2020-2021年青竹湖湘一外国语学校九年级第一学期月考数学试卷【附答案】
湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2020-2021学年九年级上学期第一次月考数学试卷(解析版)
湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2020-2021学年九年级（上）第一次月考数学试卷(解析版)一、选择题（本大题共10小题，共38.0分）1．如果3x＝2y（x、y均不为零），那么x：y的值是（）A．B．C．D．2．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列计算正确的是（）A．m3+m2＝m5B．m3•m2＝m6C．（1﹣m）（1+m）＝m2﹣1D．4．甲、乙、丙、丁四名学生近5次数学成绩的平均数都是110分，方差如表，则这四名学生成绩最稳定的是（）学生甲乙丙丁方差（s2）11.6 6.87.6 2.8 A．甲B．乙C．丙D．丁5．若在同一直角坐标系中，作y＝x2，y＝x2+2，y＝﹣2x2+1的图象，则它们（）A．都关于y轴对称B．开口方向相同C．都经过原点D．互相可以通过平移得到6．一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，墙长20m，另外三边由篱笆围成，篱笆长度为30m，则垂直于墙的一边的长度x取值范围为（）A．5≤x＜15B．0＜x≤20C．5≤x≤20D．0＜x＜157．关于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（）A．函数图象分别位于第二、四象限B．函数图象关于原点成中心对称C．函数图象经过点（﹣6，﹣2）D．当x＜0时，y随x的增大而增大8．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于（）A．30°B．40°C．60°D．70°9．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（）A．175πcm2B．350πcm2C．πcm2D．150πcm210．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（1，﹣4a），点A（4，y1）是该抛物线上一点，若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：①4a﹣2b+c＞0；②若y2＞y1，则x2＞4；③若0≤x2≤4，则0≤y2≤5a；④若方程a（x+1）（x﹣3）＝﹣1有两个实数根x1和x2，且x1＜x2，则﹣1＜x1＜x2＜3．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共6小题，共21.0分）11．在某校举行的“人人崇尚美，个个奉献爱”的演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中一位同学想知道自己是否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（填“平均数”“中位数”或“众数”）12．分解因式：2a2﹣8b2＝．13．如图是一个高速公路隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB ＝8米，净高CD＝8米，则此圆的半径OA为．14．以40m/s的速度将小球沿与地面成30度角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位m）与飞行时间t（单位s）之间具有函数关系：h＝20t﹣5t2，那么球从飞出到落地要用的时间是．15．已知点P（a，b）在直线y＝x﹣1上，点Q（﹣a，2b）在直线y＝x+1上，则代数式a2﹣4b2﹣1的值为．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝8，点D是BC上一点，BC＝3CD，点P是线段AC上一个动点，以PD为直径作⊙O，点M为的中点，连接AM，则AM 的最小值为．三、解答题（本大题共9小题，共38.0分）17．计算：．18．先化简，再求值：﹣÷，然后在不等式x≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值．19．如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1，4），点B （﹣4，n）．（1）求n和b的值；（2）求△OAB的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．20．2020年是决胜全面建成小康社会冲锋之年，为进一步加快脱贫攻坚步伐，某市出台了民生兜底、医保脱贫、教育救助、产业扶持、养老托管和易地搬迁这六种帮扶措施，每户贫困户都享受了2到5种帮扶措施，现把享受了2种、3种、4种和5种帮扶措施的贫困户分别称为A、B、C、D类贫困户．为检查帮扶措施是否落实，随机抽取了若干贫困户进行调查，现将收集的数据绘制成下面两幅不完整的统计图：请根据图中信息回答下面的问题：（1）求本次抽样调查贫困户总户数，并补全条形统计图；（2）若该地共有15000户贫困户，请估计至少得到3项帮扶措施的大约有多少户；（3）为更好地做好精准扶贫工作，现准备从D类贫困户中的甲、乙、丙、丁四户中随机选取两户进行重点帮扶，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好选中甲和丙的概率．21．如图，AD∥BC，AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AC＝6，BD＝10，求OE的长．22．某网店专售一品牌牙膏，其成本为22元/支，销售中发现，该商品每天的销售量y（支）与销售单价x（元/支）之间存在一次函数关系，当售价为30元时销售量为100支，售价为35元时销售量为50支．（1）请求出y与x之间的函数关系式；（2）该品牌牙膏销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？（3）该网店店主决定从每天获得的利润中抽出100元捐给希望工程，为了保证捐款后每天剩余的利润不低于350元，请你给该网店店主提供一个合理化的销售单价范围．23．如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为4，点D在劣弧AB上运动（不与点A、B 重合），连接DA、DB、DC．（1）求证：DC是∠ADB的平分线；（2）四边形ADBC的面积S是线段DC长x的函数吗？如果是，请求出函数解析式；如果不是，请说明理由；（3）若点M、N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定位置，△DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值．24．对于给定的两个函数y＝k1x+b1（k1≠0）和y＝k2x+b2（k2≠0），在这里我们把y＝（k1x+b1）（k2x+b2）（k1≠0，k2≠0）叫做这两个函数的“友好”函数．（1）写出函数y＝x+1和y＝﹣x+3的“友好”函数，然后写出这个“友好”函数的图象与x轴交点的坐标；（2）已知函数y＝﹣x+2n和y＝x，当它们的“友好”函数自变量的取值范围是﹣1≤x ≤3，且当n≥3时这个“友好”函数的最大值是9，求n的值以及这个“友好”函数的最小值；（3）已知函数y＝﹣x+2n和y＝x，当它们的“友好”函数的自变量的取值范围是时，写出这个“友好”函数的图象在变化过程中最高点的纵坐标y 与n之间的函数关系式．25．如图①，抛物线y＝ax2+x+c经过点C（3，0），顶点为B，对称轴x＝1与x轴相交于点A，D为线段BC的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）P为线段BC上任意一点，M为x轴上一动点，连接MP，以点M为中心，将△MPC 逆时针旋转90°，记点P的对应点为点E，点C的对应点为F，当直线EF与抛物线y ＝ax2+x+c只有一个交点时，求点M的坐标；（3）△MPC在（2）的旋转变换下，若PC＝（如图②）①求证：EA＝ED；②当点E在（1）所求的抛物线上时，求线段CM的长．2020-2021学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，共38.0分）1．如果3x＝2y（x、y均不为零），那么x：y的值是（）A．B．C．D．【分析】根据等式的性质，等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的数（或整式），结果不变，可得答案．【解答】解：两边都除以3y，得＝，故选：B．【点评】本题考查了比例的性质，利用等式的性质是解题关键，等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的数（或整式），结果不变．2．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．下列计算正确的是（）A．m3+m2＝m5B．m3•m2＝m6C．（1﹣m）（1+m）＝m2﹣1D．【分析】根据同类项的定义，以及同底数的幂的乘法法则，平方差公式，分式的基本性质即可判断．【解答】解：A、不是同类项，不能合并，故选项错误；B、m3•m2＝m5，故选项错误；C、（1﹣m）（1+m）＝1﹣m2，选项错误；D、正确．故选：D．【点评】本题考查了同类项的定义，以及同底数的幂的乘法法则，平方差公式，分式的基本性质，理解平方差公式的结构是关键．4．甲、乙、丙、丁四名学生近5次数学成绩的平均数都是110分，方差如表，则这四名学生成绩最稳定的是（）学生甲乙丙丁方差（s2）11.6 6.87.6 2.8 A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】根据方差越小成绩越稳定求解可得．【解答】解：由表可知丁的方差最小，所以这四名学生成绩最稳定的是丁，故选：D．【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．5．若在同一直角坐标系中，作y＝x2，y＝x2+2，y＝﹣2x2+1的图象，则它们（）A．都关于y轴对称B．开口方向相同C．都经过原点D．互相可以通过平移得到【分析】从三个二次函数解析式看，它们都缺少一次项，即一次项系数为0，故对称轴x ＝0，对称轴为y轴．【解答】解：观察三个二次函数解析式可知，一次项系数都为0，故对称轴x＝﹣＝0，对称轴为y轴，都关于y轴对称．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象的性质与系数的关系，需要熟练掌握二次函数性质是解题关键．．6．一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，墙长20m，另外三边由篱笆围成，篱笆长度为30m，则垂直于墙的一边的长度x取值范围为（）A．5≤x＜15B．0＜x≤20C．5≤x≤20D．0＜x＜15【分析】由垂直于墙的一边的长度及篱笆的长度，可得出平行于墙的一边的长度，再结合矩形的各边长非负及墙长20m，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x 的取值范围．【解答】解：∵垂直于墙的一边的长度为xm，∴平行于墙的一边的长度为（30﹣2x）m．又∵墙长20m，∴，∴5≤x＜15．故选：A．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．7．关于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（）A．函数图象分别位于第二、四象限B．函数图象关于原点成中心对称C．函数图象经过点（﹣6，﹣2）D．当x＜0时，y随x的增大而增大【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对C进行判断；根据反比例函数的性质对A、B、D进行判断．【解答】解：反比例函数y＝﹣，k＝12＜0，A、函数图象分别位于第二、四象限，故本选项说法正确；B、函数图象关于原点成中心对称，故本选项说法正确；C、函数图象经过点（﹣6，2），故本选项说法不正确；D、当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，故本选项说法正确；故选：C．【点评】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k ＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．8．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于（）A．30°B．40°C．60°D．70°【分析】先根据两直线平行，同位角相等求出∠1，再利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求出∠E的度数．【解答】解：如图，∵AB∥CD，∠A＝70°，∴∠1＝∠A＝70°，∵∠1＝∠C+∠E，∠C＝40°，∴∠E＝∠1﹣∠C＝70°﹣40°＝30°．故选：A．【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．9．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（）A．175πcm2B．350πcm2C．πcm2D．150πcm2【分析】贴纸部分的面积等于扇形ABC减去小扇形的面积，已知圆心角的度数为120°，扇形的半径为25cm和10cm，可根据扇形的面积公式求出贴纸部分的面积．【解答】解：∵AB＝25，BD＝15，∴AD＝10，∴S贴纸＝2×（﹣）＝2×175π＝350πcm2，故选：B．【点评】本题主要考查扇形面积的计算的应用，解答本题的关键是熟练掌握扇形面积计算公式，此题难度一般．10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（1，﹣4a），点A（4，y1）是该抛物线上一点，若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：①4a﹣2b+c＞0；②若y2＞y1，则x2＞4；③若0≤x2≤4，则0≤y2≤5a；④若方程a（x+1）（x﹣3）＝﹣1有两个实数根x1和x2，且x1＜x2，则﹣1＜x1＜x2＜3．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①由抛物线的对称轴方程x＝，和顶点坐标为（1，﹣4a），便可用a的代数式表示b、c与，进而代入4a﹣2b+c便可由a的取值范围确定此小题的结论正确与否；②点A（4，y1）关于直线x＝1的对称点为（﹣2，y1），当y2＞y1，则x2＞4或x2＜﹣2，便可确定此小题的结论正确与否；③当x＝4时，y1＝16a+4b+c＝16a﹣8a﹣3c ＝5a，当﹣1≤x2≤4，则﹣4a≤y2≤5a，便可确定此小题的结论正确与否；④方程a（x+1）（x﹣3）＝﹣1有两个实数根x1和x2，可得抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与直线y＝﹣1交点的坐标（x1，﹣1）和（x2，﹣1），再由抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）＝0与x轴的两个交点坐标分别为（﹣1，0）和（3，0），便可确定此小题的结论正确与否．【解答】解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（1，﹣4a），∴x＝，且﹣4a＝a+b+c，∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，∴4a﹣2b+c＝4a+4a﹣3a＝5a＞0（∵抛物线开口向上，则a＞0），于是①的结论正确；②∵点A（4，y1）关于直线x＝1的对称点为（﹣2，y1），∴当y2＞y1，则x2＞4或x2＜﹣2，于是②错误；③当x＝4时，y1＝16a+4b+c＝16a﹣8a﹣3c＝5a，∴当﹣1≤x2≤4，则﹣3a≤y2≤5a，于是③错误；④∵方程a（x+1）（x﹣3）＝﹣1有两个实数根x1和x2，且x1＜x2，∴抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与直线y＝﹣1交点的坐标（x1，﹣1）和（x2，﹣1），∵抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）＝0时，x＝﹣1或3，即抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）＝0与x轴的两个交点坐标分别为（﹣1，0）和（3，0），∴﹣1＜x1＜x2＜3，于是④正确．故选：B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．二、填空题（本大题共6小题，共21.0分）11．在某校举行的“人人崇尚美，个个奉献爱”的演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中一位同学想知道自己是否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的中位数（填“平均数”“中位数”或“众数”）【分析】9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【解答】解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．故答案为：中位数．【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．12．分解因式：2a2﹣8b2＝2（a﹣2b）（a+2b）．【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：2a2﹣8b2，＝2（a2﹣4b2），＝2（a+2b）（a﹣2b）．故答案为：2（a+2b）（a﹣2b）．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．13．如图是一个高速公路隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB ＝8米，净高CD＝8米，则此圆的半径OA为5．【分析】先根据垂径定理求出AD的长，再设⊙O的半径为r，则OD＝8﹣r，在Rt△AOD 中，根据勾股定理即可求出r的值．【解答】解：∵CD⊥AB，AB＝8m，∴AD＝AB＝4m，设⊙O的半径为r，则OD＝8﹣r，在Rt△AOD中，∵OA2＝OD2+AD2，即r2＝（8﹣r）2+42，解得r＝5m．故答案为：5【点评】本题考查的是垂径定理的应用，先根据垂径定理得出AD的长，再根据勾股定理求解是解答此题的关键．14．以40m/s的速度将小球沿与地面成30度角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位m）与飞行时间t（单位s）之间具有函数关系：h＝20t﹣5t2，那么球从飞出到落地要用的时间是4s．【分析】根据函数关系式，当h＝0时，0＝20t﹣5t2，解方程即可解答．【解答】解：当h＝0时，0＝20t﹣5t2，解得：t1＝0，t2＝4，则小球从飞出到落地需要4s．故答案为：4s．【点评】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据题意建立方程是解决问题的关键．15．已知点P（a，b）在直线y＝x﹣1上，点Q（﹣a，2b）在直线y＝x+1上，则代数式a2﹣4b2﹣1的值为1．【分析】将点的坐标代入直线中可得出关于a、b的二元一次方程组，解方程即可得出a、b的值，将其代入代数式a2﹣4b2﹣1中，即可得出结论．【解答】解：由已知得：，解得：．∴a2﹣4b2﹣1＝﹣4×﹣1＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及解二元一次方程组，解题的关键是求出a、b的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由点在直线上得出方程（或方程组）是关键．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝8，点D是BC上一点，BC＝3CD，点P是线段AC上一个动点，以PD为直径作⊙O，点M为的中点，连接AM，则AM 的最小值为5．【分析】如图，连接OM，CM，过点A作AT⊥CM交CM的延长线于T．证明∠ACT＝45°，求出AT即可解决问题．【解答】解：如图，连接OM，CM，过点A作AT⊥CM交CM的延长线于T．∵＝，∴OM⊥PD，∴∠MOD＝90°，∴∠MCD＝∠MOD＝45°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACT＝45°，∵AT⊥CT，∴∠ATC＝90°，∵AC＝10，∴AT＝AC•sin45°＝5，∵AM≥AT，∴AM≥5，∴AM的最小值为5，故答案为5．【点评】本题考查圆周角定理，垂线段最短，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共9小题，共38.0分）17．计算：．【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝9﹣1+3﹣2＝9．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．先化简，再求值：﹣÷，然后在不等式x≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值．【分析】原式第二项利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝﹣•＝﹣＝，∵x≤2的非负整数解为：x＝0，1，2，且（x﹣1）（x+1）（x﹣2）≠0，∴当x＝0时，原式＝2．【点评】此题考查了分式的化简求值，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1，4），点B （﹣4，n）．（1）求n和b的值；（2）求△OAB的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．【分析】（1）把点A坐标分别代入反比例函数y＝，一次函数y＝x+b，求出k、b的值，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出n的值，即可得出答案；（2）求出直线AB与y轴的交点C的坐标，分别求出△ACO和△BOC的面积，然后相加即可；（3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案．【解答】解：（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y＝，一次函数y＝x+b，得k＝1×4，1+b＝4，解得k＝4，b＝3，∵点B（﹣4，n）也在反比例函数y＝的图象上，∴n＝＝﹣1；（2）如图，设直线y＝x+3与y轴的交点为C，∵当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×1+×3×4＝7.5；（3）∵B（﹣4，﹣1），A（1，4），∴根据图象可知：当x＞1或﹣4＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值．【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，一次函数的图象等知识点，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，用了数形结合思想．20．2020年是决胜全面建成小康社会冲锋之年，为进一步加快脱贫攻坚步伐，某市出台了民生兜底、医保脱贫、教育救助、产业扶持、养老托管和易地搬迁这六种帮扶措施，每户贫困户都享受了2到5种帮扶措施，现把享受了2种、3种、4种和5种帮扶措施的贫困户分别称为A、B、C、D类贫困户．为检查帮扶措施是否落实，随机抽取了若干贫困户进行调查，现将收集的数据绘制成下面两幅不完整的统计图：请根据图中信息回答下面的问题：（1）求本次抽样调查贫困户总户数，并补全条形统计图；（2）若该地共有15000户贫困户，请估计至少得到3项帮扶措施的大约有多少户；（3）为更好地做好精准扶贫工作，现准备从D类贫困户中的甲、乙、丙、丁四户中随机选取两户进行重点帮扶，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好选中甲和丙的概率．【分析】（1）由A类别户数及其对应百分比可得答案；总数量乘以C对应百分比可得C 类的人数，进而可补全条形统计图；（2）利用样本估计总体思想求解可得；（3）画树状图或列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．【解答】解：（1）本次抽样调查的总户数为260÷52%＝500（户），抽查C类贫困户为500×24%＝120（户），补全图形如图：（2）估计至少得到3项帮扶措施的大约有15000×（1﹣52%）＝7200（户）；（3）由题意可画如下树状图：由树状图知共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丙的有2种结果，所以恰好选中甲和丙的概率为．【点评】本题考查了扇形统计图，条形统计图，树状图等知识点，能正确画出条形统计图和树状图是解此题的关键．21．如图，AD∥BC，AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AC＝6，BD＝10，求OE的长．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠BAC＝∠DAC，根据平行线的性质得到∠ACB ＝∠DAC，求得∠BAC＝∠ACB，得到AB＝BC，同理，AB＝AD，于是得到结论；（2）根据已知条件得到四边形OCED是平行四边形，根据菱形的性质得到AC⊥BD，OC＝AC，OD＝BD，求得∠COD＝90°，根据勾股定理得到CD＝＝＝，推出四边形OCED是矩形，于是得到OE＝CD＝．【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC，∴∠BAC＝∠ACB，∴AB＝BC，同理，AB＝AD，∴AD＝BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OC＝AC，OD＝BD，∴∠COD＝90°，∵AC＝6，BD＝10，∴OC＝3，OD＝5，∴CD＝＝＝，∵四边形OCED是平行四边形，∠COD＝90°，∴四边形OCED是矩形，∴OE＝CD＝．【点评】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．22．某网店专售一品牌牙膏，其成本为22元/支，销售中发现，该商品每天的销售量y（支）与销售单价x（元/支）之间存在一次函数关系，当售价为30元时销售量为100支，售价为35元时销售量为50支．（1）请求出y与x之间的函数关系式；（2）该品牌牙膏销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？（3）该网店店主决定从每天获得的利润中抽出100元捐给希望工程，为了保证捐款后每天剩余的利润不低于350元，请你给该网店店主提供一个合理化的销售单价范围．【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由待定系数法求解即可；（2）设每天销售利润为w元，由题意得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案；（3）根据题意得出关于x的一元二次方程，求得方程的解，根据二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），∵当售价为30元时销售量为100支，售价为35元时销售量为50支，∴，解得：，∴y＝﹣10x+400；（2）设每天销售利润为w元，由题意得：w＝（x﹣22）（﹣10x+400）＝﹣10（x﹣31）2+810，∴当x＝31时，w有最大值，最大值为810元．∴当该品牌牙膏销售单价定为31元时，每天销售利润最大是810元．（3）由（2）得：w＝（x﹣22）（﹣10x+400），∴从每天获得的利润中抽出100元捐给希望工程且每天剩余的利润等于350元时，有：（x﹣22）（﹣10x+400）﹣100＝350，整理得：x2﹣62x+925＝0，解得：x1＝25，x2＝37．∵利润为关于x的二次函数，二次项系数为负，∴当25≤x≤37时，捐款后每天剩余的利润不低于350元，∴销售单价范围为：25≤x≤37．【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确题意并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．23．如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为4，点D在劣弧AB上运动（不与点A、B 重合），连接DA、DB、DC．（1）求证：DC是∠ADB的平分线；（2）四边形ADBC的面积S是线段DC长x的函数吗？如果是，请求出函数解析式；如果不是，请说明理由；（3）若点M、N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定位置，△DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值．【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，圆周角定理可得∠ADC＝∠BDC＝60°，可得结论；（2）将△ADC绕点逆时针旋转60°，得到△BHC，可证△DCH是等边三角形，可得四边形ADBC的面积S＝S△ADC+S△BDC＝S△CDH＝CD2，即可求解；（3）作点D关于直线AC的对称点E，作点D关于直线BC的对称点F，由轴对称的性质可得EM＝DM，DN＝NF，可得△DMN的周长＝DM+DN+MN＝FN+EM+MN，则当点E，点M，点N，点F四点共线时，△DMN的周长有最小值，即最小值为EF＝t，由轴对称的性质可求CD＝CE＝CF，∠ECF＝120°，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求EF＝2PE＝EC＝CD＝t，则当CD为直径时，t有最大值为8．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∵∠ADC＝∠ABC＝60°，∠BDC＝∠BAC＝60°，∴∠ADC＝∠BDC，∴DC是∠ADB的平分线；（2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数，理由如下：如图1，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△BHC，∴CD＝CH，∠DAC＝∠HBC，∵四边形ACBD是圆内接四边形，∴∠DAC+∠DBC＝180°，∴∠DBC+∠HBC＝180°，∴点D，点B，点H三点共线，∵DC＝CH，∠CDH＝60°，∴△DCH是等边三角形，∵四边形ADBC的面积S＝S△ADC+S△BDC＝S△CDH＝CD2，∴S＝x2（4＜x≤8）；（3）如图2，作点D关于直线AC的对称点E，作点D关于直线BC的对称点F，∵点D，点E关于直线AC对称，∴EM＝DM，同理DN＝NF，∵△DMN的周长＝DM+DN+MN＝FN+EM+MN，∴当点E，点M，点N，点F四点共线时，△DMN的周长有最小值，则连接EF，交AC于M，交BC于N，连接CE，CF，DE，DF，作CP⊥EF于P，∴△DMN的周长最小值为EF＝t，∵点D，点E关于直线AC对称，∴CE＝CD，∠ACE＝∠ACD，∵点D，点F关于直线BC对称，∴CF＝CD，∠DCB＝∠FCB，∴CD＝CE＝CF，∠ECF＝∠ACE+∠ACD+∠DCB+∠FCB＝2∠ACB＝120°，∵CP⊥EF，CE＝CF，∠ECF＝120°，∴EP＝PF，∠CEP＝30°，∴PC＝EC，PE＝PC＝EC，∴EF＝2PE＝EC＝CD＝t，∴当CD有最大值时，EF有最大值，即t有最大值，∵CD为⊙O的弦，∴CD为直径时，CD有最大值8，∴t的最大值为8．【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．24．对于给定的两个函数y＝k1x+b1（k1≠0）和y＝k2x+b2（k2≠0），在这里我们把y＝（k1x+b1）（k2x+b2）（k1≠0，k2≠0）叫做这两个函数的“友好”函数．（1）写出函数y＝x+1和y＝﹣x+3的“友好”函数，然后写出这个“友好”函数的图象与x轴交点的坐标；（2）已知函数y＝﹣x+2n和y＝x，当它们的“友好”函数自变量的取值范围是﹣1≤x ≤3，且当n≥3时这个“友好”函数的最大值是9，求n的值以及这个“友好”函数的最小值；（3）已知函数y＝﹣x+2n和y＝x，当它们的“友好”函数的自变量的取值范围是时，写出这个“友好”函数的图象在变化过程中最高点的纵坐标y 与n之间的函数关系式．【分析】（1）由题意得：y＝（x+1）（﹣x+3），令y＝（x+1）（﹣x+3）＝0，解得x＝﹣1或3，即可求解；（2）因为n≥3，而﹣1≤x≤3，故当x＝﹣1时，y＝﹣x2+2nx取得最小值，即y最小＝﹣x2+2nx＝﹣1﹣2n，进而求解；（3）分n+≤n、n﹣≥n、n＜n＜n+三种情况，根据对称轴的位置确定在内函数的最值，即可求解．【解答】解：（1）由题意得：y＝（x+1）（﹣x+3），令y＝（x+1）（﹣x+3）＝0，解得x＝﹣1或3，故函数与x轴交点的坐标为（﹣1，0），（3，0）；。
湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级下学期第一次月考数学试卷
2020-2021学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级（下）第一次月考数学试卷一．选择题（本大题共12小题，共36分）1．下列实数中，是有理数的为（）A．B．C．πD．2．2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米＝0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（）A．2.2×108B．2.2×10﹣8C．0.22×10﹣7D．22×10﹣93．下列运算正确的是（）A．a+2a＝2a2B．（﹣2ab2）2＝4a2b4C．a6÷a3＝a2D．（a﹣3）2＝a2﹣94．如图是由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．5．某学生上学路线如图所示，他总共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线相互平行，已知第一次转过的角度，第三次转过的角度，则第二次拐弯角（∠1）的度数是（）A．55°B．70°C．80°D．90°6．下列说法正确的是（）A．为了解三名学生的视力情况，采用抽样调查B．任意画一个三角形，其内角和是360°是必然事件C．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数分别为、，方差分别为s甲2、s乙2，若＝，s甲2＝0.4，s乙2＝2，则甲的成绩比乙的稳定D．一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次就有1次中奖7．一次函数y＝﹣3x+1的图象过点（x1，y1），（x1+1，y2），（x1+2，y3），则（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y28．若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是（）A．3cm B．4.5cm C．6cm D．9cm9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，以适当长为半径画弧交AB、BC于P、Q两点，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线BN交AC于点D．若AB＝10，AC＝8，则CD的长是（）A．2B．2.4C．3D．410．如图，点A、B、C、D在⊙O上，，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB ＝（）A．30°B．50°C．70°D．80°11．为降低成本，某出租车公司推出了“油改气”措施，如图，y1，y2分别表示燃油汽车和燃气汽车行驶路程S（单位：千米）与所需费用y（单位：元）的关系，已知燃气汽车每千米所需的费用比燃油汽车每千米所需费用少0.5元，设燃气汽车每千米所需费用为x 元，则可列方程为（）A．B．C．D．12．现有一列数a1，a2，a3，…，a98，a99，a100，其中a3＝2020，a7＝﹣2018，a98＝﹣1，且满足任意相邻三个数的和为同一个常数，则a1+a2+a3+…+a98+a99+a100的值为（）A．1985B．﹣1985C．2019D．﹣2019二．填空题（本大题共4小题，共16分）13．把多项式2a2b﹣4ab+2b分解因式的结果是．14．在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从口袋中随机摸出一个球，摸到红球的概率为．15．如图，扇形的圆心角为90°，半径OC＝2，∠AOC＝30°，CD⊥OB于点D，则阴影部分的面积是．16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为．三．解答题（本大题共9小题，共56分）17．计算：（﹣1）2021+2cos60°﹣（﹣）﹣2+（﹣）0．18．先化简：（x﹣1﹣）÷，然后从﹣1≤x≤2中选一个合适的整数作为x的值代入求值．19．如图，已知Rt△AOB的锐角顶点A在反比例函数的图象上，且△AOB的面积为2，若OB＝2．（1）求反比例函数的解析式；（2）一条直线过A点且交x轴于C点，已知，求直线AC的解析式．20．我校初三年级共有1200名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．（1）A课程成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x ＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；（2）A课程成绩在70≤x＜80这一组的是：70 71 71 72 74 74 76 78 78 7879 79 79 79（3）A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：课程平均数中位数众数A75.8m84.5B72.27083根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为78分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是“A”还是“B”？并说明理由．（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过75分的人数．21．如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9．（1）求BE的长；（2）求EF的长．22．去年，我校外有两奶茶店“甜茶”和“益禾堂”同时开张，“益禾堂”经不久后，为了提升销量而进行了品牌升级，因此停业了一段时间，随后继续营业，第40天结束时两店销售总收入为21000元．两奶茶店自开张后各自的销售收入y（元）随时间x（天）的变化情况如图所示，请根据图象解决下列问题：（1）益禾堂停业了天；（2）求出图中“益禾堂”销售收入为5400元时，对应的横坐标a的值；（3）求出在第几天结束时两店收入相差1500元？23．如图，在⊙O中，BC为直径，点A在⊙O上，且AO⊥BC，点E在射线CA的延长线上移动，连接BE，F为BE的中点，且FG⊥BE交AO于点G，连接BG，其中BC＝2a．（1）求证：AF＝BE；（2）连接CG，求证：GC＝GE＝GB，并求出∠BGE的度数；（3）求AE+AG的值（用含a的代数式表示）．24．新定义：我们把一个方程解的范围定义为“安全域”．（1）已知关于x的方程3x+b＝2，安全域为1＜x＜3，请求出此时b的取值范围；（2）一次函数y＝﹣x+2m与反比例函数y＝（m≠0）交于两个点，此时两交点的横坐标所在的方程中有一解的安全域是0＜x＜，请求出此时m的取值范围；（3）如图在边长为2的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，AO与⊙D交于点F，以O为圆心OA长为半径作圆O，点C在弧FB上且不与F、B重合的一动点，射线AC交⊙于点E，BC＝a，AC＝b，求关于x的方程；x2+ax＝b2+ab的安全域．25．抛物线y＝ax2+4ax+3a（a＜0）交x轴的负半轴于A、B两点（A在B的右边），交y轴负半轴于点C．（1）连接AC，BC，S△ABC＝3，求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，若点E为点B左侧抛物线上的动点，使∠ACB+∠ECB≤45°，求出E点横坐标的取值范围；（3）如图，若点E为点B左侧抛物线上的动点，直线EA，EB分别交y轴于点F、G，判断的值是否为定值，并说明理由．。
湖南省长沙市青竹湖湘一外国语学校2020-2021学年度初三上学期入学考试数学试卷
2020-2021学年初2018级初三第一学期入学考试数学试卷分值：100分 时间：80分钟一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分) 1.37-的倒数是( ) A.37- B.73- C.37 D.732.下面四个图形分别是低碳、节水、绿色食品和节能标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是( )A. B. C. D.3.新型冠状病毒的平均直径约为0.00000012m ，用科学记数法表示该数据为( )A.81.210-⨯B.71.210-⨯C.71210-⨯D.71.210⨯4.下列式子中，为最简二次根式的是( )5.端午节期间，某商场搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在本商场一次性购买粽子超过100元者，超过100元的部分按8折优惠”.在此活动中，李明到该商场一次性购买单价为60元的礼盒()2x x >件，则应付款y (元)与商品件数x (件)之间的关系式是( )A.48y x =B.4820y x =+C.4880y x =-D.4840y x =+6.在同一坐标系内，函数2y kx =和()20y kx k =+≠的图象大致如图( )A. B. C. D.7.不等式组213231x x -≤⎧⎨+>⎩的解集在数轴上表示正确的是( )A. B.C. D.8.高坪区今年有近6千名考生参加中考，为了解本次中考的数学成绩，从中抽取100名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是( )A.总体是全区近6千名考生B.样本是被抽取的100名考生C.个体是每位考生的数学成绩D.样本容量是100名考生的数学成绩 9.下列命题中，真命题的个数有( )①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线相等的四边形是矩形；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.A.1个B.2个C.3个D.4个10.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周算经》中早有记载.如图，分别以Rt ABC △的三条边为边向外作正方形，面积分别记为1S ，2S ，3S .若1236S S +=，则3S =( )A.25B.36C.40D.4911.银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降低1.21%，设平均每次降息的百分率为x ，则x 满足方程( )A.()2.25%12 1.21%x -=B.()1.21%12 2.25%x +=C.()21.21%1 2.25%x +=D.()22.25%1 1.21%x -= 12.已知某二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，下列结论中正确的有( )①0abc <；②0a b c -+<；③1a b =-；④80a c +>. A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(本大题共4个小题，每小题3分，共12分)13.已知一组数据3-，2-，x ，1，3，6的中位数是1，则其众数为________.14.若方程2340x x --=的两个根分别为1x 和2x ，则1211x x +=________. 15.若一个扇形的弧长是2cm π，面积是26cm π，则扇形的圆心角是________度.16.已知函数221y x x =-++，当1x a -≤≤时，函数的最大值是2，则实数a 的取值范围是________.三、解答题(本大题共8个小题，17-22题每小题6分，第23、24题每小题8分，共52分)17.计算：()1013.144312π-⎛⎫--++- ⎪⎝⎭18.先化简再求值：22622193m m m m m -+-+÷-+，其中m 是不等式()()253312m m m +≥--的一个负整数解.19.如图，在平行四边形ABCD 中，90ACB ∠=︒，过点D 作DE BC ⊥交BC 的延长线于点E .(1)求证：四边形ACED 是矩形；(2)连接AE 交CD 于点F ，连接BF .若60ABC ∠=︒，2CE =，求BF 的长.20.在2020年新冠病毒爆发期间，某校为了解学生防疫的安全意识，在全校范围内随机抽取部分学生进行网上问卷调查.根据调查结果，将学生的安全意识分为“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次，并绘制成如下两幅尚不完整的统计图.根据以上信息，解答下列问题：(1)本次调查一共抽取了________名学生，请将条形统计图补充完整；(2)扇形统计图中，“很强”层次所占圆心角的大小为________°；(3)若该校共有3500名学生，现要对防疫的安全为“淡薄”、“一般”的学生进行强化安全教育，根据调查结果，请你估计全校需要强化安全教育的学生人数.21.如图，点D 在O 的直径AB 的延长线上，点C 在O 上，AC CD =，120ACD ∠=︒.(1)求证：CD 是O 的切线； (2)若O 的半径为2，求图中阴影部分的面积.22.某商场销售某种型号防护面罩，进货价为40元/个.经市场销售发现：售价为50元/个时，每周可以售出100个，若每涨价1元，就会少售出5个.供货厂家规定市场售价不得低于50元/个，且商场每周销售数量不得少于80个.(1)确定商场每周销售这种型号防护面罩所得的利润w (元)与售价x (元/个)之间的函数关系式；(2)当售价x (元/个)定为多少时，商场每周销售这种防护面罩所得的利润w (元)最大？最大利润是多少？23.如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C .且直线6y x =-过点B ，与y 轴交于点D ，点C 与点D 关于x 轴对称，点P 是线段OB 上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，交直线BD 于点N .(1)求抛物线的函数解析式；(2)当MDB △的面积最大时，求点P 的坐标；(3)在(2)的条件下，在y 轴上是否存在点Q ，使得以Q ，M ，N 三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，()1,0A m +、()()0,0B m m >，以AB 为直径画P ，点C 为P 上一动点.(1)判断坐标原点O 是否在P 上，并说明理由；(2)若点C 在第一象限，过点C 作CD y ⊥轴，垂足为D ，连接BC 、AC ，且BCD BAC ∠=∠，当3m =时，求线段BC 的长；(3)若点C 是AOB 的中点；试问随着m 的变化点C 的坐标是否发生变化，若不变，求出点C 的坐标；若变化，请说明理由.。
湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2019-2020学年初三下学期第一次月考数学试卷 解析版
2019-2020学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级（下）第一次段考数学试卷一．选择题（共12小题）1．下列实数中，是无理数的是（）A．0B．﹣3C．D．2．不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．3．下列立体图形中，俯视图不是圆的是（）A．B．C．D．4．若m＞n，下列不等式不一定成立的是（）A．m+3＞n+3B．﹣3m＜﹣3n C．＞D．m2＞n25．一次函数y＝2x﹣3的图象经过的象限是（）A．一、二、三B．二、三、四C．一、三、四D．一、二、四6．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线相等D．对角线互相平分7．下列说法正确的是（）A．打开电视机，正在播放“张家界新闻”是必然事件B．天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天一定下雨C．两组数据平均数相同，则方差大的更稳定D．数据5，6，7，7，8的中位数与众数均为78．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，△ADE和四边形BCED的面积分别记为S1，S2，那么的值为（）A．B．C．D．9．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC＝10m，则坡面AB的长度是（A．15m B．20m C．20m D．10m10．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx+b＞的解集是（）A．x＜﹣1B．﹣1＜x＜0C．x＜﹣1或0＜x＜2D．﹣1＜x＜0或x＞211．关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为（）A．B．C．D．012．如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B 在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最小值为（）A．4B．3C．7D．8二．填空题（共6小题）13．分解因式：x4﹣4x2＝．14．在函数y＝中，自变量x的取值范围是．15．如图所示的电路中，当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为．16．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为．17．如图，AB为半圆的直径，且AB＝6，将半圆绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C 的位置，则图中阴影部分的面积为．18．如图，双曲线y＝（x＞0）经过矩形OABC的顶点B，双曲线y＝（x＞0）交AB，BC于点E、F，且与矩形的对角线OB交于点D，连接EF．若OD：OB＝2：3，则△BEF 的面积为．三．解答题（共6小题）19．计算：（3.14﹣π）0+|﹣1|﹣2cos45°+（﹣1）2019．20．先化简，再求值（﹣1）÷，然后选一个你喜欢的的数代入求值．21．某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合图中相关数据解答下列问题：（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有人；（2）在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为；（3）将条形统计图补充完整；（4）若获得一等奖的同学中有来自七年级，来自九年级，其余的来自八年级，学校决定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛，请通过列表或树状图方法求所选两名同学中，恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率．22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E，使CE＝BC，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点．求证：（1）△ADF≌△ECF．（2）四边形ABCD是平行四边形．23．为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A、B两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机．（1）求今年每套A型、B型一体机的价格各是多少万元？（2）该市明年计划采购A型、B型一体机共1100套，考虑物价因素，预计明年每套A 型一体机的价格比今年上涨25%，每套B型一体机的价格不变，若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？24．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O上的两点，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：CE＝CF；（3）若BD＝1，CD＝，求弦AC的长．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．下列实数中，是无理数的是（）A．0B．﹣3C．D．【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解：A、0是有理数，故A错误；B、﹣3是有理数，故B错误；C、是有理数，故C错误；D、是无理数，故D正确；故选：D．2．不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2x﹣2≤0，得：x≤1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤1，故选：B．3．下列立体图形中，俯视图不是圆的是（）A．B．C．D．【分析】俯视图是从几何体的上面看物体，所得到的图形，分析每个几何体，解答出即可．【解答】解：A、圆柱的俯视图是圆；故本项不符合题意；B、圆锥的俯视图是圆；故本项不符合题意；C、立方体的俯视图是正方形；故本项符合题意；D、球的俯视图是圆；故本项不符合题意．故选：C．4．若m＞n，下列不等式不一定成立的是（）A．m+3＞n+3B．﹣3m＜﹣3n C．＞D．m2＞n2【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．【解答】解：A、不等式的两边都加3，不等号的方向不变，故A正确，不符合题意；B、不等式的两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，故B正确，不符合题意；C、不等式的两边都除以3，不等号的方向不变，故C正确，不符合题意；D、如m＝2，n＝﹣3，m＞n，m2＜n2；故D错误，符合题意；故选：D．5．一次函数y＝2x﹣3的图象经过的象限是（）A．一、二、三B．二、三、四C．一、三、四D．一、二、四【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质可以解答本题．【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣3，∴该函数经过第一、三、四象限，故选：C．6．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线相等D．对角线互相平分【分析】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．【解答】解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．故选：C．7．下列说法正确的是（）A．打开电视机，正在播放“张家界新闻”是必然事件B．天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天一定下雨C．两组数据平均数相同，则方差大的更稳定D．数据5，6，7，7，8的中位数与众数均为7【分析】事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．【解答】解：A．打开电视机，正在播放“张家界新闻”是随机事件，故A错误；B．天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天可能下雨，故B错误；C．两组数据平均数相同，则方差大的更不稳定，故C错误；D，数据5，6，7，7，8的中位数与众数均为7，正确．故选：D．8．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，△ADE和四边形BCED的面积分别记为S1，S2，那么的值为（）A．B．C．D．【分析】根据已知可得到△ADE∽△ABC，从而可求得其面积比，则不难求得的值．【解答】解：根据三角形的中位线定理，△ADE∽△ABC，DE：BC＝1：2，所以它们的面积比是1：4，所以＝，故选：C．9．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC＝10m，则坡面AB的长度是（A．15m B．20m C．20m D．10m【分析】在Rt△ABC中，已知了坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．【解答】解：在Rt△ABC中，∵BC＝10m，tan A＝1：，∴AC＝BC÷tan A＝10m，∴AB＝＝20（m）．故选：C．10．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx+b＞的解集是（）A．x＜﹣1B．﹣1＜x＜0C．x＜﹣1或0＜x＜2D．﹣1＜x＜0或x＞2【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围便是不等式kx+b＞的解集．【解答】解：由函数图象可知，当一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象在反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象上方时，x的取值范围是：x＜﹣1或0＜x＜2，∴不等式kx+b＞的解集是x＜﹣1或0＜x＜2故选：C．11．关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为（）A．B．C．D．0【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝4，代入代数式计算即可．【解答】解：∵x1+x2＝4，∴x1+3x2＝x1+x2+2x2＝4+2x2＝5，∴x2＝，把x2＝代入x2﹣4x+m＝0得：（）2﹣4×+m＝0，解得：m＝，故选：A．12．如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B 在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最小值为（）A．4B．3C．7D．8【分析】连接OC，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最小，根据勾股定理和题意求得OP＝2，则AB的最小长度为4．