离散数学(屈婉玲版)第一章部分习题分解
离散数学(屈婉玲版)第一章部分习题分解
离散数学(屈婉玲版)第一章部分习题分解第一章习题1.1&1.2 判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还是复合命题.并将命题符号化,并讨论它们的真值.(1) √2是无理数.是命题,简单命题.p:√2是无理数.真值:1(2) 5能被2整除.是命题,简单命题.p:5能被2整除.真值:0(3)现在在开会吗?不是命题.(4)x+5>0.不是命题.(5) 这朵花真好看呀!不是命题.(6) 2是素数当且仅当三角形有3条边.是命题,复合命题.p:2是素数.q:三角形有3条边.p↔q真值:1(7) 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起.是命题,复合命题.p:雪是黑色的.q:太阳从东方升起. p↔q真值:0(8) 2008年10月1日天气晴好.是命题,简单命题.p:2008年10月1日天气晴好.真值唯一.(9) 太阳系以外的星球上有生物.是命题,简单命题.p:太阳系以外的星球上有生物.真值唯一.(10) 小李在宿舍里.是命题,简单命题.P:小李在宿舍里.真值唯一.(11) 全体起立!不是命题.(12) 4是2的倍数或是3的倍数.是命题,复合命题.p:4是2的倍数.q:4是3的倍数.p∨q 真值:1(13) 4是偶数且是奇数.是命题,复合命题.P:4是偶数.q:4是奇数.p∧q真值:0 (14) 李明与王华是同学.是命题,简单命题.p: 李明与王华是同学.真值唯一.(15) 蓝色和黄色可以调配成绿色.是命题,简单命题.p: 蓝色和黄色可以调配成绿色.真值:11.3 判断下列各命题的真值.(1)若 2+2=4,则 3+3=6.(2)若 2+2=4,则 3+3≠6.(3)若 2+2≠4,则 3+3=6.(4)若 2+2≠4,则 3+3≠6.(5)2+2=4当且仅当3+3=6.(6)2+2=4当且仅当3+3≠6.(7)2+2≠4当且仅当3+3=6.(8)2+2≠4当且仅当3+3≠6.答案:设p:2+2=4,q:3+3=6,则p,q都是真命题.(1)p→q,真值为1.(2)p→┐q,真值为0.(3)┐p→q,真值为1.(4)┐p→┐q,真值为1.(5)p↔q,真值为1.(6)p↔┐q,真值为0.(7)┐p↔q,真值为0.(8)┐p↔┐q,真值为1.1．4将下列命题符号化，并讨论其真值。
离散数学屈婉玲版第一章部分习题汇总
第一章习题1.1&1.2 判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还是复合命题.并将命题符号化,并讨论它们的真值.(1) √2是无理数.是命题,简单命题.p:√2是无理数.真值:1(2) 5能被2整除.是命题,简单命题.p:5能被2整除.真值:0(3)现在在开会吗?不是命题.(4)x+5>0.不是命题.(5) 这朵花真好看呀!不是命题.(6) 2是素数当且仅当三角形有3条边.是命题,复合命题.p:2是素数.q:三角形有3条边.p↔q真值:1(7) 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起.是命题,复合命题.p:雪是黑色的.q:太阳从东方升起. p↔q真值:0(8) 2008年10月1日天气晴好.是命题,简单命题.p:2008年10月1日天气晴好.真值唯一.(9) 太阳系以外的星球上有生物.是命题,简单命题.p:太阳系以外的星球上有生物.真值唯一.(10) 小李在宿舍里.是命题,简单命题.P:小李在宿舍里.真值唯一.(11) 全体起立!不是命题.(12) 4是2的倍数或是3的倍数.是命题,复合命题.p:4是2的倍数.q:4是3的倍数.p∨q 真值:1(13) 4是偶数且是奇数.是命题,复合命题.P:4是偶数.q:4是奇数.p∧q真值:0 (14) 李明与王华是同学.是命题,简单命题.p: 李明与王华是同学.真值唯一.(15) 蓝色和黄色可以调配成绿色.是命题,简单命题.p: 蓝色和黄色可以调配成绿色.真值:11.3 判断下列各命题的真值.(1)若 2+2=4,则 3+3=6.(2)若 2+2=4,则 3+3≠6.(3)若 2+2≠4,则 3+3=6.(4)若 2+2≠4,则 3+3≠6.(5)2+2=4当且仅当3+3=6.(6)2+2=4当且仅当3+3≠6.(7)2+2≠4当且仅当3+3=6.(8)2+2≠4当且仅当3+3≠6.答案:设p:2+2=4,q:3+3=6,则p,q都是真命题.(1)p→q,真值为1.(2)p→┐q,真值为0.(3)┐p→q,真值为1.(4)┐p→┐q,真值为1.(5)p↔q,真值为1.(6)p↔┐q,真值为0.(7)┐p↔q,真值为0.(8)┐p↔┐q,真值为1.1．4将下列命题符号化，并讨论其真值。
离散数学屈婉玲版课后习题
第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s) ⇔（0↔1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)⇔0(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”答：p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
19．用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q) →(⌝q→⌝p)（5）(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答：（4）p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3) P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(p →q)∧(p →r)⇔(p →(q ∧r))(4)(p ∧⌝q)∨(⌝p ∧q)⇔(p ∨q) ∧⌝(p ∧q)证明（2）(p →q)∧(p →r)⇔ (⌝p ∨q)∧(⌝p ∨r)⇔⌝p ∨(q ∧r))⇔p →(q ∧r)（4）(p ∧⌝q)∨(⌝p ∧q)⇔(p ∨(⌝p ∧q)) ∧(⌝q ∨(⌝p ∧q)⇔(p ∨⌝p)∧(p ∨q)∧(⌝q ∨⌝p) ∧(⌝q ∨q)⇔1∧(p ∨q)∧⌝(p ∧q)∧1⇔(p ∨q)∧⌝(p ∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(⌝p →q)→(⌝q ∨p)(2)⌝(p →q)∧q ∧r(3)(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)解：（1）主析取范式(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∧p)∨(⌝q ∧⌝p)∨(p ∧q)∨(p ∧⌝q)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(p ∧⌝q)∨(p ∧q)⇔320m m m ∨∨⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p∨(⌝q∨p))∧(⌝q∨(⌝q∨p))⇔1∧(p∨⌝q)⇔(p∨⌝q) ⇔ M1⇔∏(1)(2) 主合取范式为：⌝(p→q)∧q∧r⇔⌝(⌝p∨q)∧q∧r⇔(p∧⌝q)∧q∧r⇔0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为：(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)⇔⌝(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)⇔(⌝p∧(⌝q∨⌝r))∨(p∨q∨r)⇔(⌝p∨(p∨q∨r))∧((⌝q∨⌝r))∨(p∨q∨r))⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r) 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p（3）⑤⑥拒取式证明（4）：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥（q→t）∧(t→q) ⑤置换⑦（q→t）⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r ∨q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r ∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r ∧﹁r ⑤⑦ 合取由于最后一步r ∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有错误!未找到引用源。
