人教A版高中数学高三一轮第六章不等式6.1不等关系与不等式(练习)【教师版】(附解析) (1)

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高考数学一轮复习第六章不等式第一讲不等关系与不等式学案含解析新人教版

第六章不等式第一讲不等关系与不等式知识梳理·双基自测知识梳理知识点一实数的大小与运算性质的关系 (1)a >b ⇔__a －b >0__； (2)a ＝b ⇔__a －b ＝0__； (3)a b ⇔b <a ；(2)传递性：a >b ，b >c ⇒__a >c __；(3)同向可加性：a >b ⇔a ＋c __>__b ＋c ；a >b ，c >d ⇒a ＋c __>__b ＋d ；(4)同向同正可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac __<__bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ； (5)可乘方性：a >b >0⇒a n __>__b n (n ∈N ，n ≥2)； (6)可开方性：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)．归纳拓展1．a >b ，ab >0⇒1a <1b .2．a <0b >0,0<c <d ⇒a c >bd.4．若a >b >0，m >0，则b a b －ma －m(b －m >0)．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a 1，则a >b .( × )(3)a >b >0，c >d >0⇒a d >bc.( √ )(4)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( × ) (5)ab >0，a >b ⇔1a <1b .( √ )题组二走进教材2．(必修5P 74T3改编)若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[解析]a －b >0⇒a >b ⇒a >b ≥0⇒a 2>b 2，但由a 2－b 2>0a －b >0.3．(必修5P 74T3改编)设b <a ，d <c ，则下列不等式中一定成立的是( C ) A ．a －c b ＋dD ．a ＋d >b ＋c[解析] 由同向不等式具有可加性可知C 正确．题组三走向高考4．(2016·北京)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( C ) A ．1x －1y >0B ．sin x －sin y >0C ．⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y<0D ．ln x ＋ln y >0[解析] ∵x ，y ∈R ，且x >y >0，则1x <1y，sin x 与sin y 的大小关系不确定，⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫12y，即⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y <0，ln x ＋ln y 与0的大小关系不确定，故选C ．5．(2019·全国)若a >b ，则( C ) A ．ln(a －b )>0 B ．3a <3b C ．a 3－b 3>0D ．|a |>|b |考点突破·互动探究考点一比较代数式的大小——自主练透例1 (1)若x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小； (2)设a >0，b >0，且a ≠b ，试比较a a b b 与a b b a 的大小； (3)若a >b >0，试比较a －b 与a －b 的大小．[解析] (1)(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝(x －y )[(x 2＋y 2)－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )．∵x <y <0，∴xy >0，x －y <0.∴－2xy (x －y )>0.∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．(2)a a b b a b b a ＝a a －b ·b b －a ＝⎝⎛⎭⎫a b a －b .当a >b >0时，a b >1，a －b >0，∴⎝⎛⎭⎫a b a －b >1，∴a a b b >a b b a ；当b >a >0时，0<a b<1，a －b <0，∴⎝⎛⎭⎫a b a －b >1，∴a a b b >a b b a. (3)∵a >b >0，∴a －b >0，a －b >0，又(a －b )2－(a －b )2＝a －b －(a ＋b －2ab )＝2ab －2b ，∵a >b >0，∴a >b ，∴ab >b ，∴2ab －2b >0，即(a －b )2>(a －b )2，∴a －b >a－b .[引申]本例(2)的条件下a a b b __>__(ab )a ＋b2.名师点拨比较两实数大小的方法比较两个代数式的大小，常用的方法有两种，一种是作差法，解题步骤是：作差—变形—与0比较，变形的方法主要有通分、因式分解、配方等，变形的目的是为了更有利于判断符号．另一种是作商法，解题步骤是作商—变形—与1比较．作商法通常适用于两代数式同号的情形．注意①若ab >1，b <0，则a b >0，c >d >0，则下列不等式中一定不成立的是( C ) A ．a ＋c >b ＋d B ．a －d >b －c C ．a c >b dD ．ac >bd(2)(2021·广东华附、省实、广雅、深中期末联考)设a >1>b >－1，b ≠0，则下列不等式中恒成立的是( C )A ．1a <1bB ．1a >1bC ．a >b 2D ．a 2>2b(3)(2021·四省八校质检)若log a b <log a c ，则下列不等式一定成立的是( C ) A ．ab <ac B ．a b >acC ．a b <a cD ．b a >c a[解析] (1)对于A ，因为a >b >0，c >d >0，所以a ＋c >b ＋d 成立．对于B ，因为a ＋c >b ＋d ，所以a －d >b －c 成立．对于C ，举反例，如a ＝6，b ＝2，c ＝3，d ＝1，可知a c ＝bd ，故C 不成立．对于D ，因为a >b >0，c >d >0，所以ac >bd >0，故ac >bd 成立．故选C ．(2)对于A ，当a 为正数，b 为负数时，1a >1b ，所以，A 错误；对于B ，当a ＝2，b ＝12时，B 不成立，所以错误；对于C,1>b >－1⇒b 2<1，而a >1，所以选项C 正确；对于D ，取反例：a ＝1.1⇒a 2＝1.21，b ＝0.8⇒2b ＝1.6，D 错误．(3)由题意知0<a 且a ≠1，当0<a <1时，b >c >0，∴ab >ac ，且1b <1c ，从而a b <ac ，∴A ，B 错，当a >1时，0<b <c ，∴b a <c a ，∴D 错．故选C ．名师点拨(1)在判断一个关于不等式命题的真假时，先把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并根据性质判断命题的真假，有时还要用到其他知识，如本例中幂函数、对数函数的性质等．(2)在应用不等式的性质时，不可以强化或弱化不等式成立的条件，如“同向不等式”才可以相加，“同向正数不等式”才可以相乘．(3)在不等关系的判断中，赋值法是非常有效的方法．〔变式训练1〕(1)(2021·四川攀枝花统考改编)设a ，b ，c 为实数，且a ab >b 2(2)(2021·山东省枣庄市模拟)已知0<a <1,0<c a c B ．c b >c ＋ab ＋aC ．log b a <log c aD ．b b ＋a >c c ＋a[解析] (1)对于A 显然错误；对于B ，当c ＝0时，不正确；对于C ，b a －a b ＝b 2－a2ab＝(b ＋a )(b －a )ab<0，故不正确，对于D ，⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎬⎫a ab⎭⎬⎫a b 2⇒a 2>ab >b 2，故选D ．(2)显然b ＋a >0，c ＋a >0， ∴b b ＋a >c c ＋a⇔bc ＋ab >bc ＋ac ，即ab >ac ⇔b >c ，故选D ．另解：不妨取c ＝14，a ＝b ＝12，代入选项A ，B ，C 都错，故选D ．考点三不等式性质的应用——多维探究角度1 应用性质判断不等式是否成立例3 (2018·课标Ⅲ，12)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( B ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b[解析] 本题考查不等式及对数运算．解法一：∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0，排除C ．∵0<log 0.20.3<log 0.20.2＝1，log 20.3<log 20.5＝－1，即0<a <1，b <－1，∴a ＋b <0，排除D ． ∵b a ＝log 20.3log 0.20.3＝lg 0.2lg 2＝log 20.2， ∴b －b a ＝log 20.3－log 20.2＝log 232<1，∴b <1＋ba⇒ab <a ＋b ，排除A ．故选B ．解法二：易知0<a <1，b <－1，∴ab <0，a ＋b <0，∵1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4<1，即a ＋b ab <1，∴a ＋b >ab ，∴ab <a ＋b <0.故选B ．角度2 利用不等式的性质求范围问题例4 (1)已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是__(－4,2)__,3x ＋2y 的取值范围是__(1,18)__.(2)(2021·河北衡水中学五调)已知1≤a ≤3，－4<b <2，则a ＋|b |的取值范围是__[1,7)__. [解析] (1)∵－1<x <4,2<y <3， ∴－3<－y <－2，∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6, ∴1<3x ＋2y <18.(2)∵－4<b <2，∴0≤|b |<4，又1≤a ≤3， ∴1≤a ＋|b |<7.名师点拨利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．〔变式训练2〕(1)(角度1)(2021·广东省清远市期末改编)已知1a <1b <0，下列结论正确的是( B )A ．a 2>b 2B ．b a ＋a b >2C ．lg a 2>lg(ab )D ．2a ＋b >2a －b(2)(角度2)(2021·上海金山中学期中)已知1<a <2,2b ，∴b a ＋ab>2，正确；对于C ，a 2－ab ＝a (a －b )<0，∴lg a 2<lg(ab )，不正确；对于D ，(a ＋b )－(a －b )＝2b <0，∴2a ＋b >2a －b 不正确，故选B ．(2)∵2<b <3，∴13<1b <12，又∵1<a <2，∴13<ab <1.(3)由1<α<3得12<α2<32，由－4<β<2得－2<－β<4，所以α2－β的取值范围是⎝⎛⎭⎫－32，112.故填⎝⎛⎭⎫－32，112.名师讲坛·素养提升利用不等式变形求范围例5 设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是__[5,10]__. [分析] 用f (1)和f (－1)表示f (－2)，也就是把f (－1)，f (1)看作一个整体求f (－2)，或用待定系数法求解．[解析] ∵y ＝f (x )＝ax 2＋bx ，∴f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b . 解法一：(待定系数法) 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)，又f (－2)＝4a －2b ，所以4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，可得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.所以f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．又1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10. 故5≤f (－2)≤10. 解法二：(运用方程思想)由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎨⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)]，所以f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10. 故5≤f (－2)≤10.名师点拨若题目中所给范围的式子比较复杂，一定要把这样的式子当成一个整体，利用待定系数法求解，在解题过程中还要注意不等式链中的隐含条件，如a <α<β0，y >0，若－1≤lg x y ≤2，1≤lg(xy )≤4，则lg x 2y 的取值范围是__[－1,5]__.[解析] (1)设3a －2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )，则3a －2b ＝(m ＋n )a ＋(m －n )b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝－2，解得⎩⎨⎧m ＝12，n ＝52.∴3a －2b ＝12(a ＋b )＋52(a －b )．又∵1<a ＋b ≤5，－1≤a －b <3， ∴12<12(a ＋b )≤52，－52≤52(a －b )<152. ∴－2<3a －2b <10.(2)由1≤lg(xy )≤4，－1≤lg xy ≤2，得1≤lg x ＋lg y ≤4，－1≤lg x －lg y ≤2，∴12≤12(lg x ＋lg y )≤2，－32≤32(lg x －lg y )≤3，则lg x 2y ＝2lg x －lg y ＝12(lg x ＋lg y )＋32(lg x －lg y )，所以－1≤lg x 2y ≤5.故填[－1,5]．。