【解答】解：连接OC，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最小，∵C（3，4），∴OC＝＝5，∵以点C为圆心的圆与y轴相切．∴⊙C的半径为3，∴OP＝OC﹣3＝2，∴OP＝OA＝OB＝2，∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴AB长度的最小值为4，故选：A．二．填空题（共6小题）13．分解因式：x4﹣4x2＝x2（x+2）（x﹣2）．【分析】先提取公因式再利用平方差公式进行分解，即x4﹣4x2＝x2（x2﹣4）＝x2（x+2）（x﹣2）；【解答】解：x4﹣4x2＝x2（x2﹣4）＝x2（x+2）（x﹣2）；故答案为x2（x+2）（x﹣2）；14．在函数y＝中，自变量x的取值范围是x≥﹣2且x≠0．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x+2≥0且x≠0，解得x≥﹣2且x≠0．故答案为：x≥﹣2且x≠0．15．如图所示的电路中，当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为．【分析】根据题意可得：随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，有3种方法，其中有两种能够让灯泡发光，故其概率为．【解答】解：因为随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，有3种方法，其中有2种能够让灯泡发光所以P（灯泡发光）＝．故本题答案为：．16．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为24．【分析】根据菱形的对角线互相平分可得BO＝DO，然后求出OE是△BCD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出CD，然后根据菱形的周长公式计算即可得解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO，∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴CD＝2OE＝2×3＝6，∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24；故答案为：24．17．如图，AB为半圆的直径，且AB＝6，将半圆绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C 的位置，则图中阴影部分的面积为6π．【分析】根据图形可知，阴影部分的面积是半圆的面积与扇形ABC的面积之和减去半圆的面积．【解答】解：由图可得，图中阴影部分的面积为：＝6π，故答案为：6π．18．如图，双曲线y＝（x＞0）经过矩形OABC的顶点B，双曲线y＝（x＞0）交AB，BC于点E、F，且与矩形的对角线OB交于点D，连接EF．若OD：OB＝2：3，则△BEF 的面积为．【分析】设D（2m，2n），根据题意A（3m，0），C（0，3n），B（3m，3n），即可得出9＝3m•3n，k＝2m•2n＝4mn，解得mn＝1，由E（3m，n），F（m，3n），求得BE、BF，然后根据三角形面积公式得到S△BEF＝BE•BF＝mn＝．【解答】解：设D（2m，2n），∵OD：OB＝2：3，∴A（3m，0），C（0，3n），∴B（3m，3n），∵双曲线y＝（x＞0）经过矩形OABC的顶点B，∴9＝3m•3n，∴mn＝1，∵双曲线y＝（x＞0）经过点D，∴k＝4mn∴双曲线y＝（x＞0），∴E（3m，n），F（m，3n），∴BE＝3n﹣n＝n，BF＝3m﹣m＝m，∴S△BEF＝BE•BF＝mn＝故答案为．三．解答题（共6小题）19．计算：（3.14﹣π）0+|﹣1|﹣2cos45°+（﹣1）2019．【分析】分别计算出（3.14﹣π）0＝1，|﹣1|＝﹣1，2cos45°＝2×＝，+（﹣1）2019＝1即可求解；【解答】解：（3.14﹣π）0+|﹣1|﹣2cos45°+（﹣1）2019＝1+﹣1﹣2×﹣1＝﹣1；20．先化简，再求值（﹣1）÷，然后选一个你喜欢的的数代入求值．【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简得出答案．【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝•＝，当x＝8时，原式＝＝．21．某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合图中相关数据解答下列问题：（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有40人；（2）在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为90°；（3）将条形统计图补充完整；（4）若获得一等奖的同学中有来自七年级，来自九年级，其余的来自八年级，学校决定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛，请通过列表或树状图方法求所选两名同学中，恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率．【分析】（1）利用鼓励奖的人数除以它所占的百分比得到的总人数；（2）用360°乘以二等奖人数占被调查人数的比例即可得；（3）计算出一等奖和二等奖的人数，然后补全条形统计图；（4）画树状图（用A、B、C分别表示七年级、八年级和九年级的学生）展示所有12种等可能的结果数，再找出所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数，然后利用概率公式求解．【解答】解：（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有18÷45%＝40（人），故答案为：40；（2）扇形统计图中获三等奖的圆心角为360°×＝90°，故答案为：90°．（3）获二等奖的人数＝40×20%＝8，一等奖的人数为40﹣8﹣10﹣18＝4（人），条形统计图为：（4）由题意知，获一等奖的学生中，七年级有1人，八年级有1人，九年级有2人，画树状图为：（用A、B、C分别表示七年级、八年级和九年级的学生）共有12种等可能的结果数，其中所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数为4，所以所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率＝．22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E，使CE＝BC，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点．求证：（1）△ADF≌△ECF．（2）四边形ABCD是平行四边形．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠DAF＝∠E，根据线段中点的定义得到DF＝CF，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到AD＝EC，等量代换得到AD＝BC，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠E，∵点F是CD的中点，∴DF＝CF，在△ADF与△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS）；（2）∵△ADF≌△ECF，∴AD＝EC，∵CE＝BC，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．23．为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A、B两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机．（1）求今年每套A型、B型一体机的价格各是多少万元？（2）该市明年计划采购A型、B型一体机共1100套，考虑物价因素，预计明年每套A 型一体机的价格比今年上涨25%，每套B型一体机的价格不变，若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？【分析】（1）直接利用今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机，分别得出方程求出答案；（2）根据题意表示出总费用进而利用一次函数增减性得出答案．【解答】解：（1）设今年每套A型一体机的价格为x万元，每套B型一体机的价格为y 万元，由题意可得：，解得：，答：今年每套A型的价格各是1.2万元、B型一体机的价格是1.8万元；（2）设该市明年购买A型一体机m套，则购买B型一体机（1100﹣m）套，由题意可得：1.8（1100﹣m）≥1.2（1+25%）m，解得：m≤600，设明年需投入W万元，W＝1.2×（1+25%）m+1.8（1100﹣m）＝﹣0.3m+1980，∵﹣0.3＜0，∴W随m的增大而减小，∵m≤600，∴当m＝600时，W有最小值﹣0.3×600+1980＝1800，故该市明年至少需投入1800万元才能完成采购计划．24．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O上的两点，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：CE＝CF；（3）若BD＝1，CD＝，求弦AC的长．【分析】（1）连接OC，可证得∠CAD＝∠BCD，由∠CAD+∠ABC＝90°，可得出∠OCD ＝90°，即结论得证；（2）证明△ABC≌△AFC可得CB＝CF，又CB＝CE，则CE＝CF；（3）证明△DCB∽△DAC，可求出DA的长，求出AB长，设BC＝a，AC＝a，则由勾股定理可得AC的长．【解答】解：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠ABC＝90°，∵CE＝CB，∴∠CAE＝∠CAB，∵∠BCD＝∠CAE，∴∠CAB＝∠BCD，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OCB+∠BCD＝90°，∴∠OCD＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠BAC＝∠CAE，∠ACB＝∠ACF＝90°，AC＝AC，∴△ABC≌△AFC（ASA），∴CB＝CF，又∵CB＝CE，∴CE＝CF；（3）∵∠BCD＝∠CAD，∠ADC＝∠CDB，∴△DCB∽△DAC，∴，∴，∴DA＝2，∴AB＝AD﹣BD＝2﹣1＝1，设BC＝a，AC＝a，由勾股定理可得：，解得：a＝，∴．。
2021年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考数学一模试卷(附答案详解)
2021年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.2的倒数是()A. −12B. −2 C. 12D. 22.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是()A. B.C. D.3.央广网宁波4月21日消息，宁波一季度GDP增长8.5%，外贸进出口增速创新高.一季度共实现自营进出口约1683亿元，同比增长29.7%，创下历史新高，其中1683亿元用科学记数法表示为()A. 16.83×1010元B. 1.683×1011元C. 1.683×1010元D. 0.1683×1012元4.cos60°的值等于()A. 12B. 1 C. √22D. √325.如图，在△ABC中，DE//BC，若AD：DB=1：3，则△ADE与△ABC的面积之比是()A. 1：3B. 1：4C. 1：9D. 1：166.不等式组{x+1≤3−2x−6<−4的解集在数轴表示正确的是()A. B.C. D.7. 已知正比例函数y =kx(k ≠0)的图象过点(2,3)，把正比例函数y =kx(k ≠0)的图象平移，使它过点(1,−1)，则平移后的函数图象大致是( )A.B.C.D.8. 某校男篮队员的年龄分布如表所示：年龄/岁 13 1415 人数a4−a6对于不同的a ，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是( )A. 众数，中位数B. 众数，方差C. 平均数，中位数D. 平均数，方差9. 如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 的长为( )A. 2B. 2√3C. √3D. 4√310. 某学校食堂需采购部分餐桌，现有A 、B 两个商家，A 商家每张餐桌的售价比B 商家的优惠20元．若该校花费4400元采购款在B 商家购买餐桌的张数等于花费4000元采购款在A 商家购买餐桌的张数，则A 商家每张餐桌的售价为( )A. 197元B. 198元C. 199元D. 200元11. 定义：对于给定的一次函数y =ax +b(a 、b 为常数，且a ≠0)，把形如y ={ax +b(x ≥0)−ax −b(x <0)的函数称为一次函数y =ax +b 的“相依函数”，已知一次函数y =x +1，若点P(−2,m)在这个一次函数的“相依函数”图象上，则m 的值是( )A. 1B. 2C. 3D. 412. 如图，点A 在双曲线y =2x 上，点B 在双曲线y =kx (k ≠0)上，AB//x 轴，过点A作AD ⊥x 轴于D.连接OB ，与AD 相交于点C ，若2AC =3CD.则k 的值为( )A. 5B. 6C. 52D. 152二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.把x2−9y2分解因式，结果是______．14.下列四个命题中：①对顶角相等；②同旁内角互补；③全等三角形的对应角相等；④两直线平行，同位角相等，其中假命题的有______(填序号)15.如图，某轮船以每小时30海里的速度向正东方向航行，上午8：00，测得小岛C在轮船A的北偏东45°方向上；上午10：00，测得小岛C在轮船B的北偏西30°方向上，则轮船在航行中离小岛最近的距离约为______海里(精确到1海里，参考数据√2≈1.414，√3≈1.732)．16.如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠ADC=60°，将平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.若点P 是直线l上的一个动点，则PD′+PB的最小值______．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）17.计算：(√33)−1−2sin60°+√27−(√3−2)0．18.先化简，再求值：已知(x2+4x +4)÷x2−4x2−2x，当−2≤x≤2时，选择一个你喜欢的数求值．19.尺规作图如下：如图，在△ABC中，①作AD平分∠BAC交BC于D；②作线段AD的垂直平分线分别交AB于点E、交AC于点F；③连接DE、DF；(1)在所作图的步骤中①得到角平分线AD的依据是______．A.ASAB.AASC.SASD.SSS(2)试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．20.某校校园文化节中组织全校900名学生进行知识竞赛，参赛学生均获奖．为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题：(1)本次被抽取的部分人数是______名；(2)扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是______，并把条形统计图补充完整；(3)根据抽样结果，请估计该校获得特等奖的人数为多少名；(4)某班有4名获特等奖的学生小红、小明、小亮、小双，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求小双被选中的概率．21.近年来骑自行车运动成为时尚，甲、乙两人相约由A地出发骑自行车去B景区游玩(匀速骑行)，已知甲骑行180千米与乙骑行200千米所用的时间相同，且乙每小时比甲每小时多骑行5千米．(1)求甲、乙两人的速度各是多少；(2)如果A地到B景区的路程为180千米，甲、乙两人到达B景区游玩一段时间后，甲按原速返回A地，同时乙按原速骑行1.5小时后，因体力消耗，每小时骑行速度减少m千米，如果甲回到A地时，乙距离A地不超过25千米，求乙的速度每小时最多减少多少千米．22.如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D是边BC的中点，点O是边AB上的点，以O为圆心，OA为半径的⊙O交AB，BC，AD于点F，E，G，且点E是弧GF的中点，连接OE．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若BE=4，BF=2，求⊙O的半径．23.如图，在矩形ABCD中，AC为矩形ABCD对角线，DG⊥AC于点G，延长DG的延长线交AB于点E，已知AD=6，CD=8．(1)求AE的长；(2)∠ACD的角平分线CF交AD于点F，求tan∠DCF的值；(3)若O1、O2分别是△ADG、△DCG的内心，求O1、O2两点间的距离．24.定义：当x取任意实数，函数值始终不小于一个常数时，称这个函数为“恒心函数”，这个常数称为“恒心值”．(1)判断：函数y=x2+2x+2是否为“恒心函数”，如果是，求出此时的“恒心值”，如果不是，请说明理由；(2)已知“恒心函数”y=3|ax2+bx+c|+2．①当a>0，c<0时，此时的恒心值为______；②若三个整数a、b、c的和为12，且ba =cb，求a的最大值与最小值，并求出此时相应的b、c的值；(3)恒心函数y=ax2+bx+c(b>a)的恒心值为0，且a+b+ca+b>m恒成立，求m的取值范围．25.已知一次函数：y=−3x−3与x轴交于点A，与y轴交于点C.抛物线y=ax2−(4+m)ax+4ma(a、m为常数)过定点B，连接BC，点D为线段BC上一动点．(1)求出点B的坐标；(2)过D作DP⊥AC于点P，DQ⊥x于点Q，设Q点横坐标为t，DP长度为d，试求d关于t的函数解析式；(3)①当m=0，a>0时，该抛物线上存在唯一的点H使∠CAH=45°，求此时抛物线的解析式；②过点D作DE⊥BC交线段OB于点E，连接CE并延长交△OBC的外接圆于点F，当点D在BC上移动时，求OD⋅EF的最大值．答案和解析1.【答案】C．【解析】解：2的倒数是：12故选：C．直接利用倒数的定义分析得出答案．此题主要考查了倒数，正确把握定义是解题关键．2.【答案】B【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、是中心对称图形，不是轴对称图形；C、是轴对称图形，也是中心对称图形；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故选：B．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.【答案】B【解析】解：1683亿元=168300000000=1.683×1011元，故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.【答案】A【解析】解：∵cos60°=12，故选：A．本题求60°角的余弦函数值，需要记住．本题考查了特殊角的三角函数值．特殊角有30°、45°、60°，记住它们的正弦、余弦、正切值是关键．5.【答案】D【解析】解：∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∵AD：DB=1：3，AD：AB=1：4∴S△ADE：S△ABC=AD2：AB2=1：16，故选：D．由DE与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ADE与三角形ABC相似，利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到结果．此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．6.【答案】D【解析】解：{x+1≤3 ①−2x−6<−4 ②，解不等式①得，x≤2，解不等式②得，x>−1，在数轴上表示如下：．故选：D．分别求出两个不等式的解集，然后在数轴上表示即可得解．本题考查了不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“>”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“<”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．7.【答案】D【解析】解：把点(2,3)代入y=kx(k≠0)得2k=3，解得k=32，∴正比例函数解析式为y=32x，设正比例函数平移后函数解析式为y=32x+b，把点(1,−1)代入y=32x+b得32+b=−1，∴b=−52，∴平移后函数解析式为y=32x−52，故函数图象大致为：．故选：D．先求出正比例函数解析式，再根据平移和经过点(1,−1)求出一次函数解析式，即可求解．本题考查了求正比例函数，一次函数解析式，一次函数图象与性质，根据正比例函数求出平移后一次函数解析式是解题关键．8.【答案】A【解析】解：由表可知，年龄为15=3岁与年龄为14岁的频数和为a+4−a=4，则总人数为：4+6=10，故该组数据的众数为15岁；按大小排列后，第5个和第6个数据为：15，15，则中位数为：15+152=15岁，即对于不同的a，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，故选：A．由频数分布表可知前两组的频数和为4，即可得知总人数，结合频数分布表知出现次数最多的数据及第5、6个数据的平均数求出中位数，可得答案．本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：如图所示，连接OC、OB∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=60°，∵OA=OB，∴△BOC是等边三角形，∴∠OBM=60°，∴OM=OBsin∠OBM=4×√32=2√3，故选：B．连接OC、OB，证出△BOC是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可．本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OM是解决问题的关键．10.【答案】D【解析】解：设A商家每张餐桌的售价为x元，则B商家每张餐桌的售价为(x+20)，根据题意列方程得：4000 x =4400x+20，解得：x=200经检验：x=200是原方程的解，故选：D．设A商家每张餐桌的售价为x元，则B商家每张餐桌的售价为(x+20)，根据“花费4400元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费4000元采购款在A商家购买餐桌的张数”列方程即可．本题主要考查了分式方程的实际应用，审清题意找准等量关系列出方程是解决问题的关键．11.【答案】A【解析】解：一次函数y =x +1的“相依函数”为y ={x +1(x ≥0)−x −1(x <0)． ∵点P(−2,m)在一次函数y =x +1的“相依函数”图象上，∴m =−1×(−2)−1=1．故选：A ．找出一次函数y =x +1的“相依函数”，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m 的值．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据“相依函数”的定义，找出一次函数y =x +1的“相依函数”是解题的关键．12.【答案】A【解析】解：设点A 的坐标为(a,2a )，则点B 的坐标为(ak 2,2a )，∵AB//x 轴，∴∠BAC =∠ODC ，∠ACB =∠DCO ，∴AB OD =AC DC ，∵2AC =3CD ．∴AB DO =32， ∵OD =a ，∴AB =1.5a ，∴点B 的横坐标是2.5a ，∴2.5a =ak 2，解得，k =5，故选：A ．根据题意设出点A 的坐标，从而得到点B 的坐标，然后根据三角形相似即可求得k 的值． 本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、三角形相似，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质和三角形相似的知识解答．13.【答案】(x−3y)(x+3y)【解析】解：x2−9y2=(x−3y)(x+3y)，故答案为：(x−3y)(x+3y)．直接利用平方差公式进行分解即可．此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)．14.【答案】②【解析】解：①对顶角相等是真命题；②同旁内角互补是假命题；③全等三角形的对应角相等是真命题；④两直线平行，同位角相等是真命题；故假命题有②，故答案为：②．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．本题主要考查了命题与定理的运用，解题时注意：命题的“真”“假”是就命题的内容而言，任何一个命题非真即假．15.【答案】38【解析】解：根据题意可知：AB=30×(10−8)=60(海里)，∠ACD=45°，∠BCD=30°，如图，作CD⊥AB于点D，在Rt △ACD 中，CD =AD ，在Rt △CBD 中，BD =AB −AD =60−CD ，∴tan30°=BD CD ， 即√33=60−CD CD ， 解得CD ≈38(海里)．答：轮船在航行中离小岛最近的距离约为38海里．故答案为：38．根据题意可得，AB =60海里，∠ACD =45°，∠BCD =30°，如图，作CD ⊥AB 于点D ，根据锐角三角函数即可求出CD 的长，即为轮船在航行中离小岛最近的距离．本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角的概念．16.【答案】√7【解析】解：过点D 作DM ⊥AB 交BA 的延长线于点M ，∵四边形ABCD 是平行四边形，AD =1，AB =2，∠ADC =60°，∴∠DAM =60°，由翻折变换可得，AD =AD′=1，DE =D′E ，∠ADC =∠AD′E =60°，∴∠DAM =∠AD′E =60°，∴AD//D′E ，又∵DE//AB ，∴四边形ADED′是菱形，∴点D 与点D′关于直线l 对称，连接BD 交直线l 于点P ，此时PD′+PB 最小，PD′+PB =BD ，在Rt △DAM 中，AD =1，∠DAM =60°，∴AM =12AD =12，DM =√32AD =√32， 在Rt △DBM 中，DM =√32，MB =AB +AM =52， ∴BD =√DM 2+MB 2=√7，即PD′+PB 最小值为√7，故答案为：√7．根据平行四边形的性质以及AD=1，AB=2，∠ADC=60°，可得出四边形ADED′是菱形，进而得出点D与点D′关于直线l对称，连接BD交直线l于点P此时PD′+PB最小，即求出BD即可，通过作高构造直角三角形利用勾股定理求解即可．本题考查翻折变换，平行四边形、菱形以及直角三角形的边角关系，理解翻折变换的性质，平行四边形、菱形的性质以及直角三角形的边角关系是解决问题的前提，根据对称的性质得出BD就是PD′+PB最小值时解决问题的关键．17.【答案】解：原式=√32×√32+3√3−1=√3−√3+3√3−1 =3√3−1．【解析】根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=√32×√32+3√3−1，然后分母有理化后合并即可．本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和零指数幂、负整数指数幂是解决问题的关键．也考查了特殊角的三角函数值．18.【答案】解：原式=(x2+4x +4xx)÷(x+2)(x−2)x(x−2)=(x+2)2x ⋅x x+2=x+2，∵x≠±2且x≠0，∴取x=1，则原式=1+2=3．【解析】先计算括号内分式的加法、将除法转化为乘法，再约分即可化简原式，继而选取使分式有意义的x的值代入计算即可．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．19.【答案】D【解析】解：(1)在所作图的步骤中①得到角平分线AD的依据是SSS；故答案为：D；(2)结论：四边形AEDF是菱形．理由：∵EF垂直平分线段AD，∴AE=DE，AF=DF，∴∠EAD=∠EDA，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠DAC，∴∠EDA=∠DAC，∴DE//AC，同理可得，DF//AE，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AE=DE，∴四边形AEDF是菱形．(1)根据作图过程即可知得到角平分线AD的依据是SSS；(2)根据邻边相等的平行四边形是菱形，证明即可．本题考查作图−复杂作图，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20.【答案】60 108°【解析】解：(1)本次被抽取的部分人数人数为：24÷40%=60(名)，故答案为：60；=108°，(2)扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是360°×1860D级的人数为：60−3−18−24=15(名)，故答案为：108°，把条形统计图补充完整如图：(2)估计该校获得特等奖的人数为：900×360=45(名)；(3)把小红、小明、小亮、小双分别记为A、B、C、D，画树状图如图：共有12种等可能的结果，小双被选中的结果有6种，∴小双被选中的概率为：612=12．