2019年东北三省四市高三模拟考试即长春三模(理数,全word)

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2019年长春三模(理数)

调性求出答案.故选 C.
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，13 题对一个给 3 分，共 20 分）
13. 2, 24 25
3
14.
2
15.①②④
5n2 3n
16.
4
数学（理科）试题参考答案及评分标准第 1页（共 7页）
三、解答题
17. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本题考查解三角形的相关知识.
正方形的边长为 1，对该几何体有如下描述：
① 四个侧面都是直角三角形； ② 最长的侧棱长为 2 6 ；
③ 四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形； ④ 外接球的表面积为 24 .
其中正确的描述为______________.
16.
已知数列{an} 中，a1
2 ，an1
n
nan 1 2an
（
n
N*
），则
11. 【命题意图】本题主要考查抛物线的相关知识. 【试题解析】C 做 O 点关于准线的对称点 M，则所求距离和的最小值为|AM|.故选 C.
12. 【命题意图】本题主要考查函数与导数的相关知识.
【试题解析】C 先确定 x1 1 x2 ，借助条件等式，用 x2 表示 x1 ， x1 1 2 ln x2 ，得到关于 x2 的函数关系式 x1 x2 1 2 ln x2 x2 ，通过构造函数并求导确定该函数的单
【试题解析】解：（Ⅰ）由正弦定理得： 4 2 6 ，所以 sin C 1 ， C ，
2 2 sinC
2
3
所以 BC 62 (4 2)2 2 ，所以 S 1 2 4 2 4 2 . （6 分） 2
（Ⅱ）设 DC x ，则 BD 2x ，则 AD 2x ，
所以 (2x)2 (2x)2 62 (2x)2 x2 (4 2)2

2019年吉林省长春市高考数学三模试卷(理科)

2019年吉林省长春市高考数学三模试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|||1A x x =<，{}|(3)0B x x x =-<，则A B =（） A ．(1,0)- B ．(0,1)C ．(1,3)-D ．(1,3)2.若复数11iz ai+=+为纯虚数，则实数a 的值为（） A ．1B ．0C ．12-D ．1-3.中国有个名句“运城帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示）表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示，以此类推，例如3266用算筹表示就是≡||⊥T ，则8771用算筹可表示为（）4.如图所示的程序框图是为了求出满足2228n n ->的最小偶数n ，那么在空白框中填入及最后输出的n 值分别是（）A ．1n n =+和6B ．2n n =+和6C ．1n n =+和8D ．2n n =+和85.函数2tan ()1xf x x x=++的部分图象大致为（）6.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（）A ．BC ．D 7.6本不同的书在书架上摆成一排，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（）种 A ．24B ．36C ．48D ．608.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2c o s c o s c o s b B a C c A =+，2b =，ABC ∆面积的最大值是（）A ．1BC ．2D ．49.已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将ABC ∆折成直二面角B AD C --，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为（） A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π10.将函数()sin(2)3f x x π=+的图象向右平移a 个单位得到函数()cos(2)4g x x π=+的图象，则a 的值可以为（） A ．512πB ．712π C ．924π1 D ．4124π11.已知焦点在x 轴上的双曲线222211x y m m -=-的左右两个焦点分别为1F 和2F ，其右支上存在一点P 满足12PF PF ⊥，且12PF F ∆的面积为3，则该双曲线的离心率为（）A B C ．2 D ．312.若直线10kx y k --+=（k R ∈）和曲线:E 3253y ax bx =++（0ab ≠）的图象交于11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y （123x x x <<）三点时，曲线E 在点A ，点C 处的切线总是平行，则过点(,)b a 可作曲线E 的（）条切线 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.在ABC △中，2AB =，AC =23ABC π=∠，则BC =______________. 14.若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则1y x +的最大值为______________.15.甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科A 、B 、C ，已知：①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教C 学科； ③在长春工作的教师教A 学科；④乙不教B 学科. 可以判断乙教的学科是______________.16.已知函数()21ln 2f x x x x =+，0x 是函数()f x 的极值点，给出以下几个命题： ①010x e <<；②01x e>；③()000f x x +<；④()000f x x +>；其中正确的命题是______________.(填出所有正确命题的序号)三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知正项数列{}n a 满足：2423n nn S a a =+-，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设211n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润200元，未销售的产品返回厂家，每台亏损50元，根据往年的经验，每天的需求量与当天的最低气温有关，如果最低气温位于区间[]20,10--，需求量为100台；最低气温位于区间[)25,20--，需求量为200台；最低气温位于区间[)35,25--，需求量为300台。

东北三省三校2019届高三第一次模拟数学(理)试题(解析版)

东北三省三校2019年高三第一次联合模拟考试理科数学试卷第Ⅰ卷一、选择题。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部是（）A. 4B. -4C. 2D. -2【答案】D【解析】【分析】先将复数进行化简得，得出答案.【详解】复数=所以虚部为-2故选D【点睛】本题主要考查了复数的化简，属于基础题.2.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合，再利用交集的定义得出答案.【详解】因为可得，集合，所以故选B【点睛】本题主要考查了交集的定义，属于基础题.3.已知向量的夹角为，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题，先求出，可得结果.【详解】所以故选C【点睛】本题主要考查了数列的运算，属于基础题.4.设，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用是单调递减的，得出；再利用在是单调递增的，得出求得答案. 【详解】因为是单调递减的，且，所以；又因为在是单调递增的，，所以综上，故选A【点睛】本题主要考查了指数函数和幂函数的性质，来比较大小，掌握函数的性质是解题的关键.5.等差数列的前项和为，且，，则（）A. 30B. 35C. 42D. 56【答案】B【解析】【分析】先根据题目已知利用公式求出公差，，再利用求和公式得出结果.【详解】因为是等差数列，所以，所以公差，根据求和公式【点睛】本题主要考查了数列的求和以及性质，对于等差数列的公式的熟练运用是解题的关键，属于基础题.6.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（）A. 30种 B. 50种 C. 60种 D. 90种【答案】B【解析】【分析】先分情况甲选牛共有，甲选马有，得出结果.【详解】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，所以共有若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，所以共有所以共有种故选B【点睛】本题主要考查了排列组合，分情况选择是解题的关键，属于较为基础题.7.执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的的值为4，第二次输入的的值为5，记第一次输出的的值为，第二次输出的的值为，则（）A. 2B. 1C. 0D. -1【答案】D【解析】根据已知的程序框图，模拟程序的执行过程，可的结果.【详解】当输入x的值为4时，第一次不满足，但是满足x能被b整除，输出；当输入x的值为5时，第一次不满足，也不满足x能被b整除，故b=3第二次满足，故输出则-1故选D【点睛】本题主要考查了程序框图，属于较为基础题.8.如图，在直角坐标系中，过坐标原点作曲线的切线，切点为分别作轴的垂线，垂足分别为，向矩形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先设出切点，利用切线过原点求出切点P的坐标，再用积分求出阴影部分的面积，最后用几何概型求得结果.【详解】设切点，所以切线方程，又因为过原点所以解得因为与轴在围成的面积是则阴影部分的面积为而矩形的面积为故向矩形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为故选A【点睛】本题主要考查了几何概型，但是解题的关键是在于对于切点和积分的运用是否熟练，属于中档题.9.已知是不重合的平面，是不重合的直线，则的一个充分条件是（）A.， B. ，C.，， D. ，，【答案】C【解析】【分析】由题意，分别分析每个答案，容易得出当，，得出，再得出，得出答案.【详解】对于答案A：，，得出与是相交的或是垂直的，故A错；答案B：，，得出与是相交的、平行的都可以，故B错；答案C：，，得出，再得出，故C正确；答案D:，，，得出与是相交的或是垂直的，故D错故选C【点睛】本题主要考查了线面位置关系的知识点，熟悉平行以及垂直的判定定理和性质定理是我们解题的关键所在，属于较为基础题.10.双曲线的左焦点为，点的坐标为，点为双曲线右支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】先根据双曲线的定义求出，然后据题意周长的最小值是当三点共线，求出a的值，再求出离心率即可.【详解】由题易知双曲线的右焦点，即，点P为双曲线右支上的动点，根据双曲线的定义可知所以周长为：当点共线是，周长最小即解得故离心率故选D【点睛】本题主要考查了双曲线的定义和性质，熟悉性质和图像是解题的关键，属于基础题.11.各项均为正数的等比数列的前项和，若，，则的最小值为（）A. 4B. 6C. 8D. 12【答案】C【解析】【分析】由题意，根据等比中项得出，然后求得公比首项，再利用公式求得，通项带入用基本不等式求最值.【详解】因为，且等比数列各项均为正数，所以公比首项所以，通项所以当且紧当所以当时，的最小值为8故选C【点睛】本题考查了等比数列的通项、求和以及性质，最后还用到基本不等式，属于小综合题型，属于中档题，需要注意的是利用基本不等式要有三要素“一正、二定、三相等”.12.中，，，，中，，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，建立直角坐标系，设点D的坐标，然后分析点D的位置，利用直线的夹角公式，求得点D的轨迹方程为圆的一部分，然后利用圆的相关知识求出最大最小值即可.【详解】由题，以点B为坐标原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立直角坐标系；设点，因为，所以由题易知点D可能在直线AB的上方，也可能在AB的下方；当点D可能在直线AB的上方；直线BD的斜率；直线AD的斜率由两直线的夹角公式可得：化简整理的可得点D的轨迹是以点为圆心，半径的圆，且点D在AB的上方，所以是圆在AB上方的劣弧部分；此时CD的最短距离为：当当点D可能在直线AB的下方；同理可得点D的轨迹方程：此时点D的轨迹是以点为圆心，半径的圆，且点D在AB的下方，所以是圆在AB下方的劣弧部分；此时CD的最大距离为：所以CD的取值范围为【点睛】本题主要考察了直线与圆的综合知识，建系与直线的夹角公式是解题的关键，属于难题.第Ⅱ卷二、填空题（将答案填在答题纸上）13.已知满足约束条件：，则的最大值是______．【答案】3【解析】根据约束条件，画出可行域，再求出与的交点，带入求出答案.【详解】满足约束条件：，可行域如图：解得由题，当目标函数过点A时取最大值，即故答案为3【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，画出可行域是解题的关键，属于基础题.14.甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴，甲说：“我会”，乙说：“我不会”，丙说：“甲不会”，如果这三句话，只有一句是真的，那么会弹钢琴的是_____．【答案】乙【解析】【分析】根据题意，假设结论，根据他们所说的话推出与题意矛盾的即为错误结论，从而得出答案.【详解】假设甲会，那么甲、乙说的都是真话，与题意矛盾，所以甲不会；假设乙会，那么甲、乙说的都是假话，丙说的是真话，符合题意，假设丙会，那么乙、丙说的都是真话，与题意矛盾；故答案是乙【点睛】本题主要考查了推理证明，属于基础题.15.已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，当时，，则__．【答案】【解析】【分析】先由题意，是定义域为的偶函数，且为奇函数，利用函数的奇偶性推出的周期，可得，然后带入求得结果.【详解】因为为奇函数，所以又因为是定义域为的偶函数，所以即所以的周期因为所以故答案为【点睛】本题主要考查了函数的性质，函数性质的变形以及公式的熟记是解题的关键，属于中档题.16.四面体中，底面，，，则四面体的外接球的表面积为____．【答案】【解析】【分析】根据题意，证明出CD平面ABC，从而证明出CD AC，然后取AD的中点O，可得OC=OA=OB=OD，求出O为外接球的球心，然后求得表面积即可.【详解】由题意，可得BC CD，又因为底面，所以AB CD，即CD平面ABC，所以CD AC取AD的中点O，则OC=OA=OB=OD故点O为四面体外接球的球心，因为所以球半径故外接球的表面积故答案为【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球知识，找出球心的位置是解题的关键，属于中档题.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设函数.（1）当时，求函数的值域；（2）中，角的对边分别为，且，，，求的面积.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）先将函数利用和差角、降幂公式、辅助角公式进行化简得，再根据x的取值，求得值域；（2）根据第一问求得角A，再根据正弦定理求得角B，然后再求得角C的正弦值和边b，利用面积公式求得面积.【详解】（Ⅰ）∵，∴∴∴函数的值域为．（Ⅱ）∵∴∵，∴，∴，即由正弦定理，，∴∴，，∴∴【点睛】本题主要考查了三角函数综合和解三角形，解题的关键是在于三角恒等变化公式的利用（和差角、降幂、辅助角公式的合理利用）以及正弦定理的变化应用，属于较为基础题.18.世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达6亿，高中生和大学生的近视率均已超过七成，为了研究每周累计户外暴露时间（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级200名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：（1）在每周累计户外暴露时间不少于28小时的4名学生中，随机抽取2名，求其中恰有一名学生不近视的概率；（2）若每周累计户外暴露时间少于14个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”，根据以上数据完成如下列联表，并根据（2）中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？附:【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】(1)根据题意，时间不少于28小时的4名学生中，近视1名，不近视3名，所以恰好一名近视：，4名学生抽2名共有：，然后求得其概率.(2)先根据表格得出在户外的时间与近视的人数分别是多少，完成联表，然后根据公式求得的观测值，得出结果.【详解】（Ⅰ）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件，则故随机抽取2名，中恰有一名学生不近视的概率为.（Ⅱ）根据以上数据得到列联表：所以的观测值，故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系.【点睛】本题主要考查了概率和统计案例综合，属于基础题.19.如图，在三棱锥中，与都为等边三角形，且侧面与底面互相垂直，为的中点，点在线段上，且，为棱上一点.（1）试确定点的位置，使得平面；（2）在（1）的条件下，求二面角的余弦值.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】(1)根据题意，延长交于点，要使得平面；即，然后确定出点E的位置即可；(2)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后根据二面角的夹角公式求得余弦值即可.【详解】（Ⅰ）在中，延长交于点，,是等边三角形为的重心平面, 平面，,即点为线段上靠近点的三等分点（Ⅱ）等边中，，，，交线为，如图以为原点建立空间直角坐标系点在平面上，所以二面角与二面角为相同二面角.设,则，设平面的法向量，则即，取，则又平面，,则,又二面角为钝二面角，所以余弦值为 .【点睛】本题主要考查了立体几何，熟练线面之间的平行、垂直的判定定理和性质定理是证明的关键，以及求出平面的法向量是解决第二问的关键，属于中档题.20.已知椭圆：的左、右两个顶点分别为，点为椭圆上异于的一个动点，设直线的斜率分别为，若动点与的连线斜率分别为，且，记动点的轨迹为曲线. （1）当时，求曲线的方程；（2）已知点，直线与分别与曲线交于两点，设的面积为，的面积为，若，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)由题意设，，再表示出得出.然后求得结果.(2) 由题求出直线的方程为：，直线的方程为：，然后分别与曲线联立，求得点E、F的纵坐标，然后再带入面积公式表示出再利用函数的单调性求得范围.【详解】（Ⅰ）设，则，因为，则所以，整理得.所以，当时，曲线的方程为.（Ⅱ）设. 由题意知，直线的方程为：，直线的方程为：.由（Ⅰ）知，曲线的方程为，联立，消去，得，得联立，消去，得，得设则在上递增又，的取值范围为【点睛】本题主要考查了圆锥曲线的综合，审题仔细以及计算细心是解题的关键，属于较难题. 21.已知（为自然对数的底数），.（1）当时，求函数的极小值；（2）当时，关于的方程有且只有一个实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】【分析】 (1)由题意，当时，然后求导函数，分析单调性求得极值；(2)先将原方程化简，然后换元转化成只有一个零点，再对函数进行求导，讨论单调性，利用零点存在性定理求得a 的取值. 【详解】（Ⅰ）当时，令解得（Ⅱ）设，令，，，设，，由得，，在单调递增，即在单调递增，，①当，即时，时，，在单调递增,又，故当时，关于的方程有且只有一个实数解.②当，即时，，又故，当时，，单调递减，又，故当时，，在内，关于的方程有一个实数解.又时，，单调递增，且，令，,,故在单调递增，又故在单调递增，故，故，又，由零点存在定理可知，.【点睛】本题主要考查了导函数的应用，讨论单调性和零点的存在性定理是解题的关键点，属于难题.如果函数y= f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)<0,那么，函数y= f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)= 0的根.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）曲线与直线交于两点，若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先将曲线的参数方程化为普通方程，然后再化为极坐标方程；（2）由题意，写出直线的参数方程，然后带入曲线的普通方程，利用韦达定理表示出求得结果即可.【详解】（1）由题，曲线的参数方程为（为参数），化为普通方程为：所以曲线C的极坐标方程：（2）直线的方程为，的参数方程为为参数)，然后将直线得参数方程带入曲线C的普通方程，化简可得：，所以故解得【点睛】本题主要考查了极坐标和参数方程的综合，极坐标方程，普通方程，参数方程的互化为解题的关键，属于基础题.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；（2）设实数为（1）中的最大值，若实数满足，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由不等式性质，解出a的值即可；（2）先求得m的值，然后对原式配形，可得再利用柯西不等式，得出结果.【详解】（1）因为函数恒成立，解得；（2）由第一问可知，即由柯西不等式可得：化简：即当且紧当：时取等号，故最小值为【点睛】本题主要考查了不等式选讲，不等式的性质以及柯西不等式，熟悉柯西不等式是解题的关键，属于中档题.。

