2016-2017年数学·人教A版选修2-1练习：3.1.2空间向量的数乘运算
人教版高中数学选修2-1第三章3.1.2空间向量的数乘运算
导入新课复习上一节课,我们借助“类比思想”把平面向量的有关概念及加减运算扩展到了空间.(1) 加法法则及减法法则平行四边形法则或三角形法则. (2) 运算律加法交换律及结合律.两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的.因为：空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量.因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.我们知道平面向量还有数乘运算及相应的运算律.借助类比思想,同样可以定义空间向量的数乘运算及相应的运算律．教学目标知识目标正确理解共线、方向向量等基本概念；初步掌握数乘运算，理解运算律；熟练掌握共线向量基本定理、推论及应用.能力目标经历知识形成探索过程，体验“类比”思想，并逐步学会“分析、归纳、抽象、概括等思维方法.情感目标1. 通过自主探究与合作交流，不断体验“成功”，激发学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位；2. 通过类比思想和方法的应用，感受和体会数学思想的魅力，培养学“做数学”的习惯和热情.教学重难点重点共线向量概念、基本定理及推论．难点共线概念的正确理解及较复杂的三点共线判定.知识要点1. 空间向量数乘运算的定义与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘（multiplication of vetor by salar）运算.（1）结果仍然是一个向量;（2）方向:当λ>0时，λa与a方向相同;当λ<0时，λa与a方向相反;当λ=0时，λa是零向量0; （3）大小: λa的长度是a长度的|λ|倍.aλa(λ<0)a λa(λ>0)2.数乘运算的运算律显然，空间向量的数乘运算满足分配律及结合律（）λ(a +b )=λa +λbλ+μa =λa +μaλ(μa )=(λμ)a 即：知识要点（1） λa与a 之间是什么关系？（2） λa 与a 所在直线之间的关系？对于空间向量的数乘运算的运算律的证明，方法与证明平面向量数乘运算的运算律类似.知识要点3.共线向量（或平行向量）的定义表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则称这些向量叫共线向量（colliner vectors）或平行向量（parallel vectors）记作a//b（1）向量平行与直线平行的比较;（2）关注零向量; （3）对空间任意两个向量a 与b ,如果 ,那么a 与b 有什么相等关系?反过来呢?b //a 零向量与任何向量平行（1）当我们说a，b共线时，表示a，b的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行线;（2）当我们说a // b时，也具有同样的意义.知识要点4.共线向量基本定理对于空间任意两个向量a ,b(b≠0)，a // b的充要条件是存在实数λ，使a = λb（1）b≠0的理解.若b=0，则a任意，λ不唯一;（2）若a // b，b // c，则a一定平行于c吗？（不一定，考虑中间向量为零向量）5.共线向量基本定理的推论如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对于空间任意一点像O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使 OP = OA + ta. (1) AaOP B其中向量a叫做直线l的方向向量（direction vector）在l上取AB=a，则(1)式可化为OP = (1- t)OA + t OB.(2)说明: (1),(2)都叫做空间直线的向量参数表示式.由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.知识要点6.共面向量定义平行于同一平面的向量，叫做共面向量（coplanar vectors）.空间任意两个向量总是共面的，但空间任意三个向量既可能是共面的，也可能是不共面的.7.共面向量的定理如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x、y），使p = x a + y b8.共面向量的定理的推论空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x、y，使MP = xMA + yMB或对空间任一定点O，有OP = OM + xMA + yMB.Ma AbB A' p P对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，试问满足向量关系式（其中x+y+z=1）的四点P 、A 、B 、 C 是否共面？OP =xOA+yOB +zOC解答原式可以变形为OP=(1-y-z)OA+yOB+zOC,OP-OA=y(OB-OA)+z(OC-OA), AP=y AB+z AC,所以，点P与点A，B，C共面.例题如下图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD，在四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使OE OF OG OH====kOA OB OC OD求证：四点E、F、G、H共面.D'A'B'C'DA B CO分析:欲证E，F，G，H四点共面，只需证明EH，EF，EG共面.下面我们利用AD，AB，AC共面来证明.证明:因为 所以 OE=kOA ，OF=kOB ， OG=kOC ，OH=kOD. 由于四边形ABCD 是平行四边形，所以AC=AB+AD. 解答OE OFOGOH====kOA OB OC OD继续因此EG=OG-OE=kOC-kOA=k AC=k(AB+AD)=k(OB-OA+OD-OA)=OF-OE+OH-OE=EF+EH.由向量共面的充要条件知E，F，G，H四点共面.课堂小结1.空间向量的数乘运算.2.空间向量的数乘运算的运算律.满足分配律及结合律.3.共线向量与共面向量共线向量 共面向量 定义 向量所在直线互相平行或重合. 平行于同一平面的向量,叫做共面向量. 定理 推论 运用 判断三点共线，或两直线平行 判断四点共线，或直线平行于平面)0a (b //a ≠b λa =p b a b y αx p +=ABt OA OP +=AC y AB x OA OP ++=共面1)y (x OBy OA x OP =++=1)z y (x 0OC z OB y OA x OP =++=++=高考链接1.（2006年福建卷）已知|OA|=1，|OB|= ，OA·OB=0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC=30°，设OC=mOA+nOB (m 、n ∈R)，则 等于_______. 3nm 3D. 33 C. 3B. 31 A. BOA =1,OB =3,OA.OB =0,解析: 点C 在AB 上，且∠AOC=30°设A 点坐标为(1，0)，B 点的坐标为(0， )C 点的坐标为(x ，y)=( ， ) OC =mOA+nOB(m,n R)∈33434则∴ 3n m ，41，n 43m ===课堂练习1.选择（1）若对任一点O 和不共线的三A,B,C,且有 则x+y+z=1是四点P 、A 、B 、C 共面的（） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 R),z y,(x,OC z OB y OA x OP ∈++= C（2）对于空间任意一点O ，下列命题正确的是（）. A.若 ，则P 、A 、B 共线 B.若 ，则P 是AB 的中点C.若 ，则P 、A 、B 不共线D.若 ，则P 、A 、B 共线 OP =OA+t AB3OP =OA+AB OP=OA -t AB OP=-OA+AB A（3）下列命题正确的是（）CA.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B.向量a，b，c共面就是它们所在的直线共面C.零向量没有确定的方向D.若a // b，则存在唯一的实数λ使得a = λb解答A.中向量b为零向量时要注意，B.中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样，D.中需保证b不为零向量.答案C.点评：零向量是一个特殊的向量，时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处.像零向量与任何向量共线等性质，要兼顾 .2.解答题已知：且m，n，p不共面.若a∥b,求x，y的值.,p2yn8m1)(xb0,p4n2m3a+++=≠--=空间向量在运算时，注意到如何利用空间向量共线定理.解答 ∵a // b,且a ≠0， ∴b= λ a ，即 又∵m ，n ，p 不共面，∴.p 4λn 2λm 3λp 2y n 8m 1)(x --=+++8.y 13,x ,42y 2831x =-=∴-=-=+习题答案1. （1）AD; （2）AG;（3）MG2. （2）x=1; （2）x=y=1/2; （3） x=y=1/2;3.CA QBRPSO。
人教新课标A版高二数学《选修2-1》3.1.2 空间向量的数乘运算
探究点：三点共线
如何利用共线向量定理判定三点共线？
A B C
O
典例分析
利用BD构建EH与FG的关系
典例分析
证明:
跟踪训练
知识点三：共面向量
共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
想一想，为什么？ 说明：空间任意两个向量都是共面向量， 但空间任意三个向量既可能是共面的，也可能是不共面的.
当堂训练
D
当堂训练
则D点位于( D ) A.BC边的中线上 C.BC边的中垂线上 B.BC边的高线上 D.∠BAC的平分线上
谢谢大家！
a
λ<0
|a| 大小 |λa|=|λ|·
运算律
典例分析
O M
[思路探索]在三角形中运用向量的线性运算进行分解 数乘 解:
A
G
C N
B
减法 加法
跟踪训练
A
知识点二：共线向量
1.共线向量:
如果表示空间向量的有向线段所在直线
互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量
(或平行向量),记作a∥b.
规定：零向量与任意向量共线.
