类型1：探究线段数量关系的存在性
专题09 线段上动点问题压轴题的四种考法(原卷版)-2024年常考压轴题攻略(7年级上册人教版)
专题09线段上动点问题压轴题的的四种考法类型一、线段之间数量关系问题(1)如图①，当点N与点B重合时，求线段PQ的长度(用含(2)如图②，当线段MN运动到点B，M重合时，求线段AN（1）如图2，当B与N重合时，AM=，BC=；a （2）在图2的基础上，将线段AB沿直线MN向左移动(0①若3a=，求AM和BC的长；类型二、定值问题类型三、时间问题【变式训练1】如图，点,A B 在数轴上分别表示有理数,a b ，且,a b 满足2|2|(5)0a b ++-=．（1）点A 表示的数是___________，点B 表示的数是____________．（2）若动点P 从点A 出发以每秒3个单位长度向右运动，动点Q 从点B 出发以每秒1个单位长度向点A 运动，到达A 点即停止运动,P Q 两点同时出发，且Q 点停止运动时，P 也随之停止运动，求经过多少秒时，,P Q 第一次相距3个单位长度？（3）在（2）的条件下整个运动过程中，设运动时间为t 秒，若AP 的中点为,M BQ 的中点为N ，当t 为何值时，3BM AN PB +=？【变式训练2】如图，点A 、点B 是数轴上原点O 两侧的两点，其中点A 在原点O 的左侧，且满足6AB =，2OB OA =.（1）点A 、B 在数轴上对应的数分别为______和______.（2）点A 、B 同时分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左运动.①经过几秒后，3OA OB =；②点A 、B 在运动的同时，点P 以每秒1个单位长度的速度从原点向右运动，经过几秒后，点A 、B 、P 中的某一点成为其余两点所连线段的中点？类型四、求值(1)若AB ＝11cm ，当点C 、D 运动了课后训练(1)填空：线段的中点这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）-和40，点C是线段(2)（问题解决）如图二，点A和B在数轴上表示的数分别是20点，求点C在数轴上表示的数．(3)（应用拓展）在（2）的条件下，动点P从点A处，以每秒2个单位的速度沿AB速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿BA向点A匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当A、P、Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端。
扬州市初中数学名师工作室交流课件：探索二次函数综合题解题技巧-(共28张PPT)【可编辑全文】
求抛物线和直线BC的解析式； （2）设点P为抛物线的对称轴x=-1上
的一个动点，求使△BPC为直角三角 形的点P的坐标.
解:设P（-1，t）,结合B(-3,0),C（0，3），
得BC2=OB2+OC2＝18,
PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,
探究平行四边形：①以已知边为平行四
边形的某条边，画出所有的符合条件的 图形后，利用平行四边形的对边相等进 行计算；②以已知边为平行四边形的对 角线，画出所有的符合条件的图形后， 利用平行四边形对角线互相平分的性质 进行计算；③若平行四边形的各顶点位 置不确定，需分情况讨论，常以已知的 一边作为一边或对角线分情况讨论.
（1）求抛物线的解析式并写出 其顶点坐标；
（2）若动点P在第二象限内的抛 物线上，动点N在对称轴I上．
①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此 时点P的坐标；
②当四边形PABC的面积最大时， 求四边形PABC面积的最大值及此 时点P的坐标．
方法指导：
1.三角形面积最值.分规则与不规则。有 底或者高落在坐标轴上或者与坐标轴平 行属于规则，直接用面积公式求解。没 有底或者高落在坐标轴或平行于坐标轴 属于不规则，用割补法。
类型四 特殊四边形的探究问题
例 如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点 （点A在点B的左侧），直线与抛物线交于A、
C两点，其中C点的横坐标为2.
（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达
式；
（2）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存
在点F，使A、C、F、G为顶点的四边形是平
简单概括就是规则与不规则线段的 表示：规则：横平竖直。横平就是 右减左，竖直就是上减下，不能确 定点的左右上下位置就加绝对值。 不规则：两点间距离公式
中考数学压轴题专题07几何图形动点运动问题(学生版+解析版)
专题七几何图形动点运动问题【考题研究】几何动点运动问题，是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等把图形的有关性质和图形之间的数量关系位置关系看作是在变化的、相互依存的状态之中，要求对运动变化过程伴随的数量关系的图形的位置关系等进行探究．对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用．动态问题，以运动中的几何图形为载体所构建成的综合题，它能把几何、三角、函数、方程等知识集于一身，题型新颖、灵活性强、有区分度，受到了人们的高度关注，同时也得到了命题者的青睐，动态几何问题，常常出现在各地的中考数学试卷中．【解题攻略】几何动点运动问题通常包括动点问题、动线问题、面动问题，在考查图形变换(含三角形的全等与相似)的同时常用到的不同几何图形的性质，以三角形四边形为主，主要运用方程、函数、数形结合、分类讨论等数学思想．【解题类型及其思路】动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题,利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。
解题类型：几何动点运动问题常见有两种常见类型：(1)利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质直接转化为函数或方程；(2)根据运动图形的位置分类，把动态问题分割成几个静态问题，再将几何问题转化为函数和方程问题【典例指引】类型一【探究动点运动过程中线段之间的数量关系】【典例指引1】在△ABC中，∠ACB＝45°，点D为射线BC上一动点（与点B、C不重合），连接AD，以AD为一边在AD右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，如图1，且点D在线段BC上运动，判断∠BAD∠CAF（填“＝”或“≠”），并证明：CF⊥BD（2）如果AB≠AC，且点D在线段BC的延长线上运动，请在图2中画出相应的示意图，此时（1）中的结论是否成立？请说明理由；（3）设正方形ADEF的边DE所在直线与直线CF相交于点P，若AC＝42，CD＝2，求线段CP的长．【举一反三】如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P（1）观察猜想：①线段AE与BD的数量关系为_________；②∠APC的度数为_______________（2）数学思考：如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明（3）拓展应用：如图3，分别以AC、BC为边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，其中∠ACD=∠BCE=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE=BD交于点P，则线段AE与BD的关系为________________类型二【确定动点运动过程中的运动时间】【典例指引2】已知：如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的项点B的坐标是(6,4).（1）直接写出A点坐标（______，______），C点坐标（______，______）；P m，且四边形OADP的面积是（2）如图，D为OC中点.连接BD，AD，如果在第二象限内有一点(),1∆面积的2倍，求满足条件的点P的坐标；ABC（3）如图，动点M从点C出发，以每钞1个单位的速度沿线段CB运动，同时动点N从点A出发.以每秒2t>，在M，个单位的連度沿线段AO运动，当N到达O点时，M，N同时停止运动，运动时间是t秒()0N运动过程中.当5MN=时，直接写出时间t的值.【举一反三】如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB ⊥AC ，AB ＝3，BC ＝5，点P 从点A 出发，沿AD 以每秒1个单位的速度向终点D 运动．连结PO 并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒． （1）求BQ 的长，（用含t 的代数式表示）（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值（3）当点O 在线段AP 的垂直平分线上时，直接写出t 的值．