九年级数学下册第2章二次函数2二次函数的图象与性质第2课时作业课件新版北师大版
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北师大版九年级数学下册.2二次函数的图象与性质课件
3
y 2x2
y 2x 2 1 向上
y轴
(0,1) 当x=0时， y随x的增 ymin 1 大而增大
y随x的增 大而减小
-4 -2
o2 4
y 2x2 1
x y 2x 2 1 向上
y轴
(0,-1)
当x=0时， ymin 1
y随x的增 大而增大
y随x的增 大而减小
任务二：二次函数 y ax 2 c 的图象与性质（指向目标二） 二次函数 y ax2与 y ax 2 c 的图象的关系： 二次函数 y ax 2 c 的图象可以由 y ax2 的图象平移得到：
任务一：二次函数 y ax2的图象与性质（指向目标一）
猜想：二次函数 y 1 x2 ，y 2x 2 ，y x 2 的图象是什么样的呢？ 2
其开口大小与a又有什么关系呢？
y
-4 -2 0 2 4 x
当a<0时，a越小，开口越小.
-3
y 1 x2 2
-6
y -92x 2 y x2
总结： a决定了抛物线的开口方向和开口大 小，a>0，图象开口向上，a<0，图象 开口向下，|a|越大，开口越小.
x<0递减 x>0递增
x<0递增 x>0递减
任务一：二次函数 y ax2的图象与性质（指向目标一） 画二次函数 y 2x 2的图象. 1.列表：完成下表：
x ··· -2 -1 0 1 2 ··· y ··· 8 2 0 2 8 ···
坐标
(-2,8) (-1,2) (0,0) (1,2) (2,8)
答案：1m > 1 2m < 2 3m 1或m 3 4m 2
2
评价标准： 答案正确加4分.
(名师整理)最新数学北师大版九年级下册第2章第2节《二次函数的图像与性质》精品课件
(3开)y口=-向5x下2+80x直-3线19x(=代8入法()8, 1)
2.当火箭被竖直向上发射时,它的高度 h (m) 与时间 t(s) 的 关系可以用公式 h=-5t2+150t+10表示,经过多长时间,火箭 到达它的最高点？最高点的高度是多少？
3※若二1次5s函数y=x2+bx+5 配方后11为35ym=(x-2)2+k,
图象开口
，对称轴是
，
向上
直线x=-3
顶点坐标是
，当x=
时,y有
最
值是 (-3,-5。)
-3
小
-5
生活中的数学
3.某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA，
O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的两个旋转喷头向外喷水，水流在各
个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任意平面上，抛物线
?
用配方法求二次函数y=2x2-8x+7图象的 对称轴和顶点坐标。
题后反思： 1.选择最优的解题方法 2.用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式的步骤：
①提二次项系数； ②配方； ③化简
用配方法确定下列二次函数图象的对称轴
和顶点坐标。
(1) y=3x2-6x+7
(2) y=-2x2-12x+8
求二次函数y=ax²+bx+c图象的对称轴和顶点坐标．
对称轴：直线x=h
顶点坐标 : (h,k)
②公式法
对称轴：直线 x=- b 2a
③代入法
顶点坐标 : (- b ，4ac-b2 ) 2a 4a
通过本节课的学习， 你掌握了哪些知识… 应用了哪些数学思想方法…
北师大版九年级数学下册：2.2 二次函数的图象与性质 课件(共23张PPT)
（2）y=-3x2与y=-0.5x2 （3）y=-2x2+2与y=-4x2+2
2、下列每组函数中，后一个函数的图象经 过怎样的变换可以得到前一个函数的图象？
（1）y=-3x2与y=3x2 （2）y=0.3x2-2与y=0.3x2
（4）y=-5x2+6与y=5x2-1
3、如图，函数y=﹣ax2与y=ax+a的图象 在同一坐标系中可能是（ ）
北师大版数学九年级下册第二章
2.2二次函数的图象与性质
