高中数学选修4-2矩阵与变换教案 二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换
最新-人教版高中数学高中数学选修4-2《矩阵与变换》教学思考与备考建议 精品
/ x0 2 0 x0 / y 0 1 y0 ，即 0
' x0 2 x0 ' ，所以 y 0 y0
' x0 x0 2 y y' 0 0
4、教学建议
（1）重视展现基本概念、重要结论
的发生发展过程
（2）强调把矩阵看作线性变换的本质，
强调几何直观
（3）强调数学思想方法的渗透和运用
（4）处理好五大关系 基础与拓展
局部与整体
具体与抽象 操作与理解
总结与提高
三、备考建议
1．准确把握教学要求，落实基础 2．加强相关知识的联系性，强 调数学思想方法 3．严格控制本专题内容的教学 难度
《矩阵与变换》
教学思考与备考建议
一、背景分析
1、浙江省 2、其他省份
（1）广东省 （2）海南、宁夏 （3）山东省
2007、2008年考试内容分析：
省区 文理 理 选修系列4
广东
填空题
山东 文
1． 几何证明选讲 2． 不等式选讲 3． 坐标系与参数方程
1． 坐标系与参数方程 2． 几何证明选讲
理 文
与参数方程》、4-5《不等式选讲》这4个专题的
内容（考生只需选考其中两个专题）。
2008年高考江苏数学试题 在平面直角坐标系中，设椭圆 4 x 2
y 1
2
2 0 在矩阵 A 0 1 对应的变换下得到曲线 F， 求 F 的方程.
解：设 P( x0 , y 0 ) 是椭圆上任意一点，点 P( x0 , y 0 )
2019-2020年高中数学 二阶矩阵教案 苏教版选修4-2
2019-2020年高中数学 二阶矩阵教案 苏教版选修4-2
教学目标：了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵和解方程组；能用变换与
映射的观点认识解线性方程组的意义；会用系数矩阵的逆矩阵求解方程组；会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性、唯一性。
教学重点、难点：会用二阶行列式求逆矩阵和解方程组；会用系数矩阵的逆矩阵求解方
程组
教学过程：
一、问题情境：
1、用消元法求解二元一次方程组 ，当ad －bc ≠0时，方程组的解为什么？
二、学生活动：
1、二阶行列式：
说明：
三、知识建构：
四、知识运用：
231014560x y x y +-=⎧⎨+-=⎩
例：利用行列式解方程组
51273A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
例：利用行列式的方法求解矩阵的逆矩阵。
例3、利用行列式求解二元一次方程组
13422
y y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩例：试从几何变换的角度说明解的存在性和唯一性。
22AX B A B ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦10例5：已知二元一次方程组=，=，，10试从几何变换角度研究方程组解的情况。
五、回顾反思：
知识： 思想方法：
六、作业布置：书P
七、教后反思：了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵和解方程组；能用变换
与映射的观点认识解线性方程组的意义；会用系数矩阵的逆矩阵求解方程组；会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性、唯一性。
教学重点、难点：会用二阶行列式求逆矩阵和解方程组；会用系数矩阵的逆矩阵求解方
程组
教学过程：。
一轮复习配套讲义：选修4-2 矩阵与变换.pdf
选修4－2 矩阵与变换A[最新考纲]1．了解二阶矩阵的概念，了解线性变换与二阶矩阵之间的关系．2．了解旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示．3．理解变换的复合与矩阵的乘法；理解二阶矩阵的乘法和简单性质． 4．理解逆矩阵的意义，会求出简单二阶逆矩阵．5．理解矩阵的特征值与特征向量，会求二阶矩阵的特征值与特征向量.知 识 梳 理1．矩阵的乘法规则(1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21的乘法规则： [a 11 a 12]⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]． (2)二阶矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 21 a 12a 22与列向量⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0的乘法规则： ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 21 a 12a 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. 设A 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ、λ1、λ2是任意三个实数，则①A (λα)＝λAα；②A (α＋β)＝Aα＋Aβ； ③A (λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下： ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 21 a 12a 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21 b 12b 22＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11×b 11＋a 12×b 21a 21×b 11＋a 22×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 12＋a 22×b 22 性质：①一般情况下，AB ≠BA ，即矩阵的乘法不满足交换律；②矩阵的乘法满足结合律，即(AB )C ＝A (BC )；③矩阵的乘法不满足消去律． 2．矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是唯一的，通常记A 的逆矩阵为A －1，A －1＝B .(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d (det A ＝ad －bc ≠0)，它的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc－b ad －bc －c ad －bc a ad －bc . (3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n的系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 可逆，那么该方程组有唯一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ， 其中A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc－b ad －bc－c ad －bca ad －bc . 3．二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量．(2)特征多项式与特征方程 设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d 的一个特征值，它的一个特征向量为ξ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足二元一次方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy ， 故⎩⎨⎧(λ－a )x －by ＝0－cx ＋(λ－d )y ＝0⇔⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－a －b －c λ－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00(*)则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0.记f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d 为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征多项式；方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0，即f (λ)＝0称为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d 的特征方程． (3)特征值与特征向量的计算如果λ是二阶矩阵A 的特征值，则λ是特征方程f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc ＝0的一个根．解这个关于λ的二元一次方程，得λ＝λ1、λ2，将λ＝λ1、λ2分别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解⎩⎨⎧ x ＝x 1，y ＝y 1，⎩⎨⎧x ＝x 2，y ＝y 2，记ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2.则Aξ1＝λ1ξ1、Aξ2＝λ2ξ2，因此λ1、λ2是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 的特征值，ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2为矩阵A 的分别属于特征值λ1、λ2的一个特征向量． 诊 断 自 测1. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤57＝________.解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤57＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1×5＋0×7 0×5＋(－1)×7＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－7.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－72．若A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 121212，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －12－1212，则AB ＝________. 解析AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 －12－12 12 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12×1212×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12×12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 0.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 0 3．设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则AB 的逆矩阵为________． 解析 ∵A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1，B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1－1 0 ∴(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 1－1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 4．函数y ＝x 2在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10014变换作用下的结果为________． 解析 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 14 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ x 14y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′⇒x ＝x ′，y ＝4y ′， 代入y ＝x 2，得y ′＝14x ′2，即y ＝14x 2. 答案 y ＝14x 25．若A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 56 2，则A 的特征值为________． 解析 A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －5 －6 λ－2 ＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)， ∴A 的特征值为λ1＝7，λ2＝－4. 答案 7和－4考点一 矩阵与变换【例1】 (2014·苏州市自主学习调查)已知a ，b 是实数，如果矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a b 1所对应的变换将直线x －y ＝1变换成x ＋2y ＝1，求a ，b 的值．解 设点(x ，y )是直线x －y ＝1上任意一点，在矩阵M 的作用下变成点(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 a b1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 所以⎩⎨⎧x ′＝2x ＋ay ，y ′＝bx ＋y .因为点(x ′，y ′)，在直线x ＋2y ＝1上，所以 (2＋2b )x ＋(a ＋2)y ＝1，即⎩⎨⎧2＋2b ＝1，a ＋2＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－12.规律方法 理解变换的意义，掌握矩阵的乘法运算法则是求解的关键，利用待定系数法，构建方程是解决此类题的关键．【训练1】 已知变换S 把平面上的点A (3,0)，B (2,1)分别变换为点A ′(0,3)，B ′(1，－1)，试求变换S 对应的矩阵T . 解 设T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c bd ，则T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤30→⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤30＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a 3b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤03，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝1；T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤21→⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋c 2b ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1， 解得⎩⎨⎧c ＝1，d ＝－3，综上可知T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 －3. 考点二 二阶逆矩阵与二元一次方程组【例2】 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1所对应的线性变换把点A (x ，y )变成点A ′(13,5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．解 依题意得由M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1，得|M |＝1， 故M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13－12. 从而由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135得⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－1 32⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－3，故⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－3，∴A (2，－3)为所求． 规律方法 求逆矩阵时，可用定义法解方程处理，也可以用公式法直接代入求解．在求逆矩阵时要重视(AB )－1＝B －1A －1性质的应用． 【训练2】 已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21 32， (1)求矩阵A 的逆矩阵；(2)利用逆矩阵知识解方程组⎩⎨⎧2x ＋3y －1＝0，x ＋2y －3＝0.解 (1)法一 设逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a c b d ， 则由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2132⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a cb d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001，得⎩⎨⎧2a ＋3c ＝1，2b ＋3d ＝0，a ＋2c ＝0，b ＋2d ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－3，c ＝－1，d ＝2，A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1－32. 