推荐高中数学2.3圆的方程2.3.2圆的一般方程预习导学案新人教B版必修2
高中数学2.3.1圆的标准方程教案新人教B版必修2
《圆的标准方程》教学设计一、教材分析1、教学内容人教B版教科书《数学》必修2第二章平面解析几何初步中2﹒3节圆的方程。
本节主要研究圆的标准方程、一般方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，以及他们在生活中的简单运用。
2、教材的地位与作用圆是最简单的曲线之一，这节教材安排在学习了直线之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论为后继学习作好准备。
同时有关圆的问题，特别是直线与圆的位置问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法。
应此教学中应加强练习，使学生确实掌握这单元的知识和方法。
本课是单元的第一课，和直线方程一样，教学中先设计一个问题情景，让学生讨论，并引导学生观察圆上点在运动时，不变的是什么，抓住圆的本质，突破难点。
3、三维目标（1）知识与技能：掌握圆的标准方程的形式；能够根据题目给定条件求圆的标准方程；能够根据圆的标准方程找到圆心和半径。
（2）过程与方法：加深对数形结合思想和待定系数法的理解；增强应用数学的意识。
（3）情感、态度、价值观：培养主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学习兴趣，从而培养勤于思考、勤于动手的良好品质。
4．教学重点圆的标准方程的推导以及根据条件求圆的标准方程5. 教学难点根据条件求圆的标准方程。
二．教法分析高一学生，在老师的引导下，已经具备一定探究与研究问题的能力。
所以在设计问题时应考虑周全和灵活性，采用启发式探索式教学，师生共同探讨，共同研究，让学生积极思考，主动学习。
在教学过程中采用讨论法，向学生提供具备启发式和思考性的问题。
因此，要求学生在课上讨论，提高学生的探索，推理，想象，分析和总结归纳等方面的能力。
三、学法分析从高考发展的趋势看，高考越来越重视学生的分析问题、解决问题的能力。
因此，要求学生在学习中遇到问题时，不要急于求成，而要根据问题提供的信息回忆所学知识，涉及到转化思想，数形结合的思想，应用平面解析几何的相关知识。
新高中数学2-3圆的方程2-3-1圆的标准方程2-3-2圆的一般方程自主训练新人教B版必修2
新高中数学2-3圆的方程2-3-1圆的标准方程2-3-2圆的一般方程自主训练新人教B 版必修2 圆的标准方程2.3.2 圆的一般方程自主广场我夯基 我达标1.下列方程中表示圆的是( )A.x 2+y 2-2x+2y+2=0B.x 2+y 2-2xy+y+1=0C.x 2+2y 2-2x+4y+3=0D.x 2+y 2+4x-6y+9=0思路解析:题中的4个选项都是二元二次方程，一个二元二次方程是否表示圆，要判断它是否同时满足以下这三个条件：(1)x 2、y 2项的系数相等且不为零，即A=C≠0;(2)没有xy 项，即B=0;(3)D 2+E 2-4F ＞0.根据这三个条件对每一个方程进行判断.因为选项A 中D 2+E 2-4F=4+4-8=0，所以选项A 不正确；因为选项B 中有-2xy 项，所以选项B 也不正确；因为选项C 中两个平方项的系数一个等于1，另一个等于2，不满足A=C 的条件，所以选项C 也不正确；选项D 同时满足这三个条件，所以选项D 是正确的.因此，选D.答案：D2.已知方程x 2+y 2-2kx+2k+3=0表示圆,则k 的取值范围是( )A.(-∞,-1)B.(3,+∞)C.(-∞,-1)∪(3,+∞)D. ∅思路解析:利用D 2+E 2-4F ＞0就可求得k∈(-∞,-1)∪(3,+∞).答案：C3.已知圆C 的方程为f(x ，y)=0，点A(x 0，y 0)是圆外的一点，那么方程f(x ，y)-f(x 0，y 0)=0表示的曲线是( )A.与圆C 重合的圆B.过点A 与圆C 相交的圆C.过点A 且与圆C 同心的圆D.可能不是圆思路解析:此题所给出的圆的方程是一个抽象的方程，实际上，我们只学习了两种圆的方程，完全可以分别用两种方程来分析这道题.这里还基于一个结论：圆外的点的坐标代入圆的方程后，方程就变成了不等式.因为点A(x 0，y 0)是圆外的一点，所以f(x 0，y 0)＞0，由方程f(x ，y)-f(x 0，y 0)=0,得f(x ，y)=f(x 0，y 0)，不妨设圆C 的方程f(x ，y)=0为方程(x-a)2+(y-b)2-r 2=0，则方程f(x ，y)=f(x 0，y 0)即为(x-a)2+(y-b)2=r 2+f(x 0，y 0)，此方程表示的正是过点A 且与圆C 同心的圆.因此，选C.答案：C4.圆(x+2)2+y 2=5关于原点(0，0)对称的圆的方程为( )A.(x-2)2+y 2=5B.x 2+(y-2)2=5C.(x+2)2+(y+2)2=5D.x 2+(y+2)2=5思路解析:求圆关于某点或直线的对称图形的方程,主要是求圆心关于点或直线的对称点.求出圆心(-2,0)关于(0,0)的对称点为(2,0).答案：A5.设P(x ，y)是曲线x 2+(y+4)2=4上任意一点，则22)1()1(-+-y x 的最大值为( ) A.26+2 B.26 C.5 D.6思路解析:此题的解题关键是要能从观察式子22)1()1(-+-y x 的特征中产生联想，即这个式子的几何意义是什么. 因为式子22)1()1(-+-y x 的几何意义是点P(x ，y)与点(1，1)之间的距离，又因为P(x ，y)是曲线x 2+(y+4)2=4上任意一点，所以22)1()1(-+-y x 的最大值即为在圆x 2+(y+4)2=4上求一点，使这个点到点(1，1)的距离最大.如图2-3-(1,2)-4所示，|CB|即为所求，而|CB|=|CA|+|AB|，圆x 2+(y+4)2=4的圆心坐标为A(0，-4)，半径为2，即|AB|=2，而|AC|=26，所以|CB|=26+2，即22)1()1(-+-y x 的最大值为26+2.因此，选A.图2-3-(1,2)-4答案：A6.程x 2+y 2+x-2y+m=0表示圆时，m∈___________.思路解析:如果方程x 2+y 2+x-2y+m=0表示圆，则D 2+E 2-4F ＞0一定成立.根据这个条件可以把题意转化为不等式，从而求出m 的取值范围.因为方程x 2+y 2+x-2y+m=0表示圆，所以1+4-4m ＞0，解得m ＜45.所以m∈(-∞,45). 答案：(-∞, 45) 7.直线3x+4y-12=0和两坐标轴围成的三角形的外接圆的方程是_______________.思路解析:直线与两坐标轴的交点是A 、B ，AB 为圆的直径，即AB 的中点为圆心，AB 长的一半为圆的半径.答案：(x-2)2+(y-23)2=425 8.已知圆M ：(x+cos θ)2+(y-sin θ)2=1，直线l ：y=kx ，下面四个命题：A.对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切B.对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点C.对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与圆M 相切D.对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与圆M 相切其中真命题的代号是____________.(写出所有真命题的代号)思路解析:圆心坐标为(-cos θ，sin θ)，圆的半径为1，圆心到直线的距离为d=2221|)sin(|11|sin cos |k k k k +++=+--ϕθθθ=|sin(θ+φ)|≤1,故选B 、D.答案：BD我综合 我发展9.求圆心在直线y=-4x 上,并且与直线l ：x+y-1=0相切于点(3,-2)的圆的方程.思路分析:已知圆心在y=-4x 上，所以可设圆心为(a,-4a)，利用圆心到直线l ：x+y-1=0的距离等于圆心到点(3，-2)的距离等于半径，就可以求出圆的方程.解：依题意,设圆心为(a,-4a),则其到直线x+y-1=0的距离及其到点(3，-2)的距离都等于半径的长度.应用两点间的距离公式及点到直线的距离公式,可得圆心到点(3，-2)的距离=22)42()3(a a -+-,圆心到直线l 的距离=2211|14|+--a a ，即得22)42()3(a a -+-=2211|14|+--a a ，对这个式子两边平方并化简得a=1.于是容易计算得到此圆的圆心为(1,-4),半径长为22,于是得到此圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.10.求过点A(-1,3),B(4,2),且在x 轴、y 轴上的四个截距之和是14的圆的方程.思路分析:本题所给的条件是过两个定点和截距三个条件，考虑到知道三点就可以求出圆的方程，所以考虑应用圆的一般式并结合根与系数的关系解决这个问题.