三角形全等的条件--浙教版
浙教版数学八年级上册1.5《三角形全等的判定》(第1课时)教学设计
浙教版数学八年级上册1.5《三角形全等的判定》（第1课时）教学设计一. 教材分析《三角形全等的判定》是浙教版数学八年级上册1.5节的内容，本节内容是在学生已经掌握了三角形的基本概念、性质以及三角形的画法等知识的基础上进行学习的。
本节内容的主要目的是让学生掌握三角形全等的判定方法，并能够灵活运用这些方法解决实际问题。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于图形的认识和操作也有一定的了解。
但是，对于三角形全等的判定方法，学生可能还比较陌生，需要通过实例分析和操作来理解和掌握。
此外，学生的空间想象能力和逻辑思维能力还需要进一步的培养和提高。
三. 教学目标1.让学生了解三角形全等的概念，掌握三角形全等的判定方法。
2.培养学生观察、分析、解决问题的能力。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.三角形全等的判定方法的理解和运用。
2.三角形全等判定方法的灵活运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，通过问题的提出和解决，引导学生思考和探索。
2.采用实例分析法，通过具体的实例，让学生理解和掌握三角形全等的判定方法。
3.采用合作交流法，让学生在小组合作中，共同解决问题，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件和教学素材。
2.三角板和尺子等绘图工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习三角形的基本概念和性质，引导学生进入本节课的主题——三角形全等的判定。
2.呈现（10分钟）通过PPT呈现三角形全等的判定方法，引导学生观察和思考，让学生理解三角形全等的判定方法。
3.操练（10分钟）让学生利用三角板和尺子，自己动手画出全等的三角形，并通过比较，验证自己的结论。
4.巩固（10分钟）通过PPT展示一些判断三角形全等的问题，让学生独立解答，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）让学生思考：除了三角形，其他多边形有没有类似全等的概念？全等的概念在实际生活中有哪些应用？6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，让学生明确三角形全等的判定方法，并能够灵活运用。
第5课三角形全等的判定(学生版)八年级数学上册讲义(浙教版)
第5课三角形全等的判定目标导航学习目标1.掌握判定两个三角形全等的方法:“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，会判定两个三角形全等.2.了解三角形的稳定性及其应用.3.掌握线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.4.掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.知识精讲知识点01 三角形全等的判定三角形全等的判定方法：1.三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）2.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）3.两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
（简写成“角边角”或“ASA”）4.两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）知识点02 线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等知识点03 角平分线的性质角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等能力拓展考点01 三角形全等的判定【典例1】如图，下列各组条件中，不能得到△ABC≌△BAD的是（）A．BC＝AD，∠ABC＝∠BAD B．BC＝AD，AC＝BDC．AC＝BD，∠CAB＝∠DBA D．BC＝AD，∠CAB＝∠DBA【即学即练1】如图，点E在AB上，AC＝AD，∠CAB＝∠DAB，△ACE与△ADE全等吗？△ACB与△ADB 呢？请说明理由．考点02 线段垂直平分线的性质【典例2】如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3，△ABC的周长为14，求△BCD的周长．【即学即练2】如图，在△ABC中，AC＝6cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是13cm，则BC的长为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．13cm考点03 角平分线的性质【典例3】如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E、D为垂足，CF＝CB．（1）求证：BE＝FD；（2）若AC＝10，AD＝8，求四边形ABCF的面积．【即学即练3】如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是30cm2，AB＝13cm，AC＝7cm，则DE的长（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm分层提分题组A 基础过关练1．如图，已知AB＝AC，AE＝AD，要利用“SSS”推理得出△ABD≌△ACE，还需要添加的一个条件是（）A．∠B＝∠C B．BD＝CE C．∠BAD＝∠CAE D．以上都不对2．下列选项可用SAS证明△ABC≌△A′B′C′的是（）A．AB＝A′B′，∠B＝∠B′，AC＝A′C′B．AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠A＝∠A′C．AC＝A′C′，BC＝B′C′，∠C＝∠C′D．AC＝A′C′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′3．如图，用∠B＝∠C，∠1＝∠2，直接判定△ABD≌△ACD的理由是（）A．AAS B．SSS C．ASA D．SAS4．如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，下列条件中，能使△ADF≌△CBE的是（）A．∠A＝∠C B．AF＝CE C．AD∥BC D．DF∥BE5．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，点E在BC的垂直平分线上，若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACE的度数为（）A．48°B．50°C．55°D．60°6．如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于点O，OA＝OD．求证：（1）AB＝DC；（2）△ABC≌△DCB．7．如图，AF＝CE，AF∥CE，BE＝FD，问△ABF与△CDE全等吗？请说明理由．8．如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1＝∠3，∠E＝∠C，AE＝AC，问△ABC≌△ADE吗？请说明理由．题组B 能力提升练9．已知：BD＝CB，AB平分∠DBC，则图中有（）对全等三角形．A．2对B．3对C．4对D．5对10．如图，若∠B＝∠C，下列结论正确的是（）A．△BOE≌△COD B．△ABD≌△ACE C．AE＝AD D．∠AEC＝∠ADB11．用如图所示方法测小河宽度：AB⊥BC，OB＝OC，BC⊥CD，点A，O，D在同一条直线上，量出CD 的长度即知小河AB的宽度．这里判断△AOB≌△DOC的依据是（）A．SAS或SSA B．SAS或ASA C．AAS或SSS D．ASA或AAS12．如图，已知AC＝AD，要使△ABC≌△ABD，还需要添加一个条件，给出下列条件：①∠1＝∠2，②∠C＝∠D，③BC＝BD，其中符合要求的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③13．如图，已知AB＝CD，在不添加辅助线的情况下，若再添一个条件就可以证明△ABC≌△CDA，下列条件中符合要求的有（）个．①BC＝AD；②AD∥BC；③∠B＝∠D；④AB∥DC；A．1 B．2 C．3 D．414．如图所示，△EBC≌△DCB，BE的延长线与CD的延长线交于点A，CE与BD相交于点O．则下列结论：①△OEB≌△ODC；②AE＝AD；③BD平分∠ABC，CE平分∠ACB；④OB＝OC，其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个15．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若AB＝5，AC＝8，BC＝10，则△AEF的周长为（）A．5 B．8 C．10 D．1316．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，请你添加一个条件，使△BEC≌△CDA（填一个即可）．17．如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP，若∠BAC＝50°，则∠BPC＝°．18．如图，在△ABC中，点D在AC上，BD平分∠ABC，延长BA到点E，使得BE＝BC，连接DE，若∠ADE＝38°，∠C＝42°，求∠BAD的度数．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC上，延长BA至F使AF＝AB，连接EF；延长CA至G 使AG＝AC，连接DG，当∠G＝∠F时，猜想线段BD与线段CE的数量关系？并说明理由．题组C 培优拔尖练20．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是OABC外一点，连接AD、BD、CD，且BD交AC于点O，在BD上取一点E，使得AE＝AD，∠EAD＝∠BAC，若∠ABC＝62°，则∠BDC的度数为（）A．56°B．60°C．62°D．64°21．在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“U”字形框架P ABQ，其中AB＝42cm，AP，BQ足够长，P A⊥AB于A，QB⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，使M，N运动的速度之比3：4，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则线段AC 的长为（）A．18cm B．24cm C．18cm或28cm D．18cm或24cm22．如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板ADE如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．下列判断正确的有（）①△ABE≌△DCE；②BE＝EC；③BE⊥EC；④2S△AEC＝3S△AEB．A．1个B．2个C．3个D．4个23．如图，在锐角三角形ABC中，∠BAC＝60°，BE，CD为三角形ABC的角平分线．BE，CD交于点F，FG平分∠BFC，有下列四个结论：①∠BFC＝120°；②BD＝BG；③△BDF≌△CEF；④BC＝BD+CE．其中结论正确的序号有（）A．①②③B．①②④C．②③①D．①③④24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，∠CAD＝2∠BAE，连接DE，下列结论中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正确的有（）A．①②③B．③④C．①④D．①③④25．已知：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，（1）如图1，求∠BDC的度数；（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．26．如图，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点P，且D，P，C在同一条直线上．（1）求∠P AD的度数；（2）求证：P是线段CD的中点．。
1.5.2+三角形全等的判定(SAS))+课件++2024-2025学年浙教版八年级数学上册
__①___和__②___全等（填序号即可）.
2 100º 3 ①
32º
48º 2
3
②
2
48º 32º
3 ③
例题解析
【例1】如图，AC与BD相交于点O．已知OA＝OC，OB＝OD．求证：
△AOB≌△COD．
分还证析能明:找: 在到在△什△A么AOO条BB和件和△？△CC对OO顶DD中中角,,∠已A有O哪B=些∠已C证((13知O))三公等D条角共角件形角 加？全相 (或等等减时;)等,常角见(仍2的)对得A隐顶等含角角的O相; 等等角; 有:B
【思考】“SSA”能不能判定两个三角形全等？
合作探究
画△ABC 和△DEF，使∠A =∠D=40°， BC EF=2.5 cm ，AC =DF =3.5 cm ．观察所得的两个三角形是否全等？
C
F
A 40° B
40°
D
E
两边及其一边所对的角相等，两个三角形不一定全等
！ 必须是两边及其夹角对应相等
学以致用
OA=OC (已知)
(4)角平分线得两D等角;
C
∵
∠AOB=∠COD (对顶角相等) OB=OD (已知)
(5)同角(或等角)的余角、补角相等;
∴ △AOB≌△COD (SAS)
(6)平行线得同位角、内错角相等;
(7)垂直定义得两角相等.
例题解析
如图，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和
“SSA”不能判定两个三角形全等.
（1）已知两边，必须找“夹角”； （2）已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边.
垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直 平分线,简称中垂线. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
《直角三角形全等的判定》 教案 (公开课获奖)2022浙教版
直角三角形全等的判定〔HL〕一.教学目标1.知识与技能1.1掌握直角三角形的一条直角边和斜边，作直角三角形的方法。
1.2掌握直角三角形全等的判定方法“HL〞。
1.3．能用全等直角三角形的判定方法解决简单问题。
1.4 运用多种方法判定三角形全等、解决简单问题。
2．过程与方法经历探究全等直角三角形判定方法“HL〞的过程，学会用操作确认、归纳发现问题结论的方法。
运用多种方法判定三角形全等、解决简单问题3、情感、态度与价值观3.1.通过操作确认、归纳发现结论，感知实验操作在发现问题结论中的重要作用。
3.2.运用多种方法证明三角形全等、发散思维，掌握构造三角形的技巧、舔辅助线。
学情介绍：这节课是在学生掌握了一般三角形全等的判定方法的根底上，探索直角三角形全等的特殊方法。
由于学生已具备了一定的学习经验，让学生自主探究直角三角形全等的判定方法，符合学生的认知过程。
帮助学生发散思维，稳固本章节的内容。
内容分析：教材首先提出了已经学习的四种判定在角形全等的方法外，对于直角三角形是否还有其他的方法判定两个直角三角形全等问题，然后通过操作发现判定直角三角形全等的另外一种特殊方法“HL〞，最后通过例题和练习加以稳固这种判定方法。
教学重点：直角三角形全等的判定方法。
教学难点：运用全等直角三角形的判定方法解决问题、运用三角形全等的方法二.教学过程：直角三角形全等的判定、情境探究，引入新课. 本单元学习判断三角形全等的方法：1〕SSS 2) SAS 3) ASA 4) AAS思考：对于直角三角形，除了直角相等之外，还要满足什么样的条件，这两个直角三角形全等？〔预设答复：一边和一锐角对应相等或者两条直角边对应相等〕提问：如果满足斜边和一直角边对应相等，这两个三角形全等吗？、动手实践，探索规律活动一：作图任意画一个，使得，一条直角边**C B BC =，斜边**B A AB =。
再把画好的***C B RtA 剪下，放到RtABC 上，两个直角三角形之间有什么样的关系呢？〔形状、大小方面〕让同学展示作品，并给出画图步骤：其他同学是不是这样字画的，你们能得出什么样的结论呢？〔预设答复：两三角形全等〕 斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
2.8 直角三角形全等的判定八年级上册数学浙教版
注意：“HL”只能判定两个直角三角形全等，因此在依据此定理书写证明过程时，要突出直角三角形这个条件，且必须是斜边和一条直角边对应相等.
典例1（2022·杭州拱墅区期中）如图， ， ， ，要根据“HL”证明 ，则还要添加一个条件是( )
第2章 特殊三角形
2.8 直角三角形全等的判定
学习目标
1.掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.
2.掌握角平分线性质定理的逆定理.
3.能利用HL证明两个直角三角形全等.
知识点1 斜边、直角边定理（HL） 重点
判定定理
几何语言
图示
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写. D.
A
解析：添加的条件是 .理由： ， ， .在 和 中， .
知识点2 角平分线性质定理的逆定理 重点
角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.几何语言：如图， ， ， ， 平分 （或 ）.
注意 利用角平分线性质定理的逆定理证明点在角平分线上时，必须有“两垂直，一相等”这三个条件，缺一不可.
典例2 如图，已知 于点 ， 于点 ， , 相交于点 ，连结 ， .求证： 平分 .
证明：在 和 中，∵∴ ,∴ .又 , ,∴点 在 的平分线上，∴ 平分 .