法二 由公式知若A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a c b d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2132，(2)已知方程组⎩⎨⎧2x ＋3y －1＝0，x ＋2y －3＝0，可转化为⎩⎨⎧2x ＋3y ＝1，x ＋2y ＝3，即AX ＝B ，其中A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21 32，X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13，且由(1)， 得A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1 －32. 因此，由AX ＝B ，同时左乘A －1，有 A －1AX ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1 －32⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－75. 即原方程组的解为⎩⎨⎧x ＝－7，y ＝5.考点三 求矩阵的特征值与特征向量【例3】 已知a ∈R ，矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a21对应的线性变换把点P (1,1)变成点P ′(3,3)，求矩阵A 的特征值以及每个特征值的一个特征向量． 解 由题意⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a21 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3a ＋1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤33， 得a ＋1＝3，即a ＝2，矩阵A 的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2 －2λ－1＝(λ－1)2－4＝(λ＋1)(λ－3)， 令f (λ)＝0，所以矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝3. ①对于特征值λ1＝－1，解相应的线性方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝0，2x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.因此，α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1是矩阵A 的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量； ②对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组⎩⎨⎧2x －2y ＝0，－2x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.因此，β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11是矩阵A 的属于特征值λ2＝3的一个特征向量． 规律方法 已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a cb d ，求特征值和特征向量，其步骤为： (1)令f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(λ－a )－c －b(λ－d )＝(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，求出特征值λ； (2)列方程组⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0；(3)赋值法求特征向量，一般取x ＝1或者y ＝1，写出相应的向量．【训练3】 (2014·扬州质检)已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3－1－13，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量．解 由矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－311λ－3＝ (λ－3)2－1＝0，解得λ1＝2，λ2＝4，即为矩阵M 的特征值． 设矩阵M 的特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，当λ1＝2时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，可得⎩⎨⎧－x ＋y ＝0，x －y ＝0.可令x ＝1，得y ＝1，∴α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是M 的属于λ1＝2的特征向量．当λ2＝4时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，可得⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x ＋y ＝0，取x ＝1，得y ＝－1，∴α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是M 的属于λ2＝4的特征向量．用坐标转移的思想求曲线在变换作用下的新方程【典例】 二阶矩阵M 对应的变换T 将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M ；(2)设直线l 在变换T 作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求l 的方程．[审题视点] (1)变换前后的坐标均已知，因此可以设出矩阵，用待定系数法求解． (2)知道直线l 在变换T 作用下的直线m ，求原直线，可用坐标转移法． 解 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－1， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝－1，c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4. (2)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y 且m ：x ′－y ′＝4， 所以(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4，即x ＋y ＋2＝0，∴直线l 的方程是x ＋y ＋2＝0.[反思感悟] (1)本题考查了求变换矩阵和在变换矩阵作用下的曲线方程问题，题目难度属中档题．(2)本题突出体现了待定系数法的思想方法和坐标转移的思想方法 .(3)本题的易错点是计算错误和第(2)问中坐标转移的方向错误． 【自主体验】(2014·南京金陵中学月考)求曲线2x 2－2xy ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线方程，其中M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 02，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－101. 解 MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－101＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－202. 设P (x ′，y ′)是曲线2x 2－2xy ＋1＝0上任意一点，点P 在矩阵MN 对应的变换下变为点P ′(x ，y )， 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－202⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x ′－2x ′＋2y ′， 于是x ′＝x ，y ′＝x ＋y2，代入2x ′2－2x ′y ′＋1＝0，得xy ＝1.所以曲线2x 2－2xy ＋1＝0在MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为xy ＝1.一、填空题1．已知变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋4y 5x ＋6y ，则该变换矩阵为________． 解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ＋4y ，y ′＝5x ＋6y ，可写成⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 45 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 45 6 2．计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 75 8⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1等于________． 解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 75 8⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3×2－75×2－8＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 23．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 00 1的逆矩阵为________． 解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 00 1＝5，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 00 1的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤15 0 0 1. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤15 0 0 1 4．若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b 13把直线l ：2x ＋y －7＝0变换成另一直线l ′：9x ＋y －91＝0，则a ＝________，b ＝________. 解析 取l 上两点(0,7)和(3.5,0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤07＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7a 91，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3.5 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10.53.5b . 由已知(7a,91)，(10.5,3.5b )在l ′上，代入得a ＝0，b ＝－1. 答案 0 －15．矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 －36 －3的特征值为________． 解析 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 3－6 λ＋3＝(λ－6)(λ＋3)＋18＝0. ∴λ＝0或λ＝3. 答案 0或3 6．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－3，则M (2α＋4β)＝________.解析 2α＋4β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－8，M (2α＋4β)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－8＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14－26.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14－26 7．曲线C 1：x 2＋2y 2＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤121的作用下变换为曲线C 2，则C 2的方程为________．解析 设P (x ，y )为曲线C 2上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋2y 2＝1上与P 对应的点，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 21⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′ y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x ′＋2y ′，y ＝y ′⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y . 因为P ′是曲线C 1上的点， 所以C 2的方程为(x －2y )2＋y 2＝1. 答案 (x －2y )2＋y 2＝18．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －1－3 1，则满足AX ＝B 的二阶矩阵X 为________．解析 由题意，得A －1＝ AX ＝B ， ∴X ＝A －1B ＝. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －1 5 －1 9．已知矩阵A 将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，则矩阵A 为________．解析 设A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a c b d ，由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a c b d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3. 由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a cb d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤33，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，d ＝0.所以A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 10.答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 10 二、解答题10．(2012·江苏卷)已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝错误!，求矩阵A 的特征值． 解 因为AA －1＝E ，所以A ＝(A －1)－1.因为A －1＝错误!，所以A ＝(A －1)－1＝错误!， 于是矩阵A 的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－2 －3λ－1＝λ2－3λ－4. 令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4. 11．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1a －1b ，A 的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.(1)求矩阵A ；(2)若向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，计算A 5β的值．解 (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4. (2)矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝λ2－5λ＋6＝0，得λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，当λ2＝3时，得α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.由β＝m α1＋n α2，得⎩⎨⎧2m ＋n ＝7，m ＋n ＝4，解得m ＝3，n ＝1.∴A 5β＝A 5(3α1＋α2)＝3(A 5α1)＋A5α2＝3(λ51α1)＋λ52α2＝3×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤435339.12．(2012·福建卷)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a0b1(a ＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1. (1)求实数a ，b 的值； (2)求A 2的逆矩阵．解 (1)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是P ′(x ′，y ′)． 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ ax bx ＋y ，得⎩⎨⎧x ′＝ax ，y ′＝bx ＋y .又点P ′(x ′，y ′)在x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1， 即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1，整理得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1，依题意得⎩⎨⎧ a 2＋b 2＝2，2b ＝2，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1.因为a ＞0，所以⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011，A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 1. 所以|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－21.。
