高考数学复习 例题精选精练(10)
高考数学复习：例题精选精练(14)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．已知a 、b 是异面直线，直线c ∥直线a ，则c 与b ( )A ．一定是异面直线B ．一定是相交直线C ．不可能是平行直线D ．不可能是相交直线解析：c 与b 不可能是平行直线，否则与条件矛盾．答案：C2．下列说法正确的是( )A ．如果两个不重合的平面α、β有一条公共直线a ，就说平面α、β相交，并记作α∩β＝aB ．两个平面α、β有一个公共点A ，就说α、β相交于过A 点的任意一条直线C ．两个平面α、β有一个公共点A ，就说α、β相交于A 点，并记作α∩β＝AD ．两个平面ABC 与DBC 相交于线段BC解析：根据平面的性质公理3可知，A 对；对于B ，其错误在于“任意”二字上；对于C ，错误在于α∩β＝A 上；对于D ，应为平面ABC 和平面DBC 相交于直线BC .答案：A3．如图，α∩β＝l ，A 、B ∈α，C ∈β，C ∉l ，直线AB ∩l ＝M ，过A 、B 、C 三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A ．点AB ．点BC ．点C 但不过点MD ．点C 和点M解析：通过A 、B 、C 三点的平面γ，即是通过直线AB 与点C 的平面，M ∈AB .∴M ∈γ，而C ∈γ，又∵M ∈β，C ∈β.∴γ和β的交线必通过点C 和点M .答案：D4．正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( ) A.15B.25C.35D.45解析：连结D 1C 、AC ，易证A 1B ∥D 1C ，∴∠AD 1C 即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．设AB ＝1，则AA 1＝2，AD 1＝D 1C ＝5，AC ＝2，∴cos ∠AD 1C ＝5＋5－22×5×5＝45， ∴异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45.答案：D5．设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α( )A．不存在B．只有1个C．恰有4个D．有无数多个解析：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m、n，直线m、n确定了一个平面β.作与β平行的平面α，与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形．而这样的平面α有无数多个．答案：D6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点．那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是( )A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形解析：边长是正方体棱长的22倍的正六边形．答案：D二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．如图所示，在三棱锥C－ABD中，E、F分别是AC和BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角是________．解析：取CB的中点G，连结EG、FG，∴EG∥AB，FG∥CD，∴EF与CD所成的角为∠EFG.又∵EF⊥AB，∴EF⊥EG.在Rt △EFG 中，EG ＝12AB ＝1，FG ＝12CD ＝2， ∴sin ∠EFG ＝12，∴∠EFG ＝30°， ∴EF 与CD 所成的角为30°.答案：30°8．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．则在上面的结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)．解析：①、②、④对应的情况如下：用反证法证明③不可能．答案：①②④9．给出下面四个命题：①“直线a ∥直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”；②“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”；③“直线a 、b 为异面直线”的充分而不必要条件是“直线a 、b 不相交”；④“平面α∥平面β”的必要而不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”．其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)解析：对于①，a 可能在b 所在的平面内，则由a ∥b ¿a 平行于b 所在的平面，同样由a 平行于b 所在的平面¿a ∥b ，①错；易知②正确；对于③，直线a ，b 不相交，则a ，b 除了异面外还可能平行，③错；易知④正确．答案：②④三、解答题(共3个小题，满分35分)10．如图，已知平面α，β，且α∩β＝l .设梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AB ⊂α，CD ⊂β.求证：AB ，CD ，l 共点(相交于一点)．证明：∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∴AB ，CD 是梯形ABCD 的两腰∴AB ，CD 必定相交于一点．设AB ∩CD ＝M .又∵AB ⊂α，CD ⊂β，∴M ∈α，且M ∈β，∴M ∈α∩β.又∵α∩β＝l ，∴M ∈l ，即AB ，CD ，l 共点．11．如图所示，在空间四边形ABCD 中，已知AD ＝1，BC ＝3，且AD⊥BC ，对角线BD ＝132，AC ＝32，求AC 和BD 所成的角的大小． 解：如图所示，分别取AD ，CD ，AB ，DB 的中点E ，F ，G ，H ，连结EF ，FH ，HG ，GE ，GF ，则由三角形中位线定理知EF ∥AC且EF ＝12AC ＝34， GE ∥BD 且GE ＝12BD ＝134， GH ∥AD ，GH ＝12AD ＝12， HF ∥BC ，HF ＝12BC ＝32， 从而可知GE 与EF 所成的锐角(或直角)即为AC 和BD 所成的角，GH 和HF 所成的锐角(或直角)即为AD 与BC 所成的角．∵AD ⊥BC ，∴∠GHF ＝90°∴GF 2＝GH 2＋HF 2＝1.在△EFG 中，EG 2＋EF 2＝1＝GF 2，∴∠GEF ＝90°，即AC 与BD 所成的角为90°.12．如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．(1)求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值；(2)证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M .解：(1)因为C1D1∥B1A1，所以∠MA1B1为异面直线A1M与C1D1所成的角．因为A1B1⊥平面BCC1B1，所以∠A1B1M＝90°.而A1B1＝1，B1M＝B1C21＋MC21＝2，故tan∠MA1B1＝B1MA1B1＝ 2.即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值为 2.(2)证明：由A1B1⊥平面BCC1B1，BM⊂平面BCC1B1，得A1B1⊥BM. ①由(1)知，B1M＝2，又BM＝BC2＋CM2＝2，B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M. ②又A1B1∩B1M＝B1，再由①②得BM⊥平面A1B1M，而BM⊂平面ABM，因此平面ABM⊥平面A1B1M.。
高中数学选择性必修一 高考训练 练习习题 课时作业(十)
课时作业(十) 用空间向量研究夹角问题[练基础]1．已知两平面的法向量分别为m ＝(0，1，0)，n ＝(0，1，1)，则两平面夹角为( )A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．90°2．设直线l 与平面α相交，且l 的方向向量为a ，α的法向量为n ，若〈a ，n 〉＝2π3，则l 与α所成的角为( )A ．2π3B ．π3C ．π6D ．5π63.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E 是上底面A 1B 1C 1D 1的中心，则异面直线AE 与BD 1所成角的余弦值为( )A ．24 B ．23 C ．104 D ．634．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( ) A ．23 B ．33 C ．23 D ．635．(多选)若直线a 的方向向量为a ，平面α，β的法向量分别为n ，m ，则下列命题为真命题的是( )A ．若a ⊥n ，则直线a ∥平面αB ．若a ∥n ，则直线a ⊥平面αC ．若cos 〈a ，n 〉＝12 ，则直线a 与平面α所成角的大小为π6D ．若cos 〈m ，n 〉＝12 ，则平面α，β的夹角为π3 6.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 是C 1C 的中点，O 是底面ABCD 的中心，P 是A 1B 1上的任意点，则直线BM 与OP 夹角的大小为________．7．已知二面角α l β为锐角，平面α的法向量为n 1＝(3 ，0，－1)，平面β的法向量为n 2＝(－32 ，1，12)，则cos 〈n 1，n 2〉＝________，二面角α l β的大小为________． 8．如图，三棱锥P ABC 中，底面△ABC 为直角三角形，AB ＝BC ＝2，D 为AC 的中点，PD ＝DB ，PD ⊥DB ，PB ⊥CD .(1)求证：PD ⊥平面BCD ；(2)求P A 与平面PBC 所成角的正弦值．[提能力]9．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，O 是AC 的中点，点P 在线段A 1C 1上，若直线OP 与平面ACD 1所成的角为θ，则cos θ的取值范围是( )A ．[23 ，33 ] B ．[23 ，63 ] C ．[34 ，33 ] D ．[33 ，73] 10．(多选)如图，在四棱锥P ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，点E 为P A 的中点，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，P A ＝2 ，则( )A ．BE → ·CP → ＝3B ．异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为33C ．点B 到平面PCD 的距离为12D ．BC 与平面PCD 所成的角为π611.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱BB 1，C 1D 1的中点，则异面直线EF 与BD 1所成角的余弦值为________；直线AE 与平面AB 1C 所成角的正弦值为________．12．如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1为矩形，且侧面ACC 1A 1⊥侧面ABB 1A 1，AB ＝AC ＝2，AA 1＝B 1C ＝22 .(1)证明：A 1B 1⊥平面AB 1C ；(2)若点D 为棱B 1C 1的中点，求平面AB 1C 与平面AA 1D 所成的锐二面角的余弦值．[培优生]13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝3 ，将△ABD 沿BD 所在的直线进行翻折，得到空间四边形A 1BCD .给出下面三个结论：①在翻折过程中，存在某个位置，使得A 1C ⊥BD ；②在翻折过程中，三棱锥A 1BCD 的体积不大于14； ③在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线A 1D 与BC 所成角为45°.其中所有正确结论的序号是________．。
【习题】高考数学必备：练习题精选与解析
高考数学必备：练习题精选与解析引言高考数学是中国高中生所面临的一项重要的考试，它的成绩直接影响着他们的升学前途。
为了在考场上取得好成绩，提前做好准备是非常重要的。
刷题是提高数学水平的有效途径之一，但是在解题过程中，很多学生会遇到困惑，这就需要有解析来帮助他们理解题目的解题思路。
本文将为大家提供一些高考数学练习题的精选与解析，帮助大家更好地备战高考数学。
选择题H1: 高三数学必修一H2: 集合与命题在高考数学中，集合与命题是一个基础的概念。
下面是一道相关的选择题：【例题1】如下命题表达式中，等价于“非（A或者B）”的命题是（）A. A和B至少一个假B. AB都为真C. A和B至少一个真D. AB都为假【解析】对于命题“非（A或者B）”，首先要理解“或”的定义，即A或B为真时，命题为真；只有当A和B都为假时，命题才为假。
所以，A、B至少一个真时，命题为真，即选项C。
H2: 函数与方程在函数与方程的章节中，有很多相关的知识点需要掌握。
下面是一道相关的选择题：【例题2】函数f(x)满足f(x+2)=f(x)-4(x^2+2x)。
对于所有的正整数x，f(x)满足的方程是（）。
A. f(x)=0B. f(x)=x^2+2xC. f(x)=-x^2-2xD. f(x)=x^2-2x【解析】这道题目考察的是函数的平移性质和方程的求解。
首先，我们将x替换成x+2，得到f(x)=f(x+2)-4(x^2+6x+8)。
由于这是一个函数方程，我们可以将f(x)和f(x+2)相减，得到零多项式。
因此，该方程的解是f(x)=0，即选项A。
H2: 三角比与三角函数三角比与三角函数在高中数学中是非常重要的内容。
下面是一道相关的选择题：【例题3】已知在锐角三角形ABC中，a=BC，b=AC，c=AB，且sin2(A)+sin2(B)=cos^2(C)。
则ABC的形状是（）。
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 锐角三角形【解析】在锐角三角形ABC中，sin2(A)+sin2(B)=cos^2(C)是个著名的三角恒等式，即正弦定理的推论。
2023年数学高考复习真题演练(2021-2022年高考真题)10 对数与对数函数 (含详解)
专题10 对数与对数函数【考点预测】 1.对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log N a ，读作以a 为底N 的对数；②常用对数：以10为底，记为lg N ； ③自然对数：以e 为底，记为ln N ； (3) 对数的性质和运算法则：①1log 0a =；log 1a a =；其中0a >且1a ≠；②log Na a N =(其中0a >且1a ≠，0N >)； ③对数换底公式：log log log c a c bb a=； ④log ()log log a a a MN M N =+； ⑤log log log aa a MM N N=-； ⑥log log (m na a nb b m m=，)n R ∈； ⑦log a b a b =和log b a a b =； ⑧1log log a b b a=； 2.对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数 log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数． 对数函数的图象【方法技巧与总结】 1.对数函数常用技巧在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图)【题型归纳目录】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式 题型二：对数函数的图像题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域）） 题型四：对数函数中的恒成立问题 题型五：对数函数的综合问题 【典例例题】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式例1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++； （2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值； （3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45． 例2．（2022·全国·高三专题练习）（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值. （2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35例3．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a ，b ，c 均为正数，且3a ＝4b ＝6c ，求证：212ab c+=；（2）若60a ＝3，60b ＝5，求12(1)12a bb ---的值．例4．（2022·全国·模拟预测）若e 4a =，e 25b =，则（ ） A ．a ＋b ＝100B ．b －a ＝ea 增大a 增大C ．28ln 2ab <D ．ln6b a ->例5．（2022·全国·模拟预测）已知实数x ，y 满足0x >，0y >，1x ≠，1y ≠，y x x y =，log 4y xx y+=，则x y +=（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8例6．（2022·北京昌平·二模）已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（ ）A ．(,4)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞例7．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数()122log ,1,1,1,x x f x x x >⎧⎪=⎨⎪-≤⎩则不等式()(1)f x f x <-的解集为______．例8．（2022·辽宁·东北育才学校二模）若函数()f x 满足：（1）1x ∀，()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-；（2）()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x =___________.（写出满足这些条件的一个函数即可）例9．（2022·全国·高三专题练习）设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠）的图像经过点()3,1.