2019年东北三省高三三模理科数学有答案解析

2019年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2019年长春市高中毕业班第三次调研测试数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.D2.C3. B4. A5.D6. B7.C8.A9.B 10.C 11.B 12.B 简答与提示：1. D 集合{|22}A x x =-<<，113x -<+<，则013x ≤+<，即{|1,}{|03}y y x x A y y =+∈=≤<.故选D.2. C 由于32(32)(1)3232151(1)(1)222i i i i i z i i i i +++++-====+--+. 故选C. 3. B 由题意可知，圆M ：22220x x y y +++=的圆心(1,1)--到直线l ：2x my =+，由点到直线的距离公式可知1m =或7m =-. 故选B.4. A 由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知24310r r r r <<<<，故选A.5. D 由题意31232a a a =+，即211132a q a a q =+，可得2230q q --=，3q =或1q =-，又已知0q >，即3q =，2101215192023810131718219a a a a a a q a a a a a a +++++==+++++.故选D.6. B 在同一坐标系内画出函数3cos 2y x π=和21log 2y x =+的图像，可得交点个数为3. 故选B.7. C 初始值15,0,1===P T i ，第一次循环后2,1,5i T P ===，第二次循环后3,2,1i T P ===，第三次循环后14,3,7i T P ===，第四次循环后15,4,63i T P ===，因此循环次数应为4次，故5i <可以作为判断循环终止的条件. 故选C.8. A 由函数()sin()6f x A x πω=+(0)ω>的图像与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列可知，函数()f x 的周期为π，可知2ω=，即函数()sin(2)6f x A x π=+，()cos 2g x A x =，可将()g x 化为()sin(2)2g x A x π=+，可知只需将()f x 向左平移6π个单位即可获得()sin[2()]sin(2)6662f x A x A x ππππ+=++=+. 故选A .9. B 命题“若 6πα=，则21sin =α”的否命题是“若 6πα≠，则1sin 2α≠”，是假命题，因此①正确；命题 ,:0R x p ∈∃使0sin 1x >，则1sin ,:≤∈∀⌝x R x p 完全符合命题否定的规则，因此②也正确；“函数sin(2)y x ϕ=+为偶函数”的充要条件是sin 1ϕ=±，即2k πϕπ=+()k Z ∈，因此③错误；命题:(0,)2p x π∃∈“，使21cos sin =+x x ”中sin cos 2(cos ))224x x x x x π+=+=+，当(0,)2x π∈时，1)4x π<+≤即:(0,)2p x π∃∈“，使21cos sin =+x x ”为假命题，而命题:q ABC ∆在“中，若sin sin A B >，则A B >”为真命题，可知命题（p ⌝）∧q 为真命题，因此④正确.一共有3个正确. 故选B.10. C 双曲线22221x y a b-=的右焦点F 是抛物线28y x =的焦点可知2c =，又5PF =可知P 到抛物线的准线2x =-的距离为5，可设(3,)P m ，根据两点间距离公式可得到m =22221x y a b-=方程化为222214x y a a -=-，代入点P 的坐标并求解关于2a 的一元二次方程，可求得21a =或236a =. 又22c a >，可将236a =舍去，可知21a =，即1a =，（或根据双曲线定义得2a =|PF 2|－|PF 1|=2），综上可知双曲线的离心率为221c e a ===. 故选C.11. B 由题意可知四棱锥S ABCD -的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当体积最大时, 可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可得知底面正方形的对角线长度为球的半径r ，且四棱锥的高h r =，的正方形，所以该四棱锥的表面积为222224))22)4S r r =+=+==+因此22r =，r =O 的体积344333V r ππ==⨯=. 故选B.12. B 首先选择题目，从4道题目中选出3道，选法为34C ，而后再将获得同一道题目的2位老师选出，选法为24C ，最后将3道题目，分配给3组老师，分配方式为33A ，即满足题意的情况共有323443144C C A =种. 故选B.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. 314. 4+15.0a >且0q >16. 35[,]79简答与提示：13. 利用分步计数原理与组合数公式，符合题目要求的项有42(x⋅-和41x ⋅，求和后可得 3x ，即x 的系数为3.14. ，可得长方体的2，1，因此其全面积为1212)4+⨯=+15. 由1n n S S +>得，当1q =时，10n n S S a +-=>；当1q ≠时，10nn n S S aq +-=>，即0a >，10q ≠>.综合可得数列{}n S 单调递增的充要条件是:0a >且0q >. 16. 根据指数函数的性质，可知函数1()1(0,1)x f x m m m +=+>≠恒过定点(1,2)-，将点(1,2)-代入50ax by -+=，可以得25a b +=. 对2aba b+作如下变形：155512122(2)()142()52()ab b a b a a b a b a b a b a b a b====+++⋅++++++.由于(1,2)-始终落在所给圆的内部或圆上，所以22585()24a b ++≤. 由2225585()24a b a b +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩或31a b =⎧⎨=⎩，这说明点(,)a b 在以(1,2)A 和(3,1)B 为端点的线段上运动，所以b a 的取值范围是1[,2]3，从而b aa b+的取值范围是10[2,]3，进一步可以推得2ab a b +的取值范围是35[,]79.三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题借助向量的垂直与数量积考查三角函数的化简，并且考查利用三角函数的变换与辅助角公式求取三角函数的值域. 【试题解析】解：⑴由m n m n +=-，可知0m n m n ⊥⇔⋅=.然而(2cos ,1),m B = 2(2cos (),1sin 2)42B n B π=+-+(1sin ,1sin 2)B B =--+，所以2cos sin 21sin 22cos 10m n B B B B ⋅=--+=-=，1cos 2B =，3B π∠=. (5分) ⑵22222221sin sin sin ()sin )32A C sin A A sin AA A π+=+-=++ 2225331cos sin cos sin sin cos 442422sin A A A AA A A =++=++ 311cos 2sin 211sin 2cos 24222244A A AA -=+⋅+⋅=+- 11112cos 2)1sin(2)2226A A A π=+-=+-. (9分)因为3B π∠=，所以2(0,)3A π∈，即72(,)666A πππ-∈-，即1s i n (2)(,1]62A π-∈-所以1331sin(2)(,]2642A π+-∈，即22sin sin A C +的取值范围是33(,]42. (12分)18. (本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到统计图的应用、二项分布以及数学期望的求法.【试题解析】⑴平均年限1010151020252520301522()80n ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈年. (4分)⑵所求概率222221010252015280137632C C C C C P C ++++==. (8分) ⑶由条件知9~(10,)16B ξ，所以94510168E ξ=⨯=. (12分) 19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的垂直关系、二面角的求法、空间向量在立体几何中的应用以及几何体体积的求法.【试题解析】解：⑴由四边形11A ADD 是正方形，所以D A AD 11⊥.又⊥1AA 平面ABCD ， 90=∠ADC ，所以DC AD DC AA ⊥⊥,1，而1AA AD A =，所以DC ⊥平面D D AA 11，DC AD ⊥1.又1A D DC D =，所以⊥1AD 平面11DCB A ，从而C B AD 11⊥. (4分) ⑵以D 为坐标原点，DA ，DC ,1DD 为坐标轴建立空间直角坐标系D xyz -，则易得)0,1,2(B )2,0,2(),2,2,0(11A C ，设平面1A BD 的法向量为),,(1111z y x n =，则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0111DA n n ，求得)1,2,1(1--=n ；设平面BD C 1的法向量为),,(2222z y x n =，则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00122DC n DB n ，求得)2,2,1(2-=n，则根据66cos =⋅=n n θ,于是可得630sin =θ. (9分)(3) 设所给四棱柱的体积为V,则61=⋅=AA S V ABCD ，又三棱锥ABD A -1的体积等于三棱锥111C D A B -的体积，记为1V ，而三棱锥111C D A D -的体积又等于三棱锥CBD C -1的体积，记为2V .则由于3221221311=⨯⨯⨯⨯=V ， 3422221312=⨯⨯⨯⨯=V ，所以所求四面体的体积为22221=--V V V .(12分)20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及向量与圆锥曲线的综合知识.【试题解析】⑴当直线l 与x 轴垂直时，由212222AMBNb Sa a=⋅⋅=，得1b =. 又222MF AB F N =+,所以22b a c a c a+=+-，即ac =221a c=+，解得a =因此该椭圆的方程为2212x y +=. (4分) ⑵设1122(,),(,)A x y B x y，而(2,0),M N -，所以11(,)AM x y =-，11(2,)AN x y =-，22(,)BM x y =-，22(2,)BN x y =-.从而有22111222()()AM AN BM BN x x y x x y ⋅+⋅=+++2222221212*********()2()24x x y y x x x x y y y y =+++-=+-++--.(6分)因为直线l 过椭圆的焦点(1,0)，所以可以设直线l 的方程为1()x ty t R =+∈，则由22121x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 并整理，得22(2)210t y ty ++-=，所以12222t y y t -+=+，12212y y t -=+. (8分)进而121224()22x x t y y t +=++=+，21212222(1)(1)2t x x ty ty t -=++=+，可得222222242221()2()()2()42222t t AM AN BM BN t t t t ---⋅+⋅=-+--++++22286(2)2t t =-++. (10分)令22t m +=，则2m ≥. 从而有22861398()88AM AN BM BN m m m ⋅+⋅=-=--，而1102m <≤，所以可以求得AM AN BM BN ⋅+⋅的取值范围是9[,0)8-.(12分) 21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的单调性、极值以及函数零点的情况.【试题解析】⑴令()l n 10f x x '=+=,得1x e=. 当1(0,)x e ∈时，()0f x '<；当1(,)x e∈+∞时，()0f x '>.所以函数()f x 在1(0,)e上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增.(3分)⑵由于0x >，所以11()l n l n 22fx xxk x k x x=>-⇔<+.构造函数1()ln 2k x x x =+，则令221121()022x kx x x x-'=-==，得12x =. 当1(0,)2x ∈时，()0k x '<；当1(,)2x ∈+∞时，()0k x '>.所以函数在点12x =处取得最小值，即m i n11()()l n 11l n 222k x k ==+=-. 因此所求的k 的取值范围是(,1l n 2)-∞-. (7分) ⑶结论：这样的最小正常数m 存在. 解释如下：()()()ln()ln x x f a x f a e a x a x a a e +<⋅⇔++<⋅()ln()ln a x a a x a x a ae e+++⇔<.构造函数ln ()xx xg x e =，则问题就是要求()()g a x g a +<恒成立. (9分)对于()g x 求导得 2(ln 1)ln ln 1ln ()x x x x x e x x e x x xg x e e +-⋅+-'==.令()ln 1ln h x x x x =+-，则1()ln 1h x x x'=--，显然()h x '是减函数.又(1)0h '=，所以函数()ln 1ln h x x x x =+-在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是减函数，而2222222111122()ln 1ln 210e h e e e e e e -=+-⋅=-++=<， (1)ln11ln110h =+-=>，()ln 1ln 1120h e e e e e e =+-=+-=-<.所以函数()ln 1ln h x x x x =+-在区间(0,1)和(1,)+∞上各有一个零点，令为1x 和2x 12()x x <，并且有: 在区间1(0,)x 和2(,)x +∞上，()0,h x <即()0g x '<；在区间12(,)x x 上，()0,h x >即()0g x '>. 从而可知函数()g x 在区间1(0,)x 和2(,)x +∞上数学试卷单调递减，在区间12(,)x x 上单调递增. (1)0g =，当01x <<时，()0g x <；当1x >时，()0g x >. 还有2()g x 是函数的极大值，也是最大值.题目要找的2m x =，理由是：当2a x >时，对于任意非零正数x ，2a x a x +>>，而()g x 在2(,)x +∞上单调递减，所以()()g a x g a +<一定恒成立，即题目所要求的不等式恒成立，说明2m x ≤；当20a x <<时，取2x x a =-，显然0x >且2()()()g a x g x g a +=>，题目所要求的不等式不恒成立，说明m 不能比2x 小.综合可知，题目所要寻求的最小正常数m 就是2x ，即存在最小正常数2m x =，当a m >时，对于任意正实数x ，不等式()()xf a x f a e +<恒成立. (12分)( 注意：对于1x 和2x 的存在性也可以如下处理：令()ln 1ln 0h x x x x =+-=，即1ln 1x x =-. 作出基本函数ln y x =和11y x =- 的图像，借助于它们的图像有两个交点很容易知道方程1ln 1x x =-有两个正实数根1x 和2x ，且101x <<，21x >（实际上2 2.24x ≈），可知函数()g x 在区间1(0,)x 和2(,)x +∞上单调递减，在区间12(,)x x 上单调递增.(1)0g =，当01x <<时，()0g x <；当1x >时，()0g x >. 还有2()g x 是函数的极大值，也是最大值. ）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明及其运算，具体涉及圆的性质以及三角形相似等有关知识内容.【试题解析】⑴因为MA 为圆的切线，所以2MA MB MC =⋅.又M 为PA 中点，所以2MP MB MC =⋅.因为BMP PMC ∠=∠，所以BMP ∆与PMC ∆相似.（5分）⑵由⑴中BMP ∆与PMC ∆相似，可得MPB MCP ∠=∠. 在MCP ∆中，由180MPB MCP BPC BMP ∠+∠+∠+∠=，得180202BPC BMP MPB -∠-∠∠==. (10分)23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及点到直线的距离等知识内容.【试题解析】对于曲线M,消去参数，得普通方程为2,12≤-=x x y ,曲线M是抛物线的一部分；对于曲线N ，化成直角坐标方程为t y x =+，曲线N 是一条直线. (2分)数学试卷(1)若曲线M,N 只有一个公共点，则有直线N过点时满足要求，并且向左下方平行运动直到过点(之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点，所以11t +<≤满足要求；相切时仍然只有一个公共点，由12-=-x x t ，得210,x x t +--=14(1)0t ∆=++=，求得54t =-. 综合可求得t的取值范围是：11t <≤或54t =-. （6分） (2)当2-=t 时，直线N: 2-=+y x ，设M 上点为)1,(200-x x，0x ≤ 823243)21(2120020≥++=++=x x x d ，当012x =-时取等号，满足0x ≤823. (10分) 24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式的解法以及函数等有关知识内容.【试题解析】解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧-<--<≤-+≥+=1,1311,31,13)(x x x x x x x f当1≥x 时，由513>+x 解得：34>x ；当11<≤-x 时，由53>+x 得2>x ，舍去；当1-<x 时，由513>--x ，解得2-<x . 所以原不等式解集为4|23x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或. (5分)（2）由（1）中分段函数()f x 的解析式可知:()f x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,-+∞上单调递增.并且min ()(1)2f x f =-=，所以函数()f x 的值域为[2,)+∞.从而()4f x -的取值范围是[2,)-+∞,进而1()4f x - (()40)f x -≠的取值范围是1(,](0,)2-∞-+∞.根据已知关于x 的方程1()4a f x =-的解集为空集，所以实数a 的取值范围是1(,0]2-. (10分)。

东北三省四市2019年吉林省长春市高考数学三模试卷(理科)