离散数学答案-屈婉玲版-第二版-高等教育出版社课后答案
离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s) ⇔（0↔1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)⇔0(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”答：p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
19．用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q) →(⌝q→⌝p)（5）(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答：（4）p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)证明（2）(p→q)∧(p→r)⇔ (⌝p∨q)∧(⌝p∨r)⌝p∨(q∧r))p→(q∧r)（4）(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨(⌝p∧q)) ∧(⌝q∨(⌝p∧q)(p∨⌝p)∧(p∨q)∧(⌝q∨⌝p) ∧(⌝q∨q)1∧(p∨q)∧⌝(p∧q)∧1(p∨q)∧⌝(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∧p)∨(⌝q ∧⌝p)∨(p ∧q)∨(p ∧⌝q)(⌝p ∧⌝q)∨(p ∧⌝q)∨(p ∧q)⇔320m m m ∨∨⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∨(⌝q ∨p))∧(⌝q ∨(⌝q ∨p))⇔1∧(p ∨⌝q)⇔(p ∨⌝q) ⇔ M 1⇔∏(1)(2) 主合取范式为：⌝(p →q)∧q ∧r ⇔⌝(⌝p ∨q)∧q ∧r⇔(p ∧⌝q)∧q ∧r ⇔0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为：(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⌝(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)(⌝p ∧(⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r)(⌝p ∨(p ∨q ∨r))∧((⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r))⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r) 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p（3）⑤⑥拒取式证明（4）：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥（q→t）∧(t→q) ⑤置换⑦（q→t）⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r∨q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r∧﹁r ⑤⑦合取由于最后一步r∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解：F(x): 2=(x+)(x).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)∀，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。
离散数学(屈婉玲版)第一章部分习题分解
第一章习题1.1 &1.2 判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还是复合命题•并将命题符号化，并讨论它们的真值.(1) V 2是无理数.是命题,简单命题.p:V2是无理数•真值:1(2) 5能被2整除.是命题,简单命题.p:5能被2整除•真值:0(3) 现在在开会吗？不是命题.⑷ x+5>0.不是命题.(5) 这朵花真好看呀！不是命题.(6) 2是素数当且仅当三角形有3条边.是命题,复合命题.p:2是素数.q:三角形有3条边.旷q真值:1(7) 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起.是命题,复合命题.p:雪是黑色的.q:太阳从东方升起.p q真值:0(8) 2008 年10月1日天气晴好.是命题,简单命题.p:2008年10月1日天气晴好.真值唯(9) 太阳系以外的星球上有生物.是命题,简单命题.p:太阳系以外的星球上有生物.真值唯一.(10) 小李在宿舍里.是命题,简单命题.P:小李在宿舍里.真值唯一.(11) 全体起立！不是命题.(12) 4 是2的倍数或是3的倍数.是命题,复合命题.p:4是2的倍数.q:4是3的倍数.p V q 真值:1(13) 4 是偶数且是奇数.是命题,复合命题P:4是偶数.q:4是奇数.p A q真值:0(14) 李明与王华是同学.是命题,简单命题.p:李明与王华是同学.真值唯一.(15) 蓝色和黄色可以调配成绿色.是命题,简单命题.p: 蓝色和黄色可以调配成绿色.真值:11.3 判断下列各命题的真值.(1) 若2+2=4,则3+3=6.⑵若2+2=4,则3+3工6.(3)若2+2 工4,则3+3=6.⑷若2+2工4,则3+3工6.⑸2+2=4当且仅当3+3=6.⑹2+2=4当且仅当3+3工6.(7) 2+2工4当且仅当3+3=6.(8) 2+2工4当且仅当3+3工6.答案:设p:2+2=4,q:3+3=6,则p,q都是真命题.(1) p -q,真值为1.(2) p q,真值为0.⑶门p-q,真值为1.⑷门p-n q,真值为1.(5) p「q,真值为1.(6) p・门q,真值为0.⑺门p q,真值为0.(8) n p n q,真值为1.1. 4将下列命题符号化，并讨论其真值。
离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案
离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16设p、q的真值为0；r、s的真值为1,求下列各命题公式的真值。
(1) p V (q A r)二0 V (0 A 1) =0(2) ( p?r)A (「q V s)二(0?1)A (1 V 1) = 0A 1= 0.(3) ( — p A 一q A r) ?(p A q A「r)二(1 A 1 A 1) ? (0 A 0A 0)=0(4) (一「A s)—(p A _q) = (0A 1)—(1 A 0) =0—0=117.判断下面一段论述是否为真：“二是无理数。
并且，如果3是无理数，则也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”答：p:二是无理数1q: 3 是无理数0r: ' 2是无理数1s: 6能被2整除1t: 6 能被4整除0命题符号化为：p A (q —r) A (t —s)的真值为1,所以这一段的论述为真。
