专题34 动态几何之面动形成的最值问题(预测题)-决胜2017中考数学压轴题全揭秘精品(原卷版)
专题25 动态几何之线动形成的函数关系问题(预测题)-中考数学压轴题全揭秘精品(解析版)
数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
动态几何形成的函数关系和图象问题是动态几何中的基本问题，包括单动点形成的函数关系和图象问题，双（多）动点形成的函数关系和图象问题，线动形成的函数关系和图象问题，面动形成的函数关系和图象问题。
本专题原创编写线动点形成的函数关系问题模拟题。
线动问题就是在一些基本几何图形上，设计一个动线（包括平移和旋转），或由点动、面动形成线动，并对线在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究。
在中考压轴题中，线动形成的函数关系问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。
原创模拟预测题1. 如下图所示，已知等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，AD=2，BC=6，AB=DC=线l 垂直于BC ，且从经过点B 的位置向右平移，直至经过点C 的位置停止，设扫过的阴影部分的面积为S ，BP 为x ，则S 关于x 的函数关系式是▲ 。
【答案】。
【考点】动线问题的函数图象，等腰梯形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，分类思想的应用。
【分析】如图1，分别过点A ，D 作BC 的垂线，垂足为E ，F ，()()()221x 0x 22S 2x 22x 41x 6x 104x 62⎧≤≤⎪⎪⎪=-≤⎨⎪⎪-+-≤⎪⎩＜＜∵等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，AD=2，BC=6，AB=DC=∴BE=EF=FC=2。
专题31 动态几何之单动点形成的最值问题(压轴题)
《中考压轴题》专题31：动态几何之单动点形成的最值问题一、选择题1.已知点A的坐标为（2，0），点P在直线y=x上运动，当以点P为圆心，PA的长为半径的圆的面积最小时，点P的坐标为【】A．（1，﹣1）B．（0，0）C．（1，1）D．2.如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为【】A. B.1 C.2 D.3.如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为【】A. B.1 C.2 D.7.在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是【】A．B．C．D．8.如图，在圆O 上有定点C 和动点P ，位于直径AB 的异侧，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q ，已知：圆O 半径为52，tan ∠ABC ＝34，则CQ 的最大值是【】A ．5B ．154C ．253D ．2039.如图所示，已知A 11(,y )2，B 2(2,y )为反比例函数1y x图像上的两点，动点P (x,0)在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是【】A.1(,0)2 B.(1,0) C.3(,0)2 D.5(,0)210.如图，一条抛物线与x 轴相交于A 、B 两点，其顶点P 在折线C －D －E 上移动，若点C 、D 、E 的坐标分别为（－1，4）、（3，4）、（3，1），点B 的横坐标的最小值为1，则点A 的横坐标的最大值为【】A.1B.2C.3D.411.如图为反比例函数1y=x在第一象限的图象，点A为此图象上的一动点，过点A分别作AB⊥x轴和AC⊥y轴，垂足分别为B，C．则四边形OBAC周长的最小值为【】A．4B．3C．2D．112.如图，已知直线334y x=-与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是（）A．8B．12C．212D．172二、填空题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是»CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是．2.在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（1，0），B（2，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为．3.如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA＝x，PB＝y，则（x－y）的最大值是．4.如图，在边长10cm为的正方形ABCD中，P为AB边上任意一点（P不与A、B两点重合），连结DP，过点P作PE⊥DP，垂足为P，交BC于点E，则BE的最大长度为cm。
专题32 动态几何之双(多)动点形成的最值问题(预测题)-决胜2016中考数学压轴题全揭秘精品(解析版)
数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
动态几何形成的最值问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的最值问题，双（多）动点形成的最值问题，线动形成的最值问题，面动形成的最值问题。
本专题原创编写双（多）形成的最值问题模拟题。
在中考压轴题中，双（多）形成的最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类和选择正确的解题方法。
原创模拟预测题1. 如图1，在□ABCD 中，AH ⊥DC ，垂足为H ，AB ＝，AD ＝7，AH . 现有两个动点E 、F 同时从点A 出发，分别以每秒1个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿射线AC 方向匀速运动. 在点E 、F 运动过程中，以EF 为边作等边△EFG ，使△EFG 与△ABC 在射线AC 的同侧，当点E 运动到点C 时，E 、F 两点同时停止运动. 设运转时间为t 秒. （1）求线段AC 的长；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG 与△ABC 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式，并写出相应的自变量t 的取值范围；（3）当等边△EFG 的顶点E 到达点C 时，如图2，将△EFG 绕着点C 旋转一个角度(0360)αα︒<<︒. 在旋转过程中，点E 与点C 重合，F 的对应点为F′，G 的对应点为G′. 设直线F′G′与射线DC 、射线AC 分别相交于M 、N 两点.试问：是否存在点M 、N ，使得△CMN 是以∠MCN 为底角的等腰三角形？若存在，请求出线段CM 的长度；若不存在，请说明理由.【答案】（1）7；（2）)2270t 312847S t t <t 4553228t t 4<t 733⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭⎪⎪⎫=-+≤⎨⎪⎭⎪⎪-+≤⎪⎩；（3）存在，或494. 【解析】（3）存在.如图2，当等边△EFG 的顶点E 到达点C 时，AE=AC=7，AF=21，EF=14. △EFG 绕点C 旋转过程中，以∠MCN 为底角的等腰三角形△CMN 有两种情况： ①当∠CMN 为等腰△CMN 的另一底角时，如答图1， 过点C 作CI ⊥MN 于点I ，过N 作NJ ⊥CM 于点J.在等边△CG ′I 中，易得7IG ',CI 2== .设IN a,CN MN b === ，易得△ACH ∽△NCJ ，∴AC CHNC CJ=，即7b =CJ =.∴CM =.在△CNI 中，由勾股定理得222CI IN CN +=，即222a b +=，在△CMI 中，由勾股定理得222CI IM CM +=，即()222a b ⎫++=⎪⎪⎭，二者联立，解得49b 4=，∴CM ==②当∠CNM 为等腰△CMN 的另一底角时，如答图2， 过点C 作CI ⊥MN 于点I ，过N 作NJ ⊥CM 于点J.在等边△CG ′I 中，易得7IG ',CI 2== .考点：1.双动点和面动旋转问题；2.勾股定理；3. 线段垂直平分线的性质；4.等边、腰三角形的性质；5.由实际问题列函数关系式；6. 旋转的性质；7.相似三角形的判定和性质；8. 等腰三角形存在性问题；9.分类思想的应用.二.应用轴对称的性质求最值问题原创模拟预测题2. 如图，正方形AOCB 在平面直角坐标系xOy 中，点O 为原点，点B 在反比例函数4y x=（x ＞0）图象上， OC ＞OA ）． （1）求点B 的坐标；（2）若动点E 从A 开始沿AB 向B 以每秒2个单位的速度运动，同时动点F 从B 开始沿BC 向C 以每秒1个单位的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动．当运动时间为12秒时，在x 轴上是否存在点P ，使△PEF 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵点B 在反比例函数4y x =（x ＞0）图象上， ∴可设点B 坐标为（a ，a4），∵，∴24221617a a 11a 160a 1a 4a=+⇒-+=⇒==或。
专题34 动态几何之面动形成的最值问题(压轴题)
《中考压轴题》专题34：动态几何之面动形成的最值问题一、填空题1.如图，长方形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：第一步：如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用)；第二步：如图②，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿M N将梯形纸片GBCH剪成两部分；第三步：如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片．(注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为cm，最大值为cm．1.如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．Rt△CDE中，∠CDE=90°，CD=4，DE=，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt△CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：（1）如图（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME的度数．（2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长．（3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．2.如图①，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板ABC 的直角顶点A 在y 轴上，坐标为（0，﹣1），另一顶点B 坐标为（﹣2，0），已知二次函数23y x bx c 2=++的图象经过B 、C 两点．现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直尺的边A′D′∥y 轴且经过点B ，直尺沿x 轴正方向平移，当A′D′与y 轴重合时运动停止．（1）求点C 的坐标及二次函数的关系式；（2）若运动过程中直尺的边A′D′交边BC 于点M ，交抛物线于点N ，求线段MN 长度的最大值；（3）如图②，设点P 为直尺的边A′D′上的任一点，连接PA 、PB 、PC ，Q 为BC 的中点，试探究：在直尺平移的过程中，当PQ 2=时，线段PA 、PB 、PC 之间的数量关系．请直接写出结论，并指出相应的点P 与抛物线的位置关系．（说明：点与抛物线的位置关系可分为三类，例如，图②中，点A 在抛物线内，点C 在抛物线上，点D′在抛物线外．）3.如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c 经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式；（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD 重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．4.综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A、C两点的坐标分别为（4，0），（﹣2，3），抛物线W经过O、A、C三点，D是抛物线W的顶点．（1）求抛物线W的解析式及顶点D的坐标；（2）将抛物线W和OABC一起先向右平移4个单位后，再向下平移m（0＜m＜3）个单位，得到抛物线W′和O′A′B′C′，在向下平移的过程中，设O′A′B′C′与OABC的重叠部分的面积为S，试探究：当m为何值时S有最大值，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W′的顶点为F，若点M是x轴上的动点，点N时抛物线W′上的动点，试判断是否存在这样的点M和点N，使得以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．5．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（-2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点.若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE’D’F’，记旋转角为α.（1）如图①，当α＝90°，求AE'，BF'的长；（2）如图②，当α＝135°，求证AE'＝BF'，且AE'⊥BF'；（3）若直线AE'与直线BF'相交于点P，求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）.6．已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCD是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点．（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM 与△ABC相似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为AC2，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．7.在平面直角坐标系中，已知点A （－2，0），点B （0，4），点E 在OB 上，且∠OAE=∠OBA ．（1）如图①，求点E 的坐标；（2）如图②，将△AEO 沿x 轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B 、BE′．①设AA′=m ，其中0＜m ＜2，试用含m 的式子表示22A B BE '+'，并求出使22A B BE '+'取得最小值时点E′的坐标；②当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．8.用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC 和ED 重合），在BC 边上有一动点P ．（1）当点P 运动到∠CFB 的角平分线上时，连接AP ，求线段AP 的长；（2）当点P 在运动的过程中出现PA=FC 时，求∠PAB 的度数．探究二：如图④，将△DEF 的顶点D 放在△ABC 的BC 边上的中点处，并以点D 为旋转中心旋转△DEF ，使△DEF 的两直角边与△ABC 的两直角边分别交于M 、N 两点，连接MN ．在旋转△DEF 的过程中，△AMN 的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．9.将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．（1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；（2）在图②中，若AP1=2，则CQ等于多少？（3）如图③，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC=1，当BE⊥P1B时，求△P1BE面积的最大值．10.如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD 重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．11.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知直线l1:y=12x与直线l2：y=－x+6相交于点M，直线l2与x轴相较于点N.（1）求M，N的坐标；（2）在矩形ABC D中，已知AB=1，BC=2，边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动.设矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为S.移动的时间为t（从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时结束）。
专题31 动态几何之单动点形成的最值问题(预测题)(预测题)-决胜2016中考数学压轴题全揭秘精
数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
动态几何形成的最值问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的最值问题，双（多）动点形成的最值问题，线动形成的最值问题，面动形成的最值问题。
本专题原创编写单动点形成的最值问题模拟题。
在中考压轴题中，单动点形成的最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类和选择正确的解题方法。
原创模拟预测题1. 如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜103）秒．解答如下问题：（1）当t为何值时，PQ∥BO？（2）设△AQP的面积为S，①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．【答案】（1）当t=2011秒时，PQ∥BO（2）①S=295t+553⎛⎫--⎪⎝⎭（0＜t＜103），5②（23，﹣3）如图①，当PQ∥BO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=10﹣3t。
中考数学压轴专题训练——动态(动点)几何问题的解题技巧(含答案)
点 的坐标
为 ．……
一次函数的解读式
为 ．
(3) 两点在直线 上， 的坐标分别是 ．
， ．
过点 作 ，垂足为点 ．
，
又 ， 点坐标为 ．
3．(1)解方程 ，得 ．
由m＜n，知m=1，n=5．
∴A(1，0)，B(0，5)．………………………1分
∴ 解之，得
所求抛物线的解读式为 ……3分
(2)由 得 故C的坐标为(-5，0)．………4分
（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为_______
和位置关系为_____；
（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；
（2）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明.
