北师大版七下全等三角形基础训练
北师大版七年级数学下册综合题专练：全等三角形含参考答案
(3)在前面的条件下，若 P 是 BE 上一点，G 是 CD 上任一点，PQ 平分∠BPG，PQ∥GN，GM 平分∠DGP，下列结论: ①∠DGP-∠MGN 的值不变；②∠MGN 的度数不变，可以证明只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值.
26．如图，在△ABC 中，已知∠BDC=∠EFD，∠AED＝∠ACB． （1）试判断∠DEF 与∠B 的大小关系，并说明理由； （2）若 D、E、F 分别是 AB、AC、CD 边上的中点，S△DEF=4，求 S△ABC.
9．ΔABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD ⊥ OB，交边AB于点D．
（1）如图，若∠ABC=40°，则∠AOC=
，∠ADO=
；
（2）猜想∠AOC与∠ADO的关系，并说明你的理由；
10．已知∠α 和∠β 求作∠AOB=2∠α+∠β（要求：只画图形，不写画法）
11．（1）发现：如图1，点B是线段AD上的一点，分别以AB，BD为边向外作等边三角形ABC和等边三角形BDE，连接 AE，CD，相交于点O.
∴ ∠DAB = ∠ABC = ∠ADC = 90°，
∴ 四边形 ABCD 是矩形（
）（填依据），
又∵ AB = BC，
∴ 四边形 ABCD 是正方形．
18．如图所示，点 E 在△ABC 外部,点 D 在 BC 边上，DE 交 AC 于 F,若∠1=∠2,∠C=∠E, AE=AC．
(1)求证: △ABC≌△ADE;
（1）求证：ΔACD≅ΔBCE；
（2）若∠A = 70°，求∠E的度数. 8．如图①，∠MON=70°，点 A、B 在∠MON 的两条边上运动，∠MAB 与∠NBA 的平分线交于点 P． (1)点 A、B 在运动过程中，∠P 的大小会变吗？如果不会，求出∠P 的度数；如果会，请说明理由． (2)如图②，继续作 BC 是平分∠ABO，AP 的反向延长线交 BC 的延长线于点 D，点 A、B 在运动过程中，∠D 的大小 会变吗？如果不会，求出∠D 的度数；如果会，请说明理由. (3)如图②，∠P 和∠D 有怎样的数量关系？(直接写出答案)
北师大版数学七年级下册《全等三角形》单元测试含答案(精)
全等三角形单元测试一、认认真真选，沉着应战！1．下列命题中正确的是（ ）A ．全等三角形的高相等B ．全等三角形的中线相等C ．全等三角形的角平分线相等D ．全等三角形对应角的平分线相等 2． 下列各条件中，不能作出惟一三角形的是（ ）A ．已知两边和夹角B ．已知两角和夹边C ．已知两边和其中一边的对角D ．已知三边 4．下列各组条件中，能判定△ABC ≌△DEF 的是( )A ．AB =DE ，BC =EF ，∠A =∠DB ．∠A =∠D ，∠C =∠F ，AC =EFC ．AB =DE ，BC =EF ，△ABC 的周长= △DEF 的周长D ．∠A =∠D ，∠B =∠E ，∠C =∠F5．如图，在△ABC 中，∠A ∠B ∠C =3510，又△MNC ≌△ABC ， 则∠BCM ：∠BCN 等于（ ）A ．12B ．13C ．23D ．146．如图， ∠AOB 和一条定长线段A ，在∠AOB 内找一点P ，使P 到OA 、OB 的距离都等于A ，做法如下：（1）作OB 的垂线NH ， 使NH =A ，H 为垂足．（2）过N 作NM ∥OB ．（3）作∠AOB 的平 分线OP ，与NM 交于P ．（4）点P 即为所求． 其中（3）的依据是（ ）A ．平行线之间的距离处处相等B ．到角的两边距离相等的点在角的平分线上C ．角的平分线上的点到角的两边的距离相等D ．到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 7． 如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ︰S △BCO ︰S △CAO 等于（ ） A ．1︰1︰1 B ．1︰2︰3 C ．2︰3︰4 D ．3︰4︰5 8．如图，从下列四个条件：①BC ＝B ′C ， ②AC ＝A ′C ，③∠A ′CB ＝∠B ′CB ，④AB ＝A ′B ′中，任取三个为条件， 余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9．要测量河两岸相对的两点A ，B 的距离，先在AB 的垂线B F 上 取两点C ，D ，使CD =BC ,再定出B F 的垂线DE ，使A ，C ，E 在同一条直线上，如图，可以得到EDC ABC ≅，所以ED=AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长，判定EDC ABC ≅的理由是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．SSS D ．HL10．如图所示，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 边翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度ACB DFEA数为（ ）A ．80°B ．100°C ．60°D ．45°．二、仔仔细细填，记录自信！11．如图，在△ABC 中，AD =DE ，AB =BE ，∠A =80°， 则∠CED =_____．12．已知△DE F≌△ABC ，AB =AC ，且△ABC 的周长为23cm ，BC =4 cm ，则△DE F 的边中必有一条边等于______．13． 在△ABC 中，∠C =90°，BC =4CM ，∠BAC 的平分线交BC 于D ，且BD ︰DC =5︰3，则D 到AB 的距离为_____________．14． 如图，△ABC 是不等边三角形，DE =BC ，以D ，E 为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC 全等，这样的三角形最多可以画出_____个．D E15． 如图，AD A D ''，分别是锐角三角形ABC 和锐角三角形A B C '''中,BC B C ''边上的高，且AB A B AD A D ''''==，．若使ABC A B C '''△≌△，请你补充条件___________．(填写一个你认为适当的条件即可)17．如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是__________．19． 如右图，已知在ABC 中，90,,A AB AC CD ∠=︒=平 分ACB ∠，DE BC ⊥于E ，若15cm BC =，则DEB △的周长为 cm ．20．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B =∠C =900，E 是BC 的中点，DE 平分∠ADC ，∠CED =350，如图，则∠EAB 是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是______．三、平心静气做，展示智慧！21．如图，公园有一条“Z ”字形道路ABCD ，其中AB ∥CD ，在,,E M F 处各有一个小石凳，且BE CF =， M 为BC 的中点，请问三个小石凳是否在一条直线上？ 说出你推断的理由．E AB C D'A 'B 'D 'C B22．如图，给出五个等量关系：①AD BC = ②AC BD = ③CE DE = ④D C ∠=∠ ⑤DAB CBA ∠=∠．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确 的结论（只需写出一种情况），并加以证明．已知：求证：证明：23．如图，在∠AOB 的两边OA ,OB 上分别取OM =ON ，OD =OE ，DN 和EM 相交于点C ．求证：点C 在∠AOB 的平分线上．四、发散思维，游刃有余！24． (1)如图１，以ABC △的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形 ACFG ，连结EG ，试判断ABC △与AEG △面积之间的关系，并说明理由．(2)园林小路，曲径通幽，如图２所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石 铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和 是b 平方米，这条小路一共占地多少平方米？A BDCEOM NA BF BD （图１）参考答案一、1—5：DCDCD 6—10：BCBBA 二、 11．100°12．4cm 或9．5cm 13．1．5cm 14．4 15．略16．15AD << 17． 互补或相等 18． 180 19．15 20．350三、 21．在一条直线上．连结EM 并延长交CD 于'F 证'CF CF =．22．情况一：已知：AD BC AC BD ==，求证：CE DE =（或D C ∠=∠或DAB CBA ∠=∠） 证明：在△ABD 和△BAC 中 AD BC AC BD ==∵， AB BA =∴△ABD ≌△BAC∴CAB DBA ∠=∠ AE BE =∴ ∴AC AE BD BE -=-即CE ED =情况二：已知：D C DAB CBA ∠=∠∠=∠，求证：AD BC =（或AC BD =或CE DE =） 证明：在△ABD 和△BAC 中 D C ∠=∠，DAB CBA ∠=∠ AB AB =∵∴△ABD ≌△BAC ∴AD BC =23．提示：OM =ON ，OE =OD ，∠MOE =∠NOD ，∴△MOE ≌△NOD ，∴∠OME =∠OND ， 又DM =EN ，∠DCM =∠ECN ，∴△MDC ≌△NEC ，∴MC =NC ，易得△OMC ≌△ONC （SSS ） ∴∠MOC =∠NOC ，∴点C 在∠AOB 的平分线上．四、24． (1)解：ABC △与AEG △面积相等过点C 作CM AB ⊥于M ，过点G 作GN EA ⊥交EA 延长线于N ， 则AMC ∠=90ANG ∠=四边形ABDE 和四边形ACFG 都是正方形90180BAE CAG AB AE AC AG BAC EAG ∴∠=∠===∴∠+∠=，，180EAG GAN BAC GAN ∠+∠=∴∠=∠ACM AGN ∴△≌△ 1122ABC AEG CM GNS AB CM S AE GN∴===△△， ABC AEG S S ∴=△△(2)解：由(1)∴这条小路的面积为(2)a b +平方米．BD。
三角形全等几何模型5一线三等角专项练习20202021学年七年级数学下册基础知识专项讲练北师大版
CD E BA专题4.23 三角形全等-几何模型5（一线三等角）（专项练习）模型 三垂直全等模型图一如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC 。
结论：Rt △BDC ≌Rt △CEA图二如图二，∠D=∠BCA=∠E ，BC=AC 。
结论：△BEC ≌△CDA一、解答题1．如图，∠A ＝∠B ＝90°，E 是线段AB 上一点，且AE ＝BC ，∠1＝∠2 ．（1）求证：ADE V ≌BEC △；（2）若CD ＝10，求DEC V 的面积．2．已知，如图，AB ⊥BD 于点B ，CD ⊥BD 于点D，P 是BD 上一点，且AP=PC ，AP ⊥PC ．（1）求证:△ABP ≌△PDC（2）若AB=3，CD=4，连接AC ，求AC 的长．3．如图，在ABC V 中，AB AC ＝，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC ÐÐÐ＝＝，求证：DE BD CE =+．4．已知：如图，MS ⊥PS ，MN ⊥SN ，PQ ⊥SN ，垂足分别为S ，N ，Q ，MS ＝PS ，SN ＝4，MN ＝3．求NQ 的长．5．如图1，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，垂足分别为D 、E ．（1）求证：△ADC ≌△CEB ；（2）猜想线段AD 、BE 、DE 之间具有怎样的数量关系，并说明理由；（3）题设条件不变，根据图2可得线段AD 、BE 、DE 之间的数量关系是 ．6．如图，已知：ABC V 中，AB AC =，BAC 90Ð=°，分别过B ，C 向经过点A 的直线EF 作垂线，垂足为E ，F ．（1）当EF 与斜边BC 不相交时，请证明EF BE CF(=+如图1)；（2）如图2，当EF 与斜边BC 这样相交时，其他条件不变，证明：EF BE CF =-；7．如图，一条河流MN 旁边有两个村庄A ，B ，AD ⊥MN 于D ．由于有山峰阻挡，村庄B 到河边MN 的距离不能直接测量，河边恰好有一个地点C 能到达A ，B 两个村庄，与A ，B 的连接夹角为90°，且与A ，B 的距离也相等，测量C ，D 的距离为150m ，请求出村庄B 到河边的距离．8．已知：AB BD ^，ED BD ^，AC CE =，BC DE =．（1）试猜想线段AC 与CE 的位置关系，并证明你的结论．（2）若将CD 沿CB 方向平移至图2情形，其余条件不变，结论12AC C E ^还成立吗？请说明理由．（3）若将CD 沿CB 方向平移至图3情形，其余条件不变，结论12AC C E ^还成立吗？请说明理由．9．如图，90ACB Ð=°，AC BC =，AD CE ^，BE CE ^，垂足分别为D ，E ，若9AD =，6DE =，求BE 的长．10．如图所示，A ，C ，E 三点在同一直线上，且ABC DAE △△≌．（1）求证：BC DE CE =+；（2）当ABC V 满足什么条件时，//BC DE ？11．已知：D ，A ，E 三点都在直线m 上，在直线m 的同一侧作ABC V ，使AB AC =，连接BD ，CE ．（1）如图①，若90BAC Ð=°，BD m ^，CE m ^，求证ABD ACE @V V ；（2）如图②，若BDA AEC BAC Ð=Ð=Ð，请判断BD ，CE ，DE 三条线段之间的数量关系，并说明理由．12．如图，点C 在BE 上，AB ⊥BE ，DE ⊥BE ，且AB ＝CE ，AC ＝CD ．判断AC 和CD 的关系并说明理由．13．直线CD 经过BCA Ð的顶点C ，CA=CB ．E ，F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA a Ð=Ð=Ð．（1）（数学思考）若直线CD 经过BCA Ð的内部，且E ，F 在射线CD 上，请解决下面两个问题：①如图1，若90BCA Ð=°，90a Ð=°，求证：EF BE AF =-；②如图2，若090BCA °<Ð<°，当a Ð与BCA Ð之间满足________关系时，①中结论仍然成立，并给予证明．（2）（问题拓展）如图3，若直线CD 经过BCA Ð的外部，BCA a Ð=Ð，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．14．如图，已知在ABC V 中，AB AC =，90BAC Ð=°，别过B 、C 两点向过A 的直线作垂线，垂足分别为E 、F ．求证：EF BE CF =+．15．在Rt ABC △中，90C Ð=°，8cm AC =，6cm BC =，点D 在AC 上，且6cm AD =，过点A 作射线AE AC ^（AE 与BC 在AC 同侧），若点P 从点A 出发，沿射线AE 匀速运动，运动速度为1cm/s ，设点P 运动时间为t 秒．连结PD 、BD ．（1）如图①，当PD BD ^时，求证：PDA DBC △≌△；（2）如图②，当PD AB ^于点F 时，求此时t 的值．16．如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线EF 经过点C ，BF ⊥EF 于点F ，AE ⊥EF于点E ．（1）求证：△ACE ≌△CBF ；（2）如果AE 长12cm ，BF 长5cm ，求EF 的长．17．如图，90ACB Ð=°，AC BC =，AD CE ^，BE CE ^，垂足分别为D ，E ，2.5cm AD =，求1cm BE =，求DE 的长．18．已知AD ⊥AB 于A ，BE ⊥AB 于B ，点C 在线段AB 上，DC ⊥EC ，且DC=CE ．（1）求证：AD+BE=AB ；（2）将△BEC 绕点C 逆时针旋转，使点B 落在AC 上，如图（2），试问：AD ，BE ，AB 又怎样的数量关系？说明理由．19．如图（1），已知ABC V 中，90BAC Ð=°，AB AC =；AE 是过A 的一条直线，且B ，C 在AE 的异侧，BD AE ^于D ，CE AE ^于E ．（1）求证：BD DE CE =+；（2）若直线AE 绕A 点旋转到图（2）位置时（BD CE <），其余条件不变，问BD 与DE ，CE 的数量关系如何？请给予证明．（3）若直线AE 绕A 点旋转到图（3）位置时（BD CE >），其余条件不变，问BD 与DE ，CE 的数量关系如何？请直接写出结果，不需证明；（4）根据以上的讨论，请用简洁的语言表达直线AE 在不同位置时BD 与DE ，CE 的位置关系．20．如图，在ABC V 中，AB AC =，AB BC >，点D 在边BC 上，点E ，F 在线段AD 上，且2DF AF =，12BAC Ð=Ð=Ð．若BE 的长为5，求AD 的长．21．已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，l 是过点A 的一条直线，BD ⊥l ，CE ⊥l ，垂足分别为D 、E ．(1) 如图(1)，求证：DE ＝BD ＋CE ；(2) 若直线l 绕A 点旋转到图(2)位置时，其余条件不变，请把图形补充完整，写出BD 、CE 与DE 之间的数量关系，并证明你的结论．22．