解：设圆的一般式方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，①由题意可知⎪⎩⎪⎨⎧=++++=++++-.02424,033)1(2222F E D F E D 令①中的y=0，可得x 2+Dx+F=0，圆在x 轴上的截距之和为-D ；令①中的x=0，可得y 2+Ey+F=0，圆在y 轴上的截距之和为-E.结合以上的方程组可以解得D=-4,E=-10,F=16.所以我们得到此圆的方程为x 2+y 2-4x-10y+16=0.11.设A 、B 两点是圆心都在直线3x-2y+5=0上的相交两圆的两个交点,且A 的坐标是(-4,5),求点B 的坐标.思路分析:解本题要充分利用平面几何的知识.注意到两圆相交，则意味着两交点关于连心线对称,即B 点应为点A 关于直线3x-2y+5=0的对称点.解：设B(x ，y),因AB 垂直于直线l ：3x-2y+5=0，且A(-4，5)，故直线AB 的方程为y-5=32-(x+4). 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=-,0523)4(325y x x y 得交点P(1331,131-). 又由中点坐标公式得251331,24131y x +=-=-.解得x=133,1350-=y . ∴B(133,1350-). 12.已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-4x+1=0.(1)求yx 的最大值和最小值; (2)求x 2+y 2的最大值和最小值.思路分析:方程x 2+y 2-4x+1=0表示圆心(2,0),半径为3的圆;x y 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,x 2+y 2表示圆上一点到原点距离的平方,故可借助于平面几何知识,利用数形结合来求解.解：(1)原方程化为(x-2)2+y 2=3,表示以点(2,0)为圆心,以3为半径的圆. 设x y =k,即y=kx,当直线与圆相切时,斜率k 取最大值和最小值,此时有31|02|2=+-k k ,解得k=±3. 故xy 的最大值为3,最小值为-3. (2)x 2+y 2表示圆上一点到原点距离的平方,由平面几何知识知原点与圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为2,故(x 2+y 2)max =(2+3)2=7+43,(x 2+y 2)min =(2-3)2=7-43.。
数学人教B必修2学案：预习导航 2-3-2圆的一般方程 含
课程目标
学习脉络
1．掌握圆的一般方程的形式．
2．能根据圆的一般方程求得圆的圆心和半径．
3．能根据已知条件求圆的一般方程．
4．了解二元二次方程、圆的标准方程和圆的一般方程之间的关系.
1．圆的一般方程
圆的一般方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，限制条件是D2＋E2－4F>0.
2．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
方程பைடு நூலகம்
条件
图形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
D2＋E2－4F＜0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
表示一个点，点的坐标为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
D2＋E2－4F>0
表示以 为圆心，以 为半径的圆
思考若一个二元方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则系数A，B，C，D，E，F应满足什么条件？
提示：应满足的条件是①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4AF>0.
2.3.2圆的一般方程学案-高二上学期数学人教B版选择性
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合是圆，其中，定点是圆心，定长是圆的半径.
2、圆心在点M (,)a b ，半径为r 的圆的标准方程：
3、点P 00(,)x y 和圆222
()()x a y b r -+-=的位置关系：
（1）点P 在圆上： ；（2）点P 在圆内：
（3）点P 在圆外：
【重点题重做】
【主问题的提出】：圆的一般方程
是否所有圆的方程都能化成这种形式?
【主问题的解决1——圆的一般方程】
变式训练1：已知点A (2,2)，B (5,3)，C (3，－1)．
①求△ABC 的外接圆的一般方程；
②若点M (a ,2)在△ABC 的外接圆上，求a 的值．
（3）226100x y x +-+=
变式训练3.已知圆04222=--++ay x y x 的半径为3，求实数a 的值.
变式训练4.如果0222=++-+k y x y x 是圆的方程,则实数k 的取值范围是 .
【主问题的深化】
1.已知坐标原点不在圆012
2=-+-+a ay y x 的内部，求实数a 的取值范围.
2.求圆222240()x y x ay a ++--=∈R 的半径的最小值为。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修2 2.3.2 圆的一般方程》
高一数学《圆的一般方程》教学设计教材版本：人教版（必修）学科：数学年级：高二年级课题：圆的一般方程教学设计一、教材分析圆的方程这节内容是学习圆锥曲线的基础，由于圆的方程应用及其广泛，所以对圆的一般方程的要求层次是“掌握”，又由于圆的一般方程中含有三个参变数D、E、F,对它的理解带来一定的困难。
因而本节的难点是对圆的一般方程的认识，掌握和应用。
突破难点的关键是抓住一般方程的特点。
二、学情分析圆的一般方程是学生在学习了圆的标准方程后，又掌握了利用待定系数法求圆的标准方程的基础上进行研究的。
但由于学生基础差、学习程度较浅，且对圆的标准方程运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难。
另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强。
三、教法分析为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“合作探究与启发式教学法”，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，教师组织学生分析讨论、合作探究。
四、学法分析通过展开圆的标准方程，归纳总结得出圆的一般方程，通过求圆的方程，加深对数形结合思想和待定系数法的理解，通过应用圆的一般方程，熟悉用待定系数法求解的过程。
五、设计思想本节课的设计思想是：以多媒体网络教学平台为依托，为学生营造一个探究学习的环境，让他们参与到多媒体教学中来，探究新知，发现规律，解决问题。
六、教学策略结合本节内容的特点，可以向学生渗透多种数学思想方法：:配方法、待定系数法、数形结合的思想、转化的思想、分类讨论的思想、方程的思想，同时对学生的观察类比，创新等多种能力的培养有利，通过求圆的一般方程使学生又进一步熟悉待定系数法的应用。
七、教学目标（一）知识与技能使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程。
（二）过程与方法通过对方程2＋2＋D＋E＋F=0表示圆的条件的探讨，让学生经历知识形成的过程，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力，并使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程的方法。
高中数学2.3圆的方程2.3.2圆的一般方程预习导学案新人教B版必修2
方程
条件
图形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
D2＋E2－4F＜0
不表示任何图形
Dx2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
D2＋E2－4F>0
表示以 为圆心，以 为半径的圆
思考若一个二元方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则系数A，B，C，D，E，F应满足什么条件？
2.3.2圆的一般方程
预习导航
课程目标
学习脉络
1．掌握圆的一般方程的形式．
2．能根据圆的一般方程求得圆的圆心和半径．
3．能根据已知条件求圆的一般方程．
4．了解二元二次方程、圆的标准方程和圆的一般方程之间的关系.
