二次根式 单元小结
二次根式单元小结(一)
2.(2005.青岛)
3.求下列二次根式中字母的取值范围
1 x 5 3 x
解： x
3- x 0
5 0
①
②
解得
- 5≤x＜3
练习与反馈
1．要使下列式子有意义，求字母Ｘ 的取值范围 1 （１） （３） （５）
3 x
二次根式的概念
１．二次根式的定义： 形如 a（a 0）的式子 叫做二次根式
２．二次根式的识别： （１）．被开方数
a0
（２）．根指数是２
例．下列各式中那些是二次根式？ 那些不是？为什么？
①
是
15
2
②
不是
2
3a
③
x 100
是
④
a b
是
2
⑤
不是
a2 1
⑥
不是
2
2
( 2x) ( 3y) 2x 3y 2x 3 y
2
．在实数范围内分解因式 2
（１）
x 2
2
（２）
（３）
x 2 3x 3
x 9x
5
（４）
a 3a 2
4 2
6．若
x 1
求
y 1 0
2
x y
2
2
的值
2
7． 求下列各式的值 （１）( 3)
2
（２） (3) （４）
（３） ( x 1)
( x 1)
2
8．计算 （１） ( 5) 2 ( 5) 2 （２） ( 10)2 (3 3)2
题型3最简二次根式：
浙教版八年级数学下册(二次根式)单元知识点总结
教学文档
浙教版八年级数学下册（二次根式）单元知识点总结浙教版八年级数学下册（二次根式）单元知识点总结
一、二次根式
1、定义：一般地,形如√ā(a≥0)的代数式叫做二次根式.当a;0时,√a表示a的算数平方根,√0=0
2、概念：式子√ā(a≥0)叫二次根式.√ā(a≥0)是一个非负数.
3.二次根式√ā的简单性质和几何意义
二、二次根式的性质
形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被放开数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a≥0是√a为二次根式的前提条件，如√5，√(x2+1)，
√(x-1) (x≥1)等是二次根式，而√(-2)，√(-x2-7)等都不是二次根式。
三、二次根式的运算
二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减.
(1)二次根式的加减：
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减，被开方数不变。
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并.但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数.
(2)二次根式的乘除：
注意：乘、除法的运算法则要灵敏运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式.
.。
二次根式总结归纳
二次根式总结归纳一、二次根式的定义及性质1. 二次根式的定义二次根式是指形如√a的根式，其中a为一个非负实数。
2. 二次根式的化简二次根式可以进行化简，满足以下规则： - √a⋅√b=√ab，其中a≥0，b≥0。
- √a√b =√ab，其中a≥0，b>0。
3. 二次根式的运算二次根式可以进行加、减、乘、除等基本运算。
- 加法：√a+√b无法化简，保留原样。
- 减法：√a−√b无法化简，保留原样。
- 乘法：(√a)(√b)=√ab。
-除法：√a√b =√ab，其中b≠0。
二、二次根式的应用1. 二次根式的几何意义二次根式在几何学中有着重要的应用，特别是在求解面积和边长时。
- 面积应用：当我们需要计算一些形状的面积时，经常会遇到二次根式。
例如，矩形的对角线长度可以表示为√a2+b2，其中a和b分别是矩形的两个边长。
- 边长应用：在某些情况下，已知一个图形的面积，需要求解该图形某一个边的长度。
二次根式的运算可以帮助我们求解这些问题。
例如，等边三角形的边长可以表示为√√3，其中S是等边三角形的面积。
2. 二次根式的化简与证明二次根式的化简和证明是数学中的重要内容，常见的方法包括有理化分母、提取公因式等。
- 有理化分母：当二次根式出现在分母中时，为了简化运算，可以通过有理化分母的方法消除分母中的二次根式。
例如，√2可以通过乘以√2√2来有理化分母得到√22。
- 提取公因式：当一个二次根式等于另一个二次根式的倍数时，可以通过提取公因式的方式进行化简。
例如，√24可以化简为2√6，因为√6是√24的公因式。
三、二次根式的解法1. 二次根式的简单求解对于形如x 2=a 的二次根式方程，可以通过平方根的性质求解，得到x =±√a 。
例如，对于方程x 2=16，其解为x =±4。
2. 二次根式的复杂求解对于形如x 2+bx +c =0的二次根式方程，可以通过求解二次根式的不同情况来得到解。
人教版八年级下册二次根式小结与复习
3.若x，y是实数，且y＜
x1
1x 12,求
1 y
y 1
的值.