(1)由C级的人数和所占百分比即可求解；(2)由360°乘以B级所占的比例即可；(3)全校学生900名乘以获得特等奖的人数所占的比例即可；(4)画树状图，共有12种等可能的结果，小双被选中的结果有6种，再由概率公式求解即可．此题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．21.【答案】解：(1)设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为(x+5)千米/时，依题意，得：180x =200x+5，解得：x=45，经检验，x=45是原方程的解，且符合题意，∴x+5=50．答：甲的速度为45千米/时，乙的速度为50千米/时．(2)依题意，得：180−50×1.5−(180÷45−1.5)(50−m)≤25，解得：m≤18．答：乙的速度每小时最多减少18千米．【解析】(1)设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为(x+5)千米/时，根据时间=路程÷速度结合甲骑行180千米与乙骑行200千米所用的时间相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；(2)根据路程=速度×时间结合甲回到A地时乙距离A地不超过25千米，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最大值即可得出结论．本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．22.【答案】(1)证明：连接GF交OE于点M，∵∠B=∠C，∴AB=AC，又∵点D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵AF是⊙O的直径，∴∠AGF=∠DGF=90°，∵点E是弧GF的中点，∴GF⊥OE，∴∠GME=90°，∴四边形GMED是矩形，∴∠MED=90°，∴OE⊥BC，∴BC是⊙O的切线；(2)解：设OE=OF=x，则OB=x+2，∵∠OEB=90°，∴OE2+BE2=OB2，∴x2+42=(x+2)2，解得x=3，∴⊙O的半径为3．【解析】(1)连接GF交OE于点M，由等腰三角形的性质得出AD⊥BC，由圆周角定理及垂径定理得出∠DGM=∠GME=90°，得出四边形GMED是矩形，则可得出答案；(2)设OE=OF=x，则OB=x+2，由勾股定理可求出答案．本题考查了切线的性质为和判定，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．23.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=BAD=90°，AB=CD=8，AD=BC=6，∴∠DAG+∠BAC=90°，∵DG⊥AC，∴∠DAG+∠ADE=90°，∴∠BAC=∠ADE，∴tan∠BAC=tan∠ADE，∴BCAB =AEAD，即：68=AE6，∴AE=92；(2)如图1，过点F作FH⊥AC于点H，∵CF平分∠ACD，FD⊥CD，FH⊥CA，∴FD=FH，∵∠ADC=90°，∴AC=√AD2+CD2=√62+82=10，∵S△ACF+S△DCF=S△ACD，∴12AC⋅FH+12CD⋅FD=12AD⋅CD，∴12×10×FD +12×8×FD =12×6×8， ∴FD =83，∴tan∠DCF =FDCD =838=13；(3)过点O 1作O 1N ⊥AC 于点N ，过点O 2作O 2M ⊥AC 于点M ，作O 1K ⊥O 2M 于点K ， 则∠O 1NMK 是矩形， ∵DG ⋅AC =AD ⋅CD ， ∴DG =AD⋅CD AC=6×810=245，∴AG =DG ⋅tan∠ADE =DG ×AE AD=245×926=185，∴CG =AC −AG =10−185=325，∵O 1、O 2分别是Rt △ADG 、Rt △DCG 的内心，设⊙O 1的半径为r 1，⊙O 2的半径为r 2， ∴r 1=AG+DG−AD2=185+245−62=65，r 2=CG+DG−CD2=325+245−82=85， ∴O 1K =MN =r 1+r 2=65+85=145，O 2K =r 2−r 1=85−65=25， ∵∠O 1KO 2=90°，∴O 1O 2=√O 1K 2+O 2K 2=√(145)2+(25)2=2√2．【解析】(1)利用矩形性质和直角三角形性质得出∠BAC =∠ADE ，进而得出tan∠BAC =tan∠ADE ，即可求得答案；(2)如图1，过点F 作FH ⊥AC 于点H ，利用角平分线性质可得：FD =FH ，运用勾股定理求得AC =10，再利用S △ACF +S △DCF =S △ACD ，可得12AC ⋅FH +12CD ⋅FD =12AD ⋅CD ，即可求得FD =83，再运用三角函数定义即可求得答案；(3)过点O 1作O 1N ⊥AC 于点N ，过点O 2作O 2M ⊥AC 于点M ，作O 1K ⊥O 2M 于点K ，则∠O 1NMK 是矩形，运用面积法和三角函数定义求出AG 、CG 、DG ，再分别求出Rt △ADG 、Rt △DCG 的内切圆半径，再运用勾股定理即可求得答案．本题考查了矩形性质，直角三角形性质，勾股定理，三角形面积，三角函数定义，直角三角形的内切圆半径等，解题关键是添加辅助线构造直角三角形，熟练运用三角函数定义和直角三角形内切圆半径等知识．24.【答案】2【解析】解：(1)∵y=x2+2x+2=(x+1)2+1≥1，∴函数y=x2+2x+2是“恒心函数”，且“恒心值“为1；(2)①对于“恒心函数“y=3|ax2+bx+c|+2，当a>0，c<0时，Δ=b2−4ac>0，∴函数y=3|ax2+bx+c|+2的图象开口向上，与x轴有两个不同的交点，即函数y= 3|ax2+bx+c|+2的图象恒在x轴的上方，∴y=3|ax2+bx+c|+2≥0+2，∴“恒心值“为2，故答案为2．②设ba =cb=x，则b=ax，c=ax2，∴a+b+c=a(1+x+x2)=12，∴x2+x+1−12a=0，由题意知a、b、c为整数，则上述方程的解一定是有理数，∴Δ=1−4(1−12a)≥0，a>0，∴0<a≤16，当a=1时，x2+x−11=0，Δ=b2−4ac=45，√45=3√5不是有理数，不符合题意，当a=2时，x2+x−5=0，Δ=b2−4ac=21，√21不是有理数，不符合题意，当a=3时，x2+x−3=0，Δ=b2−4ac=13，√13不是有理数，不符合题意，当a=4时，x2+x−2=0，Δ=b2−4ac=9，√9=3是有理数，且x1=1，x2=−2，∴a的最小值为4，此时b=ax=4，c=ax2=4或b=ax=−8，c=ax2=16，当a=16时，a+b+c=a(1+x+x2)=16(1+x+x2)=12，解得x1=x2=−12，∴b=ax=−8，c=ax2=4，综上，a的最小值为4，此时b=4，c=4或b=−8，c=16，a的最大值为16，b=−8，c=4；(3)∵y=ax2+bx+c恒心值为0，即y=a2+bx+c≥0恒成立，∴a>0，且Δ=b2−4ac=0，∴c=b24a，∴a+b+ca+b =1+ca+b=1+b24aa+b=1+14(ab)2+4(ab)，∵b>a>0，∴0<ab<1，令t=ab，(0<t<1)，∴0<4t2+4t<8，∴a+b+ca+b =1+14t2+4t>1+18=98，∴m≤98．(1)根据“恒心函数“的定义即可判断；(2)①根据△=b2−4ac>0，得到函数y1=3|ax2+bx+c|的图象恒在x轴的上方，即可求解；②设ba =cb=x，则b=ax，c=ax2，构造关于x的方程x2+x+1−12a=0，分类讨论，根据根的判别式求解即可；(3)由题意得y=ax2+bx+c≥0恒成立，则a>0，且Δ=b2−4ac=0，即c=b24a，令t=ab ，整理a+b+ca+b即可求解．本题考查了对新定义的阅读理解能力，考查了二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程根的判别式及根与系数关系等，准确理解新定义的“恒心函数“，熟练掌握二次函数等相关知识，灵活运用方程思想和分类讨论思想是解题关键．25.【答案】解：(1)∵y=ax2−(4+m)ax+4ma=ax2+m(−ax+4a)−4ax，当−ax+4a=0时，x=4，∴y=16a+0−16a=0，∴y=ax2+m(−ax+4a)−4ax，恒过(4,0)，∴B(4,0)；(2)作DH//x轴，交AC于点H，∵直线AC的关系式为：y=−3x−3，∴A(−1,0)，C(0,−3)，∴OA=1，OC=3，AC=√OA2+OC2=√10，∵DH//x轴，∴∠OAP=∠DHP，又∵∠OAP+∠OCA=∠DHP+∠HDP=90°，∴∠HDP=∠OCA，又∵∠AOC=∠DPH=90°，∴△OAC∽△PHD，∴HP：PD：HD=1：3：√10，∴PD=3√10HD，设直线BC的解析式为y=kx−3，把点B坐标(4,0)代入得，4k−3=0，∴k=34，∴直线BC的解析式为y=34x−3，设D(t,34t−3)，∵点D、点H的纵坐标相等，∴令−3x−3=34t−3，∴t=−14t∴点H的坐标为(−14t,34t−3)，∴DH=t−(−14t)=54t，∴d=DP=3√10⋅54t=3√108t(0≤t≤4)；(3)∵m=0，∴抛物线函数解析式y=ax2−4ax，①如图，射线AH2不可能在抛物线的右侧，当射线AH1与抛物线y=ax2−4ax有唯一交点时，点H只能在AC的右侧，过点C作CK⊥AC于K，过点K作KM⊥y轴于点M，∵∠CAH1=45°，∴∠CKA=45°，∴CA=CK，∴∠OAC+∠OCA=∠OCA+∠KCM=90°，∴∠OAC=∠KCM，∴Rt △OAC≌Rt △MCK(AAS)， ∴KM =OC =3，CM =OA =1， ∴K(3,−2)，同理可得直线AK 的解析式为y =−12x −12， 联立{y =−12x −12y =ax 2−4ax，得ax 2+(12−4a)x +12=0，根据题意得，Δ=0，即(12−4a)2−4×12a =0， 解得a 1=3+√516，a 2=3−√516， 检验：当a =3−√516时，3−√516x 2+√5−14x +12=0，∴x 1=x 2=−b2a =−√5−1<−1， 此时唯一的交点在射线AH 1反向延长线上， ∴a =3−√516(不合题意，舍去)，检验：a =3+√516符合题意，综上可知，此时抛物线的解析式为y =3+√516x 2−3+√54x.②∵B(4,0)，C(0,−3)， ∴OB =4，OC =3，在Rt △BCO 中，BC =√32+42=5， ∵∠EDC +∠EOC =180°， ∴E 、O 、D 、C 四点共圆， ∴∠ECD =∠EOD ， ∴△BOD∽△BCE ， ∴OD EC=OBCB ，∴OD =45EC ， 连接FB ，∴∠FBO =∠FCO ，∠FEB =∠OEC ， ∴△EFB∽△EOC ， ∴EO ⋅EB =EF ⋅EC ，∴OD⋅EF=45EC⋅EO⋅EBEC=45EO⋅EB=45EO(4−EO)，∴OD⋅EF=−45(EO−2)2+165，∴当EO=2时，OD⋅EF的最大值=165．【解析】(1)解析式整理成y=ax2+m(−ax+4a)−4ax，令−ax+4a=0即可得到答案；(2)先证明△OAC∽△PHD，得到PD=√10，求得直线BC的解析式，设D(t,34t−3)，求得点H的坐标，即可求解；(3)①证明Rt△OAC≌Rt△MCK，求得直线AK的解析式，利用根的判别式可求解；②证明△BOD∽△BCE，△EFB∽△EOC，利用相似三角形的性质得到OD⋅OF的解析式，利用二次函数的性质可得答案．此题考查的是二次函数综合题目、一次函数的应用、直角三角形的性质、最短问题、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构造二次函数解决最值问题，学会利用二次函数的性质解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题．。
2020年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级(上)第一次月考数学试卷
月考数学试卷题号一二三四五总分得分一、选择题（本大题共11小题，共33.0分）1.下列实数中，哪个数是负数（）A. 0B. 3C.D. -12.分式有意义，则x的取值范围是（）A. x＞3B. x＜3C. x≠3D. x≠-33.下列各式中计算结果为x7的是（）A. x3+x4B. x3•x4C. （x3）4D. x7+x74.下列事件中为必然事件的是（）A. 购买一张彩票，中奖B. 打开电视，正在播放广告C. 抛一枚硬币，正面向上D. 从三个黑球中摸出一个是黑球5.誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值，下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.6.一元二次方程x2-2x-1=0的根的情况为（）A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根7.下列4个点，不在反比例函数y=-图象上的是（）A. （2，-3）B. （-3，2）C. （3，-2）D. （3，2）8.如图，AB是⊙O的弦（AB不是直径），以点A为圆心，以AB长为半径画弧交⊙O于点C，连结AC、BC、OB、OC．若∠ABC=65°，则∠BOC的度数是（）A. 50°B. 65°C. 100°D. 130°9.已知，如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD=25°，那么∠C的度数是（）A. 75°B. 65°C. 60°D. 50°10.如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（）A. 10B. 18C. 20D. 2211.如图，点A在双曲线的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为（）A. 16B.C.D. 9二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）12.在同一平面内，⊙O的直径为2cm，点P到圆心O的距离是3cm，则点P与⊙O的位置关系是______．13.分解因式：ax2-9a=______．14.在一个不透明的布袋中装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除了颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率为______．15.不等式组的解集为______．16.如图，以BC为直径的⊙O与△ABC的另两边分别相交于点D、E．若∠A=60°，BC=4，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留π）17.如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）18.计算：（-1）2+（π-3.14）0-|-2|四、解答题（本大题共7小题，共56.0分）19.如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）（1）请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于原点对称；（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出线段OB旋转到OB2扫过图形的面积．20.如图，已知反比例函数y=与一次函数y=k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（-4，m）．（1）求k1、k2、b的值；（2）求△AOB的面积；（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y=图象上的两点，且x1＜x2，y1＜y2，指出点M、N各位于哪个象限，并简要说明理由．21.为监控某条生产线上产品的质量，检测员每隔相同时间抽取一件产品，并测量其尺寸（cm），在一天的抽检结束后，监测员将测得的各数据按从小到大的顺序整理成如下表格：按照生产标准，产品等级规定如下注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品个数时，将优等品（含特等品）计算在内，（1）已知此次抽检的合格率为80%，请判断编号为⑮的产品是否为合格品，并说明理由；（2）已知此次及抽检出的优等品尺寸的中位数为9cm．①a=______；②将这些优等品分成两组，一组尺寸大于9cm，另一种尺寸不大于9cm，从这两组中各随机抽取1件进行复检，求抽到的2件产品都是特等品的概率．22.熊组长准备为我们年级投资1万元围一个矩形的运动场地（如图），其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造且三边的总长为50m，墙长24m，平行于墙的边的费用为200元/m，垂直于墙的边的费用150元/m，设平行与墙的边长为x/m．（1）若运动场地面积为300m2，求x的值；（2）当运动场地的面积最大时是否会超过了预算？23.如图，⊙O为△ABC的外接圆，AC=AB，作直线AD∥BC，AD⊥CD于D．（1）如图1，求证：AD是⊙O的切线；（2）如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G．①求证：∠BAD+∠BAG=180°；②若AD=3，CD=4，求FG的长．24.我们可以用f（x）表示x为自变量的函数，如一次函数y=2x-1，可表示f（x）=2x-1，f（1）=2×1-1=1，f（a）=2a-1．（1）已知二次函数f（x）=x2-2ax-a-2．①求证：不论a为何值，此函数图象与x轴总有两个交点；②若f（1）=2，是否存在实数m，使得当m≤x≤m+2时，函数g（x）=f（x）-2mx的最小值为，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由：（2）已知函数f（x）=4x-4-2x-2，g（x）=y4+y2，若实数x、y使得f（x）=g（y）=3，求4x-4+y4的值．25.如图1，抛物线y=x2-（a+1）x+a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴负半轴交于点C，若AB=4．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，E是第三象限内抛物线上的动点，过点E作EF∥AC交抛物线于点F，过E作EG⊥x轴交AC于点M，过F作FH⊥x轴交AC于点N，当四边形EMNF的周长最大值时，求点E的横坐标；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点Q，使得以Q、C、B、O为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分？如果存在，求点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．五、选择题（本大题共1小题，共3.0分）26.二次函数y=2（x-3）2-6（）A. 最小值为-6B. 最大值为-6C. 最小值为3D. 最大值为3答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、0既不是正数也不是负数，故A错误；B、3是正实数，故B错误；C、是正实数，故C错误；D、-1是负实数，故D正确；故选：D．根据小于零的数是负数，可得答案．本题考查了实数，小于零的数是负数，属于基础题型．2.【答案】C【解析】解：∵x-3≠0，∴x≠3．故选：C．本题主要考查分式有意义的条件：分母≠0，即x-3≠0，解得x的取值范围．本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．3.【答案】B【解析】[分析]根据幂的乘方及同底数幂的乘法法则及合并同类项进行各选项的判断即可．本题考查了幂的乘方及合并同类项，属于基础题，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则．[详解]解：A.x3与x4不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；B.x3•x4=x7，故本选项符合题意；C.（x3）4=x12，故本选项不符合题意；D.x7+x7=2x7，故本选项不符合题意．故选B．4.【答案】D【解析】解：A、购买一张彩票，中奖是随机事件；B、打开电视，正在播放广告是随机事件；C、抛一枚硬币，正面向上是随机事件；D、从三个黑球中摸出一个是黑球是必然事件；故选：D．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．5.【答案】C【解析】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项正确；D、是轴对称图形，故此选项错误；故选：C．根据轴对称图形的概念进行判断即可．本题考查的是轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．6.【答案】B【解析】解：根据题意△=（-2）2-4×（-1）=8＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：B．先计算判别式得到△=（-2）2-4×（-1）=8＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．7.【答案】D【解析】解：原式可化为：xy=-6，A、2×（-3）=-6，符合条件；B、（-3）×2=-6，符合条件；C、3×（-2）=-6，符合条件；D、3×2=6，不符合条件．故选：D．根据y=-得k=xy=-6，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于-6，就在函数图象上．本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．8.【答案】C【解析】解：由题意可得：AB=AC，∵∠ABC=65°，∴∠ACB=65°，∴∠A=50°，∴∠BOC=100°，故选：C．直接根据题意得出AB=AC，进而得出∠A=50°，再利用圆周角定理得出答案．此题主要考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质，正确得出∠A的度数是解题关键．9.【答案】B【解析】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．又∠BAD=25°，∴∠B=65°．∴∠C=65°．故选：B．根据直径所对的圆周角是直角得到∠ADB=90°，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠B=65°，再根据同弧所对的圆周角相等进行求解．此题主要是考查了圆周角定理的推论的运用．10.【答案】C【解析】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，∴△PCD的周长是PC+CD+PD=PC+AC+DB+PD=PA+PB=10+10=20．故选：C．根据切线长定理得出PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，求出△PCD的周长是PC+CD+PD=PA+PB，代入求出即可．本题考查了切线长定理的应用，关键是求出△PCD的周长=PA+PB．11.【答案】B【解析】解：连DC，如图，∵AE=3EC，△ADE的面积为3，∴△CDE的面积为1，∴△ADC的面积为4，设A点坐标为（a，b），则AB=a，OC=2AB=2a，而点D为OB的中点，∴BD=OD=b，∵S梯形OBAC=S△ABD+S△ADC+S△ODC，∴（a+2a）×b=a×b+4+×2a×b，∴ab=，把A（a，b）代入双曲线y=，∴k=ab=．故选B．由AE=3EC，△ADE的面积为3，得到△CDE的面积为1，则△ADC的面积为4，设A点坐标为（a，b），则k=ab，AB=a，OC=2AB=2a，BD=OD=b，利用S梯形=S△ABD+S△ADC+S△ODC得（a+2a）×b=a×b+4+×2a×b，整理可得ab=，即可得到OBACk的值．本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式；利用三角形的面积公式和梯形的面积公式建立等量关系．12.【答案】点P在⊙O外【解析】解：∵⊙O的直径为2cm，∴半径r=1cm，∵d=3，且d＞r，∴点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O外，故答案为：点P在⊙O外．要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；本题可由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．13.【答案】a（x+3）（x-3）【解析】解：ax2-9a=a（x2-9），=a（x+3）（x-3）．故答案为：a（x+3）（x-3）．先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．14.【答案】【解析】解：∵不透明的布袋中装有5个红球，2个白球，3个黄球，共有10个球，∴从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率为；故答案为：．先求出总球的个数，再根据概率公式即可得出答案．此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15.【答案】-2＜x≤3【解析】解：，∵由①式得x＞-2；由②式得x≤3，∴不等式组的解为-2＜x≤3．故答案为：-2＜x≤3．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．16.【答案】π【解析】解：∵△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，∵△OBD、△OCE是等腰三角形，∴∠BDO+∠CEO=∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BOD+∠COE=360°-（∠BDO+∠CEO）-（∠ABC+∠ACB）=360°-120°-120°=120°，∵BC=4，∴OB=OC=2，∴S阴影==π．故答案为：π．先根据三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB的度数，再由△OBD、△OCE是等腰三角形得出∠BDO+∠CEO的度数，由三角形内角和定理即可得出∠BOD+∠COD的度数，再根据扇形的面积公式即可得出结论．本题考查的是扇形面积的计算，解答此类问题时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件，要求同学们掌握扇形的面积公式．17.【答案】3【解析】【分析】本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出DF=GE．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边是关键．取线段AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出CD=CG 以及∠FCD=∠ECG，由旋转的性质可得出EC=FC，由此即可利用全等三角形的判定定理SAS证出△FCD≌△ECG，进而即可得出DF=GE，再根据点G为AC的中点，即可得出EG的最小值，此题得解．【解答】解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．∵△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，∴CD=CG=AB=6，∠ACD=60°，∵∠ECF=60°，∴∠FCD=∠ECG．在△FCD和△ECG中，，∴△FCD≌△ECG（SAS），∴DF=GE．当EG∥BC时，EG最小，∵点G为AC的中点，∴此时EG=DF=CD=BC=3．故答案为3．18.【答案】解：原式=1+1-2+=．【解析】原式利用乘方的意义，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19.【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．∵OB==2，∠BOB2=90°，线段OB旋转到OB2扫过图形的面积为=5π．【解析】本题主要考查了运用旋转变换进行作图以及扇形的面积，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．（1）根据△A1B1C1与△ABC关于原点对称进行作图即可；（2）根据△ABC绕点O逆时针旋转90°，即可得到旋转后得到的△A2B2C2，依据扇形的面积计算公式，即可得到线段OB旋转到OB2扫过图形的面积．20.【答案】解：（1）∵反比例函数y=与一次函数y=k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（-4，m），∴k1=8，B（-4，-2），解，解得；∴k1=8，k2=2，b=6;（2）由（1）知一次函数y=k2x+b的图象与y轴的交点坐标为C（0，6），∴S△AOB=S△COB+S△AOC=×6×4+×6×1=15；（3）∵反比例函数y=的图象位于一、三象限，∴在每个象限内，y随x的增大而减小，∵x1＜x2，y1＜y2，∴M，N在不同的象限，∴M（x1，y1）在第三象限，N（x2，y2）在第一象限．【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，求函数的解析式，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．（1）先把A点坐标代入y=可求得k1=8，则可得到反比例函数解析式，再把B（-4，m）代入反比例函数求得m，得到B点坐标，然后利用待定系数法确定一次函数解析式即可求得结果；（2）由（1）知一次函数y=k2x+b的图象与y轴的交点坐标为（0，6），可求S△AOB=×6×4+×6×1=15；（3）根据反比例函数的性质即可得到结果．