1．圆的一般方程
圆的一般方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，限制条件是D2＋E2－4F>0.
提示：应满足的条件是①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4AF>0.
高中数学2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程例题与探究新人教B版必修22017
2.3.1 圆的标准方程2.3.2 圆的一般方程典题精讲例 1求过三点 A(1,12)、B(7,10)、C(-9,2)的圆的方程,并求出圆的圆心与半径,作出图形. 思路分析:因为圆过三个定点,故可以设圆的一般式方程来求圆的方程. 解：设所求的圆的方程为 x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,依题意有 1144 12D E F,49 100 7D 10E F81 4 9D 2E F 0.0, 图 2-3-(1,2)-1解得 D=-2,E=-4,F=-95.于是所求圆的方程为 x 2+y 2-2x-4y-95=0. 将上述方程配方得(x-1)2+(y-2)2=100.于是,圆的圆心 D 的坐标为(1,2),半径为 10,图形如图 2-3-(1,2)-1所示.绿色通道：求过三个定点的圆的方程往往采用待定系数法求解.利用圆经过不在同一直线上的 三点的条件,由待定系数法求出圆的一般式方程,并由此讨论圆的几何性质.对于由一般式给出的圆的方程,研究其几何性质(圆心与半径等)时,常可用配方法或公式法加 以求解.变式训练 1已知圆 C 与圆(x-1)2+y 2=1关于直线 y=-x 对称，则圆 C 的方程为( ) A.(x+1)2+y 2=1 B.x 2+y 2=1 C.x 2+(y+1)2=1 D.x 2+(y-1)2=1 思路解析:求出圆心(1,0)关于直线 y=-x 的对称点为(0,-1),得到圆 C 的圆心.故选 C. 答案：C例 2求下列圆的方程:(1)圆心在直线 y=-2x 上,且与直线 y=1-x 相切于点(2,-1)； (2)圆心为 C(0,3),且截直线 y=x+1所得弦长为 4.思路分析:利用圆的标准方程,把条件转化为关于圆心和半径的方程组来求解. 解：(1)设圆心(a,-2a),圆的方程为(x-a)2+(y-2a)2=r 2.2a a 由r1(1) 1, 2(a 2)2(2a1) 2,a 解得 r1, 2,∴所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.(2)设圆的方程为(x-3)2+y2=r2,利用点到直线的距离公式可以求得d=| 3111=22,再根据垂径定理可知r= (22)22223.1∴所求圆的方程为(x-3)2+y 2=12.绿色通道：在解决与圆相关的问题时,如果涉及到圆心和半径,或者截得的弦长等问题,一般选 用圆的标准方程来解题.变式训练 2已知圆的半径为 10 ,圆心在直线 y=2x 上,圆被直线 x-y=0截得的弦长为 4 2 ,求 圆的方程.解：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2,由圆心在直线 y=2x 上,得 b=2a.① 由圆被直线 x-y=0截得的弦长为 4 2 ,将 y=x 代入(x-a)2+(y-b)2=10,整理得 2x 2-2(a+b)x+a 2+b 2-10=0.由弦长公式得 2(a b )2 2(a 2 b 2 10) 4 2 .化简得 a-b=±2.②解①②得 a=2,b=4或 a=-2,b=-4,∴所求圆的方程为(x-2)2+(y-4)2=10或(x+2)2+(y+4)2=10.例 3如图 2-3-(1,2)-2所示,已知圆的内接四边形 ABCD 中两对角线 AC 、BD 互相垂直,垂足为 E,又 F 是 BC 的中点,试用坐标法证明 EF⊥AD.图 2-3-(1,2)-2思路分析:题中两对角线互相垂直,不妨就选它们为坐标轴,此时四个顶点的坐标表示较为简捷. 证 明 ： 建 立 如 图 2.3(1.2)2所 示 的 直 角 坐 标 系 xOy,并 设 A 、 B 、 C 、 D 的 坐 标 分 别 为 (0,-a),(b,0),(0,c),(-d,0)(a 、b 、c 、d ＞0).b c于是 BC 中点 F 的坐标为( , ),故 k EF = 2 2a ca又 k AD = EF ·k AD = ,故 k .,故 k . d bdc b.由圆的相交弦定理得 AE·EC=DE·EB,即 ac=bd.∴k EF ·k AD =-1.∴EF⊥AD.黑色陷阱：用坐标法处理平面几何问题的关键是建立好坐标系,此题若不以两对角线为坐标轴, 处理起来相当麻烦.在建立坐标系时,要使尽量多的点落在坐标轴上,或利用图中现有的垂直关 系.变 式 训 练 3在 △AOB 中 ,|OB|=3,|OA|=4,|AB|=5,点 P 是 △AOB 内 切 圆 上 的 点 ,求 |PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值与最小值.2图 2-3-(1,2)-3解：如图 2-3-(1,2)-3建立直角坐标系,使 A 、B 、O 三点坐标分别为(4,0)、(0,3)、(0,0). 设内切圆半径为 r,则有 2r+|AB|=|OA|+|OB|,∴r=1.故内切圆方程为(x-1)2+(y-1)2=1.化为 x 2+y 2-2x-2y+1=0,① 设点 P(x,y),又∵|PA|2+|PB|2+|PC|2=3x 2+3y 2-8x-6y+25,② 由①知 x 2+y 2-2y=2x-1,代入②得 |PA|2+|PB|2+|PC|2=3(2x-1)-8x+25 =-2x+22. ∵x∈[0,2],∴|PA|2+|PB|2+|PC|2最大值为 22,最小值为 18.例 4判断下列方程是否表示圆，如果是,求出圆心和半径；如果不是,请说明理由. (1)x 2+y 2+4x-2y+12=0； (2)x 2+y 2-11x+3y-30=0； (3)3x 2+2y 2+3x-3y+5=0.思路解析:本题首先要观察各题目二次项系数是否相等,判定方程是否满足表示圆的条件,再依 据公式得出圆心和半径.答案：(1)x 2+y 2+4x-2y+12=0可以转化为(x+2)2+(y-1)2=-7,所以该方程不是圆的方程.(2)在 x 2+y 2-11x+3y-30=0中,- D 2 11 = ,- 2E 2 =-3 2 ,D 2+E 2-4F=250＞0,所以该方程表示圆心为11( ,-23 2),半径为5 10 的圆. (3)在 3x 2+2y 2+3x-3y+5=0中,因二次项系数不相等,所以该方程不是圆的方程. 绿色通道：对于这类问题,首先看题中所给方程是否能化为圆的方程的一般式形式：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,在 D 2+E 2-4F ＞0的情况下,则有(-D 2 ,-E 2 )为圆心, 1 2 D 2E 2 为半径.不必死记这个公式,4F要掌握通过配方将圆的一般式转化为圆的标准式的方法.变式训练 4方程 ax 2+ay 2-4(a-1)x+4y=0表示圆,求实数 a 的取值范围,并求出其中半径最小的 圆的方程.解：原方程可化为［x-2(a1) a］2+(y+2 a)2=4(a 22a2 a2,∵a 2-2a+2＞0,∴当 a≠0 且 a∈R 时,原方程表示圆. 又∵4(a 22a2a2=2(a 242(2)a 4)a22aa22+2≥2,当且仅当 a=2时等号成立.∴a=2 时圆的半径最小,此时圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2. 问题探究问题 1探究圆的标准方程和圆的一般方程的异同点.导思：求圆的方程一般采用待定系数法，探究求圆的标准方程和圆的一般方程的异同点就是确3定待定系数个数是否相同,待定系数的特征是否相同,需要具备什么样的已知条件才能分别求出这两种圆的方程.探究：相同点：圆的标准方程和圆的一般方程中都有三个未知量(圆的标准方程中有三个待定系数:a、b、r，圆的一般方程中有三个待定系数:D、E、F)，故确定一个圆需要三个独立的条件，一般利用待定系数法确定，基本步骤为:(1)根据题意，设所求的圆的方程;(2)根据已知条件，建立关于a、b、r或D、E、F的方程组；(3)解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，并把它们代入所设的方程中去，就可得到所求圆的方程.不过针对具体问题，通过数形结合的思想，有时利用圆的几何性质解题，会有更简捷的解题途径.不同点：一是待定系数的含义不同，圆的标准方程中的三个待定系数有明确的几何特征，而圆的一般方程中的三个待定系数没有明确的几何特征；二是要根据具体题目中的已知条件确定是求圆的标准方程还是求圆的一般方程.当题目中已知圆心和半径的条件时，要求圆的标准方程，当题目中已知圆上的三个点的时候，要求圆的一般方程.