（1）如图1，已知OAB V 中，OA OB =，90AOB Ð=°，直线l 经过点O ，BC ⊥直线l ，AD ^ 直线l ，垂足分别为点C ，D ．依题意补全图l ，并写出线段BC ，AD ，CD 之间的数量关系为______；（2）如图2，将（1）中的条件改为：在OAB V 中，OA OB =，C ，O ，D 三点都在直线l 上，并且有BCO ODA BOA Ð=Ð=Ð，请问（1）中结论是否成立?若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，在ABC V 中，AB AC =，90CAB Ð=°，点A 的坐标为(0,1)，点C 的坐标为()3,2，请直接写出点B 的坐标．23．在△ABC 中，AC=BC ，直线MN 经过点C ，AD ⊥MN 于点D ，BE ⊥MN 于点E ，且AD=CE ；（1）当直线MN 绕点C 旋转到如图1的位置时，求证：AC ⊥BC ．（2）判断AD 、BE 、DE 这三条线段之间的数量关系，并说明理由．（3）当直线MN 绕点C 旋转到如图2的位置时，线段DE 、AD 、BE 之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不必证明．24．如图1所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC= BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图2(a)的位置，求证：①△ADC ≌△CEB;②DE=AD- BE ．(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2(b)的位置时，求证：DE= BE-AD ．25．如图，90B C Ð=Ð=°，BAE CED Ð=Ð，且AB CE =．（1）试说明：ADE V 是等腰直角三角形；（2）若2CDE BAE Ð=Ð，求CDE Ð的度数．26．如图，已知在ABC V 中，AC BC AD ==，CDE B Ð=Ð，求证：ADE BCD △≌△．27．如图1，已知AB ＝AC ，AB ⊥AC ．直线m 经过点A ，过点B 作BD ⊥m 于D ， CE ⊥m 于E ．我们把这种常见图形称为“K”字图．（1）悟空同学对图1进行一番探究后，得出结论：DE ＝BD ＋CE ，现请你替悟空同学完成证明过程．（2）悟空同学进一步对类似图形进行探究，在图2中，若AB ＝AC ，∠BAC ＝∠BDA ＝∠AEC ，则结论DE ＝BD ＋CE ，还成立吗？如果成立，请证明之．28．（1）如图①，已知：ABC V 中，90BAC Ð=°，AB AC =，直线m 经过点A ，BD m ^于D ，CE m ^于E ，请探索DE 、BD 、CE 三条线段之间的数量关系，直接写出结论；（2）拓展：如图2，将（1）中的条件改为：ABC V 中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且BDA AEC BAC a Ð=Ð=Ð=，a 为任意锐角或钝角，请问（1）中结论是否还成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）应用：如图③，在ABC V 中，BAC Ð是钝角，AB AC =，BAD CAE ÐÐ>，BDA AEC BAC Ð=Ð=Ð，直线m 与BC 的延长线交于点F ，若2BC CF =，ABC V 的面积是16，求ABD △与CEF △的面积之和．29．如图（1）在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于点D ，BE ⊥MN 于点E ．（1）求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE =AD +BE ．（2）当直线MN 绕点C 旋转到图（2）的位置时，DE 、AD 、BE 又怎样的关系？并加以证明．30．如图，在ABC V 中，90ACB Ð=°，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ^于点D ，BE MN ^于点E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①ADC CEB △≌△；②DE AD BE =+；（2）当直线MN 绕点C 旋转到如图2所示的位置时，求证：DE AD BE =-；（3）当直线MN 绕点C 旋转到如图3所示的位置时，试问DE ，AD ，BE 具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．31．已知：如图，在ABC D 中，90C Ð=°，点E 在AC 上，且AE BC =，ED AB ^于点D ，过A 点作AC 的垂线，交ED 的延长线于点F ．求证：AB EF =．32．如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的直角三角板如图①放置，PA 、PB 与直线MN 重合，且三角板PAC 、三角板PBD 均可绕点P 逆时针旋转（1）试说明∠DPC=90°；（2）如图②，若三角板PBD 保持不动，三角板PAC 绕点P 逆时针旋转旋转一定角度，PF 平分∠APD ，PE 平分∠CPD ，求∠EPF ；（3）如图③．在图①基础上，若三角板PAC 开始绕点P 逆时针旋转，转速为5°/秒，同时三角板PBD 绕点P 逆时针旋转，转速为1°/秒，（当PA 转到与PM 重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，PC 、PB 、PD 三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间．33．（1）如图1，∠MAN =90°，射线AE 在这个角的内部，点B 、C 在∠MAN 的边AM ，AN 上，且AB =AC ，CF ⊥AE 于点F ，BD ⊥AE 于点D ．求证：ABD CAF @V V ．（2）如图2，点B 、C 在∠MAN 的边AM 、AN 上，点E 、F 在∠MAN 内部射线AD 上，∠1，∠2分别是ABE △，CAF V 的外角，已知AB =AC ，∠1=∠2=∠BAC ，求证：ABE CAF @V V ；（3）如图3，在ABC V 中，AB =AC ，AB >BC ，点D 在边BC 上，CD =2BD ，点E 、F 在线段AD 上，12BAC Ð=Ð=Ð，若ABC V 的面积是15，则ACF V 与BDE V 的面积之和是_________．34．如图（1）AB=9cm ，AC ⊥AB ，AC=BD=7cm ，点P 在线段AB 上以2cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动,它们运动的时间为t （s ）．（1）若点Q 的速度与点P 的速度相等，当t=1时．①求证：△ACP ≌△BPQ ；②判断此时PC 和PQ 的位置关系，并证明；（2）将图（1）中的“AC ⊥AB ，BD ⊥AB”，改为“∠CAB=∠DBA=70°”，得到图（2），其他条件不变．设点Q 的运动速度为x cm/s ，请问是否存在实数x ，使得△ACP 与△BPQ 全等?若存在，求出相应的x 和t 的值；若不存在，请说明理由．35．如图1，2OA =，4OB =，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰直角ABC D ．（1）求点C 的坐标；（2）如图2，P 是y 轴负半轴上一个动点，当P 点向y 轴负半轴向下运动时，若以P 为直角顶点，PA 为腰作等腰直角APD D ，过点D 作DE x ^轴于点E ，求OP DE -的值；（3）如图3，已知点F 坐标为()3,3--，当G 在y 轴运动时，作等腰直角FGH D ，并始终保持90GFH Ð=°，FG 与y 轴交于点()0,G m ，FH 与x 轴交于点(),0H n ，求m 、n 满足的数量关系．36．已知：在ABC V 中，90BAC Ð=°，AB AC =，AE 是过点A 的一条直线，且BD AE ^于D ，CE AE ^于E ．（1）当直线AE 处于如图①的位置时，有BD DE CE =+，请说明理由；（2）当直线AE 处于如图②的位置时，则BD 、DE 、CE 的关系如何？请说明理由．参考答案1．（1）证明见解析；（2）25【分析】（1）根据12Ð=Ð，∠A ＝∠B ＝90°，可得DE CE =，ADE V 和BEC △为直角三角形，利用“HL ”即可证明Rt ADE △≌Rt BEC △；（2）根据（1）中Rt ADE △≌Rt BEC △，则ADE BEC Ð=Ð，根据直角三角形的性质推出90AED BEC Ð+Ð=°，则可得DEC Ð为直角，又因为∠1＝∠2，则可知DEC Ð为等腰直角三角形，进而通过等腰直角三角形的性质求出其面积．【详解】（1）∵12Ð=Ð，∴DE CE =，∵∠A ＝∠B ＝90°，在Rt ADE △和Rt BEC △中，DE EC AE BC =ìí=î，∴Rt ADE △≌Rt BEC △；（2）∵Rt ADE △≌Rt BEC △，∴ADE BEC Ð=Ð，∵90ADE AED Ð+Ð=°，∴90AED BEC Ð+Ð=°，∴90DEC Ð=°，∵12Ð=Ð，∴DE CE =，∴DEC V 为等腰直角三角形，∴其斜边CD 上的高为5，∴1105252DEC S =´´=△．【点拨】本题考查了直角三角形的判定和性质，全等三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．2．（1）见解析；（2）【分析】（1）根据等角的余角相等证明BAP CPD Ð=Ð，继而证明()ABP PDC AAS @V V ；（2）根据全等三角形对应边相等性质及勾股定理解题.【详解】（1）证明：,AB BD CD BD^^Q 90B D \Ð=Ð=°90BAP APB \Ð+Ð=°AP PC^Q 90APB CPD \Ð+Ð=°BAP CPD\Ð=ÐAP PC=Q ()ABP PDC AAS \@V V ；（2）连接AC ，()ABP PDC AAS @QV V 3,4AB BP CD ===Q5AP \===在,5Rt APC AP PC ==VAC \==.【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.3．见解析【分析】首先根据等量代换得出CAE ABD Ð=Ð，从而可证ADB CEA △≌△，最后利用全等三角形的性质即可得出结论．【详解】证明：设BDA BAC a Ð=Ð=，∴180-DBA BAD BAD CAE a Ð+Ð=Ð+Ð=°，∴CAE ABD Ð=Ð，∵在ADB △和CEA V 中ABD CAE BDA CEA AB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴()ADB CEA AAS ≌△△，∴AE BD =，AD CE =，∴DE AE AD BD CE =+=+．【点拨】本题主要考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形判定方法和性质是解题的关键．4．NQ ＝1．【分析】首先求出∠M=∠PSQ ，进而利用AAS 证明△MNS ≌△SQP ，所以MN=SQ 问题可解．解：,MS ,PS MN SN PQ SN ^^^Q ，90MSP N SQP \Ð=Ð=Ð=°，M MSN MSN PSQ \Ð+Ð=Ð+Ð，M PSQ \Ð=Ð，在MNS △和SQP V 中，M PSQ MNS SQP MS PS Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()MNS SQP AAS \△≌△，SQ MN \=，∵SN ＝4，MN ＝3，431NQ SN SQ SN MN \=-=-=-= ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直定义，根据条件证MNS SQP △≌△是解此题的关键．5．（1）见解析；（2）AD ＝BE ＋DE ，见解析；（3）DE ＝AD ＋BE【分析】（1）由已知推出∠CDA=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD ＋∠DAC ＝90°，推出∠DAC=∠ECB ，根据AAS 即可得到△ADC ≌△CEB ；（2）由（1）得到AD=CE ，CD=BE ，即可求出答案；（3）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠CBE ，能推出△ADC ≌△CEB ，得到AD=CE ，CD=BE ，即可得到DE 、AD 、BE 之间的等量关系．（1）证明：∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠CDA ＝∠BEC ＝90°．∴∠ACD ＋∠DAC ＝90°．∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°．∴∠DAC ＝∠ECB ．在△ADC 和△CEB 中，CDA BEC DAC ECB AC CB ÐÐìïÐÐíïî＝＝＝，∴△ADC ≌△CEB ．（2）AD ＝BE ＋DE ．理由如下：由（1）知△ADC ≌△CEB ．∴AD ＝CE ，CD ＝BE ．∴AD ＝CE ＝CD ＋DE ＝BE ＋DE ．（3）DE ＝AD ＋BE ．理由：∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠ADC=90°，∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠CBE ，又∵∠ADC=∠CEB ，AC=CB ，∴△ADC ≌△CEB ，∴AD=CE ，CD=BE ，∵CD+CE=DE ，∴DE=AD+BE ．【点拨】本题主要考查了余角的性质，直角三角形的两锐角互余，全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证明△ADC ≌△CEBE 是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．6．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据已知条件容易证明△BEA ≌△AFC ，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；（2）根据（1）知道△BEA ≌△AFC 仍然成立，则BE=AF ，AE=CF ，就可以求出EF=BE-CF ．解：（1）BE EA ^Q ，CF AF ^，BAC BEA CFE 90ÐÐÐ\===°，EAB CAF 90ÐÐ\+=°，EBA EAB 90ÐÐ+=°，CAF EBA ÐÐ\=，在ABE V 和CAF V 中，BEA AFC EBA FACAB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=îBEA \V ≌()AFC AAS V ，EA FC \=，BE AF =，EF EA AF BE CF \=+=+．（2）BE EA ^Q ，CF AF ^，BAC BEA CFE 90ÐÐÐ\===°，EAB CAF 90ÐÐ\+=°，ABE EAB 90ÐÐ+=°，CAF ABE ÐÐ\=，在ABE V 和ACF V 中，EBA FAC BEA CFAAB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=îBEA \V ≌()AFC AAS V ，EA FC \=，BE AF =，∵EF AF AE =-，∴EF BE CF=-【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题．7．150米【分析】根据题意，判断出△ADC ≌△CEB 即可求解．解：如图，过点B 作BE ⊥MN 于点E ，∵∠ADC ＝∠ACB ＝90°，∴∠A ＝∠BCE （同角的余角相等）．在△ADC 与△CEB 中，90ADC CEB A BCEAC CB Ð=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î∴△ADC ≌△CEB （AAS ）．∴BE ＝CD ＝150m ．即村庄B 到河边的距离是150米．【点拨】本题主要考查的是全等三角形的实际应用，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解答本题的关键．8．（1）AC CE ^，见解析；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析【分析】（1）先用HL 判断出Rt Rt ABC CDE ≌△△，得出A DCE Ð=Ð，进而判断出90DCE ACB Ð+Ð=°，即可得出结论；（2）同（1）的方法，即可得出结论；（3）同（1）的方法，即可得出结论．【详解】解：（1）AC CE ^理由如下：∵AB BD ^，ED BD ^，∴90B D Ð=Ð=°在Rt ABC △和Rt CDE △中AC CE BC DE=ìí=î∴()Rt Rt HL ABC CDE △△≌，∴A DCEÐ=Ð∵90B Ð=°，∴90A ACB Ð+Ð=°，∴()18090ACE DCE ACB Ð=°-Ð+Ð=°，∴AC CE ^；（2）成立，理由如下：∵AB BD ^，ED BD ^，∴90B D Ð=Ð=°，在1Rt ABC V 和2Rt C DE △中121AC C E BC DE=ìí=î，∴()12Rt Rt HL ABC C DE ≌△△，∴2A C E D Ð=Ð，∵90B Ð=°，∴190B A AC Ð+Ð=°，∴2190DC E AC B Ð+Ð=°，在12C FC V 中，()122118090C FC DC E AC B Ð=°-Ð+Ð=°，∴12AC C E ^；（3）成立，理由如下：∵AB BD ^，ED BD ^，∴190ABC D Ð=Ð=°在1Rt ABC V 和2Rt C DE △中121AC C E BC DE =ìí=î，∴()12Rt Rt HL ABC C DE ≌△△，∴2A C E D Ð=Ð，∵190ABC Ð=°，∴190B A AC Ð+Ð=°，在12C FC V 中，()2112180=90C FC DC E AC B Ð=°-Ð+а，∴12AC C E ^．