第三章 空间向量与立体几何 §3.1.2 空间向量的数乘运算
引入课题
平面向量的数乘运算是如何定义的？
其几何意义是什么？
其运算律是怎样的？
空间向量与平面向量有何关系？
能否将平面向量的数乘运算推广到空间向量？
知识点一：数乘运算的概念
定义：与平面向量的数乘运算相同， 实数λ与空间向量a的乘积λa， 称为向量的数乘. 方向 当λ>0时， λa与向量a的方向相同 λ>0
证明:
∵E 、 F 、 G 、 H 分别是所在三角形的重心，
高中数学人教A版选修2-13.1.2 空间向量的数乘运算 .docx
3.1.2 空间向量的数乘运算双基达标(限时20分钟)1．给出的下列几个命题：①向量a ，b ，c 共面，则它们所在的直线共面； ②零向量的方向是任意的；③若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb .其中真命题的个数为 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析 ①假命题．三个向量共面时，它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行； ②真命题．这是关于零向量的方向的规定；③假命题．当b ＝0，则有无数多个λ使之成 立． 答案 B2．设空间四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则 ( )． A ．点P 一定在直线AB 上 B ．点P 一定不在直线AB 上C ．点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上 D.AB →与AP →的方向一定相同解析 已知m ＋n ＝1，则m ＝1－n ，OP →＝(1－n )OA →＋nOB →＝OA →－nOA →＋nOB →⇒OP →－OA →＝ n (OB →－OA →)⇒AP →＝nAB →.因为AB →≠0，所以AP →和AB →共线，即点A ，P ，B 共线，故选A. 答案 A3．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为 ( )． A ．1 B ．0 C ．3 D.13解析 ∵OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，且M ，A ，B ，C 四点共面，∴x ＋13＋13＝1，x ＝13，故选D. 答案 D4．以下命题：①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；②共线的两个向量互相平行；③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量．其中正确命题的序号是________． 解析 根据共面与共线向量的定义判定，易知②④正确． 答案 ②④5．设e 1，e 2是平面内不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k ＝______．解析 BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2， 又A 、B 、D 三点共线，由共线向量定理得AB →＝λBD →， ∴12＝－4k .∴k ＝－8. 答案 －86．如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，请判断向量EF →与AD →＋BC →是否共线？ 解 取AC 中点为G . 连接EG ，FG ，∴GF →＝12AD →，EG →＝12BC →，又∵GF →，EG →，EF →共面，∴EF →＝EG →＋GF →＝12AD →＋12BC → ＝12(AD →＋BC →)， ∴EF →与AD →＋BC →共线．综合提高（限时25分钟）7．对于空间任一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ＋y ＋z ＝1是P ，A ，B ，C 四点共面的 ( )． A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析 若x ＋y ＋z ＝1，则OP →＝(1－y －z )OA →＋yOB →＋zOC →，即AP →＝yAB →＋zAC →，由共面定理可知向量AP →，AB →，AC →共面，所以P ，A ，B ，C 四点共面；反之，若P ，A ，B ，C 四点共面，当O 与四个点中的一个(比如A 点)重合时，OA →＝0，x 可取任意值，不一定有x ＋y ＋z ＝1，故选B. 答案 B8．已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →等于( )．A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB →C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB → 解析 由已知得2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0，∴OC →＝2OA →－OB →.答案 A9．如图所示，在四面体O —ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝______(用a ，b ，c 表示)．解析 OE →＝OA →＋AE →＝a ＋12AD →＝a ＋12(OD →－OA →)＝12a ＋12OD → ＝12a ＋12×12(OB →＋OC →) ＝12a ＋14b ＋14c . 答案 12a ＋14b ＋14c10．已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．解析 ∵A ，B ，C 三点共线，∴存在唯一实数k 使AB →＝kAC →，即OB →－OA →＝k (OC →－OA →)， ∴(k －1)OA →＋OB →－kOC →＝0， 又λOA →＋mOB →＋nOC →＝0， 令λ＝k －1，m ＝1，n ＝－k ， 则λ＋m ＋n ＝0. 答案 011．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量A 1B →、B 1C →、EF →是共面向量． 证明 法一 EF →＝EB →＋BA 1→＋A 1F →＝12B 1B →－A 1B →＋12A 1D 1→ ＝12(B 1B →＋BC →)－A 1B → ＝12B 1C →－A 1B →. 由向量共面的充要条件知，A 1B →、B 1C →、EF →是共面向量． 法二 连结A 1D 、BD ，取A 1D 中点G ，连结FG 、BG ，则有FG 綉12DD 1，BE 綉12DD 1，∴FG 綉BE .∴四边形BEFG 为平行四边形． ∴EF ∥BG . ∴EF ∥平面A 1BD .同理，B 1C ∥A 1D ，∴B 1C ∥平面A 1BD ，∴A 1B →、B 1C →、EF →都与平面A 1BD 平行．∴A 1B →、B 1C →、EF →共面．12．(创新拓展)已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点． (1)证明E ，F ，G ，H 四点共面； (2)证明BD ∥平面EFGH .证明 如图，连结EG ，BG .(1)∵EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →，由向量共面的充要条件知：E ，F ，G ，H 四点共面．(2)法一 ∵EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12BD →，∴EH ∥BD .又EH ⊂面EFGH ，BD ⊄面EFGH ， ∴BD ∥面EFGH .法二 ∵BD →＝BA →＋AD →＝2EA →＋2AH →＝2EH →＝2(EG →＋GH →)＝2EG →＋2GH →，又EG →，GH →不共线，∴BD →与EG →，GH →共面． 又BD ⊄面EFGH ，∴BD ∥面EFGH .。
【成才之路】高中数学人教A版选修2-1练习：3.1.1、3.1.2空间向量的数乘运算(含答案解析)
第三章 3.1 3.1.1 3.1.2一、选择题1．空间任意四个点A 、B 、C 、D ，则DA →＋CD →－CB →等于导学号 33780691( ) A.DB → B ．AC → C.AB → D ．BA →[答案] D[解析] 解法一：DA →＋CD →－CB →＝(CD →＋DA →)－CB →＝CA →－CB →＝BA →.解法二：DA →＋CD →－CB →＝DA →＋(CD →－CB →) ＝DA →＋BD →＝BA →.2．已知空间向量AB →、BC →、CD →、AD →，则下列结论正确的是导学号 33780692( ) A.AB →＝BC →＋CD →B ．AB →－DC →＋BC →＝AD →C.AD →＝AB →＋BC →＋DC → D ．BC →＝BD →－DC →[答案] B[解析] 根据向量加减法运算可得B 正确．3．设M 是△ABC 的重心，记a ＝BC →，b ＝CA →，c ＝AB →，则AM →为导学号 33780693( ) A.b －c 2 B ．c －b 2C.b －c 3D ．c －b 3[答案] D[解析] M 为△ABC 重心，则AM →＝23⎣⎡⎦⎤12 AB →＋AC → ＝13(AB →＋AC →)＝13(c －b)． 4．如图所示，已知A 、B 、C 三点不共线，P 为平面ABC 内一定点，O 为平面ABC 外任一点，则下列能表示向量OP →的为导学号 33780694( )A.OA →＋2AB →＋2AC → B ．OA →－3AB →－2AC → C.OA →＋3AB →－2AC → D ．OA →＋2AB →－3AC → [答案] C[解析] 根据A 、B 、C 、P 四点共面的条件可知AP →＝xAB →＋yAC →.由图知x ＝3，y ＝－2，∴OP →＝OA →＋3AB →－2AC →，故选C.5．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，若AE →＝xAA 1→＋y(AB →＋AD →)，则导学号 33780695( )A ．x ＝1，y ＝12B ．x ＝12，y ＝1C ．x ＝1，y ＝13D ．x ＝1，y ＝14[答案] D[解析] AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋14A 1C 1→＝AA 1→＋14(AB →＋AD →)．所以x ＝1，y ＝14.6．如图所示，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN →等于导学号 33780696( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －12c D ．－23a ＋23b －12c[答案] B[解析] MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA →＝－23a ＋12b ＋12c.二、填空题7．化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________.导学号 33780697[答案] 0[解析] 解法一：(利用相反向量的关系转化为加法运算) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0. 解法二：(利用向量的减法运算法则求解) (AB →－CD →)－(AC →－BD →) ＝(AB →－AC →)＋BD →－CD → ＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0.8．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→＝x·AB →＋2y·BC →＋3z·C 1C →，则x ＋y ＋z ＝________.导学号 33780698[答案] 76[解析] 如图所示，有AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋BC →＋(－1)·C 1C →.又∵AC 1→＝x·AB →＋2y·BC →＋3z·C 1C →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝13z ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝12z ＝－13.∴x ＋y ＋z ＝1＋12－13＝76.三、解答题9.在四棱柱ABCD —A′B′C′D′中，底面ABCD 为矩形，化简下列各式.导学号 33780699(1)AB →＋BB′→－D′A′→＋D′D →－BC →；(2)AC′→－AC →＋AD →－AA′→.[解析] (1)原式＝AB →＋AA′→＋AD →－AA′→－AD →＝AB →. (2)原式＝CC′→＋AD →－AA′→＝AD →.10．已知平行六面体ABCD －A′B′C′D′，点E 在AC′上，且AE ︰EC′＝1︰2，点F 、G 分别是B′D′和BD′的中点，求下列各式中的x 、y 、z 的值.导学号 33780700(1)AE →＝x AA′→＋yAB →＋zAD →； (2)BF →＝x BB′→＋yBA →＋zBC →； (3)GF →＝x BB′→＋yBA →＋zBC →. [解析] (1)∵AE ︰EC′＝1︰2， ∴AE →＝13AC′→＝13(AB →＋BC →＋CC′→)＝13(AB →＋AD →＋AA′→) ＝13AA′→＋13AB →＋13AD →， ∴x ＝13，y ＝13，z ＝13.(2)∵F 为B′D′的中点，∴BF →＝12(BB′→＋BD′→)＝12(BB′→＋BA →＋AA′→＋A′D′→)＝12(2BB′→＋BA →＋BC →)＝BB′→＋12BA →＋12BC →， ∴x ＝1，y ＝12，z ＝12.(3)∵G 、F 分别为BD′、B′D′的中点， ∴GF →＝12BB′→，∴x ＝12，y ＝0，z ＝0.一、选择题1．已知正方形ABCD 的边长为1，设AB →＝a 、BC →＝b 、AC →＝c ，则|a ＋b ＋c|等于导学号 33780701( )A ．0B ．3C ．2＋ 2D ．2 2[答案] D[解析] 利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解，|a ＋b ＋c|＝2|AC →|＝2 2. 2．给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量a 、b 满足|a|＝|b|，则a ＝b ；③若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ④空间中任意两个单位向量必相等； ⑤零向量没有方向．其中假命题的个数是导学号 33780702( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] D[解析] ①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆．②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a 与b 的方向不一定相同．③真命题．向量的相等满足递推规律．