2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题六第3讲圆锥曲线中的热点问题

合集下载

2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题2_第3讲_导数及其应用(含答案)

（1）定积分的性质：
①ʃkf(x)dx＝kʃf(x)dx；
②ʃ[f1(x)±f2(x)]dx＝ʃf1(x)dx±ʃf2(x)dx；
③ʃf中a<c<b)．
（2）微积分基本定理：
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃf(x)dx＝F(b)－F(a).
思维启迪(1)先根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出点斜式方程，再化为一般式方程．(2)A点坐标是解题的关键点，列方程求出．
思维升华(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．
(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．
A．2B．4C．2 D．4
思维启迪(1)利用微积分基本定理先求出a，再求分段函数的函数值；(2)利用图形将所求面积化为定积分．
思维升华(1)直接使用微积分基本定理求定积分时，要根据求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出原函数．
(2)利用定积分求所围成的阴影部分的面积时，要利用数形结合的方法确定出被积函数和积分的上限与下限．同时，有的定积分不易直接求出，需要借用其几何意义求出．
(2)求导函数f′(x)；
(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.
②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解．

2015届高三数学冲刺六大专题系列之圆锥曲线专题

圆锥曲线专题1、设椭圆22:1221x y E a a +=-，其焦点在x 轴上，若其准焦距(焦点到准线的距离)34p =，求椭圆的方程.2、设椭圆22:1(0)22x y E a b a b+=>>的离心率e =(过焦点且垂直于长轴的焦直径)1d =，,12F F 为两焦点，P 是E 上除长轴端点外的任一点，12F PF ∠的角平分线PM 交长轴于(,0)M m ，求m 的取值范围.3、设椭圆22:1(0)22x y E a b a b +=>>的离心率12e =，,12F F 为两焦点，椭圆E 与y 轴的交点为(0,3)A ，求三角形的面积?12SF AF =∆4、如图，设椭圆22:1(0)22x y E a b a b+=>>，,M N 为长轴顶点，过左焦点F 、斜率为k =l 交椭圆E 于A B 、两点，若2FA FB =，求?SFAM SFBN∆=∆5、设椭圆22:1(0)22x y E a b a b+=>>，其离心率e =d = 求椭圆E 的方程.② 两条焦直径(过焦点的弦)AB 与CD 互相垂直.求11?AB CD+= 6、设椭圆22:13627x y E +=，左焦点为F ，在椭圆上任取三个不同点123P P P 、、，使得21223313P FP P FP P FP π∠=∠=∠=，求：111?123FP FP FP ++= 7、如图所示，椭圆()221:1169x y E ++=，过原点的两条直线交圆于ABCD ，AD 与CB 的延长线相交于M ，AC 与DB 的延长线相交于N ，求MN 所在的直线方程.8、设椭圆22:1(0)22x y E a b a b+=>>，过右焦点的直线:0l x y +=交E 于A B 、两点，P 为AB 中点.⑴若OP 的斜率为：12k =，求椭圆E 的方程；⑵若直线:0m x y -=交E 于C D 、两点，AD 与BC 相交于Q ，求Q 点的坐标.9、设椭圆22:1168x y E +=的长轴端点为A B 、，与y 轴平行的直线交椭圆E 于P Q 、两点，PA QB 、的延长线相交于S 点，求S 点的轨迹.10、已知抛物线2:2(0)P y px p =>，F 为P 的焦点，M 为P 上任一点，l 为过M 点的切线，求证：FM 与l 的夹角等于l 与x 轴的夹角.11、已知抛物线P 的顶点为原点，其焦点(0,)F c 到直线:20l x y --=的距离为2d =M 在l 上，过M 作抛物线P 的两条切线MA 、MB ，其中A 、B 为切点. ⑴当M 的坐标为(4,2)时，求AB 的直线方程； ⑵当M 在l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值.12、过抛物线2:2(0)P x py p =>的焦点F 作斜率分别为12k k 、两条不同弦AB 和CD ，212k k +=，以AB 、CD 为直径的圆M 圆N (M 、N 为圆心)的公共弦所在的直线记为l ，若圆心M 到lP 的方程. 13、已知动圆C 过定点(4,0)A ，且在y 轴上截得的弦MN 的长为8，求动圆圆心C 的轨迹方程.14、如图已知，在抛物线2:4P y x =的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为A . 过原点的圆C 其圆心在抛物线P 上，与抛物线的准线l 交于不同的两点M N 、，若2AF AM AN =⋅，求圆C 的半径.15、如图，抛物线2:41P x y =，抛物线2:2(0)2P x py p =->，点(,)00M x y 在抛物线2P 上，过M 作1P 的两条切线MA 和MB，当10x =MA 的斜率为12k =-.⑴求：AB 所在的直线方程；⑵当点M 在抛物线2P 上运动时，求AB 中点的轨迹方程. 16、已知抛物线2:8P y x =，焦弦AB 被F 分为FA 、FB 两段，求：11?FA FB+= 17、如图，在正方形中，O 为坐标原点，点A 的坐标为()10,0，点C 的坐标为()0,10，分别将线段OA 和AB 等分成十等分，分点分别记为,,,129A A A ⋅⋅⋅和,,,129B B B ⋅⋅⋅，连接OB i ，过A i 作轴的垂线与OB i 交于点()*,19P i N i i ∈≤≤. （1）求：点P i 的轨迹方程；（2）求：过点P i 的切线方程。

2015年步步高二轮复习-专题六第3讲圆锥曲线中的热点问题

第3讲圆锥曲线中的热点问题考情解读 1.本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大.2.求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中．1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by ＋c＝0)．①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by ＋c＝0)．①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．2．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝1＋1k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：|x2－x1|＝(x1＋x2)2－4x1x2，|y2－y1|＝(y1＋y2)2－4y1y2.(2)当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． 3．弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算． 4．轨迹方程问题(1)求轨迹方程的基本步骤：①建立适当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐标——解析法(坐标法)． ②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系． ③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化． ④化简整理方程——简化．⑤证明所得方程为所求的轨迹方程——完成其充要性． (2)求轨迹方程的常用方法：①直接法：将几何关系直接翻译成代数方程；②定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程； ③代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；④交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直线交点的轨迹；(3)注意①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式．步骤②⑤省略后，验证时常用途径：化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.热点一圆锥曲线中的范围、最值问题例1 (2013·浙江)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．思维启迪 (1)P 点是椭圆上顶点，圆C 2的直径等于椭圆长轴长；(2)设直线l 1的斜率为k ，将△ABD 的面积表示为关于k 的函数．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方程为y ＝kx －1. 又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离 d ＝1k 2＋1，所以|AB |＝24－d 2＝24k 2＋3k 2＋1. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4.消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0，故x 0＝－8k 4＋k 2.所以|PD |＝8k 2＋14＋k2. 设△ABD 的面积为S ，则S ＝12|AB |·|PD |＝84k 2＋34＋k 2，所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3·134k 2＋3＝161313，当且仅当k ＝±102时取等号．所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1. 思维升华求最值及参数范围的方法有两种：①根据题目给出的已知条件或图形特征列出一个关于参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(即为消元)，然后求解不等式；②由题目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域．已知椭圆C 的左，右焦点分别为F 1，F 2，椭圆的离心率为12，且椭圆经过点P (1，32)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)线段PQ 是椭圆过点F 2的弦，且PF 2→＝λF 2Q →，求△PF 1Q 内切圆面积最大时实数λ的值．解 (1)e ＝c a ＝12，P (1，32)满足1a 2＋(32)2b 2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，∵a 2＝4，b 2＝3， ∴椭圆标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)显然直线PQ 不与x 轴重合，当直线PQ 与x 轴垂直时，|PQ |＝3，|F 1F 2|＝2， S △PF 1Q ＝3；当直线PQ 不与x 轴垂直时，设直线PQ ：y ＝k (x －1)，k ≠0代入椭圆C 的标准方程，整理，得(3＋4k 2)y 2＋6ky －9k 2＝0， Δ>0，y 1＋y 2＝－6k3＋4k 2，y 1·y 2＝－9k 23＋4k 2.S △PF 1Q ＝12×|F 1F 2|×|y 1－y 2|＝12k 2＋k 4(3＋4k 2)2，令t ＝3＋4k 2，∴t >3，k 2＝t －34，∴S △PF 1Q ＝3－3(1t ＋13)2＋43，∵0<1t <13，∴S △PF 1Q ∈(0,3)，∴当直线PQ 与x 轴垂直时S △PF 1Q 最大，且最大面积为3. 设△PF 1Q 内切圆半径为r ，则S △PF 1Q ＝12(|PF 1|＋|QF 1|＋|PQ |)·r ＝4r ≤3.即r max ＝34，此时直线PQ 与x 轴垂直，△PF 1Q 内切圆面积最大，∴PF 2→＝F 2Q →，∴λ＝1.热点二圆锥曲线中的定值、定点问题例2 (2013·陕西)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．思维启迪 (1)设动圆圆心坐标，利用圆的半径、半弦长和弦心距组成的直角三角形求解；(2)设直线方程y ＝kx ＋b ，将其和轨迹C 的方程联立，再设两个交点坐标，由题意知直线BP 和BQ 的斜率互为相反数，推出k 和b 的关系，最后证明直线过定点．(1)解如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意，得|O 1A |＝|O 1M |，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴|O 1M |＝x 2＋42，又|O 1A |＝(x －4)2＋y 2，∴(x －4)2＋y 2＝x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标为(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明如图由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bk k 2，①x 1x 2＝b 2k2，②∵x 轴是∠PBQ 的角平分线， ∴y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0， (kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0③将①②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)．思维升华 (1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的． (2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．已知椭圆C 的中点在原点，焦点在x 轴上，离心率等于12，它的一个顶点恰好是抛物线x 2＝83y 的焦点． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P (2,3)，Q (2，－3)在椭圆上，点A 、B 是椭圆上不同的两个动点，且满足∠APQ ＝∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则b ＝2 3.由c a ＝12，a 2＝c 2＋b 2，得a ＝4，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)当∠APQ ＝∠BPQ 时，P A 、PB 的斜率之和为0，设直线P A 的斜率为k ，则PB 的斜率为－k ，P A 的直线方程为y －3＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝k (x －2)，x 216＋y 212＝1，整理得 (3＋4k 2)x 2＋8(3－2k )kx ＋4(3－2k )2－48＝0， x 1＋2＝8(2k －3)k 3＋4k 2，同理PB 的直线方程为y －3＝－k (x －2)，可得x 2＋2＝－8k (－2k －3)3＋4k 2＝8k (2k ＋3)3＋4k 2.∴x 1＋x 2＝16k 2－123＋4k 2，x 1－x 2＝－48k3＋4k 2， k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k (x 1－2)＋3＋k (x 2－2)－3x 1－x 2＝k (x 1＋x 2)－4k x 1－x 2＝12， ∴直线AB 的斜率为定值12.热点三圆锥曲线中的探索性问题例3 已知椭圆C 1、抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：x 3 －2 4 2 y－23－422(1)求C 1，C 2的标准方程；(2)是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同的两点M ，N ，且满足OM →⊥ON →？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．思维启迪 (1)比较椭圆及抛物线方程可知，C 2的方程易求，确定其上两点，剩余两点，利用待定系数法求C 1方程.(2) 联立方程，转化已知条件进行求解. 解 (1)设抛物线C 2：y 2＝2px (p ≠0)，则有y 2x＝2p (x ≠0)，据此验证四个点知(3，－23)，(4，－4)在C 2上，易求得C 2的标准方程为y 2＝4x . 设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，把点(－2,0)，(2，22)代入得⎩⎨⎧4a 2＝12a 2＋12b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1，所以C 1的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)容易验证当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)，与C 1的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝k (x －1)消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－1)＝0，于是x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，① x 1x 2＝4(k 2－1)1＋4k 2.②所以y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝k 2[4k 2－11＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1]＝－3k 21＋4k 2.③由OM →⊥ON →，即OM →·ON →＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0.(*)将②③代入(*)式，得4(k 2－1)1＋4k 2－3k 21＋4k 2＝k 2－41＋4k 2＝0，解得k ＝±2，所以存在直线l 满足条件，且直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0.思维升华解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型．解决问题的一般策略是先假设结论成立，然后进行演绎推理或导出矛盾，即可否定假设或推出合理结论，验证后肯定结论，对于“存在”或“不存在”的问题，直接用条件证明或采用反证法证明．解答时，不但需要熟练掌握圆锥曲线的概念、性质、方程及不等式、判别式等知识，还要具备较强的审题能力、逻辑思维能力以及运用数形结合的思想分析问题和解决问题的能力．如图，抛物线C ：y 2＝2px 的焦点为F ，抛物线上一定点Q (1,2)．(1)求抛物线C 的方程及准线l 的方程．(2)过焦点F 的直线(不经过Q 点)与抛物线交于A ，B 两点，与准线l 交于点M ，记QA ，QB ，QM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3成立，若存在λ，求出λ的值；若不存在，说明理由．解 (1)把Q (1,2)代入y 2＝2px ，得2p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝4x ，准线l 的方程：x ＝－1. (2)由条件可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，k ≠0. 由抛物线准线l ：x ＝－1，可知M (－1，－2k )．又Q (1,2)，所以k 3＝2＋2k 1＋1＝k ＋1，即k 3＝k ＋1.把直线AB 的方程y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x ，并整理，可得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，知 x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1.又Q (1,2)，则k 1＝2－y 11－x 1，k 2＝2－y 21－x 2.因为A ，F ，B 共线，所以k AF ＝k BF ＝k ，即y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k . 所以k 1＋k 2＝2－y 11－x 1＋2－y 21－x 2＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－2(x 1＋x 2－2)x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝2k －2(2k 2＋4k2－2)1－2k 2＋4k 2＋1＝2k ＋2，即k 1＋k 2＝2k ＋2.又k 3＝k ＋1，可得k 1＋k 2＝2k 3.即存在常数λ＝2，使得k 1＋k 2＝λk 3成立．1．圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 2．定点、定值问题的处理方法定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明．对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果． 3．探索性问题的解法探索是否存在的问题，一般是先假设存在，然后寻找理由去确定结论，如果真的存在，则可以得出相应存在的结论；若不存在，则会由条件得出矛盾，再下结论不存在即可.真题感悟(2014·北京)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论．解 (1)由题意，得椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1，所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2.因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22. (2)直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．证明如下：设点A ，B 的坐标分别为(x 0，y 0)，(t,2)，其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0. 当x 0＝t 时，y 0＝－t 22，代入椭圆C 的方程，得t ＝±2，故直线AB 的方程为x ＝±2，圆心O 到直线AB 的距离d ＝ 2.此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y －2＝y 0－2x 0－t(x －t )．即(y 0－2)x －(x 0－t )y ＋2x 0－ty 0＝0.圆心O 到直线AB 的距离d ＝|2x 0－ty 0|(y 0－2)2＋(x 0－t )2.又x 20＋2y 20＝4，t ＝－2y 0x 0，故d ＝⎪⎪⎪⎪2x 0＋2y 20x 0x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4＋x 20x 0x 40＋8x 20＋162x 20＝ 2.此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．押题精练已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其左、右焦点分别是F 1、F 2，过点F 1的直线l 交椭圆C 于E 、G 两点，且△EGF 2的周长为4 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点M (2,0)的直线与椭圆C 相交于两点A 、B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP→(O 为坐标原点)，当|P A →－PB →|<253时，求实数t 的取值范围．解 (1)由题意知椭圆的离心率e ＝c a ＝22，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.又△EGF 2的周长为42，即4a ＝42，∴a 2＝2，b 2＝1.∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知直线AB 的斜率存在，即t ≠0.设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －2)，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0.由Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－2)>0，得k 2<12.x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，∵OA →＋OB →＝tOP →，∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，x ＝x 1＋x 2t ＝8k 2t (1＋2k 2)，y ＝y 1＋y 2t ＝1t [k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4kt (1＋2k 2).∵点P 在椭圆C 上，∴(8k 2)2[t (1＋2k 2)]2＋2(－4k )2[t (1＋2k 2)]2＝2， ∴16k 2＝t 2(1＋2k 2)．∵|P A →－PB →|<253，∴1＋k 2|x 1－x 2|<253， ∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]<209， ∴(1＋k 2)[64k 4(1＋2k 2)2－4·8k 2－21＋2k 2]<209， ∴(4k 2－1)(14k 2＋13)>0，∴k 2>14.∴14<k 2<12. ∵16k 2＝t 2(1＋2k 2)，∴t 2＝16k 21＋2k 2＝8－81＋2k 2，又32<1＋2k 2<2，∴83<t 2＝8－81＋2k 2<4， ∴－2<t <－263或263<t <2， ∴实数t 的取值范围为(－2，－263)∪(263，2)．(推荐时间：50分钟)一、选择题1．已知点M 与双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点的距离之比为2∶3，则点M 的轨迹方程为( ) A ．x 2－y 2＋26x ＋25＝0B ．x 2＋y 2＋16x ＋81＝0C ．x 2＋y 2＋26x ＋25＝0D ．x 2＋y 2＋16x －81＝0答案 C解析设点M (x ，y )，F 1(－5,0)，F 2(5,0)，则由题意得|MF 1||MF 2|＝23，将坐标代入，得(x ＋5)2＋y 2(x －5)2＋y 2＝49，化简，得x 2＋y 2＋26x ＋25＝0.2．已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P 、Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为( ) A.53 B.23 C.23 D.13答案 A解析由题意可知，∠F 1PF 2是直角，且tan ∠PF 1F 2＝2，∴|PF 2||PF 1|＝2，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＝2a 3，|PF 2|＝4a 3. 根据勾股定理得⎝⎛⎭⎫2a 32＋⎝⎛⎭⎫4a 32＝(2c )2，所以离心率e ＝c a ＝53. 3．已知抛物线y 2＝8x 的焦点F 到双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线的距离为455，点P 是抛物线y 2＝8x 上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点F 1(0，c )的距离与到直线x ＝－2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为( )A.y 22－x 23＝1 B ．y 2－x 24＝1 C.y 24－x 2＝1 D.y 23－x 22＝1 答案 C解析由题意得，抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，双曲线C ：y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程为ax －by ＝0， ∵抛物线y 2＝8x 的焦点F 到双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线的距离为455， ∴2aa 2＋b 2＝455， ∴a ＝2b .∵P 到双曲线C 的上焦点F 1(0，c )的距离与到直线x ＝－2的距离之和的最小值为3， ∴|FF 1|＝3，∴c 2＋4＝9，∴c ＝5，∵c 2＝a 2＋b 2，a ＝2b ，∴a ＝2，b ＝1.∴双曲线的方程为y 24－x 2＝1，故选C. 4．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8答案 C解析设P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，即y 20＝3－3x 204，又因为F (－1,0)，所以OP →·FP →＝x 0·(x 0＋1)＋y 20＝14x 20＋x 0＋3 ＝14(x 0＋2)2＋2，又x 0∈[－2,2]，即OP →·FP →∈[2,6]，所以(OP →·FP →)max ＝6.5．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 C解析依题意得F (0,2)，准线方程为y ＝－2，又∵以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线的准线相交，且|FM |＝|y 0＋2|，∴|FM |>4，即|y 0＋2|>4，又y 0≥0，∴y 0>2.6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若双曲线上存在点P 满足a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1，则该双曲线的离心率的取值范围为( ) A ．(1，2＋1) B ．(1，3)C ．(3，＋∞)D ．(2＋1，＋∞) 答案 A解析根据正弦定理得|PF 2|sin ∠PF 1F 2＝|PF 1|sin ∠PF 2F 1，所以由a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1可得a |PF 2|＝c |PF 1|，即|PF 1||PF 2|＝c a＝e ，所以|PF 1|＝e |PF 2|.因为e >1，所以|PF 1|>|PF 2|，点P 在双曲线的右支上．又|PF 1|－|PF 2|＝e |PF 2|－|PF 2|＝|PF 2|(e －1)＝2a ，解得|PF 2|＝2ae －1，因为|PF 2|>c －a ，所以2a e －1>c －a ，即2e －1>e －1，即(e －1)2<2，解得1－2<e <2＋1.又e >1，所以e ∈(1，2＋1)，故选A.二、填空题7．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________．答案 m ≥1且m ≠5解析 ∵方程x 25＋y 2m＝1表示椭圆， ∴m >0且m ≠5.∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点，∴要使直线与椭圆总有公共点，应有：025＋12m≤1，m ≥1， ∴m 的取值范围是m ≥1且m ≠5.8．在直线y ＝－2上任取一点Q ，过Q 作抛物线x 2＝4y 的切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 恒过定点________．答案 (0,2)解析设Q (t ，－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程变为y ＝14x 2，则y ′＝12x ，则在点A 处的切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，化简得，y ＝12x 1x －y 1，同理，在点B 处的切线方程为y ＝12x 2x －y 2.又点Q (t ，－2)的坐标满足这两个方程，代入得：－2＝12x 1t －y 1，－2＝12x 2t －y 2，则说明A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都满足方程－2＝12xt －y ，即直线AB 的方程为：y －2＝12tx ，因此直线AB 恒过定点(0,2)．9．(2014·辽宁)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.答案 12解析椭圆x 29＋y 24＝1中，a ＝3.如图，设MN 的中点为D ，则|DF 1|＋|DF 2|＝2a ＝6.∵D ，F 1，F 2分别为MN ，AM ，BM 的中点，∴|BN |＝2|DF 2|，|AN |＝2|DF 1|，∴|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)＝12.10．(2013·安徽)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．答案 [1，＋∞)解析以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2x 2＋(y －a )2＝a ，得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0.即(y －a )[y －(a －1)]＝0，由已知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －1≥0，解得a ≥1. 三、解答题11.如图所示，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，x 轴被曲线C 2：y ＝x 2－b 截得的线段长等于C 1的短轴长．C 2与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与C 1相交于点D ，E .(1)求C 1，C 2的方程；(2)求证：MA ⊥MB ；(3)记△MAB ，△MDE 的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2＝λ，求λ的取值范围． (1)解由题意，知c a ＝22，所以a 2＝2b 2. 又2b ＝2b ，得b ＝1.所以曲线C 2的方程y ＝x 2－1，椭圆C 1的方程x 22＋y 2＝1. (2)证明设直线AB ：y ＝kx ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，知M (0，－1)．则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2－1⇒x 2－kx －1＝0， MA →·MB →＝(x 1，y 1＋1)·(x 2，y 2＋1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝－(1＋k 2)＋k 2＋1＝0，所以MA ⊥MB .(3)解设直线MA ：y ＝k 1x －1，MB ：y ＝k 2x －1，k 1k 2＝－1，M (0，－1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 1x －1，y ＝x 2－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k 1，y ＝k 21－1，所以A (k 1，k 21－1)．同理，可得B (k 2，k 22－1)．故S 1＝12|MA |·|MB |＝121＋k 21·1＋k 22|k 1||k 2|. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 1x －1，x 22＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1或⎩⎨⎧ x ＝4k 11＋2k 21，y ＝2k 21－11＋2k 21，所以D (4k 11＋2k 21，2k 21－11＋2k 21)．同理，可得E (4k 21＋2k 22，2k 22－11＋2k 22)．故S 2＝12|MD |·|ME | ＝121＋k 21·1＋k 22|16k 1k 2|(1＋2k 21)(1＋2k 22)， S 1S 2＝λ＝(1＋2k 21)(1＋2k 22)16＝5＋2(1k 21＋k 21)16≥916，则λ的取值范围是[916，＋∞)． 12．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为27，其一条渐近线的倾斜角为θ，且tan θ＝32.以双曲线C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E . (1)求椭圆E 的方程；(2)设点A 是椭圆E 的左顶点，P 、Q 为椭圆E 上异于点A 的两动点，若直线AP 、AQ 的斜率之积为－14，问直线PQ 是否恒过定点？若恒过定点，求出该点坐标；若不恒过定点，说明理由．解 (1)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的焦距2c ＝27，则c ＝7，∴a 2＋b 2＝7.①渐近线方程y ＝±b ax ，由题意知tan θ＝b a ＝32.② 由①②得a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)在(1)的条件下，当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1y ＝kx ＋m，消去y 得 (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2，又A (－2,0)，由题意知k AP ·k AQ ＝y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝－14，则(x 1＋2)(x 2＋2)＋4y 1y 2＝0，且x 1x 2≠－2.则x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋4(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋4k 2)x 1x 2＋(2＋4km )(x 1＋x 2)＋4m 2＋4＝0.则m 2－km －2k 2＝0.∴(m －2k )(m ＋k )＝0.∴m ＝2k 或m ＝－k .当m ＝2k 时，直线PQ 的方程是y ＝kx ＋2k .此时直线PQ 过定点(－2,0)，显然不符合题意．当m ＝－k 时，直线PQ 的方程为y ＝kx －k ，此时直线PQ 过定点(1,0)．当直线PQ 的斜率不存在时，若直线PQ 过定点，P ，Q 点的坐标分别是(1，32)，(1，－32)，满足k AP·k AQ＝－1 4.综上，直线PQ恒过定点(1,0)．。

