第9章、ARMA模型和ARIMA模型
时间序列中的ARMA模型
c u=
1 (1 2 ... p)
旳无条
7
ARIMA模型旳概念
Yt-u=1(Yt-1-u)+ 2(Yt-2-u)+...+p(Yt-p-u)+vt
0=1 1+ 2 2+...+p p+ 2 1=1 0+ 2 1+...+ p p-1
……
p=1 p-1+ 2 p-2+...+ p 0
(1
2
1
1≤j≤22q ... q2 )
0 j>q
j>q时，ACF(j)=0，此现象为截尾，是MA(q)过程旳一种特征
如下图：
18
ARMA模型旳辨认
MA（2）过程
yt =0.5ut-1 0.3ut2 ut
19
ARMA模型旳辨认
⑵ AR(p)过程旳偏自有关函数
j p 时，偏自有关函数旳取值不为0 j>q 时，偏自有关函数旳取值为0 AR(p)过程旳偏自有关函数p阶截尾 如下图：
32
ARMA模型旳预测
二. 基于MA过程旳预测
过程 结论：
MA (2) 过程仅有2期旳记忆力
33
ARMA模型旳预测
三. 基于ARMA过程旳预测
结合对AR过程和MA过程进行预测 ARMA模型一般用于短期预测
34
五、实例：ARMA模型在金融数 据中旳应用
数据： 1991年1月到2023年1月旳我国货币供
3
ARIMA模型旳概念
2.MA（q）过程旳特征
1. E(Yt)=u
2.
var(Yt)
(1
2
arma模型原理
arma模型原理
ARMA模型（AutoRegressive Moving Average Model）是一种时间序列分析模型，它结合了自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）。
ARMA 模型的原理是，对于一个时间序列，在保持平稳性的前提下，通过自回归和移动平均两个方面来描述序列的特征。
具体来说，AR表示当前时间点的值与前面若干个时间点的值有关，而MA表示当前时间点的值与前面若干个时间点的噪声有关。
因此，ARMA模型可以很好地捕捉时间序列数据的趋势和周期性。
在实际应用中，ARMA模型通常用于预测未来的时间序列值和分析时间序列的特征。
在ARMA模型中，参数估计和模型检验是重要的步骤，需要一定的统计学知识和技能。
常用的估计方法包括最大似然估计和贝叶斯估计，而模型检验可以通过残差分析和模型诊断来进行。
总之，ARMA模型是一种经典的时间序列模型，它结合了自回归模型和移动平均模型，可以用于预测未来的时间序列值和分析时间序列的特征。
在实际应用中需要谨慎使用，需要考虑时间序列数据的特征和背景知识，以及参数估计和模型检验的可靠性。
ARMA模型
方差为 2 的正态分布.随机项与滞后变量不相关。
注2: 一般假定
X t 均值为0，否则令
X
t
Xt
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
记 Bk 为 k 步滞后算子, 即 Bk X t X tk , 则
模型【1】可表示为
Xt 1BXt 2B2 Xt pBp Xt ut
实际问题中, 常会遇到季节性和趋势性同时存在的情况, 这 时必须事先剔除序列趋势性再用上述方法识别序列的季节性, 否则季节性会被强趋势性所掩盖, 以至判断错误.
包含季节性的时间序列也不能直接建立ARMA模型, 需进 行季节差分消除序列的季节性, 差分步长应与季节周期一致.
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
式【5】称为( p, q)阶的自回归移动平均模型, 记为ARMA ( p, q)
注1: 实参数 1,2 , , p 称为自回归系数, 1,2 , ,q 为移动平均系数,
都是模型的待估参数
注2: 【1】和【3】是【5】的特殊情形 注3: 引入滞后算子，模型【5】可简记为
(B) Xt (B)ut
【6】
在实际中, 常见的时间序列多具有某种趋势, 但很多序列 通过差分可以平稳
判断时间序列的趋势是否消除, 只需考察经过差分后序列 的自相关系数
（3）季节性 时间序列的季节性是指在某一固定的时间间隔上, 序列重
复出现某种特性.比如地区降雨量、旅游收入和空调销售额等 时间序列都具有明显的季节变化. 一般地, 月度资料的时间序列, 其季节周期为12个月；
Xt 1 v1B v2B2
ut
vjB
j
ut
j0
ARMAARIMA模型介绍及案例分析
ARMAARIMA模型介绍及案例分析AR、MA和ARIMA是时间序列分析中常见的模型，用于分析和预测时间序列数据的特征和趋势。
下面将对这三种模型进行介绍，并提供一个案例分析来展示它们的应用。
