2010年高中物理自主学习同步讲解与训练 磁场问题中的重要模型

磁场问题中的重要模型
二. 学习目标：
1、掌握带电粒子在复合场中运动问题的分析方法，加深对于回旋加速器等物理模型原理的理解。

2、重点掌握带电粒子在磁场或者复合场中运动的典型模型所涉及题目的解题方法。

考点地位：带电粒子在磁场及复合场中的运动问题是高中物理的重点和难点，在高考当中占有极其重要的位置，该部分内容融合了带电粒子在复合场中的力学，运动、动量及能量分析，覆盖面广，综合性强，是近几年高考的难点，重点和热点，特别是对于一些重要物理模型的考查，如质谱仪、回旋加速器等，常以大型的压轴题目的形式出现。

如2006年重庆理综卷第24题、2005年全国高考理综Ⅰ卷第20题、2005年天津高考理综卷第25题等都突出了对于本部分内容的考查。

三. 重难点解析：
1. 质谱仪
（1）主要构造：如图1所示。

①带电粒子注入器；②加速电场（U）；③速度选择器（E、B1）；④偏转电场（B2）；⑤照相底片。

图1
（2）工作原理：质谱仪是用来研究物质同位素的装置，其原理如图2所示。

离子源S 产生电荷为q而质量不等的同位素离子，经电压U加速进入磁感应强度为B的匀强磁场中，沿着半圆周运动到计录它的照相底片P上。

若测得它在P上的位置与A间距离为x，即可由此测得该同位素的质量为。

推证如下：
图2
离子源产生的离子进入加速电场时的速度很小，可以认为等于零，则加速后有
，
∴。

离子在磁场中运动的轨道半径
，
∴
（3）由上式可知，电量相同，如果质量有微小的差别，就会打在P处的不同位置处。

如果在P处放上底片，就会出现一系列的谱线，不同的质量就对着一根确定的谱线，叫做质谱线。

能完成这种工作的仪器就称为质谱仪。

利用质谱仪对某种元素进行测量，可以准确地测出各种同位素的原子质量。

质谱仪最初是由汤姆生的学生阿斯顿设计的，现已成了一种十分精密的仪器，是测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具。

2. 回旋加速器
（1）主要构造
如图所示：①粒子源；②两个D形金属盒；③匀强磁场；④高频电源；⑤粒子引出装置；⑥真空容器（图中未标出）。

（2）工作原理
如图所示，从位于两D形盒的缝隙中央处的粒子源放射出的带电粒子，经两D形盒间的电场加速后，垂直磁场方向进入某一D形盒内，做洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动经磁场偏转半个周期后又回到缝隙。

此时缝隙间的电场方向恰好改变，带电粒子在缝隙中再一次被加速，以更大的速度进入另一D形盒做匀速圆周运动……这样，带电粒子不断地被加速，直至带电粒子在D形盒沿螺线轨道逐渐趋于盒的边缘，达到预期的速率后，用特殊装置把它们引出。

（3）问题讨论
①高频电源的频率：粒子在匀强磁场中的运动周期与速率和半径无关，且，尽管粒子运转的速率和半径不断增大，但粒子每转半周的时间不变。

因此，要使高频电源的周期与粒子运转的周期相等（同步），才能实现回旋加速，即高频电源的频率为。

②回旋加速的最大动能：由于D形盒的半径R一定，由轨道半径公式可知
，所以粒子的最大动能。

可见，虽然洛伦兹力对带电粒子不做功，但却与B有关；由于，进一步可知，加速电压的高低只会影响带电粒子加速的总次数，并不影响回旋加速后的最大动能。

③能否无限制地回旋加速：由于相对论效应，当粒子速率接近光速时，粒子的质量将显著增加，从而粒子做圆周运动的周期将随粒子速率的增大而增大，如果加在D形盒两极的交变电场的周期不变的话，粒子由于每次“迟到”一点，就不能保证经过窄缝时总被加速。