(浙江通用)版高考数学一轮复习第六章不等式6.1不等关系与不等式【含答案】

【步步高】（浙江通用）2017版高考数学一轮复习第六章不等式 6.1不等关系与不等式1．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a > b a －b ＝0⇔a ＝ ba －b <0⇔a < b(a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a > b ab ＝1⇔a ＝ ba b <1⇔a < b(a ∈R ，b >0)．2．不等式的基本性质【知识拓展】不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b.②a <0b >0,0<c <d ⇒a c >b d. ④0<a <x b >0，m >0，则 ①b a b －ma －m(b －m >0)． ②a b >a ＋mb ＋m ；a b <a －mb －m(b －m >0)．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)a >b ⇔ac 2>bc 2.( × ) (2)1a >1b⇔a b ，c >d ⇒ac >bd .( × ) (4)若1a <1b<0，则|a |>|b |.( × )(5)若a 3>b 3且ab <0，则1a >1b.( √ )1．设a 1bB.1a －b >1aC ．|a |>－bD.－a >－b答案 B解析由题设得a <a －b <0，所以有1a －b <1a成立，即1a －b >1a不成立． 2．设0b ，则ac >bc B ．若a >b ，则a >b C ．若a 2>b 2，则a >b D ．若1a <1b，则a >b答案 B解析 A 选项中，若c ＝0，显然不成立；B 选项中，若a >b ，平方即可知a >b ，故正确；C 选项中，若a <0，b <0，则a 0，则a NB ．M <NC ．M ＝ND ．不能确定答案 A解析 ∵0<a <1b，∴1＋a >0,1＋b >0,1－ab >0，∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b1＋b ＝2－2ab＋a ＋b>0.5．(教材改编)若0<a 1且2a <1，∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋12<12.即a <2ab <12，又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12，a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)，又2b －1>0，b －1<0，∴a 2＋b 2－b <0， ∴a 2＋b 2a B ．a >c ≥b C ．c >b >aD ．a >c >b(2)若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则( )A ．a 0，∴b >a ，∴c ≥b >a .(2)方法一易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝3ln 44ln 3＝log 8164<1，所以a >b ；b c ＝5ln 44ln 5＝log 6251 024>1，所以b >c .即c e 时，函数f (x )单调递减．因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c <b <a .思维升华比较大小的常用方法 (1)作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．(1)已知x ∈R ，m ＝(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)，n ＝(x ＋12)·(x 2＋x ＋1)，则m ，n 的大小关系为( ) A ．m ≥n B ．m >n C ．m ≤nD ．m <n(2)若a ＝1816，b ＝1618，则a 与b 的大小关系为______________________________________ __________________________________．答案 (1)B (2)a <b解析 (1)m ＝(x ＋1)(x 2＋x2＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x －x2＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－x2(x ＋1)，n ＝(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1－12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－12(x 2＋x ＋1)，∴m －n ＝(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)－(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝12(x 2＋x ＋1)－12x (x ＋1) ＝12>0. 则有x ∈R 时，m >n 恒成立．故选B.(2)a b ＝18161618＝(1816)161162 ＝(98)16(12)16＝(982)16， ∵982∈(0,1)，∴(982)16<1， ∵1816>0,1618>0， ∴1816<1618.即a ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0答案 A解析由c 0. 由b >c 得ab >ac 一定成立．思维升华解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．若a >0>b >－a ，c <d <0，则下列结论：①ad >bc ；②a d ＋bc<0；③a －c >b －d ；④a (d－c )>b (d －c )中成立的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析方法一 ∵a >0>b ，c <d <0，∴ad <0，bc >0， ∴ad <bc ，故①错误． ∵a >0>b >－a ，∴a >－b >0， ∵c <d <0，∴－c >－d >0， ∴a (－c )>(－b )(－d )， ∴ac ＋bd <0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd<0，故②正确．∵c<d，∴－c>－d，∵a>b，∴a＋(－c)>b＋(－d)，a－c>b－d，故③正确．∵a>b，d－c>0，∴a(d－c)>b(d－c)，故④正确，故选C.方法二取特殊值．题型三不等式性质的应用例3 已知a>b>0，给出下列四个不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③a－b>a－b；④a3＋b3>2a2b.其中一定成立的不等式为( )A．①②③ B．①②④C．①③④ D．②③④答案 A解析方法一由a>b>0可得a2>b2，①成立；由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－1，②成立；∵a>b>0，∴a>b，∴(a－b)2－(a－b)2＝2ab－2b＝2b(a－b)>0，∴a－b>a－b，③成立；若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，a3＋b3<2a2b，④不成立．故选A.方法二令a＝3，b＝2，可以得到①a2>b2，②2a>2b－1，③a－b>a－b均成立，而④a3＋b3>2a2b不成立，故选A. 思维升华(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．(1)若a<b<0，则下列不等式一定成立的是( )A.1a－b>1bB．a2<abC.|b ||a |<|b |＋1|a |＋1D ．a n >b n(2)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >c b；②a c log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③答案 (1)C (2)D解析 (1)(特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确； C 项，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |， ∵a b >1知1a <1b，又c <0，所以c a >cb，①正确；构造函数y ＝x c，∵c <0，∴y ＝x c在(0，＋∞)上是减函数，又a >b >1，∴a c b >1，c <0，∴a －c >b －c >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，知③正确．6．不等式变形中扩大变量范围致误典例设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________．易错分析解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a ，b 的范围，再求f (－2)＝4a －2b 的范围，导致变量范围扩大．解析方法一设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1) (m 、n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，即5≤f (－2)≤10.方法二由⎩⎪⎨⎪⎧f－＝a －b ，f＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f －＋f，b ＝12[f－f －∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法三由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分，当f (－2)＝4a －2b 过点A (32，12)时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f (－2)≤10. 答案 [5,10]温馨提醒 (1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围．(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围．[方法与技巧]1．用同向不等式求差的范围．⎩⎪⎨⎪⎧a <x 0，a >b ⇒1a <1b ；⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，a <b⇒1a >1b.3．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一．比差法的主要步骤：作差—变形—判断正负．在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑比商． 4．求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法． [失误与防范]1．a >b ⇒ac >bc 或a b ⇒1a <1b或a 1b，当ab ≤0时不成立．3．a >b ⇒a n>b n对于正数a 、b 才成立． 4.ab>1⇔a >b ，对于正数a 、b 才成立．5．注意不等式性质中“⇒”与“⇔”的区别，如：a >b ，b >c ⇒a >c ，其中a >c 不能推出⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，b >c .6．比商法比较大小时，要注意两式的符号．A 组专项基础训练 (时间：35分钟)1．已知a >b ，c >d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式成立的是( ) A ．ad >bc B ．ac >bd C ．a －c >b －d D ．a ＋c >b ＋d答案 D解析由不等式的同向可加性得a ＋c >b ＋d .2．已知a ，b ，c ∈R ，则“a >b ”是“ac 2>bc 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析由ac 2>bc 2可得a >b ，因为c 2>0，而由a >b 不一定能得到ac 2>bc 2.因为c 2可能为0.3．设a >2，A ＝a ＋1＋a ，B ＝a ＋2＋a －2，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A >B B ．A <BC ．A ≥BD ．A ≤B答案 A解析 A 2＝2a ＋1＋2a 2＋a ，B 2＝2a ＋a 2－4，显然A 2>B 2，故选A.4．设a ，b 是非零实数，若a 0，ab 符号不确定，所以ab 2与a 2b 的大小不能确定，故B 错．因为1ab 2－1a 2b ＝a －ba 2b 2<0，所以1ab 2<1a 2b ，故C 正确．D 项中b a 与a b 的大小不能确定．5．设α∈(0，π2)，β∈[0，π2]，那么2α－β3的取值范围是( )A ．(0，5π6)B ．(－π6，5π6)C ．(0，π)D ．(－π6，π)答案 D解析由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π.6．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是() A ．M <N B ．M >NC ．M ＝ND ．不确定答案 B解析 M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0，∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0.∴M >N .7．设a >b >c >0，x ＝a 2＋b ＋c 2，y ＝b 2＋c ＋a 2，z ＝c 2＋a ＋b 2，则x ，y ，z 的大小关系是__________．(用“>”连接)答案 z >y >x解析方法一 y 2－x 2＝2c (a －b )>0，∴y >x .同理，z >y ，∴z >y >x .方法二令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20，z ＝26，故z >y >x .8．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b >0；②若ab >0，c a －d b >0，则bc －ad >0；③若bc －ad >0，c a －d b >0，则ab >0.其中正确的命题是________．答案 ①②③解析 ∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －ad ab >0，∴①正确；∵ab >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab >0，∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab >0，∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．9．设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小．解 (x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝(x －y )[(x 2＋y 2)－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )．∵x <y <0，∴xy >0，x －y <0，∴－2xy (x －y )>0，∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．10．甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？解设路程为s ，跑步速度为v 1，步行速度为v 2， t 甲＝s 2v 1＋s 2v 2＝s v 1＋v 22v 1v 2， s ＝t 乙2·v 1＋t 乙2·v 2⇒t 乙＝2s v 1＋v 2， ∴t 甲t 乙＝v 1＋v 224v 1v 2≥v 1v 224v 1v 2＝1.∴t 甲≥t 乙，当且仅当v 1＝v 2时“＝”成立．由实际情况知v 1>v 2，∴t 甲>t 乙．∴乙先到教室．B 组专项能力提升(时间：20分钟)11．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( )A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a c >b c ，则a >bC ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b答案 C解析当c ＝0时，可知A 不正确；当c <0时，可知B 不正确；对于C ，由a 3>b 3且ab <0知a >0且b <0，所以1a >1b成立，C 正确；当a <0且b <0时，可知D 不正确．12．下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( )A ．a >b ＋1B ．a >b －1C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3答案 A解析由a >b ＋1，得a >b ＋1>b ，即a >b ，而由a >b 不能得出a >b ＋1，因此，使a >b 成立的充分而不必要的条件是a >b ＋1.13．已知0<a 1a B ．(12)a <(12)b C ．(lg a )2<(lg b )2D.1lg a >1lg b 答案 D解析因为0<a (12)b ，(lg a )2>(lg b )2， lg a <lg b <0.由lg a <lg b <0得1lg a >1lg b，因此只有D 项正确．14．若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n<0对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，43 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，74 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，74 答案 D解析当n 为奇数时，2n (1－a )<3n －1,1－a <13×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 恒成立，只需1－a <13×⎝ ⎛⎭⎪⎫321，∴a >12.当n 为偶数时，2n (a －1)<3n －1，a －1<13×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 恒成立，只需a －1<13×⎝ ⎛⎭⎪⎫322，∴a <74. 综上，12<a <74，故选D. 15．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元/人，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1) ＝14x ＋34nx ， y 2＝45nx .所以y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx＝14x －120nx＝14x (1－n 5)．当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费同等优惠；当单位去的人数多于5人时，甲车队收费更优惠；当单位去的人数少于5人时，乙车队收费更优惠．。

2016高三数学复习(人教A版)_第6章_第1讲_不等式与不等关系教学案及课后作业(含答案)