类型三 【探究动点运动过程中图形的形状或图形之间的关系】【典例指引3】已知矩形ABCD 中，10cm AB =，20cm BC =，现有两只蚂蚁P 和Q 同时分别从A 、B 出发，沿AB BC CD DA =--方向前进，蚂蚁P 每秒走1cm ，蚂蚁Q 每秒走2cm ．问：（1）蚂蚁出发后△PBQ 第一次是等腰三角形需要爬行几秒?（2）P 、Q 两只蚂蚁最快爬行几秒后，直线PQ 与边AB 平行?如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（AO<AB）且AO、AB的长分别是一元二次方程x2-3x+2=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1:2.（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．类型四【探究动点运动过程中图形的最值问题】【典例指引4】如图，抛物线y＝ax2﹣34x+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴相交于点C，连接AC，BC，以线段BC为直径作⊙M，过点C作直线CE∥AB，与抛物线和⊙M分别交于点D，E，点P 在BC下方的抛物线上运动．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PDE是以DE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）当四边形ACPB的面积最大时，求点P的坐标并求出最大值．已知：如图.在△ABC中.AB=AC=5cm，BC=6cm.点P由B出发，沿BC方向匀速运动.速度为1cm/s.同时，点Q从点A出发，沿AC方向匀速运动.速度为1cm/s，过点P作PM⊥BC交AB于点M，过点Q作QN⊥BC，垂足为点N，连接MQ，若设运动时间为t(s)(0<t<3)，解答下列问题：（1）当t为何值时，点M是边AB中点?（2）设四边形PNQM的面积为y(cm2)，求出y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PNQM:S△ABC=4:9?若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使四边形PNQM为正方形?若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.【新题训练】1．如图①，△ABC是等边三角形，点P是BC上一动点（点P与点B、C不重合），过点P作PM∥AC交AB于M，PN∥AB交AC于N，连接BN、CM．（1）求证：PM+PN＝BC；（2）在点P的位置变化过程中，BN＝CM是否成立？试证明你的结论；（3）如图②，作ND∥BC交AB于D，则图②成轴对称图形，类似地，请你在图③中添加一条或几条线段，使图③成轴对称图形（画出一种情形即可）．2．如图，在矩形ABCD中，AB=18，AD=12，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点G，点E，F分别是CD与DG上的点，连结EF，(1)求证：CG=2AG.(2)若DE=6，当以E，F，D为顶点的三角形与△CDG相似时，求EF的长.(3)若点E从点D出发，以每秒2个单位的速度向点C运动，点F从点G出发，以每秒1个单位的速度向点D运动.当一个点到达，另一个随即停止运动.在整个运动过程中，求四边形CEFG的面积的最小值.3．知识链接：将两个含30°角的全等三角尺放在一起，让两个30°角合在一起成60°，经过拼凑、观察、思考，探究出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．如图，等边三角形ABC的边长为4cm，点D从点C出发沿CA向A运动，点E从B出发沿AB的延长线BF 向右运动，已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC相交于点P，设运动时间为x秒．(1)请直接写出AD长．（用x的代数式表示）(2)当△ADE为直角三角形时，运动时间为几秒？(3)求证：在运动过程中，点P始终为线段DE的中点．4．如图所示，已知抛物线2(0)y ax a =≠与一次函数y kx b =+的图象相交于(1,1)A --，(2,4)-B 两点，点P 是抛物线上不与A ，B 重合的一个动点.（1）请求出a ，k ，b 的值；（2）当点P 在直线AB 上方时，过点P 作y 轴的平行线交直线AB 于点C ，设点P 的横坐标为m ，PC 的长度为L ，求出L 关于m 的解析式；（3）在（2）的基础上，设PAB ∆面积为S ，求出S 关于m 的解析式，并求出当m 取何值时，S 取最大值，最大值是多少？5．已知：如图，在矩形ABCD 中，AC 是对角线，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ．点P 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm /s ，同时，点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动，速度为2cm /s ，过点Q 作QM ∥AB 交AC 于点M ，连接PM ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜4）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，∠CPM ＝90°；（2）是否存在某一时刻t ，使S 四边形MQCP ＝ABCD 1532S 矩形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； （3）当t 为何值时，点P 在∠CAD 的角平分线上．6．在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF＝120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究：问题初探：（1）如图1，小明发现：当∠DEB＝90°时，BE+CF＝nAB，则n的值为；问题再探：（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论：①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明．成果运用:（3）若边长AB＝8，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝DE+EA+AF+FD，则周长L取最大值和最小值时E点的位置?7．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形；(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积．8．如图，O为菱形ABCD对角线的交点，M是射线CA上的一个动点（点M与点C、O、A都不重合），过点A、C分别向直线BM作垂线段，垂足分别为E、F，连接OE，OF．（1）①依据题意补全图形；②猜想OE与OF的数量关系为_________________.（2）小东通过观察、实验发现点M在射线CA上运动时，（1）中的猜想始终成立．小东把这个发现与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明（1）中猜想的几种想法：想法1：由已知条件和菱形对角线互相平分，可以构造与△OAE全等的三角形，从而得到相等的线段，再依据直角三角形斜边中线的性质，即可证明猜想；想法2：由已知条件和菱形对角线互相垂直，能找到两组共斜边的直角三角形，例如其中的一组△OAB和△EAB，再依据直角三角形斜边中线的性质，菱形四边相等，可以构造一对以OE和OF为对应边的全等三角形，即可证明猜想．……请你参考上面的想法，帮助小东证明（1）中的猜想（一种方法即可）．（3）当∠ADC=120°时，请直接写出线段CF，AE，EF之间的数量关系是_________________．9．（1）（问题情境）小明遇到这样一个问题：如图①，已知ABC ∆是等边三角形，点D 为BC 边上中点，60ADE ∠=︒，DE 交等边三角形外角平分线CE 所在的直线于点E ，试探究AD 与DE 的数量关系．小明发现：过D 作//DF AC ，交AB 于F ，构造全等三角形，经推理论证问题得到解决．请直接写出AD 与DE 的数量关系，并说明理由． （2）（类比探究）如图②，当D 是线段BC 上（除,B C 外）任意一点时（其他条件不变）试猜想AD 与DE 的数量关系并证明你的结论． （3）（拓展应用）当D 是线段BC 上延长线上，且满足CD BC =（其他条件不变）时，请判断ADE ∆的形状，并说明理由．10．