专题23圆的有关位置关系2年中考1年模拟备战2017年中考数学(附解析)

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中考数学考点达标训练23 与圆有关的位置关系

考点达标训练23 与圆有关的位置关系点与圆的位置关系1. 平面上有⊙O及一点P，点P到⊙O上一点的距离最长为6 cm，最短为2 cm，则⊙O的半径为________cm.2. 已知⊙A的半径为5，圆心A(3，4)，则坐标原点O与⊙A的位置关系是________________．直线与圆的位置关系(第3题)3. 如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y＝x－2与⊙O的位置关系是( )A. 相离B. 相切C. 相交D. 以上三种情况都有可能4. 如图，已知∠AOB＝30°，P是OA上的一点，OP＝24 cm，以点P为圆心，r为半径作⊙P.(第4题)(1)若r＝12 cm，试判断⊙P与OB的位置关系．(2)若⊙P 与OB 相离，试求出r 需满足的条件．切线的判定与性质5. (2015·浙江嘉兴)如图，在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，以点C 为圆心的圆与AB 相切，则⊙C 的半径为( )A. 2.3B. 2.4C. 2.5D. 2.6,(第5题)) ,(第6题))6. (2015·浙江湖州)如图，以点O 为圆心的两个圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，OA 交小圆于点D .若OD ＝2，tan∠OAB ＝12，则AB 的长是( )A. 4B. 23 C. 8 D. 43(第7题)7. (2015·江苏徐州)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点D .若∠C ＝20°，则∠CDA ＝________．8. (2015·浙江湖州)如图，已知BC 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点C ，AB 交⊙O 于点D ，E 为AC的中点，连结DE.(第8题)(1)若AD＝DB，OC＝5，求切线AC的长．(2)求证：ED是⊙O的切线．9. (2015·广东梅州)如图，直线l经过点A(4，0)，B(0，3)．(第9题)(1)求直线l的函数表达式．(2)若⊙M的半径为2，圆心M在y轴上，当⊙M与直线l相切时，求点M的坐标．切线长定理10. 如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，过点C的切线交PA，PB于D，E两点．若PA＝8 cm，则△PDE的周长为________cm.,(第10题)) ,(第11题))11. 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝40°，则∠BAC＝________．三角形的内切圆12. (2015·山东滨州)若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为( )A. 2B. 22－2C. 2－ 2D. 2—113. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，求△ABC的内切圆半径r.(第14题)14. (2015·浙江湖州)如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在边AD，BC上，连结OG，DG.若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论中，不成立的是( )．．．A. CD＋DF＝4B. CD－DF＝23－3C. BC＋AB＝23＋4D. BC－AB＝2(第15题)15. (2014·浙江湖州)如图，已知正方形ABCD，E是边AB的中点，O是线段AE上的一个动点(不与A，E两点重合)，以O为圆心，OB长为半径的圆与边AD交于点M，过点M作⊙O的切线交DC于点N，连结OM，ON，BM，BN.记△MNO，△AOM，△DMN的面积分别为S1，S2，S3，的是( )则下列结论中，不一定成立．．．．．A. S1＞S2＋S3B. △AOM∽△DMNC. ∠MBN＝45°D. MN＝MA＋CN16. (2015·湖南常德)已知：如图，以Rt△ABC 的边AC 为直径作⊙O 交斜边AB 于点E ，连结EO 并延长，交BC 的延长线于点D ，F 为BC 的中点，连结EF .(第16题)(1)求证：EF 是⊙O 的切线．(2)若⊙O 的半径为3，∠EAC ＝60°，求AD 的长．17. (2015·湖南株洲)已知AB 是⊙O 的切线，切点为B .直线AO 交⊙O 于C ，D 两点，CD ＝2，∠DAB ＝30°，动点P 在直线AB 上运动，PC 交⊙O 于另一点Q .(1)当点P 运动到Q ，C 两点重合时(如图①)，求AP 的长．(2)在点P 运动的过程中，有几个位置(几种情况)使△CQD 的面积为12(直接写出答案) ?,(第17题))(3)当使△CQD 的面积为12，且Q 位于以CD 为直径的上半圆上，CQ ＞QD 时(如图②)，求AP的长．参考答案1．4或2 2．点O 在⊙A 上 3．B 4．(1)⊙P 与OB 相切． (2)0 cm ＜r ＜12 cm ． 5．B 6．C 7．125° 8．(1)10． (2)提示：连结OD ，证DE ⊥OD ． 9．(1) y ＝－34x ＋3． (2)当点M 在点B 上方时，点M 的坐标为(5．5，0)；当点M 在点B 下方时，点M 的坐标为(0．5，0)． 10．16 11．20° 12．B 13．2． 14．A[过点O 分别作AD ，AB ，BC 的垂线，垂足分别是N ，P ，M ，设⊙O 与AC 相切于点S ．易得四边形BMOP 是正方形，四边形ANOP 是矩形．∵⊙O 的半径长为1，∴BP ＝BM ＝OM ＝1．设CD ＝x ，BC ＝y ，DF ＝z ，由折叠知，OG ＝DG ，∵∠OMG ＝∠GCD ＝90°，OG ⊥DG ，∴∠OGM ＝90°－∠DGC ＝∠GDC ．∴△OMG ≌△GCD (AAS )．∴CG ＝OM ＝1，MG ＝CD ＝x ．∴y ＝BC ＝BM ＋MG ＋GC ＝1＋x ＋1＝x ＋2，即y ＝x ＋2①．又∵⊙O 是△ABC 的内切圆，∴AC ＝AS ＋CS ＝AP ＋CM ＝(x －1)＋(y －1)＝x ＋y －2．∵AC 2＝AB 2＋BC 2，即(x ＋y －2)2＝x 2＋y 2②．联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3，y ＝3＋ 3.由折叠知，OF ＝DF ＝z ，又∵ON ＝MN －OM ＝1＋3－1＝3，∴NF ＝AD －AN －DF ＝3＋3－1－z ＝2＋3－z ．∵OF 2＝ON 2＋NF 2，∴z 2＝(3)2＋(2＋3－z )2，解得z ＝4－3．∴A 项，CD ＋DF ＝x ＋z ＝5≠4，选项结论不成立；B 项，CD －DF ＝x －z ＝23－3，选项结论成立；C 项，BC ＋AB ＝y ＋x ＝23＋4，选项结论成立；D 项，BC －AB ＝y －x ＝2，选项结论成立．] 15．A[A 项，过点M 作MF ∥AO 交ON 于点F ．当AM ＝MD 时，S 梯形ONDA ＝12(OA ＋DN )·AD ，S △MNO ＝12MF ·MD ＋12MF ·MA ＝12MF ·AD ．∵M 为AD 的中点，MF ∥AO ，∴MF 是梯形ONDA 的中位线，∴MF ＝12(OA ＋DN )，∴S △MNO ＝12S 梯形ONDA ，∴S 1＝S 2＋S 3，故本选项不一定成立，符合题意．B 项，∵MN 是⊙O 的切线，∴OM ⊥MN ．∵四边形ABCD 为正方形，∴∠A ＝∠D ＝90°，∴∠AMO ＋∠AOM ＝90°，∠AMO ＋∠DMN ＝90°，∴∠AOM ＝∠DMN ．∵∠A ＝∠D ，∠AOM ＝∠DMN ，∴△AMO ∽△DNM ，故本选项一定成立．C 项，过点B 作BP ⊥MN 于点P ．∵MN ，BC 是⊙O 的切线，∴∠PMB ＝12∠MOB ，∠CBM ＝12∠MOB ．∵AD ∥BC ，∴∠CBM ＝∠AMB ，∴∠AMB＝∠PMB ．又∵∠BAM ＝∠BPM ，BM ＝BM ，∴△MAB ≌△MPB (AAS )．∴MA ＝MP ，∠ABM ＝∠PBM ，BA ＝BP ．∴BP ＝BC ．在Rt △BPN 和Rt △BCN 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BP ＝BC ，BN ＝BN ，∴Rt △BPN ≌Rt △BCN (HL )．∴PN ＝CN ，∠PBN ＝∠CBN ．∴∠MBN ＝∠MBP ＋∠PBN ＝12∠ABC ＝45°，故本选项一定成立．D 项，∵MP＝MA ，PN ＝CN ，∴MN ＝MP ＋PN ＝MA ＋CN ，故本选项一定成立．综上所述，只有A 不一定成立，故选A ．] 16．(1)连结FO ，交CE 于点G ．∵OA ＝OC ，F 为BC 的中点，∴OF ∥AB ．∴CG ＝EG ．∵AC 是⊙O 的直径，∴CE ⊥AE ．又∵OF ∥AB ，∴OF ⊥CE ．∴OF 垂直平分CE ．∴FC ＝FE ．又∵OC＝OE ，OF ＝OF ，∴△OCF ≌△OEF (SSS )．∴∠OCF ＝∠OEF ．∵∠ACB ＝90°，∴∠OEF ＝90°．∴EF 是⊙O 的切线． (2)∵⊙O 的半径为3，∴OA ＝OC ＝OE ＝3．∵∠EAC ＝60°，OA ＝OE ，∴∠EOA ＝60°．∴∠COD ＝∠EOA ＝60°．在Rt △OCD 中，∵∠COD ＝60°，OC ＝3，∴CD ＝33．在Rt △ACD中，∵CD ＝33，AC ＝6，∴AD ＝37． 17．(1)∵AB 是⊙O 的切线，∴∠OBA ＝90°．∵CD ＝2，∴OB ＝OC ＝1．在Rt △ABO 中，∵∠DAB ＝30°，OB ＝1，∴OA ＝2．∴AC ＝1．当点P 运动到Q ，C 两点重合时，PC 为⊙O 的切线，∴∠PCA ＝90°．在Rt △APC 中，∵∠DAB ＝30°，AC ＝1，∴AP＝233． (2)如解图①，可知有4个位置使△CQD 的面积为12．(第17题解)(3)如解图②，过点Q 作QN ⊥AD 于点N ，过点P 作PM ⊥AD 于点M ．∵S △CQD ＝12，∴12QN ·CD ＝12，∴QN ＝12．∵CD 是⊙O 的直径，∴∠CQD ＝90°．易证△QCN ∽△DQN ，∴QN DN ＝CNQN，∴QN 2＝CN ·DN ．设CN ＝x ，则DN ＝2－x ，∴x (2－x )＝14，解得x 1＝2－32，x 2＝2＋32．∵CQ ＞QD ，∴CN ＞DN ，∴CN ＝2＋32，∴CNQN ＝2＋3．易证△PMC ∽△QNC ，∴CMPM ＝CNQN＝2＋3，∴CM ＝(2＋3)MP ．在Rt △AMP 中，易得AM ＝3MP ．∵AM ＋CM ＝AC ＝1，∴3MP ＋(2＋3)MP＝1，∴MP ＝3－14，∴AP ＝2MP ＝3－12．。

中考数学复习之与圆有关的位置关系,考点过关与基础练习题

34.与圆有关的位置关系➢知识过关1.点和圆的位置关系2.直线与圆的位置关系3.切线的判定与性质切线的定义：直线与圆有_____公共点时，这条直线是圆的切线.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的______切线的判定：经过半径的外端并且______这条半径的直线是圆的切线.到圆心距离等于______的直线是圆的切线.➢考点分类考点1直线与圆的位置关系的判定例1如图所示，在Rt△ABC中，△C=90°，AC=3cm，BC=3cm，若OA=x cm,△O的半径为1cm，请问当x在什么范围内取值时，AC与△O相交、相切、相离？D考点2切线的判定例2 如图所示，AB是△O的直径，C是O上一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN 的垂线，垂足为点D，且△BAC=△CAD.(1)求证：直线MN是△O的切线；(2)若CD=3，△CAD=30°，求△O的半径.考点3 切线的性质例3 如图所示，在△O 中，点C 是直径AB 延长线上一点，过点C 作△O 的切线，切点为D ，连接BD.(1)求证：△A=△BDC(2)若CM 平分△ACD ，且分别交AD 、BD 于点M 、N ，当DM=1时，求MN 的长.➢ 真题演练1.如图，A 、P 、B 、C 是⊙O 上的四点，∠APC ＝∠BPC ＝60°，P A ＝2，PC ＝4，则△ABC 的面积为（）A ．43√3B ．32√3C ．2√3D ．3√32．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠B ＝90°，∠BCD ＝120°，AB ＝4，BC ＝2，则AD 的长为（）A ．2√3B ．4−√3C ．√3+1D ．2+√33．如图，P A 、PB 、CE 分别与⊙O 相切于点A 、B 、D 点，若圆O 的半径为6，OP ＝10，则△PCE 的周长为（）A ．10B ．12C ．16D ．204．如图所示，点P 是⊙O 的半径OC 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为A ，AB 是⊙O 的弦，连接AC ，BC ，若∠P AB ＝70°，则∠ACB 的大小为（）A ．70°B ．110°C ．120°D ．140°5．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝12，若⊙O 与△ABC 的三边分别相切于点D ，E ，F ，且△ABC 的周长为32，则DF 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．66．如图，已知DC 是⊙O 的直径，点B 为CD 延长线上一点，AB 是⊙O 的切线，点A 为切点，且∠BAD ＝35°，则∠ADC ＝（）A ．75°B ．65°C ．55°D ．50°7．如图，PC 、PB 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，延长PC ，与BA 的延长线交于点E ，过C 点作弦CD ，且CD ∥AB ，连接DO 并延长与圆交于点F ，连接CF ，若AE ＝2，CE ＝4，则CD 的长度为（）A ．3B ．4C ．185D ．2458．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AE ⊥CB ，交CB 的延长线于点E ．若BA 平分∠DBE ，AD ＝7，CE =√13，则AE 的长度为．9．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为直径，AD ＝CD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连接AC 交DE 于点F ．若sin ∠CAB =35，DF ＝5，则AB 的长为．10．如图，P A、PB分别与⊙O相切于A、B两点，C为⊙O上一点连接AC、BC，若∠C＝55°，则∠P的度数是°．11.如图，AB为圆O直径，∠DAB＝∠ABC＝90°，CD与圆O相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G，若AD＝2，BC＝6．（1）求CD的长度．（2）求EG的长度．（3）求FB的长度．12．如图，P A、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点．（1）如果△PCD的周长为10，求P A的长；（2）如果∠P＝40°，①求∠COD；②连AE，BE，求∠AEB．13．如图，P A、PB分别与⊙O相切于点A、B，PO的延长线交⊙O于点C，连接BC，OA．（1）求证：∠POA＝2∠PCB；（2）若OA＝3，P A＝4，求tan∠PCB的值．➢ 课后练习1．如图，P A ，PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 是切点，过半径OB 的中点C 作CD ⊥OB 交P A 于点D ，若PD ＝3，AD ＝5，则⊙O 的半径长为（）A ．2√7B ．4√2C ．3√3D ．2√52．如图，等边三角形ABC 的边长为4，⊙C 的半径为√3，P 为AB 边上一动点，过点P 作⊙C 的切线PQ ，切点为Q ，则PQ 的最小值为（）A ．12B ．√3C ．2√3D ．33．如图，点O 是矩形ABCD 对角线BD 上的一点，⊙O 经过点C ，且与AB 边相切于点E ，若AB ＝4，BC ＝5，则⊙O 的半径长为（）A ．165B ．258C ．5√419D ．44．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC =√2，点D 是AB 边上一个动点，以点D 为圆心r 为半径作⊙D ，直线BC 与⊙D 切于点E ，若点E 关于CD 的对称点F 恰好落在AB 边上，则r 的值是（）A ．√2−1B ．1C ．√2D ．√2+15．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，如果∠D＝30°，AB＝4，那么线段CD的长是．6．如图，△ABD内接于⊙O，AD为直径，CD为⊙O的切线，连接BC，若CD＝AD，AB ＝2，BC=2√13，则BD＝．7．已知菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，M是线段AD的中点，点P是对角线AC 上的动点，连接PM，以P为圆心，PM长为半径作⊙P，当⊙P与菱形ABCD的边相切时，AP的长为．8．如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，且BD＝CD，DF ⊥AC于点F．给出以下四个结论：̂=DÊ；④∠A＝2∠FDC．①DF是⊙O的切线；②CF＝EF；③AE其中正确结论的序号是．9．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝6，点O为边BC上一动点，连接OA．以O为圆心，OB为半径作圆，交OA于D，过D作⊙O的切线，交AC于点E．当⊙O与边AC相切时，CE的长为．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点Q为CA延长线上一点，延长QD交BC于点P，连接OD，∠ADQ=12∠DOQ．若AQ＝AC，AD＝4时，写出BP的长为．11．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆交于点D．（1）如图1，连接DB，求证：DB＝DE；（2）如图2，若∠BAC＝60°，求证：AB+AC=√3AD．12．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F．（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝75°，求∠BOC的度数；（2）若AB＝13，BC＝11，AC＝10，求AF的长．➢冲击A+。

中考数学备考专题复习与圆有关的位置关系(含解析)

与圆有关的位置关系一、单选题（共12题；共24分）1、下列语句中，正确的是（）A、长度相等的弧是等弧B、在同一平面上的三点确定一个圆C、三角形的内心是三角形三边垂直平分线的交点D、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等2、可以作圆，且只可以作一个圆的条件是（ )A、已知圆心B、已知半径C、过三个已知点D、过不在同一直线上的三点3、已知两圆的半径R、r分别为方程x2—5x+6=0的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是( ）A、外离B、内切C、相交D、外切4、在平面直角坐标系中,以点（2，3）为圆心、3为半径的圆，一定（）A、与x轴相切，与y轴相切B、与x轴相切，与y轴相交C、与x轴相交，与y轴相切D、与x轴相交，与y轴相交5、下列说法：①平分弦的直径垂直于弦；②三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④垂直于半径的直线是圆的切线；⑤三角形的内心到三条边的距离相等。

其中不正确的有（）个。

A、1B、2C、3D、46、⊙O的半径r=5cm ，圆心到直线的距离OM=4cm ，在直线上有一点P，且PM=3cm ，则点P（ ).A、在⊙O内B、在⊙O上C、在⊙O外D、可能在⊙O上或在⊙O内7、如图，△ABC是直角边长为2a的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O1的直径,半圆O2过C点且与半圆O1相切,则图中阴影部分的面积是（ )A 、B 、C 、D 、8、如图所示，⊙M与x轴相切于原点，平行于y轴的直线交圆于P,Q两点，P点在Q点的下方，若P点坐标是(2,1),则圆心M的坐标是( ）A、（0，3）B、(0，2)C、（0，）D、(0，）9、直角△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，两等圆⊙A，⊙B外切,那么图中两个扇形（阴影部分）的面积是（）A 、B 、C 、D 、10、（2016•潍坊）如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A(8，0），与y轴分别交于点B(0，4)和点C(0，16），则圆心M到坐标原点O的距离是（）A、10B、8C、4D、211、（2016•湖北）如图，I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC 的外接圆相交于点D,连接BI、BD、DC．下列说法中错误的一项是（)A、线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合B、线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合C、∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合D、线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合12、（2016•呼和浩特）如图，△ABC是一块绿化带,将阴影部分修建为花圃，已知AB=15，AC=9，BC=12，阴影部分是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上,则小鸟落在花圃上的概率为( ）A 、B 、C 、D 、二、填空题（共5题；共5分）13、已知⊙O的直径为10，点A为线段OP的中点,当OP=6时，点A 与⊙O的位置关系________．14、在Rt△ABC中，∠C=90，AC=4cm,BC=3cm,则以2。

中考数学复习与圆有关的位置关系专题复习讲义(含答案)(20200707221127)

中考数学复习与圆有关的位置关系专题复习讲义中考考点梳理一、点和圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d<r点P在⊙O内；d=r点P在⊙O上；d>r点P在⊙O外。

二、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交＜====＞d<r；直线l与⊙O相切＜====＞d=r；直线l与⊙O相离＜====＞d>r；切线的判定和性质：（1）、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（2）、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

如右图中，OD垂直于切线。

切线长定理：（1）、切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

（2）、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

（3）、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补。

(4)、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

如图圆O是△A＇B＇C＇的内切圆。

三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。

三、圆和圆的位置关系1、圆和圆的位置关系（1）如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。

（2）如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。

（3）如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。

2、圆心距两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。

3、圆和圆位置关系的性质与判定设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么（1）两圆外离d>R+r（2）两圆外切d=R+r（3）两圆相交R-r<d<R+r（R≥ｒ）（4）两圆内切d=R-r（R>r）（5）两圆内含d<R-r（R>r）4、两圆相切、相交的重要性质如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

【配套K12】中考数学专题23 圆的有关位置关系试题(含解析)