第1讲不等关系与不等式2016高考导航知识梳理1．实数大小顺序与运算性质之间的关系a －b >0⇔__________；a －b ＝0⇔__________；a －b <0⇔__________ 2．不等式的基本性质（1）对称性：a ＞b ⇔b ＜a ；（2）传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒__________；（3）可加性：a ＞b ⇒a ＋c _____b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ___b ＋d ；（4）可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；（5）可乘方：a ＞b ＞0⇒a n _______b n (n N ∈，n ≥1)；（6）可开方：a ＞b ＞0⇒n a ＞nb (n N ∈，n ≥2)．[做一做]1．已知a >b ，c >d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式成立的是( ) A ．ad >bc B ．ac >bd C ．a －c >b －d D ．a ＋c >b ＋d 2．12－1________3＋1(填“>”或“<”)．要点整合1．辨明两个易误点（1）在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a ≤b ，b <c ⇒a <c ；（2）在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)． 2．不等式中的倒数性质（1）a >b ，ab >0⇒1a <1b ；（2）a <0b >0，0<c <d ⇒a c >bd ；（4）0<a <x 0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．给出如下四个命题：①若a >b ，c >d ，e >0，则d －ae >c －be ；②若a >b ，c <0，d R ∈，则(a －d )c <(b －d )c ； ③若a b >0，c <d <0，e R ∈，则e a －c <eb －d .其中真命题是______．典例剖析考点一用不等式(组)表示不等关系某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A ，B 两台设备上加工，在A ，B 设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A ，B 两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式． [规律方法] （1）常见的文字语言与符号语言之间的转换：体积、面积、长度、重量、时间等均为非负实数．1．某汽车公司因发展需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A 型汽车和B 型汽车，根据需要，A 型汽车至少买5辆，B 型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．考点二不等式的性质(高频考点)不等式的性质及其应用是高考命题的热点．不等式性质的应用是高考的常考点，常以选择题、填空题的形式出现，题目难度不大．高考对不等式性质的考查有以下三个命题角度：（1）判断命题的真假；（2）与充要条件相结合命题；（3）求代数式的取值范围．（1）(2014·高考天津卷)设a ，b R ∈，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件（2）(2015·青海西宁模拟)已知a ，b ，c R ∈，那么下列命题中正确的是( )A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a c >bc，则a >bC ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b（3）若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，则α＋3β的取值范围为________．[规律方法] 判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：(1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数还是0； (2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变； (3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等．2．（1）(2015·大庆市第二次教学质量检测)若a 1aB ．1a >1bC ．|a |>|b |D ．a 2>b 2（2）设a ，b R ∈，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（3）若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________．考点三比较两个数(式)的大小比较下列各组中两个代数式的大小．（1）3m 2－m ＋1与2m 2＋m －3；（2）a 2b ＋b 2a与a ＋b(a ＞0，b ＞0)．[规律方法]（1）作差比较法的目的是判断差的符号，而作商比较法的目的是判断商与1的大小，两种方法的关键是变形．（2）当两个代数式为多项式形式时，常用作差法比较大小；当两个代数式均为正且均为幂的乘积式时，常用作商比较法．3．已知a ≠1，且a R ∈，试比较11－a与1＋a 的大小．名师讲坛方法思想——判断不等式(特值法)(2014·高考四川卷)若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A ．a d >b c B ．a d b d D ．a c <bd[名师点评] 本题给出三种不同的方法，法一、法二是利用不等式性质变形判断，易出错，而法三采用特值法验证，简化了过程，提高了准确率．(2015·潍坊模拟)若1a <1b <0，则下列不等式：①1a ＋b <1ab；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2中，其中正确的不等式是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①③ D ．②④随堂检测1．(2014·四川卷)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A ．a d ＞bcB ．a d ＜b cC ．a c ＞b dD ．a c ＜bd2．(2014·武汉模拟)若a ＞b ＞0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋1b ＞b ＋1a B ．b a ＞b ＋1a ＋1 C ．a －1b ＞b －1a D ．2a ＋b a ＋2b ＞a b3．(2015·成都月考)设x ＞0，P ＝2x ＋2－x ，Q ＝(sin x ＋cos x )2，则( )A ．P ≥QB ．P ≤QC ．P ＞QD ．P ＜Q4．(2015·绍兴二中月考)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >cb ；②ac log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( ) A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③5．(2015·福建泉州一中月考)设a ，b 为正实数．现有下列命题：①若a 2－b 2＝1，则a －b <1；②若1b －1a ＝1，则a －b <1；③若|a －b |＝1，则|a －b |<1；④若|a 3－b 3|＝1，则|a－b |<1.其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)知能训练一、选择题1．(2014·广东东莞一模)设a ，b R ∈，若a ＋|b |＜0，则下列不等式中正确的是( ) A ．a －b ＞0 B ．a 3＋b 3＞0 C ．a 2－b 2＜0 D ．a ＋b ＜02．(204·重庆七校联考)已知a ＜0，－1＜b ＜0，那么下列不等式成立的是( ) A ．a ＞ab ＞ab 2 B ．ab 2＞ab ＞a C ．ab ＞a ＞ab 2 D ．ab ＞ab 2＞a3．(2014·陕西咸阳摸底)若a ，b 是任意实数，且a ＞b ，则下列不等式成立．．的是( ) A ．a 2＞b 2 B ．ba＜1 C ．lg(a －b )＞0 D ．⎝⎛⎭⎫13a ＜⎝⎛⎭⎫13b 4．(2014·上海松江期末)已知0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，则下列不等式中，正确的是()A ．log 2a ＞0B ．2a －b ＜12C ．log 2a ＋log 2b ＜－2D ．2＜125．(2014·四川成都七中二诊)设a ＞0，b ＞0则以下不等式中不恒成立．．．．的是( ) A ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 B ．a 3＋b 3≥2ab 2 C ．a 2＋b 2＋2≥2a ＋2b D.|a －b |≥a －b6．(2014·山东日照校际联考)已知a ，b ，c R ∈，给出下列命题：①若a ＞b ，则ac 2＞bc 2；②若ab ≠0，则a b ＋ba ≥2；③若a ＞b ＞0，n N ∈*，则a n ＞b n ；④若log a b ＜0(a＞0，a ≠1)，则a ，b 中至少有一个大于1.其中真命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．17．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不一定能成立的是( ) A ．c a ＜b a B ．b －a c ＞0 C ．b 2c ＜a 2c D ．a －c ac ＜08．若a 、b R ∈，则下列不等式：①a 2＋3＞2a ；②a 2＋b 2≥2(a －b －1)；③a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3；④a ＋1a ≥2中一定成立的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①②D ．②④9．已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b1＋b ，则M 、N 的大小关系是( )A ．M >NB ．M <NC ．M ＝ND ．不能确定 10．若a >0且a ≠1，b >0，则“log a b >0”是“(a －1)(b －1)＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．(2013·北京西城区期末)已知a >b >0，给出下列四个不等式：①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b .其中一定成立的不等式为( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④12．定义区间(a ，b )，[a ，b )，(a ，b ]，[a ，b ]的长度均为d ＝b －a .用[x ]表示不超过x 的最大整数，记{x }＝x －[x ]，其中x R ∈.设f (x )＝[x ]·{x }，g (x )＝x －1，若用d 表示不等式f (x )<g (x )解集区间的长度，则当0≤x ≤3时，有( )A ．d ＝1B ．d ＝2C ．d ＝3D ．d ＝4二、填空题1．(2014·山东济南模拟)设a ＞0，且a ≠1，P ＝log a (a 3－1)，Q ＝log a (a 2－1)，则P 与Q 的大小关系是__________．2．(2014·福建泉州月考)若x ＞y ，a ＞b ，则在①a －x ＞b －y ，②a ＋x ＞b ＋y ，③ax ＞by ，④x －b ＞y －a ，⑤a y ＞bx这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是__________． 3．(2014·南昌一模)现给出三个不等式：①a 2＋1＞2a ；②a 2＋b 2＞2⎝⎛⎭⎫a －b －32；③7＋10＞3＋14.其中恒成立的不等式共有__________个．4．设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8，4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是__________．5．已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小关系是________．6．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ____b (填“＞”或“＜”)．7．(2014·江苏徐州模拟)若a >b >0，且a ＋m b ＋m >ab，则实数m 的取值范围是________．8．已知2≥>b a ，现有下列不等式①a b b ->32②)11(241ba ab +>+③b a ab +> ④3log 3log b a >，其中正确的有9．1＞x ＞0，下列三个数：a =x 2，b =1＋x ，c =x-11，则其中最大的一个是三、解答题1．比较下列各组中两个代数式的大小：（1）3x 2－x ＋1与2x 2＋x －1；（2）当a ＞0，b ＞0且a ≠b 时，a a b b 与a b b a .2．设0＜x ＜1，a ＞0且a ≠1，比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小．3．(2014·绍兴模拟)若二次函数f (x )的图象关于y 轴对称，且1≤f (1)≤2,3≤f (2)≤4，求f (3)的范围． 4．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a ＞b ＞c ，求ca 的取值范围．第1讲不等关系与不等式参考答案1． D 2．< 3． C 4．②考点一用不等式(组)表示不等关系[解] 设甲、乙两种产品的产量分别为x ，y ，则由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤400，2x ＋y ≤500，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N.1. 解：设购买A 型汽车和B 型汽车分别为x 辆、y 辆，则⎩⎪⎨⎪⎧40x ＋90y ≤1 000，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N *.即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋9y ≤100，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N *.考点二不等式的性质(高频考点)(1) C (2) C (3) []7,12.(1) A (2) A (3) )3,3(-考点三比较两个数(式)的大小比较下列各组中两个代数式的大小．[解] (1)∵(3m 2－m ＋1)－(2m 2＋m －3)＝m 2－2m ＋4＝(m －1)2＋3＞0， ∴3m 2－m ＋1＞2m 2＋m －3.(2)∵a 2b ＋b2a －(a ＋b )＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2ab＝a 2（a －b ）＋b 2（b －a ）ab ＝（a －b ）（a 2－b 2）ab ＝（a －b ）2（a ＋b ）ab.又∵a ＞0，b ＞0，∴（a －b ）2（a ＋b ）ab ≥0，故a 2b ＋b 2a ≥a ＋b .3. 解：∵11－a －(1＋a )＝a 21－a，(1)当a ＝0时，a 21－a ＝0，∴11－a＝1＋a .(2)当a <1，且a ≠0时，a 21－a >0，∴11－a>1＋a .(3)当a >1时，a 21－a <0，∴11－a<1＋a .名师讲坛BC随堂检测BACD 5．①④知能训练参考答案一、选择题DDDCB ACCAC AA 二、填空题1．P ＞Q 2．②④ 3．2 4．27 5．a b 2＋b a 2≥1a ＋1b 6．＜ 7．(－b,0)三、解答题1．解析：(1)∵3x 2－x ＋1－2x 2－x ＋1＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0，∴3x 2－x ＋1＞2x 2＋x －1. (2)a a b ba b ba ＝a a －b b b －a ＝a a －b ⎝⎛⎭⎫1b a －b ＝⎝⎛⎭⎫a b a －b . 当a ＞b ，即a －b ＞0，a b ＞1时，⎝⎛⎭⎫a b a －b ＞1，∴a a b b ＞a b b a . 当a ＜b ，即a －b ＜0,0＜a b ＜1时，⎝⎛⎭⎫a b a －b ＞1，∴a a b b ＞a b b a . ∴当a ＞0，b ＞0且a ≠b 时，a a b b ＞a b b a . 2．解析：方法一：作差比较当a ＞1时，由0＜x ＜1知，log a (1－x )＜0，log a (1＋x )＞0，∴|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|＝－log a (1－x )－log a (1＋x )＝－log a (1－x 2)，∵0＜1－x 2＜1，∴log a (1－x 2)＜0，从而－log a (1－x 2)＞0，故|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.当0＜a ＜1时，同样可得|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|. 方法二：平方作差|log a (1－x )|2－|log a (1＋x )|2＝[log a (1－x )]2－[log a (1＋x )]2 ＝log a (1－x 2)·log a 1－x 1＋x＝log a (1－x 2)·log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 1＋x ＞0.∴|log a (1－x )|2＞|log a (1＋x )|2，故|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|. 方法三：作商比较∵|log a (1－x )||log a (1＋x )|＝|log a (1－x )log a (1＋x )|＝|log (1＋x )(1－x )|， ∵0＜x ＜1，∴log (1＋x )(1－x )＜0，故|log a (1－x )||log a (1＋x )|＝－log (1＋x )(1－x )＝log (1＋x )11－x ＝1＋log (1＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫11－x ·11＋x ＝1＋log (1＋x )11－x 2.由0＜x ＜1知，1＋x ＞1及11－x 2＞1，∴log (1＋x )11－x 2＞0，故|log a (1－x )||log a (1＋x )|＞1， ∴|log a (1－x )|＞|log a (1＋x)|.3．解析：设f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a ＋c ，f (2)＝4a ＋c⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝f (2)－f (1)3，c ＝4f (1)－f (2)3，f (3)＝9a ＋c ＝3f (2)－3f (1)＋4f (1)－f (2)3＝8f (2)－5f (1)3.因为1≤f (1)≤2,3≤f (2)≤4，所以5≤5f (1)≤10,24≤8f (2)≤32,14≤8f (2)－5f (1)≤27，所以143≤8f (2)－5f (1)3≤9，即143≤f (3)≤9.4．解析：∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0，∴b ＝－(a ＋c )．又a ＞b ＞c ，∴a ＞－(a ＋c )＞c ，且a ＞0，c ＜0.∴1＞－a ＋c a ＞c a ，即1＞－1－c a ＞c a .∴⎩⎨⎧2ca＜－1，ca ＞－2.解得－2＜c a ＜－12.。