苏教版高中数学选修4-2 2.1.2二阶矩阵和平面列向量的乘法_学案1
二阶矩阵与平面列向量的乘法【学习目标】1. 掌握二阶矩阵与列向量的乘法规则, 并了解其现实背景。
2. 理解变换的含义了解矩阵与变换的联系。
【学习过程】一、课前预习:1.在某次歌唱比赛中, 甲的初赛和复赛的成绩用A=[80 90]表示, 乙的初赛和复赛成绩用B=[60 85]表示, C=0.40.6⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示初赛和复赛成绩在比赛总分中所占的比重, 那么如何用矩阵的形式表示甲、乙的最后成绩呢?2.行矩阵和列矩阵的乘法规则3．二阶矩阵与列向量的乘法规则几何意义4．变换二、数学运用例1、计算: (1)2-⎡⎢⎣21⎤⎥⎦32⎡⎤⎢⎥-⎣⎦(2)1⎡⎢⎣1⎤⎥⎦1020⎡⎤⎢⎥⎣⎦(3)2⎡⎢⎣1⎤⎥⎦xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦例2、求在矩阵30-⎡⎢⎣ 25⎤⎥⎦对应的变换作用下得到点(3 , 2)的平面上的点P 的坐标.例3、(1)已知变换13x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡→=⎢⎥⎢⎥⎢'⎣⎦⎣⎦⎣ 42⎤⎥⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 试将它写成坐标变换的形式; (2)已知变换x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦→x y '⎡⎤⎢⎥'⎣⎦3x y y -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 试将它写成矩阵乘法的形式.三、课堂练习：1、⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-14=2、设A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡724k ，若AB =BA ，则k = .3、在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1201对应的变换下，点A （2，1）将会转换成 .4、已知矩阵M 221a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中R a ∈，若点(1,2)P -在矩阵M 的变换下得到点(4,0)P '-，则实数a 的值是四、课堂小结1. 行矩阵和列矩阵的乘法规则2. 二阶矩阵与列向量的乘法规则。
苏教版高中数学高二选修4-2二阶矩阵与平面列向量的乘法
选修4－2矩阵与变换 2.1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法编写人： 编号：002学习目标1、 掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法规则。
2、 理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射。
学习过程：一、预习：（一）阅读教材，解决下列问题：规定比赛的最后成绩由初赛和复赛综合裁定,其中初赛占40%,复赛占60%.则甲和乙的综合成绩分别是多少?（二）一般地，我们规定行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111b b 的乘法规则为：二阶矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211a a a a 与列向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡00y x 的乘法规则为：（三）一般地，对于 则称T 为一个变换。
简记为：或练习1、计算：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡121011 （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡1201102、已知平面上一个正方形ABCD （顺时针）的四个顶点用矩阵表示为⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a 4000，求a ，b ，c ，d 的值及正方形ABCD 的面积.3、已知变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x y x y x 252，试将它写成矩阵的乘法形式.二、课堂训练：例1．计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 1002思考：二阶矩阵M 与列向量的乘法⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x M y x 和函数)(x f x →的定义有什么异同？例2．（1）已知变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x y x 2341''，试将它写成坐标变换的形式； （2）已知变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y y x y x y x 3''，试将它写成矩阵乘法的形式；例3．已知变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x y x y x 252，试将它写成矩阵的乘法形式.例4. 已知矩阵[])(x f A =，[]x x B -=1，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a 2x C ，若A=BC ，求函数)x (f 在[1,2] 上的最小值.三、课后巩固：1、用矩阵与向量的乘法的形式表示方程组⎩⎨⎧-=-=+1y 2x 2y 3x 2其中正确的是（ ）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-122132y xB 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-122312y x C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-122132y x D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-121223y x 2、计算:⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡321110=__________ 3、点A （1，2）在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1022对应的变换作用下得到的点的坐标是___________ 4、设矩阵A 为二阶矩阵，且规定其元素，0=+ji ij a a i=1，2，j=1，2，且2a a 2112=-，试求A.5. 若点A 在矩阵1222-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦对应的变换作用下下得到的点为（2，4），求点A 的坐标.6、已知△ABO 的顶点坐标分别是A （4，2），B （2，4），O （0，0）,计算在变换T M =1111⎡⎤⎢⎥-⎣⎦之下三个顶点ABO 的对应点的坐标.。
人教版高中选修4-2二二阶矩阵与平面向量的乘法课程设计
人教版高中选修4-2二二阶矩阵与平面向量的乘法课程设计一、教学目标通过该课程的学习，学生应该能够：1.了解矩阵与向量的基本概念，掌握矩阵和向量之间的基本运算法则；2.明白矩阵乘法的定义和运算法则，能够运用矩阵乘法解决实际问题；3.熟悉平面向量与矩阵的乘法，能够举一反三地运用到类似的计算中。
二、教学重点1.矩阵乘法；2.平面向量与矩阵的乘法。
三、教学难点1.矩阵与向量的基本运算法则；2.矩阵乘法的计算方法；3.平面向量与矩阵的乘法，特别是理解矩阵乘法运算的几何意义。
四、教学内容及时间安排本课程主要包括以下内容：1. 矩阵与向量的基本概念通过实际生活中的例子，引出矩阵和向量的基本概念，探究矩阵和向量之间的内在联系。
时间安排：1课时。
2. 矩阵和向量的基本运算法则介绍矩阵和向量之间的基本运算法则，包括加减乘除、数乘、转置等。
注重通过实际计算加深学生对这些运算法则的理解，为后续的矩阵乘法打好基础。
时间安排：2课时。
3. 矩阵乘法介绍矩阵乘法的定义和运算法则，包括矩阵乘法的代数意义和几何意义。
通过实例进行讲解，帮助学生理解矩阵乘法的本质，做到心中有数。
时间安排：2课时。
4. 平面向量与矩阵的乘法介绍平面向量与矩阵的乘法，通过实例进行讲解，让学生理解平面向量与矩阵的乘法的几何意义，加深学生对矩阵乘法运算几何意义的理解。
时间安排：2课时。
五、教学方法1.通过大量例题和实例进行讲解，注重理论与实践相结合，帮助学生加深对知识点的理解；2.给予学生一定的自主探究空间，引导学生根据所学知识独立思考和解决问题；3.使用多媒体手段辅助教学，如视频、PPT、动画等，使教学内容更加生动直观。
六、教学评估1.课堂练习：在课堂上布置一定数量的习题，力求贴近学生的实际情况，检验学生对所学知识的理解情况；2.课后作业：布置一定数量的练习题，督促学生复习和巩固所学知识；3.小组讨论：在特定的时间，对于某一个难度较高的题目，学生可结合自己的思考成果，结合小组内的思路互相讨论，探讨解决方法，既增加了思维的碰撞，同时又有效激发学生的创造能力和团队合作精神，提升学生的参与积极性。
高二数学选修4-2~2.3 变换的复合与矩阵的乘法
分析：
3 4 后天的天气可用 1 4 即后天晴的概率为 1 13 161 3 24 288 来刻画， 2 11 127 3 24 288 ，阴的概率为 127 288 。
（1）求MN,NM (2)求 M (3)求 M
2 n
建构数学
3、三种运算律对比
例题与练习：
• 例2、已知梯形 ABCD, A(0,0),B(3,0),C(2,2),D(1,2),先将梯形作关于 x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时 针旋转90度， • 求连续两次变换所对应的变换矩阵M;
• 例2、已知梯形 ABCD, A(0,0),B(3,0),C(2,2),D(1,2),先将梯形作关于 x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时 针旋转90度， • 求连续两次变换所对应的变换矩阵M;
x x 2 x : y y y
集中记忆几种常见的平面变换:
1 0 单位矩阵E 1、恒等变换： 0 1 1 0 M 2、伸压变换： 1 沿y轴方向伸压，x轴上的点不动。 0 k
练一练 如图示：在变换T作用下，正方形ABCD变成了矩形 A′B′C′D′，其中A,B,C,D的象点分别为A′，B′，C′，D′，则 变换T对应的矩阵M为________;
161 288
注意：转移矩阵每列的元素的和应该为1,否则
做乘法时,容易出问题.
分析：
今天 明天 晴 M= 阴 晴 3 4 1 4 阴 1 3 2 3
分析：
清晨的天气预报今天阴的概率为 1 2 ，则今天晴的概率为 1 2 ， 1 2 于是今天的天气可用N 来刻画，因此明天的天气可用 1 2 3 4 1 4 率为 1 1 13 13 3 2 24 ，阴的概 来刻画，即明天晴的概率为 2 1 24 11 24 3 2 11 24 。
4-2矩阵教案
§2.1.1矩阵的概念教学目标：知识与技能：1.掌握矩阵的概念以及基本组成的含义(行、列、元素)2.掌握零矩阵、行矩阵、列矩阵、矩阵相等的概念.3.尝试将矩阵与生活中的问题联系起来, 用矩阵表示丰富的问题,体会矩阵的现实意义.过程与方法：从具体的实例开始，通过具体的实例让学生认识到，某些几何变换可以用矩阵来表示，丰富学生对矩阵几何意义的理解，并引导学生用映射的观点来认识矩阵、解线性方程组情感、态度与价值观： 体会代数与几何的有机结合，突出数形结合的重要思想 教学重点：矩阵的概念以及基本组成的含义 教学难点：矩阵的概念以及基本组成的含义 教学过程： 一、问题情境:设O (0, 0)，P (2, 3)，则向量OP → = (2, 3)，将OP →的坐标排成一列，并简记为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32（1）某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下：（2）某牛仔裤商店经销A 、B 、C 、D 、E 五种不同牌子的牛仔裤，其腰围大小分别有28英寸、30英寸、32英寸、34英寸四种，在一个星期内，该商店的销售情况可用下列矩阵形式表示：A B C D E28英寸 1 3 0 1 2 30英寸 5 8 6 1 2 32英寸 2 3 5 6 0 34英寸 0 1 1 0 3 3．图——矩阵2 32 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤80 90 86 88二、建构数学 矩阵：记号：A ，B ，C ，…或（a ij ）(其中i,j 分别元素a ij所在的行和列) 要素：行——列——元素矩阵相等 行列数目相等并且对应元素相等。
特别：（1）2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵 （2）零矩阵（3）行矩阵：[a 11,a 12]列矩阵：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 21 ，一般用 ， 等表示。
（4）行向量与列向量三、教学运用例1、用矩阵表示图中的△ABC , 其中A(-1 , 0) , B(0 , 2) , C(2 , 0) .思考: 如果用矩阵M=00⎡⎢⎣ 12 32 40⎤⎥⎦表示平面中的图形, 那么该图形有什么几何特征?例2、某种水果的产地为A 1 , A 2 , 销地为B 1 , B 2 , 请用矩阵表示产地A i 运到销地B j 的水果数量(a ij ), 其中i=1 , 2 , j=1 , 2 .0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0A B C 0 3 1 3 0 0 1 0 2例3、用矩阵表示下列方程组中的未知量的系数.(1)4736x y x y +=⎧⎨-+=-⎩ (2)3212376x y z x y z ++=-⎧⎨-+=⎩例4、已知A=4x⎡⎢⎣32⎤⎥-⎦, B=1z⎡⎢⎣2y ⎤⎥-⎦, 若A=B , 试求x , y , z .四、课堂小结 五、课堂练习：1.书P 10 1 , 2 , 42.设A=2y ⎡⎢⎣ 3x ⎤⎥⎦, B=2m n x y +⎡⎢-⎣ x y m n +⎤⎥-⎦, 若A=B , 试求x , y , m , n 的值.六、回顾反思： 七、课外作业：1.用矩阵表示图中的△ABC, 其中A(2 , 3) , B(-4, 6), C(5 , -3).2.在学校组织的数学智力竞赛中, 甲、乙、丙三位同学获得的成绩分别为: 甲95分, 乙99分, 丙89分, 如果分别用1 , 2 , 3表示甲、乙、丙三位同学, 试用矩阵表示各位同学的得分情况.3.设A=1y⎡⎢⎣3x⎤⎥⎦, B=2m nx y-⎡⎢-⎣x ym n+⎤⎥+⎦, 若A=B , 试求x , y , m , n .如果分别用1 , 2 , 3 , 4表示太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋, 试用矩阵表示各大洋的面积.5.请设计一个可用矩阵12⎡⎢⎢⎢⎣102030⎤⎥⎥⎥⎦来表示的实际问题.§2.1.2二阶矩阵与平面列向量的乘法-教学目标：知识与技能：1.掌握二阶矩阵与列向量的乘法规则, 并了解其现实背景.2.理解变换的含义, 了解变换与矩阵之间的联系.3.能够熟练进行由矩阵确定的变换过程与方法：从具体的实例开始，通过具体的实例让学生认识到，某些几何变换可以用矩阵来表示，丰富学生对矩阵几何意义的理解，并引导学生用映射的观点来认识矩阵、解线性方程组情感、态度与价值观：体会代数与几何的有机结合，突出数形结合的重要思想教学重点：二阶矩阵与列向量的乘法规则教学难点：二阶矩阵与列向量的乘法规则教学过程：一、问题情境:在某次歌唱比赛中, 甲的初赛和复赛的成绩用A=[80 90]表示, 乙的初赛和复赛成绩用B=[60 85]表示, C=0.40.6⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示初赛和复赛成绩在比赛总分中所占的比重, 那么如何用矩阵的形式表示甲、乙的最后成绩呢?二、建构数学1.行矩阵和列矩阵的乘法规则2.二阶矩阵与列向量的乘法规则3.变换三、教学运用例1、计算: (1)2-⎡⎢⎣21⎤⎥⎦32⎡⎤⎢⎥-⎣⎦(2)1⎡⎢⎣1⎤⎥⎦1020⎡⎤⎢⎥⎣⎦(3)2⎡⎢⎣1⎤⎥⎦xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦例2、求在矩阵3-⎡⎢⎣25⎤⎥⎦对应的变换作用下得到点(3 , 2)的平面上的点P的坐标.例3、(1)已知变换13x xy y'⎡⎤⎡⎤⎡→=⎢⎥⎢⎥⎢'⎣⎦⎣⎦⎣42⎤⎥⎦xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 试将它写成坐标变换的形式;(2)已知变换xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦→xy'⎡⎤⎢⎥'⎣⎦3x yy-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 试将它写成矩阵乘法的形式.例4、求△ABC在矩阵1⎡⎢⎣21⎤⎥-⎦对应的变换作用下得到的几何图形, 其中A(1 ,2) , B(0 , 3) , C(2 , 4).例5、求直线y=2x在矩阵21⎡⎢⎣13-⎤⎥⎦作用下变换得到的图形.四、课堂小结五、课堂练习：六、回顾反思：七、课外作业：1.计算(1)57⎡⎢⎣98-⎤⎥⎦32⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)1⎡⎢⎣1-⎤⎥⎦41⎡⎤⎢⎥⎣⎦2. (1)已知xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦→1xy'⎡⎤⎡=⎢⎥⎢'⎣⎦⎣32xy⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎦⎣⎦, 试将它写成坐标变换形式;(2)已知xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦→2345x x yy x y'+⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦, 试将它写成矩阵的乘法形式.3. (1)点A(5 , 7)在矩阵13⎡⎢⎣24⎤⎥⎦对应的变换作用下得到的点为________ ;(2)在矩阵34⎡⎢⎣15⎤⎥-⎦对应的变换作用下得到点(19 , -19)的平面上点P的坐标为.4.已知矩阵P=11203⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦, Q=230-⎡⎤⎢⎥⎣⎦且Px=Q , 求矩阵x .5.线段AB , A(-2 , 3) , B(1 , -4)在矩阵1⎡⎢⎣1⎤⎥⎦作用下变换成何种图形? 与原线段有何区别?6.求直线x+y=1在矩阵12⎡⎢⎣1⎤⎥-⎦作用下变换所得图形.§2.2几种常见的平面变换（1）-恒等变换、伸压变换教学目标：知识与技能：1.掌握恒等变换矩阵和伸压变换矩阵的特点.2.熟练运用恒等变换和伸压变换进行平面图形的变换过程与方法：借助立体几何图形的三视图来研究平面图形的几何变换，让学生感受具体到抽象的过程情感、态度与价值观：提供自主探索的空间，通过研究实例，学会从实际出发探究问题，总结过程，得出结论。