东北三省四市2019年吉林省长春市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.sin210°的值为（）A. 12B. −12C. √32D. −√322.已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|（x+1）（x-2）＜0}，则A∩B=（）A. {0,1}B. {−1,0}C. {−1,0，1}D. {0,1，2}3.若a+i1+i的实部与虚部相等，则实数a的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 34.执行如图所示的程序框图，如果输入N=4，则输出p为（）A. 6B. 24C. 120D. 7205.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=4，a4=2，则S6=（）A. 0B. 10C. 15D. 306.已知e1⃗⃗⃗ 、e2⃗⃗⃗ 是两个单位向量，且夹角为π3，则（e1⃗⃗⃗ -2e2⃗⃗⃗ ）•（-2e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ ）=（）A. −32B. −√36C. 12D. √337.若8件产品中包含6件一等品，在其中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为（）A. 37B. 45C. 67D. 12138.已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出α∥β的是（）A. m//n，m⊂α，n⊂βB. m//n，m⊥α，n⊥βC. m⊥n，m//α，n//βD. m⊥n，m⊥α，n⊥β9.“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量.2007年至2018年，某企业连续12年累计研发投入达4100亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比．这12年间的研发投入（单位：十亿元）用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示．根据折线图和条形图，下列结论错误的是（）A. 2012−2013年研发投入占营收比增量相比2017−2018年增量大B. 该企业连续 12 年研发投入逐年增加C. 2015−2016年研发投入增值最大D. 该企业连续 12 年研发投入占营收比逐年增加10.函数f（x）=x(e−x−e x)4x2−1的部分图象大致是（）A. B.C. D.11.已知O为坐标原点，抛物线C：y2=8x上一点A到焦点F的距离为6，若点P为抛物线C准线上的动点，则|OP|+|AP|的最小值为（）A. 4B. 4√3C. 4√6D. 6√312.已如函数f（x）={1+lnx，x≥112x+12，x＜1，若x1≠x2，且f（x1）+f（x2）=2，则x1+x2的取值范围是（）A. [2,+∞)B. [e−1,+∞)C. [3−2ln2,+∞)D. [3−2ln3,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω＞0)的最小正周期为π，则ω=______，若f(α2)=√210，则sin2α=______．14.已知矩形ABCD，AB=12，BC=5，以A，B为焦点，且过C，D两点的双曲线的离心率为______．15.我国古代数学名著《九章算术•商功》中阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，对该几何体有如下描述：①四个侧面都是直角三角形；②最长的侧棱长为2√6；③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；④外接球的表面积为24π．其中正确的描述为______．16.已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=na nn+1+2a n (n∈N∗)，则∑1a knk=1=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，AB=6，AC=4√2．（1）若sinB=2√23，求△ABC的面积；（2）若点D在BC边上且BD=2DC，AD=BD，求BC的长．18.某工厂有两个车间生产同一种产品，第一车间有工人200人，第二车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间（单位：min）分别进行统计，得到下列统计图[5565[6575[7585[8595]分组频数[55，65）2[65，75）4[75，85）10[85，95]4合计20第一车间样本频数分布表（Ⅰ）分别估计两个车间工人中，生产一件产品时间小于75min的人数；（Ⅱ）分别估计两车间工人生产时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）从第一车间被统计的生产时间小于75min的工人中，随机抽取3人，记抽取的生产时间小于65min的工人人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．19.如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=1，CD=2，E为CD中点，AE与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．（1）证明：平面POB⊥平面ABCE；（2）若直线PB与平面ABCE所成的角为π4，求二面角A-PE-C的余弦值．20.如图所示，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)离心率为√22，B1、B2是椭圆C的短轴端点，且B1到焦点的距离为3√2，点M在椭圆C上运动，且点M不与B1、B2重合，点N满足NB1⊥MB1，NB2⊥MB2．（1）求椭圆C的方程；（2）求四边形MB2NB1面积的最大值．21.已知a∈R，函数f(x)=2x+alnx．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若x=2是f（x）的极值点，且曲线y=f（x）在两点P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））（x1＜x2＜6）处的切线互相平行，这两条切线在y轴上的截距分别为b1、b2，求b1-b2的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l1的倾斜角为30°，且经过点A（2，1）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l2：ρcosθ=3，从原点O作射线交l2于点M，点N为射线OM上的点，满足|OM|•|ON|=12，记点N的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求出直线l1的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l1与曲线C交于P，Q两点，求|AP|•|AQ|的值．23.已知函数f（x）=|2x-1|+|x-1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤4的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为m，当a，b，c∈R+，且a+b+c=m时，求√2a+1+√2b+1+√2c+1的最大值．答案和解析1.【答案】B解：sin210°=sin（180°+30°）=-sin30°=-．2.【答案】A解：由B中不等式解得：-1＜x＜2，即B={x|-1＜x＜2}，∵A={-1，0，1，2}，∴A∩B={0，1}，3.【答案】A解：∵=的实部与虚部相等，∴a+1=1-a，即a=0．4.【答案】B解：由已知中N=4，第一次进入循环时，p=1，此时k=1不满足退出循环的条件，则k=2第二次进入循环时，p=2，此时k=2不满足退出循环的条件，则k=3第三次进入循环时，p=6，此时k=3不满足退出循环的条件，则k=4第四次进入循环时，p=24，此时k=4满足退出循环的条件，故输出的p值是245.【答案】C解：数列{a n}是等差数列，a2=4=a1+d，a4=2=a1+3d，所以a1=5，d=-1，则S6=6a1+=15．6.【答案】A解：、是两个单位向量，且夹角为，则（-2）•（-2+）==-4+5×=-．7.【答案】C解：假设第一次取出的不是一等品，则第二次是从7产品包含6件一等品中取一件，是一等品的概率为．8.【答案】B解：对于A，若α∩β=l，m∥l，n∥l，显然条件成立，但α，β不平行，故A错误；对于B，由m∥n，m⊥α可得n⊥α，又n⊥β，故α∥β，故B正确；对于C，若m⊥n，m∥α，n∥β，则α，β可能平行，可能相交，故C错误；对于D，m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β，故D错误．9.【答案】D解：从研发投入占营收比（图中的红色折线）07～09年有所下降，并非连续 12 年研发投入占营收比逐年增加，故D错．10.【答案】B解：∵函数f（x）的定义域为（-∞，-）∪（-，）∪（，+∞）f（-x）===f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x=1时，f（1）=＜0，故排除C，综上所述，只有B符合，11.【答案】C解：抛物线y2=8x的准线方程为x=-2，∵|AF|=4，∴A到准线的距离为6，即A点的横坐标为4，∵点A在抛物线上，∴A的坐标A（4，4）∵坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（-4，0），∴|PO|=|PB|，∴|PA|+|PO|的最小值：|AB|==4．12.【答案】C解：根据题意，画出分段函数f（x）图象如下：由两个函数图象及题意，可知：x1，x2不可能同时＞1．因为当x1和x2都＞1时，f（x1）+f（x2）＞2，不满足题意，∴x1，x2不可能同时＞1．而x1≠x2，∴x1＜1＜x2，∴f（x1）+f（x2）=，∵f（x1）+f（x2）=2，∴，∴x1=1-2lnx2，∴x1+x2=1+x2-2lnx2，（x2＞1）．构造函数g（x）=1+x-2lnx，（x＞1）则．①令g′（x）=0，即，解得x=2；②令g′（x）＜0，即，解得x＜2；③令g′（x）＞0，即，解得x＞2．∴g（x）在（1，2）上单调递减，在x=2处取得极小值，在（2，+∞）上单调递增．∴g（x）min=g（2）=3-2ln2．∴g（x）≥3-2ln2．∴x1+x2≥3-2ln2．13.【答案】2；-．解：由周期公式，可得ω=2，由得，，所以，平方得，∴，解：由题意可得点OA=OB=6，AC=1314.【答案】32设双曲线的标准方程是．则2c=12，c=6，则2a=AC-BC=13-5=8，所以a=4．所以双曲线的离心率为：e==．15.【答案】①②④解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面ABCD为矩形，AB=2，BC=4，则四个侧面是直角三角形，故①正确；最长棱为PC，长度为，故②正确；由已知可得，PB=2，PC=2，PD=2，则四个侧面均不全等，故③错误；把四棱锥补形为长方体，则其外接球半径为PC=，其表面积为4π×=24π，故④正确．∴其中正确的命题是①②④．16.【答案】5n2−3n4解：由得a n+1（n+1+2a n）=na n，即2a n a n+1+（n+1）a n+1=na n，两边同时除以n（n+1）a n a n+1，得由累加法得，∴为等差数列，所以．17.【答案】（本小题满分12分）解：（1）由正弦定理得：√22√23=6sinC，所以sin C=1，∠C=π2，所以BC=√62−(4√2)2=2，所以S=12×2×4√2=4√2．（6分）（2）设DC =x ，则BD =2x ，由余弦定理可得(2x)2+(2x)2−622⋅2x⋅2x=−(2x)2+x 2−(4√2)22⋅x⋅2x解得：x =5√23所以BC =3DC =5√2．（12分）18.【答案】解：（I ）估计第一车间生产时间小于75min 的工人人数为200×620=60（人），（2分）估计第二车间生产时间小于75min 的工人人数为： 400×（0.025+0.05）×10=300（人）．（II ）第一车间生产时间平均值约为：x 1−=120（60×2+70×4+80×10+90×4）=78（min ）．第二车间生产时间平均值约为：x 2−=60×0.25+70×0.5+80×0.2+90×0.05=70.5（min ）， ∵x 1＞x 2，∴第二车间工人生产效率更高．（III ）由题意得，第一车间被统计的生产时间小于75min 的工人有6人，其中生产时间小于65min 的有2人，从中抽取3人，随机变量X 服从超几何分布， X 可取值为0，1，2， P （X =0）=C 20C 43C 63=420=15， P （X =1）=C 21C 42C 63=1220=35， P （X =2）=C 22C 41C 63=420=15，X 0 1 2 P153515∴数学期望E （X ）=0×15+1×35+2×15=1．19.【答案】（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在△PAE 中，OP ⊥AE ，在△BAE 中，OB ⊥AE ， ∴AE ⊥平面POB ，AE ⊂平面ABCE ，所以平面POB ⊥平面ABCE ；（4分）（Ⅱ）在平面POB 内作PQ ⊥OB =Q ，∴PQ ⊥平面ABCE ． ∴直线PB 与平面ABCE 夹角为∠PBQ =π4，又∵OP =OB ，∴OP ⊥OB ，O 、Q 两点重合，即OP ⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为P(0，0，√32)，E(12，0，0)，C(1，√32，0)，∴PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12，0，−√32)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12，√32，0)，设平面PCE 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x ，y ，z)，则{PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 1⃗⃗⃗⃗ =0EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 1⃗⃗⃗⃗ =0，即{12x −√32z =012x +√32y =0，设x =√3，则y =-1，z =1，∴n 1⃗⃗⃗⃗ =(√3，−1，1)，由题意得平面PAE 的一个法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(0，1，0)，设二面角A -P -EC 为α，|cosα|=|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=1⋅√5=√55．即二面角A -P -EC 为α的余弦值为−√55．（12分）20.【答案】解：（1）∵e =√22，∴a =√2c ，又a =3√2，且a 2=b 2+c 2， ∴a 2=18，b 2=9，因此椭圆C 的方程为x 218+y 29=1．（2）法一：设M （x 0，y 0）（x 0≠0），N （x 1，y 1）， ∵MB 1⊥NB 1，MB 2⊥NB 2，∴直线NB 1：y +3=−x 0y 0+3x ……①直线NB 2：y −3=−xy 0−3x ……②由①，②解得：x 1=y 02−9x 0，又∵x 0218+y 029=1，∴x 1=−x2，四边形MB 2NB 1的面积S =12|B 1B 2|(|x 1|+|x 2|)=3×32|x 0|，∵0＜x 02≤18，∴当x 02=18时，S 的最大值为27√22．法二：设直线MB 1：y =kx -3（k ≠0），则直线NB 1：y =−1k x −3……① 直线MB 1与椭圆C ：x 218+y 29=1的交点M 的坐标为(12k2k 2+1，6k 2−32k 2+1)，则直线MB 2的斜率为k MB 2=6k 2−32k 2+1−312k 2k 2+1=−12k ，∴直线NB 2：y =2kx +3……②由①，②解得N 点的横坐标为x N =−6k2k 2+1，因此四边形MB 2NB 1的面积S =第11页，共13页12|B 1B 2|(|x M |+|x N |)=3×(12|k|2k 2+1+6|k|2k 2+1)=54|k|2k 2+1=542|k|+1|k|≤27√22，当且仅当|k|=√22时，S 取得最大值27√22．21.【答案】解：（1）f′(x)=−2x 2+a x =ax−2x 2，①当a ≤0时，f '（x ）＜0在x ∈（0，+∞）上恒成立，∴f （x ）在（0，+∞）上单调递减； ②当a ＞0时，x ∈(0，2a )时f '（x ）＜0，x ∈[2a ，+∞)时，f '（x ）＞0，即f （x ）在x ∈(0，2a )上单调递减，在x ∈[2a ，+∞)单调递增；（Ⅱ）∵x =2是f （x ）的极值点， ∴由（1）可知2a =2， ∴a =1设在P （x 1，f （x 1））处的切线方程为y −(2x 1+lnx 1)=(−2x 12+1x 1)(x −x 1)，在Q （x 2，f （x 2））处的切线方程为y −(2x 2+lnx 2)=(−2x 22+1x 2)(x −x 2)∴若这两条切线互相平行，则−2x 12+1x 1=−2x 22+1x 2，∴1x 1+1x 2=12∵1x 2=12−1x 1，且0＜x 1＜x 2＜6，∴16＜12−1x 1＜1x 1，∴14＜1x 1＜13，∴x 1∈（3，4）令x =0，则b 1=4x 1+lnx 1−1，同理，b 2=4x 2+lnx 2−1．【解法一】∵1x 2=12−1x 1，∴b 1−b 2=4(1x 1−1x 2)+lnx 1−lnx 2=4(2x 1−12)−ln 1x 1+ln(12−1x 1)设g(x)=8x −2−lnx +ln(12−x)，x ∈(14，13) ∴g′(x)=8−1x −112−x =16x 2−8x+12x 2−x=(4x−1)22x 2−x＜0∴g （x ）在区间(14，13)上单调递减， ∴g(x)∈(23−ln2，0)即b 1-b 2的取值范围是(23−ln2，0)．第12页，共13页【解法二】∵x 2=2x 1x1−2，∴b 1−b 2=4(1x 1−1x 2)+lnx 1−lnx 2=8x 1−2+ln(x12−1)令g(x)=8x +ln(x2−1)−2，其中x ∈（3，4） ∴g′(x)=−8x 2+1x−2=x 2−8x+16x 2(x−2)=(x−4)2x 2(x−2)＞0∴函数g （x ）在区间（3，4）上单调递增， ∴g(x)∈(23−ln2，0)∴b 1-b 2的取值范围是(23−ln2，0)．【解法三】∵x 1•x 2=2（x 1+x 2）， ∴b 1−b 2=4x 1−4x 2+lnx 1−lnx 2=4(x 2−x 1)x 1⋅x 2+ln x 1x 2═2(x 2−x 1)x 1+x 2+ln x 1x 2=2(1−x 1x 2)1+x 1x 2+ln x1x 2设g(x)=2(1−x)1+x+lnx ，则g′(x)=−4(1+x)2+1x =(1−x)2x(1+x)2∵x1x 2=x 12−1∈(12，1)，∴g '（x ）＞0，∴函数g （x ）在区间(12，1)上单调递增， ∴g(x)∈(23−ln2，0)，∴b 1-b 2的取值范围是(23−ln2，0)．22.【答案】解：（Ⅰ）直线l 1的参数方程为{y =1+tsin30∘x=2+tcos30∘，即{x =2+√32t y =1+12t （t 为参数）．………………………………………（2分）设N （ρ，θ），M （ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），则{θ=θ1ρρ1=12，即ρ⋅3cosθ=12，即ρ=4cosθ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2-4x +y 2=0（x ≠0）．……………………………………………（5分）（Ⅱ）将l 1的参数方程代入C 的直角坐标方程中，得(2+√32t)2−4(2+√32t)+(1+12t)2=0，……………………………（7分）即t 2+√32t −3=0，t 1，t 2为方程的两个根， ∴t 1t 2=-3，………………（9分）∴|AP |•|AQ |=|t 1t 2|=|-3|=3．………………………………………（10分）．23.【答案】解：（Ⅰ）f （x ）≤4⇔{x ＜12−3x +2≤4或{12≤x ＜1x ≤4或{3x −2≤4x≥1，解得-23≤x ≤2，第13页，共13页故不等式f （x ）≤4的解集为{x |-23≤x ≤2}（Ⅱ）∵f （x ）={−3x +2，x ＜12x ，12≤x ＜13x −2，x ≥1，∴f （x ）min =12，即m =12，又a ，b ，c ∈R +且a +b +c =12，z 则2a +2b +2c =1，设x =√2a +1，y =√2b +1，z =√2c +1， ∵x 2+y 2≥2xy ，2xy ≤x 2+y 2=2a +1+2b +1=2a +2b +2，同理：2yz ≤2a +2c +2，2xz ≤2c +2a +2，∴2xy +2yz +2xz ≤2a +2b +2+2b +2c +2+2c +2a +2=8，∴（x +y +z ）2=x 2+y 2+z 2+2xy +2yz +2xz ≤2a +1+2b +1+2c +1+8=12， ∴x +y +z ≤2√3，即√2a +1+√2b +1+√2c +1≤2√3，当且仅当a =b =c =16时，取得最大值2√3．。