自回归模型（AR）是一种基于过去的观测值来预测未来观测值的模型。
它基于一个假设：未来的观测值可以由过去的观测值的线性组合来表示。
AR模型的一般形式可以表示为：y_t=c+ϕ_1*y_(t-1)+ϕ_2*y_(t-2)+...+ϕ_p*y_(t-p)+ε_t其中，y_t表示时间t的观测值，c是常数项，ϕ_1至ϕ_p是自回归系数，p是自回归阶数，ε_t是误差项。
AR模型的关键是确定自回归阶数p和自回归系数ϕ。
移动平均模型（MA）是一种基于过去的误差项来预测未来观测值的模型。
它基于一个假设：未来的观测值的误差项可以由过去的误差项的线性组合来表示。
MA模型的一般形式可以表示为：y_t=c+ε_t+θ_1*ε_(t-1)+θ_2*ε_(t-2)+...+θ_q*ε_(t-q)其中，y_t表示时间t的观测值，c是常数项，ε_t是误差项，θ_1至θ_q是移动平均系数，q是移动平均阶数。
MA模型的关键是确定移动平均阶数q和移动平均系数θ。
自回归移动平均模型（ARIMA）结合了AR和MA模型的特点，同时考虑了时间序列数据的趋势性。
ARIMA模型一般形式可以表示为：y_t=c+ϕ_1*y_(t-1)+ϕ_2*y_(t-2)+...+ϕ_p*y_(t-p)+ε_t+θ_1*ε_(t-1)+θ_2*ε_(t-2)+...+θ_q*ε_(t-q)其中，y_t表示时间t的观测值，c是常数项，ϕ_1至ϕ_p是自回归系数，p是自回归阶数，ε_t是误差项，θ_1至θ_q是移动平均系数，q是移动平均阶数。
ARIMA模型的关键是确定自回归阶数p、移动平均阶数q和相关系数ϕ和θ。
下面举一个电力消耗预测的案例来展示AR、MA和ARIMA模型的应用：假设有一段时间内的电力消耗数据，我们想要用AR、MA和ARIMA模型来预测未来一段时间内的电力消耗。
arma模型的数学表达式
arma模型的数学表达式摘要：1.ARMA 模型的概述2.ARMA 模型的数学表达式3.ARMA 模型的应用正文：一、ARMA 模型的概述自回归滑动平均模型（Auto Regressive Integrated Moving Average Model，简称ARIMA 模型）是一种常用的时间序列预测模型。
ARIMA 模型是由自回归模型（Auto Regressive Model，简称AR 模型）、差分整合（Integrated Moving Average Model，简称IMA 模型）以及移动平均模型（Moving Average Model，简称MA 模型）相结合而成的。
在ARIMA 模型中，AR 模型和MA 模型分别用于描述时间序列的自回归性和移动平均性，而IMA 模型则用于对时间序列数据进行差分整合，以消除其非平稳性。
二、ARMA 模型的数学表达式ARMA 模型的数学表达式可以表示为：X_t = Φ1X_{t-1} + Φ2X_{t-2} +...+ ΦpX_{t-p} + ε_t其中，X_t 表示时间序列的观测值，Φ1、Φ2、...、Φp 是自回归系数，ε_t 表示误差项，满足均值为0、方差为常数的条件。
另一个常见的ARMA 模型表达式是：X_t = Φ1X_{t-1} + Φ2X_{t-2} +...+ ΦpX_{t-p} + (1 - Φ1 - Φ2 -...-Φp)X_{t-p} + ε_t这个表达式中，(1 - Φ1 - Φ2 -...- Φp)X_{t-p}项称为残差项，表示模型未能解释的部分。
三、ARMA 模型的应用ARMA 模型广泛应用于经济学、金融学、气象学等领域的时间序列数据分析和预测。
通过ARMA 模型，我们可以对具有线性趋势和季节性特征的时间序列数据进行建模和预测，从而更好地了解和预测相关现象的发展趋势。
ARMA模型
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
1、自回归【 AR 】模型
自回归序列 X t：
如果时间序列 X t 是它的前期值和随机项的线性 函数，即可表示为
X t 1 X t1 2 X t2 p X t p ut 【1】
记 Bk 为 k 步滞后算子，即 Bk X t X tk ，则
模型【1】可表示为
Xt 1BXt 2B2 Xt pBp Xt ut
令 (B) 11B 2B2 pBp，模型可简写为
(B) X t ut
【2】
AR（ p ）过程平稳的条件是滞后多项式 (B)
的根均在单位圆外，即 (B) 0 的根大于1
【1】式称为 p 阶自回归模型，记为AR（ p ）
注1：实参数 1,2 , , p 称为自回归系数，是待估参数.