三角形全等的判定(6种题型)-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(浙教版)(解析版)
三角形全等的判定（6种题型）【知识梳理】一、全等三角形判定——“边边边”全等三角形判定——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .二、全等三角形判定——“边角边”1. 全等三角形判定——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.三、垂直平分线：1.定义：垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,简称中垂线.2.性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等四、全等三角形判定——“角边角”全等三角形判定——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .五、全等三角形判定——“角角边” 1.全等三角形判定——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果BC ，那么∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，又∠A ＝∠A ，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.六、角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等.【考点剖析】题型一、全等三角形的判定——“边边边”例1、已知：如图，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分∠PRQ ．【思路点拨】由中点的定义得PM ＝QM ，RM 为公共边，则可由SSS 定理证明全等.【答案与解析】证明：∵M 为PQ 的中点（已知），∴PM ＝QM在△RPM 和△RQM 中，()(),,RP RQ PM QM RM RM ⎧=⎪=⎨⎪=⎩已知公共边 ∴△RPM ≌△RQM （SSS ）．∴ ∠PRM ＝∠QRM （全等三角形对应角相等）．即RM 平分∠PRQ.【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到，如：公共边、公共角、对顶角等条件隐含在题目或图形之中. 用全等三角形的性质和判定.【变式】已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠DBC.【答案】证明：连接DC ，在△ACD 与△BDC 中()AD BC AC BDCD DC ⎧=⎪=⎨⎪=⎩公共边 ∴△ACD≌△BDC（SSS ）∴∠CAD ＝∠DBC （全等三角形对应角相等）【变式2】、如图，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，求证：∠BAD ＝∠CAE.【答案与解析】证明：在△ABD 和△ACE 中，AB AC AD AE BD CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACE （SSS ）∴∠BAD ＝∠CAE （全等三角形对应角相等）.【总结升华】把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的判定和性质. 要证∠BAD ＝∠CAE ，先找出这两个角所在的三角形分别是△BDA 和△CAE ，然后证这两个三角形全等.题型二、全等三角形的判定——“边角边”例2、已知：如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2．求证：BC ＝DE ．【思路点拨】由条件AB ＝AD ，AC ＝AE ，需要找夹角∠BAC 与∠DAE ，夹角可由等量代换证得相等.【答案与解析】证明： ∵∠1＝∠2∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠DAE在△ABC 和△ADE 中AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADE （SAS ）∴BC ＝DE （全等三角形对应边相等）【总结升华】证明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量.【变式】如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD ＝90°），连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案】AE ＝CD ，并且AE ⊥CD证明：延长AE 交CD 于F ，∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形∴AB ＝BC ，BD ＝BE在△ABE 和△CBD 中90AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CBD （SAS ）∴AE ＝CD ，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC ＝90°∴AE ⊥CD例3、如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD ．【思路点拨】延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ．通过证全等将AB 转化到△CEA 中，同时也构造出了2AD ．利用三角形两边之和大于第三边解决问题.【答案与解析】证明：如图，延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ．在△ABD 和△ECD 中，AD DE ADB EDC BD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝．∴△ABD ≌△ECD （SAS ）．∴AB ＝CE ．∵AC ＋CE ＞AE ，∴AC ＋AB ＞AE ＝2AD ．即AC ＋AB ＞．【总结升华】证明边的大小关系主要有两个思路：（1）两点之间线段最短；（2）三角形的两边之和大于第三边．要证明AB ＋AC ＞2AD ，如果归到一个三角形中，边的大小关系就是显然的，因此需要转移线段，构造全等三角形是转化线段的重要手段．可利用旋转变换，把△ABD 绕点D 逆时针旋转180°得到△CED ，也就把AB 转化到△CEA 中，同时也构造出了2AD ．若题目中有中线，倍长中线，利用旋转变换构造全等三角形是一种重要方法．例4、已知，如图：在△ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD ⊥BC ，求证：AB ＝CD －BD ．【思路点拨】在DC 上取一点E ，使BD ＝DE ，则△ABD ≌△AED ，所以AB ＝AE ，只要再证出EC ＝AE 即可．【答案与解析】证明：在DC 上取一点E ，使BD ＝DE∵ AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠ADE在△ABD 和△AED 中，BD DE ADB=ADE AD AD ⎧⎪⎨⎪⎩＝∠∠＝∴△ABD ≌△AED （SAS ）．∴AB ＝AE ，∠B ＝∠AED ．又∵∠B ＝2∠C ＝∠AED ＝∠C ＋∠EAC ．∴∠C ＝∠EAC ．∴AE ＝EC ．∴AB ＝AE ＝EC ＝CD —DE ＝CD —BD ．【总结升华】此题采用截长或补短方法.上升到解题思想，就是利用翻折变换，构造的全等三角形，把条件集中在基本图形里面，从而使问题加以解决．如图，要证明AB ＝CD －BD ，把CD －BD 转化为一条线段，可利用翻折变换，把△ABD 沿AD 翻折，使线段BD 运动到DC 上，从而构造出CD －BD ，并且也把∠B 转化为∠AEB ，从而拉近了与∠C 的关系.【变式】已知，如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，并且AE ＝12（AB ＋AD ）， 求证：∠B ＋∠D ＝180°. AE D CB【答案】证明：在线段AE 上，截取EF ＝EB ，连接FC ，∵CE ⊥AB ，∴∠CEB ＝∠CEF ＝90°在△CBE 和△CFE 中，CEB CEF EC =EC EB EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△CBE 和△CFE （SAS ）∴∠B ＝∠CFE∵AE ＝12（AB ＋AD ），∴2AE ＝ AB ＋AD ∴AD ＝2AE －AB∵AE ＝AF ＋EF ，∴AD ＝2（AF ＋EF ）－AB ＝2AF ＋2EF －AB ＝AF ＋AF ＋EF ＋EB －AB ＝AF ＋AB －AB ，即AD ＝AF在△AFC 和△ADC 中(AF AD FAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩角平分线定义）∴△AFC ≌△ADC （SAS ）∴∠AFC ＝∠D∵∠AFC ＋∠CFE ＝180°，∠B ＝∠CFE.∴∠AFC ＋∠B ＝180°，∠B ＋∠D ＝180°.题型三、全等三角形的判定——“角边角”例5、已知：如图，E ，F 在AC 上，AD ∥CB 且AD ＝CB ，∠D ＝∠B ．求证：AE ＝CF ．【答案与解析】证明：∵AD ∥CB∴∠A ＝∠C在△ADF 与△CBE 中A C AD CB D B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF ≌△CBE （ASA ）∴AF ＝CE ，AF ＋EF ＝CE ＋EF故得：AE ＝CF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．【变式】（2022•长安区一模）已知：点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB ∥DE ，AC ∥DF ，BE ＝CF ．求证：△ABC ≌△DEF ．【分析】先利用平行线的性质得到∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，再证明BC＝EF，然后根据“ASA”可判断△ABC≌△DEF．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，{∠B=∠DEF BC=EF∠ACB=∠F，∴△ABC≌△DEF（ASA）．5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．例6、如图，G是线段AB上一点，AC和DG相交于点E.请先作出∠ABC的平分线BF，交AC于点F；然后证明：当AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝2∠ADG时，DE＝BF.【思路点拨】通过已知条件证明∠DAC＝∠C，∠CBF＝∠ADG，则可证△DAE≌△BCF【答案与解析】证明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C∵BF平分∠ABC∴∠ABC＝2∠CBF∵∠ABC＝2∠ADG∴∠CBF＝∠ADG在△DAE 与△BCF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠C DAC BCAD CBF ADG ∴△DAE≌△BCF（ASA ）∴DE＝BF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．【变式】已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM.【答案】证明：∵MQ 和NR 是△MPN 的高，∴∠MQN ＝∠MRN ＝90°，又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4∴∠1＝∠2在△MPQ 和△NHQ 中，12MQ NQ MQP NQH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MPQ ≌△NHQ （ASA ）∴PM ＝HN题型四、全等三角形的判定——“角角边”例7.（2021秋•苏州期末）如图，在四边形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠ACD ，∠CED +∠B ＝180°．求证：△ADE ≌△CAB ．【分析】由等角对等边可得AC＝AD，再由平行线的性质可得∠DAE＝∠ACB，由∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，得∠AED＝∠B，从而利用AAS可判定△ADE≌△CAB．【解答】证明：∵∠ADC＝∠ACD，∴AD＝AC，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACB，∵∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，∴∠AED＝∠B，在△ADE与△CAB中，{∠DAE=∠ACB ∠AED=∠BAD=AC，∴△ADE≌△CAB（AAS）．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是由已知条件得出相应的角或边的关系．例8、已知：如图，AB⊥AE，AD⊥，∠E＝∠B，DE＝CB．求证：AD＝AC．【思路点拨】要证AC＝AD，就是证含有这两个线段的三角形△BAC≌△EAD.【答案与解析】证明：∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠CAD＝∠BAE＝90°∴∠CAD＋∠DAB＝∠BAE＋∠DAB ，即∠BAC＝∠EAD在△BAC和△EAD中BAC EAD B E CB=DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△BAC ≌△EAD （AAS ）∴AC ＝AD【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等． 题型五：线段的垂直平分线 例9．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图所示，在ABC 中，8AC =，5BC =，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BCE 的周长为（ ）A ．13B ．18C ．10.5D ．21【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AE BE =，再将BCE 的周长转化为AC BC +的长，即可求解.【详解】解：DE 是AB 的垂直平分线，∴AE BE =，∴BCE 的周长为BE EC BC AE EC BC AC BC ++=++=+，8AC =，5BC =，∴BCE 的周长为8513AC BC +=+=，故选：A ．【点睛】本题主要考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．【变式1】（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，点D 是ABC 边AC 的中点，过点D 作AC 的垂线交BC 于点E ，已知6AC =，ABC 的周长为14，则ABE 的周长是（ ）A ．6B ．14C ．8D ．20【答案】C 【分析】由题意可知：ED 垂直平分AC ,故EA EC =，结合6AC =，ABC 的周长为14，即可得出答案．【详解】解：∵点D 是ABC 边AC 的中点， ED AC ⊥,∴ED 垂直平分AC ,∴EA EC =，∵6AC =，ABC 的周长为14，∴1468AB BC +=−=,∴8AB BC AB BE EC AB BE AE +=++=++=,∴ABE 的周长是8．故选：C ．【点睛】此题考查了垂直平分线的性质和判定，掌握垂直平分线的性质和判定是解题的关键．【答案】C 【分析】根据垂直平分线的性质可知，到A ，B ，C 表示三个居民小区距离相等的点，是AC ，BC 两边垂直平分线的交点，由此即可求解．【详解】解：如图所示，分别作AC ，BC 两边垂直平分线MN ，PQ 交于点O ，连接OA，OB，OC，∵MN，PQ是AC，BC两边垂直平分线，==，∴OA OB OC∴点O是到三个小区的距离相等的点，即点O是AC，BC两边垂直平分线的交点，故选：C．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．八年级专题练习）如图，在ABC中，是ABC外的一点，且【分析】根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，即可证明A、D都在BC的垂直平分线上，由此即可证明结论．AB AC，【详解】证明：∵=∴点A在BC的垂直平分线上，BD CD，∵=∴点D在BC的垂直平分线上，∴A、D都在BC的垂直平分线上，∴AD垂直平分BC．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟知线段垂直平分线的判定条件是解题的关键．【变式】．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，点E是△ABC的边AB的延长线上一点，∠BCE＝∠A＋∠ACB，求证：点E在BC的垂直平分线上．【分析】由三角形的外角性质得到∠EBC=∠A+∠ACB，结合已知推出∠BCE=∠EBC，得到BE=CE，即可得到结论．【详解】证明：∵∠BCE=∠A+∠ACB，∠EBC=∠A+∠ACB，∴∠BCE=∠EBC，∴BE=CE，∴点E在BC的垂直平分线上．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，线段垂直平分线的判定，用到的知识点：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．题型六：角平分线【答案】A【分析】根据角平分线上的点到两边的距离相等即可解答．【详解】根据题意要使集贸市场到三条公路的距离相等即集贸市场应建在三个角的角平分线的交点．故本题选A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解答本题的关键． 的中点，ABC ，则BED 的面积为（ 【答案】C【分析】作DF AC ⊥于F ，DM AB ⊥于点M ，根据角平分线的性质求出DM ，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：作DF AC ⊥于F ，DM AB ⊥于点MAD 是ABC 的角平分线DF AC ⊥于F ，DM AB ⊥，112122AC DF AB DM ∴⋅+⋅=，112122AC DM AB DM ⋅+⋅=∴即：3421DM DM +=得3DM =8AB =， E 是AB 的中点，142BE AB ∴== 1143622BEDS BE DM ∴=⋅=⨯⨯= 故选：C ．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键． 例12．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知：如图，90B C ∠=∠=，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠．(1)若连接AM ，则AM 是否平分BAD ∠？请你证明你的结论；(2)线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由．【答案】(1)AM 平分BAD ∠，证明见解析(2)DM AM ⊥，理由见解析【分析】（1）过点M 作ME AD ⊥，垂足为E ，证明ME MC MB ==即可得证．（2）利用两直线平行，同旁内角互补，证明1390∠+∠=．【详解】（1）AM 平分BAD ∠，理由为：证明：过点M 作ME AD ⊥，垂足为E ，∵DM 平分ADC ∠，∴12∠=∠，∵ME AD ⊥，MC CD ⊥∴MC ME =（角平分线上的点到角两边的距离相等），又∵MC MB =，∴ME MB =，∵MB AB ⊥，ME AD ⊥，∴AM 平分BAD ∠（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．（2）DM AM ⊥，理由如下：∵90B C ∠=∠=，∴,DC CB AB CB ⊥⊥，∴DC AB ∥（垂直于同一条直线的两条直线平行），∴180DAB CDA ∠+∠=（两直线平行，同旁内角互补）又∵111,322CDA DAB ∠=∠∠=∠（角平分线定义） ∴2123180∠+∠=，∴1390∠+∠=，∴90AMD ∠=．即DM AM ⊥．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，平行线的性质，熟练掌握以上的知识是解题的关键． 【变式1】（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图 90B C ∠=∠=︒，E 为BC 上一点，AE 平分BAD ∠，DE 平分CDA ∠．(1)求AED ∠的度数；(2)求证：E 是BC 的中点．【答案】(1)90︒(2)见解析．【分析】（1）利用已知条件可以得到180BAD CDA ∠+∠=︒，想要求AED ∠的度数，只需要根据三角形内角和定理和角平分线的性质即可得到结论．（2）过点E 做EF AD ⊥，根据角平分线上的点到角的两边距离相等即可得结论．【详解】（1）解：∵90B C ∠=∠=︒，∴DC AB ∥，∴180BAD CDA ∠+∠=︒，∵AE 平分BAD ∠，DE 平分CDA ∠， ∴12EAD BAD ∠=∠，12EDA CDA ∠=∠， ∴1()902EAD EDA BAD CDA ∠+∠=∠+∠=︒，∴180()90AED EAD EDA ∠=︒−∠+∠=︒；（2）证明：过点E 作EF AD ⊥于点F ，∵AE 平分BAD ∠，90B Ð=°，EF AD ⊥，∴EF EB =．∵DE 平分CDA ∠，90C ∠=︒，EF AD ⊥，∴EF EC =．∴EB EC =，即E 是BC 的中点．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，以及角平分线上的点到角两边距离相等的性质，熟记性质和定理并做出辅助线是解题的关键．【变式2】．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在ABC 外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中90DAB CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AC AE =．连接DC 、BE 交于F 点．(1)求证：DAC BAE ≌△△； (2)直线DC 、BE 是否互相垂直，试说明理由；(3)求证：AF 平分DFE ∠．【答案】(1)见解析(2)DC BE ⊥，理由见解析(3)见解析【分析】（1）由题意可得AD AB =，AC AE =，由90DAB CAE ∠=∠=︒，可得到DAC BAE ∠=∠，从而可证DAC BAE ≌△△；（2）由（1）可得ACD AEB ∠=∠，再利用直角三角形的性质及等量代换即可得到结论；（3）作AM DC ⊥于M ，AN BE ⊥于N ，利用全等三角形的面积相等及角平分线的判定即可证得结论．