抛物线的方程及其性质
高中抛物线知识点总结
高中抛物线知识点总结抛物线是高中数学中的一个重要概念，它有着广泛的应用和深厚的理论基础。
在高中数学中，我们学习了抛物线的方程、性质、图像以及与二次函数、解析几何等知识的关联。
本文将对高中抛物线的相关知识进行总结和梳理，以帮助我们更好地理解和应用这一概念。
一、抛物线的定义和基本性质抛物线是指平面上到定点距离与到定直线距离相等的动点所形成的轨迹。
其方程通常表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。
抛物线具有以下基本性质：1. 它的对称轴是与x轴垂直的直线，过顶点。
2. 它的顶点是抛物线的最低点或最高点。
3. 它开口的方向取决于a的值，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
4. 它的图像关于对称轴对称。
二、抛物线的图像与方程通过对抛物线的方程进行分析，我们可以得到一些关于抛物线图像的信息。
1. 抛物线的顶点坐标可以通过求解方程y=ax^2+bx+c的极值点（即导数为0的点）得到。
顶点的横坐标为x=-b/(2a)，纵坐标为y=f(x)。
2. 当a>0时，抛物线的图像开口向上，极值点是最低点；当a<0时，抛物线的图像开口向下，极值点是最高点。
3. 当抛物线的方程为y=ax^2+bx+c时，通过对y的值进行分析我们可以得到抛物线的开口大小和位置信息。
三、抛物线与二次函数的关系抛物线是二次函数的特殊图像，二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c。
通过对比抛物线与二次函数的方程，我们可以得到它们之间的关系。
1. 抛物线与二次函数的图像形状相同，二次函数可以表示抛物线的图像；2. 二次函数告诉我们抛物线的方程形式，可以通过方程的系数判断抛物线打开的方向和大小，掌握二次函数的性质有助于理解和研究抛物线。
四、抛物线与解析几何的关系抛物线在解析几何中有重要的应用和意义，特别是在平面直角坐标系中。
抛物线的方程可以表示平面上的曲线，通过解析几何的相关知识我们可以分析抛物线的性质和特点。
高中数学选修2-1-抛物线的方程及性质
抛物线的方程及性质知识集结知识元抛物线的定义知识讲解1．抛物线的定义【概念】抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹．他有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等．它在几何光学和力学中有重要的用处．抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线．抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图象．【标准方程】①y2＝2px，当p＞0时，为右开口的抛物线；当p＜0时，为左开口抛物线；②x2＝2py，当p＞0时，为开口向上的抛物线，当p＜0时，为开口向下的抛物线．【性质】我们以y2＝2px（p＞0）为例：①焦点为（，0）；②准线方程为：x＝﹣；③离心率为e＝1．④通径为2p（过焦点并垂直于x轴的弦）；⑤抛物线上的点到准线和到焦点的距离相等．【实例解析】例1：点P是抛物线y2＝x上的动点，点Q的坐标为（3，0），则|PQ|的最小值为解：∵点P是抛物线y2＝x上的动点，∴设P（x，），∵点Q的坐标为（3，0），∴|PQ|＝＝＝，∴当x＝，即P（）时，|PQ|取最小值．故答案为：．这个例题其实是一个求最值的问题，一般的解题思路就是把他转化为求一个未知数的最值，需要注意的是一定要明确这个未知数的定义域，后面的工作就是求函数的最值了．例2：已知点P是抛物线y2＝4x上的一个动点，点P到点（0，3）的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值是．解：如图所示，设此抛物线的焦点为F（1，0），准线l：x＝﹣1．过点P作PM⊥l，垂足为M．则|PM|＝|PF|．设Q（0，3），因此当F、P、Q三点共线时，|PF|+|PQ|取得最小值．∴（|PF|+|PQ|）min＝|QF|＝＝．即|PM|+|PQ|的最小值为．故答案为：．这是个经典的例题，解题的关键是用到了抛物线的定义：到准线的距离等于到焦点的距离，然后再根据几何里面的两点之间线段最短的特征求出p点．这个题很有参考价值，我希望看了这个例题的同学能把这个题记下了，并拓展到椭圆和双曲线上面去．【考点分析】抛物线是初中高中阶段重要的一个知识点，高中主要是增加了焦点、准线还有定义，这也提示我们这将是它的一个重点，所以在学习的时候要多多理会它的含义，并能够灵活运用．例题精讲抛物线的定义例1.'已知动圆过定点F（2，0），且与直线x=-2相切，求动圆圆心C的轨迹．'例2.'平面内哪些点到直线l：x=-2和到点P（2，0）距离之比小于1．'例3.'点M到点F（3，0）的距离等于它到直线x=-3的距离，点M运动的轨迹是什么图形？你能写出它的方程吗？能画出草图吗？'抛物线的标准方程知识讲解1．抛物线的标准方程【知识点的认识】抛物线的标准方程的四种种形式：（1）y 2＝2px ，焦点在x 轴上，焦点坐标为F（，0），（p 可为正负）（2）x 2＝2py ，焦点在y 轴上，焦点坐标为F （0，），（p 可为正负）四种形式相同点：形状、大小相同；四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．下面以两种形式做简单的介绍：标准方程y 2＝2px （p ＞0），焦点在x 轴上x 2＝2py （p ＞0），焦点在y 轴上图形顶点（0，0）（0，0）对称轴x 轴焦点在x 轴长上y 轴焦点在y 轴长上焦点（，0）（0，）焦距无无离心率e ＝1e ＝1准线x ＝﹣y ＝﹣例题精讲抛物线的标准方程例1.'已知Q（1，1）是抛物线x2=2py（p>0）上一点，过抛物线焦点F作一条直线l与抛物线交于不同两点A，B．在点A处作抛物线的切线l1，在点B处作抛物线的切线l2，直线l1、l2交于P 点．（Ⅰ）求p的值及焦点F的坐标；（Ⅱ）求证PA⊥PB．'例2.'根据下列条件求抛物线的标准方程：（1）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）；（2）焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是5。
初中抛物线知识点
初中抛物线知识点在初中数学的学习中，抛物线是一个重要的知识点。
