,0)对称D ．直线x ＝－1对称[答案] B [解析] y ＝3x ――→y 轴对称y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ――→右移2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2，在同一坐标系中作出y ＝3x ，y ＝3x －2图像，结合选项知选B.5．函数y ＝ax 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为( ) A.12 B ．2 C ．4 D.14[答案] B[解析] 当a>0，a≠1时，y ＝ax 是定义域上的单调函数，因此其最值在x ∈[0,1]的两个端点得到，于是必有1＋a ＝3，∴a ＝2.6．若函数y ＝4x －3·2x＋3的定义域为集合A ，值域为[1,7]，集合B ＝(－∞，0]∪[1,2]，则集合A 与集合B 的关系为( )A ．A BB ．A ＝BC ．B AD ．A ⊆B[答案] A[解析] ∵y ＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －322＋34的值域为[1,7]， ∴2x ∈[2,4]．∴x ∈[1,2]，即A ＝[1,2]．∴A B.7．(2010·陕西文)下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x ＋y)＝f(x)f(y)”的是( )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．余弦函数[答案] C[解析] 本题考查幂函数，指数函数、对数函数、余弦函数的性质．对任意的x>0，y>0，只有指数函数f(x)满足f(x ＋y)＝f(x)·f(y)． 8．(2011·济宁模拟)已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；当x<4时，f(x)＝f(x ＋1)，则f(2＋log23)＝( )A.124B.112C.18D.38[答案] A[解析] ∵2<3<4＝22，∴1<log23<2，∴3<2＋log23<4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝f(log224)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log224＝2－log224＝2log2124＝124. 二、填空题9．(2011·海南五校联考)若x>0，则(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x －12(x －x 12)＝________. [答案] －23[解析] 原式＝(2x 14)2－(332)2－4x1－12＋4x －12＋12＝4x 12－33－4x 12＋4＝－23.10．若直线y ＝2a 与函数y ＝|ax －1|(a>0且a≠1)的图像有两个公共点，则a 的取值范围是________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12[解析] 数形结合．由图可知0<2a<1，作出0<a<1和a>1两种图像易知只有0<a<1有可能符合．∴0<a<12.11．已知2x2＋x≤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －2，则函数y ＝2x －2－x 的值域是________． [答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－25516，32[解析] ∵2x2＋x≤2－2(x －2)，∴x2＋x≤－2(x －2)，解得－4≤x≤1.又∵y ＝2x －2－x 在[－4,1]上是增函数，∴2－4－24≤y≤2－2－1，故－25516≤y≤32.三、解答题12．设a>0，f(x)＝ex a ＋aex 是R 上的偶函数．(1)求a 的值；(2)证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(3)解方程f(x)＝2.[解析] (1)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立，即e －xa ＋ae －x ＝exa ＋aex 恒成立．整理，得(a2－1)(e2x －1)＝0对任意实数x 恒成立，故a2－1＝0.又∵a>0，∴a ＝1.(2)证明：设0<x1<x2，f(x1)－f(x2)＝ex1－ex2＋1ex1－1ex2＝(ex2－ex1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1ex1＋x2－1＝ex1(ex2－x1－1)·1－ex2＋x1ex2＋x1，由x1>0，x2>0，x2－x1>0，得x1＋x2>0，ex2－x1－1>0,1－ex2＋x1<0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(3)由f(x)＝2，得ex ＋1ex ＝2，即e2x －2ex ＋1＝0.∴ex ＝1＝e0.∴x ＝0.故方程f(x)＝2的根为x ＝0. 13．函数f(x)＝2－x x －1的定义域为集合A ，关于x 的不等式22ax<2a ＋x(a ∈R)的解集为B ，求使A∩B＝A 的实数a 的取值范围．[解析] 由2－xx －1≥0，得1<x≤2，即A ＝{x|1<x≤2}． ∵y ＝2x 是R 上的增函数，∴由22ax<2a ＋x 得2ax<a ＋x ，∴B ＝{x|(2a －1)x<a}．(1)当2a －1>0，即a>12时，x<a2a －1.又∵A ⊆B ，∴a 2a －1<2，解得12<a<23.(2)当2a －1＝0，即a ＝12时，x ∈R ，满足A∩B＝A.(3)当2a －1<0，即a<12时，x>a2a －1.∵A ⊆B ，∴a2a －1≤1，解得a≤12或a≥1，∴a<12.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23.14．(2011·衡阳模拟)已知定义域为R 的函数f(x)＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k 的取值范围.[解析] (1)∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得b ＝1，从而有f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋a .又由f(1)＝－f(－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.经检验a ＝2适合题意，∴所求a ，b 的值为2,1.(2)由(1)知f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0，等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．因f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.即对一切t ∈R 有3t2－2t －k>0.从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－13. 15．已知定义在R 上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f(x)＝2x 4x ＋1. (1)求f(x)在[－1,1]上的解析式；(2)求证：f(x)在(0,1)上是减函数．[分析] 求f(x)在[－1,1]上的解析式，可以先求f(x)在(－1,0)上的解析式，再去关注x ＝±1,0时的函数值；函数的单调性可利用单调性定义来证明．[解析] (1)当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－2－x 4－x ＋1＝－2x 4x ＋1，由f(0)＝－f(0)，且f(1)＝f(－2＋1)＝f(－1)＝－f(1)，得f(0)＝f(1)＝f(－1)＝0，∴在区间[－1,1]上，有f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 4x ＋1，x ∈0，1，－2x 4x ＋1，x ∈－1，0，0，x ∈{－1，0，1}.(2)证明：当x ∈(0,1)时，f(x)＝2x 4x ＋1. 设0<x1<x2<1，则f(x1)－f(x2)＝2x14x1＋1－2x24x2＋1＝2x2－2x12x1＋x2－14x1＋14x2＋1.∵0<x1<x2<1，∴2x2－2x1>0,2x1＋x2－1>0.∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0,1)上是减函数．。

2012届高三数学一轮复习阶段性测试题10(北师大版))

阶段性测试题十(算法初步)理阶段性测试题十(算法初步、框图)文本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2010·天津卷)阅读右边的程序框图，若输出s的值为－7，则判断框内可填写()A．i<3？B．i<4?C．i<5? D．i<6?[答案] D[解析]第一步：i＝1，S＝2；第二步：S＝1，i＝3；第三步：S＝－2，i＝5；第四步：S＝－7，i＝7；输出S的值为－7，故选D.2．(2011·西安模拟)以下程序中，输出时A的值是输入时A的值的()A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍[答案] D[解析]输入A，A＝A＋A＝2A，A＝2]3．(2011·临川一模)下面的程序框图给出了计算数列{a n}的前8项和S的算法，算法执行完毕后，输出的S为()A．8 B．63C．92 D．129[答案] C[解析]程序框图是计算S＝1＋2＋4＋7＋11＋16＋22＋29＝92，∴输出的S为92，故选C.4．(2009·福建6)阅读下图所示的流程图，运行相应的程序，输出的结果是()A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] D[解析] 本小题主要考查流程图等基础知识．由程序框图易知输出的结果是4，故选D. 5．(2011·宣城调研)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a ，b ，c ，d 对应密文a ＋2b,2b ＋c,2c ＋3d,4d ，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为( )A ．4,6,1,7B ．7,6,1,4C ．6,4,1,7D ．