整式的运算

整式及整式的加减单项式、单项式系数及次数(1)单项式的表示形式:1、数与字母的乘积这样的代数式叫做单项式2、单个字母也是单项式. 3单个的数是单项式4、字母与字母相乘成为单项式5、数与数相乘称为单项式.(2)单项式的系数:单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的系数.如果一个单项式,只含有字母因数,是正数的单项式系数为1,是负数的单项式系数为-1.(3)单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.例如:4xy的系数为4（系数只写数字，xy是字母不算），次数为2。

x的指数是1，y的指数是1，指数相加得2.定义；单项式就是表示数与字母的积的代数式。

多项式、多项式的项数、多项式的次数（1）几个单项式的和叫做多项式.在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项.一个多项式有几项就叫做几项式.多项式中的符号,看作各项的性质符号.一元N次多项式最多N+1项.例：在多项式2x-3中，2x和-3是他的项，其中-3是常项数；在多项式+2x+18中它的项分别是2x和18，其中18是常项数。

（2）多项式中,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数。

◆要点3 整式：单项式和多项式统称为整式。

★说明：(1) 单独的一个数或一个字母也是单项式；(2)多项式的次数，并不是所有字母的指数和，而是组成多项式中的单项式的最高次数；(3) 如何区别一个代数式是否为整式，关键看项的因数的分母中是否含有字母，若无，则是整式，否则就不是整式。

同类项的概念所含字母相同,并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项,几个常数项也叫同类项.掌握同类项的概念时注意:1.判断几个单项式或项,是否是同类项,就要掌握两个条件:①所含字母相同.②相同字母的次数也相同.2.同类项与系数无关,与字母排列的顺序也无关.3.几个常数项也是同类项.合并同类项1.合并同类项的概念:把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项.2.合并同类项的法则:同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变.3.合并同类项步骤:⑴.准确的找出同类项.⑵.逆用分配律,把同类项的系数加在一起(用小括号),字母和字母的指数不变.⑶.写出合并后的结果.在掌握合并同类项时注意:1.如果两个同类项的系数互为相反数,合并同类项后,结果为0.2.不要漏掉不能合并的项.3.只要不再有同类项,就是结果(可能是单项式，也可能是多项式).整式的加减整式的加减实质：整式的加减实质就是合并同类项。

步骤：(1) 去括号；(2) 合并同类项★说明：(1) 改变项的位置要连同它前面的符号一起移动，整式加减后的次数比原整式的次数小或不变；(2) 求整式的值原则是先化简，再求值；(3) 带有绝对值符号的式子进行化简，首先考虑的是去掉绝对值符号，去掉绝对值符号时就必须首先考虑绝对值号内式子结果的符号，然后根据绝对值的性质确定去掉绝对值符号后应取什么符号，最后按整式加减运算进行化简。

易错点(1) 没有弄清单项式系数与次数的概念；(2) 不能区别整式与分式；(3)没有搞清同类项的概念与合并同类项的法则；(4) 对绝对值性质的理解有误。

【例1】 已知多项式734513326---+m xy y x y x ，如果这个多项式是一个八次多项式，求m 的值并写出各项及项的系数和次数。

【例2】 若单项式x m ＋2n y 8与单项式－8x 2y 4n 的和仍是单项式，则m ＋n ＝________。

【例3】 如图所示，A ，B ，C 三点表示的数分别为a ，b ，c ，化简：a b c a b a +-+--。

学习自评1. 下列代数式()a y x z y x xx y x ,,2,1,,1,22-++-+中，单项式的个数是___________________。

2. 单项式22myz x -的次数是7，则m ＝________；3. 单项式－x 3y 2和y x m2的次数相等，则m 的值为__________。

4. 多项式(a ＋1)x 4y －x b y 2＋3x 2y －2xy ＋1是关于x ，y 的四次多项式，则a ＋b ＝_______。

5. 一个多项式减去4ab －3b 2得2a 2－3ab ，则这个多项式是___________。

6. (3x 3－2x 2＋5x －2)－_________＝－x 2＋5－4x 3.7. 已知x 2＋xy ＝3，xy ＋y 2＝－2，则(1)x 2－y 2＝_________；(2) x 2＋4xy ＋3y 2＝__________。