高中数学人教版教材讲解(选修4-2-矩阵与变换)
（3）在第二讲中，通过实例考察在直角坐 标系内连续施行两次线性变换的作用效果是 否能用一个线性变换表示，进而一般化，引 入线性变换的复合，介绍二阶矩阵的一种重 要运算——矩阵的乘法，并通过应用进一步 理解矩阵的乘法；类比实数乘法的运算律， 研究二阶矩阵乘法的运算律，证明矩阵的乘 法满足结合律，通过学生熟悉的某些二阶矩 阵所对应的线性变换对单位正方形区域的作 用结果，得到矩阵的乘法不满足交换律和分 配律．
（4）在第三讲中，类比实数的乘法运算中
的一条重要性质：“如果
，
则
”，分别把恒等变换和单位
矩阵作为数１类比对象，通过线性变换引进逆 矩阵，并通过线性变换和生活中的常识理解逆 矩阵的性质；引进二阶行列式，利用它研究逆 矩阵，解决如何判断二阶矩阵是否可逆以及如 何求可逆矩阵的逆矩阵的问题；本讲还从线性 变换的角度来认识解二元一次方程组的意义， 并利用逆矩阵求解系数矩阵可逆的二元一次方 程组．
无论在理解本专题的内容时，还是教学中， 都要把握好两个关键词：线性变换，二阶矩 阵。
一、课程标准中的内容与要求
1．理解二阶矩阵的概念 2．二阶矩阵与平面向量（列向量） 的乘法、平面图形的变换 （1）以变换的观点认识矩阵与向 量乘法的意义。 （2）证明矩阵变换把平面上的直 线变成直线，即证明矩阵变换是线性 变换：
题（人口迁移问题）．
3．本讲的重点和难点
（1）本专题的重点是通过平面图形的变换引 入二阶矩阵，认识矩阵与向量乘法的意义， 讨论线性变换的基本性质、二阶矩阵的乘法 及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量的概念与 性质等，并以变换的观点理解解线性方程组 的意义。 （2）矩阵的内容比较抽象，本专题的难点是 线性变换的基本性质、矩阵乘法的运算律 （这可能是学生第一次遇到不满足交换律、 消去律的运算）、矩阵的特征值与特征向量 的概念等。
选修4-2矩阵与变换.docx
第 1 页共 21 页选修 4－ 2矩阵与变换第一节平面变换、变换的复合与矩阵的乘法1．二阶矩阵与平面向量(1) 矩阵的概念在数学中，把形如123134，1，20这样的矩形数字 (或字母 )阵列称为矩阵，其35－ 1中，同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母 )叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数 (或字母 )叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数(或字母 )称为矩阵的元素．(2)二阶矩阵与平面列向量的乘法① [a 11a12 ]b11＝ [ a11×b11＋ a 12×b 21 ] ；b21②a11a12x0＝a11× x0＋ a12× y0.a21a22 y0a21× x0＋ a22× y02．几种常见的平面变换10(1) 当 M ＝时，则对应的变换是恒等变换．01(2)k010由矩阵 M ＝或 M ＝(k>0) 确定的变换 T M称为 (垂直 )伸压变换．01k(3)反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称．cos θ － sin θ(4) 当 M ＝时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形(或点 )逆时针旋转sin θcos θθ角度．(5)将一个平面图投影到某条直线 (或某个点 )的变换称为投影变换．1k10 (6) 由矩阵 M ＝或 M ＝k 确定的变换称为切变变换．011 3．矩阵的乘法一般地，对于矩阵a11a12b11b12M ＝a22， N＝，规定乘法法则如下：a21b21b2211 12 11 12a bbb ba ab b11 11＋ a 12 21a 11 12＋ a 12 22MN ＝a 22b 21＝a 21b 11＋ a 22b 21.a 21 b22a 21b 12＋ a 22b 224．矩 乘法的几何意(1) 的复合：在数学中，一一 的平面几何 常可以看做是伸 、反射、旋 、切 的一次或多次复合，而伸 、反射、切 等 通常叫做初等 ； 的矩 叫做初等 矩 ．(2)MN 的几何意 ： 向量x 矩 乘法α＝ 施的两次几何 (先 T N 后 T M )y的复合 ．·(3) 当 向量 施 n ( n ＞ 1 且 n ∈ N * )次 T M ， 地我M n ＝ M ·M ·⋯ ·M .5．矩 乘法的运算性(1) 矩 乘法不 足交 律于二 矩A ，B 来 ，尽管 AB ， BA 均有意 ，但可能 AB ≠BA .(2) 矩 乘法 足 合律A ，B ，C 二 矩 ， 一定有(AB)C ＝ A(BC)．(3) 矩 乘法不 足消去律．A ，B ，C 二 矩 ，当 AB ＝ AC ，可能 B ≠C. [ 小 体 ]1 8 1 x1．已知矩 A ＝3，矩 B ＝.若 A ＝B ， x ＋ y ＝ ________.2y 3解析： 因 A ＝ B ，x ＝ 8， ＋ ＝10.所以y ＝ 2，x y答案： 102．已知x x ′2x ＋ 3y ， 它所 的 矩 ________．y→＝y ′x ＋ yxx ′ 2 3 x解析： 将它写成矩 的乘法形式→′ ＝1 ，所以它所 的 矩y1yy2 3 1 .12 3答案：111．矩 的乘法 着 的复合，而两个 的复合仍是一个 ，且两个 的复合 程是有序的，易 倒．2．矩阵乘法不满足交换律和消去律，但满足结合律．[ 小题纠偏 ]1 2 ， B ＝4 2 1．设 A ＝4k ，若 AB ＝ BA ，则实数 k 的值为 ________．37解析： AB ＝1 24 2 ＝4＋ 2k163 4k 7，12＋ 4k 3442 1 21016BA ＝ k7 34 ＝ ＋＋ 28，k 21 2k 因为 AB ＝ BA ，故 k ＝ 3.答案： 32．已知 A ＝1 0 ， B ＝－ 1 0－ 1 00 0 0 1， C ＝，计算 AB ， AC.0 － 1解： AB ＝1 0 － 1 0－ 1 00 1 ＝，1 0 － 10 － 1 0 . AC ＝0 0－ 1＝ 0 0 0考点一二阶矩阵的运算 基础送分型考点 —— 自主练透[ 题组练透 ]1 11 11．已知 A ＝2 2，计算 A 2， B 2.1 ， B ＝ － 1－ 1 1221 1 11 1 1 解： A 2＝2 2 2 2 2 2 . 1 1 1 ＝1 1 12 2222 21111B 2＝－ 1 － 1 － 1 ＝.－ 12．(2014 江·苏高考 )已知矩阵 A ＝－ 1 211 21 ，B ＝，向量 α＝ ，x ，y 为实数． 若x2－ 1 yA α＝B α，求 x ＋ y 的值．解： 由已知，得 A α＝ － 12 2 ＝ － 2＋ 2y ， α＝ 11 2 ＝ 2＋ y y2 － 1 y1 x 2＋ xy4－ y第 4 页共 21 页因为 A α＝ B α，所以 － 2＋ 2y2＋ y＝，2＋ xy 4－ y－ 2＋ 2y ＝ 2＋ y ，故2＋ xy ＝4－ y.x ＝－ 12，所以 x ＋ y ＝ 7 解得2.y ＝ 4.3．已知矩阵 A ＝1 0 － 4 3 31 ， B ＝ 4 － 2且 α＝ ，试判断 (AB)α与 A(B α)的关系．2 4解： 因为 AB ＝1 0－ 43 －4 31 2＝ ，4 － 2 4 － 1－ 43 3所以 (AB)α＝－ 1 4＝ ，48 因为 B α＝－433 ＝0 ，4 － 2441 0 0 0A(B α)＝24＝. 18所以 (AB)α＝ A(B α)．[ 谨记通法 ]1．矩阵的乘法规则两矩阵 M ， N 的乘积 C ＝ MN 是这样一个矩阵；(1) C 的行数与 M 的相同，列数与 N 的相同；(2) C 的第 i 行第 j 列的元素C ij 由 M 的第 i 行与 N 的第 j 列元素对应相乘求和得到． [ 提醒 ] 只有 M 的行数与 N 的列数相同时，才可以求MN ，否则无意义．2．矩阵的运算律(1) 结合律 (AB)C ＝ A(BC)；(2) 分配律 A(B ±C)＝ AB ±AC ， (B ±C)A ＝ BA ±CA ；(3) λ(AB)＝ (λA )B ＝ A( λB )．考点二平面变换的应用重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]2 － 2 2 2已知曲线 C ：xy ＝ 1，若矩阵 M ＝对应的变换将曲线C 变为曲线 C ′，求2 222曲线 C ′的方程．解： 设曲线 C 上一点 (x ′ ， y ′ )对应于曲线 C ′ 上一点 (x ，y)，2 － 222x ′x所以＝y，22 ′y222 222′＝所以x ＋ y y － x所以 ′ － ′ ＝ ， ′ ＋′ ＝ ，y ′ ＝ ，所以 x ′ y ′＝2 x2 yx2x2 yy.x22x ＋ y y － x ＝ 1，×2 2所以曲线 C ′ 的方程为 y 2－ x 2＝ 2.[ 由题悟法 ]利用平面变换解决问题的类型及方法：(1) 已知曲线 C 与变换矩阵，求曲线C 在变换矩阵对应的变换作用下得到的曲线C ′的表达式，常先转化为点的对应变换再用代入法(相关点法 )求解．(2) 已知曲线 C ′是曲线 C 在平面变换作用下得到的，求与平面变换对应的变换矩阵， 常根据变换前后曲线方程的特点设出变换矩阵，构建方程(组 )求解．[ 即时应用 ]a 022x ＋ y已知圆 C ：x 2＋ y 2＝ 1 在矩阵 A ＝(a>0，b>0) 对应的变换作用下变为椭圆＝0 b9 41，求 a ， b 的值．解：设 P(x ，y)为圆 C 上的任意一点， 在矩阵 A 对应的变换下变为另一个点 P ′ (x ′ ，y ′ )，x ′ a 0x x ′＝ ax ， 则 ＝，即y ′0 byy ′ ＝ by.2 2 2222xya xb y又因为点 P ′ (x ′ ， y ′ )在椭圆 9 ＋ 4 ＝ 1 上，所以 9 ＋ 4 ＝ 1. 由已知条件可知，x 2＋ y 2＝1，所以 a 2 ＝ 9， b 2＝ 4.因为 a>0 ， b>0 ，所以 a ＝ 3， b ＝ 2.考点三 变换的复合与矩阵的乘法 重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]在平面直角坐标系xOy 中，已知点 A(0,0)，B(－ 2,0)，C(－ 2,1)．设 k 为非零实数，矩阵k 0 0 1A 1，B 1，C 1，M ＝1 ， N ＝，点 A ， B ， C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为1 0△ A 1B 1C 1 的面积是△ ABC 面积的 2 倍，求 k 的值．k 0 0 1 0 k解： 由题设得 MN ＝1 1＝，1 0 由 0k 0 0 0 k － 2，＝，＝1 00 01－ 20 k －2k，可知 A 1(0,0)，B 1(0，－ 2)， C 1(k ，－ 2)．1 0＝1－ 2计算得△ABC 的面积是1，△A 1 1 1 的面积是 |k|，B C则由题设知： |k|＝ 2× 1＝ 2.所以 k 的值为 2 或－ 2.[ 由题悟法 ]矩阵的乘法对应着变换的复合，而两个变换的复合仍是一个变换，且两个变换的复合过程是有序的，不能颠倒．二阶矩阵的运算关键是记熟运算法则．[ 即时应用 ]1 0已知圆 C ：x 2＋ y 2＝ 1，先将圆 C 作关于矩阵 P ＝的伸压变换，再将所得图形绕原0 2点逆时针旋转 90°，求所得曲线的方程．0 － 1解： 绕原点逆时针旋转 90° 的变换矩阵 Q ＝，1 0则 M ＝ QP ＝0 － 11 0 0 － 210 2＝.1设 A(x 0， y 0 为圆 C 上的任意一点，在T M 变换下变为另一点 A ′ (x 0′ ， y 0′ )，)′－x 0′ ＝－ 2y 0，2则＝，即y 0 ′ 10 y 0y 0′ ＝ x 0，x 0＝ y 0′ ，所以x 0′y 0＝－ 2 .又因为点 A(x 0， y 0) 在曲线 x 2＋ y 2＝ 1 上，2x 0′ 2所以 (y 0′ ) ＋ －＝ 1.2故所得曲线的方程为x4＋ y 2 ＝1.0 11， N ＝1 ，求 MN .1．设 M ＝00 120 11 0 0 112.解： MN ＝0 ＝1211 2 T 把曲2．(2016 南·京三模 )已知曲线 C ：x 2＋ 2xy ＋ 2y 2＝ 1，矩阵 A ＝所对应的变换1 0线 C 变成曲线 C 1，求曲线 C 1 的方程．1 2 解： 设曲线 C 上的任意一点 P(x ， y)， P 在矩阵 A ＝对应的变换下得到点 Q(x ′ ，1 0y ′ )．1 2 x x ′ x ＋ 2y ＝ x ′ ，则10 ＝， 即y′ x ＝ y ′ ，yx ′ －y ′所以 x ＝ y ′ ， y ＝ .2x ′ － y ′＋2x ′ － y ′2＝ 1，即 x ′ 2＋ y ′ 2＝ 2，代入 x 2＋ 2xy ＋2y 2＝ 1，得 y ′ 2 ＋2y ′ ·22所以曲线 C 1 的方程为 x 2＋ y 2＝ 2.3． (2016 南·通、扬州、泰州、淮安三调 )在平面直角坐标系xOy 中，直线 x ＋ y － 2＝ 0 在矩阵 A ＝1 ax ＋ y － b ＝ 0(a ， b ∈ R) ，求 a ＋ b 的值．1 对应的变换作用下得到直线2解： 设 P(x ， y)是直线 x ＋ y －2＝ 0 上任意一点，由 1a x ＝x ＋ ay ，得 (x ＋ ay)＋ (x ＋ 2y)－ b ＝ 0，即 x ＋ a ＋ 2 － b＝ 0.12 y x ＋ 2y2 y 2a ＋ 22 ＝ 1， a ＝ 0，所以 a ＋b ＝ 4.由条件得解得－b＝－ 2，b ＝ 4，2第 8 页共 21 页4．已知 M ＝1－ 22 － 12 ， W ＝－ 3，试求满足 MZ ＝ W 的二阶矩阵 Z .3 1a b解： 设 Z ＝d ，c则 MZ ＝ 1 － 2 a b a － 2cb －2d＝.23 c d 2a ＋ 3c 2b ＋3d又因为 MZ ＝ W ，且 W ＝2 － 1，－ 31a － 2cb － 2d 2 － 1所以＋ ＝ － 3 1 ， ＋3c3d2a 2ba ＝ 0，a － 2c ＝ 2，1b ＝－b － 2d ＝－ 1，7，所以解得2a ＋ 3c ＝－ 3， c ＝－ 1，2b ＋ 3d ＝ 1.d ＝ 37.0 1 － 7故 Z ＝.－ 1371 15． (2016 苏·锡常镇一调 )设矩阵 M ＝y ＝ sin x 在矩阵， N ＝ 2，试求曲线21MN 变换下得到的曲线方程．11解： 由题意得 MN ＝ 1 0 2 0＝ 20 . 0 20 1 0 2设曲线 y ＝ sin x 上任意一点 P(x ， y)在矩阵 MN 变换下得到点 P ′ (x ′， y ′ )，x ′1x则2，＝yy21x ＝ 2x ′ ， 即 x ′ ＝ 2x ，得1y ′ ＝ 2y ，y ＝2y ′ .因为 y ＝ sin x ，所以 1 ′ ＝′ ，即 ′ ＝ ′2ysin 2xy2sin 2x .因此所求的曲线方程为 y ＝ 2sin 2x.6．(2017 苏·锡常镇调研 )已知变换 T 把平面上的点 (3，－ 4)，(5,0)分别变换成 (2，－ 1)，(－1,2)，试求变换 T 对应的矩阵 M .a b a b3 2 a b 5 ＝－ 1解： 设 M ＝，由题意，得＝ ， ，c dc d－ 4 － 1 c d 0 213a － 4b ＝ 2， a ＝－ 5，13，3c － 4d ＝－ 1，b ＝－20所以解得2 5a ＝－ 1，c ＝5，5c ＝ 2.11d ＝ 20.113－5－20即 M ＝.2 11 5207．(2016 ·通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调南 )在平面直角坐标系xOy 中，设点 A(－ 1,2)－ 1 0 在矩阵 M ＝对应的变换作用下得到点 A ′，将点 B(3,4)绕点 A ′逆时针旋转90°得0 1到点 B ′，求点 B ′的坐标．解： 设 B ′(x ， y)，－ 1 0－ 11 依题意，由0 1＝，得 A ′ (1,2) ．22―→ ―→则 A ′ B ＝ (2,2) ， A ′ B ＝ (x － 1， y － 2)．0 － 1记旋转矩阵 N ＝，1 00 － 1 2x － 1 － 2x － 1 则＝，即＝，10 2－ 2－ 2y 2y 解得x ＝－ 1，y ＝ 4，所以点 B ′ 的坐标为 (－ 1,4)．1 0 1 02x 2－ 2xy ＋ 1＝ 0 在矩阵 MN 对应的变换作8．已知 M ＝， N ＝，求曲线0 2－ 1 1用下得到的曲线方程．1 0 1 01 0解： MN ＝2 － 11＝，－ 22设 P(x ′ ， y ′ )是曲线 2x 2－ 2xy ＋ 1＝ 0 上任意一点，点 P 在矩阵 MN 对应的变换下变为点 P ′ ( x ， y)，x1 0 x ′x ′则有＝2 ′＝，y－ 2－ ′ ＋ ′y2x 2yx ＝ x ′ ，即y ＝－ 2x ′ ＋ 2y ′ ，x ′ ＝x ，于是yy ′ ＝x ＋ 2.代入 2x 2－ 2xy ＋ 1＝ 0 得 xy ＝ 1，所以曲线 2x 2－ 2xy ＋ 1＝0 在 MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为xy ＝ 1.第二节逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量1．逆变换与逆矩阵(1) 对于二阶矩阵 A ， B ，若有 AB ＝ BA ＝ E ，则称 A 是可逆的， B 称为 A 的逆矩阵．(2) 若二阶矩阵 A ，B 均存在逆矩阵，则 － 1－ 1 － 1AB 也存在逆矩阵，且 (AB) ＝ B A .(3) 利用行列式解二元一次方程组．2．逆矩阵的求法一般地，对于二阶矩阵a b － 1A ＝，当 ad － bc ≠ 0 时，矩阵 A 可逆，且它的逆矩阵 Ac dd－ b ad － bc ad － bc＝.－ c aad － bcad － bc3.特征值与特征向量的定义设 A 是一个二阶矩阵，如果对于实数 λ，存在一个非零向量 α，使得 A α＝ λα，那么 λ称为 A 的一个特征值，而α称为 A 的属于特征值 λ的一个特征向量．4．特征多项式的定义a b是一个二阶矩阵， λ∈ R ，我们把行列式f(λ)＝λ－ a － b 2设 A ＝d － c＝ λ－ (a ＋ d)λcλ－ d＋ ad － bc 称为 A 的特征多项式．5．特征值与特征向量的计算设 λ是二阶矩阵a bλ与 α的步骤为：A ＝的特征值， α为 λ的特征向量，求c d第一步：令矩阵λ－ a － b2A 的特征多项式 f(λ)＝λ－ d ＝ λ－ (a ＋ d)λ＋ ad － bc ＝ 0，求出 λ－ c的值．