专题23 圆的有关位置关系☞解读考点☞2年中考【2015年题组】1．（2015贵港）如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O 的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B．考点：1．点与圆的位置关系；2．三角形中位线定理；3．最值问题；4．轨迹．2．（2015湘西州）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=3cm，则点A与圆O的位置关系为（）A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定【答案】B．【解析】试题分析：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为3cm，即点A到圆心O的距离小于圆的半径，∴点A在⊙O内．故选B．考点：点与圆的位置关系．3．（2015泸州）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C=65°，则∠P的度数为（）A．65° B．130° C．50° D．100°【答案】C．【解析】试题分析：∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP=∠OBP=90°，又∵∠AOB=2∠C=130°，则∠P=360°﹣（90°+90°+130°）=50°．故选C．考点：切线的性质．4．（2015宜昌）如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点C落在直尺的10cm处，铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14cm处，铁片与三角尺的唯一公共点为B，下列说法错误的是（）A．圆形铁片的半径是4cm B．四边形AOBC为正方形C．弧AB的长度为4πcm D．扇形OAB的面积是4πcm2【答案】C．考点：1．切线的性质；2．正方形的判定与性质；3．弧长的计算；4．扇形面积的计算；5．应用题；6．综合题．5．（2015襄阳）点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（）A．40° B．100° C．40°或140° D．40°或100°【答案】C．【解析】试题分析：如图所示：∵O是△ABC的外心，∠BOC=80°，∴∠A=40°，∠A′=140°，故∠BAC的度数为：40°或140°．故选C．考点：1．三角形的外接圆与外心；2．圆周角定理；3．分类讨论．6．（2015齐齐哈尔）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5【答案】A．考点：1．直线与圆的位置关系；2．勾股定理；3．垂径定理．7．（2015河池）我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y kx=+与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A．【解析】试题分析：∵直线l：y kx=+与x轴、y轴分别交于A、B，∴B（0，，∴OB=RT△AOB中，∠OAB=30°，∴OA，∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB，∴PM=12 PA，设P（x，0），∴PA=12﹣x，∴⊙P的半径PM=12PA=162x-，∵x为整数，PM为整数，∴x可以取0，2，4，6，8，10，共6个数，∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6．故选A．考点：1．切线的性质；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．新定义；4．动点型；5．综合题．8．（2015贺州）如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为D，AD与CB的延长线交于点A，∠C=30°，给出下面四个结论：①AD=DC；②AB=BD；③AB=12BC；④BD=CD，其中正确的个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B．故选B．考点：切线的性质．9．（2015南京）如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为（）A ．133 B ．92 C ．【答案】A ．考点：1．切线的性质；2．矩形的性质；3．综合题．10．（2015天水）相切两圆的半径分别是5和3，则该两圆的圆心距是．【答案】2或8．【解析】试题分析：若两圆内切，圆心距为5﹣3=2；若两圆外切，圆心距为5+3=8，故答案为：2或8．考点：1．圆与圆的位置关系；2．分类讨论．11．（2015上海市）在矩形ABCD 中，AB =5，BC =12，点A 在⊙B 上，如果⊙D 与⊙B 相交，且点B 在⊙D 内，那么⊙D 的半径长可以等于．（只需写出一个符合要求的数）【答案】14（答案不唯一）．考点：1．圆与圆的位置关系；2．点与圆的位置关系；3．开放型．12．（2015盐城）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是．【答案】3＜r＜5．【解析】试题分析：在直角△ABD中，CD=AB=4，AD=3，则BD．由图可知3＜r＜5．故答案为：3＜r＜5．考点：点与圆的位置关系．13．（2015上海市）在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点A在⊙B上，如果⊙D与⊙B相交，且点B在⊙D内，那么⊙D的半径长可以等于．（只需写出一个符合要求的数）【答案】14（答案不唯一）．【解析】试题分析：∵矩形ABCD中，AB=5，BC=12，∴AC=BD=13，∵点A在⊙B上，∴⊙B的半径为5，∵如果⊙D 与⊙B相交，∴⊙D的半径R满足8＜R＜18，∵点B在⊙D内，∴R＞13，∴13＜R＜18，∴14符合要求，故答案为：14（答案不唯一）．考点：1．圆与圆的位置关系；2．点与圆的位置关系；3．开放型．14．（2015义乌）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连结PA，PB．若PB=4，则PA的长为．【答案】3考点：1．点与圆的位置关系；2．勾股定理；3．垂径定理；4．分类讨论．15．（2015徐州）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CDA= °．【答案】125．【解析】试题分析：连接OD，则∠ODC=90°，∠COD=70°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠A=12∠COD=35°，∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°+35°=125°，故答案为：125．考点：切线的性质．16．（2015镇江）如图，AB是⊙O的直径，OA=1，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若BD1，则∠ACD= °．【答案】112.5．考点：切线的性质．17．（2015贵阳）小明把半径为1的光盘、直尺和三角尺形状的纸片按如图所示放置于桌面上，此时，光盘与AB，CD分别相切于点N，M．现从如图所示的位置开始，将光盘在直尺边上沿着CD向右滚动到再次与AB 相切时，光盘的圆心经过的距离是．．【答案】3考点：1．切线的性质；2．轨迹；3．应用题；4．综合题．18．（2015泰安）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F．若∠ACF=65°，则∠E= ．【答案】50°．【解析】，∵EF 试题分析：连接DF，连接AF交CE于G，∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，∴AC AD是⊙O的切线，∴∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°，∵∠FGD=∠FCD+∠CFA，∵∠DFE=∠DCF，∠GFD=∠AFC，∠EFG=∠EGF=65°，∴∠E=180°﹣∠EFG﹣∠EGF=50°，故答案为：50°．考点：切线的性质．19．（2015鄂州）已知点P是半径为1的⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA=1，AB是⊙O的弦，AB连接PB，则PB= ．【答案】1考点：1．切线的性质；2．分类讨论；3．综合题．20．（2015广元）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是AD的中点，弦CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心．其中正确结论是________ （只需填写序号）．【答案】②③．则正确的选项序号有②③．故答案为：②③．考点：1．切线的性质；2．圆周角定理；3．三角形的外接圆与外心；4．相似三角形的判定与性质；5．压轴题．21．（2015荆州）如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA=8，AB=10，点C在边OA上，AC=2，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数kyx=（0k≠）的图象经过圆心P，则k= ．【答案】﹣5．考点：1．切线的性质；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．反比例函数图象上点的坐标特征；4．综合题；5．压轴题．22．（2015杭州）如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=2r，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．【答案】【解析】考点：1．点与圆的位置关系；2．勾股定理；3．新定义．23．（2015北海）如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）求证：ED平分∠BEP；（3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长．【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）103．【解析】试题分析：（1）如图，连接OE，证明OE⊥PE即可得出PE是⊙O的切线；（2）由圆周角定理得到∠AEB=∠CED=90°，进而得到∠3=∠4，结合已知条件证得结论；（3）设EF=x，则CF=2x，在RT△OEF中，根据勾股定理求出EF的长，进而求得BE，CF的长，在RT△AEB 中，根据勾股定理求出AE的长，然后根据△AEB∽△EFP，求出PF的长，即可求得PD的长．考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质；3．圆的综合题；4．压轴题．24．（2015南宁）如图，AB 是⊙O 的直径，C ，G 是⊙O 上两点，且AC =CG ，过点C 的直线CD ⊥BG 于点D ，交BA 的延长线于点E ，连接BC ，交OD 于点F ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线．（2）若32FD OF ，求∠E 的度数．（3）连接AD ，在（2）的条件下，若CD =3，求AD 的长．【答案】（1）证明见试题解析；（2）30°；（3 【解析】试题解析：（1）如图1，连接OC ，AC ，CG ，∵AC =CG ，∴AC CG =，∴∠ABC =∠CBG ，∵OC =OB ，∴∠OCB =∠OBC ，∴∠OCB =∠CBG ，∴OC ∥BG ，∵CD ⊥BG ，∴OC ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线；（2）∵OC ∥BD ，∴△OCF ∽△BDF ，△EOC ∽△EBD ，∴23OC OF BD DF ==，∴23OC OE BD BE ==，∵OA =OB ，∴AE =OA =OB ，∴OC =12OE ，∵∠ECO =90°，∴∠E =30°；（3）如图2，过A 作AH ⊥DE 于H ，∵∠E =30°，∴∠EBD =60°，∴∠CBD =12∠EBD =30°，∵CD ∴BD =3，DE =，BE =6，∴AE =13BE =2，∴AH =1，∴EH =，∴DH =，在R t △DAH 中，AD考点：1．圆的综合题；2．切线的判定与性质；3．相似三角形的判定与性质；4．压轴题．25．（2015桂林）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，AB =4，PC 、PD 是⊙O 的两条切线，C 、D 为切点．（1）如图1，求⊙O 的半径；（2）如图1，若点E 是BC 的中点，连接PE ，求PE 的长度；（3）如图2，若点M 是BC 边上任意一点（不含B 、C ），以点M 为直角顶点，在BC 的上方作∠AMN =90°，交直线CP 于点N ，求证：AM =MN ．【答案】（1）（2）（3）证明见试题解析．（2）如图1，连接EO，OP，∵点E是BC的中点，∴OE⊥BC，∠OCE=45°，则∠E0P=90°，∴EO=EC=2，OP=4，∴PE=（3）如图2，在AB上截取BF=BM，∵AB=BC，BF=BM，∴AF=MC，∠BFM=∠BMF=45°，∵∠AMN=90°，∴∠AMF+∠NMC=45°，∠FAM+∠AMF=45°，∴∠FAM=∠NMC，∵由（1）得：PD=PC，∠DPC=90°，∴∠DCP=45°，∴∠MCN=135°，∵∠AFM=180°﹣∠BFM=135°，在△AFM和△CMN中，∵∠FAM=∠CMN，AF=MC，∠AFM=∠MCN，∴△AFM≌△CMN（ASA），∴AM=MN．考点：1．圆的综合题；2．切线的性质；3．正方形的判定与性质；4．全等三角形的判定与性质；5．压轴题．26．（2015柳州）如图，已知抛物线21(76)2y x x =--+的顶点坐标为M ，与x 轴相交于A ，B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴相交于点C ．（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：2()y a x h k =-+（0a ≠），并指出顶点M 的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找点R ，使得CR +AR 的值最小，并求出其最小值和点R 的坐标；（3）以AB 为直径作⊙N 交抛物线于点P （点P 在对称轴的左侧），求证：直线MP 是⊙N 的切线．【答案】（1）21725()228y x =--+，M （72，258）；（2），（72，54-）；（3）证明见试题解析．试题解析：（1）∵21(76)2y x x =--+=21725()228x --+，∴抛物线的解析式化为顶点式为：21725()228y x =--+，顶点M 的坐标是（72，258）；（2）∵21(76)2y x x =--+，∴当y =0时，21(76)02x x --+=，解得x =1或6，∴A （1，0），B （6，0），∵x =0时，y =﹣3，∴C （0，﹣3）．连接BC ，则BC 与对称轴x =72的交点为R ，连接AR ，则CR +AR =CR +BR =BC ，根据两点之间线段最短可知此时CR+AR的值最小，最小值为BC．设直线BC的解析式为考点：1．二次函数综合题；2．最值问题；3．切线的判定；4．压轴题．【2014年题组】1．（2014·扬州）如图，圆与圆的位置关系没有（）A．相交 B．相切 C．内含 D．外离[【答案】A ．考点：圆与圆的位置关系．2．（2014· 山东省淄博市）如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，弦CD ∥AB ，E ，F 为圆上的两点，且∠CDE =∠ADF ．若⊙O 的半径为52，CD =4，则弦EF 的长为（）A ． 4B ．C ． 5D ． 6【答案】B ．【解析】试题分析：连接OA ，并反向延长交CD 于点H ，连接OC ，∵直线AB 与⊙O 相切于点A ，∴OA ⊥AB ，∵弦CD ∥AB ，∴AH ⊥CD ，∴CH =12CD =12×4=2，∵⊙O 的半径为52，∴OA =OC =52，∴OH =32=，∴AH =OA +OH =52+32=4，∴AC ==．∵∠CDE =∠ADF ，∴CE AF =，∴EF AC =，∴EF =AC =B ．考点：切线的性质．3．（2014·四川省广安市）如图，矩形ABCD 的长为6，宽为3，点O 1为矩形的中心，⊙O 2的半径为1，O 1O 2⊥AB 于点P ，O 1O 2=6．若⊙O 2绕点P 按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O 2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现（）A ． 3次B ．4次C ．5次D ．6次【答案】B ．考点：直线与圆的位置关系．4．（2014·泸州）如图，⊙1O ，⊙2O 的圆心1O ，2O 都在直线l 上，且半径分别为2cm ，3cm ，12O O 8cm ．若⊙1O 以1cm /s 的速度沿直线l 向右匀速运动（⊙2O 保持静止），则在7s 时刻⊙1O 与⊙2O 的位置关系是（）A ．外切B ．相交C ．内含D ．内切【答案】D ．【解析】试题分析：∵O1O2=8cm，⊙O1以1cm/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动，∴7s后两圆的圆心距为：1cm．根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），外离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）．因此，∵⊙O1和⊙O2的半径分别为2㎝和3㎝，且O1O2＝12㎝，∴3－2=1，即两圆圆心距离等于两圆半径之差．∴⊙O1和⊙O2的位置关系是内切．故选D．考点：1．面动平移问题；2．两圆的位置关系．5．（2014·黔西南）已知两圆半径分别为3、5，圆心距为8，则这两圆的位置关系为（）A．外离 B．内含 C．相交 D．外切【答案】D．考点：圆与圆的位置关系．6．（2014·桂林）两圆的半径分别为2和3，圆心距为7，则这两圆的位置关系为（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【答案】A．【解析】试题分析：根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），外离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）．因此，∵两圆的半径分别为2和3，圆心距为，即两圆圆心距离大于两圆半径之和．7，∴23<7∴这两圆的位置关系为外离．故选A．考点：两圆的位置关系．7．（2014·北海）若两圆的半径分别是1cm和4cm，圆心距为5cm，则这两圆的位置关系是（）A．内切 B．相交 C．外切 D．外离【答案】C．考点：两圆的位置关系．8．（2014·甘肃省白银市）已知⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O 的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断【答案】A．【解析】试题分析：设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，∵d=5，r=6，∴d＜r，∴直线l与圆相交．故选A．考点：直线与圆的位置关系．9．（2014·资阳）已知⊙O1与⊙O2的圆心距为6，两圆的半径分别是方程x2﹣5x+5=0的两个根，则⊙O1与⊙O2的位置关系是．【答案】相离．【解析】试题分析：∵两圆的半径分别是方程x2﹣5x+5=0的两个根，∴两半径之和为5，∵⊙O1与⊙O2的圆心距为6，∴6＞5，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相离．故答案为：相离．考点：1．根与系数的关系；2．圆与圆的位置关系．10．（2014·宜宾）如图，已知AB为⊙O的直径，AB=2，AD和BE是圆O的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB，若∠ABC=30°，则AM= ．考点：切线的性质．11．（2014·福建省莆田市）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，过点A作AD⊥CD于点D，交⊙O 于点E，且BC CE=（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若tan∠CAB=34，BC=3，求DE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）95．【解析】试题分析：（1）连结OC，由BC CE=，根据圆周角定理得∠1=∠2，而∠1=∠OCA，则∠2=∠OCA，则可判断OC∥AD，由于AD⊥CD，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；（2）连结BE交OC于F，由AB是⊙O的直径得∠ACB=90°，在Rt△ACB中，根据正切的定义得AC=4，考点：切线的判定．☞考点归纳归纳 1：点和圆的位置关系基础知识归纳：设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d<r点P在⊙O内；d=r点P在⊙O上；d>r点P在⊙O外．基本方法归纳：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．注意问题归纳：符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．【例1】在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，下列说法中不正确的是（）A．当a＜5时，点B在⊙A内B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内C．当a＜1时，点B在⊙A外D．当a＞5时，点B在⊙A外【答案】A．考点：点与圆的位置关系．归纳 2：直线与圆的位置关系基础知识归纳：直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：直线l与⊙O相交d<r；直线l与⊙O相切d=r；直线l与⊙O相离d>r；注意问题归纳：直线与圆的位置关系，解题的关键是了解直线与圆的位置关系与d与r的数量关系．【例2】已知⊙O的半径r=3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：①若d＞5，则m=0；②若d=5，则m=1；③若1＜d＜5，则m=3；④若d=1，则m=2；⑤若d＜1，则m=4．其中正确命题的个数是（）A． 1 B． 2 C． 4 D． 5【答案】C．考点：直线与圆的位置关系．归纳 3：圆和圆的位置关系基础知识归纳：如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种．如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种．如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交．基本方法归纳：设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么两圆外离d>R+r两圆外切d=R+r两圆相交R-r<d<R+r（R≥r）两圆内切d=R-r（R>r）两圆内含d<R-r（R>r）【例3】如图，当半径分别是5和r的两圆⊙O1和⊙O2外切时，它们的圆心距O1O2=8，则⊙O2的半径r为（）A． 12 B． 8 C． 5 D． 3【答案】D．【解析】试题分析：根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和，得该圆的半径是8-5=3．故选D．考点：圆与圆的位置关系．☞1年模拟1．（2015届广东省湛江第二中学校级模拟）已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离PO=1，则直线l 与⊙O的位置关系是（）A．相切 B．相离 C．相交 D．无法判断【答案】C．考点：直线与圆的位置关系．2．（2015届江苏省盐城校级模拟）在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙ A的半径为2，下列说法中不正确的是（）A．当a＜5时，点B在⊙A内B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内C．当a＜1时，点B在⊙A外D．当a＞5时，点B在⊙A外【答案】A．【解析】试题分析：由于圆心A在数轴上的坐标为3，圆的半径为2，∴当d=r时，⊙A与数轴交于两点：1、5，故当a=1、5时点B在⊙A上；当d＜r即当1＜a＜5时，点B在⊙A内；当d＞r即当a＜1或a＞5时，点B在⊙A外．由以上结论可知选项B、C、D正确，选项A错误．故选A．考点：点与圆的位置关系．3．（2015届四川省广安市校级模拟）如图所示，△ABC 的内切圆⊙O 与AB 、BC 、AC 分别相切于点D 、E 、F ，若∠DEF =52°，则∠A 的度数是【答案】76°．考点：1三角形的内切圆与内心；2．圆周角定理；3．切线的性质．4．（2015届湖南省长沙麓山国际等四校联考）Rt ABC ∆中，90,6,8C AC BC ∠===．则ABC ∆的内切圆半径r =______．【答案】2．【解析】试题分析：利用面积分割法可得出直角三角形内切圆的半径r 与三角形的三边之间的关系为：cb a abr ++=其中：a ，b 是直角三角形的两条直角边，c 是直角三角形的斜边由勾股定理可求出斜边AB =10 所以内切圆半径2108686=++⨯=r考点：直角三角形的内切圆和内心．5．（2015届北京市怀柔区一模）已知两圆的半径分别为2cm 和4cm ，它们的圆心距为6cm ，则这两个圆的位置关系是．【答案】外切．【解析】试题分析：圆心距6=两个半径之和，所以这两个圆相外切．考点：圆有关的位置关系．6．（2015届河南省三门峡市一模）两圆的圆心距d =6，两圆的半径长分别是方程01272=+-x x 的两根，则这两个圆的位置关系是．【答案】内切．考点：1．圆与圆的位置关系；2．解一元二次方程-因式分解法．7．（2015届江西省南昌市一模）如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB 与小圆相切，AB =2n ，则图中阴影部分的面积是（）．A ．n 2π B .2n 2π C .4n 2π D .8n 2π 【答案】A ．【解析】试题分析：设AB 于小圆切于点C ，连接OC ，OB ．∵AB 于小圆切于点C ，∴OC ⊥AB ，∴BC =AC =12AB =12×2n =n ∵圆环（阴影）的面积=π•OB 2-π•OC 2=π（OB 2-OC 2）又∵直角△OBC 中，OB 2=OC 2+BC 2∴圆环（阴影）的面积=π•OB 2-π•OC 2=π（OB 2-OC 2）=π•BC 2=n 2π．故选A ．考点：1．垂径定理的应用；2．切线的性质．8．（2015届四川中江县校级模拟）如图所示，图①中圆与正方形各边都相切，设这个圆的周长为；图②中的四个圆的半径相等，并依次外切，且与正方形的边相切，设这四个圆的周长为；图③中的九个圆的半径相等，并依次外切，且与正方形的边相切，设这九个圆的周长为；…．依此规律，当正方形边长为2时，= ____________．【答案】10100π．考点：1．相切两圆的性质；2．规律型：图形的变化类．9．（2015届山东省滕州市校级模拟）已知P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B．若PA＝6，则PB ＝．【答案】6．【解析】试题分析：∵PA、PB都是⊙O的切线，且A、B是切点，∴PA=PB，即PB=6．考点：切线长定理．10．（2015届江苏省如皋市校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD．若∠A=25°，则∠C= 度．【答案】40°．考点：1．切线的性质；2．圆周角定理．。

2022-2023 数学浙教版新中考考点24与圆有关的位置关系(解析版)