【点拨】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，判断出12Rt Rt ABC C DE ≌△△是解本题的关键．9．3【分析】根据同角的余角相等可得EBC DCA Ð=Ð，根据“AAS”可证CEB △≌ADC V ，可得9AD CE ==，即可求BE 的长．解：∵BE CE ^，AD CE ^，∴90E ADC Ð=Ð=°，∴90EBC BCE Ð+Ð=°．∵90BCE ACD Ð+Ð=°，∴EBC DCA Ð=Ð．在CEB △和ADC V 中，E ADC EBC ACD BC AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴CEB △≌ADC V （AAS ），∴BE CD =，9AD CE ==，∴963BE CD CE DE ==-=-=．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．10．（1）证明见解析；（2）ACB Ð为直角时，//BC DE【分析】（1）根据全等三角形的性质求出BD=AE ，AD=CE ，代入求出即可；2）根据全等三角形的性质求出∠E=∠BDA= 90°，推出∠BDE=90° ，根据平行线的判定求出即可．【详解】（1）证明：∵ABC DAE △△≌，∴AE=BC ，AC=DE ，又∵AE AC CE =+，∴BC DE CE =+．（2）若//BC DE ，则BCE E Ð=Ð，又∵ABC DAE △△≌，∴ACB E Ð=Ð，∴ACB BCE Ð=Ð，又∵180ACB BCE Ð+Ð=°，∴90ACB Ð=°，即当ABC V 满足ACB Ð为直角时，//BC DE ．【点拨】本题考查全等三角形的性质和平行线的判定的应用，关键是通过三角形全等得出正确的结论．11．（1）见详解；（2）DE ＝BD ＋CE ．理由见详解【分析】（1）根据BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m 得∠BDA ＝∠CEA ＝90°，而∠BAC ＝90°，根据等角的余角相等，得∠CAE ＝∠ABD ，然后根据“AAS”可判断△ABD ≌△CAE ；（2）由∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，就可以求出∠BAD ＝∠ACE ，进而由ASA 就可以得出△ABD ≌△CAE ，就可以得出BD ＝AE ，DA ＝CE ，即可得出结论．【详解】（1）证明：如图①，∵D ，A ，E 三点都在直线m 上，∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°，∵BD ⊥m ，CE ⊥m ，∴∠ADB ＝∠CEA ＝90°，∴∠BAD ＋∠ABD ＝90°，∴∠ABD ＝∠CAE ，在△ABD 和△CAE 中，ADB AEC ABD CAE AB AC ÐÐìïÐÐíïî＝＝＝，∴△ABD ≌△CAE （AAS ）；（2）DE ＝BD ＋CE ．理由如下：如图②，∵∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，∴由三角形内角和及平角性质，得：∠BAD ＋∠ABD ＝∠BAD ＋∠CAE ＝∠CAE ＋∠ACE ，∴∠ABD ＝∠CAE ，∠BAD ＝∠ACE ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE AB ACBAD ACE ÐÐìïíïÐÐî＝＝＝，∴△ABD ≌△CAE （ASA ），∴BD ＝AE ，AD ＝CE ，∴DE ＝AD ＋AE ＝BD ＋CE ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理的综合应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，灵活运用所学知识解决问题．12．AC ⊥CD ，理由见解析【分析】根据条件证明△ABC ≌△CED 就得出∠ACD=90°，则可以得出AC ⊥CD ．【详解】解：AC ⊥CD ．理由：∵AB ⊥BE ，DE ⊥BE ，∴∠B ＝∠E ＝90°．在Rt △ABC 和Rt △CED 中，AB CE AC CD =ìí=î，∴Rt △ABC ≌Rt △CED （HL ），∴∠A ＝∠DCE ，∠ACB ＝∠D ．∵∠A+∠ACB ＝90°，∴∠DCE+∠ACB ＝90°．∵∠DCE+∠ACB+∠ACD ＝180°，∴∠ACD ＝90°，∴AC ⊥CD ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，垂直的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．13．（1）证明见解析；（2）180ACB a Ð+Ð=°，证明见解析；（3）EF BE AF =+，证明见解析．【分析】（1）①求出∠BEC ＝∠AFC ＝90°，∠CBE ＝∠ACF ，根据AAS 证△BCE ≌△CAF ，推出BE ＝CF ，CE ＝AF 即可；②当∠α＋∠ACB ＝180°，证明∠BEC ＝∠AFC ，∠CBE ＝∠ACF ，根据AAS 证△BCE ≌△CAF ，推出BE ＝CF ，CE ＝AF 即可；（2）求出∠BEC ＝∠AFC ，∠CBE ＝∠ACF ，根据AAS 证△BCE ≌△CAF ，推出BE ＝CF ，CE＝AF 即可．【详解】（1）①在图1中，90BEC AFC Ð=Ð=°Q ，90ACB Ð=°，90BCE ACF Ð+Ð=°，90EBC BCE Ð+Ð=°，EBC ACF \Ð=Ð，在BCE V 和CAF V 中，EBC ACF BEC AFC BC AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()BCE CAF AAS \@V V ，BE CF \=，CE AF =，EF CF CE BE AF \=-=-；②当180ACB a Ð+Ð=°时，①中结论仍然成立；证明：在图2中，BEC CFA a Ð=Ð=ÐQ ，180ACB a Ð+Ð=°，BCE ACF EBC BCE \Ð+Ð=Ð+Ð，EBC ACF \Ð=Ð，在BCE V 和CAF V 中，EBC ACF BEC AFC BC AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()BCE CAF AAS \@V V ，BE CF \=，CE AF =，EF CF CE BE AF \=-=-．故答案为180ACB a Ð+Ð=°；（2）不成立，结论：EF BE AF =+．理由：在图3中，BEC CFA a Ð=Ð=ÐQ ，a BCA Ð=Ð，又180EBC BCE BEC +Ð+Ð=°Q ，180BCE ACF ACB Ð+Ð+Ð=°，EBC BCE BCE ACF \Ð+Ð=Ð+Ð，EBC ACF \Ð=Ð，在BEC △和CFA △中，EBC FCA BEC CFA BC CA Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()BEC CFA AAS \@V V ，AF CE \=，BE CF =，EF CE CF =+Q ，EF BE AF \=+．【点拨】本题综合考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，注意这类题目图形发生变化，结论基本不变，证明方法完全类似，属于中考常考题型．14．见解析【分析】证明△BEA ≌△AFC ，得到AE=CF ，BE=AF ，即可得到结论．证明：BE EA ^Q ，CF AF ^，90BAC BEA AFC \Ð=Ð=Ð=°，90EAB CAF \Ð+Ð=°，90EBA EAB Ð+Ð=°，CAF EBA \Ð=Ð，在ABE △和AFC △中，BEA AFC EBA CAF AB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，(AAS)BEA AFC \△≌△．AE CF ∴=，BE AF =．EF AF AE BE CF \=+=+．．【点拨】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记三角形的判定定理是解题的关键．15．（1）见解析；（2）8秒【分析】（1）根据垂直及角之间的关系证明出PDA CBD Ð=Ð，又有90PAD C Ð=Ð=°，=6AD BC =，根据三角形全等的判定定理则可证明PDA DBC △≌△．（2）根据垂直及角之间的关系证明APF DAF Ð=Ð，又因为90PAD C Ð=Ð=°，AD BC =，则可证明PAD ACB △≌△，所以8cm AP AC ==，即t=8秒．（1）证明：PD BD ^Q，90PDB \Ð=°，即90BDC PDA Ð+Ð=°又90C Ð=°Q ，90BDC CBD Ð+Ð=°PDA CBD\Ð=Ð又AE AC ^Q ，90PAD \Ð=°90PAD C \Ð=Ð=°又6cm BC =Q ，6cmAD =AD BC\=在PAD △和DCB V 中PAD C AD CBPDA DBC Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî()PDA DBC ASA \△≌△（2）PD AB ^Q ，90AFD AFP \Ð=Ð=°，即90PAF APF Ð+Ð=°又AE AC ^Q ，90PAF DAF \Ð+Ð=°APF DAF\Ð=Ð又90PAD C Ð=Ð=°Q ，AD BC=在APD △和CAB △中APD CAB PAD CAD BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î()PAD ACB AAS \△≌△8cmAP AC \==即8t =秒．【点拨】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用角之间的关系是解题关键．16．（1）证明见解析；（2）EF=17cm ．【分析】（1）根据垂直的定义可得∠AEC=∠CFB=90°，然后求出∠EAC=∠FCB ，再利用“角角边”证明即可；（2）由全等三角形的性质可得：AE=CF ，CE=BF ，再根据线段的和差求解即可．【详解】（1）证明：在Rt △ACB 中，∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCF=90°∵AE ⊥EF ，BF ⊥EF∴∠ACE+∠EAC=90°∴∠CAE=∠BCF又∵ AC=CB∴△ACE ≌△CBF(ASA)(2)由△ACE ≌△CBF 可得:AE=CF=12cm ， EC=BF=5cm ，∴EF=EC+CF=12+5=17cm ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判断方法并找出全等的条件是解题的关键．17． 1.5cm DE =．【分析】根据垂直定义求出∠BEC ＝∠ACB ＝∠ADC ，根据等式性质求出∠ACD ＝∠CBE ，根据AAS 证明△BCE ≌△CAD ；根据全等三角形的对应边相等得到AD ＝CE ，BE ＝CD ，利用DE ＝CE−CD ，即可解答．【详解】AD CE ^Q ,BE CE^90ADC CEB \Ð=Ð=°90BCE CBE \Ð+Ð=°又90ACB Ð=°Q 90BCE ACD \Ð+Ð=°CBE ACD\=Ð在ACD △和CBE △中ADC CEB ACD CBEAC BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î()AAS ACD CBE \△≌△CD BE \=,AD CE=又 2.5cm AD =Q ,1cmBE =2.5cm CE \=,1cm=CD 2.51 1.5cm DE CE CD \=-=-=．【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明ACD CBE \V V ≌的三个条件．18．（1）见解析；（2）BE= AB+AD ，理由见解析．【分析】（1）利用余角的性质得到∠ACD=∠BEC ，从而证明△ACD ≌△BEC ，得到AD=BC ，AC=BE ，从而得到结论；（2）根据△ACD ≌△BEC ，得到AD=BC ，AC=BE ，从而得到BE=AC=AB+BC=AB+AD ．【详解】解：（1）∵BE ⊥AB ，∴∠BCE+∠BEC=90°，∵DC ⊥EC ，∴∠ACD+∠BCE=90°，∴∠ACD=∠BEC ，在△ACD 和△BEC 中，A B ACD BECCD CE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴△ACD ≌△BEC （AAS ），∴AD=BC ，AC=BE ，∴AD+BE=AC+BC=AB ；（2）由（1）可得：△ACD ≌△BEC ，∴AD=BC ，AC=BE ，∴BE=AC=AB+BC=AB+AD ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，找出条件，证明全等，利用全等的性质得到线段的数量关系是本题考查的内容．19．（1）见解析；（2）BD DE CE =-，见解析；（3）BD DE CE =-；（4）当B ，C 在AE 的同测时，BD DE CE =-；当B ，C 在AE 的异侧时，若BD CE >，则BD DE CE =+，若BD CE <，则BD CE DE=-【分析】（1）在直角三角形中，由题中条件可得∠ABD=EAC ，又有AB=AC ，则有一个角及斜边相等，则可判定△BAD ≌△AEC ，由三角形全等可得三角形对应边相等，进而通过线段之间的转化，可得出结论；（2）由题中条件同样可得出△BAD ≌△AEC ，得出对应线段相等，进而可得线段之间的关系；（3）同（2）的方法即可得出结论．（4）利用（1）（2）（3）即可得出结论．【详解】解：（1）∵BD ⊥AE ，CE ⊥AE∴∠ADB=∠CEA=90°∴∠ABD+∠BAD=90°又∵∠BAC=90°∴∠EAC+∠BAD=90°∴∠ABD=∠CAE在△ABD 与△ACE 中ADB CEA ABD CAEAB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴△ABD ≌△ACE∴BD=AE ，AD=EC ，∴BD=DE+CE（2）∵BD ⊥AE ，CE ⊥AE∴∠ADB=∠CEA=90°∴∠ABD+∠BAD=90°又∵∠BAC=90°∴∠EAC+∠BAD=90°∴∠ABD=∠CAE在△ABD 与△ACE 中ADB CEA ABD CAEAB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴△ABD ≌△ACE∴BD=AE ，AD=EC∴BD=DE-CE ，（3）∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠EAC=90°，又∵BD ⊥AE ，CE ⊥AE ，∴∠BDA=∠AEC=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠ABD=∠EAC ，在△ABD 与△CAE 中，BDA AEC ABD EACAB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴△ABD ≌△CAE ，∴BD=AE ，AD=CE ，∵DE=AD+AE=BD+CE ，∴BD=DE-CE ．（4）归纳：由（1）（2）（3）可知：当B ，C 在AE 的同侧时，若BD> CE,则BD= DE +CE,若BD> CE,则BD= DE +CE,若BD< CE,则BD= CE- DE.【点拨】此题是几何变换综合题，主要考查了三角形全等的判定方法，余角的性质，线段的和差，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．20．15．【分析】解：由∠1=∠2=∠BAC ，得到∠BAE=∠ACF ，∠ABE=∠CAF 从而证明△ABE ≌△CAF(ASA).得到AF=BE ，再根据DF=2AF ，BE 的长为5，求得AD 的长．【详解】解：∵12BAC Ð=Ð=Ð，且1BAE ABE Ð=Ð+Ð，2CAF ACF Ð=Ð+Ð，∠BAC=∠BAE+∠CAF ，∴∠BAE=∠ACF ，∠ABE=∠CAF ．在ABE △和CAF V 中，BAE ACF AB CAABE CAF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴()ABE CAF ASA ≌△△.∴AF BE=∵2DF AF =，BE 的长为5，∴10DF =，5AF BE ==，∴51015AD AF DF =+=+=．【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟悉掌握全等三角形的性质和证明．21．