1,6,4,7 [答案] C[解析] 因加密规则可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＝142b ＋c ＝92c ＋3d ＝234d ＝28⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6b ＝4c ＝1d ＝7故明文为6,4,1,7.6．(理)(2010·凤阳一模)如图，如果执行下边的流程图，那么输出的C ＝________.A ．3B ．5C ．8D ．13 [答案] B[解析] 此程序共执行了三次循环，最后输出的C 的值为5. (文)要表示直线与圆的位置关系最好用下列哪种框图来表示( ) A ．流程图B ．程序框图C ．结构图D ．统筹图[答案] C[解析] 直线与圆有三种位置关系：直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离，它们三者是并列关系，都从属与直线与圆的位置关系，故宜用结构图表示．7．如图所示的程序框图输出的结果是( )A.34B.45C.56D.67[答案] C[解析] i ＝1≤4满足，执行第一次循环后，A ＝23，i ＝2；i ＝2≤4满足，执行第二次循环后，A ＝34，i ＝3；i ＝3≤4满足，执行第三次循环后，A ＝45，i ＝4；i ＝4≤4满足，执行第四次循环后，A ＝56，i ＝5；i ＝5≤4不满足，跳出循环，输出A ＝56. 8．(2011·吴旗模拟)下面是一个算法的程框图，当输入的x 值为3时，输出y 的结果恰好是13，则(1)处的关系式是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝3－xC ．y ＝3xD ．y ＝x 13[答案] C[解析] 当输入x 值为3时，得3－2＝1，则1－2＝－1，因为3－1＝13.故选C.9．阅读下列程序：x ＝input (“x ＝”)；if x<0y ＝－x ＋1；elseif x ＝0y ＝0； else y ＝x ＋1； end endprint (%io (2)，y )；则该程序对应的程序框图(如图)中，①、②两个判别框内要填写的内容分别是( ) A ．x >0 x <0 B ．x >0 x ＝0 C ．x <0 x ＝0 D ．x ≥0 x <0[答案] C[解析] 由题设可知：题中给出的是分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1 x<00 x ＝0x ＋1 x >0，求函数的函数值的程序对应的程序框①处的条件成立时，选用y ＝－x ＋1来求值，故值x <0；②处的条件成立时，选用y ＝0来求值，故填x ＝0.10．(2011·安徽安庆调研)执行如图所示的流程图，若输出的n ＝5，则输入整数p 的最小值是( )A ．3B ．7C ．15D ．31[分析] 本题在知识方面主要考查同学们对流程图结构的识别及等比数列求和的有关知识，在能力方面主要考查学生处理问题和分析问题的逻辑思维能力．处理此类问题时，一定要注意多写几步，从中观察得出答案．本题若将n ＝n ＋1与S ＝S ＋2n －1的位置调换一下，则情况又如何呢？同学们可以考虑一下．[答案] C[解析] 第一次循环后，S ＝0＋1＝1，n ＝2；第二次循环后S ＝0＋1＋2＝3，n ＝3 第三次循环后，S ＝0＋1＋2＋22＝7，n ＝4；第四次循环后，S ＝0＋1＋2＋22＋23＝15，n ＝5；所以只需使p ＝15，便可使得循环结束，输出n 的值为5.第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．(2010·江苏卷)下图是一个算法的流程图，则输出S 的值是________．[答案] 63[解析] 本题主要考查程序框图的相关知识，求解的关键是确定循环的次数，再进行运算即可得到输出的结果．由算法流程图知，当n ＝1时，S ＝1＝21＝3；当n ＝2时，S ＝3＋22＝7；当n ＝3时，S ＝7＋23＝15；当n ＝4时，S ＝15＋24＝31；当n ＝5时，S ＝31＋25＝63>33，循环结束，故输出S 的值是63.12．(2011·江苏扬州模拟)给出一个算法：输入x If x ≤0 Then f (x )←4x Else f (x )←2x End If End If 输出f (x )根据以上算法，可求得f (－1)＋f (2)＝________. [答案] 0[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≤0，2x ，x >0，∴f (－1)＋f (2)＝－4＋22＝0.13．(文)(2011·常州)根据下图：则“函数的应用”包括的主要内容有______________________． [答案] 函数与方程、函数模型及其应用(理)(2011·宜川一模)已知数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，(1≤n ≤4)a n －4，(n >4)，计算其前102项和的算法流程图如图所示，图中①，②应该填________，________.[答案] a n ＝a n －4 n ＝n ＋1[解析] 算法流程图中用的循环体中应有使循环结束的语句，故应有n ＝n ＋1，而n ＝n ＋1使原来的n 的值增加1，故应在求和后，所以应填在②中，而①应填给a n 赋值的语句a n ＝a n－4.14．(2010·广东卷)某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为x 1，…，x 4(单位：吨)．根据下图所示的程度框图，若x 1，x 2，x 3，x 4分别为1,1.5,1.5,2，则输出的结果s 为__________.[答案] 32[解析] 本题考查了程序框图中循环结构的用法，注意S 与S 1不能混，S ＝1＋1.5＋1.5＋24＝32. 15．(2009·安徽)程序框图(即算法流程图)如图所示，其输出结果是________．[答案] 127[解析] 本题考查程序框图的基本知识．输入a ＝1，循环一次时，a ＝3，循环二次时，a ＝7，循环三次时，a ＝15，循环四次时，a ＝31，循环五次时，a ＝63，循环六次时，a ＝127，此时循环终止，输出127.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)(2011·合肥模拟)给出以下10个数：5,9,80,43,95,73,28,17,60,36，要求把大于40的数找出来并输出，试画出该问题的程序框图．[分析] 题目给出了10个数字，将大于40的数找出来．解答本题先确定使用循环结构，再确定循环体．[解析] 程序框图如图所示：[点评]设计程序框图，首先由题意选择合适的结构，再确定本结构需要的条件．17．(本小题满分12分)(2011·九江质检)按有关规定，儿童乘火车，若身高不超过1.1m，则无需购票；若身高超过1.1m，但不超过1.4m，可买半票；若超过1.4m应买全票．试设计一个购票流程图．[解析]由题意画购票流程图如下：18．(本小题满分12分)(理)(2011·安阳调研)设计一个计算1×3×5×7×…×99的算法，并画出它的程序框图．[解析]算法：S1：S＝1；S2：i＝3；S3：S＝：S×i；S4：i＝i＋2；S5：如果i≤99，转到S3；S6：输出S.程序框图如右：(文)(2011·安阳调研)据有关人士预测，我国将逐步进入新一轮消费周期，其特点是：城镇居民消费热点主要为商品住房、小轿车、电子信息产品、新型食品，以及服务消费和文化消费；农村消费热点是住房、家电．试画出消费的结构图．[解析]19．(本小题满分12分)(2011·河南新乡模拟)春节到了，小刘的妈妈的糖果店里忙极了，请你帮她设计一个程序方便算账，已知果糖每千克16.8元，奶糖每千克32.6元，巧克力每千克41元．那么依次购买这三种糖果a、b、c千克，应收取多少元？[解析]程序：20．(本小题满分13分)到银行办理个人异地汇款(不超过100万)时，银行要收取一定的手续费．汇款额不超100元，收取1元手续费；超过100元但不超过5000元，按汇款额的1%收取；超过5000元但不超过1000000元，一律收取50元手续费．设计算法求：当汇款额为x元时，银行收取的手续费y元，画出程序框图．[解析]程序框图：21．(本小题满分14分)(2011·西安高二期末测试)高三(1)班共50名同学参加数学竞赛，现已有这50名同学的竞赛分数，请设计一个将竞赛成绩优秀同学的平均分输出的算法(规定90分以上为优秀)，画出程序框图，并设计程序．[分析]本题由于涉及到50名同学的分数，因此可以使用循环结构控制输入分数，用条件结构来判断分数是否高于90分，同时统计高于90分的成绩的总和和人数，进而求平均分．[解析]程序框图如下：程序为：S＝0M＝0i＝1WHILE i<＝50 IPNPUT xIF x>90THENS＝S＋xM＝M＋1 END IFi＝i＋1 WENDP＝S/MPRINT PEND。

2012年高考数学一轮复习全册课时训练及各单元检测试卷[全套]

解析 A＝{x|－a≤x≤a}，根据题意可知 1≤a＜2. 10．设集合 A＝{－1,0,1}，集合 B＝{0,1,2,3}，定义 A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则 A*B 中元素的个数为________．答案 10 解析由题知，A∩B＝{0,1}，A∪B{－1,0,1,2,3}，所以满足题意的实数对有(0，－1)，
［精品］2012 年高考数学一轮复习全册课时训练及各单元检测试卷解析版［全套］
(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，共 10 个，即 A*B 中的元素有 10 个． 11．设集合 A、B 都是 U＝{1,2,3,4}的子集，已知(∁UA)∩(∁UB)＝{2}，(∁UA)∩B＝{1}，且 A∩B＝∅，则 A＝________. 答案 {3,4}
2x－1>0 2x－1<0 或 1－|x|<0 1－|x|>0
)
1 B．x>1 或－1<x< 2 1 D．x<－1 或 x> 2
1 1 x>2 x<2 ∴ 或 x>1或x<－1 －1<x<1 1 ∴x>1 或－1<x< ，故选 B. 2 7．(2011· 徐州质检)已知集合 M＝{x|x2－2008x－2009>0}，N＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若 M ∪N＝R，M∩N＝(2009,2010]，则( A．a＝2009，b＝－2010 C．a＝2009，b＝2010 答案 D 解析化简得 M＝{x|x<－1 或 x>2009}，由 M∪N＝R，M∩N＝(2009,2010]可知 N＝{x|－1≤x≤2010}，即－1,2010 是方程 x2＋ ax＋b＝0 的两个根．所以 b＝－1×2010＝－2010，－a＝－1＋2010，即 a＝－2009. 8．已知不等式 ax2＋bx＋2>0 的解集为{x|－1<x<2}，则不等式 2x2＋bx＋a<0 的解集为 ( ) 1 A．{x|－1<x< } 2 C．{x|－2<x<1} 答案 A 解析由题意知 x＝－1，x＝2 是方程 ax2＋bx＋2＝0 的根． 1 B．{x|x<－1 或 x> } 2 D．{x|x<－2 或 x>1} ) B．a＝－2009，b＝2010 D．a＝－2009，b＝－2010