问题2圆的一般方程是一个二元二次方程，试探究圆的一般方程与二元二次方程的关系.导思：圆的一般方程是一个特殊的二元二次方程，也就是说只有当二元二次方程满足特定的条件时，这个二元二次方程才能表示圆，这就需要我们把圆的一般方程和普通的二元二次方程写出来，分析它们的具体特征和限制条件.探究：比较圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的系数和二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的系数可以发现，圆的一般方程是当二元二次方程的系数满足以下三个条件时的特殊情况.(1)x2、y2项的系数相等且不为零，即A=C≠0;(2)没有xy项，即B=0;(3)D2+E2-4AF＞0.由此，我们可以发现二元二次方程不都表示圆，只有满足上面三个条件的二元二次方程才可以表示圆，但是，所有圆的方程都是二元二次方程，圆的方程只是二元二次方程中的一类特殊的方程.问题3一些圆的位置比较特殊，它们的方程有何特点？导思：圆的方程由圆心坐标和半径唯一确定.当圆与x轴相切时，圆心到x轴的距离等于圆的半径，此时圆心的纵坐标等于圆的半径或半径的相反数；当圆与y轴相切时，圆心到y轴的距离等于圆的半径，此时圆心的横坐标等于圆的半径或半径的相反数；当圆心在某一直线上时，圆心坐标满足圆的方程.探究：当圆心在原点时，x2+y2=r2(a=b=0)；当圆与x轴相切时，(x-a)2+(y-b)2=b2(b≠0)；当圆与y轴相切时，(x-a)2+(y-b)2=a2(a≠0)；当圆与两坐标轴都相切时，(x-a)2+(y-b)2=a2(|a|=|b|≠0)；当圆心在x轴上时，(x-a)2+y2=r2(r≠0)或x2+y2+Dx+F=0(D2-4F＞0)；当圆心在y轴上时，x2+(y-b)2=r2(r≠0)或x2+y2+Ey+F=0(E2-4F＞0).如果圆的位置符合上述情况，若按上述方程去设方程，可相对减少未知数的个数.4。
高中数学 2.3 圆的方程 2.3.4 圆与圆的位置关系教案 新人教B版必修2-新人教B版高一必修2
圆与圆的位置关系示X教案整体设计教学分析教材通过例题介绍了利用方程判断两圆的位置关系．让学生进一步感受坐标方法在研究几何问题中的作用．值得注意的是针对学生的实际情况来学习坐标法讨论两圆的位置关系，对于基础较差的学生，建议不学习，对于基础较好的学生可以作为课后阅读教材，否那么本节课的教学目标完不成．三维目标1．掌握圆与圆的位置关系的判定，培养学生分析问题和解决问题的能力．2．了解用坐标方法讨论两圆位置关系，体会坐标方法在研究几何问题中的作用，提高应用能力．重点难点教学重点：利用方程判定两圆位置关系．教学难点：用坐标方法讨论两圆位置关系．课时安排1课时教学过程导入新课设计1.前面我们学习了利用方程判断点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，那么，圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何利用方程判断圆与圆之间的位置关系呢？教师板书课题：圆与圆的位置关系．设计 2.我们知道，日食和月食都是一种自然现象，如果把月球、地球、太阳都抽象成圆，那么这两种自然现象就展现了两圆的位置关系，如何利用方程来描述这一现象呢？教师点出课．推进新课新知探究提出问题初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几种？画图表示，并指出判断方法.讨论结果：应用示例思路1例1判断以下两个圆的位置关系：(1)C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；(2)C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－23x－6＝0.解：(1)两圆的方程可分别变形为(x－1)2＋y2＝22，(x－2)2＋(y＋1)2＝(2)2.由此可知圆心C1的坐标为(1,0)，半径r1＝2；圆心C2的坐标为(2，－1)，半径r2＝ 2.设两圆的圆心距为d，那么：d＝|C1C2|＝2－12＋－12＝ 2.r1＋r2＝2＋2，r1－r2＝2－ 2.所以r1－r2<d<r2＋r2.因此这两个圆相交．(2)两圆的方程分别变形为：x2＋(y－1)2＝12，(x－3)2＋y2＝32.由此可知圆心C1的坐标为(0,1)，半径r1＝1；圆心C2的坐标为(3，0)，半径r2＝3，那么两圆的圆心距d＝32＋12＝2，所以d＝r2－r1.因此这两个圆内切．点评：判断两个圆的位置关系．几何法：即两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置关系．设两圆的连心线长为d，那么判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：①当d>R＋r时，圆C1与圆C2外离；②当d＝R＋r时，圆C1与圆C2外切；③当|R－r|<d<R＋r时，圆C1与圆C2相交；④当d＝|R－r|时，圆C1与圆C2内切；⑤当d<|R－r|时，圆C1与圆C2内含．变式训练1．在平面直角坐标系中分别作出圆心为C1(0,0)，C2(1,1)，半径分别为1,2的两圆，并判断两圆的位置关系．解：作出两圆，如下图．两圆半径分别记作r1和r2，那么r1＝1，r2＝2，圆心距d＝|C1C2|＝0－12＋0－12＝2，于是，1＝|r1－r2|<d<r1＋r2＝3，所以两圆相交．2．判断圆C1：x2＋y2＋2x－6y－26＝0与圆C2：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的位置关系，并画出图形．解：由得圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝36，其圆心C1(－1,3)，半径r1＝6；圆C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝1，其圆心C2(2，－1)，半径r2＝1.于是|C1C2|＝2＋12＋－1－32＝5.又|r1－r2|＝5，即|C1C2|＝|r1－r2|，所以两圆内切．如下图．3．x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切 D ．内切解析：圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0(x －1)2＋y 2＝1， 故圆心为(1,0)，半径为1.圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0x 2＋(y －2)2＝4， 故圆心为(0,2)，半径为2.那么圆心距d ＝1－02＋0－22＝ 5. 而2－1<5<1＋2，即两圆相交． 答案：B例2试用坐标方法讨论两圆位置关系．(此题针对学生实际选用)解：如下图所示，以O 1为坐标原点，使x 轴通过O 1，O 2，且O 2在x 轴的正半轴上，建立直角坐标系xOy.这样，可设⊙O 2的圆心的坐标为(d,0)．这时两圆的圆心距等于d ，两圆的方程分别为 x 2＋y 2＝r 21 ①(x －d)2＋y 2＝r 22. ②将①②两式联立，研究此方程组的解． ①－②，整理可得x ＝r 21－r 22＋d22d .将x 值代入①，得 y 2＝r 21－r 21－r 22＋d224d2＝2dr 1＋r 21－r 22＋d 22dr 1－r 21＋r 22－d 24d2＝[r 1＋d2－r 22][r 22－r 1－d2]4d2＝r 1＋r 2＋d r 1－r 2＋dr 1＋r 2－dr 2－r 1＋d4d2＝[r 1＋r 22－d 2][d 2－r 1－r 22]4d2.由此可见，如果 |r 1－r 2|<d<r 1＋r 2那么等式右边两个因式都为正数，于是方程组有解，且有两解．这时相应的两圆相交于两点(如下图)．如果：r 1＋r 2＝d 或|r 1－r 2|＝d ，那么等式右边分子的因式中至少有一个为0，那么方程组有唯一解，这时两圆相切(外切或内切)(上图(2)(3))．如果：r 1＋r 2<d 或|r 1－r 2|>d ，那么方程组无解，这时两圆不相交(相离或内含)(上图(4)(5))．思路2例3圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．分析：因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程，联立方程组，消去x 2项、y 2项，即得两圆的两个交点所在的直线方程，利用勾股定理可求出两圆公共弦长．解：设两圆交点为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，那么A 、B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，①②①－②，得3x －4y ＋6＝0. 