（1）详见解析；（2）结论：DE ＝CE ﹣BD ，详见解析【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD ，进而利用AAS 得出则△ABD ≌△CAE ，即可得出DE=BD+CE ；（2）利用已知得出∠CAE=∠ABD ，进而利用AAS 得出则△ABD ≌△CAE ，即可得出BD 、CE 与DE 之间的数量关系．【详解】解：(1)证明：∵BD ⊥l ，CE ⊥l ，∴∠BD A ＝∠AEC ＝90°又 ∵Rt ABC D ，∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°，∠BAD ＋∠ABD ＝90°，∴∠CAE ＝∠ABD在△ABD 和△CAE 中=ABD CAE ADB CEAAB AC =ìïíï=î∠∠∠∠∴△ABD ≌ △CAE∴BD ＝AE ，AD ＝CE∵DE ＝AD ＋AE ，∴DE ＝CE ＋BD ．(2) 如图②所示：结论：DE ＝CE ﹣BD证明：∵BD ⊥l ，CE ⊥l ，∴∠BD A ＝∠AEC ＝ 90°∵∠BAD ＋∠CAE ＝90°，∠BAD ＋∠ABD ＝90°，∴∠CAE ＝∠ABD在△ABD 和△CAE 中==ABD CAE ADB CEAAB AC ìïíï=î∠∠∠∠∴△ABD ≌△CAE (AAS )∴BD ＝AE ，AD ＝CE∵DE ＝AD ﹣AE∴DE ＝CE ﹣BD【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出△ABD ≌△CAE 是解题关键．22．（1）补全如图所示见解析；CD BC AD =+；（2）成立，证明见解析；（3）点B 的坐标为()1,2-．【分析】（1）依题意补全图，易证△AOD ≌△OBC ，则有AD =CO ，OD =BC ，从而可得CD BC AD =+；（2）利用三角形内角和易证23ÐÐ=，再证明BCO ODA V V ≌，同（1）即可证明结论；（3）过B 、C 两点作y 轴垂线，构造如（1）图形，即可得三角形全等，再将线段关系即可求出点B 坐标．【详解】（1）补全图1如图所示，CD BC AD =+；证明：∵90AOB Ð=°，BC ⊥直线l ，AD ^ 直线l ，∴∠BCO =∠ODA =90°，∴∠BOC +∠OBC =90°，又∵90AOB Ð=°，∴∠BOC +∠AOD =90°，∴∠OBC =∠AOD ，在△AOD 和△OBC 中BCO ODA OBC AOD BO AO Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△AOD ≌△OBC （AAS ）∴AD =CO ，OD =BC ，∵CD OD CO =+，∴CD BC AD =+．（2）成立．证明：如图，∵12180BOA Ð+Ð=°-Ð，13180BOA Ð+Ð=°-Ð，BOA BCOÐ=Ð∴23ÐÐ=在BCO V 和ODA V中32BCO ODABO OA Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴BCO ODA V V ≌（AAS ）∴BC OD =，CO AD=∴CD CO OD AD BC=+=+（3）点B 的坐标为()1,2-．过程如下：过B 、C 两点作y 轴垂线，垂足分别为M 、N ，同理（1）可得，CN =AM ，AN =MB ，∵点A 的坐标为(0,1)，点C 的坐标为()3,2，∴CN =AM =3，ON =2，OA =1,∴MB =AN =ON -OA =1，OM =AM -OA =2，∵点B 在第四象限，∴点B 坐标为：()1,2-．【点拨】主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质、图形与坐标变换，构造出全等三角形是解本题的关键．23．（1）见解析；（2）DE =AD +BE ；见解析；（3）AD =DE +BE【分析】（1）利用垂直的定义得∠ADC =∠CEB =90°，再利用HL 证明Rt △ADC ≌Rt △CEB ，得到∠DAC =∠BCE ，再根据余角的定义得到∠ACD +∠BCE =∠ACB =90°，可得结论；（2）根据Rt △ADC ≌Rt △CEB 得到DC =BE ，从而利用等量代换得到DE =AD +BE ；（3）同理可证：Rt △ADC ≌Rt △CEB ，利用等量代换可得AD =DE +BE ．【详解】解：（1）证明：∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠ADC =∠CEB =90°，在Rt △ADC 和Rt △CEB 中，AC BC AD CE =ìí=î，∴Rt △ADC ≌Rt △CEB （HL ），∴∠DAC =∠BCE ，∵∠ADC =90°，即∠DAC +∠ACD =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°，即∠ACB =90°，∴AC ⊥BC ；（2）DE =AD +BE ，理由如下：∵Rt △ADC ≌Rt △CEB ，∴DC =BE ，∵AD =CE ，∴DE =DC +CE =AD +BE ；（3）AD =DE +BE ，同理可证：Rt △ADC ≌Rt △CEB （HL ），∴CD =BE ，∴AD =CE =DE +CD =DE +BE ，∴即AD =DE +BE ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS ”、“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“HL ”；全等三角形的对应边、对应角相等．24．（1）①见解析；②见解析；（2）见解析．【分析】（1）①根据已知可利用AAS 证明△ADC ≌△CEB ；②由①证得△ADC ≌△CEB ，得出对应边相等，CE ＝AD ，CD ＝BE 由此可证DE ＝AD−BE ；（2）根据已知可利用AAS 证明△ADC ≌△CEB ，得出对应边相等，AD ＝CE ，CD ＝BE ，由此可证DE ＝BE−AD ．【详解】证明：（1）①∵∠ADC ＝∠ACB ＝∠BEC ＝90°，∴∠CAD ＋∠ACD ＝90°，∠BCE ＋∠CBE ＝90°，∠ACD ＋∠BCE ＝90°．∴∠CAD ＝∠BCE ．∵AC ＝BC ，∴△ADC ≌△CEB ．②由①证得△ACD ≌△CBE ．∴CE ＝AD ，CD ＝BE ．∴DE ＝CE−CD ＝AD−BE ．（2）∵∠ADC ＝∠CEB ＝∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝∠CBE ，又∵AC ＝BC ，∴△ACD ≌△CBE ，∴AD ＝CE ，CD ＝BE ，∴DE ＝CD−CE ＝BE−AD ．【点拨】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等得出结论．25．（1）见解析；（2）60°．【分析】（1）利用ASA 证明△BAE ≌△CED ，可证AE=DE ，后利用∠BAE+∠BEA=90°，证明∠BEA+∠CED=90°，问题得证；（2）利用直角三角形的两个锐角互余，求解即可．【详解】（1）∵90B C Ð=Ð=°，BAE CED Ð=Ð，且AB CE =，∴△BAE ≌△CED ，∴AE=DE ，∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠BEA+∠CED=90°，∴∠AED=90°，∴△AED 是等腰直角三角形；（2）∵2CDE BAE Ð=Ð，BAE CED Ð=Ð，∴2CDE CED Ð=Ð，∵∠CDE+∠CED=90°，∴∠CDE=60°．【点拨】本题考查了三角形的全等，等腰直角三角形的定义，直角三角形的锐角互余的性质，根据图形，结合条件选择对应判定方法，根据性质构造基本的计算等式是解题的关键．26．见解析．【分析】证明ADE BCD Ð=Ð，为三角形的全等提供条件即可．证明：ADE CDE B BCD Ð+Ð=Ð+ÐQ ，CDE B Ð=Ð，ADE BCD \Ð=Ð，AC BC =Q ，A B \Ð=Ð，在ADE V 和BCD △中A B AD BCADE BCD Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，ADE \V ≌BCD △(ASA) ．【点拨】本题考查了ASA 证明三角形的全等，抓住题目的特点，补充全等需要的条件是解题的关键．27．（1）见解析；（2）成立，见解析【分析】（1）先证∠ABD=∠EAC ，再证△ABD ≌ △CAE （AAS ）即可；（2）先证出∠ABD ＝ ∠EAC ，再证△ABD ≌ △CAE （AAS ）即可．证明：（1）∵AB ⊥AC,BD ⊥DE,CE ⊥DE,∴∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°,∴∠DAB+∠ABD=∠EAC+∠DAB=90°,∴∠ABD=∠EAC,在△ABD 和 △CAE 中，ABD EAC BDA AEC AB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴ △ABD ≌ △CAE （AAS ），∴ BD ＝ AE ，AD ＝ CE ，∴ DE ＝ AE ＋ DA ；（2）成立，理由如下：∵ ∠BAC ＋ ∠BAD ＋ ∠EAC ＝ 180° ，∠ADB ＋ ∠BAD ＋ ∠ABD ＝ 180°，∠BAC ＝ ∠BDA ，∴∠ABD ＝ ∠EAC ，在△ABD 和 △CAE 中，ABD EAC BDA AEC AB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴ △ABD ≌ △CAE （AAS ），∴ BD ＝ AE ，AD ＝ CE ，∴ DE ＝ AE ＋ DA ＝ BD ＋ CE．【点拨】本题考查三角形全等的判定与性质，掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．28．（1）DE BD CE =+；（2）成立，证明见详解；（3）8．【分析】（1）通过题中的直角和垂直条件，可得到CAE ABD Ð=Ð，然后证明△CAE ≌△ABD ，即得到BD AE =，AD CE =，然后通过等量代换即可得到结论；（2）同（1）中类似，先证明△CAE ≌△ABD 后得到对应边成比例即可；（3）证明△CAE ≌△ABD ，发现ABD △与CEF △的面积之和即为△ACF 的面积，然后根据2BC CF =即可得到答案．解：（1）DE BD CE =+，∵90BAC Ð=°，∴90BAD CAE Ð+Ð=°，∵BD m ^，CE m ^，∴90CEA BDA Ð=Ð=°，∴90BAD ABD Ð+Ð=°，∴CAE ABDÐ=Ð在△CAE 和△ABD 中，90CAE ABD AB ACCEA BDA Ð=Ð=Ð=Ð=°ìïíïî∴△CAE ≌△ABD ，∴BD AE =，AD CE =，∵DE AD AE =+，∴DE BD CE =+；（2）成立，∵BDA AEC BAC a Ð=Ð=Ð=，且180BAD BAC CAE Ð+Ð+Ð=°，∴180BAD CAE a Ð+Ð+=°，在△ABD 中，180BAD ABD BDA Ð+Ð+Ð=°，∴180BAD ABD a Ð+Ð+=°，∴CAE ABD Ð=Ð，在△CAE 和△ABD 中，。
(完整版)北师大七年级下全等三角形测试题(50分钟)
DACFD D EC FDE 图 9H一．选择题： 全等三角形测试题13． 已知，如图 13－6，D 是△ABC 的边 ABA上一点, DF 交 AC 于点 E, DE=FE, FC ∥AB,F 1.在△ABC 和△A’B’C’中, AB=A’B’, ∠B=∠B’, 补充条件后仍不一定能保 证△ABC ≌△A’B’C’, 则补充的这个条件是( ) A ．BC=B’C’ B ．∠A=∠A’ C ．AC=A’C’ D ．∠C=∠C’2. 直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（ ）A ．45°B ．135°C ．45°或 135°D ．都不对 3.现有两根木棒，它们的长分别是 40cm 和 50cm ，若要钉成一个三角形木 求证：AD=CF ．BC图 13－6 架，则在下列四根木棒中应选取（ ） A ．10cm 的木棒 B ．40cm 的木棒 C ．90cm 的木棒 D ．100cm 的木棒二、填空题： 4. 三角形 ABC 中，∠A 是∠B 的 2 倍，∠C 比∠A ＋∠B 还大 12 度，则这个三角形是＿＿三角形．5. 以三条线段 3、4、x －5 为这组成三角形，则 x 的取值为＿＿＿＿．6. 杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做的数学原理是＿＿＿＿．7. △ABC 中，∠A ＋∠B ＝∠C ，∠A 的平分线交 BC 于点 D ，若CD ＝8cm ，则点 D 到 AB 的距离为＿＿＿＿cm ．8．.AD 是△ABC 的边 BC 上的中线，AB ＝12，AC ＝8，则边 BC 的取值范围是＿＿＿＿；中线 AD 的取值范围是＿＿＿＿． 三、解答题：11． 已知：如图 13－4，AE=AC ， AD=AB ，∠EAC=∠DAB ， 14． 如图 5－7，△ABC 的边 BC 的中垂线 DF 交△BAC 的外角平分线 AD 于 D, F 为垂足, DE ⊥AB 于 E ，且 AB>AC ， 求证：BE －AC=AE ．BF C16．如图 9 所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是 BC 边上的中线，过 C 作 AD 的垂线，交 AB 于点 E ，交 AD 于点 F ，求证： ∠ADC ＝∠BDE ．求证：△EAD ≌△CAB ． EB图 13－4AEB图 9AB CD⎪⎩六、参考答案提示1. C ．（提示：边边角不能判定两个三角形全等．）2. C ．（提示：由三角形内角和为 180°可求，要注意有两个不同的角．）3. B ．（提示：利用三角形三边的关系，第三根木棒 x 的取值范围是：10cm ＜x ＜90cm ．＝ ∠ECB ， 又 ∵∠ABE=∠ACE ，∴∠ABC=∠ACB ， ∴AB=AC. 在△ AEB 和△AEC 中, AE=AE. BE=CE, AB=AC, ∴△AEB ≌△AEC,∠BAE=∠CAE. C16．如图 11 所示，过 B 点作 BH ⊥BC 交 CE 的延长线于 H 点．∵∠CAD ＋∠ACF ＝90°，∠BCH ＋∠ACF ＝90°，FD∴∠CAD ＝∠BCH ．在△ACD 与△CBH 中,AEB4．C ． (提示：A 不能构成三角形，B 满足边边角，不能判定三角形全等，D 项 可 画 出 无 数 个 三 角 形 ．) 5．B ．（提示：∠CDE ＝∠B ＋∠－∠＝∠－∠B ，故得到 2（∠B －∠）＋∠＝0．又∵∠－∠B ＝∠－∠C ＝∠CDE ，所以可得到∠CDE ＝ ，故当∠为定值时，∠CDE 为定值．）∵∠CAD ＝∠BCH ，AC ＝CB ，∠ACD ＝∠CBH ＝90°，∴△ACD ≌△CBH ．∴∠ADC ＝∠H ① CD ＝BH ， ∵CD ＝BD ，∴BD ＝BH ．∵△ABC 是等腰直角三角形，∠CBA ＝∠HBE ＝45°⎧BD = BH ,图 11H 26．钝角．（提示：由三角形的内角和可求出∠A 、∠B 和∠C 的度数） 7．6＜x<12．（提示：由三边关系可知：4－3＜x －5＜4＋3． 8．三角形的稳定性．9．8．（提示：点 D 到 AB 的距离与 CD 的长相等．） 10．4＜BC ＜20；2＜AD ＜10．（提示：要注意三角形一边上的中线的取值范围是大于另两边之差的一半，小于两边之和的一半．） 11. 提示：先证∠EAD=∠CAB ，再由 SAS 即可证明．12. ①△ABC ≌△DBE ，BC=BE ，∠ABC=∠DBE=90°，AB=BD ，符合SAS ；②△ACB 与△ABD 不全等，因为它们的形状不相同，△ACB 只是直角三角形，△ABD 是等腰直角三角形；③△CBE 与△BED 不全等， 理由同②；④△ACE 与△ADE 不全等，它们只有一边一角对应相等． 13. 提示：由 ASA 或 AAS ，证明△ADE ≌△CFE ．14. 过 D 作 DN ⊥AC, 垂足为 N, 连结 DB 、DC 则 DN=DE ，DB=DC ，又 ∵DE ⊥AB, DN ⊥AC, ∴Rt △DBE ≌Rt △DCN ， ∴BE=CN ．又 ∵AD=AD ，DE=DN ，∴Rt △DEA ≌Rt △DNA ，∴AN=AE ，∴BE=AC+AN=AC+AE ，∴BE －AC=AE ． 15. 上面证明过程不正确; 错在第一步. 正确过程如下：在△BEC 中， ∵BE=CE ， ∴∠EBC=∴在△BED 和 BEH 中， ⎨∠EBD ＝∠EBH, ，∴△BED ≌△BEH ．⎪BE ＝BE, ∴∠BDE ＝∠H ， ② 由①②得，∠ADC ＝∠BDE ．。
北师大版七年级下册三角形全等的证明练习题以及答案
5、如图，△ABC中，AB=AC，过A作GE∥BC，角平分线BD、CF交于点H，它们的延长线分别交GE于E、G，试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对给出证明。
最新七年级下册三角形全等的证明
1、已知：如图，四边形ABCD中，AC平分角BAD，CE垂直AB于E，且角B+角D=180度，求证：AE=AD+BE
2、已知，如图，AB=CD，DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，DF=BE。求证：AF=CE。
3、已知，如图，AB⊥AC，AB＝AC，AD⊥AE，AD＝AE。求证：BE＝CD。
25、（1）如图，在正方形一边上取中点，并沿虚线剪开，用两块图形拼一拼，能否拼出平行四边形、梯形或三角形画图解释你的判断.