第二步： 将 λ的值代入二元一次方程组λ－ a x － by ＝ 0，得到一组非零解 x 0 ，于是－ cx ＋ λ－ d y ＝ 0，y非零向量 x 0即为矩阵 A 的属于特征值 λ的一个特征向量．y 06．A n α(n ∈ N * )的简单表示(1) 设二阶矩阵 A ＝a b ， α是矩阵 A 的属于特征值 λ的任意一个特征向量，则A n α＝cdn *)．λα(n ∈ N， λ是二阶矩阵 A 的两个不同特征值，α， β是矩阵 A 的分别属于特征值 λ， λ(2) 设 λ1 212的特征向量，对于平面上任意一个非零向量γ，设 γ＝ t 1 α＋ t 2β(其中 t 1， t 2 为实数 )，则 A n γ＝n n* ．1λ1α＋ t 2λ2β(n ∈ N)t[ 小题体验 ]1 61．矩阵 M ＝ － 2－ 6 的特征值为 __________ ．解析： 矩阵 M 的特征多项式为 f(λ)＝ λ－ 1 － 6λ＋2)( λ＋ 3) ，令 λ＝ ，得 M 的特(f( ) 02 λ＋ 6征值为 λ＝－1 2， λ＝－2 3.答案： － 2 或－ 32．设2 a 2 a 的值为 ________．3是矩阵 M ＝ 的一个特征向量，则实数322解析： 设是矩阵 M 属于特征值 λ的一个特征向量，3a 2 2 2则2 ＝ λ ， 33 32a ＋ 6＝2λ， λ＝ 4，故解得12＝ 3λ a ＝ 1.答案： 11．不是每个二阶矩阵都可逆， 只有当ab中 ad － bc ≠ 0 时，才可逆， 如当 A ＝10 ， c d0 01 0因为 1× 0－ 0× 0＝ 0，找不到二阶矩阵 B ，使得 BA ＝ AB ＝E 成立，故 A ＝ 不可逆．0 2．如果向量 α是属于 λ的特征向量，将它乘非零实数t 后所得的新向量t α与向量 α共线，故 t α也是属于 λ的特征向量，因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量了．[ 小题纠偏 ]1．矩阵 A ＝2 35的逆矩阵为 ____________． 6x y 解析：法一： 设矩阵 A 的逆矩阵 A－1＝，z w2 3 x y1 0 则6 z w＝ ， 512x ＋ 3z 2y ＋ 3w 1 0即＝0 1 ， 5x ＋ 6z 5y ＋ 6w2x ＋ 3z ＝ 1，x ＝－ 2，2y ＋ 3w ＝ 0，y ＝ 1，所以解得55x ＋ 6z ＝ 0， z ＝ 3，5y ＋ 6w ＝ 1，2w ＝－ 3.A －1＝－21故所求的逆矩阵5－ 2 .3 3法二： 注意到 2× 6－ 3×5＝－ 3≠0，故 A 存在逆矩阵 A－1，6 － 3－ 3－ 3－ 21且 A －1＝＝52 .－ 5 2－3 3－ 3 － 3－ 2 1 答案：5 － 2331 222．已知矩阵 A ＝－ 4 的一个特征值为 λ，向量 α＝ 是矩阵 A 的属于 λ的一个特a－ 3 征向量，则 a ＋ λ＝ _____.解析： 因为 A α＝ λα，所以2－ 6＝ 2λ， 即解得2a ＋ 12＝－ 3λ，所以 a ＋ λ＝－ 3－ 2＝－ 5.答案： － 51 2 2 2a－ 4 － 3 ＝ λ ，－ 3a ＝－ 3，λ＝－ 2，考点一求逆矩阵与逆变换重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]－ 1 01 2 A －1已知矩阵 A ＝2， B ＝，求矩阵 B.6 解： 设矩阵 A 的逆矩阵为a bc，d－ 1 0 a b1 0，即 － a － b 1 0则＝＝ ，2 c d12c 2d 0 11故 a ＝－ 1， b ＝ 0， c ＝ 0， d ＝2.所以矩阵 A 的逆矩阵为 A －1＝－ 11 .2所以 A－ 1 0 1 2－ 1－ 2－1B ＝1＝.0 632[ 由题悟法 ]求一个矩阵 A 的逆矩阵或证明一个矩阵不可逆时，常用两种解法．法一： 待定矩阵法：先设出其逆矩阵，根据逆矩阵的定义 AB ＝ BA ＝ E ，应用矩阵相等的定义列方程组求解，若方程组有解，即可求出其逆矩阵，若方程组无解，则说明此矩阵不可逆，此种方法称为待定矩阵法．a b法二： 利用逆矩阵公式，对矩阵A ＝ ：c d①若 ad － bc ＝ 0，则 A 的逆矩阵不存在．d－ b ②若 ad － bc ≠ 0，则－ 1ad － bc ad － bc.A ＝－ caad － bc ad － bc[ 即时应用 ]11 1已知 A ＝ 1， B ＝，求矩阵 AB 的逆矩阵．1 021 0 1－ ＝ 1≠ 0， 解：法一： 因为 A ＝1 ，且 1 ×2 02 0212 －111 0所以 A－1＝22 ＝，20 1－ 1 12 2 1－ 1.同理 B－1＝0 1因此 (AB)－1＝ B－1A －1＝1－ 1 1 0 1 － 20 2 ＝.0 1 0 211 1法二： 因为 A ＝10 ， B ＝，20 1所以1 0 1 1 ＝ 11 ，且× 1－ × ＝ 1≠ 0，AB＝11 10 0 120 1222第 15 页 共 21 页1 － 1 21 11 － 2所以 (AB)－1＝22.＝20 1 01 12 2考点二特征值与特征向量的计算及应用重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]2 a已知矩阵 M ＝，其中 a ∈ R ，若点 P(1，－ 2)在矩阵 M 的变换下得到点 P ′(－ 4,0)．2 1(1) 求实数 a 的值；(2) 求矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量．解： (1) 由 2 a1－ 4 ，得 － ＝－＝＝3.2 1 －22 2a4? a2 3λ－ 2 － 3(2) 由 (1)知 M ＝，则矩阵 M 的特征多项式为 f (λ)＝ ＝( λ－ 2)( λ－ 1)－ 621－ 2 λ－ 12＝ λ－ 3λ－4.令 f(λ)＝ 0，得矩阵 M 的特征值为－ 1 与 4.λ－ 2 x － 3y ＝ 0，把 λ＝－ 1 代入二元一次方程组－ 2x ＋ λ－ 1 y ＝0，得 x ＋ y ＝ 0，1所以矩阵 M 的属于特征值－ 1 的一个特征向量为；－1λ－ 2 x － 3y ＝ 0，把 λ＝ 4 代入二元一次方程组－ 2x ＋ λ－ 1 y ＝ 0，得 2x － 3y ＝ 0.所以矩阵 M 的属于特征值4 的一个特征向量为3.2[ 由题悟法 ](1) 求矩阵 A 的特征值与特征向量的一般思路为：先确定其特征多项式 f(λ)，再由 f(λ)＝ 0求 出 该 矩 阵 的 特 征 值 ， 然 后 把 特 征 值 代 入 矩 阵 A所 确 定 的 二 元 一 次 方 程 组λ－ a x － by ＝ 0， 即可求出特征向量．－ cx ＋ λ－ d y ＝ 0，(2) 根据矩阵 A 的特征值与特征向量求矩阵A 的一般思路：设 A ＝a b c ，根据 A α＝λαd构建 a ， b ， c ， d 的方程求解．[ 即时应用 ]1x 1 的属于特征值 － 21． (2015 江·苏高考 )已知 x ， y ∈ R ，向量 a ＝ 是矩阵 A ＝y 0 － 1的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．解： 由已知，得 Aa ＝－ 2a ，x 11－ － 2即＝x 1＝，y0 － 1y2x － 1＝－ 2， x ＝－ 1， 则即y ＝ 2，y ＝ 2，－11 所以矩阵 A ＝2.从而矩阵 A 的特征多项式f (λ)＝ (λ＋ 2)( λ－ 1)，所以矩阵 A 的另一个特征值为1.1 2．已知二阶矩阵 M 有特征值 λ＝ 3 及对应的一个特征向量 α1＝，并且矩阵 M 对应的1变换将点 (－1,2)变换成 (9,15) ，求矩阵 M .解： 设 M ＝ a b ，则a b 1 1 3 a ＋ b ＝ 3，＝ 3＝，故c dc d 113c ＋d ＝ 3.a b － 1 9－a ＋ 2b ＝ 9，又＝ ，故c d215－ c ＋ 2d ＝ 15.联立以上两方程组解得a ＝－ 1，b ＝ 4，c ＝－ 3，d ＝ 6，－ 1 4故 M ＝.－ 3 6考点三根据 A ， α计算 A n αn ∈ N *重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]1 23给定的矩阵 A ＝ ， B ＝ .－ 1 4 2 (1) ， λ及对应的特征向量 α， α；求 A 的特征值 λ1 2 12(2) 求 A 4B.解： (1) 设 A 的一个特征值为 λ，由题意知：λ－ 1 － 2＝ 0，即 (λ－ 2)(λ－ 3)＝ 0，所以 λ1＝ 2， λ2＝ 3.1λ－ 4当 λ1＝ 2 时，由1 2 xx2 的特征向量 α1＝24 ＝ 2，得 A 属于特征值；－ 1 yy1当 λ2＝ 3 时，由1 2 xx 3 的特征向量 α2＝14 ＝ 3，得 A 属于特征值.－ 1 y y1(2) 由于 B ＝32 1＝ α＋ α，＝ ＋ 2 1 1 1 2故 A 4＝4 α＋ α ＝ 4α＋ 34α＝ 16α＋ 81α＝ 32 81＝ 1132 ＋ .16 8197[ 由题悟法 ]已知矩阵 A 和向量 α，求 A n α(n ∈ N * )，其步骤为：(1) 求出矩阵， λ和对应的特征向量 α， αA 的特征值 λ1 2 12. (2) 把 α用特征向量的组合来表示：α＝ s α1＋ t α2.nnn表示 A n(3) 应用 A α＝ s λα11 ＋ t λα.2α2[ 即时应用 ]已知 M ＝ 1 2 ， β＝ 1 ，计算 M 5β21 7.λ－ 1 － 2解： 矩阵 M 的特征多项式为f( λ)＝2＝ λ－ 2λ－ 3.－ 2 λ－ 1令 f(λ)＝ 0，解得 λ＝1 3，λ＝－2 1，12 xx，得x ＋ 2y ＝ 3x ，令＝ 32 1 y y2x ＋ y ＝ 3y ，从而求得 λ1＝3 的一个特征向量为1α1＝，11同理得对应λ2＝－1的一个特征向量为α2＝－ 1.令β＝ mα1＋ nα2，则 m＝4， n＝－ 3.55α－ 3α555551－ 3× (－ 1)51β＝＝α－＝－＝×＝M M (44(M3(Mα4(λα3(λα312)1)2) 1 1)22)41－ 1975.9691．(2016 无·锡期末 )已知矩阵 A＝1012－1对应的变换把直线 l 0， B＝，若矩阵 AB21变为直线 l′： x＋ y－ 2＝ 0，求直线 l 的方程．解：由题意得 B－1＝1－ 2，01101－ 21－ 2所以 AB－1＝＝，020102设直线 l 上任意一点 (x， y)在矩阵 AB－1对应的变换下为点 (x′， y′ )，则1－ 2x＝02yx′x′＝ x－ 2y，，所以y′y′＝ 2y，将 x′， y′代入 l′的方程，得 (x－ 2y)＋ 2y－2＝ 0，化简后得 l： x＝ 2.12－ 11－12． (2016 江·苏高考 )已知矩阵 A＝0－2，矩阵 B 的逆矩阵 B＝2，求矩阵02AB.解：设 B＝ab，c d－11－1a b10则 B2＝，＝B c d010 2即错误 ! ＝错误 ! ，1a ＝ 1， a － 2c ＝ 1，1，11b ＝ 1b － 2d ＝ 0，4所以 B ＝4故解得.2c ＝ 0，c ＝ 0，121d ＝2d ＝ 1，2，1 1 1 51424因此， AB ＝ 0－ 2＝.1 0－123． (2016 南·京、盐城、连云港、徐州二模)已知 a ， b 是实数，如果矩阵 3 aA ＝所b － 2对应的变换 T 把点 (2,3) 变成 (3,4)．(1) 求 a ， b 的值；(2) 若矩阵 A 的逆矩阵为 B ，求 B 2.3 a23解： (1) 由题意得＝，b － 2 34所以 6＋ 3a ＝ 3,2b － 6＝ 4，所以 a ＝－ 1， b ＝ 5.3 － 1(2) 由 (1)得 A ＝.5 － 22 － 1由矩阵的逆矩阵公式得B ＝.5 － 32 － 1 2 － 1－ 1 1所以 B 2＝＝. 5 － 3 5 － 3 － 544． (2016 常·州期末 )已知矩阵 M ＝a 2 8 的一个特征向量是e ＝14的属于特征值 ，点b1P(－ 1,2)在 M 对应的变换作用下得到点Q ，求 Q 的坐标．a 2 1 1 解： 由题意知4 b ＝ 8×，11a ＋ 2＝ 8，a ＝ 6，故解得4＋ b ＝ 8，b ＝ 4，6 2 － 1 ＝－ 2所以42，所以点 Q 的坐标为 (－2,4)．4 4－ 1 45． (2016 苏·州暑假测试 )求矩阵 M ＝2 的特征值和特征向量．6λ＋ 1 － 42解： 特征多项式f(λ)＝＝ λ＋1)( λ－6)＝ λ－7)( λ＋ 2) ，－ ＝ λ－ λ－(85 14(－ 2 λ－ 6由 f(λ)＝ 0，解得 λ1＝ 7，λ2＝－ 2.8x － 4y ＝ 0，1 将 λ＝ 7 代入特征方程组，得即 y ＝ 2x ，可取为属于特征值 λ＝ 7 的11－ 2x ＋ y ＝ 0，2一个特征向量．－ － ＝ ，4x 4y 0同理， λ＝－2 2 时，特征方程组是即 x ＝－ 4y ，所以可取为属于－ 2x － 8y ＝ 0，－ 1特征值 λ2＝－ 2 的一个特征向量．M ＝ － 1 4λ1＝ 7， λ2＝－ 2.属于 λ1＝7 的一个特征向量综上所述，矩阵2 有两个特征值61，属于 λ2＝－ 2 的一个特征向量为4为－ 1. 23 6λ＝ 8 的一个特征向量e ＝ 6，及属于特征值 λ＝－ 36．矩阵 M ＝有属于特征值255的一个特征向量 e ＝13 ，计算 M3α2－ 1 .对向量 α＝ 8.解： 令 α＝ me ＋ ne ，将具体数据代入，有m ＝ 1，n ＝－ 3，所以 α＝e － 3e 所以M 3α 1212 .3333 3 3 6 1 3 153＝ M － 3e ＝ － 3M － 3× (－3) 3 ＝(e 1＝ λ － 3λ ＝ 8.5－ 1 2 479－ 1 27． (2016 泰·州期末 )已知矩阵 M ＝5x 的一个特征值为－ 2，求 M 2.2λ＋ 1－ 22解： 把 λ＝－ 2 代入－λ－ ＋ ＝ ，得＝ ，＝ λ－5λ－ x(x1)(x 5)x 3－2第 21 页共 21 页－ 124所以矩阵 M ＝65，所以 M 2＝.351428．已知二阶矩阵 M 有特征值 λ＝ 8 及对应的一个特征向量 e 1＝1 ，并且矩阵 M 对应的1变换将点 (－1,2)变换成 (－ 2,4). 求：(1) 矩阵 M;(2) 矩阵 M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2 的坐标之间的关系；(3) 直线 l ： x －y ＋ 1＝ 0 在矩阵 M 的作用下的直线 l ′的方程．a ba b 1 18解： (1) 设 M ＝，则c d 1 ＝ 8 ＝ ，c d1 8a ＋ ＝ ，b－1－2－a ＋ 2b ＝－ 2，b8a＝ ，故故c d＋ ＝8.24－c ＋ 2d ＝ 4.c da ＝ 6，b ＝ 2，62 联立以上两方程组，解得故 M ＝.c ＝ 4，44d ＝ 4，2(2) 由 (1) 知，矩阵 M 的特征多项式为f (λ)＝ (λ－ 6)( λ－ 4)－ 8＝λ－ 10λ＋ 16，故其另一个特征值为λ＝ 2.设矩阵 M 的另一个特征向量是e 2＝x ，y则 Me 2＝6x ＋ 2yx ，解得 2x ＋ y ＝0.＝ 2y4x ＋ 4y(3) 设点 (x ，y)是直线 l 上的任意一点， 其在矩阵 M 的变换下对应的点的坐标为 (x ′ ，y ′ )，则 6 2 x ＝x ′，即 x ＝ 1 ′ －1 ′ ， ＝－1′ ＋3′ ，代入直线l 的方程后并化简，4 4 y′4x8yy4x8yy得 x ′ － y ′ ＋ 2＝0，即 x －y ＋ 2＝ 0.。
高中数学苏教版选修4-2矩阵与变换《2.2.3 反射变换》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
高中数学苏教版选修4-2矩阵与变换《2.2.3 反射变换》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
•知识与技能:理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换;掌握反射变换的几何意义及其矩阵表示;
•过程与方法:从几何上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换,并证明二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线(或点);
•情感态度与价值观:培养学生探索新知的能力,发现数学的美。
2学情分析
在此之前,学生已经学习了恒等变换与伸压变换,并且具有反射的意识基础,此外本班学生思维较活跃,学习能力强,为本节课的开展做了很的铺垫。
3重点难点
教学重点:掌握反射变换的几何意义及其矩阵表示
教学难点:反射变换的简单应用
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】问题情境
1.阅读教材,解决下列问题:
问题:求圆C: 在矩阵作用下变换所得的几何图形.
反思:两个几何图形有何特点?
归纳:
问1:若将一个平面图形在矩阵的作用变换下得到关于轴对称的几何图形 ,则如何来求出这个矩阵呢?
问2:我们能否找出其它类似的变换矩阵呢?
归纳。
二阶矩阵与平面向量的乘法说课稿
《二阶矩阵与平面向量的乘法》说课稿南平一中李亚秀各位评委，大家好，我今天说课的题目是“二阶矩阵与平面向量的乘法”，下面我的说课将从以下几个方面进行阐述：一、教材分析1．教材的地位和作用教材选用人教版高中数学选修4-2，《二阶矩阵与平面向量的乘法》是第一讲第二节的内容，在高一学习了平面向量，以及前面几节学习了线性变换与二阶矩阵的基础上，进一步介绍二阶矩阵与平面向量的乘法，为后续学习线性变换的基本性质作了铺垫。
因此,本节课在本讲中起着承前启后的作用．更是学生进一步学习高等数学的基础。
本节内容共一个课时．2．教学重点、难点重点：掌握二阶矩阵与平面向量的乘法。
进一步体会从特殊到一般这一重要数学思想．难点：矩阵对应着向量集合到向量集合的映射的理解。
二、目标分析1．知识与技能目标⑴在教师引导下，从特殊到一般,通过观察、验证、推理与交流等数学活动，掌握二阶矩阵与平面向量的乘法法则进一步培养学生“用数学”的意识;⑵能利用二阶矩阵与平面向量的乘法解决有关的简单问题，提升学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力．2．过程与方法目标⑴经历理论与实际的联系，提升学生的数学建模能力，培养学生运用数学的意识；⑵经历推导二阶矩阵与平面向量的乘法的过程，使学生参与教学实践．⑶通过多媒体动画演示，培养学生用运动变化观点来分析问题、解决问题的能力．3．情感目标⑴让学生主动参与探求二阶矩阵与平面向量的乘法的过程，使学生感受成功的喜悦；⑵培养学生应用信息技术研究数学问题的意识和主动学习的良好习惯；三、教法分析新课程强调教师要调整自己的角色，改变传统的教育方式，体现出以人为本，以学生为中心，让学生真正成为学习的主人而不是知识的奴隶，基于此，本节课采用了问题探究和启发式相结合的教学方法。
教师通过创设问题情景，让学生积极参与到教学活动中来，通过层层的深入，使学生思想逐步开阔，提高解决问题的能力，同时利用多媒体辅助教学，节省了时间，增大了信息量，增强了直观形象性。
选修4-2 矩阵与变换
明 考 向
目 数学（理） 录
第一节
矩阵的性质、变换及乘法
考什么
抓 基 础
怎么考 矩阵的运算及
3.变换的复合——二阶矩阵的乘法
(1)了解矩阵与矩阵的乘法的意义．
明 考 向
矩阵变换的应用是
高考考查的重点， 都以解答题形式考 查.