因为A 、B 两点坐标都满足此方程，所以3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程． 易知圆C 1的圆心(－1,3)，半径r ＝3.又点C 1到直线的距离为d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋－42＝95. 所以AB ＝2r 2－d 2＝232－952＝245，即两圆的公共弦长为245. 点评：处理圆有关的问题，利用圆的几何性质往往比较简单，要注意体会和应用．此题中求两圆公共弦所在直线方程可以作为结论记住．变式训练判断以下两圆的位置关系，如果两圆相交，请求出公共弦的方程．(1)(x ＋2)2＋(y －2)2＝1与(x －2)2＋(y －5)2＝16，(2)x 2＋y 2＋6x －7＝0与x 2＋y 2＋6y －27＝0.解：(1)根据题意，得两圆的半径分别为r 1＝1和r 2＝4，两圆的圆心距d ＝[2－－2]2＋5－22＝5. 因为d ＝r 1＋r 2，所以两圆外切．(2)将两圆的方程化为标准方程，得(x ＋3)2＋y 2＝16，x 2＋(y ＋3)2＝36. 故两圆的半径分别为r 1＝4和r 2＝6， 两圆的圆心距d ＝0－32＋－3－02＝3 2.因为|r 1－r 2|<d<r 1＋r 2，所以两圆相交． 两圆方程相减得公共弦的方程： 6x －6y ＋20＝0，即3x －3y ＋10＝0.例4求过点A(0,6)且与圆C ：x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0切于原点的圆的方程．分析：如下图．所求圆经过原点和A(0,6)，且圆心应在圆的圆心与原点的连线上．根据这三个条件可确定圆的方程．解：将圆C 化为标准方程，得(x ＋5)2＋(y ＋5)2＝50，那么圆心为C(－5，－5)，半径为5 2.所以经过此圆心和原点的直线方程为x －y ＝0.设所求圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2.由题意，知O(0,0)，A(0,6)在此圆上，且圆心M(a ，b)在直线x －y ＝0上，那么有⎩⎪⎨⎪⎧0－a 2＋0－b 2＝r 2，0－a 2＋6－b 2＝r 2，a －b ＝0，解得⎩⎨⎧a＝3，b ＝3，r ＝3 2.于是所求圆的方程是(x －3)2＋(y －3)2＝18.点评：求圆的方程，一般可从圆的标准方程和一般方程入手，至于选择哪一种方程形式更恰当，要根据题目的条件而定，总之要让所选择的方程形式使解题过程简单．变式训练求经过点A(4，－1)，且与圆C ：(x ＋1)2＋(y －3)2＝5相外切于点B(1,2)的圆的方程．解：如下图，设所求的圆C′的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝R 2.因为C′既在弦AB 的垂直平分线上，又在直线BC 上，AB 中垂线方程为x －y －2＝0，BC 所在直线的方程为x ＋2y －5＝0，所以，圆心C′的坐标应满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧a －b －2＝0，a ＋2b －5＝0.解得a ＝3，b ＝1.因为所求圆C′过点A(4，－1)，所以(4－3)2＋(－1－1)2＝R 2＝5.所以，所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5.知能训练1．在(x ＋k)2＋(y ＋2k ＋5)2＝5(k ＋1)2(k≠－1)所表示的一切圆中，任意两圆的位置关系是( )A ．相切或相交B ．相交C ．相切D ．内切或相交 答案：C2．圆x 2＋y 2＋m ＝0与圆x 2＋y 2－6x ＋8y ＝0没有公共点，那么实数m 的取值X 围为( ) A ．－10<m<0 B ．－100<m<－10 C ．m<－100 D ． 答案：C3．半径为5且与圆x 2＋y 2－6x ＋8y ＝0相切于原点的圆的方程是________．答案：x 2＋y 2＋6x －8y ＝04．一圆过两圆x 2＋y 2＋6x －3＝0和x 2＋y 2－6y －3＝0的交点，圆心在直线x ＋y ＋6＝0上，求此圆的方程．答案：x 2＋y 2＋9x ＋3y －3＝05．求圆心在直线x －y －4＝0上，且经过两圆x 2＋y 2－4x －3＝0和x 2＋y 2－4y －3＝0的交点的圆的方程．解：设经过两圆的交点的圆的方程为x 2＋y 2－4x －3＋λ(x 2＋y 2－4y －3)＝0(λ≠－1)，那么其圆心坐标为(21＋λ，2λ1＋λ)．∵所求圆的圆心在直线x －y －4＝0上，∴21＋λ－2λ1＋λ－4＝0，λ＝－13.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－6x ＋2y －3＝0.拓展提升求经过原点，且过圆x 2＋y 2＋8x －6y ＋21＝0和直线x －y ＋5＝0的两个交点的圆的方程．解法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋8x －6y ＋21＝0，x －y ＋5＝0，求得交点(－2,3)或(－4,1)．设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因为(0,0)，(－2 3)，(－4,1)三点在圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，4＋9－2D ＋3E ＋F ＝0，16＋1－4D ＋E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，E ＝－95，D ＝195.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋195x －95y ＝0.解法二：设过交点的圆系方程为x 2＋y 2＋8x －6y ＋21＋λ(x－y ＋5)＝0(λ为参数)． 将原点(0,0)代入上述方程得λ＝－215.那么所求方程为x 2＋y 2＋195x －95y ＝0.课堂小结本节课学习了：利用方程判断两圆位置关系，解决与两圆有关的问题．作业本节练习A 1,2题．设计感想这堂课是建立在初中已经对圆与圆的位置关系有个粗略地了解的基础上，对这个位置关系的进一步深化，而且前一堂课学习过直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系的研究和直线与圆的位置关系的研究方法是类似的，所以可以用类比的思想来引导学生自主地探究圆与圆的位置关系．作为解析几何的一堂课，判断圆与圆的位置关系，表达的正是解析几何的思想：用代数方法处理几何问题，用几何方法处理代数问题．所以在教材处理上，对判断两圆位置关系用了几何方法，使学生对解析几何的本质有所了解．备课资料圆的参数方程一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝gt.①并且对于t 的每一个允许值，由方程①所确定的点M(x ，y)都在一条曲线上，那么方程组①就叫这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间的关系的变数叫做参变数，简称参数．参数方程中的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数．相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程．参数方程能把曲线上的点坐标通过参数直接地写出来，因此，能比较清楚地说明曲线上点的坐标的特点，尤其是借助于参数方程，可以使有的问题变得容易解决．这也正是在解有关问题时，将普通方程化为参数方程来解的原因．当然在解答有关问题时，根据问题的需要，有时也将参数方程化为普通方程，比如研究有关曲线的性质时，由于我们对普通方程下曲线性质比较熟悉，这时，常把曲线参数方程化为普通方程来研究问题．圆的参数方程参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋rcosθ，y ＝b ＋rsinθ.其中，θ为参数，圆心为(a ，b)，r 为半径．需注意的两点：(1)标准方程含有a ，b ，r ，当a ，b ，r 确定下来时，圆的参数方程才唯一地确定下来，确定圆的参数方程同样需要三个独立条件．(2)要掌握圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2＝r 2与参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋rcosθ，y ＝b ＋rcosθ(θ为参数)之间的互化．。