（2）如图（2）E为正方形ABCD边BC的中点，F为DC的中点，BF与AE有何关系请解释你的结论。
26、如图 四点在同一直线上，请你从下面四项中选出三个作为条件，其余一个作为结论，构成一个真命题，并进行证明．
① ,② ,③ ，④
27、已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。(1)BF=AC(2)CE= BF(3)CE与BC的大小关系如何。
28、如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上，连结BD，AE，并延长AE交BD于F．求证：
7、已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD，若E是AC上一点。求证：EB=ED。
8、已知：如图，AB、CD交于O点，CE 已知：如图，△ABC和△A＇B＇C＇中，∠BAC=∠B＇A＇C＇，∠B=∠B＇，AD、A＇D＇分别是∠BAC、∠B＇A＇C＇的平分线，且AD=A＇D＇。求证：△ABC≌△A’B’C’。
第4章 三角形 全等三角形判定(基础版) -北师大版数学七年级下册(含答案)
全等三角形判定(基础版) (北师版数学）一．选择题（共24小题）1．下列命题中正确的是（）A．有两条边相等的两个等腰三角形全等B．两腰对应相等的两个等腰三角形全等C．两角对应相等的两个等腰三角形全等D．一边对应相等的两个等边三角形全等2．如图，已知∠1＝∠2，要说明△ABD≌△ACD，还需从下列条件中选一个，错误的选法是（）A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠C C．DB＝DC D．AB＝AC3．利用尺规进行作图，根据下列条件作三角形，画出的三角形不唯一的是（）A．已知三条边B．已知三个角C．已知两角和夹边D．已知两边和夹角4．如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列哪个条件不能判定△ABM≌△CDN（）A．AM＝CN B．AB＝CD C．AM∥CN D．∠M＝∠N5．如图，∠C＝∠B，能用ASA来判断△ABD≌△ACE，需要添加的条件是（）A．AE＝AD B．AB＝AC C．CE＝BD D．∠ADB＝∠ABC 6．如图，已知∠A＝∠D，∠1＝∠2，那么要得到△ABC≌△DEF，还应给出的条件是（）A．∠B＝∠E B．CD＝AF C．AB＝EF D．BC＝ED7．如图，已知AB＝DC，需添加下列（）条件后，就一定能判定△ABC≌△DCB．A．AO＝BO B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝DB D．BO＝CO8．用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕迹如图所示，则作图的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS9．下列说法正确的是（）A．垂直于同一条直线的两条直线互相平行B．如果△ABC的三个内角满足∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则这个三角形是锐角三角形C．有两角与一边相等的两个等腰三角形全等D．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等10．如图，E是线段AB的中点，∠AEC＝∠DEB，再添加一个条件，使得△AED≌△BEC，所添加的条件不正确的是（）A．AD＝BC B．DE＝CE C．∠A＝∠B D．∠C＝∠D 11．下列说法中正确的个数是（）①两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；②两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；③有一边对应相等的两个等边三角形全等．A．0B．1C．2D．312．如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ＝PQ，PR＝PS，下面三个结论：①AS＝AR②QP∥AR③△BRP≌△QSP．其中正确的是（）A．①③B．②③C．①②D．①②③13．下列判断正确的是（）A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B．有一角和一条边相等的两个直角三角形全等C．有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等D．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等14．下列说法错误的是（）A．同旁内角互补，两条直线平行B．相等的角不一定是对顶角C．有两个角和一条边对应相等的三角形一定全等D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等15．不能判定两个三角形全等的条件是（）A．三条边对应相等B．两角及一边对应相等C．两边及夹角对应相等D．两边及一边的对角相等16．一定能确定△ABC≌△DEF的条件是（）A．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠DC．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E D．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D17．具备下列条件的两个三角形中，不一定全等的是（）A．能够完全重合B．三边对应相等C．两角及一边对应相等D．两边及一角对应相等18．如图，已知∠A＝∠D，AF＝CD，那么要得到△ABC≌△DEF，还应该给出的条件是（）A．AB＝EF B．∠E＝∠B C．CD＝AF D．ED＝BC19．下列语句中不正确的是（）A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等B．有两边对应相等的两个直角三角形全等C．有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形全等D．在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P，则P A＝PB＝PC20．如图，如果平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，那么图中的全等三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对21．如图，等腰△ABC中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE ≌△ACD的是（）A．AD＝AE B．BE＝CD C．∠ADC＝∠AEB D．∠DCB＝∠EBC 22．如图，在直线AC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD交于点H，AE与DB交于点G，BE与CD交于点F，下列结论：（1）△ABE≌△DBC；（2）∠AHD＝60°；（3）△AGB≌△DFB；（4）BH平分∠GBF；（5）GF∥AC；（6）点H是线段DC的中点．正确的有（）A．6个B．5个C．4个D．3个23．如图，AB＝DB，∠ABD＝∠CBE，①BE＝BC，②∠D＝∠A，③∠C＝∠E，④AC＝DE，能使△ABC≌△DBE的条件有（）个．A．1B．2C．3D．424．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，点D在BC的延长线上，作∠ACD的平分线交BF延长线于E点，过点E作EG∥BD分别交AB、AC于G、H点．连接AE，有以下结论，①BG＝EG；②∠BEC＝∠BAC；③△HEF≌△CBF；④∠AEB+∠ACE＝90°；⑤BG﹣CH＝GH．其中正确的结论的个数是（）A．2B．3C．4D．5全等三角形判定(基础版) - 2021年暑假初一升初二(北师版数学）参考答案与试题解析一．选择题（共24小题）1．D2．C3．B4．A5．B6．B7．C8．A9．D10．A11．C12．C13．A14．D15．D16．C17．D18．B19．C20．D21．B22．C23．C24．B。
北师大版七年级下数学《全等三角形》单元测试(含答案)
1 / 5全等三角形章节测试一、细心选一选（每小题3分，共36分）1.下列说法正确的是……………………………………( )A.周长相等的两个三角形全等B.面积相等的两个三角形全等C.三个角对应相等的两个三角形全等D.三条边对应相等的两个三角形全等 2.下列各组线段能组成三角形的是……………………( )A.3cm ，3cm ，6cmB.7cm,4cm,5cmC.3cm,4cm,8cmD.4.2cm,2.8cm,7cm 3.下列图形中，与已知图形全等的是……………………( )4.如图，已知△ABC ≌△CDE,其中AB=CD,那么下列结论中， 不正确的是………………………( ) A.AC=CE B.∠BAC=∠CDEC.∠ACB=∠ECDD.∠B=∠D5.下列条件中，不能判定三角形全等的是……………………………………( ) A.三条边对应相等 B.两边和一角对应相等 C.两角和其中一角的对边对应相等 D.两角和它们的夹边对应相等6. 如图，把图形沿BC 对折，点A 和点D 重合，那么图中共有全等三角形…………………( )A.1对B.2对C.3对D.4对7.在△ABC 和△A ′B ′C ′中，已知AB= A ′B ′，∠B=∠B ′要保证△ABC ≌△A ′B ′C ′，可补充的条件是………………………………………………………………………………………………( )A.∠B+∠A=900B.AC= A ′C ′C.BC=B ′C ′D. ∠A+∠A ′=9008.已知在△ABC 和△A ′B ′C ′中，AB= A ′B ′，∠B=∠B ′，补充下面一个条件，不能说明△ABC ≌△A ′B ′C ′的是……………………………………………………………………………………( )(A) (B) (C)(D)第3题图DE第4题ABDCE2 / 5A. BC=B ′C ′B. AC= A ′C ′C. ∠C=∠C ′D. ∠A=∠A ′9.如图，已知AE=CF,BE=DF.要证△ABE ≌△CDF,还需添加的一个条件是………( ) A.∠BAC=∠ACD B.∠ABE=∠CDF C.∠DAC=∠BCA D.∠AEB=∠CFD10.如图AD 是△ABC 的角平分线，DE 是△ABD 的高，EF 是△ACD 的高，则…( ) A.∠B=∠C B.∠EDB=∠FDC C.∠ADE=∠ADF D. ∠ADB=∠ADC 11.如图AC 与BD 相交于点O ，已知AB=CD,AD=BC,则图中全等三角形有………( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 12.如图,D 、E 分别是AB,AC 上一点，若∠B=∠C ，则在下列条件中，无法判定△ABE ≌△ACD 是………………………………( ) A.AD=AE B.AB=ACC.BE=CDD.∠AEB=∠ADC二、专心填一填：（每小题3分，共24分）13.如图，△ABC ≌△DEF,点B 和点E, 点A 和点D 是对应顶点， 则AB= ，CB= , ∠C= ,∠CAB= . 14.若已知两个三角形有两条边对应，则要视这两个三角形全等， 还需增加的条件可以是 或 .15.如图已知AC 与BD 相交于点O ，AO=CO,BO=DO,则AB=CD 请说明理由. 解：在△AOB 和△COD 中∴△AOB ≌△COD （ ） ∴AB=DC （ ） 16.如图，已知AO=OB,OC=OD,AD 和BC 相交于点E ， 则图中全等三角形有 对.A B C DF E第9题AA AAA 第10题A BCDO第11题ABCE第12题D第13题ABC DEFA BDC O第15题OABD第16题 CE3 / 517.在△ABC 和△DEF 中,AB=4, ∠A=350, ∠B=700,DE=4, ∠D= , ∠E=700,根据 判定△ABC ≌△DEF.18.如图，在△ABC 和△DEF 中∴△ABC ≌△DEF( )19.如图∠B=∠DEF,AB=DE,要证明△ABC ≌△DEF ，(1)若以“ASA ”为依据，需添加的条件是 ; (2)若以“SAS ”为依据，需添加的条件是 .20.如图，△ABC 中，AB=AC=13cm ，AB 的垂直平分线交AB 于D, 交AC 于E,若△EBC 的周长为21cm,则BC= cm.三、耐心答一答：（本题有6小题，共40分）21.(本题4分)已知∠α、∠β和线段a, 如图，用直尺和圆规作△ABC ，使∠A=∠α,∠B=∠β,BC=a.22.(本题6分)已知AD 平分∠CAB,且DC ⊥AC, DB ⊥AB ，那么AB 和AC 相等吗？请说明理由.第19题B CAECD第18题ABC DAB CE D第20题DCA B4 / 523.(本题6分)如图，已知BD=CD ，∠1=∠2. 说出△ABD ≌△ACD 的理由.24.(本题8分)如图，已知AB=DC ，AD=BC,说出下列判断成立的理由： (1) △ABC ≌△CDA (2) ∠B=∠D25.(本题8分) 如图，把大小为4×4的正方形方格图形分别分割成两个全等图形，例如图①，请在下图中，沿着须先画出四种不同的分法，把4×4的正方形分割成两个全等图形26.(本题8分)如图，△ABC 中，AD 垂直平分BC,H 是AD 上一点，连接BH,CH.(1)AD 平分∠BAC 吗？为什么？(2)你能找出几堆相等的角？请把他么写出来（不需写理由）ABC12DD图①画法1画法2画法3画法4ACBH D一、细心选一选：（每小题3分，共36分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D B B C D C C B D C D D二、专心填一填（每小题3分，共24分）13.DE,FE,∠F, ∠FED. 14.3第三边相等，这两边的夹角相等15. ∠AOB=∠COD,SAS,全等三角形的对应边相等 16.4 17.350, AAS 18.AC,CA,公共边，SSS19.∠A=∠D 20.8三、耐心答一答（本题有六小题，共40分）21.图略 22.AB=AC 23.略 24.略25.画法1 画法2 画法3 画法426.(1)由△ADB≌△ADC(SAS)得∠BAD=∠CAD (4)4对，∠BHD=∠CHD, ∠ABD=∠ACD,∠HBD=∠HCD, ∠BDA=∠CDA5 / 5。
专题探索三角形全等的条件(ASA和AAS)(专项练习)数学七年级下册基(北师大版)
专题4.15 探索三角形全等的条件（ASA 和AAS ）（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．如图，点B ，C ，D 在同一直线上，若A D ∠=∠，AB EC ∥，则下列选项中，不能判定≌ABC DCE 的是（ ）A ．ACB E ∠=∠B ．AB CD =C ． AC DE =D ．BC CE =2．如图，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ，OD ∠BC 于点D ，OD ＝2，∠ABC 的周长为28，则∠ABC 的面积为（ ）A ．28B ．14C ．21D ．73．如图，在ABC 中，过点A 作ABC ∠的平分线的垂线AD 交ABC 内部于点P ，交边BC 于点D ，连结CP ，若ABP ，CDP △的面积分别为4、2，则ABC 的面积是（ ）A ．24B ．12C ．8D ．64．如图，在ABC 与AEF △中，点F 在BC 上，AB 交EF 于点D ．AB AE =，30B E ∠=∠=︒，EAB CAF ∠=∠，80EAF ∠=︒，则FAC ∠=（ ）A ．40︒B ．60︒C ．50︒D ．70︒5．如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE EF =，FC AB ∥，若8AB =，6CF =，则BD 的长是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，ABC 的两条高AD 和CE 交于点F ．已知7AB =，3EF EB ==，则CF 的长为（ ），A ．1B ．2C ．32D ．527．如图，在四边形ABCD 中，AB DC ∥，DAB ∠的平分线交BC 于点E ，DE AE ⊥，若12AD =，8BC =，则四边形ABCD 的周长为（ ）A ．32B ．20C ．16D ．288．如图，AB CD ⊥，且AB CD =，CE AD ⊥，BF AD ⊥，垂足分别为E ，F ，若3BF =，5CE =，52AE =，则EF 的长为（ ）A ．52B ．12C ．2D ．39．如图，甲、乙、丙三个三角形中和ABC ∆全等的图形有（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．乙和丙10．如图，ABC 中，490B C ∠=︒， AB AC =、BM 是AC 边的中线，有AD BM ⊥；垂足为点E 交BC 于点D ．且AH 平分BAC ∠交BM 于N ．交BC 于H ．连接DM ．则下列结论：∠AMB CMD ∠=∠； ∠HN HD =； ∠BN AD =； ∠BNH MDC ∠=∠； 错误的有（ ）个．A ．0B ．1C ．3D ．4二、填空题11．如图，已知AD =AE ，请你添加一个条件，能运用ASA 直接说明∠ADC ∠△AEB ，你添加的条件是 ___________．（不添加任何字母和辅助线）12．如图，在∠ABC 中，点D 为AB 延长线上一点，点E 为AC 中点，过C 作CF //AB 交射线DE 于F ，若BD ＝1，CF ＝5，则AB 的长度为_____．13．如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，连接BD ，4AD =，BD CD ⊥，ADB C ∠=∠．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为______．14．在ABC 中，120A ∠=︒，AB AC m ==，BC n =，CD 是ABC 的边AB 的高，则ACD的面积为______(用含m ，n 的式子表示)．15．∠ABC 中，90AC BC ACB =∠=，，点D 是∠ABC 外一点，连接BD ，CD ，BD AC ∥，点F 是CD 上一点，连接AF ，若2D CAF ∠=∠，179CD CE ==，，则BD 的长为___________．16．如图，图形的各个顶点都在3⨯3正方形网格的格点上．则12∠+∠=______．17．如图，点E 是BC 的中点，AB BC ⊥，DC BC ⊥，AE 平分BAD ∠，下列结论：∠90AED ∠=︒；∠ADE AEB ∠=∠；∠ABCD S AD CE =⋅梯形；∠2AD AE =，四个结论中成立的是__________．18．如图所示，在等腰Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点D 为射线CB 上的动点，AE AD =，且AE AD ⊥，BE 与AC 所在的直线交于点P ，若5AC PC =，则BDCD=_____．三、解答题19．如图，在四边形ABCD 中，已知AB CD ∥，连接BD ，AE AB ⊥交BD 于点E ，CF CD ⊥交BD 于点F ，DE BF =，求证：C ABE DF ≌△△．20．如图，点A 、C 、B 、D 在同一条直线上，BE DF ∥，A F ∠=∠，AB FD =．求证： (1) AE FC =．(2) 若157ACF =︒∠，45EBA ∠=︒，求A ∠的度数．21．如图，四边形ABCD 中，点F 是BC 中点，连接AF 并延长，交于DC 的延长线于点E ，且AB CE ．(1) 求证：ABF ECF △≌；(2) 若AD BC ∥，260B D ∠+∠=︒，求D ∠的度数； (3) 若B D ∠=∠，求证：AD BC =．22．在复习课上，老师布置了一道思考题：如图所示，点M ，N 分别在等边ABC 的,BC CA 边上，且BM CN =，AM ，BN 交于点Q ．求证：60BQM ∠=︒．同学们利用有关知识完成了解答后，老师又提出了下列问题：(1) 若将题中“BM CN =”与“60BQM ∠=︒”的位置交换，得到的是否仍是真命题？请你给出答案并说明理由．(2) 若将题中的点M ，N 分别移动到,BC CA 的延长线上，是否仍能得到60BQM ∠=︒？请你画出图形，给出答案并说明理由．23．如图∠，点C 在线段AB 上（点C 不与A ，B 重合），分别以AC ，BC 为边在AB 同侧作等边∠ACD 和等边∠BCE ，连接AE ，BD 交于点P ．(1) 观察猜想：1.AE 与BD 的数量关系为______；2.