高考一轮数学第六章第一节不等关系与不等式

能得出a>b＋1.因此，使a>b成立的充分不必要条件是 a>b＋1. [答案] A
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[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
2．(2012· 潍坊模拟)设a，b∈R，若b－|a|>0，则下列不等式中正确的是 A．a－b>0 C．a2－b2>0 B．a＋b>0 D．a3＋b3<0 ( )
等式的基本方法．要注意强化化归意识，同时注意
函数性质在大小比较中的作用．返回
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[精析考题] [例1] 系为 x y A. > x＋a y＋b x y C. ＜ x＋a y＋b B. x y ≥ x＋a y＋b (2012· 珠海模拟)已知b>a>0，x>y>0，则： x y 与的大小关 x＋a y＋b ( )
序号都填上)．解析：①若c＝0则命题不成立．②正确．③中由2c>0知
成立．答案：②③
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1．不等式性质使用时注意的问题：
在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条
件．不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式” 才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中的“c的符号”等都需要注意． 2．作差法是比较两数(式)大小的常用方法，也是证明不
次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，要
特别注意．错因在于运用同向不等式相加这一性质时，不是等价变形，导致f(－2)的取值范围扩大．另外，本题也可用线性规划求解，题中a、b不是相互独立的，而是相互制约的，故不可分割开来．先建立待求范围的整体与已知范
围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等式关系的运
x3 所以 y4的最大值是27.
答案：A

高考数学一轮复习讲解与练习 6.1不等关系与不等式理新人教A版.pdf

[备考方向要明了] 考什么怎么考1.了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2.了解不等式(组)的实际背景． 3.掌握不等式的性质及应用．本节内容在高考中多与其他知识进行综合命题，一般是以选择题或填空题的形式出现：(1)依据不等式的性质，判断不等式或有关结论是否成立； (2)利用不等式的性质进行大小关系的比较． (3)不等式的性质在不等式的证明或求解中的应用. [归纳·知识整合] 1．比较两个实数大小的法则设a，b∈R，则 (1)a＞ba－b＞0； (2)a＝ba－b＝0； (3)a＜ba－b＜0. 2．不等式的基本性质性质性质内容注意对称性a>bbb，b>ca>c?可加性a>ba＋c>b＋c可乘性ac>bcc的符号acb＋d同向同正可乘性ac>bd?可乘方性a>b>0an>bn(n∈N，n≥2)同正可开方性a>b>0>(n∈N，n≥2) [探究]　1.同向不等式相加与相乘的条件是否一致？提示：不一致．同向不等式相加，对两边字母无条件限制，而同向不等式相乘必须两边字母为正，否则不一定成立． 2．(1)a>bban>bn(n∈N，且n>1)对吗？提示：(1)不成立，当a，b同号时成立，异号时不成立． (2)不对，若n为奇数，成立，若n为偶数，则不一定成立． [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)给出下列命题：a>b?ac2>bc2；a>|b|?a2>b2；a>b?a3>b3；|a|>b?a2>b2.其中正确的命题是( ) A． B． C． D．解析：选B　当c＝0时，不成立；当|a|＝1，b＝－2时，不成立． 2．如果aR，且a2＋aa>－a2>－a B．－a>a2>－a2>a C．－a>a2>a>－a2 D．a2>－a>a>－a2 解析：选B　a2＋ad，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是( ) A．ad>bc B．ac>bd C．a－c>b－d D．a＋c>b＋d 解析：选D　由不等式的性质知，a>b，c>da＋c>b＋d. 4．(教材习题改编)已知a>b>0，c>d>0，则与的大小关系为________．解析：c>d>0，>>0. 又a>b>0，>>0.∴ > . 答案： > 5．已知12<x<60,15<y<36，则x－y的取值范围是________．解析：15<y<36，－36<－y<－15. 又12<x<60 ∴12－36<x－y<60－15，即－24<x－y<≥≤ 1．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时和2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时和1小时，A，B两种设备每月有效使用台时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式．解：设甲、乙两种产品的产量分别为x，y，则由题意可知比较大小 [例2]　(1)已知a1，a2(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( ) A．MN C．M＝N D．不确定 (2)甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( ) A．甲先到教室 B．乙先到教室 C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定 [自主解答]　(1)M－N＝a1a2－(a1＋a2－1) ＝a1a2－a1－a2＋1 ＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，又a1∈(0,1)，a2(0,1)， a1－1<0，a2－10，即M－N>0. M>N. (2)设甲用时间为T，乙用时间为2t，步行速度为a，跑步速度为b，距离为s，则T＝＋＝＋＝， s＝ta＋tb2t＝. T－2t＝－＝s×＝>0，即乙先到教室． [答案]　(1)B　(2)B 若将本例(1)中“a1，a2(0,1)”改为“a1，a2(1，＋∞)”，试比较M与N的大小．解：M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，当a1，a2(1，＋∞)时，a1－1>0，a2－1>0. (a1－1)·(a2－1)>0. M－N>0，即M>N. ——————————————————— 比较大小的常用方法 (1)作差法一般步骤是：作差；变形；定号；结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． ?2?作商法一般步骤是：作商；变形；判断商与1的大小；结论?注意所比较的两个数的符号?.?3?特值法若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可以用特值法探究思路. 2．比较下列各组中两个代数式的大小： (1)3x2－x＋1与2x2＋x－1； (2)当a>0，b>0且a≠b时，aabb与abba. 解：(1)3x2－x＋1－2x2－x＋1＝x2－2x＋2 ＝(x－1)2＋1>0， 3x2－x＋1>2x2＋x－1. (2)＝aa－bbb－a＝aa－ba－b＝a－b. 当a>b，即a－b>0，>1时，a－b>1，aabb>abba. 当a<b，即a－b<0，1，aabb>abba. ∴当a>0，b>0且a≠b时，aabb>abba.不等式性质的简单应用 [例3]　(1)(2012·湖南高考)设a>b>1，c；acloga(b－c)．其中所有的正确结论的序号是( ) A． B． C． D． (2)已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0，－>0(其中a，b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 [自主解答]　(1) ?a·>b· ，所以正确； ? ?acloga(b－c)， a－c>1logb(a－c)>loga(a－c)，所以logb(a－c)>loga(b－c)．所以正确． (2)由ab>0，bc－ad>0，即bc>ad，得>，即－>0；由ab>0，－>0，即>，得bc>ad，即bc－ad>0；由bc－ad>0，－>0，即>0，得ab>0；故可组成3个正确的命题． [答案]　(1)D　(2)D ——————————————————— 与不等式有关的命题的真假判断在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等． 3．(2013·包头模拟)若a>0>b>－a，c<dbc；(2)＋b－d； (4)a(d－c)>b(d－c)中能成立的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C　a>0>b，c<d<0，ad0， ad0>b>－a，a>－b>0. c<d－d>0. a(－c)>(－b)(－d)． ac＋bd<0.＋＝<0.(2)正确． c－d.a>b，a＋(－c)>b＋(－d)，即a－c>b－d.(3)正确． a>b，d－c>0，a(d－c)>b(d－c)．(4)正确． 1个区别——不等式与不等关系的区别不等关系强调的是关系，可用符号“>”，“b”，“ab，ab>0<； a<0<b?b>0,0<c； 0b>0，m>0，则真分数的性质： (b－m>0)；假分数的性质： >；0)． 3个注意点——应用不等式的性质应注意的问题 (1)在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的．如a≤b，b<cabac2>bc2；若无c≠0这个条件，a>bac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)． (3)“a>b>0an>bn(n∈N*，n>1)”成立的条件是“n为大于1的自然数，a>b>0”，假如去掉“n为大于1的自然数”这个条件，取n＝－1，a＝3，b＝2，那么就会出现“3－1>2－1”的错误结论；假如去掉“b>0”这个条件，取a＝3，b＝－4，n＝2，那么就会出现“32>(－4)2”的错误结论. 易误警示——解题时忽视不等式的隐含条件而致误 [典例]　(2013·盐城模拟)已知－1d，则“a>b”是“a－c>b－d”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B　由a>b；而当a＝c＝2， b＝d＝1时，满足，但a－c>b－d不成立，所以“a>b”是“a－c>b－d”的必要不充分条件． 2．(2013·朔州模拟)已知a<0，－1<bab>ab2 B．ab2>ab>a C．ab>a>ab2 D．ab>ab2>a 解析：选D　由－1<b<0，可得b<b2<1，又aab2>a. 3．设α，β∈，那么2α－的取值范围是( ) A. B. C．(0，π) D. 解析：选D　0<2α<π，0≤≤，－≤－≤0. －<2α－<π. 4．(2013·南平模拟)如果a，b，c满足c0 C．cb20，则A一定正确；B一定正确；D一定正确；当b＝0时C不正确． 5．设a，b为正实数，则“a<b”是“a－0，b>0，a，由不等式的性质a－<b－. 由a<b可得出a－<b－. 当a－<b－时，可得(a－b)－<0，即(a－b)0，b>0，a－b<0. a<b.故由a－<b－可得出a<b. “a<b”是“a－ab(a≠b)．答案：(a2＋b2)>ab(a≠b) 8．若x>y>z>1，则，，，从大到小依次为________．解析：因为x>y>z>1，所以有xy>xz，xz>yz，xyz>xy，于是有>>>. 答案：，，， 9．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋4(a>0)，若m0，a(a＋1)>0.又m<n，故a(m－n)(a＋1)<0. f(m)<f(n)．答案：f(m)0，当x>1时，(x－1)(x2＋1)>0，即x3>x2－x＋1；当x＝1时，(x－1)(x2＋1)＝0，即x3＝x2－x＋1；当x<1时，(x－1)(x2＋1)<0，即x3b>c，求证：＋＋>0. 证明：a>b>c，－c>－b. a－c>a－b>0.>>0. ∴＋>0.又b－c>0，>0. ∴＋＋>0. 12．已知f(x)＝ax2－c且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．解：由题意，得解得所以f(3)＝9a－c＝－f(1)＋f(2)．因为－4≤f(1)≤－1，所以≤－f(1)≤. 因为－1≤f(2)≤5，所以－≤f(2)≤. 两式相加，得－1≤f(3)≤20，故f(3)的取值范围是[－1,20]． 1．限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是( ) A．v40 km/h C．v≠40 km/h D．v40 km/h 解析：选D　速度v不超过40 km/h，即v≤40 km/h. 2．已知a，b，cR，则“a>b”是“ac2>bc2”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B　a>b / ac2>bc2，因为当c2＝0时，ac2＝bc2；反之，ac2>bc2a>b. 3．若<<0，则下列结论不正确的是( ) A．a2<b2 B．ab<b2 C．a＋b|a＋b| 解析：选D　<a>b. ∴a2<b2，ab<b2，a＋b<0，|a|＋|b|＝|a＋b|.。

2017届高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案：6.1 不等关系与不等式 Word版含答案