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2．3.1 圆的标准方程预习导航1．圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点是圆心，定长是圆的半径．设M(x ，y)是⊙C 上的任意一点，点M 在⊙C 上的条件是|CM|＝r ，r 为⊙C 的半径．思考1 平面内到一个定点的距离小于或等于定长的点的集合是什么？提示：是一个以定点为圆心，以定长为半径的圆面．2．圆的方程(1)圆心在坐标原点，半径为r 的圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2.(2)圆心坐标为(a ，b)，半径为r 的圆的标准方程为(x－a)2＋(y －b)2＝r 2.思考2在平面直角坐标系中，圆是函数的图象吗？提示：根据函数知识，对于平面直角坐标系中的某一曲线，如果垂直于x 轴的直线与此曲线至多有一个交点，那么这条曲线是函数的图象，否则，不是函数的图象．对于平面直角坐标系中的圆，垂直于x 轴的直线与其至多有两个交点，因此圆不是函数的图象．但是存在图象是圆弧形状的函数．例如：函数y ＝b 的图象是以(a ，b)为圆心，半径为r 的位于直线y ＝b 上方的半圆弧；函数y ＝b 的图象是以(a ，b)为圆心，半径为r 的位于直线y ＝b 下方的半圆弧．3．点与圆的位置关系设点P(x 0，y 0)和圆C ：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，则：点P 在圆上⇔(x 0－a)2＋(y 0－b)2＝r 2⇔|PC|＝r ；点P 在圆外⇔(x 0－a)2＋(y 0－b)2>r 2⇔|PC|>r ；点P在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔|PC|＜r.思考3直线y＝k(x－3)与圆x2＋y2＝16的位置关系怎样？提示：相交．因为直线y＝k(x－3)恒过定点(3,0)，又(3,0)点在圆x2＋y2＝16的内部，故直线与圆是相交的．。
人教B版高中数学必修2教学案设计：2.3.2圆的一般方程(学生版)
2.3.2 圆的一般方程【学习要求】1．掌握圆的一般方程及其特点．2．会将圆的一般方程化为标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小．3．能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程．【学法指导】通过对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件的探究，提高探索、发现及分析、解决问题的能力；体验数形结合、化归与转化等数学思想方法；通过求圆的方程，培养运用配方法和待定系数法解决实际问题的能力.填一填：知识要点、记下疑难点1．对于二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点，该点的坐标为 ⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2 ；当D 2＋E 2－4F<0时，方程 不表示任何图形 ；当D 2＋E 2－4F>0时，方程表示的曲线为 圆 ，它的圆心坐标为 ⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2 ，半径等于，上述方程称为圆的 一般方程 ． 2．圆的一般方程的特征是：x 2和y 2项的系数 都为1 ，没有xy 的二次项．研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]在直线的方程中，有直线方程的一般式，那么，在圆的方程中，有没有圆的一般方程？探究点一 圆的一般方程问题1 圆的标准方程是什么？问题2 把圆的标准方程展开，并整理得x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2＝0，取D ＝－2a ，E ＝－2b ，F ＝a 2＋b 2－r 2，得x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，这是一个二元二次方程．这个方程与一般的二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0比较有什么不同？问题3 一个形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？问题4 圆的标准方程与圆的一般方程有什么不同？问题5 求圆的一般方程实质上是求圆的一般方程中的哪些量？探究点二圆的标准方程与一般方程的互化例1将下列圆的方程化为标准方程并写出圆的圆心坐标和半径(1)x2＋y2＋4x－6y－12＝0;(2)4x2＋4y2－8x＋4y－15＝0.跟踪训练1将下列方程互化，并写出圆心和半径：(1)(x－3)2＋(y－2)2＝13；(2)2x2＋2y2－4x＋8y＋5＝0.探究点三圆的一般方程的应用例2求过三点A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)的圆的方程．跟踪训练2求过三点A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)的圆方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．例3已知一曲线是与两个定点O(0,0)，A(3,0)距离的比为12的点的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线．跟踪训练3 如图，过点M(－6,0)作圆C:x 2＋y 2－6x －4y ＋9＝0的割线，交圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点P 的轨迹．练一练：当堂检测、目标达成落实处1．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )A ．x ＋y －1＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝02．圆2x 2＋2y 2＋6x －4y －3＝0的圆心坐标和半径分别为( )A.⎝⎛⎭⎫－32，1和194B. (3,2)和192C.⎝⎛⎭⎫－32，1和192D.⎝⎛⎭⎫32，－1和1923．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为( )A ．2B ．22C ．1D ． 24．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________．课堂小结:1．圆的一般方：程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0来源于圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2＝r 2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件．2．圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况来确定是设圆的标准方程还是设圆的一般方程，以便简化解题过程．3．涉及到的曲线的轨迹问题，要求作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤．。
高中数学2.3圆的方程2.3.2圆的一般方程教案新人教B版必修2
2.3.2 圆的一般方程示范教案 整体设计教学分析教材利用圆的标准方程推导出了圆的一般方程，并讨论了二元二次方程与圆的关系，值得注意的是在教学中引导学生分析圆的两种方程形式的特点和各自适用的范围．三维目标1．掌握圆的一般方程的特点，培养分类讨论的数学思想． 2．会求圆的方程，提高分析问题、解决问题的能力． 重点难点教学重点：圆的一般方程及其与标准方程的互化．教学难点：对条件“D 2＋E 2－4F>0”的理解． 课时安排 1课时教学过程 导入新课设计1.写出圆心为(a ，b)，半径为r 的圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2＝r 2.将圆的标准方程展开并整理，得x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2＝0.如果设D ＝－2a ，E ＝－2b ，F ＝a 2＋b 2－r 2，得到方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，这说明圆的方程还可以表示成另外一种非标准方程形式．能不能说方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0所表示的曲线一定是圆呢？这就是我们本堂课学习的内容．设计2.问题：求过三点A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)的圆的方程．