∠APD 的度数为______； (2) 数学思考：如图∠，当点C 在线段AB 外时，（1）中的结论∠，∠是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．24．在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．(1) 当直线MN 处在图1的位置时，填空： ∠ADC △和CEB 的关系是___________；∠线段DE 、AD 和BE 三者之间的大小关系是___________； (2) 当直线MN 处在图2的位置时，求证：DE AD BE =-；(3) 当直线MN 处在图3的位置时，且3BE =，1AD =，直接写出DE 的长．（不需要证明）参考答案1．A【分析】根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可知B ECD ∠=∠，然后结合题意和各个选项，由三角形判定条件即可获得答案．解：∠AB EC ∥，∠B ECD ∠=∠，再结合已知条件A D ∠=∠可知： A. 若ACB E ∠=∠，不能证明两三角形全等，符合题意；B. 若AB CD =，可利用“ASA ”证明≌ABC DCE ，故不符合题意；C. 若AC DE =，可利用“AAS ”证明≌ABC DCE ，故不符合题意；D. 若BC CE =，可利用“AAS ”证明≌ABC DCE ，故不符合题意． 故选：A ．【点拨】本题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定，解题的关键是明确全等三角形的判定方法．2．A【分析】连接OA ，过点O 作OE AB ⊥于点E ，作OF AC ⊥于点F ，则由角平分线的性质定理得：OE =OF =OD =2，再由ABC OAB OBC OCA S S S S =++△△△△即可求得结果．解：连接OA ，过点O 作OE AB ⊥于点E ，作OF AC ⊥于点F ，如图∠BO 平分DBA ∠，OE AB ⊥，OD BC ⊥， 在BOD 和BOE △中， 90OEB ODB OBE OBD BO BO ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠()BOD BOE AAS △≌△， ∠OE =OD =2 同理：OF =OD =2 ∠OE =OF =OD =2∠ABC OAB OBC OCA S S S S =++△△△△ 111222AB OE BC OD AC OF =++ ()12AB BC AC OD =++ =12822⨯⨯ =28 ∠28ABC S =△ 故选：A ．【点拨】本题考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积等知识，关键是根据条件构造适合角平分线性质定理条件的辅助线．3．B【分析】根据ASA 可证ABP DBP ≅，由全等的性质可得，AP DP =，即P 是AD 中点，由等底同高可得，DBPABPS S=，APCDPCSS=，从而计算ABCABPDBPAPCDPCSSSSS=+++，故得出答案．解：由题可得：ABP DBP ∠=∠，BP AD ⊥，90BPA BPD ∴∠=∠=︒，在ABP 与DBP 中， ABP DBP BP BPBPA BPD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ABP DBP ASA ∴≅，AP DP ∴=，4DBPABPSS∴==，2APCDPCSS==，442212ABCABPDBPAPCDPCSSSS S∴=+++=+++=．故选：B ．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，求等底同高的面积，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．4．A【分析】根据ASA 证明C EAF BA ≌得出AF AC =，C AFC ∠=∠，再由三角形内角和定理即可推出结果．解：∠EAB CAF ∠=∠， ∠80C EAF AB ∠=∠=︒， 在EAF △与BAC 中，E B AE ABEAF BAC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠(ASA)BA A C E F ≌， ∠AF AC =， ∠C AFC ∠=∠， ∠30,80A B C B =∠︒=∠︒，∠18070C C AFC B AB =∠=-∠-∠=︒∠︒， ∠18040C AF A C F C =-∠︒-∠=∠︒， 故选：A ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．5．B【分析】根据平行线的性质得出，A FCE ∠=∠，ADE F ∠=∠，根据全等三角形的判定，得出ADE CFE ≌，根据全等三角形的性质得出，AD CF =，根据8AB =，6CF =，即可求出线段BD 的长．解：FC AB ∥，A FCE ∴∠=∠，ADE F ∠=∠，在ADE 和CFE 中，A FCE ADE F DE FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE CFE AAS ∴≌,6AD CF ∴==，8AB =，862BD AB AD ∴=-=-=，故选：B ．【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质的应用，能判定ADE CFE ≌是解此题的关键．6．A【分析】先根据AEF △的面积算出AE 的长度，再根据全等三角形的知识算出CE 的长度，由CE FE -即可求出CF 的长度．解：CE AB ⊥，90AEC ∴∠=︒，734AE AB EB =-=-=，AD BC ⊥，90ADC ∴∠=︒，又AFE CFD ∠=∠，EAF ECB ∴∠=∠，在BEC 和FEA 中，EAF ECB FEA BEC BE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()BEC FEA AAS ≌△△4AE CE ∴==，431CF CE EF ∴=-=-=，故选：A ．【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质，三角形的高，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．7．A【分析】延长AB 、DE 相交于点F ，根据得到DE EF =，AD AF =，再证明DEC FEB △≌△得到DC BF =，从而推算出四边形ABCD 的周长等于2AD BC +解：如下图所示，延长AB 、DE 相交于点F ，DAB ∠的平分线交BC 于点E ，∠DAE FAE ∠=∠，∠DE AE ⊥，90AED AEF ∠=∠=︒∴，∠AE AE =，∠AED AEF ≌△△，∠DE EF =，12AF AD ==，∠AB DC ∥，∠CDE EFB ∠=∠,∠CDE EFB DE EF DEC FEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∠DEC FEB △≌△，∠DC BF =，∠12AB DC AB BF AF +=+==，∠四边形ABCD 的周长为1212832AD AB BC DC AD AF BC +++=++=++=， 故选：A ．【点拨】本题考查全等三角形、平行线和角平分线的性质，构造辅助线、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．8．A【分析】先根据余角的性质证明C A ∠=∠，再根据AAS 证明CDE ABF ≌，得出5CE AF ==，最后根据线段的和差即可求解．解：∠AB CD ⊥，CE AD ⊥，BF AD ⊥，∠90ABD ，90CED ∠=︒，90AFB ∠=︒，∠90A D ∠+∠=︒，90C D ∠+∠=︒，CED AFB ∠=∠，∠C A ∠=∠，在CDE 和ABF △中，C A CED AFB CD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()AAS CDE ABF ≌，∠CE AF =，又5CE =，∠5AF =， 又52AE =， ∠52EF AF AE =-=．故选：A ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，余角的性质等知识，根据AAS 证明CDE ABF ≌是解题的关键．9．D【分析】根据三角形全等的判定方法进行判断：甲图不符合三角形全等的判定方法；乙图可运用SAS 判断；丙图可以用AAS 判定．解：如图所示，甲图，不满足三角形全等的判定的条件；乙图，在ABC ∆和FED ∆中，====50?==BC ED a B E BA EF c ∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，(SAS)ABC FED ∆∆≌；丙图，在ABC ∆和MNH ∆中，==72?==50?==M AED B N BC NH a ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，(AAS)ABC MNH ∆∆≌．故选D ．【点拨】此题考查全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的各种方法是解题的关键．10．A【分析】作KC CA ⊥交AD 的延长线于K ．通过证明BHN AHD ABM CAK CDM CDK ≌，≌，≌即可解决问题．解：如图，作KC CA ⊥交AD 的延长线于K ．∠90AB AC BAC =∠=︒，，AH 平分BAC ∠，∠AH BC BH CH ⊥=，，∠AH BH CH ==，∠AD BM ⊥，∠90BHN AEN AHD ∠=∠=∠=︒，∠BNH ANE ∠=∠，∠HBN DAH ∠=∠，∠ASA BHN AHD ≌（）， ∠HN DH BN AD BNH ADH CDK ==∠=∠=∠，，，故∠∠正确，∠90BAM ACK ∠=∠=︒，∠90BAE CAK ∠+∠=︒，∠90BAE ABM ∠+∠=︒，∠ABM CAK ∠=∠，∠AB AC =，∠ASA ABM CAK ≌（）， ∠AMB K AM CK CM ∠=∠==，，∠45DCM DCK CD CD ∠=∠=︒=，，∠SAS CDM CDK ≌（）， ∠CDK CDM K CMD ∠=∠∠=∠，，∠AMB CMD BNH MDC ∠=∠∠=∠，，故∠∠正确．故选：A ．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．11．∠ADC =∠AEB【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．解：添加条件∠ADC =∠AEB ，理由如下：在 ADC AEB 和△△中，===A A AD AE ADC AEB ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩， ∠ADC AEB ≌（ASA ），故答案为：∠ADC =∠AEB ．【点拨】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 12．4【分析】根据CF ∠AB 就可以得出∠A =∠ECF ，∠ADE =∠F ，证明△ADE ∠∠CFE 就可以求出答案．解：∠CF ∠AB ，∠∠ADE =∠F ，∠FCE =∠A ．∠点E 为AC 的中点，∠AE =EC ．∠在∠ADE 和∠CFE 中，ADE F FCE A AE EC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∠∠ADE ∠∠CFE （AAS ）．∠AD =CF =5，∠BD =1，∠AB =AD -BD =5-1=4．故答案为：4．【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，解答时证明三角形全等是关键．13．4【分析】根据垂线段最短得出当DP BC ⊥时，DP 的长度最小，求出ABD CBD ∠=∠，根据角平分线的性质得出AD DP =，即可得出选项．解：如图，过点D 作DE BC ⊥于点E ，当DP D =E 时，DP 最小，∠90BD DC A ∠⊥=︒，，∠9090DEB DEC A BDC ∠∠∠∠==︒==︒，，∠9090C CDE CDE BDE ∠∠∠∠+=︒+=︒，，∠BDE C ∠=∠，又∠ADB C ∠=∠，∠ADB BDE ∠=∠，∠在ABD △和EBD △中A DEB ADB BDE BD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠ABD EBD △≌△，∠4DE AD ==，即DP 的最小值为4．故答案为：4．【点拨】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理和垂线段最短等知识点，能知道当DP BC ⊥时，DP 的长度最小是解此题的关键．14．8mn 【分析】过点C 作CD AB ⊥交AB 的延长线于点D ，由90ADC ∠=︒，求得30ACD ∠=︒，得到122m AD AC ==，过点A 作AE BC ⊥交BC 于点E ，证明ACE ACD △≌△，得到122n CD CE BC ===，即可求得ACD 的面积． 解：过点C 作CD AB ⊥交AB 的延长线于点D ，过点A 作AE BC ⊥交BC 于点E ，∠120A ∠=︒，AB AC m ==，∠18060CAD BAC ∠=︒-∠=︒，且CD AB ⊥，∠90ADC ∠=︒，∠9030ACD CAD ∠=︒-∠=︒， ∠122m AD AC ==， ∠120A ∠=︒，AB AC m ==，AE BC ⊥，∠30ACE ACD ∠=∠=︒，60CAE CAD ∠=∠=︒，AC AC =，∠ACE ACD △≌△， ∠122n CD CE BC ===，∠128ACD mn S AD CD =⋅=△， 故答案为：8mn ． 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质及含30度角的直角三角形的性质，能够构造辅助线是解决问题的关键．15．8【分析】作AE 的垂直平分线交BC 的延长线于点M ，交AE 于点N ，连接AM ，则AM EM =，设CAF α∠=，则2BDC α∠=，利用AAS 求证ACM CBD ≅，根据全等三角形的性质可得17AM CD ME ===，CM BD =，进而即可求解．解：如图，作AE 的垂直平分线交BC 的延长线于点M ，交AE 于点N ，连接AM ，则AM EM =，MAE MEA ∴∠=∠，设CAF α∠=，则2BDC α∠=，90ACB ∠=︒，90AEC α∴∠=︒-，90MAE MEA α∴∠=∠=︒-，()1802902AME BDC αα∴∠=︒-︒-==∠，BD AC ∥，90ACB CBD ∴=∠=∠︒，90ACM CBD ∠=∠=︒，AC CB =，AMC CDB ∠=∠，ACM CBD ∴≅（AAS ），17AM CD ∴==，CM BD =，AM ME =，17ME MC CE ∴==+，9CE =，1798BD ∴=-=，故答案为：8【点拨】本题考查全等三角形的判定及其性质，解题的关键是作图构造全等三角形，熟练运用全等三角形的判定求证ACM CBD ≅．16．45°##45度【分析】通过证明三角形全等得出∠1=∠3，再根据∠1+∠2=∠3+∠2 即可得出答案． 解：如图所示，由题意得，在Rt △ABC 和Rt △EFC 中，∠90AB EF B EFC BC FC =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∠Rt △ABC ∠Rt △EFC （SAS ）∠∠3=∠1∠∠2+∠3=90°∠∠1+∠2=∠3+∠2=90°故答案为：45°【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由证明三角形全等得出∠1=∠3是解题的关键．17．∠∠∠【分析】过E 作EF ∠AD 于F ，由AAS 证明△AEF ∠∠AEB ，得出BE ＝EF ，AB ＝AF ，∠AEF ＝∠AEB ；证出EC ＝EF ＝BE ，由HL 证明Rt △EFD ∠Rt △ECD ，得出DC ＝DF ，∠FED＝∠CED ，由平角定义得出∠AED ＝90°，∠正确；由直角三角形的两个锐角互余，得出∠ADE＝∠AEB ，∠正确；证出AD ＝AF ＋FD ＝AB ＋DC ，得出S 梯形ABCD ＝12（AB ＋CD ）BC ＝AD •CE ，∠正确；只有∠ADE ＝30°时，AD ＝2AE ，∠不正确；即可得出结论．解：过E 作EF ∠AD 于F ，如图，∠AB ∠BC ，DC ∠BC ，AE 平分∠BAD ，∠∠C ＝∠AFE ＝∠DFE ＝∠B ＝90°，∠F AE ＝∠BAE ，在△AEF 和△AEB 中，AE=AE AFE B FAE BAE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝，∠∠AEF ∠∠AEB （AAS ），∠BE ＝EF ，AB ＝AF ，∠AEF ＝∠AEB ；∠点E 是BC 的中点，∠EC ＝EF ＝BE ，在Rt △EFD 和Rt △ECD 中，DE DE EF EC =⎧⎨=⎩， ∠Rt △EFD ∠Rt △ECD （HL ），∠Rt △EFD ∠Rt △ECD （HL ），∠DC ＝DF ，∠FED ＝∠CED ，∠∠AEB ＋∠AEF ＋∠FED ＋∠CED ＝180°，∠∠AED ＝12×180°＝90°，∠正确；∠EF ∠AD ，∠∠AEF ＝∠ADE ，∠∠ADE ＝∠AEB ，∠正确；∠AD ＝AF ＋FD ＝AB ＋DC ，S 梯形ABCD ＝12（AB ＋CD ）BC ＝AD •CE ，∠正确； 只有∠ADE ＝30°时，AD ＝2AE ，∠∠不正确；故答案为∠∠∠【点拨】本题考查了梯形的性质、三角形全等的判定与性质、直角三角形的性质；证明三角形全等是解决问题的关键．18．27【分析】作EH AC ⊥，交AC 的延长线于H ，利用AAS 证明ACD EHA ≌△△，得AC EH =，DC AH =，再证明()AAS CBP HEP ≌，得PC HP =，从而解决问题． 解：作EH AC ⊥，交AC 的延长线于H ，∠AE AD ⊥，∠=90DAE ∠︒，∠90DAC EAH EAH AEH ∠+∠=∠+∠=︒，∠DAC AEH ∠=∠，∠90ACB H ∠=∠=︒，DA AE =∠()AAS ACD EHA ≌，∠AC EH =，DC AH =，∠AC BC =，∠BC EH =，∠CPB HPE ∠=∠，BCP H ∠=∠，∠()AAS CBP HEP ≌，∠PC HP =，∠5AC PC =，设PC x =，则5AC x =，∠5BC x =，7CD AH x ==，∠2BD x =， ∠2277x D CD x B ==， 故答案为：27．【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．19．见分析【分析】根据AAS 证明ABE CDF ≌．解：证明：∠BF DE =，∠BF EF DE EF +=+，即BE DF =，∠AE AB ⊥，CF CD ⊥，∠90BAE DCF ∠=∠=︒，又∠AB CD ∥∠ABD CDB ∠=∠在ABE 和CDF 中，BAE DCF ABD CDB BE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()ABE CDF AAS △△≌． 【点拨】本题考查了三角形全等的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．20．(1) 证明见分析 (2) 112︒【分析】（1）通过条件可证()ASA ABE FDC ≌△△，根据全等三角形的性质得到AE FC =；（2）根据三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和即可得解．解：（1）证明：∠BE DF ∥∠ABE D ∠=∠在ABE 和FDC △中∠A F AB FD ABE D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠()ASA ABE FDC ≌△△ ∠AE FC =（2）解： 由（1）知ABE D ∠=∠∠45EBA ∠=︒∠45D ∠=︒∠ACF ∠是CDF 的一个外角，∠15745112F ACF D =-=︒-︒=︒∠∠∠∠A F ∠=∠∠112A ∠=︒【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．21．