（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．
4、（1）如图1所示，在四边形 中， = ， 与 相交于点 ， 分别是 的中点，联结 ，分别交 、 于点 ，试判断 的形状，并加以证明；
（2）如图2，在四边形 中，若 ， 分别是 的中点，联结FE并延长，分别与 的延长线交于点 ，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论：；
(3)如图③，当∠DAB＝90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予证明．
7.设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQ∥PC．
专题30 动态几何之面动形成的面积问题(预测题)-决胜2016中考数学压轴题全揭秘精品(原卷版)
《中考压轴题全揭秘》第二辑原创模拟预测题专题30：动态几何之面动形成的面积问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的面积问题，双（多）动点形成的面积问题，线动形成的面积问题，面动形成的面积问题。
本专题原创编写面动形成的面积问题模拟题。
在中考压轴题中，面动形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。
原创模拟预测题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到点B停止．点P在AD cm/s的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s).（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）．（2）当点N落在AB边上时，求t的值．（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm²），求S与t的函数关系式．（4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P在线段EB上运动时，点H始终在线段MN 的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围．原创模拟预测题2. 两个全等的梯形纸片如图(1)摆放，将梯形纸片ABCD 沿上底AD 方向向右平移得到图(2)．已知AD ＝4，BC ＝8，若阴影部分的面积等于四边形A′B′BA 的面积，则图(2)中平移距离A′A ＝ ▲ .原创模拟预测题 3. 如图，在Rt ABC △中，ACB 90∠=，°A 30∠=，°2BC =．将ABC △绕点C 按顺时针方向旋转n 度后得到EDC △，此时点D 在AB 边上，斜边DE 交AC 边于点F ，则n 的大小和图中阴影部分的面积分别为A ．302，B ．602，C ．60，D ．60， 原创模拟预测题4. 如图所示，在直角坐标系中放置一个矩形ABCD ，其中AB=2，AD=1，将矩形ABCD 沿x 轴的正方向无滑动的在x 轴上滚动，当点A 离开原点后第一次落在x 轴上时，点A 运动的路径线与x 轴围成的面积为▲ .原创模拟预测题5. 如图①，在矩形纸片ABCD 中，，（1）如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D 恰好落在AB 边上的D′处，压平折痕交CD 于点E ，则折痕AE 的长为 ；（2）如图③，再将四边形BCED′沿D′E 向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，B′C′交AE 于点F ，则四边形B′FED′的面积为 ；（3）如图④，将图②中的△AED′绕点E顺时针旋转α角，得△A′ED″，使得EA′恰好经过顶点B，求弧D′D″的长．（结果保留π）原创模拟预测题6.如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则弓形OAB的面积为▲cm2．。
专题29 动态几何之线动形成的面积问题(预测题)-决胜2016中考数学压轴题全揭秘精品(解析版)
数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的面积问题，双（多）动点形成的面积问题，线动形成的面积问题，面动形成的面积问题。
本专题原创编写双（多）动点形成的面积问题模拟题。
在中考压轴题中，线动形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。
原创模拟预测题1. 如图，点P 是菱形ABCD 的对角线AC 上的一个动点，过点P 垂直于AC 的直 线交菱形ABCD 的边于M 、N 两点．设AC ＝2，BD ＝1，AP ＝x ，△AMN 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致形状是【答案】C【解析】△AMN 的面积= 21AP×MN ，通过题干已知条件，用x 分别表示出AP 、MN ，根据所得的函数，利用其图象，可分两种情况解答：（1）0＜x≤1；（2）1＜x ＜2；解：（1）当0＜x≤1时，如图，在菱形ABCD 中，AC=2，BD=1，AO=1，且AC ⊥BD ；∵MN ⊥AC ，∴MN ∥BD ；∴△AMN ∽△ABD ， ∴AO AP =BDMN ， 即，1x =1MN ，MN=x ； ∴y=21AP×MN=21x 2（0＜x≤1）， ∵21＞0， ∴函数图象开口向上；本题考查了二次函数的图象，考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力，体现了分类讨论的思想．原创模拟预测题2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y 2x =-经过平移得到抛物线22x x y 4-=+，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】B 。
初中数学 中考模拟复习专题33 动态几何之线动形成的最值问题考试卷及答案
xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）试题1:在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（1，0），B（2，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为．试题2:如图，矩形ABCD中， BC=2，点P是线段BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，平移线段PE得到CF，连接EF。
问：四边形P CFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP长；若没有，请说明理由。
试题3:评卷人得分如图，在等腰三角形AB C中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线经过A、B两点。
若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连结PA、P B.设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积。
试题1答案:.【解析】考点：1.轴对称的应用（最短路线问题）；2.直线上点的坐标与方程的关系；3.勾股定理.试题2答案:解：有。
依题意，得四边形PCFE是平行四边形。
设BP=x，则PC=2﹣x ，平行四边形PEFC的面积为S，【考点】四边形综合题，旋转和平移问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，由实际问题列函数关系式，二次函数的最值。
试题3答案:解：在中，令x=0，得y=－4；令y=0，得x=－1或x=8。
∴A（8，0），B（0，－4）。
∵AB=AC，∴OB=OC。
∴C（0， 4）。
设直线AC：，由A（8，0），C（0， 4）得，解得。
∴直线AC：。
∴。
∴四边形PBCA的面积S与t的函数关系式为（0＜t＜4）。
动点产生的几何最值问题大全
动点产生的几何最值问题大全
动点产生的几何最值问题是数学中一类比较有挑战性的问题，通常涉及到几何图形中的动点以及与之相关的最值情况。
以下是一些常见的动点产生的几何最值问题类型：
1. 最短路径问题：在给定的几何图形中，寻找动点到某个点或线段的最短路径。
这可以涉及到直线、圆、多边形等图形。
2. 最大面积问题：确定动点在几何图形中移动时，如何使形成的图形面积最大。
例如，求动点构成的三角形、矩形等的最大面积。
3. 最长线段问题：找到在特定条件下，动点所形成的最长线段。
4. 最短时间问题：考虑动点在移动过程中，如何以最短时间到达目标点。
5. 最优位置问题：确定动点在几何图形中的最优位置，使得某个目标函数达到最大或最小值。
6. 角度最值问题：探究动点在运动过程中，相关角度的最大或最小值。
7. 对称问题：利用对称性质来解决与动点相关的最值问题。
这些只是一些常见的类型，实际问题可能更加复杂和多样化。
解决动点产生的几何最值问题通常需要结合几何学的知识、定理和方法，以及对运动轨迹和约束条件的分析。
具体的解决方法会根据问题的具体情况而有所不同。
中考数学压轴专题训练——动态(动点)几何问题的解题技巧(含答案)
(2)当△ABC与正方形DEFG重合部分的面积为 时，求CD的长．
3、在平面直角坐标系中，直线 过点A(2，0)且与 平行，直线 过点B(0，1)且与 平行，直线 与 相交于点P。点E为直线 上一点，反比例函数 且k≠2)的图象过点E且与直线 相交于点F.
（1）写出点E、点F的坐标（用 的代数式
(3)如图③，当∠DAB＝90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予证明．
7.设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQ∥PC．
(1)证明：PC＝2AQ．
(2)当点F为BC的中点时，试比较△PFC和梯形APCQ面积的大小关系，并对你的结论加以证明．
(3)如图3，BD是正方形ABCD的对角线,L在BD上，且BL=BC,连结CL，点E是CL上任一点,EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；
3.在 中，AC=BC， ，点D为AC的中点．
（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结CF，过点F作 ，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明．
由顶点坐标公式，得D(-2，9)．………………………………………………5分
过D作DE⊥x轴于E，易得E(-2，0)．
=15．…………………………………………7分
(注：延长DB交x轴于F,由 也可求得)
(3)设P(a，0)，则H(a， )．
直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，须且只须BC等分线段PH，亦即PH的中点
（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；
专题33 动态几何之线动形成的最值问题(预测题)-决胜2017中考数学压轴题全揭秘精品(解析版)
《中考压轴题全揭秘》第二辑原创模拟预测题专题33：动态几何之线动形成的最值问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈．动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等．解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况．以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射．动态几何形成的最值问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的最值问题，双（多）动点形成的最值问题，线动形成的最值问题，面动形成的最值问题．本专题原创编写线动形成的最值问题模拟题．在中考压轴题中，线动形成的最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类和选择正确的解题方法．=上运动，当线段AB最短时，点B的坐标原创模拟预测题1．如图，定点A（﹣2，0），动点B在直线y x为．【答案】（﹣1，﹣1）．【解析】试题分析：过A作AD⊥直线y=x，过D作DE⊥x轴于E，则∠DOA=∠OAD=∠EDO=∠EDA=45°，∵A（﹣=上运动，当线段AB最2，0），∴OA=2，∴OE=DE=1，∴D的坐标为（﹣1，﹣1），即动点B在直线y x短时，点B的坐标为（﹣1，﹣1），故答案为：（﹣1，﹣1）．考点：一次函数图象上点的坐标特征；垂线段最短；动点型；最值问题；综合题．原创模拟预测题2．如图，四边形ABCD 中，∠A =90°，AB =33，AD =3，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点（含端点，但点M 不与点B 重合），点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为 ．【答案】3．考点：三角形中位线定理；勾股定理；动点型．原创模拟预测题3．如图1，已知直线3y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将直线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V 形折线”）．（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式； （2）如图2，双曲线ky x=与新函数的图象交于点C （1，a ），点D 是线段AC 上一动点（不包括端点），过点D 作x 轴的平行线，与新函数图象交于另一点E ，与双曲线交于点P ． ①试求△P AD 的面积的最大值；②探索：在点D 运动的过程中，四边形P AEC 能否为平行四边形？若能，求出此时点D 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）函数的最小值为0；函数图象的对称轴为直线x =﹣3； 3 (3) 3 (3)x x y x x +≥-⎧=⎨--<-⎩；（2）①258；②四边形P AEC 不能为平行四边形． 【解析】试题解析：（1）如图1，均是正整数新函数的两条性质：①函数的最小值为0，②函数图象的对称轴为直线x =﹣3；由题意得A 点坐标为（﹣3，0）．分两种情况：①x ≥﹣3时，显然y =x +3；②当x ＜﹣3时，设其解析式为y kx b =+．在直线y =x +3中，当x =﹣4时，y =﹣1，则点（﹣4，﹣1）关于x 轴的对称点为（﹣4，1）．把（﹣4，1），（﹣3，0）代入y kx b =+，得：4130k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：13k b =-⎧⎨=-⎩，∴y =﹣x ﹣3．综上所述，新函数的解析式为 3 (3)3 (3)x x y x x +≥-⎧=⎨--<-⎩；（2）如图2，①∵点C （1，a ）在直线y =x +3上，∴a =1+3=4．∵点C （1，4）在双曲线ky x=上，∴k =1×4=4，∴4y x=．∵点D 是线段AC 上一动点（不包括端点），∴可设点D 的坐标为（m ，m +3），且﹣3＜m ＜1．∵DP ∥x 轴，且点P 在双曲线上，∴P （43m +，m +3），∴PD =43m m -+，∴△P AD 的面积为S =14()(3)23m m m -⨯++=213222m m --+=21325()228m -++，∵a =12-＜0，∴当m =32-时，S 有最大值，为258，又∵﹣3＜32-＜1，∴△P AD 的面积的最大值为258；②在点D 运动的过程中，四边形P AEC 不能为平行四边形．理由如下：当点D 为AC 的中点时，其坐标为（﹣1，2），此时P 点的坐标为（2，2），E 点的坐标为（﹣5，2），∵DP =3，DE =4，∴EP 与AC 不能互相平分，∴四边形P AEC 不能为平行四边形．考点：反比例函数综合题；分段函数；动点型；最值问题；二次函数的最值；探究型；综合题；压轴题． 原创模拟预测题4．如图，已知Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，BC =6，点P 以每秒1个单位的速度从A 向C 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从A →B →C 方向运动，它们到C 点后都停止运动，设点P ，Q 运动的时间为t 秒．（1）在运动过程中，求P ，Q 两点间距离的最大值；（2）经过t 秒的运动，求△ABC 被直线PQ 扫过的面积S 与时间t 的函数关系式；（3）P ，Q 两点在运动过程中，是否存在时间t ，使得△PQC 为等腰三角形？若存在，求出此时的t 值；若不存在，请说明理由（5≈2.24，结果保留一位小数）．【答案】（1）35；（2）S =223 (05)51640 (58)t t t t t ⎧<≤⎪⎨⎪-+-<≤⎩；（3）t =165或t =4011或t =3.4．【解析】试题分析：（1）如图1，过Q 作QE ⊥AC 于E ，连接PQ ，由△ABC ∽△AQE ，得到比例式AQ AE QEAB AC BC==，求得PE =35t ，QE =65t ，由勾股定理求出PQ =355，当Q 与B 重合时，PQ 的值最大，于是得到当t =5时，得到PQ 的最大值；（2）由三角形的面积公式即可求得；（3）存在，如图2，连接CQ ，PQ ，分三种情况①当CQ =CP 时，②当PQ =CQ 时，③当PQ =PC 时，列方程求解即可．