问题1：什么是二次函数？
问题2：如何画出二次函数y=x2 与 y=﹣x2的图象？它们的图象有什么特 点？
形状 开口方向 对称轴
顶点
问题1：什么是二次函数？
问题2：如何画出二次函数y=x2 与 y=﹣x2的图象？它们的图象有什么特 点？ 问题3：接下来，研究什么类型的二 次函数呢？
同一坐标系中可能是（ ）
A． B． C． D． 3、利用图形计算器将函数 y = x2的图象左右 平移，猜测函数表达式如何变化？为什么？
谢谢大家！
函数
y=ax2
图象
a>0
a<0
开口
向上
向下
对称轴
y轴
y轴
顶点
（0,0）
（0,0）
a决定了图象的开口大小
函数
图象
开口 对称轴
顶点
y=ax2+c
a>0 向上 y轴 （0,c）
2. 改变y=2x2+c中的c值，猜测图象如何 变化，利用图形计算器验证自己的想法， 比较异同，思考原因，总结共性. 3. 思考y=ax2+c与y=ax2的图象有什么关 系？
动态验证
函数
2、下列每组函数中，后一个函数的图象经 过怎样的变换可以得到前一个函数的图象？
（1）y=-3x2与y=3x2 （2）y=0.3x2-2与y=0.3x2
（4）y=-5x2+6与y=5x2-1
3、如图，函数y=﹣ax2与y=ax+a的图象 在同一坐标系中可能是（ ）
北师大版数学九年级下册第二章
2.2二次函数的图象与性质
问题1：什么是二次函数？
问题2：如何画出二次函数y=x2 与 y=﹣x2的图象？它们的图象有什么特 点？
形状 开口方向 对称轴
顶点
问题1：什么是二次函数？
问题2：如何画出二次函数y=x2 与 y=﹣x2的图象？它们的图象有什么特 点？ 问题3：接下来，研究什么类型的二 次函数呢？
同一坐标系中可能是（ ）
A． B． C． D． 3、利用图形计算器将函数 y = x2的图象左右 平移，猜测函数表达式如何变化？为什么？
谢谢大家！
函数
y=ax2
图象
a>0
a<0
开口
向上
向下
对称轴
y轴
y轴
顶点
（0,0）
（0,0）
a决定了图象的开口大小
函数
图象
开口 对称轴
顶点
y=ax2+c
a>0 向上 y轴 （0,c）
2. 改变y=2x2+c中的c值，猜测图象如何 变化，利用图形计算器验证自己的想法， 比较异同，思考原因，总结共性. 3. 思考y=ax2+c与y=ax2的图象有什么关 系？
动态验证
函数
北师大版九年级下册数学《二次函数的图象与性质》二次函数PPT教学课件(第2课时)
二次函数的图象与性质
第2课时
复习旧知
10
y
9
y =x2
8
7
6
二次函数是否只有y＝x2与y＝－x2
5
这两种呢?有没有其他形式的二次
3
函数？
4
2
1
–4
–3
–2
–1
O
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
–10
1
2
3
4
x
y =－x2
新知讲解
在画有y
=x2直角坐标系中，画出
=
，y
=2x2的图象.
∴此函数的关系式为y=- x +2.
（2）顶点坐标为（0,2）.
（3）当y=0时，-
2
x +2=0.
解得 = ± .
∴此抛物线与x轴交点为（ ，0）（- ，0）.
课堂小结
复习y=ax2
探索
y=ax2+c的
图象及性质
平移关系
图象的画法
描点法
平移法
图象的特征
开口方向
顶点坐标
对称轴
a>0,开口向上 y轴（直线x=0） （0,c）
（2）开口向下,对称轴为y轴,顶点为（0，-4）.
课堂练习
7.已知函数y=ax2+c的图象经过点
（1， ）和（-3，-1）.
（1）求函数的关系式；
（2）指出顶点坐标；
（3）求抛物线y=ax2+c与x轴的交点.
课堂练习
+=
解：（1）由题意，得
第2课时
复习旧知
10
y
9
y =x2
8
7
6
二次函数是否只有y＝x2与y＝－x2
5
这两种呢?有没有其他形式的二次
3
函数？
4
2
1
–4
–3
–2
–1
O
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
–10
1
2
3
4
x
y =－x2
新知讲解
在画有y
=x2直角坐标系中，画出
=
，y
=2x2的图象.
∴此函数的关系式为y=- x +2.
