概率论

1、从一大批产品中任抽5件产品，事件A 表示“这5件产品中至少有1件废品”，事件B 表示“这5件产品都是合格品”，则事件AB 表示（C 、 不可能事件）。

2、已知P(A)=P(B)=P(C)=41,P(AB)=0，P(AC)=P(BC)=16

1

则事件A,B,C 至少有一个发生的概率为（C 、

8/5）

3、设在每次试验中，事件A 发生的概率为P(0

4、若)(x f 为随机变量X 的密度函数，则P （X<2）=（A 、 ⎰∞

-2)(dx x f ）。 5、篮球队员投篮命中率为0.8，则在连投10次恰有8次投中的概率为（C 、 2.08.028810C ）

。 6、设随机变量X 服从参数为θ的指数分布，其密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-0

00)(x x e x x f ，，θθ其中θ>0则X 的数学

期望E （X ）为（C 、 θ/1）。

7、设X 服从二项分布，E （X ）=2.4，D （X ）=1.44,则二项分布的参数为（A 、 n=6，p=0.4）。

8、设X ~N （σμ2

,）且σ2未知，若样本容量为n ，则μ的95%的置信区间为（D 、（)1(/025.0-±-n t n s X ）） 9、X 1,X 2，...，X n 是[θ,3θ]上均匀总体的样本，θ>0是未知参数，记∑=--

n

i i X n X 1

/1，则θ的无偏估计为（B 、 X -

2/1）。

10、设（X 1,X 2，...，X n ）是来自总体X 的样本，X 服从N （σμ2,），μ已知、σ2未知，则不是统计量的是（D 、∑-=-

n

i i X X 122)(/1σ） 填空题

1、设P （A ）=1/2，P （B ）=1/3，P （AB ）=（3/4）。

2、设X 服从N （3，22），则P （1,

3、已知事件A 、B 相互独立，P （A ）=0.5，P （B -

）=0.6，则P （A ⋃B ）=（0.7）。

4、设（X ，Y ）在圆域12

2

≤+y x 上服从均匀分布，则（X ，Y ）的概率密度为（⎩⎨⎧≤+=，其它

，01/1),(22y x y x f π）。

5、将n 个小球随机放到N （n ≤N ）个盒子中去，不限定盒子容量，则恰好有n 个盒子各有一球的概率是（N

A N n

n

）。 6、独立随机变量X 、Y ，若X~N （1,4），Y~N （3,16），则D （X-Y ）=（20）。 7、设X 为随机变量，E （X ）=2，D （X ）=4，则E （X 2）=（8）。

8、设总体X 服从[0,θ)上的均匀分布，记X -

为来自总体样本X 1,X 2，...，X n 的样本均值，则θ的矩估计为（2X -

）。

9、设X 服从参数λ=6的泊松分布，则E （2X+1）=（13）。

10、设X 1,X 2，...，X n 是来自正态总体N （0,1）的样本，则∑=n

i i X 12~（)(2n χ）。

计算

1、从0,1,2，...，9中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：

A 1={三个数字中不含1与2}，A 2={三个数字中不含1或2}

解：P （A 1）=15/7/31038=C C P （A 2）=1-C C 3

1018/=14/15

2、设一批混合麦种中一、二、三等品分别占20%、70%、10%，三个等级的发芽率依次为0.9，0.7，0.3，求这批麦种的发芽率。若取一粒能发芽，它是二等品的概率是多少？ 解：0.2×0.9+0.7×0.7+0.1×0.3=0.7 0.7×0.7/0.7=0.7

3、设随机变量X 具有概率密度函数)(x f X =⎩⎨⎧<<，【其它】】，【0408/X X ，求随机变量Y=2X-5的概率密度。

解：Y F （y ）=P{Y ≤y}=P{2X-5≤y}=P{X ≤y+5/2}=X F (y+5/2) 关于

y

求导，得

Y=2X+5

的概率密度函数为

f Y

（y ）=

f X

（y+5/2）·)5/2+(y '=⎪⎩⎪⎨⎧<+<+，【其它】】，【0425021)25(81y y =⎪⎩⎪

⎨⎧<<+，【其它】

】，【035-32

5

y y 4、设随机变量X 的密度函数)(x f =⎩⎨⎧<<-，【其它】

】

，【010)1(x x k 求：（1）常数k （2）P （0.5

解：（1）由⎰+∞∞-dx x f )(=1 得⎰=-10

1)1(dx x k 即1)//(1

022110=-x x k k=2 （2）P{0.5

.0)1(2=25.0//215.0215.0=-x x 5、设随机变量（X,Y ）的概率密度为：⎩

⎨⎧<<<<=，【其它】】，【010,10),(2y x Cxy y x f 求：（1）常数C （2）

P(X

解：（1）由⎰⎰=+∞∞-+∞∞-1),(dxdy y x f 得 110102

=⎰⎰dxdy cxy 即110102=⎰⎰dy y xdx c 1)/)(/(1033

110221=y x c 所以c=6 （2）P （X

dxdy y x f ),(=dy xy dx x

⎰⎰1

2106=dx xy x /213

1

0⎰=dx x x ⎰-103)1(2=//10552102x x -=53 （3）⎰⎩⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<⎰==∞

+∞

-，其他，，其他

，01020106),()(102

x x x dy

xy dy y x f x f X

⎰⎩⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨

⎧<<⎰==∞+∞-，其他，其他

，010,30106),()(210

2y y y dx xy dx y x f y f Y 因为f （x ，y ）=)()(y f x f Y X ⨯，所以X 和Y 是独立的