[推荐学习]高中数学 第二章《点、直线、平面之间的位置关系》平面与平面垂直的性质学案(无答案)新人教
高中数学 第2章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质教
2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质疱丁巧解牛知识·巧学一、直线与平面垂直的性质：垂直于同一平面的两条直线平行.符号语言：a⊥α,b⊥α⇒a∥b.直线与平面垂直的性质可以作为线线平行的判定定理.同时有如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线上各点到平面的距离相等.二、面面垂直的性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：α⊥β,α∩β=l,a⊆β,a⊥l⇒a⊥β.只要有两个平面垂直，那么向交线作垂线便得线面垂直，进一步更有线与线的垂直.平面与平面垂直的判定与性质相互结合，为证明线线垂直、线面垂直提供了更多的技巧.简言之:面面垂直,则线面垂直.三、线线、线面、面面垂直关系的转化：运用两个平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直.平面与平面的垂直,一般将直线与直线垂直、直线与平面垂直三者结合在一起.问题·探究问题1 在一个工件上同时钻很多孔时，常用多头钻，多头钻杆都是互相平行的.在工作时，只要调整工件表面和一个钻杆垂直，工件表面就和其他钻杆都垂直，为什么？探究:根据两平行线中有一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于此平面，可推出若干平行杆都和工件表面垂直.问题2 应用两平面垂直的性质证题时，有哪些需要注意的地方？探究:需要注意的地方有三个：(1)两个垂直的平面；(2)两垂直平面的交线；(3)在其中一个平面内作垂直于交线的直线.典题·热题例1 如图2-3-12，在△ABC中，∠BAC=60°，线段AD⊥平面ABC，AH⊥平面DBC，H为垂足.图2-3-12求证：H不可能是△BCD的垂心.思路解析：证明“不可能”无法下手，从反面“可能”考虑，用反证法.证明：假设H是△BCD的垂心，则BH⊥CD.∵AH⊥平面DBC，DC⊂平面DBC，∴AH⊥DC.∵AH∩BH=H，∴CD⊥平面ABH.又AB⊂平面ABH，∴AB⊥CD.∵AD⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AD⊥AB.由于AD∩CD=D，∴AB⊥平面ACD.∵AC⊂平面ACD，∴AB⊥AC.这与已知中∠BAC=60°相矛盾.∴假设不成立.故H不可能是△BCD的垂心.误区警示证明“不可能”“至多”“至少”“没有”“不等”等类型的问题，直接证明不好入手，通常采用反证法.要掌握反证法证题的基本步骤.例2 如图2-3-13，在四面体ABCD中，若AB⊥CD，AD⊥BC，求证:AC⊥BD.图2-3-13思路解析：要证线线垂直，可先证线面垂直，进而由线面垂直的定义(或性质)得出线线垂直.证明：过A作AO⊥平面BCD，垂足为O，则AO⊥CD.∵AB⊥CD，AO∩AB=A，∴CD⊥平面ABO.∵BO⊂平面ABO，∴CD⊥BO.同理,BC⊥DO.则O为△BCD的垂心，∴CO⊥BD.∵AO⊥BD，CO∩AO=O，∴BD⊥平面ACO.又∵AC⊂平面ACO，∴AC⊥BD.深化升华从本例可以进一步体会线面位置关系的相互转化在解(证)题中的作用.例3 如图2-3-14,空间四边形PABC中，PA、PB、PC两两相互垂直，∠PBA=45°，∠PBC=60°，M为AB的中点.(1)求BC与平面PAB所成的角；(2)求证：AB⊥平面PMC.图2-3-14思路解析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路.证明：∵PA⊥PB，∴∠APB=90°.在Rt△APB中，∵∠ABP=45°，设PA=a，2.∵PB⊥PC，在Rt△PBC中，则PB=a，AB=a∵∠PBC=60°，PB=a,∴BC=2a，PC=a3.∵AP⊥PC,∴在Rt△APC 中，AC=2222)3(a a PC PA +=+=2a.(1)∵PC⊥PA，PC⊥PB，∴PC⊥平面PAB.∴BC 在平面PAB 上的射影是BP,∠CBP 是CB 与平面PAB 所成的角.∵∠PBC=60°，∴BC 与平面PBA 所成的角为60°.(2)由上知，PA=PB=a ，AC=BC=2a,∴M 为AB 的中点，则AB⊥PM，AB⊥CM.∴AB⊥平面PCM.深化升华 本题关键要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径. 例4 如图2-3-15，已知平面PAB⊥平面ABC ，平面PAC⊥平面ABC ，AE⊥平面PBC ，E 为垂足.(1)求证：PA⊥平面ABC ；(2)当E 为△PBC 的垂心时，求证：△ABC 是直角三角形.图2-3-15思路解析：已知条件“平面PAB⊥平面ABC ，…”，使我们想到面面垂直的性质定理，便有如下解法.证明：(1)在平面ABC 内取一点D ，作DF ⊥AC 于F.平面PAC⊥平面ABC ，且交线为AC ，∴DF⊥平面PAC.∵PA ⊂平面PAC ，∴DF⊥AP.作DG⊥AB 于G.同理，可证DG⊥AP.DG 、DF 都在平面ABC 内，∴PA⊥平面ABC.(2)连结BE 并延长交PC 于H.∵E 是△PBC 的垂心，∴PC⊥BE.又已知AE 是平面PBC 的垂线，∴PC⊥AB.∴PC⊥面ABE.∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC ，∴PA⊥AB.∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC 是直角三角形.方法归纳 (1)已知两个平面垂直时，通常利用面面垂直的性质定理，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则此直线垂直于另一个平面.于是面面垂直转化为线面垂直.由此得到结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.(2)的关键是要灵活利用(1)题的结论.例5 已知平面α∩平面β=直线a ，α、β同垂直于平面γ，又同平行于直线b ，如图2-3-16，求证：(1)a⊥γ；(2)b⊥γ.思路解析：由求证想判定，欲证线面垂直可转证线线垂直或面面垂直.由已知想性质，面面垂直必能得到线面垂直.证明：(1)设α∩γ=AB，β∩γ=AC，在γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC.图2-3-16∵γ⊥α，∴PM⊥α.而a ⊂α，∴PM⊥a.同理，PN⊥a.又PM ⊂γ,PN ⊂γ,∴a⊥γ.(2)在直线a 上任取一点Q ，过b 与Q 作一个平面交α于直线a 1，交β于直线a 2. ∵b∥α,∴b∥a 1.同理,b∥a 2.又∵a 1、a 2都过点Q 且平行于b,∴a 1与a 2重合.又a 1⊂α,a 2⊂β,∴a 1与a 2重合且是α、β的交线，重合于a. ∵b∥a 1，∴b∥a.∵a⊥γ，∴b⊥γ.深化升华 证明线面垂直不仅可利用线面垂直的判定定理，也可利用面面垂直的性质定理. 例6 等边△ABC 的边长为a ，沿平行于BC 的线段PQ 折起，使平面APQ⊥平面PBCQ ，设点A 到直线PQ 的距离为x ，AB 的距离为d.(1)x 为何值时，d 2取得最小值?最小值是多少？(2)若∠BAC=θ，求cosθ的最小值.思路解析：要注意作出正确的图形，构造恰当的函数模型.解：(1)图2-3-17(1)为折叠前的对照图，图2-3-17(2)为折叠后的空间图形.(1) (2)图2-3-17∵平面APQ⊥平面PBCQ ，AR⊥PQ，∴AR⊥平面PBCQ.∴AR⊥RB.BR 2=BD 2+RD 2=(a 21)2+(x a -23)2,AR 2=x 2. 故d 2=BR 2+AR 2=2232a ax x +-(a x 230<<). ∴当x=a 43时. d 2取得最小值285a . (2)∵AB=AC=d,BC=a，∴在等腰△ABC 中，由余弦定理得cosθ=22222da d -, 即cosθ=2221d a -.当d 2=285a 时，cosθ取得最小值51. 方法归纳 (1)一般地,求最值问题首先要得到目标函数(求谁的最值，即推谁为目标函数，如本题中的d 2和cosθ)，然后再借助于函数求最值的方法(如配方法、平均值法、判别式法、三角法、反函数法及构造法等).(2)求角度问题、求距离问题是立体几何中的两大类计算题，它从数量关系上刻画空间图形位置关系.立体几何中涉及到的距离有七种：两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、平面内两平行线间的距离、两条异面直线间的距离(不作研究，了解即可)、与平面平行的直线到平面的距离、两平行平面间的距离.。
高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1
陕西省澄城县高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定教案新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（陕西省澄城县高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定教案新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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直线与平面垂直的判定教学目标知识与技能通过直观感知、操作确认,理解线面垂直的定义，归纳线面垂直的判定定理，并能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题。
过程与方法通过线面垂直定义及定理的探究过程，感知几何直观能力和抽象概括能力,体会转化思想在解决问题中的运用。
情感态度与价值观通过线面垂直定义及定理的探究，让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