2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：填空题的解法(含答案)

填空题的解法【题型特点概述】 1．填空题的特征填空题是不要求写出计算或推理过程，只需要将结论直接写出的“求解题”．填空题与选择题也有质的区别：第一，填空题没有备选项，因此，解答时有不受诱误干扰之好处，但也有缺乏提示之不足；第二，填空题的结构往往是在一个正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容(既可以是条件，也可以是结论)，留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活．从历年高考成绩看，填空题得分率一直不是很高，因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是零分．因此，解填空题要求在“快速、准确”上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫． 2．解填空题的基本原则解填空题的基本原则是“小题不能大做”，基本策略是“巧做”．解填空题的常用方法：直接法、特例法、数形结合法、构造法、归纳推理法等．方法一直接法直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法．例1 已知椭圆C ：x 24＋y23＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2.若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P →·F 2A →的最大值为( )思维升华直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．已知复数z ＝a ＋(a －1)i(a ∈R ，i 为虚数单位)为实数，则复数z i 在复平面上所对应的点的坐标为________．方法二特例法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(或特殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出待求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程．例2 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC →＝________.思维升华求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．本题中的方法二把平行四边形看作正方形，从而减少了计算量．（1）如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝ 3 BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝________.（2）cos 2α＋cos 2(α＋120°)＋cos 2(α＋240°)的值为________________．方法三数形结合法(图解法)对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果，Venn 图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形．例3 已知函数f (x )＝x |x －2|，则不等式f (2－x )≤f (1)的解集为________．思维升华图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点．准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果．(2013·北京)设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0表示的平面区域．区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．方法四构造法构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决．例4 （1）如图，已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．（2）e 416，e 525，e636(其中e 为自然对数的底数)的大小关系是________．思维升华构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题．第(1)题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决．（1）已知a ＝ln 12 013－12 013，b ＝ln 12 014－12 014，c ＝ln 12 015－12 015，则a ，b ，c 的大小关系为____．（2）已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的投影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面的结论中，正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．方法五归纳推理法做关于归纳推理的填空题的时候，一般是由题目的已知可以得出几个结论(或直接给出了几个结论)，然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解决问题．归纳推理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程，这里可以大胆地猜想．例5 观察下列算式：13＝1,23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，…，若某数m 3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2 015”这个数，则m ＝________.思维升华归纳推理主要用于与自然数有关的等式或不等式的问题中，一般在数列的推理中常涉及．即通过前几个等式或不等式出发，找出其规律，即找出一般的项与项数之间的对应关系，一般的有平方关系、立方关系、指数变化关系或两个相邻的自然数或奇数相乘基本关系，需要对相应的数字的规律进行观察、归纳，一般对等式或不等式中的项的结构保持一致．（1）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数N (n,6)＝2n 2－n………………………………………可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________. （2）用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________．1．解填空题的一般方法是直接法，除此以外，对于带有一般性命题的填空题可采用特例法，和图形、曲线等有关的命题可考虑数形结合法．解题时，常常需要几种方法综合使用，才能迅速得到正确的结果．2．解填空题不要求求解过程，从而结论是判断是否正确的唯一标准，因此解填空题时要注意如下几个方面：（1）要认真审题，明确要求，思维严谨、周密，计算有据、准确；（2）要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论；（3）要重视对所求结果的检验及书写的规范性．例1332变式训练1 (0,1) 例2 18 变式训练2 (1)3 (2)32例3 [－1，＋∞) 变式训练3255例4 (1)6π (2)e 416<e 525<e 636 变式训练4 (1)a >b >c (2)①②④例5 45 变式训练 (1)1 000 (2)6n ＋2。

2015年高考数学理真题圆锥曲线大题

2015年高考数学理圆锥曲线部分解答题1.【2015高考山东，理20】平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，左、右焦点分别是12,F F ，以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222:144x y E a b+=，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .( i )求OQOP的值；（ii ）求ABQ ∆面积的最大值. 【考点定位】1、椭圆的标准方程与几何性质；2、直线与椭圆位置关系综合问题；3、函数的最值问题。

意在考查学生综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，把ABQ ∆ 面积转化为三角形OAB 的面积，在得到三角形的面积的表达式后，能否利用换元的方法，观察出其中的函数背景成了完全解决问题的关键.2.【2015高考四川，理20】如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>，过点P （0,1）的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【考点定位】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想。

高考中解几题一般都属于难题的范畴，考生应立足于拿稳第（1）题的分和第（2）小题的步骤分.解决直线与圆锥曲线相交的问题，一般是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，再根据根与系数的关系解答.本题是一个探索性问题，对这类问题一般是根据特殊情况找出结果，然后再证明其普遍性.解决本题的关键是通过作B 的对称点将问题转化.3.【2015高考湖南，理20】已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)y x C a b a b+=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦的长为.（1）求2C 的方程；（2）过点F 的直线l 与1C 相交于A ，B 两点，与2C 相交于C ，D 两点，且AC 与BD 同向（ⅰ）若||||AC BD =，求直线l 的斜率；（ⅱ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形。

【2015年全国各地高考三模数学试题汇编】专题6 解析几何第3讲圆锥曲线的综合问题(理卷B)

专题6 解析几何第3讲圆锥曲线的综合问题（B 卷）一、选择题（每小题5分，共30分）1．（2015·山东省淄博市高三阶段性诊断考试试题·10）设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 做与，x 轴垂直的直线交两渐近线于A,B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若()4,,25OP OA OB R λμλμλμ=+=∈uu u r uu r uu u r ，则双曲线的离心率e 是（）A B C ．52D ．542.（2015·山西省太原市高三模拟试题二·11）3．（2015·陕西省安康市高三教学质量调研考试·11）双曲线与抛物线相交于A9B 两点，直线AB 恰好过它们的公共焦点F ，则双曲线C的离心率为（）4．(2015·陕西省西工大附中高三下学期模拟考试·11)已知抛物线x y 82=的焦点与双曲线1222x y a-=的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（）A B C D 5．(2015.绵阳市高中第三次诊断性考试·10)已知点是抛物线y 2＝4x上相异两点，且满足＝4，若AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，则△AMB 的面积的最大值是（）6. (江西省新八校2014-2015学年度第二次联考·19)已知)3,2(P 在双曲线13222=-y a x 上，其左、右焦点分别为1F 、2F ，三角形21F PF 的内切圆切x 轴于点M ，则2MF ∙的值为（） A.12- B.12+C.13-D.13+二、非选择题(70分)7．（2015·山东省淄博市高三阶段性诊断考试试题·14）已知抛物线24y x =上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到y 轴的最短距离是_____．8、(2015·山东省滕州市第五中学高三模拟考试·14)双曲线C 的左右焦点分别为1F 、2F ，且2F 恰为抛物线24y x =的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为。

2015届高三数学理科圆锥曲线大题试题(16题)(含答案)

2015届高三数学理科圆锥曲线大题强化训练1．如图，已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，双曲线12222=-by a x 的两条渐近线为21,l l ．过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使1l l ⊥，又l 与2l 交于点P ，设l 与椭圆C 的两个交点由上至下依次为A ，B ．（1）若1l 与2l 的夹角为60°，且双曲线的焦距为4，求椭圆C 的方程；（2）求||||AP FA 的最大值．2．在平面直角坐标系中，已知点F及直线:0l x y +=，曲线1C 是满足下列两个条件的动点(,)P x y的轨迹：①,PF =其中d 是P 到直线l 的距离；②0.225x y x y >⎧⎪>⎨⎪+<⎩（1）求曲线1C 的方程；（2）若存在直线m 与曲线1C 、椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>均相切于同一点，求椭圆2C 离心率e 的取值范围.3．已知椭圆22:12x C y +=的左、右焦点分别为12F F 、，O 为原点. （1）如图1，点M 为椭圆C 上的一点，N 是1MF 的中点，且21NF MF ⊥，求点M 到y 轴的距离；（2）如图2，直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于P Q 、两点，若在椭圆C 上存在点R ，使四边形OPRQ 为平行四边形，求m 的取值范围．4. 已知1F 、2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，右焦点2(,0)F c 到上顶点的距离为2，若2a .（1）求此椭圆的方程；（2）点A 是椭圆的右顶点，直线y x =与椭圆交于M 、N 两点（N 在第一象限内），又P 、Q 是此椭圆上两点，并且满足120||||NP NQ F F NP NQ ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，求证：向量PQ 与AM 共线.5．给定椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，称圆心在坐标原点OC 的“伴随圆”，已知椭圆C 的两个焦点分别是())12,F F .（1）若椭圆C 上一动点1M 满足11124M F M F +=，求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；（2）在（1）的条件下，过点()()0,0P t t <作直线l 与椭圆C 只有一个交点，且截椭圆C 的“伴随圆”所得弦长为P 点的坐标；（3）已知()()cos 3,,0,sin sin m n mn m n θθπθθ+=-=-≠∈，是否存在a ，b ，使椭圆C 的“伴随圆”上的点到过两点()()22,,,m m n n 的直线的最短距离min db =.若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由.6．如图，设F (－c, 0)是椭圆)0(12222>>=+b a b ya x的左焦点，直线l ：x ＝－ca2与x 轴交于P 点，MN 为椭圆的长轴，已知8=MN ，且MF PM 2=。