19.用真值表判断下列公式的类型：(4) (p —q) —( 一q—一p)(5) (p A r) ' ( 一p A 一q)(6) ((p —q) A (q —r)) —(p —r)答：(4)p q p —q _q _p —q—一p (p —q) — (一q—一p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式(5) 公式类型为可满足式(方法如上例)(6) 公式类型为永真式(方法如上例)第二章部分课后习题参考答案3. 用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值?⑴飞A q-q)(2) (p -(p V q)) V (p -r)(3) (p V q) -(p A r)答：(2) (p—(p V q) )V (p —r)=(—p V (p V q)) V (_p V r) u - p V p V q V r= 1 所以公式类型为永真式⑶P q r p V q p A r (p V q)—(p A r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4. 用等值演算法证明下面等值式：(2) (p —q) A (p —r)二(p —(q A r))⑷(p A - q) V (-p A q)=(p V q) A 一(p A q)证明(2) (p —q) A (p —r)(一p V q) A ( 一p V r):二_ p V (q A r))二p—(q A r)(4) (p A - q) V ( 一p A q)u (p V (一p A q)) A(_ q V (一p A q)-(p V _ p) A (p V q) A ( 一q V 一p) A ( 一q V q)=1 A (p V q) A 一(p A q) A 1二(p V q) A _ (p A q)5. 求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1) ( _p—q) —(一q V p)(2) _(P —q) A q A r(3) (p V (q A r)) -(p V q V r)解：(1) 主析取范式(- p-q) —( 一q p)二_(p q) ( 一q p)=(- p -q) ( 一q p)=(一p _q) (一q p) (一q _p) (p q) (p _q)u ( - p _q) (p _q) (p q)-刀(0,2,3)主合取范式：(_p—q) —( 一q p)-_(p q) ( 一q p)=(- p -q) ( 一q p)=(一P (一q P)) (一q (一q p))=1 (p — q)二(p —q)二M i=n (i)(2) 主合取范式为：_(p —q) q r=—(一p q) q ru (p _q) q 产0所以该式为矛盾式?主合取范式为n (0,123,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为0(3) 主合取范式为：(p (q r)) —(p q r)=一(p (q r)) —(p q r)=(一p (一q _r)) (p q r)=(一p (p q r)) (( _q - r)) (p q r))二 1 i二 1所以该式为永真式永真式的主合取范式为1主析取范式为刀（0,123,4,5,6,7）第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明:(2) 前提：p—. q, —(q r),r(4)前提：q— p,q『s,s『t,t r结论：p q证明：（2）①—(q r) 前提引入②—q —r ①置换③q，一「②蕴含等值式④r 前提引入⑤一q ③④拒取式⑥p- q 前提引入⑦」p (3)⑤⑥拒取式证明（4）：①t r 前提引入②t ①化简律③qi s 前提引入④s—?t 前提引入⑤q r t ③④等价三段论( q > t)(t r q)?⑤置换炉(q >t)⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨ q—；p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证1 F面各推理:结论：_ p(1)前提：pr (qr r),s r p,q结论：s —? r ①s 附加前提引入②Sr P前提引入③P①②假言推理④ p —；(q —； r)前提引入⑤q — r③④假言推理⑥q 前提引入⑦r⑤⑥假言推理16在自然推理系统 P 中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p ，—q, - r q,r _s结论：- p 证明：①p 结论的否定引入② p —「q 前提引入q ①②假言推理 r q 前提引入⑤「r ④化简律⑥r 「s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r 「r ⑤⑦合取由于最后一步r 「r 是矛盾式，所以推理正确. 第四章部分课后习题参考答案3.在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化，并分别讨论个体域限制为的真值：(1)对于任意 x,均有 2=(x+ )(x ).证明(a),(b) 条件时命题(2)存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合.解:F(x): 2=(x+ 一)(x 一).G(x): x+5=9.(1) 在两个个体域中都解释为-xF(x)，在(a)中为假命题，在(b)中为真命题。
离散数学第一章习题解答,屈婉玲耿素云高等教育出版社
习题一1.下列句子中,哪些是命题？在是命题的句子中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（1）中国有四大发明.答：此命题是简单命题，其真值为1.（2是无理数.答：此命题是简单命题，其真值为1.（3）3是素数或4是素数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为1.x+<（4）235答：不是命题.（5）你去图书馆吗？答：不是命题.（6）2与3是偶数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（7）刘红与魏新是同学.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.（8）这朵玫瑰花多美丽呀！答：不是命题.（9）吸烟请到吸烟室去！答：不是命题.（10）圆的面积等于半径的平方乘以π.答：此命题是简单命题，其真值为1.（11）只有6是偶数，3才能是2的倍数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（13）2008年元旦下大雪.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.2.将上题中是简单命题的命题符号化.解:（1）p：中国有四大发明.（2）p:错误!未找到引用源。
是无理数.（7）p:刘红与魏新是同学.（10）p:圆的面积等于半径的平方乘以π.（13）p:2008年元旦下大雪.3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.（1是有理数.是无理数.p.q.其否定式q的真值为1.（2不是无理数.答：是有理数. p 不是无理数. q 是有理数. 其否定式q 的真值为1.（3）2.5是自然数.答：否定式：2.5不是自然数. p ：2.5是自然数. q ：2.5不是自然数. 其否定式q 的真值为1.（4）ln1是整数.答：否定式：ln1不是整数. p ：ln1是整数. q ：ln1不是整数. 其否定式q 的真值为1.4.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2与5都是素数答：p ：2是素数，q ：5是素数，符号化为p q ∧，其真值为1.（2）不但π是无理数，而且自然对数的底e 也是无理数.答：p ：π是无理数，q ：自然对数的底e 是无理数，符号化为p q ∧，其真值为1. （3）虽然2是最小的素数，但2不是最小的自然数.答：p ：2是最小的素数，q ：2是最小的自然数，符号化为p q ∧⌝，其真值为1. （4）3是偶素数.答：p ：3是素数，q ：3是偶数，符号化为p q ∧，其真值为0. （5）4既不是素数，也不是偶数.答：p ：4是素数，q ：4是偶数，符号化为p q ⌝∧⌝，其真值为0. 5.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2或3是偶数. （2）2或4是偶数. （3）3或5是偶数.（4）3不是偶数或4不是偶数. （5）3不是素数或4不是偶数.答: p ：2是偶数，q ：3是偶数，r :3是素数，s :4是偶数, t :5是偶数 (1) 符号化: p q ∨，其真值为1. (2) 符号化：p r ∨，其真值为1. (3) 符号化：r t ∨，其真值为0. (4) 符号化：q s ⌝∨⌝，其真值为1.(5) 符号化：r s ⌝∨⌝，其真值为0. 6.将下列命题符号化.（1）小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨.答：p ：小丽从筐里拿一个苹果，q ：小丽从筐里拿一个梨，符号化为: p q ∨. （2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课.答：p ：刘晓月选学英语，q ：刘晓月选学日语，符号化为: ()()p q p q ⌝∧∨∧⌝. 7.设p ：王冬生于1971年，q ：王冬生于1972年，说明命题“王冬生于1971年或1972年”既可以化答:列出两种符号化的真值表：p q0 0 0 00 1 1 11 0 1 11 1 0 1根据真值表,可以判断出,只有当p与q同时为真时两种符号化的表示才会有不同的真值,但结合命题可以发现,p与q不可能同时为真,故上述命题有两种符号化方式.8.将下列命题符号化,并指出真值.（1）只要错误!未找到引用源。