（1）解关于x 的方程()()22(1)10f x m f x m +-+-=；（2）不等式()()10f x a f x +⋅->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的解集是1,93⎛⎫⎪⎝⎭，试求实数a 的值.【方法技巧与总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像例10．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）A ．0a b +<B ．1ab <- C ．01b a << D ．log 0a b >例11．（2022·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11+m n的最小值为（ ） A ．3-B ．1C ． 3+D ．2+（多选题）例12．（2022·福建·莆田二中模拟预测）已知函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）的图象如下所示．函数()()1x x f x k a a -=--的图象上有两个不同的点()11,A x y ，()22,B x y ，则（ ）A ．1a >，2k >B ．()f x 在R 上是奇函数C ．()f x 在R 上是单调递增函数D ．当0x ≥时，()()22f x f x ≤例13．（2022·全国·高三专题练习）已知223,20(){1ln ,021x x x f x x x -+-≤<=≤≤+，若()()g x f x ax a =--的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为______.【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））例14．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间是（ ）A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭例15．（2022·天津·南开中学二模）已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭例16．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（ ） Ab a <<B．b a <Ca b <D．a b <<例17．（2022·全国·高三专题练习（理））函数f (x )＝log ax (0＜a ＜1)在[a 2，a ]上的最大值是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．a 例18．（2022·重庆·模拟预测）若函数()2()log 341a f x x ax =-+-有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A．⎫⎪⎪⎝⎭B．C．⎛ ⎝⎭D．)+∞【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型四：对数函数中的恒成立问题例19．（2022·北京·高三专题练习）若不等式2log 0a x x -<在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．1116a ≤< B ．1116a << C ．1016a <≤D ．1016a <<例20．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a x a t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（ ） A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2例21．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________. 例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x x x =-，已知实数0a >，若2()e ln 0x f x a a ++≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围. 例23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()log (0,1)x a f x a x a a =+>≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为6log 2a +． （1）求实数a 的值；（2）对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，求实数k 的取值范围．例24．（2022·陕西安康·高三期末（文））已知函数()()()2log 2log 30,1a a f x x x a a =++>≠.(1)若()32f =，求a 的值；(2)若对任意的[]8,12x ∈，()6f x >恒成立，求a 的取值范围.例25．（2022·上海·高三专题练习）已知2()32log f x x =-，2()log g x x =. （1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()1()y f x g x =+⋅的值域；（2）对任意12,2n n x +⎡⎤∈⎣⎦，其中常数n N ∈，不等式()2()f x f kg x ⋅>恒成立，求实数k的取值范围.【方法技巧与总结】（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.（3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.题型五：对数函数的综合问题例26．（2022·河北·张家口市第一中学高三阶段练习）已知定义域为()0,∞+的单调递增函数()f x 满足：()0,x ∀∈+∞，有()()ln 1f f x x -=，则方程()242f x x x =-+-的解的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0例27．（2022·四川雅安·三模（文））设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意R x ∈，都有()()4f x f x +=，且当[]2,0x ∈-时，()163xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）．A ．()1,2B ．()2,+∞C ．(D ．)2例28．（2022·广西柳州·高一期中）已知0a b >>，且1a b +=，则（ ）A．sin sin a b > B ．11a b> C ．22a b +>D ．lg lg 0a b +=例29．（2022·河北保定·二模）已知函数2332xxy =-在()0,∞+上先增后减，函数3443xxy =-在()0,∞+上先增后减.若()231log log x =()321log log 0x a =>，()()242422log log log log x x b ==，()()343433log log log log 0x x c ==>，则（ ） A ．a c <B ．b a <C ．c a <D ．a b <例30．（2022·广东·三模）已知,R a b ∈，e 是自然对数的底，若e ln b b a a +=+，则a b的取值可以是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例31．（2022·全国·高三专题练习）已知0x 是函数()22e ln 2x f x x x -=+-的零点，则020e ln xx -+=_______．【过关测试】一、单选题 1．（2022·辽宁辽阳·二模）区块链作为一种新型的技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B ，则密码一共有5122种可能，为了破解该密码，在最坏的情况下，需要进行5122次运算.现在有一台计算机，每秒能进行142.510⨯次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间大约为（参考数据lg20.3≈ 1.58≈）（ ） A ．1393.1610s ⨯ B ．1391.5810s ⨯ C ．1401.5810s ⨯D ．1403.1610s ⨯2．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知1log 3m p =，9p n =，其中0m >且1m ≠，0n >且1n ≠，若20m n -=，则p 的值为（ ） A ．3log 2B ．2log 3C ．2D ．33．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知正实数x ，y ，z 满足(34zx y ==，则（ ） A ．111x y z+=B ．111y z x+= C ．112x y z += D ．112x z y+=4．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知函数()()()ln 22ln 33f x x x =++-，则()f x （ ）A ．是奇函数，且在0,1上单调递增B ．是奇函数，且在0,1上单调递减C ．是偶函数，且在0,1上单调递增D ．是偶函数，且在0,1上单调递减5．（2022·全国·高三专题练习）函数()log (1)2a f x x =-+的图象恒过定点 A ．（2，2）B ．（2，1）C ．（3，2）D ．（2，0）6．（2022·安徽六安·一模（文））设函数()2f x =()()2ln 41g x ax x =-+，若对任意的1R x ∈，都存在实数2x ，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],4-∞B ．(]0,4C ．[]0,4D ．(]0,27．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）设0a >且1a ≠，sin cos a x x x >+对(0,)4x π∈恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,)4πB ．(0,]4πC ．(,1)(1,)42ππ⋃D ．[,1)4π8．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（ ）A b a <<B ．b a <C a b <D ．a b <<二、多选题9．（2022·重庆市天星桥中学一模）已知0,0a b >>，且1a b +=，则下列结论正确的是（ ） A ．11a b+的最小值是4 B ．1ab ab+的最小值是2C ．22a b +的最小值是D ．22log log a b +的最小值是2-10．（2022·广东汕头·二模）设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，则下列结论正确的是（ ） A ．2ab bc ac +=B ．ab bc ac +=C ．4949b b a c ⋅=⋅D ．121c b a=-11．（2022·河北·高三阶段练习）下列函数中，存在实数a ，使函数()f x 为奇函数的是（ ）A ．()(lg f x x =B ．()2f x x ax =+C ．()21xaf x e =-- D ．()()2ln 2xx f x x e a =+-12．（2022·江苏·南京师大附中高三开学考试）当102x <≤时，4log xa x ≤，则a 的值可以为（ ）AB C D三、填空题13．（2022·天津·二模）已知()4log 41log x y +=+2x y +的最小值为__________.14．（2022·全国·高三专题练习）已知23e ln 3x x x -+=，则3e ln x x -+=__________．15．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()241,1log ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若1()2f a <≤，则实数a的取值范围为___________.16．（2022·河南·开封高中模拟预测（文））已知函数()y f x =为奇函数，且对定义域内的任意x 都有()()11f x f x +=--．当()1,2x ∈时，()21log f x x =-．给出以下4个结论： ①函数()y f x =的图象关于点()(),0k k ∈Z 成中心对称；②函数()y f x =是以2为周期的周期函数；③当()0,1x ∈时，()()2log 21f x x =--； ④函数()y f x =在()(),1k k k +∈Z 上单调递减． 其中所有正确结论的序号为______． 四、解答题17．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0),1)a f x x a a =>≠且，设1a >，函数log a y x =的定义域为[m ，n ] (m <n )，值域为[0，1]，定义“区间[m ，n ]的长度等于n －m ”，若区间[m ，n ]长度的最小值．．．为5,6求实数a 的值；18．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．19．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0)1)a f x x a a =>≠且，作出|()|y f x =的大致图像并写出它的单调性；20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()44log 3log 4f x x x =-⋅.当1,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求该函数的值域；21．（2022·全国·高三专题练习）已知：函数()0.51log 1axf x x -=-在其定义域上是奇函数，a 为常数． (1)求a 的值．(2)证明：()f x 在()1,+∞上是增函数．(3)若对于[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．22．（2022·北京东城·高三期末）曲线ln y x =在点(,ln )A t t 处的切线l 交x 轴于点M . (1)当t e =时，求切线l 的方程；(2)O为坐标原点，记AMO的面积为S，求面积S以t为自变量的函数解析式，写出其定义域，并求单调增区间.专题10 对数与对数函数【考点预测】 1.对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log N a ，读作以a 为底N 的对数；②常用对数：以10为底，记为lg N ； ③自然对数：以e 为底，记为ln N ； (3) 对数的性质和运算法则：①1log 0a =；log 1a a =；其中0a >且1a ≠；②log Na a N =(其中0a >且1a ≠，0N >)； ③对数换底公式：log log log c a c bb a=； ④log ()log log a a a MN M N =+； ⑤log log log aa a MM N N=-； ⑥log log (m na a nb b m m=，)n R ∈； ⑦log a b a b =和log b a a b =； ⑧1log log a b b a=； 2.对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数 log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数． 对数函数的图象【方法技巧与总结】 1.对数函数常用技巧在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图)【题型归纳目录】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式 题型二：对数函数的图像题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域）） 题型四：对数函数中的恒成立问题 题型五：对数函数的综合问题 【典例例题】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式例1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++； （2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值； （3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45． 【答案】（1）7；（2）109；（3）2a bb+-． 【解析】（1）利用对数恒等式和对数的运算法则计算即可； （2）利用指对互化可得实数x 的值；（3）先求出a ，再利用换底公式结合对数的运算法则求得结果．【详解】（1）原式=()23lg 510lg25lg51lg26lg5lg26lg107++⨯+=+++=++=+=；（2）因为()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，所以()3log lg 2x =，所以2lg 39x ==，所以x =109；a 增大a 增大（3）因为185a =，所以18log 5a =，所以()()()181818183618181818log 59log 45log 5log 9log 45log 36log 182log 18log 189⨯+====⨯+÷1818181818log 5log 9log 18log 18log 92a bb++=+--．例2．（2022·全国·高三专题练习）（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值. （2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35 【答案】（1）18；（2）21a bb ++. 【解析】 【分析】（1）首先根据题意得到原式()()()2352log 53log 23log 3=-⋅⋅-，再利用换底公式化简即可得到答案.（2）首先根据题意得到3log 7b =，3log 52=a ，再利用换底公式化简即可得到答案. 【详解】（1）原式()()()1233232355log 5log 2log 32log 53log 23log 3--=⋅⋅=-⋅⋅-lg5lg 2lg31818lg 2lg3lg5=⋅⋅⋅=（2）由37b =得到3log 7b =， 由9log 5=a ，得到31log 52=a ，即3log 52=a . 