高一必修五数列期末复习建议

（化归思想）
等差或等比数列
等差数列
数列高一必修五数列期末复习建议
本章知识结构
数列是刻画离散现象的数学模型，是一种特殊的函数.本章节是培养学生观察、归纳、猜想能力的良好素材，也是培养学生化归思想的重要载体.
同时，数列与诸多章节的结合性强，是多个知识的交汇点，能很好地考查学生的综合分析能力.数列是高考与学业水平考试压轴题的常客，可见数列在高中数学中占据重要的地位.
但考虑到高一的课时紧，高一学生对高中数学知识系统的不熟悉，对数学方法还未有深入了解以及计算能力有限等特点，数列复习应由浅入深.
本次复习建议主要以本章节的主要知识点及主要题型为线索。

本章基本题型
一、等差、等比数列基本量的计算
题1、在等差数列{}n a 中，12,4,240n a d S ==-=-，求n 及n a . 题2、在等比数列{}n a 中，已知13a =，96n a =，189n S =，求n .
注：等差数列中1a ，d ，n ，n a ，n S 或等比数列中1a ，q ，n ，n a ，n S “知三求二”.
二、等差中项与等比中项的灵活运用
题组1
题3、若等差数列{}n a 的前n 和为n S ，且25815a a a ++=，求9S 的值. 题4、若等差数列{}n a 和{}n b 的前n 和分别为n S 与n T ，且123n n S n T n +=+，求99
a b 的值. 注：等差数列中21(21)n n S n a -=-. 题组2
题5、在等比数列{}n a 中，已知51a =，71
4
a =
，求6a . 题6、在等比数列{}n a 中，已知312a =，71
8
a =，求5a .
注：注意等比中项的正负性.
备注：
1、等差、等比数列的基本量是常用知识点，也是解决数列问题最为常用的通式通法
2、等差中项、等比中项也是数列中重要知识点之一，在教学中应引起较多的重视及较多的变式训练。

三、等差、等比数列通项及其前n 项和的函数特征
题7、已知等差数列25，21，17，......，其前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值. 题8、已知{}n a 与{}n b 均为公比不等于1的正项等比数列，则以下数列中，哪些为等比数列？ （1）{}n n a b ；（2）{
}n n a b ；（3）{}n n a b ±；（4）1{}n
a ；（5）2
{}n a ；（6
）.
备注：注意数列是一类特殊的函数的离散点列。

所以数列（尤其是等差，等比数列）有函数的一定特征性质，如：
等差数列n a kn b =+（公差0d ≠时）→结合一次函数
等比数列n
n a k q =⋅→类似指数型函数（但是q 可为负数及1）
等差数列前n 项和21()22
n d d
S n a n =
+-（公差0d ≠时）→结合过原点的二次函数
四、数列计算中的整体性思维
题9、已知等差数列{}n a 的前n 和为n S ，且10330S =，201220S =，求30S . 题10、若数列{}n a 为等差数列，公差为1
2
，且100145S =，求24100......a a a +++的值.
五、等差、等比数列的简单综合
题11、已知等差数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，424S =，25a =.
（1）若113,,k a a a 成等比数列，求k 的值；（2）设2n a
n b =，求{}n b 的前n 项和n T .
以上五个重要题型及知识点常考点也是最为基础的。

但除了等差、等比两类重要数列的教学外，在本文开始的知识结构图可看出，在证明等差、等比相关性质、定理、公式时，蕴涵了许多思想方法及演绎技巧。

再者，为了学生在高二、高三的深化学习需要，我们可以以专题的形式介绍一些特殊数列（包括求和）的处理技巧。

当然，开哪些专题及讲的难度还要考虑课时及生源情况。

六、特殊数列的求和 题组1 题12、若1
(1)
n a n n =
+，求n S ；
题13、若2
(31)(32)n a n n =
-+，求n S ；
*题14、若1
(2)
n a n n =
+，求n S ；
*题15、若12(21)(21)
n
n n n a +=--，求n S .
注：裂项法求和.（打“*”题目可供生源较好，或各校培优所用） 题组2
题16、求和：23122232...2n
n ⋅+⋅+⋅++⋅； 题17、若(21)3n
n a n =+⋅，求n S .
注：错位相减法求和. 题组3
题18、若32n
n a n =-+，求n S ；
题19、若1
32(1)n a n n n =-+
+，
求n S .
注：分组法求和.
因为数列在近几年的很多省市高考题处于一个压轴题的位置，表现形式以递推关系式居多，而且递推关系式的解题的入手位。

