高考数学总复习：第6章《不等式、推理与证明》[3]
第六章 不等式、推理与证明第五节 合情推理与演绎推理
考点三 演绎推理 【典例 3】 (2017· 全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询 问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给 甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说： “我还是不知道我的成绩。”根据以上信息，则( A．乙可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 ) B．丁可以知道四人的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
第六章
第五节
不等式、推理与证明
合情推理与演绎推理
微知识·小题练 微考点·大课堂
拓视野·提素养
★★★2018 考纲考题考情★★★ 考纲要求 真题举例 命题角度
1.了解合情推理的含义， 能进行简 2017· 全国卷Ⅱ· T7(5 分)(归 单的归纳推理和类比推理，体会 纳推理) 合情推理在数学发展中的作用 1.归纳推
推理。 (2)类比推理 ①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，
这些特征 的推理。 推出另一类对象也具有____________
特殊 的推理。 特殊 到__________ ②特点：是由__________
2．演绎推理 (1)演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称
2016· 全国卷Ⅱ· T15(5 分)(演 理 2．类比推
2．了解演绎推理的含义，掌握演 绎推理)
绎推理的“三段论”，并能运用 2016· 北京高考· T8(5 分)(演 理 “三段论”进行一些简单推理 绎推理) 3．演绎推
3．了解合情推理和演绎推理的联 2016· 山东高考· T10(5 分)(归 理 系和差异 纳推理)
特殊 的推理。 一般 到__________ 为演绎推理。简言之，演绎推理是由__________
高考数学一轮总复习第六章不等式推理与证明6_3基本不等式课件理新人教A版
[解析] (1)由 lg 2x＋lg 8y＝lg 2 得，lg 2x＋3y＝lg 2， ∴x＋3y＝1，1x＋31y＝1x＋31y(x＋3y) ＝2＋3xy＋3xy≥4当且仅当3xy＝3xy时，等号成立.
(2)y＝1＋3x＋
1 x－1
＝3(x－1)＋
1 x－1
＋4.令x－1＝t，t≥1，∴y＝3t＋
跟踪训练 (1)(2018·湖南期末)函数y＝ax－1＋2(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若
定点A在直线mx ＋ny＝1(m＞0，n＞0)上，则3m＋n的最小值为( )
A．13
B．14
C．16
D．12
解析：由题意知A(1,3)，
点A在直线mx ＋ny＝1(m＞0，n＞0)上，∴m1 ＋3n＝1.
(3)ab≤a＋2 b2(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．
(4)1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(a，b＞0，当且仅当a＝b时取等号)．
[三基自测]
1．(必修5·习题3.4A组改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A．80
B．77
C．81
3．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则： (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有 最小 值是2 p(简记：
积定和最小 )． (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有 最大值是p42(简记：
和定积最大 )．
4．几个常用的重要结论： (1)ba＋ab≥2(a与b同号，当且仅当a＝b时取等号)． (2)a＋1a≥2(a＞0，当且仅当a＝1时取等号)，a＋1a≤－2(a＜0，当且仅当a＝－1时 取等号)．
2020版高考数学一轮复习第6章不等式、推理与证明第1节不等式的性质与一元二次不等式课件文北师大版
B．ad＜bc
C．ac＞bd
D．ac＜bd
B [由 c＜d＜0 得1d＜1c＜0，则－1d＞－1c＞0，
∴－ad＞－bc，
∴ad＜bc，故选 B．]
解析答案
2．(2016·北京高考)已知 x，y∈R，且 x>y>0，则( )
A．1x－1y>0
B．sin x－sin y>0
C．12x－12y <0
D．ln x＋ln y>0
解析答案
C [函数 y＝12x在(0，＋∞)上为减函数，∴当 x>y>0 时，12x < 12y，即12x－12y <0，故 C 正确；函数 y＝1x在(0，＋∞)上为减函数， 由 x>y>0⇒1x<1y⇒1x－1y<0，故 A 错误；函数 y＝sin x 在(0，＋∞)上不 单调，当 x>y>0 时，不能比较 sin x 与 sin y 的大小，故 B 错误；x>y>0 ⇒xy>0⇒/ ln(xy)>0⇒/ ln x＋ln y＞0，故 D 错误．]
解析答案
D [利用不等式的同向可加性可知①正确；对于②，根据不等 式的性质可知 ac<bd，故②不正确；因为函数 y＝x13是递增的，所以 ③正确；对于④，由 a>b>0 可知 a2>b2>0，所以a12<b12，所以④不正确．]
3．(教材改编)设 a，b，c∈R，且 a＞b，则( )
A．ac＞bc C．a2＞b2
②当 Δ＝a2－4＞0，即 a＞2 或 a＜－2 时，方程 x2＋ax＋1＝0
的两根为 x1＝－a＋2 a2－4，x2＝－a－2 a2－4，
则原不等式的解集为x－a－2 a2－4或x＜－a＋2 a2－4
高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第二节一元二次不等式及其解法课件文
所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2， f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，
解得b＜－1或b＞2．∴b的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)
角度三：形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围
3．对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值 恒大于零，求x的取值范围．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
13是ax2＋bx＋2＝0的两根，
则a＝－12，b＝－2．
所以a＋b＝－14．
答案：－14
1．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时 的情形．
2．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意 区别．
3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．
[小题纠偏]
解：要使 f(x)＜－m＋5 在[1,3]上恒成立，则 mx2－mx＋m－6 ＜0，即 mx－122＋34m－6＜0 在 x∈[1,3]上恒成立． 因为 x2－x＋1＝x－122＋34＞0，又因为 m(x2－x＋1)－6＜0，所 以 m＜x2－6x＋1． 因为函数 y＝x2－6x＋1＝x－1262＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需 m＜67即可．因为 m≠0，所以 m 的取值范围是(－∞，0)∪0，67．
2017届高考数学大一轮 第六章 不等式与推理证明 第3课时 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 理
1．(2015·高考陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，
B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限
额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4
万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
A.12万元
A(吨) B(吨)
甲 乙 原料限额
32
12
12
8
B．16万元
C．17万元
主干回顾 夯基固源 考点研析 题组冲关 素能提升 学科培优
课时规范训练
第3课时 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组． 2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二 元一次不等式组． 3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题， 并能加以解决．
1．(2015·高考湖南卷)若变量x，y满足约束条件
x2＋x－y≥y≤－11，， 则z＝3x－y的最小值为(
)
y≤1.