重点难点重点:通过操作概括直线与平面垂直的定义和判定定理.难点：操作确认直线与平面垂直的判定定理并初步应用。
教学方法启发－探究学生自学反馈教学过程新知导学备注1。
复习回顾问题1：直线与平面有哪几种位置关系？引导学生说出直线与平面的三种位置关系并借助多媒体分别用三种语言（文字语言，符号语言及图形语言）描述。
新课2. 直观感知问题2:以下几种可以抽象成直线与平面相交的图片中，有什么共同的特点？（多媒体展示图片）引导学生找一找生活中直线与平面垂直的实例并引出课题：直线与平面垂直的判定。
最新人教版高中数学必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系第三节第4课时平面与平面垂直的性质
2.3.4 平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直符号语言α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β图形语言性质定理若去掉“一个平面内(a⊂α)”，定理是否成立？提示：不一定成立，如图a⊥α，这时也有a⊥l，但a与β不垂直．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)两个平面垂直，其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直．( ×) 提示：不一定．只有在一个平面内垂直于两平面交线的直线才能垂直于另一个平面．(2)若α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线. ( √)提示：若设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线．(3)如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ.( √)提示：设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ内取一点P不在m，n上，过P作直线a，b，使a ⊥m，b⊥n.因为γ⊥α，a⊥m，则a⊥α.所以a⊥l，同理有b⊥l.又a∩b＝P，l⊄γ，所以l⊥γ.故正确．(4)若两个平面互相垂直，一条直线与一个平面垂直，那么这条直线在另一个平面内．( ×) 提示：若α⊥β，l⊥α，在β内作a与α，β的交线垂直，则a⊥α，所以a∥l. 所以l∥β或l⊂β，即直线l与平面β平行或在平面β内．2．在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1( )A．平行B．相交C．异面且垂直D．异面且不垂直【解析】选C.如图所示，在四边形ABCD中，因为AB＝BC，AD＝CD.所以BD⊥AC. 因为平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C.又CC1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥CC1.3.如图所示，三棱锥PABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是________三角形．【解析】设P在平面ABC上的射影为O，因为平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，所以O∈AB.因为PA＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，所以O是△ABC的外心，且是AB的中点，所以△ABC是直角三角形．答案：直角类型一用面面垂直的性质定理解证明问题(逻辑推理、直观想象) 【典例】如图，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.【思路导引】面面垂直→线面垂直→线线垂直【证明】如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.因为平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD⊂平面PAB，所以AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，所以AD⊥BC.又因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又因为PA∩AD＝A，所以BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB，所以BC⊥AB.1．应用面面垂直的性质定理的一个意识和三个注意点(1)一个意识若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直．(2)三个注意点：①两个平面垂直，是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．2．证明线面垂直的常用方法(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a，b为直线，α为平面)；(4)若a⊥α，α∥β，则a⊥β(a为直线，α，β为平面).如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2.求证：BF⊥平面ACFD.【证明】延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示．因为平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，且AC⊥BC，AC⊂平面ABC，所以AC⊥平面BCK，因此BF⊥AC.又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK.又CK∩AC＝C，CK，AC⊂平面ACFD，所以BF⊥平面ACFD.【补偿训练】如图，在三棱锥PABC中，E，F分别为AC，BC的中点．(1)求证：EF∥平面PAB.(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°.求证：平面PEF⊥平面PBC.【证明】(1)因为E，F分别为AC，BC的中点，所以EF∥AB.又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以EF∥平面PAB.(2)因为PA＝PC，E为AC的中点，所以PE⊥AC.又因为平面PAC⊥平面ABC，所以PE⊥平面ABC，所以PE⊥BC.又因为F为BC的中点，所以EF∥AB.因为∠ABC＝90°，所以BC⊥EF.因为EF∩PE＝E，所以BC⊥平面PEF.又因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PEF.类型二用面面垂直的性质定理解计算问题(逻辑推理，直观想象)角度1 求空间角【典例】如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.(1)求证：AM⊥平面EBC；(2)求EC与平面ABE所成角的正切值．【思路导引】(1)由正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直可得BC⊥平面ACDE，可得AM⊥平面EBC；(2)根据面面垂直的性质定理作出线面角，在三角形中求出其正切值．【解析】(1)因为平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，所以BC⊥平面ACDE.又AM⊂平面ACDE，所以BC⊥AM.因为四边形ACDE是正方形，所以AM⊥CE.又BC∩CE＝C，所以AM⊥平面EBC.(2)取AB的中点F，连接CF，EF.因为EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，所以EA⊥平面ABC，因为CF⊂平面ABC，所以EA⊥CF.又AC＝BC，所以CF⊥AB.因为EA∩AB＝A，所以CF⊥平面AEB，所以∠CEF即为EC与平面ABE所成的角．在Rt△CFE中，CF＝ 2 ，FE＝ 6 ，tan ∠CEF＝26＝33.角度2 求体积【典例】如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.(1)证明：平面ACD⊥平面ABC.(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝23DA，求三棱锥QABP的体积．【思路导引】(1)转化为证明AB⊥平面ACD.(2)过Q作AC的垂线，得三棱锥QABP底面ABP上的高．【解析】(1)由已知可得，∠BAC＝90°，则BA⊥AC.又BA⊥AD，AD∩AC＝A，所以AB⊥平面ACD.又AB⊂平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3 2 .又BP＝DQ＝23DA，所以BP＝2 2 .作QE⊥AC，垂足为E，则QE＝13DC＝1.由已知及(1)可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，因此，三棱锥Q ABP的体积为VQABP ＝13×QE×S△ABP＝13×1×12×3×2 2 sin 45°＝1. 计算问题的解决方法(1)求角、求距离等计算问题一般在三角形中求解．所给条件中的面面垂直首先转化为线面垂直，然后转化为线线垂直．往往把计算问题归结为一个直角三角形中的计算问题．(2)求几何体的体积时要注意应用转换顶点法，求线段的长度或点到平面的距离时往往也应用几何体中的转换顶点(等体积)法．1．如图，α⊥β，AB⊂α，AC⊂β，∠BAD＝∠CAD＝45°，则∠BAC＝( )A.90° B．60° C．45° D．30°【解析】选B.在AB上任意找一点F，过点F作AD的垂线EF，垂足为E，再过点E作EG⊥AD，EG交AC于点G.如图所示．因为∠BAD＝∠CAD＝45°，EF⊥AE，EG⊥AD，所以EF＝AE＝EG，所以根据三角形的勾股定理可知，AF2＝AE2＋FE2，FG2＝FE2＋EG2，AG2＝AE2＋EG2，所以AF＝AG＝FG，所以△AFG是等边三角形，则∠BAC＝60°.2．如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.O为AB的中点．