因此，很多学校也把各类型的递推关系式作为教学课程之一。

当然，对数学能力较强，数学素养较高的学生讲授是一件好事，既能开阔学生眼界，也能锻炼学生的能力。

七、递推数列的通项公式
由于课时有限及我校学生水平有限，若把递推数列类型广泛讲授，则大部分学生吃不消，能接受的学生较少，从而导致课堂效率低下，课时更为紧张.再者，只讲形式上的递推数列，就有了“奥数”的味道了，教学难度较大.但笔者发现大部分的高考题及模拟题有别于“奥数”问法，题设是有台阶的.因此，在教法上，我们可以教给学生一些解题技巧. 1、“整体”观察数列递推关系式
题20、[2011·全国卷] 设数列{a n }满足a 1＝0且11－a n ＋1－1
1－a n
＝1，求{a n }的通项公式.
题21、[2012届广州高三调研文]各项均为正数的数列{}n a ，满足11a =，2212n n
a a +-=（*n ∈N ）． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列22n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S ．
2、用定义法求数列通项公式
*题22、[2010届韶关市高三摸底考试理科]已知数列{}n a 满足a a =1(2)a ≠-，
1(46)41021n n n a n a n ++++=
+（n *∈N ）．证明数列221n a n +⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
是等比数列，并求出通项n a ．
分析：题目求证数列221n a n +⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
是等比数列，所以暗示可用“作商”法进行求解.
解：112(46)410
(21)[2]
(21)(2)(46)8122(1)1212(23)(2)(23)(2)(23)(2)21n n n n n n n n a n a n n n a n a n n n a n a n a n a n ++++++++++++++++===
++++++++ (46)(2)2(23)(2)n n n a n a ++=
=++，所以2{}21n a n ++是以2为公比，122
2113
a a ++=
⨯+为首项的等比数列 所以1222213n n a a n -++=⋅+，所以1
22(21)23
n n a a n -+=⋅+-
*题23、若11a =，22a =，且有21321n n n a a a n ++=-+-. （1）求证：1{}n n a a n +-+成等比数列；（2）求{}n a 的通项公式.
分析：本题是一个二阶递推关系式“21n n n a pa qa ++=+”的拓展，题目求证“1{}n n a a n +-+成等比数列”，因此暗示可用“作商”法进行求解.
以上两题旨在说明授课方式，在高一教学可把递推关系题目难度降低，我校采用题目如：
在数列{}n a 中，11a =，122n
n n a a +=+．设1
2
n
n n a b -=
．证明：数列{}n b 是等差数列.
八、图形数列
图形数列经常作为选择填空题压轴题的常客，可以结合后面猜想与证明的思想以专题的形式讲解，并且结合一些常考的数列规律，渗透解题技巧.
题24、观察下列的图形中小正方形的个数，则第n 个图中有 个小正方形.
……….
分析：可以把图形抽象为数列3,6,10,15,21，……让学生发现“差成等差”，因此可设通项公式
2n a an bn c =++（,,a b c 为常数），用待定系数法求通项。

数列章节在高中数学课程中处于一个重要地位，因此我校在高一基础教学上投入的时间亦相对较多.教学时间预计4周，期末复习时间预计3课时。

尽管如此，鉴于学生数学素养及认知水平层次较低，在基础年级，我们更注重基础知识、基本技能、基础题型的教学，引导学生主要使用通式通法解题。

考虑到数列的难点，我们还对学生进行一定的分层教学。