（2）如图1，△ABC 被直线PQ 扫过的面积=ΔAQP S ， 当Q 在AB 边上时，S =12AP •QE =1625t t ⋅=235t ，（0＜t ≤5） 当Q 在BC 边上时，△ABC 被直线PQ 扫过的面积=S 四边形ABQP ， ∴S 四边形ABQP =S △ABC ﹣S △PQC =12×8×6﹣12（8﹣t ）•（16﹣2t ）=21640t t -+-，（5＜t ≤8）； ∴经过t 秒的运动，△ABC 被直线PQ 扫过的面积S 与时间t 的函数关系式：S =223 (05)51640 (58)t t t t t ⎧<≤⎪⎨⎪-+-<≤⎩； （3）存在，如图2，连接CQ ，PQ ，由（1）知QE =65t ，CE =AC ﹣AE =885t -，PQ 35， ∴CQ 22QE CE +2268()(8)55t t +-2322165t t -+ ①当CQ =CP 时，即：232165t t -+8t -，解得；t =165， ②当PQ =CQ 35=2322165t t -+t =4011，t =8811（不合题意舍去），③当PQ =PC 时，即355=8t -，解得：t =6510≈3.4；综上所述：当t =165，t =4011，t =3.4时，△PQC 为等腰三角形．考点：相似形综合题；分段函数；分类讨论；存在型；动点型；最值问题；压轴题．原创模拟预测题5．如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，DA ⊥AB ，AD =4cm ，DC =5cm ，AB =8cm ．如果点P 由B 点出发沿BC 方向向点C 匀速运动，同时点Q 由A 点出发沿AB 方向向点B 匀速运动，它们的速度均为1cm /s ，当P 点到达C 点时，两点同时停止运动，连接PQ ，设运动时间为t s ，解答下列问题： （1）当t 为何值时，P ，Q 两点同时停止运动？（2）设△PQB 的面积为S ，当t 为何值时，S 取得最大值，并求出最大值； （3）当△PQB 为等腰三角形时，求t 的值．【答案】（1）5；（2）当t =4时，S 的最大值是325；（3）t =4011秒或t =4811秒或t =4秒．【解析】试题分析：（1）计算BC 的长，找出AB 、BC 中较短的线段，根据速度公式可以直接求得；（2）由已知条件，把△PQB 的边QB 用含t 的代数式表示出来，三角形的高可由相似三角形的性质也用含t 的代数式表示出来，代入三角形的面积公式可得到一个二次函数，即可求出S 的最值； （3）分三种情况讨论：①当PQ =PB 时，②当PQ =BQ 时，③当QB =BP ．试题解析：（1）作CE ⊥AB 于E ，∵DC ∥AB ，DA ⊥AB ，∴四边形AFVE 是矩形，∴AE =DE =5，CE =AD =4，∴BE =3，∴BC 2234 5，∴BC ＜AB ，∴P 到C 时，P 、Q 同时停止运动，∴t =51=5（秒），即t =5秒时，P ，Q 两点同时停止运动；（2）由题意知，AQ =BP =t ，∴QB =8﹣t ，作PF ⊥QB 于F ，则△BPF ～△BCE ，∴PF BP CE BC =，即45PF t=，∴PF =45t ，∴S =12QB •PF =14(8)25t t ⨯-=221655t t -+=2232(4)55t --+（0＜t ≤5），∵25-＜0，∴S 有最大值，当t =4时，S 的最大值是325；综上所述：当t =4011秒或t =4811秒或t =4秒时，△PQB 为等腰三角形．考点：四边形综合题；动点型；二次函数的最值；最值问题；分类讨论；压轴题． 原创模拟预测题6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线23333y x x =++x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点W ，顶点为C ，抛物线的对称轴与x 轴的交点为D ． （1）求直线BC 的解析式；（2）点E （m ，0），F （m +2，0）为x 轴上两点，其中2＜m ＜4，EE ′，FF ′分别垂直于x 轴，交抛物线于点E ′，F ′，交BC 于点M ，N ，当ME ′+NF ′的值最大时，在y 轴上找一点R ，使|RF ′﹣RE ′|的值最大，请求出R 点的坐标及|RF ′﹣RE ′|的最大值； （3）如图2，已知x 轴上一点P （92，0），现以P 为顶点，23x 轴上方作等边三角形QPG ，使GP ⊥x 轴，现将△QPG 沿P A 方向以每秒1个单位长度的速度平移，当点P 到达点A 时停止，记平移后的△QPG 为△Q ′P ′G ′．设△Q ′P ′G ′与△ADC 的重叠部分面积为s ．当Q ′到x 轴的距离与点Q ′到直线AW 的距离相等时，求s 的值．【答案】（1）363y x =+（2）R （0，34），4；（3）S 13132093-或3119312．【解析】试题分析：（1）求出抛物线与x 轴的交点坐标和顶点坐标，用待定系数法求解析式即可；（2）先求出E ′、F ′的坐标表示，然后求出E ′M 、F ′N ，用二次函数的顶点坐标求出当m =3时，ME ′+NF ′的值最大，得到E ′、F ′的坐标，再求出E ′F ′的解析式，当点R 在直线E ′F ′与y 轴的交点时，|RF ′﹣RE ′|的最大值，从而求出R 点的坐标及|RF ′﹣RE ′|的最大值；（3）分类两种情况讨论：①Q 点在∠WAB 的角平分线上；②当Q 点在∠CAB 的外角平分线上时，运用三角形相似求出相应线段，在求出△Q ′P ′G ′与△ADC 的重叠部分面积为S ． 试题解析：（1）令y =0，则2333304x x -++=，解方程得：x =6或x =﹣2，∴A （﹣2，0），B （6，0），又23333y x x =++232)43x -+，又顶点C （2，3，设直线BC 的解析式为：y kx b =+，代入B 、C 两点坐标得：60243k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：33k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴363y x =+（2）如图1，∵点E （m ，0），F （m +2，0），∴E ′（m ，23333m ++，F ′（m +2，233+，∴E ′M =23333(363)m m ++=232333m +-，F ′N =2343(343)4m m -+--+=233m m -+，∴E ′M +F ′N=22332333(3)m m m m -+-+-+=233333m m -+-，当33332()m =-=⨯-时，E ′M +F ′N 的值最大，∴此时，E ′（3，153）F ′（5，734），∴直线E ′F ′的解析式为：27334y x =-+，∴R （0，273），根据勾股定理可得：RF ′=10，RE ′=6，∴|RF ′﹣RE ′|的值最大值是4； （3）由题意得，Q 点在∠WAB 的角平分线或外角平分线上，①如图2，当Q 点在∠WAB 的角平分线上时，Q ′M =Q ′N =3，AW =31，∵△RMQ ′∽△WOA ，∴''RQ MQ WA AO =，∴RQ ′=93，∴RN =933+，∵△ARN ∽△AWO ，∴AO WO AN RN=，∴AN =231+，∴DN =AD ﹣AN =23110314+--=，∴S =13132093-； ②如图3，当Q 点在∠CAB 的外角平分线上时，∵△Q ′RN ∽△WAO ，∴RQ ′=93，∴RM =933-，∵△RAM ∽△WOA ，∴AM =312-，在RtQ ′MP ′中，MP ′=3Q ′M =3，∴AP ′=MP ′﹣AM =3123--=1131-，在Rt △AP ′S 中，P ′S =3AP ′=31131-⨯，∴S =7631193-．考点：二次函数综合题；动点型；分类讨论；最值问题；综合题；压轴题．原创模拟预测题7．如图，在直角坐标系中，Rt △OAB 的直角顶点A 在x 轴上，OA =4，AB =3．动点M 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO 向终点O 移动；同时点N 从点O 出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB 向终点B 移动．当两个动点运动了x 秒（0＜x ＜4）时，解答下列问题： （1）求点N 的坐标（用含x 的代数式表示）；（2）设△OMN 的面积是S ，求S 与x 之间的函数表达式；当x 为何值时，S 有最大值？最大值是多少？ （3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN 是直角三角形？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）N （x ，34x ）；（2）23382S x x =-+（0＜x ＜4），当x =2时，S 有最大值，最大值是32；（3）2秒或6441秒． 【解析】试题解析：（1）根据题意得：MA =x ，ON =1.25x ，在Rt △OAB 中，由勾股定理得：OB 22OA AB +2243+5，作NP ⊥OA 于P ，如图1所示，则NP ∥AB ，∴△OPN ∽△OAB ，∴PN OP ON AB OA OB ==，即 1.25345PN OP x==，解得：OP =x ，PN =34x ，∴点N 的坐标是（x ，34x ）； （2）在△OMN 中，OM =4﹣x ，OM 边上的高PN =34x ，∴S =12OM •PN =13(4)24x x -⋅=23382x x -+，∴S与x 之间的函数表达式为23382S x x =-+（0＜x ＜4），配方得：233(2)82S x =--+，∵38-＜0，∴S 有最大值，当x =2时，S 有最大值，最大值是32；（3）存在某一时刻，使△OMN 是直角三角形，理由如下：分两种情况：①若∠OMN =90°，如图2所示，则MN ∥AB ，此时OM =4﹣x ，ON =1.25x ，∵MN ∥AB ，∴△OMN ∽△OAB ，∴OM ON OA OB =，即4 1.2545x x-=，解得：x =2；②若∠ONM=90°，如图3所示，则∠ONM=∠OAB，此时OM=4﹣x，ON=1.25x，∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA，∴△OMN∽△OBA，∴OM ONOB OA=，即4 1.2554x x-=，解得：x=6441；综上所述：x的值是2秒或6441秒．考点：相似形综合题；二次函数的最值；最值问题；分类讨论；动点型；综合题；压轴题．汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！11。
中考数学压轴题专题31动态几何之单动点形成的最值问题(压轴题)
一 、 选择题
1．（ 广西贵港市） 如图，抛物线 y 线段 AC上方的抛物线上一动点，当△
1 x2
2x
5 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C．若点 P是
12 3 3
ACP的面积取得最大值时，点 P 的坐标是（
）
A．（ 4， 3）
35
B．（5， ）
12
35
C．（ 4， ）
12
1 2．（ 湖北黄石） 如图所示，已知 A( 2 , y1 ) ， B(2, y 2 ) 为反比例函数 y
．
11．（ 庆阳） 如图，定点 A（﹣ 2， 0），动点 B 在直线 y x 上运动，当线段 AB最短时，点 B的坐标
为
．
12．（ 三明） 如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°， AB=5，BC=3，P 是 AB边上的动点（不与点 B 重合），将△ BCP 沿 CP所在的直线翻折，得到△ B′ CP，连接 B′ A，则 B′ A 长度的最小值是 ______ ．
三、解 答题
16．（ 四川省攀枝花市） 如图，抛物线 y x2 bx c 与 x 轴交于 A、 B 两点， B点坐标为（ 3， 0），与 y 轴交于点 C（ 0，﹣ 3）
33 动态几何之线动形成的最值问题(压轴题)-决胜中考数学压轴题全揭秘精品(含解析)
本资源的初衷 ,是希望通过网络分享 ,能够为广阔读者提供更好的效劳 ,为您水平的提高提供坚强的动力和保证 .内容由一线名师原创 ,立意新 ,图片精 ,是非常强的一手资料 .一、选择题1. (2021陕西省3分 )在平面直角坐标系中 ,将抛物线2y x x 6=--向上 (下 )或向左 (右 )平移了m 个单位 ,使平移后的抛物线恰好经过原点 ,那么m 的最|小值为【 】A ．1B ．2C ．3D ．6二、填空题三、解答题1. (2021年福建莆田14分)如图,抛物线C1：y = (x +m )2 (m为常数,m＞0 ) ,平移抛物线y =﹣x2 ,使其顶点D在抛物线C1位于y轴右侧的图象上,得到抛物线C2．抛物线C2交x轴于A ,B两点(点A在点B的左侧) ,交y轴于点C ,设点D的横坐标为a．(1 )如图1 ,假设m =12．①当OC =2时,求抛物线C2的解析式；②是否存在a ,使得线段BC上有一点P ,满足点B与点C到直线O P的距离之和最|大且AP =BP ?假设存在,求出a的值；假设不存在,请说明理由；(2 )如图2 ,当OB =23m-(0＜m＜3)时,请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标(用含m的式子表示)．【答案】解：(1 )当m =12时,抛物线C1：y = (x +12)2．∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上,且横坐标为a ,∴D (a , (a +12)2 )．∴抛物线C2：y =﹣(x﹣a )2 + (a +12)2(I )．①OC =2 ,∴C (0 ,2 )．∵点C在抛物线C2上,∴﹣(0﹣a )2 + (a +12)2 =2 ,解得：a =74,代入(I )式,得抛物线C2的解析式为27y x x22=-++．②在(I )式中,令y =0 ,即：﹣(x﹣a )2 + (a +12)2 =0 ,解得1x2a2=+或1x2=-,∴B (12a2+,0 ).令x =0 ,得：1y a4=+,∴C (0 ,1a4+)．设直线BC的学科网解析式为y =k x +b ,那么有：12a k b021b a4⎧⎛⎫++=⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=+⎪⎩,解得1k21b a4⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩.∴直线BC的解析式为：11y x a24=-++．假设存在满足条件的a值．∵AP =BP ,∴点P在AB的垂直平分线上,即点P在C2的对称轴上.∵点B与点C到直线OP的距离之和≤BC ,只有OP⊥BC时等号成立,∴OP⊥BC．如答图1所示,设C2对称轴x =a (a＞0 )与BC交于点P ,与x轴交于点E ,那么OP⊥BC ,OE =a．∵点P在直线BC上,∴P (a ,11a24+) ,PE =11a24+．∵tan∠EOP =tan∠BCO =12aOB221OC a4+==+,∴11aPE242OE a+==,解得：1a6=．∴存在1a6=,使得线段BC上有一点P ,满足点B与点C到直线OP的距离之和最|大且AP =BP(2 )P1 (3m-,1 ) ,P2 (3m-,﹣3 ) ,P3 (3m--,3 ) ,P4 (33m-,3 )．【考点】1.二次函数综合题；2. 线动平移问题；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.二次函数的性质；6.线段垂直平分线的性质；7.锐角三角函数定义；8. 等边三角形的判定和性质；9.分类思想的应用．.【分析】(1 )①首|先写出平移后抛物线C2的解析式(含有未知数a ) ,然后利用点C (0 ,2 )在C2上,求出抛物线C2的解析式.②认真审题,题中条件"AP =BP〞意味着点P在对称轴上, "点B与点C到直线OP的距离之和最|大〞意味着OP⊥BC．画出图形,如答图1所示,利用学科网三角函数(或相似) ,求出a的值. (2 )∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上,且横坐标为a ,∴D (a , (a +m )2 )．∴抛物线C2：y =﹣(x﹣a )2 + (a +m )2．令y =0 ,即﹣(x﹣a )2 + (a +m )2 =0 ,解得：x1 =2a +m ,x2 =﹣m ,∴B (2a +m ,0 )．∵OB =m,∴2a +m =m,解得m．∴m,3 )．AB =OB +OA =m+m =．如答图2所示,设对称轴与x轴交于点E ,那么,OE =OB﹣m．∵tan∠ABD =DEBE==,∴∠ABD =60°．又∵AD =BD ,∴△ABD为等边三角形．作∠ABD的平分线,交DE于点P1 ,那么P11=,∴P1m,1 ).在△ABD形外,依次作各个外角的平分线,它们相交于点P2、P3、P4．在Rt△BEP2中,P23,∴P2m,﹣3 ).易知△ADP3、△BDP4均为等边三角形,∴DP3 =DP4=AB =,且P3P4∥x轴．∴P3(m,3 )、P4(m,3 )．综上所述,到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点有4个,其坐标为：P1m,1 ) ,P2m,﹣3 ) ,P3(m,3 ) ,P4(m,3 )．2. (2021年广东广州14分)平面直角坐标系中两定点A (﹣1 ,0 )、B (4 ,0 ) ,抛物线y =ax2 +bx﹣2 (a≠0 )过点A ,B ,顶点为C ,点P (m ,n ) (n＜0 )为抛物线上一点．