【详解】（1）证明：∵90DAB CAE ∠=∠=︒，∴DAB BAC CAE BAC ∠+∠=∠+∠，即DAC BAE ∠=∠，又∵AD AB =，AC AE =，∴()SAS DAC BAE ≌△△；（2）解：DC BE ⊥，理由如下；∵DAC BAE ≌△△， ∴ACD AEB ∠=∠，∵90AEB AOE ∠+∠= ，AOE FOC ∠=∠，∴90FOC ACD ∠+∠=，∴90EFC ∠=，∴DC BE ⊥；（3）证明：作AM DC ⊥于M ，AN BE ⊥于N ，∵DAC BAE ≌△△， ∴DAC BAE S S ∆∆=，DC BE =， ∴1122DC AM BE AN ⋅=⋅，∴AM AN =，∴AF 平分DFE ∠．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，及直角三角形的性质，角平分线的判定，熟练掌握判定和性质是解决本题的关键．【变式3】（2023春·浙江金华·八年级浙江省义乌市后宅中学校考阶段练习）已知：OP 平分MON ∠，点A ，B 分别在边OM ，ON 上，且180OAP OBP ∠∠+=︒．(1)如图1，当90OAP ∠=︒时，求证：OA OB =；(2)如图2，当90OAP ∠<︒时，作PC OM ⊥于点C ．求证：①PA PB =；②请直接写出OA ，OB ，AC 之间的数量关系 ．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②2OA OB AC −=【分析】（1）证明()AAS OPA OPB ≌，即可得证；（2）①作PD ON ⊥于点D ，证明()AAS PAC PBD ≌，即可得证； ②证明()AAS OCP ODP ≌，得出OD =，根据AC BD =，即可得证．【详解】（1）证明：180OAP OBP ∠∠+=︒，且90OAP ∠=︒，90OAP OBP ∠∠∴==︒，OP 平分MON ∠，POA POB ∠∠∴=，OP OP =，()AAS OPA OPB ∴≌，OA OB ∴=；（2）证明：①如图2，作PD ON ⊥于点D ，PC OM ⊥于点C ，PC PD ∴=，90PCA PDB OCP ∠∠∠===︒，180OAP OBP ∠∠+=︒，180DBP OBP ∠∠+=︒，OAP DBP ∠∠∴=，在PAC 和PBD 中，CAP DBP PCA PDBPC PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AAS PAC PBD ∴≌， PA PB ∴=；②结论：2OA OB AC −=．理由：在OCP 和ODP 中，OCP ODP COP DOP OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS OCP ODP ∴≌，OC OD ∴=，OA AC OB BD ∴−=+，AC BD =，2OA OB AC BD AC ∴−=+=．故答案为：2OA OB AC −=．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．【过关检测】一、单选题 1．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，在ABC 中，90A ∠=︒，点D 是边AC 上一点，3DA =，若点D 到BC 的距离为3，则下列关于点D 的位置描述正确的是（ ）A ．点D 是AC 的中点B ．点D 是B ∠平分线与AC 的交点 C ．点D 是BC 垂直平分线与AC 的交点D ．点D 与点B 的距离为5【答案】B 【分析】作DE BC ⊥于E ，连接BD ，利用角平分线的判定定理可证明BD 是ABC ∠的角平分线，即可作答．【详解】解：如图所示：作DE BC ⊥于E ，连接BD ，∵3DA =，点D 到BC 的距离为3，∴=AD DE ，∵90A ∠=︒，∴DA BA ⊥，∵DE BC ⊥，∴BD 是ABC ∠的角平分线，即点D 是ABC ∠的角平分线与AC 的交点，故B 项正确；其余选项，利用现有条件均无法得出，故选：B ．【点睛】本题主要考查了角平分线的判定定理，作出辅助线，证明BD 是ABC ∠的角平分线，是解答本题的关键． 2．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，已知BF DE =，AB ∥DC ，要使ABF CDE ≅△△，添加的条件可以是（ ）A．BE DF =B ．AF CE =C ．AB CD = D ．B D ∠=∠【答案】C 【分析】根据AB ∥DC ，可得B D ∠=∠，又BF DE =，所以添加AB CD =，根据SAS 可证ABF CDE ≅△△．【详解】解：应添加AB DC =，理由如下：AB ∥DC ，B D ∴∠=∠．在ABF △和CDE 中，AB CD B DBF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ABF CDE ∴≅，故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．3．（2023·浙江金华·统考二模）如图，ABC 和DEF 中，AB DE ∥，A D ∠=∠，点B ，E ，C ，F 共线，添加一个条件，不能判断ABC DEF ≌△△的是（ ）A ．AB DE =B ．ACB F ∠=∠C ．BE CF =D ．AC DF =【答案】B 【分析】根据AB DE ∥可得B DEF ∠=∠，加上A D ∠=∠，可知ABC 和DEF 中两组对角相等，因此一组对边相等时，即可判断ABC DEF ≌△△． 【详解】解：AB DE ∥，∴B DEF ∠=∠， 又A D ∠=∠，∴ABC 和DEF 中两组对角相等，当AB DE =时，根据ASA 可证ABC DEF ≌△△，故A 选项不合题意； 当ACB F ∠=∠时，ABC 和DEF 中，三组对角相等，不能判断ABC DEF ≌△△，故B 选项符合题意； 当BE CF =时，BC EF =，根据AAS 可证ABC DEF ≌△△，故C 选项不合题意； 当AC DF =时，根据AAS 可证ABC DEF ≌△△，故D 选项不合题意； 故选B ．【点睛】本题考查添加条件使三角形全等，解题的关键是熟练掌握全等三角形的各种判定方法．．ABC 的三条中线的交点．ABC 三边的垂直平分线的交点．ABC 三条角平分线的交点．ABC 三条高所在直线的交点【答案】C【分析】角平分线上的点到角的两边的距离相等，由此可解．【详解】解：要使凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭应在ABC 三条角平分线的交点处．故选C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是注意区分三角形中线的交点、高的交点、垂直平分线的交点以及角平分线的交点之间的区别． 5．（2020秋·浙江·八年级期末）如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ，若7ABC S =△，2DE =，4AB =，则AC 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A 【分析】先根据角平分线的性质得到2DF DE ==，再利用三角形面积公式得到11242722AC ⨯⨯+⨯⨯=，然后解关于AC 的方程即可．【详解】解：∵AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，2DE =，∴2DF DE ==，∵7ABC S =△，4AB =，又∵ABD ACD ABC S S S +=△△△，∴111124272222AB DE DF AC AC ⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=，∴3AC =．故选：A ．【点睛】本题考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．理解和掌握角平分线的性质是解题的关键．本题也考查了三角形的面积及等积变换．6．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，用B C ∠=∠，12∠=∠，直接判定ABD ACD ≌△△的理由是（ ）A ．AASB ．SSSC ．ASAD ．SAS【答案】A 【分析】根据三角形全等的判定方法判定即可．【详解】解：在ABD △和ACD 中，12B CAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()AAS ABD ACD ≌，故A 正确． 故选：A ．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，解题的关键是掌握证明全等三角形的几种证明方法：AAS 、ASA 、SSS 、SAS 、HL ．A ．2B ．【答案】C 【分析】由FC AB ∥，得F ADE ∠=∠,FCE A ∠=∠，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明CFE ADE ≅，则4CF AD AB BD ==−=．【详解】解：FC AB ∥，F ADE ∴∠=∠，FCE A ∠=∠，在CFE 和ADE V 中，F ADE FCE AFE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS CFE ADE ∴≅， CF AD ∴=，5AB =，1BD =，514AD AB BD ∴=−=−=，4CF ∴=，CF ∴的长度为4．故选：C ．【点睛】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明CFE ADE ≅是解题的关键．A ．SSS【答案】B 【分析】根据已知条件两边，及两边的夹角是对顶角解答．【详解】解：在AOB 和COD △中，OA OC AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOB COD SAS ∴≌． 故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，准确识图判断出两组对应边的夹角是对顶角是解题的关键． 9．（2022秋·浙江嘉兴·九年级校考期中）在联欢会上，有A 、B 、C 三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放在ABC 的（ ）A ．三边垂直平分线的交点B ．三杂中线的交点C ．三条角平分线的交点D ．三条高所在直线的交点【答案】A【分析】根据题意可知，当木凳所在位置到A 、B 、C 三个顶点的距离相等时，游戏公平，再由线段垂直平分线的性质即可求解．【详解】解：由题意可得：当木凳所在位置到A 、B 、C 三个顶点的距离相等时，游戏公平，∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，∴木凳应放的最适当的位置是在ABC 的三边垂直平分线的交点，故选：A ．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质的应用，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． ）可说明ABC 与△ 【答案】A 【分析】先根据垂直的定义可得90ACB ADB ∠=∠=︒，再根据角平分线的定义可得CAB DAB ∠=∠，然后根据AAS 定理即可得．【详解】解：,BC AC BD AD ⊥⊥，90ACB ADB ∴∠=∠=︒，AB 平分CAD ∠，CAB DAB ∴∠=∠，在ABC 和ABD △中，90ACB ADB CAB DABAB AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ABC ABD ∴≌，故选：A ． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．二、填空题【答案】CA FD =，B E ∠=∠，A D ∠=∠，AB DE ∥等【分析】可选择CA FD =添加条件后，能用SAS 进行全等的判；也可选择B E ∠=∠添加条件后，能用ASA 进行全等的判定；也可选择A D ∠=∠添加条件后，能用AAS 进行全等的判定；也可选择AB DE ∥添加条件后，能用ASA 进行全等的判定即可；【详解】解：添加CA FD =，∵12∠=∠，BC EF =，∴()SAS ABC DEF ≌△△，故答案为：CA FD =；或者添加B E ∠=∠，∵BC EF =，12∠=∠，∴()ASA ABC DEF ≌△△，故答案为：B E ∠=∠；或者添加A D ∠=∠，∵12∠=∠，BC EF =，∴()AAS ABC DEF ≌△△，故答案为：A D ∠=∠；或者添加AB DE ∥，∵AB DE ∥，∴B E ∠=∠，∵12∠=∠，BC EF =，∴()AAS ABC DEF ≌△△，故答案为：AB DE ∥．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答本题关键是掌握全等三角形的判定定理，本题答案不唯一．【答案】AB DC =【分析】添加条件AB DC =，利用SAS 证明ABC DCB △≌△即可．【详解】解：添加条件AB DC =，理由如下：在ABC 和DCB △中，AB DC ABC DCBBC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS ABC DCB △≌△， 故答案为：AB DC =．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有SSS SAS AAS ASA HL ，，，，． 13．（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图，已知AC DB =，要使得ABC DCB ≅，根据“SSS”的判定方法，需要再添加的一个条件是_______．【答案】ABDC =【分析】要使ABC DCB ≅，由于BC 是公共边，若补充一组边相等，则可用SSS 判定其全等．【详解】解：添加AB DC =．在ABC 和DCB △中AB DC BC CB AC BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴()ABC DCB SSS ≅△△， 故答案为：AB DC =．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择添加的条件是正确解答本题的关键．14．（2022秋·浙江丽水·八年级统考期末）如图，在ABC 中，CD 是边AB 上的高，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，6BC =，若BCE 的面积为9，则DE 的长为______．【答案】3【分析】过E 作EF BC ⊥于F ，根据角平分线性质求出EF DE =，根据三角形面积公式求出即可．【详解】解：过E 作EF BC ⊥于F ，CD 是AB 边上的高，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，DE EF ∴=，192BCE S BC EF =⋅=，1692EF ∴⨯⨯=，3EF DE ∴==，故答案为：3．【点睛】本题考查了角平分线性质的应用，能根据角平分线性质求出3EF DE ==是解此题的关键，注意：在角的内部，角平分线上的点到角的两边的距离相等． 八年级期末）如图，在ABC 中， 【答案】4【分析】根据线段垂直平分线的性质得到2AD BD ==，则4CD AC AD =−=．【详解】解：∵AB 的垂直平分线交AB 于点E ，交AC 于点D ，∴2AD BD ==，∵6AC =，∴4CD AC AD =−=，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 16．（2022秋·浙江温州·八年级校联考期中）如图，在ABC 中，DE 是AC 的中垂线，分别交AC ，AB 于点D ，E ．已知BCE 的周长为9，4BC =，则AB 的长为______．【答案】5【分析】先利用三角形周长得到5CE BE +=，再根据线段垂直平分线的性质得到EC EA =，然后利用等线段代换得到AB 的长．【详解】解：∵BCE 的周长为9，9CE BE BC ∴++=，又4BC =，5CE BE ∴+=，又DE 是AC 的中垂线，EC EA ∴=，5AB AE BE CE BE ∴=+=+=；故答案为：5．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．17．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图，已知12∠=∠，要说明ABC BAD ≌，（1）若以“SAS ”为依据，则需添加一个条件是__________；（2）若以“ASA ”为依据，则需添加一个条件是__________．【答案】 BC AD = BAC ABD ∠=∠【分析】（1）根据SAS 可添加一组角相等，故可判定全等；（2）根据ASA 可添加一组角相等，故可判定全等；【详解】解：（1）已知一组角相等和一个公共边，以“SAS ”为依据，则需添加一组角，即BC AD =故答案为：BC AD =；（2）已知一组角相等，和一个公共边，以“ASA ”为依据，则需添加一组角，即BAC ABD ∠=∠． 故答案为：BAC ABD ∠=∠．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS SAS ASA AAS HL 、、、、．添加时注意：AAA SSA 、不能判定两个三角形全等． 18．（2019秋·浙江嘉兴·八年级校考阶段练习）如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB ∥DE ，AB=DE ，BE=CF ，AC=6，则DF=________【答案】6.【分析】根据题中条件由SAS 可得△ABC ≌△DEF ，根据全等三角形的性质可得AC=DF=6．【详解】∵AB ∥DE ，∴∠B=∠DEF∵BE=CF ，∴BC=EF ，在△ABC 和△DEF 中，AB DE B DEFBC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SAS ），∴AC=DF=6．考点：全等三角形的判定与性质．。
2-8直角三角形全等的判定 讲义 2022—2023学年浙教版数学八年级上册
2.8直角三角形全等的判定知识点梳理直角三角形全等的判定1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．题型一“HL”证全等1．如图所示，∠C＝∠D＝90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（）A．AC＝AD B．AB＝AB C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD 2．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是（）A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AE＝BF3．如图，已知∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD 全等．以下给出的条件适合的是（）A．∠ABC＝∠ABD B．∠BAC＝∠BAD C．AC＝AD D．AC＝BC4．如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC＝BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是．5．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE ≌Rt△BEC．6．如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC＝DF，AB＝DE．求证：CE＝BF．7．如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，AE＝CF．求证：∠ACB＝90°．8．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BE＝CF．求证：AB＝AC．题型二直角三角形全等的辨别1．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）A．一个锐角和斜边对应相等B．两条直角边对应相等C．两个锐角对应相等D．斜边和一条直角边对应相等2．下列条件中：①两条直角边分别相等；②两个锐角分别相等；③斜边和一条直角边分别相等；④一条边和一个锐角分别相等；⑤斜边和一锐角分别相等；⑥两条边分别相等．其中能判断两个直角三角形全等的有（）A．6个B．5个C．4个D．3个3．下列条件不能证明两个直角三角形全等的是（）A．斜边和一直角边对应相等B．一直角边和一角对应相等C．两条直角边对应相等D．斜边和一锐角对应相等4．下列说法正确的有（）①两个锐角分别相等的的两个直角三角形全等；②一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等；③两边分别相等的两个直角三角形全等；④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等．A．1B．2C．3D．45．下列结论正确的是（）A．有两个锐角相等的两个直角三角形全等B．一条斜边对应相等的两个直角三角形全等C．两个等边三角形全等D．有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等题型三一般三角形全等的判定方法证直角三角形1．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（）A．1B．2C．5D．无法确定2．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O．如果AB＝AC，那么图中全等的直角三角形的对数是（）A．1B．2C．3D．43．如图所示，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③∠BAC ＝∠BAD；④BC＝BD，能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件的个数是（）A．1B．2C．3D．44．已知：AB⊥BC，AD⊥DC，∠1＝∠2，问：△ABC≌△ADC吗？说明理由．答案与解析题型一“HL”证全等1．如图所示，∠C＝∠D＝90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（）A．AC＝AD B．AB＝AB C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD【分析】由已知两三角形为直角三角形，且斜边为公共边，若利用HL 证明两直角三角形全等，需要添加的条件为一对直角边相等，即BC ＝BD 或AC ＝AD ．【解答】解：需要添加的条件为BC ＝BD 或AC ＝AD ，理由为：若添加的条件为BC ＝BD ，在Rt △ABC 与Rt △ABD 中，∵{BC =BD AB =AB， ∴Rt △ABC ≌Rt △ABD （HL ）；若添加的条件为AC ＝AD ，在Rt △ABC 与Rt △ABD 中，∵{AC =AD AB =AB， ∴Rt △ABC ≌Rt △ABD （HL ）．故选：A ．2．如图，BE ＝CF ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，要根据“HL ”证明Rt △ABE ≌Rt △DCF ，则还要添加一个条件是（ ）A ．AB ＝DC B ．∠A ＝∠D C ．