如图，直线y =﹣23x +4与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线y =ax 2+103x +c 经过B 、C 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，当△BEC 面积最大时，请求出点E 的坐标； （3）在（2）的结论下，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，连接AM ，点Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得以P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．11．如图，边长为4的正方形ABCD 中，点P 是边CD 上一动点，作直线BP ，过A 、C 、D 三点分别作直线BP 的垂线段，垂足分别是E 、F 、G ．（1）如图（a ）所示，当CP ＝3时，求线段EG 的长；（2）如图（b ）所示，当∠PBC ＝30°时，四边形ABCF 的面积；（3）如图（c ）所示，点P 在CD 上运动的过程中，四边形AECG 的面积S 是否存在最大值？如果存在，请求出∠PBC 为多少度时，S 有最大值，最大值是多少？如果不存在，请说明理由．12．已知：如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，90ACB ∠=︒，10cm AB =，8cm BC =，OD 垂直平分A C .点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点P 作PE AB ⊥，交BC 于点E ，过点O 作//QF AC ，分别交AD ，OD 于点F ，G .连接OP ，EG .设运动时间为()t s ()05t <<，解答下列问题：(1)当t 为何值时，点E 在BAC ∠的平分线上？ (2)设四边形PEGO 的面积为()2mS c ，求S 与t 的函数关系式.(3)连接OE ，OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使OE OQ ⊥？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.13．已知：如图1，矩形OABC 的两个顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，点B 的坐标是（8，2），点P 是边BC 上的一个动点，连接AP ，以AP 为一边朝点B 方向作正方形P ADE ，连接OP 并延长与DE 交于点M ，设CP ＝a （a ＞0）．（1）请用含a 的代数式表示点P ，E 的坐标．（2）连接OE ，并把OE 绕点E 逆时针方向旋转90°得EF ．如图2，若点F 恰好落在x 轴的正半轴上，求a 与EMDM的值． （3）①如图1，当点M 为DE 的中点时，求a 的值．②在①的前提下，并且当a ＞4时，OP 的延长线上存在点Q ，使得EQ +22PQ 有最小值，请直接写出EQ +22PQ 的最小值．14．如图，边长为6的正方形ABCD 中，,E F 分别是,AD AB 上的点，AP BE ⊥，P 为垂足． （1）如图①， AF =BF ，AE =23，点T 是射线PF 上的一个动点，则当△ABT 为直角三角形时，求AT 的长；（2）如图②，若AE AF =，连接CP ，求证：CP FP ⊥．15．边长相等的两个正方形ABCO 、ADEF 如图摆放，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，ED 交线段OC 于点G ，ED 的延长线交线段BC 于点P ，连AG ，已知OA 长为3. （1）求证：AOG ADG ∆≅∆;（2）若12∠=∠，AG =2，求点G 的坐标；（3）在（2）条件下，在直线PE 上找点M ，使以M 、A 、G 为顶点的三角形是等腰三角形，求出点M 的坐标.16．定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“梦想四边形”。
专题复习证明线段间的数量关系教学设计
人教版?义务教育课程标准教科书·数学?专题复习证明线段间的数量关系教学设计工作单位：天津市西青区杨柳青第三中学姓名：杨燕2015年11月19日专题复习证明线段间的数量关系一、内容和内容解析〔一〕内容证明线段间的数量关系〔二〕内容解析证明线段相等是几何学习中的一个重要局部，解决线段相等的问题，需要综合应用三角形全等、等腰三角形的有关性质、线段中垂线性质及角平分线性质等知识.学生所遇到的几何问题多为证明线段的相等、线段的和差倍分问题，然而，对于初步涉入几何证明的学生而言，如何证明两条线段相等、线段的和差倍分问题，是有一定难度的，特别对方法的选择，往往让学生无法着手.为此，围绕“证明线段间的数量关系〞这一专题，设计本节复习课，通过课题引入、实例分析、一题多变〔多解〕、归纳总结等教学过程，让学生对“证明线段间的数量关系〞的方法确立一个较为系统的认知，并加以实际运用.通过本节课的学习，一方面可以让学生系统地掌握证明线段相等及证明和差倍分的方法；另一方面，帮助学生加深相关的几何知识、定理的认识，并结合问题渗透转化的思想方法，以提高学生分析问题、解决问题的能力.基于以上分析，本节课的教学重点是：运用相关知识证明线段间的数量关系及渗透转化的思想方法.二、目标和目标解析〔一〕目标1. 能够判断并会证明线段间的数量关系.2. 通过对线段间和差倍分关系的探究，经历解决问题的过程,体会转化的数学思想.3. 通过标准解题格式，进一步训练推理能力，提高解题技能；通过一题多解开拓解题思路，优化解题方法；通过一题多变强化思维训练，提升数学解题能力.〔二〕目标解析目标1要求学生能用证明线段相等的几种常用方法证明两条线段相等，熟练运用三角形全等的有关性质、等腰三角形性质等知识解决线段间和差倍分问题.目标2要求学生经历师生互动的学习过程，体会演绎证明的严谨性，进一步提升分析、解决几何问题的能力；尝试探究，将归纳出的“证明线段相等〞的方法融合到解决问题中去，感悟转化的思想.目标3要求学生在分析、解决线段间数量关系问题时，能准确表述推理过程；在解决证明线段相等问题时，能从多角度考虑，并能比拟选出最优解法；在解决变式问题时，能找出变化中的不变量，运用已有的经验解决问题.三、教学问题诊断分析本节课的教学对象为中学八年级的学生.在此之前，学生已掌握了三角形全等、等腰三角形的性质，以及线段垂直平分线和角平分线等相关知识，初步具备了“证明线段间的数量关系〞的根底.虽然学生已经学习过证明两条线段相等的方法，但是综合运用以前所学知识来证明线段相等，严密、标准地写出解题过程及准确地选出最优解法，对于局部学生还存在一定困难；证明线段的和差倍分问题，大都是采取间接的方法进行，即把线段的和差倍分问题转化为证明两条线段相等的问题.“转化〞是证明线段的和差倍分问题的指导思想，由于学生对此类问题接触较少，因此如何进行思考，他们还需要一定的引导，以便对证明线段的和差倍分问题的一般方法形成一个较为系统的认识，为后续的学习奠定良好的根底.综上所述，本节课的难点是：证明过程中书写的严密性、标准性和方法的优化及如何将证明线段的和差倍分问题转化为证明两条线段相等的问题.四、教学过程〔一〕课前准备1.证明线段相等的常用方法师生活动：学生课前在导学案完成，课上教师展示学生完成结果，订正.【设计意图】让学生建构“证明线段相等〞的知识体系，为本节课的学习进行铺垫. 2.课前展标师生活动：学生思考记忆，教师展示本节课要到达的目标. 【设计意图】让学生明确本节课的要求.〔二〕典型例题例1 如图，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，AB =AC ，AD =AE . 求证 BD =CE .师生活动：学生思考、在导学案完成，教师巡视、指导、讲评.【设计意图】此题是八上教材82页第6题，学生相比照拟熟悉，既符合学生最近开展区，又能够充分调动学生学习与探究的积极性.通过这道题，一方面进一步稳固证明线段相等的两种方法，熟悉等腰三角形的根本图形；另一方面训练推理求解过程中书写的严密性、标准性及方法的优化. 题后及时进行归纳总结，养成良好的学习习惯.通过一题多解，培养学生发散思维能力.ABC DE.例2 如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 和BE 分别是BC 边和AC 边上的高， 交于点H ，且AE =BE .求证 AH =2BD .师生活动：学生思考，教师引导、分析、板书.【设计意图】此题是八上教材91页第3题改编加深的题目，通过例1学生对等腰三角形的根本图形应比拟熟悉了，但对于如何证明倍分问题会感到困难，通过教师及时引导、分析，板书，标准解题格式；通过反思，培养良好的学习习惯.例3 如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点D ，过点D 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F .探究线段EF ,BE 和CF 之间的数量关系.师生活动：学生思考，猜测，得出结论，教师引导，分析.【设计意图】此题是八上教材83页第10题改编的题目，通过例2的问题解决，学生对转化思想已有所体会，但对于如何证明三条线段间的数量关系问题仍会感到困难，通过教师及时引导、分析，让学生学会解决此类问题的思考方法，再次感悟转化思想. 解决该问题的过程设计为：学生先进行猜测，再运用相关知识进行论证，使学生经历了一个观察、猜测、探究、推理、认识根本图形的全过程，由开展学生合情推理能力到开展学生的演绎推理能力.