它不仅在数学领域有着广泛的应用，还为我们解决实际问题提供了有力的工具。
接下来，让我们一起深入了解抛物线的相关知识。
一、抛物线的定义抛物线是指平面内到一个定点 F 和一条定直线 l 距离相等的点的轨迹。
其中，定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。
二、抛物线的标准方程初中阶段，我们主要学习两种常见的抛物线标准方程：1、当抛物线的焦点在 x 轴正半轴上时，标准方程为 y²＝ 2px（p ＞ 0），其中 p 为焦点到准线的距离。
2、当抛物线的焦点在 y 轴正半轴上时，标准方程为 x²＝ 2py（p ＞ 0）。
以 y²＝ 2px 为例，焦点坐标为（p/2，0），准线方程为 x ＝ p/2。
三、抛物线的图像特征1、对称性抛物线关于其对称轴呈轴对称。
对于 y²＝ 2px，对称轴为 x 轴；对于 x²＝ 2py，对称轴为 y 轴。
2、开口方向当 p ＞ 0 时，y²＝ 2px 开口向右，x²＝ 2py 开口向上；当 p ＜ 0 时，y²＝ 2px 开口向左，x²＝ 2py 开口向下。
3、顶点抛物线的顶点位于对称轴与抛物线的交点处。
对于 y²＝ 2px，顶点为（0，0）；对于 x²＝ 2py，顶点也为（0，0）。
四、抛物线的性质1、焦半径抛物线上一点到焦点的距离叫做焦半径。
对于抛物线 y²＝ 2px 上一点（x₀，y₀），其焦半径为 x₀＋ p/2 。
2、通径通过焦点且垂直于对称轴的弦叫做通径。
对于 y²＝ 2px，通径长为2p 。
3、抛物线的平移抛物线的平移遵循“上加下减，左加右减”的原则。
例如，将抛物线y ＝ x²向上平移 2 个单位得到 y ＝ x²＋ 2 ；向左平移 3 个单位得到 y＝（x ＋ 3)²。
抛物线的性质与计算
抛物线的性质与计算抛物线是一种常见的数学曲线，具有独特的性质和特点。
在数学中对于抛物线的研究，不仅帮助我们深入了解曲线的性质，还能应用于实际问题的计算中。
本文将介绍抛物线的基本定义及其性质，并探讨如何进行抛物线的计算。
一、抛物线的定义与基本性质抛物线可由以下二次函数的方程表示：y = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c为常数，a ≠ 0。
抛物线的形状与参数a的正负有关。
当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
抛物线具有以下基本性质：1. 对称性抛物线关于其顶点的纵轴对称。
即，若(x, y)在抛物线上，则(-x, y)也在抛物线上。
2. 零点抛物线与x轴的交点称为零点，也称为根。
对于一般二次方程，可以通过求根公式来计算抛物线的零点。
3. 零点的判别式抛物线的零点个数与判别式的正负相关。
当判别式大于零时，抛物线与x轴有两个不相等的交点，即有两个实数根；当判别式等于零时，抛物线与x轴有两个相等的交点，即有一个实数根；当判别式小于零时，抛物线与x轴无交点，即无实数根。
4. 顶点抛物线的顶点是曲线最高/最低点，也是抛物线的对称中心。
顶点坐标可通过求导或利用平方完成平方法求得。
5. 单调性抛物线的单调性由参数a的正负决定。
当a > 0时，抛物线开口向上，曲线从左到右逐渐上升；当a < 0时，抛物线开口向下，曲线从左到右逐渐下降。
二、抛物线的计算方法1. 求零点计算抛物线的零点，即求解二次方程。
可以通过以下步骤进行计算：a) 计算判别式D = b^2 - 4ac；b) 若D > 0，使用求根公式x = (-b ± √D) / (2a)计算抛物线的两个实数根；c) 若D = 0，使用求根公式x = -b / (2a)计算抛物线的一个实数根；d) 若D < 0，抛物线无实数根。
2. 求顶点抛物线的顶点可以使用求导或平方完成平方法求得。
抛物线的定义与性质
抛物线的定义与性质抛物线是由平面上一点P到一个定点F的距离与点P到一条直线L的距离相等的轨迹。
在平面直角坐标系中，抛物线的方程可以表示为y = ax² + bx + c，其中a、b、c是常数，a ≠ 0。
抛物线具有许多有趣的性质，下面将逐一介绍。
性质一：焦点和直线L抛物线的焦点是定点F，直线L是平行于y轴的直线，距离焦点F的垂直距离是h。
根据抛物线的定义，对于任意一点P(x, y)在抛物线上，我们可以得到以下关系：PF = PL√[(x - p)² + (y - q)²] = |y - h|其中，(p, q)是抛物线的顶点。
性质二：焦半径焦半径是从焦点F到抛物线上任意一点P的线段。
根据性质一中的等式，我们可以得到焦点与抛物线上的任意一点之间的距离PF与抛物线切线的夹角θ满足以下关系：PF = |PC|cosθ其中，切线的斜率可以通过抛物线的方程求出。
性质三：对称轴抛物线的对称轴是直线x = p，其中p是抛物线的顶点的横坐标。
对称轴将抛物线分成两个对称的部分，具有关于对称轴的对称性。
性质四：焦点的坐标对于抛物线y = ax² + bx + c，焦点的横坐标可以通过以下公式计算：p = -b / (2a)焦点的纵坐标可以通过以下公式计算：q = c - b² / (4a)性质五：切线与法线抛物线上的任意一点P的切线与该点的法线垂直，并且共线。
对于抛物线y = ax² + bx + c，点P(x0, y0)处的切线的斜率可以通过以下公式计算：m = 2ax0 + b点P处的切线的方程可以表示为：y - y0 = m(x - x0)该切线的法线与切线斜率的乘积为-1。
性质六：焦点的几何意义抛物线的焦点F到任意一点P的线段PF的长度与FP的长度相等。
这说明，焦点是抛物线上各点到抛物线的一条对称轴的距离之差的等分点。
性质七：离心率离心率是抛物线焦点到抛物线对称轴的距离与焦点到抛物线上任意一点P的距离之比的绝对值。
抛物线性质
抛物线性质抛物线是一种二次函数，其方程为y=ax²+bx+c，其中a、b、c都是实数，且a≠0。
抛物线有以下几个性质：1. 对称性抛物线有一条对称轴，对称轴垂直于x轴，过抛物线的顶点。
对称轴的方程为x=-b/2a。
抛物线对称于其对称轴。
对于每个点(x,y)，如果它在抛物线上，则它关于对称轴的对称点也在抛物线上。
2. 正负性当a>0时，抛物线开口向上，形状像一个U形。
当a<0时，抛物线开口向下，形状像一个倒U形。
3. 零点抛物线与x轴的交点称为抛物线的零点或根。
当抛物线与x轴有两个交点时，抛物线有两个零点。
当抛物线与x轴只有一个交点时，抛物线只有一个零点。
4. 额定值抛物线最高点的y坐标称为抛物线的额定值。
抛物线的额定值等于其顶点的纵坐标。
5. 最大值/最小值如果a<0，则抛物线的最大值等于其额定值，最小值为负无穷。