因此，同条件被破坏，就不能再提高粒子的速率了。

3. 电流表：
（1）用途
电流表是用来测定电流大小和方向的电学仪器。

（2）磁电式电流表的工作原理
常用电流表的构造如图3所示。

在很强的蹄形磁铁的两极间有一个固定的圆柱形铁芯，铁芯的外面套着一个可以绕轴转动的铝框，铝框的转轴上装有两个螺旋弹簧和一个指针，线圈的两端分别接在这两个螺旋弹簧上，被测电流就是经过这两个弹簧通入线圈的。

蹄形磁铁
和铁芯间的磁场是均匀地辐向分布的，如图4所示，不管通电线圈转到什么角度，它的平面都跟磁感线平行。

若通电线圈的匝数为N，则线圈所受的磁场力矩为，由于NBS 为定值，所以与电流I成正比。

设，则。

另一方面，当线圈转动时，
弹簧会产生一个反方向的力矩，当和平衡时，线圈就停在某一偏角上，固定的指针也相应的转过同样的偏角，指到刻度盘上的某一刻度，而弹簧产生的力矩与偏转的
角度成正比，即，所以当和平衡时，，其中为一常量。

所以，测量时，指针偏转的角度与电流的大小成正比，可以用指针的偏转角度来指示电流的大小，这种电流计的刻度是均匀的。

这种利用永久磁铁来使通电线圈偏转的仪表叫做磁电式仪表。

图3 图4
【典型例题】
问题1、磁电式仪表模型问题：
考题1：电流表的矩形线圈数匝。

矩形线圈处在磁场中的两条边长，另两条边长为。

指针每转1度角，螺旋弹簧产生的阻碍力矩，指针的最大偏转角为80°，已知电流表磁极间沿辐射方向分布的匀强磁场的磁感强度
（如图）。

求该电流表的满偏电流值（即电流量程）多大？
解析：电流表的指针偏转80°时，螺旋弹簧的阻碍力矩为。

设电流表的满偏电流值为，满偏时通电线圈所受磁场的作用力矩为
满偏时通电矩形线圈所受磁力矩与螺旋弹簧的阻力矩相等，即，由此可得：。

即电流表的满偏电流值为。

问题2、质谱仪模型问题：
考题2：2006年泰安质谱仪是用来测定带电粒子的质量和分析同位素的装置，如图所示，电容器两极板相距为d，两极板间电压为U，极板间的匀强磁场的磁感应强度为，一束电荷量相同的带正电的粒子沿电容器的中心线平行于极板射入电容器，沿直线穿过电容
器后进入另一磁感应强度为的匀强磁场，结果分别打在感光片上的a、b两点，设a、b 两点间距离为，粒子所带电荷量为q，且不计重力，求：
（1）粒子进入磁场时的速度v；
（2）打在a、b两点的粒子的质量之差。

解析：（1）粒子在电容器中做直线运动，故，解得。

（2）带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，则设打在a点的粒子质量为，打在b点的为，则打在a处的粒子的轨道半径。

打在b处的粒子的轨道半径。

又。

联立解得。

变式1：（2001年全国）（24分）
下图是测量带电粒子质量的仪器工作原理示意图。

设法使某有机化合物的气态分子导入图中所示的容器A中，使它受到电子束轰击，失去一个电子变成正一价的分子离子。

分子离子从狭缝s1以很小的速度进入电压为U的加速电场区（初速不计），加速后，再通过狭缝s2、s3射入磁感强度为B的匀强磁场，方向垂直于磁场区的界面PQ。

最后，分子离子打到感光片上，形成垂直于纸面而且平行于狭缝s3的细线。

若测得细线到狭缝s3的距离为d 导出分子离子的质量m的表达式。

参考解答：
（1）求分子离子的质量以m、q表示离子的质量电量，以v表示离子从狭缝s2射出时的速度，由功能关系可得①
射入磁场后，在洛仑兹力作用下做圆周运动，由牛顿定律可得
②
式中R为圆的半径。