8.下列说法正确的是（ ）A. 3x －5的项是3x 和5B.21+x 和3xy都是单项式C. z y x +和222y xy x ++都是多项式D. 212-x 和7ab 都是整式9. 若x ＜y ＜0，则y x y x +--的值是（ ）A. 2xB. 2yC. 2x ＋2yD. 2x －2y10. 如果x 2＋x －1＝0，那么代数式2x 2＋2x －6的值为（ ）A. 4B. 5C. －4D. －511. 已知A 是二次三项式，B 是三次四项式，则A ＋B 是（ ）A. 高于三次B. 二次式C. 五次式D. 不高于三次 12. 合并同类项(1) ()()47573323+--++--a a a a a ； (2)()y x z y x x 232212-+⎪⎭⎫⎝⎛+-- 13. (1) 若x －y ＝3，xy ＝1，求()()()xy y x x y xy y x xy ++--+-++-4223322的值。

(2) 已知A ＝3a 2＋6ab －b 2，B ＝2b 2－5ab ＋a 2，C ＝－4a 2－ab ＋b 2，求当a ＝21-，b ＝1时， A ＋B －C 的值。

14. (1)已知()0122=-++b b a ，求ab －[2ab －3(ab －1)]的值。

(2)若a ＜0，ab ＜0，求51---+-b a a b 的值 15. 已知3=+-y x y x ，求(1) (2)()()yx y x y x y x +-+--+54的值。

16. 有一串单项式：－x ，2x 2，－3x 3，4x 4，…，－19x 19，20x 20. (1) 你能说出它们的规律是什么吗？ (2) 写出第2007个单项式；(3) 写出第n 个，第(n ＋1)个单项式。

17. 阅读下题的解法，完成填空：已知关于x 的多项式P ＝3x 2－6x ＋7，Q ＝ax 2＋bx ＋c ，P ＋Q 是二次三项式吗？请说明理由；若不是，请说明P ＋Q 是一个怎样的代数式，并指出a 、b 、c 应满足的条件。

解：P ＋Q ＝(3x 2－6x ＋7)＋( ax 2＋bx ＋c )＝(3＋a ) x 2＋(b －6)x ＋(7＋c ). (1) 当a _________，b __________时，P ＋Q 是一个二次式； (2) 当a _________，b __________时，P ＋Q 是一个一次式； (3) 当a _________，b __________时，P ＋Q 是常数；(4) 当a _________，b __________，c __________时，P ＋Q 是一个二次三项式。

幂的运算性质◆要点1 同底数幂的乘法：a m ·a n ＝a m ＋n （m ，n 都是正整数） 可扩展为a m ·a n ·a p ＝a m ＋n ＋p★说明：幂的底数相同时，才可运用此法则。

◆要点2 幂的乘方与积的乘方(1) 幂的乘方：(a m )n＝a mn（m ，n 都是正整数），可推广为()[]mnppnm aa=(2) 积的乘方：(ab )n ＝a n b n （n 为正整数），可扩展为(abc )n ＝a n b n c n◆要点3 同底数幂的除法a m ÷a n ＝a m －n （a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m ＞n ）◆要点4 零指数与负整数指数的意义（两个规定）： (1) 零指数： a 0＝1 （a ≠0） (2) 负整数指数：ppa a1=-（a ≠0，p 是正整数） 即任何一个不等于0的数的－p (p 为正整数)次幂等与这个数的p 次幂的倒数。