33321333log 35log 5log 72log 35log 21log 7log 31a bb ++===++.【点睛】本题主要考查对数的换底公式，同时考查指数、对数的互化公式，属于中档题.例3．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a ，b ，c 均为正数，且3a ＝4b ＝6c ，求证：212a b c+=；（2）若60a ＝3，60b ＝5，求12(1)12a bb ---的值． 【答案】（1）详见解析；（2）2. 【解析】【分析】（1）设3461a b c k ===>，应用指对数的互化有346log ,log ,log a k b k c k ===，进而应用换底公式及对数的运算性质分别求21a b +、2c，即可证结论；（2）应用指对数互化有6060log 3,log 5a b ==，应用对数的运算性质求12(1)a bb ---，进而可求12(1)12a b b ---的值.【详解】（1）设346a b c k ===，则1k >. ∴346log ,log ,log a k b k c k ===，∴3421212log 3log 4log 9log 4log 362log 6log log k k k k k k a b k k+=+=+=+==， 而6222log 6log k c k==， ∴212a b c+=. （2）由题设知：6060log 3,log 5a b ==，得606011log 5log 12b -=-=，60606011log 3log 5log 4a b --=--=， ∴60121260log 42log 21log 22(1)2log 122a b b --===-， 则121log 22(1)12122a b b ---==.例4．（2022·全国·模拟预测）若e 4a =，e 25b =，则（ ） A ．a ＋b ＝100 B ．b －a ＝e C ．28ln 2ab < D ．ln6b a ->【答案】D 【解析】 【分析】利用指数和对数互化，得到a ，b 后逐项判断. 【详解】对于A ，由e 4a =，e 25b =，得ln 4a =，ln 25b =，所以ln 4ln 25ln100a b +=+=，故A 错误；对于B ，25ln 25ln 4ln4b a -=-=，故B 错误； 对于C ，2ln 4ln 252ln 2ln168ln 2ab =⨯>⨯=，故C 错误；对于D ，25ln 25ln 4lnln 64b a -=-=>，故D 正确． 故选：D ．例5．（2022·全国·模拟预测）已知实数x ，y 满足0x >，0y >，1x ≠，1y ≠，y x x y =，log 4y xx y+=，则x y +=（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】C 【解析】 【分析】 根据y x x y =得到lg lg x xy y =，再利用换底公式得到2x y=，利用lg 2lg x y =，即2x y =，求出4x =，2y =，所以6x y +=.【详解】由y x x y =，得lg lg y x x y =，lg lg x xy y=. 由log 4y x x y +=，lg log lg y x x y =，所以lg 4lg x x y y+=， 所以4x xy y +=，解得：2x y=，则lg 2lg x y =，即2x y =， 所以4x =，2y =，所以6x y +=， 故选：C.例6．（2022·北京昌平·二模）已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（ ）A ．(,4)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】由二次函数的性质判断()f x 区间单调性，根据解析式知()f x 恒过(4,2)且(0)2f =，进而确定区间值域，再由对数函数性质求2log y x =的对应区间值域，即可得不等式解集. 【详解】由题设，()f x 对称轴为2x =且图象开口向下，则()f x 在(0,2)上递增，(2,)+∞上递减， 由2()42(4)2f x ax ax ax x =-+=-+，即()f x 恒过(4,2)且(0)2f =， 所以(0,4)上()2f x >，(4,)+∞上()2f x ，而2log y x =在(0,)+∞上递增，且(0,4)上2y <，(4,)+∞上2y >，所以2()log f x x >的解集为(0,4). 故选：C例7．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数()122log ,1,1,1,x x f x x x >⎧⎪=⎨⎪-≤⎩则不等式()(1)f x f x <-的解集为______．【答案】12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】 分1x ≤、12x <≤和2x >，依次解不等式，再取并集即可.【详解】当1x ≤时，不等式()(1)f x f x <-为2211(1)x x -<--，解得112x <≤； 当12x <≤时，不等式()(1)f x f x <-为212log 1(1)x x <--，易知21122log log 10,1(1)0x x <=--≥，解得12x <≤；当2x >时，不等式()(1)f x f x <-为1122log log (1)x x <-，解得2x >；综上，解集为：12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.故答案为：12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.例8．（2022·辽宁·东北育才学校二模）若函数()f x 满足：（1）1x ∀，()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-；（2）()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x =___________.（写出满足这些条件的一个函数即可） 【答案】12log x，（log a x ，(0<a <1)都对）【解析】 【分析】满足第一个条件，表示函数是单调递减函数，第二个条件正好是符合对数的运算性质； 【详解】对于条件①，不妨设12x x <，则210x x ->，∵()()21210f x f x x x -<-，∴()()210f x f x -<∴12()()f x f x >，∴()f x 为()0,+∞上的单调递增函数，对于条件②，刚好符合对数的运算性质，故这样的函数可以是一个单调递减的对数函数. 故答案为:12log x.（log ax ，(0<a <1)都对）例9．（2022·全国·高三专题练习）设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠）的图像经过点()3,1.（1）解关于x 的方程()()22(1)10f x m f x m +-+-=；（2）不等式()()10f x a f x +⋅->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的解集是1,93⎛⎫⎪⎝⎭，试求实数a 的值. 【答案】（1）9x =或181x =；（2）2a =. 【解析】 【分析】(1)根据给定条件求出m 值，并代入方程，再解方程即得.(2)由给定解集借助对数函数单调性求出()f x 范围，换元借助一元二次不等式即可得解. 【详解】（1）由已知得()31f =，即log 31m =，则3m =，于是得()3log f x x =， 方程222()(1)()10()2()80f x m f x m f x f x +-+-=⇔+-=， 从而得()2f x =或()4f x =-，即3log 2x =或3log 4x =-，9x =或181x =， 所以原方程的根为9x =或181x =； （2）依题意，函数()3log f x x =中，1,93x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而得()3log 1,2x ∈-.又()()()()3310log 1log 0f x a f x x x a +⋅->⇔+⋅-<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，令3log x t =， 即一元二次不等式()()10t t a +⋅-<的解集为()1,2-，因此有-1，2是关于t 的方程()()10t t a +⋅-=的两根，则2a =， 所以实数a 的值为2.【方法技巧与总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像例10．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）A ．0a b +<B ．1ab <-C ．01b a <<D ．log 0a b >【答案】C 【解析】 【分析】结合函数()f x 的图象可得1a >和10b -<<，然后逐项分析即可求出结果. 【详解】由图象可知()f x 在定义域内单调递增，所以1a >，令()()log 0a f x x b =-=，即1x b =+，所以函数()f x 的零点为1b +，结合函数图象可知011b <+<，所以10b -<<，因此0a b +>，故A 错误；0-<<a ab ，又因为1a >，所以1a -<-，因此1ab <-不一定成立，故B 错误；因为10b a a a -<<，即11b a a <<，且101a<<，所以01b a <<，故C 正确； 因为01b <<，所以log log 1a a b <，即log 0a b <，故D 错误， 故选：C.例11．（2022·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11+m n的最小值为（ ） A．3-B ．1C ． 3+D ．2+【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数的性质，可得()2,1A --，可得21m n +=，再根据基本不等式“1”的用法，即可求出结果.【详解】解：因为函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点()2,1A --，所以210m n --+=，即21m n +=， 所以()1111223n m m n m n m n m n⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭， 又0mn >，所以0,0n mm n>>所以2333n m m n ++≥=，当且仅当2n m m n =，即1n =时取等号.故选：C.（多选题）例12．（2022·福建·莆田二中模拟预测）已知函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）的图象如下所示．函数()()1x xf x k a a -=--的图象上有两个不同的点()11,A x y ，()22,B x y ，则（ ）A ．1a >，2k >B ．()f x 在R 上是奇函数C ．()f x 在R 上是单调递增函数D ．当0x ≥时，()()22f x f x ≤【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A 结合对数型函数图像相关知识求解；对于B 运用定义法判断()f x 是否在R 上是奇函数；对于C 运用定义法判断函数单调性；对于D 通过作差法并对式子变形即可判断. 【详解】对于A ，由图像可知，函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）在()2,-+∞上单调递增，所以1a >，因为()g x 经过()1,0-，所以()()1log 10a g k -=-+=，所以01a k =-+，2k =，故A 错误.对于B ，()x x f x a a -=-，定义域R 关于原点对称，()()x xf x a a f x --=-=-，所以()f x 在R 上是奇函数，故B 正确.对于C ，对于()x xf x a a -=-，由题意不妨令1212,,x x x R x R >∈∈，则()()()()()121212121212121212111x x x x x x x x x x x x x x x x a a a a a f x f x a a a a a a a a ++++--⎛⎫⎛⎫-=---=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为1212,,x x x R x R >∈∈，1a >，所以12121210,0,0x x x x x x a a a a +++>>->，即()()12f x f x >，所以()f x 在R 上是单调递增函数，故C 正确.对于D ，()()()()()()()()()2222222x x x x x x x x x x x x x x a a a a a a a a a a a a a x f a f x --------=---=---+--=-()()()()22322221111112x x x x x x xx xxxa a a a a a a a a aa----+-⎛⎫⎛⎫--=⎪-==⎪⎝⎭⎝⎭，因为1a >，0x ≥，所以()3210,010,xxxa a a +≥>->，所以()()23101x x xa a a-+-≤，当且仅当0x =时等号成立，即当0x ≥时，()()22f x f x ≤成立，故D 正确.故选：BCD例13．（2022·全国·高三专题练习）已知223,20(){1ln ,021x x x f x x x -+-≤<=≤≤+，若()()g x f x ax a =--的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为______. 【答案】ln 31[,)3e【解析】 【分析】由分段函数解析式，结合导数研究|()|f x 的性质，再将问题转化为|()|f x 与(1)y a x =+有3个不同交点，应用数形结合的思想有(1)y a x =+与|()|f x 在02x ≤≤上至少有2个交点，最后由导数求它们相切或(1)y a x =+过(2,ln 3)时参数a 的值，即可知a 的取值范围. 【详解】由题设，20x -≤<上239()2()48f x x =--+，故值域为[14,0]-且单调递增；02x ≤≤上()f x '=101x -<+，故()f x 值域为[ln 3,0]-且单调递减； ∴|()|f x 在20x -≤<上值域为[0,14]且单调递减；在02x ≤≤上值域为[0,ln 3]且单调递增； 要使()g x 与x 轴有3个不同的交点，即|()|f x 与(1)y a x =+有3个不同交点，它们的图象如下：∴由图知：要使函数图象有3个交点，则(1)y a x =+与|()|f x 在02x ≤≤上至少有2个交点， 由02x ≤≤，1()|()|ln1g x f x x ==-+，则1()|()|1g x f x x '==+，此时，若|()|f x 与(1)y a x =+相切时，切点为(,(1))m a m +， ∴111ln (1)1a m a m m ⎧=⎪⎪+⎨⎪-=+⎪+⎩，可得1e a =，当(1)y a x =+过(2,ln 3)时，有3ln3a =，得ln 33a =， ∴ln 313ea ≤<. 故答案为：ln 31[,)3e【点睛】关键点点睛：根据已知研究|()|f x 的性质，并将问题转化为|()|f x 与(1)y a x =+的交点问题，应用导数的几何意义、数形结合的思想求参数范围.【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））例14．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间是（ ） A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性法则“同增异减”即可求解.【详解】函数()22log 43y x x=+-的定义域为()1,4-.要求函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间，只需求243y x x =+-的增区间，只需32x <. 所以312x -<<. 所以函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：C例15．（2022·天津·南开中学二模）已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】分函数()f x 在R 上的单调递减和单调递增求解. 【详解】当函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调递减函数，所以01112514a aa ⎧⎪<<⎪⎪≥⎨⎪⎪-≥-⎪⎩，解得1142a ≤≤，因为0a >且1a ≠，所以当1x ≤时，()f x 不可能是增函数，所以函数()f x 在R 上不可能是增函数，综上：实数a 的取值范围为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：B例16．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（ ） Ab a << B．b a < Ca b < D．a b <<【答案】A 【解析】 【分析】对33log log 4log log 3a b a b -=-利用换底公式等价变形，得333311log log log log -<-b a b a，结合1y x x=-的单调性判断b a <，同理利用换底公式得343411log log log log b a b a ->-，即34log log b a >，再根据对数运算性质得4log log log a =>3log y x =单调性，b >解. 【详解】由33log log 4log log 3a b a b -=-可得333343111log log log log log log b a a b a a-=-<-， 因为1y x x=-在(,0),(0,)-∞+∞上单调递增，且3log a ，3log (0,)b ∈+∞，所以33log log b a <，即b a <， 其次，343411log log log log b a b a->-，所以34log log b a >，又因为4log log log a =>3log y x =单调递增，所以由3log log b >b >b a <． 故选：A例17．（2022·全国·高三专题练习（理））函数f (x )＝log ax (0＜a ＜1)在[a 2，a ]上的最大值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．a【答案】C 【解析】【分析】根据对数函数的单调性可求出结果. 