（2）顶点坐标为（0,2）.
（3）当y=0时，-
2
x +2=0.
解得 = ± .
∴此抛物线与x轴交点为（ ，0）（- ，0）.
课堂小结
复习y=ax2
探索
y=ax2+c的
图象及性质
平移关系
图象的画法
描点法
平移法
图象的特征
开口方向
顶点坐标
对称轴
a>0,开口向上 y轴（直线x=0） （0,c）
（2）开口向下,对称轴为y轴,顶点为（0，-4）.
课堂练习
7.已知函数y=ax2+c的图象经过点
（1， ）和（-3，-1）.
（1）求函数的关系式；
（2）指出顶点坐标；
（3）求抛物线y=ax2+c与x轴的交点.
课堂练习
+=
解：（1）由题意，得
新北师大版九年级数学下册22二次函数的图象与性质(第2课时)PPT课件
顶点坐标
对称轴
（0，0） y轴
（0，0）
y轴
位置
在x轴的上方(除顶点外) 在x轴的下方( 除顶点外)
开口方向
向上
向下
增减性 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
最值
当x=0时,最小值为0.
抛物线
y=x2－1
9
（3）抛物线y=x2+1、y=x2-1与抛物线y=x2有什么关系？ （4）它们的位置由什么决定的？
解;（3）把抛物线y=x2向上平移1个单位，就得到抛物
线y=x2+1；把抛物线y=x2向下平移1个单位，就得
到
抛物线y=x2-1.
（4）它们的位置是由+1、-1决定的.
把抛物线y=2x2向上平移5个单位，会得到哪条抛物线？
2 y
1
x2
2
有什么关系？
14
反馈检测题
1.说出下列二次函数的开口方向、对称轴及顶点坐标
(1)y=5x2 (2)y=-3x2+2
向上，y轴，（0,0) 向下，y轴，（0,2)
(3)y=8x2+6
向上，y轴，（0,6)
(4)y=-x2-4
向下，y轴，（0,-4)
2.二次函数y=24x248图象的其顶点坐标为（C ）
北师大版数学九年级下册
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图像与性质（2 ）
y=ax2+c(或y=ax2+k)
1
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前言
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二次函数的图象与性质-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
解：先列表：
x
··· －2 －1.5
－1
0
1
1.5
2
···
y =2 x2＋1 ··· 9
5.5
3
1
3
5.5
9
···
y = 2x2－1 ··· 7
3.5
1
－1
1
3.5
7
···
再描点，连线
10
问题：抛物线 y=2x2+1,y=2x2-1与
抛物线y=2x2
y = 2x2＋1
8
有什么关系？
y = 2x2－1
(2)将抛物线y= − + 先向左平移3个单位长度，
再向下平移2个单位长度，得到一个新抛物线．直
接写出新抛物线的解析式．
【详解】（1）解：∵- ＜0
∴抛物线开口方向向下
2
∵y=- x +8
∴顶点坐标为（0,8）
（2）∵将抛物线y=−
+ 先向左平移3个单位
长度，再向下平移2个单位长度，
北师大版九年级下册
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的
图象与性质
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质，学会画该函
数的抛物线；
2、掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质并会应用.
3、学会区分y=ax2和y=ax2+c的联系与区别，并且掌握这两种
即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，
x
··· －2 －1.5
－1
0
1
1.5
2
···
y =2 x2＋1 ··· 9
5.5
3
1
3
5.5
9
···
y = 2x2－1 ··· 7
3.5
1
－1
1
3.5
7
···
再描点，连线
10
问题：抛物线 y=2x2+1,y=2x2-1与
抛物线y=2x2
y = 2x2＋1
8
有什么关系？
y = 2x2－1
(2)将抛物线y= − + 先向左平移3个单位长度，
再向下平移2个单位长度，得到一个新抛物线．直
接写出新抛物线的解析式．
【详解】（1）解：∵- ＜0
∴抛物线开口方向向下
2
∵y=- x +8
∴顶点坐标为（0,8）
（2）∵将抛物线y=−
+ 先向左平移3个单位
长度，再向下平移2个单位长度，
北师大版九年级下册
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的
图象与性质
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质，学会画该函
数的抛物线；
2、掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质并会应用.