A．－7 C．1
B．－1 D．2
解析：画出可行域，如图中阴影部分所示．目标函数z＝3x－
y可化为y＝3x－z，其斜率为3，纵截距为－z，平移直线y＝3x知
当直线y＝3x－z经过点A时，其纵截距最大，z取得最小值．由
1．二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标 系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有的点组成的平面区域 (半平面) 不含 边界直线，不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平 面区域(半平面)含有边界直线．
(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有的点(x，y)，使得Ax
解析 当m≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第 二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，因此 m＜0.
2020版高考数学一轮复习第6章不等式、推理与证明第2节基本不等式教学案理北师大版
第二节 基本不等式[考纲传真] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数．2．两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．3．利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是简记：积定和最小)．(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大)．[常用结论]1.b a ＋a b≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号． 2．ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22. 3.21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的． ( ) (2)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( ) (3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x，x ∈(0，π)的最小值为4.( )(4)x ＞0且y ＞0是x y ＋y x≥2的充要条件． ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82C [∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )m ax＝81.]3．若直线x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5C [由题意得1a ＋1b＝1.又a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4. 当且仅当b a ＝a b，即a ＝b ＝2时等号成立，故选C.] 4．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3D ．4C [当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2x －1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，选C.] 5．(教材改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m 2.25 [设矩形的一边为x m ，矩形场地的面积为y ， 则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，则y ＝x (10－x ) ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋－x 22＝25， 当且仅当x ＝10－x ， 即x ＝5时，y m ax ＝25.]利用基本不等式求最值►考法1 配凑法求最值【例1】 (1)设0＜x ＜2，则函数y ＝x －2x 的最大值为( )A ．2B ．22C. 3 D ． 2 (2)若x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．(1)D (2)1 [(1)∵0＜x ＜2，∴4－2x ＞0，∴x (4－2x )＝12×2x (4－2x )≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋4－2x 22＝12×4＝2. 当且仅当2x ＝4－2x ，即x ＝1时等号成立． 即函数y ＝x－2x 的最大值为 2.(2)因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3 ≤－2－4x15－4x＋3＝－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.]►考法2 常数代换法求最值【例2】 已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．[解] (1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝4y ，即x ＝16，y ＝4时等号成立． 故xy 的最小值为64.(2)法一：(消元法)由2x ＋8y －xy ＝0，得x ＝8yy －2，因为x ＞0，y ＞0，所以y ＞2， 则x ＋y ＝y ＋8y y －2＝(y －2)＋16y －2＋10≥18， 当且仅当y －2＝16y －2，即y ＝6，x ＝12时等号成立． 故x ＋y 的最小值为18.法二：(常数代换法)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18，当且仅当y ＝6，x ＝12时等号成立， 故x ＋y 的最小值为18.(1)已知＞0，＞0，＋3＋＝9，则＋3的最小值为________．(2)(2019·皖南八校联考)函数y ＝log a (x ＋4)－1(a ＞0，a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋yn＝－1上，且m ＞0，n ＞0，则3m ＋n 的最小值为( )A ．13B ．16C ．11＋6 2D ．28(1)6 (2)B [(1)∵x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9， ∴9－(x ＋3y )＝xy ＝13×x ×3y ≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时，等号成立，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ，x ＋3y ＋xy ＝9，因为x ＞0，y ＞0，计算得出⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.∴x ＋3y 的最小值为6.(2)函数y ＝log a (x ＋4)－1(a ＞0，a ≠1)的图像恒过A (－3，－1)， 由点A 在直线x m ＋y n＝－1上可得， －3m ＋－1n＝－1，即3m ＋1n＝1，故3m ＋n ＝(3m ＋n )⎝⎛⎭⎪⎫3m ＋1n ＝10＋3⎝⎛⎭⎪⎫n m ＋m n， 因为m ＞0，n ＞0， 所以n m ＋mn ≥2n m ×m n ＝2(当且仅当n m ＝mn，即m ＝n 时取等号)， 故3m ＋n ＝10＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ≥10＋3×2＝16，故选B ．]利用基本不等式解决实际问题【例3】 随着社会的发展，汽车逐步成为人们的代步工具，家庭轿车的持有量逐年上升，交通堵塞现象时有发生，据调查某段公路在某时段内的车流量y (单位：千辆/时)与汽车的平均速度v (单位：千米/时)之间有函数关系：y ＝900vv 2＋8v ＋1 600(v ＞0)．(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时车流量y 最大？最大车流量约为多少？(结果保留两位小数)(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？