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第一章 命题逻辑基本概念课后练习题答案4.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1；（2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e 是无理数,真值为1；（3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1；（4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0；（5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0.5.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1；（2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1；（3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；（4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1；（5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；6.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q ：小丽从筐里拿一个梨；（2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p ：刘晓月选学英语，q ：刘晓月选学日语；.7.因为p 与q 不能同时为真.13.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：（1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；（2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；（3）p q ，真值为1；（4）p→r，若p 为真，则p→r 真值为0，否则，p→r 真值为1.16 设p 、q 的真值为0；r 、s 的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p ∨(q ∧r)⇔ 0∨(0∧1) ⇔（2）（p ↔r ）∧(﹁q ∨s) ⇔（0↔1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.（3）（⌝p ∧⌝q ∧r ）↔(p ∧q ∧﹁r) ⇔（1∧1∧1） ↔ (0∧0∧0)⇔0(4)（⌝r ∧s ）→(p ∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
离散数学答案 屈婉玲版 第二版 高等教育出版社课后答案
离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0（2）（p?r）∧(﹁q∨s) ⇔（0?1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.（3）（⌝p∧⌝q∧r）?(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）? (0∧0∧0)⇔0(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”答：p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
19．用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q) →(⌝q→⌝p)（5）(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答：（4）p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)证明（2）(p→q)∧(p→r)⇔ (⌝p∨q)∧(⌝p∨r)⇔⌝p∨(q∧r))⇔p→(q∧r)（4）(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨(⌝p∧q)) ∧(⌝q∨(⌝p∧q)⇔(p∨⌝p)∧(p∨q)∧(⌝q∨⌝p) ∧(⌝q∨q)⇔1∧(p∨q)∧⌝(p∧q)∧1⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∧p)∨(⌝q ∧⌝p)∨(p ∧q)∨(p ∧⌝q)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(p ∧⌝q)∨(p ∧q)⇔320m m m ∨∨⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∨(⌝q ∨p))∧(⌝q ∨(⌝q ∨p))⇔1∧(p ∨⌝q)⇔(p ∨⌝q) ⇔ M 1⇔∏(1)(2) 主合取范式为：⌝(p →q)∧q ∧r ⇔⌝(⌝p ∨q)∧q ∧r⇔(p ∧⌝q)∧q ∧r ⇔0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为：(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔⌝(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∧(⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∨(p ∨q ∨r))∧((⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r))⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r) 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p（3）⑤⑥拒取式证明（4）：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥（q→t）∧(t→q)? ⑤置换⑦（q→t）⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r∨q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r∧﹁r ⑤⑦合取由于最后一步r∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x ).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解： F(x): 2=(x+)(x ).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)(x xF ∀，在（a ）中为假命题，在(b)中为真命题。
离散数学[屈婉玲版]第一章部分习题汇总