3、学会区分y=ax2和y=ax2+c的联系与区别，并且掌握这两种
即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，
2 二次函数的图象与性质(2)课件
…
18
8
2
0
2
8
18
…
(2)分别作出y=x2和y=2x2的图象．
(3)二次函数y=2x2的图象 是什么形状?它与二次函数 y=x2的图象有什么相同和 不同?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=2x2的 图象形状与y=x2 一样,仍是抛物线.
y x2
y 2x2
只是开口 大小不同.
北师大版 九年级（下）
2
倍 速 课 时 学 练
二次函数的图象与性质（2）
做一做
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质
在同一坐标系中作二次函数y=x2和y=2x2的图象． (1)完成下表：
x … … -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 … …
倍 速 课 时 学 练
y=x2 y=2x2
的性质
1.抛物线y=ax2的 顶点是原点,对称 轴是y轴. 3.当a>0时,在对称轴 的左侧,y随着x的增大 而减小；在对称轴右 侧,y随着x的增大而增 大.当x=0时函数y的值 最小.当a<0时，在对 称轴的左侧,y随着x的 增大而增大；在对称 轴的右侧,y随着x增大 而减小,当x=0时,函数 y的值最大.
倍 速 2.不同点:(1)顶点不同:分别是(0,c),(0,0). 课 (2)最值不同:分别是c和0. 时 3.联系: y=ax²+c(a≠0) 的图象可以看成y=ax² 的图象沿y轴整体平移 学 |c|个单位得到的.(当c>0时向上平移;当c<0时,向下平移). 练
习题
它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?先想一想,如果需
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小当x=0时,最小值为c.当x=0时,最大值为c.
北师九下数学2.2.1二次函数的图象与性质1二次函数y=x2图象和性质九年级下册第二章二次函数第二节课件北师版
解得a= -2,所求函数解析式为y= -2x2. （2）∵当x=-1时,y=-2· (-1)2 ≠ -4, ∴点B（-1 ，-4）不在此抛物线上.
（3）当 y=-6 时，-6=-2x2 ,得 x2=3, x=± 3, ∴纵坐标为-6 的点有两个， 它们分别是( 3,-6)与(3,-6)
第18页 2018.11
练习与提高
2、已知点A(1，a)在抛物线y = x2 上。 （1）求A的坐标； （2）在x 轴上是否存在点P，使得△OAP是等 腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在， y 说明理由。
A o
x
第19页 2018.11
练习与提高
3. y=x2图象可知，无论x取何值，y ≥ 0． y=－x2图象可知，无论x取何值，y ≤ 0．
第13页 2018.11
课 堂 小 结
二次函数y=±x2的性质 １.顶点坐标 2.对称轴 3.位置 4.开口方向 5.增减性 6.最值 y=x2
y x2
抛物线
（ 0， 0） 顶点坐标 对称轴 y轴 y轴 位置 在x轴的上方(除顶点外) 在x轴的下方( 除顶点外)
开口方向 向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
第10页 2018.11
2 -4 -3 -2 -1
-1 -2
-4 -6 -8 -10
y
2
（1）你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流. ? （3）当x<0时,随着x的值增大 -4,y 的值如何变化？当x>0呢 ？ （4）当x取什么值时,y的值最大?最大值是什么？
-6
1 2 3 4 x -1 （2）图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么 -2 -4 -3 -2 -1
北师大版九年级下册数学 2.2二次函数图象与性质 课件 (共45张PPT)
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
y=2x2
y 1 0 8 6
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
4
2
-4 -3 -2 -1 0 -2 1 2 3 4 x
二、新课讲解
当x<0 (在对称轴的左侧) 时,y随着x的增大而减小.
y=2x2
y 1 0 8
当x>0 (在对称轴的右侧)时, y随着x的增大而增大.
二、新课讲解
y=2x2
② 在直角坐标系 中描点
y 1 0 8 6 4 2 -4 -3 -2 -1 0 -2 1 2 3 4 x
③ 用光滑的曲线 连接各点，便得到
函数y=2x² 的图像
二、新课讲解
y=2x2
y 1 0 8 6
4 2
-4 -3 -2 -1 0 -2 1 2 3 4 x
二、新课讲解
(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.