利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其他解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式．推进新课 新知探究 提出问题前一章我们研究直线方程用的什么顺序和方法？这里我们研究圆的方程是否也能类比研究直线方程的顺序和方法呢？给出式子x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，请你利用配方法化成不含x 和y 的一次项的式子把式子－2＋－2＝r 2与x 2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方后的式子比较，得出x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件对圆的标准方程与圆的一般方程作一比较，看各自有什么特点？讨论结果：(1)以前学习过直线，我们首先学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式，最后学习一般式．大家知道，我们认识一般的东西，总是从特殊入手．如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式、两点式、……)展开整理而得到的．(2)我们想求圆的一般方程，可仿照直线方程试一试！我们已经学习了圆的标准方程，把标准形式展开，整理得到，也是从特殊到一般．(3)把式子x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方得(x ＋D 2)2＋(y ＋E 2)2＝D 2＋E 2－4F4.(4)(x －a)2＋(y －b)2＝r 2中，r>0时表示圆，r ＝0时表示点(a ，b)，r<0时不表示任何图形．因此式子(x ＋D 2)2＋(y ＋E 2)2＝D 2＋E 2－4F4.①当D 2＋E 2－4F>0时，表示以(－D 2，－E 2)为圆心，12D 2＋E 2－4F 为半径的圆；②当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程仅有一组实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点(－D 2，－E2)； ③当D 2＋E 2－4F<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．综上所述，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线不一定是圆，由此得到圆的方程都能写成x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的形式，但方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线不一定是圆，只有当D 2＋E 2－4F>0时，它表示的曲线才是圆．因此x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是D 2＋E 2－4F>0.我们把形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的方程称为圆的一般方程． (5)圆的一般方程形式上的特点 x 2和y 2的系数相同，不等于0.没有xy 这样的二次项．圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F ，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显．应用示例思路1例1将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径：(1)x 2＋y 2＋4x －6y －12＝0；(2)4x 2＋4y 2－8y ＋4y －15＝0.解：(1)对方程左边配方，方程化为(x ＋2)2＋(y －3)2＝25.所以圆心的坐标为(－2,3)，半径为5. (2)方程两边除以4，得x 2＋y 2－2x ＋y －154＝0.方程左边配方，得 (x －1)2＋(y ＋12)2＝5.所以圆心的坐标为(1，－12)，半径为 5.变式训练1．圆x 2＋y 2－4x －8y ＝0的圆心坐标是________，半径r ＝________. 答案：(2,4) 2 52．圆x 2＋y 2＋Dx ＋4y ＋1＝0的半径r ＝4，则D ＝________. 答案：±213例2求过三点A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)的圆的方程． 解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.根据题设条件，用待定系数法确定D ，E ，F.因为点A ，B ，C 的圆上，所以它们的坐标是方程的解，把它们的坐标依次代入上面的方程，整理得到关于D ，E ，F 的三元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧5E ＋F ＋25＝0，D －2E ＋F ＋5＝0，3D ＋4E －F －25＝0，解这个方程组，得 ⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝－2，F ＝－15.于是得到所求圆的方程 x 2＋y 2＋6x －2y －15＝0.点评：我们也可以设圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2.同样，根据已知条件可以列出三个未知数的方程组．通过解方程组，求出a ，b ，r.那样做，会有较大的运算量．变式训练求过三点O(0,0)，M 1(1,1)，M 2(4,2)的圆的方程，并求圆的半径和圆心坐标．解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由O ，M 1，M 2在圆上，则有⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，D ＋E ＋F ＋2＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0.解得D ＝－8，E ＝6，F ＝0.故所求圆的方程为x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0，即(x －4)2＋(y ＋3)2＝52. 所以圆心坐标为(4，－3)，半径为5.例3已知一曲线是与两个定点O(0,0)，A(3,0)距离的比为12的点的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线．解：在给定的坐标系中，设M(x ，y)是曲线上的任意一点，点M 在曲线上的条件是|MO||MA|＝12. 由两点之间的距离公式，上式用坐标表示为x 2＋y 2－2＋y 2＝12， 两边平方并化简，得曲线方程 x 2＋y 2＋2x －3＝0， 将方程配方，得(x ＋1)2＋y 2＝4.所以所求曲线是圆心为C(－1,0)，半径为2的圆(如下图)．点评：到两定点A(a ，b)，B(c ，d)距离的比为λ(λ>0)的点的轨迹为C ，当λ＝1时，C 为直线即线段AB 的垂直平分线；当λ>1或0<λ<1时，C 为圆．本题中利用含有动点M 的等式|MO||MA|＝12，求得轨迹方程的方法称为定义法．变式训练求与两定点A(1,0)，B(5,0)距离的比为13的点的轨迹方程，并说明轨迹形状．解：设M(x ，y)是轨迹上任一点，则有 |MA||MB|＝13， ∴有－2＋y2－2＋y 2＝13， 整理，得x 2＋y 2－x －2＝0， 即(x －12)2＋y 2＝94，∴轨迹方程是(x －12)2＋y 2＝94，其形状是以(12，0)为圆心，半径为32的圆．思路2例4已知点P(10,0)，Q 为圆x 2＋y 2＝16上一动点．当Q 在圆上运动时，求PQ 的中点M 的轨迹方程．解法一：如下图，作MN∥OQ 交x 轴于N ，则N 为OP 的中点，即N(5,0)．因为|MN|＝12|OQ|＝2(定长)．所以所求点M 的轨迹方程为(x －5)2＋y 2＝4.解法二：设M(x ，y)为所求轨迹上任意一点Q(x 0，y 0)． 因为M 是PQ 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10＋x 02，y ＝0＋y02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －10，y 0＝2y.(*)又因为Q(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝16上，所以x 20＋y 20＝16.将(*)代入得(2x －10)2＋(2y)2＝16.故所求的轨迹方程为(x －5)2＋y 2＝4.点评：解法一是根据已知条件判断出轨迹形状为圆，从而求得轨迹方程．