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第一章习题1.1&1.2 判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还是复合命题.并将命题符号化,并讨论它们的真值.(1) √2是无理数.是命题,简单命题.p:√2是无理数.真值:1(2) 5能被2整除.是命题,简单命题.p:5能被2整除.真值:0(3)现在在开会吗?不是命题.(4)x+5>0.不是命题.(5) 这朵花真好看呀!不是命题.(6) 2是素数当且仅当三角形有3条边.是命题,复合命题.p:2是素数.q:三角形有3条边.p↔q真值:1(7) 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起.是命题,复合命题.p:雪是黑色的.q:太阳从东方升起. p↔q真值:0(8) 2008年10月1日天气晴好.是命题,简单命题.p:2008年10月1日天气晴好.真值唯一.(9) 太阳系以外的星球上有生物.是命题,简单命题.p:太阳系以外的星球上有生物.真值唯一.(10) 小李在宿舍里.是命题,简单命题.P:小李在宿舍里.真值唯一.(11) 全体起立!不是命题.(12) 4是2的倍数或是3的倍数.是命题,复合命题.p:4是2的倍数.q:4是3的倍数.p∨q 真值:1(13) 4是偶数且是奇数.是命题,复合命题.P:4是偶数.q:4是奇数.p∧q真值:0 (14) 李明与王华是同学.是命题,简单命题.p: 李明与王华是同学.真值唯一.(15) 蓝色和黄色可以调配成绿色.是命题,简单命题.p: 蓝色和黄色可以调配成绿色.真值:11.3 判断下列各命题的真值.(1)若 2+2=4,则 3+3=6.(2)若 2+2=4,则 3+3≠6.(3)若 2+2≠4,则 3+3=6.(4)若 2+2≠4,则 3+3≠6.(5)2+2=4当且仅当3+3=6.(6)2+2=4当且仅当3+3≠6.(7)2+2≠4当且仅当3+3=6.(8)2+2≠4当且仅当3+3≠6.答案:设p:2+2=4,q:3+3=6,则p,q都是真命题.(1)p→q,真值为1.(2)p→┐q,真值为0.(3)┐p→q,真值为1.(4)┐p→┐q,真值为1.(5)p↔q,真值为1.(6)p↔┐q,真值为0.(7)┐p↔q,真值为0.(8)┐p↔┐q,真值为1.1．4将下列命题符号化，并讨论其真值。
离散数学屈婉玲版课后习题
第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔ 0∨(0∧1) ⇔0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s) ⇔（0↔1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)⇔0(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”答：p: π是无理数 1q: 3是无理数 0r: 2是无理数 1s: 6能被2整除 1t: 6能被4整除 0命题符号化为： p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
19．用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q) →(⌝q→⌝p)（5）(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答：（4）p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1 所以公式类型为永真式(3) P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(p →q)∧(p →r)⇔(p →(q ∧r))(4)(p ∧⌝q)∨(⌝p ∧q)⇔(p ∨q) ∧⌝(p ∧q) 证明（2）(p →q)∧(p →r)⇔ (⌝p ∨q)∧(⌝p ∨r) ⇔⌝p ∨(q ∧r))⇔p →(q ∧r)（4）(p ∧⌝q)∨(⌝p ∧q)⇔(p ∨(⌝p ∧q)) ∧(⌝q ∨(⌝p ∧q)⇔(p ∨⌝p)∧(p ∨q)∧(⌝q ∨⌝p) ∧(⌝q ∨q) ⇔1∧(p ∨q)∧⌝(p ∧q)∧1 ⇔(p ∨q)∧⌝(p ∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(⌝p →q)→(⌝q ∨p)(2)⌝(p →q)∧q ∧r (3)(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r) 解：（1）主析取范式(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∧p)∨(⌝q ∧⌝p)∨(p ∧q)∨(p ∧⌝q) ⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(p ∧⌝q)∨(p ∧q)⇔320m m m ∨∨⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p) ⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p∨(⌝q∨p))∧(⌝q∨(⌝q∨p))⇔1∧(p∨⌝q)⇔(p∨⌝q) ⇔ M1⇔∏(1)(2) 主合取范式为：⌝(p→q)∧q∧r⇔⌝(⌝p∨q)∧q∧r⇔(p∧⌝q)∧q∧r⇔0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为：(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)⇔⌝(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)⇔(⌝p∧(⌝q∨⌝r))∨(p∨q∨r)⇔(⌝p∨(p∨q∨r))∧((⌝q∨⌝r))∨(p∨q∨r))⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r) 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p（3）⑤⑥拒取式证明（4）：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥（q→t）∧(t→q) ⑤置换⑦（q→t）⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p →(q →r) 前提引入 ⑤q →r ③④假言推理 ⑥q 前提引入 ⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P 中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p →⌝q,⌝r ∨q,r ∧⌝s 结论：⌝p 证明：①p 结论的否定引入 ②p →﹁q 前提引入 ③﹁q ①②假言推理 ④￢r ∨q 前提引入 ⑤￢r ④化简律 ⑥r ∧￢s 前提引入 ⑦r ⑥化简律 ⑧r ∧﹁r ⑤⑦ 合取由于最后一步r ∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值: (1) 对于任意x,均有错误！未找到引用源。
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【最新整理，下载后即可编辑】第一章习题1.1&1.2 判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还是复合命题.并将命题符号化,并讨论它们的真值.(1) √2是无理数.是命题,简单命题.p:√2是无理数.真值:1(2) 5能被2整除.是命题,简单命题.p:5能被2整除.真值:0(3)现在在开会吗?不是命题.(4)x+5>0.不是命题.(5) 这朵花真好看呀!不是命题.(6) 2是素数当且仅当三角形有3条边.是命题,复合命题.p:2是素数.q:三角形有3条边.p q真值:1(7) 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起.是命题,复合命题.p:雪是黑色的.q:太阳从东方升起. p q 真值:0(8) 2008年10月1日天气晴好.是命题,简单命题.p:2008年10月1日天气晴好.真值唯一.(9) 太阳系以外的星球上有生物.是命题,简单命题.p:太阳系以外的星球上有生物.真值唯一.(10) 小李在宿舍里.是命题,简单命题.P:小李在宿舍里.真值唯一.(11) 全体起立!不是命题.(12) 4是2的倍数或是3的倍数.是命题,复合命题.p:4是2的倍数.q:4是3的倍数.p∨q真值:1(13) 4是偶数且是奇数.是命题,复合命题.P:4是偶数.q:4是奇数.p∧q真值:0(14) 李明与王华是同学.是命题,简单命题.p: 李明与王华是同学.真值唯一.(15) 蓝色和黄色可以调配成绿色.是命题,简单命题.p: 蓝色和黄色可以调配成绿色.真值:11.3 判断下列各命题的真值.(1)若2+2=4,则3+3=6.(2)若2+2=4,则3+3≠6.(3)若2+2≠4,则3+3=6.(4)若2+2≠4,则3+3≠6.(5)2+2=4当且仅当3+3=6.(6)2+2=4当且仅当3+3≠6.(7)2+2≠4当且仅当3+3=6.(8)2+2≠4当且仅当3+3≠6.答案:设p:2+2=4,q:3+3=6,则p,q都是真命题.(1)p→q,真值为1.(2)p→┐q,真值为0.(3)┐p→q,真值为1.(4)┐p→┐q,真值为1.(5)p q,真值为1.(6)p┐q,真值为0.(7)┐p q,真值为0.(8)┐p┐q,真值为1.1．4将下列命题符号化，并讨论其真值。