当x=-2时，y=8 当x=-1时，y=2
6 4
当x=1时，y=2 当x=2时，y=8
2
抛物线y=2x2在x轴的上方(除顶 点外),顶点是它的最低点,开口 向上,并且向上无限伸展;当x=0 时,函数y的值最小,最小值是0.
-4 -3 -2 -1 0 -2
1
2
3
4 x
二、新课讲解
二次函数y=2x² 的图像 是什么形状？ 它与y=x² 的图像 有什么相同和不同？ 它的开口方向，对称轴和 顶点坐标分别是什么
(2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请 你找出几对对称点,并与同伴交流. (3)图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？ (5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何 知道的？
y=2x2
y 1 0 8 6
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
4
2
-4 -3 -2 -1 0 -2 1 2 3 4 x
二、新课讲解
当x<0 (在对称轴的左侧) 时,y随着x的增大而减小.
y=2x2
y 1 0 8
当x>0 (在对称轴的右侧)时, y随着x的增大而增大.
二、新课讲解
y=2x2
② 在直角坐标系 中描点
y 1 0 8 6 4 2 -4 -3 -2 -1 0 -2 1 2 3 4 x
③ 用光滑的曲线 连接各点，便得到
函数y=2x² 的图像
二、新课讲解
y=2x2
y 1 0 8 6
4 2
-4 -3 -2 -1 0 -2 1 2 3 4 x
二、新课讲解
(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.
当x=-2时，y=8 当x=-1时，y=2
6 4
当x=1时，y=2 当x=2时，y=8
2
抛物线y=2x2在x轴的上方(除顶 点外),顶点是它的最低点,开口 向上,并且向上无限伸展;当x=0 时,函数y的值最小,最小值是0.
-4 -3 -2 -1 0 -2
1
2
3
4 x
二、新课讲解
二次函数y=2x² 的图像 是什么形状？ 它与y=x² 的图像 有什么相同和不同？ 它的开口方向，对称轴和 顶点坐标分别是什么
(2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请 你找出几对对称点,并与同伴交流. (3)图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？ (5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何 知道的？
二次函数的图象与性质 第2课时 二次函数y=ax2+c的图象与性质 课件 数学北师大版九年级下册
（ B ）
A. 顶点相同
B. 对称轴相同
C. 开口方向相同
D. 顶点都在 x 轴上
2. 若抛物线 y ＝ x2＋3上有三点 A （1， y1）， B （5，
y2）， C （－2， y3），则 y1， y2， y3的大小关系为
（ B ）
A. y2＜ y1＜ y3
B. y1＜ y3＜ y2
C. y2＜ y3＜ y1
2
如图，二次函数 y ＝－ x ＋2的图象与 x 轴、 y 轴分
4.
别交于点 A ， B ， C .
（1）直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴；
解：（1）抛物线的顶点坐标为（0，2），
对称轴为 y 轴.
（第4题）
（2）若y的值随x的值的增大而减小，求x的取值范
围；
解：（2）由图象可知，若 y 的值随 x 的值
入 y ＝ ax2＋ c ，
= ，
＋ = ，
得ቊ
解得ቊ
= .
＋ = ，
∴抛物线的表达式为 y ＝ x2＋2.
令 x ＝0，则 y ＝2，∴点 C （0，2）.
∵ BE ⊥ x 轴，点 B （2，6），∴点 E （2，
0）.
∴直线 AE 的表达式为 y ＝－ x ＋2.
令 x ＝0，则 y ＝2，
当 x ＜0 时， y 的值随 x 值的增大而减小；
（2）抛物线 y ＝ ax2＋ b 的形状与函数 y ＝2 x2的图象的
形状相同，开口方向相反，与 y 轴交于点（0，－2），
2－2
y
＝－2
x
则该抛物线的表达式为
；
（3）已知点（－9， y1），（4， y2），（－2， y3）都
北师大版九年级下册二次函数的图象与性质 课件(20张)
列表
v
100 00 240 4106 6306 8604 100
0 8 32 72 128 200
新知探究 合作探究：
都在S轴的右侧（答案 不唯一）.