随机项 ut 是相互独立的白噪声序列，且服从均值为0、
方差为 2 的正态分布.随机项与滞后变量不相关。
注2：一般假定 X t
均值为0，否则令
X
t
Xt
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
在实际中，常见的时间序列多具有某种趋势，但很多序 列通过差分可以平稳
判断时间序列的趋势是否消除，只需考察经过差分后序 列的自相关系数
（3）季节性 时间序列的季节性是指在某一固定的时间间隔上，序列
重复出现某种特性.比如地区降雨量、旅游收入和空调销售额 等时间序列都具有明显的季节变化. 一般地，月度资料的时间序列，其季节周期为12个月；
2 q
2,
qkq 2 ,
0,
Dut 2 是白噪声序列的方差
k 0 1 k q
ARMA模型
ARMA模型1.简单介绍ARMA模型是一类常用的随机时间序列预测模型，是一种精度较高的时间序列短期预测方法，它的基本思想是：某些时间序列是依赖于时间t的一族随机变量，构成该时间序列的单个序列值虽然具有不确定性，但整个序列的变化却有一定规律性，可用数学模型近似描述。
2.分类ARMA模型具有三种基本类型：自回归(AR)模型，移动平均（MA）模型，自回归移动平均（ARMA）模型。
3.表达如果时间序列是它的前期值和随机项的线性函数，即表示为：就称为P阶自回归模型，记为AR（p）。
其中称为自回归系数，是待估参数。
随机项是相互独立的白噪声序列，服从均值为0，方差为的正态分布。
且一般假定的均值也为0。
AR模型的平稳性问题从数学表达式来看，我们首先记为k步滞后算子，即。
则上述模型可写为：我们令（），模型就被简化为。
AR（p）平稳的等价条件是的根都小于1，另一方面，从自相关系数和偏自相关系数的曲线图也能看出该模型是否平稳，AR（p）模型平稳等价于自相关系数拖尾，偏自相关系数p步截尾。
而如果时间序列是它的当期和前期的随机误差项的线性函数，即则称为q阶移动平均模型，记为MA(q)。
它是无条件平稳的，因为它的均值和方差均为常数，跟AR模型做同样的滞后和简化，如果的根都小于1，则MA模型是可逆的。
另一个可逆的等价条件就是自相关函数q步截尾，偏自相关函数拖尾。
基于此，ARMA（p,q）模型的数学表达就呼之欲出了：而ARMA（p,q）的平稳条件就是AR(p)的平稳条件，可逆条件就是MA（q）的可逆条件。
而关于ARMA，它的自相关函数和偏自相关函数都是拖尾的。
4.代入本题之前在问题分析中也介绍了，我们将日期统一化，以第一次发生地震的日期作单位1参考，将数据集中的地震发生时间转化成了一个时间序列。
如图ts所示，我们分析了这组时间序列发现它的一阶差分是平稳的。
由上图，可看出它的一阶差分后的自相关函数和偏自相关函数都是拖尾的，故我们选择了ARMA(1,1)模型来做数据分析拟合。
ARMA模型
时间序列分析概述 ARIMA模型概述
ARIMA模型基本思想 ARIMA模型的形式 ARIMA模型分析的一般步骤 ARIMA模型操作与结果分析
一、时间序列分析概述
时间序列分析是处理动态数据的一种 行之有效的参数化时域分析方法。是一种 精度较高的时序短期预测方法，强调“让 数据自己说话”，着重分析经济时间序列 本身的概率或随机性质。
3．参数估计。常用的估计方法有矩估计法、极大似然估计 法、非线性最小二乘法等。其中非线性最小二乘法精确度 比较高，且不需明确时间序列的分布函数，因此该方法适 用范围较广。
4．模型的检验。对于得到的拟合模型需要进行随机性检验， 即检验模型的残差序列是否为白噪声序列。一般采用 LM(Lagrange Multiplier)检验，确定出随机概率。通常情 况下，当随机概率大于0．05时，表明该残差序列是白噪 声序列；而若随机概率小于0．05，则说明残差序列不是 白噪声序列，模型还需要重新构建。
旅游人数预测回归模型：y=72.17x-14478.53
实际值
预测值
年份 单位
旅游人数(国内） （万人次）
旅游人数(国内） （万人次）
1996
100
-27.21
1997
150
44.96
1998
150
117.13
1999
160
189.3
2000
160
261.47
2001
317.7
333.64
2002
370
405.81
2003
418
477.98
2004
394.3
550.15
2005
509.2
622.32
ARIMA模型
ARIMA模型⼀、ARIMA模型介绍ARIMA模型全称为⾃回归积分滑动平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model,简记ARIMA)，是由博克思(Box)和詹⾦斯(Jenkins)于70年代初提出⼀著名时间序列预测⽅法[1]，所以⼜称为box-jenkins模型、博克思-詹⾦斯法。
其中ARIMA（p，d，q）称为差分⾃回归移动平均模型，AR是⾃回归， p为⾃回归项； MA为移动平均，q为移动平均项数，d为时间序列成为平稳时所做的差分次数。
所谓ARIMA模型，是指将⾮平稳时间序列转化为平稳时间序列，然后将因变量仅对它的滞后值以及随机误差项的现值和滞后值进⾏回归所建⽴的模型。
ARIMA模型根据原序列是否平稳以及回归中所含部分的不同，包括移动平均过程（MA）、⾃回归过程（AR）、⾃回归移动平均过程（ARMA）以及ARIMA过程。
ARIMA模型的基本思想是：将预测对象随时间推移⽽形成的数据序列视为⼀个随机序列，⽤⼀定的数学模型来近似描述这个序列。
这个模型⼀旦被识别后就可以从时间序列的过去值及现在值来预测未来值。
⼆、ARIMA模型建模过程1. 检查平稳性平稳性就是围绕着⼀个常数上下波动且波动范围有限，即有常数均值和常数⽅差。