[解] (1)由题知，v ＞0，则y ＝900vv 2＋8v ＋1 600＝900v ＋1 600v＋8≤90080＋8＝90088＝22522，当且仅当v ＝1 600v，即v ＝40时取等号．所以y m ax ＝22522≈10.23.故当v ＝40时，车流量y 最大，最大约为10.23千辆/时． (2)由y ＝900v v 2＋8v ＋1 600≥10，得90v v 2＋8v ＋1 600≥1，即90v ≥v 2＋8v ＋1 600，整理得v2－82v ＋1 600≤0，即(v －32)(v －50)≤0，解得32≤v ≤50.所以为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时，汽车的平均速度应大于等于32千米/时且小于等于50千米/时．设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值在求函数的最值时，一定要在定义域使实际问题有意义的自变量的取值范围内.要制作一个容积为4 m ，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元C [设底面相邻两边的边长分别为x m ，y m ，总造价为T 元，则xy ·1＝4⇒xy ＝4.T ＝4×20＋(2x ＋2y )×1×10＝80＋20(x ＋y )≥80＋20×2xy ＝80＋20×4＝160(当且仅当x ＝y 时取等号)．故该容器的最低总造价是160元．] 基本不等式的综合应用【例4】 (1)已知a ＞0，b ＞0，若不等式3a ＋1b ≥m a ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24(2)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n (n ∈N *)，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________．(1)B (2)92 [(1)由3a ＋1b ≥ma ＋3b，得m ≤(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b＝9b a ＋ab ＋6.又9b a＋a b＋6≥29＋6＝12(当且仅当9b a ＝ab，即a ＝3b 时等号成立)，∴m ≤12，∴m 的最大值为12. (2)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n＋n2， ∴S n ＋8a n＝n＋n2＋8n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号． ∴S n ＋8a n 的最小值是92.](1)当x ∈R 时，32x－(k ＋1)3x＋2＞0恒成立，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，22－1)C ．(－1,22－1)D ．(－22－1,22－1)(2)已知函数f (x )＝|lg x |，a ＞b ＞0，f (a )＝f (b )，则a 2＋b 2a －b的最小值等于________．(1)B (2)22 [(1)由32x －(k ＋1)·3x ＋2＞0，解得k ＋1＜3x＋23x .∵3x ＞0，∴3x ＋23x ≥22(当且仅当3x＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立)， ∴3x＋23x 的最小值为2 2.又当x ∈R 时，32x－(k ＋1)3x＋2＞0恒成立，∴当x ∈R 时，k ＋1＜⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋23x min ，即k ＋1＜22，即k ＜22－1.(2)由f (x )＝|lg x |，且f (a )＝f (b )可知 |lg a |＝|lg b |，又a ＞b ＞0，∴lg a ＝－lg b ，即lg ab ＝0，∴ab ＝1.∴a 2＋b 2a －b ＝a －b 2＋2ab a －b ＝(a －b )＋2a －b ≥22， 当且仅当a －b ＝2时等号成立，∴a 2＋b 2a －b的最小值为2 2.]。
高中数学高三第六章不等式合情推理与演绎推理(教案)
高三一轮复习6.5合情推理与演绎推理
【教学目标】
1。
了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用．
2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；
掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理.
【重点难点】
1.教学重点：了解合情推理和演绎推理,掌握演绎推理的“三段论”；
2。
教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力;
【教学策略与方法】
自主学习、小组讨论法、师生互动法
【教学过程】
……根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N*且n≥2时,f n（x)＝f（f n －1
(x)）＝________。
【解析】由f(x)＝错误!（x>0)
得，f1（x）＝f（x)＝x
x＋2,
f2(x）＝f（f1（x）)＝错误!＝
错误!，
f3(x)＝f(f2（x)）＝错误!＝错误!，
f4(x)＝f（f3（x))＝错误!＝错误!,
所以归纳可得,当n∈N*且n≥2时，f n(x)＝f（f n－1（x))＝错误!。
【答案】错误!
●命题角度3 形的归纳
4．仔细观察下面4个数字所表
示的图形：。
高三数学复习第六章 不等式、推理与证明
演 练 知 能 检 测
第一节
不等关系与不等式
[归纳· 知识整合]
回 扣 主 干 知 识
突 破 热 点 题 型
1．比较两个实数大小的法则 设a，b∈R，则 a－b＞0 (1)a＞b⇔ ； a－b＝0 (2)a＝b⇔ ； a－b＜0 (3)a＜b⇔ . 2．不等式的基本性质 性质 对称性 传递性 可加性 性质内容 a>b⇔_____ b<a a>b，b>c⇒______ a>c 注意 ⇔ ⇒ ⇔
[例3] 个结论： (1)(2012· 湖南高考)设a>b>1，c<0，给出下列三
提 升 学 科 素 养
突 破 热 点 题 型
c c ①a>b；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)．
其中所有的正确结论的序号是 ( )
演 练 知 能 检 测
A．①
B．①②
C．②③
D．①②③
数学(6省专版)
＝(x－1)2＋1>0， ∴3x2－x＋1>2x2＋x－1.
演 练 知 能 检 测
数学(6省专版)
第一节
不等关系与不等式
回 扣 主 干 知 识
aa－b aabb a－b b－a a－b 1 a－b (2)abba＝a b ＝a b ＝b . aa－b a ∵当a>b，即a－b>0，b>1时，b >1，
第一节
不等关系与不等式
c d (2)已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0， a － b >0(其中a，
回 扣 主 干 知 识
b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个 不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是 ( )
高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明6.1不等式的性质及一元二次不等式课件理
合A,再求解.
(2)利用指数函数的性质,将原不等式化为关于x的一元
二次不等式求解即可.
【规范解答】(1)选C.A={x|1<x<3}， B={x|2<x<4}, 故A∩B={x|2<x<3}.
(2)因为4=22且y=2x在R上单调递增，所以 <4可化
为x2-x<2，解得-1<x<2.所以 <4的解集是 a(x 1 ) a
B．2个
C．433个，
D．4个
【解析】选C.运用倒数性质，
由a>b，ab>0可得 {x|2x
4}.
②④正确．又正数大于3 负数，①正确，③错误.
2.如果a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列选项中不一
定成立的是 ( )
A.ab>ac
B.c(b-a)>0
C.cb2<ab2
D.ac(a-c)<0
A.n>m>p
B.m>p>n
C.m>n>p
D.p>m>n
【解题导引】(1)根据已知条件可判断出x和z的符号, 然后由不等式的性质便可求解. (2)根据不等式性质和函数单调性求解.