s/m
112 96 80 64 48 32 16
O 20 40 60 80 100 120 v/(km/h)
新知探究
2.如果行车速度是60km/h，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比刹车距离相差
多少米？你是怎么知道的？ 解：如图，S=S雨-S晴
=36(m).
s/m
112 96 80 64 48 32 16
O 20 40 60 80 100 120 v/(km/h)
新知探究
3.在某一个雨天，有一个司机在限速为30km/h的路口停了下来，这时过来一 个警察告诉他超速驾驶了，可他说没有，如果他的刹车距离为32m,你认为他
y=x²
新知探究
做一做: 在下列平面直角坐标系中， 作出y=-x²及y=-2x²的图象.
x -2 -1 0 y=-2x2 -8 -2 0 y=-x2 -4 -1 0
12 -2 -8 -1 -4
问题：它们与二次函数y=x²和 y=2x²的图象又有什么异同？
y y=2x12 0
y=x2
8
6
4
2
-4 -2 O 2 4 x
y=-2x2
y=-x2
新知探究
【解析】
函数 图象形状 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2x2 抛物线 向上
抛物线 向上
y=x2 y=-2x2 抛物线 向下 y=-x2 抛物线 向下
y轴 （0，0） y轴 （0，0） y轴 （0，0） y轴 （0，0）
新知探究
北师大版九年级数学下册2.2二次函数的图像与性质课件
二次函数性质总结
二次函数的增减性
当 $a > 0$ 时，在对称轴左侧，函数值随 $x$ 的增大而 减小；在对称轴右侧，函数值随 $x$ 的增大而增大。当 $a < 0$ 时，情况相反。
二次函数的最大值和最小值
当 $a > 0$ 时，二次函数有最小值，且最小值为顶点的纵 坐标；当 $a < 0$ 时，二次函数有最大值，且最大值为顶 点的纵坐标。
THANKS
感谢观看
$B(2,0)$ 和 $C(3,4)$，求该二次 函数的解析式。
例题2
已知二次函数 $y = x^2 - 2x - 3$ ，求该函数图像的顶点坐标和对称 轴方程。
例题3
已知二次函数 $y = 2x^2 - 4x - 1$ ，判断该函数图像与 $x$ 轴的交点 情况。
解题思路与方法总结
01
对于已知图像上三个点的二次函数求解析式问题，可以通过设一般式或交点式 进行求解，利用待定系数法确定系数。
02
当函数图像沿y轴向上（下）平移 h个单位时，函数表达式中的y替 换为y+h（y-h）。
对称变换规律
当函数图像关于x轴 对称时，函数表达式 中的y替换为-y。
当函数图像关于原点 对称时，函数表达式 中的x和y分别替换为 -x和-y。
当函数图像关于y轴 对称时，函数表达式 中的x替换为-x。
伸缩变换规律
二次函数的顶点坐标 $(- frac{b}{2a}, c - frac{b^2}{4a})$ 与一元二次方程的解有密切关系，当 $Delta = b^2 - 4ac > 0$ 时，顶点在x轴下方，方程有两个不相等的实根；当 $Delta = 0$ 时，顶 点在x轴上，方程有两个相等的实根；当 $Delta < 0$ 时，顶点在x轴上方，方程无实根。
九年级下册数学课件(北师版)二次函数的图象与性质 第二课时
2
数y=-2x2+
1 2
的图象有什么关系?
1.y=3x2- 1 的图象：
2
由y=3x2的图象向下平移
1 个单位得到
2
开口方向：向上
对称轴：y轴
顶点坐标：（0，-
1）
2
y=3x2 y=3x2- 1
2
2. y=-2x2- 1 的图象：
2
由y=-2x2+
1
的图象向下平移1个单位得到.
2
1
y=-2x2+ 2
对称轴：y轴
当x＜0时，y随x的增大而减小，
当x＜0时，y随x的增大而减小，
（2）函数的最值：y最小值=4
随堂练习
1.二次函数y=3x2-
1 2
的图象与二次函数
y=3x2的的开口方向、对称轴、
顶点坐标分别是什么？画图看一看.