东北三省三校2019届高三下学期3月一模考试数学(理)试卷.doc

2019年三省三校高三第一次联合模拟考试理科数学答案一．选择题1-6 DBCABB 7-12 DACDCC 二．填空题13. 3 14. 乙 15. 78- 16. 4π 三．解答题17. 解：（Ⅰ）1()2cos 21sin(2)1226f x x x x =++=++π2分∵[0,]2x π∈，∴72666πππ≤+≤x4分∴1sin(2)1226π≤++≤x ∴函数()f x 的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．6分（Ⅱ）∵3()sin(2)162π=++=f A A ∴1sin(2)62π+=A∵0π<<A ，∴132666πππ<+<A ，∴5266ππ+=A ，即3π=A8分由正弦定理，2aA B ==，∴sin B =2034B B ππ<<∴=9分 ∴sin sin()C AB =+=，sin sin c bC B==，∴2=b 11分∴13sin 22∆==ABC S bc A12分18. 解：（Ⅰ）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件A ，则1131241()2C C P A C == 故随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视的概率为12.4分（Ⅱ）根据以上数据得到列联表：8分所以2K 的观测值2200(40406060)8.000 6.635(4060)(6040)(4060)(6040)k ⨯⨯-⨯==>++++，故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系. 12分19.解：（Ⅰ）在BDC ∆中，延长BF 交CD 于点M ，13OF OD =,BDC ∆是等边三角形F ∴为BDC ∆的重心13MF BM ∴=2分//EF 平面ACD , EF ⊂平面ABM ABMACD AM =，且面面，//EF AM ∴13AE AB ∴=,即点E 为线段AB 上靠近点A 的三等分点.4分（Ⅱ）等边B C D ∆中，O D B C⊥，OD BCD ⊂平面，ABC BCD ⊥面面，交线为BC ，OD ABC ∴⊥平面 6分如图以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -点A 在平面BEF上，所以二面角D FB E --与二面角D FB A --为相同二面角. 设2AB =,则OD OA ==(0,0,(0,1,0)3F A B 3(0,1,),(3,1,0)3BF BA ∴=-=-设平面AFB 的法向量u (,,)x y z =，则⎧⎨⎩u u 0⋅=⋅=BF BA即030y z y ⎧-+=⎪-=，取1x =，则u = 9分又OA ⊥平面OBD ，(3,0,0)OA =, 10分则cos <u ,OA >=u u 1313== 又二面角D FB E --为钝二面角，所以余弦值为 .12分20.解：（Ⅰ）设),(00y x P 0(2)x ≠±，则220014x y +=，因为)0,2(),0,2(B A -，则4144142220202020000021-=--=-=-⋅+=x x x y x y x y k k2分(,)Q x y 设(2)x ≠±所以4422212243λλ-==-=-⋅+=k k x y x y x y k k ，整理得1422=+λy x )2(±≠x . 所以，当4=λ时，曲线2C 的方程为 )2(422±≠=+x y x . . 4分（Ⅱ）设),(),,(2211y x F y x E . 由题意知，直线AM 的方程为：26-=y x ，直线BM 的方程为：22+-=y x .由（Ⅰ）知，曲线2C 的方程为1422=+λy x )2(±≠x ， .7分联立 )2(442622±≠⎩⎨⎧=+-=x y x y x λλ，消去x ，得2(91)60y y λ+-λ=，得 1961+=λλy 联立)2(442222±≠⎩⎨⎧=++-=x y x y x λλ，消去x ，得2(1)20λ+-λ=y y ，得 122+=λλy 9分2212111111sin 91222211111sin 2222MA MF AMF y y MA MF S S MB ME MB ME BME y y ∠--+=====+∠--λλ 10分OA ⋅OA设918()911g λ+λ==-λ+λ+，则()g λ在[1,3]上递增又(1)5,(3)7g g ==，12S S ∴的取值范围为[]5,7 12分21.解：（Ⅰ）当1a =时,()()()xh x f x g x e x -=+=+，()1,x h x e -'=-+令()0,h x '=解得0x =()=(0)1h x h ∴=极小值4分（Ⅱ）设1()(1)ln(1)e ()eln(1)e t t f t t g t at t ϕ+=--++--=-++-，令1(1)t x x +=≥，()e ln e ,1xF x ax x a x =-+-+≥，1'()e x F x a x=-+，设1()()e x t x F x a x '==-+，21()e x t x x '=-，由1x ≥得，2211,01x x e e x≥∴<≤≥Q21'()e 0x t x x=->，()t x 在(1,)+∞单调递增，即()F x '在(1,)+∞单调递增，(1)1F e a '=+-，① 当e 10a +-≥，即e 1a ≤+时，(1,)x ∈+∞时，()(1)0F x F ''>≥，()F x 在(1,)+∞单调递增, 又(1)0F =，故当1x ≥时，关于x 的方程e ln e 0x ax x a -+-+=有且只有一个实数解. 8分②当10e a +-<，即1a e >+时，1(1)0,'(ln )0ln F F a a a a a a'<=-+>-=，又ln ln(1)1a e >+> 故00(1,ln ),()0x a F x '∃∈=，当0(1,)x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减，又(1)0F =，故当(]01,x x ∈时，()0F x <，在[)01,x 内，关于x 的方程e ln e 0xax x a -+-+=有一个实数解1x =.10分又0(,)x x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增，且22()ln 1a a F a e a a a e e a =+-+->-+，令2()1(1)x k x e x x =-+≥，()()2x s x k x e x '==-,()e 2e 20x s x '=->->,故()k x '在()1,+∞单调递增，又(1)0k '>故()k x 在()1,+∞单调递增，故()(1)0k a k >>，故()0F a >，又0eaa x >>，由零点存在定理可知，101(,),()0x x a F x ∃∈=，故在()0,x a 内，关于x 的方程e ln e 0x ax x a -+-+=有一个实数解1x .此时方程有两个解. 综上，e 1a ≤+.12分22.解：（Ⅰ）22324103x x x y y αα⎧=+⎪∴-++=⎨=⎪⎩2分所以曲线C 的极坐标方程为24cos 10ρρθ-+=.4分（Ⅱ）设直线l 的极坐标方程为[)11(,0,)R θθρθπ=∈∈，其中1θ为直线l 的倾斜角，代入曲线C 得214cos 10,ρρθ-+=设,A B 所对应的极径分别为12,ρρ.21211214cos ,10,16cos 40∴+==>∆=->ρρθρρθ7分1212OA OB +=+=+=ρρρρ8分1cos θ∴= 满足0∆>16πθ∴=或56π， l 的倾斜角为6π或56π，则1tan k θ==10分23.解：（Ⅰ）因为a x a x x a x x f 444)(=--≥+-=，所以 a a 42≤，解得 44≤≤-a . 故实数a 的取值范围为]4,4[-. 4分（Ⅱ）由（1）知，4=m ，即424x y z ++=. 根据柯西不等式222)(z y y x +++[][]2222221)2(4)(211+-+⋅+++=z y y x []21162)(42112=+-+≥z y y x 8分等号在z yy x =-=+24即884,,72121x y z ==-=时取得. 所以222)(z y y x +++的最小值为2116. 10分。

吉林省长春市普通高中近年届高三数学质量检测试题(三)理(含解析)(最新整理)

吉林省长春市普通高中2019届高三质量检测（三）数学(理）试题一、选择题（本大题共12小题,共60。

0分) 1。

的值为（ )A 。

B 。

C.D 。

【答案】B 【解析】由诱导公式可得，故选B.2。

已知集合A=｛—1，0,1，2｝，B={x|（x+1）（x —2）＜0}，则A∩B=（） A 。

B.C 。

0，D 。

1，【答案】A 【解析】分析】化简集合B ，进而求交集即可。

【详解】由B 中不等式解得：-1＜x ＜2，即B=｛x|-1＜x ＜2}， ∵A={—1,0，1，2｝， ∴A∩B={0，1}，故选：A ．【点睛】本题考查交集的概念与运算，考查一元二次不等式的解法,属于基础题.3。

若实部与虚部相等，则实数a 的值为（）A 。

0B. 1C. 2D 。

3【答案】A 【解析】【分析】先化简已知得，所以,解之即得a 的值. 【详解】由题得，【的所以.故选：A【点睛】本题主要考查复数的除法运算和实部虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力。

4。

执行如图所示的程序框图，如果输入,则输出p为（）A。

6 B。

24 C。

120 D. 720【答案】B【解析】【分析】根据程序框图运行程序，按判断框循环运行,不符合时输出即可.【详解】按照程序框图运行程序，输入，，，一次运行：,此时，循环得二次运行：，此时，循环得三次运行:，此时,循环得四次运行：，此时，输出本题正确选项：【点睛】本题考查程序框图中的循环结构，属于基础题.5。

已知等差数列{a n｝的前n项和为S n，且a2=4，a4=2，则S6=（）A。

0 B。

10 C。

15 D. 30【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质，根据，求出a1，d，代入等差数列的前n项和公式即可．【详解】数列{a n}是等差数列，a2=4=a1+d,a4=2=a1+3d，所以a1=5，d=-1，则S6=6a1+=15．故选:C．【点睛】本题考查等差数列的通项公式,前n项和公式，属于基础题．6。

东北三省四市2019届高三理综等值诊断联合考试卷(长春三模)

2019年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试理科综合能力测试本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共40题，共300分，共16页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

可能用到的相对原子质量 H-1 N-14 O-16 S-32 Ca-40 Cu-64第Ⅰ卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列关于物质跨膜运输的叙述，正确的是A．葡萄糖分子进入所有真核细胞的方式均相同B．在静息状态下，神经细胞仍进行离子的跨膜运输C．甘油进出细胞取决于细胞内外的浓度差和载体的数量D．细胞通过主动运输方式吸收离子的速率与细胞呼吸强度呈正相关2．右图为某高等植物叶肉细胞部分亚显微结构模式图，相关叙述正确的是A．该细胞内还应具有中心体等多种细胞器B．2与4中都含有叶绿素和类胡萝卜素等色素C．1、5是有氧呼吸的场所，该细胞不能进行无氧呼吸D．3是遗传信息库，是细胞代谢和遗传的控制中心3．下列关于生物体内具有重要生理作用的物质的叙述，错误的是A．细胞内的吸能反应一般由ATP水解提供能量B．同无机催化剂相比，酶降低活化能的作用更显著C．种子从休眠状态进入萌发状态，自由水/结合水比值下降D．人体血浆渗透压的大小主要与无机盐、蛋白质的含量有关4．下列关于人体生命活动调节的叙述，正确的是A．激素随体液到达靶细胞，直接参与靶细胞内多种生命活动B．大面积烧伤易发生感染的原因是非特异性免疫能力降低C．脑干内有呼吸中枢、语言中枢等重要的生命活动中枢D．病毒侵入机体后，体内的吞噬细胞、T细胞和浆细胞都具有识别功能5．下图表示遗传信息的复制和表达等过程，相关叙述中错误的是A．可用光学显微镜检测①过程中是否发生碱基对的改变B．①②过程需要模板、原料、酶和能量等基本条件C．图中①②③过程均发生了碱基互补配对D．镰刀型细胞贫血症体现了基因通过控制蛋白质的结构直接控制生物性状6．下列关于生物科学史的相关叙述，错误的是A．萨顿利用类比推理的方法得出基因位于染色体上的推论B．孟德尔用豌豆做实验发现了两大遗传定律但没有提出基因的概念C．现代生物进化理论认为，自然选择导致种群基因频率的定向改变D．拜尔通过实验证明胚芽鞘的弯曲生长是由生长素引起的7．下列叙述正确的是A．乙烯和苯都能使溴水褪色，褪色的原理相同B．乙醇、乙酸、乙酸乙酯都能发生取代反应C．淀粉、油脂、蛋白质的水解产物互为同分异构体D．纤维素、聚乙烯、光导纤维都属于高分子化合物8．乙苯的一氯代物的结构共有A．3种B．4种C．5种D．6种9．下列对Ⅰ~Ⅳ实验的现象预测正确的是A．实验Ⅰ：振荡后静置，液体分层，下层液体无色B．实验Ⅱ：滴入氢氧化钠溶液后，试管中出现白色沉淀迅速变为灰绿色最后变为红褐色C．实验Ⅲ：一段时间后，饱和CuSO4溶液中出现蓝色晶体D．实验Ⅳ：加热后，水槽中先生成白色沉淀，后逐渐溶解10四种物质甲乙丙丁反应前质量(g)251515反应后质量(g)11未测122则下列表述正确的是A．未测值为3 g B．丙一定是催化剂C．乙全部参加反应D．甲与乙反应的质量比为14∶311．下列离子在指定条件下一定能大量共存的是A．含有大量OH-的溶液中：CO32-、Cl-、F-、K+B．与铝反应产生氢气的溶液中：Na+、AlO2-、NO3-、HCO3-C．含有大量Al3+的溶液中：K+、Na+、NO3-、ClO-D．使甲基橙呈黄色的溶液中：I-、Cl-、NO3-、Na+12．粗铜中一般含有锌、铁、银、金等杂质。

2019年吉林省长春市高三质量监测(四)数学(理)试题(解析版)