【规范解答】(1)选C.因为x>y>z,x+y+z=0,所以x>0,
z<0.所以由 1 可得xy>xz. (2)选B.因为ax >1,所以a2+1-2a=(a-1)2>0,即a2+1>2a,
第六章 不等式、推理与证明 第一节
不等式的性质及一元二次不等式
ab
1
a
高中全程复习方略数(理) 第6章 不等式、推理与证明 课时提能演练 6.6
课时提能演练(四十)(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.结论为： x n＋y n能被x＋y整除，令n＝1,2,3,4验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为( )(A)n∈N* (B)n∈N*且n≥3(C)n为正奇数 (D)n为正偶数2.(2012·广州模拟)“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数.”上述推理( )(A)小前提错(B)结论错(C)正确 (D)大前提错3.在△ABC中，sinAsinC<cosAcosC，则△ABC一定是( )(A)锐角三角形 (B)直角三角形(C)钝角三角形 (D)不确定4.若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.证明过程如下：∵a、b、c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又∵a，b，c不全相等，∴以上三式至少有一个“＝”不成立，∴将以上三式相加得2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)，∴a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.此证法是( )(A)分析法 (B)综合法 (C)分析法与综合法并用 (D)反证法5. (2012·杭州模拟)用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是( ) (A)假设三内角都不大于60度 (B)假设三内角都大于60度 (C)假设三内角至多有一个大于60度 (D)假设三内角至多有两个大于60度6.设函数f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1，f(2)＝3a －4a ＋1，则a 的取值范围是( ) (A)a<34 (B)a<34且a≠－1(C)a>34或a<－1 (D)－1<a<34二、填空题(每小题6分，共18分)7.设a>0，b>0，c>0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c≥ .8.(2012·大同模拟)用反证法证明命题“若a ，b∈N，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为 . 9.(易错题)设x ，y ，z 是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是 (填写所有正确条件的代号).①x 为直线，y ，z 为平面；②x，y ，z 为平面； ③x，y 为直线，z 为平面；④x，y 为平面，z 为直线； ⑤x，y ，z 为直线.三、解答题(每小题15分，共30分) 10.求证：若a>0，则a 2＋1a 2－2≥a＋1a－2.11.已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd>1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数. 【探究创新】(16分)凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D 上是凸函数，则对D 内的任意x 1，x 2，…，x n 都有f(x 1)＋f(x 2)＋…＋f(x n )n≤f(x 1＋x 2＋…＋x nn ).已知函数f(x)＝sinx 在(0，π)上是凸函数，则(1)求△ABC 中，sinA ＋sinB ＋sinC 的最大值. (2)判断f(x)＝2x 在R 上是否为凸函数.答案解析1. 【解析】选C.由结论x n ＋y n 能被x ＋y 整除，验证n ＝1成立，n ＝2不成立，n ＝3成立，n ＝4不成立，故排除A 、B 、D ，只有C 满足. 2. 【解析】选C.大前提，小前提都正确，推理正确，故选C. 3. 【解题指南】将不等式移项，对两角和的余弦公式进行逆用，得出角的范围即可.【解析】选C.由sinAsinC<cosAcosC 得 cosAcosC －sinAsinC>0， 即cos(A ＋C)>0，∴A ＋C 是锐角， 从而B>π2，故△ABC 必是钝角三角形.4. 【解析】选B.由已知条件入手证明结论成立，满足综合法的定义.5. 【解析】选B.由反证法的定义可知，要否定结论，即至少有一个不大于60°的否定是三内角都大于60°，故选B. 6.【解析】选D.∵f(x)的周期为3，∴f(2)＝f(－1)， 又f(x)是R 上的奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，则f(2)＝f(－1)＝－f(1)， 再由f(1)>1，可得f(2)<－1， 即3a －4a ＋1<－1，解得－1<a<34. 7.【解题指南】把1a ＋1b ＋1c 中的1用a ＋b ＋c 代换，利用基本不等式求解.【解析】∵a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋cc＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc≥3＋2b a ·a b＋2c a ·a c＋2c b ·bc＝3＋2＋2＋2＝9. 等号成立的条件是a ＝b ＝c ＝13.答案：98.【解析】由反证法的定义可知，否定结论，即“a ，b 中至少有一个能被3整除”的否定是“a ，b 都不能被3整除”. 答案：a 、b 都不能被3整除9.【解析】①中x 为直线，y ，z 为平面，则x ⊥z ，y ⊥z ，而x y ，∴必有x ∥y 成立，故①正确.②中若x ，y ，z 均为平面，由墙角三面互相垂直可知x ∥y 是错的. ③x 、y 为直线，z 为平面，则x ⊥z ，y ⊥z 可知x ∥y 正确. ④x 、y 为平面，z 为直线，z ⊥x ，z ⊥y ，则x ∥y 成立.⑤x 、y 、z 均为直线，x ⊥z 且y ⊥z ，则x 与y 还可能异面、垂直，故不成立. 答案：①③④10.【解题指南】利用分析法证明.由a>0，将不等式两边平方，不等式仍成立，最后利用基本不等式得证.【证明】要证原不等式成立，只需证a2＋1a2＋2≥a＋1a＋ 2.∵a>0，∴两边均大于零.因此只需证a2＋1a2＋4＋4a2＋1a2≥a2＋1a2＋2＋2＋22(a＋1a).只需证2a2＋1a2≥2(a＋1a)，只需证2(a2＋1a2)≥a2＋1a2＋2，即证a2＋1a2≥2，而a2＋1a2≥2显然成立，∴原不等式成立. 【变式备选】已知a>6，求证：a－3－a－4<a－5－a－6. 【证明】方法一：要证a－3－a－4<a－5－a－6只需证a－3＋a－6<a－5＋a－4 ⇐(a－3＋a－6)2<(a－5＋a－4)2⇐2a－9＋2(a－3)(a－6)<2a－9＋2(a－5)(a－4)，⇐(a－3)(a－6)<(a－5)(a－4)，⇐(a－3)(a－6)<(a－5)(a－4)，⇐18<20.因为18<20显然成立， 所以原不等式成立. 方法二：要证a －3－a －4<a －5－a －6只需证1a －3＋a －4<1a －5＋a －6 只需证a －3＋a －4>a －5＋a －6∵a>6，∴a －3>a －4>a －5>a －6>0， 则a －3＋a －4>a －5＋a －6.所以原不等式成立.11.【证明】假设a ，b ，c ，d 都是非负数，因为a ＋b ＝c ＋d ＝1， 所以a ，b ，c ，d ∈[0,1]， 所以ac ≤ac ≤a ＋c 2，bd ≤bd ≤b ＋d 2，所以ac ＋bd ≤a ＋c 2＋b ＋d2＝1，这与已知ac ＋bd>1相矛盾，所以原假设不成立，即证得a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数. 【探究创新】【解析】(1)∵f(x)＝sinx 在(0，π)上是凸函数，A 、B 、C ∈(0，π)且A ＋B ＋C ＝π，∴f(A)＋f(B)＋f(C)3≤f(A ＋B ＋C 3)＝f(π3)，即sinA ＋sinB ＋sinC ≤3sin π3＝332.所以sinA ＋sinB ＋sinC 的最大值为332.(2)∵f(－1)＝12，f(1)＝2，而f(－1)＋f(1)2＝12＋22＝54，而f(－1＋12)＝f(0)＝1，∴f(－1)＋f(1)2>f(－1＋12).即不满足凸函数的性质定理，故f(x)＝2x 不是凸函数. 【方法技巧】新定义题的解题技巧(1)对于新型概念的解题问题，要理解其定义的实质，充分利用定义解题是关键.(2)要证明一个函数满足定义需利用定义加以证明它满足的条件，若想说明它不满足定义，只需用特例说明即可.。
高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 6-6 直接证明与间接证明课件 文
∴f(0)≥0.于是 f(0)＝0.