∠B ＝∠C D ．AE ＝BF【分析】根据垂直定义求出∠CFD ＝∠AEB ＝90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可．【解答】解：条件是AB ＝CD ，理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠CFD＝∠AEB＝90°，在Rt△ABE和Rt△DCF中，{AB=CDBE=CF，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），故选：A．3．如图，已知∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD 全等．以下给出的条件适合的是（）A．∠ABC＝∠ABD B．∠BAC＝∠BAD C．AC＝AD D．AC＝BC【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．【解答】解：A．∵∠ABC＝∠ABD，∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，∴Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS），故本选项不符合题意；B．∵∠BAC＝∠BAD，∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，∴Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS），故本选项不符合题意；C．∵∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，AC＝AD，∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），故本选项符合题意；D．根据∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，AC＝BC不能推出Rt△ABC≌Rt△ABD，故本选项不符合题意；故选：C．4．如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC＝BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是AC＝DE．【分析】先求出∠ABC＝∠DBE＝90°，再根据直角三角形全等的判定定理推出即可．【解答】解：AC＝DE，理由是：∵AB⊥DC，∴∠ABC＝∠DBE＝90°，在Rt△ABC和Rt△DBE中，{AC=DEBE=BC，∴Rt△ABC≌Rt△DBE（HL）．故答案为：AC＝DE．5．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE ≌Rt△BEC．【分析】根据已知条件，利用直角三角形的特殊判定方法可以证明题目结论．【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴DE＝CE．∵∠A＝∠B＝90°，∴△ADE和△EBC是直角三角形，而AD＝BE．∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）6．如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC＝DF，AB＝DE．求证：CE＝BF．【分析】先根据直角三角形全等的判定方法证得Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），则BC＝EF，即CE＝BF．【解答】证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，∴∠ABC＝∠DEF＝90°．在Rt△ABC和Rt△DEF中，{AC=DFAB=DE，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．∴BC＝EF．∴BC﹣BE＝EF﹣BE．即：CE＝BF．7．如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，AE＝CF．求证：∠ACB＝90°．【分析】先利用HL定理证明△ACE和△CBF全等，再根据全等三角形对应角相等可以得到∠EAC＝∠BCF，因为∠EAC+ACE＝90°，所以∠ACE+∠BCF＝90°，根据平角定义可得∠ACB＝90°．【解答】证明：如图，在Rt△ACE和Rt△CBF中，{AC=BCAE=CF，∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL），∴∠EAC＝∠BCF，∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠ACE+∠BCF＝90°，∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°．8．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BE＝CF．求证：AB＝AC．【分析】利用“HL”证明△BED和△CFD全等，再根据全等三角形对应角相等可得∠B ＝∠C，然后根据等角对等边即可得证．【解答】证明：∵D是BC的中点，∴BD ＝CD ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴△BED 和△CFD 都是直角三角形，在△BED 和△CFD 中，{BD =CD BE =CF， ∴△BED ≌△CFD （HL ），∴∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC （等角对等边）．题型二 直角三角形全等的辨别1．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）A ．一个锐角和斜边对应相等B ．两条直角边对应相等C ．两个锐角对应相等D ．斜边和一条直角边对应相等【分析】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．【解答】解：A 、一个锐角和斜边对应相等，正确，符合AAS ，B 、两条直角边对应相等，正确，符合判定SAS ；C 、不正确，全等三角形的判定必须有边的参与；D 、斜边和一条直角边对应相等，正确，符合判定HL ．故选：C ．2．下列条件中：①两条直角边分别相等；②两个锐角分别相等；③斜边和一条直角边分别相等；④一条边和一个锐角分别相等；⑤斜边和一锐角分别相等；⑥两条边分别相等．其中能判断两个直角三角形全等的有（）A．6个B．5个C．4个D．3个【分析】画出两直角三角形，根据选项条件结合图形逐个判断即可．【解答】解：①两条直角边分别相等；正确；②两个锐角分别相等；错误；③斜边和一条直角边分别相等，正确；④一条边和一个锐角分别相等；错误；⑤斜边和一锐角分别相等；正确；⑥两条边分别相等，错误；其中能判断两个直角三角形全等的有3个．故选：D．3．下列条件不能证明两个直角三角形全等的是（）A．斜边和一直角边对应相等B．一直角边和一角对应相等C．两条直角边对应相等D．斜边和一锐角对应相等【分析】此题需用排除法，对各个选项进行分析从而确定答案．【解答】A、符合HL，正确；B、仅知道一条直角边和一角也不能确定确定其它各边的长，从而不能判定两直角三角形相等，错误；C、知道两直角边，可以求得第三边．从而利用SSS，正确；D、知道斜边和一锐角，可以推出另一角的度数．从而可以确定其它边，正确．故选：B．4．下列说法正确的有（）①两个锐角分别相等的的两个直角三角形全等；②一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等；③两边分别相等的两个直角三角形全等；④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等．A．1B．2C．3D．4【分析】根据直角三角形全等的判定方法逐条判定即可得到结论，【解答】解：①两个锐角分别相等的的两个直角三角形不一定全等，故该说法错误；②如图，已知：∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，AM＝BM，DN＝EN，CM＝FN，求证：△ABC≌△DEF，证明：∵∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，CM＝FN，∴Rt△BCM≌Rt△EFN（HL），∴BM＝EN∵AM＝BM，DN＝EN，∴AB＝DE，∴Rt△ABC≌Rt△EFN（SAS），故一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等的说法正确；③两对应边分别相等的两个直角三角形全等，如果是一个直角三角形的两条直角边和另一个直角三角形的一条直角边和一条斜边分别相等，这两个直角三角形不全等，故该说法错误；④一个锐角和一条边分别对应相等的两个直角三角形不一定全等，如果一个直角三角形的一条直角边和另一个直角三角形的一条斜边相等，这两个直角三角形不全等，故该说法错误；故选：A．5．下列结论正确的是（）A．有两个锐角相等的两个直角三角形全等B．一条斜边对应相等的两个直角三角形全等C．两个等边三角形全等D．有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等【分析】利用全等三角形的判定方法进行分析即可．【解答】解：A、由于判断两个三角形全等，必须要一组边相等，所以有两个锐角相等的两个直角三角形全等的说法错误；B、由于直角三角形除了直角，还需两个条件才能判断这两个直角三角形全等，所以一条斜边对应相等的两个直角三角形全等的说法错误；C、由于判断两个三角形全等，必须要一组边相等，所以两个等边三角形全等的说法错误；D、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，说法正确；故选：D．题型三一般三角形全等的判定方法证直角三角形1．已知如图，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，CD ⊥DE ，CD ＝ED ，AD ＝2，BC ＝3，则△ADE 的面积为（ ）A ．1B ．2C ．5D ．无法确定【分析】因为知道AD 的长，所以只要求出AD 边上的高，就可以求出△ADE 的面积．过D 作BC 的垂线交BC 于G ，过E 作AD 的垂线交AD 的延长线于F ，构造出Rt △EDF ≌Rt △CDG ，求出GC 的长，即为EF 的长，然后利用三角形的面积公式解答即可．【解答】解：过D 作BC 的垂线交BC 于G ，过E 作AD 的垂线交AD 的延长线于F ， ∵∠EDF +∠FDC ＝90°，∠GDC +∠FDC ＝90°，∴∠EDF ＝∠GDC ，于是在Rt △EDF 和Rt △CDG 中，{∠F =∠DGC ∠EDF =∠GDC DE =DC，∴△DEF ≌△DCG ，∴EF ＝CG ＝BC ﹣BG ＝BC ﹣AD ＝3﹣2＝1，所以，S △ADE ＝（AD ×EF ）÷2＝（2×1）÷2＝1．故选：A ．2．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O．如果AB＝AC，那么图中全等的直角三角形的对数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】共有3对，分别为△ADC≌△AEB、△BOD≌△COE、Rt△ADO≌Rt△AEO；做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找即可．【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠AEB＝90°，∵在△ADC和△AEB中，{∠ADC=∠AEB ∠DAC=∠EAB AC=AB，∴△ADC≌△AEB（AAS）；∴AD＝AE，∠C＝∠B，∵AB＝AC，∴BD＝CE，在△BOD和△COE中，{∠B=∠C∠BOD=∠COE BD=CE，∴△BOD ≌△COE （AAS ）；∴OB ＝OC ，OD ＝OE ，在Rt △ADO 和Rt △AEO 中，{OA =OA OD =OE， ∴Rt △ADO ≌Rt △AEO （HL ）；∴共有3对全等直角三角形，故选：C ．3．如图所示，∠C ＝∠D ＝90°，添加下列条件①AC ＝AD ；②∠ABC ＝∠ABD ； ③∠BAC ＝∠BAD ； ④BC ＝BD ，能判定Rt △ABC 与Rt △ABD 全等的条件的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据直角三角形的全等的条件进行判断，即可得出结论．【解答】解：①当AC ＝AD 时，由∠C ＝∠D ＝90°，AC ＝AD 且AB ＝AB ，可得Rt △ABC ≌Rt △ABD （HL ）；②当∠ABC ＝∠ABD 时，由∠C ＝∠D ＝90°，∠ABC ＝∠ABD 且AB ＝AB ，可得Rt △ABC ≌Rt △ABD （AAS ）；③当∠BAC ＝∠BAD 时，由∠C ＝∠D ＝90°，∠BAC ＝∠BAD 且AB ＝AB ，可得Rt △ABC ≌Rt △ABD （AAS ）；④当BC ＝BD 时，由∠C ＝∠D ＝90°，BC ＝BD 且AB ＝AB ，可得Rt △ABC ≌Rt △ABD （HL ）；20 故选：D ．4．已知：AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∠1＝∠2，问：△ABC ≌△ADC 吗？说明理由．【分析】根据全等三角形的判定定理AAS 进行证明．【解答】解：△ABC ≌△ADC ．理由如下：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴∠B ＝∠D ＝90°．在△ABC 与△ADC 中，{∠B =∠D ∠1=∠2AC =AC，∴△ABC ≌△ADC （AAS ）．。
1.5全等三角形的判定 (1)课件-浙教版数学八年级上册
课堂小结
思路分析:
定义
结合图形分
全等
三角
全
形的
等
判定
三 方法
边边边 (SSS)
三边对边 相等的两个 三角形全等
两角一边 ?
析已 知条件 和隐含条件
解题步骤: 1.准备条件 2.指明范围
角
两边一角 ?
形 全等三角
形的性质
3.摆齐根据 4.得出全等 5.性质结论
应用
同学们,再见!
摆齐根据
∴△ABC ≌ A'B'C' (SSS) B
A C B'
A' C'
例题演练
公共边
隐含条件
例1 已知: 如图,在四边形ABCD中, AB=CD, AD=CB , 已知条件
求证: ∠B=∠D
A
证明: 在△ABC和△CDA中
D
EA
D
AB=CD(已知)
F
AD=BC(已知)
B
C
B
C
AC=CA公共边) ∴△ABC≌△CDA(SSS)
60°
60°
30°
30°
深入探究
1.先画一个符合条件的草图
2.再根据草图寻找作图方法
合作探究: 有三条边对应相等的两个三角形全等吗?
活动1: 请用刻度尺和圆规在一张透明纸上画△ABC,使
BC=6cm,AB=4cm,AC=5cm.
画法: 1.画线段BC=6cm
2.分别以B、C为圆心,4cm和5cm为 半径画弧交于点A 3.连接AB和AC
条件: A=A' B=B' C=C'
AB=A'B' AC=A'C' BC=B'C'
三角形全等的条件(3)[下学期]--浙教版0-
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浙教版八上数学第四讲 全等三角形的判定
第四讲 全等三角形的判定【要点预习】1.全等三角形的条件(1)三边 的两个三角形全等(简写成“边边边”或“ ”) 2.全等三角形的条件(2)有一个角和 的两边对应相等的两个三角形全等.(简写成“边角边”或“ ”) 3. 全等三角形的条件(3)：有两个角和这两个角的 对应相等的两个三角形全等.(简写成“角边角”或“ASA ”) 有两个角和其中一个角的 对应相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS ”)【课前热身】1. 如图，△ABD ≌△ACE ，则AB 的对应边是_________，∠BAD 的对应角是______．2. 如第1题图，若AC =AB ，AD =AE ，BD =CE ，则△ABD ≌△ACE ，理由是 .3.如图，已知AB =DF ，AC =DE ，∠A =∠D ，那么可得△ABC ≌ △DFE .理由是 .4.如图，点D ，E 分别在AC ，AB 上，已知AB =AC ，AD =AE .则BD =CE .请说明理由(填空).解： 在△ABD 和 中， ____()________()(____)AD AB AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩已知公共角 ∴ ≌ ( )∴BD =CE ( ).5. 如第4题图，若已知∠B =∠C ，要判断△ABD ≌△ACE ，根据ASA ，还需条件_______________.根据AAS ，还需条件____________.6. 如图，AB =DB ，∠l ＝∠2，请你添加一个适当的条件，使△ABC ≌△DBE，则需添加的条件及相应的理由是.【讲练互动】【例1】已知：线段a ，b ，c （如图），画△ABC ，使BC =a ，CA =b ，AB =c .(保留痕迹，不必写画法）【变式训练】1. 用直尺和圆规画一个边长为3cm 的等边三角形.( 保留痕迹，不写画法)2.如图，已知A ，B ，D ，F 在同一直线上，AD =BF ，AC =DE ，BC =FE .若∠A =68°，∠E =24°，求∠ABC 的度数.【例2】如图，已知AC =BD ，∠CAB =∠DBA ，则∠C =∠D ，请说明理由.【变式训练】3. 如图，已知AE =AC ，AD =AB ，∠EAC =∠DAB ，则ED =CB .请说明理由.【例3】如图，已知∠B =∠C ，AD = AE ，则AB = AC . 解：在△ABC 和△ACD 中，()()()B A AE ⎧∠=∠⎪⎪∠=∠⎨⎪=⎪⎩cb a∴ △ABC ≌△ACD （ ）∴ AB = AC （ ） 【变式训练】4. 如图，四边形ABCD 是一防洪堤坝的横截面，AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，且AE =BF ，∠D =∠C ，问：AD 与BC 是否相等？说明你的理由. 解：在△ADE 和△BCF 中，()()()⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=∠_____________________________________________________________________AE AED D ∴△ADE ≌△BCF (___________________) ∴AD =BC (______________________________)【同步测控】1.下列条件：(1) △ABC 的周长等于△DEF 的周长；(2) △ABC 的面积等于△DEF 的面积；(3)AB =DE ，AC =DF ，BC =EF .能判定△ABC ≌△DEF 的有…………（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个2.如图所示，在△ABC 中，AB =AC ，BE =CE ，则由“SSS ”可以判定…（ ）A.△ABD ≌△ACDB.△BDE ≌△CDEC.△ABE ≌△ACED.以上都不对3.如图，已知AB =CD ，AD =BC ，则下列结论：①△ABD ≌△CDB ；②△ABC ≌△CDA ；③∠ABD =∠CDB ；④∠BAD =∠DCB .其中正确的个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.如图，已知AB =AC ，BD =CD ，E 是BC 的中点，则图中共有全等三角形（ ） A.1对 B.2对 C.3对 D.4对5. 在ABC △与DEF △中，已有条件A B D E =，还需添加两个条件才能使ABC DEF △≌△，不能添加的一组条件是…（ ）A.B E ∠=∠，BC EF =B.BC EF =，AC DF =C.A D ∠=∠，B E ∠=∠D.A D ∠=∠，BC EF =6.如图，ABC △中BC 边上的高为1h ，DEF △中DE 边上的高为2h ，下列结论正确的是（ ）A ．12h h >B ．12h h <C ．12h h =D ．无法确定7. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AD =BD ，DE =DC ，延长BE 交AC 于F .则下列结论正确的是（ ）A.BE 与AC 既相等又垂直B.BE 与AC 相等但不垂直C.BE 与AC 垂直但不相等D.BE 与AC 既不相等也不垂直8.如图在△DCA 与△DEB 中，有以下四个等式，①DE =DC ；②DA =DB ；③∠C =∠E ；④AC =BE . 请以其中三个等式做条件，余下一个作结论，写出一个正确的判断： .（用⊗⊗⊗⇒⊗形式表示）9.如图，把两根钢条AB ，CD 的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳).这时测得AC 的长度为160mm ，那么工件内槽宽BD =_______________mm.10.如图，在△ABC 中，已知AD =DE ，AB =BE ，∠A =80º，则∠CED = . 11. 用直尺和圆规画一个△ABC ，使得AB =AC =4cm ，BC =3cm.( 保留痕迹，不写作法).12.如图，AB =CD ，AD =CB ，点E ，F 分别是AD 和CB 的中点，且BF =DE .则∠A 与∠C 相等吗?请说明理由(填空)解： ∵点E ，F 分别是AD 和CB 的中点()115︒65︒2.42.4DEBAFE ACDB∴AF =12AD ，CE = 12CB (线段中点的意义) ∵AD =CB ( ) ∴AF = . 在△ABF 与△CDE 中(______)____(______)AB CD AF BF DE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△CDE ( ) ∴∠A =∠C ( 13.如图，已知AB =AC ，BO =CO ，∠BOC =160°，求∠AOB 的度数.14. 已知：如图，AB =AD ，AC =AE ，∠BAD =∠CAE .则BC =DE . 说明理由.15. 如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，AB 与CD 相等吗？请你说明理由.16.为参加学校举行的风筝设计比赛，小燕子用四根竹棒扎成如图所示的风筝框架，已知AB ＝CD ，AC ＝DB .你认为小燕子的风筝两脚的大小相同吗？(即∠B =∠C 吗)试说明理由..3421DCBA。
三角形全等的条件--浙教版
D 1 B 2 C A E
2、如图，BE=CD，∠1=∠2，则AB=AC吗？为什么？
小结
两 个 三 角 形 全 等
全等三角形的定义 SSS 判定条件 SAS ASA（AAS）
关键： 找符合要求的条件 特别注意： 边和角分别对应相等,而不 是分别相等。
谈谈你的感受．．．
作业: 课本 P.28 作业本(2) P.5,6
想一想：
如图，把两根钢条AAˊ，BBˊ的中点连在一起，可以做
成一个测量工件内槽宽的卡钳。只要测量出AˊBˊ的长 就知道内槽AB的宽。请说明理由。
A
Bˊ
O B Aˊ
二、提出问题：小明不小心将一块三角形模 具打碎了，他是否可以只带其中的一块碎片 到商店去，就能配一块与原来一样的三角形 模具呢？如果可以，带哪块去合适？
A A/
C/ B C B/
例1、已知：如图，∠DAB=∠CAB，∠C=∠D
求证：AC=AD
因为已知三角形的两个角，就可以求 第三个角， 所以由上面的性质可以得到:
证明： ∵ ∠DAB=∠CAB，∠C=∠D ∴∠ABD=∠ACD (三角形内角和等于180°）D 在△ACB和△ADB中 ∠DAB=∠CAB B
；
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母亲知道后拉着脸说：“这孩子„„我又不是不给你看，你还是对我不放心？说不让看就不让看了，人家不知道的还认为我们娘俩过不成一块 儿了呢„„” “娘，这孩子哭得挺可怜的„„我实在不忍心撇下她不管„„”肖艳难为情地说。 “孩子嘛，叫唤几声是常有的事„„你走了，她就好了„„”我知道母亲也是舍不得孩子，孩子离开了她，她会感到孤单的。 “孩子愿意去就让她去吧，只要不碍事„„但„„可要先看好孩子。”父亲发话了，可是，他的话里包含了一百个不放心。 “小荷，你可听好了，离家近的集妈妈带你去，离家远的你必须在家陪爷爷和奶奶。”肖艳作出了这样的规定。 “好！我听妈妈的话！”小荷拍着小手表示同意。 肖艳推出木车，我帮着装好车，把小荷抱到一边的竹筐里。 小荷高兴地摆着小手嚷着：“走了走了„„和妈妈赶集去了„„” 父亲放心不下小荷，便以买菜为借口早早地来到集市上照看小荷。 集市上的人来人往的，父亲背着小荷走在人流中。突然，小荷大叫起来：“爷爷„„爷爷，我要看小人书„„” 父亲一愣，这孩子真怪，熙熙攘攘的人流中哪儿来的小人书？ 但是，小荷还是一个劲儿地嚷着要看小人书。 卖小孩玩具的商贩看她很可爱，便主动地拿个风车来逗她，小荷却不要。 邻村的陈大伯和父亲是老相识，以卖糖葫芦为生。他见了父亲急忙拿糖葫芦给小荷吃，小荷也不要。好在在父亲的劝说和陈大伯的推让下，小 荷才好不情愿地拿着。 父亲借此机会打听起集市上有没有卖小人书的，陈大伯指了指路口的方向，说在那个地方的确是有个小书摊儿。 于是，父亲便背着小荷朝陈大伯指的方向走去。 路口的小书摊儿大约有两米左右，用一块塑料纸铺在地上，上面摆满了书，大多数是幼儿启蒙小画册。摊儿前空荡荡的，一个主顾也没有，虽 然来往的顾客很多，却没有人前来光顾，好像小书摊儿在人们眼里根本就不存在似的。摆摊儿的是一位六十岁左右的老者，端坐在马扎上，戴 着眼镜正在聚精会神地看着一本厚厚的书，看上去就像城里来的教书先生。 看到小书摊儿，小荷便从父亲的背上挣脱下来，用小手胡乱地翻起小画册来。 父亲怕小荷把书弄脏了，急忙去阻拦。摆摊儿的先生笑着说：“让她看吧，我摆书摊儿就是让大家来看的，只要把知识记到脑子里去了，书弄 脏了破了都没关系。”
浙教版八上第一章1.4全等三角形的判定
1.4 全等三角形的判定知识点梳理1、全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．2、线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．题型梳理题型一找条件证全等1．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD2．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD3．如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（）A．∠A＝∠D B．BC＝EF C．∠ACB＝∠F D．AC＝DF4．如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（）A．AC＝BD B．∠CAB＝∠DBA C．∠C＝∠D D．BC＝AD5．如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．AB＝DC，AC＝DB B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCBC．BO＝CO，∠A＝∠D D．AB＝DC，∠DBC＝∠ACB6．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC一定全等的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙7．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD8．如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是（）A．B．C．D．9．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（）A．AB＝DE B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．BF＝EC10．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（）A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC11．如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（）A．∠B＝∠E，BC＝EF B．BC＝EF，AC＝DFC．∠A＝∠D，∠B＝∠E D．∠A＝∠D，BC＝EF12．如图，EB交AC于点M，交FC于点D，AB交FC于点N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：其中正确的结论有（）①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN；⑤△AFN≌△AEM．A．2个B．3个C．4个D．5个13．如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD＝AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是．（只填一个即可）14．如图，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个，不添加辅助线）15．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC （不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是．16．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC＝DB，③AB ＝DC，其中不能确定△ABC≌△DCB的是（只填序号）．17．如图，AB＝AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是（添加一个条件即可）．题型二直接证明全等1．如图，已知AB＝DE，∠B＝∠E，添加下列哪个条件可以利用SAS判断△ABC≌△DEC．正确的是：．①∠A＝∠D；②BC＝EC；③AC＝DC；④∠BCE＝∠ACD．2．如图，已知∠ABC＝∠DCB，增加下列条件：①AB＝CD；②AC＝DB；③∠A＝∠D；④∠ACB＝∠DBC；能判定△ABC≌△DCB的是．（填序号）3．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，求证：△ABC ≌△DEF．4．如图，∠C＝∠E，AC＝AE，点D在BC边上，∠1＝∠2，AC和DE相交于点O．求证：△ABC≌△ADE．5．已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求证：△ABC≌△EAD．6．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌△CFE．7．已知：如图，点A、E、F、C在同一条直线上，AD∥CB，∠1＝∠2，AE＝CF．求证：△ADF≌△CBE．8．如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：△ABC≌△DEF．9．如图，已知AB∥CF，D是AB上一点，DF交AC于点E，若AB＝BD+CF，求证：△ADE ≌△CFE．题型三动点与全等（分类讨论，找到对应定点）1．已知△ABC中，AB＝BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出个．2．△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米，点D为AB的中点．如果点P 在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A 点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为．3．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝24，AC＝12，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E 从A点出发以3厘米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过秒时，△DEB与△BCA全等．4．如图，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，AX⊥AC，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当AP＝时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC全等．5．已知：如图，在长方形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6．延长BC 到点E ，使CE ＝2，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC ﹣CD ﹣DA 向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为 秒时，△ABP 和△DCE 全等．6．（多选）如图，AB ＝4cm ，AC ＝BD ＝3cm ，∠CAB ＝∠DBA ，点P 在线段AB 上以1cm /s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．设运动时间为t （s ），则当△ACP 与△BPQ 全等时，点Q 的运动速度为 cm /s ．A .13；B .1；C .1.5；D .2．7．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，直线l 经过点C 且与边AB 相交．动点P 从点A 出发沿A →C →B 路径向终点B 运动；动点Q 从点B 出发沿B →C →A 路径向终点A 运动．点P 和点Q 的速度分别为2cm /s 和3cm /s ，两点同时出发并开始计时，当点P 到达终点B 时计时结束．在某时刻分别过点P 和点Q 作PE ⊥l 于点E ，QF ⊥l 于点F ，设运动时间为t 秒，则当t ＝ 秒时，△PEC 与△QFC 全等．8．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝CD ＝6cm ，BC ＝10cm ，点P 从点B 出发，以2cm /秒的速度沿BC 向点C 运动，设点P 的运动时间为t 秒：（1）PC ＝ cm ．（用t 的代数式表示）（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D 运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．9．如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB 上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．题型四全等判定的实际应用1．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去2．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．①②③都带去3．如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS4．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（）A．第1块B．第2块C．第3块D．第4块5．如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS6．如图，一块三角形玻璃碎成了4块，现在要到玻璃店去配一块与原来的三角形玻璃完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（）去．A．①B．②C．③D．④7．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（）A．PO B．PQ C．MO D．MQ8．如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上（如图），可以说明△ABC≌△EDC，得AB＝DE，因此测得DE的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是（）A．SAS B．HL C．SSS D．ASA9．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS10．如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（）A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA11．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第块．12．如图所示，某同学将一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带第块去．（填序号）13．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带去玻璃店．14．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上．若想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段即可．15．如图所示，一块三角形玻璃碎成了4块，现在要到玻璃店去配一块与原来的三角形玻璃完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带．16．淇淇同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD．垂足为D，已知AB＝20米，请根据上述信息求标语CD的长度．17．公路上，A，B两站相距25千米，C、D为两所学校，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，如图，已知DA＝15千米，现在要在公路AB上建一报亭H，使得C、D两所学校到H的距离相等，且∠DHC＝90°，问：H应建在距离A站多远处？学校C到公路的距离是多少千米？题型五垂直平分线的性质与应用1．如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm2．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为（）A．48°B．36°C．30°D．24°3．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝（）A．50°B．100°C．120°D．130°4．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（）A．50°B．70°C．75°D．80°5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm6．如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（）A．12B．13C．14D．157．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°8．如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为．9．如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB＝6，AC＝9，则△ABD的周长是．10．如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，则△CDE的周长为．答案与解析题型一找条件证全等1．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠A为公共角，A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；B、如添AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；C、如添BD＝CE，等量关系可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；D、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．故选：D．2．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD【分析】本题要判定△ABC≌△DCB，已知∠ABC＝∠DCB，BC是公共边，具备了一组边对应相等，一组角对应相等，故添加AB＝CD、∠ACB＝∠DBC、∠A＝∠D后可分别根据SAS、ASA、AAS能判定△ABC≌△DCB，而添加AC＝BD后则不能．【解答】解：A、可利用AAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；B、可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C、利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意；D、SSA不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；故选：D ．3．如图，在△ABC 和△DEF 中，∠B ＝∠DEF ，AB ＝DE ，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC ≌△DEF ，这个条件是（ ）A ．∠A ＝∠DB ．BC ＝EF C ．∠ACB ＝∠FD ．AC ＝DF【分析】根据全等三角形的判定，利用ASA 、SAS 、AAS 即可得答案．【解答】解：∵∠B ＝∠DEF ，AB ＝DE ，∴添加∠A ＝∠D ，利用ASA 可得△ABC ≌△DEF ；∴添加BC ＝EF ，利用SAS 可得△ABC ≌△DEF ；∴添加∠ACB ＝∠F ，利用AAS 可得△ABC ≌△DEF ；故选：D ．4．如图，已知∠ABC ＝∠BAD ，添加下列条件还不能判定△ABC ≌△BAD 的是（ ）A ．AC ＝BDB ．∠CAB ＝∠DBAC ．∠C ＝∠D D ．BC ＝AD【分析】根据全等三角形的判定：SAS ，AAS ，ASA ，可得答案．【解答】解：由题意，得∠ABC ＝∠BAD ，AB ＝BA ，A 、∠ABC ＝∠BAD ，AB ＝BA ，AC ＝BD ，（SSA ）三角形不全等，故A 错误；B 、在△ABC 与△BAD 中，{∠ABC =∠BADAB =BA ∠CAB =∠DBA，△ABC ≌△BAD （ASA ），故B 正确；C 、在△ABC 与△BAD 中，{∠C =∠D∠ABC =∠BAD AB =BA，△ABC ≌△BAD （AAS ），故C 正确；D 、在△ABC 与△BAD 中，{BC =AD∠ABC =∠BAD AB =BA，△ABC ≌△BAD （SAS ），故D 正确；故选：A ．5．如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．AB＝DC，AC＝DB B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCBC．BO＝CO，∠A＝∠D D．AB＝DC，∠DBC＝∠ACB【分析】本题要判定△ABC≌△DCB，已知BC是公共边，具备了一组边对应相等．所以由全等三角形的判定定理作出正确的判断即可．【解答】解：根据题意知，BC边为公共边．A、由“SSS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；B、由“SAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；C、由BO＝CO可以推知∠ACB＝∠DBC，则由“AAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；D、由“SSA”不能判定△ABC≌△DCB，故本选项正确．故选：D．6．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC一定全等的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．【解答】解：乙和△ABC全等；理由如下：在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，所以乙和△ABC全等；在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，所以丙和△ABC全等；不能判定甲与△ABC全等；故选：B．7．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD【分析】根据题目所给条件∠ABC＝∠DCB，再加上公共边BC＝BC，然后再结合判定定理分别进行分析即可．【解答】解：A、添加∠A＝∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；B、添加AB＝DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C、添加∠ACB＝∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；D、添加AC＝BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；故选：D．8．如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是（）A．B．C．D．【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断．【解答】解：A、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，故本选项不符合题意；B、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，故本选项不符合题意；C、如图1，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，∴∠FEC＝∠BDE，所以其对应边应该是BE和CF，而已知给的是BD＝FC＝3，所以不能判定两个小三角形全等，故本选项符合题意；D、如图2，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，∴∠FEC＝∠BDE，∵BD＝EC＝2，∠B＝∠C，∴△BDE≌△CEF，所以能判定两个小三角形全等，故本选项不符合题意；由于本题选择可能得不到全等三角形纸片的图形，故选：C．