考点24与圆有关的位置关系考点总结1.点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系,主要根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小关系得出.具体关系如下:①点P在圆内⇔d＜r．②点P在圆上⇔d＝r．③点P在圆外⇔d＞r．2. 直线与圆的位置关系（1）相离:如果直线和圆没有公共点,那么称直线与圆相离.（2）相切:如果直线和圆有唯一的公共点,那么称直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做圆的切点.（3）.相交:如果直线和圆有两个公共点,那么称直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线,这两个公共点叫做交点.（4）直线与圆有三种位置关系,具体的位置关系取决于圆心O到直线l的距离d和☉O 的半径r之间的大小关系,几种位置关系的区别如下表:3.切线的判定和性质（1）切线的判定方法①与圆有唯一公共点的直线是圆的切线(切线的定义); ②圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线; ③经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线(切线的判定定理).（2）切线的性质①切线与圆只有一个公共点; ②圆心到切线的距离等于半径; ③切线垂直于过切点的半径.（3）切线长①定义:经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.②性质定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等.4．三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，内切圆的半径是内心到三边的距离．真题演练一、单选题A=︒，连结BO，1．（2021·浙江·中考真题）如图，已知点O是ABC的外心，∠40∠的度数是（）．CO，则BOCA．60︒B．70︒C．80︒D．90︒【答案】C【分析】结合题意，根据三角形外接圆的性质，作O；再根据圆周角和圆心角的性质分析，即可得到答案．【详解】ABC的外接圆如下图∵∵40A=︒∵280BOC A ∠=∠=︒故选：C ．2．（2021·浙江金华·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点,,,,,E F G H M N 都在同一个圆上．记该圆面积为1S ，ABC 面积为2S ，则12S S 的值是（）A ．52πB ．3πC ．5πD ．112π 【答案】C【分析】先确定圆的圆心在直角三角形斜边的中点，然后利用全等三角形的判定和性质确定∵ABC 是等腰直角三角形，再根据直角三角形斜边中线的性质得到2214S AB =，再由勾股定理解得2254OF AB =，解得2154S AB π=⋅，据此解题即可．【详解】解：如图所示，正方形的顶点,,,,,E F G H M N 都在同一个圆上，∴圆心O 在线段,EF MN 的中垂线的交点上，即在Rt ABC 斜边AB 的中点，且AC =MC ，BC =CG ，∵AG =AC +CG =AC +BC ，BM =BC +CM =BC +AC ，∵AG =BM ，又∵OG =OM ，OA =OB ，∵∵AOG ∵∵BOM ，∵∵CAB =∵CBA ，∵∵ACB =90°，∵∵CAB =∵CBA =45°，12OC AB ∴=，2211112224S AB OC AB AB AB ∴=⋅=⋅= 22222215()24OF AO AF AB AB AB =+=+= 22154S OF AB ππ∴==⋅， 212254514AB S S AB ππ⋅∴==．故选：C ．3．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知平面内有O 和点A ，B ，若O 半径为2cm ，线段3cm OA =，2cm OB =，则直线AB 与O 的位置关系为（）A ．相离B ．相交C ．相切D ．相交或相切【答案】D【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【详解】解：∵∵O 的半径为2cm ，线段OA =3cm ，线段OB =2cm ，即点A 到圆心O 的距离大于圆的半径，点B 到圆心O 的距离等于圆的半径， ∵点A 在∵O 外．点B 在∵O 上，∵直线AB 与∵O 的位置关系为相交或相切，故选：D ．4．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）如图，点A 的坐标为（﹣3，2），∠A 的半径为1，P 为坐标轴上一动点，PQ 切∠A 于点Q ，在所有P 点中，使得PQ 长最小时，点P 的坐标为（）A ．（0，2）B ．（0，3）C ．（﹣2，0）D ．（﹣3，0）【答案】D【分析】连接AQ 、P A ，如图，利用切线的性质得到∵AQP =90°，再根据勾股定理得到PQ =AP ∵x 轴时，AP 的长度最小，利用垂线段最短可确定P 点坐标．【详解】解：连接AQ 、P A ，如图，∵PQ 切∵A 于点Q ，∵AQ ∵PQ ，∵∵AQP ＝90°，∵PQ当AP 的长度最小时，PQ 的长度最小，∵AP ∵x 轴时，AP 的长度最小，∵AP ∵x 轴时，PQ 的长度最小，∵A （﹣3，2），∵此时P 点坐标为（﹣3，0）．故选：D ．5．（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）如图，O 是等边ABC 的外接圆，点D 是弧BC 上的点，且20CAD ∠=︒，则ACD ∠的度数为（）A ．70︒B ．80︒C ．90︒D ．100︒【答案】D【分析】根据等边三角形的性质得到∵ACB =∵ABC =∵BAC =60°，根据圆周角定理得到∵BCD =∵BAD =40°，进而可求出∵ACD 的度数．【详解】解：∵∵ABC 是等边三角形，∵∵ACB =∵ABC =∵BAC =60°，∵∵CAD =20°，∵∵BAD =∵BAC -∵CAD =40°，∵BD BD =，∵∵BCD =∵BAD =40°，∵∵ACD =∵ACB +∵BCD =100°，故选：D ．6．（2021·浙江·温州绣山中学三模）如图，点E 为Rt ∠ABC 的直角边AC 上一点，以CE 为直径的半圆与斜边AB 相切于点D ，连结DE ．若∠B ＝70°，则∠CED 为（）A ．70°B ．65°C ．55°D ．35°【答案】C【分析】连接CD ，根据切线长定理可得BC BD =，即可得出55BCD ∠=︒，根据圆周角定理可得90CDE ∠=︒，结果可得．【详解】解：连接CD ，∵90ACB ∠=︒，∵BC 与半圆相切与点C ，∵半圆与斜边AB 相切于点D ，∵BC BD =，∵∵B ＝70°， ∵18070552BCD BDC ︒-︒∠=∠==︒， ∵905535DCE ∠=︒-︒=︒，∵CE 为直径，∵90CDE ∠=︒,∵∵CED 90903555DCE =︒-∠=︒-︒=︒，故选：C ．7．（2021·浙江鹿城·二模）如图，直线AB 与O 相切于点C ，AO 交O 于点D ，连接CD ，OC ．若50AOC ∠=︒，则ACD ∠的度数为（）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°【答案】B【分析】先根据切线的性质得到∵OCA ＝90°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∵OCD＝65°，然后计算∵OCA−∵OCD即可．【详解】解：∵直线AB与∵O相切于点C，∵OC∵AB，∵∵OCA＝90°，∵OC＝OD，∵∵OCD＝∵ODC＝12（180°−∵COD）＝12×（180°−50°）＝65°，∵∵ACD＝∵OCA−∵OCD＝90°−65°＝25°．故选：B．8．（2021·浙江余杭·二模）如图，∠O是Rt∠ABC的外接圆，∠ACB＝90°，过点C作∠O的切线，交AB的延长线于点D．设∠A＝α，∠D＝β，则（）A．α﹣βB．α+β＝90°C．2α+β＝90°D．α+2β＝90°【答案】C【分析】连接OC，由∵BOC是∵AOC的外角，可得∵BOC＝2∵A＝2α，由CD是∵O的切线，可求∵OCD＝90°，可得∵D＝90°﹣2α＝β即可．【详解】连接OC，如图，∵∵O是Rt∵ABC的外接圆，∵ACB＝90°，∵AB是直径，∵∵A＝α，OA=OC，∵BOC是∵AOC的外角，∵∵A=∵ACO，∵∵BOC=∵A+∵ACO＝2∵A＝2α，∵CD是∵O的切线，∵OC∵CD，∵∵OCD＝90°，∵∵D＝90°﹣∵BOC＝90°﹣2α＝β，∵2α+β＝90°．故选：C．9．（2021·浙江余杭·三模）如图，以点P为圆心作圆恰好与直线l相切，则与半径相等的线段是（）A．PA B．PB C．PC D．PD【答案】B【分析】根据切线的性质可知圆的切线与过切点的半径互相垂直，进而进行选择即可得解．【详解】根据切线的性质可知圆的切线与过切点的半径互相垂直∵PB l⊥∵PB是与圆半径相等的线段，故选：B．10．（2021·浙江桐乡·一模）如图，AB是O的直径，点D在AB的延长线上，DC切O于点C．若30∠=︒，CD=AC等于（）．DA．6B．4C．D．3【答案】C【分析】连结BC，OC，根据CD为切线，可得OC∵DC，利用锐角三角函数可求OC=CD tan∵OAC==2，可求∵DOC=60°根据三角形外角性质∵A=∵OCA=30，由AB为直径，可得∵BCA=90°，利用AC=AB cos30°=【详解】解：连结BC，OC，∵CD为切线，∵OC∵DC，在Rt∵DOC中，∵30D∠=︒，CD=∵OC=CD tan∵OAC=，∵OB=OA=OC=2，∵DOC=90°-∵D=90°-30°=60°∵∵A=∵OCA=130 2DOC∠=︒∵AB为直径，∵∵BCA=90°在Rt∵ABC中，∵AB=2OA=4，∵A=30°，∵AC=AB cos30°=4故选择C．二、填空题11．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）如图，PB与∠O相切于点B，OP 与∠O相交于点A，若∠O的半径为2，∠P＝30°，则AB的长为______．【答案】2π3【分析】连接OB，根据切线的性质得到∵OBP=90°，从而得到∵BOA=60°，再利用弧长公式求解即可．【详解】解：如图所示，连接OB，∵PB是圆O的切线，∵∵OBP=90°，∵∵P=30°，∵∵BOA=60°，∵23602326ABππ⨯==，故答案为：23π．12．（2021·浙江拱墅·二模）如图，点O是∠ABC的内心，AO的延长线交∠ABC的外接圆于点D，交BC于点E，设AB ACBC+＝a，则OEDE＝___．（用含a的代数式表示）【答案】1a - 【分析】过点O 作OF ∵BD 交AB 于点F ，连接BD ，通过三角形内心的性质可得出∵F AO =∵EAC ，然后证明∵FBO ∵∵EBO ，然后根据成比例线段的性质，根据AB ACBC+＝a ，得出BF AF a BE +=，BF =BE ，1AF a BE =-，从而得到OEDE＝1a -．【详解】解：过点O 作OF ∵BD 交AB 于点F ，连接BD ，∵∵AOF =∵ADB =∵ACE ， ∵点O 是∵ABC 的内心， ∵∵F AO =∵EAC ，∵∵AFO =180°-∵F AO -∵AOF =180°-∵EAC -∵ACE =∵AEC ， ∵∵BFO =∵BEO ，在∵FBO 和∵EBO 中，BFO BEO FBO EBO BO BO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∵∵FBO ∵∵EBO （AAS ）， ∵OF =OE ，BF =BE ，∵∵OBD =∵OBE +∵CBD =∵ABO +∵CAD ， ∵OBD =∵ABO +∵BAO =∵BOD ， ∵OD =OB ，∵OE OF AFOD BD AB ==， ∵QE AFOD OE AB AF =--，∵QE AF AFED BF BE==， ∵∵BAE =∵OAE ，∵AB ACBE EC=， ∵AB AC AB ACBE EC BE EC+==+，∵AB ACBC +＝a ， ∵ABa BE=， ∵BF AFa BE+=， ∵BF =BE ， ∵1AFa BE=-， ∵OEDE＝1a -．故答案为1a -．13．（2021·浙江永康·一模）如图，图1是某滑动模具示意图，转动飞轮A 时，圆上固定点B 随之在连杆OD 上的滑道MN 滑动，并带动连杆OD 绕端点O 左右摆动．图2是某平台侧面示意图，平台高8dm 3OE =，上底宽 1.5dm EF =，下底宽8dm OH =，GH OH ⊥，以图2所示方式建立平面直角坐标系xOy ，点H 的坐标为(8,0)-，侧曲面FG 恰好完全落在反比例函数(0)ky k x=<的图象上．（1）则k 的值为__________．（2）若飞轮半径为0.5dm ，转动飞轮从顶端F 经侧曲面向地面x 轴无滑动滚动，为保证模具在平台上顺利滑动，滑道MN 的长度至少为__________dm ．【答案】4- 172【分析】(1)根据EF =32,OE =83可确定点F 的坐标为(-32，83)，代入函数(0)k y k x =<中求解即可；(2)根据圆在F 处,计算最短的OM 长,根据圆在水平面OH 上,计算最长的ON ,其差即为MN 的最短长度. 【详解】（1）∵EF =32,OE =83，点F 在第二象限，∵点F 的坐标为(-32，83)，∵点F 在函数(0)ky k x=<的图像上， ∵k =83×(-32)= -4；故答案为：-4；(2)如图，当∵A 恰好在F 处，作AB ∵x 轴，垂足为B ，EF ∵y 轴，OE ∵x 轴，故四边形BOEF 是矩形， ∵BF =OE ，∵BA =BF +F A =OE +F A =83+12=196，根据题意，得点A (-32，196)，∵OA ，作∵A 的切线OM ，连接AM ，则AM ∵OM ，则OM =当∵A 恰好在最低端时，根据题意，得点A (-172，12)，∵OA作∵A 的切线ON ，连接AN ，则AN ∵ON ，则ON ===172，∵MN =ON -OM =172故答案为：17214．（2021·浙江婺城·二模）现在很多家庭都使用折叠型西餐桌来节省空间，两边翻开后成圆形桌面（如图1）．餐桌两边AD 和BC 平行且相等（如图2），小华用皮带尺量出AC ＝4米，AB ＝2米，那么桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加__平方米．（结果保留π）【答案】83π-【分析】首先将圆形补全，设圆心为O ，连接DO ，过点O 作OE ∵AD 于点E ，进而得出AD ，EO 的长以及∵1，∵AOD 的度数，进而得出S 弓形AD 面积＝S 扇形AOD ﹣S ∵AOD 求出即可．【详解】解：将圆形补全，设圆心为O ，连接DO ，过点O 作OE ∵AD 于点E ，由AD 和BC 平行且相等，则四边形ABCD 是平行四边形， ∵平行四边形ABCD 内接与圆， ∵∵DAB ＝∵ABC ＝90°， ∵AC 为圆的直径， ∵AC ＝4米，AB ＝2米， ∵∵ACB ＝30°，∵餐桌两边AB 和CD 平行且相等， ∵∵C ＝∵1＝30°， ∵EO ＝12AO ＝1，∵AE∵AD ＝ ∵AO ＝DO ， ∵∵1＝∵D ＝30°， ∵∵AOD ＝120°， ∵S 弓形AD 面积＝S 扇形AOD ﹣S ∵AOD＝21202360π⋅⨯﹣12×1×＝43π∵桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加（83π-故答案为：83π-．15．（2021·浙江宁波·模拟预测）如图，等边三角形ABC 的边长为4，E 、F 分别是边AB ，BC 上的动点，且AE ＝BF ，连接EF ，以EF 为直径作圆O ．当圆O 与AC 边相切时，AE 的长为_____．【分析】证明OH 是梯形EMNF 的中位线，则EM ＋FN ＝EF ，分别计算EM 、FN 、EF 的长度即可求解．【详解】解：分别过点E 、O 、F 作AC 的垂线，垂足分别为点M 、H 、N ，∵O 是EF 的中点，而EM ∵OH ∵FN ，∵OH 是梯形EMNF 的中位线，则OH ＝12（EM ＋FN ），当圆O 与AC 边相切时，OH ＝12（EM ＋FN ）＝12EF ，即EM ＋FN ＝EF ，设AE ＝BF ＝x ，则FC ＝BE ＝4﹣x ，在∵AEM 中，EM ＝AE sin A ，在∵FCN 中，同理FN 4﹣x ）；在∵BEF 中，BF ＝x ，BE ＝4﹣x ，∵B ＝60°，过点E 作EK ∵BC 于点K ，同理可得：EF 2＝EK 2＋FK 24﹣x ）2＋[12（4﹣x ）﹣x ]2， ∵OH ＝12（EM ＋FN ）＝12EF ， ∵EF 2＝（EM ＋FN ）2，4﹣x ）2＋[12（4﹣x ）﹣x ]2＝4﹣x ）]2，解得：x三、解答题16．（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）在ABC 中，90ACB ∠=︒，以BC 为直径的O 交AB 于点D ．（1）如图∠，以点B 为圆心，BC 为半径作圆弧交AB 于点M ，连结CM ，若66ABC ∠=︒，求ACM ∠；（2）如图∠，过点D 作O 的切线DE 交AC 于点E ，求证：AE EC =；（3）如图∠，在（1）（2）的条件下，若3tan 4A =，求:ADE ACM S S △△的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）45【分析】（1）由三角形内角和角的计算问题；（2）证明()EDO ECO SAS ∆≅∆，则DE CE =，得到A ADE ∠=∠，即可求解；（3）设3BC x =，4AC x =，5AB x =，则122ED EC AC AE x ====，由AMH ABC ∆∆∽，得到21161242255ACM S AC MH x x x ∆=⨯⨯=⨯=，同理可得：21148482222525ADE S AE DI x x x ∆=⋅=⨯⨯=，即可求解．【详解】解：（1）由题意知，BC BM =， 66ABC ∠=︒，67BMC BCM ∴∠=∠=︒，又90ACB ∠=︒， 906733ACM ACB BCM ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；（2）如图2，DE 为圆O 的切线，连接OE ，则90EDO ECO ∠=∠=︒，OD OC =，OE OE =，()EDO ECO SAS ∴∆≅∆，DE CE ∴=，90BDO ADE ∠+∠=︒，90DBC A ∠+∠=︒，且DBO BDO ∠=∠．A ADE ∴∠=∠． AE DE ∴=，AE CE ∴=；（3）过M 作AC 的垂线交AC 于H ，过D 作AC 的垂线交AC 于I ，连接CD ，90ACD A ∠+∠=︒，90ACD DCB ∠+∠=︒，3tan tan 4DCB A ∴∠=∠=，设3BC x =，4AC x =，5AB x =，则122ED EC AC AE x ====，而532AM AB MB AB BC x x x =-=-=-=，//MH BC ，则AMH ABC ∆∆∽，65MH x ∴=，则21161242255ACM S AC MH x x x ∆=⨯⨯=⨯⨯=， //DI BC ， ADI ABC ∴∆∆∽，同理可得：4825DI x =，则21148482222525ADE S AE DI x x x ∆=⋅=⨯⨯=，所以4:5ADE ACM S S ∆∆=．17．（2021·浙江省杭州市上泗中学二模）如图，AB 为O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 是O 的切线，D 为切点，OF AD ⊥于点E ，交CD 于点F ．（1）求证：ADC AOF ∠=∠；（2）若1sin 3C =，8BD =，求EF 的长．【答案】（1）见解析；（2）2 【分析】（1）连接OD ，由切线的性质得到90ADC ADO ∠+∠=︒，由等腰三角形的性质得到DAO ADO ∠=∠，根据90AOF DAO ∠+∠=︒，由等量代换即可得到结论；（2）根据三角形中位线定理得到118422OE BD ==⨯=，设OD x =，3OC x =，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OD ，OF AD ⊥，90AOF DAO ∴∠+∠=︒，CD 是O 的切线，D 为切点， 90CDO ∴∠=︒，90ADC ADO ∴∠+∠=︒，OA OD =，DAO ADO ∴∠=∠，AOF ADC ∴∠=∠；（2）//OF BD ，AO OB =，AE DE ∴=，118422OE BD ∴==⨯=， 1sin 3OD C OC ==， ∴设OD x =，3OC x =，OB x ∴=，4CB x ∴=，//OF BD ，COFCBD ∴∆∆， OC OF BC BD ∴=， 348x OF x ∴=， 6OF ∴=，642EF OF OE ∴=-=-=．18．（2021·浙江·翠苑中学二模）如果三角形的两个内角α与β满足90αβ-=︒，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．（1）如图1，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 在AB 上，且AC AD =．求证：DCB 是“准直角三角形”．（2）如图2，ABC 中，3tan 4B =，5BC =，BAC ∠为钝角，若BAC 为“准直角三角形”，求AC 的长．（3）如图3，四边形ABCD 是O 的内接四边形，连结AC ，BD ，AC 为O 的直径，ABD △为“准直角三角形”．若5AB =，12BC =，求BD 的长．【答案】（1）见解析；（2）154；（3）12 【分析】（1）由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可推得90CDB DCB ∠-∠=︒，符合“准直角三角形”定义，判定DCB ∆是“准直角三角形”；（2）在BC 边上取一点F ，使BAF B ∠=∠或CAF C ∠=∠，作AE BC ⊥于点E ，设3AE m =，由相似三角形的性质和勾股定理，将BF 、EF 、CE 都用含m 的式子表示，先求出m 的值，再求AC 的值；（3）作AE BD ⊥于点E ，可得AED ABC ∆∆∽，得到::::5:12:13AE ED AD AB BC AC ==，再用（2）中的方法即可求出BD 的值．【详解】解：（1）证明：如图1，AC AD =，ACD ADC ∴∠=∠，180180CDB ADC ACD ∴∠=︒-∠=︒-∠；90ACB ∠=︒，90ACD DCB ∴∠=︒-∠，180(90)90CDB DCB DCB ∴∠=︒-︒-∠=︒+∠，90CDB DCB ∴∠-∠=︒，DCB ∴∆是“准直角三角形” .（2）如图2，90BAC B ∠-∠=︒，作AF AC ⊥，交边BC 于点F ，作AE BC ⊥于点E ，则90FAC AEB AEC ∠=∠=∠=︒．由90BAC B BAC BAF ∠-∠=∠-∠=︒，得B BAF ∠=∠， AF BF ∴=．设3(0)AE m m =>，AF BF x ==．3tan 4AE B BE =∠=， 443BE AE m ∴==， 222(3)(4)x m m x ∴=+-，解得258x m =，则258AF BF m ==， 257488EF m m m ∴=-=； 90EAF EAC C ∠=︒-∠=∠， ∴778tan 324m AE EF EAF CE AF m ==∠==， 2424723777CE AE m m ∴==⨯=；由72457m m +=，得720m =；778sin 25258m AE EF EAF AC AF m ==∠==， 2525757153777204AC AE m ∴==⨯=⨯=；如图3，90BAC C ∠-∠=︒，作AG AB ⊥，交边BC 于点G ，作AE BC ⊥于点E ，则90BAG AEB AEC ∠=∠=∠=︒．由90BAC C BAC CAG ∠-∠=∠-∠=︒，得C CAG ∠=∠， AG CG ∴=．设3(0)AE m m =>，则4BE m =．90GAE BAE B ∠=︒-∠=∠， ∴3tan 4EG B AE =∠=， 3393444EG AE m m ∴==⨯=，154AG CG m ∴==，解得2m =， 13322AE ∴=⨯=，9151663442CE m m m =+==⨯=，AC ∴综上所述，AC 的长为154 （3）如图4，90BAD ABD ∠-∠=︒．作AF AD ⊥交BD 于点F ，作AE BD ⊥于点E ，则90FAD AEB AED ∠=∠=∠=︒，由（2）得AF BF =． AC 是O 的直径，90ABC ∴∠=︒，5AB =，12BC =，13AC ∴，::5:12:13AB BC AC ∴=；ADE ACB ∠=∠，90AED ABC ∠=∠=︒， ADE ABC ∴∆∆∽，::5:12:13AE ED AD ∴=．设5(0)AE n n =>，则12DE n =90EAF EAD EDA ∠=︒-∠=∠，90AEF DEA ∠=∠=︒， FEA AED ∴∆∆∽，55255121212EF AE n n ∴==⨯=， 1313655121212AF BF AE n n ∴===⨯=，222(5)()52n n ∴+=，解得n =，153********BD n n n ∴=+=== 如图5，90BAD ADB ∠-∠=︒．作AG AB ⊥交BD 于点G ，作AE BD ⊥于点E ，则90GAB AEB AED ∠=∠=∠=︒，由（2）得AG DG =．同理可得::5:12:13AE ED AD =．设5(0)AE n n =>，则12DE n =；设AG DG y ==，则12EG n y =-， 222(5)(12)y n n y ∴=+-，解得16924y n =，则16924AG DG n ==， 169119122424EG n n n ∴=-=． 90BAE EAG AGE ∠=︒-∠=∠， ∴5120tan 11911924BE AE n AGE AE EG n ==∠==， 1201206005119119119BE AE n n ∴==⨯=，sin BE AE AGE AB AG==∠， AB AE BE AG ∴⋅=⋅，6001695511924n n n ∴⨯=⨯，解得119169n =，600600119119121212119119169169BD n n ∴=+=⨯+⨯=．综上所述，BD 的长为12．。

初中数学拔高九年级专题23 圆与圆的位置关系(含答案)