(2)对于 f(x)＝2x，x∈[0,1]，f(1)＝2 不满足新定义中的条件②， ∴f(x)＝2x，(x∈[0,1])不是理想函数． 对于 f(x)＝x2，x∈[0,1]，显然 f(x)≥0，且 f(1)＝1. 任意的 x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1， f(x1＋x2)－f(x1)－f(x2)＝(x1＋x2)2－x21－x22＝2x1x2≥0， 即 f(x1)＋f(x2)≤f(x1＋x2)． ∴f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数． 对于 f(x)＝ x，x∈[0,1]，显然满足条件①②. 对任意的 x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1， 有 f2(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]2＝(x1＋x2)－(x1＋2 x1x2＋x2)＝－2 x1x2≤0， 即 f2(x1＋x2)≤[f(x1)＋f(x2)]2.∴f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，不满足条件③. ∴f(x)＝ x(x∈[0,1])不是理想函数．综上，f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数， f(x)＝2x(x∈[0,1])与 f(x)＝ x(x∈[0,1])不是理想函数．
命题角度2 分析法的应用
典例2
已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.
求证：a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c. 证明 要证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c，
即证a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3，
也就是a＋c b＋b＋a c＝1，
只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
2．分析法 (1)定义：从___要__证__明__的__结__论___出发，逐步寻求使它成立的__充__分__条__件_，直到最后，把要证明的结论归 结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法． (2)框图表示： Q⇐P1 ―→ P1⇐P2 ―→ P2⇐P3 ―→…―→ 得到一个明显成立的条件 (其中Q表示要证明的结 论)． (3)思维过程：执果索因．
高考数学总复习：第6章《不等式、推理与证明》[5]
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[规律方法]
1．归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所 得的结论超越了前提所包含的范围．
2．归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、 经验或试验的基础之上的． [注意] 归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明， 但对数学结论和科学的发现很有用．
[跟踪训练] x 1．已知函数 f(x)＝ (x＞0)．如下定义一列函数：f1(x)＝f(x)， x＋2 f2(x)＝f(f1(x))，f3(x)＝f(f2(x))，…，fn(x)＝f(fn－1(x))，…，n∈N*， 那么由归纳推理可得函数 fn(x)的解析式是 fn(x)＝________．
5．(理)(2013·陕西高考)观察下列等式
12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10
……
照此规律，第n个等式可为__________．
解析 第 n 个等式的左边第 n 项应是(－1)n＋1n2，右边数的绝对值 n（n＋1） 为 1＋2＋3＋…＋n＝ ，故有 12－22＋32－42＋…＋ 2 (－1)
2．数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于
(
)
A．28 C．33
B．32 D．27
B [由5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9.
则x－20＝12，因此x＝32.]
3．(教材习题改编)给出下列三个类比结论．
①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；
n＋1 2
n ＝(－1)
2 2
n＋1n（n＋1）
2
.
n＋1 2
高考一轮总复习 数学 第六章 第2讲 一元二次不等式及其解法
延伸探究 1 例 2 中(1)变为：若不等式 mx2－mx－1<0 对 m∈[1,2]恒成立，求实数 x 的取值范围．
解 设 g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，
其图象是直线，
当 m∈[1,2]时，图象为一条线段，
则gg12<<00， ，
x2－x－1<0， 即2x2－2x－1<0，
解得1－2
3 1＋ <x< 2
3，
故 x 的取值范围为1－2
3，1＋2
3 .
延伸探究 2 例 2 中(2)条件“f(x)<5－m 恒成立”改为“f(x)<5－m 无解”，如何求 m 的取值范围？
解 若 f(x)<5－m 无解，即 f(x)≥5－m 恒成立， 即 m≥x2－6x＋1恒成立，又 x∈[1,3]， 得 m≥6.即 m 的取值范围为[6，＋∞)．
A．{x|1≤x≤2}
B．{x|x≤1 或 x≥2}
C．{x|1<x<2}
D．{x|x<1 或 x>2}
解析 因为(x－1)(2－x)≥0，所以(x－2)(x－1)≤0， 所以结合二次函数的性质可得 1≤x≤2.故选 A.
3．[2016·辽阳统考]不等式xx－ ＋21≤0 的解集是(
)
A．(－∞，－1)∪(－1,2]
所以不改革时的纯收入为：70n－3n＋nn－ 2 1·2万元，
90＝a＋b，
a＝80，
由题设知170＝2a＋b， 所以b＝10，
由题意建立不等式：80n＋10－300－n>70n－3n－(n－1)n，
解得－
3<k<0.