2015届高考数学(理)二轮复习专题讲解讲义：专题五第三讲高考中的圆锥曲线

第三讲高考中的圆锥曲线(解答题型)1．(2014·浙江高考)如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)，动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限．(1)已知直线l 的斜率为k ，用a ，b ，k 表示点P 的坐标；(2)若过原点O 的直线l 1与l 垂直，证明：点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b . 解：(1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k <0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y 得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0. 由于l 与C 只有一个公共点，故Δ＝0，即b 2－m 2＋a 2k 2＝0，解得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－a 2km b 2＋a 2k 2，b 2m b 2＋a 2k 2. 又点P 在第一象限，故点P 的坐标为P －a 2k b 2＋a 2k 2，b 2b 2＋a 2k 2.(2)由于直线l 1过原点O 且与l 垂直，故直线l 1的方程为x ＋ky ＝0，所以点P 到直线l 1的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2k b 2＋a 2k2＋b 2k b 2＋a 2k 21＋k 2，整理得d ＝a 2－b 2b 2＋a 2＋a 2k 2＋b 2k2，因为a 2k 2＋b2k2≥2ab ，所以a 2－b 2b 2＋a 2＋a 2k 2＋b 2k2≤a 2－b 2b 2＋a 2＋2ab ＝a －b ，当且仅当k 2＝ba时等号成立．所以点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b . 2．(2014·山东高考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|F A |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．(1)求C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ， ①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0.设D (t,0)(t >0)，则FD 的中点为⎝⎛⎭⎫p ＋2t 4，0.因为|F A |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p2＝⎪⎪⎪⎪t －p 2，解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)．由p ＋2t 4＝3，解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)①由(1)知F (1,0)，设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D >0)，因为|F A |＝|FD |，则|x D －1|＝x 0＋1，由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)．故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02.因为直线l 1和直线AB 平行，设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8by 0＝0，由题意Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0.设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20.当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4，可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0)，由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)，直线AE 恒过点F (1,0)．当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1，0)，所以直线AE 过定点F (1,0)． ②由①知直线AE 过焦点F (1,0)，所以|AE |＝|AF |＋|FE |＝(x 0＋1)＋⎝⎛⎭⎫1x 0＋1＝x 0＋1x 0＋2. 设直线AE 的方程为x ＝my ＋1，因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故m ＝x 0－1y 0.设B (x 1，y 1)，直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0)，由于y 0≠0，可得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0.所以y 0＋y 1＝－8y 0，可求得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4x 0＋x 0＋4.所以点B 到直线AE 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪4x 0＋x 0＋4＋m ⎝⎛⎭⎫y 0＋8y 0－11＋m 2＝4(x 0＋1)x 0＝4⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0. 则△ABE 的面积S ＝12×4⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0x 0＋1x 0＋2≥16，当且仅当1x 0＝x 0，即x 0＝1时等号成立．所以△ABE 的面积的最小值为16.1．圆锥曲线中的范围问题(1)解决这类问题的基本思想是建立目标函数和不等关系．(2)建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题；建立不等关系的关键是运用圆锥曲线的几何特征、判别式法或基本不等式等灵活处理．2．圆锥曲线中的存在性问题(1)所谓存在性问题，就是判断满足某个(某些)条件的点、直线、曲线(或参数)等几何元素是否存在的问题．(2)这类问题通常以开放性的设问方式给出，若存在符合条件的几何元素或参数值，就求出这些几何元素或参数值；若不存在，则要求说明理由．3．圆锥曲线中的证明问题圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一类是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；另一类是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．4．定点问题(1)解析几何中直线过定点或曲线过定点问题是指不论直线或曲线中的参数如何变化，直线或曲线都经过某一个定点．(2)定点问题是在变化中所表现出来的不变的点，那么就可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变量所影响的某个点，就是要求的定点．5．定值问题解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不随参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．6．最值问题圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．第1课时圆锥曲线中的范围、存在性和证明问题[例1] 已知A 、B 、C 是椭圆M ：x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的三点，其中点A 的坐标为(23，0)，BC 过椭圆的中心，且∠OCA ＝90°，|BC |＝2|AC |.(1)求椭圆M 的方程；(2)过点(0，t )的直线(斜率存在)与椭圆M 交于P 、Q 两点，设D 为椭圆与y 轴负半轴的交点，且|DP |＝|DQ |，求实数t 的取值范围．[师生共研] (1)∵|BC |＝2|AC |且BC 过点(0,0)，则|OC |＝|AC |. ∵∠OCA ＝90°，∴C (3，3)．由题意知a ＝23，则椭圆M 的方程为x 212＋y 2b2＝1，将点C 的坐标代入得312＋3b2＝1，解得b 2＝4.∴椭圆M 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)由题意知D (0，－2)，设直线l 的斜率为k ，当k ＝0时，显然－2<t <2；当k ≠0时，设直线l ：y ＝kx ＋t ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 24＝1，y ＝kx ＋t ，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3t 2－12＝0，由Δ>0可得，t 2<4＋12k 2.①设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 的中点为H (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3kt 1＋3k 2，y 0＝kx 0＋t ＝t1＋3k 2， ∴H ⎝⎛⎭⎫－3kt 1＋3k 2，t1＋3k 2.∵|DP |＝|DQ |，∴DH ⊥PQ ，即k DH ＝－1k.∴t1＋3k 2＋2－3kt 1＋3k2－0＝－1k ，化简得t ＝1＋3k 2，②由①②得，1<t <4.综上，t ∈(－2,4)．解决圆锥曲线中范围问题的方法一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化．1．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F 2与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，过F 2作与x 轴垂直的直线l 1与椭圆交于S ，T 两点，与抛物线交于C ，D 两点，且|CD ||ST |＝2 2.(1)求椭圆E 的方程；(2)若过点M (2,0)的直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点，设P 为椭圆E 上一点，且满足(O 为坐标原点)，当<253时，求实数t 的取值范围．解：(1)设椭圆的半焦距为c ，则c ＝1，且|CD |＝4，|ST |＝2b 2a，∴|CD ||ST |＝2a b2＝22，又a 2－b 2＝1， ∴a ＝2，b ＝1，∴椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意得，直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＝k (x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k (x －2)，消去y 得，(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0，由Δ>0，得k 2<12.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝－4k1＋2k 2，则＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·8－16k 21＋2k 2<253，∴k 2>14或k 2<－1314(舍去)．②由①②得14<k 2<12，又AB 的中点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 21＋2k2，－2k 1＋2k 2，∴得P 8k 2(1＋2k 2)t ，－4k (1＋2k 2)t，代入椭圆方程得32k 4(1＋2k 2)2t 2＋16k 2(1＋2k 2)2t 2＝1，即t 2＝32k 4＋16k 2(1＋2k 2)2＝16k 21＋2k 2＝161k 2＋2， ∵14<k 2<12， ∴83<t 2<4，即t ∈⎝⎛⎭⎫263，2∪⎝⎛⎭⎫－2，－263.[例2] 已知抛物线P ：y 2＝4x 的焦点为F ，经过点H (4,0)作直线与抛物线P 相交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)求y 1y 2的值；(2)是否存在常数a ，当点M 在抛物线P 上运动时，直线x ＝a 都与以MF 为直径的圆相切？若存在，求出所有a 的值；若不存在，请说明理由．[师生共研] (1)∵A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，H (4,0)，∴(x 2－4，y 2)． ∵A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，H (4,0)在一条直线上， ∴(x 1－4)y 2－(x 2－4)y 1＝0. ∵A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都在抛物线y 2＝4x 上，∴x 1＝y 214，x 2＝y 224，∴⎝⎛⎭⎫y 214－4y 2－⎝⎛⎭⎫y 224－4y 1＝0，即y 1y 24(y 1－y 2)＝－4(y 1－y 2)．根据已知得y 1≠y 2，∴y 1y 2＝－16. (2)存在． ∵F 是抛物线P 的焦点， ∴F (1,0)．设M (x ，y )，则MF 的中点为N ⎝⎛⎭⎫x ＋12，y 2，|MF |＝1＋x .∵直线x ＝a 与以MF 为直径的圆相切的充要条件是N ⎝⎛⎭⎫x ＋12，y 2到直线x ＝a 的距离等于|MF |2，即⎪⎪⎪⎪x ＋12－a ＝1＋x2，∴ax ＝a 2－a . ∵对于抛物线P 上的任意一点M ，直线x ＝a 都与以MF 为直径的圆相切， ∴关于x 的方程ax ＝a 2－a 对任意的x ≥0都要成立． ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，a 2－a ＝0，解得a ＝0. ∴存在常数a ，并且仅有a ＝0满足“当点M 在抛物线P 上运动时，直线x ＝a 都与以MF 为直径的圆相切”．若(2)中相切改为相交呢？解：假设直线x ＝a 与以MF 为直径的圆相交，则有⎪⎪⎪⎪x ＋12－a ＜x ＋12，即0＜a ＜x ＋1对任意x ≥0恒成立．因此，0＜a ＜1.存在性问题的解题步骤2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为22，P 是椭圆上一点，且△PF 1F 2面积的最大值等于2.(1)求椭圆的方程；(2)过点M (0,2)作直线l 与直线MF 2垂直，试判断直线l 与椭圆的位置关系；(3)直线y ＝2上是否存在点Q ，使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)∵点P 在椭圆上，∴－b ≤y p ≤b ，∴当|y p |＝b 时，△PF 1F 2面积最大，且最大值为12|F 1F 2|·|y p |＝12·2c ·b ＝bc ＝2，又离心率为22，即c a ＝22，由⎩⎪⎨⎪⎧bc ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝c 2＝2，∴所求椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由(1)知F 2(2，0)，∴kMF 2＝2－2＝－2，∴直线l 的斜率等于22，直线l 的方程为y ＝22x ＋2.由⎩⎨⎧x 24＋y 22＝1，y ＝22x ＋2，消去y ，整理得x 2＋22x ＋2＝0，Δ＝(22)2－8＝0，∴直线l 与椭圆相切．(3)假设直线y ＝2上存在点Q 满足题意，设Q (m,2)．显然，当m ＝±2时，从Q 点所引的两条切线不垂直，当m ≠±2时，设过点Q 向椭圆所引的切线的斜率为k ，则切线的方程为y ＝k (x －m )＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －m )＋2，x 24＋y 22＝1，消去y ，整理得(1＋2k 2)x 2－4k (mk －2)x ＋2(mk －2)2－4＝0，∵Δ＝16k 2(mk －2)2－4(1＋2k 2)[2(mk －2)2－4]＝0， ∴(m 2－4)k 2－4mk ＋2＝0.(*)设两切线的斜率分别为k 1，k 2，显然k 1，k 2是方程(*)的两根，故k 1k 2＝2m 2－4＝－1，解得m ＝±2，点Q 的坐标为(2，2)或(－2，2)，因此，直线y ＝2上存在两点(2，2)和(－2，2)满足题意．[例3] (2014·安徽高考)如图，已知两条抛物线E 1：y 2＝2p 1x (p 1>0)和E 2：y 2＝2p 2x (p 2>0)，过原点O 的两条直线l 1和l 2，l 1与E 1，E 2分别交于A 1，A 2两点，l 2与E 1, E 2分别交于B 1, B 2两点．(1)证明：A 1B 1∥A 2B 2；(2)过O 作直线l (异于l 1，l 2)与E 1，E 2分别交于C 1，C 2两点．记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2的值．[师生共研] (1)设直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k 1x ，y ＝k 2x (k 1，k 2≠0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 1x ，得A 1⎝⎛⎭⎫2p 1k 21，2p 1k 1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 2x ，得A 2⎝⎛⎭⎫2p 2k 21，2p 2k 1. 同理可得B 1⎝⎛⎭⎫2p 1k 22，2p 1k 2，B 2⎝⎛⎭⎫2p 2k22，2p 2k 2. 所以＝⎝⎛⎭⎫2p 1k 22－2p 1k 21，2p 1k 2－2p 1k 1＝2p 11k 22－1k 21，1k 2－1k 1，＝⎝⎛⎭⎫2p 2k 22－2p 2k 21，2p 2k 2－2p 2k 1＝2p 21k 22－1k 21，1k 2－1k 1. 故＝p 1p 2，所以A 1B 1∥A 2B 2.(2)由(1)知A 1B 1∥A 2B 2，同理可得B 1C 1∥B 2C 2，C 1A 1∥C 2A 2. 所以△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2. 因此S 1S 2＝又由(1)中的故S 1S 2＝p 21p 22.圆锥曲线中的证明问题的解决方法解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．常用的证明方法有：(1)证A 、B 、C 三点共线，可证k AB ＝k AC 或； (2)证直线MA ⊥MB ，可证k MA ·k MB ＝－1或；(3)证|AB |＝|AC |，可证A 点在线段BC 的垂直平分线上．3.如图，F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于点P ，过点F 2作直线PF 2的垂线交直线x ＝a 2c于点Q.(1)若点Q 的坐标为(4,4)，求椭圆C 的方程； (2)证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．解：(1)将点P (－c ，y 1)(y 1＞0)代入x 2a 2＋y 2b 2＝1得：y 1＝b 2a，PF 2⊥QF 2⇔b 2a －0－c －c ·4－04－c ＝－1，即2b 2＝ac (4－c )．①又Q (4,4)，∴a 2c＝4，②c 2＝a 2－b 2(a ，b ，c ＞0)，③由①②③得：a ＝2，c ＝1，b ＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：设Q ⎝⎛⎭⎫a 2c ，y 2.由(1)知P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a . ∴kPF 2＝b 2a －0－c －c ＝－b 22ac ，kQF 2＝y 2－0a 2c－c ＝cy 2a 2－c2.∴PF 2⊥QF 2⇔－b 22ac ·cy 2a 2－c 2＝－1⇔y 2＝2a ，∴k PQ ＝2a －b 2a a 2c＋c ＝ca .则直线PQ 的方程可表示为： y －b 2a ＝ca (x ＋c )，即cx －ay ＋a 2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧cx －ay ＋a 2＝0，x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y 可得a 2x 2＋2ca 2x ＋a 4－a 2b 2＝0.因为a >0，所以x 2＋2cx ＋a 2－b 2＝0，即x 2＋2cx ＋c 2＝0，此时Δ＝(2c )2－4c 2＝0.故直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．课题6 方程思想解决直线与圆锥曲线位置关系[典例] (2014·新课标全国卷Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C: x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .[考题揭秘] 本题主要考查椭圆的方程与基本量，考查椭圆的几何性质与离心率的计算，考查直线与椭圆的位置关系，意在考查考生的分析转化能力与运算求解能力．[审题过程] 第一步：审条件．M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .第二步：审结论．第(1)问，k MN ＝34条件下求C 的离心率；第(2)问，若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .第三步：建联系．(1)将M ，F 1的坐标都用椭圆的基本量a ，b ，c 表示，由斜率条件可得到a ，b ，c 的关系式，然后由b 2＝a 2－c 2消去b 2，再“两边同除以a 2”，即得到离心率e 的二次方程，由此解出离心率；(2)利用“MF 2∥y 轴”及“截距为2”，可得y M ＝b 2a＝4，此为一个方程；再转化条件“|MN |＝5|F 1N |”为向量形式，可得到N 的坐标，代入椭圆得到第二个方程，两方程联立可解得a ，b 的值．[规范解答] (1)根据a 2－b 2＝c 2及题设知M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，故2b 2＝3ac . .Ⓐ将b 2＝a 2－c 2，代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca＝－2(舍去)．故C 的离心率为12. Ⓑ(2)设直线MN 与y 轴的交点为D ，由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .① Ⓒ由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b2＝1. ② Ⓒ将①及a 2－b 2＝c 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27. Ⓓ [模型归纳]解决直线与圆锥曲线位置的模型示意图如下：找关系——寻找椭圆中a ，b ，c 的关系，如步骤Ⓐ ↓求离心率——代入求离心率，如步骤Ⓑ ↓建方程——建关于a ，b ，c 的方程，如步骤Ⓒ解方程组↓得结论——将方程①、②联立求a ，b ，得结论，如步骤Ⓓ [跟踪训练](2014·陕西高考)如图，曲线C 由上半椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0，y ≥0)和部分抛物线C 2：y ＝－x 2＋1(y ≤0)连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1的离心率为32.(1)求a ，b 的值；(2)过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q (均异于点A ，B )，若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程．解：(1)在C 1，C 2的方程中，令y ＝0，可得b ＝1，且A (－1，0)，B (1,0)是上半椭圆C 1的左、右顶点．设C 1的半焦距为c ，由c a ＝32及a 2－c 2＝b 2＝1得a ＝2.∴a ＝2，b ＝1.(2)由(1)知，上半椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1(y ≥0)．易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入C 1的方程，整理得(k 2＋4)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0. (*) 设点P 的坐标为(x P ，y P )， ∵直线l 过点B ，∴x ＝1是方程(*)的一个根．由根与系数的关系，得x P ＝k 2－4k 2＋4，从而y P ＝－8kk 2＋4，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－4k 2＋4，－8k k 2＋4. 同理，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －k ，y ＝－x 2＋y ，得点Q 的坐标为(－k －1，－k 2－2k )．∵k ≠0，∴k －4(k ＋2)＝0，解得k ＝－83.经检验，k ＝－83符合题意，故直线l 的方程为y ＝－83(x －1)．1．(2014·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B .已知|AB |＝32|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点O 的直线l 与该圆相切．求直线的斜率．解：(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0)．由|AB |＝32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2，又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12.所以椭圆的离心率e ＝22.(2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2.故椭圆方程为x 22c 2＋y 2c2＝1.设P (x 0，y 0)，由F 1(－c,0)，B (0，c )，又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0.①又因为点P 在椭圆上，故x 202c 2＋y 20c2＝1.②由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c ，代入①得y 0＝c 3，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－4c 3，c 3. 设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c 3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝(x 1－0)2＋(y 1－c )2＝53c .设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y ＝kx .由l 与圆相切，可得|kx 1－y 1|k 2＋1＝r ，即⎪⎪⎪⎪k ⎝⎛⎭⎫－2c 3－2c 3k 2＋1＝53c ，整理得k 2－8k ＋1＝0，解得k ＝4±15. 所以直线l 的斜率为4＋15或4－15. 2．(2014·海淀模拟)已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆C ：x 2＋2y 2＝4上两点，点M 的坐标为(1,0)．(1)当A ，B 关于点M (1,0)对称时，求证：x 1＝x 2＝1；(2)当直线AB 经过点(0,3)时，求证：△MAB 不可能为等边三角形．解：(1)因为A ，B 在椭圆上，所以x 21＋2y 21＝4，①x 22＋2y 22＝4.②因为A ，B 关于点M (1,0)对称，所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝0，将x 2＝2－x 1，y 2＝－y 1代入②得(2－x 1)2＋2y 21＝4，③ 由①和③消去y 1解得x 1＝1，所以x 1＝x 2＝1.(2)当直线AB 的斜率不存在时，A (0，2)，B (0，－2)，可得|AB |＝22，|MA |＝3，△MAB 不是等边三角形．当直线AB 的斜率存在时，显然斜率不为0.设直线AB ：y ＝kx ＋3，AB 的中点为N (x 0，y 0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝4，y ＝kx ＋3，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋12kx ＋14＝0，Δ＝144k 2－4×14(1＋2k 2)＝32k 2－56.由Δ>0，得到k 2>74，①又x 1＋x 2＝－12k 1＋2k 2，x 1·x 2＝141＋2k 2，所以x 0＝－6k 1＋2k 2，y 0＝kx 0＋3＝31＋2k 2，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 1＋2k 2，31＋2k 2，假设△MAB 为等边三角形，则有MN ⊥AB ，又因为M (1,0)，所以k MN ×k ＝－1，即31＋2k 2－6k1＋2k 2－1×k ＝－1，化简得2k 2＋3k ＋1＝0，解得k ＝－1或k ＝－12，这与①式矛盾，所以假设不成立．因此对于任意k ，不能使得MN ⊥AB ，故△MAB 不可能为等边三角形．3．(2014·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且椭圆C 上一点与两个焦点F 1，F 2构成的三角形的周长为22＋2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过右焦点F 2作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，的取值范围．解：(1)由题意知：c a ＝22，且2a ＋2c ＝22＋2，解得a ＝2，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意易得直线l 的斜率存在，右焦点F 2(1,0)，可设直线l 的方程为：y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，由题意Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1·x 2＝2k 2－21＋2k 2，由得y 1＝λy 2，∵⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－2k1＋2k 2，y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝－k21＋2k2，∴⎩⎪⎨⎪⎧(λ＋1)y 2＝－2k1＋2k 2，λy 22＝－k21＋2k 2，∴λ＋1λ＋2＝－41＋2k 2，令u (λ)＝λ＋1λ，λ∈[－2，－1)，u ′(λ)＝1－1λ2>0，∴u (λ)在[－2，－1)上单调递增，可得－52≤λ＋1λ<－2， ∴－12≤λ＋1λ＋2<0，故－12≤－41＋2k 2<0，解得k 2≥72，＝(x 1＋1，y 1)·(x 2＋1，y 2)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2＝2k 2－21＋2k 2＋4k 21＋2k 2＋1＋－k 21＋2k 2＝7k 2－11＋2k 2＝72－92(1＋2k 2)，∵k 2≥72， ∴0<92(1＋2k 2)≤916， ∴4716≤72－92(1＋2k 2)<72，即的取值范围是⎣⎡⎭⎫4716，72.4．