④假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，所以不一定相等，故④错．⑤假命题．零向量的方向是任意的．3．已知正方体ABCD －A′B′C′D′ ，点E 是A′C′的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →等于导学号 33780703( )A.AA′→＋12AB →＋12AD →B ．12AA′→＋12AB →＋12AD →C.12AA′→＋16AB →＋16AD → D ．13AA′→＋16AB →＋16AD →[答案] D[解析] 由条件AF ＝12EF 知，EF ＝2AF ，∴AE ＝AF ＋EF ＝3AF ，∴AF →＝13AE →＝13(AA′→＋A′E →)＝13(AA′→＋12A′C′→)＝13AA′＋16(A′D′→＋A′B′→)＝13AA′→＋16AD →＋16AB →. 4．对于空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，且有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x 、y 、z ∈R)，则x ＋y ＋z ＝1是四点P 、A 、B 、C 共面的导学号 33780704( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] ∵OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →＝xOA →＋yOB →＋(1－x －y)OC →， ∴OP →－OC →＝x(OA →－OC →)＋y(OB →－OC →)，∴CP →＝xCA →＋yCB →，即CP →、CA →、CB →共面，又有公共点C ， ∴P 、A 、B 、C 共面，反之也成立． 二、填空题5．已知平行六面体ABCD —A′B′C′D′，则下列四式中：导学号 33780705①AB →－CB →＝AC →；②AC′→＝AB →＋B′C′→＋CC′→；③AA′→＝CC′→；④AB →＋BB′→＋BC →＋C′C →＝AC →. 正确的是________． [答案] ①②③[解析] AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，①正确；AB →＋B′C′→＋CC′→＝AB →＋BC →＋CC′→＝AC′→，②正确；③显然正确；∵AB →＋BB′→＋BC →＝AC′→，∴④不正确．6．如图所示，已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且PM ︰MC ＝2︰1，N 为PD 中点，则满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x ＝________，y ＝________，z ＝________.导学号 33780706[答案] －23 －16 16[解析] 在PD 上取一点F ，使PF ︰FD ＝2︰1，连接MF ，则MN →＝MF →＋FN →， ∵FN →＝DN →－DF →＝12DP →－13DP →＝16DP →＝16(AP →－AD →)， MF →＝23CD →＝23BA →＝－23AB →，∴MN →＝－23AB →－16AD →＋16AP →，∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.三、解答题7．已知三个向量a 、b 、c 不共面，并且p ＝a ＋b －c ，q ＝2a －3b －5c ，r ＝－7a ＋18b ＋22c ，向量p 、q 、r 是否共面？导学号 33780707[解析] 假设存在实数λ、μ，使p ＝λq ＋μr ，则a ＋b －c ＝(2λ－7μ)a ＋(－3λ＋18μ)b ＋(－5λ＋22μ)c ，∵a ，b ，c 不共面， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ－7μ＝1－3λ＋18μ＝1－5λ＋22μ＝－1，∴⎩⎨⎧λ＝53μ＝13.即存在实数λ＝53，μ＝13，使p ＝λq ＋μr ，故p 、q 、r 共面．8．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E 、F 、B 三点共线.导学号 33780708[解析] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c. ∵A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，∴A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →，∴A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c. ∴EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c＝25(a －23b －c)． 又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，∴EF →＝25EB →.所以E 、F 、B 三点共线．。
2016-2017学年高中数学人教版选修2-1课件：3.1.2 空间向量的数乘运算
如图．
―→ ―→ ―→ ―→ 1 ―→ ―→ (1)∵ OQ ＝ PQ － PO ＝ PQ － ( PA ＋ PC ) 2 ―→ 1―→ 1―→ ＝ PQ － PC － PA ， 2 2 1 ∴y＝z＝－ . 2 (2)∵O为AC的中点，Q为CD的中点， ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ∴ PA ＋ PC ＝2 PO ， PC ＋ PD ＝2 PQ ， ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ∴ PA ＝2 PO － PC ， PC ＝2 PQ － PD ， ―→ ―→ ―→ ―→ ∴ PA ＝2 PO －2 PQ ＋ PD ， ∴x＝2，y＝－2.
[类题通法] (1)证明向量共面，可以利用共面向量的充要条件，也可直 接利用定义，通过线面平行或直线在平面内进行证明． (2)向量共面向量所在的直线不一定共面，只有这些向量都 过同一点时向量所在的直线才共面(向量的起点、终点共面)．
[活学活用] 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC， CD，DA的中点，求证： (1)E，F，G，H四点共面． (2)BD∥平面EFGH.
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ∴ OA － OM ＝( OM － OB )＋( OM － OC )＝ BM ＋ ―→ CM ， ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ∴ MA ＝ BM ＋ CM ＝－ MB － MC ， ―→ ―→ ―→ ∴向量 MA ， MB ， MC 共面． ―→ ―→ ―→ (2)由(1)知向量 MA ， MB ， MC 共面，而它们有共同的 起点M，且A，B，C三点不共线， ∴点M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内．
―→ 1 ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ 解：(1)原式＝ A1O － ( AB ＋ AD )＝ A1O － AO ＝ A1A . 2 ―→ ―→ ―→ 1 ―→ ―→ ―→ 2―→ (2) EO ＝ AO － AE ＝ ( AB ＋ AD )－ AD － AA1 2 3 1―→ 1―→ 2―→ ＝ AB － AD － AA1 ， 2 2 3 1 1 2 ∴x＝ ，y＝－ ，z＝－ . 2 2 3
人教A版选修2-1第三章第二课时同步练习3.1.2空间向量的数乘运算(一)
§3.1.2 空间向量的数乘运算(一)一、选择题1. 下列说法正确的是（ ）A. a 与非零向量b 共线,b 与c 共线，则a 与c 共线B. 任意两个相等向量不一定共线C. 任意两个共线向量相等D. 若向量a 与b 共线，则a b λ=2．设M 是△ABC 的重心，记a ＝BC →，b ＝CA →，c ＝AB →，a ＋b ＋c ＝0，则AM →为( )A.b －c 2B.c －b 2C.b －c 3D.c －b 33．当|a |＝|b |≠0，且a 、b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是( )A ．共面B ．不共面C ．共线D ．无法确定4．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′ ，点E 是A ′C ′的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →等于( ) A.AA ′→＋12AB →＋12AD → B.12AA ′→＋12AB →＋12AD → C.12AA ′→＋16AB →＋16AD → D.13AA ′→＋16AB →＋16AD → 5．以下命题：①若a ，b 共线，则a 与b 所在直线平行；②若a ，b 所在直线是异面直线，则a 与b 一定不共面；③若a ，b ，c 三向量两两共面，则a ，b ，c 三向量一定也共面；④若a ，b ，c 三向量共面，则由a ，b 所在直线确定的平面与由b ，c 所在直线确定的平面一定平行或重合． 其中正确命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．在三棱锥S —ABC 中，G 为△ABC 的重心，则有( )A.SG →＝12(SA →＋SB →＋SC →)B.SG →＝13(SA →＋SB →＋SC →) C.SG →＝14(SA →＋SB →＋SC →) D.SG →＝SA →＋SB →＋SC →二、填空题7．已知i ，j ，k 是三个不共面向量，已知向量a ＝12i －j ＋k ，b ＝5i －2j －k ，则4a －3b ＝_______________.8．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1A ，B 1B 的中点，O 为BD 1的中点．设AB →＝a ，AA 1→＝b ，AD →＝c ，用a ，b ，c 表示下列向量：(1)D 1N →＝_______________；(2)OM →＝_______________.三、解答题9．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N →与A 1B →、A 1M →共面．10．已知i 、j 、k 是不共面向量，a ＝i －2j ＋k ，b ＝－i ＋3j ＋2k ，c ＝－3i ＋7j.证明这三个向量共面．参考答案一、选择题1. [答案]A2．[答案] D[解析] M 为△ABC 重心，则AM →＝23⎣⎡⎦⎤12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)＝13(c －b )． 3．[答案] A[解析] 本题考查空间两向量的关系．由空间任何两个向量一定为共面向量可知选A.4．[答案] D[解析] 由条件AF ＝12EF 知，EF ＝2AF ， ∴AE ＝AF ＋EF ＝3AF ，∴AF →＝13AE →＝13(AA ′→＋A ′E →)＝13(AA ′→＋12A ′C ′→) ＝13AA ′＋16(A ′D ′→＋A ′B ′→)＝13AA ′→＋16AD →＋16AB →. 5．[答案] A[解析] a ，b 共线是指a ，b 的方向相同或相反，因此a ，b 所在直线可能重合，故①错；由于向量是可以自由平移的，所以空间任意两个向量一定共面，故②错；从正方体一顶点引出的三条棱作为三个向量，虽然是两两共面，但这三个向量不共面，故③错；在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB →，A 1B 1→，DC →三向量共面，然而平面ABCD与平面ABB 1A 1相交，故④错，故选A.6．[答案] B[解析] SG →＝SA →＋AG →＝SA →＋13(AB →＋AC →)＝SA →＋ 13(SB →－SA →)＋13(SC →－SA →)＝13(SA →＋SB →＋SC →)．二、填空题7．[答案] －13i ＋2j ＋7k8．[答案] a －12b －c －12a －12c [解析] (1)D 1N →＝a －12b －c (2)OM →＝－12a －12c 三、解答题9．[解析] A 1B →＝AB →－AA 1→，A 1M →＝A 1D 1→＋D 1M →＝AD →－12AA 1→，AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)． ∴A 1N →＝AN →－AA 1→＝23(AB →＋AD →)－AA 1→ ＝23(AB →－AA 1→)＋23(AD →－12AA 1→) ＝23A 1B →＋23A 1M →. ∴A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．10．[解析] 设a ＝λb ＋μc ，则i －2j ＋k ＝(－λ－3μ)i ＋(3λ＋7μ)j ＋2λk ，∵i ，j ，k 不共面，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －λ－3μ＝13λ＋7μ＝－22λ＝1，∴⎩⎨⎧ λ＝12μ＝－12，故存在实数λ＝12，μ＝－12，使a ＝λb ＋μc ， 故a ，b ，c 共面．。
人教A版高中数学选修2-1习题课件：3.1.2 空间向量的数乘运算
3.1.2 空间向量的数乘运算
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(2)①共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量. ②如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件
是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
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1.向量共线的充要条件及其应用 剖析(1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样,当我们说 a,b共线时,表示a,b的两条有向线段所在的直线既可能是同一条直 线,也可能是平行直线;当我们说a∥b时,也具有同样的意义. (2)“共线”这个概念具有自反性,即a∥a;也具有对称性,即若a∥b, 则b∥a;但不具有传递性,即当a∥b,b∥c时,不一定有a∥c. (3)如果应用上述结论判断a,b所在的直线平行,那么还需说明 a(或b)上有一点不在b(或a)上. (4)用上述结论证明(或判断)三点 A,B,C 共线时,只需证明存在实数 λ,使������������ = ������������������(或������������ = ������������������)即可;也可用“对空间任意一点 O,有 ������������ = ������������������ + (1 − ������)������������”来证明三点共线.
