2016届数学一轮(理科)人教A版配套课时作业 第十二章 概率、随机变量及其分布 12-5

第5讲 二项分布与正态分布基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·新课标全国Ⅱ卷)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45解析 记事件A 表示“一天的空气质量为优良”，事件B 表示“随后一天的空气质量为优良”，P (A )＝0.75，P (AB )＝0.6，由条件概率公式P (B |A )＝P （AB ）P （A ），可得所求概率为0.60.75＝0.8. 答案 A2．(2015·郑州一模)设随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则P (X ＝3)等于( )A.516B.316C.58D.38解析 X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，由二项分布可得，P (X ＝3)＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝516. 答案 A3．(2015·南充诊断)已知随机变量X 服从正态分布N (2，32)，且P (X <1)＝0.30，则P (2<X <3)等于( )A ．0.20B ．0.50C ．0.70D ．0.80解析 因为该正态密度曲线的对称轴方程为x ＝2，∴P (X >3)＝P (X <1)＝0.3，∴P (1<X <3)＝1－P (X >3)－P (X <1)＝1－2×0.3＝0.4，∴P (2<X <3)＝12P (1<X <3)＝0.20. 答案 A4．(2015·福州模拟)甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为( )A.34B.23C.45D.710解析 设甲命中目标为事件A ，乙命中目标为事件B ，丙命中目标为事件C ，则击中目标表示事件A ，B ，C 中至少有一个发生．又P (A －·B －·C －)＝P (A －)·P (B －)·P (C －)＝[1－P (A )]·[1－P (B )]·[1－P (C )]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14.∴击中的概率P ＝1－P (A －·B －·C －)＝34. 答案 A5．(2015·天津南开调研)一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于( )A ．C 1012⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582B ．C 912⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫58238 C ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫582⎝ ⎛⎭⎪⎫382D ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582 解析 由题意知第12次取到红球，前11次中恰有9次红球2次白球，由于每次取到红球的概率为38， 所以P (X ＝12)＝C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389×⎝ ⎛⎭⎪⎫582×38. 答案 D 二、填空题6．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________． 解析 设该队员每次罚球的命中率为p ，其中0<p <1， 则依题意有1－p 2＝1625，p 2＝925，又0<p <1，∴p ＝35. 答案 357．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．解析 设种子发芽为事件A ，种子成长为幼苗为事件B (发芽又成活为幼苗)． 依题意P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9.根据条件概率公式P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72. 答案 0.728．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．解析 设元件1，2，3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A ，B ，C ，显然P (A )＝P (B )＝P (C )＝12，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(AB －＋A －B ＋AB )C ，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率 P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12＋12×12＋12×12×12＝38.答案 38 三、解答题9．某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； (2)求中奖人数X 的分布列．解 (1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A ，B ，C ，且相互独立，那么A ，B －，C －相互独立．又P (A )＝P (B )＝P (C )＝16，∴P (A ·B －·C －)＝P (A )P (B －)P (C －)＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫562＝25216，即甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为25216. (2)X 的可能取值为0，1，2，3，且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，16，∴P (X ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫16k ⎝ ⎛⎭⎪⎫563－k(k ＝0，1，2，3)． 则P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫160⎝ ⎛⎭⎪⎫563＝125216，P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫161⎝ ⎛⎭⎪⎫562＝2572，P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫162⎝ ⎛⎭⎪⎫561＝572，P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫163⎝ ⎛⎭⎪⎫560＝1216， 所以中奖人数X 的分布列为10.(2014·陕西卷)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(1)设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列；(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率．解 (1)设A 表示事件“作物产量为300 kg ”，B 表示事件“作物市场价格为6元/kg ”，由题设知P (A )＝0.5，P (B )＝0.4， 因为利润＝产量×市场价格－成本， 所以X 所有可能的取值为500×10－1 000＝4 000，500×6－1 000＝2 000， 300×10－1 000＝2 000，300×6－1 000＝800.P (X ＝4 000)＝P (A －)P (B －)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P (X ＝2 000)＝P (A －)P (B )＋P (A )P (B －)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P (X ＝800)＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2， 所求X 的分布列为(2)设C i 表示事件“第i 季利润不少于2 000元”(i ＝1，2，3)， 由题意知C 1，C 2，C 3相互独立，由(1)知，P (C i )＝P (X ＝4 000)＋P (X ＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i ＝1，2，3)， 3季的利润均不少于2 000元的概率为 P (C 1C 2C 3)＝P (C 1)P (C 2)P (C 3)＝0.83＝0.512； 3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为P (C －1C 2C 3)＋P (C 1 C －2C 3)＋P (C 1C 2 C －3)＝3×0.82×0.2＝0.384， 所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为 0．512＋0.384＝0.896.能力提升题组(建议用时：25分钟)11．设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥2)的值为( ) A.3281B.1127C.6581D.1681解析 P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 12p (1－p )＋C 22p 2＝59，解得p ＝13(0≤p ≤1，故p ＝53舍去)．故P (Y ≥2)＝1－P (Y ＝0)－P (Y ＝1)＝1－C 04×⎝ ⎛⎭⎪⎫234－C 14×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝1127.答案 B12．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：a n ＝⎩⎨⎧－1，第n 次摸取红球，1，第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )A ．C 57⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫235B ．C 27⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫135C ．C 57⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫135D ．C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫235解析 S 7＝3即为7次摸球中，有5次摸到白球，2次摸到红球，又摸到红球的概率为23，摸到白球的概率为13.故所求概率为P ＝C 27⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫135.答案 B13．某射手每次击中目标的概率是23，各次射击互不影响，若规定：其若连续两次射击不中，则停止射击，则其恰好在射击完第5次后停止射击的概率为________．解析 由题意该射手第四、五次未击中，第三次击中，第一、二次至少有一次击中，由于互为不影响，所以所求概率为P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝16243.答案 1624314．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率； (2)求该射手的总得分X 的分布列．解 (1)记“该射手恰好命中一次”为事件A ，“该射手射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D ，由题意知P (B )＝34，P (C )＝P (D )＝23，由于A ＝BC － D －＋B －C D －＋B － C－D ，根据事件的独立性和互斥性得P (A )＝P (BC －D －＋B －CD －＋B －C －D )＝P (BC －D －)＋P (B －C D －)＋P (B －C －D )＝P (B )P (C －)P (D －)＋P (B －)P (C )P (D －)＋P (B －)P (C －)P (D )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝736.(2)根据题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5， 根据事件的独立性和互斥性得P (X ＝0)＝P (B －C －D －)＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝136， P (X ＝1)＝P (BC －D －)＝P (B )P (C －)P (D －) ＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝112，P (X ＝2)＝P (B －C D －＋B －C －D )＝P (B －CD －)＋P (B －C －D )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝19， P (X ＝3)＝P (BCD －＋BC －D )＝P (BCD －)＋P (BC －D )＝34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝13，P (X ＝4)＝P (B －CD )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×23＝19，P (X ＝5)＝P (BCD )＝34×23×23＝13.故X 的分布列为。