长春市普通高中2019届高三质量监测（四）数学试题卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 1x >是21x >的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 2.学校先举办了一次田径运动会，某班共有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人，两次运动会中，这个班总共的参赛人数为A. 20B. 17C. 14D. 233. 圆22:20C x y x +-=被直线3y x =所截得的线段长为A. 2B. 3C. 1D. 24. 下列椭圆中最扁的一个是A.2211612x y += B. 2214x y += C. 22163x y += D. 22198x y += 5. 已知向量(cos 2,sin )θθ=-a ，其中θ∈R ，则||a 的最小值为 A. 1 B. 2 C.5 D. 36. 设n S 是各项均不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且13713S S =，则74a a 等于 A. 1 B. 3 C. 7 D. 137. 某学校要将4名实习教师分配到3个班级，每个班级至少要分配1名实习教师，则不同的分配方案有A. 24种B. 36种C. 48种D. 72种 8. 已知21()sin sin f x x ax x =++，若()22f ππ=+，则()2f π-=A. 2π-B. 2π-C. 2D. π9．某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A ——结伴步行，B ——自行乘车，C ——家人接送，D ——其他方式，并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图.根据图中信息，求得本次抽查的学生中A 类人数是A. 30B. 40C. 42D. 4810. 《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个10m 高的标杆，之间距离为1000步，两标杆与海岛底端在同一直线上，从第一个标杆M 处后退123步，人眼贴地面，从地上A 处仰望岛峰，人眼、标杆顶部和山顶三点共线；从后面的一个标杆N 处后退127步，从地上B 处仰望岛峰，人眼、标杆顶部和山顶三点也共线，则海岛的高A. 2510mB. 2610mC. 2710mD. 3075m11. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 且倾斜角为120︒的直线与抛物线C 交于A B 、两点，若AF BF 、的中点在y 轴上的射影分别为M N 、，且|MN 则抛物线C 的准线方程为A. 1x =-B. 2x =-C. 32x =-D. 3x =- 12. 若函数11()ln(e e )2x xf x --=+-与()sin 2x g x π=的图象的交点为1122(,),(,),,x y x y L(,)m m x y ，则1mi i x ==∑A. 2B. 4C. 6D. 8 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13. 已知复数(1+2i)(1i)z =-，则z 的模等于_____________，它的共轭复数为__________. 14. 4()a x x+的展开式中2x 项的系数为8，则a = . 15. 如图所示，阴影部分由函数()sin()f x x π=的图象与x 轴围成，向正方形中投掷一点，则该点落在阴影区域的概率为 .16.底面为正多边形，顶点在底面的射影为底面多边形中心的棱锥为正棱锥，则半径为2的球的内接正四棱锥的体积最大值为 .三、解答题：共70份，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17.(本小题满分12分)已知数列{}n a 满足：11a =，点1(,)n n a a +（n *∈N ）在直线21y x =+上.（Ⅰ）求234,,a a a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中你的猜想. 18. (本小题满分12分)已知四棱柱1111-ABCD A B C D 中，1DD ⊥平面ABCD ，AD DC ⊥,AD AB ⊥222DC AD AB ===,14AA =，点M 为11C D 中点,（Ⅰ）求证: 平面11AB D ∥平面BDM ；（Ⅱ）求直线1CD 与平面11AB D 所成角的正弦值.19. (本小题满分12分)已知椭圆22:1(04)4x y C b b+=<<的左顶点为A ，右顶点为B ， M 为椭圆C 上异于A B 、的任意一点，平面内的点P 满足AM MP =u u u r u u u r.（Ⅰ）若点P 的坐标为(4,3)，求b 的值；（Ⅱ）若存在点P 满足OP BM ⊥（O 为坐标原点），求b 的取值范围.20. (本小题满分12分) 已知函数()xf x e x =-. （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若对任意0x >，21()12f x ax >+有解，求 a 的取值范围. 21. (本小题满分12分)某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办随机统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入x （单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（Ⅱ）由频率分布直方图可认为该贫困地区农民年收入X 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为年平均收入x ，2σ近似为样本方差2s ，经计算得26.92s =. 利用该正态分布,求:（i ）在2018年脱贫攻坚工作中，该地区约有84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？（ii ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民，若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数约为多少？附：参考数据： 6.92 2.63≈. 若2~(,)X N μσ,则()0.6827P μσξμσ-+=≤≤，(22)0.9545P μσξμσ-+=≤≤，(33)0.9973P μσξμσ-+=≤≤.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22. (本小题满分10分)选修4-4 坐标系与参数方程选讲已知曲线1C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=，曲线2C 的参数方程为1cos sin x y m θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线3C 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.（Ⅰ）若曲线1C 与2C 无公共点，求正实数m 的取值范围；（Ⅱ）若曲线3C 的参数方程中，4πα=，且曲线3C 与1C 交于,A B 两点，求||AB 的值.23. (本小题满分10分) 选修4-5 不等式选讲已知,,,a b c d 均为正实数.（Ⅰ）求证：22222()()()a b c d ac bd +++≥；（Ⅱ）若=1a b +，求证：221113a b a b +++≥. 长春市2019年高三质量监测（四）数学（理科）试题参考答案及评分参考一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. A 【命题意图】本题考查充要条件.【试题解析】条件：{|1},A x x =>结论：2{|1}B x x =>{|1,x x =<-1}x >或，则A B ⊂≠，故选A.2. B 【命题意图】本题考查集合交集并集元素个数的运算.【试题解析】()()()()812317card A B card A card B card A B ⋃=+-⋂=+-=，故选B3. C 【命题意图】本题考查直线与圆相交弦长的计算.【试题解析】圆心C (1,0)到直线y =的距离d =，圆半径1r =，则所求线段的长为1=，故选C4. B 【命题意图】本题考查椭圆离心率的几何意义.【试题解析】椭圆的离心率越小，椭圆越圆，b a 越小，离心率越大，椭圆越扁，b a越小，故选B5. A 【命题意图】本题考查向量的模长公式及三角函数的最值.【试题解析】1==|a |，故选A.6. C 【命题意图】本题考查等差数列求和公式.【试题解析】∵113171377413()7()13,722a a a a S a S a ++====∴由13713S S =得747aa =，故选C7. B 【命题意图】本题考查排列组合.【试题解析】要将4人分配到3个位置，每个位置至少要分配1人，先把4人分成三堆，在分配的三个位置，即234336C A =,故选B8. B 【命题意图】本题考查函数的奇偶性.【试题解析】由()22f ππ=+，得21()sin()222sin 2f a ππππ=++∴2()2a ππ=2211()sin()()sin ()22222sin()sin 22f a a πππππππ-=-++-=--+-∴2()()2()2222f f a ππππ+-==∴()22f ππ-=-，故选B9. A 【命题意图】本题考查条形统计图和扇形统计图.【试题解析】由上学方式中的C 或D ，可得本次抽查学生总数为120人，∴A 类有120－42－30－18=30人，故选A10. A 【命题意图】本题考查解直角三角形，相似三角形.【试题解析】设山高为h ，上帝到的距离为x ，由相似三角形，可得12310123127101000127x hx h⎧=⎪+⎨⎪=⎩++解得2510h =，故选A 11. D 【命题意图】本题考查抛物线的性质，过焦点弦长的倾斜角公式.【试题解析】由2||sin 60||MN AB =︒得||16AB =,由22||16sin 120pAB ==︒得6p =，∴抛物线C 的准线方程为3x =-，故选D12. A 【命题意图】本题考查函数的奇偶性及函数的对称性、函数的零点.【试题解析】函数11()ln(e e )2x x f x --=+-关于直线1x =对称（满足()(2)f x f x =-），()sin2xg x π=也关于直线1x =对称，当1x >时，()f x 单调递增，(1)ln 22f =-，33(4)ln(e e )21f -=+->，如图，两个函数图象只有两个焦点∴12mii x==∑，故选A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，13题对一个给3分，共20分）13.10,3i -【命题意图】本题考查复数的四则运算，模长公式以及共轭复数的概念.【试题解析】(1+2i)(1i)=3+i z =-，22||3+1=10z ==3i z -14. 2【命题意图】本题考查二项式定理的通项公式.【试题解析】由13244aC x ax x⋅⋅=得48a =∴2a = 15.2π【命题意图】本题考查曲边梯形面积定积分运算及几何概型. 【试题解析】阴影部分的面积为110012sin()cos()|x dx x ππππ=-=⎰∴所求概率为2π16. 51281【命题意图】本题考查球的内接正四棱锥，应用导数求函数最值.【试题解析】设底面正方形边长为a ，四棱锥高为h ，则有2222(2)()22h a -+=∴221402h h a -+=，∴2228a h h =-+∴正四棱锥体积为213V a h =21(28)3h h h =-+321(28)(04)3h h h =-+<<，21(616)3V h h '=-+∴当803h <<时，0V '>；当843h <<时，0V '<∴V 在8(0,)3上递增，在8(,4)3上递减∴当83h =时，V 有最大值51281三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列与数学归纳法的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）由题意可知，2343,7,15a a a ===. （3分）可猜得21nn a =-. （6分）（Ⅱ）当1n =时，1211a =-=成立，（8分）假设当(1,)n k k k N =≥∈时，21kk a =-成立，（10分）当1n k =+时，11212(21)121k k k k a a ++=+=-+=-成立综上，21nn a =-. （12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查立体几何的相关知识. 【试题解析】（Ⅰ）由题意得，1111//,,DD BB DD BB = 故四边形11DD B B 为平行四边形，所以11//D B DB ，由11D B ⊂平面11AD B ，DB ⊄平面11AD B ，故//DB 平面11AD B ，（2分）由题意可知//AB DC ，M 为11D C 中点，11D M AB ==，所以四边形1ABMD 为平行四边形，所以1//BM AD ，所以//BM 平面11AD B ，（4分）又由于,BM BD 相交，所以平面DBM 平面11AD B （6分）（II ）由题意，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，点11(0,0,4),(0,2,0),(1,0,0),(1,1,4)D C A B ，设平面11AB D 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，有1100AD n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r r u u u u r r，令1z =，则(4,4,1)n =-r ，（8分） 1(0,2,4)CD =-u u u u r，（10分）令θ为直线1CD 与平面11AB D所成的角，则11sin ||||||CD n CD n θ⋅==⋅u u u u r r u u u u r r （12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查圆锥曲线的相关知识. 【试题解析】（Ⅰ）依题意，M 是线段AP 中点，因为(2,0),(4,3)A P -，故3(1,)2M ，（2分）代入椭圆C 的方程，可得3b =（4分）（Ⅱ）设),(00y x M ，则0(2,2)x ∈-，又00(2,0),(22,2)B P x y +，（6分）又OP BM ⊥，所以，2000(2)(22)20x x y -++=，012x -<<，（8分）220014x y b+=，消去0y ，可得0004(1)14(1)22x b x x +==-++，（10分）故(0,3)b ∈（12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查函数与导数的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）2()1x f x e+'=-，（2分）可知()f x 在(,2)-∞-上单调递减，在(2,)-+∞单调递增，所以()(2)3f x f ≥-=. （4分）（Ⅱ）对任意222110,()()()022x x f x x a e x x a +>>-⇔--->设2221()(),()12x x g x e x x a g x e x a ++'=---=--+，（6分）由（Ⅰ）知()g x '单调递增，2(0)1g e a '=+-. （7分）①当21a e ≥-时，(0)0g '≥，()0g x '≥，所以()g x 单调递增，则221(0)02g e a =-≥，即a ≤≤. （9分） ②当21a e <-时，(0)0g '<，可知存在000,(0,)x x x >∈使得()0g x '<，()g x 单调递减，2222211(0)(1)022g e a e e =-<--<，所以存在0(0,)x x ∈，()0g x <，故不成立. （11分）综上所述，a ≤≤. （12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查概率与统计的相关知识. 【试题解析】（Ⅰ）120.04140.12160.28180.36200.10x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+220.06240.0417.40⨯+⨯=（千元）（4分）（Ⅱ）由题意，(17.40,6.92)X N :（6分）（i ）10.6827()0.841422P x μσ>-=+≈，所以14.77μσ-=时满足题意，即最低年收入大约为14.77千元（8分）（ii ）由10.9545(12.14)(2)0.977322P x P X μσ≥=≥-=+≈得每个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，记1000个农民的年收入不少于12.14千元的人数为ξ，则(1000,),0.9773B p p ξ=:，（9分）于是恰好有k 个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率是10001000()(1)k k k P k C p p ξ-==-，（10分）从而由()(1001)1,1001978.2773(1)(1)P k k pk p P k k p ξξ=-=><==--（11分）所以当0978k ≤≤时，(1)()P k P k ξξ=-<= 当9791000k ≤≤时，(1)()P k P k ξξ=->=由此可知，在所走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数大约为978. （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）1C 的直角坐标方程为x y 42=①，2C 的直角坐标方程为222(1)x y m -+=②，将①②联立，可求得121,1x m x m =--=-+，由题意：1010m m --<⎧⎨-+<⎩，求得11m -<<. （5分）（Ⅱ）当4πα=时，曲线3C 为直线1-=x y ，解方程组⎩⎨⎧=-=x y x y 412，得)222,223(--A ，)222,223(++B ，于是可求得8=AB . （10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识.【试题解析】解：（Ⅰ）222222222222()()()a b c d a c a d b c b d ++=+++22222(2)()a c abcd b d ac bd ≥++=+（5分）（Ⅱ）22222211()(11)1111a b b aa b a a b ba b a b++++++=+++++++2222()1a ab b a b≥++=+=而(1)(1)3a b+++=，所以221113a ba b+≥++（10分）。

东北三省四市2019届高三第一次模拟数学(理)试题(解析版)

2019年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（一）数学（理科）第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求解出集合，根据交集运算得到结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.在复平面内，表示复数的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】将整理为，可得对应的点为，由此得到结果.【详解】对应的点为：对应的点在第一象限本题正确选项：【点睛】本题考查复数运算和复数的几何意义，属于基础题.3.下列各点中，可以作为函数图象的对称中心的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】化简函数，利用对称性的特点进行验证即可.【详解】，当时，，故A适合题意，故选：A【点睛】本题考查正弦型函数的对称性，考查三角函数的恒等变换，属于基础题.4.执行如图所示的程序框图，如果输入N=4，则输出p为（）A. 6B. 24C. 120D. 720【答案】B【解析】【分析】直接模拟程序框图运行.【详解】由题得p=1,1＜4，k=2,p=2,2＜4,k=3,p=6,3＜4，k=4,p=24,4=4,p=24.故选：B【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.已知等差数列的前项和为，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用，结合求得结果.【详解】由等差数列性质可知：本题正确选项：【点睛】本题考查等差数列性质的应用，属于基础题.6.已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出α∥β的是（）A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，【答案】B【解析】【分析】根据垂直于同一直线的两平面平行可知正确.【详解】当时，若，可得又，可知本题正确选项：【点睛】本题考查面面平行的判定，属于基础题.7.“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量，年，某企业连续年累计研发投入达亿元，我们将研发投入与经营投入的比值记为研发投入占营收比，这年间的研发投入（单位：十亿元）用如图中的折现图表示，根据折线图和条形图，下列结论错误的是（）A. 年至年研发投入占营收比增量相比年至年增量大B. 年至年研发投入增量相比年至年增量小C. 该企业连续年研发投入逐年增加D. 该企业连续年来研发投入占营收比逐年增加【答案】D【解析】【分析】根据折线图和条形图依次判断各个选项，从而得到结果.【详解】选项：年至年研发投入占营收比增量达2%；年至年增量不到，由此可知正确；选项：年至年研发投入增量为；年至年研发投入增量为，可知正确；选项：根据图表，可知研发投入绝对量每年都在增加，正确；选项：年至年研发投入占营收比由降到，可知错误.本题正确选项：【点睛】本题考查统计图标中的折线图和条形图，属于基础题.8.已知是两个单位向量，且夹角为，则与数量积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用数量积的运算法则，结合二次函数的图像与性质即可得到结果.【详解】∵是两个单位向量，且夹角为，∴当t=时，的最小值为：故选：A【点睛】本题考查数量积的最值问题，考查数量积的运算法则，考查二次函数的最值，考查计算能力与转化思想，属于基础题.9.我国古代数学名著《九章算术·商功》中阐述：“斜解立方，得两壍堵。