解：根据题意得， 1x
1≥ x≥
0， 0，
∴x=1.
.
∵y＜ x1 1x1,
2
∴y＜ 1 ，
2
∴ 1 y 1 y 1 .
y 1 y 1
要点梳理 二、二次根式的性质
( a )2
a2
从运算 顺序看 从取值 范围看 从运算 结果看
意义
解：x2-2x-3=(x-3)(x+1) 3 133 1 1
【解析】根据题意及二次根式与完全平方式的非负性可知
和
均为0.
32 32 1 . 解：∵a、b、c是△ABC的三边长，
除法： ＝____(a≥0，b>0)．
乘法：
＝______(a≥0，b≥0)；
3.已知 x 51, y 51，求 x xy y 的值. 学调7(【若 解②(31定))法动解二：内定__理指 学 析 次由 在时_1分导生】根 题特定在母必的根式 意征量角_须学据得：做_的与习题被m_一无平-教积意开2些根分≥学极及方客0号线且改性二数观有，上m革。次a题意根的2≥同根和义-0号m点走式中，-无到2进与档求≠_这0行完_题m，个_，全的，分角协平取训母的调方值练_两_开式范速_边。展的围度的，非．和距持负正离之性确相以可率等恒知，。适我量们做在一和数些学综教合学题的，同提时高应解均关题为于思20理维. 论能联力系。实并际及，时因2总人结而、异记，忆因，材内施化教提，高充。分
二次根 式乘法
拓展法则
a b ka bk （ a 0 ,b 0 ,k 0 )
m a nb = m na b （ a 0 ,b 0 )
二次根式的小结与
1+ x 2x 例4.(08.威海)先化简, 再求值 : ÷ (x − ), 其中x = 2. 1− x 1− x
1 + x x − x 2 − 2 x 1 + x − x( x + 1) 解 : 原式 = ÷ = ÷ 1− x 1− x 1− x 1− x 1+ x 1− x 1 = • =− . 1 − x − x( x + 1) x 1 1 2 当x = 2时, 原式 = − = − =− . x 2 2
2 1 a +1 a −1− a2 a 3.解 : 原式 = − •a = =− . 2 2 2 a − 1 (a − 1) (a − 1) (a − 1) 1 1 当a = 1 − 2时, 原式 = − =− . 2 2 (1 − 2 − 1)
2 2 3 3 4 4 . , =4 例7已知 2 + = 2 , 3 + = 3 , 4 + 3 3 8 8 15 15 a a ......。若 8 + = 8 (a, b均为实数), b b 63 (1)请推测a = __________, b = ______________ . 8 (2)通过上述特殊例子, 你能得出什么规律吗 ? 请用含x的等式来表示, 并证明它的正确性.
二次根式的小结与复习
主讲： 主讲：仙源初中
彭望辉
知识点回顾： 知识点回顾：
指形如 : a (a ≥ 0)的式子. 二次根式的定义： 1、二次根式的定义：
2 1 式的 ：
二 次 根 式
2
a (a ≥ 0)
当a ≥ 0时 ⇔ a有意义. 当a < 0时 ⇔ a
2
3、二次根式有 无意义的情况： 无意义的情况：
二次根式章小结
《二次根式》小结与复习备课人：任芳 审核：黄亚萍、杨栓祥 班级： 姓名：复习目标：1．进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．复习重点：二次根式的计算和化简复习难点：二次根式的混合运算，正确依据相关性质化简二次根式。
复习过程：知识点1、二次根式的意义 一般地，我们把形如a （a ≥0）•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 二次根式应满足两个条件：1、形式上必须是a 的形式；2、被开方数必须是非负数。
练习一1、式子,21),31(31,1,21,27,25,1,1,23+>-+--+x x a a a a 21a --中，是二次根式的是 .2、当a 时，1-a 是二次根式.3、若式子21-+x x 有意义，则x 的取值范围是 . 4、使式子a 23-有意义且取得最小值的a 的取值是 ，a 23-的最小值是 .知识点二、二次根式的性质 ⑴)0()(2≥=a a a ⑵||2a a =⑶ab ＝a ×b ( a ≥0 ，b ≥0)⑷a b =a b（a ≥0，b >0） 练习二 1、化简：2)2(-= 2)32(-= 2)16.0(= 2)14.3(π-=________2、若233+-+-=x x y ，则xy = 。
3、分解因式：⑴x 2-3= ⑵ 2x 2-3=4、已知()222x x -=-，则x 的取值范围是5、已知2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-x x =_____________.6、将二次根式1a a ⋅-根号外的因式移到根号内为______________. 知识点三、最简二次根式满足下列条件的二次根式，称为最简二次根式：⑴被开方数不含分母；⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
练习三1、在根式22222,122,2,1,125,5b ab a a x a a +++中，最简二次根式是 .2、化简：⑴34= ，⑵2723-= ，⑶231+= ，⑷813= 。
二次根式的复习和小结
12
2
2
2 1
2
2 1 2
1
2 1
例题5.