变式 如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线和∠ACB 的外角平分线 交于点D ,过点D 作EF ∥BC 交AB 于点E ，交AC 于点F , 问：线段EF ,BE 和CF 之间的上述关系还成立吗？如不成立，请说出它们的关系并证明.师生活动：学生思考，猜测，小组交流，完成.课上教师展示学生完成结果，订正.【设计意图】学生通过例3的探究，对于解决线段和差问题已经积累了一定的经验，此时类比例3的探究过程，通过小组内生生互动，最终自己在学案中完成，培养学生自主探究学习的优秀品质和严谨的逻辑思维能力.积累利用已有的知识、经验解决未知问题的经验，培养学生良好的学习习惯.〔三〕归纳总结1.证明线段相等的常用方法有哪些？2.线段间有哪些数量关系？解决问题时常用到哪种数学思想方法？EAB C DHC ABF DECA BFDE3.本节课涉及到哪些根本图形？师生活动：学生思考，答复下列问题；教师展示结果，评价.【设计意图】引导学生及时总结归纳出解题思路、方法等等，体会转化思想在学习线段和差倍分问题中的作用，进一步积累解题经验．同时，让学生学会反思，养成良好的学习习惯.〔四〕分层作业 必做题1. 如图，在△ABC 中，∠ACB 的平分线 CE 交AB 于点E ，过点E 作BC 的 平行线交AC 于点D ,交∠ACB 的外角∠ACG 的平分线 于点F . 求证 DE =DF2.如图，在等边△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，DE ∥AB ， 过点E 作EF ⊥DE ，交BC 的延长线于点F . 求证 〔1〕DE=DC=EC ；〔2〕DF=2DE .3. 如图，点D 是AC 上一点，△DEC 是等腰三角形，DE =DC ， 且∠BAC =∠ABC . 求证：BC =AD +DE .【设计意图】分层作业，使“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的开展〞． “必做题〞是帮助学生稳固根底知识和根本技能；“选做题〞是为学有余力的学生设置的，主要是培养学生综合运用能力.GA BC DEFFABCD ED ABE〔五〕达标检测1.如图，在△ABC中，AB=AC, ∠A=120°，AE=CE，FE⊥AC于点E，交BC于点F.求证BF=2CF证明：∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∠BAC=120°，∴∠B+∠C=60°.∵AB=AC，∴∠=∠= °.∵FE⊥AC，AE=CE，∴= .∴∠=∠= °.∴∠BAF=∠BAC－∠= °.∵在Rt△ABF中，∠B=30°，∴BF= .∵= ，∴BF=2CF.2.如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB的外角，过交点D作BC的平行线交AB的延长线于点E,交AC的延长线于点F.线段EF、BE和CF之间又会有怎样的数量关系呢?请说出它们的关系并证明.师生活动：学生课上在导学案完成，课上教师订正，小组成员互评.【设计意图】及时反应矫正.五、板书设计AB CE D FFAE【设计意图】将黑板分成左右两局部，它们对课堂所起的作用分别是：左边让学生明确知识要点和相应的数学思想、方法，突出本节课的重点；右边是解题板书，给学生示范. 该板书设计突出本节课的核心内容，能够有效利用黑板，起到辅助教学、提高课堂教学效益的作用.六、教学设计说明〔一〕本节课表达我校的“导学式〞高效教学模式，教学过程主要包含以下几个环节：1.提出目标；2.典型例题；3.归纳总结；4.分层作业；5.达标检测. 在典型例题环节，精心选择了具有典型性、代表性、“难易适度〞〔太简单，不利于培养学生的解题能力，太难，不利于调动学生学习的积极性〕的3道例题，使学生归纳总结环节，让学生通过独立思考、合作交流，及时总结归纳出本节课的解题思路、方法和体会〔包括解题经验与教训〕等等，在积极参与归纳总结的教学活动过程中，感悟转化的数学思想，积累数学学习活动经验.〔二〕在本节课上，充分发挥学生的主体地位，给学生充分的自我展示的时机，让学生上讲台展示自己的做法，整堂课表达了课标中的“教师为主导，学生为主体〞的思想.在课堂上，借助小组讨论的形式，开展互动式学习，充分调动学生的积极性、主动性，让学生在思维碰撞中产生“火花〞，在自我展示和讲解中开展能力，在交流合作中实现共同进步.〔三〕在教学中，将交互式电子白板融入课堂教学，利用电子白板的功能完成批注，利用实物投影，展示学生的证明过程，形象、直观的呈现素材，及时反应学生的课堂达成情况，激发学生的学习兴趣，运用几何画板的动态功能，进行几何图形的连续变式，让学生直观感受图形间的变化与联系，从而突破难点，提高课堂效率.。
线段的认识教研活动记载(3篇)
第1篇一、活动背景线段是几何学中最基本的概念之一，是小学生初步接触到的几何图形。
为了更好地帮助学生理解和掌握线段的相关知识，提高教师的课堂教学水平，我校数学教研组于2023年3月15日开展了以“线段的认识”为主题的教研活动。
本次活动旨在通过集体备课、课堂教学观摩、课后研讨等方式，提升教师对线段教学的理解和把握，促进学生数学思维的发展。
二、活动目标1. 提高教师对线段概念的理解，明确线段教学的意义和目标。
2. 探讨有效的教学策略，激发学生学习线段的兴趣。
3. 通过课堂教学观摩，提升教师的教学设计和实施能力。
4. 促进教师之间的交流与合作，共同提高教学质量。
三、活动内容1. 集体备课活动开始，全体数学教师共同参与了集体备课环节。
首先，由教研组长介绍了线段教学的整体思路和目标。
接着，老师们围绕以下几个方面展开了讨论：（1）线段的概念及性质（2）线段的教学难点（3）如何激发学生学习线段的兴趣（4）有效的教学策略在讨论过程中，老师们各抒己见，共同总结出以下教学建议：（1）通过生活中的实例引入线段的概念，让学生在熟悉的环境中感受数学。
（2）注重引导学生观察、比较、操作，培养学生的空间观念。
（3）运用多种教学手段，如多媒体、实物操作等，激发学生学习兴趣。
（4）注重培养学生的合作意识，让学生在小组活动中共同探索线段的特点。
2. 课堂教学观摩集体备课结束后，由一位青年教师展示了关于“线段的认识”的公开课。
课堂上，教师通过以下环节展开教学：（1）导入：通过生活中的实例引入线段的概念，如测量物体长度、比划距离等。
（2）探究：引导学生观察、比较、操作，发现线段的特点。
（3）应用：让学生运用所学知识解决实际问题。
（4）总结：回顾本节课所学内容，强化学生对线段的认识。
3. 课后研讨课后，全体数学教师进行了热烈的研讨。
首先，授课教师分享了教学心得，反思了教学过程中的优点和不足。
接着，其他教师针对以下几个方面进行了点评：（1）教学目标的达成情况（2）教学环节的设计与实施（3）教学方法的有效性（4）学生的参与度在研讨过程中，老师们发现以下问题：（1）部分学生对线段的概念理解不够深入。
二次函数与角度综合问题(学生版)
二次函数与几何综合专题--角问题【模型解读】二次函数与角综合问题，常见的主要有三种类型： 1. 特殊角问题：（1） 利用特殊角的三角函数值找到线段之间的数量关系（2） 遇到特殊角可以构造特殊三角形，如遇到45°构造等腰直角三角形，遇到30°、60°构造等边三角形，遇到90°构造直角三角形2.角的数量关系问题（1）等角问题：借助特殊图形的性质、全等和相似的性质来解决；构造圆，利用圆周角的性质来解决 （2）二倍角问题：利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称、辅助圆等知识来解答 （3）角的和差问题3.角的最值问题：利用辅助圆等知识来解答【引例】如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，3OA OC ==，顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ． （1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D 的坐标．（2）在抛物线上是否存在点P ，使PAO OCE ∠=∠，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（3）该抛物线上是否存在点P，使得PCA CAD∠=∠？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．∠的平分线与y轴的交点M的坐标．（4）直线AC与抛物线的对称轴交于点F，请求出CDF∠=∠，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理（5）在抛物线上是否存在点P，使得POC PCO由．（6）过点B 的直线交直线AC 于点M ，当直线AC 与BM 的夹角等于ACB ∠的2倍时，求点M 的坐标．（7）在y 轴上是否存在点N ，使得BCO BNO BAC ∠+∠=∠，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．（8）在对称轴左侧的抛物线上有一点M ，在对称轴右侧的抛物线上有一点N ，满足90MDN ∠=︒．求证：MN 恒过定点，并求出定点坐标．【模型实例】1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2y a x h k =-+与x 轴相交于O ，A 两点，顶点P 的坐标为()2,1-．