2012年高考总复习一轮《名师一号-数学》第5章检测题

第五章平面向量名师检测题时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．称d (a ，b )＝|a －b |为两个向量a 、b 间的“距离”．若向量a 、b 满足：①|b |＝1；②a ≠b ；③对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，则( )A ．a ⊥b B.a ⊥(a －b ) C ．b ⊥(a －b )D.(a ＋b )⊥(a －b )解析：依题意得|a －t b |≥|a －b |，即(a －t b )2≥(a －b )2，亦即t 2－2t a·b ＋(2a ·b －1)≥0对任意的t ∈R 都成立，因此有Δ＝(－2a ·b )2－4(2a ·b －1)≤0，即(a ·b －1)2≤0，故a ·b －1＝0，即a·b －b 2＝b ·(a －b )＝0，故b ⊥(a －b )，选C.答案：C2．在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OD 是AB 边上的高，若AD →＝λAB →，则实数λ等于( ) A.a ·(a －b )|a －b | B.a ·(b －a )|a －b | C.a ·(a －b )|a －b |2D.a·(b －a )|a －b |2解析：依题意得OD →·AB →＝0，λ＝AD →·AB →AB →2＝(OD →－OA →)·AB →(OB →－OA →)2＝OD →·AB →－OA →·AB →(b －a )2＝－OA →·(OB →－OA →)(b －a )2＝－a ·(b －a )|a －b |2＝a·(a －b )|a －b |2，选C. 答案：C3．已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6，则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为( )A.23B.－23C.56D.－56解析：记向量a 与b 的夹角为θ.注意到a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－|a ||b |，即6cos θ＝－6，∴cos θ＝－1，θ＝π，向量a ，b 反向且共线，∴a ＝－23b ，即(x 1，y 1)＝－23(x 2，y 2)，∴x 1＋y 1x 2＋y 2＝－23，选B.答案：B4．已知向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝2，|2a ＋b |＝2，则向量b 在向量a 方向上的投影是( ) A ．－12B.－1C.12D.1解析：依题意得(2a ＋b )2＝4,4a 2＋b 2＋4a ·b ＝4,4＋4＋4a ·b ＝4，a ·b ＝－1，向量b 在向量a 方向上的投影等于a ·b|a |＝－1，选B.答案：B5．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，AO →＝12(AB →＋AC →)且|OA →|＝|AB →|，则BA →·BC →为( )A ．1 B. 3 C ．－1D.－ 3解析：由AO →＝12(AB →＋AC →)，知O 是BC 的中点．又|OA →|＝|AB →|＝1＝12|BC →|，∴△ABC 是直角三角形，且B ＝π3，∴BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|·cos π3＝1×2×12＝1.故选A.答案：A6．(理)已知两点M (－1，－6)，N (3,0)，点P (－73，y )分有向线段MN →的比为λ，则λ，y的值为( )A ．－14，8B.14，－8 C ．－14，－8D.4，18解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－73＝－1＋3λ1＋λ，y ＝－6＋01＋λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－8，λ＝－14. 答案：C(文)若点P 分有向线段AB →所成的比为－13，则点B 分有向线段P A →所成的比是( )A ．－32B.－12C.12D.3解析：由已知条件可得点P 在线段AB 的反向延长线上，且|AP →||PB →|＝13，因此向量PB →与BA →方向相反且|PB →||BA →|＝32，故点B 分有向线段P A →所成的比是－32，故选A.答案：A7．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为平面ABC 内任一点，动点P 满足等式OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →](λ∈R 且λ≠0)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．内心 B.垂心 C ．外心 D.重心解析：依题意，设△ABC 的三边AB 、BC 、CA 的中点分别为H 、M 、N ，AM 、CH 、BN 的交点为G .OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]＝13[(1－λ)(OB →＋BA →)＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]＝13[2(1－λ)(OC →＋CB →)＋(1－λ)BA →＋(1＋2λ)OC →]＝13[3OC →＋2(1－λ)CB →＋(1－λ)BA →]，所以OP →－OC →＝(1－λ)3(2CB →＋BC →＋CA →)＝(1－λ)3(CB→＋CA →)＝2(1－λ)3CH →，即CP →＝2(1－λ)3CH →，所以点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心，选择D.答案：D8．平面向量的集合A 到A 的映射f 由f (x )＝x －2(x ·a )a 确定，其中a 为常向量．若映射f 满足f (x )·f (y )＝x ·y 对任意的x ，y ∈A 恒成立，则a 的坐标不可能是( )A ．(0,0) B.⎝⎛⎭⎫24，24 C.⎝⎛⎭⎫22，22 D.⎝⎛⎭⎫－12，32 解析：由题意知，f (x )·f (y )＝[x －2(x ·a )a ]·[y －2(y ·a )a ]＝x·y －4(x ·a )·(y ·a )＋4(x ·a )·(y ·a )·a 2＝x·y ，即4(x ·a )·(y·a )·(a 2－1)＝0对任意的x ，y ∈A 恒成立，则x·a ＝0，或y·a ＝0，或a 2－1＝0即|a |＝1，结合各选项知，选B.答案：B9．在△ABC 中，∠C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( )A.14B.13C.12D.53解析：tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝tan(180°－C )＝tan60°＝3，将tan A ＋tan B ＝233代入，得tan A tan B ＝13，故选B.答案：B10．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 所对边的长，若b sin A ＝a sin C ，则△ABC 的形状是( )A ．钝角三角形 B.直角三角形 C ．等腰三角形D.等腰直角三角形解析：由题设及正弦定理得b a ＝sin C sin A ＝ca ，化简得b ＝c ，故△ABC 为等腰三角形，故选C.答案：C11．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(cos φ，sin φ)，若θ－φ＝π3，则向量a 与向量a ＋b的夹角是( )A.π3B.π6C.5π6D.2π3解析：以原点O 为起点分别表示向量a ＝OA →，b ＝OB →，易知相应的终点A ，B 位于以原点O 为圆心的单位圆上，以|OA →|，|OB →|为邻边作平行四边形OACB ，则∠AOB ＝π3，OA ＝OB＝1，即平行四边形OACB 是菱形，则∠COA ＝π6，而OC →＝a ＋b ，故a ，a ＋b 的夹角等于π6，选B.答案：B12．在△ABC 中，下列结论正确的的个数是( )①A >B ⇔cos A <cos B ；②A >B ⇔sin A >sin B ；③A >B ⇔cos2A <cos2B . A ．0 B.1 C ．2D.3解析：在△ABC 中，因为0<A <π，0<B <π，y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，因此A >B ⇔cos A <cos B ，①正确；因为sin A >0，sin B >0，故由正弦定理可得A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，②正确；cos2A <cos2B ⇔1－2sin 2A <1－2sin 2B ⇔sin A >sin B ⇔A >B ，③正确．因此选择D.答案：D第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上．) 13．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a ⊥b ，|a |＝1，|b |＝2，则|c |＝________. 解析：∵－c ＝a ＋b ，∴|c |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝1＋4＋0＝5，所以|c |＝ 5. 答案： 514．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，则a ·b ＝________，若k a ＋b 与b 平行，则k ＝________. 解析：由已知得a·b ＝1×(－3)＋2×2＝1；k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，当k a ＋b 与b 平行时，有－3(2k ＋2)＝2(k －3)，由此解得k ＝0.答案：1 015．已知A 、B 是定直线l 同侧的两个定点，且到l 的距离分别为a 、b ，点P 是直线l 上的一个动点，则|P A →＋3PB →|的最小值是______．