如果a>0，则抛物线的最小值等于其额定值，最大值为正无穷。
6. 焦点抛物线有一点称为焦点，它是抛物线与其对称轴的交点的一半距离处。
焦点的x坐标为-b/2a，y坐标为(c-b²/4a)。
7. 直线的切线如果抛物线在某一点处存在一条斜率，则这条斜率对应于该点处的切线。
对于抛物线y=ax²+bx+c，其导数为dy/dx=2ax+b。
因此，在x处的切线斜率为2ax+b。
8. 拐点抛物线的拐点是曲线从凸部到凹部或从凹部到凸部的点。
拐点的位置为(-b/2a，c-b²/4a)。
9. 化简抛物线的标准形式抛物线方程y=ax²+bx+c可以化简为y=a(x-h)²+k的标准形式，其中(h,k)为抛物线的顶点。
要将抛物线方程转换为标准形式，可以首先通过完成平方的方法来消除x的一次项：y=a(x²+(b/a)x)+c。
然后，将完全平方的形式应用于括号内的表达式：y=a(x²+(b/a)x+(b/2a)²-(b/2a)²)+c。
抛物线及其性质知识点大全
抛物线及其性质知识点大全1.抛物线的定义：抛物线是平面上各点到定点（焦点）的距离与各点到定直线（准线）的距离相等的点的轨迹。
2.抛物线的一般方程：抛物线的一般方程为 y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。
3.抛物线的焦点和准线：-抛物线的焦点是定点F，在焦点F上可以发射经由抛物线反射的平行光线，称为焦光束。
-抛物线的准线是直线L，通过焦点F，且与抛物线没有交点。
4.抛物线的焦距：-抛物线的焦距是焦点F到准线的垂直距离，记为2p。
5.抛物线的顶点：-抛物线的顶点是抛物线的最高点或最低点，坐标记为(h,k)。
-抛物线的顶点坐标可以通过顶点公式h=-b/2a和k=c-b^2/4a计算得到。
6.抛物线的对称轴：-抛物线的对称轴是抛物线的对称线，过顶点，并且与抛物线垂直。
7.抛物线的开口方向：-当a>0时，抛物线开口向上。
-当a<0时，抛物线开口向下。
8.抛物线的图像特点：-抛物线关于对称轴对称。
-抛物线与准线相交于顶点。
-抛物线在焦点处达到最大值或最小值。
-抛物线两侧的点到焦点的距离相等。
9.抛物线的焦点坐标计算：-焦点坐标可以通过焦距公式p=1/4a和焦点公式F(h,k+p)计算得到。
10.抛物线的拟合直线：-抛物线的切线方程和抛物线在焦点处的切线方向一致。
11.抛物线的截距：-抛物线与x轴的交点称为x轴截距，可以通过方程y=0解得。
-抛物线与y轴的交点称为y轴截距，可以直接读出抛物线方程中的常数项。
12.抛物线的平移：-抛物线的平移是通过改变顶点的坐标来实现的，顶点的新坐标为(h+a,k)。
13.抛物线的标准方程：- 当抛物线顶点为原点时，可以将抛物线的方程化为标准方程 y^2 = 4ax，其中焦点坐标为 (a, 0)。
14.抛物线的求导函数：- 抛物线的导数函数为 f'(x) = 2ax + b。
15.抛物线的面积计算：- 抛物线的面积可以通过定积分来计算，公式为 S =∫[x1,x2](ax^2 + bx + c)dx。
几何中的抛物线性质
几何中的抛物线性质抛物线是数学中的一种特殊曲线，它在几何学和物理学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍抛物线的定义及其基本性质，包括焦点、准线、顶点、对称轴等重要概念。
同时，还将探讨抛物线的相关公式和实际应用，帮助读者更好地理解并应用这一几何形状。
一、抛物线的定义抛物线是一种二次曲线，由焦点到准线的距离始终相等构成。
其数学表达式为：y = ax² + bx + c其中a、b、c为常数且a≠0。
抛物线是一个平滑的U形曲线，向上或向下开口，具有许多独特的性质。
二、抛物线的基本性质1. 焦点和准线：焦点是指离抛物线上任意一点的距离与该点到准线的距离相等的点。
准线是平行于对称轴，并与抛物线不相交的一条直线。
2. 顶点和对称轴：顶点是指抛物线的最高点或最低点，即曲线的拐点。
对称轴是通过焦点和顶点的直线，也是抛物线的对称轴线。
3. 焦距公式：焦距是指焦点到对称轴的距离。
在一般的抛物线方程中，焦距的计算公式为：f = 1 / (4a)4. 切线和法线：切线是抛物线某一点处切于曲线的直线，而法线则与切线垂直。
5. 弧长和曲率：抛物线的弧长可使用积分计算。
曲率是抛物线某一点处曲线的弯曲程度，由相应的导数或偏导数表示。
三、抛物线的相关公式1. 标准形式：y = ax²2. 顶点坐标：(-b/2a, f(-b/2a))3. 焦点的坐标：(p, a/p)，其中p为焦距4. 准线方程：y = -p5. 切线方程：y = mx + c，其中m是抛物线某一点处的导数，c为相应的截距四、抛物线的实际应用抛物线不仅在数学领域中具有重要意义，还广泛应用于各行各业。
以下是一些抛物线在实际中的应用示例：1. 抛物线反射器：抛物线形状的反射器可以将平行光线聚焦到一个点上，常用于望远镜、卫星天线等设备中。
2. 炮弹的轨迹：抛物线方程可用于计算炮弹射程和最大高度等参数，有助于炮弹的轨迹预测和射击控制。
3. 桥梁设计：在桥梁的设计过程中，抛物线形状能够提供足够的结构安全性和荷载分布均匀性。
抛物线和性质知识点大全
抛物线和性质知识点大全1.抛物线的定义：抛物线是一个平面曲线，其距离一个定点（焦点）和一个定直线（准线）的距离都相等。
2.标准方程：抛物线的标准方程是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，且a ≠ 0。
3.抛物线的焦点：抛物线的焦点是一个点，其到抛物线上的任意一点的距离与该点到抛物线的准线的距离相等。
4.抛物线的准线：抛物线的准线是一个直线，与抛物线的对称轴平行，并且距离对称轴固定的距离。
5.抛物线的对称轴：抛物线的对称轴是垂直于准线，通过焦点和抛物线的顶点的一条直线。
6.抛物线的顶点：抛物线的顶点是曲线的最高或最低点，即y轴距离最大或最小的点。
7.抛物线的焦距：抛物线的焦距是焦点到顶点的距离。
焦距等于准线与对称轴的距离的两倍。
8.抛物线的直径：抛物线的直径是通过焦点和曲线上两个对称的点的线段。
直径等于焦距的两倍。
9.抛物线的离心率：抛物线的离心率是焦距与准线与顶点的距离的比值。
离心率等于110.抛物线的焦点方程：如果抛物线的焦点为(F,p)，则焦点到顶点的距离为p，焦点的横坐标为F，抛物线方程为(x-F)^2=4p(y-c)，其中c为抛物线的顶点纵坐标。
11.抛物线的顶点方程：如果抛物线的顶点为(h,k)，则抛物线方程为(y-k)=a(x-h)^212.抛物线的对称性：抛物线具有对称性，对称轴将抛物线分成两个对称的部分。