点B 为抛物线上一动点，连接,AP AB ，过点B 的直线与抛物线交于另一点C ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点B 的横坐标与纵坐标相等，ABC OAP ∠=∠，且点C 位于x 轴上方，求点C 的坐标；（3）若点B 的横坐标为t ，90ABC ∠=︒，请用含t 的代数式表示点C 的横坐标，并求出当0t <时，点C 的横坐标的取值范围．2.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．（1）求a的值；（2）将A，B的纵坐标分别记为y A，y B，设s＝y A﹣y B，若s的最大值为4，则m的值是多少？（3）Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（，0），B（3，）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图1，在平面直角坐标系中．抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图2，点M为直线AC上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交AC于点N，过点M作x轴的平行线，交直线AC于点Q，求△MNQ周长的最大值；（3）点P为抛物线上的一动点，且∠ACP＝45°﹣∠BAC，请直接写出满足条件的点P的坐标．5.抛物线y＝x2﹣4x+c与直线I：y＝kx交于点G（1，m）和点H，﹣1≤m＜0，直线x＝m﹣1交直线l于点A，交抛物线于点B．（1）求c和k的值（用含m的代数式表示）；（2）过点A作x轴的平行线交抛物线于M，N两点（M在N的左侧），交y轴于点C．求的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点B作x轴的平行线，与抛物线另一个交点为D，若点E是线段BD的中点，探究∠MEN与∠ABC的数量关系，并说明理由．6.抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴的正半轴交于C点，△ABC的面积为6．（1）直接写出点A、B的坐标为；抛物线的解析式为．（2）如图1，连结AC，若在第一象限抛物线上存在点D，使点D到直线AC的距离为，求点D的坐标；（3）如图2，平行于AC的直线交抛物线于M、N两点，在抛物线上存在点P，当PQ⊥y轴时，PQ恰好平分∠MPN，求P点坐标．7.如图，抛物线y＝mx2+3mx﹣2m+1的图象经过点C，交x轴于点A（x1，0），B（x2，0）（点A在点B左侧），且x2﹣x1＝5，连接BC，D是AC上方的抛物线一点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，CD，S△DCE：S△BCE是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）第二象限内抛物线上是否存在一点D，DF垂直AC于点F，使得△DCF中有一个锐角等于∠BAC的两倍？若存在，求点D的横坐标，若不存在，请说明理由．1.如图1，抛物线y＝ax2+bx+3经过A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图2，M是x轴下方的抛物线上一点，连接MO、MB、MC，若△MOC的面积是△MBC面积的3倍，求点M的坐标；（3）如图3，连接AC、BC，在抛物线上是否存在一点N（不与点A重合），使得∠BCN＝∠ACB？若存在，求点N的横坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，抛物线与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，对称轴PD交AB与点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，试探究：线段BC上是否存在点M，使∠EMO＝∠ABC，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图3，点Q是抛物线的对称轴PD上一点，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．3.如图1，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于A、D两点，其中D点的横坐标为2．（1）求抛物线的解析式以及直线AD的解析式；（2）点P是抛物线上位于直线AD下方的动点，过点P作x轴，y轴的平行线，交AD于点E、F，当PE+PF取最大值时，求点P的坐标；（3）如图2，连接AC，点Q在抛物线上，且满足∠QAB＝2∠ACO，求点的坐标．。
中考数学专题《全等三角形中的六种模型梳理》解析
专题02 全等三角形中的六种模型梳理几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。
类型一、倍长中线模型中线倍长法：将中点处的线段延长一倍。
目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。
将分散的条件集中到一个三角形中去。
例1．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE△AB交AC延长线于点E，求证：△ABC△△EDC．【理解与应用】如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且△CAE＝△B，点E是CD的中点，若AD平分△BAE．（1）求证：AC＝BD；（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围．【变式训练1】如图1，在ABC 中，CM 是AB 边的中线，BCN BCM ∠=∠交AB 延长线于点N ，2CM CN =．（1）求证AC BN =；（2）如图2，NP 平分ANC ∠交CM 于点P ，交BC 于点O ，若120AMC ∠=︒，CP kAC =，求CPCM的值．【变式训练2】（1）如图1，已知ABC 中，AD 是中线，求证：2AB AC AD +>； （2）如图2，在ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，求证：AB AC AD AE +>+； （3）如图3，在ABC 中，D ，E 在边BC 上，且BD CE =．求证：AB AC AD AE +>+．【变式训练3】在ABC 中，点P 为BC 边中点，直线a 绕顶点A 旋转，BM ⊥直线a 于点M ．CN ⊥直线a 于点N ，连接PM ，PN ．（1）如图1，若点B ，P 在直线a 的异侧，延长MP 交CN 于点E ．求证：PM PE =．（2）若直线a 绕点A 旋转到图2的位置时，点B ，P 在直线a 的同侧，其它条件不变，此时7BMP CNP S S +=△△，1BM =，3CN =，求MN 的长度．（3）若过P 点作PG ⊥直线a 于点G ．试探究线段PG 、BM 和CN 的关系．类型二、截长补短模型截长补短法使用范围：线段和差的证明（往往需证2次全等）例．在等边三角形ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，P 为△ABC 外一点，且△MPN ＝60°，△BPC ＝120°，BP ＝CP ．探究：当点M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM ，NC ，MN 之间的数量关系．(1)如图①，当点M 、N 在边AB 、AC 上，且PM ＝PN 时，试说明MN ＝BM +CN ． (2)如图②，当点M 、N 在边AB 、AC 上，且PM ≠PN 时，MN ＝BM +CN 还成立吗？ 答： ．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．(3)如图③，当点M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，请直接写出BM ，NC ，MN 之间的数量关系．【变式训练1】如图，在四边形ABCD 中，,180AB AD B ADC =∠+∠=︒，点E 、F 分别在直线BC 、CD 上，且12EAF BAD ∠=∠．(1)当点E 、F 分别在边BC 、CD 上时（如图1），请说明EF BE FD =+的理由．(2)当点E 、F 分别在边BC 、CD 延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF 、BE 、FD 之间的数量关系，并说明理由．【变式训练2】（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分ABC ∠，180A C ∠+∠=︒．求证：DA DC =．思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．方法1：在BC 上截取BM BA =，连接DM ，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种．．．．