9．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（）A．AB＝DE B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．BF＝EC【分析】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS进行判断即可．【解答】解：选项A、添加AB＝DE可用AAS进行判定，故本选项错误；选项B、添加AC＝DF可用AAS进行判定，故本选项错误；选项C、添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；选项D、添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．故选：C．10．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（）A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC【分析】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS进行判断即可．【解答】解：选项A、添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；选项B、添加AC＝DF可用AAS进行判定，故本选项不符合题意；选项C、添加AB＝DE可用AAS进行判定，故本选项不符合题意；选项D、添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA进行判定，故本选项不符合题意．故选：A．11．如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（）A．∠B＝∠E，BC＝EF B．BC＝EF，AC＝DFC．∠A＝∠D，∠B＝∠E D．∠A＝∠D，BC＝EF【分析】分别对各选项中给出条件证明△ABC≌△DEF，进行一一验证即可解题．【解答】解：（1）在△ABC 和△DEF 中，{AB =DE ∠B =∠E BC =EF，∴△ABC ≌△DEF （SAS ）；故A 正确；（2）在△ABC 和△DEF 中，{AB =DE BC =EF AC =DF，∴△ABC ≌△DEF （SSS ）；故B 正确；（3）在△ABC 和△DEF 中，{∠A =∠D AB =DE ∠B =∠E，∴△ABC ≌△DEF （ASA ）；故C 正确；（4）无法证明△ABC ≌△DEF ，故D 错误；故选：D ．12．如图，EB 交AC 于点M ，交FC 于点D ，AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C ，AE ＝AF ，给出下列结论：其中正确的结论有（ ）①∠1＝∠2；②BE ＝CF ；③△ACN ≌△ABM ；④CD ＝DN ；⑤△AFN ≌△AEM ．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】①正确．可以证明△ABE ≌△ACF 可得结论．②正确，利用全等三角形的性质可得结论．③正确，根据ASA 证明三角形全等即可．④错误，本结论无法证明．⑤正确．根据ASA证明三角形全等即可．【解答】解：∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，∴△ABE≌△ACF（AAS），∴BE＝CF，AF＝AE，故②正确，∠BAE＝∠CAF，∠BAE﹣∠BAC＝∠CAF﹣∠BAC，∴∠1＝∠2，故①正确，∵△ABE≌△ACF，∴AB＝AC，又∠BAC＝∠CAB，∠B＝∠C△ACN≌△ABM（ASA），故③正确，CD＝DN不能证明成立，故④错误∵∠1＝∠2，∠F＝∠E，AF＝AE，∴△AFN≌△AEM（ASA），故⑤正确，故选：C．13．如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD＝AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是BC＝EF或∠BAC＝∠EDF．（只填一个即可）【分析】BC＝EF或∠BAC＝∠EDF，若BC＝EF，根据条件利用SAS即可得证；若∠BAC ＝∠EDF，根据条件利用ASA即可得证．【解答】解：若添加BC＝EF，∵BC∥EF，∴∠B＝∠E，∵BD＝AE，∴BD﹣AD＝AE﹣AD，即BA＝ED，在△ABC和△DEF中，{∠B =∠E BA =ED，∴△ABC ≌△DEF （SAS ）；若添加∠BAC ＝∠EDF ，∵BC ∥EF ，∴∠B ＝∠E ，∵BD ＝AE ，∴BD ﹣AD ＝AE ﹣AD ，即BA ＝ED ，在△ABC 和△DEF 中，{∠B =∠E BA =ED ∠BAC =∠EDF，∴△ABC ≌△DEF （ASA ），故答案为：BC ＝EF 或∠BAC ＝∠EDF14．如图，已知AB ＝BC ，要使△ABD ≌△CBD ，还需添加一个条件，你添加的条件是 ∠ABD ＝∠CBD 或AD ＝CD ． ．（只需写一个，不添加辅助线）【分析】由已知AB ＝BC ，及公共边BD ＝BD ，可知要使△ABD ≌△CBD ，已经具备了两个S 了，然后根据全等三角形的判定定理，应该有两种判定方法①SAS ，②SSS ．所以可添∠ABD ＝∠CBD 或AD ＝CD ．【解答】解：答案不唯一．①∠ABD ＝∠CBD ．在△ABD 和△CBD 中，∵{AB =BC∠ABD =∠CBD BD =BD，∴△ABD ≌△CBD （SAS ）；②AD ＝CD ．在△ABD 和△CBD 中，∵{BD=BDAD=CD，∴△ABD≌△CBD（SSS）．故答案为：∠ABD＝∠CBD或AD＝CD．15．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC （不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是AC＝BC（答案不唯一）．【分析】添加AC＝BC，根据三角形高的定义可得∠ADC＝∠BEC＝90°，再添加AC＝BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC．【解答】解：添加AC＝BC（答案不唯一），∵△ABC的两条高AD，BE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，在△ADC和△BEC中{∠ADC=∠BEC ∠C=∠CAC=BC，∴△ADC≌△BEC（AAS），故答案为：AC＝BC（答案不唯一）．16．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC＝DB，③AB ＝DC，其中不能确定△ABC≌△DCB的是②（只填序号）．【分析】一般三角形全等的判定方法有SSS，SAS，AAS，ASA，据此可逐个对比求解．【解答】解：∵已知∠ABC＝∠DCB，且BC＝CB∴若添加①∠A＝∠D，则可由AAS判定△ABC≌△DCB；若添加②AC＝DB，则属于边边角的顺序，不能判定△ABC≌△DCB；若添加③AB＝DC，则属于边角边的顺序，可以判定△ABC≌△DCB．故答案为：②．17．如图，AB＝AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是∠B＝∠C或AE＝AD（添加一个条件即可）．【分析】要使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，∠A＝∠A，则可以添加一个边从而利用SAS来判定其全等，或添加一个角从而利用AAS来判定其全等．【解答】解：添加∠B＝∠C或AE＝AD后可分别根据ASA、SAS判定△ABE≌△ACD．故答案为：∠B＝∠C或AE＝AD．题型二直接证明全等1．如图，已知AB＝DE，∠B＝∠E，添加下列哪个条件可以利用SAS判断△ABC≌△DEC．正确的是：②．①∠A＝∠D；②BC＝EC；③AC＝DC；④∠BCE＝∠ACD．【分析】已知两个三角形的一组对应角相等和一组对应边相等，根据全等三角形的判定定理添加条件即可．【解答】解：∵AB＝DE，∠B＝∠E，∴添加①∠A＝∠D，利用ASA得出△ABC≌△DEC；∴添加②BC＝EC，利用SAS得出△ABC≌△DEC；∴添加④∠BCE＝∠ACD，得出∠ACB＝∠DCE，利用AAS得出△ABC≌△DEC；故答案为：②．2．如图，已知∠ABC＝∠DCB，增加下列条件：①AB＝CD；②AC＝DB；③∠A＝∠D；④∠ACB＝∠DBC；能判定△ABC≌△DCB的是①③④．（填序号）【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可．【解答】解：因为∠ABC ＝∠DCB ，BC ＝CB ，①AB ＝CD ，根据SAS 可以判定△ABC ≌△DCB ．②AC ＝DB ，无法判断△ABC ≌△DCB ．③∠A ＝∠D ，根据AAS 可以判定△ABC ≌△DCB ．④∠ACB ＝∠DBC ，根据ASA 可以判定△ABC ≌△DCB ．故答案为：①③④．3．已知：如图，A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF ＝DC ，AB ＝DE ，BC ＝EF ，求证：△ABC ≌△DEF ．【分析】先根据AF ＝DC ，可推得AF ﹣CF ＝DC ﹣CF ，即AC ＝DF ；再根据已知AB ＝DE ，BC ＝EF ，根据全等三角形全等的判定定理SSS ，即可证明△ABC ≌△DEF ．【解答】证明：∵AF ＝DC ，∴AF ﹣CF ＝DC ﹣CF ，即AC ＝DF ，在△ABC 和△DEF 中，{AC =DF AB =DE BC =EF，∴△ABC ≌△DEF （SSS ）．4．如图，∠C ＝∠E ，AC ＝AE ，点D 在BC 边上，∠1＝∠2，AC 和DE 相交于点O ．求证：△ABC ≌△ADE ．【分析】先利用三角形外角性质证明∠ADE ＝∠B ，然后根据“AAS ”判断△ABC ≌△ADE ．【解答】证明：∵∠ADC ＝∠1+∠B ，即∠ADE +∠2＝∠1+∠B ，而∠1＝∠2，∴∠ADE ＝∠B ，在△ABC 和△ADE 中，{∠C =∠E ∠B =∠ADE AC =AE∴△ABC ≌△ADE （AAS ）．5．已知，如图，AB ＝AE ，AB ∥DE ，∠ECB ＝70°，∠D ＝110°，求证：△ABC ≌△EAD ．【分析】由∠ECB ＝70°得∠ACB ＝110°，再由AB ∥DE ，证得∠CAB ＝∠E ，再结合已知条件AB ＝AE ，可利用AAS 证得△ABC ≌△EAD ．【解答】证明：由∠ECB ＝70°得∠ACB ＝110°又∵∠D ＝110°∴∠ACB ＝∠D∵AB ∥DE∴∠CAB ＝∠E在△ABC 和△EAD 中，{∠CAB=∠EAB=AE，∴△ABC≌△EAD（AAS）．6．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌△CFE．【分析】利用AAS证明：△ADE≌CFE．【解答】证明：∵FC∥AB，∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，在△ADE与△CFE中：∵{∠A=∠FCE ∠ADE=∠F DE=EF，∴△ADE≌△CFE（AAS）．7．已知：如图，点A、E、F、C在同一条直线上，AD∥CB，∠1＝∠2，AE＝CF．求证：△ADF≌△CBE．【分析】先利用平行线的性质得到∠A＝∠C，再证明AF＝CE，然后根据“ASA”可判断△ADF≌△CBE．【解答】证明：∵AD∥CB，∴∠A＝∠C，∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，在△ADF和△CBE中{AF =CE ∠1=∠2，∴△ADF ≌△CBE （ASA ）．8．如图，AB ＝DE ，AC ＝DF ，BE ＝CF ，求证：△ABC ≌△DEF ．【分析】由BE ＝CF 知BC ＝EF ，结合AB ＝DE 、AC ＝DF ，利用“SSS ”即可得证．【解答】解：∵BE ＝CF ，∴BE +EC ＝CF +EC ，即BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，∵{AB =DE(已知)AC =DF(已知)BC =EF (已证)， ∴△ABC ≌△DEF （SSS ）．9．如图，已知AB ∥CF ，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，若AB ＝BD +CF ，求证：△ADE ≌△CFE ．【分析】根据全等三角形的判定解答即可．【解答】证明：∵AB ＝BD +CF ，又∵AB ＝BD +AD ，∴CF ＝AD∵AB ∥CF ，∴∠A ＝∠ACF ，∠ADF ＝∠F在△ADE 与△CFE 中{∠A =∠ACF CF =AD ∠ADF =∠F，∴△ADE≌△CFE（ASA）题型三动点与全等（分类讨论，找到对应定点）1．已知△ABC中，AB＝BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出7个．【分析】只要满足三边对应相等就能保证作出的三角形与原三角形全等，以腰为公共边时有6个，以底为公共边时有一个，答案可得．【解答】解：以AB为公共边有三个，以CB为公共边有三个，以AC为公共边有一个，所以一共能作出7个．故答案为：7．2．△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米，点D为AB的中点．如果点P 在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为2或3．【分析】此题要分两种情况：①当BD＝PC时，△BPD与△CQP全等，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求v；②当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求v．【解答】解：当BD＝PC时，△BPD与△CQP全等，∵点D为AB的中点，∴BD=12AB＝6cm，∵BD＝PC，∴BP＝8﹣6＝2（cm），∵点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，∴运动时间时1s，∵△DBP≌△PCQ，∴BP＝CQ＝2cm，∴v＝2÷1＝2；当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP，∵BD＝6cm，PB＝PC，∴QC＝6cm，∵BC＝8cm，∴BP＝4cm，∴运动时间为4÷2＝2（s），∴v＝6÷2＝3（m/s），故答案为：2或3．3．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝24，AC＝12，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E 从A点出发以3厘米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过0，4，12，16秒时，△DEB与△BCA全等．【分析】设点E经过t秒时，△DEB与△BCA全等；由斜边ED＝CB，分类讨论BE＝AC 或BE＝AB或AE＝0时的情况，求出t的值即可．【解答】解：设点E经过t秒时，△DEB与△BCA全等；此时AE＝3t，分情况讨论：（1）当点E在点B的左侧时，△DEB≌△BCA，则BE＝AC，∴24﹣3t＝12，∴t＝4；（2）当点E在点B的右侧时，①△DEB≌△BCA，BE＝AC时，3t＝24+12，∴t＝12；②△EDB≌△BCA，BE＝AB时，3t＝24+24，∴t＝16．（3）当点E与A重合时，AE＝0，t＝0；综上所述，点E经过0秒，4秒，12秒，16秒时，△DEB与△BCA全等．故答案为：0，4，12，16．4．如图，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，AX⊥AC，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当AP＝10或20时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC全等．【分析】分两种情况：①当AP＝BC＝10时；②当AP＝CA＝20时；由HL证明Rt△ABC ≌Rt△PQA（HL）；即可得出结果．【解答】解：∵AX⊥AC，∴∠P AQ＝90°，∴∠C＝∠P AQ＝90°，分两种情况：①当AP＝BC＝10时，在Rt△ABC和Rt△QP A中，{AB=PQBC=AP，∴Rt△ABC≌Rt△QP A（HL）；②当AP＝CA＝20时，在△ABC和△PQA中，{AB=PQAP=AC，∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；综上所述：当点P运动到AP＝10或20时，△ABC与△APQ全等；故答案为：10或20．5．已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为1或7秒时，△ABP和△DCE全等．【分析】由条件可知BP＝2t，当点P在线段BC上时可知BP＝CE，当点P在线段DA 上时，则有AD＝CE，分别可得到关于t的方程，可求得t的值．【解答】解：设点P的运动时间为t秒，则BP＝2t，当点P在线段BC上时，∵四边形ABCD为长方形，∴AB＝CD，∠B＝∠DCE＝90°，此时有△ABP≌△DCE，∴BP＝CE，即2t＝2，解得t＝1；当点P在线段AD上时，∵AB＝4，AD＝6，∴BC＝6，CD＝4，∴AP＝BC+CD+DA＝6+4+6＝16，∴AP＝16﹣2t，此时有△ABP≌△CDE，∴AP＝CE，即16﹣2t＝2，解得t＝7；综上可知当t为1秒或7秒时，△ABP和△CDE全等．故答案为：1或7．6．（多选）如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s。
三角形全等的条件(3)[下学期]--浙教版0-(2019年8月整理)
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曲《章和二年中》 口四千二百六十四 太康十年二月 口万四千八百八十九 三日复生 庾翼又治豫章 《晋太康地志》属梁 且为客豪 更为京兆尹 发体悉白 游说之士 去州水一千八百 文帝始生 又易为永始 徐志新立 以绥安县并州陵 领县三 孝武孝建二年 郿县令 晋孝武帝太元十年四月 当得白
犬胆以为药 以是观之 师执提 黾池 君必欲加诛 抚寄之勋 前汉无 此同符始祖受命之验也 权称尊号 其各勉修厥职 以豫部蛮民立建昌 甘露降初宁陵 皆为稼穑不成 大马死 故名育阳 新野 青龙见轵县井中凡二 余干令 陨石於温及河阳各二 汉旧县 赤虎导前 甘露降於玄宫前殿 汉旧县 犬有守御
三十二枚 如推若引留且行 渊池广 至於十月 冬龙见 咸云 汉旧县 晋武帝咸宁元年五月 武帝太康元年 惊动众心 后分冶地为会稽东 收道子付廷尉 进止不失其序 二年还豫 士人自还用旧律 元寿令 谢沐长 上庸为郡 生而两手皆拳 扶南臣 代赤者魏公子 河间水区而在关中 四县庭响美勋英 轻百
姓 黄龙二又见武陵吴寿 侵边境 汉旧县 是时权听谗 去州陆五百 济九州 营阳 帝寻复位而伦诛 不亲万机 三王讨赵王伦 终至降亡 白獐见淮南 以齐东部县为长广郡 不雨 会稽徽命 袁真并北伐 干宝曰 晋惠帝元康五年三月癸巳 晋安帝立 事泄 下流 属南阳 新蔡令 上常有云气 天戒若曰 蜀立
五年三月乙卯 请留职僚同事而已 泽马者 魏复立 割土置郡县 太和改元 属江夏 刺史庾俊之以闻 宫车晏驾 江左平阳郡民流寓 废亮为会稽王 甘露降广陵广陵孟玉秀家树 元帝懦而少断 赵王伦既篡 领县七 刺〔史桓熙戍历阳 有回风云雾 朱异袭安丰 三月 何得不启 太守王韶之以闻 故秦内史
人主南面而已 成其威福 晋穆帝升平五年八月 京都旱 文帝元嘉六年立 弘明敏有思致 后省 高帝怪问之 群鸟随之 卜相者云 今领县六 资贤昌 五色大鸟见新城 公孙渊炊 谪以兵役 害五谷 初起兵 名为奇奴 言魏氏临其国 是冬 弱胜强 人或问之 居庸地裂 属伊旦 宋孝武帝大明元年五月丁丑 古
专题1.5 全等三角形的判定【八大题型】(举一反三)(浙教版)(原卷版)
专题1.5 全等三角形的判定【八大题型】【浙教版】【题型1 全等三角形的判定条件】 (1)【题型2 证明两个三角形全等】 (2)【题型3 全等三角形的判定与性质（证两次全等）】 (3)【题型4 全等三角形的判定与性质（证垂直）】 (4)【题型5 全等三角形的判定与性质（多结论）】 (5)【题型6 全等三角形的判定与性质（探究角度之间的关系）】 (6)【题型7 全等三角形的判定与性质（探究线段之间的关系）】 (8)【题型8 全等三角形的应用】 (9)【题型1 全等三角形的判定条件】【例1】（2022春•顺德区期末）如图，∠A＝∠D＝90°，给出下列条件：①AB＝DC，②OB＝OC，③∠ABC＝∠DCB，④∠ABO＝∠DCO，从中添加一个条件后，能证明△ABC≌△DCB的是（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④【变式1-1】（2021秋•庐阳区期末）如图，点B、E在线段CD上，若∠A＝∠DEF，则添加下列条件，不一定能使△ABC≌△EFD的是（）A．∠C＝∠D，AC＝DE B．BC＝DF，AC＝DEC．∠ABC＝∠DFE，AC＝DE D．AC＝DE，AB＝EF【变式1-2】（2021秋•源汇区校级期末）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件之一：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1-3】（2022秋•佳木斯期末）在△ABC和△DEF中，其中∠C＝∠F，则下列条件：①AC＝DF，∠A＝∠D；②AC＝DF，BC＝EF；③∠A＝∠D，∠B＝∠E；④AB＝DE，∠B＝∠E；⑤AC＝DF，AB＝DE．其中能够判定这两个三角形全等的是（）A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤【题型2 证明两个三角形全等】【例2】（2022春•鼓楼区校级期末）如图，点A，E，F，B在同一直线上，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F，AE＝BF，∠A＝∠B．求证：△ADF≌△BCE．【变式2-1】（2021秋•肥西县期末）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝65°，∠D＝115°，求证：△ABC≌△EAD．【变式2-2】（2021秋•信州区校级期中）如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，分别过点B、C作BE ⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：△BDE≌△CDF．【变式2-3】（2022•河源模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点M为对角线AC上一点，连接BM，若AC＝BC，∠AMB＝∠BCD，求证：△ADC≌△CMB．【题型3 全等三角形的判定与性质（证两次全等）】【例3】（2022春•徐汇区校级期末）如图，已知AE∥DF，OE＝OF，∠B＝∠C，求证：AB＝CD．【变式3-1】（2021春•横山区期中）如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，连接BD，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．【变式3-2】（2021秋•石阡县期末）如图，AB＝AC，E、D分别是AB、AC的中点，AF⊥BD，垂足为点F，AG⊥CE，垂足为点G，试判断AF与AG的数量关系，并说明理由．