如果有明显的趋势或周期性，那它通常不是平稳序列。
不平稳序列可以通过差分转换为平稳序列。
d阶差分就是相距d期的两个序列值之间相减。
如果⼀个时间序列经过差分运算后具有平稳性，则该序列为差分平稳序列，可以使⽤ARIMA模型进⾏分析。
2、确定模型阶数AIC准则：即最⼩信息准则，同时给出ARMA模型阶数和参数的最佳估计，适⽤于样本数据较少的问题。
⽬的是判断⽬标的发展过程与哪⼀个随机过程最为接近。
因为只有样本量⾜够⼤时，样本的⾃相关函数才⾮常接近原时间序列的⾃相关函数。
具体运⽤时，在规定范围内使模型阶数由低到⾼，分别计算AIC值，最后确定使其值最⼩的阶数，就是模型的合适阶数。
时间序列分析法
时间序列分析法时间序列分析是一种广泛应用于统计学和经济学领域的方法，它专门用于处理具有时间依赖性的数据。
时间序列数据是按时间顺序排列的一组观测值，例如股票价格、气温变化、经济指标等。
时间序列分析的目标是从历史数据中提取模式、趋势和周期以及预测未来的数据走势。
时间序列分析包括了多种方法和技术，下面将介绍其中几种常用的方法：1. 均值模型均值模型是最简单的时间序列模型之一，它假设时间序列的未来值将等于过去几期的平均值。
均值模型最常用的是移动平均模型（MA）和指数平滑模型（ES）。
移动平均模型根据过去几期的观测值对未来值进行预测，而指数平滑模型则给予较大权重给近期的观测值。
2. 趋势分析趋势分析用于识别时间序列中的长期趋势。
常用的趋势分析方法包括线性趋势分析、多项式回归分析以及指数平滑趋势分析。
这些方法主要是通过拟合一个数学模型来描述时间序列的趋势，然后根据模型对未来走势进行预测。
3. 季节性分析季节性分析用于识别和预测时间序列中的季节性模式。
常用的季节性分析方法包括季节性平均法、回归分析以及季节性指数平滑法。
这些方法可以通过拟合一个季节性模型来描述时间序列的季节性变动，并进行未来的预测。
4. 自回归移动平均模型（ARMA）ARMA模型是一种将自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）结合起来的时间序列模型。
AR模型通过过去的观测值对未来值进行预测，而MA模型则根据过去的误差对未来值进行预测。
ARMA模型可以通过估计AR和MA参数来对时间序列进行预测。
5. 自回归积分移动平均模型（ARIMA）ARIMA模型是一种将自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）与差分运算结合起来的时间序列模型。
ARIMA模型可以通过求解差分参数来对非平稳时间序列进行预测。
差分运算可以减少时间序列的趋势和季节性，使其更具平稳性。
以上是常用的时间序列分析方法，每种方法都有其适用性和局限性。
在实际应用中，根据具体情况选择合适的方法进行分析和预测。
ARMA模型介绍
ARMA模型介绍ARMA模型（Autoregressive Moving Average model）是时间序列分析中常用的一种模型，用于描述和预测随时间变化的数据。
ARMA模型结合了自回归（AR）和移动平均（MA）两种模型的特点，可以较好地描述时间序列数据的变化趋势。
ARMA模型的核心思想是：当前时刻的观测值可以通过历史观测值和随机误差的线性组合来表示。
具体地说，AR部分考虑了当前时刻和过去几个时刻的观测值之间的关系，而MA部分则考虑了当前时刻和过去几个时刻的随机误差之间的关系。
在AR模型中，当前时刻的观测值与过去几个时刻的观测值之间存在线性关系。
AR模型的阶数(p)表示过去几个时刻的观测值被考虑进来。
对于AR(p)模型，数学表达式如下：yt = c + φ1 * yt-1 + φ2 * yt-2 + ... + φp * yt-p + et其中，yt表示当前时刻的观测值，c表示常数项，φ1, φ2, ... ,φp表示对应的回归系数，et表示当前时刻的随机误差。
在MA模型中，当前时刻的观测值与过去几个时刻的随机误差之间存在线性关系。
MA模型的阶数(q)表示过去几个时刻的随机误差被考虑进来。
对于MA(q)模型，数学表达式如下：yt = c + et + θ1 * et-1 + θ2 * et-2 + ... + θq * et-q其中，yt表示当前时刻的观测值，c表示常数项，θ1, θ2, ... ,θq表示对应的回归系数，et表示当前时刻的随机误差。
yt = c + φ1 * yt-1 + φ2 * yt-2 + ... + φp * yt-p + et + θ1 * et-1 + θ2 * et-2 + ... + θq * et-qARMA模型可以用于时间序列的拟合和预测。
通过将模型与已有数据进行拟合，可以得到模型的参数估计值。
然后，利用这些参数估计值，可以预测未来的观测值。
ARMA模型适用于没有明显趋势和季节性的时间序列数据。
ARIMA模型
简介
对时间序列数据进行分析和预测比较完善和精确的算法是博克思-詹金斯(Box-Jenkins)方法，其常用模型包 括：自回归模型（AR模型）、滑动平均模型（MA模型）、（自回归-滑动平均混合模型）ARMA模型、（差分整 合移动平均自回归模型）ARIMA模型。
ARIMA(p，d，q)模型是ARMA(p，q)模型的扩展。ARIMA(p，d，q)模型可以表示为：
谢谢观看
其中L是滞后算子（Lag operator），
定义
非平稳时间序列，在消去其局部水平或者趋势之后，其显示出一定的同质性，也就是说，此时序列的某些部 分与其它部分很相似。这种非平稳时间序列经过差分处理后可以转换为平稳时间序列，那称这样的时间序列为齐 次非平稳时间序列，其中差分的次数就是齐次的阶。