(2014·重庆高考)如图，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.(1)求该椭圆的标准方程；(2)是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由．解：(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c 2＝a 2－b 2.由|F 1F 2||DF 1|＝22得|DF 1|＝|F 1F 2|22＝22c .由DF 1⊥F 1F 2，得S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝22，故c ＝1.从而|DF 1|＝22，故|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝322.所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝22，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.因此，所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)如图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22＋y 2＝1相交，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是两个交点，y 1>0，y 2>0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性，易知x 2＝－x 1，y 1＝y 2. 由(1)知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，再由F 1P 1⊥F 2P 2得－(x 1＋1)2＋y 21＝0.由椭圆方程得1－x 212＝(x 1＋1)2，即3x 21＋4x 1＝0. 解得x 1＝－43或x 1＝0.当x 1＝0时，P 1，P 2重合，此时题设要求的圆不存在．当x 1＝－43时，过P 1，P 2分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .设C (0，y 0)，由CP 1⊥F 1P 1，得y 1－y 0x 1·y 1x 1＋1＝－1.而y 1＝|x 1＋1|＝13，故y 0＝53.圆C 的半径|CP 1|＝ ⎝⎛⎭⎫－432＋⎝⎛⎭⎫13－532＝423. 综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －532＝329.第2课时圆锥曲线中的定点、定值和最值问题热点一圆锥曲线中的定点问题命题角度圆锥曲线中的定点问题是高考常考内容之一，一般以解答题形式出现，难度较大．高考中对该类问题的考查主要有以下几个角度：(1)证明与圆锥曲线位置有关的直线过定点；(2)探索与圆锥曲线位置满足某种位置关系的直线过定点；(3)判断坐标轴上是否存在满足某种条件的定点.[例1](2014·石家庄模拟)椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，过其右焦点F与长轴垂直的弦长为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A、B，点P是直线x＝1上的动点，直线P A与椭圆的另一交点为M，直线PB与椭圆的另一交点为N.求证：直线MN经过一定点．[师生共研](1)依题意，e＝ca＝32.过焦点F与长轴垂直的直线x＝c与椭圆x2a2＋y2b2＝1联立解得弦长为2b2a＝1，所以椭圆的方程为x24＋y2＝1.(2)设P(1，t)，则k P A＝t－01＋2＝t3，直线l P A：y＝t3(x＋2)，联立⎩⎨⎧y＝t3(x＋2)，x24＋y2＝1，得(4t2＋9)x2＋16t2x＋16t2－36＝0，可知－2x M＝16t2－364t2＋9，所以x M＝18－8t24t2＋9，则⎩⎪⎨⎪⎧x M＝18－8t24t2＋9，y M＝12t4t2＋9，同理得到⎩⎪⎨⎪⎧x N＝8t2－24t2＋1，y N＝4t4t2＋1.由椭圆的对称性可知这样的定点在x轴上，不妨设这个定点为Q(m,0)，则k MQ＝12t4t2＋918－8t24t2＋9－m，k NQ＝4t4t2＋18t2－24t2＋1－m，k MQ＝k NQ，故(8m－32)t2－6m＋24＝0，m＝4.即直线MN过定点(4,0)．求解直线和曲线过定点问题的基本思路把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．1．已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，直线l：y＝－1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切．设动圆圆心P 的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)若点A ，B 是E 上的两个动点，O 为坐标原点，且＝－16，求证：直线AB 恒过定点．解：(1)设P (x ，y )，则x 2＋(y －2)2＝(y ＋1)＋1⇒x 2＝8y .(2)设直线AB ：y ＝kx ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将直线AB 的方程代入x 2＝8y 中得x 2－8kx －8b ＝0，所以x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－8b .＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 21x 2264＝－8b ＋b 2＝－16⇒b ＝4，所以直线AB 恒过定点(0,4)．[例2] (2014·江西高考)如图，已知双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)的右焦点F ，点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点)．(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0xa2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x＝32相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，|MF ||NF |恒为定值，并求此定值． [师生共研] (1)设F (c,0)，因为b ＝1，所以c ＝a 2＋1，直线OB 的方程为y ＝－1a x ，直线BF 的方程为y ＝1a(x －c )，解得B ⎝⎛⎭⎫c 2，－c 2a . 又直线OA 的方程为y ＝1a x ，则A ⎝⎛⎭⎫c ，c a ，k AB ＝c a －⎝⎛⎭⎫－c 2a c －c 2＝3a. 又因为AB ⊥OB ，所以3a ·⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1，解得a 2＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. (2)由(1)知a ＝3，则直线l 的方程为x 0x3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0.因为直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点为M ⎝⎛⎭⎫2，2x 0－33y 0；直线l 与直线x ＝32的交点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32x 0－33y 0. 则|MF |2|NF |2＝(2x 0－3)2(3y 0)214＋⎝⎛⎭⎫32x 0－32(3y 0)2＝(2x 0－3)29y 204＋94(x 0－2)2＝43·(2x 0－3)23y 20＋3(x 0－2)2，因为P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 203－y 20＝1，代入上式得 |MF |2|NF |2＝43·(2x 0－3)2x 20－3＋3(x 0－2)2＝43·(2x 0－3)24x 20－12x 0＋9＝43.所求定值为|MF ||NF |＝23＝233.求解定值问题的“三个”步骤(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；(3)得出结论．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F 2(1,0)，点H ⎝⎛⎭⎫2，2103在椭圆上．(1)求椭圆的方程；(2)点M 在圆x 2＋y 2＝b 2上，且M 在第一象限，过M 作圆x 2＋y 2＝b 2的切线交椭圆于P ，Q 两点，问：△PF 2Q 的周长是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，说明理由．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝1，4a 2＋409b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝8，∴椭圆方程为x 29＋y 28＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 219＋y 218＝1(|x 1|≤3)，|PF 2|2＝(x 1－1)2＋y 21＝(x 1－1)2＋8⎝⎛⎭⎫1－x 219＝19(x 1－9)2，∴|PF 2|＝13(9－x 1)＝3－13x 1.连接OM ，OP ，由相切条件知：|PM |2＝|OP |2－|OM |2＝x 21＋y 21－8＝x 21＋8⎝⎛⎭⎫1－x 219－8＝19x 21， ∴|PM |＝13x 1，∴|PF 2|＋|PM |＝3－13x 1＋13x 1＝3，同理可求得|QF 2|＋|QM |＝3－13x 2＋13x 2＝3，∴|F 2P |＋|F 2Q |＋|PQ |＝3＋3＝6为定值．[例3] (2014·湖南高考)如图，O 为坐标原点，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e1；双曲线C 2：x 2a 2－y2b2＝1的左、右焦点分别为F 3，F 4，离心率为e 2.已知e 1e 2＝32，且|F 2F 4|＝3－1.(1)求C 1，C 2的方程；(2)过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 与C 2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．[师生共研] (1)因为e 1e 2＝32，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，即a 4－b 4＝34a 4，因此a 2＝2b 2，从而F 2(b,0)，F 4(3b,0)．于是3b －b ＝|F 2F 4|＝3－1，所以b ＝1，a 2＝2，故C 1，C 2的方程分别为x 22＋y 2＝1，x 22－y 2＝1.(2)因AB 不垂直于y 轴，且过点F 1(－1,0)，故可设直线AB 的方程为x ＝my －1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 22＋y 2＝1得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0. 易知Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上述方程的两个实根，所以y 1＋y 2＝2mm 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2.因此x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝－4m 2＋2，于是AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 2＋2，m m 2＋2，故直线PQ 的斜率为－m 2，PQ 的方程为y ＝－m2x ，即mx ＋2y ＝0.由⎩⎨⎧y ＝－m 2x ，x22－y 2＝1得(2－m 2)x 2＝4，所以2－m 2>0，且x 2＝42－m 2，y 2＝m 22－m 2，从而|PQ |＝2x 2＋y 2＝2m 2＋42－m 2.设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以2d ＝|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|m 2＋4.因为点A ，B 在直线mx ＋2y ＝0的异侧，所以(mx 1＋2y 1)(mx 2＋2y 2)<0，于是|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|＝|mx 1＋2y 1－mx 2－2y 2|，从而2d ＝(m 2＋2)|y 1－y 2|m 2＋4.又因为|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝22·1＋m 2m 2＋2，所以2d ＝22·1＋m 2m 2＋4.故四边形APBQ 的面积S ＝12|PQ |·2d ＝22·1＋m 22－m 2＝22·－1＋32－m 2.而0<2－m 2≤2，故当m ＝0时，S 取得最小值2. 综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2.求圆锥曲线中最值的方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．3.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是抛物线y 2＝2px (p >0)上相异两点，Q ，P 到y 轴的距离的积为4，且＝0，PQ 交x 轴于E .(1)求该抛物线的标准方程；(2)过Q 的直线与抛物线的另一交点为R ，与x 轴的交点为T ，且Q 为线段RT 的中点，试求弦PR 长度的最小值．解：(1)∵＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，又P ，Q 在抛物线上，故y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，故得y 212p ·y 222p＋y 1y 2＝0, 则y 1y 2＝－4p 2，∴|x 1x 2|＝(y 1y 2)24p2＝4p 2. 又|x 1x 2|＝4，故得4p 2＝4，p ＝1. ∴抛物线的标准方程为y 2＝2x . (2)设E (a,0)，且方程为x ＝my ＋a .联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋a ，y 2＝2x ，消去x 得y 2－2my －2a ＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2a ，① 设直线PR 与x 轴交于点M (b,0)，则可设直线PR 的方程为x ＝ny ＋b ，并设R (x 3，y 3)，同理可知，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 3＝2n ，y 1y 3＝－2b .②由①②可得y 3y 2＝ba.由题意，Q 为线段RT 的中点， ∴y 3＝2y 2， ∴b ＝2a ，又由(1)知，y 1y 2＝－4，代入①中，可得－2a ＝－4， ∴a ＝2，故b ＝4. ∴y 1y 3＝－8.∴|PR |＝1＋n 2|y 1－y 3|＝1＋n 2·(y 1＋y 3)2－4y 1y 3＝21＋n 2·n 2＋8≥4 2. 当n ＝0，即直线PR 垂直于x 轴时，|PR |取最小值4 2.课题7 参数法求圆锥曲线的定点问题[典例] 已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－1，离心率e ＝22.(1)求椭圆E 的方程； (2)过点(1,0)作直线l 交E 于P ，Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，使为定值？若存在，求出这个定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．[考题揭秘] 本题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程以及直线与圆锥曲线的位置关系及参数法求定点，考查分类讨论思想及方程的思想．[审题过程] 第一步：审条件．已知椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝22及椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－1.第二步：审结论．第(1)问：求椭圆方程；第(2)问：过点(1,0)作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，探索在x 轴上是否存在一个定点M ，使为定值．第三步：建联系．第(1)问：设出椭圆方程代入已知条件，解方程组求解；第(2)问：假设存在定点M (m,0)，设出P ，Q 点的坐标，写出及的坐标表达式，分类讨论直线l 的斜率是否存在，联立直线与椭圆的方程，得P ，Q 两点横、纵坐标间的关系，代入，求出m 值，得到M 点的坐标．[规范解答] (1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝2－1，c a ＝22，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1.所以b 2＝a 2－c 2＝1.所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在符合条件的点M (m,0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， Ⓐ ＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＋y 1y 2. Ⓑ①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k (x －1)，得x 2＋2k 2(x－1)2－2＝0，即(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－k 22k 2＋1， Ⓑ所以＝2k 2－22k 2＋1－m ·4k 22k 2＋1＋m 2－k 22k 2＋1＝(2m 2－4m ＋1)k 2＋(m 2－2)2k 2＋1.因为对于任意的k 值，为定值，所以2m 2－4m ＋1＝2(m 2－2)，得m ＝54.所以当定点M 取坐标为M ⎝⎛⎭⎫54，0时，得＝－716. Ⓒ ②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，则x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝1，y 1y 2＝－12，由m ＝54，得＝－716.综上，符合条件的点M 存在，且坐标为⎝⎛⎭⎫54，0. Ⓓ [模型归纳]参数法求圆锥曲线定点问题的模型示意图如下：引进参数——从目标对应关系式出发，引进相关参数．一般引进的参数是直线的夹角、 ↓ 直线的斜率或截距、点的坐标等，如步骤Ⓐ 列关系式——根据题设条件，列出关系式，如步骤Ⓑ探求直线↓ 过定点若直线化为y －y 0＝k (x －x 0)形式，则k ∈R 时直线经过定点(x 0， y 0)；若化为f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0的形式，则λ∈R 时，曲线经过定点即 f (x ，y )＝0与g (x ，y )＝0的交点；若结论中含有参数，则定值与参数无关，如步骤Ⓒ下结论——得出结论，如步骤Ⓓ [跟踪训练](2014·四川高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－2,0)，离心率为63.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，T 为直线x ＝－3上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P ，Q .当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积．解：(1)由已知可得，c a ＝63，c ＝2，所以a ＝ 6.又由a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(2)设T 点的坐标为(－3，m )，则直线TF 的斜率k TF ＝m －0－3－(－2)＝－m .当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m，直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y 22＝1.消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)＞0.所以y 1＋y 2＝4mm 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3.因为四边形OPTQ 是平行四边形，所以，即(x 1，y 1)＝(－3－x 2，m －y 2)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－12m 2＋3＝－3，y 1＋y 2＝4mm 2＋3＝m .解得m ＝±1.此时，四边形OPTQ 的面积S OPTQ ＝2S △OPQ ＝2×12·|OF |·|y 1－y 2|＝2⎝⎛⎭⎫4m m 2＋32－4·－2m 2＋3＝2 3.1．(2014·洛阳模拟)已知圆心为F 1的圆的方程为(x ＋2)2＋y 2＝32，F 2(2,0)，C 是圆F 1上的动点，F 2C 的垂直平分线交F 1C 于M .(1)求动点M 的轨迹方程；(2)设N (0,2)，过点P (－1，－2)作直线l ，交M 的轨迹于不同于N 的A ，B 两点，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1, k 2，证明：k 1＋k 2为定值．解：(1)由线段的垂直平分线的性质得|MF 2|＝|MC |.又|F 1C |＝42，∴|MF 1|＋|MC |＝42，∴|MF 2|＋|MF 1|＝42>4. ∴M 点的轨迹是以F 1，F 2为焦点，以42为长轴长的椭圆．由c ＝2，a ＝22得b ＝2.故动点M 的轨迹方程为x 28＋y 24＝1.(2)当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＋2＝k (x ＋1)得(1＋2k 2)x 2＋4k (k －2)x ＋2k 2－8k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k (k －2)1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－8k 1＋2k 2.从而k 1＋k 2＝y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝2kx 1x 2＋(k －4)(x 1＋x 2)x 1x 2＝2k －(k －4)×4k (k －2)2k 2－8k＝4.当直线l 的斜率不存在时，得A ⎝⎛⎭⎫－1，142，B －1，－142，得k 1＋k 2＝4.综上，恒有k 1＋k 2＝4.2．(2014·贵阳模拟)已知椭圆C 1：x 2a2＋y 2＝1(a >1)的长轴、短轴、焦距分别为A 1A 2、B 1B 2、F 1F 2，且|F 1F 2|2是|A 1A 2|2与|B 1B 2|2的等差中项．(1)求椭圆C 1的方程；(2)若曲线C 2的方程为(x －t )2＋y 2＝(t 2＋3t )2(0<t ≤22)，过椭圆C 1左顶点的直线l 与曲线C 2相切，求直线l 被椭圆C 1截得的线段长的最小值．解：(1)由题意得|B 1B 2|＝2b ＝2，|A 1A 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，a 2－b 2＝c 2，又2×(2c )2＝(2a )2＋22，解得a 2＝3，c 2＝2，故椭圆C 1的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由(1)可取椭圆的左顶点坐标为A 1(－3，0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)．由直线l 与曲线C 2相切得|k (t ＋3)|k 2＋1＝(t ＋3)t ，整理得|k |k 2＋1＝t .又因为0<t ≤22，所以0<|k |k 2＋1≤22，解得0<k 2≤1.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1，y ＝k (x ＋3)，消去y 整理得(3k 2＋1)x 2＋63k 2x ＋9k 2－3＝0.直线l 被椭圆C 1截得的线段一端点为A 1(－3，0)，设另一端点为B ，解方程可得点B的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33k 2＋33k 2＋1，23k 3k 2＋1，所以|A 1B |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－33k 2＋33k 2＋1＋32＋12k 2(3k 2＋1)2＝2 3 k 2＋13k 2＋1. 令m ＝k 2＋1(1<m ≤2)，则|A 1B |＝23m 3(m 2－1)＋1＝233m －2m. 由函数y ＝3m －2m 的性质知y ＝3m －2m在区间(1， 2 ]上是增函数，所以当m ＝2时，y ＝3m －2m 取得最大值22，从而|A 1B |min ＝62.3．如图，已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点A (1,2)作抛物线C 的弦AP ，AQ .(1)若AP ⊥AQ ，证明：直线PQ 过定点T ，并求出点T 的坐标；(2)当直线PQ 过定点T 时，是否存在以PQ 为底边的等腰三角形APQ ？若存在，求出△APQ 的个数；若不存在，请说明理由．解：(1)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋n ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋n ，消去x 整理，得y 2－4my －4n ＝0.所以Δ＝(－4m )2－4(－4n )＝16(m 2＋n )>0，且y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4n .因为AP ⊥AQ ，所以＝0，即(x 1－1)(x 2－1)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0，又x 1＝y 214，x 2＝y 224，代入整理得(y 1－2)(y 2－2)[(y 1＋2)(y 2＋2)＋16]＝0，解得(y 1－2)(y 2－2)＝0或(y 1＋2)(y 2＋2)＋16＝0，即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0或y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0，将y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4n 代入整理得n ＝－2m ＋1或n ＝2m ＋5，因为Δ>0恒成立，所以n ＝2m ＋5.于是直线PQ 的方程为x －5＝m (y ＋2)，故直线PQ 过定点T (5，－2)． (2)假设存在以PQ 为底边的等腰三角形APQ . 设直线PQ 的方程为x ＝ky ＋b ，显然k ≠0，因为直线过定点T (5，－2)，所以5＝k ×(－2)＋b ，即b ＝2k ＋5，所以直线PQ 的方程为x ＝ky ＋2k ＋5.设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝ky ＋2k ＋5，消去x 整理，得y 2－4ky －8k －20＝0，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－8k －20.因为PQ 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 3＋x 42，y 3＋y 42，即y 23＋y 248，y 3＋y 42，且⎝⎛⎭⎫y 23＋y 248＝(y 3＋y 4)2－2y 3y 48＝2k 2＋2k ＋5，所以PQ 的中点坐标为(2k 2＋2k ＋5,2k )．由已知，得2k －22k 2＋2k ＋5－1＝－k ，即k 3＋k 2＋3k －1＝0.设g (k )＝k 3＋k 2＋3k －1，则g ′(k )＝3k 2＋2k ＋3>0，所以g (k )在R 上是增函数．又g (0)＝－1<0，g (1)＝4>0，所以g (k )在(0,1)内有一个零点，即函数g (k )在R 上有且只有一个零点，所以方程k 3＋k 2＋3k －1＝0在R 上有唯一实根，于是满足条件的等腰三角形有且只有一个．4．(2014·四川高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)；②当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标．解：(1)由已知可得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2b ，2c ＝2a 2－b 2＝4，解得a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(2)①由(1)可得，F 的坐标是(－2,0)，设T 点的坐标为(－3，m )，则直线TF 的斜率k TF ＝m －0－3－(－2)＝－m .当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m，直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y 22＝1，消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0，所以y 1＋y 2＝4mm 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3，所以PQ 的中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 2＋3，2m m 2＋3，所以直线OM 的斜率k OM ＝－m3，又直线OT 的斜率k OT ＝－m3，所以点M 在直线OT 上，因此OT 平分线段PQ . ②由①可得， |TF |＝m 2＋1，|PQ |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(m 2＋1)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝ (m 2＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫4m m 2＋32－4·－2m 2＋3＝ 24(m 2＋1)m 2＋3.所以|TF ||PQ |＝124·(m 2＋3)2m 2＋1。