(2)[2015·兰州模拟]已知函数 f(x)＝x2＋2xx＋a，若对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)>0 恒成立，则实数 a 的取值 范围是_(_－__3_，__＋__∞__) __．
2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：第6章 不等式、推理与证明及不等式选讲 第3节
[课堂练通考点]1．不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －1<1的解集为( )A{x |0<x <1}∪{x |x >1} B ．{x |0<x <1} C ．{x |－1<x <0} D ．{x |x <0} 解析：选D ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －1＝|x ＋1||x －1|<1，∴|x ＋1|<|x －1|， ∴x 2＋2x ＋1<x 2－2x ＋1， ∴x <0.2．若不等式⎪⎪⎪⎪x ＋1x >|a －2|＋1对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<a <3 B ．a >1 C ．a <3D ．a <1解析：选A ∵⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2，∴|a －2|＋1<2，即|a －2|<1，解得1<a <3. 3．(2013·江西高考)在实数范围内，不等式||x －2|－1|≤1的解集为________． 解析：依题意得－1≤|x －2|－1≤1，即|x －2|≤2，解得0≤x ≤4. 答案：[0,4]4．(2013·重庆高考)若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值范围是________．解析：|x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8，故a ≤8. 答案：(－∞，8]5．(2014·哈师大附中模拟)设函数f (x )＝|x －a |＋2x ，其中a >0. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥2x ＋1的解集；(2)若x ∈(－2，＋∞)时，恒有f (x )>0，求a 的取值范围． 解：(1)a ＝2时，|x －2|＋2x ≥2x ＋1，∴|x －2|≥1，∴x ≥3或x ≤1. ∴不等式的解集为(－∞，1]∪[3，＋∞)．(2)依题意，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －a ，x ≥a ，x ＋a ，x <a ，∵a >0，∴当x >－2时，f (x )≥x ＋a >－2＋a ，要使f (x )>0，只需－2＋a ≥0即可，∴a ≥2.故a 的取值范围为[2，＋∞)．[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．如果|x －a |<ε2，|y －a |<ε2，则一定有( )A ．|x －y |<εB ．|x －y |>εC ．|x －y |<ε2D ．|x －y |>ε2解析：选A |x －y |＝|(x －a )＋(a －y )|≤|x －a |＋|y －a |<ε，即|x －y |<ε. 2．不等式2<|x ＋1|<4的解集为( ) A ．(1,3) B ．(－5，－3)∪(0,3) C ．(－5,0)D ．(－5，－3)∪(1,3)解析：选D ∵2<|x ＋1|<4， ∴2<x ＋1<4或－4<x ＋1<－2， ∴1<x <3或－5<x <－3.3．(2014·哈尔滨模拟)不等式|x ＋1|>|2x －3|－2的解集为( ) A ．(－∞，－6) B ．(－6,0) C ．(0,6)D ．(6，＋∞)解析：选C 原不等式等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－(x ＋1)>－(2x －3)－2 或②⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x <32，x ＋1>－(2x －3)－2或③⎩⎪⎨⎪⎧x ≥32，x ＋1>2x －3－2.不等式组①的解集为∅，不等式组②的解集为⎝⎛⎭⎫0，32，不等式组③的解集为⎣⎡⎭⎫32，6，因此原不等式的解集为(0,6)．4．不等式|x ＋3|＋|x －1|≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5]解析：选A 由绝对值的几何意义易知：|x ＋3|＋|x －1|的最小值为4，所以不等式|x ＋3|＋|x －1|≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.5．已知不等式|a －2x |>x －1，对任意x ∈[0,2]恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，1)∪(5，＋∞) B ．(－∞，2)∪(5，＋∞) C ．(1,5)D ．(2,5)解析：选B 当0≤x <1时，不等式|a －2x |>x －1对a ∈R 恒成立；当1≤x ≤2时，不等式|a －2x |>x －1，即a －2x <1－x 或a －2x >x －1，x >a －1或3x <1＋a ，由题意得1>a －1或6<1＋a ，a <2或a >5；综上所述，则a 的取值范围为(－∞，2)∪(5，＋∞)．6．若关于x 的不等式|ax ＋2|<6的解集为(－1,2)，则实数a 的值为________． 解析：由题意可知，－1和2都是|ax ＋2|＝6的根，所以|－a ＋2|＝6且|2a ＋2|＝6，解得a ＝－4.答案：－47．(2014·青岛一模)不等式|2x ＋1|－|x －4|>2的解集是________． 解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，－(2x ＋1)＋(x －4)>2，或⎩⎪⎨⎪⎧－12<x ≤4，(2x ＋1)＋(x －4)>2，或⎩⎪⎨⎪⎧x >4，(2x ＋1)－(x －4)>2，解得x ∈(－∞，－7)∪⎝⎛⎭⎫53，＋∞. 答案：(－∞，－7)∪⎝⎛⎭⎫53，＋∞8．(2014·西安检测)已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m .若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，则m 的取值范围为________．解析：函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，即为|x －2|>－|x ＋3|＋m 对任意实数x 恒成立，即|x －2|＋|x ＋3|>m 恒成立．因为对任意实数x 恒有|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5，所以m <5，即m 的取值范围是(－∞，5)．答案：(－∞，5)9．(2013·福建高考)设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值． 解：(1)因为32∈A ，且12∉A ，所以⎪⎪⎪⎪32－2<a ， 且⎪⎪⎪⎪12－2≥a ，解得12<a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1.(2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号． 所以f (x )的最小值为3.10．(2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由f (x )≤3得，|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)， 于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2，所以当x <－3时，g (x )>5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x >2时，g (x )>5. 综上可得，g (x )的最小值为5.从而若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·广州一模)若关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋m |>3的解集为R ，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意知，不等式|x －1|＋|x ＋m |>3恒成立，即函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋m |的最小值大于3，根据不等式的性质可得|x －1|＋|x ＋m |≥|(x －1)－(x ＋m )|＝|m ＋1|，故只要满足|m ＋1|>3即可，所以m ＋1>3或m ＋1<－3，解得m 的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．答案：(－∞，－4)∪(2，＋∞)2．(2013·湖北八校联考)若不等式|x ＋1|－|x －4|≥a ＋4a ，对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：只要函数f (x )＝|x ＋1|－|x －4|的最小值不小于a ＋4a 即可．由于||x ＋1|－|x －4||≤|(x＋1)－(x －4)|＝5，所以－5≤|x ＋1|－|x －4|≤5，故只要－5≥a ＋4a 即可．当a >0时，将不等式－5≥a ＋4a 整理，得a 2＋5a ＋4≤0，无解；当a <0时，将不等式－5≥a ＋4a 整理，得a 2＋5a ＋4≥0，则有a ≤－4或－1≤a <0.综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，－4]∪[－1,0)．答案：(－∞，－4]∪[－1,0)。
(文)大一轮复习课件 第六章 不等式、推理与证明 第三节 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
解析：设旅行社租用A型客车x辆，B型客车y 辆，租金为z，则线性约束条件为
x＋y≤21， y－x≤7， 36x＋60y≥900， x，y∈N.