13.抛物线的焦点和准线的关系：抛物线上任意一点的到焦点的距离等于该点到准线的距离的两倍。
14.抛物线的切线：抛物线上任意一点处的切线与该点到焦点的连线重合。
15.抛物线的渐近线：当抛物线的开口向上时，抛物线没有水平渐近线；当抛物线的开口向下时，抛物线有一条水平渐近线。
16.抛物线的面积：抛物线所围成的面积等于焦点到顶点的纵坐标与准线的距离之积的1/317.抛物线的长度：抛物线的长度等于8/3倍焦距的立方根。
18.抛物线的应用：抛物线广泛应用于物理学、工程学和计算机图形学等领域。
抛物线的性质与方程解析
抛物线的性质与方程解析抛物线是数学中一种常见的曲线，具有许多独特的性质和方程解析。
本文将重点探讨抛物线的性质以及如何通过方程解析抛物线的特征。
一、抛物线的性质1. 对称性：抛物线关于其焦点轴的对称性是其最基本的性质。
抛物线上任意一点与焦点的距离相等于该点到焦点轴的垂直距离。
这种对称性使得抛物线在很多实际问题中具有重要应用，如天文学、物理学等。
2. 焦点和直线的关系：抛物线上的每一点到焦点的距离等于该点到准线的垂直距离。
焦点是抛物线的一个重要属性，影响着抛物线的形状和位置。
3. 切线和法线：抛物线上的任意一点的切线与该点到焦点的连线垂直相交于准线。
这个性质使得我们可以利用切线和法线求解抛物线的各种问题。
二、抛物线的方程解析抛物线可以通过不同的方程来表示，以下是几种常见的形式：1. 顶点形式：设抛物线的顶点为(Vx, Vy)，则抛物线的顶点形式方程可以表示为： y = a(x - Vx)² + Vy。
其中，a为控制抛物线开口方向和大小的参数。
2. 标准形式：标准形式方程是最简单、最常用的表示抛物线的形式。
标准形式方程为：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，分别控制抛物线的形状、位置和与x轴的交点。
3. 参数方程：通过参数方程可以描述抛物线上各个点的坐标。
常见的参数方程有：x = at²，y = 2at。
这种表示方式更适用于描述抛物线的轨迹和运动。
4. 对称方程：对称方程利用焦点和准线来表示抛物线。
一个常见的对称方程为：(x - p)² = 4a(y - q)，其中(p, q)表示焦点的坐标，a为常数。
通过这些方程解析，我们可以更好地理解抛物线的特征和性质。
在实际问题中，根据抛物线的方程，我们可以进行求解、推导和应用。
三、抛物线的应用抛物线的性质和方程解析在许多领域中得到广泛应用，下面简单介绍几个应用场景。
1. 抛物物体运动轨迹分析：抛物线可以描述空中抛射物的运动轨迹，如抛出的石子、发射的炮弹等。
抛物线的知识点总结
抛物线的知识点总结抛物线是一种二次函数，具有以下特点：1. 方程和形式：抛物线的一般方程是y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是实数，a不等于0。
a决定了抛物线的开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下。
2. 零点：抛物线与x轴的交点称为零点，可以通过求解方程ax^2+bx+c=0得到。
如果方程无实根，说明抛物线与x轴没有交点。
3.頂点：抛物线的最高点或最低点称为顶点。
当a>0时，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，顶点是抛物线的最高点。
顶点的横坐标为x=-b/2a，纵坐标为y=f(-b/2a)。
4.对称轴：抛物线的对称轴是过顶点且垂直于x轴的直线。
对称轴的方程是x=-b/2a。
5. 判别式：抛物线方程的判别式Δ=b^2-4ac可以用来确定抛物线的性质。
当Δ>0时，抛物线与x轴有两个交点，开口向上或向下；当Δ=0时，抛物线与x轴有一个交点，开口向上或向下；当Δ<0时，抛物线与x轴没有交点，开口向上或向下。
6.曲线的性质：抛物线在顶点处取得极值。
当a>0时，极小值为顶点的纵坐标；当a<0时，极大值为顶点的纵坐标。
抛物线在对称轴两侧的函数值相等。
7.平移与缩放：对抛物线进行平移和缩放会改变抛物线的位置和形状。
平移可以通过在x和y上加上常数来实现；缩放可以通过对a、b和c乘以常数来实现。
8.抛物线的应用：抛物线在物理、数学和工程领域有广泛的应用。
在物理学中，抛物线可以描述物体抛出和自由落体的轨迹。
在数学中，抛物线是二次函数的一个特例，可以用来研究函数的性质。
在工程中，抛物线可以用来设计桥梁、建筑和道路等。
9.拟合与插值：抛物线可以用来拟合和插值一组给定的数据点。
通过最小二乘法，可以找到最佳的抛物线模型来拟合数据。
10.抛物线的求导：抛物线的导函数是一次函数，通过对抛物线方程进行求导来得到。
导函数描述了抛物线在每个点的斜率。
总结起来，抛物线是一种二次函数，具有开口方向、零点、顶点、对称轴、判别式和曲线性质等特点。
抛物线的标准方程及性质
抛物线的标准方程及性质一、抛物线定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
其中定点F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线 想一想： 定义中的定点与定直线有何位置关系？点F 不在直线L 上,即过点F 做直线垂直于l 于F ，|FK|=P 则P 〉0 求抛物线的方程解：设取过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴，线段KF 的中垂线y 轴 设︱KF ︱= p 则F （0,2p ）,l ：x = —2p 。
设抛物线上任意一点M （X ，Y ）定义可知 ｜MF|=｜MN| 即：2)2(22px y P x +=+-化简得 y 2 = 2px （p ＞0) 二、标准方程把方程 y 2 = 2px （p ＞0）叫做抛物线的标准方程，其中F （2P ，0)，l ：x = — 2P而p 的几何意义是： 焦 点 到 准 线 的 距 离｜FK|一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式。