解析：以直线l 为x 轴，点B 在l 上的射影O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则B (0，b )，A (n ，a )(n >0)，设P (x,0)，则P A →＋3PB →＝(n －x ，a )＋3(－x ，b )＝(n －4x ，a ＋3b )，|P A →＋3PB →|2＝(n －4x )2＋(a ＋3b )2，当n －4x ＝0时，|P A →＋3PB →|min ＝a ＋3b . 答案：a ＋3b16．△ABC 中，边AB 为最大边，且sin A ·sin B ＝2－34，则cos A ·cos B 的最大值是______．解析：依题意得cos(A －B )＝cos A ·cos B ＋sin A ·sin B ，即有cos(A －B )＝cos A ·cos B ＋2－34，cos A ·cos B ＝cos(A －B )－2－34.由于AB 边是最大边，因此内角C 最大，cos(A －B )的最大值是1(当且仅当A ＝B 时取得等号)，cos A ·cos B 的最大值是1－2－34＝2＋34.答案：2＋34三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分10分)已知向量a ＝(cos x,2)，b ＝(sin x ，－3)． (1)当a ∥b 时，求3cos 2x －sin2x 的值；(2)求函数f (x )＝(a －b )·a 在x ∈[－π2，0]上的值域．解析：(1)∵a ∥b ，∴－3cos x ＝2sin x ， ∴tan x ＝－32.3cos 2x －sin2x ＝3cos 2x －2sin x cos xsin 2x ＋cos 2x＝3－2tan x tan 2x ＋1＝2413.(2)f (x )＝(a －b )·a ＝cos 2x －sin x cos x ＋10 ＝cos2x ＋12－12sin2x ＋10 ＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋212. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0. ∴－3π4≤2x ＋π4≤π4，∴－12≤22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22， ∴10≤22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋212≤21＋22，即f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，21＋22.18．(本小题满分12分)已知△ABC 的面积为3，且满足0≤AB →·AC →≤6，设AB →和AC →的夹角为θ.(1)求θ的取值范围；(2)求函数f (θ)＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋θ－3cos2θ的最大值与最小值．解析：(1)设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 则由12bc sin θ＝3,0≤bc cos θ≤6，可得0≤cot θ≤1，∴θ∈[π4，π2]．(2)f (θ)＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋θ－3cos2θ ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2θ－3cos2θ ＝(1＋sin2θ)－3cos2θ＝sin2θ－3cos2θ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＋1. ∵θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，2θ－π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3， ∴2≤2sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＋1≤3. 即当θ＝5π12时，f (θ)max ＝3；当θ＝π4时，f (θ)min ＝2.19．(本小题满分12分)已知向量a ＝(sin x,23cos x )，b ＝(2sin x ，sin x )，设f (x )＝a ·b －1. (1)若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求f (x )的值域； (2)若函数y ＝f (x )的图象按向量m ＝(t,0)作长度最短的平移后，其图象关于原点对称，求向量m 的坐标．解析：(1)f (x )＝a ·b －1＝2sin 2x ＋23sin x cos x －1 ＝3sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2⇒2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6 ⇒sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1⇒f (x )的值域y ∈[－1,2]． (2)由(1)可设平移后的函数解析式为 y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋φ)－π6，即y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2x ＋⎝⎛⎭⎫2φ－π6， ∵其图象关于原点对称，∴2φ－π6＝k π，k ∈Z .即φ＝π12＋k π2，k ∈Z .令k ＝0得所求的φ＝π12.因此所求的m ＝(－π12，0)．20．(本小题满分12分)已知向量a ＝(sin(ωx ＋φ)，2)，b ＝(1，cos(ωx ＋φ))⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π4，函数f (x )＝(a ＋b )·(a －b )，y ＝f (x )图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1，且过点M ⎝⎛⎭⎫1，72. (1)求函数f (x )的表达式；(2)当－1≤x ≤1时，求函数f (x )的单调区间．解析：(1)f (x )＝(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝sin 2(ωx ＋φ)＋4－1－cos 2(ωx ＋φ)＝－cos(2ωx ＋2φ)＋3，由题意得周期T ＝2π2ω＝4，故ω＝π4，又图象过点M ⎝⎛⎭⎫1，72，所以72＝3－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2φ，即sin2φ＝12，而0<φ<π4，所以2φ＝π6，∴f (x )＝3－cos ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π6.(2)当－1≤x ≤1时，－π3≤π2x ＋π6≤2π3，∴当－π3≤π2x ＋π6≤0时，即x ∈⎣⎡⎦⎤－1，－13时，f (x )是减函数．当0≤π2x ＋π6≤2π3时，即x ∈⎣⎡⎦⎤－13，1时，f (x )是增函数． ∴函数f (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤－1，－13，单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－13，1. 21．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．解析：(1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)．所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为42，210.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )．由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11，所以t ＝－115.22．(本小题满分12分)已知O 为坐标原点，向量OA →＝(sin α，1)，OB →＝(cos α，0)，OC →＝(－sin α，2)，点P 是直线AB 上的一点，且点B 分有向线段AP →的比为1.(1)记函数f (α)＝PB →·CA →，α∈⎝⎛⎭⎫－π8，π2，讨论函数f (α)的单调性，并求其值域； (2)若O 、P 、C 三点共线，求|OA →＋OB →|的值．解析：依题意可知，A (sin α，1)，B (cos α，0)，C (－sin α，2)，设点P 的坐标为(x ，y )，则cos α＝sin α＋x 1＋1，0＝1＋y1＋1，所以x ＝2cos α－sin α，y ＝－1，所以点P 的坐标为(2cos α－sin α，－1)．(1)∵PB →＝(sin α－cos α，1)，CA →＝(2sin α，－1)，∴f (α)＝PB →·CA →＝2sin 2α－2sin αcos α－1＝－(sin2α＋cos2α)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4. 由2α＋π4∈⎝⎛⎭⎫0，5π4可知，当2α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4即α∈⎝⎛⎭⎫π8，π2时，函数f (α)单调递增，当2α＋π4∈⎝⎛⎦⎤0，π2即α∈⎝⎛⎦⎤－π8，π8时，函数f (α)单调递减，又sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4∈⎝⎛⎦⎤－22，1，所以函数f (α)的值域为[－2，1)．(2)由O 、P 、C 三点共线可知，－1×(－sin α)＝2×(2cos α－sin α)，∴tan α＝43，∴sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝2425， ∴|OA →＋OB →|＝(sin α＋cos α)2＋1＝sin2α＋2＝745.。

2012年高考数学一轮复习单元测试卷一(文科)