离散数学答案解析屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案解析
离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s) ⇔（0↔1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)⇔0(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”答：p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
19．用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q) →(⌝q→⌝p)（5）(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答：（4）p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)证明（2）(p→q)∧(p→r)⇔ (⌝p∨q)∧(⌝p∨r)⇔⌝p∨(q∧r))⇔p→(q∧r)（4）(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨(⌝p∧q)) ∧(⌝q∨(⌝p∧q) ⇔(p∨⌝p)∧(p∨q)∧(⌝q∨⌝p) ∧(⌝q∨q)⇔1∧(p∨q)∧⌝(p∧q)∧1⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(⌝p→q)→(⌝q∨p)⇔⌝(p∨q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∨p)⇔ (⌝p∧⌝q)∨(⌝q∧p)∨(⌝q∧⌝p)∨(p∧q)∨(p∧⌝q)⇔(⌝p∧⌝q)∨(p∧⌝q)∨(p∧q)⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p→q)→(⌝q∨p)⇔⌝(p∨q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∨(⌝q∨p))∧(⌝q∨(⌝q∨p))⇔1∧(p∨⌝q)⇔(p∨⌝q) ⇔ M1⇔∏(1)(2) 主合取范式为：⌝(p→q)∧q∧r⇔⌝(⌝p∨q)∧q∧r⇔(p∧⌝q)∧q∧r⇔0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为：(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)⇔⌝(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)⇔(⌝p∧(⌝q∨⌝r))∨(p∨q∨r)⇔(⌝p∨(p∨q∨r))∧((⌝q∨⌝r))∨(p∨q∨r))⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r) 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p（3）⑤⑥拒取式证明（4）：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥（q→t）∧(t→q) ⑤置换⑦（q→t）⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r∨q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r∧﹁r ⑤⑦合取由于最后一步r∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解：F(x): 2=(x+)(x ).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)(x xF ∀，在（a ）中为假命题，在(b)中为真命题。
离散数学(屈婉玲)答案_1-5章教学内容
离散数学(屈婉玲)答案_1-5章第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔ 0∨(0∧1) ⇔0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s) ⇔（0↔1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)⇔0(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”答：p: π是无理数 1q: 3是无理数 0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除 0命题符号化为： p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
19．用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q) →(⌝q→⌝p)（5）(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答：（4）p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式 //最后一列全为1（5）公式类型为可满足式（方法如上例）//最后一列至少有一个1（6）公式类型为永真式（方法如上例）//第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1 所以公式类型为永真式(3) P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)证明（2）(p→q)∧(p→r)⇔ (⌝p∨q)∧(⌝p∨r)⇔⌝p∨(q∧r))⇔p→(q∧r)（4）(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨(⌝p∧q)) ∧(⌝q∨(⌝p∧q)⇔(p∨⌝p)∧(p∨q)∧(⌝q∨⌝p) ∧(⌝q∨q)⇔1∧(p∨q)∧⌝(p∧q)∧1⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)解：（1）主析取范式(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∧p)∨(⌝q ∧⌝p)∨(p ∧q)∨(p ∧⌝q)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(p ∧⌝q)∨(p ∧q) ⇔320m m m ∨∨⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∨(⌝q ∨p))∧(⌝q ∨(⌝q ∨p))⇔1∧(p ∨⌝q)⇔(p ∨⌝q) ⇔ M 1⇔∏(1)(2) 主合取范式为：⌝(p →q)∧q ∧r ⇔⌝(⌝p ∨q)∧q ∧r⇔(p ∧⌝q)∧q ∧r ⇔0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为：(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔⌝(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∧(⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∨(p ∨q ∨r))∧((⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r))⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r) 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p ⑤⑥拒取式证明（4）：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥（q→t）∧(t→q) ⑤置换⑦（q→t）⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r∨q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r ∧﹁r ⑤⑦ 合取由于最后一步r ∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确. 