1．四种抛物线的标准方程对比图形 标准方程焦点坐标准线方程)0(22>=p px y⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p 2p x -=)0(22>-=p px y⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p 2px =)0(22>=p py x⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0p2py -=)0(22>-=p py x⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0p2py =2、怎样把抛物线位置特征（标准位置）和方程的特点（标准方程）统一起来? 顶点在原点三、抛物线的性质设抛物线的标准方程y 2=2px (p ＞0)，则（1）范围：抛物线上的点(x ，y ）的横坐标x 的取值范围是x ≥0。
，在轴右侧抛物线向右上方和右下方无限延伸。
（2）对称性：这个抛物线关于轴对称，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.(3）顶点：抛物线和它的交点叫做抛物线的顶点，这个抛物线的顶点是坐标原点。
抛物线的方程与性质
抛物线的方程与性质抛物线是一种重要的几何曲线，在数学中具有广泛的应用。
本文将介绍抛物线的方程以及其性质，以加深对抛物线的理解。
一、抛物线方程的一般形式抛物线的一般方程形式为：y = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c为实数且a≠0，x和y为平面直角坐标系中的变量。
二、抛物线的性质1. 对称性抛物线的对称轴是垂直于x轴的一条直线，它通过抛物线的顶点。
对称轴方程可写为x = -b/2a。
对称轴将抛物线分为两个对称的部分。
2. 顶点抛物线的顶点是其最高点或最低点。
顶点的纵坐标可通过对称轴方程计算得到。
3. 开口方向抛物线开口的方向取决于a的正负。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
4. 判别式抛物线的判别式Δ=b^2-4ac可以决定抛物线的性质。
当Δ>0时，抛物线与x轴有两个交点；当Δ=0时，抛物线与x轴有一个交点；当Δ<0时，抛物线与x轴没有交点。
5. 零点抛物线与x轴的交点称为零点，即方程y=0的解。
通过求解y=ax^2+bx+c=0，可以得到抛物线的零点。
6. 对称性质抛物线具有轴对称性，意味着在对称轴上的两个点在x轴上的距离是相等的，且它们的y坐标相等。
7. 焦点与准线对于抛物线，焦点与准线是两个重要的概念。
焦点是离抛物线顶点最近的点，准线是垂直于对称轴并通过焦点和顶点的直线。
焦点的坐标可通过公式计算得到。
8. 切线抛物线上任意一点处的切线是与该点切于一点且与曲线相切的直线。
切线的斜率可通过导数计算得到。
以上是抛物线的方程与性质的简要介绍，希望能对读者加深对抛物线的理解。
在实际应用中，抛物线的性质有助于解决各种问题，如物理上的抛物线轨迹、工程中的抛物天窗设计等。
深入理解抛物线的方程与性质将为我们的学习和工作带来更多的灵感和应用场景。
抛物线常用性质总结
抛物线常用性质总结抛物线是二次方程的图像，其常见形式为y = ax^2 + bx + c，其中a，b，c是实数常数且a不等于零。
抛物线有许多重要的性质和特点，以下是一些常用的总结和解释。
1. 对称性：抛物线具有轴对称性。
如果抛物线的方程是y = ax^2 + bx + c，轴对称线的方程将是x = -b/2a。
这意味着抛物线关于垂直于x 轴、通过x = -b/2a的直线对称。
2.最高点或最低点：如果a大于零，则抛物线开口向上，且没有最大值。
如果a小于零，则抛物线开口向下，且没有最小值。
抛物线的顶点或底点即为其最高或最低点。
3. 判别式：抛物线的判别式可以帮助我们确定它的性质。
判别式D = b^2 - 4ac表示了二次方程的解的性质。
如果D大于零，则抛物线与x 轴有两个交点，说明它有两个实根。
如果D等于零，则抛物线与x轴有一个交点，说明它有一个实根。
如果D小于零，则抛物线与x轴没有交点，说明它没有实根。
4.对于抛物线的每一个点(x,y)，其关于轴对称线的对称点为(2p-x,y)，其中p为抛物线上任意一点的横坐标。
这一性质可以用来确定抛物线上其他点的坐标。
5.零点：抛物线与x轴的交点称为零点或根。
零点可以通过解二次方程来求得。
如果判别式D大于零，那么二次方程有两个不同的实根；如果判别式D等于零，那么二次方程有一个实根；如果判别式D小于零，那么二次方程没有实根。
6.方向：抛物线的方向由二次项的系数a决定。
如果a大于零，抛物线开口向上；如果a小于零，抛物线开口向下。
7.垂直于x轴的焦点与准线：焦点与准线是抛物线的另外两个重要点。
焦点的坐标为(p,q+1/4a)，其中p=-b/2a为抛物线的对称轴上任意一点的横坐标，q=c-b^2/4a为抛物线的对称轴上任意一点的纵坐标。
准线的方程为y=c-1/4a。
8.对称性性质的应用：由于抛物线的对称性，我们可以通过求解对称点的坐标来简化计算。
例如，如果我们已经求得抛物线上一个点(x,y)的坐标，那么我们也可以直接求解它关于对称轴的对称点(2p-x,y)。
抛物线标准方程
抛物线标准方程抛物线是平面上一类非常重要的曲线，它在物理学、几何学和工程学中都有着广泛的应用。
在数学中，抛物线通常以标准方程的形式进行研究和描述。
本文将介绍抛物线的标准方程及其相关性质。
首先，我们来看一下抛物线的定义。
抛物线是平面上一类曲线，它的定义可以有多种方式，其中一种常见的定义是：所有到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离相等的点的轨迹。
抛物线通常可以用标准方程来表示，其标准方程的一般形式为：y = ax^2 + bx + c。
其中a、b、c为常数，且a不等于0。
这个方程描述了抛物线上所有点的坐标，通过这个方程我们可以推导出抛物线的各种性质。
接下来，我们来看一下如何通过已知的抛物线上的点来确定抛物线的标准方程。
假设我们已知抛物线上的三个点(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)，我们可以通过这些点来确定抛物线的标准方程。
我们可以将这三个点代入抛物线的一般方程y = ax^2 + bx + c中，得到三个方程：y1 = ax1^2 + bx1 + c。
y2 = ax2^2 + bx2 + c。
y3 = ax3^2 + bx3 + c。
通过解这个方程组，我们可以求解出a、b、c的值，从而确定抛物线的标准方程。
除了通过已知点来确定抛物线的标准方程外，我们还可以通过抛物线的焦点和准线来确定抛物线的标准方程。
抛物线的焦点和准线的位置关系可以帮助我们确定抛物线的标准方程，这是抛物线研究中一个非常重要的方法。
在确定了抛物线的标准方程后，我们可以进一步研究抛物线的各种性质。
例如，我们可以通过标准方程来求解抛物线的焦点、准线、顶点等重要的点和线。