2.二次函数y=-2x2-
1 的图象与二次函
最值： 当x=0时，y取得最小值 y最小值=0
归纳
函数y=ax2（a＜0）的图象与性质 图象：
开口方向：__向__下__， 对称轴：__y_轴__. 顶点坐标：__（_0_,_0_）__.
归纳
增减性： x＜0时，y随x的增大而增大 x＞0时，y随x的增大而减小
最值： 当x=0时，y取得最大值 y最大值=0
画出二次函数y=2x2+1的图象
y=2x2+1 y=2x2
二次函数y=2x2+1的图象的开口方向、对称轴、
顶点坐标分别是什么？它与二次函数y=2x2的图象有
什么关系？
y=2x2+1的图象：
y=2x2+1 y=2x2
由y=2x2的图象向上平移1
数y=-2x2+
1 2
的图象有什么关系?
1.y=3x2- 1 的图象：
2
由y=3x2的图象向下平移
1 个单位得到
2
开口方向：向上
对称轴：y轴
顶点坐标：（0，-
1）
2
y=3x2 y=3x2- 1
2
2. y=-2x2- 1 的图象：
2
由y=-2x2+
1
的图象向下平移1个单位得到.
2
1
y=-2x2+ 2
对称轴：y轴
当x＜0时，y随x的增大而减小，
当x＜0时，y随x的增大而减小，
（2）函数的最值：y最小值=4
随堂练习
1.二次函数y=3x2-
1 2
的图象与二次函数
y=3x2的的开口方向、对称轴、
顶点坐标分别是什么？画图看一看.
2.二次函数y=-2x2-
1 的图象与二次函
最值： 当x=0时，y取得最小值 y最小值=0
归纳
函数y=ax2（a＜0）的图象与性质 图象：
开口方向：__向__下__， 对称轴：__y_轴__. 顶点坐标：__（_0_,_0_）__.
归纳
增减性： x＜0时，y随x的增大而增大 x＞0时，y随x的增大而减小
最值： 当x=0时，y取得最大值 y最大值=0
画出二次函数y=2x2+1的图象
y=2x2+1 y=2x2
二次函数y=2x2+1的图象的开口方向、对称轴、
顶点坐标分别是什么？它与二次函数y=2x2的图象有
什么关系？
y=2x2+1的图象：
y=2x2+1 y=2x2
由y=2x2的图象向上平移1
北师大版九年级下册二次函数的图象与性质 课件(21张)
D.第四象限
5．已知二次函数y=(x-2a)2+a-1(a为常数），
Ox
当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物
线系”．右图分别是当a=-1, a=0, a=1,
a=2时二次函数的图象.它们的顶点在同一条
直线上，这条直线的解析式y
1 2
x
1
是
.
新知探究
例题 :
如图，桥梁的两条钢缆 具有相同的抛物线形状 ，而且左、右两条抛物 线关于y轴对称. 按照图中的直角坐标系 ，左面的一条抛物线可 以用y 9 x2 9 x 10表示.
400 10
y/m 10
桥面 -5 O 5
x/m
(1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ (2)两条钢缆最低点之间的距离是多少？ 你有哪些计算方法？与同伴进行交流.
A.1
B.2
C.3
D.4
3．若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=(x-2)2+k,则b,k的值分别为（ D）
A. 0，5
B. 0，1
C. -4，5
D. -4，1
课堂小测
4．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+a的图象不经过( D )
A.第一象限
B.第二象限
y
C.第三象限
九年级数学北师版·下册
第二章 二次函数
2.2.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
授课人：XXXX
教学目标
1.经历探索y=ax2+bx+c的图象特征，会用配方法求其对称轴、顶点坐标公 式.（重点） 2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决一些数学问题.（难点）
九年级数学下册 第二章 第二节 二次函数的图象与性质课件2 (新版)北师大版
y y 2x2 1 y 2x2
二次函数y=-2x2+1的 图象(tú xiànɡ)形状与y=-2x2
一样,仍是抛物线. 顶点(dǐngdiǎn)不同,分别是 原点(0,0)和(0,1).
位置不同; 最大值不同:
分别是1和0..
二次项系数为-2,开口向下; 开口大小(dàxiǎo)相同;对称轴都是 y轴;增减性与也相同.