第四章部分课后习题参考答案 3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x ).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解：F(x): 2=(x+)(x ).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)(x xF ∀，在（a ）中为假命题，在(b)中为真命题。
离散数学第一章习题解答,屈婉玲耿素云高等教育出版社
习题一1.下列句子中,哪些是命题？在是命题的句子中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（1）中国有四大发明.答：此命题是简单命题，其真值为1.（2是无理数.答：此命题是简单命题，其真值为1.（3）3是素数或4是素数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为1.x+<（4）235答：不是命题.（5）你去图书馆吗？答：不是命题.（6）2与3是偶数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（7）刘红与魏新是同学.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.（8）这朵玫瑰花多美丽呀！答：不是命题.（9）吸烟请到吸烟室去！答：不是命题.（10）圆的面积等于半径的平方乘以π.答：此命题是简单命题，其真值为1.（11）只有6是偶数，3才能是2的倍数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（13）2008年元旦下大雪.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.2.将上题中是简单命题的命题符号化.解:（1）p：中国有四大发明.（2）p:错误!未找到引用源。
是无理数.（7）p:刘红与魏新是同学.（10）p:圆的面积等于半径的平方乘以π.（13）p:2008年元旦下大雪.3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.（1是有理数.是无理数.p.q.其否定式q的真值为1.（2不是无理数.答：是有理数. p 不是无理数. q 是有理数. 其否定式q 的真值为1.（3）2.5是自然数.答：否定式：2.5不是自然数. p ：2.5是自然数. q ：2.5不是自然数. 其否定式q 的真值为1.（4）ln1是整数.答：否定式：ln1不是整数. p ：ln1是整数. q ：ln1不是整数. 其否定式q 的真值为1.4.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2与5都是素数答：p ：2是素数，q ：5是素数，符号化为p q ∧，其真值为1.（2）不但π是无理数，而且自然对数的底e 也是无理数.答：p ：π是无理数，q ：自然对数的底e 是无理数，符号化为p q ∧，其真值为1. （3）虽然2是最小的素数，但2不是最小的自然数.答：p ：2是最小的素数，q ：2是最小的自然数，符号化为p q ∧⌝，其真值为1. （4）3是偶素数.答：p ：3是素数，q ：3是偶数，符号化为p q ∧，其真值为0. （5）4既不是素数，也不是偶数.答：p ：4是素数，q ：4是偶数，符号化为p q ⌝∧⌝，其真值为0. 5.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2或3是偶数. （2）2或4是偶数. （3）3或5是偶数.（4）3不是偶数或4不是偶数. （5）3不是素数或4不是偶数.答: p ：2是偶数，q ：3是偶数，r :3是素数，s :4是偶数, t :5是偶数 (1) 符号化: p q ∨，其真值为1. (2) 符号化：p r ∨，其真值为1. (3) 符号化：r t ∨，其真值为0. (4) 符号化：q s ⌝∨⌝，其真值为1.(5) 符号化：r s ⌝∨⌝，其真值为0. 6.将下列命题符号化.（1）小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨.答：p ：小丽从筐里拿一个苹果，q ：小丽从筐里拿一个梨，符号化为: p q ∨. （2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课.答：p ：刘晓月选学英语，q ：刘晓月选学日语，符号化为: ()()p q p q ⌝∧∨∧⌝. 7.设p ：王冬生于1971年，q ：王冬生于1972年，说明命题“王冬生于1971年或1972年”既可以化答:列出两种符号化的真值表：p q0 0 0 00 1 1 11 0 1 11 1 0 1根据真值表,可以判断出,只有当p与q同时为真时两种符号化的表示才会有不同的真值,但结合命题可以发现,p与q不可能同时为真,故上述命题有两种符号化方式.8.将下列命题符号化,并指出真值.（1）只要错误!未找到引用源。
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第一章习题1.1&1.2 判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还是复合命题.并将命题符号化,并讨论它们的真值.(1) √2是无理数.是命题,简单命题.p:√2是无理数.真值:1(2) 5能被2整除.是命题,简单命题.p:5能被2整除.真值:0(3)现在在开会吗?不是命题.(4)x+5>0.不是命题.(5) 这朵花真好看呀!不是命题.(6) 2是素数当且仅当三角形有3条边.是命题,复合命题.p:2是素数.q:三角形有3条边.p q真值:1(7) 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起.是命题,复合命题.p:雪是黑色的.q:太阳从东方升起. p q真值:0(8) 2008年10月1日天气晴好.是命题,简单命题.p:2008年10月1日天气晴好.真值唯一.(9) 太阳系以外的星球上有生物.是命题,简单命题.p:太阳系以外的星球上有生物.真值唯一.(10) 小李在宿舍里.是命题,简单命题.P:小李在宿舍里.真值唯一.(11) 全体起立!不是命题.(12) 4是2的倍数或是3的倍数.是命题,复合命题.p:4是2的倍数.q:4是3的倍数.p∨q真值:1(13) 4是偶数且是奇数.是命题,复合命题.P:4是偶数.q:4是奇数.p∧q真值:0(14) 李明与王华是同学.是命题,简单命题.p: 李明与王华是同学.真值唯一.(15) 蓝色和黄色可以调配成绿色.是命题,简单命题.p: 蓝色和黄色可以调配成绿色.真值:11.3 判断下列各命题的真值.(1)若2+2=4,则3+3=6.(2)若2+2=4,则3+3≠6.(3)若2+2≠4,则3+3=6.(4)若2+2≠4,则3+3≠6.(5)2+2=4当且仅当3+3=6.(6)2+2=4当且仅当3+3≠6.(7)2+2≠4当且仅当3+3=6.(8)2+2≠4当且仅当3+3≠6.答案:设p:2+2=4,q:3+3=6,则p,q都是真命题.(1)p→q,真值为1.(2)p→┐q,真值为0.(3)┐p→q,真值为1.(4)┐p→┐q,真值为1.(5)p q,真值为1.(6)p┐q,真值为0.(7)┐p q,真值为0.(8)┐p┐q,真值为1.1．4将下列命题符号化，并讨论其真值。
（1）如果今天是1号，则明天是2号。
p:今天是1号。
q:明天是2号。
符号化为：p q真值为：1（2）如果今天是1号，则明天是3号。