这些性质的研究对于抛物线的应用具有非常重要的意义。
总之，抛物线的标准方程是研究抛物线的重要工具，通过标准方程我们可以确定抛物线的位置、形状和各种性质。
在实际应用中，抛物线的标准方程有着广泛的应用，对于理解和解决实际问题具有重要的意义。
希望本文对抛物线的标准方程有所帮助，谢谢阅读！。
抛物线的性质与研究
抛物线的性质与研究抛物线是一种数学曲线，经常出现在物理学、工程学和计算机图形学等领域中。
它具有一些独特的性质，经过深入的研究后，我们能够更好地理解和应用这一曲线。
一、抛物线的定义与方程抛物线是平面上的一条曲线，它的定义基于以下的方程形式：y =ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c为常数，x和y分别表示平面上的点的坐标。
根据曲线的开口方向，抛物线可以分为开口向上的抛物线和开口向下的抛物线。
曲线的开口方向由系数a的正负决定，当a大于0时，曲线开口向上，当a小于0时，曲线开口向下。
二、抛物线的性质1. 对称性：抛物线具有关于y轴的对称性。
即，如果点(x, y)位于抛物线上，则点(-x, y)也位于曲线上。
2. 切线性：抛物线上的任意一点，都有且只有一条切线与抛物线相切。
3. 零点性：抛物线的零点即为曲线与x轴相交的点，也就是使得y= 0的点的x坐标。
根据二次方程的解的性质，抛物线的零点可能有一、两个或者没有。
4. 顶点性：抛物线的顶点是曲线的最高点或最低点，称为极值点。
极值点的横坐标为 -b/2a，纵坐标为 -(b^2-4ac)/4a。
5. 对焦点与准线的关系：抛物线有一个焦点和一条准线。
焦点与准线的位置与抛物线的方程有关。
焦点与准线为一对共轭点，它们到抛物线上任意一点的距离相等。
6. 判别式：抛物线的方程中通过判别式可以判断曲线的性质。
当判别式大于0时，抛物线与x轴有两个交点；当判别式等于0时，抛物线与x轴有一个交点；当判别式小于0时，抛物线与x轴没有交点。
三、抛物线的应用1. 物理学：抛物线是质点在只受重力作用下的理想轨迹。
例如，抛射体在空中运动时，其轨迹可以用一条抛物线来描述，进而推算出射程、高度、速度等相关数据。
2. 工程学：抛物线的物理性质使得它在工程学中有广泛的应用。
比如，在建筑桥梁和拱门的设计中，抛物线的形状能够提供最大的强度和稳定性。
3. 计算机图形学：抛物线在计算机图形学中的应用十分广泛。
最全抛物线曲线性质总结
最全抛物线曲线性质总结抛物线是一种常见的二次曲线，具有很多特性和性质。
本文将总结抛物线的最全性质。
1. 定义抛物线是平面上所有到定点的距离与到定直线的距离相等的点所组成的曲线。
2. 方程抛物线的一般方程为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
3. 性质以下是抛物线的一些重要性质：对称性- 抛物线关于纵轴对称；- 如果a为正数，则抛物线开口朝上；如果a为负数，则抛物线开口朝下。
零点- 抛物线与x轴交点称为抛物线的零点；- 若抛物线有1个零点，则其为切线，即抛物线与x轴相切；- 若抛物线有2个零点，则其开口朝上；- 若抛物线无零点，则其不与x轴相交。
顶点- 抛物线的顶点即为最高点或最低点；- 顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(-b/2a)为抛物线在顶点横坐标处对应的纵坐标。
平行于坐标轴- 若b等于0，则抛物线与y轴平行；- 若a等于0，则抛物线与x轴平行。
开口方向- 由抛物线的系数a来决定；- 若a大于0，则抛物线开口朝上；- 若a小于0，则抛物线开口朝下。
最值- 若a大于0，则抛物线的最小值为顶点的纵坐标；- 若a小于0，则抛物线的最大值为顶点的纵坐标。
弧长- 抛物线弧长可由积分求解，公式为：L = ∫(1 + (dy/dx)^2)^(1/2) dx，其中dy/dx为抛物线方程的导数。
以上是抛物线的一些常见性质和特点。
对于理解和应用抛物线非常有帮助。
希望本文对您有所启发和帮助。
抛物线的四种参数表达式
抛物线的四种参数表达式抛物线是数学中一个非常重要且常见的曲线形状，可以通过不同的参数来表达。
在本文中，我将介绍四种常见的参数表达式，以帮助你更好地理解抛物线的特点和性质。
1. 标准形式抛物线的标准形式方程为：y = ax^2 + bx + c。
其中a、b和c是常数，决定了抛物线的形状和位置。
a决定了抛物线的开口方向（向上还是向下）和开口的大小，b控制了抛物线在x轴上的平移，c决定了抛物线顶点的纵坐标。
2. 顶点形式抛物线的顶点形式方程为：y = a(x - h)^2 + k。
其中(h, k)表示抛物线的顶点坐标。
通过顶点(h, k)的平移和a的值来确定抛物线的位置和形状。
3. 推广顶点形式推广顶点形式方程为：y = a(x - h)^m + k。
这种形式允许抛物线的幂次不再是2，而是任意的m。
这使得我们能够绘制更多种类的抛物线，如抛物线的高次方程。
4. 参数方程形式抛物线的参数方程形式为：x = at^2 + bt + c，y = dt^2 + et + f。
在参数方程中，t是参数，通过调整a、b、c、d、e和f的值，我们可以得到不同形状和位置的抛物线。
参数方程能够更灵活地描述抛物线，我们可以通过改变参数t的取值范围，绘制出从左向右或从右向左开口的抛物线。
总结回顾：通过以上四种参数表达式，我们可以以不同的方式描述抛物线的形状和位置。
标准形式方程提供了简洁且直观的方式来表示抛物线，顶点形式方程则将重点放在顶点的坐标上，推广顶点形式方程扩展了抛物线的幂次范围，而参数方程可以更具灵活性地绘制不同特定的抛物线。
对于每一种参数表达式，了解它们的特点和使用方法对于进一步理解和应用抛物线是很重要的。
不同的参数表达式可以适用于不同的问题和场景，所以根据实际情况选择最合适的参数表达式来表达抛物线是非常重要的。
在我的理解中，抛物线是一种非常有用和重要的数学曲线。
它的形状和特点在各个领域都有广泛的应用，例如物理学、工程学、计算机图形学等。
抛物线的方程与像
抛物线的方程与像抛物线是数学中的一个常见曲线，它的形状是一个开口朝上或者朝下的弧形。
在几何学和物理学中，抛物线有着重要的应用。
本文将探讨抛物线的方程及其与像的关系。
一、抛物线的一般方程抛物线的一般方程可以表示为：y = ax² + bx + c其中，a、b、c为常数，且a不为零。
抛物线方程中的a决定了抛物线的开口方向和形状。
当a大于零时，抛物线开口朝上；当a小于零时，抛物线开口朝下。
二、抛物线的顶点与焦点1. 顶点抛物线的顶点是曲线的最高点（对于开口朝下的抛物线）或最低点（对于开口朝上的抛物线）。