(2)理解矩阵乘法不满足交换律． (3)会验证二阶矩阵乘法满足结合律． (4)理解矩阵乘法不满足消去律.
目 录
选修4-2 矩阵与变换 第一节 第二节 矩阵的性质、变换及乘法 逆变换与逆矩阵，矩阵的特征向量
数学（理）
选修4-2
矩阵与变换
目 数学（理） 录
第一节
矩阵的性质、变换及乘法
[备考方向要明了]
抓 基 础
考什么 1.了解二阶矩阵的概念． 2.二阶矩阵与平面向量(列向量)的乘法、平面图形的变换 (1)了解矩阵与向量的乘法的意义，会用映射与变换的观点看待二 阶矩阵与平面向量的乘法． (2)理解矩阵变换把平面上的直线变成直线(或点)，即A(λ1α＋λ2β) ＝λ1Aα＋λ2Aβ. (3)了解几种常见的平面变换：恒等变换、伸缩变换、反射变换、 旋转变换、投影变换、切变变换．
2 2 2 2 x y ∴圆 C： x2＋y2＝1 在变换 T 的作用下变成了椭圆 ＋ 4 16
提 能 力
明 考 向
0 1
0 1 ， 关于 y＝x 对称对
应的矩阵为 A＝
1 0 .
目 数学（理） 录
第一节
矩阵的性质、变换及乘法
(3)伸缩变换：对应的二阶矩阵
抓 基 础
k1 A＝ 0
0 ，表示将每个 k2
点的横坐标变为原来的 k1 倍，纵坐标变为原来的 k2 倍． (4)投影变换：关于 x 轴的(正)投影变换对应的矩阵为 A
高中数学 2.1 二阶矩阵与平面向量教案 选修4-2
2.1二阶矩阵与平面向量2． 1.1矩阵的概念课标解读1.了解矩阵产生背景．2．会用矩阵表示一些实际问题．3．了解矩阵的相关知识，如行、列、元素、零矩阵的意义和表示.矩阵的行、列、元素 同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母)叫做矩阵的行(row)，同一竖排中按原来次序排列的一列数(或字母)叫做矩阵的列(column)，而组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的元素．零矩阵 所有元素都为0的矩阵叫做零矩阵，记为0. 行矩阵 把像[]a 11 a 12这样只有一行的矩阵称为行矩阵．列矩阵 把像⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a 21这样只有一列的矩阵称为列矩阵，并用希腊字母α，β，…来表示.对于两个矩阵A ，B ，只有当A ，B 的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等时，A 和B 才相等，此时记作A ＝B .3．矩阵与平面向量的关系由于点P (x ，y )――→一一对应平面向量OP →，因此，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 既可以表示点(x ，y )，也可以表示以O (0,0)为起点、以P (x ，y )为终点的向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，在不引起混淆的情况下，对它们不加以区别．1．矩阵(a 23)与矩阵(a 32)一样吗？【提示】 不一样，因为矩阵(a 23)表示2行3列矩阵，而矩阵(a 32)表示3行2列矩阵． 2．对于m ×n 矩阵，由多少个元素组成？ 【提示】 对于1×2矩阵有1×2个元素组成； 对于1×3矩阵有1×3个元素组成； 对于2×2矩阵有2×2个元素组成； 对于2×3矩阵有2×3个元素组成； ……对于m ×n 矩阵有m ×n 个元素组成． 3．两个矩阵中的元素相同时，矩阵相等吗？【提示】 不一定．两个同行同列的矩阵，只要有一个对应位置上的元素不一样，这两个矩阵就不相等，如⎣⎢⎡⎦⎥⎤1423≠⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 42 －3.两个不同行(或者不同列)的矩阵一定是不相等的，如以零矩阵为例：[0,0]和⎣⎢⎡⎦⎥⎤0000，尽管两个矩阵的元素均为0，但两者不相等.用矩阵表示图形用矩阵表示如图中的直角△ABC ，其中A (－4,0)，B (0,2)，C (1,0)【思路探究】将点用列向量表示⇒将△ABC 用矩阵表示【自主解答】 因为直角△ABC 由点A ，B ，C 惟一确定，点A ，B ，C 可以分别用列向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 0，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤02，γ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10来表示， 所以△ABC 可以表示为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 0 1 0 2 0.矩阵可以认为是由几个点的坐标构成的列向量组成，反过来，矩阵可以表示几个点，或它们构成的平面图形．若像例1中那样用矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1 320 2 20表示平面中的图形，那么该图形有什么几何特征？【解】 矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1 320 2 20表示由点(0,0)，(1,2)，(3,2)，(2,0)四个点构成的一个平行四边形.用矩阵表示实际问题某物流公司负责从两个矿区向三个企业配送煤：从甲矿区向企业A 、B 、C 送的煤分别是100万吨、200万吨、150万吨；从乙矿区向企业A 、B 、C 送的煤分别是150万吨、150万吨、300万吨．试用矩阵表示上述数据关系．【思路探究】 求解的关键将实际问题中的几个量转化为矩阵中的元素．【自主解答】 设甲、乙两个矿区分别向A ，B ，C 三个城市的送煤量组成行向量α，β，则α＝[]100 200 150，β＝[]150 150 300.故甲、乙两个矿区向A ，B ，C 三个城市的送煤量用矩阵表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 200 150150 150 300.用矩阵表示实际问题的一般思路是：先将实际问题中的几个量(或将实际问题数字化后得到向量)组成行向量(或列向量)，再将其用矩阵表示．某班A 、B 、C 、D 四名学生的成绩统计表如下： 成绩统计表：姓名科目ABCD语文 82 75 92 63 数学 90 89 95 72 英语95909290试用矩阵表示上述数据． 【解】 矩阵可以表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤82 75 92 6390 89 95 7295 90 92 90矩阵相等的确定与应用设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 x －1y 0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤p －1 －2 2 q ，且A ＝B ，求p ，q ，x ，y .【思路探究】 利用二阶矩阵相等的定义，构建方程(组)求解． 【自主解答】 ∵A ＝B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝p －1，x －1＝－2，y ＝2，0＝q ，得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝0，x ＝－1，y ＝2.根据矩阵相等求矩阵中字母的值的一般思路是利用矩阵相等的定义，构建待求字母的方程(组)从而求解．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a c －d c ＋d b ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b ＋1 d ＋1 －c 2a ＋1，若A ＝B ，试求a ，b ，c ，d 的值．【解】 因为A ＝B ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a c －d c ＋d b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b ＋1 d ＋1 －c 2a ＋1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＋1，c －d ＝d ＋1，c ＋d ＝－c ，b ＝2a ＋1，由此解得 a ＝－1，b ＝－1，c ＝15，d ＝－25.(教材第10页习题第5题)设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x y3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m －n x ＋y x －2y m ＋n ，若A ＝B ，求x ，y ，m ，n 的值． (2013·苏州模拟)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 cos α＋sin αcos β－sin β 1，α，β∈(0,2π)，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1，若A ＝B ，求α，β的值．【命题意图】 本题主要考查矩阵相等的概念，以及方程思想． 【解】 ∵A ＝B ，∴⎩⎨⎧cos α＋sin α＝2，cos β－sin β＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2sin α＋π4＝2，2sin π4－β＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋π4＝2k 1π＋π2，k 1∈Z ，π4－β＝2k 2π＋π2，k 2∈Z .∴α＝2k 1π＋π4，k 1∈Z ，β＝－2k 2π－π4，k 2∈Z .又α，β∈(0,2π)， ∴α＝π4，β＝74π.1．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 3 572 4 68，则矩阵A 是一个________行________列矩阵，a 24＝________. 【解析】 根据矩阵定义知A 为一个二行四列矩阵，a 24＝8.【答案】 二 四 82．在二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234中，第二行、第一列的数是_______．【解析】 a 21＝3.【答案】 33．下列为列矩阵的有________(只填正确答案的序号)．①[0 0]；②⎣⎢⎡⎦⎥⎤00；③⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a 21；④[]a 11 a 12；⑤⎣⎢⎡⎦⎥⎤110；⑥⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0；⑦[]2 0；⑧⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2 00 3 4.【解析】 由列矩阵的定义知，②③⑥为列矩阵，故填②③⑥. 【答案】 ②③⑥ 4．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1823，矩阵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x y3.若A ＝B ，则x ＝________，y ＝________.【解析】 因为A ＝B ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝2.【答案】 8 21．画出矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3 －11 －1 2所表示的三角形．【解】 矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3 －11 －1 2所表示的点依次为A (2，1)，B (3，－1)，C (－1,2)，则三点所确定的三角形如图所示：2．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x y2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋2n 2x ＋y x －y m －n .若A ＝B ，求x ＋y ＋m ＋n 的值． 【解】 ∵A ＝B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝1，2x ＋y ＝x ，x －y ＝y ，m －n ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，m ＝53，n ＝－13.∴x ＋y ＋m ＋n ＝0＋0＋53－13＝43.3．已知方程组为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －2y ＝3，(1)写出由它的系数构成的矩阵；(2)若将常数项与系数联合起来，可以构成一个二行三列的矩阵，试写出该矩阵．【解】 (1)因为方程x ＋y ＝2中x 与y 的系数分别为1,1；方程x －2y ＝3中x 与y 的系数分别为1，－2，所以原方程组系数构成的矩阵为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 －2. (2)M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1 21 －23.4．营养配餐中心为学生准备了各种菜肴，每份中能量、脂肪、蛋白质的含量各不相同．“红烧肉”中所含上述三种营养成分分别为649千卡(1千卡＝4 187焦耳)、30 g 、10 g ；“青椒肉丝”中所含上述三种营养成分分别为258千卡、20 g 、19 g ；“韭菜豆芽”中所含上述三种营养成分分别为131千卡、15 g 、3 g ，试将上述结果用矩阵表示出来．【解】 各种菜肴中各种营养成分的含量如下表：M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤649 30 10258 20 19131 15 3.5．设矩阵A 为二阶矩阵，且规定其元素a ij ＝i 2＋j 2，i ＝1,2，j ＝1,2，试求矩阵A .【解】 根据题意，则有A ＝(a ij )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋12 12＋2222＋12 22＋22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 558.6．已知n 阶矩阵A ＝⎣⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎤3 6 … a ij … a 1n6 11 … a 2j… a 2n… … … … … …a i 1 a i 2 … a ij … a in… … … … … …a n 1 a n 2 … a nj … a nn，其中每行、每列都是等差数列，a ij表示位于第i 行第j 列的数．(1)写出a 45的值； (2)写出a ij 的计算公式．【解】 (1)∵第1列成等差数列，a 11＝3，公差为3， ∴a 41＝3＋(4－1)×3＝12.∵第2列成等差数列，a 21＝6，公差为5， ∴a 42＝6＋(4－1)×5＝21.又∵第4行成等差数列，公差为21－12＝9， ∴a 45＝12＋(5－1)×9＝48.(2)由(1)得a i 1＝3＋(i －1)×3＝3i ，a i 2＝6＋(i －1)×5＝5i ＋1，∴第i 行的公差为2i ＋1，∴a ij ＝3i ＋(j －1)×(2i ＋1)＝2ij ＋i ＋j －1.7．已知甲、乙、丙三人中，甲、乙相识，甲、丙不相识，乙、丙相识．若用0表示两人之间不相识，用1表示两人之间相识，请用一个矩阵表示他们之间的相识关系．(规定每个人都和自己相识)【解】 将他们之间的相识关系列表如下：甲 乙 丙 甲 1 1 0 乙 1 1 1 丙11故用矩阵表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1 01 1 10 1 1.教师备选8．小王是个气象爱好者，他根据多年收集的资料，发现了当地天气有如下的规律： 晴天的次日是晴天的概率为34；晴天的次日是阴天的概率为18；晴天的次日是雨天的概率为18.同样的，阴天的次日为晴天、阴天、雨天的概率分别是12，14，14；雨天的次日为晴天、阴天、雨天的概率分别是14，12，14.试用矩阵表示上述数据．【解】 晴天、阴天、雨天的次日分别是晴天、阴天、雨天的概率关系如下表：晴天的概率阴天的概率雨天的概率晴天的次日 34 18 18 阴天的次日 12 14 14 雨天的次日141214所以可用矩阵M 表示为：M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤34 18 1812 141414 12 14 2．1.2二阶矩阵与平面列向量的乘法课标解读1.掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法规则． 2．理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射.1．行矩阵[]a 11 a 12与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤11b 21的乘法规则 []a 11 a 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[]a 11×b 11＋a 12×b 21.2．二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22与平面列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0的乘法规则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. 3．平面向量的变换一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x ，y )，按照对应法则T ，总能对应惟一的一个平面点(向量)(x ′，y ′)，则称T 为一个变换，简记为：T ：(x ，y )→(x ′，y ′)或T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′.4．由二阶矩阵与平面列向量的乘积确定的平面向量的变换 一般地，对于平面向量的变换T ，如果变换规则为T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy ，那么根据二阶矩阵与列向量的乘法规则可以改写为T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y→⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 的矩阵形式，反之亦然(a ，b ，c ，d ∈R )． 由矩阵M 确定的变换T ，通常记作T M .根据变换的定义，它是平面内点集到其自身的一个映射．当α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 表示某个平面图形F 上的任意点时，这些点就组成了图形F ，它在T M 的作用下，将得到一个新的图形F ′——原象集F 的象集F ′.1．二阶矩阵与平面列向量乘法的作用是什么？【提示】 由二阶矩阵与平面列向量的乘法规则知：左乘这样一个二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22的作用是把向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 变成了另一个向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x ＋a 12×y a 21×x ＋a 22×y2．二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义是什么？ 【提示】 由本节的知识点知，一个二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 可以看作一个特定的平面上的几何变换，它将变换前的列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 表示平面上的点P (x ，y )，变成另一个列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy 表示的新的点P ′(ax ＋by ，cx ＋dy )．反过来，现有平面上的一个变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，如果⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy ，即变换后的点的横坐标及纵坐标均可由原向量(点)的坐标线性表示出来，这时变换T 应为矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd .3．矩阵与列向量的乘法的几何意义与函数的概念有何区别？【提示】 由二阶矩阵与平面列向量的乘法法则可以看出，其几何意义在于它对应着平面上点与点之间的某种几何变换，这与以前所学的函数的概念有所区别．函数是建立在数集上的对应，而由矩阵所确定的变换是建立在平面内点集到其自身的一个映射.二阶矩阵与平面列向量的乘法运算计算(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤57；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤31； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234⎣⎢⎡⎦⎥⎤86；(4)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . 【思路探究】 根据矩阵与向量的乘法规则运算．【自主解答】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤57＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1×5＋0×70×5＋－1×7＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－7.(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×3＋0×10×3＋1×1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31. (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤86＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×8＋2×63×8＋4×6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2048. (4)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×x ＋2×y 3×x ＋4×y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y . 二阶矩阵与平面列向量的乘法运算，按照其乘法规则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x ＋a 12×y a 21×x ＋a 22×y 进行．本例中(1)(2)(3)运算结果所表示的几何意义是什么？【解】 (1)在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1作用下，向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤57变成⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－7，此时点P (5,7)变成了关于x轴对称的点P ′(5，－7)．(2)在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001作用下，向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤31保持不变． (3)在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4作用下， 向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤86变成了向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤2048.矩阵的变换 (1)已知变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3215⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，试将它写成坐标变换的形式；(2)已知变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3y y ，试将它写成矩阵的乘法形式．【思路探究】 (1)根据矩阵与列向量乘法规则运算即得；(2)关键找到将2x －3y 及y 用x ，y 线性表示出来的系数a ，b ，c ，d . 【自主解答】 (1)根据矩阵与列向量的乘法规则，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋2y x ＋5y .(2)由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3y y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×x ＋－3×y 0×x ＋1×y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －30 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 得：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －30 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .1．将矩阵的乘法形式的变换写成坐标变换的形式，只需根据矩阵与列向量的乘法规则将矩阵的乘法进行运算即可．2．将坐标变换的形式写成矩阵的乘法形式，关键是找到矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，使⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . 已知变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5x －3y 2x ＋2y ，试将它写成矩阵的乘法形式．【解】 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5x －3y 2x ＋2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5×x ＋－3×y 2×x ＋2×y＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 －32 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 得：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 －32 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .在二阶矩阵对应的变换作用下点的坐标的确定与应用已知变换T ：平面上的点P (2，－1)，Q (－1,2)分别变换成P 1(5，－6)，Q 1(2，0)，求变换矩阵A .【思路探究】 由题意可知，变换矩阵A 为二阶矩阵，根据二阶矩阵与列向量的乘法可列出方程组，解方程组可求出二阶矩阵中的各元素．【自主解答】 设所求的变换矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 依题意，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－6， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝5，2c －d ＝－6，－a ＋2b ＝2，－c ＋2d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3，c ＝－4，d ＝－2.故所求的变换矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 3－4 －2.