专题23 圆与圆的位置关系【阅读与思考】两圆的半径与圆心距的大小量化确定圆与圆的外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系.圆与圆相交、相切等关系是研究圆与圆位置关系的重点，解题中经常用到相关性质. 解圆与圆的位置关系问题，往往需要添加辅助线，常用的辅助线有： 1.相交两圆作公共弦或连心线；2.相切两圆作过切点的公切线或连心线；3.有关相切、相离两圆的公切线问题常设法构造相应的直角三角形. 熟悉以下基本图形和以上基本结论.【例题与求解】【例1】如图，大圆⊙O 的直径a AB cm ，分别以OA ，OB 为直径作⊙O 1和⊙O 2，并在⊙O 与⊙O 1和⊙O 2的空隙间作两个等圆⊙O 3和⊙O 4，这些圆互相内切或外切，则四边形3241O O O O 的面积为________cm 2. （全国初中数学竞赛试题）解题思路：易证四边形3241O O O O 为菱形，求其面积只需求出两条对角线的长.O O 2O 1O 3O 4BA【例2】如图，圆心为A ，B ，C 的三个圆彼此相切，且均与直线l 相切.若⊙A ，⊙B ，⊙C 的半径分别为a ，b ，c （b a c <<<0），则a ，b ，c 一定满足的关系式为（） A .c a b +=2 B .c a b +=2C .b ac 111+= D .ba c 111+= （天津市竞赛试题）解题思路：从两圆相切位置关系入手，分别探讨两圆半径与分切线的关系，解题的关键是作圆的基本辅助线.lC A 1C 1B 1BA【例3】如图，已知两圆内切于点P ，大圆的弦AB 切小圆于点C ，PC 的延长线交大圆于点D .求证：（1）∠APD =∠BPD ；（2）CB AC PC PB PA ∙+=∙2. （天津市中考试题）解题思路：对于（1），作出相应辅助线；对于（2），应化简待证式的右边，不妨从AC ·BC =PC ·CD 入手.PBCDA【例4】如图⊙O 1和⊙O 2相交于点A 及B 处，⊙O 1的圆心落在⊙O 2的圆周上，⊙O 1的弦AC 与⊙O 2交于点D .求证：O 1D ⊥BC .（全俄中学生九年级竞赛试题）解题思路：连接AB ，O 1B ，O 1C ，显然△O 1BC 为等腰三角形，若证O 1D ⊥BC ，只需证明O 1D 平分∠B O 1C .充分运用与圆相关的角.O 1O 2D BCA【例5】如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =1,AB =2，DC =22，点P 在边BC 上运动（与B ，C 不重合）.设PC =x ，四边形ABPD 的面积为y . （1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）若以D 为圆心，21为半径作⊙D ，以P 为圆心，以PC 的长为半径作⊙P ，当x 为何值时，⊙D 与⊙P 相切？并求出这两圆相切时四边形ABPD 的面积. （河南省中考题）解题思路：对于（2），⊙P 与⊙D 既可外切，也可能内切，故需分类讨论，解题的关键是由相切两圆的性质建立关于x 的方程.DCPBA【例6】如图，ABCD 是边长为a 的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆交于另一点P ，延长AP 交BC 于点N ，求NCBN的值. （全国初中数学联赛试题）解题思路：AB 为两圆的公切线，BC 为直径，怎样产生比例线段？丰富的知识，不同的视角激活想象，可生成解题策略与方法.N PB A CD【能力与训练】A 级1.如图，⊙A ，⊙B 的圆心A ，B 在直线l 上，两圆的半径都为1cm .开始时圆心距AB ＝4cm ，现⊙A ，⊙B 同时沿直线l 以每秒2cm 的速度相向移动，则当两圆相切时，⊙A 运动的时间为_______秒.（宁波市中考试题）2.如图，O 2是⊙O 1上任意一点，⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B 两点，E 为优弧AB 上的一点，EO 2及延长线交⊙O 2于C ，D ，交AB 于F ，且CF ＝1，EC ＝2，那么⊙O 2的半径为_______.（四川省中考试题）（第1题图）（第2题图）（第3题图）3.如图，半圆O 的直径AB ＝4,与半圆O 内切的动圆O 1与AB 切于点M .设⊙O 1的半径为y ，AM 的长为x ，则y 与x 的函数关系是_________________.（要求写出自变量x 的取值范围）（昆明市中考试题）4.已知直径分别为151+和315-的两个圆，它们的圆心距为115-，这两圆的公切线的条数是__________.5.如图，⊙O 1和⊙O 2相交于点A ，B ，且⊙O 2的圆心O 2在圆⊙O 1的圆上，P 是⊙O 2上一点.已知∠A O 1B ＝60°，那么∠APB 的度数是（）A .60°B .65°C .70°D .75°（甘肃省中考试题） 6.如图，两圆相交于A 、B 两点，过点B 的直线与两圆分别交于C ，D 两点.若⊙O 1半径为5，⊙O 2的半径为2，则AC ：AD 为（）A .52:3B .3:52C .1:52D .2:5（第5题图）（第6题图）（第7题图）7.如图，⊙O 1和⊙O 2外切于点T ，它们的半径之比为3:2，AB 是它们的外公切线，A ，B 是切点，AB ＝64，那么⊙O 1和⊙O 2的圆心距是（）A .65B .10C .610D .1339208.已知两圆的半径分别为R 和r （r R >），圆心距为d .若关于x 的方程0)(222=-+-d R rx x 有两相等的实数根，那么这两圆的位置关系是（）A .外切B .内切C .外离D .外切或内切lB A FC EB AD O 1O 2O 1B O M A O 1O 2PBAO 2DBCAO 1BATO 1O 2。

中考数学压轴题专题-圆的有关位置关系(解析版)

决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品专题13 圆的有关位置关系【考点1】点与圆的位置关系【例1】1．（2020·江苏连云港·初三二模）已知⊙O的半径OA长为1，OB＝2，则可以得到的正确图形可能是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据点到直线的距离和圆的半径的大小关系判断点与圆的位置关系即可【详解】解：∵⊙O的半径OA长1，若OB2，∴OA＜OB，∴点B在圆外，故选：D．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是根据数据判断出点到圆心的距离和圆的半径的大小关系，难度不大．【变式1-1】（2020·广州市育才中学初三期中）已知⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断【答案】A【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．【详解】∵⊙O的半径为5，若PO＝4，∴4＜5，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，故选：A．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d 时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．【变式1-2】（（2019·四川省成都市簇锦中学中考模拟）若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P 的坐标是（5，2），那么点P的位置为（）A．在⊙A内B．在⊙A上C．在⊙A外D．不能确定【答案】A【分析】先根据两点间的距离公式计算出PA的长，然后比较PA与半径的大小，再根据点与圆的关系的判定方法进行判断．【详解】∵圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），＜5，∴点P在⊙A内，故选A．【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．也考查了坐标与图形性质．【考点2】直线与圆的位置关系【例2】（2020·遵化市阳光燕山学校初三一模）如图，在直线l上有相距7cm的两点A和O（点A在点O 的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O 始终在直线l上），则⊙O与直线AB在（）秒时相切．A．3 B．3.5 C．3或4 D．3或3.5【答案】C【分析】存在2种情况，如下图，一种是AB与圆上的点M相切，另一种是AB与圆上的点N相切．【详解】如下图，⊙O与l交于点M和点N情况一：直线AB与圆上点M相切则点M与点A重合∵AO=7cm，⊙O的半径为1cm∴MA=6cm∵⊙O以2cm/s的速度向右移动∴t=63 2=s情况二：直线AB与圆上点N相切则点N与点A重合同理，NA=8cm∴t=84 2=s故选：C【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，相切即直线到圆心的距离等于圆的半径，注意，圆向右运动的过程中，会有2次与直线AB相切的时刻．【变式2-1】（2020·四川凉山·初三零模）如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移()A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】B【分析】作出OC⊥AB，利用垂径定理求出BC＝4，再利用勾股定理求出OC＝3，即可求出要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移的长度．【详解】解：作OC⊥AB，又∵⊙O的半径为5cm，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm∴BO＝5，BC＝4，∴由勾股定理得OC＝3cm，∴要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移2cm．故选：B．【点睛】此题主要考查了切线的性质定理与垂径定理，根据图形求出OC的长度是解决问题的关键．【变式2-2】（2019·浙江中考真题）如图，Rt ABC∆中，90C∠=︒，12AC=，点D在边BC上，5CD=，13BD=.点P是线段AD上一动点，当半径为6的圆P与ABC∆的一边相切时，AP的长为________.【答案】132或313【解析】【分析】根据勾股定理得到221218613AB=+=，2213AD AC CD=+=，当⊙P于BC相切时，点P到BC 的距离=6，过P作PH⊥BC于H，则PH=6，当⊙P于AB相切时，点P到AB的距离=6，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BD+CD=18，∴221218613AB=+=，在Rt△ADC中，∠C=90°，AC=12，CD=5，∴2213AD AC CD=+=，当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离=6，过P作PH⊥BC于H，则PH=6，∵∠C=90°，∴AC⊥BC，∴PH∥AC，∴△DPH∽△DAC，∴PD PH DA AC＝，∴6 1312 PD=，∴PD=6.5，∴AP=6.5；当⊙P于AB相切时，点P到AB的距离=6，过P作PG⊥AB于G，则PG=6，∵AD=BD=13，∴∠PAG=∠B，∵∠AGP=∠C=90°，∴△AGP∽△BCA，∴AP PG AB AC＝，612=，∴∵CD=5＜6，∴半径为6的⊙P不与△ABC的AC边相切，综上所述，AP的长为6.5或故答案为6.5或【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练正确切线的性质是解题的关键．【考点3】切线的判定与性质的应用【例3】（2020·山东枣庄·中考真题）如图，在ABC中，AB AC=，以AB为直径的O分别交AC、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且2BAC CBF ∠=∠．（1）求证：BF 是O 的切线；（2）若O 的直径为4，6CF =，求tan CBF ∠．【答案】（1）详见解析；（2）21tan 7CBF ∠=【分析】（1）连接AE ，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF ＝90°；（2）过点C 作CH BF ⊥于点H ，求得AC 、BF 的长度，证出CHF ABF ∽△△，根据相似三角形的性质求得CH 、HF 的长度，根据BH BF HF =-求得BH 的长度，代入tan CH CBF BH∠=求解即可．【详解】（1）（1）证明：如图，连接AE ．∵AB 是O 的直径，∴90AEB =︒∠，1290∠+∠=︒．∵AB AC =，∴21BAC ∠=∠．∵2BAC CBF ∠=∠，∴1CBF ∠=∠．∴290CBF ∠+∠=︒，即90ABF ∠=︒．∵AB 是O 的直径，∴直线BF 是O 的切线．（2）解：过点C 作CH BF ⊥于点H ．∵AB AC =，O 的直径为4， ∴4AC =．∵6CF =，90ABF ∠=︒， ∴2222104221AF AB BF -=-==． ∵CHF ABF ∠=∠，F F ∠=∠，∴CHF ABF ∽△△．∴CH CF AB AF =，即6446CH =+． ∴125CH =，222212621655HF CF CH ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭． ∴62142122155BH BF HF =-=-=． ∴12215tan 74215CH CBF BH ∠===．【点睛】本题考查了圆的综合题：切线的判定与性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定、直角所对的圆周角是直角、解直角三角形等知识点．【变式3-1】（2020·湖北荆门·中考真题）如图，AC 为O 的直径，AP 为O 的切线，M 是AP 上一点，过点M 的直线与O 交于点B ，D 两点，与AC 交于点E ，连接,,AB AD AB BE =．（1）求证：AB BM =；（2）若3AB =，245AD =，求O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）O 的半径为2.5．【分析】（1）根据切线的性质得到AP AC ⊥，可得1290∠+∠=︒，再根据等腰三角形的性质与角度等量替换得到14∠=∠，故可证明；（2）解法1，先连接BC,证明245AM AD ==，得到EM=6，根据勾股定理求出AE ，再根据MAE CBA ∽列出比例式求出直径，故可求出；解法2，连接CD ，同理得到245AM AD ==，根据勾股定理求出AE ，设EC x =，根据等腰三角形的性质得到CD=CE=x,再利用Rt △ACD 列出方程故可求出x,再得到直径即可求解．【详解】（1）证明：∵AP 为O 的切线，AC 为O 的直径，∴AP AC ⊥，∴3490∠+∠=°，∴1290∠+∠=︒，又∵AB BE =，∴23∠∠=，∴14∠=∠∴AB BM =．（2）方法1：解：如图，连接BC ，∵AC 为直径，∴90ABC ∠=︒， ∴390C ∠+∠=︒，而3490∠+∠=°， ∴4C ∠=∠，又：14,C D ∠=∠∠=∠， ∴1D C ∠=∠=∠， ∴245AM AD ==， ∵3AB =，AB BM BE ==，∵6EM =，∴22222418655AE EM AM ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭． ∵1,90C EAM ABC ∠=∠∠=∠=︒， ∴MAE CBA ∽，∴ME AE CA AB=， ∴18653CA =， ∴185185CA ==∴O 的半径为2.5．方法2：解：如图，连接CD ，∵AB BE =，∴23∠∠=，又∵2,3DEC EDC ∠=∠∠=∠，∴DEC EDC ∠=∠，∴DC EC =，∵AC 为直径，∴90ADC ∠=︒，∴90ADE EDC ∠+∠=︒，而3490,3EDC ∠+∠=︒∠=∠，∴4ADE ∠=∠，又∵14∠=∠，∴1ADE ∠=∠， ∴245AM AD ==， ∵3,AB AB BM BE ===，∴6EM =，∴185AE ===．设EC x =，则18,5AC AE EC x DC x =+=+=，在Rt ADC 中， 222AD DC AC +=，∴222241855x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得75x = ∴187555AC =+=， ∴O 的半径为2.5．【点睛】此题主要考查切线的综合运用，解题的关键是熟知切线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质．【变式3-2】（2020·四川宜宾·中考真题）如图，已知AB 是圆O 的直径，点C 是圆上异于A ，B 的一点，连接BC 并延长至点D ，使得CD BC =，连接AD 交O 于点E ，连接BE ．（1）求证：ABD ∆是等腰三角形；（2）连接OC 并延长，与B 以为切点的切线交于点F ，若4,1AB CF ==，求DE 的长．【答案】（1）详见解析；（2）43DE =【分析】（1）根据直径所对圆周角是直角及三线合一性质求解即可；（2）根据等腰三角形的性质和切线的性质证明∆∆OBFAEB ，可得83AE =，即可求出DE ．【详解】（1）证明：因为AB 是圆O 的直径，所以90ACB ︒∠=， AC BD ∴⊥，BC CD =，所以点C 是BD 的中点，所以AB=AD ，所以三角形ABD 是等腰三角形．（2）因为三角形ABD 是等腰三角形，1,,2BAC BAD AB AD BC BD ∴∠=∠==， 12BAC BOC ∠=∠， BAD BOC ∴∠=∠，因为BF 是切线，所以90FOB ︒∠=，因为AB 是直径，所以90AEB OBF ︒∠=∠=，OBF AEB ∴∆∆，OB OF AE AB ∴=， 4,3AB OF OC CF ==+=，83AE ∴=， 43DE AD AE ∴=-=．【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，准确运用相似三角形的性质是解题的关键．【变式3-3】（2020·湖南永州·中考真题）如图，ABC 内接于,O AB 是O 的直径，BD 与O 相切于点B ，BD 交AC 的延长线于点D ，E 为BD 的中点，连接CE ．（1）求证：CE 是O 的切线．（2）已知35,5BD CD ==，求O ，E 两点之间的距离．【答案】（1）见解析；（2）92【分析】（1）连接OC ，先推出90BCD ∠=︒，然后根据CE 是Rt BCD ∆斜边BD 上的中线，得出CE BE =，从而可得EBC ECB ∠=∠，根据BD 与O 相切，得到90OBC EBC ∠+∠=︒，可得90OCB ECB ∠+∠=︒，即90OCE ∠=︒，即可证明CE 是O 的切线；（2）连接OE ，先证明BCD ABD ∆∆∽，可得BD CD AD BD=，可求出AD ，根据OE 是ABD △的中位线，即可求出OE ．【详解】（1）证明：连接OC ，∵OC OB =，∴OBC OCB ∠=∠，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，则90BCD ∠=︒，∵CE 是Rt BCD ∆斜边BD 上的中线，∴CE BE =，∴EBC ECB ∠=∠，∵BD 与O 相切，∴90ABD ∠=︒，即90OBC EBC ∠+∠=︒，∴90OCB ECB ∠+∠=︒，即90OCE ∠=︒，∴OC CE ⊥，∴CE 是O 的切线；（2）连接OE ，∵D D BCD ABD ∠=∠∠=∠，，∴BCD ABD ∆∆∽， ∴BD CD AD BD =，即2(35)5AD =， ∴9AD =，∵OE 是ABD △的中位线， ∴9221OE AD ==．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定进而性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半，掌握知识点，结合现有条件灵活运用是解题关键．【考点4】三角形的内切圆与切线长定理【例4】（2020·浙江绍兴·初三一模）如图，直线PA ，PB ，MN 分别与O 相切于点A ，B ，D ，8PA PB cm ==，则PMN 的周长为（）A ．8cmB ．3cmC ．16cmD ．3cm【答案】C【分析】根据切线长定理得MA=MD，ND=NB，然后根据三角形周长的定义进行计算，即可．【详解】∵直线PA、PB、MN分别与O相切于点A.，B， D，∴MA=MD，ND=NB，∴△PMN的周长=PM+PN+MD+ND=PM+MA+PN+NB=PA+PB=8+8=16(cm)．故选C．【点睛】本题主要考查切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．【变式4-1】（2020·杭州绿城育华学校初三二模）如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，若AC=6，CD=2，则⊙O的半径．【答案】3 2【解析】试题分析：∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，∴OF=OE，OF⊥AC，OE⊥BC，又∵∠C=90°，∴CEOF是正方形．设圆O的半径为r，则DE=2﹣r，OE=r．∵CEOF是正方形，∴OE∥AC．∴△OED∽△ACD．∴OE EDAC CD=，即262r r-=．解得：r=32．考点：三角形的内切圆与内心．【变式4-2】（2020·山东初三二模）Rt△ABC中，∠C＝90°，若直角边AC＝5，BC＝12，则此三角形的内切圆半径为________．【答案】2【分析】设AB、BC、AC与⊙O的切点分别为D、F、E；易证得四边形OECF是正方形；那么根据切线长定理可得：CE=CF=（AC+BC-AB），由此可求出r的长．【详解】解：如图；在Rt△ABC，∠C=90°，AC=5，BC=12；根据勾股定理AB=四边形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°；∴四边形OECF是正方形；由切线长定理，得：AD=AE，BD=BF，CE=CF；∴CE=CF=（AC+BC-AB）；即：r=（5+12-13）=2．故答案为2．【变式4-3】（2019·湖南中考真题）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是( )A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD【答案】D【解析】【分析】先根据切线长定理得到PA＝PB，∠APD＝∠BPD；再根据等腰三角形的性质得OP⊥AB，根据菱形的性质，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，由此可判断D不一定成立．【详解】∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，所以A成立；∠BPD＝∠APD，所以B成立；∴AB⊥PD，所以C成立；∵PA，PB是⊙O的切线，∴AB⊥PD，且AC＝BC，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立，故选D．【点睛】本题考查了切线长定理，垂径定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.1．（2020·武汉市常青第一学校九年级一模）如图，边长为a的正方形ABCD的边长为b的等边AEF均内接于⊙O，则ba的值是（）．A．2B3C2D．6 2【答案】D 【解析】连接OE ，OF ，OC 且OC 与EF 交于M ，先求出圆的半径，在Rt△OEM 中利用30°角的性质即可解决问题．解：如图所示，正方形ABCD 边长a ，等边AEF 边长b ，连接OE ，OF ，OC 且OC 与EF 交于M ，30OEM ∠=︒，2b EM =，∴36OM b =． 1244OM AC a ==， ∴2346a b =，∴62b a =．故选D ．2．（2020·江苏连云港·中考真题）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A 、B 、C 、D 、E 、O 均是正六边形的顶点．则点O 是下列哪个三角形的外心（）．A ．AEDB ．ABD △C ．BCD △ D ．ACD △【答案】D【分析】根据三角形外心的性质，到三个顶点的距离相等，可以依次判断．【详解】答：因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以由正六边形性质可知，点O 到A ，B ，C ，D ，E 的距离中，只有OA=OC=OD ．故选：D ．【点睛】此题主要考查了三角形外心的性质，即到三角形三个顶点的距离相等．3．（2020·合肥市第四十五中学九年级三模）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点I 是△ABC 的内心，∠AIC=124°，点E 在AD 的延长线上，则∠CDE 的度数为（）A ．56°B ．62°C ．68°D ．78°【答案】C【解析】分析：由点I 是△ABC 的内心知∠BAC=2∠IAC 、∠ACB=2∠ICA ，从而求得∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB ）=180°﹣2（180°﹣∠AIC ），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．详解：∵点I 是△ABC 的内心，∴∠BAC=2∠IAC 、∠ACB=2∠ICA ，∵∠AIC=124°，∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB ）=180°﹣2（∠IAC+∠ICA ）=180°﹣2（180°﹣∠AIC ）=68°，又四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠CDE=∠B=68°，故选C ．点睛：本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．4．（2020·浙江九年级月考）如图，等腰ABC ∆的内切圆⊙O 与AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且5AB AC ==， 6BC =，则DE 的长是( )A 310B 310C ．355D 65 【答案】D【分析】如图，连接OA 、OE 、OB ，OB 交DE 于H ，先证明点A 、O 、E 共线，即AE BC ⊥，从而可得3BE CE ==，在Rt ABE ∆中，利用勾股定理求出AE 长，再由切线长定理求得BD 长，进而得AD 长，设⊙O 的半径为r ，则OD OE r ==， 4AO r =-，在Rt AOD ∆中，利用勾股定理求得32r =，在Rt BOE ∆中，求得35OB ，再证明OB 垂直平分DE ，利用面积法可得1122HE OB OE BE ⋅=⋅，求得HE 长即可求得答案. 【详解】连接OA 、OE 、OB ，OB 交DE 于H ，如图，等腰ABC ∆的内切圆⊙O 与AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，FOA ∴平分BAC ∠， OE BC ⊥， ⊥OD AB ，BE BD =，AB AC =，AO BC ∴⊥，∴点A 、O 、E 共线，即AE BC ⊥，3BE CE ∴==，在Rt ABE ∆中， 22534AE =-=，3BD BE ==，2AD ∴=，设⊙O 的半径为r ，则OD OE r ==， 4AO r =-，在Rt AOD ∆中，2222(4)r r +=-，解得32r =，在Rt BOE ∆中，223353(=22OB =+）， BE BD =，OE OD ，OB ∴垂直平分DE ，DH EH ∴=，OB DE ⊥，1122HE OB OE BE ⋅=⋅， 333525352OE BE HE OB ⨯⋅∴===， 6525DE EH ∴==，故选D ．【点睛】本题考查了三角形的内切圆，三角形的内心，等腰三角形的性质，勾股定理，面积法等，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键.5．（2020·湖北初三一模）如图，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，连接PO 并延长交⊙O 于点C ，连接AC ，若AB=8，∠P=30°，则AC=（）A ．3B ．42C ．4D ．3【答案】A【分析】先根据切线的性质得∠OAP ＝90°，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到AP 3OA ＝3着计算出∠C ＝30°，从而得到AC ＝AP ＝3【详解】∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，∴∠OAP＝90°，在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，∴∠AOP＝60°，AP＝3OA＝43，∵∠AOP＝∠C＋∠OAC＝60°，而∠C＝∠OAC，∴∠C＝30°，∴AC＝AP＝43.故答案为43．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．6．（2020·四川东坡区实验中学初三二模）如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC=30°，弦EF∥AB，则EF的长度为（）A．2 B．3C3D．2【答案】B【解析】本题考查的圆与直线的位置关系中的相切．连接OC,EC所以∠EOC=2∠D=60°，所以△ECO为等边三角形．又因为弦EF∥AB所以OC垂直EF故∠OEF=30°所以337．（2020·上虞市实验中学初三一模）在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆( ) A．与x轴相交，与y轴相切B．与x轴相离，与y轴相交C ．与x 轴相切，与y 轴相交D ．与x 轴相切，与y 轴相离【答案】C 【解析】分析：首先画出图形，根据点的坐标得到圆心到X 轴的距离是4，到Y 轴的距离是3，根据直线与圆的位置关系即可求出答案．解答：解：圆心到X 轴的距离是4，到y 轴的距离是3，4=4，3＜4，∴圆与x 轴相切，与y 轴相交，故选C ．8．（2020·安徽初三一模）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，2BC =，60B ∠=︒，A 的半径为3，那么下列说法正确的（）A ．点B 、点C 都在A 内 B ．点C 在A 内，点B 在A 外 C ．点B 在A 内，点C 在A 外D ．点B 、点C 都在A 外【答案】D【分析】先利用三角函数求出AC 、AB 的长，再根据点与圆的位置关系判断即可.【详解】在Rt ABC 中，90C ∠=︒，2BC =，60B ∠=︒， ∴4cos60BC AB ==，tan 6023AC BC =⋅= ∵A 的半径为3，∴点B 、点C 都在A 外，故选：D.【点睛】此题考查三角函数，点与圆的位置关系，熟记点与圆的三种位置关系，正确根据三角函数求直角三角形的边长是解题的关键.9．（2020·吉林吉林·初三一模）如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠BCO＝α，则∠P的度数为（）A．2αB．90°﹣2αC．45°﹣2αD．45°+2α【答案】B【分析】由圆周角定理可求得∠AOP的度数，由切线的性质可知∠PAO=90°，则可中求得∠P．【详解】解：∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠ABC＝α，∴∠AOP＝2∠ABC＝2α，∵P A是⊙O的切线，∴P A⊥AB，∴∠P AO＝90°，∴∠P＝90°﹣∠AOP＝90°﹣2α，故选：B．【点睛】本题主要考查切线的性质及圆周角定理，根据圆周角定理可切线的性质分别求得∠AOP和∠PAO的度数是解题的关键．10．（2020·湖南湘西·中考真题）如图，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO 的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（）A．BPA△为等腰三角形B．AB与PD相互垂直平分C．点A、B都在以PO为直径的圆上D．PC为BPA△的边AB上的中线【答案】B【分析】连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，证明Rt△OPB≌Rt△OPA，可得BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，可推出BPA△为等腰三角形，可判断A；根据△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，可得PM=OM=BM=AM，可判断C；证明△OBC≌△OAC，可得PC⊥AB，根据△BPA为等腰三角形，可判断D；无法证明AB与PD相互垂直平分，即可得出答案．【详解】解：连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，∵B，C为切点，∴∠OBP=∠OAP=90°，∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OPB≌Rt△OPA，∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，∴BPA△为等腰三角形，故A正确；∵△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，∴PM=OM=BM=AM∴点A、B都在以PO为直径的圆上，故C正确；∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，∴△OBC≌△OAC，∴∠OCB=∠OCA=90°，∴PC⊥AB，∵△BPA为等腰三角形，∴PC为BPA△的边AB上的中线，故D正确；无法证明AB与PD相互垂直平分，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆的性质，掌握知识点灵活运用是解题关键．11．（2020·浙江温州·中考真题）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA 的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（）A．1 B．2 C2D3【答案】D【分析】连接OB，由题意可知，∠OBD=90°；再说明△OAB是等边三角形，则∠AOB =60°；再根据直角三角形的性质可得∠ODB=30°，最后解三角形即可求得BD的长．【详解】解：连接OB∵菱形OABC∴OA=AB又∵OB=OA∴OB=OA=AB∴△OAB是等边三角形∵BD是圆O的切线∴∠OBD=90°∴∠AOB=60°∴∠ODB=30°∴在Rt△ODB中,OD=2OB=2,BD=OD·sin∠ODB=2×33故答案为D．【点睛】本题考查了菱形的性质、圆的切线的性质、等边三角形的判定和性质以及解直角三角形，其中证明△OAB 是等边三角形是解答本题的关键．12．（2020·南通西藏民族中学初三期中）如图，PA、PB是O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A＋∠C＝_________°．【答案】219【分析】连接AB，根据切线的性质得到PA＝PB，根据等腰三角形的性质得到∠PAB＝∠PBA＝12（180°−102°）＝39°，由圆内接四边形的性质得到∠DAB＋∠C＝180°，于是得到结论．【详解】解：连接AB，∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，∵∠P＝102°，∴∠PAB＝∠PBA＝12（180°−102°）＝39°，∵∠DAB＋∠C＝180°，∴∠PAD＋∠C＝∠PAB＋∠DAB＋∠C＝180°＋39°＝219°，故答案为219°．【点睛】本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．13．（2020·黑龙江双鸭山·初三其他模拟）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是_____________．【答案】4【分析】先利用勾股定理判断△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，继而证明四边形AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，利用面积法求出r的值即可求得答案.【详解】∵AB=5，BC=13，CA=12，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，∵⊙O为△ABC内切圆，∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，∴四边形AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，∴OE=OF=r，∴S四边形AEOF=r²，连接AO，BO，CO，∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，∴11()22AB AC BC r AB AC++=⋅，∴r=2，∴S四边形AEOF=r²=4，【点睛】本题考查三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质，面积法等，正确把握相关知识是解题的关键.14．（2020·浙江绍兴·九年级一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．以点C为圆心，r为半径画圆，若圆C 与斜边AB有且只有一个公共点时，则r的取值范围是．【答案】245r=或68r<≤【解析】试题分析：画出符合条件的图形，①根据切线性质和三角形的面积即可求出答案；②画出图形，根据图形即可得出答案．试题解析：由勾股定理得：AB=10，分为两种情况：①如图1，当⊙C与AB相切时，只有一个公共点，则CD⊥AB，由三角形的面积公式得：S△ABC=12×AC×BC=12×AB×CD，∴6×8=10×CD，CD=4.8，即R=4.8，②如图2，当R的范围是6＜R≤8时，⊙C和AB只有一个公共点，考点：直线与圆的位置关系．15．（2020·江苏南京·初三月考）如图,在△ABC中,BC=6,以点A为圆心,2为半径的☉A与BC相切于点D,交AB于点E,交AC于点F,点P是优弧EF上的一点,且∠EPF=50°,则图中阴影部分的面积是___.【答案】6﹣109π．【解析】连接AD，∵BC是切线，点D是切点，∴AD⊥BC，∴∠EAF=2∠EPF=100°，∴S扇形AEF=21002360π⨯=109π，S△ABC=12AD•BC=12×2×6=6，∴S阴影部分=S△ABC-S扇形AEF=6-109π．故答案为6-109π．点睛：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了扇形的面积公式．16．（2020·新疆初三三模）如图，半径为2的⊙O 与含有30°角的直角三角板ABC 的AC 边切于点A ，将直角三角板沿CA 边所在的直线向左平移，当平移到AB 与⊙O 相切时，该直角三角板平移的距离为______.【答案】23【解析】试题解析：根据题意画出平移后的图形，如图所示：设平移后的△A ′B ′C ′与O 相切于点D ，连接OD ，OA ，AD ，过O 作OE ⊥AD ，可得E 为AD 的中点，∵平移前O 与AC 相切于A 点，∴OA ⊥A ′C ,即90OAA ，∠'= ∵平移前O 与AC 相切于A 点,平移后O 与A ′B ′相切于D 点，即A ′D 与A ′A 为O 的两条切线， ∴A ′D =A ′A ,又60B A C ∠'''=，∴△A ′AD 为等边三角形，∴60,DAA AD AA A D ∠'=='='，∴30OAE OAA DAA ∠=∠'-∠'=，在Rt △AOE 中,302OAE AO ∠==，，∴cos303AE AO =⋅=，∴223AD AE ==，∴2 3.AA '=则该直角三角板平移的距离为2 3.故答案为2 3.17．（2020·郓城县教学研究室初三其他模拟）如图，∠APB=30°，圆心在PB 上的⊙O 的半径为1cm ，OP=3cm ，若⊙O 沿BP 方向平移，当⊙O 与PA 相切时，圆心O 平移的距离为_____cm ．【答案】1或5【分析】首先根据题意画出图形，然后由切线的性质，可得∠O′CP=90°，又由∠APB=30°，O′C=1cm ，即可求得O′P 的长，继而求得答案．【详解】解：有两种情况：（1）如图1,当O 平移到O ′位置时，O 与P A 相切时，且切点为C ，连接O ′C ,则O ′C ⊥P A ，即∠O ′CP =90°，∵∠APB =30°,O ′C =1cm ， ∴O ′P =2O ′C =2cm ，∵OP =3cm ，∴OO ′=OP −O ′P =1(cm).（2）如图2，同理可得：O ′P =2cm ，∴O ′O =5cm.故答案为1或5.【点睛】本题主考考查圆与直线相切. 本题要应用分类讨论思想分别画出⊙O 与直线P A 相切时的图形，利用切线性质即可求出答案.18．（2020·江苏南京·中考真题）如图①，要在一条笔直的路边l 上建一个燃气站，向l 同侧的A 、B 两个城镇分别发铺设管道输送燃气，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．（1）如图②，作出点A 关于l 的对称点A '，线A B '与直线l 的交点C 的位置即为所求，即在点C 处建气站，所得路线ACB 是最短的，为了让明点C 的位置即为所求，不妨在l 直线上另外任取一点C '，连接AC '，BC '，证明AC CB AC C B ''+<+，请完成这个证明．（2）如果在A 、B 两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域请分别始出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由），①生市保护区是正方形区城，位置如图③所示②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．【答案】（1）证明见解析；（2）①见解析，②见解析【分析】（1）连接A C '，利用垂直平分线的性质，得到A C CA '=，利用三角形的三边关系，即可得到答案；（2）由（1）可知，在点C 处建燃气站，铺设管道的路线最短．分别对①、②的道路进行设计分析，即可求出最短的路线图．【详解】（1）证明：如图，连接A C '∵点A 、A '关于l 对称，点C 在l 上∴A C CA '=，∴''CA CB A C CB A B +=+=，同理'''''AC C B A C C B +=+，在'A C B '∆中，有'''A B A C C B '<+∴''AC CB AC C B +<+；（2）解：①在点C 处建燃气站，铺设管道的最短路线是AC+CD+DB （如图，其中D 是正方形的顶点）．②在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是AC CD DE EB+++（如图，其中CD、BE都与圆相切）．【点睛】本题考查了切线的应用，最短路径问题，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握题意，正确确定点C 的位置，从而确定铺设管道的最短路线．19．（2020·湖北中考真题）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，AD交半圆O于点E．（1）求证：AC 平分DAB ∠；（2）若2AE DE =，试判断以,,,O A E C 为顶点的四边形的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)菱形，证明过程见解析【分析】(1)连接OC ，由切线的性质可知∠COD=∠D=180°，进而得到OC ∥AD ，得到∠DAC=∠ACO ，再由OC=OA 得到∠ACO=∠OAC ，进而得到∠DAC=∠OAC 即可证明；(2) 连接EC 、BC 、EO ，过C 点作CH ⊥AB 于H 点，先证明∠DCE=∠CAE ，进而得到△DCE ∽△DAC ，再由AE=2DE 结合三角函数求出∠EAC=30°，最后证明△EAO 和△ECO 均为等边三角形即可求解．【详解】解：(1)证明：连接OC ，如下图所示：∵CD 为圆O 的切线，∴∠OCD=90°，∴∠D+∠OCD=180°，∴OC ∥AD ，∴∠DAC=∠ACO ，又OC=OA ，∴∠ACO=∠OAC ，∴∠DAC=∠OAC ，∴ AC 平分∠DAB ．(2) 四边形EAOC 为菱形，理由如下：连接EC 、BC 、EO ，过C 点作CH ⊥AB 于H 点，如下图所示，由圆内接四边形对角互补可知，∠B+∠AEC=180°，又∠AEC+∠DEC=180°，∴∠DEC=∠B，又∠B+∠CAB=90°，∠DEC+∠DCE=90°，∴∠CAB=∠DCE，又∠CAB=∠CAE，∴∠DCE=∠CAE，且∠D=∠D，∴△DCE∽△DAC，设DE=x，则AE=2x，AD=AE+DE=3x，∴CD DEAD CD=，∴22=3⋅=CD AD DE x，∴=3CD x，在Rt△ACD中，33 tan=33∠==DC xDACAD x，∴∠DAC=30°，∴∠DAO=2∠DAC=60°，且OA=OE，∴△OAE为等边三角形，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：∠EOC=2∠EAC=60°，∴△EOC为等边三角形，∴EA=AO=OE=EC=CO，即EA=AO=OC=CE，∴四边形EAOC为菱形．【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、三角函数、菱形的判定等知识点，属于综合题，熟练掌握其性质和定理是解决本题的关键．20．（2020·四川中考真题）如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为M，CD的延长线上有一点P，满足∠PBD＝∠DAB．过点P作PN⊥CD，交OA的延长线于点N，连接DN交AP于点H．（1）求证：BP是⊙O的切线；（2）如果OA＝5，AM＝4，求PN的值；（3）如果PD＝PH，求证：AH•OP＝HP•AP．【答案】（1）见解析；（2）1009；（3）见解析【分析】（1）连接BC，OB，证明OB⊥PB即可．（2）解直角三角形求出OM，利用相似三角形的性质求出OP，再利用平行线分线段成比例定理求出PN即可．（3）证明△NAH∽△NPD，推出AHPD=NANP，证明△P AN∽△OAP，推出PNOP=ANAP，推出NANP=APOP可得结论．【详解】（1）如图，连接BC，OB．∵CD是直径，∴∠CBD=90°，∵OC=OB，∴∠C=∠CBO，∵∠C=∠BAD，∠PBD=∠DAB，∴∠CBO=∠PBD，∴∠OBP=∠CBD=90°，∴PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线；（2）∵CD⊥AB，∴CD垂直平分AB，∴P A=PB，∵OA=OB，OP=OP，∴△P AO≌△PBO（SSS），∴∠OAP=∠OBP=90°，∵∠AMO=90°，∴OM3，∵∠AOM=∠AOP，∠OAP=∠AMO，∴△AOM∽△POA，∴OAOP=OMOA，∴5OP=35，∴OP=253，∵PN⊥PC，∴∠NPC=∠AMO=90°，∴AMPN=OMOP，∴4PN=3253，∴PN=1009．（3）∵PD=PH，∴∠PDH=∠PHD，∴∠PDN=∠PHD=∠AHN，∵∠NPC=90°，∠OAP=90°，∴∠NAH=∠NPD=90°，∴△NAH ∽△NPD ， ∴AH PD =NA NP ， ∵∠APN+∠PNA =∠POA+∠PNA =90°，∴∠APN =∠POA ，又∠P AN =∠P AO =90°，∴△P AN ∽△OAP ，∴PN OP =AN AP， ∴NA NP =AP OP ， ∴AH PD =AH PH =AP OP， ∴AH •OP =HP •AP ．【点睛】本题综合考查了切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 21．（2020·山东聊城·中考真题）如图，在ABC 中，AB BC =，以ABC 的边AB 为直径作O ，交AC于点D ，过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ．（1）试证明DE 是O 的切线；（2）若O 的半径为5，610AC =DE 的长．【答案】（1）详见解析；（2）3DE =【分析】（1）连接OD ，BD ，证出ABC 是等腰三角形，结合图形得出OD 是ABC 的中位线，因为//OD BC ，DE BC ⊥，证出DE OD ⊥即可得出DE 是O 的切线；（2）由（1）可得，610AC =310AD CD ==Rt ABD △中，由勾股定理求得BD 的长度，证出Rt CDE Rt ABD ∽，根据相似三角形对应边成比例可求得DE 的长．【详解】（1）证明：连接OD ，BD ，∵AB 为O 的直径，∴BD AD ⊥，又∵AB BC =，ABC 是等腰三角形，∴BD 又是AC 边上的中线，∴OD 是ABC 的中位线，∴//OD BC ，又DE BC ⊥，∴DE OD ⊥，∴DE 是O 的切线．（2）由（1）知，BD 是AC 边上的中线，610AC =得310AD CD ==∵O 的半径为5，∴10AB =．在Rt ABD △中，222210(310)10BD AB AD =-=-= ∵AB BC =，∴A C ∠=∠．在Rt CDE 和RtABD 中，∵90DEC ADB ︒∠=∠=，C A ∠=∠，∴Rt CDE Rt ABD ∽， ∴CD DE =AB BD，即3101010，解得3DE =．。