，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC ，当60DAC ∠=︒时，探究线段AB ，BC ，BD 之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD 中，180A C ∠+∠=︒，DA DC =，过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，请直接写出线段AB 、CE 、BC 之间的数量关系．【变式训练3】在ABC 中，BE ，CD 为ABC 的角平分线，BE ，CD 交于点F ． （1）求证：1902BFC A ∠=︒+∠；（2）已知60A ∠=︒．①如图1，若4BD =， 6.5BC =，求CE 的长； ②如图2，若BF AC =，求AEB ∠的大小．类型三、做平行线证明全等 例1．如图所示：ABC 是等边三角形，D 、E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD CE =，连接DE 交BC 于点M ． 求让：MD ME =【变式训练1】 P 为等边△ABC 的边AB 上一点，Q 为BC 延长线上一点，且P A ＝CQ ，连PQ 交AC 边于D ． （1）证明：PD ＝DQ ．（2）如图2，过P 作PE △AC 于E ，若AB ＝6，求DE 的长．【变式训练2】已知在等腰△ABC 中，AB =AC ，在射线CA 上截取线段CE ，在射线AB 上截取线段BD ，连接DE ，DE 所在直线交直线BC 与点M ．请探究：(1)如图（1），当点E 在线段AC 上，点D 在AB 延长线上时，若BD =CE ，请判断线段MD 和线段ME 的数量关系，并证明你的结论．(2)如图（2），当点E 在CA 的延长线上，点D 在AB 的延长线上时，若BD =CE ，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；类型四、旋转模型 例．如图1，AC BC =，CD CE =，ACB DCE α∠=∠=，AD 、BE 相交于点M ，连接CM ．（1）求证：BE AD =，并用含α的式子表示AMB ∠的度数；（2）当90α=︒时，取AD ，BE 的中点分别为点P 、Q ，连接CP ，CQ ，PQ ，如图2，判断CPQ 的形状，并加以证明．【变式训练1】四边形ABCD 是由等边ABC ∆和顶角为120︒的等腰ABD ∆排成，将一个60︒角顶点放在D 处，将60︒角绕D 点旋转，该60︒交两边分别交直线BC 、AC 于M 、N ，交直线AB 于E 、F 两点．（1）当E 、F 都在线段AB 上时（如图1），请证明：BM AN MN +=；（2）当点E 在边BA 的延长线上时（如图2），请你写出线段MB ，AN 和MN 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（1）的条件下，若7AC =， 2.1AE =，请直接写出MB 的长为 ．【变式训练2】（1）问题发现：如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，当△DCE 旋转至点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ．则：①△AEB 的度数为 °；②线段AD 、BE 之间的数量关系是 ． （2）拓展研究：如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，且△ACB ＝△DCE ＝90°，点 A 、D 、E 在同一直线上，若AD ＝a ，AE ＝b ，AB ＝c ，求a 、b 、c 之间的数量关系． （3）探究发现：图1中的△ACB 和△DCE ，在△DCE 旋转过程中，当点A ，D ，E 不在同一直线上时，设直线AD 与BE 相交于点O ，试在备用图中探索△AOE 的度数，直接写出结果，不必说明理由．【变式训练3】如图1，在Rt ABC 中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是______，位置关系是______． （2）探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出PMN 面积的最大值．类型五、手拉手模型例．在等边ABC 中，点D 在AB 上，点E 在BC 上，将线段DE 绕点D 逆时针旋转60°得到线段DF ，连接CF ．(1)如图（1），点D 是AB 的中点，点E 与点C 重合，连接AF ．若6AB =，求AF 的长； (2)如图（2），点G 在AC 上且60AGD FCB ∠=︒+∠，求证：CF DG =；(3)如图（3），6AB =，2BD CE =，连接AF ．过点F 作AF 的垂线交AC 于点P ，连接BP 、DP ．将BDP △沿着BP 翻折得到BQP ，连接QC ．当ADP △的周长最小时，直接写出CPQ 的面积．【变式训练1】△ACB 和△DCE 是共顶点C 的两个大小不一样的等边三角形．(1)问题发现：如图1，若点A ，D ，E 在同一直线上，连接AE ，BE ． ①求证：△ACD △△BCE ；②求△AEB 的度数．(2)类比探究：如图2，点B 、D 、E 在同一直线上，连接AE ，AD ，BE ，CM 为△DCE 中DE 边上的高，请求△ADB 的度数及线段DB ，AD ，DM 之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：如图3，若设AD （或其延长线）与BE 的所夹锐角为α，则你认为α为多少度，并证明．【变式训练2】（1）如图1，锐角△ABC 中，分别以AB 、AC 为边向外作等腰直角△ABE 和等腰直角△ACD ，使AE ＝AB ，AD ＝AC ，∠BAE ＝∠CAD ＝90°，连接BD ，CE ，试猜想BD 与CE 的大小关系，不需要证明．【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝2，∠ABC ＝∠ACD ＝∠ADC ＝45°，求BD 2的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD 全等的三角形，将BD 进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算；【变式思考】（3）如图3，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，∠ADC ＝30°，AD ＝6，BD ＝10，则CD ＝ ．【变式训练3】（1）问题发现：如图1，ACB △和DCE 均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，连接AD ，BE ，点A 、D 、E 在同一条直线上，则AEB ∠的度数为__________，线段AD 、BE 之间的数量关系__________；（2）拓展探究：如图2，ACB △和DCE 均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，连接AD ，BE ，点A 、D 、E 不在一条直线上，请判断线段AD 、BE 之间的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题：如图3，ACB △和DCE 均为等腰三角形，ACB DCE α∠=∠=，则直线AD 和BE 的夹角为__________．（请用含α的式子表示）类型六、一线三角模型例.在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C 且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①ADC △CEB △；②DE AD BE =+；(2)当直线MN 烧点C 旋转到图2的位置时，求证：DE AD BE =-；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【变式训练1】【问题解决】（1）已知△ABC 中，AB =AC ，D ，A ，E 三点都在直线l 上，且有△BDA =△AEC =△BAC ．如图①，当△BAC =90°时，线段DE ，BD ，CE 的数量关系为：______________；【类比探究】（2）如图②，在（1）的条件下，当0°<△BAC<180°时，线段DE，BD，CE的数量关系是否变化，若不变，请证明：若变化，写出它们的关系式；【拓展应用】（3）如图③，AC=BC，△ACB=90°，点C的坐标为（-2，0），点B的坐标为（1，2），请求出点A的坐标．【变式训练2】（1）如图1，在△ABC中，△BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD△直线m，CE△直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD△△CAE；（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有△BDA＝△AEC＝△BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD△△CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为△BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若△BDA＝△AEC＝△BAC，求证：△DEF是等边三角形．【变式训练3】探究：（1）如图（1），已知：在△ABC中，△BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD△直线m，CE△直线m，垂足分别为点D、E．请直接写出线段BD，DE，CE之间的数量关系是．拓展：（2）如图（2），将探究中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有△BDA=△AEC=△BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问探究中的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．应用：（3）如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为△BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若△BDA=△AEC=△BAC，请直接写出△DEF的形状是．。