已知x 1 2 3 ，求代数式
7 4
3 x
2
2
3 x
3 的值.
例题பைடு நூலகம்.
已 知 a b 4, ab 2 ， 求 a b b a 的值.
例题7.比较大小.
1 a
3 2,b 2 3,c 4 b c d 0, x 则 a , b , c的 大 小 关 系 是 ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ . ab cd , y ac bd , z ad bc ,
2x 4
2
2 x 5 _______ .
3.最简二次根式.
满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式: ①____________________________________; ②____________________________________.
练习:
1.下列各式属于最简二次根式的是(
A . 8 B. x
2
)
D. 1 2
1
C.
y
3
2.下列各式中，哪些是同类二次根式？
75 1 50 1 27 12 32
例题4.计算.
1 2 3 4
5a b
3
a
2
b 1 2 3
2
a
b 0 2 2 7 3
28 5 1 2 3
1
x y
3 2
2
1 3x 5
(3) x 5 3 2 x
二次根式小结与评价
第十六章：小结与评价一、本章主要知识回顾1、当a ≥0时，a 叫做二次根式。
2、二次根式有如下性质()2a =a （a ≥0） ⎪⎩⎪⎨⎧<->>==)0()0(0)0(2a a a a a a ab a b a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0）利用等式的对称性可知： b a b a =（a ≥0，b ＞0）b a b a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0）b a b a =（a ≥0，b ＞0）3、二次根式的加、减、乘除运算①最简二次根式②同类二次根 附：(a+b)(a －b)=a 2－b 2(a ±b)2=a 2±2ab ＋b 2 二、优秀作业展示三、有错大家辨（错误作业展示）温馨提示：（1）错在哪里？（2）错误的原因是什么？（3）应如何改正？1、马虎不认真2、错用乘法公式3、没严格的按照运算顺序来计算4、没注意书写格式5、特别要注意附加条件是性质概念不可分割的一部分6、结果没有化成最简二次根式2、我再试一试 ①()()23322332-+ ②()()2232233223+-- ③321)32(120++-- ④3281- 三、我是小神探（隐含条件的应用）1、若021=++-n m ，则m+n 的值为________2、化简22)32(144--+-x x x 得_________ 解：)32()12(2---=x x 原式)32(12---=x x有几位同学做到这一点往下……四、经典题例赏析 ①552555252=⨯⨯=；②36333232=⨯⨯=；③()()()()()131313213131321322-=--=-+-⨯=+数学上把这种分母中的根号去掉的过程称为“分母有理化”。
132+还可以用以下方法化简：()()()131313131313131313222-=+-+=+-=+-=+解答下列问题：请参照上述方法把下列各分母有理化：①36； ②352-2、在化简y x y x +-时，甲、乙两位同学的解答如下： 甲：()()()()()()()()y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x -=---=-+--=+-22乙：()()()()y x y x y x y x y x y x y x yx -=+-+=+-=+-22A 、两人解法都对B 、甲错乙对C 、甲对乙错D 、两人都错五、本章易考点题例：当a=_______时，最简二次根式732--a 与323-a 是同类二次根式。
二次根式小结(1)
3
2 = 2 ______ . 5 5
一般地，对二次根式的除法规定
a a a 0, b 0 b b
二次根式的加法
8＋ 18 2 2＋3 2 （化成最简二次根式） 2＋3 2 5 2
（分配律）
分析上面计算 8＋ 18 的过程，可以看到，把 8 和 18 化 成最简二次根式 2 2 和 3 2 后，由于被开方数相同（都是2）， 可以利用分配律将 3 2 和 2 2 进行合并.