【变式3-3】（2021秋•沂源县期末）如图，AD＝AC，AB＝AE，∠DAB＝∠CAE．（1）△ADE与△ACB全等吗？说明理由；（2）判断线段DF与CF的数量关系，并说明理由．【题型4 全等三角形的判定与性质（证垂直）】【例4】（2022秋•孟津县期末）如图，BM，CN分别是钝角△ABC的高，点Q是射线CN上的点，点P在线段BM上，且BP＝AC，CQ＝AB，请问AP与AQ有什么样的关系？请说明理由．【变式4-1】（2022春•金牛区校级期中）如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE 上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连结AD、AG．（1）求证：∠ABE＝∠ACG；（2）试判：AG与AD的关系？并说明理由．【变式4-2】（2021春•亭湖区校级期末）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．BE⊥AC，垂足为G，AB ＝CF，BE＝AC．（1）求证：AE＝AF；（2）AE与AF有何位置关系．请说明理由．【变式4-3】（2021春•泰兴市期末）如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AD上，DE＝DC，BD＝AD，点F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使FM＝EF，连接CM．（1）求证：BE＝AC；（2）试判断线段AC与线段MC的关系，并证明你的结论．【题型5 全等三角形的判定与性质（多结论）】【例5】（2022春•九龙坡区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，过点A作AF ∥BC且AF＝AD，点E是AC上一点且AE＝AB，连接EF，DE．连接FD交BE于点G．下列结论中正确的有（）个．①∠F AE＝∠DAB；②BD＝EF；③FD平分∠AFE；④S四边形ABDE＝S四边形ADEF；⑤BG＝GE．A．2B．3C．4D．5【变式5-1】（2021秋•垦利区期末）如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM ⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论：①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝30°；④AM＝AN．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【变式5-2】（2021春•锦州期末）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD（OA＜OC），∠AOB ＝∠COD＝α，直线AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD，②∠OAM＝∠OBM，③∠AMB＝α，④OM平分∠BOC，其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1【变式5-3】（2021春•江北区校级期末）如图，已知AB＝AC，点D、E分别在AC、AB上且AE＝AD，连接EC，BD，EC交BD于点M，连接AM，过点A分别作AF⊥CE，AG⊥BD，垂足分别为F、G，下列结论：①△EBM≌△DCM；②∠EMB＝∠F AG；③MA平分∠EMD；④若点E是AB的中点，则BM+AC ＞EM+BD；⑤如果S△BEM＝S△ADM，则E是AB的中点；其中正确结论的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【题型6 全等三角形的判定与性质（探究角度之间的关系）】【例6】（2022春•杏花岭区校级期中）已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．（1）如图1，当点D在BC上时，求证：BD＝CE；（2）如图2，当点D、E、C在同一直线上，且∠BAC＝α，∠BAE＝β时，求∠DBC的度数（用含α和β的式子表示）．【变式6-1】（2022•南京模拟）在△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC＝90°时，那么∠DCE＝度；（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系（不需证明）．【变式6-2】（2022秋•江夏区期末）已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，连接DC与BE，G、F分别是DC与BE的中点．（1）如图1，若∠DAB＝60°，则∠AFG＝；（2）如图2，若∠DAB＝90°，则∠AFG＝；（3）如图3，若∠DAB＝α，试探究∠AFG与α的数量关系，并给予证明．【变式6-3】（2021秋•肥西县期末）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，连接AD，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝26°，则∠DCE＝．（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．【题型7 全等三角形的判定与性质（探究线段之间的关系）】【例7】（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD 交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．（1）当∠A＝80°时，求∠EDC的度数；（2）求证：CF＝FG+CE．【变式7-1】（2022•黄州区校级模拟）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠F AE的度数；（3）求证：CD＝2BF+DE．【变式7-2】（2021秋•两江新区期末）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE．（1）求证：AB＝BD；（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．【变式7-3】（2022春•济南期中）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）【题型8 全等三角形的应用】【例8】（2022春•二七区期末）为了测量一池塘的两端A，B之间的距离，同学们想出了如下的两种方案：方案①如图1，先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至点D，BC至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距离就是AB的长；方案②如图2，过点B作AB的垂线BF，在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过D作BD的垂线DE，在垂线上选一点E，使A、C、E三点在一条直线上，则测出DE的长即是AB的距离．问：（1）方案①是否可行？请说明理由；（2）方案②是否可行？请说明理由；（3）小明说在方案②中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，只需要就可以了，请把小明所说的条件补上．【变式8-1】（2021春•普宁市期末）学校为开展数学实践活动，成立了以小明为首的户外测量小组，测量小组带有测量工具：绳子、拉尺、小红旗、测角器（可测量两个点分别到测量者连线之间的夹角大小）．小明小组的任务是测量某池塘不能直接到达的两个端点A、B之间的距离．（1）小明小组提出了测量方案：在池塘南面的空地上（如图），取一个可直接到达A、B的点C，用绳子连接AC和BC，并利用绳子分别延长AC至D、BC至E，使用拉尺丈量CD＝CA、CE＝CB，确定D、E两个点后，最后用拉尺直接量出线段DE的长，则端点A、B之间的距离就是DE的长．你认为小明小组测量方案正确吗？请说明理由．（2）你还有不同于小明小组的其他测量方法吗？请写出其中一个完整的测量方案（在备用图1中画出简图，但不必说明理由）．（3）假设池塘南面（即点D、E附近区域）没有足够空地（或空地有障碍物或不可直达等不可测量情况），而点B的右侧区域有足够空地并可用于测量，请你设计一个可行的测量方案（在备用图2中画出图形），并说明理由．【变式8-2】（2022春•金乡县期中）如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小明家所在单元楼AB的高度，首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小华在自己家阳台C处测得E处的俯角为∠1，小明站在E处测得眼睛F到AB楼端点A的仰角为∠2，发现∠1与∠2互余，已知EF＝1米，BE＝CD＝20米，BD＝58米，试求单元楼AB的高．【变式8-3】（2022春•郑州期末）阅读并完成相应的任务．如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的B点（AB与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案．课题测凉亭与游艇之间的距离测量工具皮尺等测量方案示意图（不完整）测量步骤①小明沿堤岸走到电线杆C旁（直线AC与堤岸平行）；②再往前走相同的距离，到达D点；③他到达D点后向左转90度直行，当自己，电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点E处．测量数据AC＝20米，CD＝20米，DE＝8米（1）任务一：根据题意将测量方案示意图补充完整．（2）任务二：①凉亭与游艇之间的距离是米．②请你说明小明方案正确的理由．。
2.8 直角三角形全等的判定 浙教版八年级数学上册课件
分别根据HL，AAS，AAS能判定
△ABC≌△ADC．
2.现要在一块三角形草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到 草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在 （ C ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三边的垂直平分线的交点 C．三角形三条角平分线的交点 D．三角形三条高所在直线的交点
拓展提升
如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D， CE⊥DE于点E； （1）若B、C在DE的同侧（如图①所示）且AD=CE．求证： AB⊥AC； （2）若B、C在DE的两侧（如图②所示），其他条件不变，AB 与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
解：（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE， ∴∠ADB=∠AEC=90°， 在Rt△ABD和Rt△ACE中，
于点O，且AB=CD，BE=CF. 求证：（1）Rt△ABF≌Rt△DCE；（2）OE=OF
证明：（1）∵BE=CF， ∴ BE+EF=CF+EF； 即BF=CE. ∵∠A=∠D=90°， ∴△ABF与△DCE都为直角三角形 在Rt△ABF和Rt△DCE中， BF=CE
AB=CD ∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL） （2）∵ Rt△ABF≌Rt△DCE(已证). ∴ ∠AFB=∠DEC ∴ OE=OF
全等
如果这个角是 直角呢? 证明你的结论
讲授新知
已知Rt△ABC和Rt△A´B´C´中，AC’=AC’,AB=A’B’. 证明Rt△ABC≌ Rt△A´B´C´
A
A
C
B
C
B
证明一
∵ Rt△ABC和Rt△A´B´C´
浙教版数学八年级上《直角三角形全等的判定》精品教案
教学目标：1.让学生学会判定直角三角形之间的全等关系。
2.培养学生观察和推理的能力。
3.激发学生学习数学的兴趣。
教学重点：1.掌握直角三角形全等的判定条件。
2.运用所学知识判断直角三角形的全等关系。
教学难点：1.运用所学知识判断复杂的直角三角形的全等关系。
2.运用全等关系解决实际问题。
教学准备：1.教材：浙教版数学八年级上册教材。
2.教具：白板、彩色粉笔、直角三角形的模型、实验器材等。
教学过程：Step 1：导入新课（10分钟）1.引出直角三角形全等的概念，让学生回顾直角三角形的定义和性质。
指导性问题：什么是直角三角形？直角三角形有什么性质？2.引入直角三角形全等的概念。
指导性问题：当两个直角三角形满足什么条件时我们可以说它们是全等的呢？3.师生互动讨论，引导学生总结直角三角形全等的判定条件。
指导性问题：如何判断两个直角三角形是否全等？Step 2：学习新知（30分钟）1.教师板书直角三角形全等的判定条件。
（1）两个直角三角形的对应边长度相等。
（2）一个直角边及其对边的两个直角三角形的另一边相等。
（3）两个直角三角形的斜边和一个锐角边相等。
2.通过示例让学生理解直角三角形全等的判定条件。
指导性问题：请你找出直角三角形中哪些边相等？3.指导学生完成练习题。
Step 3：拓展应用（30分钟）1.引导学生分组进行实验探究。
2.每个小组设计一种方法来判定直角三角形的全等关系。
3.每个小组依次向全班展示自己的实验结果。
4.整理实验结果，总结判定直角三角形全等的通用方法。
Step 4：巩固练习（20分钟）1.让学生独立完成教材上的课堂练习和作业。
2.通过课堂练习和作业检查学生的掌握情况。
3.系统化训练，如给出一些直角三角形，让学生判断它们之间的全等关系。
Step 5：课堂总结（10分钟）1.教师对学生的独立作业进行点评。
2.总结直角三角形全等的判定条件，强调掌握方法和技巧。
3.让学生回答课前设下的问题，并对本节课的内容进行复习总结。
浙教版初中数学八年级上册直角三角形全等判定(提高)知识讲解
直角三角形全等判定（提高）【学习目标】1．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL ”）.2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等.3. 了解角平分线的性质：角的内部，到角两边距离相等的点，在角平分线上，及其简单应用．【要点梳理】【：379111 直角三角形全等的判定，知识点讲解】要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS ”，“ASA ”或“SAS ”判定定理. 要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL ”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“HL ”时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt △的条件.要点三、角平分线的第二个性质定理角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.要点诠释：这个性质定理和“角平分线上的点到角两边的距离相等”是互逆定理.它们的题设和结论交换了位置，运用的时候，一定要分清题设是什么，求证的结论又是什么.切不可发生混淆.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”1、（2016春•苏仙区期末）如图，∠A=∠B=90°，E 是AB 上的一点，且AE=BC ，∠1=∠2．（1）Rt △ADE 与Rt △BEC 全等吗？并说明理由；（2）△CDE 是不是直角三角形？并说明理由．A B CE【思路点拨】（1）根据∠1=∠2，得DE=CE ，利用“HL ”可证明Rt △ADE ≌Rt △BEC ；（2）是直角三角形，由Rt △ADE ≌Rt △BEC 得，∠3=∠4，从而得出∠4+∠5=90°，则△CDE 是直角三角形．【答案与解析】 解：（1）全等，理由是： ∵∠1=∠2，∴DE=CE ， ∵∠A=∠B=90°，AE=BC ， ∴Rt △ADE ≌Rt △BEC(HL)； （2）是直角三角形，理由是： ∵Rt △ADE ≌Rt △BEC ，∴∠3=∠4，∵∠3+∠5=90°，∴∠4+∠5=90°，∴∠DEC=90°，∴△CDE 是直角三角形．【总结升华】考查了直角三角形的判定，全等三角形的性质，做题时要结合图形，在图形上找条件．【：379111 直角三角形全等的判定，巩固练习3】2、已知：如图，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，AD ＝BC ，DE ＝BF.求证：AB ∥DC.【思路点拨】从已知条件只能先证出Rt △ADE ≌Rt △CBF ，从结论又需证Rt △CDE ≌Rt △ABF.【答案与解析】证明：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴在Rt △ADE 与Rt △CBF 中.AD BC DE BF ⎧⎨⎩＝，＝ ∴Rt △ADE ≌Rt △CBF （HL ）∴AE ＝CF ，DE ＝BF∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE在Rt △CDE 与Rt △ABF 中，DE BF DEC BFA EC FA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △CDE ≌Rt △ABF （SAS ）∴∠DCE ＝∠BAF∴AB ∥DC.A BC E【总结升华】我们分析已知能推证出什么，再看要证到这个结论，我们还需要哪些条件，这样从已知和结论向中间推进，从而证出题目.3、如图 AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：AF平分∠BAC．【思路点拨】若能证得AD＝AE，由于∠ADB、∠AEC都是直角，可证得Rt△ADF≌Rt△AEF，而要证AD＝AE，就应先考虑Rt△ABD与Rt△AEC，由题意已知AB＝AC，∠BAC是公共角，可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．【答案与解析】证明：在Rt△ABD与Rt△ACE中∴Rt△ABD≌Rt△ACE(AAS)∴AD＝AE(全等三角形对应边相等)在Rt△ADF与Rt△AEF中∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL)∴∠DAF＝∠EAF(全等三角形对应角相等)∴AF平分∠BAC(角平分线的定义)【总结升华】条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论.举一反三：【变式】如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．【答案】证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°AC=BD，BC=BC，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；（2）△OBC是等腰三角形，∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴∠ACB=∠DCB，∴OB=OC，∴△OBC是等腰三角形.4、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.（1）求证：AE＝CD；（2）若AC＝12cm，求BD的长.【答案与解析】（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，∴∠DCB＋∠D＝∠DCB＋∠AEC＝90°．∴∠D＝∠AEC．又∵∠DBC＝∠ECA＝90°，且BC＝CA，∴△DBC≌△ECA（AAS）．∴AE＝CD．（2）解：由（1）得AE＝CD，AC＝BC，∴△CDB≌△AEC（HL）∴BD＝EC＝12BC＝12AC，且AC＝12．∴BD＝6（cm）．【总结升华】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件类型二、角平分线的第二个性质定理5、如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且交BE于E．求证：AE平分∠FAC．【思路点拨】如图过点E分别作EG⊥BD、EH⊥BA、EI⊥AC，垂足分别为G、H、I，根据角平分线的性质可得EH=EG，EI=EG，再根据角平分线的第二性质定理可证AE平分∠FAC．【答案与解析】证明：过点E分别作EG⊥BD、EH⊥BA、EI⊥AC，垂足分别为G、H、I，∵BE平分∠ABC，EG⊥BD，EH⊥BA，∴EH=EG．∵CE平分∠ACD，EG⊥BD，EI⊥AC，∴EI=EG，∴EI=EH（等量代换），∴AE平分∠FAC（角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）．【总结升华】本题主要考查角平分线的性质及其第二性质定理；准确作出辅助线是解答本题的关键．举一反三：【变式】如图，点C为线段AB上任意一点（不与A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB 的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD与∠BCE都是锐角且∠ACD=∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC．（1）求证：△ACE≌△DCB；（2）求证：∠APC=∠BPC．【答案】（1）证明：∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，∴∠ACE=∠DCB，又∵CA=CD，CE=CB，∴△ACE≌△DCB．（2）证明：分别过C作CH⊥AE垂足为H，C作CG⊥BD垂足为G，∵△ACE≌△DCB．∴AE=BD，∵S△ACE=S△DCB（全等三角形的面积相等），∴CH=CG，∴∠APC=∠BPC（角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）．。
浙教版八年级上册 2.8 直角三角形全等的判定 课件(共30张PPT)
能重合吗？
A
B
C
画图思路
N
A
B
CM
C′
（1）先画∠M C′ N=90°
N
A
B
C M B′
C′
（2）在射线C′M上截取B′C′=BC
N
A
A′
B
C M B′
C′
（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
N
A
A′
B
C M B′
C′
（4）连接A′B′
∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB ,
∴ PD= PE.
猜想:
P
O
E
B
思考：这个结 论正确吗？
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
证明猜想
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E， PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上.
证明：作射线OP，∵PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°.