目标函数为z＝1 600x
＋2 400y．画出可行域如图中阴影部分所示， 可知目标函数过点N(5,12)时，有最小值zmin＝36 800(元)．答案：C
[演练冲关]
x－y＋2≥0， 1．(2017·海口调研)已知实数x，y满足x＋y－4≥0，
4x－y－4≤0.
则z＝
3x－y的取值范围为
()
A．0，152 C．2，152
B．[0,2] D．2，83
解析：画出题中的不等式组表示的平面区域 (阴影部分)及直线3x－y＝0，平移该直线， 平移到经过该平面区域内的点A(1,3)(该点是 直线x－y＋2＝0与x＋y－4＝0的交点)时，相 应直线在x轴上的截距达到最小，此时z＝3x－y取得最小值 3×1－3＝0；平移到经过该平面区域内的点B85，152(该点是直 线4x－y－4＝0与x＋y－4＝0的交点)时，相应直线在x轴上的 截距达到最大，此时z＝3x－y取得最大值3× 85 － 152 ＝ 152 ，因此 z的取值范围是0，152，选A．答案：A
2．(易错题)若满足条件 xx＋－yy－≥20≤，0， y≥a
的整点(x，y)恰有9个，其
中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为 ( )
A．－3
B．－2
C．－1
解析：不等式组所表示的平面区域如图中
D．0
阴影部分，当a＝0时，只有4个整点
(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a＝－1时，
数多个，也可能没有．
3．在通过求直线的截距
z b
的最值间接求出z的最值时，要注
高考数学一轮复习 第6章 不等式、推理与证明 第3讲 基本不等式课件 文 北师大版
本题利用不等式把条件等式转化为关于所求 式子的不等式来解决，体现了转化思想和换元方法的应用．
1.已知 x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则 x＋2y 的
最小值是( B ) A．3 C.92
B．4 D．121
解析:法一：因为 x>0，y>0，
所以 2xy＝x·(2y)≤x＋22y2， 所以 8＝x＋2y＋2xy≤(x＋2y)＋x＋22y2.
，即 1
x＝3
时等号成立．
5．若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地 的最大面积是__2_5_m__2__． 解析：设矩形的长为 x m，宽为 y m，则 x＋y＝10，
所以 S＝xy≤x＋2 y2＝25，当且仅当 x＝y＝5 时取等号．
考点一 利用基本不等式求最值(高频考点) 利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择 题、填空题． 高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下三个命题角 度：
第六章 不等式、推理与证明
第3讲 基本不等式
1．基本不等式 ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件：__a_≥_0_，__b_≥_0___． (2)等号成立的条件：当且仅当__a_＝__b___时取等号．
2．算术平均数与几何平均数
a＋ b
设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为___2_____，几何平均
[解] (1)因为每件商品售价为 5 元，则 x 万件商品销售收入为 5x 万元，依题意得，当 0<x<8 时，
L(x)＝5x－13x2＋x－3＝－13x2＋4x－3； 当 x≥8 时，L(x)＝5x－6x＋1x00－38－3＝35－x＋10x0.
－13x2＋4x－3，0<x<8， 所以 L(x)＝
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(
)
A．1 800元
C．2 800元
B．2 400元
D．3 100元
解析 设每天分别生产甲产品 x 桶，乙产品 y 桶，相应的利润为 z x＋2y≤12， 元，则2x＋y≤12， z＝300x＋400y， x≥0，y≥0，
在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的 点A(4，4)时，相应直线在y轴上的截距达到最大，此时z ＝300x＋400y取得最大值，最大值是z＝300×4＋400×4 ＝2 800，即该公司可获得的最大利润是2 800元．
解析 (1)在坐标平面内画出题中的不等式
组表示的平面区域及直线2x＋y＝6，结合 图形分析可知，要使z＝2x＋y的最大值是6， 直线y＝k必过直线2x＋y＝6与x－y＝0的交 点，即必过点(2，2)，于是有k＝2；平移直线2x＋y＝6， 当平移到经过该平面区域内的点(－2，2)时，相应直线在 y轴上的截距达到最小，此时z＝2x＋y取得最小值，最小 值是z＝2×(－2)＋2＝－2.
品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克； 生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产 品的利润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400 元．公司在 生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 A 、 B 原料都不 超过 12 千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、 乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是
答案 C
[规律方法]
与线性规划有关的应用问题，通常涉及最优化问题．如用 料最省、获利最大等，其解题步骤是：①设未知数，确定 线性约束条件及目标函数；②转化为线性规划模型；③解 该线性规划问题，求出最优解；④调整最优解．
[跟踪训练]
3．(2012·四川高考)某公司生产甲、乙两种桶装产
A．31 200元
C．36 800元
B．36 000元
D. 38 400元
[听课记录] 设需 A，B 型车分别为 x，y 辆(x，y∈N)，则 x，y 需 36x＋60y≥900， 满足y－x≤7， x∈N，y∈N， 设租金为 z， 则 z＝1 600x＋2 400y，画出可行域如图， 根据线性规划中截距问题，可求得最优解为 x＝5，y＝12，此时 z 最小等于 36 800，故选 C.