21.【答案】9.02【解析】解：（1）编号为⑮的产品不合格．理由如下：∵15×80%=12，∴不合格的有15-12=3个，∵给出的数据只有①②两个不合格，∴编号为⑮的产品不合格；（2）①优等品有⑥～⑪，中位数在⑧8.98，⑨a之间，∴=9，解得：a=9.02；故答案为：9.02；②大于9cm的有⑨⑩⑪，小于9cm的有⑥⑦⑧，其中特等品为⑦⑧⑨⑩，画树状图为：共有九种等可能的情况，其中抽到两种产品都是特等品的情况有4种．∴抽到两种产品都是特等品的概率P=．（1）由15×80%=12，不合格的有15-12=3个，给出的数据只有①②两个不合格可得答案；（2）①由中位数的定义即可得出答案；②由特等品为⑦⑧⑨⑩，画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．本题考查的是利用树状图求概率、中位数的定义、数据的整理等知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22.【答案】解：（2）根据题意，得：（）x=300，解得：x=20或x=30，∵墙的长度为24m，∴x=20；（2）设菜园的面积是S，则S=（）x=-x2+25x=-（x-25）2+，∵-＜0，∴当x＜25时，S随x的增大而增大，∵x≤24，∴当x=24时，S取得最大值，∴总费用=24×200+26×150=8700＜1000，∴没有超过预算．【解析】（1）根据矩形的面积公式列方程求解可得；（2）根据矩形的面积公式列出总面积关于x的函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得．本题考查了二次函数的应用、长方形的周长公式的运用、长方形的面积公式的运用、一元二次方程的解法的运用，解答时根据长方形的面积公式建立方程和函数解析式是关键．23.【答案】证明：（1）如图1，连接OA，OB，OC．在△OAC和△OAB中，，∴△OAC≌△OAB（SSS），∴∠OAC=∠OAB，∴AO平分∠BAC，∴AO⊥BC．又∵AD∥BC，∴AD⊥AO，∴AD是⊙O的切线．（2）①证明：如图2，连接AE．∵AD∥BC，AD⊥CD，∴∠BCE=90°，∴∠BAE=90°．又∵AF⊥BE，∴∠AFB=90°．∵∠BAG+∠EAF=∠AEB+∠EAF=90°，∴∠BAG=∠AEB．∵∠ABC=∠ACB=∠AEB，∴∠BAG=∠ABC，∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，∴∠BAD+∠BAG=180°；②在△ADC和△AFB中，，∴△ADC≌△AFB（AAS），∴AF=AD=3，BF=CD=4，∵∠BAG=∠ABC，∴AG=BG设FG=x，在Rt△BFG中，FG=x，BF=4，BG=AG=x+3，∴FG2+BF2=BG2，即x2+42=（x+3）2，∴x=，∴FG=．【解析】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，圆的有关知识，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的判定以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用全等三角形的性质及垂径定理，找出AO⊥BC；（2）①利用等角的余角相等及圆周角定理，找出∠BAG=∠ABC；②在Rt△BFG中，利用勾股定理求出FG的长．（1）连接OA，OB，OC，由AC=AB，OA=OA，OC=OB可证出△OAC≌△OAB（SSS），利用全等三角形的性质可得出∠OAC=∠OAB，即AO平分∠BAC，利用垂径定理可得出AO⊥BC，结合AD∥BC可得出AD⊥AO，由此即可证出AD是⊙O的切线；（2）①连接AE，由圆内接四边形对角互补结合∠BCE=90°可得出∠BAE=90°，由同角的余角相等可得出∠BAG=∠AEB，结合∠ABC=∠ACB=∠AEB可得出∠BAG=∠ABC，由平行线的性质可得∠BAD+∠ABC=180°，即可得结论；②由∠ADC=∠AFB=90°，∠ACD=∠ABF，AC=AB可证出△ADC≌△AFB（AAS），利用全等三角形的性质可求出AF，BF的长，设FG=x，在Rt△BFG中，利用勾股定理可求出x的值，即可求解．24.【答案】解：（1）①f（x）=x2-2ax-a-2，则△=4a2+4a+8=4（a+）2+7＞0，∴不论a为何值，此函数图象与x轴总有两个交点；②f（1）=2，则a=-1，∴f（x）=x2+2x-1，g（x）=f（x）-2mx=x2+（2-2m）x-1=（x+1-m）2-（m2-2m+2），∴g（x）的对称轴为x=m-1，当m≤m-1≤m+2时，即m≥2，g（m-1）=-（-m2-2m+2）=-，∴m=1+；当m-1＜m时，即m＜2，g（m）=-m2+m-1=-，∴m=-；综上所述：m=1+或m=-时，g（x）最小值为-；（2）∵f（x）=g（y）=3，∴4x-4-2x-2=3，令x-2=t，则有4t2-2t=3，∴t=，∵t＞0，∴t=，∴y4+y2=3，∴y2=，∴4x-4+y4=4t2+y4=4×（）2+（）2=7．【解析】（1）①f（x）=x2-2ax-a-2，则△=4a2+4a+8=4（a+）2+7＞0，所以不论a为何值，此函数图象与x轴总有两个交点；②由已知可求f（x）=x2+2x-1，则有g（x）=f（x）-2mx=x2+（2-2m）x-1=（x+1-m）2-（m2-2m+2），分两种情况求解：当m≤m-1≤m+2时，即m≥2，g（m-1）=-（-m2-2m+2）=-；当m-1＜m时，即m＜2，g（m）=-m2+m-1=-；（2）由f（x）=g（y）=3，可得4x-4-2x-2=3，求得x-2=，再由y4+y2=3，求得y2=，则有4x-4+y4=4t2+y4=4×（）2+（）2=7．本题考查函数的解析式；能够准确理解题意，结合二次函数的性质求最小值，并能准确解一元二次方程是解题的关键．25.【答案】解：（1）x2-（a+1）x+a=0，则x1+x2=a+1，x1x2=a，则AB==（a-1）2=16，解得：a=5或-3，抛物线与y轴负半轴交于点C，故a=5舍去，则a=-3，则抛物线的表达式为：y=x2+2x-3…①；（2）由y=x2+2x-3得：点A、B、C的坐标分别为：（-3，0）、（1，0）、（0，-3），设点E（m，m2+2m-3），OA=OC，故直线AC的倾斜角为45°，EF∥AC，直线AC的表达式为：y=-x-3，则设直线EF的表达式为：y=-x+b，将点E的坐标代入上式并解得：直线EF的表达式为：y=-x+（m2+3m-3）…②，联立①②并解得：x=m或-3-m，故点F（-3-m，m2+4m），点M、N的坐标分别为：（m，-m-3）、（-3-m，m+3），则EF=（x F-x E）=（-2m-3）=MN，四边形EMNF的周长S=ME+MN+EF+FN=-2m2-（6+4）m-6，∵-2＜0，故S有最大值，此时m=-，故点E的横坐标为：-；（3）①当点Q在第三象限时，----当QC平分四边形面积时，则|x Q|=x B=1，故点Q（-1，-4）；----当BQ平分四边形面积时，则S△OBQ=×1×|y Q|，S四边形QCBO=1×3+×3×|x Q|，则2（×1×|y Q|）=1×3+×3×|x Q|，解得：x Q=-，故点Q（-，-）；②当点Q在第四象限时，同理可得：点Q（，）；综上，点Q的坐标为：（-1，-4）或（-，-）或（，）．【解析】（1）x2-（a+1）x+a=0，则AB==（a-1）2=16，即可求解；（2）设点E（m，m2+2m-3），点F（-3-m，m2+4m），四边形EMNF的周长S=ME+MN+EF+FN，即可求解；（3）分当点Q在第三象限、点Q在第四象限两种情况，分别求解即可．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的面积计算等，其中（1）（3），都要注意分类求解，避免遗漏．26.【答案】A【解析】【解答】解：∵a=2＞0，∴二次函数有最小值为-6．故选：A．【分析】根据二次函数的顶点式解析式写出即可．本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握利用顶点式解析式求最值的方法是解题的关键．。
湖南省长沙市青竹湖湘一外国语学校2021-2022学年九年级下学期第一次月考数学试卷(含答案)
初三数学一、选择题（每小题3分，共30分） 1．2022-的绝对值是（ ） A ．2022B ．2022-C ．12022D ．12022-2．2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器成功“刹车”被火星“捕获”．在制动捕获过程中，探测器距离地球的距离为192 000 000公里．数字192 000 000用科学记数法表示为（ ） A ．719.210⨯B ．81.9210⨯C ．90.19210⨯D ．91.9210⨯3．第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在中国北京市和张家口市联合举办．以下是历届的冬奥会会徽设计的部分图形，其中不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列计算正确的是（ ） A ．235a b ab +=B ．236x x x ⋅= C ．23ab ba ab -+=D ．()323626xyx y -=-5．如图，已知AB//CD ，AF 交CD 于点E ，且BE ⊥AF ，∠BED=50°，则∠A 的度数是（ ） A ．40° B ．50° C ．80° D ．90°第5题图 第7题图 6．下列命题为真命题的是（ ） A ．同旁内角互补B ．三角形的外心是三条内角平分线的交点C ．平行于同一条直线的两条直线平行D ．若甲、乙两组数据中，20.8S =甲，21.4S =乙，则乙组数据较稳定7．如图，△AOB 与△A 1OB 1是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，点B 的坐标为（1-，2），则点B 1的坐标为（ ） A ．（2，4-） B ．（2-，4） C ．（3，6-） D ．（3，6） 8．对于函数31y x =-+，下列结论正确的是（ ） A ．它的图象必经过点（1，3）B ．y 的值随x 值的增大而增大C ．当0x >时，0y <D ．它的图象与x 轴的交点坐标为（13，0） 9．如图，将Rt△ABC 沿着点B 到点C 的方向平移到△DEF 的位置，已知AB=6，HD=2，CF=3，则图中阴影部分的面积为（ ） A ．12 B ．15 C ．18 D ．24第9题图 第10题图 10．如图，一只小虫子欲从A 点不重复．．．经过图中的顶点．．或线段．．，而最终到达目的地E ，它不同的走法共有（ ） A ．12种 B ．13种 C ．14种 D ．15种二、填空题（每小题3分，共18分） 11．因式分解：221218x x -+=________．12．如图，AB 为△O 的弦，半径OC ⊥AB ，垂足为D ，如果AB=8cm ，CD=2cm ，那么△O 的半径是________cm ．第12题图 第15题图 第16题图13．已知扇形的圆心角为120°，弧长为12πcm ，则扇形的半径为________cm ． 14．若关于x 的分式方程2322m x x+=--无解，则m 的值是________． 15．如图，AD ，AF 分别是△ABC 的高和角平分线，已知∠B=36°，∠C=76°，则∠DAF=________．16．如图，直线y x m =-+（0m ≥）与双曲线2y x=-相交于A ，B 两点，点C 在第三象限，且BC//x 轴，AC//y 轴，则△ABC 面积的最小值为________．三、解答题（第17-19题各6分，第20、21题各8分，第22、23题各9分，第24、25题各10分，共72分） 17．计算：()2202211234cos602-⎛⎫-+---+︒ ⎪⎝⎭．18．先化简，再求值：()()()22222x y x y x y x ⎡⎤-+-+÷⎣⎦，其中2022x =，1011y =．19．如图，在平行四边形ABCD 中，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交AD 于点F ，再分别以点B 、F 为圆心，大于12BF 的相同长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点E ，连接EF ．（1）根据以上尺规作图的过程，证明四边形ABEF 是菱形； （2）若菱形ABEF 的边长为6，63AE =，求菱形ABEF 的面积．20．为了了解我市中学生参加“科普知识”竞赛成绩的情况，随机抽查了部分参赛学生的成 绩，整理并制作出如下的统计表和统计图，如图所示． 组别 分数段（分）频数 频率 A 组 6070x ≤< 30 0.1 B 组 7080x ≤< 90 n C 组 8090x ≤< m 0.4 D 组90100x ≤<600.2请根据图表信息解答下列问题：（1）填空：m=________，n=________； （2）补全频数分布直方图；（3）若小明的成绩是所有被抽查学生成绩的中位数，则推断他的成绩在哪个组？（4）若4个小组每组推荐1人，然后从4人中随机抽取2人参加颁奖典礼，恰好抽中A 、C 两组学生的概率是多少？请列表或画树状图说明．21．已知关于x 的一元二次方程()()2440a c x bx a c +---=，其中a ，b ，c 分别为△ABC 三边的长．（1）如果x=2是方程的根，则△ABC 的形状为________；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．22．某物流公司租用A 、B 两种型号的车运送货物：用2辆A 型车和1辆B 型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A 型车和2辆B 型车装满货物一次可运货11吨．公司现有31吨货物，计划同时租用两种型号的车，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． （1）1辆A 型车和1辆B 型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案；（3）若A 型车每辆需租金100元/次，B 型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．23．已知关于x 的函数122y kx k =-（k 为常数，且0k ≠）与函数2223y x x =-+，定义1y 与2y 的“和函数”为12y y y =+．（1）若3k =，则1y 与2y 的“和函数”的解析式为________； （2）若1y 与2y 的“和函数”为25y x bx =-+，求k ，b 的值；（3）若1y 与2y 的“和函数”的顶点为P （m ，n ），求n 关于m 的关系式．24．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为“至善三角形”．称这条线段为该三角形的“润心线段”．（1）下列三角形一定是“至善三角形”的是________；A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形（2）下列说法正确的有________（填序号）△若一个三角形的两个内角分别是36°、72°，则这个三角形是“至善三角形”△若一个三角形的两个内角分别是27°、81°，则这个三角形是“至善三角形”△若一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则这个三角形一定是“至善三角形”△若一个三角形的一个内角是另一个内角的3倍，则这个三角形一定是“至善三角形”（3）如图，直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，点B的坐标为（0，2），且BAO∠=，若△ABO为“至善三角形”，且抛物线2tan21=++经过其“润心y ax x c线段”的两个端点，求此抛物线的解析式．25．如图，四边形ABCD为△O的圆内接四边形，AC=AD，点B为ACD的中点，点E为AC上一点，且DE//BC，F为直径AG的延长线上一点，且∠FDG=∠FAD．（1）求证：DF是△O的切线；（2）若∠BCA=55°，∠BAC=15°，求∠F的度数；的最大值（用含a的式子表示）．（3）若AC=AD=a，求BC DE九年级数学 参考答案时间：120分钟 满分：120分一、选择题（每小题3分，共30分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABCCACCDBC二、填空题（每小题3分，共18分） 11．()223x -12．5 13．18 14．215．20° 16．4三、解答题（共9小题，第17题8分、18、19题每题6分，第20题8分、第21题每题6分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分） 17．原式=5318．化简得2x y -，当2022x =，1011y =时，原式=0 19．（1）解：（1）在△AEB 和△AEF 中，AB AF BE FE AE AE =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△AEB ≌△AEF ， ∴∠EAB=∠EAF ， ∵AD ∥BC ，∴∠EAF=∠AEB=∠EAB ， ∴BE=AB=AF ． ∵AF ∥BE ，∴四边形ABEF 是平行四边形， ∵AB=BE ，∴四边形ABEF 是菱形； （2）18320．（1）∵被调查的总人数为30÷0.1=300（人）， ∴m=300×0.4=120，n=90÷300=0.3， 故答案为：120，0.3；（2）补全频数分布直方图如下：（3）△这组数据的中位数是第150、151个数据的平均数，而第150、151个数据均落在C 组，△推断他的成绩在C 组 （4）16P =21．（1）等腰三角形（2）△ABC 为直角三角形，理由如下： ∵方程有两个相等的实数根， ∴（-4b ）2-42（a -c ）（a+c ）=0， ∴b 2+c 2=a 2，∴△ABC 为直角三角形．2021年底，该户居民年人均纯收入能达到6000元． （3）10x =，22x =22．（1）1辆A 型车装满货物一次可运货x 吨，1辆B 型车装满货物一次可运货y 吨， 依题意，得：210211x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：34x y =⎧⎨=⎩．答：1辆A 型车装满货物一次可运货3吨，1辆B 型车装满货物一次可运货4吨．（2）依题意，得：3a+4b=31， ∴3143ba -=． 又∵a ，b 均为正整数， ∴17a b =⎧⎨=⎩或54a b =⎧⎨=⎩或91a b =⎧⎨=⎩， ∴该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用A 型车1辆，B 型车7辆；方案2：租用A 型车5辆，B 型车4辆；方案3：租用A 型车9辆，B 型车1辆． （3）租车方案1所需费用100×1+120×7=940（元）； 租车方案2所需费用100×5+120×4=980（元）； 租车方案3所需费用100×9+120×1=1020（元）． ∵940＜980＜1020，∴方案1：租用A 型车1辆，B 型车7辆最省钱，最少租车费为940元． 23．（1）243y x x =+- （2）14k b =-⎧⎨=⎩（3）221n m m =-++24．（1）B（2）①②④（3）(2432y x x =-+或22y x x =-++25．（1）证明：连接OD ∵AG 为△O 的直径 ∴∠ADG=90°∴∠OGD+∠GAD=90° 又∵OG=OD ， ∴∠OGD=∠GOD 又∵∠FDG=∠FAD ∴∠ODG+∠FDG=90° 即∠FDO=90°又∵OD 为△O 的半径 ∴DF 是△O 的切线 （2）∠F=50°（3）BC DE ⋅的最大值为24a。
2020-2021年青竹湖湘一外国语学校九年级第一学期期中考试数学试卷【附答案】
A. 2
B. 3
1 2
C.1
D.
2
二、填空题（本大题共 6 小题，共 18 分）
11.已知扇形的面积为 3 ，圆心角为 120°，则它的半径为
.
12.已知一元二次方程 x2
2x 1 0 的两根分别为 x1 、 x2 ，则
1 x1
1 x2
的值为
.
13.已知
x
y
a b
是方程组
x 2 2x
y y
8.平面直角坐标系中，有一条“鱼，它有六个顶点”，则（ ） A.将各点横坐标乘以 2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似 B.将各点纵坐标乘以 2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似 C.将各点横、纵坐标都乘以 2，得到的鱼与原来的鱼位似
1
D.将各点横坐标乘以 2，纵坐标乘以 得到的鱼与原来的鱼位似
A（ 1，a
），反比例函数
y
k
（
k
0，
x
x
x 0 ）的图象过点 B，且 AB∥ x 轴，过点 B 作 MN∥OA，交 x 轴于点 M，交 y 轴于点 N，交双曲线 y k x
于另一点 C，则△OBC 的面积为
.
三、解答题（本题共 9 小题，共 72 分）
17.计算：
4
4
2020 0
1 2
1
18.先化简，再求值： 1
答：该学校最多可购买 50 个测温枪 23.解析：（1）证明：如图，连接 OD ∵⊙O 经过 D ∴OD=OA ∴∠ODA=∠OAD ∵AD 平分∠BAC ∴∠OAD=∠CAD ∴∠ODA=∠CAD ∴AC∥OD ∴OD⊥BC ∴BC 是⊙O 的切线 （2）解：∵∠ODB=90°，DE⊥AB ∴易得△OED∽△ODB，∴OD2=OB•OE 又∵OA=OD
2020年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考数学一模试卷 (含答案解析)
2020年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.−66的相反数是()A. −66B. 66C. 166D. −1662.世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微笑的无花果，质量只有0.000000076克，将0.000000076克用科学记数法表示为()A. 7.6×10−8B. 0.76×10−9C. 7.6×108D. 0.76×1093.如果一个几何体的主视图是三角形，那么这个几何体不可能是()A. 圆锥B. 四棱锥C. 三棱锥D. 圆柱4.下列运算正确的是()A. a3+a3=a6B. 2(a+1)=2a+1C. (ab)2=a2b2D. a6÷a3=a25.不等式2(x+1)<3x的解集在数轴上表示出来应为()A.B.C.D.6.如图，AB//CD，若∠C=30°，则∠B的度数是()A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°7.如图，A处有一艘轮船，B处有一盏灯塔，则在轮船A处看灯塔B的方向是()A. 南偏东60°B. 南偏东30°C. 西偏北30°D. 北偏西60°8.七年级(1)班班长统计去年1～8月份“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量(单位：本)，绘制了如图所示的折线统计图，与上月相比较，阅读数量变化最大的月份是()A. 4月B. 5月C. 6月D. 7月9.将一矩形纸片对折后再对折，如图(1)、(2)，然后沿图(3)中的虚线剪下，得到①②两部分，将①展开后得到的平面图形一定是()A. 平行四边形B. 矩形C. 正方形D. 菱形10.如图，AB是⊙O的直径，∠C=30°，则∠ABD等于()A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°11.若x1，x2是一元二次方程x2−x−6=0的两个根，则x1·x2的值是()A. 1B. 6C. −1D. −612.如图，在△ABC中，∠BAC=Rt∠，点A在x轴正半轴，点C在(k>0,x>0)y轴正半轴，点D是边BC的中点，反比例函数y=kx的图象经过B，D.若点C的纵坐标为6，点D的横坐标为3.5，则k的值是()A. 6B. 8C. 12D. 14二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13. 因式分解：3x 2−18x =______．14. 如图，若l 1//l 2//l 3，如果DE =4，EF =2，AC =5，则BC =______．15. 甲布袋中有三个红球，分别标有数字1，2，3；乙布袋中有三个白球，分别标有数字2，3，4.这些球除颜色和数字外完全相同．小亮从甲袋中随机摸出一个红球，小刚从乙袋中随机摸出一个白球．用画树状图(树形图)或列表的方法，求摸出的两个球上的数字之和为6的概率；16. 已知关于x 的一元二次方程m 2x 2+(2m −1)x +1=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是______．17. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，若AC =2√3，AB =3√2，则CD 为______ ．18. 如图，在Rt △ABC 中，∠A =20°，将△ABC 绕直角顶点C 按顺时针方向旋转得到△A′B′C.当点B′第一次落在AB 边上时，点A 经过的路径长(即AA′⏜的长)为4π3，则AC =________．三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）)−2+|−2sin60°|−√12+(3−√5)0．19.计算：(−1220.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(−3,2)，B(−1,4)，C(0,2)．(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°.画出旋转后对应的△A1B1C;(2)平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为(−5,−2)，画出平移后的△A2B2C2；(3)若将△A2B2C2绕某一点旋转可以得到△A1B1C，请直接写出旋转中心的坐标．21.△ABC为⊙O的内接三角形，AD为BC边的高，AE为⊙O的直径．(1)求证：∠BAE=∠DAC；(2)若BD=8，CD=3，AD=6.求AE的长．22.某校初三对某班最近一次数学测验成绩(得分取整数)进行统计分析，将所有成绩由低到高分成五组，并绘制成如图的频数分布直方图，请结合直方图提供的信息，回答下列问题：(1)该班共有______名同学参加这次测验；(2)这次测验成绩的中位数落在______分数段内；(3)若该校一共有800名初三学生参加这次测验，成绩80分以上(不含80分)为优秀，估计该校这次数学测验的优秀人数是多少人？23.某校七年级一、二班各有两位老师带领两个班学生参加春游活动．若从一班学生调12人到二班，倍．则二班的人数是一班的两倍；若从二班学生调8人到一班，则一班的人数是二班的32(1)求这两个班各有多少人？(2)若门票两种方式售票：第一种：老师全票，学生半价优惠；第二种：团体票：所有的老师和学生都按全票价的6折优惠，问若门票为a元，该选择哪种方式比较实惠．24.在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的角平分线，且BD⊥AD，若AB=12，AC=18，求MD的长．25.如图，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点A(6,0)，B(−1,0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标；(3)若抛物线在第一象限的图象上有一点P，求△ACP面积S的最大值．26.如图，点P(t,0)为x轴正半轴上的一点，过点P作x轴的垂线，x2于点A，B，且点A在点B 分别交抛物线y=−x2+4x和y=13的上方．(1)求两条抛物线的交点坐标；(2)当线段OP，PB，AB中恰有两条线段相等时，求t的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：−66的相反数是66．故选：B．直接利用相反数的定义得出答案．此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2.答案：A解析：【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000000076=7.6×10−8．故选：A．3.答案：D解析：【分析】此题主要考查了由三视图判断几何体，属于基础题.根据圆柱体的主视图只有矩形或圆，即可得出答案．【解答】解：∵圆柱体的主视图只有矩形或圆，∴圆柱体的主视图不可能是三角形．故选D．4.答案：C解析：【分析】本题主要考查了合并同类项，单项式乘以多项式，积的乘方及同底数幂的除法法则，解题的关键是熟记合并同类项法则，单项式乘以多项式，积的乘方及同底数幂的除法法则判断．【解答】解：A、a3+a3=2a3，故A选项错误；B、2(a+1)=2a+2≠2a+1，故B选项错误；C、(ab)2=a2b2，故C选项正确；D、a6÷a3=a3≠a2，故D选项错误．故选：C．5.答案：C解析：【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力及不等式解集在数轴上的表示，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．先根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1求得不等式解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则逐一判断即可．【解答】解：去括号，得：2x+2<3x，移项，得：2x−3x<−2，合并同类项，得：−x<−2，系数化为1，得：x>2，所以不等式的解集在数轴上表示如下：故选C．6.答案：A解析：解：∵AB//CD，∴∠B=∠C，又∵∠C=30°，∴∠B的度数是30°，故选A．两直线平行，内错角相等．根据平行线的性质进行计算即可．