考点20 与圆有关的位置关系及计算(精讲)(解析版)

考点20.与圆有关的位置关系及计算（精讲）【命题趋势】与圆相关的位置关系也是各地中考数学中的必考考点之一，主要内容包括点、直线与圆的位置关系、切线的性质和判定、三角形的内切圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大。

关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分。

【知识清单】1：点、直线与圆的位置关系类（☆☆）1）点和圆的位置关系：已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：图1图2(1)d<r⇔点在⊙O内，如图1；(2)d=r⇔点在⊙O上，如图2；(3)d>r⇔点在⊙O外，如图3．解题技巧：掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系。

2）直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下：图1图2图3(1)d>r⇔相离，如图1；(2)d=r⇔相切，如图2；(3)d<r⇔相交，如图3。

2：切线的性质与判定（☆☆☆）1）切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点；（2）切线到圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于经过切点的半径。

解题技巧：利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题。

2）切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）；（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线（数量关系法）；（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（判定定理法）。

切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径。

3）切线长定理定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

中考数学复习《与圆有关的位置关系》专题训练含答案

中考复习专题训练与圆有关的位置关系一、选择题1.⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为4cm，圆心距O1O2=3cm，这两圆的位置关系是( )A. 相交B. 内切C. 外切D. 内含2.⊙O的半径为4，线段OP=4，则点P与⊙O的位置关系是（）A. 点P在⊙O外B. 点P在⊙O内C. 点P在⊙O上D. 不能确定3.两圆外离，作它们的两条内公切线，四个切点构成的四边形是（）A. 矩形B. 等腰梯形C. 矩形或等腰梯形D. 菱形4. 已知线段AB=7cm，现以点A为圆心，2cm为半径画⊙A；再以点B为圆心，3cm为半径画⊙B，则⊙A 和⊙B的位置关系（）A. 内含B. 相交C. 外切D. 外离5.下列四个命题中，真命题是( )A. 相等的圆心角所对的两条弦相等；B. 圆既是中心对称图形也是轴对称图形；C. 平分弦的直径一定垂直于这条弦；D. 相切两圆的圆心距等于这两圆的半径之和.6.在△ABC中，cosB=，∠C=45°，AB=8，以点B为圆心4为半径的⊙B与以点C为圆心的⊙C相离，则⊙C的半径不可能为（）A. 15B. 5C. 6D. 77. 如图，已知⊙O的半径为4，点D是直径AB延长线上一点，DC切⊙O于点C，连接AC，若∠CAB=30°，则BD的长为（）A. 4B. 8C. 4D. 28.下列说法正确的是（）A. 任意三点可以确定一个圆B. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分该弦所对的弧C. 同一平面内，点P到⊙O上一点的最小距离为2，最大距离为8，则该圆的半径为5D. 同一平面内，点P到圆心O的距离为5，且圆的半径为10，则过点P且长度为整数的弦共有5条9.如图，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PT切⊙O于T，若PT=6，PB=2，则⊙O的直径为（）A. 8B. 10C. 16D. 1810.如图，在等腰三角形△ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与AB，AC相切，切点分别为D，E．过半圆上一点F作半圆的切线，分别交AB，AC于M，N．那么的值等于（）A. B. C. D. 111.如图，⊙O的半径为2，点O到直线L的距离为3，点O是直线L上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）A. B. C. 3 D. 512.已知如图，PA、PB切⊙O于A、B，MN切⊙O于C，交PB于N；若PA=7.5cm，则△PMN的周长是（）A. 7.5cmB. 10cmC. 15cmD. 12.5cm二、填空题13.已知⊙P在直角坐标平面内，它的半径是5，圆心P（﹣3，4），则坐标原点O与⊙P的位置关系是________14.已知点P在半径为5的⊙O外，如果设OP=x，那么x的取值范围是________．15.如图，已知扇形AOB的半径为6，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F是上一点．将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧恰好与半径OB相切于点G．若OE=4，则O到折痕EF的距离为________．16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC≠BC，点M是边AC上的动点．过点M作MN∥AB交BC于N，现将△MNC沿MN折叠，得到△MNP．若点P在AB上．则以MN为直径的圆与直线AB的位置关系是________．17.如图，在⊙O中，OB为半径，AB是⊙O的切线，OA与⊙O相交于点C，∠A=30°，OA=8，则阴影部分的面积是________．18. 如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，关于下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是∠ACQ的外心，其中正确结论是________ （只需填写序号）．19.如图，AE、AD、BC分别切⊙O于E、D、F，若AD=20，则△ABC的周长为 ________20.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4 ．若动点D在线段AC上（不与点A、C重合），过点D作DE⊥AC交AB边于点E．点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE=________时，⊙C与直线AB相切．21.如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=45°，则图中阴影部分的面积为________．三、解答题22.如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB＝30°．（1）求∠APB的度数；（2）当OA＝3时，求AP的长．23.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB=8，边BC 比AD大6．（1）求边AD、BC的长；（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．24.在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．（Ⅰ）如图①，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=32°，求∠P的大小；（Ⅱ）如图②，D为优弧ADC上一点，且DO的延长线经过AC的中点E，连接DC与AB相交于点P，若∠CAB=16°，求∠DPA的大小．25.解答题（1）如图1，已知⊙O的半径是4，△ABC内接于⊙O，AC=4 ．①求∠ABC的度数；②已知AP是⊙O的切线，且AP=4，连接PC．判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如图2，已知▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O内，延长BC交⊙O于点E，连接DE．求证：DE=DC．参考答案一、选择题B C C D B D C D C B B C二、填空题13.点O在⊙P上14.x＞515.216.相交17.8 ﹣π18.②③19.4020.或21.4﹣π三、解答题22.解：（1）∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°，∴∠AOB=180°-2×30°=120°，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，∴在四边形OAPB中，∠APB=360°-120°-90°-90°=60°．（2）如图，连接OP；∵PA、PB是⊙O的切线，∴PO平分∠APB，即∠APO=∠APB=30°，又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°，∴AP=.23.解：（1）方法1：过D作DF⊥BC于F，在Rt△DFC中，DF=AB=8，FC=BC﹣AD=6，∴DC2=62+82=100，即DC=10．设AD=x，则DE=AD=x，EC=BC=x+6，∴x+（x+6）=10．∴x=2．∴AD=2，BC=2+6=8．方法2：连OD、OE、OC，由切线长定理可知∠DOC=90°，AD=DE，CB=CE，设AD=x，则BC=x+6，由射影定理可得：OE2=DE•EC．即：x（x+6）=16，解得x1=2，x2=﹣8，（舍去）∴AD=2，BC=2+6=8．（2）存在符合条件的P点．设AP=y，则BP=8﹣y，△ADP与△BCP相似，有两种情况：①△ADP∽△BCP时，有即∴y=；②△ADP∽△BPC时，有即∴y=4．故存在符合条件的点P，此时AP=或4．24.解：（Ⅰ）连接OC，如图①，∵PC为切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP=90°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠CAB=32°，∴∠POC=∠OCA+∠CAB=64°，∴∠P=90°﹣∠POC=90°﹣64°=26°；（Ⅱ）如图②，∵点E为AC的中点，∴OD⊥AC，∴∠OEA=90°，∴∠AOD=∠CAB+∠OEA=16°+90°=106°，∴∠C= ∠AOD=53°，∴∠DPA=∠BAC+∠C=16°+53°=69°25.（1）解：①连结OA、OC，如图1，∵OA=OC=4，AC=4 ，∴OA2+OC2=AC2，∴△OCA为等腰直角三角形，∠AOC=90°，∴∠ABC= ∠AOC=45°；②直线PC与⊙O相切．理由如下：∵AP是⊙O的切线，∴∠OAP=90°，而∠AOC=90°，∴AP∥OC，而AP=OC=4，∴四边形APCO为平行四边形，∵∠AOC=90°，∴四边形AOCP为矩形，∴∠PCO=90°，∴PC⊥OC，∴PC为⊙O的切线（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠B+∠A=180°，∠DCE=∠B，∵∠E+∠A=180°，∴∠E=∠B，∴∠DCE=∠E，∴DC=DE．。