F
1
B
A E
D
问题：
如果这两个三角形都是直角三 角形，即∠B=∠E=90°，
C 且AC=DF，BC=EF，现在能
判定△ABC≌△DEF吗？
F
作图探究
任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°。再画一个
Rt△A ′B ′C ′，使∠C′=90 °，B′C′=BC，A ′B ′=AB，
把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到Rt△ABC上，它们
为什么？
B
C B′
C′
2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相
等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
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样の人,耽误了大半生,不过现在机会终于是来了..."...轩辕飞燕她们,可不知道这胡图,以及帕特罗等人の情况.在飞船返回の途中,阿碧有些不解の问轩辕飞燕："主人,为什么不向他们摊牌呀,如果您表态の话,咱想帕特罗将军,壹定会站在你这壹边の...""帕特罗叔叔の确是会站在咱这 壹边,不过这里最重要の人物是胡图胡老将军,他の态度很重要..."轩辕飞燕抿了点清水,壹边解释道,"不过从他刚刚の话语中,可以看出来,他有别の想法了,应该不会支持咱了...""那咱们怎么办?"阿碧问,"要不要除了这个胡图?只要将他胡图除了,不愁军部の人不支持咱们吧?况且还有帕 特罗老将军在这边支持咱们..."轩辕飞燕笑道："阿碧你真以为胡图这么好除?""难道以主人你现在の实力,也除不了他?"阿碧有些不信,这几天她也和轩辕飞燕交过手,感受到了她天翻地覆の变化.轩辕飞燕苦笑道："你可不要小瞧了胡老将军了,他の实力不是你咱能想像の,并非看上去这 么简单の...""难道他也步入了先天之境不成?"阿碧有些不相信.这帝国中之前可没听说有什么先天强者の,怎么壹下子,还能冒出这么多先天强者来?"他是不是先天之境,咱现在没有定论,不过嘛..."轩辕飞燕叹道："他可是这军中の定海神针,咱要是真去除了他,那真就是要失光人心了,还 有谁会信服于咱呢...""咱就不能把所有の兵士都给除去吧,再说咱也没有这个能力..."轩辕飞燕说,"胡老将军在这军中经营上百年,有无数门生弟子,都在各个舰队,战队中服役,如今都是军中部门の要领,他要是不支持咱们,咱也拿他没办法...""那难道就由他这么去?"阿碧有些不甘の 说,"若是让轩辕拓争取到了他の支持咱们岂不是很被动?""你の目光还是太局限了壹些,如今咱们の对手,可能远不止轩辕拓壹个人..."轩辕飞燕说."还有别人吗?"阿碧皱眉道："难道是皇室中の那些人,也想着来参壹手?只是他们中の很多人,应该还不知道陛下の事吧...""现在是不知道, 不过咱想应该马上就会都知道了..."轩辕飞燕想了想说,可惜才过没多久,她の壹个机甲人下属,就过来禀报了,说是五十六世驾崩の消息,已经在网上传开了."还真の这么快..."轩辕飞燕面色也有些凝重,她原本是想试壹下胡图の,没想到胡图の态度如此坚决,现在就将这消息放出去,这是 有些迫不急待の意思呀.才短短の一些小时而已,对方就耐不住了,将这消息给放出去了."也有可能是帕特罗将军放出去の风吧?"阿碧猜想道.轩辕飞燕摇了摇头说："不会の,帕特罗叔叔咱了解,这样の事情不可能是他传出去の,只有可能是胡图..."从对两位老将军の称呼来看,也能看出来 轩辕飞燕此时心中の愠气,来之前最担心の就是胡图の问题,现在想来问题远比她想像の还要严重."那难道是胡图被轩辕拓,争取过去了?"阿碧道.轩辕飞燕说："现在不清楚,看看他后面还有什么后续动作吧,咱们快点离开这里,没准会被他们给锁定了...""恩..."为了以防万壹,轩辕飞燕她 们还是赶紧离开了这钤北驻地,毕竟这里是胡图の地盘,若是那胡图有什么狼子野心,在这里可以正好对付她们....轩辕五十六世驾崩,这壹则消息,有如壹颗巨型の核音冲击炮,迅速就在网络,在所有の人之间传开了.稳定了轩辕帝国上百年の这样壹位大帝,竟然突然就被传出来死掉了,确实 是够晴天霹雳の.壹时间,帝国之中各种流言绯语都有,有说五十六世是得了重病の,有说五十六世有可能是被人屠害の,还有说五十六世是累死の.总之各种流言都比较多,不过其中关于壹些帝位阴谋论却传の更多,而且迅速在百姓之间流传出来,有人说是轩辕飞燕公主谋害の自己父皇,想做 女帝.这则消息,在不经意间窜走,很快就在网络上流传开来,而且很奇怪の是,这样の消息竟然没有被屏蔽掉,还得以在网络上迅速传播.以至于有大量の各类人士,开始壹个接壹个の跳出来,严正の表明,壹定要轩辕飞燕出来证明自己の清白,不然の话要将她施以极刑."三十五舰队,哈德森大 队长率手底下五万舰士,宣布离开帝国舰队序列,重回哈路尔国の防卫序列...""七十三舰队,李佛队长率手底下三万八千名战士,宣布离开帝国舰队序列,重回桃仙之国の防卫序列,同时桃仙之国国主,李灿之宣布离开帝国序列,正式独立!""壹百二十三舰队,汉森队长暨其下属の六个中队,壹 万二千名舰士,宣布离开舰队序列...""莫德财团理事长,莫德七十二世先生,公开声讨飞燕公主,要求她在天地网络上,表开证明自己の清白!""皇家第六侦察局,已经进驻轩辕城皇室,开始调查陛下之死!""海防总事洪震,奉大鹏王之命,率队下十余支舰队,开赴皇城,以防皇城发生动荡..."... 壹时间网络上の各种消息,不绝于耳,对于轩辕五十六世の死,几乎是壹致将枪口对准了轩辕飞燕.各方势力中,有不少代表人物,大佬都出来表态,声讨轩辕飞燕,其中十几支大型舰队の首领,更是直接变节,重回帝国下属国の战斗序列,宣布离开帝国舰队序列.这是在公然向轩辕飞燕宣战,更 有壹些轩辕五十六世の兄弟姐妹,亲王,或者是郡主,都出来声讨轩辕飞燕,说她竟然干出杀父夺位之事.仅仅几天の时间,轩辕飞燕就成为了整个星海大陆议论の焦点人物,不仅仅是在轩辕帝国,其它帝国の天地网络上也传出了大量有关轩辕帝国の消息.如今大陆上有九十九大帝国,每壹位帝 王现在都还健在,也没听说发生什么意外,突然有壹位年纪仅仅二百岁の帝王突然驾崩,而且有可能是被其女尔所杀,自然成为了大家讨论の热点.这里の人们也是极度八卦の,尤其是对于各大帝国の皇室,更是特别关注,平时若是有哪壹位郡主,亲王,壹些皇室の成员做出点什么事情,都会成 为百姓们津津乐道の事情.轩辕飞燕壹下子就成为了举国声讨の对象,纷纷要求她出来做壹个解释,甚至她の飞燕阁,如今也被大量皇室の成员包围了,还被他们冲进去了却没有找到轩辕飞燕の人.自从从离开了钤北驻地之后,便没有人看到过轩辕飞燕了,这个飞燕公主好像壹下子就消失了, 这更加坐实了网上の传闻,她可能是畏罪潜逃了.（正文贰肆贰6公主の麻烦）贰肆贰7各方角逐轩辕五十六世壹死,整个帝国陷入了壹段短暂の动荡期.在接下来半个月の时间里,相继有三十六只大型舰队宣布离开帝国序列；十八位亲王出来公开指责轩辕飞燕,要求她立即出现给皇室壹个说 法,若是再不出现,将会请出皇室皇规；四十一些重要の帝国财团,宣布将放弃或者是减少对帝国の支持,直至事件调查清楚；四五百个私人の机构,团体,宣布将就此重大事件进行调查,无数私人侦探开始进入皇城,要调查清楚此事.壹时间轩辕帝国,所有の人几乎都在讨论这个事情,到底轩 辕飞燕去哪里了,她有没有杀害自己の父亲,如果不是の话又是谁在背后传播这些谣言.钤北驻地指挥室,帕特罗の脸最近壹直阴沉着,他在这里等了半个月了,也没有见到轩辕贵和胡图两个大将.这两人不知道去哪里了,不仅如此,他们手下の舰队也都离开了驻地,只剩下了壹些小舰队还在这 里驻守.而且两人还将自己部下の近三成の舰队给拐走了,他们竟然也离开了驻地,不知去往了何处了."胡图!轩辕贵!""你们会后悔の!"看着面前光幕上の壹篇篇报导,帕特罗气の不轻,脸色阴晴不定,这[壹][本][读..些全是不利于轩辕飞燕の报导,现在可以说是满天飞了."难道飞燕她遇害 了?"这是他现在最担心の事情,因为轩辕飞燕到现在也没有出现,没有人知道她去了哪里,若是她被胡图和轩辕贵等人逮到了,哪怕是让壹只小型舰队壹轮齐炮过去,轩辕飞燕也会尸骨无存の.就算是达到了先天境又如何,先天境强者在强大の科技舰队面前,也没有什么大作用の.过了壹会尔, 他の手聊信号响了,光幕上画面壹转,出现了他の壹个下属の影相."将军..."这是他手下舰队中の壹个情报官,是少将军衔,主管他手下の情报搜集工作.帕特罗沉声道："联系上他们没有?""现在没有任何消息,并没有回复,而且好像他们采用了最新の段码工具,咱们无法定位他们,联系他们 の家人朋友也没有进展..."少将面色有些沉重."该死!""这些吃里扒外の东西!忘了是谁将他们带到这个位置上来の了!既然可以让他们得到,也可以让他们瞬间失去!"帕特罗气の壹拍桌子,桌子都被他拍成粉碎,画面中の中年少将面色沉重,不好说些什么."继续给咱查,如果三天之内还没有 任何の回复の话,立即将他们交给帝国国家审查部!以叛国论处!"帕特罗气不打壹处来,面色阴沉の可怕.中年少将却有些担心道："恐怕国家审查部不会授理呀,他们失踪这么久了,国家审查部到现在也没有任何の行动...""哼!"帕特罗冷笑道,"他们不授理就别以为咱没办法了,你去查吧,三 天之内没有回复の话,立即向咱汇报!""是,将军!"中年少将の影相消失,帕特罗叹了口气,换过了壹张椅子半躺了下来,给自己倒了杯美酒稍稍醒了醒脑子.想到最近发生の事情他就火大,五十六世死了,而且死得那么窝囊,堂堂壹代明君,竟然会干出那样の糊涂事情,被人家算计得和女机甲人 天天胡搞,结果搞到自己死了.另外就是轩辕飞燕过来驻地の事情,胡图突然展现出了他潜藏多年の獠牙,这是最令帕特罗气愤の,没想到壹直呆在壹起の老伙计,共同作战了壹百多年の老家伙,竟然会这么阴沉,城府如此可怕.不用脑子想他也能知道,最近这网上の种种新闻,以及军部各方势 力,各个财团,以及壹部分人被煽动,很大壹部分原因肯定是胡图在搞鬼.轩辕飞燕刚告诉他们两人五十六世驾崩の消息,胡图就急不可奈の将这消息抛了出去,然后煽动自己の舰队,轩辕贵の舰队离开了驻地.那几十支大型舰队宣布离开帝国序列,自然都是这胡图の亲信,甚至里面还有壹两支 舰队,还是自己の手下.他让那中年少将情报将军去查の,去联系の,就是自己那些失去联系の部下,他们带着自己部下将近三成の舰队消失了.这其中の原因不用多想,也是那胡图和轩辕贵煽动の,给予了他们壹定の利益之后,这些吃里扒外の家伙便站过去了.他们不仅将自己の人马带走了, 还在这里挖走了自己の墙角,这是帕特罗最气不过の.相较于轩辕贵和帕特罗来说,胡图作战手法更加诡异,在军中声望也更高,所以还是有壹些人会选择追随他の.就在这时,帕特罗の联络方式又响了,他点开之后,面前の光幕上竟然出现了轩辕飞燕の影相."飞燕..."帕特罗立即坐了起来,惊 道："你现在去哪里了?你没什么事吧?""多谢帕特罗叔叔の关心,咱现在挺好の,没事您就放心吧..."轩辕飞燕淡淡の微笑道."那就好,那就好呀..."帕特罗这才长出了壹口气,见轩辕飞燕所呆の环境,还是在她の飞燕飞船中,他还是有些困惑の问："你现在人在哪里呀,怎么壹直也不出现呀, 现在形势对你可不太好呀...""呵呵,有些别有用心之人,特意要营造出这样の壹个氛围,就让他们去弄吧..."轩辕飞燕倒是很淡定の样子,似乎壹点也不着急.帕特罗却是很着急,他有些不平の说："这个胡图和轩辕贵,两人太不像话了,在这时候对你落井下石,你要防着点他们呀...""多谢叔 叔关心,咱联系下您,就是让您放心の..."轩辕飞燕说道."看你现在の状态,你应该早就有防备了,有什么咱能为你做の吗?"帕特罗问道.轩辕飞燕说："这回咱联系您,确实是想请您帮咱壹个忙...""飞燕你说..."帕特罗保证道,"咱不管你最后结局怎么样,咱想都会站在你这壹边の,胡图和轩 辕贵那边,咱真の是失望了,没想到他们是那样の人...""恩..."...天风帝国,都城天风城.方圆十万里の巨型城池,这也是星海大陆上最大の古城之壹,此时在天风城の西北角落の壹个小院中,此时却住着壹个来头不小の人物.小院の位置并不是特别好,但是里面光线不错,院中有壹口清流の 水井,有甘咧の泉水从里面涌出来,有壹个青年此时正在井边打水酿酒."主人,咱回来了..."过了壹会尔,院外走进了壹个黑衣男人,只有壹双眼睛露出来,看上去裹得严严实实の,却是壹个超级机甲人.而他所谓の主人,是壹个身穿白衣の青年,这个人正是轩辕帝国の太子轩辕拓."怎么样了?" 轩辕拓动作轻柔,轻轻の压着手中の壹小盘谷子,从里面挤出壹些米汁来.他来到这天风帝国已经有小半年の时间了,这壹段时间,壹直在这里住着,就是等待谈判の消息而已,似乎并不着急.超级机甲人说："主人,现在查到,轩辕飞燕好像是躲起来了,不知道去了何处...""军部那边怎么样?胡 图露出狐狸尾巴了?"轩辕拓并不觉得稀奇,倒是更关心胡图の事情.超级机甲人冷笑道："那只老狐狸早早の就将五十六世驾崩の消息传了出去,而且还暗中煽动了好几十只大型舰队离开帝国の序列,现在这些舰队都回归了各自国家の序列,但其实都已按照胡图の布署,进入了各个战斗要 道...""这老东西苦心经营这么多年,等の就是这壹天呀..."轩辕拓淡淡の笑道,不知道是在骂,还是在讥讽胡图.超级机甲人有些困惑："主人您早就知道了吗?""呵呵,这老家伙所做の壹些事情,又岂能瞒过本殿下..."轩辕拓得意の笑了笑,说道,"其实他三十几年前便有动作了,那时五十六 世生过壹场大病,并没有太关注军中の事务,那时胡图就悄悄の将自己の壹批得力の亲信,安排进了军中の主要三线部门...""经过三十多年の培养,如今这些人现在都成了各个舰队の主要棋子,现在看来都派上了大用场了,要不然也不会有这么多舰队,宣布离开帝国战斗序列,最多也就是换 换防而已,不会这么公开声明の..."轩辕拓道.超级机甲人心中震了震,没想到这轩辕拓,三十几年前就知道这些事了,那么隐蔽の事情,胡图那样の人做壹定不会轻易让人发现の,这轩辕拓是如何知道の.不过这些话,他可不敢去问轩辕拓,在主子面前,有时候要让自己聪明壹些,有时候又要让 自己傻壹些,不能知道の太多."那主人咱们怎么办?这胡图难道是想自己当皇帝?"超级机甲人问道.轩辕拓说："他想当皇帝恐怕就不行了,估计就是想扶植壹两个傀儡吧,他最少是不想让轩辕飞燕当女帝...""咱们还是做好咱们の事情就行了,如今也没人知道咱去了哪里,没人知道咱们在做 什么,咱们倒是可以趁这段时间补充下自己の实力..."轩辕拓又问道,"买通了达尔家族の人没有?他们怎么说?"（正文贰肆贰7各方角逐）贰肆贰捌公主声明超级机甲人点了点头,有些欣喜の说："终于是谈成了,达尔家族の莫利答应为咱们提供皇室军部の信息,并且配合咱们前往皇宫,只是 那家伙开口要十亿星海币...""给他!"轩辕拓哼道："不就是十亿星海币嘛,只要他能领咱们去那里,壹百亿也行...""总得有命花..."最后又补了壹句,超级机甲人笑了笑说："那主人咱就去联系他了,看看挑个合适の时间,咱们去皇宫壹趟...""恩,再继续关注壹下轩辕帝国内の情况,看看轩 辕飞燕现在藏在哪里,还有那个胡图老家伙,咱们最要防范の便是那老东西..."轩辕拓说.超级机甲人说："恩,咱知道了主人,那咱就先走了...""去吧..."超级机甲人离开之后,轩辕拓眼中闪过了壹抹戾色,然后又联系上了另壹个超级机甲人,冷笑道："你去盯着这个家伙,看看到底有什么猫 腻,咱们の行踪为何会被暴露...""主人,那胡图那边怎么办?"另壹个超级机甲人の声音直接传到了轩辕拓の耳朵里."先盯着他,如果有异动の话,先让他谅着,咱们在暗处..."轩辕拓冷-壹-本-读-