也可变形为:pp pa a a ⎪⎭⎫⎝⎛==-11 （观察前后幂的底数、指数变化） ★说明：(1)在幂的性质运算中，幂的底数字母a 、b 可以是单项式或多项式，运算法则皆可逆向应用；(2) 零指数幂和负整数指数幂中，底数都不能为0，即a ≠0；(3) 规定了零指数和负整数指数的意义后，正整数指数幂的运算性质，就可以推广到整数指数幂；(4) 在运算当中，要找准底数（即要符合同底数），如果出现底数互为相反数，或其他不同，则应根据有关理论进行变形，变形要注意指数的奇偶性。

在计算过程中，时刻注意符号的变化。

易错易混点(1) 将幂的意义与乘法的意义相混淆； (2) 不能正确理解幂的运算性质，而导致错误； (3) 忽略零指数幂、负整数指数幂的规定中底数不等为零的条件。

典型例题 【例1】填空 (1) ()=-4322zy x _______； (2)a 2b 4c 8＝( )2;(3) b 12＝( )3＝( )4＝( )6; (4) 若x 2n ＝3，则x 10n ＝______； (5) 已知3×9m ×27m ＝321，则m ＝_______；(6) 若()36428=x，则x ＝_______； 【例2】 (1) 8975.0311⨯⎪⎭⎫⎝⎛； (2)2003100120052004214532135⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛【例3】①已知10m ＝3，10n ＝4，求(1) 10m ＋n ＋1; (2) 103m －2n 的值.②已知22x ＋1＝32，求x 。

学习自评1. x a ＋b ＋1＝x a ＋2·________。

若y 3＝－8a 6b 9，则y ＝______。

2. 若2m ＝5，2n ＝7，则2m ＋n ＝_________；23m －2n ＝_________。

3. 若2333632-++=⋅x x x ，则x ＝________。

4. 若153=-k 则k ＝_______；若2713=x ，则x ＝________。

5.()()244432a a a ⋅+＝_________。

6. 下列说法正确的是（ ）A. –a n 和(－a )n 一定互为相反数B. 当n 为奇数时，–a n 和(－a )n 相等C. 当n 为偶数时，–a n 和(－a )n 相等D. –a n 和(－a )n 一定不相等 7. 下列各式中，正确的是（ ）A. 2a 3＋3a 2＝5a 5B. 2a －2＝221a C. ()5565=÷a a D. ()322a a a =÷-8. 下列式子中与()2a -计算结果相同的是（ ）A. ()12-a B. 42-⋅a a C. 42a a÷- D. ()24--⋅a a9. 生物学指出：在生态系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能量能够流动到下一个营养级，在H 1→H 2→H 3→H 4→H 5→H 6这条生物链中(H n 表示第n 个营养级，n ＝1，2，…，6)，要使H 6获得10千焦的能量，需要H 1提供的能量约为（ ）A. 104千焦B. 105千焦C. 106千焦D. 107千焦 10. 若x 是有理数，则下列等式中不一定成立的是（ ）A.()114.30=-π B. ()1302=+xC. ()120040=+x D. ()[]133022=-----11. 已知(2x －3)0＝1，则x 的取值范围是（ ）A. x ＞23 B. x ＜23 C. x ＝23 D. x ≠2312. 若1284·83＝2n ，则n 等于（ ） A. 30 B. 37 C. 38 D. 39 13. ()20052004313⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-的结果为（ ）A. 31-B. 31C. －3D. 3 14. 下列各式中，一定成立的是（ ）A. 22＝(－2)2B. 23＝(－3)2C. (－2)3＝22- D. (－2)3＝()32-15. 若()03221,2,21⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-c b a ，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A. b ＜c ＜aB. b ＜a ＜cC. c ＜b ＜aD. a ＜c ＜b16. 计算题(1) 3a 3·a 4＋2a ·a 2·a 4－4a 5·(－a )2; (2) ()()()42233221242⎪⎭⎫⎝⎛⋅--+-x x x x(3)()()3200820082125.0⨯-; (4) 78772153187⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-17. (5) (x －y )7÷(y －x )6＋(－x －y )3÷(x ＋y )2; (6) ()4523321⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫⎝⎛---π 18. 已知2a ＝3，2b ＝6，2c ＝24，求a 、b 、c 之间的关系。