【详解】∵0＜a ＜1，∴f (x )＝log ax 在[a 2，a ]上是减函数， ∴f (x )max ＝f (a 2)＝log aa 2＝2． 故选：C例18．（2022·重庆·模拟预测）若函数()2()log 341a f x x ax =-+-有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．⎫⎪⎪⎝⎭B ．C ．⎛ ⎝⎭D ．)+∞【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的性质可得()()0,11,a ∈+∞且23410x ax -+->，则0∆>，即可求出a 的大致范围，再令23410x ax -+-=的根为1x 、2x 且12x x <，()2341u x x ax =-+-，log a y u =，对a 分两种情况讨论，结合二次函数、对数函数的单调性判断即可； 【详解】解：依题意()()0,11,a ∈+∞且23410x ax -+->，所以216120a ∆=->，解得a >a <()1,a ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，令23410x ax -+-=的根为1x 、2x 且12x x <，()2341u x x ax =-+-，log a y u =，若()1,a ∈+∞，则log a y u =在定义域上单调递增，()2341u x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，根据复合函数的单调性可知，()2()log 341a f x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；若a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，则log a y u =在定义域上单调递减，()2341u x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，根据复合函数的单调性可知，()2()log 341a f x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在22,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以函数在23a x =取得最小值，所以a ⎫∈⎪⎪⎝⎭； 故选：A【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型四：对数函数中的恒成立问题例19．（2022·北京·高三专题练习）若不等式2log 0a x x -<在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．1116a ≤< B ．1116a << C ．1016a <≤D ．1016a <<【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的图象与性质，分1a >和01a <<两种情况分类讨论，结合函数的单调性，列出不等式，即可求解. 【详解】当1a >时，由1(0,)2x ∈，可得log 0a x <，则log 0a x ->，又由20x >，此时不等式2log 0a x x -<不成立，不合题意；当01a <<时，函数log a y x =在1(0,)2上单调递减，此时函数log a y x =-在1(0,)2上单调递增，又由2yx 在1(0,)2上单调递增，要使得不等式2log 0a x x -<在1(0,)2内恒成立，可得211()log 022a -≤，解得1116a ≤<.故选：A.例20．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a x a t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（ ） A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2【答案】A 【解析】根据题意，先求得12a =，把不等式()()1122log 4log 2x x t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，转化为402042x xx x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩在[]1,2x ∈上恒成立，结合指数幂的运算性质，即可求解. 【详解】由题意，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，可得函数y 的最大值为116，当0a =时，函数2414x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭显然不存在最大值；当0a >时，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，当1x a =时，函数y 有最大值，即12411416a a -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得12a =； 当0a <时，22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，此时函数y 无最大值，所以()()1122log 4log 2x xt t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立， 即402042x xx x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩在[]1,2x ∈上恒成立， 由40x t ⋅>在[]1,2x ∈上恒成立，可得0t >；由20x t ->在[]1,2x ∈上恒成立，即2x t <在[]1,2上恒成立，可得2t <； 由42x x t t ⋅>-在[]1,2x ∈上恒成立，即2114122x x x xt >=++在[]1,2上恒成立，令()122xxf x =+，可得函数()f x 在[]1,2上单调递增，所以()()min512f x f ==，即25t >， 综上可得225t <<，即实数t 的取值范围是2,25⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A. 例21．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】13,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】将问题转化为在对应区间上max max ()()f x g x ≥，结合对勾函数、对数函数的性质求()f x 、()g x 的区间最值，即可求a 的范围. 【详解】若()f x 在[3,4]上的最大值max ()f x ，()g x 在[4,8]上的最大值max ()g x ， 由题设，只需max max ()()f x g x ≥即可.在[3,4]上，9()6f x x x =+≥=当且仅当3x =时等号成立， 由对勾函数的性质：()f x 在[3,4]上递增，故max 25()4f x =. 在[4,8]上，()g x 单调递增，则max ()3g x a =+， 所以2534a ≥+，可得134a ≤.故答案为：13,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦.例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x x x =-，已知实数0a >，若2()e ln 0x f x a a ++≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】12ea ≥. 【解析】 【分析】把不等式作等价变形，构造函数()ln g x x x =+，借助其单调性可得2e x a x ≥，分离参数构造函数并求出最大值作答. 【详解】函数()ln f x x x =-定义域为(0,)+∞，则(0,)∀∈+∞x ：222()e ln 0e ln l 2n e ln ln x x x f x a a a a x a a x x x x++≥⇔+≥⇔+≥+++22e e )n ln(l x x a a x x ⇔≥++，令()ln g x x x =+，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，则有原不等式等价于()()2e xg a g x ≥22e e x xx a x a ⇔≥⇔≥， 令2()e x x h x =，0x >，求导得：212()exx h x -'=，当102x <<时，()0h x '>，当12x >时，()0h x '<， 因此，函数()h x 在1(0,)2上单调递增，在1(,)2+∞上单调递减，当12x =时，max 11()()22eh x h ==，则12ea ≥， 所以实数a 的取值范围是12ea ≥. 【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.例23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()log (0,1)xa f x a x a a =+>≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为6log 2a +． （1）求实数a 的值；（2）对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）2；（2）1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）根据指对数函数的单调性得函数()log (0,1)xa f x a x a a =+>≠在[1,2]上是单调函数，进而得260+-=a a ，解方程得2a =；（2）根据题意，将问题转化为对于任意的[2,)x ∈+∞，1()k f x ≥恒成立，进而求函数的最值即可. 【详解】解：（1）因为函数,log (0,1)xa y a y x a a ==>≠在[1,2]上的单调性相同， 所以函数()log (0,1)xa f x a x a a =+>≠在[1,2]上是单调函数，所以函数()f x 在[1,2]上的最大值与最小值之和为2log 26log 2a a a a ++=+，所以260+-=a a ，解得2a =和3a =-（舍） 所以实数a 的值为2.（2）由（1）得2()2log x f x x =+，因为对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，所以对于任意的[2,)x ∈+∞，1()k f x ≥恒成立， 当[2,)x ∈+∞时，2()2log x f x x =+为单调递增函数， 所以()()25f x f ≥=，所以11()5f x ≤，即15k ≥ 所以实数k 的取值范围1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查指对数函数的性质，不等式恒成立求参数范围，考查运算求解能力，回归转化思想，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据题意，将问题转化为任意的[2,)x ∈+∞，1()k f x ≥恒成立求解.例24．（2022·陕西安康·高三期末（文））已知函数()()()2log 2log 30,1a a f x x x a a =++>≠. (1)若()32f =，求a 的值；(2)若对任意的[]8,12x ∈，()6f x >恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)13a =；(2)()1,11,82⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）由()32f =可求得log 3a 的值，进而可求得实数a 的值；（2）由()6f x >可得出log 3a x <-或log 1>a x ，分01a <<、1a >两种情况讨论，可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围. (1)解：因为()32f =，所以()2log 32log 332a a ++=，所以()2log 310a +=，所以log 31a =-，解得13a =.(2)解：由()6f x >，得()2log 2log 30a a x x +->，即()()log 3log 10a a x x +->，即log 3a x <-或log 1>a x .当01a <<时，log 12log log 8a a a x ≤≤，则log 83a <-或log 121a >，因为log 12log 10a a <=，则log 121a >不成立，由log 83a <-可得318a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，得112a <<；当1a >时，log 8log log 12a a a x ≤≤，则log 123a <-或log 81a >，因为log 12log 10a a >=，则log 123a <-不成立，所以log 81a >，解得18a <<. 综上，a 的取值范围是()1,11,82⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭.例25．（2022·上海·高三专题练习）已知2()32log f x x =-，2()log g x x =. （1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()1()y f x g x =+⋅的值域；。
2020高考数学题型整理分类客观题技巧训练10套解析版(含历年真题)
“10＋7”小题提速保分练(一)一、选择题1．已知集合P ＝{x |x 2≥9}，Q ＝{x |x >2}，则P ∩Q ＝( ) A ．{x |x ≥3} B ．{x |x >2} C ．{x |2<x <3}D ．{x |2<x ≤3}解析：选A 由题意得P ＝{x |x ≤－3或x ≥3}，又Q ＝{x |x >2}，所以P ∩Q ＝{x |x ≥3}． 2．“α>π3”是“sin α>32”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D 充分性：当α>π3时，比如α＝π，此时sin π＝0，显然不满足sin α>32，充分性不具备；必要性：当sin α>32时，比如α＝－3π2，此时sin ⎝⎛⎭⎫－3π2＝1，但不满足α>π3，必要性不具备．所以“α>π3”是“sin α>32”的既不充分也不必要条件．3．设m ，n 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ∥α，n ∥α，则m ⊥n C ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nD ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ⊥n解析：选C 对于A ，若m ∥α，n ∥α，m ，n 还可能相交或异面，故A 是错误的；对于B ，若m ∥α，n ∥α，m ，n 可能是平行的，故B 是错误的；对于C ，若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ，显然C 是正确的；对于D ，若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ，显然D 是错误的．4．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.212 B ．26C.23D ． 2解析：选B 由三视图易知该几何体为三棱锥，则该几何体的体积V ＝13×⎝⎛⎭⎫12×1×1×2＝26. 5．已知y ＝f (x )＋x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选D ∵y ＝f (x )＋x 是偶函数， ∴f (x )＋x ＝f (－x )－x .当x ＝2时，f (2)＋2＝f (－2)－2，又f (2)＝1， ∴f (－2)＝5.6．在等差数列{a n }中，a 1＝3，a 1＋a 2＋a 3＝21，则a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．45 B ．42 C ．21D ．84 解析：选A 由题意得a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝21，a 2＝7， 又a 1＝3，所以公差d ＝a 2－a 1＝4.所以a 3＋a 4＋a 5＝(a 1＋a 2＋a 3)＋6d ＝21＋24＝45.7．由函数y ＝cos 2x 的图象通过平移变换得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，这个变换可以是( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度解析：选B 因为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6，所以可以由函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象． 8．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y >0，3x ＋y <3，x ＋y >a 表示一个三角形内部的区域，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，34 B ．⎝⎛⎭⎫34，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－∞，32 D ．⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 解析：选C 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y >0，3x ＋y <3表示的平面区域如图中阴影部分所示．联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，3x ＋y ＝3，解得x ＝y ＝34，即A ⎝⎛⎭⎫34，34， 因为x ＋y >a 表示直线的右上方部分，由图可知，若不等式组构成三角形，则点A 在x ＋y ＝a 的右上方即可．又A ⎝⎛⎭⎫34，34，所以34＋34>a ，即a <32. 所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，32. 9．若|a |＝|b |＝|c |＝2，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的取值范围是( ) A ．[0,22＋2] B ．[0,2] C ．