(1) 见分析 (2) 130︒ (3) 见分析【分析】（1）由点F 是BC 中点得到BF CF =，由AB CE ，则BAF E ∠=∠，根据根据AAS 即可判定ABF ECF △≌；（2）由AB CE 得到B BCE ∠=∠，由AD BC ∥得到D BCE ∠=∠，则B D ∠=∠，又由260B D ∠+∠=︒，即可得到D ∠的度数；（3）连接AC , 证明()AAS ABC CDA △≌△即可．解：（1）证明：∠点F 是BC 中点，∠BF CF =∠AB CE ，∠BAF E ∠=∠，在ABF △和ECF △中，BAF E AFB EFC BF CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()AAS ABF ECF ≌△△． （2）∠AB CE ，∠B BCE ∠=∠，∠AD BC ∥，∠D BCE ∠=∠，∠B D ∠=∠，∠260B D ∠+∠=︒，∠130D B ∠=∠=︒，即D ∠的度数为130︒；（3）连接AC ，∠AB CE ，∠BAC ACD ∠=∠，∠B D ∠=∠，AC CA =，∠()AAS ABC CDA △≌△，∠AD BC =．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．22．(1) 仍是真命题，证明见分析 (2) 仍能得到60BQM ∠=︒，作图和证明见分析【分析】（1）由角边角得出ABM 和BCN △全等，对应边相等即可．（2）由（1）问可知BM =CN ，故可由边角边得出BAN 和ACM △全等，对应角相等，即可得出60BQM ∠=︒．解：(1)∠60BQM ∠=︒∠60QBA BAM ∠+∠=︒∠60QBA CQN ∠+∠=︒∠BAQ CQN ∠=∠在ABM 和BCN △中有BAQ CQN AB BC ABM BCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠ABM BCN ASA ≅△（）∠BM CN =故结论仍为真命题．(2)∠BM =CN∠CM =AN∠AB =AC ，18060120ACM BAN ∠=∠=︒-︒=︒，在BAN 和ACM △中有BA AC BAN ACM AN CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠BAN ACM SAS ≅△（）∠BNA CMA ∠=∠∠60BQM BNA NAQ CMA CAM ACB ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒故仍能得到60BQM ∠=︒，如图所示【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边角迅速、准确地确定要补充的边角，有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路．23．(1) ∠AE＝BD；∠60°(2) 上述结论成立．∠APD＝60°，证明见分析【分析】（1）根据已知条件只要证明∠DCB∠∠ACE，即可证明出AE于BD的数量关系，以及∠APD的角度；（2）根据∠ACD，∠BCE均为等边三角形，可知＝AC，BC＝EC，∠DCA＝∠BCE＝60°，进而可知∠DCA＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCE，即∠DCB＝∠ACE，从而可证∠DCB∠∠ACE（SAS），则DB＝AE，∠CDB＝∠CAE，根据∠DCA＝∠DP A＝60°可证∠APD＝60°．解：（1）解：∠∠ACD和∠CBE都是等边三角形，∠AC=DC，CE=CB，∠ACD=∠ECB=60°，∠∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠DCB=∠DCE＋∠ECB，∠∠DCB=∠ACE，∠∠DCB∠∠ACE，∠AE=BD，∠BDC=∠CAE，又∠∠DOP=∠COA，∠∠APD=∠ACD=60°，故答案是：AE=BD，60°；（2）上述结论成立，∠∠ACD，∠BCE均为等边三角形，∠DC＝AC，BC＝EC，∠DCA＝∠BCE＝60°，∠∠DCA＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCE，即∠DCB＝∠ACE，在∠DCB和∠ACE中，DC ACDCB ACE CB CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠DCB∠∠ACE（SAS），∠DB＝AE，∠CDB＝∠CAE，如图，设BD与AC交于点O，易知∠DOC＝∠AOP（对顶角相等），∠∠CDB＋∠DCA＝∠CAE＋∠DP A，∠∠DCA＝∠DP A＝60°，即∠APD＝60°．【点拨】本题考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，能够熟练掌握全等三角形的性质与判定是解决本题的关键．24．(1) ∠ADC CEB ≅；∠DE AD BE =+ (2) 见分析 (3) 2【分析】（1）∠根据同角的余角相等得到CAD BCE ∠=∠，利用AAS 定理证明ADC CEB ≅；∠根据全等三角形的性质得到CE AD =，BE CD =，结合图形得出结论；（2）证明ADC CEB ≅，根据全等三角形的性质得到CE AD =，BE CD =，结合图形证明结论；（3）仿照（2）的作法分别求出CD 、CE ，计算即可．（1）解：∠90ACB ∠=︒，90ACD BCE ∴∠+∠=︒，AD MN ⊥，BE MN ⊥，90ADC CEB ∴∠=∠=︒，90ACD CAD ∴∠+∠=︒，CAD BCE ∴∠=∠，在ADC 和CEB 中，ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ADC CEB ∴≅（AAS ），故答案为：ADC CEB ≅；∠由∠可知：ADC CEB ≅，CE AD ∴=，BE CD =，DE DC CE AD BE ∴=+=+，故答案为：DE AD BE =+；（2）证明：90ADC CEB ACB ∠=∠=∠=︒，ACD CBE ∴∠=∠，在ADC 和CEB 中，ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ACD CBE ∴≅（AAS ），CE AD ∴=，CD BE =，DE CE CD AD BE ∴=-=-；（3）解：由（2）可知：ACD CBE ≅，3CD BE ∴==，1CE AD ==，312DE CD CE ∴=-=-=．【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．。
北师大版七年级数学下册(三角形全等)专题训练
七年级数学定制一、选择题1.如图给出了四组三角形，其中全等的三角形有( )组．A. 1B. 2C. 3D. 42.如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过点B的AB的垂线l上取两点C、D，使CD=BC，再在过D的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，这时△ACB≌△ECD，DE=AB.测得DE的长就是A、B的距离，这里判断△ACB≌△ECD的理由是( )A. SASB. ASAC. AASD. SSS3.下列条件中不能判定△ABC≌△DEF的是( )A.AB=DE，AC=DF，BC=EFB. AB=DE，∠A=∠D，BC=EFC. AB=DE，∠B=∠DEF，BC=EFD. ∠B=∠DEF，∠A=∠D AB=DE4、如图所示，AD平分∠BAC，AB=AC，连结BD、CD并延长分别交AC、AB于F、E 点，则此图中全等三角形的对数为( )A.2对B. 3对C. 4对D. 5对5、下列判断正确的是( )A. 顶角相等的的两个等腰三角形全等B. 腰相等的两个等腰三角形全等C. 有一边及一锐角相等的两个直角三角形全等D. 顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等6、如图，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是( )A. ∠M=∠NB. AM//CNC. AB=CDD. AM=CN7、在△ABC和△A′B′C′中A′B′=AB，∠B=∠B′，补充条件后仍不一定能保证△A′B′C′≌△ABC，则补充的条件是( )A. A′C′=ACB. B′C′=BCC. ∠A′=∠AD. ∠C′=∠C8、观察如图图形，图(1)中有3个三角形，图(2)中有5个三角形，图(3)中有7个三角形，…若依此规律下去，则第2014个图形中三角形的个数是( )A. 4028B. 4029C. 4030D. 4031二、填空题9、按如下规律摆放三角形：第(n)堆三角形的个数为______ ．10、当三角形中一个内角β是另一个内角α的12时，我们称此三角形为”希望三角形“，其中角α称为”希望角“.如果一个”希望三角形“中有一个内角为54∘，那么这个”希望三角形“的”希望角“度数为______ ．三、解答题11、如图，AC 与BD 交于点O ，AD=CB ，E 、F 是BD 上两点，且AE=CF ，DE=BF.请推导下列结论：⑴∠D=∠B ；⑵AE ∥CF ．12、如图，ΔABC 中，D 是AC 上一点，BE ∥AC ，BE=AD ，AE 分别交BD 、BC 于点F 、G ． ⑴图中有全等三角形吗？请找出来，并证明你的结论． ⑵若连结DE ，则DE 与AB 有什么关系？并说明理由．13、如图，在△ABC 中，∠B=2∠C,AD 是△ABC 的角平分线，∠1=∠C,求证AC=AB+BDB C D AF G E14、如图1，将一块等腰直角三角板ABC的直角顶点C置于直线l上，图2是由图1抽象出的几何图形，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．(1)△ACD与△CBE全等吗？说明你的理由．(2)猜想线段AD、BE、DE之间的关系.(直接写出答案)14、如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE．(1)请判断：AF与BE的数量关系是______ ，位置关系是______ ；(2)如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC”，第(1)问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予说明；(3)若三角形ADE和DCF为一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第(1)问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判断．16、如图△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120∘的等腰三角形，以D为顶点作一个60∘角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．探究：(1)线段BM、MN、NC之间的数量关系．(2)若点M、N分别是AB、CA延长线上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC 之间的数量关系，在图中画出图形.并对以上两种探究结果选择一个你喜欢的加以证明．。
北师大版七年级下册全等三角形专项练习
全等三角形专项练习1．已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AC=A1C1，BC=B1C1，∠C=∠C1．求证：△ABC≌△A1B1C1．2．如图已知，AB∥DC，AB=DC，AE=CF．求证：△ABF≌△CDE．3．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且BD=CE．求证：△ABE≌△ACD．4．已知：如图，等腰三角形ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，直线l经过点C（点A、B都在直线l的同侧），AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E．求证：△ADC≌△CEB．5．已知：如图AC，BD相交于点O，∠A=∠D，AB=CD，求证：△AOB≌△DOC．6．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，点D在BC的延长线上，且BD=AB，过B 作BE⊥AC，与BD的垂线DE交于点E．求证：△ABC≌△BDE．7．如图，已知两条直线AB，CD相交于点O，且CO=DO，AC∥BD，求证：△AOC≌△BOD．8．如图，已知点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C．求证：△ABE≌△ACD．9．已知：如图，AB=CD，AD=CB．求证：△ABC≌△CDA．10．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为C、D，AC=BD，Rt△ABC与Rt△BAD全等吗？为什么？11．已知：如图，点A，D，C在同一直线上，AB∥EC，AC=CE，∠B=∠EDC．求证：BC=DE．12．如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A，B，C 的距离分别为3，4，5，求∠AEB的度数．13．已知矩形ABCD中，AF为∠DAC的角平分线，CP⊥AF于点F，且交AD的延长线于P．连接BF交对角线AC于点O．（1）若BC=4，tan∠ACB=，求S△DCP的值；（2）求证：∠AOB=3∠PAF．14．如图，AB=AC，AD=AE．求证：∠B=∠C．15．如图，在△ABC与△ABD中，BC=BD，∠ABC=∠ABD．点E为BC中点，点F为BD中点，连接AE，AF．求证：AE=AF．16．如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF．能否由上面的已知条件证明AB∥ED？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列四个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使AB∥ED成立，并给出证明．供选择的四个条件（请从其中选择一个）：①AB=ED；②∠A=∠D=90°；③∠ACB=∠DFE；④∠A=∠D．17．我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD，请你写出与筝形ABCD的角或者对角线有关的一个结论，并证明你的结论．18．在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E是AD上任意一点．（1）如图1，连接BE、CE，问：BE=CE成立吗？并说明理由；（2）如图2，若∠BAC=45°，BE的延长线与AC垂直相交于点F时，问：EF=CF成立吗？并说明理由．19．如图，AC与BD交于点E，且AC=DB，AB=DC．求证：∠A=∠D．20．如图，AB=DF，AC=DE，BE=FC，求证：∠B=∠F．。
北师大版七年级数学下册第三章《全等三角形》测试卷含答案3套
全等三角形一.填空题（每题3分,共30分）1。
如图，△ABC ≌△DBC,且∠A 和∠D,∠ABC 和∠DBC 是对应角,其对应边：_______、2。
如图,△ABD ≌△ACE ，且∠BAD 和∠CAE ，∠ABD 和∠ACE,∠ADB 和∠AEC 是对应角，则对应边_________.3、 已知:如图，△ABC ≌△FED ，且BC=DE 、则∠A=__________，A D=_______.4、 如图,△ABD ≌△ACE,则AB 的对应边是_________，∠BAD 的对应角是______。
5、 已知：如图,△ABE ≌△ACD ，∠B=∠C,则∠AEB=_______，AE=________。
6.已知:如图 , AC ⊥BC 于 C ， DE ⊥AC 于 E ， AD ⊥AB 于 A , BC=AE 。
若AB=5 , 则AD=___________.7。
已知：△ABC ≌△A ’B ’C', △A'B ’C ’的周长为12cm ，则△ABC 的周长为、 8.如图, 已知:∠1=∠2 ， ∠3=∠4 , 要证BD=CD , 需先证△AEB ≌△A EC ， 根据是_________再证△BDE ≌△______ , 根据是__________。
4321E D BA9。
如图，∠1=∠2，由AAS 判定△ABD ≌△ACD,则需添加的条件是____________、10。
如图，在平面上将△ABC 绕B 点旋转到△A ’BC ’的位置时，AA ’∥BC ，∠ABC=70°,则∠CBC'为________度、二.选择题（每题3分,共30分）11、下列条件中，不能判定三角形全等的是 ( )A 、三条边对应相等B 、两边和一角对应相等C 、两角的其中一角的对边对应相等D 、两角和它们的夹边对应相等12、 如果两个三角形全等,则不正确的是 ( )A B CD 12AA'BC C'A、它们的最小角相等B、它们的对应外角相等C、它们是直角三角形D、它们的最长边相等13、如图,已知：△ABE≌△ACD,∠1=∠2，∠B=∠C,不正确的等式是（）A、AB=ACB、∠BAE=∠CADC、BE=DCD、AD=DE14、图中全等的三角形是（ )A、Ⅰ和ⅡB、Ⅱ和ⅣC、Ⅱ和ⅢD、Ⅰ和Ⅲ15、下列说法中不正确的是（ )A、全等三角形的对应高相等B、全等三角形的面积相等C、全等三角形的周长相等D、周长相等的两个三角形全等16、 AD=AE ， AB=AC ， BE、CD交于F ，则图中相等的角共有(除去∠DFE=∠BFC） ( )A、5对B、4对C、3对D、2对CEDBOA17.如图,OA=OB，OC=OD, ∠O=60°, ∠C=25°则∠BED的度数是（ )A、70°B、 85°C、 65°D、以上都不对18、已知:如图，△ABC≌△DEF,AC∥DF,BC∥EF、则不正确的等式是 ( )A、AC=DF B 、AD=BE C、DF=EF D、BC=EF19。
北师大版七年级数学下册《全等三角形》基础专练(答案)