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1.数乘的定义及运算律 (1)实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量,记作λa,称为向量 的数乘运算.
高中数学人教版选修2-1课后训练3-1-2 空间向量的数乘运算 Word版含解析
课后课时精练一、选择题. 下列命题正确的有( )①空间向量就是空间中一条有向线段；②若，，，是不共线的四点，则＝是四边形是平行四边形的充要条件；③＝是向量＝的必要不充分条件；④＝的充要条件是与重合，与重合．. 个. 个. 个 . 个解析：①不正确．有向线段可以表示向量，但不是向量．②正确，∵＝，∴＝且∥.又，，，不共线，∴四边形是平行四边形．反之，在▱中，＝.③正确．＝⇒＝，＝⇒＝.④不正确＝⇒＝，与同向．但是向量可以平移，起点位置不确定．答案：. ，，不共线，对空间任意一点，若＝＋＋，则，，，四点( ). 不共面 . 共面. 不一定共面 . 无法判断是否共面解析：＝＋＋＝＋(＋)＋(＋)＝＋＋，∴－＝＋，∴＝＋.由共面的充要条件知，，，四点共面．答案：．在四面体—中，＝，＝，＝，为的中点，为的中点，则＝( ). －＋. －＋. ＋＋. ＋＋解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋×(＋)＝＋＋.答案：．已知两非零向量，，且与不共线，设＝λ＋μ(λ，μ∈，且λ＋μ≠)，则( )．∥．∥．与、共面．以上三种情况均有可能解析：假设与共线，则＝，所以＝λ＋μ可变为(－λ)＝μ，所以与共线，这与与不共线相矛盾，故假设不成立，即不正确，同理不正确，则也错误．答案：．下列条件能使与、、一定共面的是( ). ＝－－. ＝＋＋. ＋＋＝. ＋＋＋＝解析：在中，＝－－，∴、、共面．∴、、、一定共面，故正确．在、、三个选项中，＝＋＋的式子中，＋＋≠，故全错．。
高中数学人教A版选修2-1课时作业3.1.2 空间向量的数乘运算 Word版含解析
第三章课时作业一、选择题．若、是平面α内的两个向量，则( ). α内任一向量＝λ＋μ(λ，μ∈). 若存在λ，μ∈使λ＋μ＝，则λ＝μ＝. 若、不共线，则空间任一向量＝λ＋μ(λ，μ∈). 若、不共线，则α内任一向量＝λ＋μ(λ，μ∈)解析：当与共线时，项不正确；当与是相反向量，λ＝μ≠时，λ＋μ＝，故项不正确；若与不共线，则平面α内任意向量可以用，表示，对空间向量则不一定，故项不正确，项正确．答案：．已知向量、不共线，设向量＝＋，＝－.若与共线，则实数的值为( ). .. －.解析：∵、不共线，∴≠，且≠.∵与共线，∴存在实数λ，使得＝λ成立，即＋＝λ(－)，整理得(－λ)＋(＋λ)＝.∴(\\(－λ＝＋λ＝))，解得＝λ＝－.故选.答案：．对于空间任意一点和不共线的三点，，有＝＋＋，则( ). 四点，，，必共面. 四点，，，必共面. 四点，，，必共面. 五点，，，，必共面解析：－＝(－)＋(－)∴＝＋∴向量，，共线．又因它们有公共点，且、、三点不共线，∴必有、、、共面．答案：．在下列条件中，使与、、一定共面的是( )＝－－＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝解析：∵＋＋＝，∴＝－－.∴与、、必共面．只有选项符合．答案：二、填空题．在空间四边形中，连接、，若△是正三角形，且为其中心，则＋－－的化简结果为．解析：如图，取的中点，连接，则＝，∴＋－－＝＋－＋＝＋＋＝.答案：．已知和不共线三点，，四点共面且对于空间任一点，都有＝＋＋λ，则λ＝.解析：与不共线三点，，共面，且＝＋＋(，，∈)，则＋＋＝是四点共面的充要条件．答案：－．已知，，三点共线，则对空间任一点，存在三个不为的实数λ，，，使λ＋＋＝，那么λ＋＋的值为．解析：∵，，三点共线，∴存在唯一实数，使＝，即－＝(－)．∴(－)＋－＝.又λ＋＋＝，令λ＝－，＝，＝－，则λ＋＋＝.答案：三、解答题．如右图，在空间四边形中，的中点为，的中点为，请判断与＋是否共线．解：设的中点为，连接、.∵、分别为、的中点，∴＝，＝.∴＝＋＝(＋)，即与＋共线．．如图，正方体－中，、分别为和的中点．证明：向量、、是共面向量．。
【学案导学】高中数学(人教版A版选修2-1)配套练习：3.1.2空间向量的数乘运算(含答案解析)
3.1.2 空间向量的数乘运算课时目标 1.掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线(平行)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.2.能理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题．1．空间向量的数乘运算(1)向量的数乘：实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作________，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向________；当λ<0时，λa与向量a方向________；λa的长度是a的长度的________倍．(2)空间向量的数乘运算满足分配律与结合律．分配律：______________；结合律：______________.2．共线向量(1)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相________或________，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是________________．(3)方向向量：如图l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使____________，其中向量a叫做直线l的方向向量．3．共面向量(1)共面向量：平行于________________的向量，叫做共面向量．(2)如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使__________．空间内一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使______________．对空间任意一点O，点P在平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使________________．一、选择题1．下列命题中正确的是( )A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面C ．零向量没有确定的方向D ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb2．满足下列条件，能说明空间不重合的A 、B 、C 三点共线的是( )A. AB →＋BC →＝AC →B. AB →－BC →＝AC →C.AB →＝BC →D.|AB →|＝|BC →|3.如图，空间四边形OABC 中，M 、N 分别是OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG=2GN ，则OG =xOA →＋y OB ＋zOC →，则( )A ．x ＝13，y ＝13，z ＝13B ．x ＝13，y ＝13，z ＝16C ．x ＝16，y ＝16，z ＝13D ．x ＝16，y ＝13，z ＝134．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是( )A. OM ＝2OA →－OB －OC →B. OM ＝15OA →＋13OB ＋12OC → C. MA ＋MB →＋MC →＝0D. OM ＋OA →＋OB ＋OC →＝05.在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A ，D 1C →，A 1C 1→是( )A ．有相同起点的向量B ．等长向量C ．共面向量D ．不共面向量6．下列命题中是真命题的是( )A ．分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B ．若|a|＝|b|，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反C.若向量AB →,CD →，满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →D.若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →∥CD →二、填空题7.在空间四边形ABCD 中，连结AC 、BD,若△BCD 是正三角形，且E 为其中心，则AB→＋12BC →－32DE →－AD →的化简结果为________． 8.在正四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB ＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝______________(用a ，b ，c 表示)．9.已知P 和不共线三点A,B,C,四点共面且对于空间任意一点O ，都有OP ＝2OA →＝2OA→＋OB ＋λOC →，则λ＝________.三、解答题10．已知ABCD —A′B′C′D′是平行六面体．(1)化简12AA′→＋BC →＋23AB →； (2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BC C′ B′对角线B C′上的34分点，设MN ＝αAB →＋βAD →＋γAA′→，试求α，β，γ的值．11．设A ，B ，C 及A 1，B 1，C 1分别是异面直线l 1，l 2上的三点，而M ，N ，P ，Q 分别是线段AA 1，BA 1，BB 1，CC 1的中点．求证：M ，N ，P ，Q 四点共面．能力提升12.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B ＝a ， A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c 13.如图所示，已知点O 是平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1 对交线的交点，点P 是空间任意一点.试探求PA ＋PB →＋PC →＋PD →＋PA 1→＋PB 1→＋PC 1→＋PD 1→与PO →的关系．1．向量共线的充要条件及其应用(1)利用向量共线判定a，b所在的直线平行．(2)利用向量共线可以证明三点共线．2．利用共面向量的充要条件可以证明空间四点共面．3．1.2 空间向量的数乘运算知识梳理1．(1)λa 相同 相反 |λ| (2)λ(a ＋b)＝λa ＋λb λ(μa)＝(λμ)a2．(1)平行 重合 (2)存在实数λ，使a ＝λb(3) OP →＝OA →＋ta3．(1)同一个平面(2)p ＝xa ＋yb AP →＝xAB →＋yAC →OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →作业设计1．C [A 中，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；B 中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；D 中，若b ＝0，a≠0，则不存在λ.]2．C [由AB →＝BC 知AB →与BC →共线，又因有一共同的点B ，故A 、B 、C 三点共线．] 3．D [∵OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋MG →，① OG →＝OC →＋CN →＋NG →，②OG →＝OB →＋BN →＋NG →，③又BN →＝－CN →，MG →＝－2NG →，∴①＋②＋③，得3OG →＝12OA →＋OB →＋OC →， 即x ＝16，y ＝13，z ＝13.] 4．C [∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴MA →＝－MB →－MC →.∴M 与A 、B 、C 必共面．只有选项C 符合．]5．C [如图所示，因为D 1C →－D 1A →＝AC →，而AC →＝A 1C 1→，∴D 1C →－D 1A →＝A 1C 1→，即D 1C →＝D 1A →＋A 1C 1→，而D 1A →与A 1C 1→不共线，所以D 1C →，D 1A →，A 1C 1→三向量共面．]6．D [A 错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面． B 错．因为|a|＝|b|仅表示a 与b 的模相等，与方向无关．C 错．因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有AB →>CD →这种写法．D 对．∵AB →＋CD →＝0，∴AB →＝－CD →，∴AB →与CD →共线，故AB →∥CD →正确．]7．