中考数学复习《与圆有关的位置关系》考点及经典题型

中考数学复习《与圆有关的位置关系》考点及经典题型知识点一：与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d.(1)d<r ⇔点在⊙O 内；(2)d ＝r ⇔点在⊙O 上；(3)d>r ⇔点在⊙O 外． 2.直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系位置关系[来源:Zxxk.Com][来源:Z+xx+k.Com]相离相切相交图形公共点个数0个1个 2个数量关系 d ＞r d ＝r d ＜r变式练习1：已知：⊙O 的半径为2，圆心到直线l 的距离为1，将直线l 沿垂直于l 的方向平移，使l 与⊙O 相切，则平移的距离是1或3.变式练习2：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3 cm ，AC ＝4 cm ，以点C 为圆心，以2.5 cm 为半径画圆，则⊙C 与直线AB 的位置关系是( A )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定知识点二：切线的性质与判定1.切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.注意：判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可. 注意：由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况.切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径.变式练习：如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC.若∠A＝40°，则∠C＝________．【解析】如解图，连接OB，∵AB为⊙O的切线，点B是切点，∴∠OBA＝90°，∵∠A＝40°，∴∠BOA＝50°，∴∠C＝25°.2.切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点.（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.（3）切线垂直于经过切点的半径.注意：利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题.3.切线长（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.变式练习1：如图，AB、AC、DB是⊙O的切线，P 、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为2.变式练习2：如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，弦BD＝BA，AB＝12，BC＝5，BE⊥DC交DC的延长线于点E.(1)求证：∠BCA＝∠BAD；(2)求DE的长；(3)求证：BE是⊙O的切线．(1)证明：∵BD ＝BA ，∴∠BDA ＝∠BAD .又∵∠BDA ＝∠BCA ，∴∠BCA ＝∠BAD ;(2)解：∵AC 是⊙O 的直径，∴∠CBA ＝90°.在Rt △ABC 中，由勾股定理得，AC ＝22AB BC ＝122＋52＝13，∵∠CBA ＝∠E ＝90°， ∠BDC ＝∠BAC ，∴△ACB ∽△DBE ，∴AB DE ＝ACBD ，∴DE ＝12×1213＝14413；(3)证明：如解图，连接OB ，则OB ＝OC ，第4题解图∴∠OBC ＝∠OCB ，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠BAD ＋∠BCD ＝180°，又∵∠BCE ＋∠BCD ＝180°，∴∠BCE ＝∠BAD ，由(1)知∠BCA ＝∠BAD ，∴∠BCE ＝∠BCA ，又∵∠BCA ＝∠OBC ，∴∠BCE ＝∠OBC ，∴OB ∥DE .∵BE ⊥DE ，∴OB ⊥BE ，∵OB 为⊙O 的半径，∴BE 是⊙O 的切线.变式练习3：如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的弦，点F 是DA 延长线上一点，AC 平分∠FAB 交⊙O 于点C ，过点C 作CE ⊥DF ，垂足为点E.(1)求证：CE 是⊙O 的切线；(2)若AE ＝1，CE ＝2，求⊙O 的半径．(1)证明：连接CO ，∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC ，∵AC 平分∠FAB ，∴∠CAE ＝∠OAC ，∴∠OCA ＝∠CAE ，∴OC ∥FD ，∵CE ⊥DF ，∴OC ⊥CE ，∴CE 是⊙O 的切线(2)解：连接BC ，在Rt △ACE 中，AC ＝AE 2＋EC 2＝22＋12＝5，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BCA ＝90°，∴∠BCA ＝∠CEA ，∵∠CAE ＝∠CAB ，∴△ABC ∽△ACE ，∴CA AB ＝AE AC ，∴5AB ＝15，∴AB ＝5，∴AO ＝2.5，即⊙O 的半径为2.5.变式练习4：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点A ，BC 交⊙O 于点D ，若∠C ＝70°，则∠AOD 的度数为( D )A ．70°B ．35°C ．20°D ．40°知识点四：三角形与圆1.三角形的外接圆图形（1）相关概念：经过三角形各定点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形（2）圆心的确定：三角形三条垂直平分线的交点（3）外心的性质：到三角形的三个顶点的距离相等2.三角形的内切圆（1）相关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫圆的外切三角形（2）圆心的确定：到三角形三条角平分线的交点（3）内心的性质：到三角形的三条边的距离相等3.内切圆半径与三角形边的关系：（1）任意三角形的内切圆（如图1），设三角形的周长为C ，则S △ABC=1/2C r.（2）直角三角形的内切圆（如图2）若从切线长定理推导，可得r=1/2(a+b+c);若从面积推导，则可得r=.这两种结论可在做选择题和填空题时直接应用.变式练习1：已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的外切圆半径是2.5.,第2题图)变式练习2：如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是( B ) A．△ACD的外心B．△ABC的外心C．△ACD的内心D．△ABC的内心变式练习3：如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD＝32°，则∠BEC的度数为__122°__.,第3题图)知识点五：圆和圆的位置关系1、圆和圆的位置关系如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。

初升高衔接专题圆和圆的位置关系(含答案)

2.如图，⊙O1 与⊙O2 外离，AB，CD 是内公切线交于 P 点，O1O2 是圆心距，若 O1O2 10cm ，且⊙O1 的半径为 2cm，⊙O2 的半径为 3cm，求两条内公切线长及它们所夹锐角的度数．
D A
O1
P
C
O2 B
3.如图，矩形内放置 8 个半径为 1cm 的圆，其中相邻两个圆都相切，并且左上角和右下角的两个圆和矩形的边相切，则该矩形的面积为__________．
∴ O1C2 O2C2 O1O22 ，即 (4 6)2 k2 (5k)2 ，解得 k 2 ， ∴ O1O2 10 ．
（2）18cm
9/9
A．外离
B．外切
C．相交
切
）． D．内
（2）两圆的圆心距为 3，两圆的半径分别是方程 x2 4x 3 0 的两个根，则两圆的
位置关系是（）．
A．相交
B．外离
C．内含
D．外
切
（3）若两个圆相切于 A 点，它们的直径分别为 10cm、4cm，则这两个圆的圆心距为 __________．
（4）已知⊙O1 与⊙O2 两圆内含，O1O2 3 ，⊙O1 的半径为 5，那么⊙O2 的半径 r 的取值范围是__________．
【提示】这道题主要考查多圆相切问题，连接圆心距．
【练出高分】
1（. 1）平面直角坐标系中，⊙O 的圆心在原点，半径为 3，⊙A 的圆心 A 的坐标为 ( 3, 1) ，
半径为 1，那么⊙O 与⊙A 的位置关系是____________．（2）已知两圆相切，两圆半径分别为 6cm 和 3cm，则圆心距为__________．答：（1）内切；（2）9cm 或 3cm． 2.如图，⊙O1 与⊙O2 外离，AB，CD 是内公切线交于 P 点，O1O2 是圆心距，若 O1O2 10cm ，且⊙O1 的半径为 2cm，⊙O2 的半径为 3cm，求两条内公切线长及它们所夹锐角的度数．

中考数学总复习全程考点训练23与圆有关的位置关系含解析

——教学资料参考参考范本——中考数学总复习全程考点训练23与圆有关的位置关系含解析______年______月______日____________________部门一、选择题(第1题)1．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点C.若∠AOB＝120°，则大圆半径R与小圆半径r之间满足(C)A．R＝r B．R＝3rC．R＝2r D．R＝2 r【解析】连结OC，得OC⊥AB.由OA＝OB，∠AOB＝120°，得∠B ＝30°，∴OB＝2OC，即R＝2r.2．已知⊙O的面积为9π cm2，若点O到直线l的距离为π cm，则直线l与⊙O的位置关系是(C)A．相交 B．相切C．相离 D．无法确定【解析】∵S⊙O＝πr2＝9π，∴r＝3.∵d＝π>3，∴直线l与⊙O相离．(第3题)3．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y＝x－与⊙O的位置关系是(B)A．相离B．相切C．相交D．以上三种情况都有可能【解析】∵点O到直线y＝x－的距离d＝1＝半径，∴该直线与⊙O相切．(第4题)4．如图，直线y＝x＋与x轴，y轴分别交于A，B两点，圆心P 的坐标为(1，0)，⊙P与y轴相切于点O.若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是(B)A．2 B．3C．4 D．5【解析】易知tan∠BAP＝，∴∠BAP＝30°，∴当⊙P与直线AB 相切时，AP＝2.∴当P为(－1，0)或(－5，0)时，⊙P与AB相切，∴当P为(－2，0)或(－3，0)或(－4，0)时，⊙P与直线AB相交．(第5题)5．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是(C)A．点(0，3) B．点(2，3)C．点(5，1) D．点(6，1)【解析】找出圆心为O′(2，0)，过点B作O′B的垂线即可发现该垂线过点(5，1)．(第6题)6．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，D是⊙O上一点，连结PD.已知PC＝PD＝BC，有下列结论：①PD与⊙O相切；②四边形PCBD是菱形；③OP＝AB；④∠PDB＝120°.其中正确的个数是(A)A．4 B．3C．2 D．1【解析】①连结CO，DO，如解图．∵PC与⊙O相切，切点为C，∴∠PCO＝90°，在△PCO和△PDO中，∵∴△PCO≌△PDO(SSS)，∴∠PDO＝∠PCO＝90°，∴PD与⊙O相切，故此结论正确．(第6题解)②由①可得∠CPB＝∠DPB，在△CPB和△DPB中，∵∴△CPB≌△DPB(SAS)，∴BC＝BD，∴PC＝PD＝BC＝BD，∴四边形PCBD是菱形，故此结论正确．③连结AC，如解图．∵PC＝CB，∴∠CPB＝∠CBP.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.在△PCO和△BCA中，∵∴△PCO≌△BCA(ASA)，∴OP＝AB，故此结论正确．④∵△PCO≌△BCA，∴CO＝CA＝AO，∴△OAC是等边三角形，∴∠COP＝60°，∴∠OCB＝30°，∴∠PCB＝90°＋∠OCB＝120°.∵四边形PCBD是菱形，∴∠PDB＝120°，故此结论正确．故选A.二、填空题7．已知⊙A的半径为5，圆心A(3，4)，则坐标原点O与⊙A的位置关系是点O在⊙A上．【解析】∵点A的坐标为(3，4)，∴OA＝＝5.∵⊙A的半径为5，∴点O在⊙A上．(第8题)8．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，过点C的切线交PA，PB于D，E两点，PA＝8 cm，则△PDE的周长为__16__cm.【解析】∵PA，PB切⊙O于A，B两点，DE切⊙O于点C，∴PB＝PA＝8，CD＝AD，CE＝BE，∴△PDE的周长＝PD＋PE＋DE＝PD＋PE＋CD＋CE＝PD＋DA＋PE＋BE ＝2PA＝16(cm)．(第9题)9．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝40°，则∠BAC＝20°．【解析】连结OB，易得∠PAO＝∠PBO＝90°，∴∠AOB＝180°－∠P＝180°－40°＝140°.∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO＝＝20°.(第10题)10．如图，直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，E，F为圆上的两点，且∠CDE＝∠ADF.若⊙O的半径为，CD＝4，则弦EF的长为2．【解析】如解图，连结AO并延长交CD于点H，连结OC.(第10题解)∵直线AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB.∵弦CD∥AB，∴AH⊥CD，∴CH＝CD＝×4＝2.∵OA＝OC＝，∴OH＝＝＝，∴AH＝OA＋OH＝＋＝4，∴AC＝＝＝2.∵∠CDE＝∠ADF，∴＝，∴＋＝＋，即＝，∴EF＝AC＝2.三、解答题(第11题)11．如图，已知AB＝AC，∠BAC＝120°，在BC上取一点O，以O 为圆心，OB长为半径作⊙O，且⊙O过点A，过点A作AD∥BC交⊙O于点D.求证：(1)AC是⊙O的切线．(2)四边形BOAD是菱形．【解析】(1)∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠C＝30°.∵OB＝OA，∴∠BAO＝∠ABC＝30°，∴∠CAO＝∠BAC－∠BAO＝120°－30°＝90°，∴OA⊥AC.∵OA为⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线．(2)连结OD.∵AD∥BC，∴∠DAB＝∠ABC＝30°，∴∠DAO＝60°.又∵OA＝OD，∴△OAD为等边三角形，∴AD＝OA＝OB.又∵AD∥BC，∴四边形BOAD为平行四边形．∵OA＝OB，∴▱BOAD是菱形．(第12题)12．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠A.(1)求∠D的度数．(2)若CD＝2，求BD的长．【解析】(1)连结OC.∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠COD＝∠A＋∠ACO＝2∠A.∵∠D＝2∠A，∴∠D＝∠COD.∵PD切⊙O于点C，∴∠OCD＝90°，∴∠D＝∠COD＝45°.(2)∵∠D＝∠COD，CD＝2，∴OB＝OC＝CD＝2.在Rt△OCD中，由勾股定理，得OD2＝OC2＋CD2，即(2＋BD)2＝22＋22，解得BD＝2－2或BD＝－2－2(舍去)．∴BD＝2－2.(第13题)13．如图，△ABC内接于⊙O，CA＝CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D.(1)判断CD与⊙O的位置关系并说明理由．(2)若∠ACB＝120°，OA＝2，求CD的长．【解析】(1)CD与⊙O的位置关系是相切．理由如下：作直径CE，连结AE.∵CE是直径，∴∠EAC＝90°，∴∠E＋∠ACE＝90°.∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB.∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB.∴∠B＝∠ACD.∵∠B＝∠E，∴∠ACD＝∠E，∴∠ACE＋∠ACD＝90°，即∠DCO＝90°，∴OC⊥CD，∴CD与⊙O相切．(2)∵CD∥AB，OC⊥CD，∴OC⊥AB，又∵∠ACB＝120°，∴∠OCA＝∠OCB＝60°.∵OA＝OC，∴△OAC是等边三角形，∴∠DOC＝60°，∴在Rt△DCO中，tan∠DOC＝＝＝，∴CD＝2.14．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E.(1)求证：EB＝EC＝ED.(2)在线段DC上是否存在一点F，满足BC2＝4DF·DC？若存在，作出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由．(第14题)【解析】(1)连结OD，BD.∵ED，EB是⊙O的切线，∴ED＝EB，∠EDO＝∠EBO＝90°.又∵OD＝OB，∴△ODE≌△OBE(SAS)，∴∠DEO＝∠BEO，∴OE垂直平分BD.又∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BD.∴AD∥OE，即OE∥AC.又∵O为AB的中点，∴OE为△ABC的中位线，∴EB＝EC，∴EB＝EC＝ED.(2)在△DEC中，∵ED＝EC，∴∠C＝∠CDE，∴∠DEC＝180°－2∠C.①当∠DEC>∠C时，有180°－2∠C>∠C，即0°<∠C<60°，在线段DC上存在点F满足BC2＝4DF·DC.在△DEC中，过点E作∠DEF＝∠C，EF交CD于点F，则点F即为所求(作图略)．证明如下：在△DCE和△DEF中，∵∠CDE＝∠EDF，∠C＝∠DEF，∴△DCE∽△DEF，∴＝，∴DE2＝DF·DC，即＝DF·DC，∴BC2＝4DF·DC.②当∠DEC＝∠C时，△DEC为等边三角形，即∠DEC＝∠C＝60°.此时，点C即为满足条件的点F，∴DF＝DC＝DE，仍有BC2＝4DE2＝4DF·DC.③当∠DEC<∠C时，有180°－2∠C<∠C，即60°<∠C<90°，所作的∠DEF>∠DEC，此时点F在DC的延长线上，故此时线段DC上不存在满足条件的点F.全程跟踪训练23 与圆有关的位置关系一、选择题(第1题)1．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点C.若∠AOB＝120°，则大圆半径R与小圆半径r之间满足(C)A．R＝r B．R＝3rC．R＝2r D．R＝2 r【解析】连结OC，得OC⊥AB.由OA＝OB，∠AOB＝120°，得∠B ＝30°，∴OB＝2OC，即R＝2r.2．已知⊙O的面积为9π cm2，若点O到直线l的距离为π cm，则直线l与⊙O的位置关系是(C)A．相交 B．相切C．相离 D．无法确定【解析】∵S⊙O＝πr2＝9π，∴r＝3.∵d＝π>3，∴直线l与⊙O相离．(第3题)3．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y＝x－与⊙O的位置关系是(B)A．相离B．相切C．相交D．以上三种情况都有可能【解析】∵点O到直线y＝x－的距离d＝1＝半径，∴该直线与⊙O相切．(第4题)4．如图，直线y＝x＋与x轴，y轴分别交于A，B两点，圆心P 的坐标为(1，0)，⊙P与y轴相切于点O.若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是(B)A．2 B．3C．4 D．5【解析】易知t an∠BAP＝，∴∠BAP＝30°，∴当⊙P与直线AB 相切时，AP＝2.∴当P为(－1，0)或(－5，0)时，⊙P与AB相切，∴当P为(－2，0)或(－3，0)或(－4，0)时，⊙P与直线AB相交．(第5题)5．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是(C)A．点(0，3) B．点(2，3)C．点(5，1) D．点(6，1)【解析】找出圆心为O′(2，0)，过点B作O′B的垂线即可发现该垂线过点(5，1)．(第6题)6．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，D是⊙O上一点，连结PD.已知PC＝PD＝BC，有下列结论：①PD与⊙O相切；②四边形PCBD是菱形；③OP＝AB；④∠PDB＝120°.其中正确的个数是(A)A．4 B．3C．2 D．1【解析】①连结CO，DO，如解图．∵PC与⊙O相切，切点为C，∴∠PCO＝90°，在△PCO和△PDO中，∵∴△PCO≌△PDO(SSS)，∴∠PDO＝∠PCO＝90°，∴PD与⊙O相切，故此结论正确．(第6题解)②由①可得∠CPB＝∠DPB，在△CPB和△DPB中，∵∴△CPB≌△DPB(SAS)，∴BC＝BD，∴PC＝PD＝BC＝BD，∴四边形PCBD是菱形，故此结论正确．③连结AC，如解图．∵PC＝CB，∴∠CPB＝∠CBP.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.在△PCO和△BCA中，∵∴△PCO≌△BCA(ASA)，∴OP＝AB，故此结论正确．④∵△PCO≌△BCA，∴CO＝CA＝AO，∴△OAC是等边三角形，∴∠COP＝60°，∴∠OCB＝30°，∴∠PCB＝90°＋∠OCB＝120°.∵四边形PCBD是菱形，∴∠PDB＝120°，故此结论正确．故选A.二、填空题7．已知⊙A的半径为5，圆心A(3，4)，则坐标原点O与⊙A的位置关系是点O在⊙A上．【解析】∵点A的坐标为(3，4)，∴OA＝＝5.∵⊙A的半径为5，∴点O在⊙A上．(第8题)8．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，过点C的切线交PA，PB于D，E两点，PA＝8 cm，则△PDE的周长为__16__cm.【解析】∵PA，PB切⊙O于A，B两点，DE切⊙O于点C，∴PB＝PA＝8，CD＝AD，CE＝BE，∴△PDE的周长＝PD＋PE＋DE＝PD＋PE＋CD＋CE＝PD＋DA＋PE＋BE ＝2PA＝16(cm)．(第9题)9．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝40°，则∠BAC＝20°．【解析】连结OB，易得∠PAO＝∠PBO＝90°，∴∠AOB＝180°－∠P＝180°－40°＝140°.∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO＝＝20°.(第10题)10．如图，直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，E，F为圆上的两点，且∠CDE＝∠ADF.若⊙O的半径为，CD＝4，则弦EF的长为2．【解析】如解图，连结AO并延长交CD于点H，连结OC.(第10题解)∵直线AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB.∵弦CD∥AB，∴AH⊥CD，∴CH＝CD＝×4＝2.∵OA＝OC＝，∴OH＝＝＝，∴AH＝OA＋OH＝＋＝4，∴AC＝＝＝2.∵∠CDE＝∠ADF，∴＝，∴＋＝＋，即＝，∴EF＝AC＝2.三、解答题(第11题)11．如图，已知AB＝AC，∠BAC＝120°，在BC上取一点O，以O 为圆心，OB长为半径作⊙O，且⊙O过点A，过点A作AD∥BC交⊙O于点D.求证：(1)AC是⊙O的切线．(2)四边形BOAD是菱形．【解析】(1)∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠C＝30°.∵OB＝OA，∴∠BAO＝∠ABC＝30°，∴∠CAO＝∠BAC－∠BAO＝120°－30°＝90°，∴OA⊥AC.∵OA为⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线．(2)连结OD.∵AD∥BC，∴∠DAB＝∠ABC＝30°，∴∠DAO＝60°.又∵OA＝OD，∴△OAD为等边三角形，∴AD＝OA＝OB.又∵AD∥BC，∴四边形BOAD为平行四边形．∵OA＝OB，∴▱BOAD是菱形．(第12题)12．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠A.(1)求∠D的度数．(2)若CD＝2，求BD的长．【解析】(1)连结OC.∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠COD＝∠A＋∠ACO＝2∠A.∵∠D＝2∠A，∴∠D＝∠COD.∵PD切⊙O于点C，∴∠OCD＝90°，∴∠D＝∠COD＝45°.(2)∵∠D＝∠COD，CD＝2，∴OB＝OC＝CD＝2.在Rt△OCD中，由勾股定理，得OD2＝OC2＋CD2，即(2＋BD)2＝22＋22，解得BD＝2－2或BD＝－2－2(舍去)．∴BD＝2－2.(第13题)13．如图，△ABC内接于⊙O，CA＝CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D.(1)判断CD与⊙O的位置关系并说明理由．(2)若∠ACB＝120°，OA＝2，求CD的长．【解析】(1)CD与⊙O的位置关系是相切．理由如下：作直径CE，连结AE.∵CE是直径，∴∠EAC＝90°，∴∠E＋∠ACE＝90°.∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB.∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB.∴∠B＝∠ACD.∵∠B＝∠E，∴∠ACD＝∠E，∴∠ACE＋∠ACD＝90°，即∠DCO＝90°，∴OC⊥CD，∴CD与⊙O相切．(2)∵CD∥AB，OC⊥CD，∴OC⊥AB，又∵∠ACB＝120°，∴∠OCA＝∠OCB＝60°.∵OA＝OC，∴△OAC是等边三角形，∴∠DOC＝60°，∴在Rt△DCO中，tan∠DOC＝＝＝，∴CD＝2.14．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E.(1)求证：EB＝EC＝ED.(2)在线段DC上是否存在一点F，满足BC2＝4DF·DC？若存在，作出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由．(第14题)【解析】(1)连结OD，BD.∵ED，EB是⊙O的切线，∴ED＝EB，∠EDO＝∠EBO＝90°.又∵OD＝OB，∴△ODE≌△OBE(SAS)，∴∠DEO＝∠BEO，∴OE垂直平分BD.又∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BD.∴AD∥OE，即OE∥AC.又∵O为AB的中点，∴OE为△ABC的中位线，∴EB＝EC，∴EB＝EC＝ED.(2)在△DEC中，∵ED＝EC，∴∠C＝∠CDE，∴∠DEC＝180°－2∠C.①当∠DEC>∠C时，有180°－2∠C>∠C，即0°<∠C<60°，在线段DC上存在点F满足BC2＝4DF·DC.在△DEC中，过点E作∠DEF＝∠C，EF交CD于点F，则点F即为所求(作图略)．证明如下：在△DCE和△DEF中，∵∠CDE＝∠EDF，∠C＝∠DEF，∴△DCE∽△DEF，∴＝，∴DE2＝DF·DC，即＝DF·DC，∴BC2＝4DF·DC.②当∠DEC＝∠C时，△DEC为等边三角形，即∠DEC＝∠C＝60°.此时，点C即为满足条件的点F，∴DF＝DC＝DE，仍有BC2＝4DE2＝4DF·DC.③当∠DEC<∠C时，有180°－2∠C<∠C，即60°<∠C<90°，所作的∠DEF>∠DEC，此时点F在DC的延长线上，故此时线段DC上不存在满足条件的点F.。