(1 )求抛物线的解析式和顶点C的坐标；(2 )当∠APB为钝角时,求m的取值范围；(3 )假设m＞32,当∠APB为直角时,将该抛物线向左或向右平移t (0＜t＜52)个单位,点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′ ,是否存在t ,使得首|尾依次连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最|短?假设存在,求t的值并说明抛物线平移的方向；假设不存在,请说明理由．【答案】解：(1 )∵抛物线y =ax2 +bx﹣2 (a≠0 )过点A (﹣1 ,0 )、B (4 ,0 ) ,∴a b2016a4b20--=⎧⎨+-=⎩,解得：1a23b2⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.∴抛物线的解析式为：213y x x222=--.∵22131325y x x2x22228⎛⎫=--=--⎪⎝⎭,∴C325,28⎛⎫-⎪⎝⎭．(2 )如答图1 ,以AB 为直径作圆M ,那么抛物线在圆内的局部的点 (即点P 在抛物线上AE 和BF 之间 ) ,能使∠APB 为钝角 , 易求M (32 ,0 ) ,⊙M 的半径 =52 ,即OA =32 ,EM =52. ∵点E 是抛物线与y 轴的交点 , ∴根据勾股定理 ,得OE =2. ∴E (0 ,﹣2 ). ∵点E 和点F 关于抛物线的对称轴x =32对称.∴F (3 ,﹣2 ). ∴当﹣1＜m ＜0或3＜m ＜4时 ,∠APB 为钝角． （3）存在. ∵m ＞32,∠APB 为直角 ,∴P (3 ,﹣2 ). 如答图2 ,将BP 沿PC 平移 ,使得点P 与点C 重合 ,点B 落在点B′处 ,作直线25y 8=-,那么点C 在这条直线上 ,以直线25y 8=-为对称轴 ,作B′的对称点B″ ,连接A B″.∵AB 、CP 是定值 ,∴只要AC +BP 最|小. ∴AC +BP =AC + B′C =AC + B″C≥A B″. ∴当点C 为A B″与直线25y 8=-的交点C′时 ,AC +BP 最|小 ,即AC′ +BP′最|小.根据平移和对称的性质可得 ,点B′的坐标为59,28⎛⎫- ⎪⎝⎭ ,点B″的坐标为541,28⎛⎫- ⎪⎝⎭ .设直线A B″的解析式为：y =kx +b ,那么k b 0541k b 28-+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩有 ,解得41k 2841b 28⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.∴线A B″的解析式为：4141y x 2828=--.当25y 8=-时 ,93x 82=.∴39315t 28241=-=.∴将抛物线向左平移1541个单位连接A 、B 、P′、C′所构成的多边形的周长最|短．【考点】1.二次函数综合题；2.线动平移问题；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的与方程的关系；5.二次函数的性质；6.圆周角定理；7.轴对称的应用 (最|短线路问题 )．【分析】(1 )待定系数法求解析式即可,求得解析式后转换成顶点式即可．(2 )以AB为直径作圆M ,那么抛物线在圆内的局部的点(即点P在抛物线上AE和BF之间) ,能使∠APB为钝角,所以﹣1＜m＜0 ,或3＜m＜4．(3 )将BP沿PC平移,使得学科网点P 与点C重合,点B落在点B′处,作直线25 y8=-,那么点C在这条直线上,以直线25y8=-为对称轴,作B′的对称点B″ ,连接A B″ ,当点C为A B″与直线25y8=-的交点C′时,AC +BP最|小,即AC′ +BP′最|小.3. (2021年湖北鄂州12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数5y x m4=+的图象与x轴交于A (﹣1 ,0 ) ,与y轴交于点C．以直线x =2为对称轴的抛物线C1：y =ax2 +bx +c (a≠0 )经过A、C两点,并与x 轴正半轴交于点B．(2 )设点D (0 ,2512) ,假设F是抛物线C1：y =ax2 +bx +c (a≠0 )对称轴上使得△ADF的周长取得最|小值的点,过F任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线C1于M1 (x1 ,y1 ) ,M2 (x2 ,y2 )两点,试探究1211M F M F+是否为定值?请说明理由．(3 )将抛物线C1作适当平移,得到抛物线C2：()221y x h4=--,h＞1．假设当1＜x≤m时,y2≥﹣x恒成立,求m的最|大值．【答案】解：(1 )∵一次函数5y x m4=+的图象与x轴交于A (﹣1 ,0 )∴50m4=-+,解得m =54．∴一次函数的解析式为55y x44=+．∴点C的坐标为(0 ,54)．∵y =ax2 +bx +c (a≠0 )经过A、C两点且对称轴是x =2 ,∴a b c 05c 4b22a⎧⎪-+=⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪⎩ ,解得1a 4b 15c 4⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩．∴抛物线C 1的函数表达式为215y x x 44=-++． (2 )1211M F M F+为定值 ,理由如下： 要使△ADF 的周长取得最|小 ,只需AF +DF 最|小 ,如答图 ,连接BD 交x =2于点F ,因为点B 与点A 关于x =2对称 ,根据轴对称性质以及两点之间线段最|短 ,可知此时AF +DF 最|小．令215y x x 44=-++中的y =0 ,那么x =﹣1或5 ,∴B (5 ,0 )． ∵D (0 ,2512) ,∴由待定系数法可求直线BD 解析式为525y x 1212=-+．∴F (2 ,54 )．令过F (2 ,54 )的直线M 1M 2解析式为y =kx +b ,那么52k b 4+= ,∴5b 2k 4=-．∴直线M 1M 2的解析式为5y kx 2k 4=+-．由25y kx 2k 415y x x 44⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩得x 2﹣ (4﹣4k )x ﹣8k =0 ,∴x 1 +x 2 =4﹣4k ,x 1x 2 =﹣8k ． ∵112255y kx 2k,y kx 2k 44=+-=+- ,∴y 1﹣y 2 =k (x 1﹣x 2 )． ∴M 1M 2 =()()()()()22222221212121212x x y y x x k x x 1k x x -+-=-+-=+⋅-()()()2222212121k x x 4x x 1k 44k 32k 41k =+⋅+-⋅=+⋅-+=+ ,M 1F =()()22221115x 2y 1k x 24⎛⎫-+-=+⋅- ⎪⎝⎭ ,M 2F =()()22222225x 2y 1k x 24⎛⎫-+-=+⋅- ⎪⎝⎭．∴M 1F•M 2F ()()()222221212121k x 2x 21k x x 2x x 4=+⋅--=+⋅-++⎡⎤⎣⎦()()222121k 8k 244k 441k M M =+⋅---+=+=⎡⎤⎣⎦． ∴1212121212M F M F M M 111M F M F M F M F M F M F++===⋅⋅为定值． (3 )设y 2 =﹣x 的两根分别为s ,t ,∵抛物线C 2：()221y x h 4=-- (h ＞1 )可以看成由21y x 4=-向右平移得到 ,观察图象可知 ,随着图象向右移 ,s ,t 的值不断增大 ,∴当1＜x≤m ,y 2≥﹣x 恒成立时 ,m 最|大值在t 处取得． ∴当s =1时 ,对应的t 即为m 的最|大值．将s =1代入y 2 =﹣x 得 (1﹣h )2 =4 ,解得h =3或﹣1 (舍去 )． 将h =3代入y 2 =﹣x 有()21x 3x 4--=- ,解得x =1或x =9． ∴t =9． ∴m 的最|大值为9．【考点】1．二次函数综合题；2．线动平移问题；3．待定系数法的应用；4．曲线上点的坐标与方程的关系；5．轴对称的应用 (最|短线路问题 )；6．一元二次方程根与系数的关系；7．勾股定理．【分析】 (1 )只需将A 点坐标代入一次函数关系式即可求出m 值 ,利用待定系数法和二次函数的图象与性质列出关于a 、b 、c 的方程组求出a 、b 、c 的值就可求出二次函数关系式． (2 )先运用轴对称的性质找到点F 的坐标 ,再运用一元二次方程根与系数的学科网关系及勾股定理求出M 1M 2、M 1F 、M 2F ,证出M 1F•M 2F =M 1M 2 ,最|后可求12111M F M F+=为定值． (3 )设y 2 =﹣x 的两根分别为s ,t ,因为抛物线C 2：()221y x h 4=-- (h ＞1 )可以看成由21y x 4=-向右平移得到 ,观察图象可知 ,随着图象向右移 ,s ,t 的值不断增大 ,所以当1＜x≤m ,y 2≥﹣x 恒成立时 ,m 最|大值在t 处取得 ,根据题意列出方程求出t ,即可求解．4. (2021年湖北咸宁10分 )如图1 ,P (m ,n )是抛物线2x y 14=-上任意一点 ,l 是过点 (0 ,﹣2 )且与x 轴平行的直线 ,过点P 作直线PH ⊥l ,垂足为H ． 【探究】(1 )填空：当m =0时 ,OP = ▲ ,PH = ▲ ；当m =4时 ,OP = ▲ ,PH = ▲ ； 【证明】(2 )对任意m ,n ,猜测OP 与PH 的大小关系 ,并证明你的猜测． 【应用】(3 )如图2 ,线段AB =6 ,端点A ,B在抛物线2xy14=-上滑动,求A ,B两点到直线l的距离之和的最|小值．【答案】解：(1 )OP =1 ,PH =1；OP =5 ,PH =5．（2）猜测：OP =PH．证明如下：（3）如答图1 ,记PH与x轴交点为Q ,那么PQ⊥x轴,∵P在二次函数2xy14=-上,∴设P (m ,2m14-) ,那么PQ =2m14-,OQ =m．∵△OPQ为直角三角形,∴OP =22222 222m m mPQ OQ1m11444⎛⎫⎛⎫+=-+=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,PH =y P﹣(﹣2 ) = (2m14-)﹣(﹣2 ) =2m14+．∴OP =PH．(3 )如答图2 ,连接OA ,OB ,过点A作AC⊥l于C ,过点B作BD⊥l于D ,此时AC即为A点到l的距离,BD即为B点到l的距离．那么有OB =BD ,OA =AC ,在△AOB中,∵OB +OA＞AB ,综上所述,BD +AC≥AB．∵AB =6 ,∴BD +AC≥6 ,即A ,B两点到直线l的距离之和的最|小值为6．【考点】1．二次函数综合题；2．线动问题；3．曲线上点的坐标与方程的关系；4．勾股定理；5．三角形三边关系．【分析】 (1 )如答图1 ,记PH 与x 轴交点为Q ,当m =0时 ,P (0 ,﹣1 )．此时OP =1 ,PH =1．当m =4时 ,P(4 ,3 )．此时PQ =3 ,OQ =4 ,∴OP =22PQ OQ 5+=,PH =y P ﹣ (﹣2 ) =3﹣ (﹣2 ) =5． (2 )猜测OP =PH ．证明时因为P 为所有满足二次函数2x y 14=-的点 ,一般可设 (m ,2m 14- )．类似 (1 )利用勾股定理和PH =y P ﹣ (﹣2 )可求出OP 与PH ,比拟即得结论． (3 )考虑 (2 )结论 ,即函数2x y 14=-的点到原点的距离等于其到l 的距离．要求A 、B 两点到l 距离的和 ,即A 、B 两点到原点的和 ,假设AB 不过点O ,那么OA +OB ＞AB =6 ,假设AB 过点O ,那么OA +OB =AB =6 ,所以OA +OB≥6 ,即A 、B 两点到l 距离的和≥6 ,进而最|小值即为6．5. (2021年四川泸州12分 )如图 ,一次函数11y x b 2=+的图象l 与二次函数22y x mx b =-++的图象'C 都经过点B (0,1 )和点C ,且图象'C 过点A (52- ,0 ). (1 )求二次函数的最|大值；(2 )设使21y y >成立的x 取值的所有整数和为s ,假设s 是关于x 的方程131x 0a 1x 3⎛⎫++= ⎪--⎝⎭的根 ,求a 的值；(3 )假设点F 、G 在图象'C 上 ,长度为5的线段DE 在线段BC 上移动 ,EF 与DG 始终平行于y 轴 ,当四边形DEFG 的面积最|大时 ,在x 轴上求点P ,使PD +PE 最|小 ,求出点P 的坐标.【答案】解： (1 )∵二次函数22y x mx b =-++经过点B (0 ,1 )与A (25 ,0 ) ,∴((2b 12525m b 0=⎧⎪⎨-++=⎪⎩,解得m 4b 1=⎧⎨=⎩.∴C′：()222y x 4x 1x 25=-++=--+.∴二次函数的学科网最|大值为5.(2 )由 (1 )知 ,2121y x 1,y x 4x 12=+=-++ 联立y 1与y 2得：21x 1x 4x 12+=-++ ,解得x =0或x =72 , 当x =72时 ,11711y 1224=⋅+= ,∴C (72 ,114 )． ∴使y 2＞y 1成立的x 的取值范围为0＜x ＜72 ,所有整数为1 ,2 ,3.∴s =1 +2 +3 =6． 代入方程131x 0a 1x 3⎛⎫++= ⎪--⎝⎭得13610a 163⎛⎫++= ⎪--⎝⎭ ,解得a =17. (3 )∵点D 、E 在直线l ：11y x 12=+上 , ∴设D (p ,1p 12+ ) ,E (q ,1q 12+ ) ,其中q ＞p ＞0．如答图1 ,过点E 作EH ⊥DG 于点H ,那么EH =q ﹣p ,DH =12 (q ﹣p )． 在Rt △DEH 中 ,由勾股定理得：DE 2 +DH 2 =DE 2 ,即()()()2221q p q p 52⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦ , 解得q ﹣p =2 ,即q =p +2．∴EH =2 ,E (p +2 ,1p 22+ )．当x =p 时 ,y 2 =﹣p 2 +4p +1 ,∴G (p ,﹣p 2 +4p +1 ) ,∴DG = (﹣p 2 +4p +1 )﹣ (1p 12+ ) =﹣p 2 +72p. 当x =p +2时 ,y 2 =﹣ (p +2 )2 +4 (p +2 ) +1 =﹣p 2 +5 ,∴F (p +2 ,﹣p 2 +5 ).∴EF = (﹣p 2 +5 )﹣ (1p 22+ ) =﹣p 2﹣12p +3． S 四边形DEFG =12 (DG +EF )•EH =12 [ (﹣p 2 +72p ) + (﹣p 2﹣12p +3 )]×2 =﹣2p 2 +3p +3. ∴当p =34时 ,四边形DEFG 的面积取得最|大值 ,∴D (34 ,118 )、E (114 ,198)． 如答图2所示 ,过点D 关于x 轴的对称点D′ ,那么D′ (34 ,118- ). 连接D′E ,交x 轴于点P ,PD +PE =PD′ +PE =D′E ,由两点之间线段最|短可知 ,此时PD +PE 最|小． 设直线D′E 的解析式为：y =kx +b ,那么有311k b481119k b48⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得15k889b32⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.∴直线D′E的解析式为：1589y x832 =-．令y =0 ,得x =8960,、∴P (8960,0 )．【考点】1.二次函数和代数综合题；2.线动平移问题；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.二次函数最|值；6.勾股定理；7.轴对称的应用(最|短线路问题)；8.数形结合思想和方程思想的应用.【分析】(1 )首|先利用待定系数法求出二次函数解析式,然后求出其最|大值. (2 )联立y1与y2得,求出点C 的坐标为C (72,114) ,因此使y2＞y1成立的x的取值范围为0＜x＜72,得s =1 +2 +3 =6；将s的值代入分式方程,求出a的值. (3 )分两步：第1步,确定何时四边形DEFG的面积最|大；第2步,利用轴对称的性质确定PD +PE最|小的条件,并求出点P的坐标．6．(2021年山西省13分)综合与探究：如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC是平行四边形,A、C两点的坐标分别为(4 ,0 ) , (﹣2 ,3 ) ,抛物线W经过O、A、C三点,D是抛物线W的顶点．(1 )求抛物线W的解析式及顶点D的坐标；(2 )将抛物线W和OABC一起先向右平移4个单位后,再向下平移m (0＜m＜3 )个单位,得到抛物线W′和O′A′B′C′ ,在向下平移的过程中,设O′A′B′C′与OABC的重叠局部的面积为S ,试探究：当m为何值时S有最|大值,并求出S的最|大值；(3 )在(2 )的条件下,当S取最|大值时,设此时抛物线W′的顶点为F ,假设点M是x轴上的动点,点N时抛物线W′上的动点,试判断是否存在这样的点M和点N ,使得以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形?假设存在,请直接写出点M的坐标；假设不存在,请说明理由．【答案】解：(1 )设抛物线W的解析式为y =ax2 +bx +c ,∵抛物线W经过O (0 ,0 )、A (4 ,0 )、C (﹣2 ,3 )三点,∴c016a4b c04a2b c3=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩,解得：1a4b1c0⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩．∴抛物线W的解析式为21y x x4=-．∵()2211y x x x2144=-=--,∴顶点D的坐标为(2 ,﹣1 )．(2 )由OABC得,CB∥OA ,CB =OA =4．又∵C点坐标为(﹣2 ,3 ) ,∴B点的坐标为(2 ,3 )．如答图1 ,过点B作BE⊥x轴于点E ,由学科网平移可知,点C′在BE上,且BC′ =m．∴BE =3 ,OE =2.∴EA =OA﹣OE =2．∵C′B′∥x轴,∴△BC′G∽△BEA. ∴BC C GBE EA''=,即m C G32'=.∴C′G =2m3．由平移知,O′A′B′C′与OABC的重叠局部四边形C′HAG是平行四边形．∴()22233S C G C E m3m m3322⎛⎫='⋅'=⋅-=--+⎪⎝⎭.∴当m =32时,S有最|大值为32．(3 )存在．点M的坐标分别为(0 ,0 ) , (4 ,0 ) , (6 ,0 ) , (14 ,0 )．【考点】1.二次函数综合题；2.线动平移、面动平移和双动点问题；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.二次函数的性质；6.相似三角形的判定和性质；7.平行四边形的判定和性质；8.分类思想的应用．【分析】(1 )利用待定系数法求出抛物线的解析式,化为顶点式求出顶点D的坐标. (2 )由平移性质,可知重叠局部为一平行四边形．如答图1 ,作辅助线,利用相似比例式求出平行四边形的边长和高,从而求得其面积的表达式；然后利用二次函数的性质求出最|值. (3 )在(2 )的条件下,抛物线W向右平移4个单位,再向下平移32个单位,得到抛物线W′ ,∵D (2 ,﹣1 ) ,∴F (6 ,52-).∴抛物线W′的解析式为：()215y x642=--．设M (t ,0 ) ,以D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形 ,分点N 在x 轴上方、下方两种情况讨论：①假设点N 在x 轴下方 ,如答题2所示：过点D 作DP ∥y 轴 ,过点F 作FP ⊥DP 于点P ,∵D (2 ,﹣1 ) ,F (6 ,52- ) ,∴DP =32 ,FP =4.过点N 作DQ ⊥x 轴于点Q ,由四边形FDMN 为平行四边形 ,易证△DFP ≌△NMQ ,∴MQ =FP =4 ,NQ =DP =32.∴N (4 +t ,﹣32).将点N 坐标代入抛物线W′的解析式()215y x 642=-- ,得：()2153t 2422--=- ,解得：t =0或t =4 ,∴点M 的坐标为 (0 ,0 )或 (4 ,0 ).②假设点N 在x 轴上方 , (请自行作图 )与①同理 ,得N (4﹣t ,32)将点N 坐标代入抛物线W′的解析式()215y x 642=-- ,得：()2153t 10422--= ,解得：t =6或t =14 ,∴点M 的坐标为 (6 ,0 )或 (14 ,0 )． 综上所述 ,存在这样的点M 和点N ,点M 的坐标分别为 (0 ,0 ) , (4 ,0 ) , (6 ,0 ) , (14 ,0 )．7． (2021年陕西省10分 )抛物线C ：y =﹣x 2 +bx +c 经过A (﹣3 ,0 )和B (0 ,3 )两点 ,将这条抛物线的顶点记为M ,它的对称轴与x 轴的交点记为N ．(1 )求抛物线C 的表达式；(2 )求点M 的坐标；(3 )将抛物线C 平移到C′ ,抛物线C′的顶点记为M′ ,它的对称轴与x 轴的交点记为N′．如果以点M 、N 、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形 ,那么应将抛物线C 怎样平移 ?为什么 ?【答案】解： (1 )∵抛物线y =﹣x 2 +bx +c 经过A (﹣3 ,0 )和B (0 ,3 )两点 ,∴93b c 0c 3--+=⎧⎨=⎩,解得b 2c 3=-⎧⎨=⎩． ∴此抛物线的解析式为：2y x 2x 3=--+．(2 )∵()22y x 2x 3x 14=--+=-++ ,∴M (﹣1 ,4 )．(3 )由题意,以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形的边MN的对边只能是M′N′ ,∴MN∥M′N′且MN =M′N′．∴MN•NN′ =16．∴NN′ =4．i )当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNN′M′时,将抛物线C向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线C′；ii )当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNM′N′时,将抛物线C先向左或向右平移4个单位,再向下平移8个单位,可得符合条件的抛物线C′．∴上述的四种平移,均可得到符合条件的抛物线C′．【考点】1.二次函数图象与平移变换；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.二次函数的性质；4.平行四边形的性质；5.分类思想的应用．【分析】(1 )直接把A (﹣3 ,0 )和B (0 ,3 )两点代入抛物线y =﹣x2 +bx +c ,求出b ,c的值即可．(2 )把(1 )中抛物线的解析式化为顶点式可得出其顶点坐标．(3 )根据平行四边形的定义,可知有四种情形符合条件,如解答图所示．需要分类讨论．-与抛物线相交于第三象限的点M ,与8. (2021年四川乐山13分)如图1 ,抛物线C经过原点,对称轴x=3∠=.x轴相交于点N ,且tan MON3(1 )求抛物线C的解析式；(2 )将抛物线C绕原点O旋转1800得到抛物线C',抛物线C'与x轴的另一交点为A ,B为抛物线C'上横坐标为2的点.①假设P为线段AB上一动点,PD⊥y轴于点D ,求△APD面积的最|大值；②过线段OA上的两点E、F分别作x轴的垂线,交折线O－B－A于E1、F1 ,再分别以线段EE1、FF1为边作如图2所示的等边△AE1E2、等边△AF1F2 ,点E以每秒1个长度单位的速度从点O向点A运动,点F 以每秒1个长度单位的速度从点A向点O运动,当△AE1E2有一边与△AF1F2的某一边在同一直线上时,求时间t的值.设直线AB 的解析式为y =kx +b ,那么6k b 02k b 8+=⎧⎨+=⎩ ,解得：k=2b=12-⎧⎨⎩ .∴直线AB 的解析式为y=2x 12-+ .∵P 为线段AB 上一动点 ,∴设P ()p 2p 12+ -， . ∴()()22APD 1S p 2p 12p 6p p 392∆=⋅⋅-+=-+=--+ .∴△APD 面积的最|大值为9 .<<时,由上面讨论的结果,△AE1E2的一边与△AF1F2的某一边不可能在同一直当4t6线上.9. (2021年四川宜宾升学12分 )如图 ,抛物线21y x 1=-交x 轴的正半轴于点A ,交y 轴于点B ,将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y 2 ,两条抛物线相交于点C ．(1 )请直接写出抛物线y 2的解析式；(2 )假设点P 是x 轴上一动点 ,且满足∠CPA =∠OBA ,求出所有满足条件的P 点坐标；(3 )在第四象限内抛物线y 2上 ,是否存在点Q ,使得△QOC 中OC 边上的高h 有最|大值 ?假设存在 ,请求出点Q 的坐标及h 的最|大值；假设不存在 ,请说明理由．【答案】解： (1 )抛物线21y x 1=-向右平移4个单位的顶点坐标为 (4 ,－1 ) ,∴抛物线y 2的解析式为()22y x 41=-- .(2 )当x =0时 ,y 1 =﹣1 ,y 1 =0时 ,2x 10-= =0 ,解得x =1或x =－1 ,∴点A (1 ,0 ) ,B (0 ,－1 ) .∴∠OBA =450 .联立()22y x 1y x 41⎧=-⎪⎨=--⎪⎩ ,解得x 2y 3=⎧⎨=⎩ . ∴点C 的坐标为 (2 ,3 ) .∵∠CPA =∠OBA ,∴点P 在点A 的左边时 ,坐标为 (－1 ,0 )；在点A 的右边时 ,坐标为 (5 ,0 ) .∴点P 的坐标为 (－1 ,0 )或 (5 ,0 ) .∴存在第四象限的点Q (194 ,716- ) ,使得△QOC 中OC 边上的高h 有最|大值 ,最|12113 .10. (2021福建泉州14分)如图1 ,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点A (﹣6 ,0 ) ,过点E (﹣2 ,0 )作EF∥AB ,交BO于F；(1 )求EF的长；(2 )过点F作直线l分别与直线AO、直线BC交于点H、G；①根据上述语句,在图1上画出图形,并证明OH EO BG AE=；②过点G作直线GD∥AB ,交x轴于点D ,以圆O为圆心,OH长为半径在x轴上方作半圆(包括直径两端点) ,使它与GD有公共点P．如图2所示,当直线l绕点F旋转时,点P也随之运动,证明：OP1BG2=,并通过操作、观察,直接写出BG长度的取值范围(不必说理)；(3 )在(2 )中,假设点M (2 ,3) ,探索2PO +PM的最|小值．∵EF∥AB ,∴∠FEO =∠BAO =90° .∴∠EFO =∠FOE =45° .又E (﹣2 ,0 ) ,∴EF =EO =2 .【考点】几何综合题,旋转和几何最|值问题,正方形的性质,平行线的性质,相似三角形的判定和性质,两点之间线段最|短的性质.11. (2021年四川成都10分 )在平面直角坐标系中 ,抛物线21yx bx c 2=-++ (b ,c 为常数 )的顶点为P ,等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为 (0 ,﹣1 ) ,C 的坐标为 (4 ,3 ) ,直角顶点B 在第四象限．(1 )如图 ,假设该抛物线过A ,B 两点 ,求该抛物线的函数表达式；(2 )平移 (1 )中的抛物线 ,使顶点P 在直线AC 上滑动 ,且与AC 交于另一点Q ．(i )假设点M 在直线AC 下方 ,且为平移前 (1 )中的抛物线上的点 ,当以M 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时 ,求出所有符合条件的点M 的坐标；(ii )取BC 的中点N ,连接NP ,BQ ．试探究PQ NP BQ+是否存在最|大值 ?假设存在 ,求出该最|大值；假设不存在 ,请说明理由．【答案】解： (1 )由题意 ,得点B 的坐标为 (4 ,﹣1 )．∵抛物线过A (0 ,﹣1 ) ,B (4 ,﹣1 )两点 ,∴c 11164b c 12=-⎧⎪⎨-⨯++=-⎪⎩ ,解得b 2c 1=⎧⎨=-⎩ .∴抛物线的函数表达式为：21y x 2x 12=-+- .如答图1 ,过点B 作直线l 1∥AC ,交抛物线21y x 2x 12=-+-于点M ,那么M 为符合条件的点 .∴可设直线l 1的解析式为：y =x +b 1 .∵B (4 ,﹣1 ) ,∴﹣1 =4 +b 1 ,解得b 1 =﹣5 .∴直线l 1的解析式为：y =x ﹣5 . 解方程组2y x 51y x 2x 12=-⎧⎪⎨=-+-⎪⎩,得：11x 4y 1=⎧⎨=-⎩ ,22x 2y 7=-⎧⎨=-⎩ . ∴M 1 (4 ,﹣1 ) ,M 2 (﹣2 ,﹣7 ) .(ii )PQNP BQ+存在最|大值.理由如下：由(i )知PQ =22,那么当NP +BQ取最|小值时,PQNP BQ+有最|大值.12. (2021年辽宁盘锦14分)如图,正方形ABCD的边长是3 ,点P是直线BC上一点,连接PA ,将线段PA 绕点P逆时针旋转90°得到线段PE ,在直线BA上取点F ,使BF =BP ,且点F与点E在BC同侧,连接EF ,CF．(1 )如图 ,当点P在CB延长线上时,求证：四边形PCFE是平行四边形；(2 )如图 ,当点P在线段BC上时,四边形PCFE是否还是平行四边形,说明理由；(3 )有 .设BP =x ,那么PC =3﹣x ,平行四边形PEFC 的面积为S ,()239S PC BF PC PB 3x x x 24⎛⎫=⋅=⋅=-=--+ ⎪⎝⎭ . ∵a =﹣1＜0 ,∴抛物线的开口向下 ,∴当x =32 时 ,S 最|大 = 94.13. (2021湖北黄石10分 )抛物线C 1的函数解析式为2y ax bx 3a(b 0)=+-< ,假设抛物线C 1经过 点(0,3)- ,方程2ax bx 3a 0+-=的两根为1x ,2x ,且12x x 4-= .(1 )求抛物线C 1的顶点坐标.(2 )实数x 0> ,请证明：1x x +≥2,并说明x 为何值时才会有1x 2x+=. (3 )假设抛物线先向上平移4个单位 ,再向左平移1个单位后得到抛物线C 2 ,设1A(m,y ) , 2B(n,y )是C 2上的两个不同点 ,且满足： 00AOB 9∠= ,m 0> ,n 0<.请你用含有m 的表达式表示出△AOB 的面积S ,并求出S 的最|小值及S 取最|小值时一次函数OA 的函数解析式 .【答案】解： (1 )∵抛物线过 (０,－３ )点 ,∴－3a ＝－３ .∴a ＝１ . ∴ｙ＝x 2＋bx －３∵x 2＋bx －３ =０的两根为x 1 ,x 2且12x x 4-= ,∴22121212x x (x x )4x x =b +12-=+-＝４且b ＜０ .∴b ＝－２ .∴()22x x x ----ｙ＝２３＝１４ .∴抛物线Ｃ１的顶点坐标为 (１ ,－４ ) .(2 )∵x ＞０ ,∴1x 2x 0x x +-=≥ ∴1x 2x+≥ . x x时 ,即当x ＝１时 ,有1x 2x += .∴Ａ(m ,m 2) ,B (n ,n 2 ) .过点A 、B 作x 轴的垂线 ,垂足分别为C 、D ,那么AOC BOD ACDB S S S S ∆∆=--梯形14. (2021福建泉州14分 )如图 ,点O 为坐标原点 ,直线l 绕着点A (0,2 )旋转 ,与经过点C (0,1 )的二次函数21y x h 4=+交于不同的两点P 、Q. (1 )求h 的值；(2 )通过操作、观察算出△POQ 面积的最|小值 (不必说理 )；(3 )过点P 、C 作直线 ,与x 轴交于点B ,试问：在直线l 的旋转过程中四边形AOBQ 是否为梯形 ,假设是 ,请说明理由；假设不是 ,请指明其形状.即PQ∥x轴时,△POQ的面积最|小,且POQ的面积最|小为4 .15. (2021广西河池12分)如图,在等腰三角形ABC中,AB =AC ,以底边BC的垂直平分线和BC所(1 )写出点A 、点B 的坐标；(2 )假设一条与y 轴重合的直线l 以每秒2个单位长度的速度向右平移 ,分别交线段OA 、CA 和抛物 线于点E 、M 和点P ,连结PA 、PB.设直线l 移动的时间为t (0＜t ＜4 )秒 ,求四边形PBCA 的面积S (面积单位 )与t (秒 )的函数关系式 ,并求出四边形PBCA 的最|大面积；(3 )在 (2 )的条件下 ,抛物线上是否存在一点P ,使得△PAM 是直角三角形 ?假设存在 ,请求出点P 的坐标；假设不存在 ,请说明理由.∵BC =8 ,PM =()222t 7t 4t 4=2t 6t 8-++---++ ,OE =2t ,EA =42t - ,∴()()()22PMA BCMP 11S S S 2t 6t 882t 42t 2t 6t 822∆=+=⋅-+++⋅+⋅-⋅-++梯形 2=4t 20t 16-++ .∴四边形PBCA 的面积S 与t 的函数关系式为2S=4t 20t 16-++ (0＜t ＜4 ) . ∵225S=4t 20t 16=4t 412⎛⎫-++--+ ⎪⎝⎭ ,∴四边形PBCA的最|大面积为41个平方单位.16. (2021广西南宁10分)点A (3 ,4 ) ,点B为直线x = -1上的动点,设B (－1 ,y )．(1 )如图1 ,假设点C (x ,0 )且－1＜x＜3 ,BC⊥AC ,求y与x之间的函数关系式；(2 )在(1 )的条件下,y是否有最|大值?假设有,请求出最|大值；假设没有,请说明理由；(3 )如图2 ,当点B的坐标为(－1 ,1 )时,在x轴上另取两点E ,F ,且EF =1．线段EF在x轴上平移,线段EF 平移至|何处时,四边形ABEF的周长最|小?求出此时点E的坐标．(3 )如图2 ,过点A作x轴的平行线,并且在这条平行线上截取线段AA′ ,使AA′ =1 ,作点B关于x轴的对称点B′ ,连接A′B′ ,交x轴于点E ,在x轴上截取线段EF=1 ,那么此时四边形ABEF的周长最|小.∵A (3 ,4 ) ,∴A′ (2 ,4 ) .∵B (－1,1 ) ,∴B′ (－1 ,－1 ) .设直线A′B′的解析式为y =kx +b ,那么2k b4k b1+=⎧⎨-+=-⎩,解得5k32b3⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.∴直线A′B′的解析式为52 y x33 =+.当y =0时,52x033+=,解得2x5=-.∴线段EF平移至|如图2所示位置时,四边形ABEF的周长最|小,此时点E的坐标为(25-,0 ) .。
33 动态几何之线动形成的最值问题(预测题)-决胜中考数学压轴题全揭秘精品