0解析如图，取BC 的中点F ，连结DF ，则DF →＝32DE →， ∴AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝AB →＋BF →－DF →＋DA →＝AF →＋FD →＋DA →＝0. 8.12a ＋14b ＋14c 解析如图，OE →＝12(OA →＋OD →) ＝12OA →＋12×12(OB →＋OC →) ＝12a ＋14b ＋14c. 9．－2解析 P 与不共线三点A ，B ，C 共面，且OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC → (x ，y ，z ∈R)，则x ＋y ＋z ＝1是四点共面的充要条件．10．解 (1)方法一 取AA′的中点为E ，则12AA'→＝EA'→.又BC →＝A'D'→，AB →＝D'C'→，取F 为D′C′的一个三等分点(D′F ＝23D′C′)， 则D'F →＝23AB →. ∴12AA'→＋BC →＋23AB → ＝EA'→＋A'D'→＋D'F →＝EF →.方法二 取AB 的三等分点P 使得PB →＝23AB →， 取CC′的中点Q ，则12AA'→＋BC →＋23AB → ＝12CC'→＋BC →＋23AB →＝CQ →＋BC →＋PB → ＝PB →＋BC →＋CQ →＝PQ →.(2)连结BD ，则M 为BD 的中点，MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC'→ ＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC'→) ＝12(－AD →＋AB →)＋34(AD →＋AA'→) ＝12AB →＋14AD →＋34AA'→. ∴α＝12，β＝14，γ＝34. 11．证明 ∵NM →＝12BA →，NP →＝12A 1B 1→， ∴BA →＝2NM →，A 1B 1→＝2NP →.又∵PQ →＝PB →＋BC →＋CQ →＝12BB 1→＋BC →＋12(CB 1→＋B 1C 1→) ＝12(B 1C 1→＋CB →)＋BC →＋12(CB 1→＋B 1C 1→)＝12(BC →＋B 1C 1→)，① 又A ，B ，C 及A 1，B 1，C 1分别共线，∴BC →＝λBA →＝2λNM →，B 1C 1→＝ωA 1B 1→＝2ωNP →.代入①式，得PQ →＝12(2λNM →＋2ωNP →) ＝λNM →＋ωNP →.∴PQ →，NM →，NP →共面．∴M ，N ，P ，Q 四点共面．12．A [B 1M →＝B 1B →＋BM →＝A 1A →＋12BD → ＝c ＋12(BA →＋BC →)＝－12A 1B 1→＋12A 1D 1→＋c ＝－12a ＋12b ＋c.] 13．解设E 、E 1分别是平行六面体的面ABCD 与A 1B 1C 1D 1的中心，于是有PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝(PA →＋PC →)＋(PB →＋PD →)＝2PE →＋2PE →＝4PE →，同理可证：PA 1→＋PB 1→＋PC 1→＋PD 1→＝4PE 1→，又因为平行六面体对角线的交点O 是EE 1的中点，所以PE →＋PE 1＝2PO →，所以PA →＋PB →＋PC →＋PD →＋PA 1→＋PB 1→＋PC 1→＋PD 1→＝4PE →＋4PE 1→＝4(PE →＋PE 1→)＝8PO →.。
选修2-1 第三章 3.1.2 空间向量的数乘运算
→ → → → → 又∵MN＝MC＋CE＋EB＋BN 1 → → → 1→ ＝－2CA＋CE－AF－2FB， 1→ → 1→ 1→ → → 1→ ∴2CA＋AF＋2FB＝－2CA＋CE－AF－2FB. → → → → → → → ∴CE＝CA＋2AF＋FB＝2(MA＋AF＋FN)． → → → → → → ∴CE＝2MN，∴CE∥MN，即CE与MN共线．
新知导学
6．a∥α是指a所在的直线____________ 在平面α内 或_____________. 平行于平面α 同一个平面 的向量叫做共面向量，共面向量所在 平行于____________ 异面 ． 的直线可能相交、平行或________
7.空间任意两个向量总是共面的， 但空间任 意三个向量就不一定共面了．例如，图中的长 → → → 方体，向量AB、AC、AD，无论怎样平移都不 能使它们在同一平面内．
指明两向量有公共点，同理证明二直线平行方法类似．
如右图，已知四边形 ABCD 是空间 四边形， E、 H 分别是边 AB、 AD 的中点， → F、G 分别是边 CB、CD 上的点，且CF＝ 2→ → 2 → 3CB，CG＝3CD. 求证：四边形 EFGH 是梯形．
[证明] ∵E、H 分别是 AB、AD 的中点， → 1→ → 1 → ∴AE＝2AB，AH＝2AD. → 2→ → 2 → ∵CF＝3CB，CG＝3CD， → 3→ → 3 → ∴CB＝2CF，CD＝2CG，
共线向量 温故知新 回顾复习平面向量中数乘向量与共线向量的概念与定理， 运算律． 思维导航 1 ．参照平面向量思考，空间向量中，数乘向量的定义， 运算律，共线向量定理还成立吗？
高中数学选修2-1精品学案：3.1.2 空间向量的数乘运算
3.1.2 空间向量的数乘运算学习目标 1.掌握空间向量的数乘运算.2.理解共线向量定理及推论.3.理解共面向量定理及推论.知识点1 空间向量的数乘运算(1)向量的数乘：与平面向量一样，实数λ与空间向量a 的乘积仍然是一个向量，记作λa ，称为向量的数乘运算.当λ>0时，λa 与向量a 方向相同；当λ<0时，λa 与向量a 方向相反；λa 的长度是a 的长度的|λ|倍. (2)空间向量的数乘运算满足分配律与结合律： 分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb ，结合律：λ(μa )＝(λμ)a . 【预习评价】3(2a －b )＋2(－a －3b )＝________. [解析] 原式＝6a －3b －2a －6b ＝4a －9b . [答案] 4a －9b 知识点2 共线向量 (1)共线向量定义如果表示空间向量a ，b 的有向线段所在的直线互相平行或重合，则向量a ，b 叫做共线向量或平行向量，记作a ∥b . (2)两向量共线的充要条件对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在唯一的实数λ，使a ＝λb .(3)共线向量的推论如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对于空间任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP→＝OA →＋t a ，①.其中向量a 叫做直线l 的方向向量.在l 上取AB →＝a ，则①式可化为OP →＝OA →＋tAB →，②.此推论可以用来判断任意三点共线.【预习评价】若向量2a －b 和3a ＋m b 共线，则实数m ＝________.[解析] 因为2a －b 和3a ＋m b 共线，故存在实数λ，使得2a －b ＝λ(3a ＋m b )，故3λ＝2，且λm ＝－1， 解得m ＝－32. [答案] －32 知识点3 共面向量 (1)共面向量的概念平行于同一个平面的向量，叫做共面向量. (2)三个向量共面的充要条件如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b . 【预习评价】已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外一点O 满足OM→＝13OA →＋13OB →＋13OC →，试判断MA→，MB →，MC →三个向量是否共面.提示 ∵OA→＋OB →＋OC →＝3OM →，∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)＝BM →＋CM→，即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →，∴向量MA →，MB →，MC →共面.题型一 空间向量的数乘运算【例1】 如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→.11∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→ ＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b . (2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC → ＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c . (3)∵M 是AA 1的中点， ∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP → ＝－12a ＋(a ＋c ＋12b )＝12a ＋12b ＋c .又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→ ＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ， ∴MP →＋NC 1→＝(12a ＋12b ＋c )＋(a ＋12c ) ＝32a ＋12b ＋32c .规律方法 用已知向量表示未知向量，一定要结合图形进行求解.如果要表示的向量与已知向量起点相同，一般用加法，否则用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，则用数乘.【训练1】 如图所示，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用a ，b ，c 表示以下向量：(1)AP→；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →.∴AP→＝12(AC →＋AA ′→)＝12(AB →＋AD →＋AA ′→) ＝12(a ＋b ＋c ).(2)∵M 是CD ′的中点，∴AM→＝12(AC →＋AD ′→)＝12(AB →＋2AD →＋AA ′→) ＝12(a ＋2b ＋c ). (3)∵N 是C ′D ′的中点， ∴AN→＝12(AC ′→＋AD ′→) ＝12[(AB →＋AD →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)] ＝12(AB →＋2AD →＋2AA ′→)＝12a ＋b ＋c . (4)∵CQ ∶QA ′＝4∶1，∴AQ→＝AC →＋CQ →＝AC →＋45(AA ′→－AC →) ＝15AC →＋45AA ′→＝15AB →＋15AD →＋45AA ′→ ＝15a ＋15b ＋45c . 题型二 向量共线问题【例2】 如图，四边形ABCD 和ABEF 都是平行四边形，且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，则CE→与MN →是否共线？解 方法一 ∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD 和ABEF 都是平行四边形，∴MN→＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.① 又∵MN→＝MC →＋CE →＋EB →＋BN → ＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，② ①＋②得2MN→＝CE →，∴CE→∥MN →，即CE →与MN →共线. 方法二 ∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD 和ABEF 都是平行四边形，∴MN→＝AN →－AM →＝12(AB →＋AF →)－12AC → ＝12(AB →＋AF →)－12(AB →＋AD →) ＝12(AF →－AD →)＝12(BE →－BC →)＝12CE →. ∴MN→∥CE →，即MN →与CE →共线. 规律方法 判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a ＝λb 成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形通过化简，计算得出a ＝λb ，从而得到a ∥b .【训练2】 设两非零向量e 1，e 2不共线，AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e1－e 2).试问：A ，B ，D 是否共线，请说明理由. 解 ∵BD →＝BC →＋CD →＝(2e 1＋8e 2)＋3(e 1－e 2) ＝5(e 1＋e 2)， ∴BD→＝5AB →， 又∵B 为两向量的公共点， ∴A ，B ，D 三点共线. 题型三 向量共面问题【例3】 如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE .求证：向量MN →，CD→，DE →共面.