市北资优八年级分册 第23章 23.3 特殊的平行四边形+杨晨光

23.3特殊的平行四边形

1.矩形

特殊的平行四边形是从平行四边形的边或角所具有的特征来定义的.

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

因为矩形是特殊的平行四边形,所以它具有平行四边形的所有性质.另外,它还有自己特有的性质.我们仍然从边、角、特殊线段（对角线）、对称性的角度进行研究.

从边的角度分析，由矩形的定义可知，它的边没有特殊的性质.

从角的角度分析，也由矩形的定义可知，它有一个角是直角.如图23.3.1，四边形ABCD是矩形，∠A是直角.

因为矩形ABCD是平行四边形，所以∠A=∠C，AB∥CD，所以∠A+∠D=∠B+∠C=180°.因此，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.

由此，我们有了矩形的关于角的一个特殊性质.

矩形的性质定理1矩形的四个角都是直角.

如图23.3.1，用数学语言表达：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°（矩形的四个角都是直角）.

D

图23.3.1

例1已知：如图23.3.2，在矩形ABCD中，∠ODA=∠OAD=1

4

∠BOC.

求证：OB=OC=AB.

图23.3.2

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=DC（平行四边形的对边相等），

∠BAD=∠CDA=90°（矩形的四个角都是直角）.

设∠OAD=x.

∵∠ODA=∠OAD=1

4

∠BOC，

∴OA =OD ，且∠BAO =∠CDO =90°－x ，∠BOC =4x ，∠AOD =180°－2x .

∴△AOB ≌△DOC .

∴∠AOB =∠DOC .

∵∠AOD =180°－2x ，∠BOC =4x ，

∴∠AOB =∠COD =()1360180242

x x ︒-︒--⎡⎤⎣⎦=90°－x . ∴∠BAO =∠AOB =∠COD =∠DOC .

∴AB =OB ，DC =OC .

∵AB =CD ，

∴OB =OC =AB .

从对角线的角度分析，如图23.3.3，因为四边形ABCD 是矩形，所以∠ABC =∠DCB =90°，AB =CD .因为BC =BC ，所以Rt △ABC ≌Rt △DCB ，因此AC =BD .

由此，我们有了矩形的关于对角线的一个特殊性质.

矩形的性质定理2 矩形的对角线相等.

如图23.3.3，用数学语言表达：

∵四边形ABCD 是矩形，

∴AC =BD （矩形的对角线相等）.

图23.3.3

矩形的性质定理3 矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴是每组对边的垂直平分线. 例2 已知：如图23.3.4，在矩形ABCD 中，PO ⊥BD ，交BC 于点P

，AB

，BC .

求证：PD 垂直平分OC .

图23.3.4

证明：∵四边形ABCD 是矩形，

∴AO =OC =12AC ,B 0=DO =12

BD （平行四边形的对角线互相平分），AC =BD （矩形的对角线相等）. ∴OC =OD .

∵∠ABC =∠DCB =90°（矩形的四个角都是直角），

∴222

AB BC AC +=.

∵AB

，BC

，

∴

AC =

==.

∴12AB AC =. ∴∠ACB =30°.

∵∠BCD =90°，

∴∠OCD =60°.

∵OC =OD ，

∴△OCD 是等边三角形.

∴OD =DC ，∠DOC =60°.

∵PO ⊥BD ，

∴∠POC =30°=∠OCP .

∴OP =CP .

∵DC =DO ，OP =CP ，

∴点D 在OC 的垂直平分线上，点P 在OC 的垂直平分线上.

∴PD 垂直平分OC .

练习23.3（1）

1.已知点E 为矩形ABCD 的边CD 上的一点，且AB =AE =4，BC =2，则∠BEC = °.

2.在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE ⊥BD ，垂足为点E ，∠DAE ：∠BAE =3:1，则∠EAC = °.

3.已知矩形的两对角线的一个夹角为120°，一条对角线与较短边的和为18，则对角线的长为 .

4.已知：如图，在矩形ABCD 中，E 是CB 延长线上一点，且CE =AC ，F 是AE 的中点.

求证：DF ⊥FB

.

E

(第4题)

除了通过矩形的定义来判断一个四边形是否是矩形，我们还能不能找到其他的证明一个四边形是矩形的方法呢？

如图23.3.5，在四边形ABCD 中，如果有三个角是直角，那么第四个角一定是直角，因此这样的四边形一定是平行四边形，而且是矩形.

于是，我们有了矩形的判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形.

如图23.3.5，用数学语言表达：

∵∠A=∠B=∠C=90°，

∴四边形ABCD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）.

图23.3.5

例3已知：如图23.3.6，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.

求证：四边形ADCE是矩形.

N

图23.3.6

证明：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，

∴AD⊥BC，即∠ADC=90°.

∵CE⊥AN，垂足为点E，

∴∠CEA=90°.

∵AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，

∴∠BAD=∠CAD，∠MAN=∠CAN.

∵∠BAD+∠CAD+∠MAN+∠CAN=180°，

∴2∠CAD+2∠CAE=180°，即∠EAD=90°.

∴∠ADC=∠DAE=∠AEC=90°.

∴四边形ADCE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）.

我们知道“矩形的对角线相等”，那么对角线相等的四边形是矩形吗？

如图23.3.7，画任意两条相等且相交的线段AC、BD，再顺次联结A、B、C、D，得到的四边形ABCD 对角线相等，但显然不一定是矩形.

对角线相等的平行四边形是矩形吗？