[22－2,22＋2]D ．[22－2,2]解析：选D 如图所示，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，OD ―→＝a ＋b ， ∵(a －c )·(b －c )≤0， ∴点C 在劣弧AB 上运动，∵|a ＋b －c |表示C ，D 两点间的距离|CD |.∴|CD |的最大值是|BD |＝2，|CD |最小值为|OD |－2＝22－2.10．已知F 1，F 2为椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝45°，则该椭圆与双曲线的离心率乘积的最小值为( )A.24B ．22C ．1D ． 2解析：选B 如图，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的半实轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，设|F 1F 2|＝2c ，又∠F 1PF 2＝45°， 在△PF 1F 2中，由余弦定理得，4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos 45°，化简得，(2－2)a 21＋(2＋2)a 22＝4c 2，即2－2e 21＋2＋2e 22＝4， 又∵2－2e 21＋2＋2e 22≥222－2e 1e 2＝22e 1e 2，∴22e 1e 2≤4，即e 1e 2≥22，∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为22. 二、填空题11．已知复数z ＝1＋a ii (a ∈R ，i 为虚数单位)的实部为1，则a ＝________，|z |＝________.解析：z ＝1＋a i i ＝(1＋a i )(－i )－i2＝a －i ，因为复数z 的实部为1，所以a ＝1，|z |＝a 2＋1＝2.答案：1212．一个口袋中装有大小相同的2个黑球和3个红球，从中摸出两个球，则恰有一个黑球的概率是________；若X 表示摸出黑球的个数，则E (X )＝________.解析：从中摸出两个球，则恰有一个黑球的概率是P ＝C 12C 13C 25＝35；X 的可能取值为0,1,2.所以P (X ＝0)＝C 23C 25＝310，P (X ＝1)＝C 12C 13C 25＝610，P (X ＝2)＝C 22C 25＝110，所以E (X )＝0×310＋1×610＋2×110＝45. 答案：35 4513．若⎝⎛⎭⎫3x －1x n的展开式各项系数之和为64，则n ＝________；展开式中的常数项为________．解析：令x ＝1，得2n ＝64，所以n ＝6.所以⎝⎛⎭⎫3x －1x 6的通项公式为 T r ＋1＝C r 6(3x )6－r⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C r 6(－1)r 36－r x 3－r ，令r ＝3，得展开式中的常数项为C 36(－1)336－3＝－540. 答案：6 －54014．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x，x ≥1，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫23＝______；若f ()f (a )＝1，则实数a 的值为________．解析：∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x，x ≥1，∴f ⎝⎛⎭⎫23＝2－1＝1，∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫23＝f (1)＝2. 由f (f (a ))＝1，可知当a ＜23时，f (f (a ))＝f (3a －1)＝3(3a －1)－1＝1，解得a ＝59；当a ≥1时，2a ＞1，f (f (a ))＝1，不成立； 当23≤a <1时，f (f (a ))＝f (3a －1)＝23a －1＝1， 解得a ＝13(舍去)．综上，a ＝59.答案：25915．若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则向量a 与b 的夹角为________．解析：∵(a －b )⊥(3a ＋2b )， ∴(a －b )·(3a ＋2b )＝0， 即3a 2－2b 2－a ·b ＝0， 即a ·b ＝3a 2－2b 2＝23b 2，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝23b 2223|b |2＝22，即〈a ，b 〉＝π4.答案：π416．若正实数m ，n 满足2m ＋n ＋6＝mn ，则mn 的最小值是________． 解析：由正实数m ，n 满足2m ＋n ＋6＝mn 可得， 22mn ＋6≤2m ＋n ＋6＝mn ， 即22mn ＋6≤mn ，令2mn ＝t ，则不等式可化为2t ＋6≤t 22，即t 2－4t －12≥0，解得t ≤－2(舍去)或t ≥6.即2mn ≥6，mn ≥18，∴mn 的最小值是18. 答案：1817．当1≤x ≤3时，|3a ＋2b |－|a －2b |≤|a |·⎝⎛⎭⎫x ＋m x ＋1对任意实数a ，b 都成立，则实数m 的取值范围是________．解析：当a ＝0时，不等式显然成立； 当a ≠0时，⎪⎪⎪⎪3＋2b a －⎪⎪⎪⎪1－2b a ≤x ＋mx＋1， 而⎪⎪⎪⎪3＋2b a －⎪⎪⎪⎪1－2b a ≤⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫3＋2b a ＋⎝⎛⎭⎫1－2b a ＝4，∴x ＋mx＋1≥4，即m ≥3x －x 2.当1≤x ≤3时，3x －x 2≤3×32－94＝94，∴m ≥94.答案：⎣⎡⎭⎫94，＋∞“10＋7”小题提速保分练(二)一、选择题1．已知集合A ＝{x |0<x <5}，B ＝{x |x 2－2x －8<0}，则A ∩B ＝( ) A ．(－2,4) B ．(4,5) C ．(－2,5)D ．(0,4)解析：选D 由已知得B ＝{x |－2<x <4}，又A ＝{x |0<x <5}，所以A ∩B ＝(0,4)． 2．已知复数z 满足z (1＋i)＝2－i(i 为虚数单位)，则z 的虚部为( ) A ．－32iB ．32iC ．－32D ．32解析：选C 因为z ＝2－i 1＋i ＝(2－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－3i 2＝12－32i ，所以复数z 的虚部为－32.3．已知直线l ，m 与平面α，β，l ⊂α，m ⊂β，则下列命题中正确的是( ) A ．若l ∥m ，则α∥β B ．若l ⊥m ，则α⊥β C ．若l ⊥β，则α⊥βD ．若α⊥β，则m ⊥α解析：选C 对于选项A ，平面α和平面β还有可能相交，所以选项A 错误；对于选项B ，平面α和平面β还有可能相交或平行，所以选项B 错误；对于选项C ，因为l ⊂α，l ⊥β，所以α⊥β，所以选项C 正确；对于选项D ，直线m 还有可能和平面α平行，所以选项D 错误，故选C.4．使得⎝⎛⎭⎫3x ＋1x x n(n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7解析：选B ⎝⎛⎭⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式的通项为 T r ＋1＝3n －rC r n xn －rx32-r ＝3n －rC r n x25-n r ，令n －52r ＝0，得n ＝52r ，又n ∈N *，∴当r ＝2时，n 的值最小，即n min ＝5.5．记S n 为数列{a n }的前n 项和．“对于任意正整数n ，均有a n >0”是“{S n }为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵“a n ＞0”⇒“数列{S n }是递增数列”， ∴“a n ＞0”是“数列{S n }是递增数列”的充分条件．当数列{a n }为－1,0,1,2,3,4，…，显然数列{S n }是递增数列，但是a n 不一定大于零，还有可能小于等于零，∴“数列{S n }是递增数列”不能推出“a n ＞0”， ∴“a n ＞0”不是“数列{S n }为递增数列”的必要条件．∴“对于任意正整数n ，a n ＞0”是“数列{S n }为递增数列”的充分不必要条件． 6．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≥0，3x －4y ＋8≥0，2x －y －8≤0，则|x －y |的最大值为( )A ．0B ．2C ．4D ．8解析：选C 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，|x －y |＝2·|x －y |2＝2·|x －y |12＋(－1)2的几何意义为表示区域内的点到直线x －y ＝0的距离的2倍，由图可知点A (4,0)到直线x －y ＝0距离最大，所以|x －y |的最大值为2·|4－0|2＝4.7．某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有( )A ．8种B ．10种C ．12种D ．32种解析：选B 此人从A 到B ，路程最短的走法应走2纵3横，将纵用0表示，横用1表示，则一种走法就是2个0和3个1的一个排列，只需从5个位置中选2个排0，其余位置排1即可，故共有C 25＝10种．8．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点P (2,0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C ，若|BF |＝52，则S △BCF S △ACF＝( )A.56 B ．1430C.1516D ．1522解析：选D 如图，抛物线的准线方程为l ：x ＝－1， 分别过A ，B 作准线l 的垂线AM ，BN ， 则|BN |＝|BF |＝52，∴点B 的横坐标为32，不妨设B ⎝⎛⎭⎫32，－6，则直线AB 的方程为y ＝26x －46，联立方程组⎩⎨⎧y ＝26x －46，y 2＝4x .得6x 2－25x ＋24＝0，设点A 的横坐标为x 0，则x 0＋32＝256，解得x 0＝83.∴|AM |＝x 0＋1＝113，∴S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝|BN ||AM |＝1522. 9．已知a 为正常数，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋1，x ≥a ，x 2－3ax ＋2a 2＋1，x <a ，若存在θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，满足f (sin θ)＝f (cos θ)，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，1 B ．⎝⎛⎭⎫22，1C ．(1，2)D ．⎝⎛⎭⎫12，22解析：选D 设g (x )＝x 2－ax ＋1，则其关于直线x ＝a 对称的曲线为g (－x ＋2a )，g (－x ＋2a )＝(－x ＋2a )2－a (－x ＋2a )＋1＝x 2－3ax ＋2a 2＋1， 所以函数f (x )的图象关于直线x ＝a 对称，且在[a ，＋∞)上为增函数． 所以a ＝sin θ＋cos θ2＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. 因为θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. 所以a ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫12，22. 10．已知x ，y 均为非负实数，且x ＋y ≤1，则4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤23，4 B ．[1,4] C ．[2,4] D ．[2,9]解析：选A 设1－(x ＋y )2＝z ，则问题等价于x ＋y ＋2z ＝1，满足x ，y ，z ≥0，求4(x 2＋y 2＋z 2)的取值范围．设点A ⎝⎛⎭⎫0，0，12，B (1,0,0)，C (0，1,0)， 所以点P (x ，y ，z )可视为长方体的一个三角截面ABC 上的一个点，则|OP |2＝x 2＋y 2＋z 2，于是问题可以转化为先求|OP |的取值范围． 显然|OP |≤1，设点O 到平面ABC 的距离为h ， 则V O -ABC ＝V A -OBC ，所以13×12×2×32×h ＝13×12×1×1×12，解得h ＝66，所以66≤|OP |≤1， 所以|OP |2∈⎣⎡⎦⎤16，1，即4(x 2＋y 2＋z 2) ∈⎣⎡⎦⎤23，4. 故答案为A. 二、填空题 11．双曲线x 2－y 23＝1的离心率是__________，渐近线方程为____________． 解析：因为a ＝1，b ＝3，c ＝2，所以双曲线的离心率为e ＝c a ＝2，渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x .答案：2 y ＝±3x12．已知直线l ：mx －y ＝1，若直线l 与直线x －my －1＝0平行，则m 的值为________；动直线l 被圆x 2＋2x ＋y 2－24＝0截得弦长的最小值为____________．解析：由题意得m ＝1m ，解得m ＝±1.当m ＝1时，两直线重合，所以m ＝1舍去， 故m ＝－1.因为圆的方程为x 2＋2x ＋y 2－24＝0， 所以(x ＋1)2＋y 2＝25，所以它表示圆心为C (－1,0)，半径为5的圆． 由于直线l ：mx －y －1＝0过定点P (0，－1)， 所以过点P 且与PC 垂直的弦的弦长最短．且最短弦长为252－(2)2＝223. 答案：－1 22313．已知随机变量X 的分布列如下表：X a 2 3 4 P13b1614若E (X )＝2，则a ＝解析：因为13＋b ＋16＋14＝1，所以b ＝14，所以E (X )＝a ×13＋2×14＋3×16＋4×14＝2，解得a ＝0.所以D (X )＝(0－2)2×13＋(2－2)2×14＋(3－2)2×16＋(4－2)2×14＝52.答案：05214．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形，侧视图为直角三角形，则该三棱锥的表面积为________，该三棱锥的外接球体积为________．解析：由三视图可得几何体的直观图为如图所示的三棱锥P -ABC ， 所以该三棱锥的表面积S ＝2×12×2×2＋12×23×5＋12×23×1＝4＋15＋ 3.设△ABC 的外接圆半径为r ，三棱锥的外接球半径为R ，则2r ＝23sin 120°＝4，所以r ＝2，所以R ＝r 2＋⎝⎛⎭⎫PA 22＝5，所以该三棱锥的外接球体积V ＝43×π×(5)3＝2053π.答案：4＋15＋32053π 15．已知数列{a n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n n 均为等差数列(n ∈N *)，且a 1＝2，则a 1＋⎝⎛⎭⎫a 222＋⎝⎛⎭⎫a 333＋…＋ ⎝⎛⎭⎫a n n n ＝________. 解析：设a n ＝2＋(n －1)d ，所以a 2nn ＝[2＋(n －1)d ]2n ＝d 2n 2＋(4d －2d 2)n ＋(d －2)2n.由于⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n n 为等差数列，所以其通项是一个关于n 的一次函数， 所以(d －2)2＝0，∴d ＝2.所以a n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，∴a n n ＝2nn＝2.所以a 1＋⎝⎛⎭⎫a 222＋⎝⎛⎭⎫a 333＋…＋⎝⎛⎭⎫a n n n ＝21＋22＋…＋2n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.答案：2n ＋1－216．已知实数a ，b ，c 满足：a ＋b ＋c ＝－2，abc ＝－4.则|a |＋|b |＋|c |的最小值为________． 解析：不妨设a 是a ，b ，c 中的最小者，即a ≤b ，a ≤c . 由题设知a <0，且b ＋c ＝－2－a ，bc ＝－4a .于是b ，c 是一元二次方程x 2＋(2＋a )x －4a ＝0的两实根，Δ＝(2＋a )2＋4×4a ≥0，a 3＋4a 2＋4a ＋16≤0， 所以(a 2＋4)(a ＋4)≤0，所以a ≤－4.因为abc <0，所以a ，b ，c 为全小于0或一负二正．①若a ，b ，c 为全小于0，则a ＋b ＋c <a ≤－4，这与a ＋b ＋c ＝－2矛盾． ②若a ，b ，c 为一负二正，设a <0，b >0，c >0， 则|a |＋|b |＋|c |＝－a ＋b ＋c ＝－2a －2≥8－2＝6，当a ＝－4，b ＝c ＝1时，满足题设条件且使得不等式等号成立． 故|a |＋|b |＋|c |的最小值为6. 答案：617.已知棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为侧面BB 1C 1C 中心，F 在棱AD 上运动，正方体表面上有一点P 满足D 1P ―→＝xD 1F ―→＋yD 1E ―→(x ≥0，y ≥0)，则所有满足条件的P 点构成图形的面积为________．解析：∵D 1P ―→＝xD 1F ―→＋yD 1E ―→(x ≥0，y ≥0)， ∴D 1，E ，F ，P 四点共面．设D 1，E ，F ，P 四点确定的平面为α， 则α与平面BCC 1B 1的交线与D 1F 平行．①当F 与D 重合时，取BC 的中点M ，连接EM ，DM ， 则EM ∥D 1F ，此时P 的轨迹为折线D 1-D -M -E . ②当F 与A 重合时，EB ∥D 1F ， 此时P 的轨迹为折线D 1-A -B -E .∴当F 在棱AD 上运动时，符合条件的P 点在正方体表面围成的图形为Rt △D 1AD ，直角梯形ABMD ，Rt △BME .∴S ＝12×1×1＋12×⎝⎛⎭⎫12＋1×1＋12×12×12＝118. 答案：118“10＋7”小题提速保分练(三)一、选择题1．定义集合A ＝{x |f (x )＝2x －1}，B ＝{y |y ＝log 2(2x ＋2)}，则A ∩∁R B ＝( ) A ．(1，＋∞) B ．[0,1] C ．[0,1)D ．[0,2)解析：选B 由2x －1≥0得x ≥0，即A ＝[0，＋∞)．因为2x >0，所以2x ＋2>2，所以log 2(2x ＋2)>1，即B ＝(1，＋∞)， 所以A ∩∁R B ＝[0,1]，故选B.2．