证明 因为M 在BD 上，且BM ＝13BD ， 所以MB→＝13DB →＝13DA →＋13AB →. 同理AN→＝13AD →＋13DE →.所以MN→＝MB →＋BA →＋AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13DA →＋13AB →＋BA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13AD →＋13DE → ＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →.又CD→与DE →不共线，根据向量共面的充要条件可知MN →，CD →，DE →共面. 规律方法 利用向量法证明四点共面，实质上是证明的向量共面问题，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系.【训练3】 已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外的一点O ，空间中点M 满足OM→＝13OA →＋13OB →＋13OC →. (1)判断MA→，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 所在的平面内. 解 (1)∵OM→＝13OA →＋13OB →＋13OC →，∴OA→＋OB →＋OC →＝3OM →，∴OA→－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)， ∴MA→＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →，∴向量MA →，MB →，MC →共面.(2)由(1)知向量MA →，MB →，MC →共面，三个向量又有公共点M ，∴M ，A ，B ，C 共面，即点M 在平面ABC 所在的平面内.课堂达标1.设a ，b 是两个不共线的向量，λ，μ∈R ，若λa ＋μb ＝0，则( ) A.a ＝b ＝0B.λ＝μ＝0C.λ＝0，b ＝0D.μ＝0，a ＝0 [解析] ∵a ，b 是两个不共线的向量， ∴a ≠0，b ≠0，∴只有B 正确. [答案] B2.设空间中四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝OA →＋tAB →，其中0<t <1，则有( )A.点P 在线段AB 上B.点P 在线段AB 的延长线上C.点P 在线段BA 的延长线上D.点P 不一定在直线AB 上[解析] 由OP →＝OA →＋tAB →得OP →－OA →＝tAB →，即AP→＝tAB →. ∵0<t <1，∴点P 在线段AB 上. [答案] A3.如图，在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN→等于( )A.12a －23b ＋12cB.－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －23cD.23a ＋23b －12c [解析] MN→＝MA →＋AB →＋BN →＝13a ＋(b －a )＋12(c －b ) ＝－23a ＋12b ＋12c . [答案] B4.下列命题中，正确命题的个数为( ) ①若a ∥b ，则a 与b 方向相同或相反； ②若AB→＝CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线； ③若a ，b 不共线，则空间任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R ). A.0 B.1 C.2 D.3[解析] 当a ，b 中有零向量时，①不正确；AB→＝CD →时，A ，B ，C ，D 四点共面，不一定共线，故②不正确；由p ，a ，b 共面的充要条件知，当p ，a ，b 共面时才满足p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，故③不正确. [答案] A5.设M 是△ABC 的重心，记BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，且a ＋b ＋c ＝0，则AM →＝________.[解析] 如图，AM→＝23AD →＝2 3×12(AB→＋AC→)＝13(c－b).[答案]13(c－b)课堂小结空间向量的数乘运算和平面向量完全相同；利用数乘运算可判定两个向量共线，三个向量共面问题，在几何中可以解决一些点共线、点共面、线面平行问题.。
2016-2017年数学·人教A版选修2-1课件：3.1.2空间向量的数乘运算
_x_A_→_B_＋__y_A→_C__，
第十页，编辑于星期五：十七点 四十八分。
或对空间任意
推论
一点 O 来说， 若在 l 上取A→B＝a，则 有O→P＝O→A＋ 式子O→P＝O→A＋ta 可化 xA→B＋yA→C 为O→P＝O→A＋tA→B
第十一页，编辑于星期五：十七点 四十八分。
温馨提示 1．向量共线定理可分解为以下两个命题： ①a∥b(b≠0)⇒存在唯一实数 λ，使得 a＝λb；②存在唯一 实数 λ，使得 a＝λb(b≠0)，则 a∥b.
如果 l 为经过点 A 且平行于
已知非零向量 a 的直线，那
么对于空间任一点 O，点 P 如图，空间一点 P 位 推
在直线 l 上的充要条件是存 于平面 ABC 内的充 论
在实数 t，使O→P＝O→A＋ta， 要条件是存在有序实
其中 a 叫做直线 l 的方向向 数对(x，y)，使A→P＝
量，如图所示.
第十二页，编辑于星期五：十七点 四十八分。
2．若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任意一 点 O 和不共线的三点 A，B，C，O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C， 且 x＋y＋z＝1 成立，则 P、A、B、C 四点共面，这一结 论常用来判定空间中四个点共面．
第十三页，编辑于星期五：十七点 四十八分。
一点 C，满足 2A→C＋C→B＝0，则O→C等于( )
A．2O→A－O→B
B．－O→A＋2O→B
C.23O→A－13O→B
D．－13O→A＋23O→B
解析：由已知得 2(O→C－O→A)＋(O→B－O→C)＝0，
所以O→C＝2O→A－O→B.
答案：A4. 以下命题：①两个共线向量是指在同一直线上的 两个向量；②共线的两个向量互相平行；③共面的三个 向量是指在同一平面内的三个向量；④共面的三个向量 是指平行于同一平面的三个向量．共中正确命题的序号 是________．
人教版高中数学选修2-1练习：3.1.2空间向量的数乘运算
第三章3.1课时作业25一、选择题1．若a、b是平面α内的两个向量，则()A.α内任一直量 p＝λa＋μb(λ，μ∈ R)B.若存在λ，μ∈ R 使λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0C. 若a、b不共线，则空间任一直量p＝λa＋μb(λ，μ∈ R )D.若 a、 b 不共线，则α内任一直量 p＝λa＋μb(λ，μ∈R )分析：当 a 与 b 共线时，A项不正确；当 a 与 b 是相反向量，λ＝μ≠0时，λa＋μb＝0，故 B 项不正确；若 a 与 b 不共线，则平面α内随意愿量能够用a，b 表示，对空间向量则不必定，故 C 项不正确， D 项正确．答案： D2．已知向量c、d 不共线，设向量a＝k c＋ d， b＝c－k2d.若 a 与 b 共线，则实数k 的值为()A.0B.1C. －1D.2分析：∵ c、 d 不共线，∴ c≠0，且 d≠0∵.a 与 b 共线，2∴存在实数λ，使得a＝λb建立，即k c＋d＝λ(c－ k d)，2k－λ＝ 0整理得 (k－λ)c＋ (1＋λk，解得 k＝λ＝－ 1.应选 C.) d＝ 0.∴2＝ 01＋λk答案： C3．关于空间随意一点O 和不共线的三点A，B，C 有A.四点 O， A， B， C 必共面B.四点 P，A， B， C 必共面C.四点 O， P，B， C 必共面D.五点 O， P， A， B， C 必共面→ →→→→→分析： OP－ OA＝ 2(OB－ OP)＋ 3(OC－ OP)→→→→6OP＝ OA＋2OB＋ 3OC，则 ()→→→∴ AP＝ 2PB＋ 3PC→→ →P，且 A、B、 C 三点不共线，∴必有P、∴向量 AP， PB，PC 共线．又因它们有公共点A、 B、C 共面．答案： B4．在以下条件中，使M 与 A、 B、 C 必定共面的是 ()→＝→－→－→A. OM 2OA OB OC→1→1→1→B.OM＝ 5OA＋ 3OB＋ 2OC→→→C.MA＋ MB ＋MC ＝ 0→→→→D.OM＋ OA＋OB＋ OC＝ 0→→→→→→分析：∵ MA ＋ MB＋ MC ＝0，∴ MA＝－ MB－ MC .∴ M 与 A、 B、C 必共面．只有选项 C 切合．答案： C二、填空题5．在空间四边形ABCD 中，连结 AC、BD ，若△ BCD是正三角形，且 E 为此中心，则→1→3→→AB＋ 2BC－2DE－ AD 的化简结果为__________．分析：如图，取BC的中点，连结F→ 3 →DF ，则 DF ＝ 2DE，→1→3→→→→→→→→→∴AB＋2BC－2DE －AD＝ AB ＋BF－ DF ＋ DA ＝ AF＋ FD ＋ DA ＝ 0.答案： 06．已知 P 和不共线三点A，B，C 四点共面且关于空间任一点→→→O，都有 OP＝ 2OA＋ OB＋→λOC，则λ＝ ________.分析： P 与不共线三点→→→→A，B，C 共面，且 OP＝ xOA＋ yOB＋ zOC(x， y， z∈R )，则 x＋ y＋z＝ 1 是四点共面的充要条件．答案：－27．已知 A， B， C 三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0 的实数λ，m， n，使→→→λOA＋ mOB ＋ nOC＝ 0，那么λ＋ m＋ n 的值为 __________．分析：∵ A，B， C 三点共线，→→∴存在独一实数 k，使 AB＝ kAC，→→→→即 OB－ OA＝k(OC－OA) ．∴ (k－→→→1)OA＋ OB－ kOC＝0.→→→又λOA ＋mOB ＋ nOC＝ 0，令λ＝ k－ 1， m＝ 1， n＝－ k，则λ＋ m＋ n＝ 0.答案： 0三、解答题→ → AD →＋BC 能否共线．解：设 AC 的中点为G，连结 EG、 FG .∵ E、 F 分别为 AB、 CD 的中点，→1→→1→∴ GF＝2AD ，EG＝2BC.→→→1→ →∴ EF＝ EG＋ GF ＝ ( AD＋BC )，2→→→即 EF与 AD ＋ BC共线．→9．如图，正方体 ABCD －A1B1C1D1中，E、F 分别为 BB1和 A1D1的中点．证明：向量 A1B、→→B1C、 EF 是共面向量．→→ →→证明：法一： EF＝ EB＋ BA1＋ A1F1→→1→＝ B1B－ A1B＋A1D 1221→→→＝ (B1B＋ BC) －A1B21→→＝ B1C－ A1B.2由向量共面的充要条件知，→→ →A1B、B1C、 EF 是共面向量．法二：连结A1D、 BD，取 A1D 中点 G，连结 FG 、BG，1则有 FG 綊 DD1，1BE 綊2DD 1，∴FG 綊 BE.∴四边形 BEFG 为平行四边形．∴EF∥ BG.∴EF∥平面 A1BD.同理， B1C∥A1D ，∴ B1C∥平面 A1BD，→→→∴ A1B、 B1C、 EF都与平面 A1BD 平行．→→→∴ A1B、 B1C、 EF共面．。
人教版A版高中数学高二版选修2-1练习 空间向量的数乘运算