第一节不等关系与不等式不等式的概念和性质了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．知识点一实数的大小顺序与运算性质的关系(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0.必备方法比较大小的常用方法：(1)作差法一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论(注意所比较的两个数的符号)．[自测练习]1．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是() A．M<N B．M>NC．M＝N D．不确定解析：M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0. ∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0.∴M >N . 答案：B知识点二不等式性质性质性质内容注意对称性 a >b ⇔b <a ⇔ 传递性 a >b ，b >c ⇒a >c ⇒ 可加性a >b ⇔a ＋c >b ＋c⇔可乘性⎭⎬⎫a >bc >0⇒ac >bc c 的符号⎭⎬⎫a >bc <0⇒ac <bc 同向可加性 ⎭⎬⎫a >bc >d ⇒a ＋c >b ＋d ⇒同向同正可乘性⎭⎬⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd ⇒可乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1) 同正可开方性a >b >0⇒na >nb (n ∈N ，n ≥2)易误提醒1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a ≤b ，b <c ⇒a <c .2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．[自测练习]2．设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1b C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3解析：当c <0时，ac >bc 不成立，故A 不正确，当a ＝1，b ＝－3时，B 、C 均不正确，故选D.答案：D3．若a >b >0，则下列不等式中恒成立的是( ) A.b a >b ＋1a ＋1 B ．a ＋1a >b ＋1bC ．a ＋1b >b ＋1aD.2a ＋b a ＋2b >ab解析：由a >b >0⇒0<1a <1b ⇒a ＋1b >b ＋1a ，故选C.答案：C4．已知a <0，－10，∴ab >ab 2>a . 答案：ab >ab 2>a考点一利用不等式(组)表示不等关系|1．将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短x ，构成一个钝角三角形，试用不等式(组)表示x 应满足的不等关系．解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧5－x >0，(5－x )＋(12－x )>13－x ，(5－x )2＋(12－x )2<(13－x )2.2．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A ，B 两台设备上加工，在A ，B 设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A ，B 两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式．解：设甲、乙两种产品的产量分别为x 件，y 件，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤400，2x ＋y ≤500，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .利用不等式(组)表示不等关系的一个注意点及一个关键点：关键点：准确将题目中的文字语言转化为数学符号语言．注意点：要注意“不超过”，“至少”，“低于”表示的不等关系，同时还应考虑变量的实际意义．考点二不等式性质及应用|1．(2016·大庆质检)若a 1a B.1a >1b C ．|a |>|b |D ．a 2>b 2解析：由a 1a 不成立，选A.答案：A2．(2016·武汉调研)若实数a ，b ∈(0,1)，且满足(1－a )b >14，则a ，b 的大小关系是( )A ．a <bB ．a ≤bC ．a >bD ．a ≥b解析：∵a ，b ∈(0,1)，∴1－a >0，又(1－a )b >14，∴14<⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋b 22，12<1－a ＋b 2，即b －a >0，故选A. 答案：A3．设a ，b 是实数，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：法一：因为a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab ，所以若a >b >1，显然a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab >0，则充分性成立；当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1b 成立，但a >b >1不成立，所以必要性不成立，故选A.法二：令函数f (x )＝x ＋1x ，则f ′(x )＝1－1x 2＝x 2－1x2，可知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上为增函数，在(－1,1)上为减函数，所以“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b ”的充分不必要条件，选A.答案：A运用不等式性质求解问题的两个注意点1．解题时，易忽视不等式性质成立的条件，或“无中生有”自造性质导致推理判定失误．2．对于不等式的常用性质，要注意弄清其条件和结论，不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据．考点三比较大小|(1)若实数a ≠1，比较a ＋2与31－a 的大小；(2)比较a a b b 与a b b a (a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)的大小． [解] (1)a ＋2－31－a ＝－(a 2＋a ＋1)1－a，∵a 2＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a ＋122＋34>0，∴－(a 2＋a ＋1)<0， ∴当1－a >0，即a <1时，－(a 2＋a ＋1)1－a <0，则有a ＋2<31－a.当1－a <0即a >1时，－(a 2＋a ＋1)1－a >0，则有a ＋2>31－a .综上知，当a <1时，a ＋2<31－a，当a >1时，a ＋2>31－a .(2)a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝⎝⎛⎭⎫a b a －b ，当a >b >0时，ab >1，a －b >0，则⎝⎛⎭⎫a b a －b>1，∴a a b b >a b b a；当b >a >0时，0<ab <1，a －b <0，则⎝⎛⎭⎫a b a －b>1，∴a a b b >a b b a；当a ＝b >0时，⎝⎛⎭⎫a b a －b＝1，∴a a b b ＝a b b a，综上知a a b b ≥a b b a (当且仅当a ＝b 时取等号)．比较两个数(式)大小的两种方法(1)比较大小时，要把各种可能的情况都考虑进去，对不确定的因素需进行分类讨论，每一步运算都要准确，每一步推理都要有充分的依据．(2)用作商法比较代数式的大小一般适用于分式、指数式、对数式，作商只是思路，关键是化简变形，从而使结果能够与1比较大小．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b >aB ．a >c ≥bC ．c >b >aD ．a >c >b解析：c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0，∴c ≥b .将题中两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2. ∵1＋a 2－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0，∴1＋a 2>a ， ∴b ＝1＋a 2>a .∴c ≥b >a . 答案：A10.不等式变形中不等价致误【典例】设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________．[解析] 法一：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，即5≤f (－2)≤10.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b得⎩⎨⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)].∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.法三：由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4，确定的平面区域如图阴影部分，当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝⎛⎭⎫32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f (－2)≤10. [答案] [5,10][易误点评] 解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a ，b 的范围，再求f (－2)＝4a －2b 的范围，导致变量范围扩大．[防范措施] (1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围；(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围．[跟踪练习] 若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，试求α＋3β的取值范围．解：设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，两式相加，得1≤α＋3β≤7. ∴α＋3β的取值范围为[1,7]．A 组考点能力演练1．已知1a <1b <0，则下列结论错误的是( )A ．a 22 C ．ab >b 2D ．lg a 2<lg ab解析：∵1a <1b <0，∴1b －1a ＝a －bab >0，∴a －b >0，∴ab －b 2＝(a －b )b <0，∴ab πb ，即a >b ，由函数y ＝ln x ，y ＝sin x ，y ＝1x ，y ＝x 3的单调性知C正确．答案：C3．(2016·资阳一诊)已知a ，b ∈R ，下列命题正确的是( ) A ．若a >b ，则|a |>|b | B ．若a >b ，则1a <1bC ．若|a |>b ，则a 2>b 2D ．若a >|b |，则a 2>b 2解析：当a ＝1，b ＝－2时，A 不正确；当a ＝1，b ＝－2时，B 不正确；当a ＝1，b ＝－2时，C 不正确；对于D ，a >|b |≥0，则a 2>b 2，故选D.答案：D4．已知ab >0，则“b <1a ”是“a <1b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由b <1a ，ab >0得ab 20，所以a <1b ，同理由a <1b 可得b <1a ，故选C.答案：C5．(2016·贵阳期末)下列命题中，正确的是( ) A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >b C ．若a c 2<bc2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d解析：A 项，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；B 项，当c <0时，ac >bc ⇒a 0，∴a y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b ＋y ，③ax >by ，④a y >bx 这四个式子中，恒成立的不等式有________(写出所有恒成立的不等式的序号)．解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x >y ，a >b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5，∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．又ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不成立．又a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝bx ，因此④不成立．由不等式的性质可推出②成立．答案：②8．如果0<a 0，∴a ＋1b ＋c d ＋1e >a b ＋c ＋1d ＋1e ，即当变量a 的值增加1会使S 的值增加最大．答案：a9．若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e (a －c )2>e(b －d )2.证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0. ∴(a －c )2>(b －d )2>0. ∴0<1(a －c )2<1(b －d )2. 又∵e <0，∴e (a －c )2>e(b －d )2.10．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx . 所以y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝⎛⎭⎫1－n 5. 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．B 组高考题型专练1．(2013·高考天津卷)设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b；②a c log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③解析：∵a >b >1，∴1a <1b.又c <0， ∴c a >c b，故①正确．当c <0时，y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数，又a >b >1，∴a c b >1，－c >0，∴a －c >b －c >1.∵a >b >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，即log b (a －c )>log a (b －c )，故③正确．答案：D3．(2014·高考山东卷)已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1>1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)C ．sin x >sin yD ．x 3>y 3解析：根据指数函数的性质得x >y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A ，B 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D 中的不等式恒成立．答案：D4．(2014·高考四川卷)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a c ＞b dB.a c ＜b dC.a d ＞b cD.a d ＜b c解析：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1，代入验证得A ，B ，C 均错，只有D 正确．答案：D。

高考数学(文)一轮复习课件：6-1不等关系与不等式(人教A版)

[变式探究2] 试比较aabb与abba(a>0且a≠1，b>0，且 b≠1)的大小．
解：aaabbbba＝abaa－－bb＝(ba)a－b， ∵a>0且a≠1，b>0且b≠1， ∴ab>0， ①当ab>1，即a>b时，a－b>0，(ab)a－b>1， ∴aabb>abba；
②当ab＝1，即a＝b时，a－b＝0，(ab)a－b＝1， ∴aabb＝abba； ③当0<ab<1，即a<b时，a－b<0，(ab)a－b>1， ∴aabb>abba. 综上，aabb≥abba(当且仅当a＝b时取等号).
∴c≥b>a.
5. 设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．
解：方法一：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m、n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b，于是mn－＋mn＝＝－4，2，解得mn＝＝13.， ∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．
[规律总结] 比较大小的方法： 1. 作差法其一般步骤是：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方和式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．
2．作商法其一般步骤是：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论． 3．特例法若是选择题还可以用特殊值法比较大小，若是解答题，也可以用特殊值法探路．
答案：②③ 解析：①中，当 a>0，b<0 时不成立，④中当 a>0，x>0 时不成立，故②③正确．