对称轴
y轴
位置 开口方向
当c>0时,在x轴的上方(经过一,二象限); 当c<0时,与x轴相交(经过一,二三四象限).
向上
y=ax2 +c(a<0)
（0，c）
y轴
当c<0时,在x轴的下方(经过三,四象限); 当c>0时,与x轴相交(经过一,二三四象限).
向下
增减性
最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对 称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
想一想,二次函数y=ax2+c和y=ax2的图象和性质?
第九页，共15页。
议一义
我思，我进步(jìnbù)
在同一坐标系中作出二次函数(hánshù)y=3x²-1的图象 与二次函数(hánshù)y=3x²的图象.
二次函数y=3x²一l的图象与二次函数y=3x²的图象有什么关 系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点 (dǐngdiǎn)坐标分别是什么?
第十页，共15页。
二次函数y=3x2-1的图象是
什么形状?它与二次函数
y=3x2的图象有什么相同和
不同?它的开口方向、对称轴
y 3x2
和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=3x2+1的 图象(tú xiànɡ)形状与y=3x2
九年级下册数学课件-2.2《二次函数的图象与性质》(2) 北师大版
2
向、对称轴和顶点坐标分别是什么？当x取哪些值时，y的值随着x值的增
大而增大？当x取哪些值时，y的值随着x值的增大而减小？
（4）类似地，你能发现二次函数 y 2 x 1 的图象与二次函数 y 2x2 的图象
2
有什么关系吗？
【合作互动】
一般地，平移二次函数 y ax 的图象便可得到二次函数 y a x h k 的图
y 1 2 x 2
的图象是什么形状？它们与二次函数的图象
有什么相同和不同？它们的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
【合作互动】
追问1：如果画二次函数 y 2x2 1 的图象，你是怎样画的？与同伴交流． 追问2：二次函数 y 2x2 的图象二次函数 y 2x2 1 的图象有什么关系？它 是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？二次
1、教科书习题2.5第1题，第2题．（必做题） 2、教科书习题2.5第3题，第4题．（选做题）
2
2
b 4ac b2 2 解： y ax bx c a x 2a 4a
．
x b 2a
因此，二次函数图象的对称轴是直线
b 4ac b 2 （ ， 4a ）． 2a
，顶点坐标是
【内化导行】
学生练习2：如图，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，按照图中的直角
函数的图象呢？
【合作互动】
问题6 画二次函数 y 2 x 1 图象．
2
（1）完成下表：
x
观察上表，你能发现 2 x 与 2 x 1 的值有什么关系？
2
2Leabharlann 【合作互动】（2）在下图中画出 y 2 x 1 的图象．你是怎么画的？与同伴交流．
向、对称轴和顶点坐标分别是什么？当x取哪些值时，y的值随着x值的增
大而增大？当x取哪些值时，y的值随着x值的增大而减小？
（4）类似地，你能发现二次函数 y 2 x 1 的图象与二次函数 y 2x2 的图象
2
有什么关系吗？
【合作互动】
一般地，平移二次函数 y ax 的图象便可得到二次函数 y a x h k 的图
y 1 2 x 2
的图象是什么形状？它们与二次函数的图象
有什么相同和不同？它们的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
【合作互动】
追问1：如果画二次函数 y 2x2 1 的图象，你是怎样画的？与同伴交流． 追问2：二次函数 y 2x2 的图象二次函数 y 2x2 1 的图象有什么关系？它 是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？二次
1、教科书习题2.5第1题，第2题．（必做题） 2、教科书习题2.5第3题，第4题．（选做题）
2
2
b 4ac b2 2 解： y ax bx c a x 2a 4a
．
x b 2a
因此，二次函数图象的对称轴是直线
b 4ac b 2 （ ， 4a ）． 2a
，顶点坐标是
【内化导行】
学生练习2：如图，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，按照图中的直角
函数的图象呢？
【合作互动】
问题6 画二次函数 y 2 x 1 图象．
2
（1）完成下表：
x
观察上表，你能发现 2 x 与 2 x 1 的值有什么关系？
2
2Leabharlann 【合作互动】（2）在下图中画出 y 2 x 1 的图象．你是怎么画的？与同伴交流．