要确定抛物线的顶点，可以利用以下公式计算：顶点的横坐标 x = -b / (2a)顶点的纵坐标 y = f(x) = a(x²) + b(x) + c2. 焦点抛物线上还有一个重要的点，即焦点。
焦点是指离抛物线直线轴对称的点，可以通过以下公式计算焦点的坐标：焦点的横坐标 x = -b / (2a)焦点的纵坐标 y = (4a - b²) / (4a)三、抛物线的图像根据抛物线的方程和顶点、焦点的计算公式，可以画出抛物线的图像。
图像的形状和位置取决于方程中的参数。
1. a > 0的情况当a大于零时，抛物线开口朝上。
抛物线的顶点位于图像的最低点，焦点位于顶点的上方。
图像在顶点处与直线x = -b / (2a)垂直相交。
2. a < 0的情况当a小于零时，抛物线开口朝下。
抛物线的顶点位于图像的最高点，焦点位于顶点的下方。
图像在顶点处与直线x = -b / (2a)垂直相交。
四、抛物线的性质1. 对称性抛物线是关于垂直于抛物线的直线x = -b / (2a)的轴对称的。
这意味着，对于任意一点P(x, y)在抛物线上，与抛物线顶点的距离等于点P到直线x = -b / (2a)的距离。
2. 切线和法线抛物线上的切线与与该点处切线垂直的直线，称为该点处的法线。
切线和法线都经过该点，并且是该点处曲线的近似线性。
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12.5 抛物线的方程及其性质知识梳理：1．抛物线的定义：__________________________________________________平面内到一个定点F 和一条定直线l （F 不在l 上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。
2．抛物线的标准方程及性质：若已知直线l ：b kx y +=，及抛物线C ：y 2=2px （p >0）， 研究方程组⎩⎨⎧=+=pxyb kx y 22，消去y 得_________________________0)22(222=+-+b x p bk x k ，k =0时，即直线l 与抛物线C 的对称轴平行，l 与C_________相交于一个点___；k ≠0时，若Δ=0，则直线l 与抛物线C_____相切于一点_______；若Δ>0，则直线l 与抛物线C_______相交于两个点______；若Δ<0，则直线l 与抛物线C_____没有交点______。
4．抛物线的焦点弦的性质设AB 是抛物线y 2=2px （p >0）的焦点弦，F 为抛物线焦点，A (x １, y １)，B (x ２, y ２)，则 (1)||AB =______ 轴的夹角）与为（x AB p p x x AB θθ221sin2||=++=________; min ||AB =________2p ；若已知弦AB 的中点M 的横坐标为0x ，则弦长||AB =__________.p x AB +=02； (2) =21y y ___________，=21x x ___________;221p y y -=，4221px x =；(3)||1||1BF AF +=_____________________;p2(4)以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是______________;相切 （选做）（5）记准线与x 轴的交点为E ，求证EF 是∠AEB 的平分线． 5.抛物线的光学性质在光学上，如果把光源放在抛物镜的焦点F 处，射出的光线经过抛物镜的反射，变成了平行光线，汽车前灯、探照灯、手电筒就是利用这个光学性质设计的．反过来，也可以把射来的平行光线集中于焦点处，太阳灶就是利用这个原理设计的例题选讲1．求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1）过点(-2，3)；解：设y 2=2px ，以(-2，3)代入，得2922-==xyp ，∴x y 292-=；设x 2=2py ，以(-2，3)代入，得3422==yxp ，∴y x 342=。
（2）焦点在直线3x -4y -12=0上；解：若焦点为（4，0），则y 2=16x 若焦点为（0，-3），则x 2=-12y （3）准线过点(2，3)； 解：准线为x =2，则y 2= -8x准线为y =3，则x 2= -12y（4）焦点在y 轴上，抛物线上一点)3,(-m M 到焦点的距离等于5。
解：设抛物线方程为x 2=-2py （p >0），则 点M (m ,-3)到准线的距离为5，即5)3(2=--p ，∴p =4，x 2=-8y2．填空题：（1）已知抛物线方程)0(2≠=a ax y ，焦点F 的坐标 准线l 的方程 （2）若抛物线)0(22>=p px y 的焦点与椭圆62x+22y=1的右焦点重合，则p 的值为 .（3）已知抛物线x y 82=上一点M 到焦点的距离是8，则M 的坐标是 )34,6(± 。
（4）直线y=kx-2交抛物线y 2=8x 于A 、B 两点，若AB 中点横坐标为2，则|AB|为( D )A 、15B 、152C 、42D 、152（5）若AB 是抛物线2x y =的一条过焦点的弦，且4=AB ，则AB 的中点到直线01=+y 的距离是_______________解：4113.动圆M 与定直线2=y 相切，且与定圆1)3(:22=++y x C 相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程。
y x 122-=变式1：求与x 轴相切且与圆1)1(22=-+y x 外切的动圆圆心的轨迹方程．解：y x 42=或⎩⎨⎧≤=00y x变式2：已知动点P （x ，y ）满足|1243|)2()1(522++=-+-y x y x ，则P 点的轨迹是（ B ）A ．两条相交直线B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆4．(1)已知AB 是抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦(过焦点F 的抛物线的弦),若弦的端点在抛物线的准线上的射影分别为11B A 、，求证：︒=∠9011FB A ；（2）过抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点F 作倾斜角为30°的直线,与抛物线分别交于A 、B 两点（点A 在y 轴左侧），求FBAF 的值. (31 ， θθcos 1,cos 1-=+=p BF p AF )5.（1）求过点(0，1)且与抛物线y 2=x 只有一个公共点的直线方程。