将记为差分算子，那么有
ARIMA模型
计量经济模型
01 简介
目录
02 定义
ARIMA模型（英语：Autoregressive Integrated Moving Average model），差分整合移动平均自回归模 型，又称整合移动平均自回归模型（移动也可称作滑动），是时间序列预测分析方法之一。ARIMA(p，d，q)中， AR是“自回归”，p为自回归项数；MA为“滑动平均”，q为滑动平均项数，d为使之成为平稳序列所做的差分 次数（阶数）。“差分”一词虽未出现在ARIMA的英文名称中，却是关键步骤。
对于延迟算子，有
因此可以得出
设有d阶齐次非平稳时间序列，那么有是平稳时间序列，则可以设其为ARMA(p,q)模型，即
其中，分别为自回归系数多项式和滑动平均系数多项式。为零均值白噪声序列。可以称所设模型为自回归求 和滑动平均模型，记为ARIMA(p,d,q)。
AR,MA,ARIMA模型介绍及案例分析
BOX-JENKINS 预测法（1）()AR p 模型（AutoregressionModel ）——自回归模型p 阶自回归模型：式中，为时间序列第时刻的观察值，即为因变量或称被解释变量；，为时序的滞后序列，这里作为自变量或称为解释变量；是随机误差项；，，，为待估的（2）q t e ，1t e -，2t e -均参数。
（3）归模型改进的（1（2）(,,)(,,)s ARIMA p d q P D Q 模型对于具有季节性的非平稳时序（如冰箱的销售量，羽绒服的销售量），也同样需要进行季节差分，从而得到平稳时序。
这里的D 即为进行季节差分的阶数；,P Q 分别是季节性自回归阶数和季节性移动平均阶数；S 为季节周期的长度，如时序为月度数据，则S =12，时序为季度数据，则S =4。
在SPSS19.0中的操作如下● 必须要先打开一个数据源，才可以定义日期● 数据→定义日期→选择日期的起始点，此时变量栏中会出现日期变量。
（3）ARIMAX 模型在(,,)(,,)s ARIMA p d q P D Q 模型中，再加入除自身滞后时序变量以外的解释变量X 。
模型的识别模型的识别的本质是确定(,,)(,,)s ARIMA p d q P D Q 中的,,p d q 以及,,P D Q 与S 的取值。
借助于自相关函数（AutocorrelationFunction,ACF ）以及自相关分析图和偏自相关函数（PartialCorrelationFunction,PACF ）以及偏自相关分析图来识别时序特性，并进一步确定p 、q 、P 、Q 。
自相关函数k r关系数未进入置信区间，说明该序列非平稳，2步时，差分选项选择1或2。
偏自相关函数偏自相关函数是时间序列t Y ，在给定了121,,t t t k Y Y Y ---+的条件下，t Y 与t k Y -之间的条件相关。
由于它需要考虑排除其他滞后期的效应，因而被称为偏自相关。
arima的概念
arima的概念
Arima模型是一种时间序列模型，ARIMA全称是“自回归移动平均模型”（Autoregressive Integrated Moving Average Model）。
ARIMA模型是以确定的时间步长为基础，对时间序列的趋势、周期性和随机性进行建模和预测的一种多层线性回归模型。
ARIMA模型可以用来预测时间序列数据特性，包括趋势、周期和异常点。
它的核心思想是将时间序列的趋势和季节性分解出来，然后对残
差建立自回归和移动平均的线性回归模型。
ARIMA模型可以很好地预测未来的趋势，对时间序列的拟合也很出色。
ARIMA模型的应用范围广泛，是经济学、金融学、地理学等学科的重要研究工具。
例如，ARIMA模型在宏观经济学中被广泛用于预测物价、股市走势等。
在天气预报中，ARIMA模型被用来预测降雨量、气温等气象参数。
ARIMA模型也被用来预测诸如肺癌、心脏病等疾病的传播趋势。
ARIMA模型的建立有以下三个重要步骤：
1. 分析时间序列数据，确定时间序列数据的趋势、季节性和随机性。
2. 根据时间序列数据的特性，建立AR、MA或ARMA模型。
3. 根据建立的模型，进行参数估计和模型拟合，并进行预测和检验。
ARIMA模型有几个重要的参数，包括AR(p)、I(d)和MA(q)，其中p、d、q分别代表AR、差分和MA阶数。
对于一个ARIMA(p,d,q)模型，p、d、q应当被选择得足够大，以便确保模型可以很好地拟合时间序
列数据，但是也不应该过大，以避免过拟合。
总之，ARIMA模型是一种重要的时间序列模型，可以应用于各种领域，可以帮助研究人员进行时间序列的预测和分析。
时间序列中的ARMA模型-文档资料
0 = 11 + 22 + . . . + pp +
2
p p 1
= + + . . . +
p 1 p 1 2 p 2
……
p 0
将上述p+1个方程联立，得到所谓的Yule-Walker方程 组，共p+1个方程，p+1个未知数，得出AR（p）过程 的方差及各级协方差。
4
对于任意的，MA(q)是平稳的。
ARIMA模型的概念
二. 自回归（AR）过程 1.自回归（AR）过程表示为：
Y t = c + 1 Y t 1 + 2 Y t 2 + . . . + p Y t pt + v 其中为 v t 为白噪音过程
引入滞后算子，则原式可写成
15
ARMA模型的识别
2. 自相关函数和偏自相关函数的概念
①自相关函数 过程 Y t 的第j阶自相关系数即 j j 0 ， 自相关函数记为ACF(j) 。 ②偏自相关函数
步骤1：模型识别 步骤2：模型估计 步骤3：模型的诊断检验 步骤4：模型预测
14