高考数学一轮复习第六篇不等式第1节不等关系与不等式课时作业文含解析新人教A版

高考数学一轮复习第六篇不等式第1节不等关系与不等式课时作业文含解析新人教A 版课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．设a ，b ∈R ，则“a ＞1且b ＞1”是“ab ＞1”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件A 解析：a ＞1且b ＞1⇒ab ＞1；但ab ＞1，则a ＞1且b ＞1不一定成立，如a ＝－2，b ＝－2时，ab ＝4＞1.故选A.2．如果a >b ，则下列各式正确的是( ) (A)a ·lg x >b ·lg x (x >0) (B)ax 2>bx 2(C)a 2>b 2(D)a ·2x >b ·2xD 解析：两边相乘的数lg x 不一定恒为正，选项A 错误；不等式两边都乘以x 2，它可能为0，选项B 错误；若a ＝－1，b ＝－2，不等式a 2>b 2不成立，选项C 错误．选项D 正确．3．(2018上海十三校联考)已知1a ＜1b＜0，给出下面四个不等式：①|a |＞|b |；②a ＜b ；③a ＋b ＜ab ；④a 3＞b 3.其中不正确的不等式的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2(D)3C 解析：由1a ＜1b＜0可得b ＜a ＜0，从而|a |＜|b |，①不正确；a ＞b ，②不正确；a ＋b＜0，ab ＞0，则a ＋b ＜ab 成立，③正确；a 3＞b 3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.故选C.4．已知a 1，a 2∈(0，1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) (A)M ＜N (B)M ＞N (C)M ＝N (D)不确定答案：B5．设a ＜b ＜0，则下列不等式中不成立的是( ) (A)1a ＞1b(B)1a －b ＞1a(C)|a |＞－b (D)－a ＞－b答案：B6．若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b ；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式是( ) (A )①④ (B)②③ (C )①③ (D)②④答案：C7．设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论：①c a ＞cb；②a c ＜b c；③log b (a －c )＞log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( )(A )① (B)①② (C )②③ (D)①②③ 答案：D8．(2017北京东城区统测)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q2%.若p ＞q ＞0.则提价多的方案是________．解析：设原价为a ，方案甲提价后为a (1＋p %)(1＋q %)，方案乙提价后为a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p %＋1＋q %22≥(（1＋p %）（1＋q %）)2＝(1＋p %)(1＋q %)，又∵p ＞q ＞0，∴等号不成立，则提价多的为方案乙．答案：乙9．已知f (n )＝n 2＋1－n ，g (n )＝n －n 2－1，φ(n )＝12n(n ∈N ＋，n ＞2)，则f (n )，g (n )，φ(n )的大小关系是________．解析：f (n )＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n ＜12n ＝φ(n )，g (n )＝n －n 2－1＝1n ＋n 2－1＞12n＝φ(n )，∴f (n )＜φ(n )＜g (n )．答案：f (n )＜φ(n )＜g (n )10．已知－1<a ＋b <3，且2<a －b <4，则2a ＋3b 的取值范围为____________．解析：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12，因为－52<52(a ＋b )<152，－2<－12(a －b )<－1，所以－92<52(a ＋b )－12(a －b )<132，即－92<2a ＋3b <132.答案：(－92，132)能力提升练(时间：15分钟)11．有外表一样、重量不同的四个小球，它们的重量分别是a ，b ，c ，d ，已知a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d ＞b ＋c ，a ＋c ＜b ，则这四个小球由重到轻的排列顺序是( )(A)d ＞b ＞a ＞c (B)b ＞c ＞d ＞a (C)d ＞b ＞c ＞a(D)c ＞a ＞d ＞bA 解析：∵a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d ＞b ＋c ，∴2a ＞2c ，即a ＞c .因此b ＜d .∵a ＋c ＜b ，∴a ＜b ，综上可得，c ＜a ＜b ＜d .12．若不等式(－1)na ＜2＋（－1）n ＋1n对于任意正整数n 都成立，则实数a 的取值范围是( )(A)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，32 (B)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，32(C)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，32 (D)⎝⎛⎭⎪⎫－3，32 A 解析：当n 取奇数时，－a ＜2＋1n ，因为n ≥1，故2＜2＋1n≤3，所以－a ≤2，所以a ≥－2；当n 取偶数时，a ＜2－1n ，因为n ≥2，所以32≤2－1n ＜2，所以a ＜32，综上，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，32，故选A.13．若a ，b ，c ，d 均为正实数，且a ＞b ，那么四个数b a ，a b ，b ＋c a ＋c ，a ＋db ＋d由小到大的顺序是________．解析：∵a ＞b ＞0，∴a b ＞1，a ＋d b ＋d ＞1，b a ＜1，b ＋c a ＋c ＜1，则a b －a ＋d b ＋d ＝d （a －b ）b （b ＋d ）＞0，即a b ＞a ＋c b ＋c ，b a －b ＋c a ＋c ＝c （b －a ）a （a ＋d ）＜0，即b a ＜b ＋c a ＋c ，所以由小到大的顺序是b a ＜b ＋c a ＋c ＜a ＋db ＋d＜a b答案：b a ＜b ＋c a ＋c ＜a ＋d b ＋d ＜ab14．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76000vv 2＋18v ＋20l.①如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/时；②如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比①中的最大车流量增加______辆/时．解析：①当l ＝6.05时，F ＝76000vv 2＋18v ＋121＝76000v ＋121v＋18≤760002v ·121v＋18＝7600022＋18＝1900.当且仅当v ＝11米/秒时等号成立，此时车流量最大为1900辆/时． ②当l ＝5时，F ＝76000vv 2＋18v ＋100＝76000v ＋100v＋18≤760002v ·100v＋18＝7600020＋18＝2000. 当且仅当v ＝10米/秒时，车流量最大为2000辆/时比①中最大车流量增加100辆/时． 15．建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比不应小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．解：设原来的窗户面积与地板面积分别为a 、b ，且ab≥10%，窗户面积和地板面积同时增加的面积为c ，则现有的窗户面积与地板面积分别为a ＋c ，b ＋c . 于是原来窗户面积与地板面积之比为a b，面积均增加c 以后，窗户面积与地板面积之比为a ＋cb ＋c，因此要确定采光条件的好坏，就转化成比较a b 与a ＋cb ＋c的大小，采用作差比较法．a ＋cb ＋c －a b ＝c （b －a ）（b ＋c ）b. 因为a ＞0，b ＞0，c ＞0，又由题设条件可知a ＜b ，故有a b ＜a ＋cb ＋c 成立，即a ＋c b ＋c ＞ab≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．。

高考数学一轮复习 61不等关系与不等式课件新人教A版

d
与
b c
的大小关系是
解析 ∵a>b>0，c>d>0，∴ad>bc>0，∴
a d>
b c.
答案
ab d> c
Y 研考点·知规律
探究悟道点拨技法
题型一比较两个数(式)的大小
【例1】 (1)若a＝ln22，b＝ln33，c＝ln55，则( )
A．a<b<c B．c<b<a
C．c<a<b D．b<a<c
第六章不等式、推理与证明
第一节 ►►不等关系与不等式
读教材·抓基础
研考点·知规律
拓思维·培能力
高考这样考
1.考查有关不等式的命题真假及数(式)的大小比较． 2.考查和函数、数列等知识的综合应用.
备考这样做 1.熟练掌握不等式的性质，并会正确理解和应用． 2.对含参数的不等式，要把握分类讨论的标准和技巧.
变式思考 1 已知a≠1且a∈R，试比较1－1 a与1＋a的大小．解 ∵1－1 a－(1＋a)＝1－a2a ①当a＝0时，1－a2a＝0，∴1－1 a＝1＋a； ②当a<1，且a≠0时，1－a2a>0，∴1－1 a>1＋a； ③当a>1时，1－a2a<0，∴1－1 a<1＋a.
题型二不等式性质的应用
(8)a＞b＞0⇒n a＞n b(n∈N，且n≥2)．
3．不等式的一些常用性质 (1)倒数性质： ①a＞b，ab＞0⇒1a_＜___1b. ②a＞b＞0,0＜c＜d⇒ac__＞____bd. ③0＜a＜x＜b，或a＜x＜b＜0⇒1b＜1x＜1a.
(2)有关分数的性质：若a＞b＞0，m＞0，则 ①真分数的性质：ba_＜__ba＋＋mm；ba_＞___ba－－mm(b－m＞0)． ②假分数的性质：ab＞ab＋＋mm；ab＜ab－－mm(b－m＞0)．

高考数学一轮复习第六章第一节不等关系与不等式课时作业理新人教A版高三全册数学试题

【优化探究】2017届高考数学一轮复习第六章第一节不等关系与不等式课时作业理新人教A 版A 组考点能力演练1．已知1a <1b<0，则下列结论错误的是( ) A ．a 22 C ．ab >b 2 D ．lg a 2<lg ab 解析：∵1a <1b <0，∴1b －1a ＝a －b ab>0，∴a －b >0， ∴ab －b 2＝(a －b )b <0，∴ab πb ，即a >b ，由函数y ＝ln x ，y ＝sin x ，y ＝1x，y ＝x 3的单调性知C 正确．答案：C3．(2016·资阳一诊)已知a ，b ∈R ，下列命题正确的是( )A ．若a >b ，则|a |>|b |B ．若a >b ，则1a <1bC ．若|a |>b ，则a 2>b 2D ．若a >|b |，则a 2>b 2解析：当a ＝1，b ＝－2时，A 不正确；当a ＝1，b ＝－2时，B 不正确；当a ＝1，b ＝－2时，C 不正确；对于D ，a >|b |≥0，则a 2>b 2，故选D.答案：D4．已知ab >0，则“b <1a ”是“a <1b”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由b <1a ，ab >0得ab 20，所以a <1b ，同理由a <1b 可得b <1a，故选C. 答案：C5．(2016·贵阳期末)下列命题中，正确的是( )A ．若a >b ，c >d ，则ac >bdB ．若ac >bc ，则a >bC ．若a c 2b ，c >d ，则a －c >b －d解析：A 项，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；B 项，当c <0时，ac >bc ⇒a 0，∴a y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b ＋y ，③ax >by ，④a y >b x 这四个式子中，恒成立的不等式有________(写出所有恒成立的不等式的序号)．解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x >y ，a >b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5，∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．又ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不成立．又a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝b x，因此④不成立．由不等式的性质可推出②成立．答案：② 8．如果0<a 0，∴a ＋1b ＋c d ＋1e >a b ＋c ＋1d ＋1e ，即当变量a 的值增加1会使S 的值增加最大．答案：a9．若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e a －c 2>e b －d 2. 证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0.又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0.∴(a －c )2>(b －d )2>0.∴0<1a －c 2<1b －d 2.又∵e <0，∴ea －c 2>eb －d 2.10．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx . 所以y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5. 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．B 组高考题型专练1．(2013·高考天津卷)设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b ；②a c log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③ 解析：∵a >b >1，∴1a <1b.又c <0， ∴c a >c b ，故①正确．当c <0时，y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数，又a >b >1，∴a c b >1，－c >0，∴a －c >b －c >1.∵a >b >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，即log b (a －c )>log a (b －c )，故③正确．答案：D3．(2014·高考山东卷)已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1>1y 2＋1 B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)C ．sin x >sin yD ．x 3>y 3解析：根据指数函数的性质得x >y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A ，B 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D 中的不等式恒成立．答案：D4．(2014·高考四川卷)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a c ＞b dB.a c ＜b dC.a d ＞b cD.a d ＜b c解析：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1，代入验证得A ，B ，C 均错，只有D 正确．答案：D。

人教A版高中数学高三一轮第六章不等式61不等关系与不等式考向归纳(素材)

6.1 不等关系与不等式考向归纳考向1用不等式(组)表示不等关系1.已知甲、乙两种食物的维生素A ，B 含量如下表：甲乙维生素A(单位/kg) 600 700 维生素B(单位/kg)800400设用甲、乙两种食物各x kg ，y kg 配成至多100 kg 的混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A 和62 000单位维生素B ，则x ，y 应满足的所有不等关系为________．【解析】由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1006x ＋7y ≥5602x ＋y ≥155x ≥0，y ≥0【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1006x ＋7y ≥5602x ＋y ≥155x ≥0，y ≥01．用不等式(组)表示不等关系的解题策略 (1)分析题目中有哪些未知量；(2)选择其中起关键作用的未知量，设为x ，再用x 来表示其他未知量； (3)根据题目中的不等关系列出不等式(组)．提醒：在列不等式(组)时要注意变量自身的范围，解题时极易忽略，从而导致错解． 2．文字语言与符号语言的转化将实际问题中的不等关系写成相应的不等式(组)时，应注意关键性的文字语言与对应数学符号语言之间的正确转换，常见的转换关系如表：文字语言大于，高于，超过小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不超过符号语言><≥≤(1)已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系为________． (2)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是________．(3)比较a a b b 与a b b a 的大小．(a >0，且a ≠1，b >0且b ≠1)的大小．【解析】 (1)M －N ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)，因为a 1，a 2∈(0,1)，故a 1－1<0，a 2－1<0.所以(a 1－1)(a 2－1)>0，所以M >N . 【答案】 M >N(2)由c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0，∴c ≥b . 再由b ＋c ＝6－4a ＋3a 2， ① c －b ＝4－4a ＋a 2， ②①－②得：2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2， ∵1＋a 2－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0， ∴b ＝1＋a 2>a . ∴c ≥b >a . 【答案】 c ≥b >a(3)a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝⎝⎛⎭⎫a b a －b，当a >b >0时，ab >1，a －b >0，则⎝⎛⎭⎫a b a －b>1，∴a a b b >a b b a；当b >a >0时，0<ab <1，a －b <0，则⎝⎛⎭⎫a b a －b >1， ∴a a b b >a b b a ；当a ＝b >0时，⎝⎛⎭⎫a b a －b ＝1， ∴a a b b ＝a b b a ，综上知a a b b ≥a b b a (当且仅当a ＝b 时取等号)．比较两个数大小的常用方法1．作差法：其基本步骤为作差、变形、判断符号、得出结论，用作差法比较大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法．2．作商法：即判断商与1的关系，得出结论，要特别注意当商与1的大小确定后必须对商式分母的正负做出判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤．3．单调性法：利用有关函数的单调性比较大小．4．特值验证法：对于一些题目，有的给出取值范围，可采用特值验证法比较大小． [变式训练]已知a ，b 是正数，x ＝a ＋b2，y ＝a ＋b ，则x ，y 的大小关系为________．【解析】 ∵a ，b 是正数，所以x >0，y >0. ∴x 2－y 2＝12(a ＋b ＋2ab )－(a ＋b )＝－12(a ＋b －2ab )＝－12(a －b )2≤0.当且仅当a ＝b 时等号成立， ∴x 2≤y 2即x ≤y . 【答案】 x ≤y考向3不等式性质的应用1.若1a <1b <0，则下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2中，正确的不等式是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①③D ．②④(2)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．【解析】 (1)由1a <1b <0，可知b <a <0.①中，∵a ＋b <0，ab >0，∴1a ＋b <0，1ab >0.故有1a ＋b <1ab，即①正确；②中，∵b <a <0，∴－b >－a >0.故－b >|a |，即|a |＋b <0，故②错误； ③中，∵b <a <0，又1a <1b <0，∴a －1a >b －1b，故③正确；④中，∵b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，∴ln b 2>ln a 2，故④错误．由以上分析，知①③正确．【答案】 C(2)f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，f (－2)＝4a －2b . 设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b .∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3， ∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤f (－2)≤10.1．判断不等式命题真假的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假．2．利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．[变式训练]1.若a >0>b >－a ，c <d <0，则下列命题：①ad >bc ；②a d ＋b c <0；③a －c >b －d ；④a (d －c )>b (d－c )中能成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 ∵a >0>b ，c <d <0，∴ad <0，bc >0，∴ad <bc ， ∴①错误．∵a >0>b >－a ，∴a >－b >0， ∵c <d <0，∴－c >－d >0， ∴a (－c )>(－b )(－d )，∴ac ＋bd <0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd <0，∴②正确．∵c <d ，∴－c >－d ，∵a >b ，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )，a －c >b －d ，∴③正确． ∵a >b ，d －c >0，∴a (d －c )>b (d －c )，∴④正确，故选C. 【答案】 C 2．若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，试求α＋3β的取值范围．【解】设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2. ∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6， ∴两式相加，得1≤α＋3β≤7.。