【数学课件】2017年中考数学6.2与圆有关的位置关系课件和真题演练

∴∠BAC＝90°，
∵∠C＝70°， ∴∠B＝20°，
∴∠AOD＝2∠B＝2×20°＝40°.
练习 (2016邵阳)如图所示，AB是⊙O的直径，点 C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD，若∠ACD＝30°，则 ∠DBA的大小是( D ) A. 15° C. 60° B. 30° D. 75°
定理经过半径外端并且⑦ 如图，OA是半径，l与垂直于这条半径的 ⊙O交于A点，若OA⊥l， ______ 直线是圆的切线则l是⊙O的切线
判定
其他 1.和圆只有⑧____ 一个公方法共点的直线是圆的切线 2.如果圆心到一条直线的距离等于圆的 ⑨ 半径，那么这条直线是圆的切线
1.如图，l与⊙O有且仅有一个交点A，则l是⊙O的切线 2.如图，已知OA⊥l，且 OA=r，则l是⊙O的切线
点在圆外
（设圆的半径为r，图上任一点到圆心的距离为d）
（设圆的半径为r，图上任一点到圆心的距离为d）直线与圆的位置关系位置关系 d与r的关系公共点的个数相离 d④ ＞r 没有交点相切 d⑤ ＝r 有且只有一个交点相交 d⑥ ＜ r 有两个交点
示意图
叙述
表现形式
叙述切线的性质
表示形式 1.如图，直线l是切线，A是切点，则 OA⊥l，
1.性质定理：圆的切线
⑩ 垂直于过切点的半径 2.圆心到切线的距离等于圆的⑪ 半径
2.如图，l是切线，
则OA=r
叙述
表示形式如图，PA和PB是 ⊙O的切线，则有 PA=PB，∠APO =⑫∠BPO =
切线长定理
【解析】如解图，连接OD， ∵CA，CD是⊙O的切线， ∴OA⊥AC，OD⊥CD， ∴∠OAC＝∠ODC＝90°， ∵∠ACD＝30°， ∴∠AOD＝360°－∠C－∠OAC －∠ODC＝150°， 1 ∴∠DBA＝ ∠AOD＝75°. 2

中考数学热身与圆有关的位置关系(含解析)(2021年整理)

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与圆有关的位置关系一、选择题1．⊙O的半径为5,圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定2．如图，国际奥委会会旗上的图案是由五个圆环组成,在这个图案中反映出的两圆位置关系有( ）A．内切、相交B．外离、相交C．外切、外离D．外离、内切3．两圆半径分别为3和4，圆心距为7,则这两个圆（）A．外切B．相交C．相离D．内切4．如图,从圆O外一点P引圆O的两条切线PA,PB，切点分别为A,B．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是（）A．4 B．8 C．D．5．如图,P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A,且OP=5，PA=4，则sin∠APO等于（)A．B．C．D．6．如图，⊙O1,⊙O2，⊙O3两两相外切，⊙O1的半径r1=1，⊙O2的半径r2=2，⊙O3的半径r3=3，则△O1O2O3是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形或钝角三角形二、填空题7．已知⊙O的半径是3，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与⊙O的位置关系是．8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径R=2，sinB=，则弦AC的长为．9．已知，⊙O1的半径为5，⊙O2的半径为9，且⊙O1与⊙O2相切，则这两圆的圆心距为．三、解答题10．如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A,C，点D在⊙O上，连接AD，BD，∠A=∠B=30度．BD 是⊙O的切线吗？请说明理由．11．如图所示，⊙O的直径AB=4,点P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC．(1)若∠CPA=30°，求PC的长；(2）若点P在AB的延长线上运动,∠CPA的平分线交AC于点M，你认为∠CMP的大小是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化,求出∠CMP的大小．12．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：AB=AC;（2）求证：DE为⊙O的切线；(3）若⊙O的半径为5,∠BAC=60°，求DE的长．13．如图所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点E,点D是BC 边的中点，连接DE．（1）求证：DE与⊙O相切；（2)若⊙O的半径为，DE=3，求AE．14．如图，点A，B在直线MN上，AB=11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动,与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r=1+t（t≥0）．（1）试写出点A、B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式；（2)问点A出发后多少秒两圆相切?与圆有关的位置关系参考答案与试题解析一、选择题1．⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】根据直线和园的位置关系可知，圆的半径小于直线到圆距离,则直线l与O的位置关系是相离．【解答】解：∵⊙O的半径为5，圆心O到直线的距离为3,∴直线l与O的位置关系是相交．故选A．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系,直接根据直线和圆的位置关系解答即可．2．如图，国际奥委会会旗上的图案是由五个圆环组成，在这个图案中反映出的两圆位置关系有（）A．内切、相交B．外离、相交C．外切、外离D．外离、内切【考点】圆与圆的位置关系．【专题】压轴题．【分析】根据圆与圆关系的定义，两个圆与圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时叫做这两个圆外离；两个圆有两个公共点时叫做这两个圆相交．所以在这个图案中反映出的两圆位置关系有外离和相交．【解答】解：在这个图案中反映出的两圆位置关系有两种:外离和相交．故选：B．【点评】本题可直接由图案得出圆与圆的位置关系，比较容易．3．两圆半径分别为3和4，圆心距为7,则这两个圆（）A．外切B．相交C．相离D．内切【考点】圆与圆的位置关系．【专题】常规题型．【分析】根据圆心距和圆的半径之间的数量关系，可以判断出两圆的位置关系．设两圆的半径分别为R和r,且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切,则d=R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切,则d=R﹣r;内含，则d＜R﹣r．【解答】解：∵两圆的半径分别为3cm和4cm，且两圆的圆心距为7cm,3+4=7，由于两圆外切时，圆心距等于两圆半径的和，∴两圆外切．故选A．【点评】本题主要考查了两圆的位置关系和数量之间的等价关系：两圆外切，则圆心距等于两圆半径之和．4．如图,从圆O外一点P引圆O的两条切线PA,PB，切点分别为A，B．如果∠APB=60°，PA=8,那么弦AB的长是（）A．4 B．8 C．D．【考点】切线长定理；等边三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】根据切线长定理知PA=PB，而∠P=60°，所以△PAB是等边三角形，由此求得弦AB的长．【解答】解：∵PA、PB都是⊙O的切线，∴PA=PB,又∵∠P=60°,∴△PAB是等边三角形，即AB=PA=8，故选B．【点评】此题主要考查的是切线长定理以及等边三角形的判定．5．如图,P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A,且OP=5，PA=4，则sin∠APO等于（）A．B．C．D．【考点】切线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．【分析】连接OA，由勾股定理得OA=3，从而得sin∠APO=．【解答】解：连接OA，由切线性质知，∠PAO=90°．在Rt△PAO中，OP=5,PA=4，由勾股定理得OA=3．∴sin∠APO=．故选B．【点评】本题可以考查锐角三角函数的定义：在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．6．如图，⊙O1,⊙O2,⊙O3两两相外切，⊙O1的半径r1=1，⊙O2的半径r2=2，⊙O3的半径r3=3，则△O1O2O3是（)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形或钝角三角形【考点】相切两圆的性质；勾股定理的逆定理．【分析】利用勾股定理来计算．【解答】解：设半径为1与半径为2的圆心距为a=1+2=3,半径为1与半径为3的圆心距为b=1+3=4,半径为3与半径为2的圆心距为c=2+3=5;∵32+42=52，∴a2+b2=c2，即三个圆的圆心用线连接成三角形是直角三角形．故选B．【点评】本题利用了勾股定理的逆定理求解．二、填空题7．已知⊙O的半径是3，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与⊙O的位置关系是相切．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】应用题；压轴题．【分析】圆心到直线的距离大于圆心距，直线与圆相离;小于圆心距，直线与圆相交；等于圆心距，直线与圆相切．【解答】解：∵圆心到直线的距离=圆的半径,∴直线与圆的位置关系为相切．【点评】此题考查的是圆与直线的位置关系．8．如图,⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径R=2,sinB=，则弦AC的长为 3 ．【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．【专题】综合题；压轴题．【分析】连接AO并延长至⊙O于点D，根据直径所对的圆周角为直角，则△ACD为直角三角形；又根据同弧所对的圆周角相等，所以∠B=∠D,则sinD=sinB==；因为AD=2R=4，所以AC=3．【解答】解：连接AO并延长至⊙O于点D，则△ACD为直角三角形,∵∠B=∠D，∴sinD=sinB==，∵AD=2R=4，∴AC=3．【点评】本题重点考查了同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角及解直角三角形的知识，本题是一道较难的题目．9．已知，⊙O1的半径为5，⊙O2的半径为9，且⊙O1与⊙O2相切,则这两圆的圆心距为4或14 ．【考点】圆与圆的位置关系．【专题】压轴题．【分析】两圆相切时,有两种情况：内切和外切，根据两种情况下圆心距与两圆半径的数量关系求解．【解答】解:当外切时，圆心距=9+5=14；当内切时,圆心距=9﹣5=4．故填4或14．【点评】本题考查了两圆相切时，两圆的半径与圆心距的关系，注意有两种情况．三、解答题10．如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，点D在⊙O上，连接AD，BD，∠A=∠B=30度．BD是⊙O的切线吗？请说明理由．【考点】切线的判定；圆周角定理．【专题】压轴题；探究型．【分析】可以先猜想BD是⊙O的切线，根据切线的判定进行分析，得到OD是圆的半径,且OD⊥BD，从而可得到结论．【解答】解：BD是⊙O的切线．(2分）连接OD；∵OA=OD，∴∠ADO=∠A=30°，（4分）∵∠A=∠B=30°,∴∠BDA=180°﹣（∠A+∠B）=120°，（7分）∴∠BDO=∠BDA﹣∠ADO=90°，即OD⊥BD，∴BD是⊙O的切线．(9分）理由1:连接OD，∵OA=OD，∴∠ADO=∠A=30°,（4分)∵∠A=∠B=30°，∴∠BDA=180°﹣(∠A+∠B）=120,(7分)∴∠BDO=∠BDA﹣∠ADO=90°，即OD⊥BD．∴BD是⊙O的切线．（9分）理由2：连接OD,∵OA=OD，∴∠ADO=∠A=30°，（4分）∴∠BOD=∠ADO+A=60°，（7分)∵∠B=30°，∴∠BDO=180°﹣（∠BOD+∠B）=90°，即OD⊥BD,∴BD是⊙O的切线．（9分）理由3：连接OD，∵OA=OD，∴∠ADO=∠A=30°,（4分）在BD的延长线上取一点E，∵∠A=∠B=30°，∴∠ADE=∠A+∠B=60°，（7分）∴∠EDO=∠ADO+∠ADE=90°，即OD⊥BD ∴BD是⊙O的切线．(9分）理由4：连接OD，∵OA=OD，∴∠ADO=∠A=30°，（4分）连接CD，则∠ADC=90°，（5分）∴∠ODC=∠ADC﹣∠ADO=60°，（6分）∵OD=OC，∴∠OCD=60°,∵∠B=30°，∴∠BDC=∠OCD﹣∠B=30°，（7分）∴∠ODB=∠ODC+∠BDC=90°，即OD⊥BD，∴BD是⊙O的切线．（9分)【点评】本题考查切线的判定方法及圆周角定理的综合运用．11．如图所示，⊙O的直径AB=4，点P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C,连接AC．（1）若∠CPA=30°,求PC的长;（2）若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，你认为∠CMP的大小是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP的大小．【考点】解直角三角形；切线的性质．【专题】综合题．【分析】（1）作辅助线,连接OC,根据切线的性质知：OC⊥PC,由∠CPO的值和OC的长，可将PC的长求出;（2）通过角之间的转化，可知：∠CMP=(∠COP+∠CPO）,故∠CMP的值不发生变化．【解答】解：（1）连接OC，∵AB=4，∴OC=2∵PC为⊙O的切线，∠CPO=30°∴PC=;（2）∠CMP的大小没有变化．理由如下：∵∠CMP=∠A+∠MPA（三角形外角定理)，∠A=∠COP（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∠MPA=∠CPO（角平分线的性质），∴∠CMP=∠A+∠MPA=∠COP+∠CPO=（∠COP+∠CPO)=×90°=45°．【点评】本题主要考查切线的性质及对直角三角形性质的运用．12．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1)求证:AB=AC；(2）求证：DE为⊙O的切线；（3）若⊙O的半径为5,∠BAC=60°，求DE的长．【考点】切线的判定；圆周角定理．【专题】计算题；证明题．【分析】(1）根据垂直平分线的判断方法与性质易得AD是BC的垂直平分线，故可得AB=AC；（2）连接OD，由平行线的性质,易得OD⊥DE，且DE过圆周上一点D故DE为⊙O的切线; (3）由AB=AC，∠BAC=60°知△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质，可得AB=BC=10,CD=BC=5；又∠C=60°，借助三角函数的定义，可得答案．【解答】(1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°；∵BD=CD,∴AD是BC的垂直平分线．∴AB=AC．（2）证明:连接OD，∵点O、D分别是AB、BC的中点,∴OD∥AC．∵DE⊥AC,∴OD⊥DE．∴DE为⊙O的切线．（6分)（3）解:由AB=AC，∠BAC=60°知△ABC是等边三角形，∵⊙O的半径为5，∴AB=BC=10，CD=BC=5．∵∠C=60°，∴DE=CD•sin60°=．(9分）【点评】本题考查切线的判定，线段相等的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．13．如图所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接DE．（1）求证:DE与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为,DE=3，求AE．【考点】切线的判定；勾股定理．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）根据切线的判定定理只需证明OE⊥DE即可；（2）根据（1）中的证明过程，会发现BC=2DE，根据勾股定理求得AC的长，进一步求得直角三角形斜边上的高BE,最后根据勾股定理求得AE的长．【解答】解:（1）证明:连接OE,BE,∵AB是直径．∴BE⊥AC．∵D是BC的中点,∴DC=DB．∴∠DBE=∠DEB．又OE=OB,∴∠OBE=∠OEB．∴∠DBE+∠OBE=∠DEB+∠OEB．即∠ABD=∠OED．但∠ABC=90°，∴∠OED=90°．∴DE是⊙O的切线．(2）法1：∵∠ABC=90°，AB=2，BC=2DE=6，∴AC=4．∴BE=3．∴AE=;法2：∵（8分）∴（10分）∴．(12分）【点评】此题主要考查切线的判定及勾股定理等知识点的综合运用．14．如图,点A，B在直线MN上，AB=11厘米,⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大,其半径r（厘米)与时间t(秒)之间的关系式为r=1+t(t≥0)．（1)试写出点A、B之间的距离d(厘米）与时间t（秒)之间的函数表达式；(2）问点A出发后多少秒两圆相切？【考点】圆与圆的位置关系．【专题】压轴题；动点型．【分析】（1）因为⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，所以此题要分两种情况讨论：当点A在点B的左侧时,圆心距等于11减去点A所走的路程；当点A在点B的右侧时，圆心距等于点A走的路程减去11；(2）根据两圆相切时，两圆的半径与圆心距的关系，注意有4种情况．【解答】解：（1）当0≤t≤5.5时点A在点B的左侧，此时函数表达式为d=11﹣2t,当t＞5。

中考数学一轮复习讲义第40讲与圆有关的位置关系

中考数学一轮复习讲义考点四十：与圆有关的位置关系聚焦考点☆温习理解一、点和圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d<r⇔点P在⊙O内；d=r⇔点P在⊙O上；d>r⇔点P在⊙O外。

（2）、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

如右图中，OD垂直于切线。

切线长定理：（1）、切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

（2）、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

（3）、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补。

(4)、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

如图圆O是△A＇B＇C＇的内切圆。

三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。

三、圆和圆的位置关系1、圆和圆的位置关系如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。

如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。

如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。

2、圆心距两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。

3、圆和圆位置关系的性质与判定设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么两圆外离⇔d>R+r两圆外切⇔d=R+r两圆相交⇔R-r<d<R+r （R≥r ）两圆内切⇔d=R-r （R>r ）两圆内含⇔d<R-r （R>r ）4、两圆相切、相交的重要性质如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