三、ARMA模型的识别、估计、诊断、预测
(一).ARMA模型的识别 1. 识别ARMA模型的两个工具：
自相关函数(autocorrelation function,简记为 ACF）； 偏自相关函数(partial autocorrelation function,简 记为PACF) 以及它们各自的相关图（即ACF、PACF相对 于滞后长度描图）。
ARMA模型与ARIMA模型的推导与应用
ARMA模型与ARIMA模型的推导与应用ARMA模型（AutoRegressive Moving Average model）和ARIMA模型（AutoRegressive Integrated Moving Average model）是一种常用的时间序列分析方法。
本文将对这两个模型进行推导，并探讨它们在实际应用中的作用。
一、ARMA模型的推导ARMA模型是一种线性预测模型，它由两部分组成：自回归部分（AR）和移动平均部分（MA）。
1. 自回归部分（AR）自回归部分是指当前序列的值与前一时刻的值之间存在线性关系，记作AR(p)。
其中p表示自回归阶数，即前p个时刻的值对当前值的影响。
假设当前时刻的值为yt，则AR(p)模型的表示为：yt = c + φ1*yt-1 + φ2*yt-2 + ... + φp*yt-p + εt其中，c为常数项，φ1, φ2, ..., φp为自回归系数，εt为误差项。
2. 移动平均部分（MA）移动平均部分是指当前序列的值与前一时刻的误差之间存在线性关系，记作MA(q)。
其中q表示移动平均阶数，即前q个时刻的误差对当前值的影响。
假设当前时刻的误差为et，则MA(q)模型的表示为：yt = c + θ1*et-1 + θ2*et-2 + ... + θq*et-q其中，c为常数项，θ1, θ2, ..., θq为移动平均系数。
二、ARIMA模型的推导ARIMA模型是在ARMA模型的基础上加入差分操作，以处理非平稳时间序列。
ARIMA模型由三部分组成：自回归部分（AR）、差分部分（I）和移动平均部分（MA）。
1. 自回归部分（AR）自回归部分与ARMA模型中的自回归部分相同，表示为AR(p)。
2. 差分部分（I）差分部分用于处理非平稳时间序列。
一阶差分操作即将当前值与前一时刻的值相减，次阶差分操作则再次对差分后的序列进行差分。
一般记作d阶差分，其中d表示差分阶数。
3. 移动平均部分（MA）移动平均部分与ARMA模型中的移动平均部分相同，表示为MA(q)。
arima模型
ARIMA模型（英语：自回归综合移动平均模型），差分综合移动平均自回归模型，也称为综合移动平均自回归模型（移动也可以称为滑动），是时间序列预测分析方法之一。
在ARIMA（p，d，q）中，AR是“自回归”，p是自回归项的数量；MA是“移动平均数”，q是移动平均项的数量，d是使其成为固定序列的差（顺序）的数量。
尽管ARIMA 的英文名称中没有出现“difference”一词，但这是关键的一步。
非平稳时间序列在消除其局部水平或趋势后显示出一定的同质性，也就是说，该序列的某些部分与其他部分非常相似。
经过微分处理后，可以将该非平稳时间序列转换为平稳时间序列，称为均质非平稳时间序列，其中差值的数量为齐次。
因此，可以得出结论如果存在一个D阶非平稳时间序列，那么如果存在一个平稳时间序列，则可以称为ARMA（p，q）模型，其中，它们是自回归系数多项式和移动平均系数多项式。
零均值白噪声序列。
该模型可以称为自回归求和移动平均模型，表示为ARIMA（p，d，q）。
当差分阶数D为0时，ARIMA模型等效于ARMA模型，即两个模型之间的差分为差分阶数D是否等于零，即序列是否平稳。
ARIMA模型对应于非平稳时间序列，而ARMA模型对应于平稳时间序列。
时间序列的预处理包括两个测试：平稳性测试和白噪声测试。
ARMA 模型可以分析和预测的时间序列必须满足平稳非白噪声序列的条件。
检查数据的平稳性是时间序列分析中的重要步骤，通常通过时间序列和相关图进行检查。
时序图的特点是直观，简单，但误差较大。
自相关图，即自相关和部分自相关函数图，相对复杂，但结果更准确。
本文使用时序图直观地判断，然后使用相关图进行进一步测试。
如果非平稳时间序列有增加或减少的趋势，则需要进行差分处理，然后进行平稳性测试，直到稳定为止。
其中，差异的数量为ARIMA（p，d，q）的顺序。
从理论上讲，差异的数量越多，时间序列信息的非平稳确定性信息的提取就越充分。
从理论上讲，差异数量越多越好。
arma模型通俗理解
Arma模型通俗理解什么是ARMA模型？ARMA模型是时间序列分析中的一种建模方法，它是自回归移动平均模型（ARMA）的组合。
ARMA模型结合了自己的历史数据和随机误差来预测未来的数值。
AR和MA模型的概念在理解ARMA模型之前，我们需要先了解自回归（AR）和移动平均（MA）模型。
自回归（AR）模型自回归模型基于历史数据的线性组合来预测未来的数值。
它假设未来的值是过去值的加权和，其中权重由自回归系数确定。
自回归模型的公式为：x(t) = c + φ1 * x(t-1) + φ2 * x(t-2) + … + φp * x(t-p) + ε(t)，其中φ1, φ2, …, φp为自回归系数，ε(t)为误差项，c为常数。
移动平均（MA）模型移动平均模型基于随机误差的线性组合来预测未来的数值。
它假设未来的值是过去误差的加权和，其中权重由移动平均系数确定。
移动平均模型的公式为：x(t) = μ + θ1 * ε(t-1) + θ2 * ε(t-2) + … + θq * ε(t-q) + ε(t)，其中θ1,θ2, …, θq为移动平均系数，ε(t)为误差项，μ为均值。