2012年高考数学一轮复习单元测试卷一（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =,{1,3,5,7}A =,{3,5}B =，则下列式子一定成立的是（） A ．U U C B C A⊆ B ．()()U U C A C B U⋃= C ．U A C B =∅D ．U B C A =∅2．已知函数()sin()12f x x ππ=--，则下列命题正确的是( )A ．)(x f 是周期为1的奇函数B ．)(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶数D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数3．已知函数()(0,1)a f x log x a a =>≠的图象如右图示，函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于直线y x =对称，则函数()y g x =的解析式为（）A.()2x g x =B. 1()()2xg x = C. 12()log g x x =D.2()log g x x =4．当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax=的图象只可能是（）5．下列关系式中，成立的是（）A ．10log 514log 3103>⎪⎭⎫⎝⎛>B ．4log 5110log 3031>⎪⎭⎫⎝⎛>C ．03135110log 4log ⎪⎭⎫⎝⎛>>D ．0331514log 10log ⎪⎭⎫⎝⎛>>6．函数sin y x =的一个单调增区间是（） A ．ππ44⎛⎫- ⎪⎝⎭， B ．3ππ44⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．3ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．32ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 7．函数x xx f 2log 2cos3)(-=π的零点的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．58．设函数()()f x x ∈R 为奇函数，1(1),2f =(2)()(2),(5)f x f x f f +=+则=（） A ．0B ．1C ．52D ．59．把函数sin(4)6y x π=+上的点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再把所得到的图象向左平移6π个单位，所得函数图象的解析式为（） A ．sin(2)3y x π=+B ．5sin(2)12y x π=+C ．cos 2y x =-D ．cos 2y x = 10．已知)(x f 是定义在（-3，3）上的奇函数，当30<<x 时，)(x f如图所示，那么不等式0)(<x xf 的解集是（） A ．(3,1)(0,1)(1,3)-- B ．(1,0)(0,1)- C ．(3,1)(0,1)--D ．(0,1)(1,3)二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．函数)2(log 221x y -=的定义域是，值域是；12．函数)(x f 在R 上为奇函数，且0,1)(>+=x x x f ，则当0<x ，=)(x f ；13．若1sin()sin()23x x ππ+++=，则sin 2x 的值为； 14．函数)(x f 同时满足下列条件：①是奇函数；②在［0，1］上是增函数；③在［0，1］上最小值为0，则)(x f = （写出一个你认为正确的即可）； 15. 设函数c bx x x x f ++=)(，给出四个命题： ①0=c 时，有)()(x f x f -=-成立；②0,0>=c b 时，方程0)(=x f ，只有一个实数根；③)(x f y =的图象关于点（0,c ）对称； ④方程0)(=x f ，至多有两个实数根。

2012高考数学(文)一轮复习课时作业(北师大版)：第1章第1课时集合的概念与运算

第1章第1课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．已知会合 U＝ { x|0≤ x≤ 6， x∈Z } ， A＝{1,3,6} ， B＝ {1,4,5} ，则 A∩ (?U B)＝ () A ．{1}B． {3,6}C．{4,5}D． {1,3,4,5,6}分析：已知 U ＝ {0,1,2,3,4,5,6} ，所以 ?U B＝ {0,2,3,6} ，则 A∩ (?U B)＝ {3,6} ，应选 B.答案：B2．设全集为R，会合2) M＝ { x|y＝ 2x＋ 1} ，N＝ { y|y＝－ x } ，则 (A．M? N B．N? MC．N＝ M D． M∩ N＝ {( －1，－ 1)}分析：从代表元素下手，认识会合的意义，M 为一次函数的定义域，N 为二次函数的值域，化简判断， M＝R， N＝(－∞， 0]，即 N? M，应选 B.答案：B3．已知会合 M＝ {1 ， a2} ， P＝ { － a，－ 1} ，若 M∪ P 有三个元素，则M∩P 等于 ()A ．{0,1}B． {0 ，－ 1}C．{0}D．{ －1}分析：依据题意只好a2＝－ a，解得 a＝ 0 或 a＝－ 1，查验知只好a＝ 0，此时 M∩ P＝ {0} ．应选 C.答案：C4．已知会合 A＝ { －1,1} ，B＝ { x|ax＋ 1＝ 0} ，若 B? A，则实数 a 的全部可能取值的会合为 ()A．{－1}B． {1}C．{ － 1,1}D． { － 1,0,1}分析：当 a＝ 0 时， B＝ ?，知足 B? A；当 a≠ 0 时， x＝－1，令－1＝ 1 或－1＝－ 1，得 a＝－ 1 或 a a a a＝1，应选 D.答案： D5．(2009 ·西卷江 )已知全集 U ＝ A∪ B 中有 m 个元素，(?U A)∪ (?U B)中有 n 个元素．若 A∩ B 非空，则 A∩ B 的元素个数为()A ．mn B． m＋ nC．n－ m D． m－ n分析：∵ (?U A)∪ (?U B)中有 n 个元素，如右图所示暗影部分，又∵ U＝A∪B中有m个元素，故A∩ B 中有 m－ n 个元素．答案： D6．如下图的韦恩图中， A、 B 是非空会合，定义A* B 表示暗影部分的会合．若x， y∈R， A＝ { x|y ＝2x－ x2} ， B＝ { y|y＝ 3x， x＞ 0} ，则 A* B 为 ()A ．{ x|0＜ x＜ 2} C．{ x|0≤ x≤1 或 x≥ 2}B． { x|1＜ x≤D． { x|0≤ x≤2}1 或 x＞2}分析：A＝ { x|0≤x≤ 2} ，B＝{ y|y＞ 1} ，A∩ B＝ { x|1＜ x≤ 2} ，A∪ B＝ { x|x≥ 0} ，由图可得A* B＝?A∪B(A∩ B)＝{ x|0≤ x≤1 或 x＞ 2} ，应选 D.答案：D二、填空题7．已知会合A＝ {0,2 ， a2} ， B＝ {1 ， a} ，若 A∪B＝ {0,1,2,4} ，则实数a 的值为 ________．分析：若 a＝4，则 a2＝ 16?(A∪ B)，所以 a＝ 4 不切合要求，若a2＝ 4，则 a＝±2，又－ 2?(A∪ B)，∴a＝ 2.答案： 28．已知会合 A＝ { x|x≤1} ， B＝ { x|x≥a} ，且 A∪ B＝R，则实数 a 的取值范围是 ________．分析：∵ A＝ { x|x≤ 1} ， B＝ { x|x≥ a} ，且 A∪ B＝R，如图，故当 a≤ 1 时，命题建立．答案： a≤ 19．已知会合 A 知足条件：当p∈ A 时，总有－ 1∈ A(p≠ 0 且 p≠－ 1)，已知 2∈ A，则会合 A 中全部p＋ 1元素的积等于 ________．分析：依题意， 2∈ A，所以－1＝－1∈ A，进而－ 1＝－3∈ A，－ 1＝ 2∈ A，故 A 中只有2，2＋ 13－1＋12－3＋ 132－1，－3三个元素，它们的积为2×－1×－3＝ 1.3232答案：1三、解答题10．设 A＝ {2 ，－ 1， x2－ x＋ 1} ，B＝ {2 y，－ 4， x＋ 4} ， C＝{ － 1,7} ，且 A∩ B＝ C，求 x、 y 的值．分析：∵A∩ B＝C＝{ －1,7} ，∴必有 7∈ A,7∈ B，－ 1∈ B.即有 x2－ x＋1＝ 7? x＝－ 2 或 x＝3.①当 x＝－ 2 时， x＋ 4＝ 2，又 2∈ A，∴ 2∈A∩ B，但 2?C，∴不知足A∩B＝ C，∴ x＝－ 2 不切合题意．②当 x＝ 3 时， x＋4＝ 7，1∴ 2y＝－ 1? y＝－.1所以， x＝ 3， y＝－2.11．会合 A＝ { x|－ 2≤ x≤ 5} ， B＝ { x|m＋ 1≤ x≤ 2m－1} ．(1)若 B? A，务实数m 的取值范围；(2)当 x∈Z时，求 A 的非空真子集的个数．分析：(1)当 m＋ 1＞ 2m－ 1，即 m＜ 2 时， B＝ ?知足 B? A.当 m＋ 1≤ 2m－ 1，即 m≥ 2 时，要使B? A 建立，m＋ 1≥－ 2需，可得 2≤m≤ 3，2m－ 1≤5综上， m≤ 3 时有 B? A.(2)当 x∈Z时， A＝ { － 2，－ 1,0,1,2,3,4,5} ，812．已知R 为实数集，会合A＝ { x|x2－3x＋ 2≤ 0} ，若 B∪ (?R A)＝R， B∩ (?R A) ＝{ x|0＜ x＜1 或 2＜ x ＜3} ，求会合 B.分析：∵ A＝ { x|1≤ x≤ 2} ，∴?R A＝ { x|x＜ 1 或 x＞2} ．又 B∪ (?R A)＝R， A∪ (?R A)＝R，可得 A? B.而 B∩ (?R A)＝{ x|0＜ x＜ 1 或 2＜ x＜ 3} ，∴ { x|0＜ x＜ 1 或 2＜ x＜ 3} ? B.借助于数轴可得B＝A∪ { x|0＜ x＜ 1 或 2＜ x＜ 3} ＝ { x|0＜x＜ 3} ．。

高考一轮总复习高考数学(文科,新课标版)一轮总复习+滚动测试卷+综合测试卷(5份)综合测试卷一