本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．7.答案：A解析：解：如图所示：可得∠CAB=60°，即在轮船A处看灯塔B的方向是：南偏东60°．故选：A．直接利用方向角分析得出∠CAB的度数，进而得出答案．此题主要考查了方向角，正确把握方向角的概念是解题关键．8.答案：D解析：【分析】本题考查了折线统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．先根据折线图求出各月份的变化情况，再根据数量变化情况越大，它的变化率就越大，即可得出答案．【解答】解：从图上可知2月的数量变化情况是70−36=34本，3月的数量变化情况是70−58=12本，4月的数量变化情况是58−42=16本，5月的数量变化情况是58−42=16本，6月的数量变化情况是58−28=30本，7月的数量变化情况是75−28=47本，根据数量变化情况越大，它的变化率就越大，则阅读数量变化率最大的是7月；故选D．9.答案：C解析：【分析】本题主要考查了学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．由题图(3)可知剪下的三角形为等腰直角三角形，展开后为正方形．【解答】解：如图，展开后图形为正方形．故选C．10.答案：D解析：解：连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，∵∠A =∠C =30°，∴∠ABD =90°−∠A =60°．故选：D ．连接AD ，由AB 是⊙O 的直径，可证∠ADB =90°，由圆周角定理可证∠A =∠C =30°，即可求∠ABD ． 本题考查了直径对的圆周角是直角，圆周角定理，直角三角形的性质．11.答案：D解析：【分析】本题考查根与系数的关系． 根据根与系数的关系可得：两根之积为c a ，即可得答案． 【解答】 解：根据根与系数的关系可得：x 1·x 2=ca =−6 ，故选D ．12.答案：D解析：解：∵点C 的纵坐标为6，点D 的横坐标为3.5，反比例函数y =kx (k >0,x >0)的图象经过B ，D ．∴C(0,6)，D(3.5,k 3.5)，∵点D 是边BC 的中点，∴由中点坐标公式可得点B 的坐标为(7,47k −6)，∴7(47k −6)=k ， 解得k =14，故选：D ．由题意可得C(0,6)，D(3.5,k 3.5)，根据中点坐标公式可得点B 的坐标为(7,47k −6)，代入反比例函数解析式，即可得出k 的值．本题考查反比例函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是用中点坐标公式得出点B 的坐标．13.答案：3x(x−6)解析：解：3x2−18x=3x(x−6)．故答案为：3x(x−6)．直接找出公因式进而提取得出答案．此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．14.答案：53解析：【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．【解答】解：∵l1//l2//l3，∴ABBC =DEEF，即5−BCBC=42，解得，BC=53，故答案为：53．15.答案：解：树状图∴P(两个球上的数字之和为6)=29.解析：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．用画树状图(树形图)或列表的方法，求摸出的两个球上的数字之和为6的概率；16.答案：m<14且m≠0解析：解：∵a=m，b=2m−1，c=1，方程有两个不相等的实数根，∴△=b2−4ac=(2m−1)2−4m2=1−4m>0，∴m<14．又∵二次项系数不为0，∴m≠0即m<14且m≠0．根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．总结：(1)一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△>0⇔方程有两个不相等的实数根；②△=0⇔方程有两个相等的实数根；③△<0⇔方程没有实数根．(2)一元二次方程的二次项系数不为0．17.答案：2解析：解：根据题意得：BC=√AB2−AC2=√(3√2)2−(2√3)2=√6．∵△ABC的面积=12⋅AC⋅BC=12⋅AB⋅CD，∴CD=AC⋅BCAB =√3×√63√2=2．根据勾股定理就可求得AB的长，再根据△ABC的面积=12⋅AC⋅BC=12⋅AB⋅CD，即可求得．本题主要考查了勾股定理，根据三角形的面积建立CD与已知边的关系是解决本题的关键．18.答案：6解析：【分析】根据题意求得旋转角的度数，然后结合弧长公式进行解答即可．本题考查了转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了弧长的计算．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=20°，∴∠B=70°，结合旋转的性质得到BC=B′C，∴∠B=∠BB′C=70°，∴∠BCB′=40°，即∠ACA′=40°，∴点A转过的路径长为：40π×AC180=4π3，解得AC=6．故答案为：6．19.答案：解：原式=4+√3−2√3+1=5−√3．解析：本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值、特殊角的三角函数值等考点的运算．20.答案：解：(1)△A1B1C如图所示；(2)△A2B2C2如图所示；(3)如图所示，旋转中心为O(−1,0)．解析：本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构以及旋转的性质，准确找出对应点的位置是解题的关键．(1)根据网格结构找出点A、B绕点C旋转180°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；(2)根据网格结构找出点A、B、C平移后的位置，然后顺次连接即可；(3)根据旋转的性质，确定出旋转中心即可．21.答案：(1)证明：如图，连接BE，∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE=90°，∵AD为BC边的高，∴∠ADC=90°，∴∠ABE=∠ADC，∵∠C=∠E，∴△ABE∽△ADC，∴∠BAE=∠DAC；(2)解：∵△ABE∽△ADC，∴ABAD =AEAC，∵BD=8，CD=3，AD=6，∴AB=√BD2+AD2=10，AC=√AD2+CD2=3√5，∴106=3√5，∴AE=5√5．解析：本题考查相似三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．(1)连接BE，得出∠ABE=∠ADC，从而证得△ABE∽△ADC，即可求解；(2)由△ABE∽△ADC，得出ABAD =AEAC，根据勾股定理求出AB与AC的长，即可求解．22.答案：(1)40；(2)70.5～80.5；(3)根据题意得：该校这次数学测验的优秀人数是800×14+540=380(人)．解析：【分析】本题考查了频数分布直方图，解题的关键是能读懂统计图，从图中获得必要的信息，用到的知识点是中位数、频数、频率．(1)把各分段的人数加起来就是总数；(2)根据中位数的定义得出中位数就是第20个和第21个的平均数，从而得出答案；(3)先算出40人中80分以上的人的优秀率，再乘以总人数即可．【解答】解：(1)根据题意得：该班参加这次测验的学生共有：2+9+10+14+5=40(名)，故答案为：40；(2)因为共有40个数，所以中位数是第20和21个数的平均数，所以这次测验成绩的中位数落在落70.5～80.5分数段内；故答案为：70.5～80.5；(3)根据题意得：该校这次数学测验的优秀人数是800×14+540=380(人)．23.答案：解：(1)设一班学生x 人，二班学生y 人，可得：{2(x −12)=y +12(x +8)=32(y −8), 解得：{x =37y =38,答：一班学生37人，二班学生38人；(2)第一种：4a +(37+38)×0.5a =41.5a ；第二种：(4+37+38)×a ×0.6=47.4a ；∵47.4a >41.5a ，∴选择第一种合算．解析：此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．(1)先设一班x 人，二班y 人，根据等量关系列出方程组，再解即可；(2)算出两种方案所需的费用，再比较，即可解答．24.答案：解：延长BD 交AC 于E∵BD ⊥AD∴∠ADB =∠ADE =90°∵AD 是∠A 的平分线∴∠BAD =∠EAD在△ABD 与△AED 中{∠BAD =∠EAD AD =AD ∠ADB =∠ADE∴△ABD≌△AED(ASA)∴BD =ED ，AE =AB =12，∴EC =AC −AE =18−12=6，∵M 是BC 的中点∴DM =12EC =12×6=3．解析：略25.答案：解：(1)当x =0时，y =ax 2+bx +6=6，则C(0,6)，设抛物线的解析式为y =a(x +1)(x −6)，把C(0,6)代入得a ⋅1⋅(−6)=6，解得a =−1，∴抛物线的解析式为y =−(x +1)(x −6)，即y =−x 2+5x +6；(2)如图1，连接AC ，与对称轴交点即为所求点M ．由抛物线的解析式y =−x 2+5x +6=−(x −52)2+494，对称轴为直线x =52． ∵点M 在抛物线的对称轴上，∴MB =MA ，CM +BM =CM +AM ，当点C 、M 、A 在同一直线上时，CM +BM 最小．设直线AC 的解析式为y =kx +n ，则{6k +n =0n =6， 解得{k =−1n =6， ∴y =−x +6．当x =52时，y =72，∴点M 的坐标为(52,72)；(3)如图2，过点P 作PD 垂直x 轴，交AC 于点Q ，设点P 的坐标为(m,−m 2+5m +6)，则点Q 的坐标为(m,−m +6)，∴PQ =(−m 2+5m +6)−(−m +6)=−m 2+6m ，S =12PQ ⋅OA =12(−m 2+6m)×6=−3m 2−18m =−(m −3)2+27， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线m =3，∴当m =3时，S 有最大值为27．解析：(1)先确定C(0,6)，设交点式y =a(x +1)(x −6)，然后把C 点坐标代入求出a 的值即可；(2)连接AC ，与对称轴交点即为所求点M ，先利用待定系数法求出AC 所在直线解析式，再将二次函数解析式配方得到其对称轴方程，继而可得答案；(3)如图2，过点P 作PD 垂直x 轴，交AC 于点Q ，设点P 的坐标为(m,−m 2+5m +6)，则点Q 的坐标为(m,−m +6)，利用坐标与图形的性质和两点间的距离公式求得相关线段的长度，再根据三角形的面积公式列出S 关于m 的二次函数S =−3m 2−18m，由二次函数最值的求法解答．本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会解一元二次方程；理解坐标与图形性质．26.答案：解：(1)联立两抛物线解析式得，{y =−x 2+4x y =13x 2，解得，{x =0y =0或{x =3y =3， ∴两条抛物线的交点坐标为(0,0)和(3,3)；(2)由题意知，0<t <3，∵PA ⊥x 轴，且点P(t,0)，∴A(t,−t 2+4t)，B(t,13t 2)， ∴OP =t ，PB =13t 2，AB =−t 2+4t −13t 2=−43t 2+4t ，∵线段OP ，PB ，AB 中恰有两条线段相等，∴①当OP =PB 时，t =13t 2，∴t =0(舍)或t =3(舍)，②当OP =AB 时，t =−43t 2+4t ，∴t =0(舍)或t =94，③当PB =AB 时，∴13t 2=−43t 2+4t ，∴t =0(舍)或t =125，即：满足条件的点t 的值为125或94．解析：(1)联立两抛物线解析式，解方程组即可得出结论；(2)先表示出点A ，B 坐标，进而得出OP ，BP ，AB ，再分三种情况建立方程求解，舍去不符合题意的，即可得出结论．此题是二次函数综合题，主要考查了方程组的解法，平行于y 轴的直线上两点间的距离公式，用方程或方程组的思想解决问题是解本题的关键．。
湖南省长沙市青竹湖湘一外国语学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题
湖南省长沙市青竹湖湘一外国语学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题一、单选题1．以下图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．下列各式计算结果为6a 的是（ ）A ．23a a gB ．33a a +C ．122a a ÷D ．()422a a ÷ 3．2024年5.5G 技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从5G 初期的1Gbps 提升到10Gbps ，给我们的智慧生活“提速”.其中10Gbps 表示每秒传输10000000000 位(bit )的数据. 将10000000000用科学记数法表示应为（ ）A ．110.110⨯B ．10110⨯C ．11110⨯D ．91010⨯ 4．某校八年级准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组代表学校参加西山区青少年科技创新大赛，各组的平时成绩的平均数x (单位：分)及方差2s 如表所示：如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5．若函数2(2)4y k x k =++-是正比例函数，则k 的值是（ ）A ．2k ≠-B ．2k =±C ．2k =D ．12k = 6．关于一次函数32y x =-+，下列说法正确的是（ ）A ．图象过点()1,1B ．其图象可由3y x =的图象向下平移2个单位长度得到C ．y 随着x 的增大而增大D ．图象经过第一、二、四象限7．若一个多边形每一个内角都为144︒，则这个多边形的边数是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．128．如图，直线//AB CD ，直线EF 分别与直线AB ，CD 交于点E ，F ，点G 在直线CD 上，GE ⊥EF ．若155∠=︒，则∠2的大小为（ ）A ．145°B ．135°C ．125°D ．120°9．设方程220x x +-=的两个根为α，β， 那么αβαβ++的值等于（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．310．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，对称轴是直线1x =-，则过点(),2M c a b -和点()24,N b ac a b c --+的直线一定不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题11．要使得式子 a 的取值范围是．12．因式分解∶ 39a a -=．13．如果实数m n ，满足方程组271m n m n -=⎧⎨+=-⎩，那么2m n -=．14．将直线24y x =-向上平移2个单位长度后的直线与x 轴的交点坐标为 ．15．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ， E 为边BC 的中点，连接OE ．若6AC =，8BD =，则OE =．16．如图，某小区要在长为16m ，宽为12m 的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为m ．三、解答题17．计算∶ ()101202422π-⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 18．先化简，再求代数式21321211x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪--+-⎝⎭的值，其中2x =． 19．在如图所示的直角坐标系中，画图并解答下列问题：(1)分别写出A 、B 两点的坐标；(2)将ABC V 绕点A 顺时针旋转90︒，画出旋转后的11AB C △；(3)求ABC V 的面积．20．某中学在全校范围开展“创文创卫我知晓”的答题活动（满分100分），现随机抽取了部分参赛学生的成绩进行调查，下面是根据调查情况绘制的统计表．注：其中成绩在“B．8090x≤<”的最高分为78分．≤<”的最低分为82分，成绩在“C．7080x请根据表格信息，解答下列问题：(1)填空：m=______，n=______．(2)本次抽取的学生成绩的中位数为______分．(3)若参与本次答题活动的学生共860人，试估计成绩在70分及以上的学生人数．21．如图，在ABCV中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F，连接BF．(1)求证：四边形CDBF为平行四边形；(2)若CA CB=，试判断四边形CDBF的形状，并说明理由．22．2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个．(1)若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率；(2)市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？23．如图， 在 Rt ABC △中，90,6,8B AB BC ∠=︒==，把 ABC V 绕BC 边的中点O 旋转后得 DEF V ，A 的对应点为D ，B 的对应点为E ，若直角顶点E 恰好落在AC 边上，连接BE ，且DF 边交AC 边于点G ．(1)证明：GF GE =；(2)判断△FCG 的形状并说明理由；(3)求△FCG 的面积．24．在平面直角坐标系中，若关于x 的函数()20y ax bx c x =++>的图像记为1Q ，将1Q 的图像绕着原点旋转180︒得到图像2Q ，我们把1Q 和2Q 合起来的总图像称为 ²y ax bx c =++的“青一对称”图像．(1)若()1010,A m -在 24y x =+的“青一对称”图像上，则 m =；(2)若(),7B n 在 245y x x =--的“青一对称”图像上，求n 的值；(3)当二次函数22y x x t =-+的“青一对称”图像与直线1y x =+有且只有三个交点时，请求出t 的值或取值范围．25．如图， 抛物线()2430y ax ax a a =-+≠交x 轴于点A 、B 两点，与y 轴交于点()0,3C -，其顶点为点D ．(1)求a的值和顶点D的坐标；M m，若点C、D以M为中心对称的对称点分别是C'、D¢，请判(2)在x轴上有一动点(),0断以C、D、C'、D¢为顶点的四边形可能是正方形吗？若存在，求出对应的点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若N是直线x=1上的一动点，把ON绕点N旋转90°，原点O的对应点为O'，若点O'恰好落在抛物线上，请求出所有符合条件的点N的坐标．。
湖南省长沙市青竹湖湘一外国语学校2020-2021学年度九年级第一学期期末考试数学试卷
青竹湖湘一外国语学校2020-2021学年度第一学期九年级上学期期末数学检测卷 时量：120分钟 分值：120分一、选择题（本大题共12小题，共36分） 1.下列四个数中，最大的数是（ ） A.2-B.1-C.0D.3-2.随着我国综合国力的堤升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有2 100 000，请将“2 100 000”用科学记数法表示为（ ） A.70.2110⨯B.62.110⨯C.52110⨯D.72.110⨯3.下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.4.下列运算正确的是（ ） A.325a b ab +=B.236b b b ⋅=C.32122a b ab a ÷=D.()222x y x y +=+5.如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1=28°，那么∠2的度数为（ ） A.62°B.56°C.28°D.72°第5题图 第7题图6.不等式组()213112x x x x +>⎧⎪⎨+-≤⎪⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ）A. B.C. D.7.如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点B 和C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ；②作直线MN 交AC 于点D ，连接BD.若AC=6，AD=2，则BD 的长为（ ） A.2B.3C.4D.68.疫情防控，我们一直在坚守，某居委会组织两个检查组，分别对“居民体温”和“居民安全出行”的情况进行抽查.若这两个检查组在辖区内的某三个小区中各自随机抽取一个小区进行检查，则他们恰好抽到同一个小区的概率是（ ） A.13B.49C.19D.239.已知圆心角为120°的扇形的弧长为6π，该扇形的面积为（ ） A.18πB.27πC.36πD.54π10.西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC 高为a .已知，冬至时北京的正午日光入射角∠ABC 约为26.5°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC 的长）约为（ ） A.sin 26.5a ︒B.tan 26.5a︒C.cos26.5a ︒D.cos 26.5a︒第10题图 第12题图 第16题图11.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x 尺．则符合题意的方程是（ ） A.()1552x x =-- B.()1552x x =-+ C.()255x x =-- D.()255x x =++12.如图，在平面直角坐标系中，已知A （5，0）点P 为线段OA 上任意一点.在直线34y x =上取点E ，使PO=PE ，延长PE 到点F ，使PA=PF ，分别取OE 、AF 中点M 、N ，连结MN ，则MN 的最小值是（ ） A.2.5 B.2.4 C.2.8 D.3二、填空题（本大题共4小题，共12分） 13.分解因式：34a a -= .14.已知关于x 的一元二次方程230x px +-=的一个根为3-，则它的另一根为 . 15.把点A （3，1-）先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得点的坐标为 . 16.如图，正方形ABCD 中，BE=EF=FC ，CG=2GD ，BG 分别交AE ，AF 于M ，N.下列结论：①AF ⊥BG ；②32BN NF =；③38BM MG =；④12CGNF ANGD S S =四边形四边形，其中正确的结论的序号是 .三、计算题（本大题共3小题，共18分）17.计算：114sin 6013-⎛⎫-︒ ⎪⎝⎭18.先化简，再求值：2221211a a aa a a+⎛⎫÷-⎪-+-⎝⎭，其中3a=.19.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2，求出A运动经过的路径的长度.四、解答题（本大题共6小题，共54分）20.王老师随机抽取了我校九年级部分学生，针对他们晚上在家学习时间的情况进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图.根据信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图和扇形统计图；（2）所抽取的九年级学生晚上学习时间的众数是小时，中位数是小时.（3）若我校共有1200名九年级学生，则晚上学习时间超过1.5小时的约有多少名学生？21.如图，已知AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C 作AE的垂线，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P．（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若3tan4P∠=，6AD=，求⊙O的半径．22.开福车间生产以甲、乙两种水果为原料的某种罐头，在一次进货中得知，花费18000元购进的甲种水果与24000元购进的乙种水果质量相同，乙种水果每千克比甲种水果多2元.（1）求甲、乙两种水果的单价；（2）车间将水果制成罐头投入市场进行售卖，已知一听罐头的总成本为15元，调查发现，以28元的定价进行销售，每天只能卖出3000听，超市对它进行促销，每降低1元，平均每天可多卖出1000听，当售价为多少元时，利润最大？最大利润为多少？23.如图，在△ABC 中，∠B=∠ACB=45°，AB =，点D 是BC 上一点，作DE ⊥AD 交射线AC 于E ，DF 平分∠ADE 交AC 于F ． （1）求证：AB •CF=BD •CD ；（2）如图2，当∠AED=75°时，求CF 的长； （3）若CD=3BD ，求AFEF.24.规定：我们把一个函数关于某条直线或者某点作对称后形成的新函数，称之为原函数的“对称函数”.（1）已知一次函数23y x =-+的图象，求关于直线y x =-的对称函数的解析式；（2）已知二次函数2441y ax ax a =++-的图象为1C ； ①求1C 关于点R （1，0）的对称函数图象2C 的函数解析式； ②若两抛物线与y 轴分别交于A 、B 两点，当AB=16时，求a 的值；（3）若直线23y x =--关于原点的对称函数的图象上的存在点P ，不论m 取何值，抛物线223238y mx m x m ⎛⎫⎛⎫=+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭都不通过点P ，求符合条件的点P 坐标.25.定义：若抛物线L ：2y ax bx c =++的图象恒过定点M （0x ，0y ），则称M （0x ，0y ）为抛物线L 的“不动点”.已知：若抛物线L ：221y ax ax x =-++（0a <）； （1）求抛物线L 的不动点坐标；（2）已知平面直角坐标系中A （1-，0），B （1，0），C （3，0），以点B 为圆心，OB 为半径作⊙B ，点P 为⊙B 上一点，将点C 绕点P 逆时针旋转90°得到点C'，当点P 为⊙B 上运动时，求线段AC'长度的最大值；（3）在（2）的条件下，若抛物线L 的对称轴是直线2x =； ①求抛物线L 的解析式；②若直线PC 交抛物线L 于点E （1x ，1y ）、F （2x ，2y ），交y 轴于点Q ，平面内一点H坐标为H（2），记12d x x =-，当点P 在⊙B 上运动时，求2QH d ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围.。
2019-2020学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级(上)第一次月考数学试卷 (含解析)