ARMA模型ARMA模型是自回归模型和移动平均模型的结合，它综合了过去的数值和随机误差来预测未来的数值。
ARMA模型可以表示为ARMA(p, q)，其中p和q分别为自回归和移动平均阶数。
ARMA模型的公式为：x(t) = c + φ1 * x(t-1) + φ2 * x(t-2) + … + φp * x(t-p) + θ1 * ε(t-1) + θ2 * ε(t-2) + … + θq *ε(t-q) + ε(t)，其中φ1, φ2,…, φp为自回归系数，θ1, θ2, …, θq 为移动平均系数，c为常数，ε(t)为误差项。
如何估计ARMA模型的参数？ARMA模型的参数估计可以通过最小二乘法或最大似然法进行。
通过这些方法，可以找到使得模型拟合数据最好的参数。
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第9章、ARMA模型和ARIMA模型计量经济学的重点在于解释，而不是预测。
但是，对于某些具体的问题，人们对预测的兴趣仍然很大。
如对GDP、人口等宏观经济变量的预测：什么时候超英赶美。
常见的4种预测模型为：1.单方程回归模型2.联立方程回归模型3.ARIMA模型（自回归积分移动平均模型）4.V AR模型（向量自回归模型）前面两种预测模型的特点：优点：经济学理论作为计量分析的基础。
缺点：Lucas批判（Lucas Critique）指出，使用历史数据估计的计量模型的参数依赖于历史的宏观经济政策。
如果宏观经济政策发生变动，这些参数也会变动。
据此而实施的预测必然误差很大，特别是长期预测。
例子：根据过去几年数据建立的IS－LM模型，难以预测中国宏观调控后和利率提高后的宏观经济。
后面两种预测模型的特点：优点：Box－Jenkins方法的重点不是寻找解释y的解释变量，而是使用滞后的y来构造生产y的动力系统。
所使用的y是平稳序列，即y的均值、方差和自协方差与时间的绝对水平无关，那么分布特征不变，可以适用不同经济环境。
短期预测能力较强。
缺点：为预测而预测。
是泛理论的（a－theoretic），缺乏经济理论基础，很难解释计量结果的经济含义。
当然可以整合这两类方法的优点。
ARMAX模型。
§1、ARIMA模型ARIMA模型(自回归积分移动平均模型，autoregressive integrated movingaverage) 推广了如下模型：AR 模型、MA 模型和ARMA 模型。
1、AR 模型 （1）定义称平稳序列y t 服从AR(p)模型，如果可以表示为11...t t p t p t y y y μααε−−=++++其中t ε是白噪声（均值为0，同方差，无自相关）。
AR 模型的特点：除了滞后的y 之外，没有其他的解释变量。
（2）AR 模型的平稳条件记L 为滞后算子(lag operator)，Ly t ＝y t －1。
L j 为j 步滞后算子，即L j y t ＝y t －j 。
那么，AR 模型可以记为1...p t t p t t y Ly L y μααε=++++定义新的算子为1()1...p p L L L φαα=−−−那么()t t L y φμε=+AR(p)模型的平稳性条件要求y t 的均值和方差和自协方差都是有限的常数。
可以证明，这要求多项式方程()0x φ=的根的模都大于11。
请验证一下AR(1)的平稳性条件。
（3）Eview 的差分算子D 与数学表达式的滞后算子L 之间的关系d(y, n)=(1-L)n y例如：点击数据文件gdp_gujarati_p706，在命令窗口输入series dy1=D(gdp)表示gdp 的一阶差分，即GDP–GDP(–1)可以比较下面的命令以及新的差分序列是否与dy1一样series newdy1=GDP-GDP(-1)1参见《应用时间序列分析》北大版，何书元，第63页。
输入下面的二阶差分命令series dy2=D(gdp,2)比较以下命令以及新的差分序列是否与dy2一样series newdy2=D(dy1)D(gdp,2)计算gdp的二阶差分d(gdp,2) =d(d(gdp))=d(gdp – gdp(–1))= gdp – gdp(–1) – [gdp(-1) – gdp(–2)]=gdp – 2*gdp(–1) + gdp(–2)=(1-L)2gdp（4）例子1：通货膨胀的AR模型（当然，我们还没有学习如何建立最为合适的模型）点击数据文件usinf_greene_p572，quick/series statistics/unit root test中输入inflation，检验是否平稳序列。
ADF Test Statistic -3.858994 1% Critical Value*-4.17285% Critical Value -3.511210% Critical Value -3.1854*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.是不是平稳序列？在5％置性水平下是平稳序列，可以建立ARMA模型。
以AR模型为例。