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备战2017中考系列：数学2年中考1年模拟第四篇图形的性质☞解读考点☞考点归纳归纳1：点和圆的位置关系基础知识归纳：设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d＜r点P在⊙O内；d=r点P在⊙O上；d＞r点P在⊙O外．基本方法归纳：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．注意问题归纳：符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．【例1】（2016上海市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（）A．1＜r＜4B．2＜r＜4C．1＜r＜8D．2＜r＜8【答案】B．【分析】连接AD，根据勾股定理得到AD=5，根据圆与圆的位置关系得到r＞5﹣3=2，由点B在⊙D外，于是得到r＜4，即可得到结论．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内．考点：1．圆与圆的位置关系；2．点与圆的位置关系．归纳2：直线与圆的位置关系基础知识归纳：直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：直线l与⊙O相交d＜r；直线l与⊙O相切d=r；直线l与⊙O相离d＞r；注意问题归纳：直线与圆的位置关系，解题的关键是了解直线与圆的位置关系与d与r的数量关系．【例2】（2016广西梧州市）已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．无法确定【答案】C．【分析】由直线和圆的位置关系：r＞d，可知：直线和圆相交．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，判断的依据是半径和直线到圆心的距离的大小关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，①直线l和⊙O相交⇔d＜r；②直线l 和⊙O相切⇔d=r；③直线l和⊙O相离⇔d＞r．考点：直线与圆的位置关系．【例3】（2016内蒙古巴彦淖尔市）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC 于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：A C是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：C D=HF；（3）若CD=1，EH=3，求BF及AF长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BF =10，AF =54．【分析】（1）连接OE ，由于BE 是角平分线，则有∠CBE =∠OBE ；而OB =OE ，就有∠OBE =∠OEB ，等量代换有∠OEB =∠CBE ，那么利用内错角相等，两直线平行，可得OE ∥BC ；又∠C =90°，所以∠AEO =90°，即AC 是⊙O 的切线；（2）连结DE ，先根据AAS 证明△CDE ≌△HFE ，再由全等三角形的对应边相等即可得出CD =HF ．（3）先证得△EHF ∽△BEF ，根据相似三角形的性质求得BF =10，进而根据直角三角形斜边中线的性质求得OE =5，进一步求得OH ，然后解直角三角形即可求得OA ，得出AF ．（3）由（2）得CD =HF ，又CD =1，∴HF =1，在Rt △HFE 中，EF EF ⊥BE ，∴∠BEF =90°，∴∠EHF =∠BEF =90°，∵∠EFH =∠BFE ，∴△EHF ∽△BEF ，∴EF HFBF EF =，即BF =，∴BF =10，∴OE =12BF =5，OH =5﹣1=4，∴Rt △OHE 中，cos ∠EOA =45，∴Rt △EOA 中，cos ∠EOA =OE OA =45，∴5OA =45，∴OA =254，∴AF =254﹣5=54．【点评】本题主要考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，三角形相似的判定和性质以及解直角三角形等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．考点：1．切线的判定；2．三角形的外接圆与外心；3．相似三角形的判定与性质．归纳 3：圆和圆的位置关系基础知识归纳：如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种．如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种．如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交．基本方法归纳：设两圆的半径分别为R 和r ，圆心距为d ，那么两圆外离 d ＞R +r 两圆外切 d =R +r两圆相交 R -r ＜d ＜R +r （R ≥r ）两圆内切 d =R -r （R ＞r ）两圆内含 d ＜R -r （R ＞r ）【例3】（2016四川省凉山州）已知，一元二次方程28150x x -+=的两根分别是⊙O 1和⊙O 2的半径，当⊙O 1和⊙O 2相切时，O 1O 2的长度是（）A ．2B ．8C ．2或8D ．2＜O 2O 2＜8 【答案】C ．【分析】先解方程求出⊙O 1、⊙O 2的半径，再分两圆外切和两圆内切两种情况讨论求解．【点评】考查解一元二次方程﹣因式分解法和圆与圆的位置关系，同时考查综合应用能力及推理能力．注意：两圆相切，应考虑内切或外切两种情况是解本题的难点．考点：1．圆与圆的位置关系；2．根与系数的关系；3．分类讨论． ☞2年中考【2016年题组】一、选择题1．（2016江苏省连云港市）如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内，则r 的取值范围为（）A ．1722<<rB ．2317<<rC ．517<<rD ．295<<r【答案】B ．【解析】考点：点与圆的位置关系．2．（2016吉林省长春市）如图，P A、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA=2，∠P=60°，则 AB的长为（）A．23πB．πC．43πD．53π【答案】C．【解析】试题分析：∵P A、PB是⊙O的切线，∴∠OBP=∠OAP=90°，在四边形APBO中，∠P=60°，∴∠AOB=120°，∵OA=2，∴ AB的长l 43π，故选C．考点：1．弧长的计算；2．切线的性质．3．（2016山东省德州市）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”（）A．3步B．5步C．6步D．8步【答案】C．【解析】考点：三角形的内切圆与内心．4．（2016江苏省无锡市）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C=70°，则∠AOD的度数为（）A．70°B．35°C．20°D．40°【答案】D．【解析】试题分析：∵AC是圆O的切线，AB是圆O的直径，∴AB⊥AC，∴∠CAB=90°．又∵∠C=70°，∴∠CBA=20°，∴∠DOA=40°．故选D．考点：1．切线的性质；2．圆周角定理．5．（2016河北省）如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是（）A．△ACD的外心B．△ABC的外心C．△ACD的内心D．△ABC的内心【答案】A．【解析】试题分析：由图中可得：OA=OD=OB=OC O在△ACD的外心上，故选A．考点：1．三角形的内切圆与内心；2．三角形的外接圆与外心．6．（2016贵州省贵阳市）小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】考点：1．三角形的外接圆与外心；2．等边三角形的性质．7．（2016湖北省襄阳市）如图，I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BI、BD、DC．下列说法中错误的一项是（）A．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合B．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合C．∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合D．线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合【答案】D．【解析】考点：1．三角形的内切圆与内心；2．三角形的外接圆与外心；3．旋转的性质．8．（2016湖南省湘西州）在RT△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定【答案】A．【解析】试题分析：过C作CD⊥AB于D，如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C=90，AC=4，BC=3，∴AB==5，∵△ABC的面积=12AC×BC=12AB×CD，∴3×4=5CD，∴CD=2.4＜2.5，即d＜r，∴以2.5为半径的⊙C与直线AB的关系是相交；故选A．考点：直线与圆的位置关系．9．（2016福建省泉州市）如图，AB和⊙O相切于点B，∠AOB=60°，则∠A的大小为（）A．15°B．30°C．45°D．60°【答案】B．考点：切线的性质．10．（2016上海市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（）A．1＜r＜4B．2＜r＜4C．1＜r＜8D．2＜r＜8【答案】B．【解析】试题分析：连接AD，∵AC=4，CD=3，∠C=90°，∴AD=5，∵⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A 相交，∴r＞5﹣3=2，∵BC=7，∴BD=4，∵点B在⊙D外，∴r＜4，∴⊙D的半径长r的取值范围是2＜r＜4，故选B．考点：1．圆与圆的位置关系；2．点与圆的位置关系．二、填空题11．（2016内蒙古包头市）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则BP的长为．【解析】考点：切线的性质．12．（2016内蒙古呼和浩特市）在周长为26π的⊙O中，CD是⊙O的一条弦，AB是⊙O的切线，且AB∥CD，若AB和CD之间的距离为18，则弦CD的长为．【答案】24．【解析】考点：切线的性质．13．（2016内蒙古赤峰市）如图，两同心圆的大圆半径长为5cm，小圆半径长为3cm，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，则弦AB的长是．【答案】8cm．【解析】试题分析：∵AB是⊙O切线，∴OC⊥AB，∴AC=BC，在Rt△BOC中，∵∠BCO=90°，OB=5，OC=3，∴BC（cm），∴AB=2BC=8cm．故答案为：8cm．考点：切线的性质．14．（2016四川省成都市）如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC=24，AH=18，⊙O的半径OC=13，则AB= ．【答案】392．【解析】考点：三角形的外接圆与外心．15．（2016四川省攀枝花市）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为．【答案】67．【解析】试题分析：过点0作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．∵AB、BC是⊙O的切线，∴点E、F是切点，∴OE、OF是⊙O的半径；∴OE=OF；在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，∴由勾股定理，得BC=4；又∵D是BC边的中点，∴S△ABD=S△ACD，又∵S△ABD=S△ABO+S△BOD，∴12AB•OE+12BD•OF=12CD•AC，即5×OE+2×0E=2×3，解得OE=67，∴⊙O的半径是67．故答案为：67．考点：切线的性质．16．（2016广东省广州市）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，AB=OP=6，则劣弧AB的长为．【答案】8π．【解析】考点：1．切线的性质；2．弧长的计算．17．（2016江苏省徐州市）如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ABC=70°，∠ACB=40°，则∠BOC= °．【答案】125．【解析】试题分析：∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC=35°，∠OCB=12∠ACB=20°，∴∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=180°﹣35°﹣20°=125°．故答案为：125．考点：1．三角形的内切圆与内心；2．圆周角定理．18．（2016江苏省扬州市）如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD=4，∠ABC=∠DAC，则AC长为．【答案】【解析】考点：1．三角形的外接圆与外心；2．圆周角定理．19．（2016湖北省咸宁市）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD、BE、CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的度数为．【答案】122°．【解析】试题分析：在⊙O中，∵∠CBD=32°，∵∠CAD=32°，∵点E是△ABC的内心，∴∠BAC=64°，∴∠EBC+∠ECB=（180°﹣64°）÷2=58°，∴∠BEC=180°﹣58°=122°．故答案为：122°．考点：1．三角形的内切圆与内心；2．圆周角定理．20．（2016湖南省益阳市）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过C点的切线与AB的延长线交于P点，若∠P=40°，则∠D的度数为．【答案】115°．【解析】考点：1．切线的性质；2．圆周角定理；3．圆内接四边形的性质；4．推理填空题．21．（2016黑龙江省哈尔滨市）如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC、BE．若AE=6，OA=5，则线段DC的长为．【答案】4．【解析】考点：切线的性质．22．（2016贵州省黔西南州）已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为m 、n ，且m 、n 满足2(2)0n -=，圆心距O 1O 2=52，则两圆的位置关系为．【答案】相交．【解析】试题分析：∵⊙O 1和⊙O 2的半径分别为m 、n ，且m 、n 2(2)0n -=，∴m ﹣1=0，n ﹣2=0，解得：m =1，n =2，∴m +n =3，∵圆心距O 1O 2=52，∴两圆的位置关系为：相交．故答案为：相交．考点：1．圆与圆的位置关系；2．非负数的性质：偶次方；3．非负数的性质：算术平方根．三、解答题23．（2016四川省自贡市）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 为直径，弦BD =BA ，BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ，求证：（1）∠1=∠BAD ；（2）BE是⊙O的切线．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】考点：切线的判定．24．（2016四川省资阳市）如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O 的切线，切点为D，连结BD．（1）求证：∠A=∠BDC；（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM=1时，求MN的长．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】考点：切线的性质．25．（2016四川省雅安市）如图1，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上一点，EC切⊙O于点C，OP⊥AO交AC于点P，交EC的延长线于点D．（1）求证：△PCD是等腰三角形；（2）CG⊥AB于H点，交⊙O于G点，过B点作BF∥EC，交⊙O于点F，交CG于Q点，连接AF，如图2，若sinE=35，CQ=5，求AF的值．【答案】（1）证明见解析；（2）12．【解析】考点：1．切线的性质；2．垂径定理．26．（2016山东省东营市）如图，在△ABC中，以BC为直径的圆交AC于点D，∠ABD=∠ACB．（1）求证：A B是圆的切线；（2）若点E是BC上一点，已知BE=4，tan∠AEB=53，AB：B C=2：3，求圆的直径．【答案】（1）证明见解析；（2）10．【解析】考点：切线的判定．27．（2016山东省枣庄市）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为BC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】试题分析：（1）连接OB，由圆周角定理得出∠ABC=90°，得出∠C+∠BAC=90°，再由OA=OB，得出∠BAC=∠OBA，证出∠PBA+∠OBA=90°，即可得出结论；考点：切线的判定．28．（2016山西省）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并成为三大数学王子．阿拉伯Al﹣Binmi（973﹣1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC ＞AB，M是 ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB 上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是 ABC的中点，∴MA=MC．…任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图3，已知等边△ABC内接于⊙O，AB=2，D为 AC上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是．【答案】（1）证明见解析；（2）2【解析】考点：1．三角形的外接圆与外心；2．等边三角形的性质；3．阅读型；4．和差倍分．29．（2016广西玉林市崇左市）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA延长线与OC延长线于点E、F，连接BF．（1）求证：B F是⊙O的切线；（2）已知圆的半径为1，求EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】考点：1．切线的判定与性质；2．平行四边形的性质．30．（2016广西南宁市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．（1）求证：A C是⊙O的切线；（2）若OB=10，CD=8，求BE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）12．【解析】（2）解：过O作OG⊥BC，∴四边形ODCG为矩形，∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8，在Rt△OBG中，利用勾股定理得：B G=6，∴BC=BG+GC=6+10=16，∵OD∥BC，∴△AOD∽△ABC，∴OA ODAB BC=，即101016OAOA=+，解得：OA=503，∴AB=503+10=803，连接EF，∵BF为圆的直径，∴∠BEF=90°，∴∠BEF=∠C=90°，∴EF∥AC，∴BE BF BC AB=，即2080163BE=，解得：B E=12．考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质；3．平行线的判定与性质．31．（2016天津市）在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．（1）如图1．过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=27°，求∠P的大小；（2）如图2，D为 AC上一点，且OD经过AC的中点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=10°，求∠P的大小．【答案】（1）36°；（2）30°．【解析】考点：切线的性质．32．（2016四川省乐山市）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若EB=32，且sin∠CFD=35，求⊙O的半径与线段AE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）r=154，AE=6．【解析】（2）在Rt△ODF，sin∠OFD=ODOF=35，设OD=3x，则OF=5x，∴AB=AC=6x，AF=8x，在Rt△AEF中，∵sin∠AFE=AEAF=35，∴AE=385x⨯=245x，∵BE=AB﹣AE=6x﹣245x=65x，∴6352x=，解得x=54，∴AE=24554⨯=6，OD=534⨯=154，即⊙O的半径长为154．考点：1．切线的判定；2．解直角三角形．33．（2016四川省广安市）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心，经过A，C两点且与BC边交于点E，点D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F，若AB=BF．（1）求证：A B 是⊙O 的切线；（2）若CF =4，DF O 的半径r 及sinB ．【答案】（1）证明见解析；（2）r =3，sinB =35．【解析】试题解析：（1）证明：连接OA 、OD ，如图，∵点D 为CE 的下半圆弧的中点，∴OD ⊥BC ，∴∠EOD =90°，∵AB =BF ，OA =OD ，∴∠BAF =∠BF A ，∠OAD =∠D ，而∠BF A =∠OFD ，∴∠OAD +∠BAF =∠D +∠BF A =90°，即∠OAB =90°，∴OA ⊥AB ，∴AB 是⊙O 切线；（2）解：OF =CF ﹣OC =4﹣r ，OD =r ，DF Rt △DOF 中，222OD OF DF +=，即222(4)r r +-=，解得：r =3或r =1（舍去）；∴半径r =3，∴OA =3，OF =CF ﹣OC =4﹣3=1，BO =BF +FO =AB +1．在Rt △AOB 中，222AB OA OB +=，∴2223(1)AB AB +=+，∴AB =4，OB =5，∴sinB =OA OB =35．考点：切线的判定．34．（2016江苏省泰州市）如图，△ABC 中，∠ACB =90°，D 为AB 上一点，以CD 为直径的⊙O 交BC 于点E ，连接AE 交CD 于点P ，交⊙O 于点F ，连接DF ，∠CAE =∠ADF ．（1）判断AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若PF ：PC =1：2，AF =5，求CP 的长．【答案】（1）AB 是⊙O 切线；（2）103．【解析】（2）∵∠CPF =∠CP A ，PCF =∠P AC ，∴△PCF ∽△P AC ，∴PC PF PA PC，∴2PC =PF •P A ，设PF =a ．则PC =2a ，∴24a =a （a +5），∴a =53，∴PC =2a =103．考点：直线与圆的位置关系．35．（2016浙江省丽水市）如图，AB 是以BC 为直径的半圆O 的切线，D 为半圆上一点，AD=AB，AD，BC的延长线相交于点E．（1）求证：A D是半圆O的切线；（2）连结CD，求证：∠A=2∠CDE；（3）若∠CDE=27°，OB=2，求 BD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）75π．【解析】（2）证明：由（1）知，∠ADO=∠ABO=90°，∴∠A=360°﹣∠ADO﹣∠ABO﹣∠BOD=180°﹣∠BOD，∵AD是半圆O的切线，∴∠ODE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，∵BC是⊙O的直径，∴∠ODC+∠BDO=90°，∴∠BDO=∠CDE，∵∠BDO=∠OBD，∴∠DOC=2∠BDO，∴∠DOC=2∠CDE，∴∠A=∠CDE；（3）解：∵∠CDE=27°，∴∠DOC=2∠CDE=54°，∴∠BOD=180°﹣54°=126°，∵OB=2，∴ BD的长=1262180π⨯=75π．考点：1．切线的判定与性质；2．弧长的计算．36．（2016浙江省宁波市）如图，已知⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分线交⊙O 于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：D E是⊙O的切线．（2）求DE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【解析】考点：切线的判定．37．（2016湖北省荆州市）如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，∠F AB =15°，连接OF 交AB 于点E ，过点C 作OF 的平行线交AB 的延长线于点D ，延长AF 交直线CD 于点H ．（1）求证：C D 是半圆O 的切线；（2）若DH =6-，求EF 和半径OA 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）EF =2r =2．【解析】（2）∵BC ∥OA ，∴∠DBC =∠EAO =60°，∴BD =12BC =12AB ，∴AE =13AD ，∵EF ∥DH ，∴△AEF ∽△ADH ，∴EF AE DH AD=，∵DH =6-，∴EF =2，∵OF =OA ，∴OE =OA﹣（2，∵∠AOE =30°，∴OE OA =OA =2．考点：1．切线的判定；2．平行四边形的性质．38．（2016福建省南平市）如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在PB上，OC ∥AP，CD⊥AP于D（1）求证：OC=AD；（2）若∠P=50°，⊙O的半径为4，求四边形AOCD的周长（精确到0.1）【答案】（1）证明见解析；（2）18.4．【解析】考点：切线的性质．39．（2016福建省莆田市）如图，在▱ABCD中，∠BAC=90°，对角线AC，BD相交于点P，以AB为直径的⊙O分别交BC，BD于点E，Q，连接EP并延长交AD于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）求证：2EF=4BP•QP．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】考点：1．切线的判定；2．平行四边形的性质；3．相似三角形的判定与性质．40．（2016贵州省六盘水市）如图，在⊙O中，AB为直径，D．E为圆上两点，C为圆外一点，且∠E+∠C=90°．（1）求证：B C为⊙O的切线．（2）若sinA=35，BC=6，求⊙O的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【解析】考点：1．切线的判定；2．解直角三角形．41．（2016贵州省黔东南州）如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，PC=PE•PO．垂足为E，且2（1）求证：PC是⊙O的切线．（2）若OE：EA=1：2，P A=6，求⊙O的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）3．【解析】PC=PE•PO和公共角可判断△PCE∽△POC，则∠PEC=试题分析：（1）连结OC，如图，由2∠PCO=90°，然后根据切线的判定定理可判断PC是⊙O的切线；（2）设OE=x，则EA=2x，OA=OC=3x，证明△OCE∽△OPC，利用相似比可表示出OP，则可列方程3x+6=9x，然后解出x即可得到⊙O的半径．PC=PE•PO，∴PC：试题解析：（1）证明：连结OC，如图，∵CD⊥AB，∴∠PEC=90°，∵2PO=PE：PC，而∠CPE=∠OPC，∴△PCE∽△POC，∴∠PEC=∠PCO=90°，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；（2）解：设OE=x，则EA=2x，OA=OC=3x，∵∠COE=∠POC，∠OEC=∠OCP，∴△OCE ∽△OPC，∴OC：OP=OE：OC，即3x：OP=x：3x，解得OP=9x，∴3x+6=9x，解得x=1，∴OC=3，即⊙O的半径为3．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．垂径定理；3．切线的判定．42．（2016湖北省荆门市）如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线的一点，AC平分∠F AB交⊙O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为点E．（1）求证：C E是⊙O的切线；（2）若AE=1，CE=2，求⊙O的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）2.5．【解析】考点：1．切线的判定；2．角平分线的性质．43．（2016湖北省襄阳市）如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF、DC．已知OA=OB，CA=CB，DE=10，DF=6．（1）求证：①直线AB是⊙O的切线；②∠FDC=∠EDC；（2）求CD的长．【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）【解析】（2）作ON⊥DF于N，延长DF交AB于M．∵ON⊥DF，∴DN=NF=3，在RT△ODN中，∵∠OND=90°，OD=5，DN=3，∴ON==4，∵∠OCM+∠CMN=180°，∠OCM=90°，∴∠OCM=∠CMN=∠MNO=90°，∴四边形OCMN是矩形，∴ON=CM=4，MN=OC=5，在RT△CDM中，∵∠DMC=90°，CM=4，DM=DN+MN=8，∴CD考点：切线的判定．44．（2016湖北省随州市）如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD⊥OA 交弦AB于点E，连接BD，且DE=DB．（1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CD=15，BE=10，tanA=512，求⊙O的直径．【答案】（1）BD与⊙O相切；（2）965．【解析】试题解析：（1）BD与⊙O相切．证明如下：连接OB，∵OB=OA，DE=DB，∴∠A=∠OBA，∠DEB=∠ABD，又∵CD⊥OA，∴∠A+∠AEC=∠A+∠DEB=90°，∴∠OBA+∠ABD=90°，∴OB⊥BD，∴BD是⊙O的切线；（2）如图，过点D作DG⊥BE于G，∵DE=DB，∴EG=12BE=5，∵∠ACE=∠DGE=90°，∠AEC=∠GED，∴∠GDE=∠A，∴△ACE∽△DGE，∴sin∠EDG=sinA=35EGDE=，即CE=13，在Rt△EDG中，∵DG，∵CD=15，DE=13，∴DE=2，∵△ACE∽△DGE，∴AC CEDG GE=，∴AC=CEGE•DG=245，∴⊙O的直径2OA=4AC=965．考点：1．直线与圆的位置关系；2．垂径定理；3．相似三角形的判定与性质．45．（2016湖北省黄石市）如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），AD⊥CD．（1）若BC=3，AB=5，求AC的值；（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．【答案】（1）4；（2）证明见解析．【解析】考点：切线的判定．46．（2016湖南省常德市）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD=BC，延长AD到E，且有∠EBD=∠CAB．（1）求证：B E是⊙O的切线；（2）若BC AC=5，求圆的直径AD及切线BE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）AD=6，BE．【解析】试题解析：如图，连接OB，∵BD=BC，∴∠CAB=∠BAD，∵∠EBD=∠CAB，∴∠BAD=∠EBD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，OA=BO，∴∠BAD=∠ABO，∴∠EBD=∠ABO，∴∠OBE=∠EBD+∠OBD=∠ABD+∠OBD=∠ABD=90°，∵点B在⊙O上，∴BE是⊙O的切线；（2）如图2，设圆的半径为R，连接CD，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACCD=90°，∵BC=BD，∴OB⊥CD，∴OB∥AC，∵OA=OD，∴OF=12AC=52，∵四边形ACBD是圆内接四边形，∴∠BDE=∠ACB，∵∠DBE=∠ACB，∴△DBE∽△CAB，∴DB DEAC BC==，∴DE=35，∵∠OBE=∠OFD=90°，∴DF∥BE，∴OF ODOB OE=，∴5235RR R=+，∵R＞0，∴R=3，∴直径AD=6．∵BE是⊙O的切线，∴BE5．考点：1．切线的判定；2．三角形的外接圆与外心．47．（2016湖南省张家界市）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且∠BAC=∠CAD．（1）求证：直线MN是⊙O的切线；（2）若CD=3，∠CAD=30°，求⊙O的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】考点：切线的判定．48．（2016湖南省永州市）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE．（1）求证：C E是⊙O的切线；（2）若AC=4，BC=2，求BD和CE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）BD CE 【解析】（2）解：∵∠ACB =90°，∴AB ===，∵tanA =24BD BC AB AC ===12，∴BD =12AB CE =12BD考点：切线的判定与性质．49．（2016湖南省长沙市）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ，DC ，DF ．（1）求∠CDE 的度数；（2）求证：D F 是⊙O 的切线；（3）若AC =，求tan ∠ABD 的值．【答案】（1）90°；（2）证明见解析；（3）2．【解析】（3）如图所示：可得∠ABD =∠ACD ，∵∠E +∠DCE =90°，∠DCA +∠DCE =90°，∴∠DCA =∠E ，又∵∠ADC =∠CDE =90°，∴△CDE ∽△ADC ，∴DC DE AD DC=，∴2DC =AD•DE ，∵AC =DE ，∴设DE =x ，则AC =x ，则22AC AD -=AD •DE ，即22)AD -=ADx ，整理得：22200AD ADx x +-=，解得：A D =4x 或﹣4.5x （负数舍去），则DC x ，故tan ∠ABD =tan ∠ACD =42AD x DC x==2．考点：1．圆的综合题；2．切线的判定；3．相似三角形的判定与性质．50．（2016福建省漳州市）（满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，C 为 BE的中点，过点C 作直线CD ⊥AE 于D ，连接AC ，BC ．（1）试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若AD=2，AC AB的长．【答案】（1）相切；（2）3．【解析】（2）方法1：连接CE，∵AD=2，AC=6，∵∠ADC=90°，∴CD∵CD是⊙O的切线，∴2CD=AD•DE，∴DE=1，∴CE∵C为 BE的中点，∴BC=CE AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AB．方法2：∵∠DCA=∠B，易得△ADC∽△ACB，∴AD ACAC AB=，∴AB=3．考点：直线与圆的位置关系．51．（2016福建省龙岩市）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACD=∠B，AD⊥CD．（1）求证：C D是⊙O的切线；（2）若AD=1，OA=2，求AC的值．【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】考点：切线的判定．52．（2016贵州省毕节市）如图，在△ABC中，D为AC上一点，且CD=CB，以BC为直径作⊙O，交BD于点E，连接CE，过D作DF⊥AB于点F，∠BCD=2∠ABD．（1）求证：A B是⊙O的切线；（2）若∠A=60°，DF O的直径BC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）6．【解析】考点：切线的判定．53．（2016黑龙江省绥化市）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与BC相交于点F，与△ABC的外接圆相交于点D（1）求证：△BFD∽△ABD；（2）求证：D E=DB．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）先根据内心的性质得出∠BAD=∠CAD，再由圆周角定理得出∠CAD=∠CBD，故可得出∠考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形的外接圆与外心；3．三角形的内切圆与内心．【2015年题组】1．（2015贵港）如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B．【解析】考点：1．点与圆的位置关系；2．三角形中位线定理；3．最值问题；4．轨迹．2．（2015湘西州）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=3cm，则点A与圆O的位置关系为（）A．点A在圆上B．点A在圆内C．点A在圆外D．无法确定【答案】B．【解析】试题分析：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为3cm，即点A到圆心O的距离小于圆的半径，∴点A在⊙O内．故选B．考点：点与圆的位置关系．3．（2015泸州）如图，P A、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C=65°，则∠P的度数为（）A．65°B．130°C．50°D．100°【答案】C．【解析】试题分析：∵P A、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP=∠OBP=90°，又∵∠AOB=2∠C=130°，则∠P=360°﹣（90°+90°+130°）=50°．故选C．考点：切线的性质．。