(1)证明：AB⊥平面A1OC.(2)若AB＝CB＝2，平面ABC⊥平面A1ABB1，求三棱柱ABCA1B1C1的体积．【解析】 (1)连接A1B.，因为CA＝CB，OA＝OB，所以OC⊥AB，因为AB＝AA1，∠BAA1＝60°，所以三角形AA1B为等边三角形，所以AA1＝A1B，又OA＝OB，所以OA1⊥AB，又OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面A1OC.(2)由题可知，△ABC与△AA1B是边长为2的等边三角形，得OA1＝ 3 ，因为平面ABC⊥平面A 1ABB1，平面ABC∩平面A1ABB1＝AB，由(1)OA1⊥AB，OA1⊂平面A1ABB1，所以OA1⊥面ABC，所以OA1是三棱柱ABCA1B1C1的高，所以VABCA1B1C1＝S△ABC×OA1＝3.类型三折叠问题(逻辑推理、直观想象)【典例】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD 于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．(1)证明：AC⊥HD′；(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝54，OD′＝2 2 ，求五棱锥D′ABCFE的体积．【思路导引】(1)HD、HD′与EF的位置关系是不变的；(2)证明OD′是五棱锥D′ABCFE的高是关键．【解析】(1)由已知得AC⊥BD，AD＝CD，又由AE＝CF得AEAD＝CFCD，故AC∥EF，由此得EF⊥HD，故EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.(2)由EF∥AC得OHDO＝AEAD＝14.由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝AB2－AO2＝4，所以OH＝1，D′H＝DH＝3，于是OD′2＋OH2＝(2 2 )2＋12＝9＝D′H2，故OD′⊥OH. 由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′，又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以OD′⊥平面ABC.又由EFAC＝DHDO得EF＝92.五边形ABCFE的面积S＝12×6×8－12×92×3＝694.所以五棱锥D′ABCFE的体积V＝13×69 4×2 2 ＝2322.解决折叠问题的策略(1)抓住折叠前后的变量与不变量，一般情况下，在折线同侧的量，折叠前后不变，“跨过”折线的量，折叠前后可能会发生变化，这是解决这类问题的关键．(2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况，注意相应的点、直线、平面间的位置关系，线段的长度，角度的变化情况．如图1所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2所示．(1)求证：A1F⊥BE；(2)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．【解析】(1)由已知，得AC⊥BC，且DE∥BC.所以DE⊥AC，则DE⊥DC，DE⊥DA1，又因为DC∩DA1＝D，所以DE⊥平面A1DC.由于A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE，又BE⊂平面BCDE，所以A1F⊥BE.(2)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图所示，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，QE，PD，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEQP. 由(1)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰△DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP，又DE∩DP＝D，所以A1C⊥平面DEQP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.【补偿训练】如图，在矩形ABCD中，AB＝3 3 ，BC＝3，沿对角线BD把△BCD折起，使C移到C′，且C′在平面ABD内的射影O恰好落在AB上．(1)求证：AC′⊥BC′.(2)求AB与平面BC′D所成的角的正弦值．(3)求二面角C′BDA的正切值．【解析】(1)由题意，知C′O⊥平面ABD，因为C′O⊂平面ABC′，所以平面ABC′⊥平面ABD.又因为AD⊥AB，平面ABC′∩平面ABD＝AB，所以AD⊥平面ABC′. 所以AD⊥BC′.因为BC′⊥C′D，AD∩C′D＝D，所以BC′⊥平面AC′D.所以BC′⊥AC′.(2)因为BC′⊥平面AC′D，BC′⊂平面BC′D，所以平面AC′D⊥平面BC′D.作AH⊥C′D于H，则AH⊥平面BC′D，连接BH，则BH为AB在平面BC′D上的射影，所以∠ABH为AB与平面BC′D所成的角．又在Rt△AC′D中，C′D＝3 3 ，AD＝3，所以AC′＝3 2 .所以AH＝ 6 .所以sin ∠ABH＝AHAB＝23，即AB与平面BC′D所成角的正弦值为23 .(3)过O作OG⊥BD于G，连接C′G，则C′G⊥BD，则∠C′GO为二面角C′BDA的平面角．在Rt△AC′B中，C′O＝AC′·BC′AB＝ 6 ，在Rt△BC′D中，C′G＝BC′·C′DBD＝332.所以OG＝C′G2－C′O2＝32 .所以tan∠C′GO＝C′OOG＝2 2 ，即二面角C′BDA的正切值为2 2 .。
高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.2平面与平面垂
2018-2019学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.2 平面与平面垂直的判定检测新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.2 平面与平面垂直的判定检测新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2 平面与平面垂直的判定A级基础巩固一、选择题1．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角（)A．相等B．互补C．不确定D．相等或互补答案：C2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )A．m⊥n,m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m,n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂α D．m∥n，m⊥α，n⊥β解析：因为m∥n，n⊥β，所以m⊥β.又m⊂α，所以α⊥β.答案：C3．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面,下列四个命题：①a∥b，a∥α⇒b∥α；②a⊥b，a⊥α⇒b∥α;③a∥α，β∥α⇒a∥β；④a∥α，β⊥α⇒a∥β其中不正确的有（)A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①中b⊂α有可能成立，所以①不正确;②中b⊂α有可能成立；故②不正确；③中a⊂β有可能成立,故③不正确；④中a⊂β有可能成立，故④不正确．综上①②③④均不正确，故选D.答案:D4．如图所示,在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB,∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成几何体ABCD，则在几何体A。
高中数学必修2《点、直线、平面之间的位置关系》知识点
高中数学必修2《点、直线、平面之间的位置关系》知识点第二章点、直线、平面之间的位置关系一、平面及其表示平面是指在三维空间中的一个无限大的平面，可以用点和直线来表示。
平面的基本性质可以通过三条公理来描述：①公理1：如果一个点A在直线l上，另一个点B也在直线l上，且A在平面α上，那么B也在平面α上。
②公理2：如果三个不共线的点A、B、C确定一个平面α，那么这三个点必在平面α上。
③公理3：如果一个点P在平面α上，又在平面β上，那么P一定在它们的交线l上。
二、点与面、直线位置关系1、点与平面有两种位置关系：①点A在平面α上；②点B不在平面α上。
2、点与直线有两种位置关系：①点A在直线l上；②点B不在直线l上。
三、空间中直线与直线之间的位置关系1、异面直线是指不在同一平面内的两条直线。
2、直线与直线的位置关系包括相交、共面和平行三种情况。
3、公理4和定理：如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
四、空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系可以分为三种情况：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行。
五、空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面的位置关系可以分为平行和相交两种情况。
其中，平行的两个平面没有公共点，而相交的两个平面有一条公共直线。
直线、平面平行的判定及其性质直线与平面平行的判定方法有三种：利用定义、利用判定定理、利用面面平行的性质。
其中，面面平行的性质可以推导出直线与平面平行的性质。
证明面面平行的常用方法有以下几种：①利用面面平行的定义，一般与反证法结合使用；②利用判定定理；③证明两个平面垂直于同一个平面；④证明两个平面同时平行于第三个平面。
直线与平面垂直的判定方法如下：若直线l与平面α所成角α∈(0,90)，则PO⊥α，AO为___在平面α上的投影，故∠α为直线l与平面α所成角。