4．写出能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是 ______．
x≤0， 解析 由可行域知不等式组为0≤y≤1， 2x－y＋2≥0. x≤0， 答案 0≤y≤1， 2x－y＋2≥0
5．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资 每人 50 元，请瓦工需付工资每人 40 元，现有工人工资预算 2 000 元，设木工 x 人，瓦工 y 人，则所请工人数的约束条件 是________． 50x＋40y≤2 000， * 答案 x∈N ， y∈N*
(2)距离型： 形如 z＝(x－a)2＋(y－b)2. y－b (3)斜率型：形如 z＝ . x－a 注意转化的等价性及几何意义．
[跟踪训练] x＋y≥0， 2．(1)设 z＝2x＋y，其中 x，y 满足x－y≤0，若 z 的最大值为 6， 0≤y≤k， 则 k 的值为________；z 的最小值为________． (2)已知 O 是坐标原点，点 A(1，0)，若点 M(x，y)为平面区域 x＋y≥2， → → x≤1， 上的一个动点，则|OA＋OM|的最小值是________． y≤2
→ → → → (2)依题意得，OA＋OM＝(x＋1，y)，|OA＋OM|＝ （x＋1）2＋y2可视为点(x，y)与点(－1，0)间的 距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的 平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点(－1， 0)向直线 x＋y＝2 引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点(－1， |－1＋0－2| 3 2 → → 0)的距离最小，因此|OA＋OM|的最小值是 ＝ . 2 2 3 2 答案 (1)2 －2 (2) 2
x≥1， 2．(教材习题改编)已知实数 x、y 满足y≤2， 则此不等式组表 x－y≤0， 示的平面区域的面积是 ( 1 A. 2 C．1 1 B. 4 1 D. 8 )
A [作出可行域为如图所示的三角形，
1 1 ∴S△＝ ×1×1＝ .] 2 2
3x＋y－6≥0， 3．(2013· 天津高考)设变量 x，y 满足约束条件x－y－2≤0， ， y－3≤0， 则目标函数 z＝y－2x 的最小值为 ( A．－7 C．1 B．－4 D．2 )
线性规划的实际应用
[典题导入]
(2013·湖北高考 )某旅行社租用 A，B两种型 号的客车安排 900 名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分 别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆， 旅行社要求租车总数不超过 21辆，且B型车不多于A型车7 辆，则租金最少为
(
)
C [不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当 a＝0 时，只 有 4 个整点(1，1)，(0，0)，(1，0)，(2，0)；当 a＝－1 时，正好 增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5 个整 点，故选 C.]
2x－y＋2≥0 (2)(2014· 辽宁五校联考)已知集合 A＝{(x，y)|x－2y＋1≤0}，B＝ x＋y－2≤0 {(x，y)|x2＋(y－1)2≤m}，若 A⊆B，则 m 的取值范围是
不等式组
直线 Ax ＋By ＋ C＝ 0示的平面区域的确定：
二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不 在直线上的点 (x 0 ，y 0 ) 作为测试点来进行判定，满足不等 式的，则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直 线的另一侧．
[关键要点点拨]
1．确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧 确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直 线定界，特殊点定域”的方法． (1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线 画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线；
(2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个 特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等 式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的 另一侧．特别地，当C ≠0时，常把原点作为测试点；当C ＝0时，常选点(1，0)或者(0，1)作为测试点．
第三节 二元一次不等式 (组)及简单的线性规划问题
[主干知识梳理]
一、二元一次不等式(组)表示的平面区域 1．在平面直角坐标系中二元一次不等式(组)表示的平面 区域：
不等式
表示区域 不包括 边界直线 包括 边界直线 各个不等式所表示平面区域的 公共部分
Ax＋By＋C＞0
Ax＋By＋C≥0
[规律方法] 1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准 确作出可行域，理解目标函数的意义． 2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如 z＝ax＋by. 求这类目标函数的最值常将函数 z＝ax＋by 转化为直线的斜截 a z z 式：y＝－ x＋ ，通过求直线的截距 的最值间接求出 z 的最 b b b 值．
[规律方法]
二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界， 测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线， 有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多 个，若直线不过原点，测试点常选取原点．
[跟踪训练] x－y≥0， 1．(1)若满足条件x＋y－2≤0，的整点(x，y)恰有 9 个，其中整点 y≥a 是指横、纵坐标都是整数的点，则整数 a 的值为 ( A．－3 C．－1 B．－2 D．0 )
答案 C
【创新探究】 利用线性规划问题求解非线性规划问题 (2012· 江苏高考)已知正数 a，b，c 满足：5c－3a≤ b b≤ 4c－a，cln b≥a＋cln c，则 的取值范围是__________． a 【思路导析】 将 a、b 看作变量 x、y.整理变形后已知不等 式化作关于 a、b 的约束条件，作出可行域，结合图形分析求 b 的范围． a
2．最优解问题 如果可行域是一个多边形，那么目标函数一般在某顶点 处取得最大值或最小值，最优解就是该点的坐标，到底 哪个顶点为最优解，只要将目标函数的直线平行移动， 最先通过或最后通过的顶点便是．特别地，当表示线性 目标函数的直线与可行域的某条边平行时，其最优解可 能有无数个．
二元一次不等式(组)表示平面区域
[典题导入] 0≤x≤4， (2014· 青岛一模)已知关于 x，y 的不等式组x＋y－4≥0， kx－y＋4≥0 所表示的平面区域的面积为 16，则 k 的值为 ( A．－1 C．1 B．0 D．3 )
[听课记录] 作如图所示可行域． 显然 A 点坐标为 A(4，4k＋4)． 1 ∴阴影部分面积为 × (4k＋4)× 4 2 ＝16. ∴k＝1.选 C. 答案 C
答案 (1)[－3，3] (2)－1
[互动探究] 若本例(2)条件变为目标函数
1 z＝ax＋y(a≠0)仅在点2，1 处取得
最小值，其它条件不变，求 a 的取值范围． 解析 由本例图知， 当直线 ax＋y＝0 的斜率 k＝－a＞1， 即 a＜－1 时，满足条件， 所求 a 的取值范围为(－∞，－1)．
最大值 在线性约束条件下求线性目标函数的 最小值 或 线性规划问题
问题
[基础自测自评]
1．(教材习题改编)如图所示的平面区 域(阴影部分)，用不等式表示为
(
)
A．2x－y－3＜0 B．2x－y－3＞0
C．2x－y－3≤0
D．2x－y－3≥0