2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题5_第3讲_立体几何中的向量方法(含答案)

第3讲立体几何中的向量方法考情解读 1．以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体，考查空间中平行与垂直的证明，常出现在解答题的第(1)问中，考查空间想象能力，推理论证能力及计算能力，属低中档问题.2．以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体，考查空间角(主要是线面角和二面角)的计算，是高考的必考内容，属中档题.3．以已知结论寻求成立的条件(或是否存在问题)的探索性问题，考查逻辑推理能力、空间想象能力以及探索能力，是近几年高考命题的新亮点，属中高档问题．1．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α、β的法向量分别为μ＝(a 2，b 2，c 2)，v ＝(a 3，b 3，c 3)(以下相同)．（1）线面平行l ∥α⇔a ⊥μ⇔a ·μ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0. （2）线面垂直l ⊥α⇔a ∥μ⇔a ＝k μ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2. （3）面面平行α∥β⇔μ∥v ⇔μ＝λv ⇔a 2＝λa 3，b 2＝λb 3，c 2＝λc 3. （4）面面垂直α⊥β⇔μ⊥v ⇔μ·v ＝0⇔a 2a 3＋b 2b 3＋c 2c 3＝0. 2．直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．平面α、β的法向量分别为 μ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)(以下相同)．（1）线线夹角设l ，m 的夹角为θ(0≤θ≤π2)，则cos θ＝|a ·b ||a ||b |＝|a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2|a 21＋b 21＋c 21a 22＋b 22＋c 22.（2）线面夹角设直线l 与平面α的夹角为θ(0≤θ≤π2)，则sin θ＝|a ·μ||a ||μ|＝|cos 〈a ，μ〉|.（3）面面夹角设半平面α、β的夹角为θ(0≤θ≤π)，则|cos θ|＝|μ·v ||μ||v |＝|cos 〈μ，v 〉|. 提醒求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析．3．求空间距离直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离，点P 到平面α的距离：d ＝|PM →·n ||n |(其中n 为α的法向量，M 为α内任一点).热点一利用向量证明平行与垂直例1 如图，在直三棱柱ADE —BCF 中，面ABFE 和面ABCD 都是正方形且互相垂直，M 为AB 的中点，O 为DF 的中点．运用向量方法证明：（1）OM ∥平面BCF ；（2）平面MDF ⊥平面EFCD .思维启迪从A 点出发的三条直线AB 、AD ，AE 两两垂直，可建立空间直角坐标系．思维升华 (1)要证明线面平行，只需证明向量OM →与平面BCF 的法向量垂直；另一个思路则是根据共面向量定理证明向量OM →与BF →，BC →共面．(2)要证明面面垂直，只要证明这两个平面的法向量互相垂直；也可根据面面垂直的判定定理证明直线OM 垂直于平面EFCD ，即证OM 垂直于平面EFCD 内的两条相交直线，从而转化为证明向量OM →与向量FC →、CD →垂直．如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，P A ＝AB ＝2，∠BAD ＝60°，E 是P A 的中点．（1）求证：直线PC ∥平面BDE ；（2）求证：BD ⊥PC ；热点二利用向量求空间角例2 如图，五面体中，四边形ABCD 是矩形，AB ∥EF ，AD ⊥平面ABEF ，且AD ＝1，AB ＝12EF ＝22，AF ＝BE ＝2，P 、Q 分别为AE 、BD 的中点．（1）求证：PQ ∥平面BCE ；（2）求二面角A －DF －E 的余弦值．思维启迪 (1)易知PQ 为△ACE 的中位线；(2)根据AD⊥平面ABEF 构建空间直角坐标系．思维升华 (1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论．(2)求空间角注意：①两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β，即cos α＝|cos β|.②两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角．③直线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，即注意函数名称的变化．(2013·山东)如图所示，在三棱锥P －ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，BA ＝BP ＝BQ ，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，AQ ＝2BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH . （1）求证：AB ∥GH ；（2）求二面角D －GH －E 的余弦值．热点三利用空间向量求解探索性问题例3 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝2AA 1，∠ABC ＝90°，D 是BC 的中点．（1）求证：A 1B ∥平面ADC 1；（2）求二面角C 1－AD －C 的余弦值；（3）试问线段A 1B 1上是否存在点E ，使AE 与DC 1成60°角？若存在，确定E 点位置；若不存在，说明理由．思维升华空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断．解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法．如图，在三棱锥P —ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，AP ＝BP ＝AB ，PC ⊥AC ，点D 为BC 的中点．（1）求二面角A —PD —B 的余弦值；（2）在直线AB 上是否存在点M ，使得PM 与平面P AD 所成角的正弦值为16，若存在，求出点M 的位置；若不存在，说明理由．空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性，能把“非运算”问题“运算”化，即通过直线的方向向量和平面的法向量，把立体几何中的平行、垂直关系，各类角、距离以向量的方式表达出来，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题．应用的核心是充分认识形体特征，进而建立空间直角坐标系，通过向量的运算解答问题，达到几何问题代数化的目的，同时注意运算的准确性．提醒三点：（1）直线的方向向量和平面的法向量所成角的余弦值的绝对值是线面角的正弦值，而不是余弦值．（2）求二面角除利用法向量外，还可以按照二面角的平面角的定义和空间任意两个向量都是共面向量的知识，我们只要是在二面角的两个半平面内分别作和二面角的棱垂直的向量，并且两个向量的方向均指向棱或者都从棱指向外，那么这两个向量所成的角的大小就是二面角的大小．如图所示．（3）对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R )，四点P ，A ，B ，C 共面的充要条件是x ＋y ＋z ＝1.空间一点P 位于平面MAB 内⇔存在有序实数对x ，y ，使MP →＝xMA →＋yMB →，或对空间任一定点O ，有序实数对x ，y ，使OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →.真题感悟(2014·北京)如图，正方形AMDE 的边长为2，B ，C 分别为AM ，MD 的中点，在五棱锥P －ABCDE 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD ，PC 分别交于点G ，H.（1）求证：AB ∥FG ；（2）若P A ⊥底面ABCDE ，且P A ＝AE ，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长．押题精练如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1。

2015届高考理科数学二轮复习专题课件 2-6-3 第21讲圆锥曲线中的综合问题

记忆
B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．
提能专训
热点盘点
[二轮备考讲义] 第二部分专题六第3讲第20页第二十页，编辑于星期五：十点二十八分。
名师伴你行 ·高考二轮复习 ·数学（理）
解：(1)在C1，C2的方程中，令y＝0，可得b＝1，且A(－
基础
1,0)，B(1,0)是上半椭圆C1的左、右顶点，
础
记忆
②定义法：满足的条件恰适合某已知பைடு நூலகம்线的定义，用待定
提
系数法求方程；
能专
训
③代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联
热点
系；
盘
点
④交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动
直线交点的轨迹．
[二轮备考讲义] 第二部分专题六第3讲第12页第十二页，编辑于星期五：十点二十八分。
经检验，k＝－83符合题意，
提
故直线l的方程为y＝－83(x－1)．
能专训
热
解法二：若设直线l的方程为x＝my＋1
点
盘点
一．
(m≠0)，比照解法
[二轮备考讲义] 第二部分专题六第3讲第24页第二十四页，编辑于星期五：十点二十八分。
名师伴你行 ·高考二轮复习 ·数学（理）
3．(2014·湖南)如图，O为坐标原点，椭圆C1：
名师伴你行 ·高考二轮复习 ·数学（理）
圆锥曲线的综合问题包括：轨迹问题、探索性问题、定点与
基定值问题、范围与最值问题等，一般试题难度较大.这类问题以直
础
记忆
线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合
提
运用函数与方程、不等式、平面向量等诸多知识以及数形结合、能