输入INFLATION C INFLATION(-1) INFLATION(-2) INFLATION(-3)得到Dependent Variable: INFLATIONMethod: Least SquaresDate: 11/24/04 Time: 11:32Sample(adjusted): 1943 1985Included observations: 43 after adjusting endpointsVariable Coefficient Std.Error t-Statistic Prob.C 2.2023580.969339 2.2720210.0287INFLATION(-1) 0.6784420.157947 4.2953800.0001INFLATION(-2) -0.3281360.178348-1.8398630.0734INFLATION(-3) 0.1552930.149791 1.0367330.3062R-squared 0.329481 Mean dependent var 4.518605Adjusted R-squared 0.277902 S.D. dependent var 4.077246S.E. of regression 3.464693 Akaike info criterion 5.411533Sum squared resid 468.1599 Schwarz criterion 5.575366Log likelihood -112.3480 F-statistic 6.387961Durbin-Watson stat 2.132237 Prob(F-statistic) 0.001258也可以输入INFLATION C AR(1) AR(2) AR(3)Dependent Variable: INFLATIONMethod: Least SquaresDate: 11/24/04 Time: 11:38Sample(adjusted): 1943 1985Included observations: 43 after adjusting endpointsConvergence achieved after 3 iterationsError t-Statistic Prob.Variable Coefficient Std.C 4.454596 1.072402 4.1538510.0002AR(1) 0.6784420.157947 4.2953800.0001AR(2) -0.3281360.178348-1.8398630.0734AR(3) 0.1552930.149791 1.0367330.3062R-squared 0.329481 Mean dependent var 4.518605Adjusted R-squared 0.277902 S.D. dependent var 4.077246S.E. of regression 3.464693 Akaike info criterion 5.411533Sum squared resid 468.1599 Schwarz criterion 5.575366Log likelihood -112.3480 F-statistic 6.387961Durbin-Watson stat 2.132237 Prob(F-statistic) 0.001258Inverted AR Roots .58 .05+.52i .05 -.52iInverted AR Roots表示根的倒数，因此必须模小于1才符合平稳性条件。
观察满足吗？例子2：gdp_gujarati_p706gdp是平稳序列吗？是I(1)过程。
因此，D(GDP,1) C AR(1) AR(2) AR(3)Dependent Variable: D(GDP,1)Method: Least SquaresDate: 11/24/04 Time: 11:37Sample(adjusted): 1971:1 1991:4Included observations: 84 after adjusting endpoints Convergence achieved after 3 iterationsVariable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 23.89805 5.864807 4.0748230.0001AR(1) 0.3104400.110606 2.8067300.0063AR(2) 0.0837950.1145610.7314460.4666AR(3) -0.0348840.109651-0.3181360.7512R-squared 0.117588 Mean dependent var 23.74167Adjusted R-squared 0.084497 S.D. dependent var 35.98207S.E. of regression 34.42833 Akaike info criterion 9.962085Sum squared resid 94824.81 Schwarz criterion 10.07784Log likelihood -414.4076 F-statistic 3.553522Durbin-Watson stat 1.900662 Prob(F-statistic) 0.017987Inverted AR Roots.31+.12i .31 -.12i -.31满足平稳性条件吗？2、MA 模型（1）定义称平稳序列y t 服从MA(q)模型，如果可以表示为11...t t t q t q y μεβεβε−−=+−−−其中t ε是白噪声。
MA 模型的特点：y t 是白噪声扰动项的线性组合。
MA 模型可以表示为：()t t y L μθε=+其中1()1...q q L L L θββ=−−−是算子。
（2）MA 模型的平稳性条件请计算MA 模型的均值、方差和自协方差。
()var()cov(,)t t t t h E y y y y −===结论：MA 模型的平稳性与系数无关。