一．解答题（共32小题）1．如图，线段AD与BC相交于点O，且AC=BD，AD=BC．求证：（1）△ADC≌△BCD；（2）CO=DO．【解答】证明：（1）在△ADC和△BCD中，，∴△ADC≌△BCD（SSS）；（2）∵△ADC≌△BCD，∴∠ADC=∠BCD，∴CO=DO．2．如图，AB=AC，AD平分∠BAC，说明△ABD≌△ACD．【解答】解：（1）∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD；在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS）．3．如图，已知AB=AE，BC=ED，AC=AD．（1）∠B=∠E吗？为什么？（2）若点F为CD的中点，那么AF与CD有怎样的位置关系？请说明理由．【解答】解：（1）∠B=∠E，理由如下：在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（SSS），∴∠B=∠E．（2）AF⊥CD，理由如下：∵AC=AD，∴△ACD为等腰三角形．∵点F为CD的中点，∴AF⊥CD．4．如图：已知D、E分别在AB、AC上，AB=AC，AD=AE，求证：∠BDC=∠CEB．【解答】证明：在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD，∴∠B=∠C，∵∠BDC=∠A+∠C，∠CEB=∠A+∠B，∴∠BDC=∠CEB．5．已知：如图，AB=DC，AE=BF，CE=DF，求证：AE∥BF．【解答】证明：∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，∴AC=BD，在△AEC和△BFD中，，∴△AEC≌△BFD（SSS），∴∠A=∠FBD，∴AE∥BF．6．如图，AC=AD，BC=BD，求证：AB平分∠CAD．【解答】证明：在△ABC和△ABD中，，∴△ABC≌△ABD，∴∠CAB=∠DAB，∴AB平分∠CAD，7．已知：∠EAC=∠DAB=90°，AB=AE，AC=AD，求证：△EAD≌△BAC．【解答】证明：∵∠EAC=∠DAB=90°，∴∠EAC+∠CAD=∠DAB+∠CAD，∴∠EAD=∠CAB，在△EAD与△BAC中，，∴△EAD≌△CAB（SAS）．8．如图，已知点B、F、C、E在一条直线上，BF=CE，AB=DE，∠B=∠E．求证：AC∥FD．【解答】证明：∵BF=CE，∴BC=EF在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠ACB=∠DFE，∴AC∥DF．9．如图，A、B、C、D在同一条直线上，AC=BD，AE=DF，BE=CF，求证：AE∥DF．【解答】证明：∵AC=BD，∴AC﹣BC=BD﹣BC，∴AB=DC．在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SSS），∴∠A=∠D，∴AE∥DF．10．已知：如图，点B，E，C，F在同一直线上，AB∥DE，且AB=DE，BE=CF．求证：∠A=∠D．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF，∵BE=CF，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，∴∠A=∠D．11．已知：如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，且BD=CD，DE，DF分别垂直于AB，AC，垂足为E，F．求证：AB=AC．【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD是∠BAC的角平分线，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°．在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴∠B=∠C，∴AB=AC．12．如图，∠CAE=∠DAB，AB=AD，请你再补充一个条件，使得△ABC≌△ADE，并说明理由．【解答】解：补充AE=AC，∵∠CAE=∠DAB，∴∠CAE+∠BAE=∠DAB+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，在△BAC和△DAE中，∴△ABC≌△ADE（SAS）．故答案为：AE=AC．13．已知：如图，∠1=∠2，∠C=∠D，AD=EC，求证：△ABD≌△EBC．【解答】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EBD=∠2+∠EBD，∴∠ABD=∠EBC，在△ABD和△EBC中，，∴△ABD≌△EBC（AAS）．14．如图，已知点B，C，D，E在同一条直线上，AB=FC，AD=FE，BC=DE，探索AB 与FC的位置关系？并说明理由．【解答】解：结论：AB∥CF．理由：∵BC=DE，∴BC+CD=CD+DE，∴BD=CE，在△ABD和△FCE中，，∴△ABD≌△FCE，∴∠B=∠FCE，∴AB∥CF．15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．【解答】证明：（1）∵AD∥BC（已知），∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等），∵E是CD的中点（已知），∴DE=EC（中点的定义）．∵在△ADE与△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴FC=AD（全等三角形的性质）．（2）∵△ADE≌△FCE，∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等），∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB=BF=BC+CF，∵AD=CF（已证），∴AB=BC+AD（等量代换）．16．如图，点A，D，E，C在同一条直线上，AB=DE，AB∥DF，AC=DF，求证：∠F=∠C．【解答】证明：∵AB∥DF，∴∠A=∠EDF，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠F=∠C．17．如图，E、F在线段BC上，AB=DC，AE=DF，BF=CE，证明：（1）∠B=∠C；（2）AE∥DF．【解答】证明：（1）∵BF=CE，∴BF+FE=CE+EF，即BE=CF．在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SSS），∴∠B=∠C．（2）∵△ABE≌△DCF，∴∠AEB=∠DFC，∴AE∥DF．18．如图，有一直角三角形ABC，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，当P点运动到AC 上什么位置时△ABC才能和以A、P、Q为顶点的三角形全等．【解答】解：根据三角形全等的判定方法HL可知：①当P运动到AP=BC时，∵∠C=∠QAP=90°，在Rt△ABC与Rt△QPA中，，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即AP=BC=5cm；②当P运动到与C点重合时，AP=AC，在Rt△ABC与Rt△QPA中，，∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），即AP=AC=10cm，∴当点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．综上所述，当P运动到AP=BC、点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．19．如图是某产品的商标示意图，其中AC=DF，BC=EF，AB=DE，求证：∠A=∠D．【解答】证明：在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠A=∠D．20．（1）在△ABC中，BC边上的高是AB；（2）在△AEC中，AE边上的高是CD；（3）若AB=CD=2cm，AE=3cm，求△AEC的面积及CE的长．【解答】解：（1）在△ABC中，BC边上的高是AB；（2）在△AEC中，AE边上的高是CD；=AE•CD=3cm2，∵S△AEC=AB•CE=3cm2，（3）∵AE=3cm，CD=2cm，∴S△AEC∴CE=3cm．故S=3cm2，CE=3cm．故答案为：（1）AB；（2）CD△AEC21．如图，AC=DF，AB=DE，BF=EC，（1）求证：∠A=∠D．（2）求证：∠BFC=∠ECF．【解答】证明：（1）∵AC=FD，∴AF=CD，在△ABF和△DEC中，，∴△ABF≌△DEC（SSS），∴∠A=∠D．（2）∵△ABF≌△DEC，∴∠AFB=∠DCE，∵∠BFC+∠AFB=180°，∠ECF+∠ECD=180°，∴∠BFC=∠ECF．22．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，一条直线MN=AB，M、N分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AP上运动．问点M运动到什么位置，才能使△ABC和△AMN 全等？并证明你的结论．【解答】解：当点C和点M重合或AM=2时两个三角形全等，证明如下：∵PA⊥AC，∴∠BCA=∠MAN=90°，当点C、点M重合时，则有AM=AC，在Rt△ABC和Rt△MNA中，∴Rt△ABC≌Rt△MNA（HL），当AM=BC=2时，在Rt△ABC和Rt△MNA中，∴Rt△ABC≌Rt△MNA（HL），综上可知当点C和点M重合或AM=2时两个三角形全等．23．如图AD∥BC，AB∥CD，AE=CF．求证：（1）AD=BC，（2）DE∥BF．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAE=∠BCF，∠ACD=∠CAB，在△ADC与△CBA中，，∴△ADC≌△CBA（ASA），∴AD=BC．∴△ADE≌△CBF（SAS），（2）在△ADE与△CBF中，，∴∠AED=∠CFB，∴∠CED=∠AFB，∴DE∥BF．24．如图，AD∥BC，∠A=90°，AD=BE，CE⊥BD，垂足为E．（1）求证：BD=BC；（2）若∠DBC=50°，求∠DCE的度数．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠1=∠2，∵∠A=90°，CE⊥BD，∴∠3=∠A=90°，在△ABD和△ECB中，∵，∴△ABD≌△ECB（ASA），∴BD=CB；（2）解：∵BD=CB，∴∠BCD=∠4=（180°﹣∠DBC）=（180°﹣50°）=65°，∵∠DCE+∠4=∠3=90°，∴∠DCE=90°﹣65°=25°．25．如图AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°．求∠3的度数．【解答】解：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，∴∠1=∠CAE．在△ADB和AEC中，，∴△ADB≌AEC（SAS），∴∠ABD=∠2=30°．∵∠3=∠1+∠ABD．∴∠3=25°+30°=55°．答：∠3的度数为55°．26．如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC=BE，AE=BD，求证：CE=ED且CE⊥ED．【解答】解：∵AC⊥AB，DB⊥AB，AC=BE，AE=BD，∴△CAE≌△EBD，∴∠CEA=∠D，∵∠D+∠DEB=90°，∴∠CEA+∠DEB=90°．即线段CE与DE的大小与位置关系为相等且垂直．27．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，若BD=AD，FD=CD．（1）求证：∠FBD=∠CAD；（2）求证：BE⊥AC．【解答】证明：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠BDF=90°，∵在△ADC和△BDF中，∴△ADC≌△BDF（SAS），∴∠FBD=∠CAD；（2）∵∠BDF=90°，∴∠FBD+∠BFD=90°，∵∠AFE=∠BFD，由（1）知：∠FBD=∠CAD，∴∠CAD+∠AFE=90°，∴∠AEF=180°﹣（∠CAD+∠AFE）=90°，∴BE⊥AC．28．如图，AB=AC，∠BAC=90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，且BD＞CE．求证：BD=EC+ED．【解答】证明：∵∠BAC=90°，CE⊥AE，BD⊥AE，∴∠ABD+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，∠ADB=∠AEC=90°．∴∠ABD=∠DAC．∵在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）．∴BD=AE，EC=AD．∵AE=AD+DE，∴BD=EC+ED．29．如图，AC=BC，点O为AB的中点，AC⊥BC，∠MON=45°，求证：CN+MN=AM．【解答】证明：连接OC，在AM上截取AQ=CN，连接OQ，如图所示：∵AC=BC，点O为AB的中点，AC⊥BC，∴OC=OA=OB，∵AC=BC，∴OC⊥AB，CO平分∠ACB，∴∠A=∠B=45°，即∠ACB=90°，∴∠OCN=45°，即∠OCN=∠A=45°，在△AOQ和△CON中，，∴△AOQ≌△CON（SAS），∴OQ=ON，∠AOQ=∠CON，∵OC⊥AB，∴∠AOC=∠AOQ+∠COQ=90°，∴∠CON+∠COQ=90°，即∠QON=90°，又∠MON=45°，∴∠QOM=45°，在△QOM和△NOM中，，∴△QOM≌△NOM（SAS），∴QM=NM，∴CN+MN=AQ+QM=AM．30．如图，∠CAE=∠BAD，∠B=∠D，AC=AE，△ABC与△ADE全等吗？为什么？【解答】解：△ABC≌△ADE．∵∠CAE=∠BAD，∴∠CAB=∠EAD，在△ABC和△ADE，∵，∴△ABC≌△ADE（AAS）．31．如图①，点A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过点E、F分别作DE⊥AC，BF ⊥AC．连接AB、CD，且使AB=CD．（1）求证：BD平分EF；（2）若将△DEC的边EC沿AC方向移动，△BFA的边FA沿CA方向移动，变为如图②所示时，其余条件不变，上述结论是否还成立；若成立，请说明理由．【解答】解：（1）∵AE=CF，AF=AE+EF，CE=CF+EF∴AF=CE，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴△ABF、△CDE为直角三角形，在Rt△ABF和Rt△CDE中，，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴BF=DE，在△DEG和△BFG中，，∴△DEG≌△BFG（AAS），∴EG=FG，即BD平分EF；（2）成立，求证如下：∵AE=CF，AF=AE+EF，CE=CF+EF∴AF=CE，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴△ABF、△CDE为直角三角形，在Rt△ABF和Rt△CDE中，，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴BF=DE，在△DEG和△BFG中，，∴△DEG≌△BFG（AAS），EG=FG，即BD平分EF．2018·七数下《全等三角形》·基础专练32．如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一动点，延长BD交CE于E，且CE⊥BD，若BD平分∠ABC，求证：CE=BD．【解答】证明：延长CE、BA交于点F ．∵CE⊥BD于E，∠BAC=90°，∴∠ABD=∠ACF．在△ABD与△ACF中，∵，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD=CF．∵BD平分∠ABC，∴∠CBE=∠FBE．在△BCE与△BFE 中，∵，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE=EF，即CE=CF，∴CE=BD．第11 页共11 页。
北师大版七年级数学下册《探索三角形全等的条件》基础训练
3.3 探索三角形全等的条件一、选择题1．如图，在ABC ∆中，D BC AD ,⊥为BC 边中点，那么以下结论不正确的是（ ）A ．ABD ∆≌ACD ∆B ．C B ∠=∠C ．AD 平分BAC ∠ D ．ABC ∆是等边三角形2．如图，︒=∠===55,,,B BF CE DF AE DC AB ，则=∠C （ ） A ．45° B ．55° C ．35° D ．65°3．已知：如图，AB 与DC 相交于点BE DE EC EA E ==,,，若使AED ∆≌CEB ∆，则（ ）A ．应补充条件C A ∠=∠B ．应补充条件D B ∠=∠C ．不用补充条件D ．以上说法都不正确4．如图，已知DF BE BC AD DC AB =,//,//，则图中全等三角形的总对数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题1．如图，已知EC BD AE AD AC AB ===,,，则ABD ∆≌____，ABE ∆≌____．2．如图，若点E 、F 在DC 上，C D BC AD EC DF ∠=∠==,,，则∆____≌∆____，根据是____．3．如图，BE 平分ABC ∠，且BC AB =，则∆____≌∆____，根据是_________；____=AD ，根据是______．4．已知在ABC ∆和C B A '''∆中，A A B A AB '∠=∠''=,，若ABC ∆≌C B A '''∆，还需要的条件是_____________5．如图，在ABC ∆中，AD BE ⊥于AD CF E ⊥,于F ，且BD CF BE ,=与DC 相等吗？你能说明下面小明思考过程的理由吗？①__________________ ②_________________ 三、解答题1．如图，已知C 在BD 上，ABC CF BC CD AC BD AC ∆==⊥,,,和DFC ∆全等吗？若全等请说出根据．2．如图，已知BC AD CE AE CD AB ===,,，问ABE ∆和CDE ∆全等吗？若全等请说出根据．3．如图，已知BD AC DC BD AC AB 、,,⊥⊥的交点是E ，并且AB ,21∠=∠与DC 相等吗？试说明你的答案．4．如图：已知，EF AC CF DB ED AB ===,,，那么ABC ∆≌EDF ∆吗？5．如图，D 是ABC ∆的边AB 上一点，DF 交AC 于点AB FC FE DE E //,,=，那么CE AE =吗？参考答案一、选择题1．D 2．B 3．C 4．D二、填空题1． ACD ACE ∆∆, 2．SAS BCF ADE ,, 3．CD SAS CBD ABD ,,,，全等三角形对应边相等 4．C B BC ''=或B B '∠=∠或C C '∠=∠ 5．①：AAS ②全等三角形的对应边相等三、解答题1．全等，根据：SAS 2．全等，根据：SSS 或SAS 3．相等（提示ABC ∆≌DCB ∆） 4．CF DB =Θ ∴BF CF BF DB +=+ 即BC DF = 在ABC ∆和EDF ∆中⎪⎩⎪⎨⎧===BC DF EF AC ED AB Θ ∴ABC ∆≌EDF ∆（SSS ） 5．CE AE =AB CF //Θ ∴ADE F ∠=∠ 在ADE ∆和CFE ∆中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠CEF AED FE DE F ADE Θ ∴ADE ∆≌CFE ∆（ASA ） ∴CE AE =。
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全等三角形练习题1 班级 姓名 学号
．
求证如图已知C B =BC :AC.=C A AB,=B A AC,A C AB,A B ,:.1''''⊥'⊥'
2.已知:如图,△ABC 中,点E 、F 分别在AB 、AC 边上,点D 是BC 边中点,且EF ∥BC,D E=DF ．
求证:∠B=∠C
3. 已知:如图,AC=AB,AE=AD,∠1=∠2.求证:∠3=∠4
4. 已知：如图 , AB=DC ,AD=BC , O 是BD 中点 ,过O 的直线分别与DA 、BC 的延长线交于E 、F ．
求证：OE=OF
5. 已知:如图,AB=AC,AE 平分∠BAC.求证:∠DBE=∠DCE ．
6. 已知：如图：AB=CD , BE=CF , AF=DE．
求证：△ABE≌△DCF
7. 已知:如图,∠1=∠2,BD=CD,求证:AD是∠BAC的平分线．
8. 已知:如图,AD是BC上的中线,且DF=DE．
求证:BE∥CF．
9. 如图,已知:AC=DF,AC∥FD,AE=DB,求证:△ABC≌△DEF
10. 已知:如图,点B,E,C,F在同一直线上,AB∥DE,且AB=DE,BE=CF. 求证:AC∥DF．
全等三角形练习题1答案
1. C B =BC C A B BAC C A B =BAC AC
B +
C CA =AC B +B BA 90=C CA =B BA AC
A C AB,A
B :'''
''
'''''''⊥'⊥'∴≌△∴△∠∠即∠∠∠∠∴°
∠∠∴∵证明
2. 证:∵BD=CD,EF ∥BC
∴∠1=∠2,∠3=∠4
∵DE=DF,
∴∠2=∠4
∴∠1=∠3
∵D 是BC 的中点,∴BD=DC,又∠1=∠3,DE=DF
∴△BED ≌△CFD(SAS)
∴∠B=∠C
3. 证明:∵∠1=∠2
∴∠1+∠5=∠2+∠5,即∠EAC=∠DAB
在△EAC 和△DAB 中
∵∠∠AC AB
EAC DAB
AE AD ===⎡⎣⎢⎢⎢⎢
∴△EAC ≌△DAB(SAS)
∴∠3=∠4
4. 提示：先证△ABD ≌△CDB ,
再证△DOE ≌△BOF ．
5. 证明:在△ABE 和△ACE 中
∵∠∠平分∠AB AC
ABE BAC AE AE =
==⎡⎣⎢⎢⎢⎢12()
∴△ABE ≌△ACE(SAS)
∴BE=CE ∠3=∠4
在△EBD 和△ECD 中
∵∠∠BE CE DE ED ===⎡⎣⎢⎢⎢⎢34
∴△EBD ≌△ECD(SAS)
∴∠DBE=∠DCE
6. 证 明：∵AF=DE ,
∴AF+FE=DE+EF ．即AE=DF
在△ABE 和△DCF 中
AB=CD , BE=CF , AE=DF ,
∴△ABE ≌△DCF(SSS)．
7. 证明:∵BD=CD,∠1=∠2,
∴∠ADB=∠ADC
AD=AD
∴△ADB ≌△ADC(SAS)
∴∠BAD=∠CAD ．
即AD 平分∠BAC ．
8. 证:∵D 是BC 的中点,∴BD=CD
∵∠1=∠2,DF=DE,
∴△BED ≌△CFD(SAS)
∴∠E=∠CFD
∴BE ∥CF
9. 证明:∵AE=BD
∴AB=DE
∵AC=DF AC ∥DF
∴∠1=∠2
∴△ABC ≌△DEF(SAS)
10. 证明:
∵BE=CF
∴BE+EC=CF+EC 即BC=EF
又 AB ∥DE
∴∠B=∠DEF
∵AB=DE
∴△ABC ≌△DEF
∴∠ACB=∠F
∴AC ∥DF。