2021-2022年高三上学期期中练习数学(理)试题

2021-2022年高三上学期期中练习数学（理）试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集, 集合, , 则()等于（）A． B． C． D．2. 已知数列是各项均为正数的等比数列，若，则等于（）A．B． C． D．3.已知平面向量，满足，，且，则与的夹角为（）A． B． C． D．4.曲线在处的切线方程为（）A．B．C．D．5.在中，是的中点，，点在上，且满足，则的值为（）A．B．C．D．6.函数的图象与函数的图象的交点个数是（）A．B．C．D．7.函数是定义域为的可导函数，且对任意实数都有成立．若当时，不等式成立，设，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．8.已知数列是各项均为正数且公比不等于的等比数列.对于函数，若数列为等差数列，则称函数为“保比差数列函数”.现有定义在上的如下函数：①，②，③，④，则为“保比差数列函数”的所有序号为（）A．①②B．③④C．①②④D．②③④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9.设集合，B =∣,则.10.设是等差数列的前项和．若，则公差，.11.已知角的终边经过点，则， .12. 在中，若，的面积为，则角 .13. 已知函数满足：（），且()1,()1,()(1)2(),()1,f x f x f x f x f x f x -⎧>⎪+=⎨⎪≤⎩则 （用表示），若，则 .14.已知函数.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）设△的内角所对的边分别为，已知． （Ⅰ）求△的面积； （Ⅱ）求的值．16.（本小题满分14分）设数列的前项和为.已知，，.（Ⅰ）写出的值，并求数列的通项公式； （Ⅱ）记为数列的前项和，求； （Ⅲ）若数列满足，，求数列的通项公式.17.（本小题满分13分）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕπ=+>><部分图象如图所示． （Ⅰ）求函数的解析式，并写出其单调递增区间； （Ⅱ）设函数，求函数在区间上的最大值和最小值． 18.（本小题满分13分）已知函数，.（Ⅰ）当时，求函数在上的最大值；（Ⅱ）如果函数在区间上存在零点，求的取值范围. 19.（本小题满分14分）设函数，．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，若对任意，不等式成立，求的取值范围； （Ⅲ）当时，设，，试比较与的大小并说明理由． 20.（本小题满分13分）给定一个项的实数列，任意选取一个实数，变换将数列变换为数列12||,||,,||n a c a c a c ---，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数可以不相同，第次变换记为，其中为第次变换时选择的实数.如果通过次变换后，数列中的各项均为，则称，，…，为“次归零变换”. （Ⅰ）对数列：1,3,5,7，给出一个“次归零变换”，其中；（Ⅱ）证明：对任意项数列，都存在“次归零变换”；（Ⅲ）对于数列，是否存在“次归零变换”？请说明理由.北京市朝阳区xx第一学期高三年级期中练习数学试卷答案（理工类）xx.11二、填空题：（注：两空的填空，第一空3分，第一空2分）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△中，因为，所以sinC===．………………………2分所以，11sin23223ABCS ab C==⨯⨯⨯=．………………………5分（Ⅱ）由余弦定理可得，所以，．…………………………………………7分又由正弦定理得，，所以，2sin3sin3a CAc⨯===．……………………9分因为，所以为锐角,所以，7cos9A===．……………………11分所以，sin()sin cos cos sinC A C A C A-=-71393927=⨯-⨯=…………………………………13分16. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由已知得，，. ……………………………………………2分由题意，，则当时，.两式相减，得（）. ……………………………………………3分 又因为，，，所以数列是以首项为，公比为的等比数列，所以数列的通项公式是（）. ………………………………5分 （Ⅱ）因为2112323124344n n n T a a a na n -=++++=+⨯+⨯++⋅，所以2314412434(1)44n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅， ……………………6分两式相减得，2114314444414nn nn n T n n ---=++++-⋅=-⋅-， ………8分整理得， (). ………………………………9分 （Ⅲ） 当时，依题意得,,… , .相加得，122232log log log n n b b a a a -=+++. ……………………………12分依题意122log log 42(1)n n a n -==-.因为，所以[]212(1)(1)n b n n n =+++-=-（）.显然当时，符合.所以(). ……………………………………14分17. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由图可得，，所以，所以． …………………………………………………………2分 当时，，可得 ，因为，所以． ………………………………………………………4分所以函数的解析式为．………………………………5分 函数的单调递增区间为．…………………………7分 （Ⅱ）因为()()2cos 22sin(2)2cos 26g x f x x x x π=+=++2sin 2cos 2cos 2sin 2cos 266x x x ππ=++ …………………………8分. ………………………10分因为，所以．当，即时，函数有最大值为； ……………12分 当，即时，函数有最小值． ………………13分 18. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）当时，则222(2)42(1)6x x x =+-=+-．