2015高考数学(理)(新课标)二轮复习配套试题第十章圆锥曲线圆锥曲线的综合问题

精品题库试题理数1. (2014河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 16) 在棱长为1的正方体中，、分别是、的中点．点在正方体的表面上运动，则总能使与垂直的点所构成的轨迹的周长等于________．1.1.作的中点分别为，易证, 过做一个平面∥平面交正方体为一个与四边形全等的矩形，此矩形就是P的轨迹，其周长为.2. (2014广东,20,14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.2.查看解析2.(1)由题意知c=,e==,∴a=3,b2=a2-c2=4,故椭圆C的标准方程为+=1.(2)设两切线为l1,l2,①当l1⊥x轴或l1∥x轴时,l2∥x轴或l2⊥x轴,可知P(±3,±2).②当l1与x轴不垂直且不平行时,x0≠±3,设l1的斜率为k,且k≠0,则l2的斜率为-,l1的方程为y-y0=k(x-x0),与+=1联立,整理得(9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0,∵直线l1与椭圆相切,∴Δ=0,即9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)·=0,∴(-9)k2-2x0y0k+-4=0,∴k是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的一个根,同理,-是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的另一个根,∴k·=,整理得+=13,其中x0≠±3,∴点P的轨迹方程为x2+y2=13(x≠±3).检验P(±3,±2)满足上式.综上,点P的轨迹方程为x2+y2=13.3. (2014江西,20,13分)如图,已知双曲线C:-y2=1(a>0)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).(1)求双曲线C的方程;(2)过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l:-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=相交于点N.证明:当点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值.3.查看解析3.(1)设F(c,0),因为b=1,所以c=,直线OB的方程为y=-x,直线BF的方程为y=(x-c),解得B.又直线OA的方程为y=x,则A,k AB==.又因为AB⊥OB,所以·=-1,解得a2=3,故双曲线C的方程为-y2=1.(2)由(1)知a=,则直线l的方程为-y0y=1(y0≠0),即y=.因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点为M;直线l与直线x=的交点为N,则===·.因为P(x0,y0)是C上一点,则-=1,代入上式得=·=·=,所求定值为==.4. (2014湖北,21,14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(Ⅰ)求轨迹C的方程;(Ⅱ)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.4.查看解析4.(Ⅰ)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即=|x|+1,化简整理得y2=2(|x|+x).故点M的轨迹C的方程为y2=(Ⅱ)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x<0),依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).由方程组可得ky2-4y+4(2k+1)=0.①(1)当k=0时,此时y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=.故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点.(2)当k≠0时,方程①的判别式为Δ=-16(2k2+k-1).②设直线l与x轴的交点为(x0,0),则由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-.③(i)若由②③解得k<-1或k>.即当k∈(-∞,-1)∪时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点, 故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.(ii)若或则由②③解得k∈或-≤k<0.即当k∈时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点.当k∈时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点.故当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.(iii)若则由②③解得-1<k<-或0<k<.即当k∈∪时,直线l与C1有两个公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.综合(1)(2)可知,当k∈(-∞,-1)∪∪{0}时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点;当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点;当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有三个公共点.5. (2014湖北,19,12分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2).(Ⅰ)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ;(Ⅱ)是否存在λ,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.5.查看解析5.解法一:(几何方法)(Ⅰ)证明:如图1,连结AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知BC1∥AD1.当λ=1时,P是DD1的中点,又F是AD的中点,所以FP∥AD1.所以BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(Ⅱ)如图2,连结BD.因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD,且EF=BD.又DP=BQ,DP∥BQ,所以四边形PQBD是平行四边形,故PQ∥BD,且PQ=BD,从而EF∥PQ,且EF=PQ.在Rt△EBQ和Rt△FDP中,因为BQ=DP=λ,BE=DF=1,于是EQ=FP=,所以四边形EFPQ是等腰梯形.同理可证四边形PQMN是等腰梯形.分别取EF,PQ,MN的中点为H,O,G,连结OH,OG,则GO⊥PQ,HO⊥PQ,而GO∩HO=O,故∠GOH是面EFPQ与面PQMN所成的二面角的平面角.若存在λ,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角,则∠GOH=90°.连结EM,FN,则由EF∥MN,且EF=MN,知四边形EFNM是平行四边形.连结GH,因为H,G是EF,MN的中点,所以GH=ME=2.在△GOH中,GH2=4,OH2=1+λ2-=λ2+,OG2=1+(2-λ)2-=(2-λ)2+,由OG2+OH2=GH2,得(2-λ)2++λ2+=4,解得λ=1±,故存在λ=1±,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.解法二:(向量方法)以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系D-xyz. 由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,λ).=(-2,0,2),=(-1,0,λ),=(1,1,0).(Ⅰ)证明:当λ=1时,=(-1,0,1),因为=(-2,0,2),所以=2,即BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(Ⅱ)设平面EFPQ的一个法向量为n=(x,y,z),则由可得于是可取n=(λ,-λ,1).同理可得平面MNPQ的一个法向量为m=(λ-2,2-λ,1).若存在λ,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角,则m·n=(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得λ=1±.故存在λ=1±,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.6.(2014山东,21,14分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,(i)证明直线AE过定点,并求出定点坐标;(ii)△ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由.6.查看解析6.(Ⅰ)由题意知F.设D(t,0)(t>0),则FD的中点为.因为|FA|=|FD|,由抛物线的定义知3+=,解得t=3+p或t=-3(舍去).由=3,解得p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知F(1,0),设A(x0,y0)(x0y0≠0),D(x D,0)(x D>0),因为|FA|=|FD|,则|x D-1|=x0+1,由x D>0得x D=x0+2,故D(x0+2,0).故直线AB的斜率k AB=-.因为直线l1和直线AB平行,设直线l1的方程为y=-x+b,代入抛物线方程得y2+y-=0,由题意Δ=+=0,得b=-.设E(x E,y E),则y E=-,x E=,当≠4时,k AE==-=, 可得直线AE的方程为y-y0=(x-x0),由=4x0,整理可得y=(x-1),直线AE恒过点F(1,0).当=4时,直线AE的方程为x=1,过点F(1,0),所以直线AE过定点F(1,0).(ii)由(i)知直线AE过焦点F(1,0),所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+=x0++2. 设直线AE的方程为x=my+1,因为点A(x0,y0)在直线AE上,故m=,设B(x1,y1),直线AB的方程为y-y0=-(x-x0),由于y0≠0,可得x=-y+2+x0,代入抛物线方程得y2+y-8-4x0=0.所以y0+y1=-,可求得y1=-y0-,x1=+x0+4,所以点B到直线AE的距离为d===4.则△ABE的面积S=×4≥16,当且仅当=x0,即x0=1时等号成立.所以△ABE的面积的最小值为16.7. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，20) 抛物线C1：的焦点与椭圆C2：的一个焦点相同. 设椭圆的右顶点为A，C1, C2在第一象限的交点为B，O为坐标原点，且的面积为.(1) 求椭圆C2的标准方程；（2）过A点作直线交C1于C, D两点，连接OC, OD分别交C2于E, F两点，记，的面积分别为, . 问是否存在上述直线使得，若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.7.查看解析7. （1）∵∴焦点∴即……………1分又∵∴……………2分代入抛物线方程得. 又B点在椭圆上得，∴椭圆C2的标准方程为.……………4分（2）设直线的方程为，由得设，所以……………6分又因为直线的斜率为，故直线的方程为，由得，同理所以则，……………10分所以，所以，故不存在直线使得……………12分8. (2014重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考，21) 已知点，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，到焦点的距离的最大值为，且的最大面积为1.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）点的坐标为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于，两点．对于任意的，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．8.查看解析8.（Ⅰ）依题意，，，因为，所以，，所以所求椭圆的标准方程为. （5分）（Ⅱ）设直线的方程为，，，又，联立方程组，消去得，（8分）所以，，因为，，所以. （12分）9. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），20) 已知动圆过定点，且在轴上截得弦长为4. 设该动圆圆心的轨迹为曲线.（Ⅰ）求曲线方程；（Ⅱ）点为直线：上任意一点，过作曲线的切线，切点分别为、，面积的最小值及此时点的坐标.9.查看解析9.（Ⅰ）设动圆圆心坐标为，根据题意得：，化简得. （4分）（Ⅱ）解法一：设直线的方程为，由消去得，设，则，且，（6分）以点为切点的切线的斜率为，其切线方程为，即，同理过点的切线的方程为，设两条切线的交点为在直线上，，解得，即，则，即，（8分）代入，，到直线的距离为，，，当时，最小，其最小值为，此时点的坐标为. （12分）解法二：设在直线上，点在抛物线上，则以点为切点的切线的斜率为，其切线方程为，即，同理以点为切点的方程为，（6分）设两条切线的均过点，则，点、的坐标均满足方程，即直线的方程为：，（8分）代入抛物线方程消去可得：，直线的距离为，，当时，最小，其最小值为，此时点的坐标为. （12分）10. (2014湖北黄冈高三4月模拟考试，21) 设是圆上的任意一点，过作垂直于轴的垂线段，为垂足，是线段上的点，且满足，当点在圆上运动时，记点的轨迹是曲线.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）过曲线的左焦点作斜率为的直线交曲线于、，点满足，是否存在实数，使得点在曲线上，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.10.查看解析10.（Ⅰ）如图，设，，则由可得，，即又，，即为曲线C的方程. （6分）（Ⅱ）设由，（8分）设，，，即P点坐标为将点代入，得（负舍去）存在当时，点在曲线C上. （13分）11. (2014北京东城高三第二学期教学检测，19) 椭圆：() 的离心率为，其左焦点到点的距离为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点. 求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.11.查看解析11.（Ⅰ）由题：；左焦点到点的距离为：. 所以.所以所求椭圆C的方程为：. （5分）（Ⅱ）设，由得，，.以为直径的圆过椭圆的右顶点，，，，，解得，且满足.当时，，直线过定点与已知矛盾；当时，，直线过定点综上可知，直线过定点，定点坐标为（14分）12. (2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，20) 若点是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于两点.（Ⅰ）求证：为定值；（Ⅱ）若点与点不重合，问的面积是否存在最大值? 若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.12.查看解析12.解析（Ⅰ）因为点在抛物线上，所以，有，那么抛物线.若直线的斜率不存在，直线: ，此时, （3分）若直线的斜率存在，设直线: ，点，，有那么，为定值. （7分）（Ⅱ）若直线的斜率不存在，直线，此时，，，.若直线的斜率存在时，，（9分）点到直线的距离，，令，，所以没有最大值. (12分）13.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，20）已知椭圆的离心率为, 椭圆C过点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点作圆的切线交椭圆于A，B两点, 记为坐标原点)的面积为, 将表示为m的函数，并求的最大值.13.查看解析13.（2）由题意知，.易知切线的斜率存在, 设切线的方程为由得设A、B两点的坐标分别为，则………………………6分,(当且仅当时取等号)所以当时，的最大值为1. ………………………13分14.（2014江西红色六校高三第二次联考理数试题，20）如图，F1，F2是离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l：x=﹣将线段F1F2分成两段，其长度之比为1：3．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，线段AB的中点M在直线l上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的取值范围．14.查看解析14. （Ⅰ）设F2（c，0），则=，所以c=1．因为离心率e=，所以a=，所以b=1所以椭圆C的方程为．----------------------4分（Ⅱ）当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x=﹣，此时P（，0）、Q（，0），．------6分当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，M（﹣，m）（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．由得（x1+x2）+2（y1+y2）=0，则﹣1+4mk=0，∴k=．-----------------------------------8分此时，直线PQ斜率为k1=﹣4m，PQ的直线方程为，即y=﹣4mx﹣m．联立消去y，整理得（32m2+1）x2+16m2x+2m2﹣2=0．所以，．-------------------------10分于是=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）+1+（4mx1+m）（4mx2+m）===．令t=1+32m2，由得1＜t＜29，则．又1＜t＜29，所以．综上，的取值范围为15.查看解析15.（1）由点在椭圆上得，①②由①②得，故椭圆的方程为…………………….. 4分（2）假设存在常数，使得.由题意可设③代入椭圆方程并整理得设，则有④ ……………6分在方程③中，令得，，从而. 又因为共线，则有，即有所以=⑤将④代入⑤得，又，所以故存在常数符合题意……………………………………………………………12分16.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题, 20) 如图，已知点F为抛物线的焦点，过点F任作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于A，C，B，D四点，E，G分别为AC，BD的中点．( I) 直线EG是否过定点？若过，求出该定点；若不过，说明理由；(Ⅱ) 设直线EG交抛物线于M，N两点，试求的最小值.16.查看解析16.17.(2014湖北八市高三下学期3月联考，21) 己知⊙O：x2 +y2=6，P为⊙O上动点，过P作PM⊥x轴于M，N为PM上一点，且．（I）求点N的轨迹C的方程；（II）若A(2，1) ，B(3，0) ，过B的直线与曲线C相交于D、E两点，则k AD+k AE是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．17.查看解析17. (Ⅰ) 设, , 则, ,由, 得, ………………………………………3分由于点在圆上, 则有, 即.点的轨迹的方程为. …………………………………………………………6分(Ⅱ) 设, , 过点的直线的方程为,由消去得: , 其中; …………………………………………………………8分……………………………………………10分是定值. ………………………………………………………………………………13分18. (2014周宁、政和一中第四次联考，16) 已知动点到点的距离是它到点的距离的倍．（Ⅰ）试求点的轨迹方程；（Ⅱ）已知直线经过点且与点的轨迹相切，试求直线的方程．18.查看解析18. （Ⅰ）设点，由题意得两边平方整理得.故点的轨迹是一个圆，其方程为. （6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得圆心为，半径.(i) 若直线的斜率不存在，则方程为，圆心到直线的距离，故该直线与圆不相切；(ii) 若直线的斜率存在，设为，则直线的方程为.由直线和圆相切得：，整理得，解得或.故所求直线的方程为或. (13分)19. (2014湖南株洲高三教学质量检测（一），20) 已知椭圆的左右焦点分别为，，为坐标原点，过点且不垂直于轴的动直线与椭圆相交于、两点，过点的直线与椭圆交于另一点.（Ⅰ）若，求的直线的方程；(Ⅱ) 求面积的最大值.19.查看解析19. （Ⅰ）设C(x, y), 则，①（3分）又C点在椭圆上，有：②联立①②解得或，所以的直线的方程为. （6分）(Ⅱ) 设直线的方程为：，，联立直线与椭圆方程得：满足，（8分）弦长，又点到直线的距离为，所以，令，. （13分）20. (2014江苏苏北四市高三期末统考, 23) 已知点，，动点满足. （Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）在直线：上取一点，过点作轨迹的两条切线，切点分别为. 问：是否存在点，使得直线//？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.20.查看解析20. 解析（Ⅰ）设，则，，，由，得，化简得.故动点的轨迹的方程. （5分）（Ⅱ）直线方程为，设，，.过点的切线方程设为，代入，得，由，得，所以过点的切线方程为，（7分）同理过点的切线方程为. 所以直线MN的方程为，又//，所以，得，而，故点的坐标为. （10分）21.(2014江苏苏北四市高三期末统考, 20) 已知数列满足，，，是数列的前项和.（Ⅰ）若数列为等差数列.（ⅰ）求数列的通项；（ⅱ）若数列满足，数列满足，试比较数列前项和与前项和的大小；（Ⅱ）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.21.查看解析21. 解析（Ⅰ）（ⅰ）因为，所以，即，又，所以，又因为数列成等差数列，所以，即，解得，所以；（ⅱ）因为，所以，其前项和，又因为，（5分）所以其前项和，所以，当或时，；当或时，；当时，. （9分）（Ⅱ）由知，两式作差，得，所以, 作差得，（11分）所以，当时，；当时，；当时，；当时，；因为对任意，恒成立，所以且，所以，解得，，故实数的取值范围为. （16分）22. (2014江苏苏北四市高三期末统考, 19) 已知函数（为常数），其图象是曲线.（Ⅰ）当时，求函数的单调减区间；（Ⅱ）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为. 问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.22.查看解析22. 解析（Ⅰ）当时，.令，解得，所以f(x) 的单调减区间为. （4分）（Ⅱ），由题意知消去，得有唯一解.令，则，所以在区间，上是增函数，在上是减函数，又，，故实数的取值范围是. （10分）（Ⅲ）设，则点处切线方程为，与曲线：联立方程组，得，即，所以点的横坐标. （12分）由题意知，，，若存在常数，使得，则，即存在常数，使得，所以解得，.故时，存在常数，使；时，不存在常数，使. （16分）23. (2014江苏苏北四市高三期末统考, 18) 已知的三个顶点，，，其外接圆为.（Ⅰ）若直线过点，且被截得的弦长为2，求直线的方程；（Ⅱ）对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求的半径的取值范围.23.查看解析23. 解析（Ⅰ）线段的垂直平分线方程为，线段的垂直平分线方程为，所以外接圆圆心，半径，圆的方程为. （4分）设圆心到直线的距离为，因为直线被圆截得的弦长为2，所以.当直线垂直于轴时，显然符合题意，即为所求；当直线不垂直于轴时，设直线方程为，则，解得，综上，直线的方程为或. （8分）（Ⅱ）直线的方程为，设，因为点是线段的中点，所以，又都在半径为的圆上，所以即因为该关于的方程组有解，即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，所以, （12分）又，所以对]成立.而在上的值域为，所以且.又线段与圆无公共点，所以对成立，即.故圆的半径的取值范围为. （16分）24. (2014吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 21) 已知抛物线: 的准线为，焦点为，的圆心在轴的正半轴上，且与轴相切，过原点作倾斜角为的直线，交于点，交于另一点，且（Ⅰ）求和抛物线的方程;（Ⅱ）过上的动点作的切线，切点为、，求当坐标原点到直线的距离取得最大值时，四边形的面积.24.查看解析24. （Ⅰ）准线交轴于，在中，所以, 所以，抛物线方程是，(3分)在中有, 所以，所以⊙方程是：.(6分)（Ⅱ）解法一：设，所以切线；切线，(8分)因为和交于点，所以和成立，所以ST方程：，(10分)所以原点到距离，当，即在y轴上时有最大值，此时直线ST方程是，所以，所以此时四边形的面积. (12分)25. (2014河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 20) 已知椭圆C的左、右焦点分别为，椭圆的离心率为，且椭圆经过点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；(Ⅱ) 线段是椭圆过点的弦，且，求内切圆面积最大时实数的值.25.查看解析25.：（Ⅰ），又. (4分）(Ⅱ) 显然直线不与轴重合当直线与轴垂直时，||=3，，；当直线不与轴垂直时，设直线：代入椭圆C的标准方程，整理，得，(7分）令，所以，由上，得，所以当直线与轴垂直时最大，且最大面积为3，设内切圆半径，则即，此时直线与轴垂直，内切圆面积最大，所以，. （12分）26. (2014广州高三调研测试, 21) 如图7，已知椭圆的方程为，双曲线的两条渐近线为. 过椭圆的右焦点作直线，使，又与交于点，设与椭圆的两个交点由上至下依次为，.（1）若与的夹角为60°，且双曲线的焦距为4，求椭圆的方程；（2）求的最大值.26.查看解析26. （1）因为双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为.因为两渐近线的夹角为且，所以.所以.所以.因为，所以，所以，.所以椭圆的方程为.（4分）（2）因为，所以直线与的方程为，其中. 因为直线的方程为，联立直线与的方程解得点.设，则.因为点，设点，则有.解得，. （8分）因为点在椭圆上，所以.即.等式两边同除以得，，当，即时，取最大值.故的最大值为. （14分）27.(2014兰州高三第一次诊断考试, 20) 设椭圆的焦点分别为、，直线：交轴于点，且．27.查看解析27. （Ⅰ）试求椭圆的方程；（Ⅱ）过、分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于、、、四点（如图所示）, 试求四边形面积的最大值和最小值．解析（Ⅰ）由题意，为的中点即：椭圆方程为（3分）（Ⅱ）当直线与轴垂直时，，此时，四边形的面积．同理当与轴垂直时，也有四边形的面积．当直线，均与轴不垂直时，设: ，代入消去得：设（6分）所以，，所以，，同理（9分）所以四边形的面积令因为当，且S是以u为自变量的增函数，所以．综上可知，．故四边形面积的最大值为4，最小值为．（12分）28. （本题满分13分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线，设点，，为抛物线上的动点（异于顶点），连结并延长交抛物线于点，连结、并分别延长交抛物线于点、，连结，设、的斜率存在且分别为、. （1）若，，，求；（2）是否存在与无关的常数，是的恒成立，若存在，请将用、表示出来；若不存在请说明理由.28.查看解析28.(1) 直线，设. (5分)（2）设则直线的方程为：，代入抛物线方程，整理得，，即从而，故点同理，点.三点共线即整理得所以，即. (12分)29. (2014北京东城高三12月教学质量调研) 已知F1（-1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，A、B为过F1的直线与椭圆的交点，且△F2AB的周长为4.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）判断是否为定值，若是求出这个值，若不是说明理由,.29.查看解析29.解：（Ⅰ）由椭圆定义可知，4，，所以，=.所以椭圆方程为. (5分)（Ⅱ）设，，（1）当直线斜率不存在时，有，，，. （7分）（2）当直线斜率存在时，设直线方程为代入椭圆方程，并整理得：，所以，（或求出x1，x2的值），所以（10分），所以. （14分）。

2015全国高考数学理科真题圆锥曲线专题

2015全国各地高考真题圆锥曲线1.【2015福建理3】若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（）A ．11B ．9C ．5D ．32.【2015四川理5】过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（）(A)433(B)23 (C)6 （D ）433.【2015高考广东，理7】已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率54e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C 的方程为（）A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x 4.【2015高考新课标1，理5】已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF ∙<，则0y 的取值范围是( )（A ）（-33，33）（B ）（-36，36）（C ）（223-，223）（D ）（233-，233）5.【2015高考湖北，理8】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（） A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >6.【2015高考四川，理10】设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（）（A ）()13，（B ）()14，（C ）()23，（D ）()24， 7.【2015重庆理10】设双曲线22221x y a b -=（a >0,b >0）的右焦点为1，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ,C 两点，过B ,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于22a a b ++，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A 、(1,0)(0,1)- B 、(,1)(1,)-∞-+∞ C 、(2,0)(0,2)- D 、(,2)(2,)-∞-+∞8.【2015高考天津，理6】已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>> 的一条渐近线过点()2,3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线247y x = 的准线上，则双曲线的方程为( )（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -=9.【2015高考安徽，理4】下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -= （D ）2214x y -=10.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（）A.11BF AF -- B. 2211BF AF -- C.11BF AF ++ D. 2211BF AF ++ 11.【2015高考新课标2，理11】已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（） A ．5 B ．2 C ．3 D ．212.【2015高考北京，理10】已知双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线为30x y +=，则a =．13.【2015高考上海，理5】抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ．14.【2015高考湖南，理13】设F 是双曲线C ：22221x y a b-=的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为 .15.【2015高考浙江，理9】双曲线2212x y -=的焦距是，渐近线方程是． 16.【2015高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆221164x y +=错误！未找到引用源。

圆锥曲线专题(理科)之2015年高考真题分专题复习

2015圆锥曲线专题（理）1、设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（）（A ）()13，（B ）()14，（C ）()23，（D ）()24，2、已知双曲线C :22221x y a b-=的离心率54e =，且其右焦点为()2F 5,0，则双曲线C 的方程为（）A ．22143x y -=B ．221916x y -=C ．221169x y -=D ．22134x y -= 3、若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（）A.11B.9C.5D.34、将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（）A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >5、双曲线的焦距是，渐近线方程是．6、抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ．7、若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p=8、设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点p 处的切线垂直，则P 的坐标为9、平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：22221x y a b-=（a>0,b>0）的渐近线与抛物线C 2：X 2=2py(p>0)交于点O 、A 、B ，若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为＿＿＿2212x y -=10、如题图，椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线交椭圆于P 、Q 两点，且1PQ PF ⊥。

江西省2015年高考数学二轮复习小题精做系列之圆锥曲线3

江西省2015年高考数学二轮复习小题精做系列之圆锥曲线3一．基础题组s1. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，以12||F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为（）A ．221916x y -=B ．22134x y -=C ． 221169x y -=D ．22143x y -=2. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】抛物线22px y =过点()2,2M ，则点M 到抛物线焦点的距离为 .3. 【唐山市2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试】（本题满分12分）已知抛物线22(p 0)E x py =>：，直线2y kx =+与E 交于A 、B 两点，且2OA OB ∙=，其中O 为原点.（1）求抛物线E 的方程；（2）点C 坐标为(0,2)-，记直线CA 、CB 的斜率分别为12,k k ，证明：222122k k k +-为定值.4. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】(本小题满分12分) 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为21（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 经过点M （0,1），且与椭圆C 交于B A ,两点，若→→=MB AM 2，求直线l 的方程.5. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】（本小题满分12分）如图,已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴为AB,过点B 的直线l 与x 轴垂直,椭圆的离心率23=e ,F 为椭圆的左焦点,且1=⋅BF AF (1) 求此椭圆的标准方程;(2) 设P 是此椭圆上异于A,B 的任意一点, x PH ⊥轴,H 为垂足,延长HP 到点Q,使得HP=PQ,连接AQ 并延长交直线l 于点M ,N 为MB 的中点，判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 位置关系。

2015届高三文科数学二轮复习专题六第三讲圆锥曲线的综合问题

系列丛书
轨迹问题
轨迹问题的考查往往与函数、方程、向量、平面几何等知识相融合，着重考查分析问题、解决问题的能力，对逻辑思维能力、运算能力也有一定的要求．
高三二轮 ·新课标版 ·数学（文）
进入导航
第一部分专题六第三讲第二十四页，编辑于星期五：九点四十七分。
系列丛书
【例1】 (2014·广东卷)已知椭圆C：ax22＋by22＝1(a>b>0)
高三二轮 ·新课标版 ·数学（文）
进入导航
第一部分专题六第三讲第十页，编辑于星期五：九点四十七分。
系列丛书
解析：依题意得准线为x＝－2，从而y2＝8x，F(2,0)，
设直线AB为y－3＝k(x＋2)，由题意
y－3＝kx＋2 y2＝8x
联立Δ
＝0，又因交点在第一象限，所以k>0，解得k＝
1 2
高三二轮 ·新课标版 ·数学（文）
进入导航
第一部分专题六第三讲第十七页，编辑于星期五：九点四十七分。
系列丛书
由点P在椭圆上得点P27，172，此时直线PA1的斜率k＝34. 数形结合可知，直线PA1斜率的取值范围是38，34.
答案：B
高三二轮 ·新课标版 ·数学（文）
进入导航
第一部分专题六第三讲第十八页，编辑于星期五：九点四十七分。
系列丛书
主干知识大串联01
创新交汇大盘点03
高考热点全突破02
课时作业
高三二轮 ·新课标版 ·数学（文）
进入导航
第一部分专题六第三讲第四页，编辑于星期五：九点四十七分。
系列丛书
主干知识大串联01
知识梳理追根求源
高三二轮 ·新课标版 ·数学（文）

2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题6_第2讲_椭圆、双曲线、抛物线(含答案)