如果矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3002把点A 变成点A ′(3,2)，求点A 的坐标．【解】 设变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 即⎩⎪⎨⎪⎧3＝3×x ＋0×y ，2＝0×x ＋2×y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以点A 的坐标为(1,1)．(教材第11页习题第7题)设点P (a ，b )(a ，b ∈R )在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000对应的变换作用下得到点P ′，求点P ′的坐标．(2013·福建高考)已知直线：l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201对应的变换作用下变为直线l ′：x ＋by ＝1.(1)求实数a ，b 的值；(2)若点P (x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎣⎡⎦⎤x 0y 0＝⎣⎡⎦⎤x 0y 0，求点P 的坐标．【命题意图】 考查矩阵与矩阵变换．矩阵变换时，考查运算求解能力及化归与转化思想．【解】 (1)设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是M ′(x ′，y ′)．由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y ， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝y .又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1， 即x ＋(b ＋2)y ＝1.依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.(2)由A ⎣⎡⎦⎤x 0y 0＝⎣⎡⎦⎤x 0y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 0＋2y 0，y 0＝y 0，解得y 0＝0.又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1. 故点P 的坐标为(1,0).1．设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，则Aα＝________. 【解析】 Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×－1＋2×13×－1＋4×1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤112．已知⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则将它写成坐标变换的形式为：________.【解析】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×x ＋1×y 0×x ＋2×y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋y 2y .【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋y 2y3．线性变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝3x ＋4y 写成矩阵与向量的乘积的形式为________．【解析】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y4．若矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0把点A 变成点A ′(3,1)，则点A 的坐标为________．【解析】 设变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝0×x ＋－1×y ，1＝1×x ＋0×y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3.所以点A 的坐标为(1，－3)． 【答案】 (1，－3) 1．给定向量a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 5，利用矩阵与向量的乘法，试说明下列矩阵把向量a 分别变成了什么向量：⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0.【解】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－310， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5－3， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 0.2．求点A (4,3)在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1314 16对应的变换作用下得到的点． 【解】 因为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1314 16⎣⎢⎡⎦⎥⎤43＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤332，点A 在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1314 16对应的变换作用下为点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32.3．(1)已知变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2531⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，试将它写成坐标变换的形式；(2)已知变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5x 2y ，试将它写成矩阵的乘法形式．【解】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋5y 3x ＋y .(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5x 2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5×x ＋0×y 0×x ＋2×y＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . 4．给定向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤000，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 01，D ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，计算Aα，Bα，Cα，Dα，并说明它们所表示的几何意义．【解】 根据矩阵与向量的乘法，得Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32， Bα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， Cα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 2， Dα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23. 在矩阵A 作用下，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32保持不变；在矩阵B 作用下，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32变成零向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤00；在矩阵C 作用下，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32的横坐标变成相反数，纵坐标保持不变，此时点P (3,2)变成了关于y 轴对称的点P ′(－3,2)，如图(1)；在矩阵D 作用下，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32变成了向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，此时点P (3,2)变成了关于第一、三象限平分线对称的点P ′(2,3)，如图(2)．5．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21，其中a ∈R ，若点P (1，－2)在矩阵M 对应的变换下得到点P ′(－4,0)，求实数a 的值．【解】 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－2a 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 0， 得2－2a ＝－4，即a ＝3.6．设矩阵A 对应的变换把点A (1,2)变成点A ′(2,3)，把点B (－1,3)变成点B ′(2,1)，那么把点C (－2，3)变成了什么？【解】 设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，点A (1,2)，A ′(2,3)，B (－1，3)，B ′(2,1)对应的向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，β1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3，β2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.根据题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝2，c ＋2d ＝3，－a ＋3b ＝2，－c ＋3d ＝1.∴⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝25，b ＝45，c ＝75，d ＝45.∴A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 4575 45. 设点C (－2,3)对应的向量为γ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 3，在矩阵A 对应的变换下为C ′(x ′，y ′)，且C ′对应的向量为γ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 4575 45⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 85－25. 7．试说明正方形ABCD 在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001对应变换作用后的图形是否改变，其中A (0,0)，B (1，0)，C (1,1)，D (0,1)．【解】 ∵M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10， M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，∴A ，B ，C ，D 四点坐标没有变化， ∴正方形ABCD 没有改变． 教师备选8．直线2x ＋y －1＝0在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 202作用下变换得到的直线方程．【解】 法一 任意选取直线2x ＋y －1＝0上的一点P (x 0，y 0)，它在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1202作用下变换得到的点为P ′(x ，y )，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤1202⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋2y 0，y ＝2y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －y ，y 0＝12y .又因为点P 在直线2x ＋y －1＝0上，所以2x 0＋y 0－1＝0，即2(x －y )＋12y －1＝0，化简得所求直线方程为4x －3y －2＝0.法二 在直线2x ＋y －1＝0上取两点(12，0)，(0,1)．因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 202⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22， 所以变换后对应的点的坐标分别为(12，0)，(2,2)．所以所求直线过两点(12，0)，(2,2)，方程为4x－3y－2＝0.二 阶 矩 阵 与 平 面 向量二阶矩阵与平面列向量的乘法行矩阵与列矩 阵的乘法规则二阶矩阵与列向量的乘法规则平面向量的变换矩阵的变换矩阵的定义行矩阵零矩阵列矩阵矩阵相等 一、矩阵的概念矩阵是数学中一个极其重要而又应用广泛的概念，很多实际问题都可以归结成矩阵来解决．某物流公司负责从甲、乙两个城市向三个受灾地区A ，B ，C 运送救灾物资，即：从甲城市向城市A ，B ，C 送救灾物资的量分别是250万吨，210万吨，180万吨；从乙城市向城市A ，B ，C 送救灾物资的量分别是400万吨，350万吨，630万吨．试用矩阵表示甲、乙两个城市向A ，B ，C 三个受灾地区送救灾物资的数量．【解】 设甲、乙两个城市分别向A ，B ，C 三个受灾地区运送救灾物资的量组成行向量α，β，则α＝[]250 210 180，β＝[]400 350 630.故甲、乙两个城市向A ，B ，C 三个受灾地区运送救灾物资的量用矩阵表示为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤250 210 180400 350 630. 二、矩阵相等对于两个矩阵A ，B ，只有当A ，B 的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等时，A 和B 才相等，此时记作A ＝B .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x 21＋y 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 p ＋12 1－q ，且A ＝B ，求x ，y ，p ，q 的值．【解】 由矩阵相等的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，1＋y ＝2，p ＋1＝2，1－q ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，p ＝1，q ＝0.三、二阶矩阵与平面列向量的乘法二阶矩阵与平面列向量的乘法是矩阵运算与矩阵变换的关键，应熟练掌握．计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，并解释计算结果的几何意义．【解】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1×3＋2×10×3＋－1×1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－1，其几何意义是在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －1对应变换的作用下，列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤31变为列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－1或表示平面上的点P (3,1)变为点P ′(5，－1)．四、函数与方程思想函数与方程思想就是解决某些问题时，通过构造函数或方程，然后通过研究函数的有关性质或解方程(组)达到解决问题的目的．本章中函数与方程的思想应用广泛．已知点P (x ，y )在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1 1 3对应的变换下变成点P ′(3－1,1＋3)，求点P 的坐标．【解】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1 1 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x －y x ＋3y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－11＋3，∴⎩⎨⎧3x －y ＝3－1，x ＋3y ＝1＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，故P 点坐标为(1,1)．综合检测(一)1．已知二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，2x ＋3y ＝2，试用矩阵表示它的系数和常数项．【解】 系数矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1323，常数项矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤42. 2．写出矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1 20 0 1所表示的三角形的各顶点坐标．【解】 设三个顶点分别为A ，B ，C ，则A (0,0)，B (1,0)，C (2,1)．3．(1)已知⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0132⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，试将它写成坐标变换的形式；(2)已知⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2y y ，试将它写成矩阵的乘法形式．【解】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0＋y 3x ＋2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤y 3x ＋2y .(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . 4．设M 是一个3×3矩阵，且规定其元素a ij ＝i ＋3j (i ＝1,2,3；j ＝1,2,3)，试求M . 【解】 由题意可知a 11＝4，a 12＝7，a 13＝10，a 21＝5，a 22＝8，a 23＝11，a 31＝6，a 32＝9，a 33＝12，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 7 105 8 116 9 12. 5．设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 02 －2，P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －31 －4. (1)若矩阵M ＝N ，求x ，y ，z ，w ； (2)若矩阵M ＝P ，求x ，y ，z ，w .【解】 (1)∵M ＝N ，∴x ＝3，y ＝0，z ＝2，w ＝－2. (2)∵M ＝P ，∴x ＝3，y ＝－3，z ＝1，w ＝－4.6．计算：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤00；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1111⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .【解】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×x ＋0×y 0×x ＋1×y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ； (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ×0＋b ×0c ×0＋d ×0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×x ＋1×y 1×x ＋1×y ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋y x ＋y . 7．求使⎣⎢⎡⎦⎥⎤a23b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24及⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 23b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13成立的实数a ，b ，c ，d 的值． 【解】 ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 23 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 23b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2d ＝2，bd ＝4，ac ＝1，3c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4，c ＝1，d ＝1.8．如果矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －11 2对应的变换把点A 变成点A ′(2,1)，求点A 的坐标．【解】 设A (x ，y )，由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －y x ＋2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，x ＋2y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝53，y ＝－13，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－13. 9．设矩阵M 对应的变换把点A (1,6)变成A′(4,3)，把点B (－1,2)变成点B ′(2,5)，求矩阵M .【解】 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由已知， 得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤16＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤43， ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋6b ＝4，c ＋6d ＝3. ①②又由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤25， 得⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋2b ＝2，－c ＋2d ＝5. ③④由①③得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－12，b ＝34.由②④得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－3，d ＝1. ∴M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 34－3 1. 10．在△ABC 中，A (3,2)，B (3，－2)，C (6,4)，若矩阵M 对应的变换把点A 变成A′(2，－3)，把点B 变成B ′(1,2)，点C 变成C ′，求变换后直线A ′C ′所在直线方程．【解】 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋2b ＝2，3c ＋2d ＝－3，3a －2b ＝1，3c －2d ＝2.∴⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ a ＝12，b ＝14，c ＝－16，d ＝－54.∴M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 14－16 －54. ∴⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 14－16 －54⎣⎢⎡⎦⎥⎤64＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4－6. ∴C ′(4，－6)．∴直线A ′C ′的方程为y ＋3＝－6＋34－2×(x －2)， 即3x ＋2y ＝0.。
矩阵与变换教学指导-新课标-选修4-2
矩阵与变换教学指导-新课标-选修4-2矩阵与变换教学指导在全省高中数学选修模块教学研讨会上对选修系列4教学指导研讨的发言吴公强按照我省及宁夏回族自治区高中数学选修４专题系列选课方案，及０７年高考说明的要求，我省统一选学４－１几何证明选讲４－２矩阵与变换４－４坐标系与参数方程４－５不等式选讲四门课程，以下我代表中心组就这四门课程的定位、教学目标、教学法及复习迎考建议，借这个机会分专题同同志们一起进行研讨．关于选修4-２专题：矩阵与变换的教学研究一、课标内容与要求矩阵是研究图形（向量）变换的基本工具，有着广泛的应用，许多数学模型都可以用矩阵来表示。
本专题将通过平面图形的变换讨论二阶方阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念，并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义，初步展示矩阵应用的广泛性。
1. 引入二阶矩阵2. 二阶矩阵与平面向量（列向量）的乘法、平面图形的变换（1）以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义。
（2）证明矩阵变换把平面上的直线变成直线（或点），即证明()A A A λαλβλαλβ1212+=+（3）通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如正方形）的变换，认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。
3. 变换的复合——二阶方阵的乘法（1）通过变换的实例，了解矩阵与矩阵的乘法的意义。
（2）通过具体的几何图形变换，说明矩阵乘法不满足交换律。
（3）验证二阶方阵乘法满足结合律。
（4）通过具体的几何图形变换，说明乘法不满足消去律。
4. 逆矩阵与二阶行列式（1）通过具体图形变换，理解逆矩阵的意义；通过具体的投影变换，说明逆矩阵可能不存在。
（2）会证明逆矩阵的唯一性和()AB B A ---=111等简单性质，并了解其在变换中的意义。
（3）了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵。
5. 二阶矩阵与二元一次方程组（1）能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义。
（2）会用系数矩阵的逆矩阵解方程组。
高中数学选修4-2《矩阵与变换》.1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法
北山愚公者，年且九十，面山而
苦于
曲折，绕远
居。惩山北之塞，出入之迂也，
阻塞
聚室而谋曰：“吾与汝毕力平险，指
家
铲平险峻的大山 直
皆，共同
通豫南，达于汉阴，可乎？”杂然相
赞同
许。
译文：
北山脚下有个叫愚公的人，年纪将近九 十岁了，面对着山居住。愚公苦于这两座大 山横亘面前而阻塞交通，进进出出曲折绕远。 于是愚公便聚合全家来商量说：“我和你们 竭尽全力铲平险阻，使它一直通向豫州南部， 到达汉水南岸，好吗？”大家纷纷表示赞成。
x y
x y
1 3
4 2
x
y
，
试将它写成坐标变换的形式；
（2）已知变换
x y
x y
x
3y y
，
试将它写成矩阵乘法的形式.