2019-2020学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.−16的倒数是()A. −116B. 116C. −16D. 162.下列手机软件图标中，是中心对称图形的有()A. B. C. D.3.某水利枢纽工程于2014年9月25日竣工，该工程设计的年发电量为32.25亿度，32.25亿这个数用科学记数法表示为()A. 32.25×108B. 3.225×109C. 322.5×107D. 3225×1064.下列计算正确的是()A. 2a2+4a2=6a4B. (a+1)2=a2+1C. (a2)3=a5D. x7÷x5=x25.不等式组{2(x+5)≥6,5−2x>1+2x的解集在数轴上表示正确的是()A. B.C. D.6.如图，已知AB//CD，∠1=115°，∠2=65°20′，则∠C等于()A. 56°40′B. 49°40′C. 114°40′D.65°20′7.如图，⊙O的弦AB=16，OM⊥AB于M，且OM=6，则⊙O的半径等于()A. 8B. 6C. 10D. 20(x<0)图象上一点，过P向x轴作垂8.如图，点P是反比例函数y=kx线，垂足为D，连接OP.若Rt△POD的面积为2，则k的值为()A. 4B. 2C. −4D.−29.甲、乙、丙三名射击运动员在某场测试中各射击10次，3人的测试成绩如下表，则甲、乙、丙3名运动员测试成绩最稳定的是()．A. 甲B. 乙C. 丙D. 3人成绩稳定情况相同10.如图，△ABC的顶点坐标分别为A(4,6)、B(5,2)、C(2,1)，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C，那么点A的对应点A′的坐标是()A. (−3,3)B. (3,−3)C. (−2,4)D. (1,4)11.已知一元二次方程ax2+ax−4=0有一个根是−2，则a值是()C. 2D. 4A. −2B. 2312.如图，已知正方形ABCD，E为AB的中点，F是AD边上的一个动点，连接EF将△AEF沿EF折叠得△HEF，延长FH交BC于M，现在有如下5个结论：①△EFM定是直角三角形；②△BEM≌△HEM；③当M与C重合时，有DF=3AF；④MF平分正方形ABCD的面积；⑤FH⋅MH=1AB2，在以上5个结论中，正确的有()4A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.将4x2−4分解因式得______ ．14. 要使代数式√2−3x 有意义，x 的取值范围是______ ．15. 袋中有颜色不同外其余均相同的2个红球和3个黄球，第一次摸出一球记住颜色后，放回袋中搅匀，再随意摸出一球，两次摸出的都是红色球的概率是______．16. 已知圆锥的侧面积为16πcm 2，圆锥的母线长8cm ，则其底面半径为_______cm ．17. 如图，直线DE 分别交△ABC 边AC 、AB 于点D 、E ，将△ABC 沿DE 翻折，使点A 恰好与点C 重合．若AB =3，BC =2，则△BCE 的周长是______．18. 如果一个正比例函数的图象与反比例函数y =6x 的图象交于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)两点，那么(x 2−x 1)⋅(y 2−y 1)的值为_______．三、计算题（本大题共3小题，共18.0分）19. 计算：−2×√−273+|1−√3|−(12)−2.20. 某学校“体育课外活动兴趣小组”，开设了以下体育课外活动项目：A.足球 B.乒乓球C.羽毛球 D.篮球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：(1)这次被调查的学生共有______人，在扇形统计图中“D ”对应的圆心角的度数为______；(2)请你将条形统计图补充完整；(3)在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加市里组织的乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答)．21.已知：菱形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，且AC=6，BD=8，求菱形的周长和面积．四、解答题（本大题共5小题，共40.0分）22.先化简：(3m+1−m+1)÷m2−4m+4m+1，然后从−1≤m≤2中选择一个合适的整数作为m的值代入求值．23. 某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和1个足球共需320元，购买3个篮球和2个足球共需540元．(1)求每个篮球和每个足球的售价；(2)如果学校计划购买这两种球共50个，用于此次购球的总资金不低于5400元，且不超过5500元，求本次购球方案．24. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点M 在⊙O 上，MD 恰好经过圆心O ，点F 在弧AD 上，连接MB 、MF 、BF ．(1)若CD =16，BE =4，求⊙O 的直径；(2)若∠BMD =∠D ，求∠MFB 的度数．25. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P(x,y)和Q(x,y′)，给出如下定义：如果y′={2y(x ≥0)−2y(x <0)，那么称点Q 为点P 的“亲密点”．例如：点(5,3)的“亲密点”为点(5,6)，点(−5,3)的“亲密点”为点(−5,−6)．(1)①判断点(−1,3)的“亲密点”是否在函数y =6x 的图象上，并说明理由．②若位于x 轴上方的两点(2k,k)和(−3,k)的“亲密点”都在某反比例函数图象上，请求出该反比例函数的解析式．(2)如果点M(m+1,4m)是一次函数y=x+3图象上点N的“亲密点”，求点N的坐标．(3)如果点P在函数y=−x2+4(−2.5<x≤a)的图象上，其“亲密点”Q的纵坐标y′的取值范围是−8<y′≤8，求实数a的取值范围．26.已知抛物线y=a(x−1)2过点(3,4)，D为抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点B、C均在抛物线上，其中点B(0,1)，且∠BDC=90°，求点C的坐标：(3)如图，直线y=kx+1−k与抛物线交于P、Q两点，∠PDQ=90°，求△PDQ面积的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A，解析：解：−16的倒数是−116故选：A．根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．2.答案：C解析：【分析】本题考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义进行判断是解决问题的关键.看每一个图形绕一个点旋转180°后能否与原来的图形重合即可作出判定．【解答】解：A、不是中心对称图形，故错误；B、不是中心对称图形，故错误；C、是中心对称图形，故正确；D、不是中心对称图形，故错误．故选C．3.答案：B解析：【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是非负数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【解答】解：将32.25亿这用科学记数法表示为：3.225×109．故选：B．4.答案：D解析：解：A 、2a 2+4a 2=6a 2，所以A 选项不正确；B 、(a +1)2=a 2+2a +1，所以B 选项不正确；C 、(a 2)3=a 6，所以C 选项不正确；D 、x 7÷x 5=x 2，所以D 选项正确．故选：D ．根据合并同类项对A 进行判断；根据完全平方公式对B 进行判断；根据幂的乘方法则对C 进行判断；根据同底数幂的除法法则对D 进行判断．本题考查了完全平方公式：(a ±b)2=a 2±2ab +b 2.也考查了合并同类项、幂的乘方以及同底数幂的除法法则．5.答案：C解析：【分析】本题考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．求不等式组的解集应遵循“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．【解答】解：令{2(x +5)≥6①5−2x >1+2x②, 解不等式①得：x ≥−2，解不等式②得：x <1，则不等式组的解集为：−2≤x <1，在数轴上表示为C 选项，故选C ．6.答案：B解析：解：∵AB//CD ，∴∠1=∠EGD =115°，∵∠2=65°20′，∴∠C =115°−65°20′=49°40′，故选：B ．根据两直线平行，同位角相等可得∠1=∠EGD=115°，再根据三角形内角与外角的性质可得∠C的度数．此题主要考查了平行线的性质，以及三角形内角与外角的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．7.答案：C解析：【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，根据垂径定理求得AM的长，证明△OAM是直角三角形是解题的关键，连接OA，即可证得△OAM是直角三角形，根据垂径定理即可求得AM，根据勾股定理即可求得OA的长，即可求解．【解答】解：连接OA，∵M是AB的中点，∴OM⊥AB，且AM=8，在Rt△OAM中，OA=√AM2+OM2=10．故选C．8.答案：C解析：[分析]|k|=2，然后根据图象位置确定满足条件的根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△POD=12k的值．本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，解题关键是确定三角形面积与k的关系．[详解]|k|，解：根据题意得S△POD=12|k|=2，所以：12而k<0，所以k=−4．故选C．9.答案：C解析：解：三人的平均成绩均为8.5，甲的方差为[(7−8.5)2×2+(8−8.5)2×3+(9−8.5)2×3+(10−8.5)2×2]÷10=1.05，乙的方差为[(7−8.5)2+(8−8.5)2×4+(9−8.5)2×4+(10−8.5)2]÷10=0.65，丙的方差为[(8−8.5)2×5+(9−8.5)2×5]÷10=0.25，故甲、乙、丙3名运动员测试成绩最稳定的是丙．故选C．根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．本题考查方差的意义．10.答案：A解析：【分析】本题涉及图形旋转，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要素：旋转中心C，旋转方向逆时针，旋转角度90°，通过画图得A′坐标．根据题意画出图形，确定对应点的坐标．【解答】解：△A′B′C的位置如图．A′(−3,3)．故选A．11.答案：C解析：解：把x=−2代入方程ax2+ax−4=0得4a−2a−4=0，解得a=2．故选：C．把x=−2代入方程ax2+ax−4=0中得到关于a的方程，然后解关于a的方程即可．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．解析：【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．利用正方形的性质，全等三角形的判定和性质，一一判断即可．【解答】解：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=90°，∵E为AB的中点，∴EA=EB，由翻折可知：FA=FH，EA=EH，∠A=∠FHE=90°，∵∠EHM=∠B=90°，EM=EM，EH=EB，∴Rt△EMH≌Rt△EMB(HL)，∴∠MEH=∠MEB，∵∠FEH=∠FEA，∴∠FEM=∠FEH+∠MEH=12(∠AEH+∠BEH)=90°，故①②正确，如图2中，当M与C重合时，设AE=EB=2a，则AB=BC=AD=CD=4a，∵△AEF∽△BCE，∴AFEB =AEBC，可得AF=a，∴DF=3AF，故③正确，如图3中，当点F与点D重合时，显然直线MF不平分正方形的面积，故④错误，如图1中，∵EH⊥FM于H，∠FEM=90°，∴△EHF∽△MHE，∴EH2=HF⋅HM，AB，∵EH=12AB2=HF⋅HM.故⑤正确，∴14故选C．13.答案：4(x+1)(x−1)解析：【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．原式提取4，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=4(x2−1)=4(x+1)(x−1)，故答案为：4(x+1)(x−1)．14.答案：x≤23解析：解：根据二次根式的性质可知：2−3x≥0，解得x≤2，3即x≤2时，二次根式有意义．3．故填：x≤23根据二次根式的意义，被开方数为非负数，列不等式求范围．主要考查了二次根式的概念和性质：概念：式子√a(a≥0)叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．15.答案：425解析：解：列表如下，所以两次摸出的都是红色球的概率是425故答案为：4．25依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．此题考查概率的概念和求法，用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用方法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16.答案：2解析：【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的×2π×r×8=16π，弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到12解得r=2，然后解关于r的方程即可．【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为rcm，×2π×r×8=16π，解得r=2，根据题意得12所以圆锥的底面圆的半径为2cm．故答案为2．17.答案：5解析：解：∵将△ABC沿DE翻折，使点A恰好与点C重合．∴AE=CE，∵AB=3，BC=2，∴△BCE的周长=BE+CE+BC=BE+AE+BC=AB+BC=3+2=5，故答案为：5．根据翻折的性质解答即可．此题考查翻折变换，关键是根据翻折得出AE=CE．18.答案：24解析：【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，正比例函数与反比例函数的两交点坐标关于原点对称．正比例函数的图象与反比例函数y=6的图象交于的两交点坐标关于原点对称，依此可得x1=−x2，xy1=−y2，将(x2−x1)(y2−y1)展开，依此关系即可求解．【解答】解：∵正比例函数的图象与反比例函数y=6的图象交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，关于原点对称，依x此可得x1=−x2，y1=−y2，∴(x2−x1)(y2−y1)=x2y2−x2y1−x1y2+x1y1=x2y2+x2y2+x1y1+x1y1=4×6=24．故答案为24．19.答案：解：原式=−2×(−3)+√3−1−4=1+√3．解析：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．直接利用立方根的性质以及负指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案．20.答案：解：(1)20072°(2)C类人数为200−80−20−40=60(人)，完整条形统计图为：(3)画树状图如下：由上图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种．所以P(恰好选中甲、乙两位同学)=212=16．解析：解：(1)20÷36°360∘=200，所以这次被调查的学生共有200人，在扇形统计图中“D”对应的圆心角的度数=40200×360°=72°；故答案为200，72°；(2)(3)见答案【分析】(1)利用扇形统计图得到A类的百分比为10%，则用A类的频数除以10%可得到样本容量；然后用B类的百分比乘以360°得到在扇形统计图中“D”对应的圆心角的度数；(2)先计算出C类的频数，然后补全统计图；、(3)画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出恰好选中甲、乙两位同学的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．21.答案：解：由菱形对角线性质知，AO=12AC=3，BO=12BD=4，且AO⊥BO，∴AB=5，∴周长L=4AB=20；∵菱形对角线相互垂直，∴菱形面积是S=12AC×BD=24．综上可得菱形的周长为20、面积为24．解析：由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长，由菱形面积公式即可求得面积．本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB 的长是解题的关键，难度一般．22.答案：解：原式=(3m+1−m 2−1m+1)÷(m−2)2m+1=3−m 2+1m +1×m +1(m −2)2 =−(m+2)(m−2)m+1×m+1(m−2)2， =−m+2m−2．由题意可知：m ≠−1且m ≠2， ∵m 为整数且−1⩽m ⩽2， ∴当m =1时，原式=−1+21−2=3．解析：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的m 的值代入进行计算即可．23.答案：解：(1)设每个篮球的售价为x 元，每个足球的售价为y 元，依题意，得：{2x +y =3203x +2y =540，解得：{x =100y =120．答：每个篮球的售价为100元，每个足球的售价为120元； (2)设购进篮球m 个，则购进足球(50−m)个， 依题意，得：{100m +120(50−m)≥5400100m +120(50−m)≤5500，解得：25≤m ≤30， ∵m 取正整数，∴m =25、26、27、28、29、30．∴共有6种购球方案．方案一：购买篮球25个、足球25个； 方案二：购买篮球26个、足球24个； 方案三：购买篮球27个、足球23个； 方案四：购买篮球28个、足球22个；方案五：购买篮球29个、足球21个；方案六：购买篮球30个、足球20个．解析：本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，难度一般．(1)设每个篮球的售价为x元，每个足球的售价为y元，根据题中的等量关系列出二元一次方程组求解即可；(2)设购进篮球m个，则购进足球(50−m)个，根据题中的不等关系列出一元一次不等式组求解即可．24.答案：解：(1)∵CD⊥AB，CD=8，∴CE=12设圆O的半径为r，则OE=r−4，OC=r，∵∠OEC=90°，∴r2=(r−4)2+82∴r=10，∴直径为20；(2)设∠BMD=∠D=α，则∠BOD=2∠BMD=2α，在RtΔODE中，α+2α+90∘=180∘，解得α=30∘，∴∠D=30∘，∴∠BOM=∠D+∠DEO=120°∠BOM=60°．∴∠MFB=12解析：本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．(1)先根据CD=16，BE=4，得出OE的长，进而得出OB的长，进而得出结论；(2)由∠M=∠D，∠DOB=2∠D，再由∠BOM=2∠BFM，即可解答．25.答案：解：(1)①∵−1<0，∴y′=−2×3=−6，∴点(−1,3)的“亲密点”是(−1,−6)．∵−1×(−6)=6，∴点(−1,3)的“亲密点”在函数y=6的图象上．x②∵(2k,k)和(−3,k)位于x轴上方，∴k>0，∴2k>0．∴点(2k,k)的“亲密点”是(2k,2k)．∵−3<0，∴点(−3,k)的“亲密点”是(−3,−2k)．∵点(2k,2k)和点(−3,−2k)都在反比例函数的图象上，∴2k⋅2k=−3⋅(−2k)，整理得：4k2−6k=0，解得k=32或k=0(舍去)．∴6k=6×32=9．∴反比例函数的解析式为y=9x．(2)设点N的坐标为(x,x+3)．当x≥0时，点M的坐标为(x,2x+6)．∴x=m+1，2x+6=4m．∴2x+6=4(x−1)，解得：x=5．∴点N的坐标为(5,8)．当x<0时，点M的坐标为(x,−2x−6)．∴x=m+1，−2x−6=4m．∴−2x−6=4(x−1)，解得x=−13．∴N(−13,8 3 ).(3)设点P的坐标为(x,−x2+4)．当x≥0时，Q(x,−2x2+8)，即y′=−2x2+8．∵−8<y′≤8，∴−8<−2x2+8≤8，解得：0≤x≤2√2．当x<0时，Q(x,2x2−8)，即y′=2x2−8．∵−8<y′≤8，∴−8<2x2−8≤8，解得：−2√2≤x<0．∴x的取值范围−2√2≤0≤2√2．又∵−2.5<x≤a，∴a=2√2．解析：(1)①先求得点(−1,3)的“亲密点”为(−1,−6)，然后将点(−1,−6)代入反比例函数的解析式进行判断即可；②先求得已知两点的密友点的坐标，然后依据点(2k,2k)和点(−3,−2k)都在反比例函数的图象上列出关于k的方程可求得k的值，然后可得到点(2k,2k)或点(−3,−2k)的坐标，然后可求得而反比例函数的解析式；(2)设点N的坐标为(x,x+3)，分为x≥0和x<0两种情况求得点M的坐标(用含x的式子表示)，然后由点M的坐标为(m+1,4m)得到x=m+1，−2x−6=4m，然后可求得x的值，从而得到点N 的坐标；(3)设点P的坐标为(x,−x2+4).当x≥0时，Q(x,−2x2+8)，当x<0时，Q(x,2x2−8)，即y′=2x2−8，然后依据−8<y′≤8列不等式组可求得x的范围，从而可得到a的值．本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了密友点的定义，依据密友点的定义列出方程或不等式是解题的关键．26.答案：解：(1)将点(3,4)代入解析式，得：4a=4，解得：a=1，所以抛物线解析式为y=(x−1)2；(2)由(1)知点D坐标为(1,0)，设点C的坐标为(x0,y0)，(x0>1、y0>0)，则y0=(x0−1)2，如图1，过点C作CF⊥x轴，∴∠BOD=∠DFC=90°，∠DCF+∠CDF=90°，∵∠BDC=90°，∴∠BDO+∠CDF=90°，∴∠BDO=∠DCF，∴△BDO∽△DCF，∴BODO =DFCF，∴1=|x0−1||y0|=1(x0−1)，解得：x0=2，此时y0=1，∴点C的坐标为(2,1)．(3)设点P的坐标为(x1,y1)，点Q为(x2,y2)，(其中x1<1<x2，y1>0，y2>0)，如图2，分别过点P、Q作x轴的垂线，垂足分别为M、N，由{y =(x −1)2y =kx +1−k ，得x 2−(2+k)x +k =0． ∴x 1+x 2=2+k ，x 1⋅x 2=k ．∴MN =×|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√(2+k)2−4k =|2−k|．则过点D 作x 轴的垂线交直线PQ 于点G ，则点G 的坐标为(1,1)， 所以DG =1，∴S △PDQ =12DG ⋅MN =12×1×|x 1−x 2|=2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2|2−k|，∴当k =0时，S △PDQ 取得最小值4．解析：(1)将点(3,4)代入解析式求得a 的值即可；(2)设点C 的坐标为(x 0,y 0)，其中y 0=(x 0−1)2，作CF ⊥x 轴，证△BDO∽△DCF 得BODO =DF CF，即1=|x 0−1||y 0|=1(x0−1)，据此求得x 0的值即可得；(3)过点D 作x 轴的垂线交直线PQ 于点G ，则DG =4，根据S △PDQ =12DG ⋅MN 列出关于k 的等式求解可得．本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质及一元二次方程根与系数的关系等知识点．。
2020-2021-1青一九上期中考试数学试卷
青竹湖湘一外国语学校2021-2022学年第一学期期中考试初三数学时量：120分钟总分：120分一．选择题（本题为单选题，共10个小题，每小题3分，共30分）1．35-的倒数是（）A ．35-B ．53-C ．35D ．532．2021年春节档电影《你好，李焕英》，温馨、有趣，体现了深厚的母女之情。
收获好评的同时也成为了票房黑马。
截止3月6日13:43:32，《你好，李焕英》票房成功突破50亿成为中国影史上第三部突破50亿票房大关的电影。
其中50亿用科学记数法表示为（）A ．85010⨯B ．9510⨯C ．105010⨯D ．100.510⨯3．下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．4．下列选项中，y 是x 的反比例函数的是（）A ．23y x =B ．45x y =C ．12y x -=-D ．ky x =5．下列调查中，适合于采用普查方式的是（）A ．调查央视“五一晚会”的收视率B ．了解外地游客对兴城旅游景点的印象C ．了解一批新型节能灯的使用寿命D ．了解某航班上的乘客是否都持有“绿色健康码”6．下列四个命题：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②对角线相等的平行四边形是菱形；③一组邻边相等的矩形是正方形：④三角形三条角平分线的交点是三角形的外心，其中真命题共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，∠AOB ＝60°，以点O 为圆心，以任意长为半径作弧交OA ，OB 于C ，D 两点；分别以C ，D 为圆心，以大于12CD 的长为半径作弧，两弧相交于点P ；以O 为端点作射线OP ，在射线OP 上截取线段OM ＝6，则M 点到OB 的距离为（）A ．6B ．2C ．3D ．33第7题图第8题图8．如图，OA 为⊙O 的半径，弦BC ⊥OA 于点P ．若BC ＝8，AP ＝2，则⊙O 的半径长为（）A ．5B ．6C ．10D 179．高铁为居民出行提供了便利，从铁路沿线相距360km 的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3h ．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍，设普通列车的平均速度为x km/h ，依题意，下面所列方程正确的是（）A ．36036033x x -=B ．36036033x x -=C ．360360313x x -=D ．360360313x x -=10．如图，A 、B 、C 、D 为⊙O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O →C →D →O 路线作匀速运动，设运动时间为t （s ），∠APB =y °，则下列图象中表示y 与t 之间函数关系最恰当的是（）A ．B ．C ．D ．二．填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）11．因式分解：29ax a -=12．一个不透明的盒子里只装有2个白球和4个红球，这些球除颜色外没有其他不同。
湖南省长沙青竹湖湘一外国语学校2025届九年级数学第一学期开学监测试题【含答案】
湖南省长沙青竹湖湘一外国语学校2025届九年级数学第一学期开学监测试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）某校随机抽查了八年级的30名女生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图的频数分布直方图（每组含前一个边界，不含后一个边界），则次数不低于42个的有（）A ．6人B ．8个C ．14个D ．23个2、（4分）若关于x 的分式方程2233x m x x ++=--有增根，则m 的值是（）．A ．1m =-B ．0m =C ．3m =D ．0m =或3m =3、（4分）如图，菱形中，，这个菱形的周长是（）A ．B ．C ．D ．4、（4分）如图，某工厂有甲，乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度与注水时间之间的函数关系图象可能是如图，某工厂有甲，乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度与注水时间之间的函数关系图象可能是()A．B．C．D．5、（4分）如图，A、B两点被一座山隔开，M、N分别是AC、BC中点，测量MN的长度为40m，那么AB的长度为（）A．40m B．80m C．160m D．不能确定6、（4分）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1.5小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距40千米时，t＝32或t＝72，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7、（4分）如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x =上，且AB //x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为（）A ．1B ．2C ．3D ．48、（4分）如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是16，腰AC 的垂直平分线EF 分别交,AC AB 边于,E F 点．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM ∆周长的最小值为（）A ．6B ．8C ．10D ．12二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）x-y+3)2=0，则(x+y)2018=__________.10、（4分）如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝AC ＝3，点D 是BC 边上一点，∠DAC ＝30°，点E 是AD 边上一点，CE 绕点C 逆时针旋转90°得到CF ，连接DF ，DF 的最小值是___．11、（4分）计算：11x x x -+=_____．12、（4分）如图，分别以Rt ABC ∆的斜边AB ，直角边AC 为边向外作等边ABD ∆和ACE ∆，F 为AB 的中点，DE ，AB 相交于点G .若∠BAC=30°，下列结论：①EF AC ⊥；②四边形ADFE 为平行四边形；③4AD AG =；④DBF EFA ∆≅∆.其中正确结论的序号是______.13、（4分）计算)33+的结果等于______________.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）用适当方法解方程：（1）2240x x --=（2）22(34)(43)x x -=-15、（8分）如图，四边形ABCD 和四边形CDEF 都是平行四边形．求证：四边形AEFB 是平行四边形．16、（8分）某校计划购进A ，B 两种树木共100棵进行校园绿化，已知A 种树木每棵100元，B 种树木每棵80元，因布局需要，购买A 种树木的数量不少于B 种树木数量的3倍，实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．17、（10分）如图，在四边形中，，，，为的中点，连接.（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若平分，，求的长.18、（10分）如图，直线l 1：y=2x+1与直线l 2：y=mx+4相交于点P （1，b ）(1)求b ，m 的值(2)垂直于x 轴的直线x=a 与直线l 1，l 2分别相交于C ，D ，若线段CD 长为2，求a 的值B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，在ABCD 中，已知8AD cm =，6AB cm =，DE 平分ADC ∠，交BC 边于点E ，则BE =___________cm ．20、（4分）如图，四边形ABCD 是平行四边形，O 是对角线AC 与BD 的交点，AB⊥AC，若AB=8，AC=12，则BD 的长是．21、（4分）如果最简二次根式3与最简二次根式x ＝_______．22、（4分）式子3x -有意义的条件是__________．23、（4分）若4个数5，x ，8，10的中位数为7，则x =_______.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，P 、Q 是方格纸中的两格点，请按要求画出以PQ 为对角线的格点四边形.