线段的概念与性质
线段的概念与性质
定义
线段是指由两个端点和连接两个端点的有限段组成的几何图形。
线段在几何学中是一个基本的概念，用于描述空间中的线性关系。
性质
1. 长度：线段的长度是从一个端点到另一个端点的直线距离。
线段的长度可以通过计算两个端点的坐标差来求得。
2. 方向：线段有一个确定的方向，即从一个端点指向另一个端
点的方向，可以用箭头表示。
3. 线段比较：两个线段可以进行比较，根据它们的长度可以判
断它们的大小关系。
4. 平行关系：如果两个线段的方向完全相同或正好相反，那么
它们是平行的。
5. 垂直关系：如果两个线段的方向互为垂直关系，即一个线段
与另一个线段的斜率的乘积为 -1，那么它们是垂直的。
6. 包含关系：一个线段可以包含另一个线段，如果一个线段的
两个端点都在另一个线段上，并且这个线段的长度小于等于另一个
线段的长度。
应用
线段的概念与性质在几何学和物理学中有广泛的应用。
在几何学中，线段的概念是构建其他复杂图形的基础。
在物理学中，线段可以用来描述物体的运动轨迹、力的作用方向等。
总而言之，线段是几何学中非常重要的概念，通过研究线段的概念和性质，可以帮助我们更好地理解和应用几何学和物理学的知识。
从一道中考题的剖析谈研究线段之间数量关系的方法
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从一道中考题的剖析谈研究线段之间数量关系的方法
作者：李东艳
来源：《中学数学杂志(初中版)》2019年第02期
近几年的北京中考，几何综合题经常涉及线段之间数量关系的问题.研究线段之间的数量
关系是初中几何教学中的一个重要知识，可以说贯穿整个初中几何教学.但是对于大多数学生
来说，这类题仍有一定的难度.为此，教师可以引导学生归纳出解决此类问题的方法，并強化
学生对研究方法的理解和应用.下文以2017年北京市中考第28题为例，进行深入挖掘，以期
对读者有一定的启发.。
小学奥数解题技巧——线段图解题(含有练习题)
线段图解题主要内容：1、线段图解题的方法和技巧；2、常见的可以用线段图来表示的数量关系；3、用线段图解题。
重难点：1、常见的可以用线段图来表示的数量关系；2、较复杂的线段图问题。
意义：利用线段图解决应用题是数学中常见的一种解题方法。
相比于传统的文字分析方法，线段图可以直观清晰地将题中的复杂数量关系展现在我们的眼前，对于理解题意和解决问题有十分重要的作用。
一、线段图解题方法和技巧：什么是线段？那就是一条直线上的两个点和它们之间的部分就叫做线段，线段的长度是有限的，所以我们常用来表示有限的量，帮助我们分析题目中隐藏的数量关系，达到轻松解题的目的。
1、用线段的长短来表示量的大小，并对应的标上数据；2、根据题意，有的可能只需要一条线段，有的可能需要多条线段；3、画多条线段时，要一端对齐，方便比较大小；4、画多条线段时，一般先画最小的量。
5、虚实结合。
“比……多”时，多的部分画实线；“比……少”时，少的部分画虚线，且立即标上数据；二、常见的可以用线段图来表示的数量关系1、和的关系：用一条较长线段来表示“和”，将组成“和”的各分量依次标在该线段上。
当出现多种数量关系时，和关系还可以用大括号来表示。
例如：甲的文具数量为5个，乙的文具数量为2个，那么甲乙的和是多少？2、差的关系：从小到大依次画出各个量，并保持一端对齐后，另一端多出的部分线段即可表示量与量之间的差。
例如：数学考试后小明的得分为100分，小强的得分为95分，那么小强比甲的5个乙的2个7个文具小明少几分？小强的得分：小明的得分：3、倍的关系：先画出最小的量，再画跟它成倍数关系的量，是它的几倍就画几段线段。
可将最小的量看作1份，则其它的量是它的几倍，就是几份。
例如：甲的年龄为5岁，乙的年龄为甲的3倍，那么乙的年龄为几岁？甲的年龄：乙的年龄：注意：在同一个问题中，一条线段只能代表一个数量（若两个数量相等，则可用等长的线段来表示），与这个数量有大小或倍数关系的其它数量应该在这条线段的长度上分别延长（或缩短或等长延长）来表示。
中考数学探索性问题知识点
中考数学探索性问题知识点中考数学探索性问题知识点一、探索性问题是指命题中缺少一定的题设或没有明确的结论，需要经过推断、补充、并加以证明的问题。
其典型特点是不确定性。
主要包括（1）条件探索型，（2）结论探索型，（3）存在性探索型等。
条件探索型是指结论已明确，需要探索发现使结论成立的条件的题目；结论探索型是指在一定的条件下无结论或结论不明确，需要探索发现与之相应的结论的题目；而存在型探索题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目。
探索性问题由于它的题型新颖、涉及面广、综合性强、难度较大，不仅能考查学生的数学基础知识，而且能考查学生的创新意识以及发现问题、提出问题、分析问题并解决问题的能力，因而倍受关注。
探索性问题解法，根据已知条件，从基础知识和基本数学思想方法出发，结合基本图形，抓住本质联系进行探究，常用观察、试验、联想、归纳、类比等方法，进行分析、归纳、猜想、比较、推理等，直到得出答案。
题目的答案也是多种多样的，有的题目有唯一解，有的题无解，也有的题要分几种情况讨论。
解结论探索型题的方法是由因导果；解条件探索型的方法是执果索因；解存在性探索题先假设要探索的问题存在，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论。
解题时应注意知识的综合运用。
二、理解掌握例一、已知：（如图）要使ΔABC∽ΔAPB，需要添加的条件是_____（只填一个）。
（答案：∠ABP=∠C，或∠ABC=∠APC，或AB2=APAC）说明：该图是初二几何的基本图形，是解决其他问题的基础，应牢记。
例二、如图，☉O与☉O1外切于点T，AB为其外公切线，PT为内公切线，AB与PT相交于点P，根据图中所给出的已知条件及线段，请写出一个正确结论，并加以证明。
（本题将按正确答案的难易程度评分）结论1： PA=PB=PT 结论2：AT⊥BT。
（或AT2+BT2=AB2）结论3：∠BAT=∠TBO1 结论4：∠OTA=∠PTB结论5：∠APT=∠BO1T 结论6：∠BPT=∠AOT结论7：ΔOAT∽ΔPBT 结论8：ΔAPT∽ΔBO1T设OT=R， O1T=r，结论9：PT2=Rr结论10：AB=2√Rr 结论11：S梯形AOO1B=（R+r）√Rr结论12：以AB为直径的☉P必定与直线OO1相切于T点。
二次函数中线段数量关系的存在、探究问题-PPT课件
A
E3
C
题型归纳：在x轴上探究是否存在某个点，使线段相等。一般方法： 设该点的横坐标为一个字母，然后用含有这个字母的式子表示 相关的线段，寻找关系，建立方程。
如图,抛物线y=ax2+bx+c 与x轴交于点A、B(1，0），与 y轴交于点C，直线 y 1 x 2 经过点A、C.抛物线的
2
顶点为D，对称轴为直线l
2
顶点为D，对称轴为直线l （1）（2）（3）（4）
变式：在AC上方的抛物线
H
上是否存在点H，使以O、
B
A
C、K、H为顶点的四边形
O
是平行四边形，若存在，求
出点H的坐标，若不存在，
K
请说明理由.
C
变式：在AC上方的抛物线上是否存在点H，使 以O、C、K、H为顶点的四边形是平行四边形， 若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理 由.
2
顶点为D，对称轴为直线l
（1）（2）
（3）设点E为x轴上一点，
且AE=CE,求点E的坐标
B
A
变式：在x轴上是否存在点E， O
使以A、E、C为顶点的三角
形是等腰三角形，若存在，
求出点E的坐标，若不存在，
C
请说明理由
E1
(
3 2
,0)
E2
E2 (4,0)
E4 O E1
E3(4 2 5,0)
E4(4 2 5,0)
①求d关于h的函数关系
②求d的最大值及此时H点的坐标
题型归纳：在抛物线上探究是 否存在某个点，使线段相等。 一般方法：
H
(h，
1 2
m2
5 2
m
浅析借助几何直观解决数学中的类“线段条数”问题
浅析借助几何直观解决数学中的类“线段条数”问题作者：张芳芳来源：《新教育时代·教师版》2019年第36期摘要：几何直观就是依托几何图形和直观物体进行数学的思考、想象。