二面角α-l-β的平面角为∠___，其中BO⊥l，___。
线面垂直的判定方法如下：___⊥α，___α，且a∩b=A，则___⊥α。
高中数学必修2第二章点、线、面的位置关系知识点+习题+答案
D B A α 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； ] ]； a 来表 a a 线线平行 A ·α C ·B · A · α P· αLβ 共面直线p线面平行 面面平行 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行叫做垂足。
叫做垂足。
的垂线，则这两个ba第 3 页 共 3 页aa b a b //,a a a ÞþýüË^^1、性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号表示：符号表示：b a b a //,Þ^^a a 2、性质定理：一条直线与一个平行垂直，那么过这条直线的平面也与此平面垂直 符号表示：b a b a ^ÞÌ^a a ,2.3.4平面与平面垂直的性质1、性质定理：、性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
符号表示：b b a a b a ^Þïþïýü=^Ì^a l l a a ,2、性质定理：垂直于同一平面的直线和平面平行。
符号表示：符号表示：符号表示：一、异面直线所成的角一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ¢¢， 我们把a ¢与b ¢所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。
所成的角。
2.角的取值范围：090q <£°；垂直时，异面直线当b a ,900=q二、直线与平面所成的角二、直线与平面所成的角1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：°°££900q 。
三、两个半平面所成的角即二面角：三、两个半平面所成的角即二面角： 1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2 平面与平面垂直的判定课件 新人教A版必修
值．
在本例中，条件不变，求二面角 D-SC-A 的正弦
解：如图，过 O 作 OF⊥SC，垂足为 F，连接 FD，OD，AC. 由例题解析知，SO⊥平面 ABCD，且 O 是底面正方形的中心， 所以 DO⊥SO，DO⊥AC，又 AC∩SO＝O. 所以 DO⊥平面 SAC， 又 SC⊂平面 SAC，所以 SC⊥DO， 又 SC⊥OF，DO∩OF＝O. 所以 SC⊥平面 DOF，又 DF⊂平面 DOF，所以 DF⊥SC. 所以∠OFD 为二面角 D-SC-A 的平面角．
2．已知 l⊥α，则过 l 与 α 垂直的平面( A．有 1 个 C．有无数个
)
B．有 2 个 D．不存在
答案：C
3．把等腰 Rt△ABC 沿斜边 BC 上的高线 AD 折成一个二面角， 此时∠BDC＝60°，那么此二面角的大小为________．
答案：60°
4．如图 P 是二面角 α-l-β 内的点，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别
成的最小角．
其中正确的是( ) A．①③ C．③
B．② D．①②
[解析] 由二面角定义知：①中实质上共有 4 个二面角，故①不 正确；由于 a，b 均垂直于两个面，则 a，b 都垂直于二面角的棱， 故②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③不正 确． [答案] B
(1)要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致． (2)要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角 面上的角的联系与区别． (3)可利用实物模型，作图帮助判断．
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是
_直__二__面__角__，就说这两个平面互相垂直，平面 α 与β垂直，记作 _α_⊥__β___．
高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.2平面与平面垂直
例如:在正三角形ABC中,E,F,P分别是AB,AC,BC边上的点,满足
AE∶EB=CF∶FA=CP∶PB=1∶2,如图①.将△AEF沿EF折起到
△A1EF的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,连接A1B,A1P,EP,如图②.
下面探讨平面BA1E是否(shì fǒu)与平面BEP垂直.
C.AB⊥l,AO⊂α,BO⊂β
D.AO⊥l,BO⊥l,且AO⊂α,BO⊂β
解析:根据二面角的平面角的定义可知选D项.
答案:D
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1
2
【做一做1-2】 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,不作辅助线,写出二面
角A1-AB-D的一个平面角为
.
解析:因为AD⊂平面ABD,A1A⊂平面A1AB,AD⊥AB,AA1⊥AB,所以
步转化为处理线线垂直问题(即平面问题)来解决.
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1
2
【做一做2-1】 在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中,与平面
(píngmiàn)ABCD垂直的面的个数是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:与平面(píngmiàn)ABCD垂直的平面(píngmiàn)有:平面
(píngmiàn)ABB1A1,平面(píngmiàn)ADD1A1,平面(píngmiàn)BCC1B1,平面
1
所以 OD=OC=2AB.
又△ABC 是等腰直角三角形,
2
所以 OC= 2 AC.又 CD=AC,所以
2
OC= 2 CD,
所以OD2+OC2=2OC2=CD2,所以DO⊥OC.
高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.2
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平面与平面垂直的判定教学目标：1、理解二面角的相关知识，能做简单二面角的平面角，会求简单二面角的平面角的大小。
2、了解平面垂直的含义,理解平面与平面垂直的判定定理并能初步运用定理证明垂直。
教学重点：理解平面与平面垂直的判定定理教学难点:利用判定定理证明两平面垂直教学方法:谈话法、演示法、相互探究法教学过程：一、课前准备1、预习课本P37—P39内容，找出疑惑之处.2、知识回顾直线与平面垂直的判定方法：（1）定义法（2）判定定理：二、新知导学【学习探究】探究任务一、二面角的相关知识思考：当我们在使用笔记本电脑时，为了便于操作，需要将显示屏打开一定的角度．这样我们就会得到两个平面,如何来刻画两个平面之间的这种张角呢？新知1：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
如图：以直线AB为棱，半平面βα,为面的二面角记作：二面角βα--AB问题:二面角的大小如何确定呢？新知2、如下图所示，以二面角的棱上任意一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角（如图角AOB）平面角是直角的二面角叫做直二面角.思考：（1）你能找到身边的二面角吗?（2）你觉得二面角的平面角的取值范围是?探究任务二：平面与平面垂直的判定问题探究：在正方体ABCD-A1B1C1D1中（1）求二面角D1-AB-D的大小(2)求二面角A1-AB—D的大小,此时面A1AB与面ABD什么关系？新知3:（面面垂直的定义）两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面相互垂直.问题：现在我们可以用二面角的大小判断两个平面是否垂直，但是操作性比较差，还能如何判定两个平面互相垂直呢？动手实践：动手做这样一个试验：将一支铅笔垂直于桌面,再用一本书紧贴着铅笔转动，观察书本和桌面什么关系？由此实际问题能否抽象为数学问题呢?新知4:（判定定理）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.3直线平面垂直的判定及其性质2.3.4平面与平面垂直的性质
5．地面上有两根相距 a 米的旗杆，它们的高度分别 是 b 米和 c 米(b>c)，则它们上端的距离为________．
解析：如图所示，根据题意可知 AD＝b，BC＝c，AB ＝a，由线面垂直的性质定理可得 AD∥BC，过点 C 向 AD 作垂线，设垂足为点 E，
则可得 CD＝ a2＋（b－c）2. 答案： a2＋（b－c）2
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平行直线的平行投影重合．( ) (2)平行于同一直线的两个平面平行．( ) (3)垂直于同一平面的两个平面平行．( ) (4)垂直于同一平面的两条直线平行．( )
解析：在正方形 ABCD-A1B1C1D1 中，A1B1∥C1D1.但 它们在平面 AC 上的投影仍平行，故(1)不正确；平面 A1D 与平面 A1B 都平行于直线 C1C，但平面 A1D 与平面 A1B 相交，故(2)不正确；平面 A1D 与平面 A1B 都垂直于平面 AC，但平面 A1D 与平面 A1B 相交，故(3)不正确；由线面 垂直的性质定理可知(4)正确．
[变式训练]如图，已知矩形 ABCD，过 A 作 SA⊥平 面 ABCD，再过 A 作 AE⊥SB 交 SB 于点 E， 过 E 作 EF⊥SC 交 SC 于点 F.
(1)求证：AF⊥SC； (2)若平面 AEF 交 SD 于点 G，求证：AG⊥SD. 证明：(1)因为 SA⊥平面 ABCD，BC⊂平面 ABCD， 所以 SA⊥BC. 因为四边形 ABCD 为矩形，所以 AB⊥BC.