本资源的初衷,是希望通过网络分享,能够为广阔读者提供更好的效劳,为您水平的提高提供坚强的动力和保证 .内容由一线名师原创,立意新,图片精,是非常强的一手资料 .数学因运动而充满活力,数学因变化而精彩纷呈.动态题是近年来（中|考）的的一个热点问题,以运动的观点探究几何图形的变化规律问题,称之为动态几何问题,随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中,伴随着出现一定的图形位置、数量关系的"变〞与"不变〞性的试题,就其运动对象而言,有点动、线动、面动三大类,就其运动形式而言,有轴对称(翻折)、平移、旋转(中|心对称、滚动)等,就问题类型而言,有函数关系和图象问题、面积问题、最|值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等.解这类题目要"以静制动〞,即把动态问题,变为静态问题来解,而静态问题又是动态问题的特殊情况.以动态几何问题为基架而精心设计的考题,可谓璀璨夺目、精彩四射.动态几何形成的最|值问题是动态几何中的根本类型,包括单动点形成的最|值问题,双(多)动点形成的最|值问题,线动形成的最|值问题,面动形成的最|值问题.本专题原创编写线动形成的最|值问题模拟题.在（中|考）压轴题中,线动形成的最|值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类和选择正确的解题方法.原创模拟预测题1.在如下图的平面直角坐标系中,点P是直线y =x上的动点,A (1 ,0 ) ,B (2 ,0 )是x轴上的两点,那么PA +PB的最|小值为．5考点：1.程的关系；3.勾股定理.原创模拟预测题2.如图,矩形ABCD中, BC =2 ,点P是线段BC上一点,连接PA ,将线段PA绕点P 逆时针旋转90°得到线段PE ,平移线段PE得到CF ,连接EF .问：四边形P CFE的面积是否有最|大值?假设有,请求出面积的最|大值及此时BP长；假设没有,请说明理由.【答案】解：有.依题意,得四边形PCFE是平行四边形.设BP =x ,那么PC =2﹣x ,平行四边形PEFC的面积为S ,【考点】四边形综合题 ,旋转和平移问题 ,矩形的性质 ,全等三角形的判定和性质 ,平行四边形的判定和性质 ,由实际问题列函数关系式 ,二次函数的最|值 .原创模拟预测题3. 如图 ,在等腰三角形AB C 中 ,AB =AC ,以底边BC 的垂直平分线和BC 所在的直线建立平面直角坐标系 ,抛物线217y x x 422经过A 、B 两点 .假设一条与y 轴重合的直线l 以每秒2个单位长度的速度向右平移 ,分别交线段OA 、CA 和抛物线于点E 、M 和点P ,连结PA 、P B.设直线l 移动的时间为t (0＜t ＜4 )秒 ,求四边形PBCA 的面积S (面积单位 )与t (秒 )的函数关系式 ,并求出四边形PBCA 的最|大面积 .【答案】解：在217y x x 422中 ,令x =0 ,得y =－4；令y =0 ,得x =－1或x =8 .∴A (8 ,0 ) ,B (0 ,－4 ) .∵AB =AC ,∴OB =OC .∴C (0 , 4 ) .设直线AC ：y=kx+b ,由A (8 ,0 ) ,C (0 , 4 )得8k+b 0b 4=⎧⎨=⎩ ,解得1k 2b 4⎧=-⎪⎨⎪=⎩ .∴直线AC ：1y x 42=-+ .∴()()()22PMA BCMP 11S S S 2t 6t 882t 42t 2t 6t 822∆=+=⋅-+++⋅+⋅-⋅-++梯形2=4t 20t 16-++ . ∴四边形PBCA 的面积S 与t 的函数关系式为2S=4t 20t 16-++ (0＜t ＜4 ) .∵225S=4t 20t 16=4t 412⎛⎫-++--+ ⎪⎝⎭ , ∴四边形PBCA 的最|大面积为41个平方单位 .【考点】二次函数综合题 ,动直线问题 ,等腰三角形的性质 ,待定系数法 ,曲线上点的坐标与方程的关系 ,二次函数最|值 ,转换思想的应用 .。
专题33动态几何之线动形成的最值问题(压轴题)-决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品(原卷版)
一、选择题1．（2016广西贵港市）如图，抛物线21251233y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．若点P 是线段AC 上方的抛物线上一动点，当△ACP 的面积取得最大值时，点P 的坐标是（ ）A ．（4，3）B ．（5，3512）C ．（4，3512） D ．（5，3） 2．（2016浙江省温州市）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =2．P 是AB 边上一动点，PD ⊥AC 于点D ，点E 在P 的右侧，且PE =1，连结CE ．P 从点A 出发，沿AB 方向运动，当E 到达点B 时，P 停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S 1+S 2的大小变化情况是（ ）A ．一直减小B ．一直不变C ．先减小后增大D ．先增大后减小A ．18cm 2B ．12cm 2C ．9cm 2D ．3cm 24．（2015陕西省）在平面直角坐标系中，将抛物线2y x x 6=--向上（下）或向左（右）平移了m 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则m 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．6 二、填空题5．（2016广东省梅州市）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =5cm ，∠BAC =60°，动点M 从点B 出发，在BA 边上以每秒2cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以每秒3cm 的速度向点B 匀速运动，设运动时间为t 秒（0≤t ≤5），连接MN ．（1）若BM =BN ，求t 的值；（2）若△MBN 与△ABC 相似，求t 的值；（3）当t 为何值时，四边形ACNM 的面积最小？并求出最小值．6．（2016宁夏）在矩形ABCD 中，AB =3，AD =4，动点Q 从点A 出发，以每秒1个单位的速度，沿AB 向点B 移动；同时点P 从点B 出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC 向点C 移动，连接QP ，QD ，PD ．若两个点同时运动的时间为x 秒（0＜x ≤3），解答下列问题：（1）设△QPD 的面积为S ，用含x 的函数关系式表示S ；当x 为何值时，S 有最大值？并求出最小值；（2）是否存在x 的值，使得QP ⊥DP ？试说明理由．7．（2016江苏省淮安市）如图，在平面直角坐标系中，二次函数214y x bx c =-++的图象与坐标轴交于A 、B 、C 三点，其中点A 的坐标为（0，8），点B 的坐标为（﹣4，0）．（1）求该二次函数的表达式及点C 的坐标；（2）点D 的坐标为（0，4），点F 为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD 、CF ，以CD 、CF 为邻边作平行四边形CDEF ，设平行四边形CDEF 的面积为S ．①求S 的最大值；②在点F 的运动过程中，当点E 落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S 的值．8．（2015湖北黄石）已知抛物线C 1的函数解析式为2y ax bx 3a(b 0)=+-<，若抛物线C 1经过点(0,3)-，方程2ax bx 3a 0+-=的两根为1x ，2x ，且12x x 4-=．（1）求抛物线C 1的顶点坐标．（2）已知实数x 0>，请证明：1x x +≥2，并说明x 为何值时才会有1x 2x +=．（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C 2，设1A(m,y )， 2B(n,y )是C 2上的两个不同点，且满足： 00AOB 9∠=，m 0>，n 0<．请你用含有m 的表达式表示出△AOB 的面积S ，并求出S 的最小值及S 取最小值时一次函数OA 的函数解析式．（参考公式：在平面直角坐标系中，若11P(x ,y )，22Q(x ,y )，则P ，Q 两点间的距离222121(x x )(y y )-+-）9．（2015福建泉州）如图，点O 为坐标原点，直线l 绕着点A （0，2）旋转，与经过点C （0，1）的二次函数21y x h 4=+交于不同的两点P 、Q ． （1）求h 的值；（2）通过操作、观察算出△POQ 面积的最小值（不必说理）；（3）过点P 、C 作直线，与x 轴交于点B ，试问：在直线l 的旋转过程中四边形AOBQ 是否为梯形，若是，请说明理由；若不是，请指明其形状．。
专题30动态几何之面动形成的面积问题(预测题)-决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品(原卷版)
《中考压轴题全揭秘》第二辑原创模拟预测题专题30：动态几何之面动形成的面积问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈．动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等．解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况．以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射．动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的面积问题，双（多）动点形成的面积问题，线动形成的面积问题，面动形成的面积问题．本专题原创编写面动形成的面积问题模拟题．在中考压轴题中，面动形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类．原创模拟预测题1．如图，已知△ABC为等边三角形，AB=2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点．设AD=x，△DEF的面积为y，则能大致反映y 与x函数关系的图象是（）A．B．C．D．原创模拟预测题2．如图，Rt△ABC中∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，以23DEFG的一边CD在直线AB上，且点D与点A重合，现将正方形DEFG沿A﹣B的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D与点B重合时停止，则在这个运动过程中，正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．原创模拟预测题3．已知，如图①，在▱ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为1cm/s，当△PNM 停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为t（s）（0＜t＜4），连接PQ，MQ，MC，解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥MN？（2）设△QMC的面积为y（cm2），求y与x之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S△QMC：S四边形ABQP=1：4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（4）是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（1）求tanA的值；（2）设点P运动时间为t，正方形PQEF的面积为S，请探究S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，正方形PQEF的某个顶点（Q点除外）落在正方形QCGH的边上，请直接写出t的值．（1）填空：n的值为；（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；（2）如图1，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动，到达点B时停止运动．以AP为边作等边△APQ（点Q在x轴上方），设点P在运动过程中，△APQ与四边形AOCD重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；（3）如图2，连接AC，在第二象限内存在点M，使得以M、O、A为顶点的三角形与△AOC相似．请直接写出所有符合条件的点M坐标．原创模拟预测题7．如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线时的一点，且DG=AD，动点M 从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→G的路线向G点匀速运动（M不与A，G重合），设运动时间为t秒，连接BM并延长AG于N．（1）是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；（2）当点N在AD边上时，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分线于H，求证：BN=HN；（3）过点M分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S 的最大值．原创模拟预测题8．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC 如图放置，将此平行四边形绕点O 顺时针旋转90°得到平行四边形A ′B ′OC ′．抛物线322++-=x x y 经过点A 、C 、A ′三点．（1）求A 、A ′、C 三点的坐标；（2）求平行四边形ABOC 和平行四边形A ′B ′OC ′重叠部分△C ′OD 的面积；（3）点M 是第一象限内抛物线上的一动点，问点M 在何处时，△AMA ′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M 的坐标．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）设P 点的坐标为（x ，y ），△PBE 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并求出S 的最大值；（3）在（2）的条件下，当S 取值最大值时，过点P 作x 轴的垂线，垂足为F ，连接EF ，△PEF 沿直线EF 折叠，点P 的对应点为点P ′，请直接写出P ′点的坐标，并判断点P ′是否在该抛物线上．原创模拟预测题10．如图1，一条抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且当x =﹣1和x =3时，y 的值相等，直线421815-=x y 与抛物线有两个交点，其中一个交点的横坐标是6，另一个交点是这条抛物线的顶点M ．（1）求这条抛物线的表达式．（2）动点P 从原点O 出发，在线段OB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位长度的速度向点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动，设运动时间为t 秒．①若使△BPQ 为直角三角形，请求出所有符合条件的t 值；②求t 为何值时，四边形ACQP 的面积有最小值，最小值是多少？（3）如图2，当动点P 运动到OB 的中点时，过点P 作PD ⊥x 轴，交抛物线于点D ，连接OD ，OM ，MD 得△ODM ，将△OPD 沿x 轴向左平移m 个单位长度（0＜m ＜2），将平移后的三角形与△ODM 重叠部分的面积记为S ，求S 与m 的函数关系式．。
专题34动态几何之面动形成的最值问题(预测题)-决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品(解析版)
《中考压轴题全揭秘》第二辑原创模拟预测题专题34：动态几何之面动形成的最值问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
动态几何形成的最值问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的最值问题，双（多）动点形成的最值问题，线动形成的最值问题，面动形成的最值问题。
本专题原创编写面动形成的最值问题模拟题。
在中考压轴题中，面动形成的最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类和选择正确的解题方法。