第三章 空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.2 空间向量的数乘运算A 级 基础巩固一、选择题1．下列命题中正确的是( )A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线．B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面．C ．零向量没有确定的方向．D ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb .答案：C2．已知两非零向量e 1，e 2，且e 1与e 2不共线，设a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R ，且λ2＋μ2≠0)，则( )A ．a ∥e 1B ．a ∥e 2C ．a 与e 1、e 2共面D ．以上三种情况皆有可能答案：C3．对于空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C 且有OP →＝xOA→＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R)，则x ＋y ＋z ＝1是四点P 、A 、B 、C 共面的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C4．下列命题中，不正确的命题个数为( )①AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0；②|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件；③若a 、b 共面，则a 、b 所在的直线在同一平面内；④若OP →＝12OA →＋13OB →，则P 、A 、B 三点共线． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：C5．已知四面体ABCD ，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AC的中点，则12(AB →＋BC →＋CE →＋ED →)化简的结果为( ) A.BF → B.EH → C.HG → D.FG →解析：12(AB →＋BC →＋CE →＋ED →)＝12(AC →＋CE →＋ED →)＝12(AE →＋ED →)＝12×2HG →＝HG →. 答案：C二、填空题6．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则A 、B 、C 、D 中一定共线的三点是________．解析：BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →所以A 、B 、D 三点共线．答案：A 、B 、D7．如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，若AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD →)，则x ＝________，y ＝________．答案：1 148．已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．答案：0三、解答题9．已知M ，G 分别是空间四边形ABCD 的两边BC ，CD 的中点，化简下列各式：(1)AB →＋BC →＋CD →；(2)AB →＋12(BD →＋BC →)； (3)AG →－12(AB →＋AC →)． 解：(1)如图所示，AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.(2)取BD 的中点H ，连接MG ，GH .所以BMGH 为平行四边形，所以12(BD →＋BC →)＝BH →＋BM →＝BG →， 从而AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋BG →＝AG →. (3)分别取AB ，AC 的中点S ，N ，连接SM ，AM ，MN ，则ASMN 为平行四边形，所以12(AB →＋AC →)＝AS →＋AN →＝AM →， 所以AG →－12(AB →＋AC →)＝AG →－AM →＝MG →. 10．如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点．求证：(1)E 、C 、D 1、F 四点共面；(2)CE 、D 1F 、DA 三线共点．证明：(1)如图，连接CD 1、EF 、A 1B ，所以EF ∥A 1B 且EF ＝12A 1B . 又因为A 1D 1∥BC ，所以四边形A 1BCD 1是平行四边形．所以A 1B ∥CD 1，所以EF ∥CD 1.所以EF 与CD 1确定一个平面α.所以E 、F 、C 、D 1∈α，即E 、C 、D 1、F 四点共面．(2)由(1)知EF ∥CD 1，且EF ＝12CD 1， 所以四边形CD 1FE 是梯形，所以CE 与D 1F 必相交，设交点为P ，则P ∈CE ⊂平面ABCD ，且P ∈D 1F ⊂平面A 1ADD 1.所以P ∈平面ABCD 且P ∈平面A 1ADD 1.又平面ABCD ∩平面A 1ADD 1＝AD ，所以P ∈AD ，所以CE 、D 1F 、DA 三线共点．B 级 能力提升1．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为( ) A ．1 B ．0C ．3 D.13答案：D 2．如图所示，在四面体O -ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．解析：OE →＝OA →＋AE →＝a ＋12AD →＝a ＋12(OD →－OA →)＝12a ＋12OD →＝12a ＋12×12(OB →＋OC →)＝12a ＋14b ＋14c . 答案：12a ＋14b ＋14c 3．如图所示，四边形ABCD 和四边形ABEF 都是平行四边形，且不共面，M 、N 分别是AC 、BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．解：因为M 、N 分别是AC 、BF 的中点，而四边形ABCD 、ABEF 都是平行四边形，所以MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →. 又因为MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，所以12CA →＋AF →＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →. 所以CE →＝CA →＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →)． 所以CE →＝2MN →.所以CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．。
人教A版高中数学高二选修2-1学案 空间向量的数乘运算
3.1.2 空间向量的数乘运算【使用说明及学法指导】1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；2．小组合作，动手实践。
【学习目标】1.掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2.理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3.能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．【重点】能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题【难点】理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；一、自主学习1.预习教材P86~ P87, 解决下列问题复习1：化简：⑴ 5（32-）；b a-）+4（23a b⑵()()-+--+-.a b c a b c63复习2：在平面上有两个向量,a b，若b是非零向量，则a与b平行的充要条件是2.导学提纲1.空间任意两个向量有____种位置关系？如何判定它们的位置关系？任意两个向量的夹角的范围是______________?2. 如果表示空间向量的所在的直线互相或，则这些向量叫共线向量，也叫_____________3对空间任意两个向量,a b（0a b的充要条件是存在唯一实数λ，使得______,为何要求b≠），//b≠？3.如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是4.对空间两个不共线向量,a b，向量p与向量,a b共面的充要条件是存在，使得.5.空间一点P 与不在同一直线上的三点A,B,C 共面的充要条件是： ⑴ 存在 ，使⑵ 对空间任意一点O ，有6.向量共面的充要条件的理解（1）MP ＝xMA →＋yMB →.满足这个关系式的点P 都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．(2)共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，即任意一个空间平面可以由空间一点及两个不共线的向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又可以把已知共面条件转化为向量式，以便于应用向量这一工具．另外，在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x ，y ，z )使得对于空间任意一点O ，有OB ＝(1－t )OA →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1成立，则P 、A 、B 、C 四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据．二、典型例题例1.1. 下列说法正确的是（ ）A.a 与非零向量b 共线,b 与c 共线，则a 与c 共线B. 任意两个相等向量不一定共线C. 任意两个共线向量相等D. 若向量a 与b 共线，则a b λ=2. 正方体''''ABCD A B C D -中，点E 是上底面''''A B C D 的中心，若''BB x AD y AB z AA =++,则x ＝ ，y ＝ ，z ＝ .3. 若点P 是线段AB 的中点，点O 在直线AB 外，则OP = OA + OB .4. 平行六面体''''ABCD A B C D -, O 为A 1C 与B 1D 的交点,则'1()3AB AD AA ++= AO5. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，M 是AC 与BD 交点，若',,AB a AD b AA c ===，则与'B M 相等的向量是（ ）A. 1122a b c -++； B. 1122a b c ++；C.1122a b c -+； D. 1122a b c --+. 6. 在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为 （ ）.A ．0 B.1 C. 2 D. 37.下列等式中，使M ,A ,B ,C 四点共面的个数是（ ） ①;OM OA OB OC =--②111;532OM OA OB OC =++③0;MA MB MC ++= ④0OM OA OB OC +++=.A. 1B. 2C. 3D. 4例2. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点M 是棱AA '的中点，点G 在对角线A 'C 上，且CG:GA '=2:1,设CD =a ，',CB b CC c ==，试用向量,,a b c 表示向量',,,CA CA CM CG .变式：已知长方体''''ABCD A B C D -，M 是对角线AC '中点，化简下列表达式： ⑴ 'AA CB - ; ⑵ '''''AB B C C D ++ ⑶ '111222AD AB A A +-例3 如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC 外一点O 作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,,F,G,H,并且使,OE OF OG OHk OA OB OC OD==== 求证：E,F,G,H 四点共面.变式：已知空间四边形ABCD 的四个顶点A,B,C,D 不共面，E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,AD 的中点，求证：E,F,G,H 四点共面.三、变式训练：课本第89页练习1-3 四、课堂小结1．知识：2．数学思想、方法：3．能力：五、课后巩固1. 若324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++，ABCDFE G H0a ≠，若//a b ，求实数,x y .2.已知两个非零向量21,e e 不共线,12,AB e e =+ 121228,33AC e e AD e e =+=-. 求证：,,,A B C D 共面．。
高中数学人教A版选修2-1练习课件：3.1.2 空间向量的数乘运算
第六页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
知识点二
向量共线问题
2.已知向量 a，b，且A→B＝a＋2b，B→C＝－5a＋6b，C→D＝
7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D
B．A，B，C
C．B，C，D
D．A，C，D
解析：B→C＋C→D＝B→D＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b＝
第三页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
课堂对点训练
第四页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
知识点一
空间向量的数乘运算
1．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，下列各式中运算的结
果为向量A→C1的共有( )
①(A→B＋B→C)＋C→C1；②(A→A1＋A→1D1)＋D→1C1；
③(A→B＋B→B1)＋B→1C1；④(A→A1＋A→1B1)＋B→1C1.