感光片上的细黑线到s3缝的距离
解得d＝2R③
④
问题3、回旋加速器模型问题：
考题3、回旋加速器是用来加速一群带电粒子使它获得很大动能的仪器，其核心部分是两个D形金属扁盒，两盒分别和一高频交流电源两极相接，以便在盒间的窄缝中形成匀强电场，使粒子每穿过狭缝都得到加速，两盒放在匀强磁场中，磁场方向垂直于盒底面，离子源置于盒的圆心附近，若离子源射出的离子电量为q，质量为m，粒子最大回旋半径为，其运动轨迹见图所示。

问：
（1）盒内有无电场？
（2）离子在盒内做何种运动？
（3）所加交流电频率应是多大，离子角速度为多大？
（4）离子离开加速器时速度为多大，最大动能为多少？
（5）设两D形盒间电场的电势差为U，盒间距离为d，其电场均匀，求加速到上述能量所需时间。

答案：
（1）扁盒由金属导体制成，具有屏蔽外电场作用，盒内无电场。

（2）带电粒子在盒内做匀速圆周运动，每次加速之后半径变大。

（3）离子在电场中运动时间极短，因此高频交流电压频率要等于离子回旋频率。

因为，回旋频率，角速度。

（4）设离子最大回旋半径为，则由牛顿第二定律得，故。

最大动能
（5）离子每旋转一周增加能量变2qU。

提高到的旋转次数为。

在磁场中运动的时间
若忽略离子在电场中运动时间，可视为总时间，若考虑离子在电场中运动时间，在D形盒两窄缝间的运动可视为初速度为零的匀加速直线运动。

，所以。

将代入得。

所以粒子在加速过程中的总时间
，通常（因为）。

变式2：（2007·郑州）美国布鲁克黑文国家实验室利用加速器制造出了夸克胶子等离子体，被列为2005年国际十大科技新闻，回旋加速器可将夸克离子加速成高能粒子，其核心部分是两个D形金属盒，分别与高频交流电极相连接，D形盒间的狭缝中有周期性变化的电场，粒子在通过狭缝时都能得到加速，D形金属盒处于垂直于盒的匀强磁场中，如图所示。

要增大夸克离子射出时的动能，下列说法中正确的是（）
A. 增大电场的加速电压
B. 增大磁场的磁感应强度
C. 减小狭缝间的距离
D. 增大D形金属盒的半径
答案：ABD
点拨：由，得，夸克离子射出时的动能。

又因，可知A正确。

【模拟试题】
1. 关于磁现象的电本质，下列说法中正确的是（）
A. 有磁必有电，有电必有磁
B. 电荷的定向移动形成电流的同时也产生了磁场
C. 除永久磁体以外的磁场都是由电荷的定向移动产生的
D. 静止的电荷周围产生静止的电场同时也产生了磁场
2. 用安培提出的分子电流假说可以说明（）
A. 永久磁铁具有磁性的原因
B. 铁棒被磁化的原因
C. 两通电导体间有磁力作用的原因
D. 通电螺线管具有磁性的原因
3. 如图所示，电容器两极板相距为d，两端电压为U，板间的匀强磁场为，一束带正电的粒子从图示方向射入，穿过电容器后进入另一匀强磁场，结果分别打在a、b两点，两点间的距离为，由此可知，打在两点的粒子质量差__________（带电量均为+q）。