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．设 α，β是两个不同的平面，l 是一条α，α⊥β，则 l⊂β； ②若 l∥α，α∥
β，则 l⊂β；
③若 l⊥α，α∥β，则 l⊥β； ④若 l∥α，α⊥β，
高中数学第2章点、直线、平面之间的位置关系233直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质
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第三节 直线(zhíxiàn)、平面垂直的判定及其性质
第三课时 直线(zhíxiàn)与平面垂直、平面与平面垂直的性质
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目标(mù导向
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知识(导学
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知识点 1 直线与平面垂直的性质定理
图1 (1)定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．
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(2)定理的符号表示与图形表示． 符号表示：
lm⊥⊥αα⇒l∥m 图形表示如图 1. 想一想：垂直于同一条直线的两个平面平行吗？
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(2)由(1)可知 BG⊥AD，PG⊥AD. 又∵BG，PG 为平面 PBG 内两条相交直线， ∴AD⊥平面 PBG. ∵PB⊂平面 PBG，∴AD⊥PB.
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方法(fāngfǎ)导拨
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重点(导析
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重点 1 掌握直线与平面垂直的性质定理 该定理的证明方向是：线面垂直 ⇒ 线线平行 .要证明两直线平行，只要看这两条直 线是否同垂直于某一个平面． 重点 2 掌握平面与平面垂直的性质定理 该定理的证明方向是： 面面垂直 ⇒ 线线垂直 ⇒ 线面垂直 .
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图 10
高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.2 平面与平面垂直的
§2.3.2平面与平面垂直的判定年级：高一一、设问导读问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？问题3、二面角的有关概念角二面角图形 A边顶点 O B边Aβ棱lB α定义从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形构成射线—点（顶点）一射线表示∠AOB问题4 平面几何中两条直线垂直是怎样定义的？能否类比两条直线垂直的定义，如何定义两个平面互相垂直？问题5 如何画两个相互垂直的平面？平面α与平面β垂直，记作什么？【探究】两个平面垂直的判定问题1 判定两个平面互相垂直，除了定义外，能否利用线面垂直进行判定呢？问题2:教室的门转到任何位置时，门所在的平面是否与地面垂直？门在转动过程中，门轴是否始终与地面垂直？问题归纳：面面垂直判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条_________，则两个平面互相__________.请用符号语言描述定理：____________________________________________________二、自学检测探究1、如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC。
变式：如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直,为什么？三、巩固训练：1．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是( )A.平行B.可能重合C.相交且垂直D.相交不垂直2、如图，在四面体ABCD中，CB＝CD, AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)EF∥面ACD；(2)面EFC⊥面BCD.3、如图，已知在ABCV中，,//AB AC AD EC=,EC ABC⊥平面2CE AD=且。
求证：平面BDE⊥平面BCE。
4、课本习题：第73页习题2.3 A组1、2、3 B组1四、拓展延伸1、已知△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥EC,且CE=CA=2BD,M是EA的中点，求证：(1)DE=DA;(2)平面BDM⊥平面ECA;(3)平面DEA⊥平面ECA.2、如图，ABC-A1B1C1是直棱柱，△A1B1C1是正三角形，E是CC1的中点.求证：平面AB1E⊥平面AA1B1B.3、如图，在四面体ABCD中，BD=2a,AB=AD=CB=CD=AC=a,求证：平面ABD⊥平面BCD.O。
高中数学 第2章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1 直线与平面垂直的判定 2.3.2 平面与平面垂直的判定教
2.3.1 直线与平面垂直的判定 2.3.2 平面与平面垂直的判定疱丁巧解牛知识·巧学一、线面垂直1.定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.简言之：线面垂直,则线线垂直.2.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.简言之：线线垂直，则线面垂直.但要注意需有两条相交.判定线面垂直的方法主要有三种:①定义;②判定定理;③与平行关系联合运用,即若a∥b,且a⊥α,则b⊥α.转化思想是解决立体几何问题最常用的数学思想,本节充分体现了线面关系与线线关系的相互转化,应掌握其转化的条件.二、点到平面的距离从平面外一点向平面所引垂线段的长叫做点到平面的距离.求点到面的距离的方法有:①在几何体中构造垂直利用垂直关系解;②利用线面平行;③利用面面平行.三、二面角1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.二面角一般表示为α-AB-β或P-AB-Q的形式(P、Q分别在α、β内且不在棱上).2.二面角的平面角：在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以O为垂足在半平面α、β内分别作垂直于棱l的射线OA、OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.二面角的大小就用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度. 方法点拨(1)平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面;(2)用二面角的平面角将空间图形转化为平面图形，在某个三角形中可以求解;(3)平面角的大小与棱上所取点的位置无关;(4)二面角的取值范围是[0°，180°].四、平面与平面垂直判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.符号语言：l⊥α，l⊆β⇒α⊥β.判断两个平面垂直的方法:(1)定义法:作出二面角的平面角,计算其为90°;(2)定理:平面内的一条直线垂直于另外一个平面.简言之:线面垂直,则面面垂直.问题·探究问题1 在平面内，垂直于同一直线的两条直线的关系怎样？在空间呢？探究:在平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，理由是同位角相等.而在空间，包含着平面内的这种情况，即平行，观察长方体的在互相垂直的棱与棱之间的关系，可知还有相交，也有既不相交也不平行的情形.问题2 门轴AB与地面α垂直，经过门轴AB的门面β无论转动到什么位置，门面与地面的位置关系怎样？为什么？探究:垂直的.因为门轴AB与地面α垂直，则根据平面与平面垂直判定定理知经过门轴AB 的所有平面都与地面α垂直，所以门面与地面垂直.典题·热题例1 如图2-3-1，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在平面，M 是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证：AN⊥平面PBM.图2-3-1思路解析：要证线面垂直，需证直线和平面内的两条相交直线都垂直.已知AN⊥PM，只需再证AN 和平面PBM 内的另一条直线，如BM 或PB 垂直即可.再结合已知中线面垂直，可找线线垂直.证明：设圆O 所在平面为α，则已知PA⊥α，且BM ⊂α，∴PA⊥BM.又∵AB 为⊙O 的直径，点M 为圆周上一点，∴AM⊥BM.由于直线PA∩AM=A，∴BM⊥平面PAM.而AN ⊂平面PAM ，∴BM⊥AN.这样，AN 与PM 、BM 两条相交直线垂直.故AN⊥平面PBM.深化升华 直线垂直于平面，则必垂直于平面内的任意一条直线.要证直线垂直于平面，必须证明直线垂直于平面内的两条相交直线.例2 如图2-3-2，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为棱CC 1的中点，AC 交BD 于点O ，求证：A 1O⊥平面MBD.图2-3-2思路解析：本题关键是构造三角形,证明A 1O⊥OM.证明：连结MO.∵DB⊥A 1A ，DB⊥AC，A 1A∩AC=A，∴DB⊥平面A 1ACC 1.而A 1O ⊂平面A 1ACC 1，∴A 1O⊥DB.