小结:
(1)二阶矩阵与平面向量的乘法规则;
(2)理解矩阵对应着向量集合到向量集 合的映射;
字词积累
rèn
sè
jī běn chèn
仞
塞
箕畚 龀
kuì
wú
cuò
穷匮
亡以应
厝
整体感知
朗读课文，读准节奏，读出感情。
再读课文，结合注释翻译。
。
古代长度单位， 八尺为一仞 （一说七尺）。
黄河北岸。阳，山的南面 或水的北面。
译文：
太行、王屋两座大山，纵横七百里，高 万仞。本来在冀州的南部、黄河北岸的北边。
二阶矩阵与平面列向量 的乘法
某电视台举行的歌唱比赛,甲、乙两选 手初赛、复赛成绩如表：
高中数学选修4-2教案
2．1．1矩阵的概念1．坐标平面上的点（向量）——矩阵设O (0, 0)，P (2, 3)，则向量 (2, 3)，将的坐标排成一列，并简记为OP → OP →[23]2．日常生活——矩阵（1）某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下：初赛复赛甲8090乙8688（2）某牛仔裤商店经销A 、B 、C 、D 、E 五种不同牌子的牛仔裤，其腰围大小分别有28英寸、30英寸、32英寸、34英寸四种，在一个星期内，该商店的销售情况可用下列矩阵形式表示：A B C D E28英寸 1 3 0 1 230英寸 5 8 6 1 232英寸 2 3 5 6 034英寸 0 1 1 0 33．图——矩阵矩阵：记号：A ，B ，C ，…或（a ij ）(其中i,j 分别元素a ij 所在的行和列)要素：行——列——元素2323[80 9086 88]AB CDAB C D1 1 01 0 1 01 1 0 10 0 1 00 1 1 01 0 1 01 1 0 10 0 1 0A B C A 0 3 1B 3 0 0C 1 0 2矩阵相等⇔行列数目相等并且对应元素相等。
特别：（1）2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵（2）零矩阵（3）行矩阵：[a 11,a 12]列矩阵：，一般用α，β等表示。
[a 11a 21]（4）行向量与列向量例1用矩阵表示三角形ABC ，A （－1，0），B （0，2），C （2，0）例2用矩阵表示下列关系图2.1.2矩阵的乘法1．生活实例（1）某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下：初赛复赛甲8090乙8688如果规定歌唱比赛最后成绩由初赛和复赛综合裁定，其中初赛占40%，决赛占60%，那么甲、乙的最后成绩可用如下矩阵的形式表示：= = [80 9086 88][0.40.6][80 ⨯ 0.4 + 90 ⨯ 0.686 ⨯ 0.4 + 88 ⨯ 0.6][8687.2]（2）某牛仔裤商店经销A 、B 、C 、D 、E 五种不同牌子的牛仔裤，其腰围大小分别有28英寸、30英寸、32英寸、34英寸四种，在一个星期内，该商店的销售情况可用下列矩阵形式表示A B C D E28英寸 1 3 0 1 230英寸 5 8 6 1 232英寸 2 3 5 6 034英寸 0 1 1 0 3假设不同牌子的每条牛仔裤的平均利润分别为：A 为30元，B 为35元，C 为40元，D 为25元，E 为40元，试问28英寸牛仔裤在该星期内获得的总利润是多少？28英寸牛仔裤的销售量：AB CD EA[80 9086 88][1 3 0 1 2]不同牌子的平均利润3035402540M= 1 ⨯ 30 + 3 ⨯ 35 + 0 ⨯ 40 +1 ⨯ 25 + 2 ⨯ 40 = 240（元）如果要求各种规格大小的牛仔裤的总利润，就自然地得出下列的矩阵乘法1 3 0 12 30 240 28英寸牛仔裤的利润5 86 1 2 35 775 30英寸牛仔裤的利润2 3 5 6 0 40 ＝515 32英寸牛仔裤的利润0 1 1 0 3 25 195 34英寸牛仔裤的利润一般地：（1）行矩阵与列矩阵的乘法规则（2）二阶矩阵与列向量的乘法规则2．二阶矩阵乘列向量——几何意义[1 00 2][x y][x2y]（1）=[1 00 2][x y][x2y]矩阵平面上每个向量（点）变成了向量（点），因此它是平面到平面的一个变换．这个变换实际上是把平面上的图形在y轴方向拉伸了两倍．一般地：（1）平面变换的定义（2）平面变换的记号（3）平面变换的规则2.2平面变换——恒等变换1．恒等变换将图中所示的四边形ABCD保持位置不变，能否用矩阵M来表示？-2-1123-4-3-2-112系列22．伸压变换——能否用矩阵来表示下列图形的变换？-4-20246-1.5-1-0.500.51 1.5系列1系列2例1已知曲线y ＝sinx 经过变换T 作用后变为新的曲线y ＝sin2x ，画出相关的图象，并求出变换T 对应的矩阵M 。
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第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。
一、二阶矩阵 1.矩阵的概念
①OP → = (2, 3)，将OP →的坐标排成一列，并简记为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
2 3
⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3
③
概念一：
象⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3 80908688⎡⎤⎢⎥⎣⎦
23324m ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字
母
A
、
B
、
C…
表
示
，
横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列. 名称介绍：
①上述三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵，注意行的个数在前。
②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A ＝B 。
③行矩阵：[a 11,a 12]（仅有一行）
④列矩阵：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
a 11 a 21 （仅有一列）
⑤向量a →
＝（x,y ），平面上的点P （x,y ）都可以看成行矩阵[,]x y 或列矩阵x y ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，在本书中
规定所有的平面向量均写成列向量x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
的形式。
练习1： 1.已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=243x A ,⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-=21z y B ，若A=B ，试求z y x ,,
2.设23x A y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2m n x y B x y m n ++⎡⎤
=⎢⎥--⎣⎦
，若A=B ，求x,y,m,n 的值。
— 2
—
3
—
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤80 90 86 88
23324x y x y ++⎧⎨-+⎩简记为23324m ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦
概念二：
由4个数a,b,c,d 排成的正方形数表a b c d ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
称为二阶矩阵。
a,b,c,d 称为矩阵的元素。
①零矩阵：所有元素均为0，即0000⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，记为0。
②二阶单位矩阵：1001⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
，记为E 2. 二、二阶矩阵与平面向量的乘法
定义：规定二阶矩阵A=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，与向量x y α→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
的乘积为ax by A cx dy α→+⎡⎤
=⎢⎥
+⎣⎦，即A α→＝a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝ax by cx dy +⎡⎤
⎢⎥+⎣
⎦
练习2： 1.（1）⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-131021＝ （2） ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-311021＝ 2.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2101⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11，求⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡y x
三、二阶矩阵与线性变换 1.旋转变换
问题1:P （x,y ）绕原点逆时针旋转180o 得到P ’(x ’,y ’),称P ’为P 在此旋转变换作用下的象。
其结果为''x x y y ⎧=-⎨=-⎩，也可以表示为''00x x y y x y ⎧=-+⋅⎨=⋅-⎩
，即''x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1001-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ＝x y -⎡⎤⎢⎥-⎣⎦怎么算出来的？
问题2. P （x,y ）绕原点逆时针旋转30o 得到P ’(x ’,y ’),试完成以下任务①写出象P ’； ②写出这个旋转变换的方程组形式；③写出矩阵形式.
问题3.把问题2中的旋转30o 改为旋转 角，其结果又如何？
2.反射变换
定义：把平面上任意一点P 对应到它关于直线l 的对称点P ’
的线性变换叫做关于直线l 的反射。
研究：P （x,y ）关于x 轴的反射变换下的象P ’(x ’,y ’)的坐标公式与二阶矩阵。
3.伸缩变换
定义：将每个点的横坐标变为原来的1k 倍，纵坐标变为原来的2k 倍，（1k 、2k 均不为0），这样的几何变换为伸缩变换。
试分别研究以下问题：
①.将平面内每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.
②. 将每个点的横坐标变为原来的1k 倍，纵坐标变为原来的2k 倍的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.
4.投影变换
定义：将平面上每个点P 对应到它在直线l 上的投影P ’（即垂足），这个变换称为关于直线l 的投影变换。
研究：P （x,y ）在x 轴上的（正）投影变换的的坐标公式与二阶矩阵。
5.切变变换
定义：将每一点P （x,y ）沿着与x 轴平行的方向平移ky 个单位，称为平行于x 轴的切变变换。
将每一点P （x,y ）沿着与y 轴平行的方向平移kx 个单位，称为平行于y 轴的切变变换。
研究：这两个变换的坐标公式和二阶矩阵。
练习：P 10 1.2.3.4
四、简单应用
1.设矩阵A=1001-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，求点P(2,2)在A 所对应的线性变换下的象。
【第一讲.作业】
1.关于x 轴的反射变换对应的二阶矩阵是
2.在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转120o 的旋转变换对应的二阶矩阵是
3.如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是
4.平面内的一种线性变换使抛物线2
y x =的焦点变为直线y=x 上的点，则该线性变换对应的二阶矩阵可以是
5.平面上一点A 先作关于x 轴的反射变换，得到点A 1,在把A 1绕原点逆时针旋转180o
，得到
点A 2，若存在一种反射变换同样可以使A 变为A 2，则该反射变换对应的二阶矩阵是
6.P （1，2）经过平行于y 轴的切变变换后变为点P 1(1,-5)，则该切变变换对应的坐标公式为
7. 设1
21x A x y ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
，2242z x B x ⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦，且A=B.则x ＝
8.在平面直角坐标系中，关于直线y=-x 的正投影变换对应的矩阵为
9.在矩阵1221A -⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
对应的线性变换作用下，点P(2,1)的像的坐标为
10.已知点A （2，－1），B （－2，3），则向量AB →
在矩阵11202⎡⎤
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
对应的线性变换下得到的向量坐标为
11.向量a →
在矩阵1201A -⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
的作用下变为与向量11⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦平行的单位向量，则a →＝ 12.已知15234A ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎣
⎦，a →＝12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，b →＝34⎡⎤⎢⎥⎣⎦，
设a b α→→→=+，a b β→→→=-，①求A α→，A β→；
13.已知1012A ⎡⎤=⎢⎥
-⎣⎦，a →＝11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，b →＝1x ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，若A a →与A b →的夹角为135o ，求x.
14.一种线性变换对应的矩阵为1010⎡⎤
⎢
⎥
-⎣⎦。
①若点A 在该线性变换作用下的像为（5，－5）,求电A 的坐标；②解释该线性变换的几何意义。
15.在平面直角坐标系中，一种线性变换对应的二阶矩阵为01
102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
求①点A （1/5,3）在
该变换作用下的像；②圆2
2
1x y +=上任意一点00(,)P x y 在该变换作用下的像。
答案：1.1001⎛⎫ ⎪-⎝⎭
2. 1212⎛- ⎪⎪-⎪
⎭ 3. 360o
R 4.00a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5.1001-⎛⎫ ⎪⎝⎭6.''2x x y x y ⎧=⎨=-+⎩ 7.－1 8. 1
1221122⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪
- ⎪⎝⎭ 9.（0，5） 10.（2，8）
11.
，⎛ ⎝
12.718-⎛⎫ ⎪-⎝⎭、
194⎛⎫ ⎪-⎝⎭
13.ｘ＝2/3 14.(5,y) 15. 1532⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
,2o o
x y ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。