东北三省三校2019届高三数学第三次模拟考试试题文(含解析).doc

东北三省三校 2019 届高三数学第三次模拟考试试题文（含解析）第Ⅰ卷（共60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每小题 5 分 , 共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】 C【解析】【分析】先求出集合，然后再求出即可．【详解】∵，，∴．故选 C．【点睛】解答集合运算的问题时，首先要分清所给的集合是用列举法还是用描述法表示的，对于用描述法表示的集合，在运算时一定要把握准集合中元素的特征．2.，则（）A. B. C. D.【答案】 A【解析】【分析】根据复数的乘法运算法则展开，再求模即可.【详解】所以，故答案 A【点睛】本题考查复数的乘法运算和求模,基础题.3. 已知向量的夹角为，，，则（）A. -16B. -13C. -12D. -10【答案】 C【解析】- 1 -【分析】根据数量积的运算律和数量积的定义求解即可得到答案．【详解】∵向量的夹角为，，，∴，∴．故选 C．【点睛】本题考查数量积的运算，解题时根据运算律和定义求解即可，属于基础题．4. 已知双曲线的离心率为2，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】 D【解析】【分析】由离心率为 2 可得，于是得，由此可得渐近线的方程．【详解】由得，即为双曲线的渐近线方程．∵双曲线的离心率为2，∴，解得，∴双曲线的渐近线方程为．故选 D．【点睛】解题时注意两点：一是如何根据双曲线的标准方程求出渐近线的方程；二是要根据离心率得到．考查双曲线的基本性质和转化、计算能力，属于基础题．5. 等比数列的各项和均为正数，，, 则（）A. 14B. 21C. 28D. 63【答案】 C- 2 -【解析】【分析】根据题中的条件求出等比数列的公比，再根据即可得到所求．【详解】设等比数列的公比为，∵，，∴，即，解得或，又，∴，∴．故选 C．【点睛】本题考查等比数列项的运算，解题时注意将问题转化为基本量（首项和公比）的运算，另外解题时还需注意数列中项之间性质的灵活应用，以减少计算量、提高解题的效率．6. 设命题，则为（）A. B.C. D.【答案】 A【解析】【分析】根据含有量词的命题的否定的定义进行求解即可．【详解】∵命题，∴为：．故选 A．【点睛】对含有存在( 全称 ) 量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在( 全称 ) 量词改成全称 ( 存在 ) 量词；②将结论加以否定．7. 如图，直角梯形中，，，, 在边上任取点，连交- 3 -于点，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】 B【解析】【分析】由相似三角形求出AE 的长，利用几何概型概率计算公式求解即可.【详解】由已知三角形ABC为直角三角形 ,，可得AC=2.当时，因为所以即，所以，且点E的活动区域为线段AD， AD=1.所以的概率为故答案为 B.【点睛】本题考查几何概型中的“长度”之比，基础题.8. 运行程序框图，如果输入某个正数后，输出的，那么的值为（）- 4 -A.3B.4C.5D.6【答案】 B【解析】【分析】依次运行框图中给出的程序，根据输出结果所在的范围来判断图中的值．【详解】依次运行框图中的程序，可得：第一次：；第二次：；第三次：；第四次：；第五次：；因为输出的，所以程序运行完第四次即可满足题意，所以判断框中的值为 4．故选 B．【点睛】程序框图的补全及逆向求解问题思路：①先假设参数的判断条件满足或不满足；②运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；③根据此时各个变量的值，补全程序框图．此类试题要求学生要有比较扎实的算法初步的基本知识，以及综合分析问题和解决问题的能力，要求较高，属中档题．- 5 -9. 已知四面体中，平面平面，为边长2的等边三角形，，，则四面体的体积为（）A. B. C. D.【答案】 A【解析】【分析】先利用面面垂直求出四面体的高, 因为是等腰直角三角形易求面积, 利用三棱锥的体积公式即得 .【详解】解 : 取 BD中点 M,因为为边长2的等边三角形,所以, 且.又因为平面平面且交线为BD,所以, 而且是等腰直角三角形, 且面积为 2, 所以, 故答案为 A.【点睛】本题考查面面垂直的性质, 锥体体积的运算, 基础题 .10. 一项针对都市熟男（三线以上城市，岁男性）消费水平的调查显示，对于最近一年内是否购买过以下七类高价商品，全体被调查者，以及其中包括的1980 年及以后出生（ 80 后）被调查者， 1980 年以前出生（ 80 前）被调查者回答“是”的比例分别如下：全体被调查者80 后被调查者80 前被调查者电子产品56.9% 66.0% 48.5%服装23.0% 24.9% 21.2%手表14.3% 19.4% 9.7%运动、户外用品10.4% 11.1% 9.7%- 6 -珠宝首饰8.6% 10.8% 6.5%箱包8.1% 11.3% 5.1%个护与化妆品 6.6% 6.0% 7.2%以上皆无25.3% 17.9% 32.1%根据表格中数据判断，以下分析错误是（）A.都市熟男购买比例最高的高价商品是电子产品B. 从整体上看， 80 后购买高价商品的意愿高于80 前C. 80 前超过 3 成一年内从未购买过表格中七类高价商品D. 被调查的都市熟男中80 后人数与 80 前人数的比例大约为【答案】 D 【解析】的【分析】根据表格中给出的信息，对四个选项分别进行分析、判断后可得答案．【详解】对于选项A，从表中的数据可得都市熟男购买电子产品比例为，为最高值，所以 A 正确．对于选项B，从表中后两列的数据可看出，前 6 项比例均是80 后意愿高于80 前意愿，所以 B 正确．对于选项C，从表中的最后一列可看出，80 前一年内从未购买过表格中七类高价商品比例为，约为 3 成，所以 C 正确．对于选项D，根据表中数据不能得到被调查的都市熟男中80 后人数与80 前人数的比例，所以D不正确．故选 D．【点睛】本题考查统计图表的应用和阅读理解能力，解题的关键是读懂表中数据的意义，然后结合所求进行分析、判断，属于基础题．11. 椭圆上存在两点，关于直线对称，若为坐标原点，则=（）- 7 -A. 1B.C.D.【答案】 C【解析】【分析】由题意设直线的方程为，与椭圆方程联立后求得到点的坐标与参数的关系，然后根据的中点在直线上求出参数的值，进而得到点的坐标，进而得到向量的坐标，于是可得结果．【详解】由题意直线与直线垂直，设直线的方程为．由消去整理得，∵直线与椭圆交于两点，∴，解得．设，的中点为，则，∴，，∴点的坐标为．由题意得点在直线上，∴，解得．∴，∴，∴．故选 C．【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题的关键是得到直线的方程．其中题中的对称是解题的突破口，对于此类问题要注意两对称点的连线与对称轴垂直、两对称点的中点在对称轴上，解题是要注意这两点的运用，属于中档题．12. 如图，直角梯形，，，，是边中点，沿翻- 8 -折成四棱锥，则点到平面距离的最大值为（）A. B. C. D.【答案】 B【解析】【分析】由题意得在四棱锥中平面．作于，作于，连，可证得平面．然后作于，可得即为点到平面的距离．在中，根据等面积法求出的表达式，再根据基本不等式求解可得结果．【详解】由翻折过程可得，在如图所示的四棱锥中，底面为边长是 1 的正方形，侧面中，，且．∵，∴平面．作于，作于，连，则由平面，可得，∴平面．又平面，∴．∵，，∴平面．在中，作于，则平面．- 9 -又由题意可得平面，∴即为点到平面的距离．在中，，设，则，∴．由可得，∴，当时等号成立，此时平面，综上可得点到平面距离的最大值为．故选 B．【点睛】本题综合考查立体几何中的线面关系和点面距的计算，解题的关键是作出表示点面距的垂线段，另外根据线面平行将所求距离进行转化也是解答本题的关键．在求得点面距的表达式后再运用基本不等式求解，此时需要注意等号成立的条件，本题难度较大．第Ⅱ卷（共90 分）二、填空题（每题 5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知等差数列的前项和为，且，，则__________．【答案】 80【解析】【分析】解方程组求出等差数列的首项和公差后再根据前项和公式求解即可．【详解】设等差数列的公差为，由题意得，解得，∴．故答案为：．【点睛】本题考查等差数列中的基本运算，解题时注意方程思想的运用，同时将问题转化为等差数列的首项和公差的问题是解题的关键，属于基础题．-10-14. 函数的一条对称轴，则的最小值为__________．【答案】 2【解析】【分析】根据题意得到，进而得，最后根据题中的要求得到答案．【详解】∵函数的一条对称轴，∴，∴，又，∴的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查函数的性质，解题时要把作为一个整体，然后再结合正弦函数的相关性质求解，同时还应注意的符号对结果的影响，属于中档题．15. 若函数在上单调递增，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】由题意根据函数在区间上为增函数及分段函数的特征，可求得的取值范围．【详解】∵函数在上单调递增，∴函数在区间上为增函数，∴，解得，∴实数取值范围是．故答案为：．【点睛】解答此类问题时要注意两点：一是根据函数在上单调递增得到在定义域的每一个区间上函数都要递增；二是要注意在分界点处的函数值的大小，这一点容易忽视，属于中档题．16. 已知，，其中，则下列判断正确是__________．（写出所有正确结论的序号）①关于点成中心对称；②在上单调递增；③存在，使；④若有零点，则；⑤的解集可能为.【答案】①③⑤【解析】【分析】对于①，根据函数为奇函数并结合函数图象的平移可得正确．对于②，分析可得当时，函数在上单调递减，故不正确．对于③，由，可得，从而得，可得结果成立．对于④，根据③中的函数的值域可得时方程也有解．对于⑤，分析可得当时满足条件，由此可得⑤正确．的【详解】对于①，令，则该函数的定义域为，且函数为奇函数，故其图象关于原点对称．又函数的图象是由的图象向上或向下平移个单位而得到的，所以函数图象的对称中心为，故①正确．对于②，当时，，若，则函数在上单调递减，所以函数单调递增；函数在上单调递增，所以函数单调递减．故②不正确．对于③，令，则当时，，则．所以，令，则成立．故③正确．对于④，若有零点，则，得，从而得，故，结合③可得当有零点时，只需即可，而不一定为零．故④不正确．对于⑤，由，得．取，则，整理得．当时，方程的两根为或．又函数为奇函数，故方程的解集为．故⑤正确．综上可得①③⑤正确．故答案为：①③⑤【点睛】本题考查函数性质的运用及命题真假的判定，解题时要结合函数的性质对函数的零点情况进行分析，注意直接推理的应用，同时在判断命题的真假时还要注意举反例的方法的运用，难度较大．三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17.在中，.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求的取值范围 .【答案】（ I ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）将切函数化为弦函数，整理后两边约掉，然后逆用两角和的余弦公式得到，于是，从而．（Ⅱ）将代入所求值的式子后化简得-13-【详解】（Ⅰ）由条件得，∵，∴，∴，∵，∴，∴.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，∵，∴，∴，∴的取值范围是.【点睛】本题考查三角形中的三角变换问题，解题时注意三角形内角和定理的运用，同时要注意三角变换公式的合理应用．对于求范围或最值的问题，一般还是要以三角函数为工具进行求解，解题时需要确定角的范围．18. 如图四棱锥中，底面，是边长为2的等边三角形，且，.-14-（ I ）求证：平面平面;（Ⅱ）若点是棱的中点，求直线与所成角的余弦值 .【答案】（ I ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】(I) 先证出平面, 再利用面面垂直的判定定理即可.( Ⅱ ) 取中点，连接，，则, 可得或其补角是异面直线与所成的角 . 在中利用余弦定理求解即可 .【详解】（Ⅰ）证明：底面，取中点，连接，则, ，点共线，即又，平面平面，平面平面（Ⅱ）解：取中点，连接，，则或其补角是异面直线与所成的角中，，，即中，，.中，，，，由余弦定理得中，所以直线与所成角的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直性质定理 , 判定定理 , 面面垂直的判定定理, 异面直线所成的角的作法及运算 , 基础题 .19. 现代社会，“鼠标手”已成为常见病，一次实验中，10 名实验对象进行160 分钟的连续鼠标点击游戏，每位实验对象完成的游戏关卡一样，鼠标点击频率平均为180 次 / 分钟，实验研究人员测试了实验对象使用鼠标前后的握力变化，前臂表面肌电频率（）等指标 .（ I ） 10 名实验对象实验前、后握力（单位：）测试结果如下：实验前： 346,357,358,360,362,362,364,372,373,376实验后： 313,321,322,324,330,332,334,343,350,361完成茎叶图，并计算实验后握力平均值比实验前握力平均值下降了多少？（Ⅱ）实验过程中测得时间（分）与名实验对象前臂表面肌电频率（）的中的位数为的10，. 建立关于时间的线性回归方程；（）的九组对应数据（Ⅲ）若肌肉肌电水平显著下降，提示肌肉明显进入疲劳状态，根据（Ⅱ）中9 组数据分析，使用鼠标多少分钟就该进行休息了？参考数据：；参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，【答案】（ I ）茎叶图见解析，；（Ⅱ）；（Ⅲ）60分钟.【解析】【分析】（Ⅰ）结合所给数据可得茎叶图；分别求出实验前、后握力的平均数后比较可得结果．（Ⅱ）根据所给公式并结合条件中的数据可得，于是可得线性回归方程．（Ⅲ）分析九组数据可得，在40 分钟到 60 分钟的下降幅度最大，由此可得结论．【详解】（Ⅰ）根据题意得到茎叶图如下图所示：由图中数据可得，，∴，∴故实验前后握力的平均值下降.（Ⅱ）由题意得，，，又，∴，∴，∴关于时间的线性回归方程为.（Ⅲ）九组数据中40 分钟到 60 分钟的下降幅度最大，提示60 分钟时肌肉已经进入疲劳状态，故使用鼠标60 分钟就该休息了.【点睛】本题考查统计的基本问题，即数据的整理、分析和应用，解题时由于涉及到大量的计算，所以在解题时要注意计算的合理性和准确性，同时要充分利用条件中给出的中间数据，属于中档题．20. 抛物线的焦点为，准线为，若为抛物线上第一象限的一动点，过作的垂线交准线于点，交抛物线于两点.（Ⅰ）求证：直线与抛物线相切；（Ⅱ）若点满足，求此时点的坐标.【答案】（ I ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）设，由此可得直线的斜率，进而得到直线的斜率，由此得到的方程为，令可得点的坐标，于是可得直线的斜率．然后再由导数的几何意义得到在点 A 处的切线的斜率，比较后可得结论．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立消元后得到二次方程，结合根与系数的关系及可求得点 A 的坐标．【详解】（Ⅰ）由题意得焦点．设，∴直线的斜率为，由已知直线斜率存在，且直线的方程为，-18-令，得，∴点的坐标为，∴直线的斜率为．由得，∴，即抛物线在点 A 处的切线的斜率为，∴直线与抛物线相切．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线的方程为，由消去整理得，设，则．由题意得直线的斜率为，直线的斜率为，∵，∴，∴，∴，整理得，解得或．∵，-19-∴，又，且，∴存在，使得．【点睛】解答本题时要注意以下几点：（ 1）题中所需要的点的产生的方法，即由线与线相交产生点的坐标；（2）注意将问题合理进行转化，如根据线的垂直可得斜率的关系；（3）由于解题中要涉及到大量的计算，所以在解题中要注意计算的合理性，通过利用抛物线方程进行曲线上点的坐标间的转化、利用“设而不求”、“整体代换”等方法进行求解．21. 已知函数.（ I ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若对任意的恒成立，求整数的最大值.【答案】（ I ）的减区间为，无增区间；（Ⅱ） 3.【解析】【分析】(I)利用二次求导即得 .( Ⅱ ) 先分离参数得到令，通过二次求导和零点存在性定理确定零点所在区间及整数的最大值 .【详解】（ I ）的定义域为当时，令，，，单调递增，，单调递减的减区间为，无增区间；（Ⅱ）-20-令，则令，则，在上单调递增，，存在唯一，使得即，列表表示：单调递减极小值单调递增整数的最大值为 3.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性, 利用零点存在性定理确定零点所在区间, 中档题 .请考生在22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4 ：坐标系与参数方程22. 已知曲线的参数方程为（为参数），，为曲线上的一动点.（ I ）求动点对应的参数从变动到时，线段所扫过的图形面积；（Ⅱ）若直线与曲线的另一个交点为，是否存在点，使得为线段的中点？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在点满足题意，且.【解析】【分析】（Ⅰ）先判断出线段所扫过的图形由一三角形和一弓形组成，然后通过分析图形的特征并结合扇形的面积可得所求．（Ⅱ）设，由题意得，然后根据点在-21-曲线上求出后可得点的坐标．【详解】（Ⅰ）设时对应的点为时对应的点为，由题意得轴，则线段扫过的面积.（Ⅱ）设，，∵ 为线段的中点，∴，∵ 在曲线上，曲线的直角坐标方程为，∴，整理得，∴，∴，∴存在点满足题意，且点的坐标为．【点睛】本题考查参数方程及其应用，解题的关键是将问题转化为普通方程后再求解，考查转化和计算能力，属于中档题．选修 4-5 ：不等式选讲23. 已知函数.（Ⅰ）解不等式:；（Ⅱ）已知，若对任意的，不等式恒成立，求正数的取值范围 .【答案】（ I ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意得不等式为，然后根据分类讨论的方法，去掉绝对值后解不等式组即可．（Ⅱ）根据题意先得到，故由题意得恒成立，分类讨论去掉绝对值后可得所求范围．【详解】（Ⅰ）由题意得不等式为．-22-①当时，原不等式化为，解得，不合题意；②当时，原不等式化为，解得，∴；③当时，原不等式化为，解得，∴．综上可得∴原不等式的解集为．（Ⅱ）∵，∴.当且仅当且，即时等号成立，∴．由题意得恒成立，①当时，可得恒成立，即恒成立，∴，由，可得上式显然成立；②当时，可得恒成立，即恒成立，∵，∴；③当时，可得恒成立，即恒成立，∴．综上可得，∴故的取值范围是．【点睛】解绝对值不等式的关键是通过对对变量的分类讨论，去掉绝对值后转化为不等式（组）求解，考查转化和计算能力，属于中档题．-23-。