∵tan∠AA 1O=22，tan∠MOC=22，∴∠AA 1O=∠MOC. 则∠A 1OA+∠MOC=90°.∴A 1O⊥OM.∵OM∩DB=O，∴A 1O⊥平面MBD.方法归纳 在证明A 1O 与平面MBD 中两条相交直线垂直时，先证得线面垂直，由定义得线线垂直;另一垂直由证两线成90°角完成，有时可用勾股定理的逆定理.例3 设棱锥M —ABCD 的底面是正方形，且MA=MD ，MA⊥AB，如果△AMD 的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.思路解析：本题需要先证明线线垂直，得到球的半径的表达式，然后再解.解：如图2-3-3,∵AB⊥AD，AB⊥MA，图2-3-3∴AB⊥平面MAD.因此，面MAD⊥面AC.记E 是AD 的中点，从而ME⊥AD.∴ME⊥平面AC ，ME⊥EF.设球O 是与平面MAD 、平面AC 、平面MBC 都相切的球.不妨设O∈平面MEF ，于是O 是△MEF 的内心.设球O 的半径为r ，则r=MF EM EF S MEF ++∆2. 设AD=EF=a ，∵S △AMD =1, ∴ME=a2,MF=22)2(a a +. r=122222)2(2222-=+≤+++a a a a ,当且仅当a=a2，即a=2时，等号成立. ∴当AD=ME=2时，满足条件的球的最大半径为12-.深化升华 先利用线面垂直关系证明线线、线面垂直，再利用多面体和球体的体积公式求解. 例4 已知由点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC 不共面，且∠AOB=∠AOC，求证：二面角AOBC 与二面角AOCB 相等.思路解析：关键在于作出两个二面角的平面角.如何在棱OB 、OC 上取点?由于∠AOB=∠AOC，因此需找有共性的点才可以.考虑到OB 、OC 确定一个平面，OA 在这个平面外，在OA 上任取一点P ，过P 向平面BOC 作垂线，利用线面垂直则线线垂直的道理作辅助线.解：如图2-3-4，在OA 上任取一点P ，过P 作PH⊥平面BOC ，垂足为H ，在平面BOC 内过H 作HM⊥OB，HN⊥OC，垂足为M 、N ，连结PM 、PN.图2-3-4∵PH⊥平面BOC，OB⊂平面BOC，∴PH⊥OB.又HM⊥OB，PH∩HM=H，∴OB⊥平面PHM.∵PM⊂平面PHM，∴OB⊥PM.∴∠PMH为二面角A-OB-C的平面角.同理,可证OC⊥PN，∴∠PNH为二面角A-OC-B的平面角.因此,在Rt△POM和Rt△PON中，∵∠POM=∠PON，PO为公共斜边，∴Rt△POM≌Rt△PON.∴PM=PN.在Rt△PHM和Rt△PHN中，PM=PN，PH为公共边，∴Rt△PHM≌Rt△PHN.∴∠PMH=∠PNH.故二面角A-OB-C与二面角A-OC-B大小相等.方法归纳求二面角需要的步骤：一作(图)，二证(角是二面角的平面角)，三计算(在三角形中求解).例5如图2-3-5，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中点.求证：(1)DE=DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.图2-3-5思路解析：(1)要证DE=DA，只需证明Rt△DFE≌Rt△DBA；(2)注意M为EA的中点，可取CA的中点N，先证明N点在平面BDM内，再证明平面BDMN经过平面ECA的一条垂线即可；(3)仍需证平面DEA经过平面ECA的一条垂线.证明:(1)如图2-3-6，取EC的中点F，连结DF.图2-3-6∵EC⊥BC，DF∥BC，∴DF⊥EC.在Rt△EFD 和Rt△DBA 中， ∵EF=EC 21=BD ，FD=BC=AB ， ∴Rt△EFD≌Rt△DBA.故ED=DA.(2)取CA 的中点N ，连结MN 、BN ，则MN EC 21. ∴MN∥BD.∴N 点在平面BDM 内.∵EC⊥平面ABC ，∴EC⊥BN.又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA.∵BN 在平面MNBD 内，∴平面MNBD⊥平面ECA,即平面BDM⊥平面ECA.(3)∵BD EC 21，MN EC 21， ∴MNBD 为平行四边形.∴DM∥BN.又BN⊥平面ECA ，∴DM⊥平面ECA.又DM 平面DEA ，∴平面DEA⊥平面ECA.深化升华 本题涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，其中证明BN⊥平面ECA 是关键. 例6 求证:如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面. 已知:α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，求证:l⊥γ.思路解析一：根据直线和平面垂直的判定定理，可在γ内构造两相交直线分别与平面α、β垂直.证法一:如图2-3-7，设α∩γ=a，β∩γ=b，在γ内任取一点P,过点P 在γ内作直线m⊥a，n⊥b.图2-3-7∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥α，n⊥β.又α∩β=l，∴l⊥m，l⊥n.∴l⊥γ.思路解析二：由面面垂直的性质易在α、β内作出平面γ的垂线，再设法证明l 与其平行即可.证法二:如图2-3-8，设α∩γ=a，β∩γ=b，图2-3-8在α内作m⊥a，在β内作n⊥b.∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ.∴m∥n.又n⊂β，m⊄β，∴m∥β.又α∩β=l，m⊂α，∴m∥l.又m⊥γ，∴l⊥γ.方法归纳充分利用面面垂直的性质构造线面垂直是解决本题的关键.证法一充分利用面面垂直、线面垂直、线线垂直相互转化；证法二涉及平行关系与垂直关系之间的转化.此题是线线、线面、面面垂直转化的典型题，一题多解，对沟通知识和方法，开拓解题思路很有益处.。
高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3 直线与平面 2.3.4 平面与平面垂直的
第二课时直线与平面、平面与平面垂直的性质(习题课)1．直线与平面垂直的性质定理是什么？略2．直线与平面垂直的性质定理有什么作用？略3．平面与平面垂直的性质定理是什么？略4．平面与平面垂直的性质定理有什么作用？略[例1]面α∩β＝c.求证：AB∥c.[解] 证明：过点B作直线a′∥a，a′与b确定的平面设为γ.因为a′∥a，AB⊥a，所以AB⊥a′，又AB⊥b，a′∩b＝B，所以AB⊥γ.因为b⊥β，c⊂β，所以b⊥c.①因为a⊥α，c⊂α，所以a⊥c，又a′∥a，所以a′⊥c.②由①②可得c⊥γ，又AB⊥γ，所以AB∥c.[类题通法]判断线线、线面的平行或垂直关系，一般要利用判定定理和性质定理，有时也可以放到特殊的几何体中(如正方体、长方体等)然后再判断它们的位置关系．[活学活用]如图所示：平面α，β，直线a，且α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB.求证：a⊥β.证明：如图，∵a ∥α，过a 作平面γ交α于a ′，则a ∥a ′. ∵a ⊥AB ，∴a ′⊥AB . ∵α⊥β，α∩β＝AB ， ∴a ′⊥β，∴a ⊥β.[例2] 已知△SA ＝SB ＝2，SC ＝5，点P 是SC 的中点，求点P 到平面ABC 的距离．[解] 法一：如图所示，连接PA ，PB .易知△SAC ，△ACB 是直角三角形，所以SA ⊥AC ，BC ⊥AC .取AB ，AC 的中点E ，F ，连接PF ，EF ，PE ，则EF ∥BC ，PF ∥SA . 所以EF ⊥AC ，PF ⊥AC .因为PF ∩EF ＝F ，所以AC ⊥平面PEF . 又PE ⊂平面PEF ，所以PE ⊥AC .易证△SAC ≌△SBC .因为P 是SC 的中点， 所以PA ＝PB .而E 是AB 的中点，所以PE ⊥AB . 因为AB ∩AC ＝A ， 所以PE ⊥平面ABC .从而PE 的长就是点P 到平面ABC 的距离． 在Rt △AEP 中，AP ＝12SC ＝52，AE ＝12AB ＝22，所以PE ＝AP 2－AE 2＝54－12＝32， 即点P 到平面ABC 的距离为32. 法二：如图所示，过A 作AE ∥BC ，交SC 于点E ，过B 作BF ∥AC ，交AE 于点D ，则四边形ACBD 为正方形．连接SD .因为AC ⊥SA ，AC ⊥AD ，SA ∩AD ＝A ，所以AC ⊥平面SDA . 所以AC ⊥SD .又由题意，可知BC ⊥SB .因为BC ⊥BD ，SB ∩BD ＝B ，所以BC ⊥平面SDB ，所以BC ⊥SD .又BC ∩AC ＝C ，于是SD ⊥平面ACBD . 所以SD 的长为点S 到平面ABC 的距离．在Rt △SDA 中易得SD ＝SA 2－AD 2＝22－12＝ 3. 因为P 为SC 的中点，故点P 到平面ABC 的距离为12SD ＝32.[类题通法]求点到面的距离的关键是确定过点与平面垂直的线段．可通过外形进行转化，转化为易于求解的点，等体积法也是求点到平面的距离的常用方法．[活学活用]如图所示，正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，EF ∩BD ＝G .(1)求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1； (2)求点D 1到平面B 1EF 的距离．解：(1)证明：连接AC ，∵正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是正方形， ∴AC ⊥BD .又AC ⊥DD 1，且BD ∩DD 1＝D ， 故AC ⊥平面BDD 1B 1.∵E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点， 故EF ∥AC ， ∴EF ⊥平面BDD 1B 1， 又EF ⊂平面B 1EF ， ∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.(2)由(1)知平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1且交线为B 1G ， 所以作D 1H ⊥B 1G 于H ，则D 1H ⊥平面B 1EF ，即D 1H 为D 1 到平面B 1EF 的距离．