几何直观是义务教育阶段新课程标准中提出的10个核心概念之一，需要我们在数学教学中借助相关内容有机的去发展学生的几何直观素养。
本文借助同一平面中的几个点可以组成几条不同的线段模型，来解决同类问题，以下称为类“线段条数”问题。
关键词：几何直观线段条数问题一、几何直观的意义义务教育数学课程标准指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。
借助几何直观可以把生活中复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测或获取结果。
”[1]在研究数学问题的过程中，几何直观可以将生活中具体形象问题转化为抽象数学几何图形问题，使问题变得简明、清晰。
学生借助几何直观进行思考、猜想、验证，进而获得结论或者推翻假设，达到问题解决和能力的提升。
几何直观能力的培养至关重要，它是我们逻辑思维形成和发展的起点。
二、线段条数问题线段条数问题：是指平面中或者一条直线上有几个不同的点，可以组成不同的几条线段。
如图，直线上有四个不同的点，可以组成几条不同的线段？你有什么发现？（图1）学生借助以下几何直观方法：线段图、树状图、列举法、归纳公式法。
（这四种方法在以下具体问题中体现）三、类“线段条数”问题的解决以下问题都可以抽象为类“线段条数”问题加以解决：（1）在中外领导人的会晤中，按礼节要握手。
若每两人握1次手，则3个人共握几次手？4个人共握几次手？（2）象棋比赛中，所有比赛选手要进行两两对弈，若有3人，则一共下几局，若有4人呢？5个人呢？……n个人呢？（3）一列高铁往返于两城市之间，每次运行停靠n个站点（包括起点站和终点站）。
请问铁路部门共应发售多少种不同的车票？问题（1）是简单的组合问题。
主要安排在义务教育数学课程标准要求的第二学段，青岛版教材四年级上册和五年级下册进行学习，重点在于培养学生借助几何直观，为解决问题提供思路。
几何中几条线段间的关系问题的思路
一、线段的定义和性质在几何学中，线段是指两点之间的直线部分，由于它有长度，因此可以进行各种运算和比较。
线段之间的关系问题就是研究这些线段在空间中的相对位置和大小关系。
二、线段长度的比较1. 先比较两条线段的长度，确定它们之间的大小关系。
2. 如果两条线段长度相等，则它们是等长的，记作AB＝CD。
3. 如果两条线段长度不等，则长的线段记作AB，短的线段记作CD，记作AB＞CD或CD＜AB。
三、线段的夹角关系1. 若两条线段相交，它们的夹角可以分为四类：锐角、直角、钝角和平角。
2. 将夹角按大小和性质进行分类，便于进一步研究它们的几何关系与应用问题。
四、垂直线段的性质1. 如果两条线段在空间中垂直，则它们的夹角为直角。
2. 垂直线段是矩形的两条对角线，因此具有对称性。
五、平行线段的性质1. 如果两条线段在空间中平行，则它们的长度相等。
2. 平行线段可以参与平行四边形的构造，具有重要的几何意义。
六、线段的运算1. 线段可以进行加减乘除等运算，得到一些有用的结论。
2. 线段运算可以用于解决一些实际问题，例如房屋建筑、航空航天等领域。
七、线段间的比例关系1. 如果两条线段在空间中成比例关系，则它们之间的比值是常数。
2. 线段的比例关系可以用于证明一些几何定理，帮助解决一些复杂的几何问题。
八、线段的位置关系1. 线段可以相交、相切或者平行排列，根据它们的位置关系可以进行分类和研究。
2. 线段的位置关系可以用于证明一些几何定理，也可以用于解决一些实际问题。
九、线段的延长和截取1. 线段可以延长到任意长度，也可以被截取成任意长度的线段。
2. 线段的延长和截取可以用于证明一些几何定理，也可以用于解决一些实际问题。
十、线段的应用1. 线段在生活和科学技术中有许多应用，例如地图测绘、建筑设计、机械加工等领域。
2. 线段的应用可以帮助人们更好地理解和利用几何知识，提高生产效率和科学研究的水平。
结语：线段间的关系问题是几何学的一个重要组成部分，它涉及到空间中的直线和直线段之间的各种几何关系，对于提高人们的几何素养和应用能力具有重要意义。
线段几何知识点总结
线段几何知识点总结线段的基本性质1. 线段有两个端点和无数个点。
线段的端点是线段的起点和终点，而线段上的任意点都可以用两个端点的距离来表示。
线段上的所有点构成了线段的有限点集。
2. 线段的长度是其两个端点之间的距离。
线段的长度是一个正实数，用符号表示。
它的长度既是它的两个端点之间的距离，也是它所代表的数量。
例如，如果一个线段的长度为5单位，那么它代表了5个相同的单位长度。
3. 线段可用坐标表示。
平面直角坐标系中，线段可以用两个点的坐标表示。
设线段的两个端点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，则线段AB的长度可以用以下公式计算： AB =\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}4. 线段的运算。
线段有加法、减法、乘法、除法等运算，其中加法和减法是最基本的运算。
对于两个线段AB和CD，它们的加法和减法分别表示为AB+CD和AB-CD，分别代表了两个线段的长度之和和长度之差。
线段的性质1. 线段的长度是不变的。
线段的长度是一个确定的实数，它不会因为改变线段所在的位置或旋转而改变。
这是线段的一个重要性质，也是线段运算的基础。
2. 线段的中点。
线段的中点是指线段上的一个点，该点与线段的两个端点的距离相等。
线段的中点有以下性质：- 线段的中点是线段的对称中心。
即以线段中点为中心，可以将线段分成两个相等的部分。
- 线段的中点到两个端点的距离相等。
即线段中点到两个端点的距离相等，且等于线段的一半。
3. 线段的垂直平分定理。
直线上两异向垂直平分线段的定理。
在线段的中点处作一条过中点且垂直于线段的直线时，这条直线就是该线段的垂直平分线。
这条直线将线段平分为两个相等的部分，并且使得这两个部分互相垂直。
4. 线段的平行移动。
线段的平行移动是指将线段按同一方向和距离移动，使得移动之后的线段与原线段平行。
平行移动不改变线段的长度和方向，只是改变了线段的位置。
线段的应用1. 线段的测量。
新农乡中考数学二轮专题复习 专题八 数学存在性问题教案(2021年整理)
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专题八-数学存在性问题"兼容，命题由“知识型"立意向“能力型”、“素质型”立意转变，题型设计思路开阔、内容丰富、立意深刻、发人深省.存在性问题恰恰是这类试题中突出考查学生能力的典型代表，由于这类试题大多以函数图象为载体,来研究事物的存在性，理解起来比较抽象，涉及面较广，技能性和综合性也很强，解决起来有一定的难度，对知识的迁移能力,灵活运用能力和分析问题,综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高。
存在性问题按定性可分为：肯定型和否定型.存在性问题在假设存在以后进行的推理或计算，对基础知识,基本技能要求较高,并具备较强的探索性.正确、完整地解答这类问题,是对我们知识、能力的一次全面的考验.所谓存在性问题是指根据题目所给的条件，探究是否存在符合要求的结论,存在性问题可抽象理解为“已知事项M，是否存在具有某种性质的对象Q”解题时要说明Q存在，通常的方法是将对象Q构造出来;若要说明Q不存在，可先假设Q存在，然后由此出发进行推论，并导致矛盾,从而否定Q的存在,此类问题的叙述通常是“是否存在……若存在，请求出……（或证❖定性分类：1.肯定型存在性问题;2。
否定型的存在性问题。
第13讲 二次函数综合题(11分)
设 P(a，－12a2＋2a＋6)，其中 0＜a＜6，则 D(a，－a＋6)， ∴PD＝－12a2＋2a＋6－(－a＋6)＝－12a2＋3a. ∵点 P 和点 E 关于抛物线的对称轴对称，抛物线的对称轴为直线 x＝2， ∴点 E 的横坐标为 4－a， ∴PE＝|4－2a|， ∴－12a2＋3a＝|4－2a|.
示．
设直线 A B 的解析式为 y＝kx＋b(k≠0)， b＝6，
将点 A (0，6)，B (6，0)代入，得 6k＋b＝0， k＝－1，
解得 b＝6. ∴直线 A B 的解析式为 y＝－x＋6. 设 P (t，－12t2＋2t＋6)，其中 0＜t＜6，则 N (t，－t＋6)，
∴PN＝－12t2＋2t＋6－(－t＋6)＝－12t2＋2t＋6＋t－6＝－12t2＋3t， ∴S△PAB＝S△PAN＋S△PBN ＝12PN·AG＋12PN·BM ＝12PN·(AG＋BM) ＝12PN·OB
2线段的最值问题：线段长的最值，周长的最值，面积的最值，是线段问题的延 伸，最终都可归结为用点坐标表示出线段长，周长和面积后，将表达式通过配方法转 化为顶点式，从而获得最值，但需要考虑自变量的取值范围，有时在顶点处取得最值， 有时并非在顶点处取得最值.
类型二 面积问题
(2018·资阳)已知：如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与坐标轴分别交于点 A (0， 6)，B (6，0)，C (－2，0)，点 P 是线段 A B 上方抛物线上的一个动点．
【自主作答】
解：(1)将 A (3，0)，B (－1，0)，C (0，－3)代入 y＝ax2＋bx＋c 中，
9a＋3b＋c＝0， 得 a－b＋c＝0，
c＝－3，
a＝1， 解得 b＝－2，
c＝－3.