p:今天是1号。
q:明天是3号。
符号化为：p q真值为：01.5将下列命题符号化。
（1）2是偶数又是素数。
（2）小王不但聪明而且用功。
（3）虽然天气很冷，老王还是来了。
（4）他一边吃饭，一边看电视。
（5）如果天下雨，他就乘公共汽车上班。
（6）只有天下雨，他才乘公共汽车上班。
（7）除非天下雨，否则他不乘公共汽车上班。
(意思为：如果他乘公共汽车上班，则天下雨或如果不是天下雨，那么他就不乘公共汽车上班)（8）不经一事，不长一智。
答案：（1）设p：2是偶数，q：2是素数。
符号化为：p∧q （2）设p：小王聪明，q：小王用功。
符号化为：p∧q（3）设p：天气很冷，q：老王来了。
符号化为：p∧q（4）设p：他吃饭,q：他看电视。
符号化为：p∧q（5）设p：天下雨，q：他乘公共汽车。
符号化为：p→q（6）设p：天下雨，q：他乘公共汽上班。
符号化为：q→p（7）设p：天下雨，q：他乘公共汽车上班。
符号化为：q →p或q→p（8）设p：经一事，q：长一智。
符号化为：p→q1.6设p,q的真值为0；r,s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)（2）(p↔r)∧(¬p∨s)（3）(p∧(q∨r))→(p∨q)∧(r∧s)（4）¬(p∨(q→(r∧¬p))→(r∨¬s)解：（1）p∨(q∧r)p q r q∧r p∨(q∧r)0 0 1 0 0(2) (p↔r)∧(¬p∨s)p q r s pr ¬p¬p∨s(p r)∧(¬p∨s)0 0 1 1 0 1 1 0 (3)(p∧(q∨r))→(p∨q)∧(r∧s)p q r s q∨r p∧(q∨r) p∨qr∧s (p∨q)∧(r∧s)(p∧(q∨r))→(p∨q)∧(r∧s)0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 (4)¬(p∨(q→(r∧¬p))→(r∨¬s)p q r s ¬p r∧¬pq→(r∧¬p)(p∨(q→(r∧¬p))(r∨¬s)¬(p∨(q→(r∧¬p))→(r∨¬s)0 0 1 1 1 1 1 1 1 11．7 判断下列命题公式的类型。
（1）p(p q r)解：p q r pq p qrp(pq r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 1 10 1 0 1 1 10 1 1 1 1 11 0 0 1 1 11 0 1 1 1 11 1 0 1 1 11 1 1 1 1 1由真值表可知，该命题公式为重言式。
（2）（p →┑p）→┑p┑p p →┑p （p →┑p）→┑pp0 1 1 11 0 0 1由真值知命题公式的类型是：重言式（3）┐(q→p)∧pp q q→p ┐（q→p）┐(q→p)∧p0 0 1 0 00 1 0 1 01 0 1 0 01 1 1 0 0此命题公式是矛盾式。
(4)(p→q) →(﹁q→﹁p)解:其真值表为:p q ﹁p ﹁q p→q ﹁q→﹁p(p→q)→(﹁q→﹁p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 0 0 1 1 1 由真值表观察,此命题为重言式.(5)( ﹁p→q) →(q→﹁p)解:其真值表为:p q ﹁p ﹁p→qq→﹁p(﹁p→q)→(q→﹁p)0 0 1 0 1 10 1 1 1 1 11 0 0 1 1 11 1 0 1 0 0由真值表观察,此命题为非重言式的可满足式. （7）（p∨⌝p）→((q∧⌝q) ∧⌝r)解：p q r p∨⌝p q∧⌝q⌝r (q∧⌝q)∧⌝r （p∨⌝p）→((q∧⌝q) ∧⌝r)0 0 0 1 0 1 0 00 0 1 1 0 0 0 00 1 0 1 0 1 0 00 1 1 1 0 0 0 01 0 0 1 0 1 0 01 0 1 1 0 0 0 01 1 0 1 0 1 01 1 1 1 0 0 0结论：此命题为矛盾式1.7(8)(p q)→﹁(p∨q).p q (p q) (p∨q) ﹁(p∨q) (p q)→﹁(p∨q)1 0 1 110 1 0 110 1 0 1111 1 0 0由此可以知道，上式为非重言式的可满足式.(9) ((ｐ→ｑ)∧(ｑ→ｒ))→(ｐ→ｒ)解:p ｑｒｐ→ｑｑ→ｒ（ｐ→ｑ）∧（ｑ→ｒ）ｐ→ｒA0 0 0 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 10 1 0 1 0 0 1 10 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 0 0 11 0 1 0 1 0 1 11 1 0 1 0 0 0 11 1 1 1 1 1 1 1 该命题为永真式（10）（（p∨q）→r）↔s解：p q r s p∨q （p∨q）→r（p∨q）→r）↔s0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 00 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 1 1 0 1 1 01 1 0 1 1 0 01 1 0 0 1 0 11 0 0 1 1 0 01 0 1 0 1 1 01 0 1 1 1 1 11 0 0 0 1 0 1结论：此命题为非重言式可满足式1.8 用等值演算法证明下列等值式（1）（p∧q）∨(p∧﹁q) ⇔p证明：（p∧q）∨(p∧﹁q) （分配律）⇔p∧(q∨﹁q) （排中律）⇔p∧1 (同一律)⇔p（3）（p q） ( ( p q ) ( p q ) )证明：（p q）( ( p q ) (q p ) )( ( p q ) ( q p ) )( p q ) ( q p )( p q ) ( q p )( ( p q ) q ) ( (p q ) p )( ( p q ) ( q q ) ) ( ( p p ) ( q Arrayp) )(( p q ) 1) (1 ( q p) )( p q ) ( q p)( p q ) ( p q )1.9 用等值演算法判断下列公式的类型。
（1）（（p q）p）.解：（1）（（p q）p）（（p q）p）蕴含等值式（（p q））p 德·摩根律p q p 双重否定律p p q 交换律0q 矛盾律0 零律即原式为矛盾式.(2)((p q) (q p))(p q)解：((p q) (q p))(p q)(p q) (p q)((p q) (p q)) ((p q) (p q))(P q) (p q)(p q) (p q))1即((p q) (q p))(p q)是重言式。
(3) (p→q)→(q→p).解：(p→q)→(q→p)((p∨q))∨(q∨p)(p∧q) ∨(q∨p)(p∨(p∧q))∧(q∨(q∨p))( (p∨p)∨q)∧((q∨q)∨p](p∨q) ∧(p∨q)(p∨q)或(p→q)→(q→p)((p∨q))∨(q∨p)(p∧q) ∨(q∨p)（(p∧q) ∨q）∨p结合律p∨q 吸收律结论：该公式为可满足式。
1.12(1)求下面命题公式的主析取范式、主合取范式、成真赋值、成假赋值。
(p∨(q∧r))→（p∧q∧r）¬(p∨(q∧r))∨(p∧q∧r)(¬p∧(¬q∨¬r)) ∨(p∧q∧r)(¬p∧¬q) ∨(¬p∧¬r)∨(p∧q∧r)((¬p∧¬q)∧(r∨¬r)) ∨((¬p∧¬r)∧(q∨¬q)) ∨(p∧q∧r)(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧¬q∧¬r)∨(¬p∧¬q∧¬r) ∨(¬p∧q∧¬r) ∨(p∧q ∧r)(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧¬q∧¬r) ∨(¬p∧q∧¬r) ∨(p∧q∧r)((¬p∧¬q∧¬r) ∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧¬r) ∨(p∧q∧r)m0∨m1∨m2∨m7∑(0,1,2,7)故其主析取范式为(p∨(q∧r))→（p∧q∧r）∑(0,1,2,7)由最小项定义可知道原命题的成真赋值为(0,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,1,1)成假赋值为(0,1,1)(1,0,0)(1,0,1)(1,1,0)由主析取范式和主合取范式的关系即可知道主合取范式为(p∨(q∧r))→（p∧q∧r）∏(3,4,5,6)（3）（p q）q r解：（p q）q r（p q）q rp q q r既（p q）q r是矛盾式。