东北三省四市2019年吉林省长春市高考数学三模试卷(理科)(可编辑修改word版)

东北三省四市教研协作体2019年高三等值诊断联合考试(长春三模)(word解析版)数学理

2018年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2018年长春市高中毕业班第三次调研测试数学(理科)命题人:长春市教育局教研室于海洋本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1. 不等式组36020x y x y -+⎧⎨-+<⎩≥表示的平面区域是2. 已知复数z a bi =+(,0)a b R ab ∈≠且，且(12)z i -为实数，则ab= A. 3B. 2C.12D.133. 已知3cos 5α=，则2cos 2sin αα+的值为 A. 925 B. 1825C. 2325D. 34254. 执行如图所示的程序框图，若输出的5k =，则输入的整数p 的最大值为A. 7B. 15C. 31D. 635. 已知,,a b c 是平面向量，下列命题中真命题的个数是① ()()⋅⋅⋅⋅a b c =a b c② ||||||⋅= a b a b ③ 22||()+=+a b a b④ ⋅⋅⇒=a b =b c a c A. 1 B. 2C. 3D. 46. 已知函数()sin cos f x x a x =+的图像关于直线53x π=对称，则实数a 的值为7. 一个棱长都为a 的直三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为A.273a π B. 22a π C. 2114a π D.243a π 8. 已知数列{}n a 满足10a =，11n n a a +=+，则13a =A. 143B. 156C. 168D. 1959. 在Excel 中产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“rand ( )”,在用计算机模拟估计函数x y sin =的图像、直线2π=x 和x 轴在区间[0,]2π上部分围成的图形面积时，随机点11(,)a b 与该区域内的点),(b a 的坐标变换公式为 A. 11,2a ab b π=+=B. 112(0.5),2(0.5)a a b b =-=-C. [0,],[0,1]2a b π∈∈D. 11,2a ab b π==10. 已知抛物线28y x =的焦点为F ，直线(2)y k x =-与此抛物线相交于,P Q 两点，则11||||FP FQ += A.12 B. 1 C. 2 D. 411. 如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 162π+B. 82π+C. 16π+D. 8π+12. 已知两条直线1l y a =：和21821l y a =+： (其中0a >)，1l 与函数4log y x =的图像从左至右相交于点A ，B ，2l 与函数4log y x =的图像从左至右相交于点C，D .记线段AC和BD在x 轴上的投影长度分别为,m n .当a 变化时，nm的最小值为A. 4B. 16C. 112D. 102正视图侧视图俯视图第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13.1)x dx =⎰____________.14. 用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数字夹在两个奇数字之间的四位数的个数为_____________.15. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 和2F ，左、右顶点分别为1A 和2A ，过焦点2F 与x 轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P ，若1PA 是12F F 和12A F 的等比中项，则该双曲线的离心率为 .16. 设集合224{(,)|(3)(4)}5A x y x y =-+-=，2216{(,)|(3)(4)}5B x y x y =-+-=， {(,)|2|3||4|C x y x y λ=-+-=，若()A B C ≠∅，则实数λ的取值范围是____________.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17. （本小题满分12分）在三角形ABC中，2sin 2cos sin 3cos )C C C C ⋅-=-. ⑴ 求角C 的大小；⑵ 若2AB =，且sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积. 18. （本小题满分12分） 2012年第三季度，国家电网决定对城镇居民民用电计费标准做出调整，并间在(0,170]，第二类在根据用电情况将居民分为三类: 第一类的用电区(170,260]，第三类在(260,)+∞（单位：千瓦时）. 某小区共有1000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图如图所示.⑴ 求该小区居民用电量的中位数与平均数； ⑵ 利用分层抽样的方法从该小区内选出10位居民代表，若从该10户居民代表中任选两户居民，求这两户居民用电资费属于不同类型的概率； ⑶ 若该小区长期保持着这一用电消耗水平，电力部门为鼓励其节约用电，连续10个月，每个月从该小区居民中随机抽取1户，若取到的是第一类居民，则发放礼品一份，设X 为获奖户数，求X 的数学期望()E X 与方差()D X .19. （本小题满分12分）如图，E 是矩形ABCD 中AD 边上的点，F 为CD 边的中点，23AB AE AD ==，现将ABE ∆沿BE 边折至PBE ∆位置，且平面PBE ⊥平面BCDE .⑴ 求证：平面PBE ⊥平面PEF ； ⑵ 求二面角E PF C --的大小. 20. （本小题满分12分）如图，曲线2:M y x =与曲线222:(4)2(0)N x y m m -+=>相交于A 、B 、C 、D 四个点.⑴ 求m 的取值范围；BD 的交点坐标.⑵ 求四边形ABCD 的面积的最大值及此时对角线AC 与21. （本小题满分12分）已知函数()sin xf x e x =. ⑴ 求函数()f x 的单调区间； ⑵ 如果对于任意的[0,]2x π∈，()kx f x ≥总成立，求实数k 的取值范围；PBCD FE(1)(2)⑶ 设函数()()cos xF x f x e x =+，20112013[,]22x ππ∈-. 过点1(,0)2M π-作函数()F x 图像的所有切线，令各切点的横坐标构成数列{}n x ，求数列{}n x 的所有项之和S 的值.请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲. 如图，AB 是O 的直径，弦CD 与AB 垂直，并与AB 相交于点E ，点F 为弦CD 上异于点E 的任意一点，连结BF 、AF 并延长交O 于点M 、N .⑴ 求证：B 、E 、F 、N 四点共圆； ⑵ 求证：22AC BF BM AB +⋅=. 23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ()1sin x t t y t απαα<=+⎧⎨=+⎩≤是参数,0，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2221cos ρθ=+. ⑴ 求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； ⑵ 当4πα=时，曲线1C 和2C 相交于M 、N 两点，求以线段MN 为直径的圆的直角坐标方程.24. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.设函数()|1||5|f x x x =++-，∈x R ．⑴ 求不等式()10f x x +≤的解集；⑵ 如果关于x 的不等式2()(2)f x a x --≥在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．2018年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2018年长春市高中毕业班第三次调研测试数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.B 2 .C 3. A 4. B 5.A 6.B 7.A 8.C 9.D 10.A 11.B 12.C 简答与提示：1. 【命题意图】本小题主要考查二元一次不等式组所表示的区域，是线性规划的一种简单应用，对学生的数形结合思想提出一定要求.【试题解析】B 360x y -+≥表示直线360x y -+=以及该直线下方的区域，20x y -+<表示直线20x y -+=的上方区域，故选B.2. 【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算，特别是共轭复数的乘法运算以及对共轭复数的基本性质的考查，对考生的运算求解能力有一定要求.【试题解析】C由(12)z i ⋅-为实数，且0z ≠，所以可知(12)z k i =+，0k ≠，则122a kb k ==，故选C. 3. 【命题意图】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式以及倍角的余弦公式的应用，对学生的化归与转化思想以及运算求解能力提出一定要求.【试题解析】A由3cos 5α=，得22229cos 2sin 2cos 11cos cos 25ααααα+=-+-==，故选A. 4. 【命题意图】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析.【试题解析】B 由程序框图可知：①0S =，1k =；②1S =，2k =；③3S =，3k =；④7S =，4k =；⑤15S =，5k =. 第⑤步后k 输出，此时15S P =≥，则P 的最大值为15，故选B.5. 【命题意图】本小题主要考查平面向量的定义与基本性质，特别是对平面向量运算律的全面考查，另外本题也对考生的分析判断能力进行考查.【试题解析】A 由平面向量的基础知识可知①②④均不正确，只有③正确，故选A.6. 【命题意图】本题着重考查三角函数基础知识的应用，对于三角函数的对称性也作出较高要求. 本小题同时也考查考生的运算求解能力与考生的数形结合思想.【试题解析】B 由函数()sin cos f x x a x =+的图像关于直线53x π=对称，可知5()3f π=3a =-. 故选B.7. 【命题意图】本小题主要考查立体几何中球与球的内接几何体中基本量的关系，以及球表面积公式的应用，本考点是近年来高考中的热点问题，同时此类问题对学生的运算求解能力、空间想象能力也提出较高要求. 【试题解析】A 如图：设1O 、2O 为棱柱两底面的中心，球心O 为12O O 的中点. 又直三棱柱的棱长为a ，可知112OO a =，1AO =，所以2222211712a R OA OO AO ==+=，因此该直三棱柱外接球的表面积为2227744123a S R a πππ==⨯=，故选A. 8. 【命题意图】本小题主要考查数列的递推问题，以及等差数列的通项公式，也同时考查学生利用构造思想解决问题的能力以及学生的推理论证能力.【试题解析】C由11n n a a +=+，可知211111)n n a a ++=++=，即1，故数列是公差为1的等差数列，1213=，则13168a =. 故选C.9. 【命题意图】本小题主要考查均匀随机数的意义与简单应用，对于不同尺度下点与点的对应方式也做出一定要求. 本题着重考查考生数据处理的能力，与归一化的数学思想.【试题解析】D. 由于[0,]2a π∈， [0,1]b ∈，而1[0,1]a ∈，1[0,1]b ∈，所以坐标变换公式为12a a π=，1b b =. 故选D.10. 【命题意图】本小题是定值问题，考查抛物线的定义与基本性质及过焦点的弦的性质. 本题不但对考生的运算求解能力、推理论证能力有较高要求，而且对考生的化归与转化的数学思想也有较高要求. 【试题解析】A 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由题意可知，1||2PF x =+，2||2QF x =+，则1212121241111||||222()4x x FP FQ x x x x x x +++=+=+++++，联立直线与抛物线方程消去y 得，2222(48)40k x k x k -++=，可知124x x =，故121212121244111||||2()42()82x x x x FP FQ x x x x x x +++++===+++++. 故选A. 11. 【命题意图】本小题主要考查立体几何中的三视图问题，并且对考生的空间想象能力及利用三视图还原几何体OADO 1O 2的能力进行考查，同时考查简单几何体的体积公式.【试题解析】B 由图可知该几何体是由两个相同的半圆柱与一个长方体拼接而成，因此21241282V ππ=⨯⨯+⨯⨯=+. 故选B.12. 【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质，对于函数图像的翻折变换以及基本不等式的应用都有考查，本题是函数与不等式的综合题，考查较为全面，难度系数较高，是一道区分度较好、综合性较强的题目. 同时对考生的推理论证能力与运算求解能力都有较高要求.【试题解析】C 设(,),(,),(,),(,)A A B B C C D D A x y B x y C x y D x y ，则4aA x -=，4aB x =，18214a C x -+=，18214a D x +=，则182118214444aa aa n m+--+-=-，分子与分母同乘以18214a a ++ 可得183********a a a a nm++++==，又363622*********a a a a +=++-≥=++，当且仅当216a +=，即52a =时，“=”成立，所以n m的最小值为112. 故选C.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13.7614. 815.16. [,4]5简答与提示：13. 【命题意图】本小题主要考查积分的定义与牛顿莱布尼茨公式在解决定积分问题上的应用. 主要考查学生的运算求解能力，难度较低，解决方法常规.【试题解析】11312220021217()()32326x x dx x x +=+=+=⎰.14. 【命题意图】本小题主要考查学生对排列组合问题基本方法的掌握与应用，同时对考生解决此类问题的策略作出考查.同时也对考生的应用意识与创新意识有一定要求.【试题解析】2122228A C A ⋅⋅=种.15. 【命题意图】本小题主要考查双曲线中各基本量间的关系，特别是考查通径长度的应用以及相关的计算，同时也对等比中项问题作出了一定要求.本题主要考查学生的运算求解能力、推理论证能力，以及数形结合思想.【试题解析】由题意可知211212||||||PA F F A F =⨯，即222()()2()b a c c a c a++=+，经化简可得22a b =，则c e a ====16. 【命题意图】本小题主要考查曲线与方程的实际应用问题，对学生数形结合与分类讨论思想的应用作出较高要求.【试题解析】由题可知，集合A 表示圆224(3)(4)5x y -+-=上点的集合，集合B 表示圆2216(3)(4)5x y -+-=上点的集合，集合C 表示曲线2|3||4|x y λ-+-=上A 、B 表示圆，集合C 则点的集合，此三集合所表示的曲线的中心都在(3,4)处，集合表示菱形，可以将圆与菱形的中心同时平移至原点，如图所示，可求得λ的取值范围是4]. 三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分) 17. (本小题满分12分)【命题意图】本题针对三角变换公式以及解三角形进行考查，主要涉及三角恒等变换，正、余弦定理等内容，对学生的逻辑思维能力提出较高要求.则sin2cos cos2sinC C C C C-=，化简得sin C C=，(2分)即sin C C=2sin()3Cπ+=sin()32Cπ+=，(4分)从而233Cππ+=，故3Cπ=. (6分)(2) 由sin()sin()2sin2A B B A A++-=，可得sin cos2sin cosB A A A=.所以cos0A=或sin2sinB A=. (7分)当cos0A=时，90A=︒,则b=,112223ABCS b c∆=⋅⋅==(8分)当sin2sinB A=时，由正弦定理得2b a=.所以由22222441cos2222a b c a aCab a a+-+-===⋅⋅，可知24a=. (10分)所以211sin222223ABCS b a C aa a∆=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==. (11分)综上可知3ABCS∆=(12分)18.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，其中包括中位数与平均数的求法、基本概率的应用以及离散型随机变量的二项分布的数学期望与方差的求法. 本题主要考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：(1) 因为在频率分布直方图上，中位数的两边面积相等，可得中位数为155.(2分)平均数为1200.005201400.075201600.020201800.00520⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯2000.003202200.00220156.8+⨯⨯+⨯⨯=. (4分)(2) 由频率分布直方图可知，采用分层抽样抽取10户居民，其中8户为第一类用户，2户为第二类用户，则从该10户居民中抽取2户居民且这两户居民用电资费不属于同一类型的概率为11822101645C CC=.(8分)(3) 由题可知，该小区内第一类用电户占80%，则每月从该小区内随机抽取1户居民，是第一类居民的概率为0.8，则连续10个月抽取，获奖人数X的数学期望100.88EX np==⨯=，方差(1)100.80.2 1.6DX np p=-=⨯⨯=. (12分)19.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面、面面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.【试题解析】解：(1) 证明：由题可知，4545ED DFDEF DEFED DFEF BEAE ABABE AEBAE AB=⎫⎫∆ ⇒∠=︒⎬⎪⊥⎭⎪⇒⊥⎬=⎫⎪∆ ⇒∠=︒⎬⎪⊥⎭⎭中中(3分)ABE BCDEABE BCDE BE EF PBE PBE PEF EF BE EF PEF ⎫⊥⎫⎪⎪=⇒⊥⎬⎪⇒⊥⎬⎪⊥⎭⎪⎪ ⊂⎭平面平面平面平面平面平面平面平面 (6分) (2) 以D 为原点，以DC 方向为x 轴，以ED 方向为y 轴，以过D 点平面ECDE 向上的法线方向为z 轴，建立坐标系.(7分)则(0,1,0)E -，(1,2,2)P -，(1,0,0)F ，(2,0,0)C ，(1,EP =-，(1,CP =--，(1,1,0)EF =，(1,0,0)CP =-1(1,1,n =-，2(0,1n =， (9分)12|cos ,|n n <>==， (11分) 综上二面角E PF C --大小为150︒.(12分)20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中极值的求取. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.【试题解析】解：(1) 联立曲线,M N 消去y 可得22(4)20x x m -+-=，226160x x m -+-=，根据条件可得212212364(16)060160m x x x x m ⎧∆=-->⎪+=>⎨⎪=->⎩4m <.(4分)(2) 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，21x x >，10y >，20y > 则122121()())ABCD S y y x x x x =+-=-==(6分)令t ，则(0,3)t ∈，ABCD S ==(7分)设32()3927f t t t t =--++，则令22()3693(23)3(1)(3)0f t t t t t t t '=--+=-+-=--+=，可得当(0,3)t ∈时，()f x 的最大值为(1)32f =，从而ABCD S 的最大值为16. 此时1t =1=，则215m =.(9分)联立曲线,M N 的方程消去y 并整理得2610xx -+=，解得13x =-23x =+，所以A点坐标为(31)-，C点坐标为(31)+，12AC k ==-，则直线AC 的方程为11)[(32y x -=---，(11分)当0y =时，1x =，由对称性可知AC 与BD 的交点在x 轴上，即对角线AC 与BD 交点坐标为(1,0). (12分)21. 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述函数的单调性、极值以及函数零点的情况. 本小题主要考查考生分类讨论思想的应用，对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.【试题解析】解 (1) 由于()sin xf x e x =，所以'()sin cos (sin cos )sin()4x x x x f x e x e x e x x x π=+=+=+.(2分) 当(2,2)4x k k ππππ+∈+，即3(2,2)44x k k ππππ∈-+时，'()0f x >；当(2,22)4x k k πππππ+∈++，即37(2,2)44x k k ππππ∈++时，'()0f x <.所以()f x 的单调递增区间为3(2,2)44k k ππππ-+()k Z ∈，单调递减区间为37(2,2)44k k ππππ++()k Z ∈.(4分) (2) 令()()sin xg x f x kx e x kx =-=-，要使()f x kx ≥总成立，只需[0,]2x π∈时min ()0g x ≥.对()g x 求导得()(sin cos )xg x e x x k '=+-，令()(sin cos )xh x e x x =+，则()2cos 0xh x e x '=>，((0,)2x π∈)所以()h x 在[0,]2π上为增函数，所以2()[1,]h x e π∈.(6分)对k 分类讨论：① 当1k ≤时，()0g x '≥恒成立，所以()g x 在[0,]2π上为增函数，所以min ()(0)0g x g ==，即()0g x ≥恒成立；② 当21k e π<<时，()0g x '=在上有实根0x ，因为()h x 在(0,)2π上为增函数，所以当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，所以0()(0)0g x g <=，不符合题意；③ 当2k e π≥时，()0g x '≤恒成立，所以()g x 在(0,)2π上为减函数，则()(0)0g x g <=，不符合题意.综合①②③可得，所求的实数k 的取值范围是(,1]-∞.(9分)(3) 因为()()cos (sin cos )xxF x f x e x e x x =+=+，所以()2cos xF x e x '=，设切点坐标为0000(,(sin cos ))xx e x x +，则斜率为000'()2cos xf x e x =，切线方程为000000(sin cos )2cos ()xxy e x x e x x x -+=⋅-， (10分)将1(,0)2M π-的坐标代入切线方程，得0000001(sin cos )2cos ()2x x e x x e x x π--+=⋅-001tan 12()2x x π---=--，即00tan 2()2x x π=-，令1tan y x =，22()2y x π=-，则这两个函数的图像均关于点(,0)2π对称，它们交点的横坐标也关于2π对称成对出现，方程tan 2()2x x π=-，20112013[,]22x ππ∈-的根即所作的所有切线的切点横坐标构成的数列{}nx 的项也关于2π对称成对出现，在20112013[,]22ππ-内共构成1006对，每对的和为π，因此数列{}n x 的所有项的和1006S π=.(12分)22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到四点共圆的证明、圆中三角形相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】解 (1)连结BN ，则AN BN ⊥，又CD AB ⊥，则90BEF BNF ∠=∠=︒，即180BEF BNF ∠+∠=︒，则B 、E 、F 、N 四点共圆. (5分)(2)由直角三角形的射影原理可知2AC AE AB =⋅，由Rt BEF ∆与Rt BMA ∆相似可知：BF BEBA BM=， ()BF BM BA BE BA BA EA ⋅=⋅=⋅-，2BF BM AB AB AE ⋅=-⋅，则22BF BM AB AC ⋅=-，即22AC BF BM AB +⋅=. (10分) 23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】解：(1)对于曲线1C 消去参数t 得：当2πα≠时，1:1tan (2)C y x α-=-；当2πα=时，1:2C x =.(3分)对于曲线2C ：222cos 2ρρθ+=，2222x y x ++=，则222:12y C x +=. (5分) (2) 当4πα=时，曲线1C 的方程为10x y --=，联立12,C C 的方程消去y 得222(1)20x x +--=，即23210x x --=，||3MN ====，圆心为1212(,)22x x y y ++，即12(,)33-，从而所求圆方程为22128()()339x y -++=.(10分)24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】解：(1) 24()624x f x x -+⎧⎪=⎨⎪-⎩1155x x x <--≤≤>(2分)当1x <-时，2410x x -+≤+，2x ≥-，则21x -≤<-；当15x -≤≤时，610x ≤+，4x ≥-，则15x -≤≤；当 5x >时，2410x x -≤+，14x ≤，则514x <≤. 综上可得，不等式的解集为[2,14]-.(5分)(2) 设2()(2)g x a x =--，由函数()f x 的图像与()g x 的图像可知：()f x 在[1,5]x ∈-时取最小值为6，()f x 在2x =时取最大值为a ，若()()f x g x ≥恒成立，则6a ≤.(10分)。