原创模拟预测题1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是______ ．【答案】1．考点：翻折变换（折叠问题）；动点型；最值问题；综合题．原创模拟预测题2．如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB=2．对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕BM与EF相交于点Q；再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G．有如下结论：①∠ABN=60°；②AM=1；③QN=33；④△BMG是等边三角形；⑤P为线段BM上一动点，H是BN的中点，则PN+PH的最小值是3．其中正确结论的序号是．【答案】①④⑤．【解析】试题分析：如图1，连接AN，∵EF垂直平分AB，∴AN=BN，根据折叠的性质，可得：AB=BN，∴AN=AB=BN，∴△ABN为等边三角形，∴∠ABN=60°，∠PBN=60°÷2=30°，即结论①正确；∵∠ABN=60°，∠ABM=∠NBM，∴∠ABM=∠NBM=60°÷2=30°，∴AM=AB•tan30°=3223即结论②不正确；∵EF∥BC，QN是△MBG的中位线，∴QN=12BG，∵BG=BM=AB÷cos∠ABM=3243，∴QN=143223∵∠ABM=∠MBN=30°，∠BNM=∠BAM=90°，∴∠BMG=∠BNM﹣∠MBN=90°﹣30°=60°，∴∠MBG=∠ABG﹣∠ABM=90°﹣30°=60°，∴∠BGM=180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠MBG=∠BMG=∠BGM=60°，∴△BMG为等边三角形，即结论④正确；∵△BMG是等边三角形，点N是MG的中点，∴BN⊥MG，∴BN=BG•sin60°=43332=2，P与Q重合时，PN+PH的值最小，∵P是BM的中点，H是BN的中点，∴PH∥MG，∵MG⊥BN，∴PH⊥BN，又∵PE ⊥AB ，∴PH =PE ，∴PN +PH =PN +PE =EN ，∵EN =22BN BE -=2221-=3，∴PN +PH =3，∴PN +PH 的最小值是3，即结论⑤正确．故答案为：①④⑤．考点：几何变换综合题；翻折变换（折叠问题）；动点型；最值问题；和差倍分；综合题；压轴题． 原创模拟预测题3．如图，在△ABC 中，AB =5，AC =9，ΔABC 272S =，动点P 从A 点出发，沿射线AB 方向以每秒5个单位的速度运动，动点Q 从C 点出发，以相同的速度在线段AC 上由C 向A 运动，当Q 点运动到A 点时，P 、Q 两点同时停止运动，以PQ 为边作正方形PQEF （P 、Q 、E 、F 按逆时针排序），以CQ 为边在AC 上方作正方形QCGH ． （1）求tanA 的值；（2）设点P 运动时间为t ，正方形PQEF 的面积为S ，请探究S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由；（3）当t 为何值时，正方形PQEF 的某个顶点（Q 点除外）落在正方形QCGH 的边上，请直接写出t 的值．【答案】（1）34；（2）8110；（3）t 的值为：914或911或1或97． 【解析】试题分析：（1）如图1，过点B 作BM ⊥AC 于点M ，利用面积法求得BM 的长度，利用勾股定理得到AM 的长度，最后由锐角三角函数的定义进行解答；（2）如图2，过点P 作PN ⊥AC 于点N ．利用（1）中的结论和勾股定理得到222PN NQ PQ +=，所以由正方形的面积公式得到S 关于t 的二次函数，利用二次函数的顶点坐标公式和二次函数图象的性质来求其最值；（3）需要分类讨论：当点E 在边HG 上、点F 在边HG 上、点P 边QH （或点E 在QC 上）、点F 边C 上时相对应的t 的值．试题解析：（1）如图1，过点B 作BM ⊥AC 于点M ，∵AC =9，ΔABC 272S =，∴12AC •BM =272，即12×9BM =272，解得BM =3．由勾股定理，得：AM 22AB BM -2253-，则tanA =BM AM =34；（3）分四种情况讨论：①如图3，当点E在边HG上时，t=9 14；②如图4，当点F在边HG上时，t=9 11；③如图5，当点P边QH（或点E在QC上）时，t=1；④如图6，当点F边C上时，t=97；综上所述：t的值为：914或911或1或97．考点：四边形综合题；最值问题；二次函数的最值；分类讨论；动点型；存在型；综合题；压轴题．原创模拟预测题4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝900，AC=6，BC=8．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动；同时，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动．过线段MN的中点G作边AB的垂线，垂足为点G，交△ABC的另一边于点P，连接PM、PN，当点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t ＝ 秒时，动点M 、N 相遇；（2）设△PMN 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；（3）取线段PM 的中点K ，连接KA 、KC ，在整个运动过程中，△KAC 的面积是否变化？若变化，直接写出它的最大值和最小值；若不变化，请说明理由．【答案】（1）2.5；（2）S =22275156 (0 1.4)4860100(1.4 2.5)386010010(2.5)33t t t t t t t t t ⎧--≤≤⎪⎪-+⎪<≤⎨⎪⎪-+-<≤⎪⎩；（3）在整个运动过程中，△KAC 的面积会发生变化，最小值为1.68，最大值为4．（3）分两种情况讨论，①当P 在BC 上运动时，如图4，当P 与C 重合时，ΔKAC S 最小，当t =0是，M 与A 重合，N 与B 重合，如图5，此时三角形ΔKAC S 最大；②当P 在CA 上运动时，如图6，过K 作KE ⊥AC 于E ，过M 作MF ⊥AC 于F ，可以得到ΔKAC S =65t ，而101.43t ≤≤，故当 1.4t =时，ΔKAC S 的最小值=6 1.4 1.685⨯=，当103t =时，ΔKAC S 的最大值=610453⨯=．综合①②可得到结论． 试题解析：（1）∵∠ACB ＝900，AC =6，BC =8，∴AB =10，当M 、N 相遇时，有310t t +=，∴ 2.5t =； （2）∵N 比M 运动的速度快，∴P 先在BC 上运动，然后在CA 上运动．当P 与C 重合时，∵ΔABC S =12AC •BC =12AB •GC ，∴GC =6×8÷10=4.8，∴AG =226 4.8-=3.6，∴BG =10－3.6=6.4，∵AM =t ，BN =3t ，∴MN =10－4t ，MG =GN =12MN =1(104)2t -=52t -，∴52 3.6t t +-=，∴ 1.4t =．①当0 1.4t ≤≤时，M 在N 的左边，P 先在BC 上向C 靠近，如图1，∵AM =t ，BN =3t ，∴MN =10－4t ，MG =GN =12MN =1(104)2t -=52t -，∴GB =GN +NB =523t t -+=5t +，∵tanB =PG AC GB BC =，∴658PG t =+，∴PG =3(5)4t +，∴S =ΔPMN S =12MN •PG = GN •PG =3(52)(5)4t t -⨯+=2751564t t --；②当1.4 2.5t <≤时，M 在N 的左边，在AC 上逐渐远离C ，如图2，由①可知，GN =MG =52t -，AM =t ，∴AG =MG +AM =5t -，tanA =PG BC AG AC =，∴856PG t =-，∴PG =4(5)3t -，∴S =ΔPMN S =12MN •PG = GN •PG =4(52)(5)3t t -⨯-=28601003t t -+；③当102.53t <≤时，M 在N 的右边，在AC 上逐渐远离C ，如图3．MN =NB +AM －AB =310t t +-=410t -，GN =MG =25t -，AM =t ，∴AG = A M －MG =(25)t t --=5t -，tanA =PG BC AG AC =，∴856PG t =-，∴PG =4(5)3t -，∴S =ΔPMN S =12MN •PG = GN •PG =4(25)(5)3t t -⨯-=28601003t t -+-；∴S =22275156 (0 1.4)4860100 (1.4 2.5)386010010(2.5)33t t t t t t t t t ⎧--≤≤⎪⎪-+⎪<≤⎨⎪⎪-+-<≤⎪⎩；（3）①当P 在BC 上运动时，如图4，当P 与C 重合时，ΔKAC S 最小，过M 作MF ⊥AC 于F ，则MF ∥BC ，∴MF AM BC AB =，，∴ 1.4810MF =，∴MF =1.12，∴ΔKAC S =12ΔMAC S =12•12AC •MF =16 1.124⨯⨯=1.68，当t =0是，M 与A 重合，N 与B 重合，此时三角形ΔKAC S 最大，如图5，此时BG =AG =5，cosB =BG BC PB AB =，∴5810PB =，∴PB =254，∴PC =BC －PB =8－254=74，∴ΔPAC S =12AC •PC =17624⨯⨯=214，∵K 是AP 的中点，∴ΔKAC S =12ΔPAC S =218，∴当P 在BC 上运动时，△KAC 面积的最小值为1.68，最大值为218；②当P 在CA 上运动时，如图6，过K 作KE ⊥AC 于E ，过M 作MF ⊥AC 于F ，∴EK ∥FM ，∵K 为PM 的中点，∴EK =12FM ，∵FM ⊥AC ，CB ⊥AC ，∴FM ∥CB ，∴FM AM BC AB =，∴810FM t =，∴FM =45t ，∴EK =12FM =25t ，∴ΔKAC S =12AC •EK =12625t ⨯⨯=65t ，∵101.43t ≤≤，∴当 1.4t =时，ΔKAC S 的最小值=61.4 1.685⨯=，当103t =时，ΔKAC S 的最大值=610453⨯=．∴当P 在CA 上运动时，△KAC 面积的最小值为1.68，最大值为4．综合①②可得：在整个运动过程中，△KAC 的面积会发生变化，最小值为1.68，最大值为4．考点：三角形综合题；动点型；分类讨论；最值问题；分段函数；压轴题．原创模拟预测题5．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，G 是AD 延长线时的一点，且DG =AD ，动点M 从A 点出发，以每秒1个单位的速度沿着A →C →G 的路线向G 点匀速运动（M 不与A ，G 重合），设运动时间为t 秒，连接BM 并延长AG 于N ．（1）是否存在点M ，使△ABM 为等腰三角形？若存在，分析点M 的位置；若不存在，请说明理由；（2）当点N 在AD 边上时，若BN ⊥HN ，NH 交∠CDG 的平分线于H ，求证：BN =HN ；（3）过点M 分别作AB ，AD 的垂线，垂足分别为E ，F ，矩形AEMF 与△ACG 重叠部分的面积为S ，求S 的最大值．【答案】（1）答案见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）当t =238秒时，S 的最大值为38． 【解析】 试题分析：（3）①当点M 在AC 上时，即0<t ≤22时，易知：△AMF 为等腰直角三角形．∵AM =t ，∴AF =FM =t 22，∴S =24122222121t t t FM AF =⋅⋅=⋅； 当点M 在CG 上时，即22<t <24时，CM =t -22，MG =24-t ．∵AD =DG ，∠ADC =∠CDG ，CD =CD ，∴△ACD ≌△GCD （SAS ），∴∠ACD =∠GCD =45º，∴∠ACM =∠ACD +∠GCD =90º，∴∠G =90-∠GCD =90º-45º=45º，∴△MFG 为等腰直角三角形， ∴t t MG FG 22422)24(45cos 0-=⋅-=⋅=，∴ACG CMJ FMG S S S S ∆∆∆=-- =11142222CM CM FG FM ⨯⨯-⨯⨯-⋅=221124(22)(4)222t t ----=234284t t -+-， ∴221t 0t 2243-t 42t-8 22t 424S ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+<<⎪⎩（）（）；②在0<t ≤22范围内，当t =22时，S 的最大值为222412=⨯）（； 在22<t <24范围内，38)238-t (432+-=S ，当238t =时，S 的最大值为38， ∵823>，∴当t =238秒时，S 的最大值为38．考点：四边形综合题；二次函数综合题；分段函数；二次函数的最值；最值问题；动点型；存在型；压轴题．原创模拟预测题6．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC 如图放置，将此平行四边形绕点O 顺时针旋转90°得到平行四边形A ′B ′OC ′．抛物线322++-=x x y 经过点A 、C 、A ′三点． （1）求A 、A ′、C 三点的坐标；（2）求平行四边形ABOC 和平行四边形A ′B ′OC ′重叠部分△C ′OD 的面积；（3）点M 是第一象限内抛物线上的一动点，问点M 在何处时，△AMA ′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M 的坐标．【答案】（1）A （0，3），A ′（3，0），C （﹣1，0）；（2）320；（3）当m =32时，ΔAMA'S 的值最大，最大值为278，此时M 点坐标为（32，154）． 【解析】试题分析：（1）在抛物线中，令y =0，可求出C （﹣1，0），A ′（3，0）；令x =0，得到A （0，3）；（2）先由平行四边形的性质得AB ∥OC ，AB =OC ，易得B （1，3），由勾股定理和三角形面积公式得到OB 的长，S △AOB =32，再由旋转的性质得∠ACO =∠OC ′D ，OC ′=OC =1，接着证明△C ′OD ∽△BOA ，利用相似三角形的性质得22)101()(='=∆'∆OB C O S S BOA OD C ，即可计算出S △C ′OD ； （3）设M 点的坐标为（m ，223m m -++），0＜m ＜3，作MN ∥y 轴交直线AA ′于N ，求出直线AA ′的解析式为3y x =-+，则N （m ，3m -+），于是可计算出MN =23m m -+，再利用''AMA ANM MNA S S S ∆∆∆=+和三角形面积公式得到ΔAMA'S =23922m m -+，配方即可求出△AMA ′的面积最大值，同时刻确定此时M 点的坐标．试题解析：（1）当y =0时，0322=++-x x ，解得13x =，21x =-，则C （﹣1，0），A ′（3，0）；当x =0时，y =3，则A （0，3）；（2）∵四边形ABOC 为平行四边形，∴AB ∥OC ，AB =OC ，而C （﹣1，0），A （0，3），∴B （1，3） ∴OB 2231+10S △AOB =12×3×1=32，又∵平行四边形ABOC 旋转90°得平行四边形A ′B ′OC ′，∴∠ACO =∠OC ′D ，OC ′=OC =1，又∵∠ACO =∠ABO ，∴∠ABO =∠OC ′D ，又∵∠C ′OD =∠AOB ，∴△C ′OD ∽△BOA ，∴22)101()(='=∆'∆OB C O S S BOA OD C =110，∴S △C ′OD =13102⨯=320；考点：二次函数综合题；二次函数的最值；最值问题；动点型；旋转的性质；综合题；压轴题．原创模拟预测题7．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3．（1）求MP的值；（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于多少时，△MEF的周长最小？（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2．当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．（计算结果保留根号）【答案】（1）5；（2）1611；（3）755．【解析】试题分析：（1）由折叠的性质和矩形性质以得PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，利用勾股定理可计算出MP的长；（2）如图1，作点M 关于AB 的对称点M ′，连接M ′E 交AB 于点F ，利用两点之间线段最短可得点F 即为所求，过点E 作EN ⊥AD ，垂足为N ，则AM =AD ﹣MP ﹣PD =4，所以AM =AM ′=4，再证明ME =MP =5，利用勾股定理计算出MN =3， NM ′=11，得出△AFM ′∽△NEM ′，利用相似比即可计算出AF ；（3）如图2，由（2）知点M ′是点M 关于AB 的对称点，在EN 上截取ER =2，连接M ′R 交AB 于点G ，再过点E 作EQ ∥RG ，交AB 于点Q ，易得QE =GR ，而GM =GM ′，于是MG +QE =M ′R ，利用两点之间线段最短可得此时MG +EQ 最小，于是四边形MEQG 的周长最小，在Rt △M ′RN 中，利用勾股定理计算出M ′R 得出，从而得到四边形MEQG 的最小周长值．试题解析：（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴CD =AB =4，∠D =90°，∵矩形ABCD 折叠，使点C 落在AD 边上的点M 处，折痕为PE ，∴PD =PH =3，CD =MH =4，∠H =∠D =90°，∴MP =2234+=5； （2）如图1，作点M 关于AB 的对称点M ′，连接M ′E 交AB 于点F ，则点F 即为所求，过点E 作EN ⊥AD ，垂足为N ，∵AM =AD ﹣MP ﹣PD =12﹣5﹣3=4，∴AM =AM ′=4，∵矩形ABCD 折叠，使点C 落在AD 边上的点M 处，折痕为PE ，∴∠CEP =∠MEP ，而∠CEP =∠MPE ，∴∠MEP =∠MPE ，∴ME =MP =5，在Rt △ENM 中，MN =22ME EN -=2254-=3，∴NM ′=11，∵AF ∥ME ，∴△AFM ′∽△NEM ′，∴''AM AF NENM =，即4114AF =，解得AF =1611，即AF =1611时，△MEF 的周长最小； （3）如图2，由（2）知点M ′是点M 关于AB 的对称点，在EN 上截取ER =2，连接M ′R 交AB 于点G ，再过点E 作EQ ∥RG ，交AB 于点Q ，∵ER =GQ ，ER ∥GQ ，∴四边形ERGQ 是平行四边形，∴QE =GR ，∵GM =GM ′，∴MG +QE =GM ′+GR =M ′R ，此时MG +EQ 最小，四边形MEQG 的周长最小，在Rt △M ′RN 中，NR =4﹣2=2，M ′R =22112+=55，∵ME =5，GQ =2，∴四边形MEQG 的最小周长值是755+．考点：几何变换综合题；动点型；最值问题；翻折变换（折叠问题）；综合题；压轴题．