因为，所以时，的最大值．………………………3分 （Ⅱ）当时， ,显然在上有零点, 所以时成立.……4分当时，令168(3)8(1)(2)0a a a a ∆=++=++=,解得． ………………………………………5分 （1） 当时, 22()2422(1)f x x x x =-+-=-- 由，得；当 时,221()4414()2f x x x x =-+-=--．由，得，所以当 时, 均恰有一个零点在上.………………7分 （2）当(1)(1)(7)(1)0f f a a -=-+≤，即时，在上必有零点. ………………………………………8分 （3）若在上有两个零点, 则0,8(1)(2)0,111,(1)0,(1)0a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪-≥⎪⎪≥⎩或0,8(1)(2)0,111,(1)0,(1)0.a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪-≤⎪⎪≤⎩ …………………12分 解得或．综上所述，函数在区间上存在极值点，实数的取值范围是或. ………………………………………13分19. （本小题满分14分）解：函数的定义域为. ………………………………………1分 （Ⅰ）由题意， ………………………………………2分（1）当时，由得，解得，函数的单调递减区间是； 由得，解得，函数的单调递增区间是． …………………………………………4分 （2）当时，由于，所以恒成立，函数的在区间上单调递减．……………………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）因为对于任意正实数，不等式成立，即恒成立．因为，由（Ⅰ）可知当时，函数有最小值a a a a aa a f ln 1ln )1(-=+=．…7分 所以，解得．故所求实数的取值范围是． ………………………………………9分（Ⅲ）因为121212()ln 22x x x x f a x x ++2=++， 121212()()1(ln ln )22f x f x a x a x x x +11=+++．12121212121[ln(]22x x x x a x x a x x x x ++=)+=. ……………………………10分所以121212121212()()()ln 2222x x f x f x x x x x f a a x x x x ++++2-=+-+121212()2()x x a x x x x 2-=-+．（1）显然，当时，1212()()()22x x f x f x f ++=． ……………………11分 （2）当时，因为且，所以，所以02ln ,1221212121<+>+x x x x a x x x x ．………………12分又，所以121212()02()x x a x x x x 2-<+所以02)()()2(2121<+-+x f x f x x f ， 即2)()()2(2121x f x f x x f +<+． 综上所述，当时，1212()()()22x x f x f x f ++=；当时，2)()()2(2121x f x f x x f +<+ ．……………………………………………………14分 20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）方法1：：3,1,1,3;：1,1,1,1;：0,0,0,0．方法2：：1,1,3,5;：1,1,1,3;：1,1,1,1；：0,0,0,0．．……4分 （Ⅱ）经过次变换后，数列记为，． 取,则，即经后，前两项相等；取，则(2)(2)(2)(1)(1)123321||2a a a a a ===-，即经后，前3项相等； … …设进行变换时，其中，变换后数列变为()()()()()()12312,,,,,,,k k k k k k k k n a a a a a a ++，则()()()()1231k k k k k a a a a +====；那么，进行第次变换时，取，则变换后数列变为(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)123123,,,,,,,,k k k k k k k k k k n a a a a a a a ++++++++++，显然有(1)(1)(1)(1)(1)12312k k k k k k k a a a a a +++++++=====；… …经过次变换后，显然有(1)(1)(1)(1)(1)1231n n n n n n na a a a a ------=====； 最后，取，经过变换后，数列各项均为0.所以对任意数列，都存在 “次归零变换”． ……………………………………9分 （Ⅲ）不存在“次归零变换”. ………………………………………………10分 证明：首先，“归零变换”过程中，若在其中进行某一次变换时，，那么此变换次数便不是最少.这是因为，这次变换并不是最后的一次变换（因它并未使数列化为全零），设先进行后，再进行，由11|||||()|i j j i j j a c c a c c ++--=-+，即等价于一次变换，同理，进行某一步时，；此变换步数也不是最小．由以上分析可知，如果某一数列经最少的次数的“归零变换”，每一步所取的满足1212min{,,,}max{,,,}n i n a a a c a a a ≤≤．以下用数学归纳法来证明，对已给数列，不存在“次归零变换”． （1）当时，对于1,4，显然不存在 “一次归零变换” ，结论成立．（由（Ⅱ）可知，存在 “两次归零变换”变换：） （2）假设时成立，即不存在“次归零变换”．当时，假设存在“次归零变换”．此时，对也显然是“次归零变换”，由归纳假设以及前面的讨论不难知不存在“次归零变换”，则是最少的变换次数，每一次变换一定满足，． 因为111212|||(1)|||(1)()k k k k k c c c k c c c +++----=+-+++所以，绝不可能变换为0，与归纳假设矛盾． 所以，当时不存在“次归零变换”．由（1）（2）命题得证． ………………………………………13分34892 884C 行i 30511 772F 眯27024 6990 榐 _21581 544D 呍24707 6083 悃Um/Z36231 8D87 趇25600 6400 搀。