第2讲椭圆、双曲线、抛物线考情解读 1．以选择、填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题.2．以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现．该部分题目多数为综合性问题，考查分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质热点一圆锥曲线的定义与标准方程例1 （1）若椭圆C ：x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且|PF 2|＝4则∠F 1PF 2等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°（2）已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点与双曲线x 2－y 2＝－12的一个焦点重合，且在抛物线上有一动点P 到x 轴的距离为m ，P 到直线l ：2x －y －4＝0的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________．思维启迪 (1)△PF 1F 2中利用余弦定理求∠F 1PF 2；(2)根据抛物线定义得m ＝|PF |－1.再利用数形结合求最值．思维升华 (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF 1|＋|PF 2|＞|F 1F 2|，双曲线的定义中要求||PF 1|－|PF 2||＜|F 1F 2|，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化． (2)注意数形结合，画出合理草图．（1）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( ) A ．x 28＋y 22＝1 B ．x 212＋y 26＝1 C ．x 216＋y 24＝1 D ．x 220＋y 25＝1（2）如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( ) A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x热点二圆锥曲线的几何性质例2 （1）已知离心率为e 的双曲线和离心率为22的椭圆有相同的焦点F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，若∠F 1PF 2＝π3，则e 等于( )A ．52 B ．52 C ．62D ．3 （2）设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎦⎤0，22 B ．⎝⎛⎦⎤0，33 C ．⎣⎡⎭⎫22，1 D ．⎣⎡⎭⎫33，1 思维启迪 (1)在△F 1F 2P 中利用余弦定理列方程，然后利用定义和已知条件消元；(2)可设点P 坐标为(a 2c ，y )，考察y 存在的条件．思维升华解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．（1）已知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A 、B ，若(AO →＋AF →)·OF →＝0，则双曲线的离心率e 为( ) A ．2 B ．3 C ． 2 D ． 3（2）已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A ． 3 B ．3 C ．3m D ．3m热点三直线与圆锥曲线例3 过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B ，与y 轴的交点为C ，已知AB →＝613BC →.（1）求椭圆的离心率；（2）设动直线y ＝kx ＋m 与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q ，若x 轴上存在一定点M (1,0)，使得PM ⊥QM ，求椭圆的方程．思维启迪 (1)根据AB →＝613BC →和点B 在椭圆上列关于a 、b 的方程；(2)联立直线y ＝kx ＋m 与椭圆方程，利用Δ＝0，PM →·QM →＝0求解．思维升华待定系数法是求圆锥曲线方程的基本方法；解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，且过点(1，22)，右焦点为F 2.设A ，B 是C 上的两个动点，线段AB 的中点M 的横坐标为－12，线段AB 的中垂线交椭圆C 于P ，Q 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）求F 2P →·F 2Q →的取值范围．1．对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦的问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础．2．椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A 、B 是不等的常数，A >B >0时，表示焦点在y 轴上的椭圆；B >A >0时，表示焦点在x 轴上的椭圆；AB <0时表示双曲线．3．求双曲线、椭圆的离心率的方法：(1)直接求出a ，c ，计算e ＝ca ；(2)根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca.4．通径：过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通径长为2b 2a ，过椭圆焦点的弦中通径最短；抛物线通径长是2p ，过抛物线焦点的弦中通径最短．椭圆上点到焦点的最长距离为a ＋c ，最短距离为a －c . 5．抛物线焦点弦性质：已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．（1）y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；（2）|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；（3）S △AOB ＝p 22sin α；（4）1|F A |＋1|FB |为定值2p；（5）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．真题感悟1．(2014·湖北)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A ．433 B ．233C ．3D ．22．(2014·辽宁)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( ) A ．12 B ．23C ．34 D ．43押题精练1．已知圆x 2＋y 2＝a 216上点E 处的一条切线l 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F ，且与双曲线的右支交于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率是_____________．2．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A 、B 两点，O 为坐标原点．（1）若直线AP 与BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率；（2）若|AP |＝|OA |，证明：直线OP 的斜率k 满足|k |> 3.(推荐时间：60分钟)一、选择题1．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)，左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( ) A ．1 B ． 2 C ．32D ． 32．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)以及双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A ．2或233B ．6或233C ．2或 3D ．3或 63．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A ．x 236－y 2108＝1B ．x 29－y 227＝1C ．x 2108－y 236＝1D ．x 227－y 29＝14．已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)，A (4,0)为长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且AC →·BC →＝0，|OB →－OC →|＝2|BC →－BA →|，则其焦距为( ) A ．463 B ．433 C ．863 D ．2335．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A ．334B ．938C ．6332D ．946．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且PF →1·PF →2的最大值的取值范围是[c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是( ) A ．[14，12] B ．[12，22] C ．(22，1) D ．[12，1)二、填空题7．(2014·北京)设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．8．已知点P (0,2)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，线段PF 与抛物线C 的交点为M ，过M 作抛物线准线的垂线，垂足为Q ，若∠PQF ＝90°，则p ＝________.9．抛物线C 的顶点在原点，焦点F 与双曲线x 23－y 26＝1的右焦点重合，过点P (2,0)且斜率为1的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，则弦AB 的中点到抛物线准线的距离为________．10．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，点P 在双曲线上且不与顶点重合，过F 2作∠F 1PF 2的角平分线的垂线，垂足为A .若|OA |＝ b ，则该双曲线的离心率为_______．三、解答题11．已知曲线C 上的动点P (x ，y )满足到定点A (－1,0)的距离与到定点B (1,0)的距离之比为 2. （1）求曲线C 的方程；（2）过点M (1,2)的直线l 与曲线C 交于两点M 、N ，若|MN |＝4，求直线l 的方程．12．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．（1）求E 的离心率；（2）设点P (0，－1)满足|P A |＝|PB |，求E 的方程．13．(2013·北京)已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．（1）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；（2）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．例1 (1)C (2)5－1 变式训练 (1)D (2)C 例2 (1)C (2)D 变式训练2 (1)C (2)A变式训练3 解 (1)因为焦距为2，所以a 2－b 2＝1. 因为椭圆C 过点(1，22)，所以1a 2＋12b2＝1.故a 2＝2，b 2＝1. 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意，当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 的方程为x ＝－12，此时P (－2，0)，Q (2，0)，得F 2P →·F 2Q →＝－1.当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)，M (－12，m )(m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 212＋y 21＝1，x222＋y 22＝1，得(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)·y 1－y 2x 1－x 2＝0，则－1＋4mk ＝0，故4mk ＝1.此时，直线PQ 的斜率为k 1＝－4m ，直线PQ 的方程为y －m ＝－4m (x ＋12)．即y ＝－4mx －m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－4mx －m ，x22＋y 2＝1消去y ，整理得(32m 2＋1)x 2＋16m 2x ＋2m 2－2＝0.设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)所以x 3＋x 4＝－16m 232m 2＋1，x 3x 4＝2m 2－232m 2＋1.于是F 2P →·F 2Q →＝(x 3－1)(x 4－1)＋y 3y 4＝x 3x 4－(x 3＋x 4)＋1＋(4mx 3＋m )(4mx 4＋m ) ＝(4m 2－1)(x 3＋x 4)＋(16m 2＋1)x 3x 4＋m 2＋1＝(4m 2－1)(－16m 2)32m 2＋1＋(1＋16m 2)(2m 2－2)32m 2＋1＋1＋m 2＝19m 2－132m 2＋1.由于M (－12，m )在椭圆的内部，故0<m 2<78，令t ＝32m 2＋1,1<t <29，则F 2P →·F 2Q →＝1932－5132t .又1<t <29，所以－1<F 2P →·F 2Q →<125232.综上，F 2P →·F 2Q →的取值范围为[－1，125232)．AD 1．2642．(1)解设点P 的坐标为(x 0，y 0)，y 0≠0.由题意，有x 20a 2＋y 20b2＝1.①由A (－a,0)，B (a,0)，得k AP ＝y 0x 0＋a ，k BP ＝y 0x 0－a. 由k AP · k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0. 由于y 0≠0，故a 2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22.(2)证明方法一依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1. 消去y 0并整理，得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2，②由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝⎛⎭⎫a b 2＋4.又a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4，因此k 2>3，所以|k |> 3.方法二依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，有x 20a 2＋k 2x 20b2＝1.因为a >b >0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a2<1，即(1＋k 2)x 20<a 2.③ 由|AP |＝|OA |及A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2. 代入③，得(1＋k 2)4a 2(1＋k 2)2<a 2，解得k 2>3，所以|k |> 3.DABCDB 7．x 23－y 212＝1 y ＝±2x 8．2 9．11 10．211．解 (1)由题意得|P A |＝2|PB |故(x ＋1)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2 化简得：x 2＋y 2－6x ＋1＝0(或(x －3)2＋y 2＝8)即为所求． (2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1.将x ＝1代入方程x 2＋y 2－6x ＋1＝0得y ＝±2，所以|MN |＝4，满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx －k ＋2，由圆心到直线的距离d ＝2＝|3k －k ＋2|1＋k 2，解得k ＝0，此时直线l 的方程为y ＝2. 综上所述，满足题意的直线l 的方程为x ＝1或y ＝2.12．解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ，因为2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，所以|AB |＝43a .l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2].故43a ＝4ab 2a 2＋b2，得a 2＝2b 2，所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22.(2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－23c ，y 0＝x 0＋c ＝c3.由|P A |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1，得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3.故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.13．解 (1)由椭圆W ：x 24＋y 2＝1，知B (2,0)∴线段OB 的垂直平分线x ＝1. 在菱形OABC 中，AC ⊥OB ，将x ＝1代入x 24＋y 2＝1，得y ＝±32.∴|AC |＝|y A －y C |＝ 3.∴菱形的面积S ＝12|OB |·|AC |＝12×2×3＝ 3.(2)假设四边形OABC 为菱形．∵点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点， ∴可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2. ∴线段AC 中点M ⎝⎛⎭⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2，∵M 为AC 和OB 交点，∴k OB ＝－14k.又k ·⎝⎛⎭⎫－14k ＝－14≠－1， ∴AC 与OB 不垂直．∴OABC 不是菱形，这与假设矛盾．综上，四边形OABC 不是菱形．。

高考数学(理)二轮专题复习课时巩固过关练(十七)圆锥曲线中的热点问题 Word版含解析

故在y轴上存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ.
点Q的坐标为(0， )或(0，－ )．
7．(2016·豫北名校4月联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2x－ y＋6＝0相切．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点A，B为动直线y＝k(x－2)(k≠0)与椭圆C的两个交点，问在x轴上是否存在定点E，使得 2＋ · 为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．
解：(1)由题意得
解得a2＝2.
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
设M(xM,0)．
因为m≠0，所以－1<n<1.
因为直线PA的方程为y－1＝ x，
所以xM＝，即M .
∵PT为∠F2PM的平分线，且PQ⊥F2M，
∴△F2PM为等腰三角形，且|PM|＝|PF2|，
由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴|PM|＋|PF1|＝|F1M|＝2a.
又∵O为F1F2的中点，Q为F2M的中点，
∴|OQ|＝ |F1M|，
∴|OQ|＝a，又|OQ|＝2b，
∴a＝2b，∴e＝＝ .
所以点P到直线l1的距离
d＝，
整理得d＝ .
因为a2k2＋ ≥2ab，
所以 ≤
＝a－b，
当且仅当k2＝时等号成立．
所以，点P到直线l1的距离的最大值为a－b.
6．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点P(0,1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.

2015高考数学(理)(江西)二轮专题规范练5 圆锥曲线

规范练(五) 圆锥曲线1．如图，已知点A (1，2)是离心率为22的椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点互不重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)求证：直线AB 、AD 的斜率之和为定值．解 (1)由题意，可得e ＝c a ＝22，将(1，2)代入y 2a 2＋x 2b 2＝1，得2a 2＋1b 2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝2，c ＝2，所以椭圆C 的方程为y 24＋x 22＝1.(2)设直线BD 的方程为y ＝2x ＋m ，又A 、B 、D 三点不重合，所以m ≠0.设D (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ，2x 2＋y 2＝4，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0，所以Δ＝－8m 2＋64＞0，∴－22＜m ＜22， x 1＋x 2＝－22m ①，x 1x 2＝m 2－44②. 设直线AB 、AD 的斜率分别为k AB 、k AD ，则k AD ＋k AB ＝y 1－2x 1－1＋y 2－2x 2－1＝2x 1＋m －2x 1－1＋2x 2＋m －2x 2－1＝22＋m ·x 1＋x 2－2x 1x 2－x 1－x 2＋1(*)．将①②式代入(*)，得22＋m －22m －2m 2－44＋22m ＋1＝22－22＝0，所以k AD ＋k AB ＝0，即直线AB 、AD 的斜率之和为定值0.2．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22.过坐标原点的直线l 1与l 2均不在坐标轴上，l 1与椭圆M 交于A ，C 两点，l 2与椭圆M 交于B ，D 两点．(1)求椭圆M 的方程；(2)若平行四边形ABCD 为菱形，求菱形ABCD 面积的最小值．解(1)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝22a ，1a 2＋12b2＝1，又因为a 2＝b 2＋c 2，所以⎩⎨⎧a 2＝2b 2＝1.故椭圆M 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线AC ：y ＝k 1x ，直线BD ：y ＝k 2x ，A (x A ，y A )，C (x C ，y C )．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1y ＝k 1x，得方程(2k 21＋1)x 2－2＝0，x 2A ＝x 2C ＝22k 21＋1，故|OA |＝|OC |＝1＋k 21·22k 21＋1.同理，|OB |＝|OD |＝1＋k 22·22k 22＋1.又因为AC ⊥BD ，所以|OB |＝|OD |＝1＋(1k 1)2·22(1k 1)2＋1，其中k 1≠0.从而菱形ABCD 的面积S＝2|OA |·|OB |＝21＋k 21·22k 21＋1·1＋(1k 1)2·22(1k 1)2＋1，整理得S ＝412＋1(k 1＋1k 1)2，其中k 1≠0.故当k 1＝1或－1时，菱形ABCD的面积最小，该最小值为83.3．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝2PB →. (1)求椭圆方程； (2)求m 的取值范围．解 (1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2，所以椭圆方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，即⎩⎨⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m ，则(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0， Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)＞0，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk2＋k 2，x 1·x 2＝m 2－42＋k 2.又AP →＝2PB →，即有(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )．∴－x 1＝2x 2，∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22.∴m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2mk 2＋k 22，整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2，又9m 2－4＝0时不成立，∴k 2＝8－2m 29m 2－4＞0，得49＜m 2＜4，此时Δ＞0.∴m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2.4．已知△ABC 的两顶点坐标A (－1,0)，B (1,0)，圆E 是△ABC 的内切圆，在边AC ，BC ，AB 上的切点分别为P ，Q ，R ，|CP |＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C 的轨迹为曲线M . (1)求曲线M 的方程；(2)设直线BC 与曲线M 的另一交点为D ，当点A 在以线段CD 为直径的圆上时，求直线BC 的方程．解 (1)由题知|CA |＋|CB |＝|CP |＋|CQ |＋|AP |＋|BQ |＝2|CP |＋|AB |＝4＞|AB |，所以曲线M 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x 轴的交点)，设曲线M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0，y ≠0)，则a 2＝4，b 2＝a 2－(|AB |2)2＝3，所以曲线M ：x 24＋y 23＝1(y ≠0)为所求．(2)注意到直线BC 的斜率不为0，且过定点B (1,0)，设l BC ：x ＝my ＋1，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x ＝my ＋1，3x 2＋4y 2＝12，消x 得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，所以y 1,2＝－3m ±6m 2＋13m 2＋4，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－6m3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，因为AC →＝(my 1＋2，y 1)，AD →＝(my 2＋2，y 2)，所以AC →·AD →＝(my 1＋2)(my 2＋2)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋2m (y 1＋y 2)＋4 ＝－9(m 2＋1)3m 2＋4－12m 23m 2＋4＋4＝7－9m 23m 2＋4.注意到点A 在以CD 为直径的圆上，所以AC →·AD→＝0，即m ＝±73，所以直线BC 的方程3x ＋7y －3＝0或3x －7y －3＝0为所求．。