3．1 空间向量及其运算
课时作业25 空间向量的数乘运算
第三章 空间向量与立体几何
第一页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
1 课堂对点训练
2 课后提升训练
第二页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
[目标导航] 1．掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共 线(平行)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法． 2．能理解共线向量定理和共面向量定理及其推论， 并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题．
1＝6λ k＝6λ
，则 k＝1.
第九页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
知识点三
向量共面问题
4.已知 A，B，C 三点不共线，平面 ABC 外一点 M 满足O→M ＝13O→A＋13O→B＋31O→C.
(1)判断M→A，M→B，M→C三个向量是否共面； (2)判断 M 是否在平面 ABC 内．
人教课标版高中数学选修2-1基础训练：空间向量的数乘运算
3.1.2空间向量的数乘运算一、选择题(每小题5分，共20分)1．对于空间中任意三个向量a ，b,2a －b ，它们一定是( )A ．共面向量B ．共线向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面向量2．当|a |＝|b |≠0，且a ，b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是( )A ．共面B ．不共面C ．共线D ．无法确定3．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ， OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为( )A ．3B ．0 C.13 D ．14．已知两非零向量e 1，e 2不共线，设a ＝λe 1＋μe 2(λ、μ∈R 且λ2＋μ2≠0)，则( )A ．a ∥e 1B ．a ∥e 2C ．a 与e 1，e 2共面D ．以上三种情况均有可能二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知O 是空间任一点，A 、B 、C 、D 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且OA→＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →，则2x ＋3y ＋4z ＝________. 6．已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA→＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________． 三、解答题(每小题10分，共20分)7.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，M 、N 分别为BC 、PD 的中点，求满足M N →＝xAB→＋yAD →＋zAP →的实数x ，y ，z 的值．8.如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AD 1中点，N 是BD 中点，判断MN →与D 1C →是否共线？参考答案1、A2、A3、C4、D5、－16、07、x ＝－1，y ＝0，z ＝12.8、解析： ∵M ，N 分别是AD 1，BD 的中点，四边形ABCD 为平行四边形，连结AC ，则N 为AC 的中点．∴MN →＝A N →－AM →＝12A C →－12AD 1→＝12(A C →－AD 1→)＝12D 1C →∴MN →与D 1C →共线．9、解析： 连结BD ，BG ，∵AB →＝PB →－P A →且AB →＝DC →，∴DC →＝PB →－P A →.∵PC →＝PD →＋DC →，∴PC →＝PD →＋PB →－P A →＝－P A →＋PB→＋PD →. ∵PH HC ＝12，∵PH →＝13PC →＝13(－P A →＋PB →＋PD →)＝－13P A →＋13PB →＋13 PD →.又∵AH →＝PH →－P A →，∴AH →＝－43P A →＋13PB →＋13PD →.∵AG AH ＝m ，∴AG →＝mAH →＝－4m 3P A →＋m 3 PB →＋m 3PD →.∴BG →＝－A B →＋AG →＝P A →－PB →＋AG →， ∴BG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4m 3P A →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3－1PB →＋m 3PD →. 又∵B ，G ，P ，D 四点共面，∴1－4m 3＝0，∴m ＝34.。
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第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.2 空间向量的数乘运算
A 级 基础巩固
一、选择题
1．下列命题中正确的是( )
A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线．
B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面．
C ．零向量没有确定的方向．
D ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb . 答案：C
2．已知两非零向量e 1，e 2，且e 1与e 2不共线，设a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R ，且λ2＋μ2≠0)，则( )
A ．a ∥e 1
B ．a ∥e 2
C ．a 与e 1、e 2共面
D ．以上三种情况皆有可能
答案：C
3．对于空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C 且有OP →＝xOA →
＋yOB →＋zOC →
(x ，y ，z ∈R)，则x ＋y ＋z ＝1是四点P 、A 、B 、C 共面的( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案：C
4．下列命题中，不正确的命题个数为( ) ①AB →＋BC →＋CD →＋DA →
＝0；
②|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件；
③若a 、b 共面，则a 、b 所在的直线在同一平面内； ④若OP →＝12OA →＋13OB →
，则P 、A 、B 三点共线．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 答案：C
5．已知四面体ABCD ，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AC 的中点，则12
(AB →＋BC →＋CE →＋ED →
)化简的结果为( )
A.BF →
B.EH →
C.HG →
D.FG →
解析：12(AB →＋BC →＋CE →＋ED →)＝12(AC →＋CE →＋ED →)＝12(AE →＋ED →)＝
1
2
×2HG →＝HG →. 答案：C 二、填空题
6．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →
＝7a －2b ，则A 、B 、C 、D 中一定共线的三点是________．
解析：BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →
所以A 、B 、D 三点共线． 答案：A 、B 、D
7．如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14
A 1C 1→，若AE →
＝
xAA 1→＋y (AB →＋AD →
)，则x ＝________，y ＝________．
答案：1 1
4
8．已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →
＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．
答案：0 三、解答题
9．已知M ，G 分别是空间四边形ABCD 的两边BC ，CD 的中点，化简下列各式：
(1)AB →＋BC →＋CD →； (2)AB →＋12(BD →＋BC →)；
(3)AG →－12
(AB →＋AC →)．
解：(1)如图所示，AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →
.
(2)取BD 的中点H ，连接MG ，GH . 因为M ，G 分别为BC ，CD 的中点， 所以BMGH 为平行四边形，
所以12(BD →＋BC →
)＝BH →＋BM →＝BG →，
从而AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋BG →＝AG →.
(3)分别取AB ，AC 的中点S ，N ， 连接SM ，AM ，MN ， 则ASMN 为平行四边形， 所以12(AB →＋AC →
)＝AS →＋AN →＝AM →，
所以AG →－12
(AB →＋AC →)＝AG →－AM →＝MG →.
10．如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点．
求证：(1)E 、C 、D 1、F 四点共面； (2)CE 、D 1F 、DA 三线共点．
证明：(1)如图，连接CD 1、EF 、A 1B ，
因为E 、F 分别是AB 和AA 1的中点， 所以EF ∥A 1B 且EF ＝1
2A 1B .
又因为A 1D 1∥BC ，
所以四边形A 1BCD 1是平行四边形．
所以A 1B ∥CD 1， 所以EF ∥CD 1.
所以EF 与CD 1确定一个平面α.
所以E 、F 、C 、D 1∈α，即E 、C 、D 1、F 四点共面． (2)由(1)知EF ∥CD 1，且EF ＝1
2CD 1，
所以四边形CD 1FE 是梯形，
所以CE 与D 1F 必相交，设交点为P ，
则P ∈CE ⊂平面ABCD ，且P ∈D 1F ⊂平面A 1ADD 1. 所以P ∈平面ABCD 且P ∈平面A 1ADD 1. 又平面ABCD ∩平面A 1ADD 1＝AD ， 所以P ∈AD ，所以CE 、D 1F 、DA 三线共点．
B 级 能力提升
1．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有OM →
＝xOA →＋13OB →＋13
OC →
，则x 的值为( )
A ．1
B ．0
C ．3 D.13
答案：D
2．如图所示，在四面体O -ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →
＝________(用a ，b ，c 表示)．
解析：OE →＝OA →＋AE →＝a ＋12AD →＝a ＋12(OD →－OA →)＝12a ＋12OD →＝12a
＋12×12(OB →＋OC →)＝12a ＋14b ＋1
4
c . 答案：12a ＋14b ＋14
c
3．如图所示，四边形ABCD 和四边形ABEF 都是平行四边形，且不共面，M 、N 分别是AC 、BF 的中点，判断CE →与MN →
是否共线．
解：因为M 、N 分别是AC 、BF 的中点，而四边形ABCD 、ABEF 都是平行四边形，
所以MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12
FB →
.
又因为MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →
，
所以12CA →＋AF →＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →
.
所以CE →＝CA →＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →
)． 所以CE →＝2MN →.所以CE →∥MN →，即CE →与MN →
共线．。