二次根式相减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将 被开方数相同的二次根式进行合并.
4.结合本章内容，进一步体会代数式在表 示数量关系方面的作用.
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；
汉?虽然这个婴儿很强壮！ "老大你抓稳,我要再次提速了." 小白传音之后,就沉默不语,再次加速,穿梭在森林里.后面巨刺龙庞大の身影,横冲直撞而来,凡它走过之处,树木纷纷倒地,一片狼藉.巨大の吼声,震起片片落叶,惊起群群不知名の鸟类. "小白,往左边,往树木茂盛の地方去,走空 旷の地方,你速度比不过它." 白重炙死死抱住小白の颈部,整个身子贴在小白の身子上,耳边传来风の呼啸声和越来越近の巨刺龙吼声,扫了扫前方の地形,附在小白耳边大声吼道. 牛犊般大小の噬魂智小白,眼珠子泛着冷冷の寒光,头微微低着.听闻白重炙の喊声,往左边看了眼,一个漂亮 の转弯,没有丝毫减速,一把拐进左边の林丛边. 咻！咻！ 噬魂智化作一道道清风,在丛林中不断の穿梭,躲避.在拐弯,转角之时,速度竟然一丝不减,速度达到了恐怖の地步. 而后面の巨刺龙,显然也被激怒了,起了xing子,竟然紧追不舍,庞大の身躯,如同一台巨大の推土机般,直线追来,它 走过之地,一片平坦,茂密の丛林,竟然被它生生压住一条
二次根式小结笔记
二次根式小结笔记二次根式是代数中常见的一种形式，常常在数学问题中出现。
二次根式主要包括平方根、n次根、有理化等操作。
在学习代数的过程中，对二次根式的理解和运用至关重要。
下面将对二次根式进行小结笔记：平方根平方根是指一个数的平方根的一般形式表示为√a，其中a≥0。
平方根的性质包括：•若a≥0，则√a ≥ 0；•若a>b>0，则√a>√b；•若a>0，则√a存在实数解。
n次根n次根是指一个数的n次根的一般形式表示为√n√a，其中n为次数，a≥0。
n次根的性质包括：•若n为偶数且a≥0，则√n√a ≥ 0；•若n为奇数，则√n√a存在实数解。
有理化有理化是指将含有根号的表达式转化为不含根号的表达式。
有理化的方法包括：•有理化分母：分子、分母同乘√a，将分母中的根号消去；•有理化分子：利用公式(a+b)(a-b)=a²-b²，消去分子中的根号；•有理化式的完全平方公式：对于形如a²-√b 或a²+√b的式子，可以利用完全平方公式转化。
运算二次根式的运算主要包括加减乘除四则运算。
在进行运算时，需要注意同类项的相加减，乘法时要注意根号内外的乘法规则，而除法时要注意消去根号以得到最简形式。
实例应用二次根式在数学问题中的应用广泛，例如在代数方程、勾股定理等问题中都会涉及到二次根式的运算和化简。
通过对二次根式的小结笔记，我们可以更好地理解和运用二次根式，加深对代数知识的理解。
熟练掌握二次根式的性质和运算规则，能够更轻松地解决数学问题，提高数学水平。
二次根式小结与思考
教学目标1知识与能力目标:(1)复习理解二次根式的有关概念；(2)熟练掌握二次根式有意义的条件；(3)熟练掌握二次根式的化简和加碱、乘除、乘方混合运算。
.2、过程与方法目标:通过对相关问题的变式探究,正确运用二次根式知识,进一步体验形成解决问题的一些基本策略,发展实践能力和创新精神.3、情感态度与价值观目标:鼓励学生主动参与二次根式复习活动,积极引导学生走到讲台前大胆表达自己的想法,激发学习兴趣,获得问题解决后的乐趣,渗透数形结合、转化等数学思想方法.2学情分析二次根式在教学中必须立足基础知识,加强基础知识的教学,要让学生通过历史知识的学习,形成良好的思维习惯,培养学生良好的学习惯和严谨认真的学习态度加强规范语言训练,提高答题得分率。