综合测试卷一(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(每小题5分，共60分) 1. (2013·北大附中月考)设a 是实数，且1＋ai 1＋i∈R，则实数a ＝(B)A. －1B. 1C. 2D. －2∵1＋ai 1＋i ∈R，∴不妨设1＋ai 1＋i ＝x ，x ∈R ，则1＋ai ＝(1＋i)x ＝x ＋xi ，∴有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，a ＝x ，∴a ＝1.2. (2013·保定一模)已知集合A ＝{x|x≥2或x ＜－1}，B ＝{x|a≤x≤b}，若A∪B＝R ，A ∩B ＝{x|2≤x≤4}，则ba＝(A)A. －4B. －3C. 4D. 3∵A＝{x|x≥2，或x ＜－1}，B ＝{x|a≤x≤b}，A ∪B ＝R ，∴a ≤－1，b ≥2，∵A ∩B ＝{x|2≤x≤4}，∴a ＝－1，b ＝4，∴ba＝－4.3. (2013·郑州二模)若cos θ2＝35，sin θ2＝－45，则角θ的终边一定落在直线(D)A. 7x ＋24y ＝0B. 7x －24y ＝0C. 24x ＋7y ＝0D. 24x －7y ＝0由题意知tan θ2＝－43，∴tan θ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－431－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－432＝247，∴角θ的终边一定落在直线24x －7y ＝0上．4. 设α，β为两个不同的平面，直线l∥α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的(A) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件面面平行的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．∵直线l∥α，且l⊥β，∴由判断定理得α⊥β.∴由直线l∥α，且l⊥β可得α⊥β.若α⊥β，直线l∥α，则直线l⊥β，或直线l∥β，或直线l 与平面β相交，或直线l 在平面β内．∴“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件．5. (2013·温州一模)记a ，b 分别是投掷两次骰子所得的数字，则方程x 2－ax ＋2b ＝0有两个不同实根的概率为(B)A. 518 B. 14 C.310 D. 910 所有的(a ，b)共有6×6＝36(个)，方程x 2－ax ＋2b ＝0有两个不同实根，等价于Δ＝a 2－8b ＞0，故满足条件的(a ，b)有(3，1)，(4，1)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，共9个，故方程x 2－ax ＋2b ＝0有两个不同实根的概率为936＝14. 6. (2013·郑州二模)若x∈(e －1，1)，a ＝ln x ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12ln x ，c ＝e ln x ，则a ，b ，c的大小关系为(B)A. c ＞b ＞aB. b ＞c ＞aC. a ＞b ＞cD. b ＞a ＞c∵x∈(e －1，1)，a ＝ln x ，∴a ∈(－1，0)，即a ＜0；又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12ln x 为减函数，∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12ln x ＞⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12ln 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫120＝1，即b ＞1；又c ＝e ln x ＝x∈(e －1，1)，∴b ＞c ＞a. 7. (2013·天津南开二模)执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为([x]表示不超过x 的最大整数)(C)A. 4B. 5C. 7D. 9n ＝0不满足判断框中的条件，n ＝1，S ＝1；n ＝1不满足判断框中的条件，n ＝2，S ＝2；n ＝2不满足判断框中的条件，n ＝3，S ＝3；n ＝3不满足判断框中的条件，n ＝4，S ＝5；n ＝4不满足判断框中的条件，n ＝5，S ＝7；n ＝5满足判断框中的条件，输出的结果为7.8. (2013·汕头质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于(B)A. 8B. 6＋25＋2 2C. 6＋45 D.453 考查了由三视图还原成立体图形并求其表面积，如图，几何体的表面积由5个面积组成，S 表＝12×2×2＋2×2＋2×12×2×5＋12×2×22＝6＋25＋22.9. 已知a ＝(1，2)，b ＝(0，1)，c ＝(k ，－2)，若(a ＋2b)⊥c，则k 等于(C) A. 2 B. －2 C. 8 D. －8∵a ＝(1，2)，b ＝(0，1)，a ＋2b ＝(1，4)，∴(a ＋2b )·c ＝k －8＝0，解得k ＝8. 10. (2013·牡丹江一模)如图所示，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A ，B ，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为(B)A. 2＋1B. 3＋1C.2＋12D.3＋12连接AF 1，可得∠AF 2F 1＝30°，∠F 1AF 2＝90°，由焦距的意义可知|F 2F 1|＝2c ，|AF 1|＝c ，由勾股定理可知|AF 2|＝3c ，由双曲线的定义可知|AF 2|－|AF 1|＝2a ，即3c －c ＝2a ，变形可得双曲线的离心率ca＝23－1＝3＋1.11. (2013·汕头二模)在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类“，记为[k]，即[k]＝{5n ＋k|n∈Z}，k ＝0，1，2，3，4.给出如下三个结论：①2 013∈[3]；②－2∈[2]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]．其中正确结论的个数为(C)A. 0B. 1C. 2D. 3∵2 013＝402×5＋3，∴2 013∈[3]，则①正确；－2＝－1×5＋3，∴－2∈[3]，∴②不正确；∵整数集中的数被5除可以且只可以分成五类，∴③正确．∴正确结论的个数为2.12. (2013·郑州二模)设f(x)是定义在R 上的增函数，且对于任意的x 都有f(1－x)＋f(1＋x)＝0恒成立．如果实数m ，n满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f （m 2－6m ＋23）＋f （n 2－8n ）＜0，m ＞3，那么m 2＋n 2的取值范围是(C) A. (3，7) B. (9，25)C. (13，49)D. (9，49)∵对于任意的x 都有f(1－x)＋f(1＋x)＝0恒成立， ∴f(1－x)＝－f(1＋x)．∵f(m 2－6m ＋23)＋f(n 2－8n)＜0，∴f(m 2－6m ＋23)＜－f [1＋(n 2－8n －1)]，∴f(m 2－6m ＋23)＜f [1－(n 2－8n －1)]＝f(2－n 2＋8n)，∵f(x)是定义在R 上的增函数，∴m 2－6m ＋23＜2－n 2＋8n ，∴(m －3)2＋(n －4)2＜4，∵(m －3)2＋(n －4)2＝4的圆心坐标为(3，4)，半径为2，∴(m －3)2＋(n －4)2＝4(m ＞3)内的点到原点距离的取值范围为(32＋22，5＋2)，即(13，7)，∵m 2＋n 2表示(m －3)2＋(n －4)2＝4内的点到原点距离的平方，∴m 2＋n 2 的取值范围是(13，49)．二、填空题(每小题5分，共20分)13. 等差数列{a n }的前7项和等于前2项和，若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝__6__．设等差数列的公差为d ，设其前n 项和为S n .由S 7＝S 2，得7a 1＋7×（7－1）d2＝2a 1＋d ，即7＋21d ＝2＋d ，解得d ＝－14.再由a 1＋(k －1)d ＋a 1＋3d ＝1－14(k －1)＋1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－14＝0.解得k ＝6.14. (2013·保定一模)已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≤x，x ＋y≥2，x ≤2，则z ＝2x ＋y 的最大值与最小值的比值为__2__．约束条件对应的平面区域如图所示．当直线z ＝2x ＋y 过A(2，2)时，z 取得最大值6.当直线z ＝2x ＋y 过B(1，1)时，z 取得最小值3，故z ＝2x ＋y 的最大值与最小值的比值为2.15. (2013·揭阳期末)在△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若(2b －c)cos A ＝acos C ，则cos A ＝__12__．在△ABC 中，∵(2b －c)cos A ＝acos C ，由正弦定理可得 2sin Bcos A －sin Ccos A ＝sin Acos C.化简可得2sin Bcos A ＝sin (A ＋C)，化简求得cos A ＝12.16. 函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0且a≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在mx ＋ny ＋2＝0上，其中mn ＞0，则1m ＋1n 的最小值为__3＋222__.∵函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0且a≠1)的图像恒过定点A(－2，－1)，点A 在mx＋ny ＋2＝0上，其中mn ＞0，∴－2m －n ＋2＝0，即 2m ＋n ＝2.∴m＞0，n ＞0. ∴1m ＋1n ＝m ＋n 2m ＋m ＋n 2n ＝1＋n2m ＋12＋mn ＝32＋n2m ＋mn ≥ 32＋2n 2m ·m n ＝3＋222，当且仅当n 2m＝m n时取等号，故1m ＋1n 的最小值为3＋222.三、解答题(共70分)17. (12分)(2013·江西师大附中期中)已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和为10，a na 3n是一个与n 无关的常数，数列{a n }的前n 项和为S n .(1)求数列{a n }的通项公式及数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 的前n 项和T n ；(2)若a 1，a 2，a 4恰为等比数列{b n }的前三项，记数列c n ＝a n (cos n π＋b n )，求{c n }的前n 项和K n .(1)a n a 3n 是一个与n 无关的常数，∴a 1＝d. ∵S 4＝4a 1＋12×4×3×d＝10a 1＝10，∴a 1＝1，∴a n ＝n ，S n ＝n （n ＋1）2，(3分)∴1S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1， ∴T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1.(6分) (2)∵b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝2，b 3＝a 4＝22是等比数列{b n }的前三项，∴b n ＝2n －1. ∴c n ＝n(－1)n ＋n×2n －1，(8分) 记A n ＝－1＋2－3＋…＋n(－1)n ，则A n＝⎩⎪⎨⎪⎧－n ＋12，当n 为奇数时，n2，当n 为偶数时，B n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n －1＝(n －1)2n ＋1.