高考数学一轮复习第6章第1节《不等关系与不等式》名师首选练习题新人教A版.pdf

第六章第一节不等关系与不等式一、选择题 1．设a，bR，若b－|a|>0，则下列不等式中正确的是( ) A．a－b>0 B．a＋b>0 C．a2－b2>0 D．a3＋b3b，则下列不等式正确的是( ) A.b3 C．a2>b2 D．a>|b| 4．设a，b为正实数，则“a<b”是“a－y B．x＝y C．xy>1，且0logay；x－a>y－a；logxa<logya. 其中不成立的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 7．已知a＋b＞0，则＋与＋的大小关系是________． 8．以下四个不等式：a<00，c<d<0，e. 12．设x，y为实数，满足3≤xy2≤8,4≤≤9，求的最大值．一、选择题 1．解析：由b>|a|，可得－b0，所以选项B正确．由b>|a|，两边平方得b2>a2，则a2－b2，a2<b2，ab，则a3>b3. 答案：B 4．解析：a>0，b>0，a，由不等式的性质a－<b－. 由a<b可得出a－<b－；当a－<b－时，可得(a－b)－(－)<0，即(a－b)(1＋)0，b>0，a－b<0. a<b，故由a－<b－可得出a<b. “a<b”是“a－<b－”成立的充要条件．答案：C 5．解析：x－y＝a2＋3a－5a－15－a2－2a＋4a＋8＝－7<0， xy>1,0ya>0，x－a<y－a，不成立．又logax<logay. 即logxa>logya，也不成立．答案：C 二、填空题 7．解析：＋－(＋)＝＋＝(a－b)(－)＝. a＋b＞0，(a－b)2≥0， ≥0. ∴＋≥＋. 答案：＋≥＋ 8．解析：a<0<b1时，(x－1)(x2＋1)>0，即x3>x2－x＋1；当x＝1时，(x－1)(x2＋1)＝0，即x3＝x2－x＋1；当x<1时，(x－1)(x2＋1)<0，即x3<x2－x＋1. 11．证明：c<d－d>0. 又a>b>0，a－c>b－d>0. (a－c)2>(b－d)2>0. 0<<. 又e. 12．解：法一：由题设知，实数x，y均为正实数，则条件可化为lg3≤lgx＋2lgy≤lg8，lg4≤2lgx－lgy≤lg9，令lgx＝a，lgy＝b，则有，又设t＝，则lgt＝3lgx－4lgy＝3a－4b，令3a－4b＝m(a＋2b)＋n(2a－b)，解得m＝－1，n＝2，即lgt＝－(a＋2b)＋2(2a－b)≤－lg3＋4lg3＝lg27，的最大值是27. 法二：将4≤≤9两边分别平方得，16≤≤81，又由3≤xy2≤8可得，≤≤，由×②得，2≤≤27，即的最大值是27.。

高中数学高三一轮第六章不等式 6.1不等关系与不等式【教师版】

高三一轮复习 6.1不等关系与不等式（检测教师版）时间:50分钟总分:70分班级：姓名：一、选择题（共6小题,每题5分，共30分）1．已知a>b>0，则下列不等式成立的是( ）A．a2〈b2B。

错误!>错误!C．|a|<|b｜D．2a〉2b【答案】D【解析】利用不等式的性质，选D.2．若a>b,则下列不等式成立的是（）A．ln a〉ln b B．0.3a>0.3bC．a12〉b12D。

错误!>错误!【答案】D【解析】因为a〉b，而对数函数要求真数为正数，所以ln a>ln b不成立；因为y＝0.3x是减函数,又a〉b，则0。

3a<0.3b，故B错；当a＞b＞0时，a〉b，则a12＞b12，故C错；y＝x13在（－∞，＋∞)是增函数,又a>b,则a13>b13，即错误!〉错误!成立，选D。

3．设a＝lg e,b＝（lg e）2,c＝lg错误!，则（) A．a〉b>c B．a〉c〉b C．c〉a〉b D．c>b>a【答案】B【解析】0<lg e〈1，即0<a<1，b＝（lg e)2＝a2〈a，c＝lg错误!＝错误!lg e＝错误!a<a，又b＝（lg e)2<lg 10lg e＝错误!lg e＝c,因此a〉c〉b.故选B。

4．在R上定义运算“＊”：x*y＝x（1－y）．若不等式(x－y）*（x＋y)＜1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是( )A。

错误!B。

错误!C．(－1,1）D．（0,2）【答案】A【解析】由题意知，(x－y)*（x＋y）＝（x－y)·[1－（x＋y)］＜1对一切实数x恒成立，所以－x2＋x＋y2－y－1＜0对于x∈R恒成立，所以12－4×（－1)×(y2－y －1)＜0，所以4y2－4y－3＜0，解得－错误!＜y＜错误!,故选A。

5．若a〉b〉0,则下列不等式中一定成立的是( ) A．a＋错误!〉b＋错误!B。

高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明第1节不等关系与不等式练习新人教A版

第六章第1节不等关系与不等式[基础训练组]1．(导学号14577495)设a ，b ∈R ，则“a ＞1且b ＞1”是“ab ＞1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A [a ＞1且b ＞1⇒ab ＞1；但ab ＞1，则a ＞1且b ＞1不一定成立，如a ＝－2，b ＝－2时，ab ＝4＞1.故选A.]2．(导学号14577496)(2018·临汾市质检)下列命题中，正确的是( ) A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >b C ．若a c 2<bc2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d解析：C [取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；当c <0时，ac >bc ⇒a 0，∴a 2，x ∈R ，则p ，q 的大小关系是( )A ．p ≥qB ．p >qC ．p <qD ．p ≤q解析：A [p ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2＋2≥2＋2＝4，当且仅当a ＝3时取等号．因为x 2－2≥－2，所以q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4，当且仅当x ＝0时取等号．所以p ≥q .]4．(导学号14577498)已知1a <1b<0，给出下面四个不等式：①|a |>|b |；②a b 3.其中不正确的不等式的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：C [由1a <1b<0可得b <a <0，从而|a |<|b |，①不正确；a >b ，②不正确；a ＋b <0，ab >0，则a ＋b <ab 成立，③正确；a 3>b 3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.]5．(导学号14577499)若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n ＜m ＜n ＜－m B ．－n ＜m ＜－m ＜n C ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m解析：D [法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可．法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立．] 6．(导学号14577500)设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的 ________ 条件．解析：∵x ≥2且y ≥2，∴x 2＋y 2≥4，∴“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的充分条件；而x 2＋y 2≥4不一定得出x ≥2且y ≥2，例如当x ≤－2且y ≤－2时，x 2＋y 2≥4亦成立，故“x ≥2且y ≥2”不是“x 2＋y 2≥4”的必要条件．∴“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的充分不必要条件．答案：充分不必要7．(导学号14577501)(2018·邯郸市质检)对于实数a ，b ，c 有下列命题：①若a >b ，则ac <bc ；②若ac 2>bc 2，则a >b ；③若a ab >b 2；④若c >a >b >0，则ac －a >bc －b；⑤若a >b ，1a >1b，则a >0，b <0.其中是真命题的是 ________ (写出所有真命题的序号)．解析：若c >0，则①不成立；由ac 2>bc 2，知c ≠0，则a >b ，②成立；由a ab ，ab >b 2，即a 2>ab >b 2，③成立；由c >a >b >0，得0<c －a <c －b ，故a c －a >bc －b，④成立；若a >b ，1a －1b ＝b －a ab>0，则ab <0，故a >0，b <0，⑤成立．故所有的真命题为②③④⑤.答案：②③④⑤8．(导学号14577502)已知f (n )＝n 2＋1－n ，g (n )＝n －n 2－1，φ(n )＝12n(n ∈N *，n >2)，则f (n )，g (n )，φ(n )的大小关系是 ______ .解析：f (n )＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n <12n＝φ(n )，g (n )＝n －n 2－1＝1n ＋n 2－1 >12n＝φ(n )，∴f (n )<φ(n )<g (n )．答案：f (n )<φ(n )<g (n )9．(导学号14577503)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0.求证：e a －c2＞e b －d2.证明：∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0. 又∵a ＞b ＞0，∴a －c ＞b －d ＞0. ∴(a －c )2＞(b －d )2＞0. ∴0＜1a －c2＜1b －d2.又∵e ＜0，∴e a －c2＞e b －d2.10．(导学号14577504)某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx .所以y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5. 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n ＞5时，y 1＜y 2；当n ＜5时，y 1＞y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．[能力提升组]11．(导学号14577505)已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xzD ．x |y |>z |y |解析：C [因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧x >0y >z 可得xy >xz .]12．(导学号14577506)若6<a <10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，那么c 的取值范围是( )A ．[9,18]B ．(15,30)C ．[9,30]D ．(9,30)解析：D [∵a 2≤b ≤2a ，∴3a2≤a ＋b ≤3a ，即3a2≤c ≤3a . ∵6<a <10，∴9<c <30.故选D.]13．(导学号14577507)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q2%.若p >q >0，则提价多的方案是 ________ .解析：设原价为a ，方案甲提价后为a (1＋p %)(1＋q %)，方案乙提价后为a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2， ∵⎝⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋p %＋1＋q %22≥()＋p ＋q2＝(1＋p %)(1＋q %)，又∵p >q >0，∴等号不成立，则提价多的为方案乙．答案：乙14．(导学号14577508)已知12＜a ＜60,15＜b ＜36，求a －b ，ab的取值范围．解：∵15＜b ＜36，∴－36＜－b ＜－15. 又12＜a ＜60，∴12－36＜a －b ＜60－15， ∴－24＜a －b ＜45，即a －b 的取值范围是(－24,45)． ∵136＜1b ＜115， ∴1236＜a b ＜6015，∴13＜ab＜4，即a b 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4.。