∵B1D1∥BD，∴∠D1B1H＝∠B1GB，∴sin∠D1B1H＝sin∠B1GB＝442＋12＝417.在△D1B1H中，D1B1＝4，sin∠D1B1H＝417，∴D1H＝1617＝161717.[例3] DE将△ADE折起．(1)如果二面角ADEC是直二面角，求证：AB＝AC；(2)如果AB＝AC，求证：平面ADE⊥平面BCDE.[解] 证明：(1)过点A作AM⊥DE于点M，则AM⊥平面BCDE，∴AM⊥BC.又AD＝AE，∴M是DE的中点．取BC的中点N，连接MN，AN，则MN⊥BC.又AM⊥BC，AM∩MN＝M，∴BC⊥平面AMN，∴AN⊥BC.又∵N是BC的中点，∴AB＝AC.(2)取BC的中点N，连接AN.∵AB＝AC，∴AN⊥BC.取DE的中点M，连接MN，AM，∴MN⊥BC.又AN∩MN＝N，∴BC⊥平面AMN，∴AM⊥BC.又M是DE的中点，AD＝AE，∴AM⊥DE.又∵DE与BC是平面BCDE内的相交直线，∴AM⊥平面BCDE.∵AM⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面BCDE.[类题通法]解决折叠问题的策略(1)抓住折叠前后的变量与不变量．一般情况下，在折线同侧的量，折叠前后不变，“跨过”折线的量，折叠前后可能会发生变化，这是解决这类问题的关键．(2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况．注意相应的点、直线、平面间的位置关系，线段的长度，角度的变化情况．[活学活用]如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，AC ∩EF ＝O .沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ，连接PA ，PB ，PD ，得到如图2的五棱锥P ABFED ，且PB ＝10.(1)求证：BD ⊥平面POA ； (2)求四棱锥P BFED 的体积．解：(1)证明：∵点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点， ∴BD ∥EF .∵ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，∴EF ⊥AC ， ∴翻折后EF ⊥AO ，EF ⊥PO ，∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，AO ∩PO ＝O ， ∴EF ⊥平面POA ，∴BD ⊥平面POA . (2)如图，设AO ∩BD ＝H ，连接BO ，∵ABCD 是菱形，∴AB ＝AD .∵∠DAB ＝60°，∴△ABD 为等边三角形， ∴BD ＝4，BH ＝2，HA ＝23，HO ＝PO ＝ 3. 在Rt △BHO 中，BO ＝BH 2＋HO 2＝7， 在△PBO 中，BO 2＋PO 2＝10＝PB 2， ∴PO ⊥BO .∵PO ⊥EF ，EF ∩BO ＝O ，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ，∴PO ⊥平面BFED ，又梯形BFED 的面积为S ＝12(EF ＋BD )·HO ＝33，∴四棱锥P BFED 的体积V ＝13S ·PO ＝13×33×3＝3.[随堂即时演练]1.如图所示，三棱锥P ABC 的底面在平面α上，且AC ⊥PC ，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C运动形成的图形是( )A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点答案：D2．在三棱锥PABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为( )A．2 3 B．27C．4 3 D．47答案：B3．若构成教室墙角的三个墙面记为α，β，γ，交线记为BA，BC，BD，教室内一点P 到三墙面α，β，γ的距离分别为3 m，4 m,1 m，则P与墙角B的距离为________ m.答案：264.如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AA′⊥A′B′，BB′⊥A′B′，且AA′＝3，BB′＝4，A′B′＝2，则三棱锥AA′BB′的体积V＝________.答案：45．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB ＝12，AD＝5，BC＝42，DE＝4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.(1)求证：平面DEG⊥平面CFG；(2)求多面体CDEFG的体积．解：(1)证明：由已知可得AE＝3，BF＝4，则折叠完后EG＝3，GF＝4.又因为EF＝5，所以可得EG⊥GF.又因为CF⊥底面EGF，可得CF⊥EG，即EG⊥平面CFG，所以平面DEG⊥平面CFG.(2)16[课时达标检测]一、选择题1．已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，则直线n 与平面α的关系是( )A．n∥αB．n∥α或n⊂αC．n⊂α或n与α不平行D．n⊂α答案：A2.如图所示，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是( )A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC答案：C3．已知直线m，n，平面α，β，给出下列命题：①若m⊥α，m⊥β，则α⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；④若异面直线m，n互相垂直，则存在过m的平面与n垂直．其中正确的命题是( )A．②③B．①③C．②④D．③④答案：D4.如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小( )A．变大B．变小C．不变D．有时变大有时变小答案：C5.如图，在四面体DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下面结论正确的是( )A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE答案：C二、填空题6．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.答案：若①③④，则②(或若②③④，则①)7．如图所示，沿直角三角形ABC 的中位线DE 将平面ADE 折起，使得平面ADE ⊥平面BCDE ，得到四棱锥A BCDE .则平面ABC 与平面ACD 的关系是________．答案：平面ABC ⊥平面ACD8.如图所示，平面ABC ⊥平面ABD ，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，△ABD 是正三角形，则二面角C BD A 的平面角的正切值为________．答案：233三、解答题9.如图几何体中，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3BC ＝6，BF ＝CF ＝AE ＝DE ＝2，EF ＝4，EF ∥AB ，G 为FC 的中点，M 为线段CD 上的一点，且CM ＝2.(1)证明：AF ∥平面BDG ； (2)证明：平面BGM ⊥平面BFC ； (3)求三棱锥F BMC 的体积V .解：(1)证明：连接AC 交BD 于O 点，则O 为AC 的中点，连接OG ，因为点G 为CF 的中点，所以OG 为△AFC 的中位线，所以OG ∥AF .∵AF ⊄平面BDG ，OG ⊂平面BDG ，∴AF ∥平面BDG . (2)证明：连接FM .∵BF ＝CF ＝BC ＝2，G 为CF 的中点，∴BG ⊥CF . ∵CM ＝2，∴DM ＝4.∵EF ∥AB ，四边形ABCD 为矩形，∴EF ∥DM ，又EF ＝4，∴EFMD 为平行四边形， ∴FM ＝ED ＝2，∴△FCM 为正三角形，∴MG ⊥CF . ∵MG ∩BG ＝G ，∴CF ⊥平面BGM . ∵CF ⊂平面BFC ， ∴平面BGM ⊥平面BFC .(3)V F BMC ＝V F BMG ＋V C BMG ＝13×S △BMG ×FC＝13×S △BMG ×2，∵GM ＝BG ＝3，BM ＝22， ∴S △BMG ＝12×22×1＝2，∴V F BMC ＝23×S △BMG ＝223.10.如图，AE C 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为A C 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FC ⊥平面BED ，FB ＝5a .(1)证明：EB ⊥FD ；(2)求点B 到平面FED 的距离．解：(1)证明：∵FC ⊥平面BED ，BE ⊂平面BED ， ∴EB ⊥FC .又点E 为A C 的中点，B 为直径AC 的中点， ∴EB ⊥BC .又∵FC ∩BC ＝C ，∴EB ⊥平面FBD . ∵FD ⊂平面FBD ，∴EB ⊥FD .(2)如图，在平面BEC 内过C 作CH ⊥ED ，连接FH .则由FC ⊥平面BED 知，ED ⊥平面FCH .∵Rt △DHC ∽Rt △DBE ， ∴DC DE ＝CH BE. 在Rt △DBE 中，DE ＝BE 2＋BD 2＝BE 2＋BC2＝5a ，∴CH ＝DC ·BE DE ＝a ·a 5a ＝55a . ∵FB ＝5a ，BC ＝a ，∴FC ＝2a .在平面FCH 内过C 作CK ⊥FH ，则CK ⊥平面FED . ∵FH 2＝FC 2＋CH 2＝4a 2＋a 25＝215a 2，∴FH ＝1055a . ∴CK ＝FC ·CH FH ＝2a ·55a1055a ＝22121a .∵C 是BD 的中点，∴B 到平面FED 的距离为2CK ＝42121a .。
高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3.32.3
定理解决一些简单问题.