∴K n＝⎩⎪⎨⎪⎧（n －1）·2n －n －12，当n 为奇数时，（n －1）·2n＋n ＋22，当n 为偶数时.(12分)18. (12分)(2013·汕头二模)某网站体育版块足球栏目组发起了“选手的上场时间与进球有关系”的调查活动，在所有参与调查的人中，持“有关系”“没关系”“不知道”态度的人数如表所示：(1)态度的人中抽取45人，求n的值；(2)在持“不知道”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任选取2人，求至少一人在40岁以下的概率；(3)在接受调查的人中，有8人给这项活动打出分数如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，把这8个人打出的分数看做一个总体，从中任取1个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率．(1)由题意得800＋10045＝800＋450＋200＋100＋150＋300n，(2分)∴n＝100.(3分)(2)设所选取的人中，40岁以下的有m人，则200200＋300＝m5，解得m＝2.(5分)也就是40岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作A1，A2，B1，B2，B3，则从中任取2人的所有基本事件为(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A1，A2)，(B1，B2)，(B2，B3)，(B1，B3)，共10个．(7分) 其中至少有1人在40岁以下的基本事件有7个：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A1，A2)，(8分)∴从中任意抽取2人，至少有1人在40岁以下的概率为710.(9分)(3)总体的平均数为x＝18(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.0，(10分)那么与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数只有8.2，∴该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率为18.(12分)19. (12分)(2013·郑州二模)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D 为CC1的中点．(1)求证：AB1⊥平面A1BD；(2)设点O 为AB 1上的动点，当OD∥平面ABC 时，求AOOB 1的值．(1)取BC 中点为M ，连接AM ，B 1M ，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC⊥平面BB 1C 1C ，△ABC 为正三角形，∴AM ⊥BC ，(2分)故AM⊥平面BB 1C 1C ，又BD ⊂平面BB 1C 1C ，∴AM ⊥BD. 又正方形BCC 1B 1中，tan∠BB 1M ＝tan∠CBD＝12，∴∠BB 1M ＝∠CBD，∴BD ⊥B 1M ，又B 1M ∩AM ＝M ， ∴BD ⊥平面AB 1M ，故AB 1⊥BD ，(4分) 又正方形BAA 1B 1中，AB 1⊥A 1B ，A 1B ∩BD ＝B ， ∴AB 1⊥平面A 1BD.(6分)(2)取AA 1的中点为N ，连接ND ，OD ，ON.∵N ，D 分别为AA 1，CC 1的中点，∴ND ∥平面ABC ，又OD∥平面ABC ，ND ∩OD ＝D ，∴平面NOD∥平面ABC ，(8分)∴ON ∥平面ABC ，又ON ⊂平面BAA 1B 1，平面BAA 1B 1∩平面ABC ＝AB ，∴ON ∥AB ，注意到AB∥A 1B 1，∴ON ∥A 1B 1，又N 为AA 1的中点，∴O 为AB 1的中点，即AO OB 1＝1为所求．(12分)20. (12分)(2013·天津和平二模)已知点A ，B 分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)长轴的左、右端点，点C 是椭圆短轴的一个端点，且离心率e ＝22.△ABC 的面积为2，动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆交于M ，N 两点．(1)求椭圆的方程；(2)若椭圆上存在点P ，满足OM →＋ON →＝λOP →(O 为坐标原点)，求λ的取值范围；(3)在(2)的条件下，当λ＝2时，求△MNO 的面积．(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2a ＝22，12×2a ×b ＝2，∴a ＝2，b ＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(3分)(2)y ＝kx ＋m 代入椭圆方程整理可得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 设点M ，N ，P 的坐标分别为M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，P(x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2.∴y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋2k 2.(ⅰ)当m ＝0时，点M ，N 关于原点对称，则λ＝0.(4分) (ⅱ)当m≠0时，点M ，N 不关于原点对称，则λ≠0， ∵OM→＋ON →＝λOP →， ∴(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝λ(x 0，y 0)，∴x 1＋x 2＝λx 0，y 1＋y 2＝λy 0， ∴x 0＝－4kmλ（1＋2k 2），y 0＝2m λ（1＋2k 2）.(6分)∵P 在椭圆上，∴⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4km λ（1＋2k 2）22＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2m λ（1＋2k 2）2＝1. 化简，得4m 2(1＋2k 2)＝λ2(1＋2k 2)2. ∵1＋2k 2≠0，∴4m 2＝λ2(1＋2k 2)． ①又Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝8(1＋2k 2－m 2)， ∴由Δ＞0，得1＋2k 2＞m 2. ②(8分)∵m ≠0，∴由①②得λ2＜4，∴－2＜λ＜2且λ≠0.综合(ⅰ)(ⅱ)两种情况，得实数λ的取值范围是(－2，2)．(8分) (3)由题意，|MN|＝1＋k 2|x 1－x 2|，点O 到直线MN 的距离d ＝|m|1＋k 2，∴S △MNO ＝12|m|·|x 1－x 2|＝2|m|1＋2k 2－m 21＋2k 2.当λ＝2时，由4m 2＝λ2(1＋2k 2)可得2m 2＝1＋2k 2，∴S △MNO ＝22.(12分)21. (12分)已知函数f(x)＝ln x 与g(x)＝kx ＋b(k ，b ∈R)的图像交于P ，Q 两点，曲线y ＝f(x)在P ，Q 两点处的切线交于点A.(1)当k ＝e ，b ＝－3时，求f(x)－g(x)的最大值(e 为自然常数)； (2)若A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫e e －1，1e －1，求实数k ，b 的值． (1)设h(x)＝f(x)－g(x)＝ln x －ex ＋3(x ＞0)，则h′(x)＝1x －e ＝－e x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －1e ，当0＜x ＜1e 时，h ′(x)＞0，此时函数h(x)为增函数；当x ＞1e时，h ′(x)＜0，此时函数h(x)为减函数．∴函数h(x)的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，1e ，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e ，＋∞.∴当x ＝1e 时，f(x)－g(x)的最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e ＝－1－1＋3＝1.(6分)(2)设过点A 的直线l 与函数f(x)＝ln x 切于点(x 0，ln x 0)，则其斜率k ＝1x 0，故切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，将点A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫e e －1，1e －1代入直线l 方程得1e －1－ln x 0＝1x 0⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫e e －1－x 0，即e －1e ln x 0＋1x 0－1＝0，(8分)设v(x)＝e －1e ln x ＋1x －1(x ＞0)，则v′(x)＝e －1ex －1x 2＝e －1ex 2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －e e －1，当0＜x ＜ee －1时，v ′(x)＜0，函数v(x)为减函数；当x ＞ee －1时，v ′(x)＞0，函数v(x)为增函数. (10分) 故方程v(x)＝0至多有两个实根，又v(1)＝v(e)＝0，∴方程v(x)＝0的两个实根为1和e ，故P(1，0)，Q(e ，1)，∴k ＝1e －1，b ＝11－e 为所求．(12分) 22. (10分)(2013·徐州三模)如图，已知圆A ，圆B 都经过点C ，BC 是圆A 的切线，圆B 交AB 于点D ，连接CD 并延长交圆A 于点E ，连接AE.求证：DE·DC＝2AD·DB.∵BC 是⊙A 的切线，∴AC ⊥BC ，∵∠ACD ＋∠BCD＝90°，AC ＝AE ，BC ＝BD ，∴∠ACD ＝∠E，∠BCD ＝∠BDC，∵∠ADE ＝∠BDC，∴∠E ＋∠ADE＝90°，∴AE ⊥AB.(6分) 延长DB 交⊙B 于点F ，连接FC ，则DF ＝2DB ，∠DCF ＝90°， ∴∠ACD ＝∠F，∴∠E ＝∠F，∴Rt △ADE Rt△CDF，∴AD CD ＝DE DF，∴DE ·DC ＝AD·DF， ∵DF ＝2DB ，∴DE ·DC ＝2AD·DB.