高考数学一轮复习第六章不等式课堂达标30 不等关系与不等式文新人教版

课堂达标(三十) 不等关系与不等式[A 基础巩固练]1．(2018·贵阳监测考试)下列命题中，正确的是( ) A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >b C ．若a c 2b ，c >d ，则a －c >b －d[解析] (1)A ：取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；B ：当c <0时，ac >bc ⇒a 0，所以a <b ，C 正确；D ：取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误，故选C.[答案] C2．(2018·江西鹰潭二模)若1a ＜1b＜0，则下列结论正确的是( )A ．a 2＞b 2B ．1＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12aC.b a ＋a b＜2D ．ae b＞be a[解析] 由题意，b ＜a ＜0，则a 2＜b 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞1，b a ＋a b ＞2，∵b ＜a ＜0，∴e a ＞eb＞0，－b ＞－a ＞0∴－be a＞－ae b，∴ae b＞be a，故选D. [答案] D3．若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋1b >b ＋1aB.b a >b ＋1a ＋1C ．a －1b>b －1aD.2a ＋b a ＋2b >ab[解析] 取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，即a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a，但g (a )>g (b )未必成立，故选A.[答案] A4．(2016·浙江高考)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( )A ．(a －1)(b －1)<0B ．(a －1)(a －b )>0C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0[解析] ∵a ，b >0且a ≠1，b ≠1，∴当a >1，即a －1>0时，不等式log a b >1可化为log ba >log aa ，即b >a >1，∴(a －1)(a －b )<0，(b －1)(a －1)>0，(b －1)(b －a )>0.当0<a <1，即a －1<0时，不等式log a b >1可化为log ba <log aa ，即00，(b －1)(b －a )>0.[答案] D5．若不等式(－2)na －3n －1－(－3)n<0对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，43C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，74 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，74 [解析] 当n 为奇数时，2n(1－a )<3n －1，1－a <13×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 恒成立，只需1－a <13×⎝ ⎛⎭⎪⎫321，∴a >12.当n 为偶数时，2n(a －1)<3n －1，a －1<13×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 恒成立，只需a －1<13<⎝ ⎛⎭⎪⎫322，∴a <74.综上，12<a <74，故选D.[答案] D6．(黄冈质检)已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xzD ．x |y |>z |y |[解析] 因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧x >0y >z ，可得xy >xz .[答案] C7．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为__________．[解析] 矩形靠墙的一边长为x m ，则另一边长为30－x 2 m ，即⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2m ，根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x ≤18，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216.[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216.8．已知a ＋b >0，则a b2＋b a2与1a ＋1b的大小关系是______．[解析]a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a2 ＝(a －b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝a ＋b a －b 2a 2b 2.∵a ＋b >0，(a －b )2≥0， ∴a ＋ba －b2a 2b 2≥0.∴a b2＋b a2≥1a ＋1b.[答案]a b 2＋b a 2≥1a ＋1b9．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是______． [解析] ∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0，当a >0时，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2>1，b <1，解得b <－1；当a <0时，b 2<11此式无解．综上可得实数b 的取值范围(－∞，－1)． [答案] (－∞，－1)10．(1)设x ＜y ＜0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)·(x ＋y )的大小； (2)已知a ，b ，x ，y ∈(0，＋∞)且1a ＞1b，x ＞y ，求证：xx ＋a ＞yy ＋b.[解] (1)法一： (x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y ) ＝(x －y )[x 2＋y 2－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )， ∵x ＜y ＜0，∴xy ＞0，x －y ＜0， ∴－2xy (x －y )＞0，∴(x 2＋y 2)(x －y )＞(x 2－y 2)(x ＋y )．法二：∵x ＜y ＜0，∴x －y ＜0，x 2＞y 2，x ＋y ＜0. ∴(x 2＋y 2)(x －y )＜0，(x 2－y 2)(x ＋y )＜0，∴0＜x 2＋y 2x －y x 2－y2x ＋y ＝x 2＋y 2x 2＋y 2＋2xy＜1， ∴(x 2＋y 2)(x －y )＞(x 2－y 2)(x ＋y )． (2)证明：xx ＋a －yy ＋b＝bx －ayx ＋a y ＋b.∵1a ＞1b且a ，b ∈(0，＋∞)，∴b ＞a ＞0，又∵x ＞y ＞0，∴bx ＞ay ＞0， ∴bx －ay x ＋a y ＋b ＞0，∴x x ＋a ＞yy ＋b.[B 能力提升练]1．(2018·合肥质检)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则ca的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(0,3)[解析] 由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a c ，a ＋c >b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1ca ，1＋c a >b a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1b ，a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若m ⊗n ≥2，p ⊕q ≤2，则( )A ．mn ≥4且p ＋q ≤4B ．m ＋n ≥4且pq ≤4C ．mn ≤4且p ＋q ≥4D ．m ＋n ≤4且pq ≤4[解析] 结合定义及m ⊗n ≥2可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≤n或⎩⎪⎨⎪⎧n ≥2，m >n ，即n ≥m ≥2或m >n ≥2，所以mn ≥4；结合定义及p ⊕q ≤2可得⎩⎪⎨⎪⎧p ≤2，p >q 或⎩⎪⎨⎪⎧q ≤2，p ≤q ，即q b >0，m ≠－a ，则b ＋m a ＋m >ba时，m 满足的条件是______． [解析] 由b ＋m a ＋m >b a 得a －b ma a ＋m>0，因为a >b >0，所以mm ＋a >0.即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m ＋a >0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m ＋a <0.∴m >0或m <－a .即m 满足的条件是m >0或m <－a . [答案] m >0或m <－a4．(2018·北京东城区统测)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q2%.若p >q >0，则提价多的方案是______．[解析] 设原价为a ，方案甲提价后为a (1＋p %)(1＋q %)，方案乙提价后为a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2， ∵⎝⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋p %＋1＋q %22≥()＋p ＋q2＝(1＋p %)(1＋q %)，又∵p >q >0，∴等号不成立，则提价多的为方案乙． [答案] 乙5．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．[解] 设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx .所以y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx＝14x －120nx ＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5.当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．[C 尖子生专练]甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试判断谁先到教室？[解析] 设从寝室到教室的路程为s ，甲、乙两人的步行速度为v 1，跑步速度为v 2，且v 1＜v 2.甲所用的时间t 甲＝s 2v 1＋s2v 2＝s v 1＋v 22v 1v 2，乙所用的时间t 乙＝2sv 1＋v 2， ∴t 甲t 乙＝s v 1＋v 22v 1v 2×v 1＋v 22s ＝v 1＋v 224v 1v 2＝v 21＋v 22＋2v 1v 24v 1v 2＞4v 1v 24v 1v 2＝1.∵t 甲＞0，t 乙＞0， ∴t 甲＞t 乙，即乙先到教室．。

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高三一轮复习 6.1不等关系与不等式
（检测教师版）
一、
选择题（共6小题，每题5分，共30分）
1．已知a >b >0，则下列不等式成立的是( ) A ．a 21
b
C ．|a |<|b |
D ．2a >2b
【答案】D
【解析】利用不等式的性质，选D. 2．若a >b ，则下列不等式成立的是( ) A ．ln a >ln b B ．0.3a >0.3b C ．a 12
>b 12
D.3a >3b
【答案】D
【解析】因为a >b ，而对数函数要求真数为正数，所以ln a >ln b 不成立；因为y ＝0.3x 是减函数，又a >b ，则0.3a <0.3b ，故B 错；当a ＞b ＞0时，a >b ，则a 12
＞b 12
，故C 错；
y ＝x 1
3
在(－∞，＋∞)是增函数，又a >b ，则a 13
>b 13
，即3a >3
b 成立，选D. 3．设a ＝lg e ，b ＝(lg e)2，
c ＝lg e ，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b
D ．c >b >a
【答案】B
【解析】 0<lg e<1，即0<a <1，b ＝(lg e)2＝a 2<a ，c ＝lg e ＝12lg e ＝1
2
a <a ，
又b ＝(lg e)2<lg 10lg e ＝1
2
lg e ＝c ，因此a >c >b .故选B.
4．在R 上定义运算“*”：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －y )*(x ＋y )＜1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，32 B.⎝⎛⎭⎫－32，12 C ．(－1，1)
D ．(0，2)
【答案】A
【解析】由题意知，(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]＜1对一切实数x 恒成立，所以－x 2＋x ＋y 2－y －1＜0
对于x ∈R 恒成立，所以12－4×(－1)×(y 2－y －1)＜0，所以4y 2－4y －3＜0，解得－12
＜
y ＜3
2
，故选A. 5．若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋1b >b ＋1
a
B.b a >b ＋1
a ＋1 C ．a －1
b >b －1
a
D.2a ＋b a ＋2b >a b
【答案】A
【解析】检验法：取a ＝2，b ＝1，排除B 和D ；另外，函数f (x )＝x －1
x 是(0，＋∞)上的增
函数，
但函数g (x )＝x ＋1
x 在(0，1]上递减，在[1，＋∞)上递增．所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )
必定成立．但g (a )>g (b )未必成立，所以a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1
a
，故选A.
6．若a <0，b <0，则p ＝b 2a ＋a 2
b 与q ＝a ＋b 的大小关系为( )
A ．p <q
B ．p ≤q
C ．p >q
D ．p ≥q
【答案】B
【解析】因为p －q ＝b 2a ＋a 2
b －a －b ＝（b －a ）2（b ＋a ）ab ≤0，所以p ≤q ，选B.
二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）
7．设a >b ，(1)ac 2>bc 2；(2)2a >2b ；(3)1a <1
b ；(4)a 3>b 3；(5)a 2>b 2中正确的结论有________．
【答案】 (2)(4)
【解析】若c ＝0，(1)错；若a ，b 异号或a ，b 中有一个为0，(3)(5)错． 8．给出以下四个命题：
①a >b ⇒a n >b n (n ∈N *)；②a >|b |⇒a n >b n (n ∈N *)；③a 1b ；④a 1
a .
其中真命题的序号是________．【答案】 ②③
【解析】①中取a ＝－1，b ＝－2，n ＝2，①不成立；②a >|b |，得a >0，
∴a n >b n 成立；③a 1b 成立；④a a ，故1a －b <1
a ，④不成立．
9．若α，β满足－π2<α<β<π
2
，则2α－β的取值范围是________．
【答案】 ⎝⎛⎭⎫
－3π2，π2
【解析】 ∵－π2<α<β<π2，∴－π<α－β<0.又－π2<α<π2，∴－3π2<α＋(α－β)<π2，即－3π2<2α－β<π
2.
10．已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1
b 的大小关系是________．
【答案】 a b 2＋b a 2≥1a ＋1
b
【解析】 a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )⎝⎛⎭⎫
1b 2－1a 2＝（a ＋b ）（a －b ）2
a 2
b 2
. ∵a ＋b >0，(a －b )2
≥0，∴（a ＋b ）（a －b ）2a 2b 2
≥0.∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1
b
. 三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）
11.用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板部分的铁钉长度为前一次的1
k (k ∈N *)．已知一个铁钉受击3次后全部进入
木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是铁钉长的4
7，则从中提炼出一个不等式组
为。

【答案】⎩⎪⎨⎪⎧
47＋4
7k <1，
47＋47k ＋4
7k 2
≥1，
k ∈N
*
【解析】依题意47＋4
7k <1，且三次后全部进入，
即47＋47k ＋4
7k 2
≥1，故不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧
47＋4
7k
<1，47＋4
7k ＋47k 2
≥1，
k ∈N *
.
12．已知1≤lg x y ≤2，2≤lg x 3y ≤3，求lg x 3
3
y 的取值范围．
【答案】见解析
【解析】由⎩⎨⎧1≤lg x
y ≤2，2≤lg x 3
y
≤3变形，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤lg x －lg y ≤2，2≤3lg x －12lg y ≤3，令⎩⎪⎨⎪
⎧lg x －lg y ＝a ，3lg x －12lg y ＝b ，解得⎩⎨⎧lg x ＝2b －a
5
，lg y ＝2b －6a 5.
∴lg
x 3
3
y
＝3lg x －1
3lg y ＝3·2b －a 5－13·2b －6a 5＝1615b －15a .
由⎩
⎪⎨⎪⎧1≤a ≤2，2≤b ≤3，得
⎩⎨⎧－25≤－15a ≤－15
，3215≤1615b ≤16
5.
∴2615≤1615b －15a ≤3，即2615≤lg x 33y ≤3.∴lg x 3
3
y
的取值范围是⎣⎡⎦
⎤2615，3.。