△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则“a 2＋b 2<c 2”是“△ABC 为钝角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选A a 2＋b 2<c 2⇒C 为钝角⇒△ABC 为钝角三角形；若△ABC 为钝角三角形，则当A 为钝角时，有b 2＋c 2<a 2，不能推出a 2＋b 2<c 2，故选A.3．已知复数2－b i1＋2i 的实部与虚部互为相反数，则实数b 等于( )A ．2B ．23C ．－2D ．－23解析：D2－b i 1＋2i ＝(2－b i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝2－4i －b i －2b 5＝2－2b 5－4＋b 5i ，由题设可得2－2b5＋⎝⎛⎭⎫－4＋b 5＝0，解得b ＝－23，故选D.4．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列命题不正确的是( )A ．平面ACB 1∥平面A 1C 1D ，且两平面间的距离为33B ．点P 在线段AB 上运动，则四面体P -A 1B 1C 1的体积不变 C ．与12条棱都相切的球的体积为23π D ．M 是正方体的内切球的球面上任意一点，N 是△AB 1C 外接圆的圆周上任意一点，则|MN |的最小值是3－22解析：选D 平面ACB 1与平面A 1C 1D 都垂直于BD 1，且将BD 1三等分，故A 正确；由于AB ∥平面A 1B 1C 1D 1，所以动点P 到平面A 1B 1C 1D 1的距离是定值，所以四面体P -A 1B 1C 1的体积不变，故B 正确；与12条棱都相切的球即为以正方体的中心为球心，22为半径的球，所以体积为23π，故C 正确；对于选项D ，设内切球的球心为O ，则|MN |≥||OM |－|ON ||＝32－12，当且仅当O ，M ，N 三点共线时取“＝”，而32－12>32－22，故D 错误． 5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，x ∈[0，π]，|cos x |，x ∈(π，2π]，若函数g (x )＝f (x )－m 在[0,2π]内恰有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．[1,2]C ．(0,1]D ．(1,2)解析：选A 函数g (x )＝f (x )－m 在[0,2π]内有4个不同的零点，即曲线y ＝f (x )与直线y ＝m 在[0,2π]上有4个不同的交点，画出图象如图所示，结合图象可得0<m <1.6．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，过点P 向x 轴作垂线，垂足为H ，若|PH |＝a ，则双曲线的离心率为( )A ．52B ．32C ．5＋12D ．6＋12解析：选C 由题意可得点P 的坐标为(b ，a )， 又点P 在双曲线上，故有b 2a 2－a 2b 2＝1，即b 2a 2＝c 2b 2，所以b 2＝ac ，即c 2－ac －a 2＝0，所以e 2－e －1＝0，解得e ＝5＋12(负值舍去)． 7．已知3tan α2＋tan 2α2＝1，sin β＝3sin(2α＋β)，则tan(α＋β)＝( )A.43 B ．－43C ．－23D ．－3 解析：选B 由3tan α2＋tan 2α2＝1，得tan α21－tan 2α2＝13， 所以tan α＝23.①由sin β＝3sin(2α＋β)，得sin [(α＋β)－α]＝3sin [(α＋β)＋α]，展开并整理得，2sin(α＋β)cos α＝－4cos(α＋β)sin α， 所以tan(α＋β)＝－2tan α，②由①②得tan(α＋β)＝－43.8．已知x ，y ∈R ，则(x ＋y )2＋⎝⎛⎭⎫x －2y 2的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．1 解析：选C 构造函数y 1＝x ，y 2＝－2x ，则(x ，x )与⎝⎛⎭⎫－y ，2y 两点分别在两个函数图象上，故所求可看作(x ，x )与⎝⎛⎭⎫－y ，2y 两点之间距离的平方． 令⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y ＝－2x⇒x 2＋mx ＋2＝0⇒Δ＝m 2－8＝0⇒m ＝±22， 所以y ＝x ±22是与y 1＝x 平行的y 2＝－2x 的切线，故两平行直线的最小距离为d ＝2，所以(x ＋y )2＋⎝⎛⎭⎫x －2y 2的最小值为4. 9．若x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，y ∈⎝⎛⎭⎫0，π2且sin 2x ＝6 tan(x －y )cos 2x ，则x ＋y 的取值不可能是( ) A.π6 B ．π4C.2π3D ．3π4解析：选C 由题意知，tan 2x ＝6tan(x －y )， 则tan(x ＋y )＝tan [2x －(x －y )] ＝tan 2x －tan (x －y )1＋tan 2x ·tan (x －y )＝5tan (x －y )1＋6tan 2(x －y ).令tan(x －y )＝t (t ≠0)，则tan(x ＋y )＝5t1＋6t 2. 令g (t )＝5t1＋6t 2(t ≠0)，则g ′(t )＝5－30t 2(1＋6t 2)2，由g ′(t )>0，得－66<t <0或0<t <66； 由g ′(t )<0，得t >66或t <－66， 所以g (t )在⎝⎛⎭⎫－∞，－66，⎝⎛⎭⎫66，＋∞上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－66，0，⎝⎛⎭⎫0，66上单调递增．结合函数图象可得g (t )＝tan(x ＋y )∈⎣⎡⎭⎫－526，0∪⎝⎛⎦⎤0，526，故选C.10．在平面α内，已知AB ⊥BC ，过直线AB ，BC 分别作平面β，γ，使锐二面角α -AB -β为π3，锐二面角α -BC -γ为π3，则平面β与平面γ所成的锐二面角的余弦值为( )A.14 B ．34C.12D ．34解析：选A cos θ＝cos 60°cos 60°＝14.二、填空题11.⎝⎛⎭⎫x －12x 6展开式中的常数项为________． 解析：⎝⎛⎭⎫x －12x 6展开式的通项公式T r ＋1＝ C r 6(x )6－r·⎝⎛⎭⎫－12x r ＝C r 6⎝⎛⎭⎫－12r x 6-3r2，令6－3r ＝0，得r ＝2， 所以常数项为T 3＝C 26⎝⎛⎭⎫－122＝154. 答案：15412．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是________，体积是________．解析：由三视图可得该几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱和两个半径为1的半球组成的，且球截面与圆柱的上、下底面完全重合，所以该几何体的表面积为2π×1×2＋4π×12＝8π，体积为43π×13＋π×12×2＝103π.答案：8π103π 13．若直线x ＝π6是函数f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象的一条对称轴，则函数f (x )的最小正周期是________；函数f (x )的最大值是________．解析：由题设可知f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π3， 即a ＝32＋a ·⎝⎛⎭⎫－12，解得a ＝33， 所以f (x )＝sin 2x ＋33cos 2x ＝23⎝⎛⎭⎫sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＝233sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 则函数f (x )的最小正周期T ＝π，f (x )max ＝233. 答案：π23314．已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n，则a 1a 2a 3·…·a 15＝________；设b n ＝(－1)n a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 2 018＝________.解析：因为a n ＋2＝1＋a n ＋11－a n ＋1＝1＋1＋a n 1－a n 1－1＋a n 1－a n＝2－2a n ＝－1a n，所以a n ＋2a n ＝－1，a n ＋4＝－1a n ＋2＝a n ， 即数列{a n }是周期为4的周期数列，易得a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，所以a 1a 2a 3·…·a 15＝(a 1a 2a 3a 4)3a 1a 2a 3＝3.S 2 018＝504(－a 1＋a 2－a 3＋a 4)－a 1＋a 2＝504×⎝⎛⎭⎫－2－3＋12＋13－2－3＝－2 105. 答案：3 －2 10515．已知整数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≥4，x －2y ＋8>0，则2x ＋y 的最大值是________，x 2＋y 2的最小值是________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示的整数点．作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当直线经过点A 时，取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋8＝0，x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝8.但x ，y 为整数，所以最大值取不到，再向左下方平移直线，当该直线经过点(7,7)时，2x ＋y 取得最大值，最大值为21.x 2＋y 2的最小值即为可行域中的点到原点最小距离的平方，即原点到直线x ＋y －4＝0距离的平方，所以x 2＋y 2的最小值是8.答案：21 816．已知|a |＝|b |＝1，向量c 满足|c －(a ＋b )|＝|a －b |，则|c |的最大值为________． 解析：法一：|c －(a ＋b )|＝|a －b |⇒⎪⎪⎪⎪c 2－(a ＋b )2＝⎪⎪⎪⎪a －b 2，其几何意义可以理解为，设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，取AB 中点为D ，所以c 2的终点C 在以D 为圆心，以⎪⎪⎪⎪a －b 2＝|AD |为半径的圆上运动，所以|c |的最大值就是2(|OD ―→|＋|AD ―→|)．又因为|OD ―→|2＋|AD ―→|2＝1，所以|OD ―→|＋|AD ―→|≤2， 当且仅当|OD ―→|＝|AD ―→|＝22，即a ⊥b 时取等号，所以|c |max ＝2 2.法二：因为|c |－|a ＋b |≤|c －(a ＋b )|＝|a －b |， 所以|c |≤|a －b |＋|a ＋b |≤ 2 |a －b |2＋|a ＋b |2＝ 22|a |2＋2|b |2≤22，当且仅当a ⊥b 时取等号，所以|c |max ＝2 2. 答案：2 217．已知函数f (x )＝x 2－x －4xx －1(x <0)，g (x )＝x 2＋bx －2(x >0)，b ∈R .若f (x )图象上存在A ，B 两个不同的点与g (x )图象上A ′，B ′两点关于y 轴对称，则b 的取值范围为________．解析：f (x )＝x 2－x －4xx －1(x <0)的图象关于y 轴对称的图象对应的函数的解析式为h (x )＝x 2＋x －4xx ＋1(x >0)，所以f (x )图象上存在A ，B 两个不同的点与g (x )图象上A ′，B ′两点关于y 轴对称，当且仅当方程x 2＋x －4xx ＋1＝x 2＋bx －2有两个不同的正根，即(1－b )x 2－(b＋1)x ＋2＝0有两个不同的正根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝[－(b ＋1)]2－8(1－b )>0，1－b >0，1＋b >0，解得－5＋42<b <1. 答案：(－5＋42，1)“10＋7”小题提速保分练(四)一、选择题1．已知集合A ＝{x |y ＝－x 2＋x ＋2，x ∈R }，B ＝{x |ln x <1，x ∈R }，则A ∩B ＝( ) A ．[－1,2] B ．(0,2] C ．[1,2]D ．[1，e]解析：选B 由－x 2＋x ＋2≥0，得－1≤x ≤2， 所以A ＝[－1,2]．由ln x <1，得0<x <e ，所以B ＝(0，e)． 所以A ∩B ＝(0,2]．2．“cos 2α＝12”是“α＝k π＋π6(k ∈Z )”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由cos 2α＝12，可得2α＝π3＋2k π或2α＝－π3＋2k π，k ∈Z ，即α＝π6＋k π或α＝－π6＋k π，k ∈Z ，所以cos 2α＝12是α＝π6＋k π，k ∈Z 成立的必要不充分条件，故选B.3．复数z ＝2＋ii 5－1在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 由题意可得z ＝2＋i i 5－1＝2＋i i －1＝(2＋i )(－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝－1－3i 2＝－12－32i ，对应点为⎝⎛⎭⎫－12，－32，所以复数z 在复平面内对应的点在第三象限，选C. 4．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.83 B ．8 C.203D ．6解析：选A 如图所示，在棱长为2的正方体中，题中的三视图对应的几何体为四棱锥P -ADC 1B 1，其中P 为棱A 1D 1的中点，则该几何体的体积V P -ADC 1B 1＝2V P -DB 1C 1＝2V D -PB 1C 1＝2×13×S △PB 1C 1×DD 1＝83.5．设随机变量ξ～B (2，p )，η～B (3，p )，若P (ξ≥1)＝59，则P (η≥2)的值为( )A.2027 B ．827 C.727D ．127解析：选C ∵变量ξ～B (2，p )，且P (ξ≥1)＝59，∴P (ξ≥1)＝1－P (ξ<1)＝1－C 02p 0(1－p )2＝59，∴p ＝13，∴P (η≥2)＝1－P (η＝0)－P (η＝1)＝1－C 03×⎝⎛⎭⎫130×⎝⎛⎭⎫233－C 13×⎝⎛⎭⎫131×⎝⎛⎭⎫232＝1－827－1227＝727，故选C.6．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m＝( )A ．7B ．5C ．4D ．1解析：选B 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线x －y ＝0，平移该直线，当直线经过点A 时，z ＝x －y 取得最小值．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝－x ＋m 可得交点坐标为A ⎝⎛⎭⎫m ＋13，2m －13， 所以m ＋13－2m －13＝－1，解得m ＝5.7．若二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋13x n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为( )A ．7B ．5C ．4D ．3解析：选A 若二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋13x n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则n＝20，⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋13x 20展开式的通项公式T r ＋1＝C r 20(3x )20－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x r ＝(3)20－r ·C r20x 420-3r， 展开式的有理项满足20－43r ＝k (k ∈Z )，则r MOD3＝0(0≤r ≤20，r ∈Z )，所以r 可能的取值为0,3,6,9,12,15,18，共有7个，故选A.8．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆交渐近线y ＝ba x 于点P (P 在第一象限)，PF 1交双曲线左支于Q ，若Q 是线段PF 1的中点，则该双曲线的离心率为( )A. 3 B ． 5 C.5＋1D ．5－1解析：选C 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2，y ＝b ax ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b ，所以点P 的坐标为(a ，b )，又双曲线的左焦点坐标为F 1(－c,0)， 则PF 1的中点坐标Q ⎝⎛⎭⎫a －c 2，b 2.因为点Q 在双曲线上，所以(a －c )24a 2－b 24b 2＝1，整理可得c 2－2ac －4a 2＝0，即e 2－2e －4＝0， 解得e ＝5＋1(负值舍去)．9．设函数f (x )＝min{|x －2|，x 2，|x ＋2|}，其中min{x ，y ，z }表示x ，y ，z 中的最小者．下列说法错误的是( )A ．函数f (x )为偶函数B ．若x ∈[1，＋∞)时，有f (x －2)≤f (x )C ．若x ∈R 时，f (f (x ))≤f (x )D ．若x ∈[－4,4]时，|f (x )－2|≥f (x )解析：选D 结合新定义的运算作出函数f (x )的图象如图1中实线部分所示，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋2|，x <－1，x 2，－1≤x ≤1，|x －2|，x >1.观察函数图象可知函数图象关于y 轴对称，则函数f (x )为偶函数，选项A 的说法正确；对于选项B ，若x ∈[1,3]，则x －2∈[－1,1]，此时f (x －2)＝(x －2)2，若x ∈(3，＋∞)，则x －2∈(1，＋∞)，此时f (x －2)＝|(x －2)－2|＝|x －4|， 如图2所示，观察可得，恒有f (x －2)≤f (x )，选项B 的说法正确；对于选项C ，由于函数为偶函数，故只需考查x ≥0时不等式是否成立即可， 若x ∈[0,1]，则f (x )∈[0,1]，此时f (f (x ))＝f (x 2)＝x 4， 若x ∈(1,3)，则f (x )∈[0,1]，此时f (f (x ))＝f (|x －2|)＝(x －2)2，若x ∈[3，＋∞)，则f (x )≥1，此时f (f (x ))＝f (|x －2|)＝|x －4|，如图3所示，观察可得，恒有f (f (x ))≤f (x )，选项C 的说法正确；对于选项D ，若x ＝－4，则f (x )＝f (－4)＝2，|f (x )－2|＝|2－2|＝0， 不满足|f (x )－2|≥f (x )，选项D 的说法错误．