（顶点都在格点上的四边形称为格点四边形）（1）在图①中画出一个面积最小的中心对称图形PAQB ，（2）在图②中画出一个四边形PCQD ，使其是轴对称图形但不是中心对称图形，且另一条对角线CD 由线段PQ 以某一格点为旋转中心旋转得到.25、（10分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，E 是AB 上的点，且AE ＝AC ，DE ⊥AB 交BC 于D ，AC ＝6，BC ＝8，CD ＝1．(1)求DE 的长；(2)求△ADB 的面积．26、（12分）（1）探究新知：如图1，已知△ABC 与△ABD 的面积相等，试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图3所示，请判断MN与EF是否平行？请说明理由.一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、C【解析】分析：由频数分布直方图可知仰卧起坐的次数x在42≤x＜46的有8人，46≤x＜50的有6人，可得答案．详解：由频数分布直方图可知，次数不低于42个的有8+6=14（人），故选：C．点睛：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．2、A【解析】方程两边都乘以最简公分母（x-3），把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出x的值，然后代入进行计算即可求出m的值．【详解】方程两边都乘以(x−3)得，2−x−m=2(x−3)，∵分式方程有增根，∴x−3=0，解得x=3，∴2−3−m=2(3−3)，解得m=−1.故选A.3、C【解析】通过菱形性质及勾股定理求出边AB的值，周长为4AB即可．【详解】解：因为四边形ABCD是菱形，则AO=1，BO=2，所以AB=．周长为4AB=4．故选：C．本题主要考查了菱形的性质，解决四边形问题一般转化为三角形问题．4、D【解析】根据注水后水进入水池情况，结合特殊点的实际意义即可求出答案．【详解】解：该蓄水池就是一个连通器．开始时注入甲池，乙池无水，当甲池中水位到达与乙池的连接处时，乙池才开始注水，所以A、B不正确，此时甲池水位不变，所有水注入乙池，所以水位上升快．当乙池水位到达连接处时，所注入的水使甲乙两个水池同时升高，所以升高速度变慢．在乙池水位超过连通部分，甲和乙部分同时升高，但蓄水池底变小，此时比连通部分快．故选：D．主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．5、B【解析】根据三角形中位线定理计算即可【详解】∵M、N分别是AC、BC中点，∴NM是△ACB的中位线，∴AB=2MN=80m，故选：B.此题考查三角形中位线定理，解题关键在于掌握运算法则6、A【解析】由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A 城的距离y 与时间t 的关系式，可求得两函数图象的交点，进而判断，再令两函数解析式的差为40，可求得t ，可得出答案．【详解】由图象可知A 、B 两城市之间的距离为300km ，故①正确；甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故②错误；设甲车离开A 城的距离y 与t 的关系式为y 甲＝kt ，把（5，300）代入可求得k ＝60，∴y 甲＝60t ，把y ＝150代入y 甲＝60t ，可得：t ＝2.5，设乙车离开A 城的距离y 与t 的关系式为y 乙＝mt +n ，把（1，0）和（2.5，150）代入可得02.5150m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得100100m n =⎧⎨=-⎩，∴y 乙＝100t ﹣100，令y 甲＝y 乙可得：60t ＝100t ﹣100，解得t ＝2.5，即甲、乙两直线的交点横坐标为t ＝2.5，此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，故③错误；令|y 甲﹣y 乙|＝40，可得|60t ﹣100t +100|＝40，即|100﹣40t |＝40，当100﹣40t ＝40时，可解得t ＝32，当100﹣40t ＝﹣40时，可解得t ＝72，又当t ＝23时，y 甲＝40，此时乙还没出发，当t ＝133时，乙到达B 城，y 甲＝260；综上可知当t 的值为32或72或23或t ＝133时，两车相距40千米，故④不正确；故选A ．本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考常考题型．7、B【解析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S 的关系S =|k |即可判断．【详解】解：过A 点作AE ⊥y 轴，垂足为E ，∵点A 在双曲线y =1x上，∴四边形AEOD 的面积为1，∵点B 在双曲线y =3x上，且AB ∥x 轴，∴四边形BEOC 的面积为3，∴四边形ABCD 为矩形，则它的面积为3−1=2.故选B.8、C 【解析】连接AD ，由于△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD ⊥BC ，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再根据EF 是线段AB 的垂直平分线可知，点B 关于直线EF 的对称点为点A ，故AD 的长为BM+MD 的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD ，∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S △ABC =12BC •AD=12×4×AD=16，解得AD=8，∵EF 是线段AC 的垂直平分线，∴点C 关于直线EF 的对称点为点A ，∴AD 的长为CM+MD 的最小值，∴△CDM 的周长最短=（CM+MD ）+CD 1184821022AD BC =+=+⨯=+=故选：C ．本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、1【解析】分析：根据几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0列出算式，求出x 、y 的值，计算即可．详解：由题意得：x +2=0，x ﹣y +3=0，解得：x =﹣2，y =1，则(x +y )2018=(－2+1)2018=1．故答案为：1．点睛：本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键．【解析】先依据条件判定△ACE ≌△BCF ，可得∠CBF ＝∠CAE ＝30°，即可得到点F 在射线BF 上，由此可得当DF ⊥BF 时，DF 最小，依据∠DBF ＝30°，即可得到DF ＝12BD ＝2【详解】由旋转可得，FC ＝EC ，∠ECF ＝90°，又∵∠ACB ＝90°，BC ＝AC ＝3，∴∠CAE ＝∠CBF ，∴△ACE ≌△BCF ，∴∠CBF ＝∠CAE ＝30°，∴点F 在射线BF 上，如图，当DF ⊥BF 时，DF 最小，又∵Rt △ACD 中，∠CAD ＝30°，AC ＝3＝BC ，∴CD ＝，∴BD ＝3又∵∠DBF ＝30°，∴DF ＝12BD ＝2，故答案为2．本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，得到点F 的运动轨迹是本题的难点.11、1【解析】【分析】根据同分母分式加减法的法则进行计算即可得.【详解】x 11x x -+=x 11x-+=1，故答案为1.【点睛】本题考查了同分母分式的加减法，熟练掌握同分母分式加减法的法则是解题的关键.12、①②③④【解析】首先证明证明Rt△ADF≌Rt△BAC，结合已知得到AE=DF，然后根据内错角相等两直线平行得到DF∥AE，由一组对边平行且相等可得四边形ADFE是平行四边形，故②正确；由∠DAC=∠DAB+∠BAC=90°，可得∠AHE=90°，故①正确；由2AG=AF可知③正确；在Rt△DBF和Rt△EFA中，BD＝FE，DF＝EA，可证Rt△DBF≌Rt△EFA，故④正确.【详解】∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD=BD=AB，AE=CE=AC，∠ADB=∠BAD=∠DBA=∠CAE=∠AEC=∠ACE=60°．∵F是AB的中点，∴∠BDF=∠ADF=30°，∠DFA=∠DFB=90°，BF=AF=12AB．∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，AD=2AF．∴BC=12AB，∠ADF=∠BAC，∴AF=BF=BC．在Rt△ADF和Rt△BAC中AD＝BA，AF＝BC，∴Rt△ADF≌Rt△BAC（HL），∴DF=AC，∴AE=DF．∵∠BAC=30°，∴∠BAC+∠CAE=∠BAE=90°，∴∠DFA=∠EAB，∴DF∥AE，∴四边形ADFE是平行四边形，故②正确；∴AD=EF，AD∥EF，设AC交EF于点H，∴∠DAC=∠AHE．∵∠DAC=∠DAB+∠BAC=90°，∴∠AHE=90°，∴EF ⊥AC ．①正确；∵四边形ADFE 是平行四边形，∴2GF=2GA=AF ．∴AD=4AG ．故③正确．在Rt △DBF 和Rt △EFA 中BD ＝FE ，DF ＝EA ，∴Rt △DBF ≌Rt △EFA （HL ）．故④正确，故答案为：①②③④．本题解题的关键：运用到的性质定理有，直角全等三角形的判定定理HL ，平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，全等三角形对应边与对应角相等的性质，平行四边形对角线互相平分与两组对边平行且相等的性质.13、4-【解析】先用平方差公式，再根据二次根式的性质计算可得．【详解】解：原式=)33-=2-23=5-9=-4故答案为：-4本题考查了二次根式的混合运算的应用，熟练掌握平方差公式与二次根式的性质是关键．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（１）x 1，x 2（２）x 1=-1,x 2=1．【解析】（１）在本题中，把常数项-4移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-2的一半的平方，配方后即可解答．（２）利用直接开方法得到34(43)x x -=±-，然后解两个一次方程即可．【详解】（１）解：由原方程移项，得x 2-2x=4，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得x 2−2x+1=5，配方，得(x−1)2=5，∴∴x 1x 2．（２）解：34(43)x x -=±-3443x x -=-或344+3x x -=-，∴x 1=-1,x 2=1．本题主要考查一元二次方程的解法，掌握解法是解题的关键．15、详见解析【解析】首先根据平行四边形的性质，得出//AB CD ，AB CD =，//EF CD ，EF CD =，进而得出//AB EF ，AB EF =，即可判定.【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AB CD ，AB CD =∵四边形CDEF 是平行四边形，∴//EF CD ，EF CD =∴//AB EF ，AB EF =∴四边形AEFB 是平行四边形此题主要考查平行四边形的性质和判定，熟练掌握，即可解题.16、购买A种树木75棵，购买B种树木25棵，实际所花费用最省，最省的费用为8550元．【解析】设购买A种树木x棵，则购买B种树木(100﹣x)棵，根据“购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍”，列出关于x的一元一次不等式，求得x的取值范围，根据“A种树木每棵100元，B种树木每棵80元，实际付款总金额按市场价九折优惠，”把实际付款的总金额W 用x表示出来，根据x的取值范围，求出W的最小值，即可得到答案．【详解】设购买A种树木x棵，则购买B种树木(100﹣x)棵，根据题意得：x≥3(100﹣x)，解得：x≥75，设实际付款的总金额为W元，根据题意得：W＝0.9[100x+80(100﹣x)]＝18x+7200，W是关于x的一次函数，且随着x的增大而增大，即当x取到最小值75时，W取到最小值，W最小＝18×75+7200＝8550，100﹣75＝25，即购买A种树木75棵，购买B种树木25棵，答：购买A种树木75棵，购买B种树木25棵，实际所花费用最省，最省的费用为8550元．本题考查了一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确找出不等关系，列出一元一次不等式，并正确利用一次函数的增减性是解决本题的关键．17、（1）详见解析；（2）【解析】（1）由，，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE＝DE即可解决问题；（2）可证AB ＝BC ，由勾股定理可求出．【详解】（1）∵为中点，∴；∵，∴；∵，∴四边形是平行四边形.∵，为的中点，∴.∴平行四边形是菱形.（2）∵平分，∴；∵，∴，∴，∴；在中，，，．本题考查菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．18、（1）-1；（2）53或13.【解析】（1）由点P （1，b ）在直线l 1上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b 值，再将点P 的坐标代入直线l 2中，即可求出m 值；（2）由点C 、D 的横坐标，即可得出点C 、D 的纵坐标，结合CD=2即可得出关于a 的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）∵点P （1，b ）在直线l 1：y=2x+1上，∴b=2×1+1=3；∵点P （1，3）在直线l 2：y=mx+4上，∴3=m+4，∴m=﹣1．（2）当x=a 时，y C =2a+1；当x=a 时，y D =4﹣a ．∵CD=2，∴|2a+1﹣（4﹣a ）|=2，解得：a=13或a=53，∴a=13或a=53．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、1【解析】由ABCD 和DE 平分ADC ∠，可证DEC CDE ∠=∠，从而可知DCE ∆为等腰三角形，则CE CD =，由8AD BC cm ==，6AB CD cm ==，即可求出BE ．【详解】解：ABCD 中，AD//BC ，ADE DEC∴∠=∠DE 平分ADC∠ADE CDE∴∠=∠DEC CDE∠=∠∴CD CE∴=6CD AB cm ==6CE cm ∴=8BC AD cm==862BE BC EC cm∴=-=-=故答案为1．本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．20、1【解析】试题分析：由四边形ABCD 是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA 的长，然后由AB⊥AC，AB=8，AC=12，根据勾股定理可求得OB 的长，继而求得答案．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，AC=12，∴OA=AC=6，BD=2OB，∵AB⊥AC，AB=8，∴OB===10，∴BD=2OB=1．故答案为：1．21、1【解析】∵最简二次根式3是同类二次根式，∴x+3=1+1x ，解得：x=1．当x=1时，3是最简二次根式且是同类二次根式．22、2x ≥且3x ≠【解析】式子3x -有意义，则x-2≥0，x-3≠0，解出x 的范围即可.【详解】式子23x -有意义，则x-2≥0，x-3≠0，解得：2x ≥，3x ≠，故答案为2x ≥且3x ≠.此题考查二次根式及分式有意义，熟练掌握二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，及解不等式是解决本题的关键.23、6【解析】根据中位数的概念求解．【详解】解：∵5，x ，8，10的中位数为7，∴872x +=，解得：x=1．故答案为：1．本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）画图见解析；（2）画图见解析.【解析】（1）利用方格纸的特点及几何图形的计算方法，利用割补法，把四边形PAQB 的面积转化为△PAQ 与△PBQ 的面积之和，根据两个三角形的底PQ 一定时，要使面积最小，则满足高最小，且同时满足顶点都在格点上即可得答案；（2）根据题意，画出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形，且另一条对角线CD 由线段PQ 以某一格点为旋转中心旋转得到可知此四边形是等腰梯形，根据方格纸的特点，作出满足条件的图形即可.【详解】（1）∵PQ 为对角线，∴S 四边形PAQB =S △PAQ +S △PBQ ，∵PQ 一定时，高最小时，△PAQ 与△PBQ 的面积最小，A 、B 在格点上，∴高为1，∴四边形PAQB 如图①所示：（2）∵四边形PCQD 是轴对称图形但不是中心对称图形，且另一条对角线CD 由线段PQ 以某一格点为旋转中心旋转得到，∴四边形PCQD 是等腰梯形，∴四边形PCQD 如图②所示：本题考查了作图——旋转变化及利用割补法计算几何图形的面积，熟练掌握旋转的性质及方格纸的特点是解题关键.25、（1）1；（2）15【解析】（1）通过证明ACD AED △≌△，即可得出DE 的长；（2）根据三角形面积公式求解即可．【详解】（1）∵DE ⊥AB ∴90DEA C ==︒∠∠∴在Rt ACD Rt AED △和△中AE AC AD AD =⎧⎨=⎩∴ACD AED △≌△∴3DE CD ==（2）∵BC ＝8，CD ＝1∴835BD BC CD =-=-=∴11561522S ADB BD AC =⨯⨯=⨯⨯=△本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、三角形面积公式是解题的关键．26、（1）AB ∥CD ．理由见解析；（1）①证明见解析；②MN ∥EF ．理由见解析.【解析】（1）分别过点C ，D ，作CG ⊥AB ，DH ⊥AB ，然后证明四边形CGHD 为平行四边形后可得AB ∥CD ；（1）①连结MF ，NE ．设点M 的坐标为（x 1，y 1），点N 的坐标为（x 1，y 1）．利用反比例函数的性质结合条件得出S△EFM ＝S △EFN ．可得MN ∥EF ．（3）MN ∥EF ．证明与①类似.【详解】解：（1）分别过点C ，D ，作CG ⊥AB ，DH ⊥AB ，垂足为G ，H ，则∠CGA ＝∠DHB ＝90°．∴CG ∥DH ．∵△ABC 与△ABD 的面积相等，∴CG ＝DH ．∴四边形CGHD 为平行四边形．∴AB ∥CD ．（1）①连结MF ，NE ．设点M 的坐标为（x 1，y 1），点N 的坐标为（x 1，y 1）．∵点M ，N 在反比例函数（k ＞0）的图象上，∴，∵ME ⊥y 轴，NF ⊥x 轴∴OE ＝y 1，OF ＝x 1．∴S △EFM ＝S △EFN ＝．∴S △EFM ＝S △EFN ．由（1）中的结论可知：MN ∥EF ．②MN ∥EF ．证明与①类似，略．本题考查1.平行四边形的判定与性质1.反比例函数的性质，综合性较强.。
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2020-2021年青竹湖湘一外国语学校九年级第一学期月考数学试卷时间：120分钟分值：120分一、选择题（本大题共10小题，共30分）1.如果3x =2y （x 、y 均不为零），那么:x y 的值是（）A.32B.23 C.25D.352.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A.B.C. D.3.下列计算正确的是（）A.325m m m+= B.326m m m⋅= C.2(1)(1)1m m m -+=- D.422(1)1m m -=--4.甲、乙、丙、丁四名学生近5次数学成绩的平均数都是110分，方差如下表，则这四名学生成绩最稳定的是（）学生甲乙丙丁方差（2s ）11.66.87.62.8A.甲B.乙C.丙D.丁5.若在同一直角坐标系中，作y =2x ，y =22x +，y =221x -+的图象，则它们（）A.都关于y 轴对称B.开口方向相同C.都经过原点D.互相可以通过平移得到6.一个矩形苗圈园，其中一边都墙，墙长20m ，另外三边由篱笆围成，篱笆长度为30m ，则垂直于墙的一边的长度x 取值范围为（）A.5≤x <15B.0<x ≤20C.5≤x ≤20D.0<x <157.关于反比例函数12y x=-，下列说法不正确的是（）A.函数图象分别位于第二、四象限B.函数图象关于原点成中心对称C.函数图象经过点()6,2-- D.当x <0时，y 随x 的增大而增大8.如图，直线AB//CD ，∠A=70°，∠C=40°，则∠E 等于（）A.30°B.40°C.60°D.70°9.如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 为25cm ，贴纸部分的宽BD 为15cm ，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（）A.175πcm 2B.350πcm 2C.8003πcm 2 D.150πcm 210.二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为(1,4)a -，点A ()14,y 是该抛物线上一点，若点D ()22,x y 是抛物线上任意一点，有下列结论：①420a b c -+>；②若21y y >，则24x >；③若204x ≤≤，则205y a ≤≤；④若方程(1)(3)1a x x +-=-有两个实数根x 1和x 2，且x 1<x 2，则1213x x -<<<。
其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（本大题共6小题，共18分）11.在某校举行的“人人崇尚美，个个奉献爱”的演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中一位同学想知道自己是否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这8名学生成绩的（填“平均数”、“中位数”或“众数”）12.分解因式：2228a b -=。
13.如图是一个高速公路隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =8米，净高CD =8米，则此圆的半径OA 为米。
14.以40m/s 的速度将小球沿与地面成30度角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线。
如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有函数关系：2205h t t =-，那么球从飞出到落地要用的时间是。
15.已知点(,)P a b 在直线112y x =-上，点Q (,2)a b -在直线1y x =+上，则代数式2241a b --的值为。
16.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =10，BC =8，点D 是BC 上一点，BC =3CD ，点P 是线段AC 上一个动点，以PD 为直径作⊙O ，点M 为 PD的中点，连接AM ，则AM 的最小值为。
三、解答题（本大题共9小题，共72分）17，计算：201(2017)|2|3-⎛⎫--π+- ⎪⎝⎭18.先化简，再求值2222421121x x x x x x x ---÷+--+，然后在不等式2x ≤的非负整数解中选择一个适当的数代入求值。
19.如图，已知反比例函数kyx=的图象与一次函数y x b=+的图象交于点A()1,4，点B(4,)n-。
（1）求n和b的值；（2）求△OAB的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围。
20.2020年是决胜全面建成小康社会冲锋之年，为进一步加快脱贫攻坚步伐，某市出台了民生兜底、医保脱贫、教育救助、产业扶持、养老托管和易地搬迁这六种帮扶措施，每户贫困户都享受了2到5种帮扶措施，现把享受了2种、3种、4种和5种帮扶措施的贫困户分别称为A、B、C、D类贫困户，为检查帮扶措施是否落实，随机抽取了若干贫困户进行调查，现将收集的数据绘制成下面两幅不完整的统计图：请根据图中信息回答下面的问题：（1）求本次抽样调查贫困户总户数，并补全条形统计图；（2）若该地共有15000户贫困户，请估计至少得到3项帮扶措施的大约有多少户；（3）为更好地做好精准扶贫工作，现准备从D类贫困户中的甲、乙、丙、丁四户中随机选取两户进行重点帮扶，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好选中甲和丙的概率。
21.如图，AD∥BC，AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥/AC。
（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AC=6，BD=10，求OE的长。
22某网店专售一品牌牙膏，其成本为22元/支，销售中发现，该商品每天的销售量y（支）与销售单价x （元/支）之间存在一次函数关系，当售价为30元时销售量为100支，售价为35元时销售量为50支。
（1）请求出y与x之间的函数关系式；（2）该品牌牙膏销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？（3）该网店店主决定从每天获得的利润中抽出100元捐给希望工程，为了保证捐款后每天剩余的利润不低于350元，请你给该网店店主提供一个合理化的销售单价范围。
23.如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为4，点D在劣弧AB上运动（不与点A、B重合），连接DA、DB、DC。
（1）求证：DC是∠ADB的平分线；（2）四边形ADBC的面积S是线段DC长x的函数吗？如果是，请求出函数解析式；如果不是，请说明理由；（3）若点M、N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定位置，△DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值。
24.对于给定的两个函数11y k x b =+（k 1≠0）和22y k x b =+（k 2≠0），在这里我们把()()1122y k x b k x b =++（k 1≠0，k 2≠0）叫做这两个函数的“友好”函数。
（1）写出函数y =x +1和y =3x -+的“友好”函数，然后写出这个“友好”函数的图象与x 轴交点的坐标；（2）已知函数2y x n =-+和y =x ，当它们的“友好”函数自变量的取值范围是13x -≤≤，且当3n ≥时这个“友好”函数的最大值是9，求n 的值以及这个“友好”函数的最小值；（3）已知函数2y x n =-+和y =x ，当它们的“友好”函数的自变量的取值范围是11132222n x n -≤≤+时，写出这个“友好”函数的图象在变化过程中最高点的纵坐标y 与n 之间的函数关系式。
25.如图①，抛物线2y ax x c =++经过点C ()3,0，顶点为B ，对称轴x =1与x 轴相交于点A ，D 为线段BC 的中点。
（1）求抛物线的解析式；（2）P 为线段BC 上任意一点，M 为x 轴上一动点，连接MP ，以点M 为中心，将△MPC 逆时针旋转90°，记点P 的对应点为点E ，点C 的对应点为F ，当直线EF 与抛物线2y ax x c =++只有一个交点时，求点M 的坐标；（3）△MPC 在（2）的旋转变换下，若2PC =（如图②）①求证：EA =ED ；②当点E 在（1）所求的抛物线上时，求线段CM 的长。
图①图②参考答案1-12：BCDDA ACABB 11.中位数12.()()222a b a b +-13.514.4s 15.116.17.解：原式91329=-+-=18.解：原式化简为21x +，当时0x =，原式=219.解：（1）1n =-，3b =（2）容易得到一次函数为3y x =+，152S AOB = （3）1x >或40x -<<20.解：（1）总户数500C ：120人，图省略（2）7200户（3）1621.解析：（1）证明：∵AC 平分∠BAD ∴∠BAC=∠DAC ∵AD ∥BC ∴∠ACB=∠DAC ∴∠BAC=∠ACB∴AB=BC 同理AB=AD ∴AD=BC ，AD ∥BC∴四边形ABCD 是平行四边形∴四边形ABCD 是菱形（2）解：∵CE ∥BD ，DE ∥AC ∴四边形OCED 是平行四边形∵四边形ABCD 是菱形∴AC ⊥BD ，OC=12AC ，OD=12BD∴∠COD=90°∵AC=6，BD=10∴OC=3，OD=5∴CD ==∵四边形OCED 是平行四边形，∠COD=90°∴四边形OCED 是矩形∴OE CD ==22.解：（1）10400y x =-+（2）()()()222104001031810w x x x =--+=--+∴当该品牌牙膏销售单价定为31元时，每天销售利润最大是810元（3）2537x ≤≤1123.证明：（1）∵△ABC 是等边三角形∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°∵∠ADC=∠ABC=60°，∠BDC=∠BAC=60°∴∠ADC=∠BDC∴DC 是∠ADB 的平分线（2）234S x =（3）24.解：（1）223y x x =-+-，与x 轴交点的坐标为（-1，0），（3，0）（2）最小值为-7（3）y 与n 之间的函数关系式为()()()2223111424133393424n n n y n n n n n ⎧--≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩25.解：（1）21322y x x =-++（2）点M 的坐标为（34，0）（3）①证明略②2312CM =或2312-。