2019长春高中三年级一模数学理科

长春市普通高中2019届高三质量监测（一）数学试题卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数(13)(3)i i -+-=A. 10B. 10-C. 10iD. 10i -2.已知集合{0,1}M =，则满足条件M N M =的集合N 的个数为A. 1B. 2C. 3D. 43.函数()sin()sin 3f x x x π=++的最大值为，2C. 44.下列函数中是偶函数，且在区间(0,)+∞上是减函数的是A. ||1y x =+B. 2y x -=C. 1y x x=- D. ||2x y = 5.已知平面向量a 、b ，满足||||1==a b ，若(2)0-⋅=a b b ，则向量a 、b 的夹角为A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 120︒6.已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，45S =，920S =，则7a =A. 3-B. 5-C. 3D. 57.在正方体1111ABCD A BC D -中，直线11AC 与平面11ABC D所成角的正弦值为 A. 1B. 2C. 2D. 12 8.要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A 、B 、C 三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A 班的分法种数为，A. 6B. 12C. 24D. 369.某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为 1.1630.75y x =-，以下结论中不正确的为X YA. 15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B. 15名志愿者身高和臂展成正相关关系，C. 可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米，D. 身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米，10.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一头五升（注：一斗为十升）.问,米几何？”如图是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的 2.5S =(单位:升)，则输入的k 值为，A. 4.5B. 6C. 7.5D. 1011.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个顶点分别为A 、B ，点P 为双曲线上除A 、B 外任意一点，且点P 与点A 、B 连线的斜率分别为1k 、2k ，若123k k =，则双曲线的渐进线方程为，A. y x =±B. y =C. y =D. 2y x =±12.已知函数()f x 是定义在R 上的函数，且满足()()0f x f x '+>，其中()f x '为()f x 的导数，设(0)a f =，2(ln 2)b f =，(1)c ef =，则a 、b 、c 的大小关系是A. c b a >>B. a b c >>C. c a b >>D. b c a >>二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.24log 4log 2+= .14. 若椭圆C 的方程为22134x y +=，则其离心率为 . 15.各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知630S =，970S =,则3S = .16.表面积为 .三、解答题：共70份，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.(本小题满分12分)在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知1cos 2b a Cc =+. (1)求角A ；(2)若3AB AC ⋅=,求a 的最小值.18. (本小题满分12分)在四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD ==,四边形ABCD 是边长为2的菱形，60A ∠=︒,E 是AD 的中点.(1)求证: BE ⊥平面PAD ；(2)求平面PAB 与平面PBC 所成的锐二面角的余弦值.19. (本小题满分12分)平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>.(1)过抛物线C 的焦点F 且与x 轴垂直的直线交曲线C 于A 、B 两点，经过曲线C 上任意一点Q 作x 轴的垂线，垂足为H .求证: 2||||||QH AB OH =⋅；(2)过点(2,2)D 的直线与抛物线C 交于M 、N 两点且OM ON ⊥，OD MN ⊥.求抛物线C 的方程.20. (本小题满分12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： [10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)216362574最高气温天数以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位:瓶)的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位:元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时？Y 的数学期望达到最大值？21. (本小题满分12分)已知函数21()(,)2x f x e bx ax a b =-+∈R . （1）当1a >-且1b =时，试判断函数()f x 的单调性；（2）若1a e <-且1b =，求证：函数()f x 在[1,)+∞上的最小值小于12；（3）若()f x 在R 单调函数，求ab 的最小值.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22. (本小题满分10分)选修4-4 坐标系与参数方程选讲已知直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ<≤），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为212cos 4sin ρρθρθ+=+.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且||AB =，求α的值.23. (本小题满分10分) 选修4-5 不等式选讲已知0a >，0b >，2a b +=.(1)求证：222a b +≥；(2)12+.长春市普通高中2019届高三质量监测（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. C 【命题意图】本题考查复数的运算.【试题解析】C (13)(3)10i i i -+-=.故选C.2. D 【命题意图】本题考查集合运算.【试题解析】D M N M =有N M ⊆.故选D.3. A 【命题意图】本题考查三角函数的相关知识.【试题解析】A 故选A.4. B 【命题意图】本题主要考查函数的性质.【试题解析】B 由函数是偶函数，排除C ，在(0,)+∞上是减函数，排除A ，D.故选B.5. C 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】C 由题意知2120,cos ,2⋅-=<>=a b b a b .故选C. 6. C 【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识.【试题解析】C 9475S S a -=.故选C7. D 【命题意图】本题考查线面成角.【试题解析】D 由题意知成角为6π.故选D. 8. B 【命题意图】本题主要考查计数原理的相关知识.【试题解析】B 由题意可分两类，第一类，甲与另一人一同分到A ，有6种；第二类，甲单独在A ，有6种，共12种.故选B.9. D 【命题意图】本题主要考查统计相关知识.【试题解析】D 由统计学常识可知，D 选项正确.故选D.10. D 【命题意图】本题主要考查中华传统文化.【试题解析】D 由题可知10k =.故选D.11. C 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】C 由题意可知22222223,13y x y x a a a =-=-，从而渐近线方程为y =.故选C. 12. A 【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用.【试题解析】A 令()(),()(()())0x x g x e f x g x e f x f x ''==+>，所以()g x 在定义域内单调递增，从而(0)(ln 2)(1)g g g <<，得(0)2(l n 2)(1)f fe f <<，即a b c <<. 故选A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 52【命题意图】本题考查对数运算. 【试题解析】由题意可知值为52. 14. 12【命题意图】本题考查椭圆的相关知识.【试题解析】12,1,2a b c e ====. 15. 10【命题意图】本题考查等比数列的相关知识.【试题解析】由题意可得263396()()S S S S S -=-，得310S =.16. .【试题解析】由题意可知其2142S=⨯⨯=三、解答题17.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查解三角形的基本方法.【试题解析】解：（1）由cCab21cos+=可得1sin sin cos sin2B AC C=+，所以1cos,23A Aπ== .（2）由（1）及3=⋅ACAB得6bc=，所以222222cos6a b c bc A b c=+-=+-266bc≥-=，当且仅当=b c时取等号，所以a18.(本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：（1）连接BD，由2PA PD==，E是AD的中点，得PE AD⊥，由平面⊥PAD平面ABCD，可得PE⊥平面ABCD，PE BE⊥，又由于四边形ABCD是边长为2的菱形，60=∠A，所以BE AD⊥，从而⊥BE平面PAD.（2）以E为原点，,,EA EB EP为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，P，(1,0,0),(A B C-，有(1,0,3)(0,3,3P A P B=-=-，(PC=-，令平面PAB的法向量为n，由P A nP B n⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得一个(3,1,1)n=，同理可得平面PBC的一个法向量为(0,1,1)m=，所以平面PAB与平面PBC所成锐二面角的余弦值为||105||||m nm n⋅=.19.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查抛物线的相关知识.【试题解析】答案：（1）设00000(,),(,0),||||,||,Q x y H x QH y OH x==||2AB p=，从而2200||2||||QH y px AB OH===.（2）由条件可知，:4MN y x=-+，联立直线MN和抛物线C，有242y xy px=-+⎧⎨=⎩，有2280y py p+-=，设1122(,),(,)M x y N x y，由OM ON⊥有1212x x y y+=，有1212(4)(4)0y y y y--+=，由韦达定理可求得2p=，所以抛物线2:4C y x=.20.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望.【试题解析】（1）由题意知，X所有可能取值为200,300,500，由表格数据知()2162000.290P X+===，()363000.490P X===，()25745000.490P X++===.因此X（2，至少为200，因此只需考虑200500n ≤≤.当300500n ≤≤时，若最高气温不低于25，则642Y n n n =-=；若最高气温位于区间[)20,25，则()63002300412002Y n n n =⨯+--=-；若最高气温低于20，则()6200220048002Y n n n =⨯+--=-；因此()()20.4120020.480020.26400.4EY n n n n =⨯+-⨯+-⨯=-.当200300n <≤时，若最高气温不低于20，则642Y n n n =-=；若最高气温低于20，则()6200220048002Y n n n =⨯+--=-；因此()()20.40.480020.2160 1.2EY n n n =⨯++-⨯=+.所以n =300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元.21.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：（1）由题可得()x f x e x a '=-+，设()()x g x f x e x a '==-+，则()1x g x e '=-，所以当0x >时()0g x '>，()f x '在()0,+∞上单调递增，当0x <时()0g x '<，()f x '在(),0-∞上单调递减，所以()()01f x f a ''≥=+，因为1a >-，所以10a +>，即()0f x '>，所以函数()f x 在R 上单调递増.（4分）（2）由（1）知()f x '在[)1,+∞上单调递増，因为 1a e <-，所以()1 10f e a '=-+<，所以存在()1,t ∈+∞，使得()0f t '=，即0t e t a -+=，即t a t e =-，所以函数()f x 在[)1,t 上单调递减，在(),t +∞上单调递増，所以当[)1,x ∈+∞时，()()()()222min 1111222t t t t f x f t e t at e t t t e e t t ==-+=-+-=-+. 令()()2111,2x h x e x x x =-+>，则()1()0x x x h e =-<'恒成立，所以函数()h x 在()1,+∞上单调递减，所以()()21111122h x e <-+⨯=，所以()211122t e t t -+<，即当[)1,x ∈+∞时()min 12f x <，故函数()f x 在[)1,+∞上的最小值小于12. （8分）（3）()212x f x e bx ax =-+，()x f x e bx a '=-+ 由()f x 为R 上的单调函数，可知()f x 一定为单调增函数因此()0xf x e bx a '=-+≥，令()()xg x f x e bx a '==-+，()x g x e b '=- 当0b =时，0ab =；当0b <时，()0x g x e b '=->，()y g x =在R 上为增函数x →-∞时,()g x →-∞与()0g x ≥矛盾当0b >时,()0ln ,()0ln g x x b g x x b ''>⇔><⇔<当ln x b =时,min ()ln 0g x b b b a =-+≥，22ln (0)ab b b b b - >≥令22()ln (0)F x x x x x =->，则()(2ln 1)F x x x '=-()0()00F x x F x x ''>⇔><⇔<<当x =,min ()2e F x =-,ab 的最小值为2e -. （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识.【试题解析】（1）圆C 的直角坐标方程为222410x y x y +--+=.（2）将直线l 的参数方程代入到圆C 的直角坐标方程中，有24sin 0t t α-=，由32=AB 得sin α=，所以3πα=或23πα=. 23.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到基本不等式等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.【试题解析】（1）2221()22a b a b +≥+=.（2）2212133(2()22224a b b a a b a b a b ++=⨯+=++≥，1.。