原创模拟预测题8．如图所示，抛物线24y ax bx =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣2，0）、B （4，0），其顶点为D ，连接BD ，点P 是线段BD 上的一个动点（不与B 、D 重合），过点P 作y 轴的垂线，垂足为E ，连接BE ．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）设P 点的坐标为（x ，y ），△PBE 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并求出S 的最大值；（3）在（2）的条件下，当S 取值最大值时，过点P 作x 轴的垂线，垂足为F ，连接EF ，△PEF 沿直线EF 折叠，点P 的对应点为点P ′，请直接写出P ′点的坐标，并判断点P ′是否在该抛物线上．【答案】（1）2142y x x =-++，D （1，92）；（2）2334S x x =-+（1＜x ＜4），当x =2时，S 取得最大值3；（3）P ′坐标（1013-，1513），不在抛物线上． 【解析】试题分析：（1）根据抛物线经过A 、B 两点，分别求出a 、b 的值，即可得到抛物线的解析式．（2）由B 、D 两点坐标可得出BD 解析式，再根据面积公式即可求出最大值．（3）根据（2）得出最大值，求出点P 的坐标，得出四边形PEOF 是矩形，再作点P 关于直线EF 的对称点P ′设出MC =m ，则MF =m ．从而得出P ′M 与P ′E 的值，根据勾股定理，得出m 的值，再由△EHP ′∽△EP ′M ，得出EH 和OH 的值，最后求出P ′的坐标，判断出不在抛物线上．试题解析：（1）∵抛物线24y ax bx =++经过A （﹣2，0）、B （4，0）两点∴把（﹣2，0）、B （4，0）代入抛物线得：424016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：121a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为：2142y x x =-++；∵2142y x x =-++=219(1)22x --+，∴顶点D 的坐标为（1，92）；（2）设直线BD 解析式为：y kx b =+，把B 、D 两点坐标代入，得：4092k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得32k =-，6b =，直线BD 解析式为362y x =-+，S =12PE •OE =12xy =13(6)22x x -+=2334x x -+，∵顶点D 的坐标为（1，92），B （4，0），∴1＜x ＜4，∴2334S x x =-+（1＜x ＜4），∴S =23(2)34x --+，∴当x =2时，S 取得最大值，最大值为3；考点：二次函数综合题；二次函数的最值；最值问题；动点型；综合题；压轴题．原创模拟预测题9．如图1，一条抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且当x =﹣1和x =3时，y 的值相等，直线421815-=x y 与抛物线有两个交点，其中一个交点的横坐标是6，另一个交点是这条抛物线的顶点M ．（1）求这条抛物线的表达式．（2）动点P 从原点O 出发，在线段OB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位长度的速度向点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动，设运动时间为t 秒．①若使△BPQ 为直角三角形，请求出所有符合条件的t 值；②求t 为何值时，四边形ACQP 的面积有最小值，最小值是多少？（3）如图2，当动点P 运动到OB 的中点时，过点P 作PD ⊥x 轴，交抛物线于点D ，连接OD ，OM ，MD 得△ODM ，将△OPD 沿x 轴向左平移m 个单位长度（0＜m ＜2），将平移后的三角形与△ODM 重叠部分的面积记为S ，求S 与m 的函数关系式．【答案】（1）233384y x x =--；（2）①87t =或2013t =；②当t =2时，四边形ACQP 的面积最小，最小值是335；（3）()2221103(0)10915102()169≤m m m S m m ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-<<2⎪⎩． 【解析】 ②过点Q 作QG ⊥AB 于G ，能够得到△BGQ ∽△BOC ，可求得GQ =65t 然后S 四边形ACQP =S △ABC ﹣S △BPQ =()2333255t -+，从而可求得四边形的面积的最值； （3）先求得点D 的坐标，然后根据平移与坐标变换的关系得出点P 1（2﹣m ，0），D 1（2﹣m ，﹣3），E （2﹣m ，332m -+ ），①当1009m <≤时，作FH ⊥轴于点H ，S 四边形ACQP =S △ABC ﹣S △BPQ ；当2109m <<时，设D 1P 1交OM 于点F ，S △OEF =112EF OP ⋅=()2115228m ⨯-=()215216m -．试题解析：（1）∵当x =﹣1和x =3时，y 的值相等，∴抛物线的对称轴为直线x =1，把x =1和x =6分别代入421815-=x y 中，得顶点M （1，278-），另一个交点坐标为（6，6），则可设抛物线的表达式为227(1)8y a x =--，将（6，6）代入其中，解得38a =，∴抛物线的表达式为2327(1)88y x =--，即233384y x x =--； （2）如下图：当y =0时，2333084x x --=． 解得：12x =-，24x =，由题意可知：A （ 2，0），B （4，0），所以OA =2，OB =4；当x =0时，y =﹣3，所以点C （0，﹣3），OC =3，由勾股定理知BC =5，OP =1×t =t ，BQ =2×t =2t ，①∵∠PBQ 是锐角，∴有∠PQB =90°或∠BPQ =90°两种情况：当∠PQB =90°时，可得△PQB ∽△COB ，∴B PB BO CB =Q ，∴2445t t -=，∴87t =；当∠BPQ =90°时，可得△BPQ ∽△BOC ，∴B PB BC OB =Q ，∴2454t t -=，∴2013t =；由题意知0≤t ≤2.5，∴当87t =或2013t =时，以B ，P ，Q 为顶点的三角形是直角三角形； ②过点Q 作QG ⊥AB 于G ，∴△BGQ ∽△BOC ，∴G B OC BC =Q Q ，∴235G t =Q ，∴GQ =65t ， ∴S 四边形ACQP =S △ABC - S △BPQ =1122AB OC PB G ⋅-⋅Q =()116634225t t ⨯⨯--⋅=2123955t t -+=()2333255t -+，∵35＞0，，∴四边形ACQP 的面积有最小值，又∵t =2 满足0≤t ≤2.5，∴当t =2时，四边形ACQP 的面积最小，最小值是335； （3）如下图，由OB =4得OP =2，把 x =2代入233384y x x =--中，得y =﹣3，所以D （2，﹣3），直线CD ∥x 轴，设直线OD 的解析式为1y k x =，则132k =-，所以32y x =-，因为△P 1O 1D 1是由△POD 沿x 轴 向左平移m 个单位得到的，所以P 1（2﹣m ，0），D 1（2﹣m ，﹣3），E （2﹣m ，332m -+ ），设直线OM 的解析式为2y k x =，则2278k =-，所以278y x =-． 如下图，②当2109m <<时，设D 1P 1交OM 于点F ，直线OM 的解析式为278y x =-，所以F （2﹣m ，()2728m --），所以EF =15(2)8m -，∴S △OEF =112EF OP ⋅=()2115228m ⨯-=()215216m -； 综上所述，()2221103(0)10915102()169≤m m m S m m ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-<<2⎪⎩． 考点：二次函数综合题；动点型；最值问题；分段函数；平移的性质；综合题；压轴题．。
动态几何之面动形成的最值问题
动态几何之面动形成的最值问题一、选择题二、填空题1. （2012四川成都4分）如图，长方形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：第一步：如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用)；第二步：如图②，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；第三步：如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片．(注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为▲cm，最大值为▲cm．三、解答题1. （2013年天津市10分）在平面直角坐标系中，已知点A（－2，0），点B（0，4），点E在OB上，且∠OAE=∠OBA．（1）如图①，求点E的坐标；（2）如图②，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′．①设AA′=m，其中0＜m＜2，试用含m的式子表示，并求出使取得最小值时点E′的坐标；②当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．2. （2013年广东梅州11分）用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P．（1）当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；的度数．ABP时，求∠FC=AP在运动的过程中出现P）当点2（．探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN．在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．过点A作AG⊥BC于点G，则AG=BC=，∴PG=CG﹣CP=﹣1=。
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《中考压轴题全揭秘》第二辑原创模拟预测题
专题34：动态几何之面动形成的最值问题
数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
动态几何形成的最值问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的最值问题，双（多）动点形成的最值问题，线动形成的最值问题，面动形成的最值问题。
本专题原创编写面动形成的最值问题模拟题。
在中考压轴题中，面动形成的最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类和选择正确的解题方法。
原创模拟预测题1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是______ ．
原创模拟预测题2．如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB=2．对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕BM与EF相交于点Q；再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G．有如下结论：
①∠ABN=60°；②AM=1；③QN 3
BMG是等边三角形；⑤P为线段BM上一动点，H是BN的中
点，则PN+PH3．其中正确结论的序号是．
原创模拟预测题3．如图，在△ABC中，AB=5，AC=9，
ΔABC 27 2
S ，动点P从A点出发，沿射线AB方向以每秒5个单位的速度运动，动点Q从C点出发，以相同的速度在线段AC上由C向A运动，当Q点运动到A点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正方形PQEF（P、Q、E、F按逆时针排序），以CQ为边在AC上方作正方形QCGH．
（1）求tanA的值；
（2）设点P运动时间为t，正方形PQEF的面积为S，请探究S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，正方形PQEF的某个顶点（Q点除外）落在正方形QCGH的边上，请直接写出t的值．
原创模拟预测题4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝900，AC=6，BC=8．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动；同时，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动．过线段MN的中点G作边AB的垂线，垂足为点G，交△ABC的另一边于点P，连接PM、PN，当点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当t＝秒时，动点M、N相遇；
（2）设△PMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）取线段PM的中点K，连接KA、KC，在整个运动过程中，△KAC的面积是否变化？若变化，直接写出它的最大值和最小值；若不变化，请说明理由．
原创模拟预测题5．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，G 是AD 延长线时的一点，且DG =AD ，动点M 从A 点出发，以每秒1个单位的速度沿着A →C →G 的路线向G 点匀速运动（M 不与A ，G 重合），设运动时间为t 秒，连接BM 并延长AG 于N ．
（1）是否存在点M ，使△ABM 为等腰三角形？若存在，分析点M 的位置；若不存在，请说明理由；
（2）当点N 在AD 边上时，若BN ⊥HN ，NH 交∠CDG 的平分线于H ，求证：BN =HN ；
（3）过点M 分别作AB ，AD 的垂线，垂足分别为E ，F ，矩形AEMF 与△ACG 重叠部分的面积为S ，求S 的最大值．
原创模拟预测题6．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC 如图放置，将此平行四边形绕点O 顺时针旋转90°得到平行四边形A ′B ′OC ′．抛物线322
++-=x x y 经过点A 、C 、A ′三点．
（1）求A 、A ′、C 三点的坐标；
（2）求平行四边形ABOC 和平行四边形A ′B ′OC ′重叠部分△C ′OD 的面积；
（3）点M 是第一象限内抛物线上的一动点，问点M 在何处时，△AMA ′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M 的坐标．
原创模拟预测题7．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =12，将矩形纸片折叠，使点C 落在AD 边上的点M 处，折痕为PE ，此时PD =3．
（1）求MP 的值；
（2）在AB 边上有一个动点F ，且不与点A ，B 重合．当AF 等于多少时，△MEF 的周长最小？
（3）若点G ，Q 是AB 边上的两个动点，且不与点A ，B 重合，GQ =2．当四边形MEQG 的周长最小时，求最小周长值．（计算结果保留根号）
原创模拟预测题8．如图所示，抛物线2
4y ax bx =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣2，0）、B （4，0），其顶点为D ，连接BD ，点P 是线段BD 上的一个动点（不与B 、D 重合），过点P 作y 轴的垂线，垂足为E ，连接BE ．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D 的坐标；
（2）设P 点的坐标为（x ，y ），△PBE 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并求出S 的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S 取值最大值时，过点P 作x 轴的垂线，垂足为F ，连接EF ，△PEF 沿直线EF 折叠，点P 的对应点为点P ′，请直接写出P ′点的坐标，并判断点P ′是否在该抛物线上．
原创模拟预测题9．如图1，一条抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且当x =﹣1和x =3时，y 的值相等，直线421815-=
x y 与抛物线有两个交点，其中一个交点的横坐标是6，另一个交点是这条抛物线的顶点M ．
（1）求这条抛物线的表达式．
（2）动点P 从原点O 出发，在线段OB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位长度的速度向点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动，设运动时间为t 秒．
①若使△BPQ 为直角三角形，请求出所有符合条件的t 值；
②求t 为何值时，四边形ACQP 的面积有最小值，最小值是多少？
（3）如图2，当动点P 运动到OB 的中点时，过点P 作PD ⊥x 轴，交抛物线于点D ，连接OD ，OM ，MD 得△ODM ，将△OPD 沿x 轴向左平移m 个单位长度（0＜m ＜2），将平移后的三角形与△ODM 重叠部分的面积记为S ，求S 与m 的函数关系式．。