（2）已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，A B ，是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为(22)M ，，求A B F △的面积。
2 ．（方程组法，求得斜率，再求面积） （3）过抛物线x y 42=焦点F 的直线l 它交于A 、B 两点，求弦AB 的中点的轨迹方程。
()122-=x y_（4）已知过点()2,0的直线与抛物线x y 42=交于不同的两点()()2211,,,y x B y x A ，计算2111y y +的值，由此归纳一条与抛物线有关的性质，使得上述计算结果是性质的一个特例： 过()2,0的直线与抛物线x y 42=交于不同的两点()()2211,,,y x B y x A ，则211121=+y y （1分）过()2,0的直线与抛物线()022>=p px y 交于不同的两点()()2211,,,y x B y x A ，则211121=+y y （2分）;过()b ,0的直线与抛物线()02≠=m mx y 交于不同的两点()()2211,,,y x B y x A ，则by y 11121=+（方程组韦达定理或者设抛物线上的点再由三点共线得）6. A 、B 是抛物线()022>=p px y 上的两点，且OA ⊥OB ，(1)求A 、B 两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线AB 过定点； (3)求弦AB 中点P 的轨迹方程； (4)求△AOB 面积的最小值；说明：本题为帮助学生熟悉运用方程的思想来解决有关直线与抛物线的问题。
解：解： 设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），中点P （x 0,y 0） （1）∵ OA ⊥OB ∴ x 1x 2+y 1y 2=0 ∵ y 12=2px 1，y 22=2px 2 ∴ 0y y p2y p2y 212221=+⋅∵ y 1≠0，y 2≠0 ∴ y 1y 2=-4p 2 ∴ x 1x 2=4p 2 。
（2）证：设直线c my x AB +=:，代入抛物线方程中化简得：0222=--pc pmy y ；pc y y 221-=，又有（1）的结论知：2214p y y -=，所以p c 2=，即直线p my x AB 2:+=，恒过定点)0,2(p 证毕。
（3）由（2）得：0222=--pc pmy y 则p pmp y y m x x pm y y 424)(,22212121+=++=+=+；所以)2(2020020p x p y pmy p pm x -=⇒⎩⎨⎧=+=。
弦AB 中点P 的轨迹方程是)2(2p x p y -=。
（4）|)y ||y (|p |)y ||y (||OM |21S S S 2121BOM AOM AOB +=+=+=∆∆∆ ≥221p 4|y y |p 2=当且仅当|y 1|=|y 2|=2p 时，等号成立 评注：充分利用（1）的结论。
7．（与最值有关的问题）（1） 若点()1,3的坐标为P ，M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，求||||MF MP +的最小值，及此时点M 的坐标. （答：4）（2）设抛物线22y x =，线段A B 的两个端点在抛物线上，且||3AB =，求线段A B 的中点M 到y 轴的最短距离 （答：1 ） （3）在抛物线24x y =上求一点P ，使该点到直线54-=x y 的距离最短.解法一：设与y =4x －5平行的直线y =4x +b 与y =4x 2相切，则y =4x +b 代入y =4x 2，得 4x 2－4x －b =0.①.Δ=16+16b =0时b =－1，代入①得x =21，∴所求点为（21，1）.解法二：设该点坐标为A （x 0，y 0），那么有y 0=4x 02.设点A 到直线y =4x －5的距离为d ，则d =14|54|200+--y x =171|－4x 02+4x 0－5|=171|4x 02－4x 0+5|=171|4（x 0－21）2+1|.当且仅当x 0=21时，d 有最小值，将x 0=21代入y =4x 2解得y 0=1.故A 点坐标为（21，1）.（4）已知,,A B C 为抛物线21y x =-上三点，且(1,0)A -，A B B C ⊥，当B 点在抛物线上移动时，求点C 的横坐标的取值范围．解：因为,,A B C 为抛物线21y x =-上三点，且(1,0A -，可设)1,(),1,(222211--x x C x x B ，又A B B ⊥，1-=BC AB k k ，化为1)111(112--+--=x x x （11≠x ），利用基本不等式求出点C 的横坐标的取值范围是(,3][1,)-∞-+∞ 。
（5）给定抛物线x y 22=，设0),,(>a o a A ，P 是抛物线上的一点，且d PA =||，试求d 的最小值.解：设P （x 0，y 0）（x 0≥0），则y 02=2x 0，∴d =｜PA ｜=2020)(y a x +-=0202)(x a x +-=12)]1([20-+-+a a x .∵a ＞0，x 0≥0，∴（1）当0＜a ＜1时，1－a ＞0，此时有x 0=0时，d min =12)1(2-+-a a =a .（2）当a ≥1时，1－a ≤0，此时有x 0=a －1时，d min =12-a .8.若抛物线12-=ax y 上总存在关于直线0=+y x 对称的两点，求实数a 的取值范围.解：设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）是抛物线上关于直线x +y =0对称的两点，则AB 的方程可设为y =x +b .联立方程组得: y =x +b ，y =ax 2－1，得ax 2－x －b －1=0，可知Δ=1+4a （b +1）>0.① 又221x x +=a21，∴221y y +=－a21.∴线段AB 的中点M （a21，－a 21）.∵M 点在直线AB 上， ∴－a21=a21+b ，即b =－a1. ② 将②代入①得1+4a （1－a1）>0. ∴a >43.小结：在曲线上两点关于某直线对称问题，分三步：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。