(10分)23. (10分)(2013·南阳模拟)已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． (1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标； (2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．(1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3（x －1），x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点为(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，－32.(5分) (2)C 1的普通方程为xsin α－ycos α－sin α＝0.A 点坐标为(sin 2α，－sin αcos α)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α， P 点轨迹的普通方程⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －142＋y 2＝116. 故P 点轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，0，半径为14的圆．(10分) 24. (10分)已知函数f(x)＝|x －a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．(1)由f(x)≤3得|x －a|≤3，解得a －3≤x≤a＋3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2. (5分) (2)当a ＝2时，f(x)＝|x －2|.设g(x)＝f(x)＋f(x ＋5)，于是g(x)＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ＜－3，5，－3≤x≤2，2x ＋1，x ＞2，∴当x ＜－3时，g(x)＞5；当－3≤x≤2时，g(x)＝5；当x ＞2时，g(x)＞5.综上可得，g(x)的最小值为5.从而，若f(x)＋f(x ＋5)≥m，即g(x)≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]. (10分)。

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第十模块算法初步､框图与复数综合检测(时间120分钟,满分150分)一､选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2011·浙江省温州市高三八校联考)若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位,b 是实数),则b为( )A.1B.-1C.2D.-2解析:(1+bi)(2+i)=(2-b)+(2b+1)i∵该复数为纯虚数,∴20, 210,bb-=⎧⎨+≠⎩∴b=2.答案:C2.(2011·河南省豫南九校高三第一次联考)已知i为虚数单位,复数z=121ii+-,则复数z在复平面内的对应点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:z=12(12)(1)1313. 12222i i i ii i+++-+===-+-它对应的点为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭,在第二象限.答案:B3.(2011·山东省罗美中学高三上学期测试)如图是一算法的程序框图,若此程序运行结果为s=720,则在判断框中应填入关于k的判断条件是( )A.k≥6B.k≥7C.k≥8D.k≥9解析:s=10×9×8=720,故判断条件为k≥8. 答案:C4.(2011·安徽省皖南八校高三第一次联考)设复数z=1-i,则222z z+等于( ) A.-1+i B.1+iC.-1+2iD.1+2i解析:∵z=1-i,∴z 2=-2i,∴221i z i==-, ∵2211i z i ==+-,∴222112i i i z z+=++=+. 答案:D5.(2011·安徽省皖南八校高三摸底联考)已知复数z 的实部为-1,虚部为2,则5iz等于( )A.2-iB.2+iC.-2-iD.-2+i解析:因为由条件知z=-1+2i,故55(12)5102(12)(12)5i i i iiz i i---+===--+--.答案:A6.(2011·安徽省合肥市高校附中高三联考)i是虚数单位,复数z=i2010+21i+的虚部是( )A.-2B.-1C.-iD.1解析:z=i2010+21i+=i2+(1-i)=-1+1-i=-i.∴复数z的虚部为-1.答案:B7.(2011·安徽省合肥市高校附中高三联考)运行如图所示的程序框图,若输出的y值的范围为[0,4],则输入的x的值的范围可以为( )A.[-1,2]B.[-1,3]C.[0,2]D.[-2,2]解析:该程序框图表示的分段函数为21,1,,11,3, 1.x x y x x x x +>⎧⎪=-⎨⎪-<-⎩≤≤∴当x>1时,y>2;当-1≤x≤1时,y∈[0,1]; 当x<-1时,y>4.∵y 的范围为[0,4],∴输入的x 的范围可以是[-1,3]. 答案:B8.(2011·浙江省温州市高三八校联考)某同学设计下面的流程图用以计算和式1×10+3×12+5×14+…+19×28的值,则在判断框中可以填写( )A.I≥19B.I>20C.I>21D.I<21解析:当S=S+19×28执行后,I=I+2=21,此时循环终止,故判断框内的条件为I>20. 答案:B9.(2011·浙江省温州市高三八校联考)某程序框图如图所示,现将输出(x,y)值依次记为:(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n ),…;若程序运行中输出的一个数组是(x,-10),则数组中的x 的值为( )A.64B.32C.16D.8解析:输出的数组(x,y)依次为(1,0),(2,-2),(4,-4),(8,-6),(16,-8),(32,-10),…,故当y=-10时,x=32.答案:B10.(2011·浙江省高三调研测试数学试题)某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的S的值为( )A.1B.1 2C.14D.18解析:循环过程中得到的S的值依次为111,,842,1,…,它的周期为4,故程序终止时,k=2011,故输出的值为14.答案:C二､填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上.11.(2011·山东省罗美中学高三上学期测试)如果复数212bii-+(其中i为虚数单位,b∈R)的实部和虚部互为相反数,则b等于________.解析:2(2)(12)(22)(4) 1255bi bi i b b ii-----+==+,∵复数212bii-+的实部和虚部互为相互数,∴(2-2b)-(4+b)=0,∴3b=-2,∴b=-23.答案:2 3 -12.(2010·上海)若复数z=1-2i(i为虚数单位),则z·\overline {z}+z=________. 解析:z·z+z=1+4+(1-2i)=6-2i.答案:6-2i13.(2010·北京海淀区高三练习)阅读如图所示的程序框图,若运行该程序后输出的y值为18,则输入的实数x的值为________.解析:当x>0时,令2x 2-1=18,∴x=34; 当x≤0时,11()28x=,解得x=3>0与x≤0矛盾. 因此,输入的实数x 的值为34. 答案:3414.(2010·浙江温州十校联合体高三模拟)某程序框图如图所示,该程序运行后输出的结果是________.解析:按照程序框图运行后可得S=0+1+3+…+49=25(149)2⨯+=625.故输出的结果为625.答案:62515.设a 、b 为实数,若复数12ia bi++=1+i,则a+b=______. 解析:a+bi=1231122i i i +=++,∴31,22a b ==, ∴a+b=2. 答案:2三､解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.16.已知z 、w 为复数,(1+3i)z 为纯虚数,2zw i=+ ,且||w =求w. 解:解法一:设z=a+bi(a,b∈R ), 则(1+3i)z=(a-3b)+(3a+b)i. 由题意知a=3b≠0.∵||||2zw i==+||z ==将a=3b 代入,解得155a b =⎧⎨=⎩或15,5.a b =-⎧⎨=-⎩∴w=±1552ii++=±(7-i). 解法二:由题意,设(1+3i)z=ki(k≠0,且k∈R ),则(2)(13)kiw i i =++.∵||w =-i).17.观察所给程序框图,说明它所表示的函数,当输入x=2时,求输出的y 值.解:读图可知,所表示的函数为5,(0),20,(0),3,(0).2xx y x xx ⎧->⎪⎪==⎨⎪⎪+<⎩当x=2时,输出的y=-4.18.画出程度框图并设计程序,对输入的任意两个实数,按从大到小的顺序排列,并输出. 解:程序框图如图:程序为:输入a,bIf a<b Thenx=aa=bb=xEnd If输出a,b19.证明在复数范围内,方程|z|2+(1-i)z-(1+i)z=552ii-+(i为虚数单位)无解.证明:原方程化简为|z|2+(1-i)z -(1+i)z=1-3i, 设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得x2+y2-2xi-2yi=1-3i,∴221, 223, x yx y⎧+=⎨+=⎩∴8x2-12x+5=0,∵Δ=(-12)2-4×8×5=-16<0, ∴方程8x2-12x+5=0无解,∴原方程在复数范围内无解.20.已知z是复数,z+2i､2zi-均为实数(i为虚数单位),且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.解:设z=x+yi(x、y∈R),∵z+2i=x+(y+2)i,由题意得y=-2.∵21(2)(2) 225z x ix i ii i-==-+ --11(22)(4)55x x i=++-,由题意得x=4.∴z=4-2i.∵(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,11根据条件,可知212408(2)0a a a ⎧+->⎨->⎩,解得2<a<6,∴实数a 的取值范围是(2,6).21.设计一个算法,输入一个学生的成绩S,根据该成绩的不同作如下输出:若S<60,则输出“不及格”;若60≤S<85,则输出“及格”,若S≥85,则输出“优秀”.画出程序框图,并写出程序.解:程序框图如下:程序如下:。