4. 已知质量为的带电液滴，以速度射入互相垂直的匀强电场E和匀强磁场B中，液滴在此空间刚好能在竖直平面内做匀速圆周运动。

如图所示。

求：
（1）液滴在空间受到几个力作用。

（2）液滴带电量及电性。

（3）液滴做匀速圆周运动的半径多大？
5. 如图所示，半径为R的光滑绝缘环上套有一个质量为m、电荷量为+q的小球，它可沿环自由滑动。

绝缘环竖直地放在相互垂直的匀强电场和匀强磁场内，电场强度为E，磁感应强度为B，方向如图所示。

当球从水平直径的A端由静止释放滑到最低点时，求环对球的压力。

6. 如图所示，有一电子束从点a处以一定的水平速度飞向竖直放置的荧光屏，将垂直击中荧光屏上的点b，已知电子的质量为m，电量为q。

（1）若在电子束运行途中加一半径为R的圆形磁场，磁感应强度为B，方向垂直于纸面向里，圆心O在点a、b连线上，点O距荧光屏距离为L，为使电子束仍击中荧光屏上的点b，可加一个场强为E的匀强电场，指出此匀强电场的方向和范围，并求出电子束的速度。

（2）现撤去电场，电子束以原速度沿原来方向从a点发射，运动方向在磁场中偏转后击中荧光屏上的点c。

求b、c间的距离。

7. 如图所示，在回旋加速器的D形盒I的O点处有一离子源，该离子源产生的离子，经两个D形盒缝隙间的电场加速后，进入D形盒II，试求在D形盒II中相邻两个圆形轨道的半径之比。

【试题答案】
1. B
提示：依据磁现象的电本质：磁铁和电流的磁场都是由运动的电荷产生的。

即一切磁现象都是由运动电荷产生的。

因此本题正确选项应为B。

2. A、B
提示：分子电流假说是安培为解释磁体的磁现象而提出的。

永久磁铁之所以具有磁性，是因为其内部的各分子电流取向相同，两端对外显出较强的磁性。

软铁棒之所以被磁化是因为在外加磁场的作用下，铁棒内各分子电流变得取向大致相同，从而具有了磁性。

选项A、B正确。

通电导线周围的磁场是由其内部自由电荷定向移动形成的宏观电流产生的。

分子电流和宏观电流虽然都是运动电荷引起的，但产生的原因不同。

选项C、D错误。

3.
提示：由得，在磁场中，，且
，解之，。

4. 解：（1）由于是带电液滴，它必须受重力，又处于电磁场中，还应受到电场力及洛伦兹力共3个力。

（2）因液滴做匀速圆周运动，故必须满足重力与电场力平衡，故液滴应带负电，电量由mg=Eq，求得：。

（3）尽管液滴受三个力，但合力为洛伦兹力，所以仍可用半径公式，把电量
代入可得：。

5. 解：当小球从A滑到C位置过程中，由动能定理可知。

当小球滑到C位置时，小球所受的四个力均在竖直方向，由圆周运动知识可得
方向竖直向上。

6. 解：（1）电子进入磁场时受竖直向下的洛伦兹力，要使电子仍击中b点，电子束必须做匀速直线运动，故电子必受竖直向上的电场力。

所加电场方向竖直向下，电场的左右边界面与圆O相切。

电子受到的合外力为零，可得。

（2）撤去电场后，电子在磁场中由洛伦兹力提供向心力做半径为r的匀速圆周运动，
离开磁场区域做匀速直线运动击中屏上点c，如下图所示。

设电子在磁场中偏转的角度为，由直角三角形bOc可得b、c间距离，由直角三角形可得圆形磁场区域半径，。

7. 解：设离子的质量为，电荷量为q，两D形盒间的加速电压为U，匀强磁场的磁感应强度为B，则从离子源产生的离子经电场加速一次进入D形盒II中的速率和轨道半径分别为。

第二次进入D形盒II时，已经过电场加速三次，在D形盒II中的速率和轨道半径分别
为。

第n次进入D形盒II时，已经过电场加速次，在D形盒II中的速率和轨道半径分别为。

第（n+1）次进入D形盒II时，已经过电场加速（2n+1）次，在D形盒II中的速率和轨道半径分别为。

任意两个相邻圆形轨道的半径之比为。

可见，带电粒子在回旋加速器的D形盒中运动时，轨道是不等距分布的，且越靠近D 形盒的边缘，相邻轨道的间距越小。