对于二次根式的回顾和反思,过程中所体现的数学学习的一般规律和方法,是继平方根、算术平方根等概念之后的再一次强化.教材中呈现的从已知正方形面积求正方边长等入手，引入二次根式的概念.此外,二次根式的复习,是继平方根，算术平方根的一次拓展,理解与认识上的一次升华,也是思维上的一次飞跃.要多督促多鼓励,调动学生学习的积极性和主动性,遵循贴近生活、贴近学生实际的教学思路,抓好平时辅导,给予学生帮助。
3重点难点重点:进一步掌握二次根式的概念和二次根式有意义的条件并正确运用.难点:二次根式性质的灵活运用;二次根式的化简和混合运算；转化等思想的应用.4教学过程4.1第一学时4.1.1教学目标1、知识与能力目标:(1)复习理解二次根式的有关概念；(2)熟练掌握二次根式有意义的条件；(3)熟练掌握二次根式的化简和加碱、乘除、乘方混合运算。
.2、过程与方法目标:通过对相关问题的变式探究,正确运用二次根式知识,进一步体验形成解决问题的一些基本策略,发展实践能力和创新精神.。
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储潭中学数学学案
编制：占超根 审核：八年级数学组 使用人 班级 2014、2、14 得数学者得天下
用思考历练自己 用智慧塑造人生 知识是学出来的 能力是练出来的
1 二次根式 概念
性质
运算
第16章二次根式 单元小结
学习目标：1、会识别二次根式以及确定其有意义的条件；
2、会根据有关性质化简二次根式；
3、会进行二次根式的四则混合运算.
学习重点：会正确进行二次根式的混合运算.
学习难点：注意二次根式的性质、运算法则的适用条件
一、 知识网络
二、知识达标
1、形如 （ ）的式子称为二次根式.
2、二次根式的性质：
①a （a ≥0）是一个 数 ；② （a ）2
= （a ≥0） ③当a ≥0时，2a =_____；当a<0时，2a =_______， 3、用基本 符号把数或字母连接起来的式子称为代数式.
4二次根式的乘、除法则：（逆用时可作为化简二次根式的性质）
①a ·b ＝ （ ）② = （ ）
5、最简二次根式的条件：① 被开方数中不含 ；②被开方数中不含 的因数或因式（这里指整数或整式）.
6、二次根式的加减法则：先化成 二次根式，再将被开方数 的二次根式 .（简单记为“一化二合并”）
7、进行二次根式的混合运算①运算顺序：先 、再 、最后 ，有括号时可以先算括号里面的；②整式的运算法则、性质、运算律、乘法公式 和 等仍适用.
三、典例引领
【例1】当x 是多少时，(1)23x ++1
1
x +在实数范围内有意义？
课海拾贝 反思纠错
【例2】 (1)已知y=2x -+2x -+5，求x
y
的值．
（2）若 ，求xy 的值
【例3】计算 （1）
（2） 四、自主检测
1、若3x -+3x -有意义，则2x -=_______．
2、若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________．
3、下列各式：①33+3=63；②
1
7
7=1；③2+6=8=22；
④
24
3
=22，其中错误的有 （只填序号） 4、已知32,32x y =+=-，求3
3
_________x y xy += 5、先化简再求值：当a=9时，求a+212a a -+的值。
6 、(1) 2
(3)-+(-32)2
(2) 27-(12-3
1
3
)
(3) (2-3)(22+1)
四、书面作业
课本“复习题3、5、6”.
课海拾贝 反思纠错
a
b
(
)1485423313⎛
⎫
-÷+-+ ⎪
⎝⎭()()()
2
743743
351+---2440x y y y -+-+=
数学，我的最爱
正式作业 班级 姓名
理解了的知识方可掌握牢固 体验了的问题才能印象深刻
2
达标测评
课海拾贝 反思纠错
储潭中学数学学案
编制：占超根审核：八年级数学组使用人班级2014、2、14 得数学者得天下
3
用思考历练自己用智慧塑造人生知识是学出来的能力是练出来的。