2015高考数学《圆锥曲线的方程与性质》专题-

高考数学复习专题：圆锥曲线的方程与性质【一】基础知识圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质【二】高考真题1． (2013·课标全国Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为 ( c )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x2． (2013·课标全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( c )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x3． (2013·山东)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p 等于(d )A.316B.38C.233D.4334． (2013·福建)椭圆Г：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Г的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于3－15． (2013·浙江)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于 ±1．【三】题型和方法题型一圆锥曲线的定义与标准方程例1 (1)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为 __________．(2)已知P 为椭圆x 24＋y 2＝1和双曲线x 2－y 22＝1的一个交点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，那么∠F 1PF 2的余弦值为________．变式训练1 (1)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的两个焦点F 1，F 2，M 为双曲线上一点，且满足∠F 1MF 2＝90°，点M 到x 轴的距离为72.若△F 1MF 2的面积为14，则双曲线的渐近线方程为__________．答案 y ＝±7x(2)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________．答案 y 2＝±8x题型二圆锥曲线的性质例2 (1)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为 ( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．8(2)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于 ( )A.12或32B.23或2C.12或2D.23或32变式训练2 (1)已知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以OF 为直径作圆与双曲线的渐近线交于异于原点的两点A ，B ，若(AO →＋AF →)·OF→＝0，则双曲线的离心率e 为 ( )A ．2B ．3 C. 2 D.3 答案 C(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．45 答案 B题型三直线与圆锥曲线的位置关系例3 已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程．(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．变式训练3 已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB→的最小值．【例4 (14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．【四】能力训练1． (2013·四川)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1 D.3 2． (2013·湖北)已知0＜θ<π4 ，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等3．已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．(1，＋∞)C ．(1,2)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14． (2013·江西)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A 、B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.5． (2013·湖南)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a 且△PF 1F 2的最小内角为30°，则双曲线C 的离心率为______．6． (2013·辽宁)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________. 专题模拟训练一、选择题1． (2013·广东)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是 ( ) A.x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1 2．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |等于 ( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．253．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若F 2H 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为 ( )A. 2B. 3 C ．2 D ．34．设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF1→·PF 2→＝0，则|PF1→＋PF 2→|等于 ( )A.10 B ．210 C. 5 D ．255．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 、Q 是抛物线上的两个点，若△PQF 是边长为2的正三角形，则p 的值是 ( )A ．2± 3B ．2＋3 C.3±1 D.3－16． (2013·浙江)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.627．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 8． (2012·安徽)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为 ( )A.22B. 2C.322 D ．22二、填空题9．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.10．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________.11．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．12．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线的右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为________．三、解答题x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)13．(2012·安徽)如图，F 1、F 2分别是椭圆C ：的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°. (1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．14．(2013·课标全国Ⅱ)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD面积的最大值． 2020-2-8。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第3讲圆锥曲线中的热点问题考情解读 1.本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大.2.求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中．1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c ＝0)．①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c ＝0)．①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．2．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝1＋1k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：|x2－x1|＝(x1＋x2)2－4x1x2，|y2－y1|＝(y1＋y2)2－4y1y2.(2)当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． 3．弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算． 4．轨迹方程问题(1)求轨迹方程的基本步骤：①建立适当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐标——解析法(坐标法)． ②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系． ③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化． ④化简整理方程——简化．⑤证明所得方程为所求的轨迹方程——完成其充要性． (2)求轨迹方程的常用方法：①直接法：将几何关系直接翻译成代数方程；②定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程； ③代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；④交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直线交点的轨迹；(3)注意①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式．步骤②⑤省略后，验证时常用途径：化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.热点一圆锥曲线中的范围、最值问题例1 (2013·浙江)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．思维启迪 (1)P 点是椭圆上顶点，圆C 2的直径等于椭圆长轴长；(2)设直线l 1的斜率为k ，将△ABD 的面积表示为关于k 的函数．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方程为y ＝kx －1. 又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离 d ＝1k 2＋1，所以|AB |＝24－d 2＝24k 2＋3k 2＋1. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4. 消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0，故x 0＝－8k 4＋k 2.所以|PD |＝8k 2＋14＋k 2.设△ABD 的面积为S ，则S ＝12|AB |·|PD |＝84k 2＋34＋k 2，所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3·134k 2＋3＝161313，当且仅当k ＝±102时取等号．所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1. 思维升华求最值及参数范围的方法有两种：①根据题目给出的已知条件或图形特征列出一个关于参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(即为消元)，然后求解不等式；②由题目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域．已知椭圆C 的左，右焦点分别为F 1，F 2，椭圆的离心率为12，且椭圆经过点P (1，32)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)线段PQ 是椭圆过点F 2的弦，且PF 2→＝λF 2Q →，求△PF 1Q 内切圆面积最大时实数λ的值．解 (1)e ＝c a ＝12，P (1，32)满足1a 2＋(32)2b 2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，∵a 2＝4，b 2＝3， ∴椭圆标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)显然直线PQ 不与x 轴重合，当直线PQ 与x 轴垂直时，|PQ |＝3，|F 1F 2|＝2， S △PF 1Q ＝3；当直线PQ 不与x 轴垂直时，设直线PQ ：y ＝k (x －1)，k ≠0代入椭圆C 的标准方程，整理，得(3＋4k 2)y 2＋6ky －9k 2＝0， Δ>0，y 1＋y 2＝－6k 3＋4k 2，y 1·y 2＝－9k 23＋4k 2.S △PF 1Q ＝12×|F 1F 2|×|y 1－y 2|＝12k 2＋k 4(3＋4k 2)2，令t ＝3＋4k 2，∴t >3，k 2＝t －34，∴S △PF 1Q ＝3－3(1t ＋13)2＋43，∵0<1t <13，∴S △PF 1Q ∈(0,3)，∴当直线PQ 与x 轴垂直时S △PF 1Q 最大，且最大面积为3. 设△PF 1Q 内切圆半径为r ，则S △PF 1Q ＝12(|PF 1|＋|QF 1|＋|PQ |)·r ＝4r ≤3.即r max ＝34，此时直线PQ 与x 轴垂直，△PF 1Q 内切圆面积最大，∴PF 2→＝F 2Q →，∴λ＝1.热点二圆锥曲线中的定值、定点问题例2 (2013·陕西)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．思维启迪 (1)设动圆圆心坐标，利用圆的半径、半弦长和弦心距组成的直角三角形求解；(2)设直线方程y ＝kx ＋b ，将其和轨迹C 的方程联立，再设两个交点坐标，由题意知直线BP 和BQ 的斜率互为相反数，推出k 和b 的关系，最后证明直线过定点．(1)解如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意，得|O 1A |＝|O 1M |，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴|O 1M |＝x 2＋42，又|O 1A |＝(x －4)2＋y 2， ∴(x －4)2＋y 2＝x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标为(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明如图由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bkk 2，①x 1x 2＝b 2k2，②∵x 轴是∠PBQ 的角平分线， ∴y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0， (kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0③将①②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)．思维升华 (1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的． (2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．已知椭圆C 的中点在原点，焦点在x 轴上，离心率等于12，它的一个顶点恰好是抛物线x 2＝83y 的焦点． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P (2,3)，Q (2，－3)在椭圆上，点A 、B 是椭圆上不同的两个动点，且满足∠APQ ＝∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则b ＝2 3.由c a ＝12，a 2＝c 2＋b 2，得a ＝4，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)当∠APQ ＝∠BPQ 时，P A 、PB 的斜率之和为0，设直线P A 的斜率为k ，则PB 的斜率为－k ，P A 的直线方程为y －3＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝k (x －2)，x 216＋y212＝1，整理得 (3＋4k 2)x 2＋8(3－2k )kx ＋4(3－2k )2－48＝0， x 1＋2＝8(2k －3)k 3＋4k 2，同理PB 的直线方程为y －3＝－k (x －2)，可得x 2＋2＝－8k (－2k －3)3＋4k 2＝8k (2k ＋3)3＋4k 2.∴x 1＋x 2＝16k 2－123＋4k 2，x 1－x 2＝－48k3＋4k 2， k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k (x 1－2)＋3＋k (x 2－2)－3x 1－x 2＝k (x 1＋x 2)－4k x 1－x 2＝12， ∴直线AB 的斜率为定值12.热点三圆锥曲线中的探索性问题例3 已知椭圆C 1、抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：(1)求C 1，C 2(2)是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同的两点M ，N ，且满足OM →⊥ON →？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．思维启迪 (1)比较椭圆及抛物线方程可知，C 2的方程易求，确定其上两点，剩余两点，利用待定系数法求C 1方程.(2) 联立方程，转化已知条件进行求解. 解 (1)设抛物线C 2：y 2＝2px (p ≠0)，则有y 2x＝2p (x ≠0)，据此验证四个点知(3，－23)，(4，－4)在C 2上，易求得C 2的标准方程为y 2＝4x . 设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，把点(－2,0)，(2，22)代入得⎩⎨⎧4a 2＝12a 2＋12b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1，所以C 1的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)容易验证当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)，与C 1的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝k (x －1)消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－1)＝0，于是x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，①x 1x 2＝4(k 2－1)1＋4k 2.②所以y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝k 2[4k 2－11＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1]＝－3k 21＋4k 2.③由OM →⊥ON →，即OM →·ON →＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0.(*) 将②③代入(*)式，得4(k 2－1)1＋4k 2－3k 21＋4k 2＝k 2－41＋4k 2＝0，解得k ＝±2，所以存在直线l 满足条件，且直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0.思维升华解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型．解决问题的一般策略是先假设结论成立，然后进行演绎推理或导出矛盾，即可否定假设或推出合理结论，验证后肯定结论，对于“存在”或“不存在”的问题，直接用条件证明或采用反证法证明．解答时，不但需要熟练掌握圆锥曲线的概念、性质、方程及不等式、判别式等知识，还要具备较强的审题能力、逻辑思维能力以及运用数形结合的思想分析问题和解决问题的能力．如图，抛物线C ：y 2＝2px 的焦点为F ，抛物线上一定点Q (1,2)．(1)求抛物线C 的方程及准线l 的方程．(2)过焦点F 的直线(不经过Q 点)与抛物线交于A ，B 两点，与准线l 交于点M ，记QA ，QB ，QM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3成立，若存在λ，求出λ的值；若不存在，说明理由．解 (1)把Q (1,2)代入y 2＝2px ，得2p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝4x ，准线l 的方程：x ＝－1. (2)由条件可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，k ≠0. 由抛物线准线l ：x ＝－1，可知M (－1，－2k )．又Q (1,2)，所以k 3＝2＋2k 1＋1＝k ＋1，即k 3＝k ＋1.把直线AB 的方程y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x ，并整理，可得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，知 x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1.又Q (1,2)，则k 1＝2－y 11－x 1，k 2＝2－y 21－x 2.因为A ，F ，B 共线，所以k AF ＝k BF ＝k ，即y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k . 所以k 1＋k 2＝2－y 11－x 1＋2－y 21－x 2＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－2(x 1＋x 2－2)x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝2k －2(2k 2＋4k 2－2)1－2k 2＋4k 2＋1＝2k ＋2，即k 1＋k 2＝2k ＋2.又k 3＝k ＋1，可得k 1＋k 2＝2k 3.即存在常数λ＝2，使得k 1＋k 2＝λk 3成立．1．圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 2．定点、定值问题的处理方法定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明．对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果． 3．探索性问题的解法探索是否存在的问题，一般是先假设存在，然后寻找理由去确定结论，如果真的存在，则可以得出相应存在的结论；若不存在，则会由条件得出矛盾，再下结论不存在即可.真题感悟(2014·北京)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论．解 (1)由题意，得椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1，所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.(2)直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．证明如下：设点A ，B 的坐标分别为(x 0，y 0)，(t,2)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.当x 0＝t 时，y 0＝－t 22，代入椭圆C 的方程，得t ＝±2，故直线AB 的方程为x ＝±2，圆心O 到直线AB 的距离d ＝ 2. 此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y －2＝y 0－2x 0－t (x －t )．即(y 0－2)x －(x 0－t )y ＋2x 0－ty 0＝0. 圆心O 到直线AB 的距离 d ＝|2x 0－ty 0|(y 0－2)2＋(x 0－t )2.又x 20＋2y 20＝4，t ＝－2y 0x 0，故d ＝⎪⎪⎪⎪2x 0＋2y 20x 0x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝⎪⎪⎪⎪4＋x 20x 0x 40＋8x 2＋162x 20＝ 2. 此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．押题精练已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其左、右焦点分别是F 1、F 2，过点F 1的直线l交椭圆C 于E 、G 两点，且△EGF 2的周长为4 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)若过点M (2,0)的直线与椭圆C 相交于两点A 、B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP →(O 为坐标原点)，当|P A →－PB →|<253时，求实数t 的取值范围．解 (1)由题意知椭圆的离心率e ＝c a ＝22，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.又△EGF 2的周长为42，即4a ＝42， ∴a 2＝2，b 2＝1.∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知直线AB 的斜率存在，即t ≠0.设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0. 由Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－2)>0，得k 2<12. x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2， ∵OA →＋OB →＝tOP →，∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，x ＝x 1＋x 2t ＝8k 2t (1＋2k 2)， y ＝y 1＋y 2t ＝1t [k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4k t (1＋2k 2). ∵点P 在椭圆C 上，∴(8k 2)2[t (1＋2k 2)]2＋2(－4k )2[t (1＋2k 2)]2＝2， ∴16k 2＝t 2(1＋2k 2)．∵|P A →－PB →|<253，∴1＋k 2|x 1－x 2|<253， ∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]<209， ∴(1＋k 2)[64k 4(1＋2k 2)2－4·8k 2－21＋2k 2]<209， ∴(4k 2－1)(14k 2＋13)>0，∴k 2>14.∴14<k 2<12. ∵16k 2＝t 2(1＋2k 2)，∴t 2＝16k 21＋2k 2＝8－81＋2k 2，又32<1＋2k 2<2，∴83<t 2＝8－81＋2k 2<4， ∴－2<t <－263或263<t <2， ∴实数t 的取值范围为(－2，－263)∪(263，2)．(推荐时间：50分钟)一、选择题1．已知点M 与双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点的距离之比为2∶3，则点M 的轨迹方程为( )A ．x 2－y 2＋26x ＋25＝0B ．x 2＋y 2＋16x ＋81＝0C ．x 2＋y 2＋26x ＋25＝0D ．x 2＋y 2＋16x －81＝0答案 C解析设点M (x ，y )，F 1(－5,0)，F 2(5,0)，则由题意得|MF 1||MF 2|＝23，将坐标代入，得(x ＋5)2＋y 2(x －5)2＋y 2＝49，化简，得x 2＋y 2＋26x ＋25＝0.2．已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P 、Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为( ) A.53 B.23 C.23 D.13答案 A解析由题意可知，∠F 1PF 2是直角，且tan ∠PF 1F 2＝2，∴|PF 2||PF 1|＝2，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＝2a 3，|PF 2|＝4a 3. 根据勾股定理得⎝⎛⎭⎫2a 32＋⎝⎛⎭⎫4a 32＝(2c )2，所以离心率e ＝c a ＝53. 3．已知抛物线y 2＝8x 的焦点F 到双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线的距离为455，点P 是抛物线y 2＝8x 上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点F 1(0，c )的距离与到直线x ＝－2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为( )A.y 22－x 23＝1 B ．y 2－x 24＝1 C.y 24－x 2＝1 D.y 23－x 22＝1 答案 C解析由题意得，抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，双曲线C ：y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程为ax －by ＝0，∵抛物线y 2＝8x 的焦点F 到双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线的距离为455， ∴2a a 2＋b 2＝455， ∴a ＝2b .∵P 到双曲线C 的上焦点F 1(0，c )的距离与到直线x ＝－2的距离之和的最小值为3， ∴|FF 1|＝3，∴c 2＋4＝9，∴c ＝5，∵c 2＝a 2＋b 2，a ＝2b ，∴a ＝2，b ＝1.∴双曲线的方程为y 24－x 2＝1，故选C. 4．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8答案 C解析设P (x 0，y 0)，则 x 204＋y 203＝1，即y 20＝3－3x 204，又因为F (－1,0)，所以OP →·FP →＝x 0·(x 0＋1)＋y 20＝14x 20＋x 0＋3 ＝14(x 0＋2)2＋2，又x 0∈[－2,2]，即OP →·FP →∈[2,6]，所以(OP →·FP →)max ＝6.5．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 C解析依题意得F (0,2)，准线方程为y ＝－2，又∵以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线的准线相交，且|FM |＝|y 0＋2|，∴|FM |>4，即|y 0＋2|>4，又y 0≥0，∴y 0>2.6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若双曲线上存在点P 满足a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1，则该双曲线的离心率的取值范围为( ) A ．(1，2＋1) B ．(1，3)C ．(3，＋∞)D ．(2＋1，＋∞) 答案 A解析根据正弦定理得|PF 2|sin ∠PF 1F 2＝|PF 1|sin ∠PF 2F 1，所以由a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1可得a |PF 2|＝c |PF 1|，即|PF 1||PF 2|＝c a＝e ，所以|PF 1|＝e |PF 2|.因为e >1，所以|PF 1|>|PF 2|，点P 在双曲线的右支上．又|PF 1|－|PF 2|＝e |PF 2|－|PF 2|＝|PF 2|(e －1)＝2a ，解得|PF 2|＝2a e －1，因为|PF 2|>c －a ，所以2a e －1>c －a ，即2e －1>e －1，即(e －1)2<2，解得1－2<e <2＋1.又e >1，所以e ∈(1，2＋1)，故选A.二、填空题7．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________．答案 m ≥1且m ≠5解析 ∵方程x 25＋y 2m＝1表示椭圆， ∴m >0且m ≠5.∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点，∴要使直线与椭圆总有公共点，应有：025＋12m≤1，m ≥1， ∴m 的取值范围是m ≥1且m ≠5.8．在直线y ＝－2上任取一点Q ，过Q 作抛物线x 2＝4y 的切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 恒过定点________．答案 (0,2)解析设Q (t ，－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程变为y ＝14x 2，则y ′＝12x ，则在点A 处的切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，化简得，y ＝12x 1x －y 1，同理，在点B 处的切线方程为y ＝12x 2x －y 2.又点Q (t ，－2)的坐标满足这两个方程，代入得：－2＝12x 1t －y 1，－2＝12x 2t －y 2，则说明A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都满足方程－2＝12xt －y ，即直线AB 的方程为：y －2＝12tx ，因此直线AB 恒过定点(0,2)．9．(2014·辽宁)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.答案 12解析椭圆x 29＋y 24＝1中，a ＝3.如图，设MN 的中点为D ，则|DF 1|＋|DF 2|＝2a ＝6.∵D ，F 1，F 2分别为MN ，AM ，BM 的中点，∴|BN |＝2|DF 2|，|AN |＝2|DF 1|，∴|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)＝12.10．(2013·安徽)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．答案 [1，＋∞)解析以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2x 2＋(y －a )2＝a ，得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0.即(y －a )[y －(a －1)]＝0，由已知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －1≥0，解得a ≥1. 三、解答题11.如图所示，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，x 轴被曲线C 2：y ＝x 2－b 截得的线段长等于C 1的短轴长．C 2与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与C 1相交于点D ，E .(1)求C 1，C 2的方程；(2)求证：MA ⊥MB ；(3)记△MAB ，△MDE 的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2＝λ，求λ的取值范围． (1)解由题意，知c a ＝22，所以a 2＝2b 2. 又2b ＝2b ，得b ＝1.所以曲线C 2的方程y ＝x 2－1，椭圆C 1的方程x 22＋y 2＝1. (2)证明设直线AB ：y ＝kx ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，知M (0，－1)．则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2－1⇒x 2－kx －1＝0， MA →·MB →＝(x 1，y 1＋1)·(x 2，y 2＋1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝－(1＋k 2)＋k 2＋1＝0，所以MA ⊥MB .(3)解设直线MA ：y ＝k 1x －1，MB ：y ＝k 2x －1，k 1k 2＝－1，M (0，－1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 1x －1，y ＝x 2－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k 1，y ＝k 21－1，所以A (k 1，k 21－1)．同理，可得B (k 2，k 22－1)．故S 1＝12|MA |·|MB |＝121＋k 21·1＋k 22|k 1||k 2|. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 1x －1，x 22＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4k 11＋2k 21，y ＝2k 21－11＋2k 21，所以D (4k 11＋2k 21，2k 21－11＋2k 21)．同理，可得E (4k 21＋2k 22，2k 22－11＋2k 22)．故S 2＝12|MD |·|ME | ＝121＋k 21·1＋k 22|16k 1k 2|(1＋2k 21)(1＋2k 22)，S 1S 2＝λ＝(1＋2k 21)(1＋2k 22)16＝5＋2(1k 21＋k 21)16≥916，则λ的取值范围是[916，＋∞)． 12．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为27，其一条渐近线的倾斜角为θ，且tan θ＝32.以双曲线C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E . (1)求椭圆E 的方程；(2)设点A 是椭圆E 的左顶点，P 、Q 为椭圆E 上异于点A 的两动点，若直线AP 、AQ 的斜率之积为－14，问直线PQ 是否恒过定点？若恒过定点，求出该点坐标；若不恒过定点，说明理由．解 (1)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的焦距2c ＝27，则c ＝7，∴a 2＋b 2＝7.①渐近线方程y ＝±b ax ，由题意知tan θ＝b a ＝32.② 由①②得a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)在(1)的条件下，当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1y ＝kx ＋m，消去y 得 (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2，又A (－2,0)，由题意知k AP ·k AQ ＝y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝－14，则(x 1＋2)(x 2＋2)＋4y 1y 2＝0，且x 1x 2≠－2.则x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋4(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋4k 2)x 1x 2＋(2＋4km )(x 1＋x 2)＋4m 2＋4＝0.则m 2－km －2k 2＝0.∴(m －2k )(m ＋k )＝0.∴m ＝2k 或m ＝－k .当m ＝2k 时，直线PQ 的方程是y ＝kx ＋2k .此时直线PQ 过定点(－2,0)，显然不符合题意．当m ＝－k 时，直线PQ 的方程为y ＝kx －k ，此时直线PQ 过定点(1,0)．当直线PQ 的斜率不存在时，若直线PQ 过定点，P ，Q 点的坐标分别是(1，32)，(1，－32)，满足k AP ·k AQ ＝－14. 综上，直线PQ 恒过定点(1,0)．。