本题选择D 选项．10．已知点P 为棱长是2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的内切球O 球面上的动点，点M 为B 1C 1的中点，若满足DP ⊥BM ，则B 1P 与平面CDP 所成角的正切值的最小值是( )A.16 B ．55 C.14－25D ．147解析：选C 如图所示，取E ，F 分别为棱AA 1，BB 1的中点， 易知BM ⊥平面CDEF ， 则点P 在平面CDEF 内． 又点P 在内切球O 球面上，则点P 为球O 球面与平面CDEF 的交线所成的圆O 1上．作B 1H ⊥平面CDEF 于点H ，点P 为圆O 1上的点，则∠HPB 1为B 1P 与平面CDP 所成角，tan ∠HPB 1＝HB 1HP，其中HB 1为定值， 则满足题意时，HP 有最大值即可． 设圆O 1的半径为r ，则HP max ＝HO 1＋r ，由V B 1-CDF ＝V D -B 1FC ，即13×⎝⎛⎭⎫12×2×5×B 1H ＝13×⎝⎛⎭⎫12×2×1×2，解得B 1H ＝25. 因为OO 1为△B 1HD 的中位线， 所以OO 1＝12B 1H ＝15.在Rt △POO 1中，由勾股定理可得r ＝O 1P ＝OP 2－OO 21＝ 12－15＝25，在Rt △B 1HD 中，由勾股定理可得HD ＝B 1D 2－HB 21＝12－45＝2145，所以HO 1＝12HD ＝145，则HP max ＝HO 1＋r ＝145＋25， 综上可得，B 1P 与平面CDP 所成角的正切值的最小值是HB 1HP max ＝25145＋25＝14－25.二、填空题11．设直线l 1：(a ＋1)x ＋3y ＋2－a ＝0，直线l 2：2x ＋(a ＋2)y ＋1＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________，若l 1∥l 2，则实数a 的值为________．解析：若l 1⊥l 2，则2(a ＋1)＋3(a ＋2)＝0， 整理可得5a ＋8＝0， 解得a ＝－85.因为a ＝－2时，l 1与l 2不平行．若l 1∥l 2，则a ＋12＝3a ＋2 ≠2－a 1，解得a ＝－4.答案：－85－412．已知函数f (x )＝cos 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，则 f ⎝⎛⎭⎫π6＝________，该函数的最小正周期为________.解析：由题意可得f (x )＝1＋cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π32＝12cos 2x ＋12⎝⎛⎭⎫cos 2x cos π3－sin 2x sin π3 ＝34cos 2x －34sin 2x ＝32⎝⎛⎭⎫cos 2x cos π6－sin 2x sin π6＝32cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝32cos π2＝0， 函数的最小正周期为T ＝2π2＝π.答案：0 π13．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋r ，则a 3－r ＝________，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n (n ＋4)⎝⎛⎭⎫23n 的最大项是第k 项，则k ＝_______.解析：等比数列前n 项和公式具有特征S n ＝aq r －a ， 据此可知r ＝－1，则S n ＝3n －1， 所以a 3＝S 3－S 2＝(33－1)－(32－1)＝18， 故a 3－r ＝19.令a n ＝n (n ＋4)⎝⎛⎭⎫23n，则a n ＋1a n ＝23·n 2＋6n ＋5n 2＋4n . 由a n ＋1a n ＝23·n 2＋6n ＋5n 2＋4n >1，可得n 2<10，由a n ＋1a n＝23·n 2＋6n ＋5n 2＋4n <1，可得n 2>10，所以数列中的项满足a 1<a 2<a 3<a 4， 且a 4>a 5>a 6>a 7>a 8>…，则k ＝4. 答案：19 414. 在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若甲同学物理、化学至少选一门，则甲的不同的选法种数为________，乙、丙两名同学都不选物理的概率是________．解析：由题意可知，甲的不同的选法种数为总的选法除去甲不选择物理、化学的选法，即C 37－C 35＝35－10＝25.乙不选择物理的概率为P ＝C 36C 37＝2035＝47，则乙、丙两名同学都不选物理的概率P ＝⎝⎛⎭⎫472＝1649. 答案：25164915．已知△ABC 的外接圆圆心为O ，且∠A ＝60°，若AO ―→＝αAB ―→＋βAC ―→(α，β∈R )，则α＋β的最大值为__________．解析：设△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 因为AO ―→＝αAB ―→＋βAC ―→，所以AB ―→·AO ―→＝α|AB ―→|2＋βAB ―→·AC ―→， AC ―→·AO ―→＝αAB ―→·AC ―→＋β|AC ―→|2， 所以12c 2＝c 2α＋12bcβ，12b 2＝12bcα＋b 2β，解得 ⎩⎨⎧α＝23－b 3c，β＝23－c3b ，所以α＋β＝43－13⎝⎛⎭⎫b c ＋c b ≤43－23b c ·c b ＝23. 所以α＋β的最大值为23.答案：2316．若实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝1，x 2＋4y 2＋9z 2＝1，则z 的最小值是________． 解析：由x ＋2y ＋3z ＝1，得x ＝1－2y －3z ， 所以(1－2y －3z )2＋4y 2＋9z 2＝1， 整理可得4y 2＋(6z －2)y ＋(9z 2－3z )＝0，满足题意时上述关于y 的一元二次方程有实数根， 则Δ＝(6z －2)2－16(9z 2－3z )≥0，解得－19≤z ≤13，所以z 的最小值是－19.答案：－1917．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪1x －1－a －4x ＋a ＋1有两个零点，则实数a 的值是________．解析：函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪1x －1－a －4x ＋a ＋1有两个零点， 即⎪⎪⎪⎪1x －1－a ＝4x －a －1有两个不等实根，即1x －1－a ＝4x －a －1≥0 ① 或1x －1－a ＝－4x ＋a ＋1≤0， ②由①可得1x －1－4x ＋1＝0，解得x ＝0或54，当x ＝0时，a ≤－1；当x ＝54时，a ≤4，当a ＝4时，由①可得x ＝54；由②可得x ＝2，符合题意； 当－1<a <4时，由①可得x ＝54；由②可得4x 2－(5＋2a )x ＋2a ＋2＝0有两个相等的实根， 即Δ＝(5＋2a )2－4×4(2a ＋2)＝0， 解得a ＝－12或a ＝72，符合题意．当a ≤－1时，由①可得x ＝0或x ＝54.由②可得x ＝5＋2a ＋4a 2－12a －78，故f (x )有三个零点，不符合题意，舍去． 综上，a ＝－12或a ＝72或a ＝4.答案：－12或72或4“10＋7”小题提速保分练(五)一、选择题1．已知i是虚数单位，则2i1－i＝()A．1＋i B．－1＋i C．1－i D．－1－i解析：选B2i1－i＝2i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝－1＋i.2．已知集合M＝{x|x2＋x－12≤0}，N＝{y|y＝3x，x≤1}，则集合{x|x∈M且x∉N}为() A．(0,3] B．[－4,3]C．[－4,0) D．[－4,0]解析：选D易得M＝[－4,3]，N＝(0,3]，则{x|x∈M且x∉N}＝[－4,0]，故选D.3．若α，β，γ为不同的平面，a，b，c为三条不同的直线，则下列命题正确的是() A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若a∥β，a∥b，则b∥βC．若a∥α，b∥α，c⊥a，c⊥b，则c⊥αD．若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b解析：选Dα⊥γ，β⊥γ⇒α∥β或α与β相交，故A不正确；若a∥β，a∥b，则b与β可能有两种位置关系：b⊂β或b∥β，故B不正确；当a，b，c共面时，满足a∥α，b∥α，c⊥a，c⊥b，则c∥α，故C不正确．故选D.4．如图所示，某多面体的正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()A．2 2 B．10C．2 3 D．13解析：选C由三视图可知该多面体的直观图为如图所示的四棱锥P-ABCD，补形成正方体，由图可知最长棱PD的长度为2 3.5．若(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则a0＋a1＋a3＋a5＝()A．122 B．123C．243 D．244解析：选B记f(x)＝(1＋2x)5，则a0＝f(0)＝1, 又f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋a5＝35，f(－1)＝a0－a1＋a2－…－a5＝(－1)5＝－1，两式相减得a1＋a3＋a5＝122，所以a 0＋a 1＋a 3＋a 5＝123，故选B.6．设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( ) A ．若d <0，则数列{S n }有最大项 B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列 解析：选C 由于S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n 是关于n 的二次函数，定义域为N *，所以当d <0时，S n 有最大值，反之也成立，故A 、B 正确；由于S n ＋1>S n ⇔a n ＋1>0，即若数列{S n }是递增数列，则a n >0(n ≥2)，并不能说明a 1>0也成立，如数列－1,1，3,5，…，所以C 不正确；对于D ，显然a 1＝S 1>0，若公差d <0，由S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n 可知，存在n ∈N *，有S n <0，与对任意n ∈N *，均有S n >0矛盾，所以d ≥0，从而a n >0(n ∈N *)，所以数列{S n }是递增数列，故D 正确．7．已知O 为三角形ABC 内一点，且满足OA ―→＋λOB ―→＋(λ－1)OC ―→＝0，若△OAB 的面积与△OAC 的面积的比值为13，则λ的值为( )A.32 B ．2 C.13D ．12解析：选A 如图，设BC 的中点为E ，连接OE ，直线AO 与BC 相交于点F ，由OA ―→＋λOB ―→＋(λ－1)OC ―→＝0，可知(OA ―→－OC ―→)＋λ(OB ―→＋OC ―→)＝0，CA ―→＝－2λOE ―→，则CA ―→∥OE ―→，因为△OAB 的面积与△OAC的面积的比值为13，所以BC ＝4BF ，又BC ＝2BE ，所以BE ＝2BF ，从而CF ＝3EF ，AC ―→＝3OE ―→，所以2λ＝3，λ＝32.8．已知0<x <y,2<x 2＋y <52，则下列不正确的是( )A ．sin x 2<sin ⎝⎛⎭⎫52－y B ．sin x 2>sin(2－y ) C ．sin(2－x 2)<sin yD ．sin x 2<cos(y －1)解析：选C 易得x 2＋x <x 2＋y <52，所以0<x <11－12<1.2， 又可得2<x 2＋y <y 2＋y ，所以y >1， 又y <52，所以1<y <52.由x 2＋y <52，得0<x 2<52－y <32<π2，所以sin x 2<sin ⎝⎛⎭⎫52－y ，故A 正确； 由2<x 2＋y ，得π2>1.44>x 2>2－y >－12>－π2，所以sin x 2>sin(2－y )，故B 正确； 对于C ，取2－x 2＝π2，则π2<y <1＋π2，sin(2－x 2)<sin y ，显然不成立，所以C 不正确； 由x 2＋y <52，得0<x 2<52－y <π2＋1－y <π2，所以sin x 2<sin ⎝⎛⎭⎫π2＋1－y ＝cos(y －1)，故D 正确．9．甲、乙两人玩一种游戏，甲、乙两人分别在两张纸片上各写一个数字，分别记为a ，b ，其中a ，b 必须是集合{1,2,3,4,5,6}中的元素，如果a ，b 满足|a －b |≤1，我们就称两人是“友好对”，现在任意找两人玩这种游戏，则他们是“友好对”的概率为( )A.718 B ．29C.518D ．49解析：选D 这是一个古典概型，共有36个基本事件，“友好对”的结果有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16个，所以所求概率为1636＝49.10．过点P (－3,0)作直线(a ＋2b )x －(a ＋b )y －3a －4b ＝0(a ，b 不同时为零)的垂线，垂足为M ，已知点N (2,3)，则|MN |的取值范围是( )A ．(5－5，5＋5)B ．[5－5，5＋5)C ．[5＋5，＋∞)D ．[5－5，5＋ 5 ]解析：选D 由直线(a ＋2b )x －(a ＋b )y －3a －4b ＝0(a ，b 不同时为零)化为a (x －y －3)＋b (2x －y －4)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x －y －3＝0，2x －y －4＝0，解得x ＝1，y ＝－2， ∴直线经过定点Q (1，－2)．∵△P Q M 为直角三角形，斜边为P Q ， ∴点M 在以P Q 为直径的圆上运动， 可得圆心为(－1，－1)，半径为12|P Q |＝5，则|MN |max ＝(2＋1)2＋(3＋1)2＋5＝5＋5； |MN |min ＝5－5，∴|MN |的取值范围是[5－5，5＋ 5 ]． 二、填空题11．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋23y －5＝0，则圆心C 的坐标为________；此圆中过原点的弦最短时，该弦所在的直线方程为________．解析：圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9，所以圆心为C (－1，－3)，半径r ＝3，圆中过原点最短的弦所在的直线即为过原点且与CO (O 为原点)垂直的直线，因为k CO ＝0＋30＋1＝3，所以该直线方程为y ＝－33x .答案：(－1，－3) y ＝－33x 12．已知单调递减的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项，则公比q ＝________，通项公式为a n ＝________.解析：由题设可知2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，又a 2＋a 3＋a 4＝28，所以a 3＝8，a 3q ＋a 3＋a 3q ＝28，所以8q ＋8＋8q ＝28，解得q ＝2或q ＝12.因为{a n }单调递减，且a 3>0，所以q ＝12，从而a n ＝a 3q n －3＝8·⎝⎛⎭⎫12n －3＝26－n . 答案：1226－n13．已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x －12，x ∈R ，则函数f (x )的最小值为________，函数f (x )的递增区间为________．解析：f (x )＝3sin x cos x －cos 2x －12＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1， 当2x －π6＝3π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝5π6＋k π，k ∈Z 时，f (x )取得最小值，为－2.由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z . 答案：－2 ⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z 14．将9个相同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子中至少有1个小球，共有________种不同的方法．若要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒子中的小球个数都不相同，则共有________种不同的方法．解析：每个盒子非空，则共有C 28＝28种方法；。
【高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：10-9(含答案)
10．一台设备由三大部件组成，在设备运转中，各部件需要调整的概率相应 为 0.10，0.20 和 0.30.假设各部件的状态相互独立，以 ξ表示同时需要调整的部件 数，试求 ξ的数学期望 Eξ和方差 Dξ.
由①②解得 a＝0.3，b＝0.5，
∴ a× b＝ 0.3× 0.5＝ 0.15. 答案 C
3．已知离散型随机变量 ξ，η，满足 ξ＋η＝8，且 ξ～B(10,0.6)，则 Eη，Dη分 别是 ( )
A ． 6、 2.4
B ． 2、 2.4
C． 2、 5.6
D ． 6、 5.6
解析 由均值、方差的性质， ξ＋η＝8，得 η＝ 8－ ξ，
(1)求乙、丙各自闯关成功的概率；
(2)设团体总分为 ξ，求随机变量 ξ的分布列和数学期望．
解析 (1)设乙闯关成功的概率为 P1，丙闯关成功的概率为 P2，则由题意得
1 3P1
＝16，
P1·P2＝15.
解得 P1＝12，P2＝25.
即乙闯关成功的概率为
12，丙闯关成功的概率为
2 5.
(2)由题意知，ξ的可能取值为
4 ＝5，P(A2)＝p，P(A3)＝q.
(1)由于事件 “该生至少有 1 门课程取得优秀成绩 ”，与事件“ ξ＝ 0”是对立的， 6 119
所以该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率是 1－ P(ξ＝ 0)＝1－ 125＝125.
(2)由题意知 P(ξ＝ 0)＝P( A 1 A 2 A 3)
2021-2023北京高考真题数学汇编：压轴选择(第10题)
证明：当 n = 1 时， a1 − 6 =−3 ≤ −3 ，此时不等关系 an ≤ 3 成立；
设当 n = k 时， ak − 6 ≤ −3 成立，
则
ak +1
−
6
=
1 4
( ak
−
6)3
∈
−54, −
27 4
，故
ak +1
−
6
≤
−3
成立，
由数学归纳法可得 an ≤ 3 成立.