素养达成
通过直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理的学习,锻 炼了学生的逻辑思维能力、空间想象能力,促进直观想象、逻 辑推理等核心素养的达成.
自我检测
1.(面面垂直的性质定理)已知直线m,n和平面α ,β ,若α ⊥β ,α ∩β =m, n⊂α ,要使n⊥β ,则应增加的条件是( B ) (A)m∥n (B)n⊥m
(C)n∥α (D)n⊥α
2.(线面垂直的性质定理)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线l⊥平面A1C1(l与
棱不重合),则( B
)
(A)B1B⊥l (C)B1B与l异面
(B)B1B∥l (D)B1B与l相交
3.(线面、面面垂直的综合应用)已知m,n是两条不同的直线,α ,β 是两个 不同的平面,且m∥α ,n⊂β ,则下列叙述正确的是( D ) (A)若α ∥β ,则m∥n (B)若m∥n,则α ∥β (C)若n⊥α ,则m⊥β (D)若m⊥β ,则α ⊥β
个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题:
(用
序号表示).
答案:①③④⇒②(或②③④⇒①)
课堂探究·素养提升
题型一 直线与平面垂直的性质定理的应用
【例1】(1)已知两条直线m,n,两个平面α ,β ,给出下面四个命题: ①m∥n,m⊥α ⇒n⊥α ;②α ∥β ,m⊂α ,n⊂β ⇒m∥n;③m∥n,m∥α ⇒ n∥α ;④α ∥β ,m∥n,m⊥α ⇒n⊥β . 其中正确命题的序号是( ) (A)①③ (B)②④ (C)①④ (D)②③
新知探求 课堂探究
新知探求·素养养成
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K12 的学习需要努力专业专心坚持
板书：呈现 例 4 解题过 程； 展示例 4； ③注重例题思
等 级 评 定 ： ★
K12 的学习需要努力专业专心坚持
生活的色彩就是学习 2、如何运用性质定理； 3、例题中运用到哪些性质定理 预时 12min 非板书组： 组员在科研 组长带领下， 进行培辅与 预展； 同类演练（15+2 分钟） 用 1 分钟时间自主研读下列题 目，并在作答区解答： 如图所示，在四棱锥 PABCD 中， 平面 PAD⊥平面 ABCD，AB∥DC， △PAD 是等边三角形，已知 BD 同 类 演 练 ＝2AD＝8，AB＝2DC＝4 5.M 是 【规范解题区】 动预展； 路的展示，并 进行拓展性总 结性质定理的 运用；
⊥
β
b⊂ β ，a⊥b
c是a在β 内的射影
⇒
b
⊥
c
b∥c b⊂ α ⇒ c ∥α c⊄α
D.
a∥α b⊥a
⇒ b⊥α 发展题： 5、如图： 三棱锥 P－ABC 中， 已知△ABC 是等 腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC 是直角 三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面 PAC⊥平面 ABC. 求证：平面 PAB⊥平面 PBC. 6、如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB ＝AD＝1，AA1＝2，M 是棱 CC1 的中点． 证明：平面 ABM⊥平面 A1B1M.
A．直线 a 垂直于第二个平面 B．直线 b 垂直于第一个平面 C．直线 a 不一定垂直于第二个平面 K12 的学习需要努力专业专心坚持
生活的色彩就是学习 D．过 a 的平面必垂直于过 b 的平面 2．已知平面 α ⊥平面 β ，α ∩β ＝l，点 A ∈α ，A∉l，直线 AB∥l，直线 AC⊥l，直线 m ∥α ，m∥β ，则下列四种位置关系中，不一 定成立的是( A．AB∥m C．AB∥β ) B．AC⊥m D．AC⊥β C. B. A. 的是( )．
生活的色彩就是学习
平面与平面垂直的性质
展示课（时段： 正课 时间： 60 分钟 ） 学习主题： 1、由模型入手，通过观察发现面面垂直中线面的位置关系； 2、探究面面垂直，掌握面面垂直的性质，并运用； 【主题定向·五环导学·展示反馈】 课 堂 结 构 自研自探 自学指导 （ 内容·学法 ） ·操作与观察（课本 71 页） 用桌面表示平面 ， 用手掌表 示平面 ， 用在桌面上用笔作为 课 程 结 构 定 理 生 成 · 例 题 导 析 AB,
∴BE
又∵AB⊥CD,BE∩CD= ∴AB
·定理与理解 （完成在随堂笔记处） 主题二：例题导析（课本 72 页 例 4） 【看例题·明已知·知问题】 1、例 4 中，要判 断 ； 【看解答·理思路】 1、如何作辅助线；
（10 分钟） 小组任务 安排 板书组: 组员在科研 组长带领下 安排 1-2 人进 行板书规划， 其他同学互
合作探究 互动策略
展示表现 展示主题
总结归纳 随堂笔记 （成果记录·同步演 练） 【重点识记】 平面与平面垂直的 性质 文字语言：
（内容·形式） （内容·方式） 师友对子 检测性展示 （4 分钟） 迅速找到自 己的师友小 对子， 对自学 指导内容进 行交流： ①面面垂直 的定理 ②定理的证 （4 分钟） 导师就师友对 子成果进行双 基反馈性检效 展示 以抽查形式展 开
提高题： 7、如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F 分别是 AP，AD 的中点． 求证：(1)直线 EF∥平面 PCD； (2)平面 BEF⊥平面 PAD.
K12 的学习需要努力专业专心坚持
生活的色彩就是学习
培辅课（时段：大自习 附培辅名单） 1.今日内容你需要培辅吗？（需要，不需要） 2.效果描述： 反思课 1.病题诊所： 2.精题入库： 【教师寄语】新课堂，我展示，我快乐，我成功………今天你展示了吗！ ！ ！
, 直线
CD ,
且 AB
⊥CD 思考： AB 与面 的位置关系： ·猜想与证明 猜想：AB 面
图形语言：
证明：过点 B 作 BE⊥CD， 则 平面角 ∵
是二面角 -AB- 的
，∴ AB,
=90°
明； ③例 4 的理解 四人共同体 主题性展示 （10 分钟） 例题导析 重点：性质定 理运用 符号语言：
PC 上的一点，
求证：平面 MBD⊥平面 PAD.
训练课（时段：晚自习 ， 时间：40 分钟） 数学学科素养三层级训练题 基础题： 1．若两个平面互相垂直， 在第一个平面内的 一条直线 a 垂直于第二个平面内的一条直线 b，那么( ) 3、在空间中，下列命题正确的是( A．平行直线的平行投影重合 B．平行于同一直线的两个平面平行 C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行 4、设 a、b、c 表示三条不同的直线，α 、β 表示两个不同的平面，则下列命题中不正确 )．