而 an+1 − a=n
2021-2023 北京高考真题数学汇编
压轴选择（第 10 题）
一、单选题
1．（2023·北京·统考高考真题）已知数列{an} 满足 an+1=
1 4
(
an
−
6)3
+
6(n=
1, 2,3,) ，则（
）
A．当 a1 = 3时，{an} 为递减数列，且存在常数 M ≤ 0 ，使得 an > M 恒成立
B．当 a1 = 5 时，{an} 为递增数列，且存在常数 M ≤ 6 ，使得 an < M 恒成立
1 4
x3
−
9 2
x2
+
26x
−
47 (
x
≤
3)
，判断得
an+1
<
an
−1，
进而取 m = −[M ] + 4 推得 an > M 不恒成立；对于 B，证明 an 所在区间同时证得后续结论；对于 C，记
m0
log3
2 log1
(M
− 6)
+ 1
，取=m
[m0 ] +1推得 an > M 不恒成立；对于 D，构造
2018届高三复习数学(文)(人教版)高考大题专攻练：(十)含解析
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高考大题专攻练10.解析几何(B组)大题集训练,练就慧眼和规范,占领高考制胜点!1.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,其右焦点为F(1,0).(1)求椭圆E的方程.(2)若P,Q,M,N四点都在椭圆E上,已知与共线,与共线,且·=0,求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.【解析】(1)由椭圆的离心率公式可知:e==,由c=1,则a=,b2=a2-c2=1,故椭圆方程为+y2=1.(2)由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦,相交于焦点F(1,0),且PQ⊥MN,设直线PQ的斜率为k(k≠0),P(x1,y1),Q(x1,y1),则PQ的方程为y=k(x-1),联立整理得:(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,x1+x2=,x1x2=,则|PQ|=·,于是|PQ|=,同理:|MN|==.则S=|PQ||MN|=,令t=k2+,t≥2,S=|PQ||MN|==2,当k=〒1时,t=2,S=,且S是以t为自变量的增函数,当k=〒1时,四边形PMQN的面积取最小值.当直线PQ的斜率为0或不存在时,四边形PMQN的面积为2.综上:四边形PMQN的面积的最小值和最大值分别为和2.2.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆Ω:+=1(a>b>0)的离心率为,直线l:y=2上的点和椭圆Ω上的点的距离的最小值为 1. 世纪金榜导学号46854424(1)求椭圆Ω的方程.(2)已知椭圆Ω的上顶点为A,点B,C是Ω上的不同于A的两点,且点B,C关于原点对称,直线AB,AC分别交直线l于点E,F.记直线AC与AB的斜率分别为k1,k2.①求证:k1·k2为定值;②求△CEF的面积的最小值.[来源:学§科§网Z§X§X§K]【解题导引】(1)由题知b=1,由=,b=1联立求解即可得出.(2)①方法一:直线AC的方程为y=k1x+1,与椭圆方程联立可得坐标,即可得出.方法二:设B(x0,y0)(y0>0),则+=1,因为点B,C关于原点对称,则C(-x0,-y0),利用斜率计算公式即可得出.②直线AC的方程为y=k1x+1,直线AB的方程为y=k2x+1,不妨设k1>0,则k2<0,令y=2,得E,F,可得△CEF的面积S△CEF=|EF|(2-y c).【解析】(1)由题意知b=1,由=,所以a2=2,b2=1.故椭圆的方程为+y2=1.(2)①方法一:直线AC的方程为y=k1x+1,。
2021年高考数学三轮冲刺小题练习10《等比数列》学生版
2021年高考数学三轮冲刺小题练习10《等比数列》一、选择题1.已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11=－33，b 1＋b 6＋b 11=7π，则tan b 3＋b 91－a 4·a 8的值是( ) A.－ 3 B.－1 C.－33D. 3 2.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应偿还a 升，b 升，c 升，1斗为10升，则下列判断正确的是( )A.a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且a=507B.a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且c=507C.a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且a=507D.a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且c=5073.已知等比数列{a n }的公比q ＞1，其前n 项和为S n ，若S 4=2S 2＋1，则S 6的最小值为( )A.9B.3－2 3C.3＋2 3D.3＋ 64.设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30=230，则a 3·a 6·a 9·…·a 30=( B )A.210B.220C.216D.2155.定义n p 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”.若已知正项数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n ＋1，又b n =a n ＋14，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11=( ) A.111 B.112 C.1011 D.11126.已知正项等比数列{a n }满足a 3=1，a 5与32a 4的等差中项为12，则a 1的值为( ) A.4 B.2 C.12 D.14 7.等比数列{a n }的前n 项和S n =a •2n+1（n ∈N*），其中a 是常数，则a=（ ）A.﹣2B.﹣1C.1D.28. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )A.32fB.322fC.1225fD.1227f9.已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2=( )A.－4B.－6C.－8D.－1010.在数列{a n }中，已知a 1=3，且数列{a n ＋(－1)n }是公比为2的等比数列，对于任意的n ∈N *，不等式a 1＋a 2＋…＋a n ≥λa n ＋1恒成立，则实数λ的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，25B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，23 D.(－∞，1] 11.在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2=0的根，则a 2a 16a 9的值为( ) A.－2＋22B.－ 2C. 2D.－2或 2 12.已知数列{a n }满足a 1=1，a n ＋1·a n =2n (n ∈N *)，则S 2 018=( )A.22 018－1B.3×21 009－3C.3×21 009－1D.3×21 008－213.已知等差数列{a n }的公差为5，前n 项和为S n ，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 6=( )A.80B.85C.90D.9514.数列{a n }满足a 1=1，na n ＋1=(n ＋1)a n ＋n(n ＋1)，且b n =a n cos 2n π3，记S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 24=( )A.294B.174C.470D.304二、填空题15.设f(x)=4x 4x ＋2，若S=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0162 017，则S= . 16.已知数列{a n }中，a 1=－1，a n ＋1=2a n ＋3n －1(n ∈N *)，则其前n 项和S n =________.17.各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，且a 1=1，a 2=3，则数列{a n }的通项公式为 a n = .18.已知等比数列{a n }的公比不为－1，设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S 12=7S 4，则S 8S 4= . 19.已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a n =2·3n －1(n ∈N *)，若b n =a n ＋1S n S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n = . 20.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，a n ＋a n ＋1=12n (n=1,2,3，…)，则S 2n ＋3= .。
高考数学冲刺复习 数学精练10 试题
数学精练〔10〕1.全集U =R ，集合{10}A x x =+<，{30}B x x =-<，那么集合()U C A B =( )〔A 〕{13}x x -≤< 〔B 〕{13}x x -<<〔C 〕{1}x x <- 〔D 〕{3}x x >【答案】A 【解析】{10}{1},A x x x x =+<=<-{30}{3},B x x x x =-<=<画出数轴可以求得答案为A. i 是虚数单位，那么设i 是虚数单位，那么31i i=- ( ) A.1122i - B.112i + C.1122i + D.112i - 【答案】C【解析】22121)1)(1()1(113i i i i i i i i i i +=+=-+-⋅=+=-，应选Ｃ． 3．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，如今要用分层抽样的方法从两个班抽出 16人参加HY 训表演，那么一班和二班分别被抽取的人数是( )〔A 〕8，8〔B 〕10，6 〔C 〕9，7〔D 〕12，4【答案】C【解析】一班被抽取的人数是5416996⨯=人;二班被抽取的人数是4216796⨯=人,应选C. 4．函数⎩⎨⎧><=,0,ln ,0,)(x x x e x f x 那么)]1([e f f =( ) A ．e 1 B ．e C ．-e1 D ．-e 【答案】A【解析】因为11()ln 1f e e ==-,所以)]1([ef f =(1)f -=e 1. 5．向量()1,2a =，(),4x b =，假设2=b a ，那么x 的值是( )A ．2B ．4C ．2±D ．4±【答案】C【解析】因为2=b a ,所以21625x +=,解得x =2±.6．m 、n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，以下命题中正确的选项是 〔 〕A ．假设//,//,//m n m n αα则B ．假设,,//αγβγαβ⊥⊥则C ．假设//,//,//m m αβαβ则D ．假设,,//m n m n αα⊥⊥则 【答案】D【解析】此题考察空间直线与直线,直线与平面的平行、垂直的断定,容易看出选项D 正确.7．假设实数x ，y 满足不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-3311y x y x y x ，那么该约束条件所围成的平面区域的面积是 ( )A ．3B ．25C ．2D ．22【答案】C【解析】可行域为直角三角形，其面积为 12.2S =⨯= 8.由直线2+=x y 上的点向圆()()22421x y -++= 引切线，那么切线长的最小值为( )A ．30B ．31C ．24D ．33【答案】B()4,2-到直线2+=x y 的最短间隔 .d =9．如图是歌手大奖赛中，七位评委为甲，乙两名选手打出的分数的茎叶图〔其中m 为数字 0—9中的一个〕，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为 12,a a ，那么一定有〔 〕A ．12a a >B ．21a a >C ．12a a =D ．12,a a 的大小不确定【答案】B【解析】1284,85a a ==.10．()f x 在R 上是奇函数,且满足(2)(),f x f x +=-当(0,2)x ∈时，2()2f x x =,那么(2011)f 等于 ( )A. 2-B.2C. -98D. 98【答案】A【解析】因为(2)(),f x f x +=-所以(4)(2)[()]()f x f x f x f x +=-+=--=,所以4是()f x 的周期,所以(2011)f =(20083)(3)f f +==(12)(1)f f +=-=-2,应选A.参考答案。
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"高考数学复习 例题精选精练（10） "一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．若平面α，β的法向量分别为a ＝(－1,2,4)，b ＝(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为( )A ．10B ．－10 C.12D ．－12解析：∵α⊥β，∴a ·b ＝0 ∴x ＝－10. 答案：B2．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：由于cos 〈m ，n 〉＝－12，∴〈m ，n 〉＝120°，所以直线l 与α所成的角为30°.答案：A3．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1,1) B.⎝⎛⎭⎪⎫1，3，32C.⎝⎛⎭⎪⎫1，－3，32D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，3，－32解析：对于选项A ， PA ＝(1,0,1)，则PA ·n ＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A ；对于选项B ，PA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4，12，则PA ·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4，12·(3,1,2)＝0，验证可知C 、D 均不满足PA ·n ＝0.答案：B4．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，CC 1＝2，则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成角的正弦值为( )A.32B.52C.105D.1010解析：以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (4,0,0)，B (4,4,0)，C (0,4,0)，C 1(0,4,2)，AC ＝(－4,4,0)，1BC ＝(－4,0,2)．易知AC ⊥平面DBB 1D 1，所以AC 是平面DBB 1D 1的一个法向量．所以BC 1与平面DBB 1D 1所成角的正弦值为|cos 〈AC ，1BC 〉|＝|AC ·1BC ||AC ||1BC |＝1642×25＝105.答案：C5．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角A －BD 1－B 1的大小为( ) A ．60°B ．30°C ．120°D ．150°解析：建系如图．设A (1,0,0)，D 1(0,0,1)，B (1,1,0)，B 1(1,1,1)C (0,1,0)则AC ＝(－1,1,0)为平面BB 1D 1的一个法向量． 设n ＝(x ，y ，z )为平面ABD 1的一个法向量． 则n ·1AD ＝0，n ·AB ＝0 又1AD ＝(－1,0,1)，AB ＝(0,1,0)∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0y ＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧z ＝x y ＝0令x ＝1.∴则z ＝1∴cos 〈AC ，n 〉＝－12，∴〈AC ，n 〉＝120°，即二面角A －BD 1－B 1的大小为120°.答案：C6.如图所示，A 1B 1C 1－ABC 是直三棱柱，∠BCA ＝90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值为( )A.3010B.1010C.510D ．－3010解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设BC ＝CA ＝CC 1＝2，则A (2,0,0)，B (0,2,0)，C 1(0,0,2)，A 1(2,0,2)，B 1(0,2,2)．∵D 1、F 1为A 1B 1、A 1C 1的中点， ∴D 1(1,1,2)，F 1(1,0,2)，∴1BD ＝(1，－1,2)，1AF ＝(－1,0,2)， ∴1BD ·1AF ＝(1，－1,2)·(－1,0,2)＝3， |1BD |＝1＋1＋22＝6，|1AF |＝1＋22＝5， ∴cos 〈1BD ，1AF 〉＝36×5＝33030＝3010.答案：A二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7.如图，在45°的二面角α－l －β的棱上有两点A 、B ，点C 、D 分别在α、β内，且AC ⊥AB ，∠ABD ＝45°，AC ＝BD ＝AB ＝1，则CD 的长度为________．解析：由CD ＝CA ＋AB ＋BD ，cos 〈AC ，BD 〉＝cos45°cos45°＝12，∴|CD |2＝2CA ＋2CB ＋2BD ＋2(CA ·AB ＋AB ·BD ＋CA ·BD )＝3＋2(0＋1×1×cos135°＋1×1×cos120°)＝2－2，∴|CD |＝2－ 2.答案：2－ 28．若A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2，198，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，58，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，1，58是平面α内的三点，设平面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝__________.解析：AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－3，－74，AC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－1，－74，由a ·AB ＝0，a ·AC ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y －74z ＝0，－2x －y －74z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y ，z ＝－43y ，所以x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶⎝ ⎛⎭⎪⎫－43y ＝2∶3∶(－4)． 答案：2∶3∶(－4)9.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M ，N 分别是C 1D 1，CC 1的中点，则直线B 1N 与平面BDM 所成角的正弦值为________．解析：以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则B 1(2,2,2)，N (0,2,1)，1NB ＝(2,0,1)，又M (0,1,2)，D (0,0,0)，B (2,2,0)，则DB ＝(2,2,0)，DM ＝(0,1,2)，可得平面BDM 的一个法向量n ＝(2，－2,1)，因为cos 〈n ，1NB 〉＝n ·1NB |n ||1NB |＝53，故直线B 1N 与平面BDM 所成角的正弦值是53. 答案：53三、解答题(共3个小题，满分35分)10． 如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高，E 为AD 中点．(1)证明：PE ⊥BC ；(2)若∠APB ＝∠ADB ＝60°，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值．解：以H 为原点，HA ，HB ，HP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，线段HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A (1,0,0)，B (0,1,0)． (1)证明：设C (m,0,0)，P (0,0，n )(m <0，n >0)，则D (0，m,0)，E (12，m2，0)．可得PE ＝(12，m2，－n )，BC ＝(m ，－1,0)．因为PE ·BC ＝m 2－m2＋0＝0，所以PE ⊥BC .(2)由已知条件可得m ＝－33，n ＝1， 故C (－33，0,0)，D (0，－33，0)，E (12，－36，0)，P (0，0,1)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PEH 的法向量，则⎩⎨⎧n ·HE ＝0，n ·HP ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x －36y ＝0，z ＝0.因此可以取n ＝(1，3，0)．由PA ＝(1,0，－1)，可得|cos 〈PA ，n 〉|＝24， 所以直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值为24. 11． 如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，AE＝EB ＝AF ＝23FD ＝4.沿直线EF 将△AEF 翻折成△A ′EF ，使平面A ′EF⊥平面BEF .(1)求二面角A ′－FD －C 的余弦值；(2)点M ，N 分别在线段FD ，BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与A ′重合，求线段FM 的长．解：(1)取线段EF 的中点H ，连接A ′H ， 因为A ′E ＝A ′F 及H 是EF 的中点， 所以A ′H ⊥EF .又因为平面A ′EF ⊥平面BEF ，及A ′H ⊂平面A ′EF ， 所以A ′H ⊥平面BEF .如图建立空间直角坐标系A －xyz ，则A ′(2,2,22)，C (10,8,0)，F (4,0,0)，D (10,0,0)． 故FA ′＝(－2,2,22)，FD ＝(6,0,0)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面A ′FD 的一个法向量，所以⎩⎨⎧－2x ＋2y ＋22z ＝0，6x ＝0，取z ＝2，则n ＝(0，－2，2)． 又平面BEF 的一个法向量m ＝(0,0,1)，故cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n |·|m |＝33.所以二面角的余弦值为33. (2)设FM ＝x ，则M (4＋x,0,0)，因为翻折后，C 与A ′重合，所以CM ＝A ′M ，故(6－x )2＋82＋02＝(－2－x )2＋22＋(22)2，得x ＝214，经检验，此时点N 在线段BC 上．所以FM ＝214.12．如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∥CF 且BE <CF ，∠BCF ＝π2，AD ＝3，EF ＝2.(1)求证：AE ∥平面DCF ；(2)设AB BE ＝λ，当λ取何值时，二面角A －EF －C 的大小为π3？解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC .又BE ∥CF ，AB ∩BE ＝B ， ∴平面ABE ∥平面DCF . 又AE ⊂平面ABE ， ∴AE ∥平面DCF .(2)过点E 作GE ⊥CF 交CF 于点G ， 由已知可得：EG ∥BC ∥AD ，且EG ＝BC ＝AD ， ∴EG ＝AD ＝3，又EF ＝2，∴GF ＝1. ∵四边形ABCD 是矩形，∴DC ⊥BC .∵∠BCF ＝π2，∴FC ⊥BC ，又平面ABCD ⊥平面BEFC ，平面ABCD ∩平面BEFC ＝BC .∴FC ⊥平面ABCD ，∴FC ⊥CD .∴分别以C 为原点，CB 、CD 、CF 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设BE ＝m ，由AB BE＝λ，得AB ＝λm .∴A (3，λm,0)，E (3，0，m )，F (0,0，m ＋1)， ∴AE ＝(0，－λm ，m )，EF ＝(－3，0,1)．设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由AE ·n ＝0，EF ·n ＝0，得⎩⎨⎧－λmy ＋mz ＝0－3x ＋z ＝0，∴⎩⎨⎧－λy ＋z ＝0－3x ＋z ＝0，令y ＝3，可得平面AEF 的一个法向量n ＝(λ，3，3λ)．又CD ＝(0，λm,0)是平面CEF 的一个法向量，∴cos π3＝|CD ·n ||CD ||n |，即3λm 4λ2＋3·λm ＝12，解得λ＝32， ∴当λ＝32时，二面角A －EF －C 的大小为π3.。