解法二称为相关点法，其步骤是：①设被动点M(x ，y)，主动点Q(x 0，y 0)．②求出点M 与点Q 坐标间的关系⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f 10，y 0，y ＝f 20，y 0(Ⅰ)③从(Ⅰ)中解出⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝g 1，，y 0＝g 2，(Ⅱ)④将(Ⅱ)代入主动点Q 的轨迹方程(已知曲线的方程)，化简得被动点的轨迹方程．变式训练已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．解：设点M 的坐标是(x ，y)，点A 的坐标是(x 0，y 0)．由于点B 的坐标是(4,3)且M 是线段AB 的中点，所以x ＝x 0＋42，y ＝y 0＋32.于是有x 0＝2x －4，y 0＝2y －3.①因为点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，所以点A 的坐标满足方程(x ＋1)2＋y 2＝4，即(x 0＋1)2＋y 20＝4.②把①代入②，得(2x －4＋1)2＋(2y －3)2＝4，整理，得(x －32)2＋(y －32)2＝1.所以点M 的轨迹是以(32，32)为圆心，半径长为1的圆．例5求圆心在直线l ：x ＋y ＝0上，且过两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的交点的圆的方程．分析：由于两圆的交点可求，圆心在一直线上，所以应先求交点再设圆的标准方程．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，得两圆交点为(0,2)，(－4,0)．设所求圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l 上，所以得方程组⎩⎪⎨⎪⎧－4－2＋b 2＝r 2，a 2＋－2＝r 2，a ＋b ＝0.解得a ＝－3，b ＝3，r ＝10.故所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝10.点评：由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程．变式训练已知圆在x 轴上的截距分别为1和3，在y 轴上的截距为－1，求该圆的方程． 解法一：利用圆的一般方程．设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由已知，该圆经过点(1,0)，(3,0)和(0，。
人教B版高中数学必修2-2.3教学教案-圆的一般方程2
2.3.2圆的一般方程【情景导入】师：上一节我们学习了圆的标准方程请同学们说出以点(a ，b )为圆心且半径是r 的圆的标准方程．生：(x -a )2+(y -b )2=r 2．【引导】师：前面我们学习过直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式,我们知道前四种方程形式不能表示所示的直线，而一般式方程能表示所有的直线它的方程形式是Ax +By +C =0吗？生：不是还缺少条件A 2+B 2≠0．师：好！那么圆的方程有没有类似“直线方程的一般式”那样的“一般方程”呢？这个一般方程要表示所在圆的方程有没有和直线的一般方程类似的限制条件呢？这就是这一节我们将要学习的直线的一般方程。
（书写课题圆的一般方程） 新知探究（一）【引导】师：圆是否有一般方程？对于这个知识的探求我们可以从我们认识和研究一般问题的思维方法入手，我们知道我们对于一个新的问题的学习和研究常常按照由特殊到一般的思路来解决的．如探求直线方程的一般形式就是通过把直线方程的特殊形式如点斜式，两点式……，展开整理而得到的．运用这种思路请同学们研究一下圆的一般方程的表达式是什么？生：思考并讨论。
回想直线一般方程的推导过程并仿照直线方程把标准形式展开并整理。
师:（多媒体投影）已知圆的标准方程()()222x a y b r -+-=将标准方程展开得：22222x +y -2ax-2by+a +b -r =0．令222D=-2a,E=-2b,F=a +b -r ，此时原方程变为22x +y +Dx+Ey+F=0．(*)【师生互动】师：方程22x +y +Dx+Ey+F=0是由圆的标准方程得到的，通过对圆的标准方程的学习我们知道任意一个圆的方程都可以用圆的标准方程表示，也就是说只要是圆的方程就可以写成(*)的形式．那么能否下结论：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0就是圆的方程？ 生：观察并分析方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0产生过程，并与同桌一起讨论并探究。
高中数学2-3圆的方程2-3-1圆的标准方程教案新人教B版必修2
高中数学2-3圆的方程2-3-1圆的标准方程教案新人教B版
必修2
示范教案
教学分析
本节内容是学习圆的起始课，由于圆是学生比较熟悉的曲线，在初中已学习了圆的几何性质，所以学习本节的难度不大．教材利用两点间距离公式推导出了圆的标准方程，并讨论了点与圆的位置关系．在教学中，应引导学生自己探究，避免教师直接给出圆的标准方程．
三维目标
1．使学生掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程，能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力．
2．会用待定系数法求圆的标准方程，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，形成用代数方法处理几何问题的能力，从而激发学生学习数学的热情和兴趣，培养学生分析、概括的思维能力．
重点难点
教学重点：圆的标准方程．
教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程．
课时安排
1课时
导入新课
设计1.如左下图，已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶．一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能安全驶入这个隧道？
如右上图，以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，问题可以转化为求圆上的点的纵坐标，这就需要建立圆的方程．为此我们学习圆的标准方程．设计 2.同学们，我们知道直线可以用一个方程表示，那么，圆可以用一个方程表示吗？圆的方程怎样来求呢？这就是本堂课的主要内容，教师板书本节课题：圆的标准方程．
推进新课
讨论结果：
(1)平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆．定点是圆心，定长是圆的半径．
(2)只要圆心和半径确定了，就可以确定一个圆．。
高中数学2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程知识导学案新人教B版必修99.doc
2.3 圆的方程2.3.1 圆的标准方程2.3.2 圆的一般方程知识梳理1.圆的定义从运动的观点来看，圆是平面上到定点距离等于定长的点的轨迹，其中定点是圆心，定长是半径，其定义式为|CM|=r.2.圆的方程(1)圆心在原点，半径为r 的圆的方程为x 2+y 2=r 2.(2)圆心为(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2.(3)圆的一般方程是x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,限制条件是D 2+E 2-4F ＞0,其中待定系数D 、E 、F 由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=++--=++--=++232333222222212111,,y x F E y D x y x F E y D x y x F E y D x 解出.3.点与圆的位置关系:设点P(x 0,y 0)和圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，则点P 在圆上⇔ (x 0-a)2+(y 0-b)2=r 2⇔|PC|=r ；点P 在圆外⇔ (x 0-a)2+(y 0-b)2＞r 2⇔|PC|＞r ；点P 在圆内⇔ (x 0-a)2+(y 0-b)2＜r 2⇔|PC|＜r.知识导学要学好本节内容,可从回顾确定直线的要素——两点(或者一点和斜率)确定一条直线的基础上,回顾确定圆的几何要素——圆心位置和半径入手.要求圆的标准方程,只需求出圆心坐标和半径.若借助于弦心距、弦、半径之间的关系或三角形外接圆的相关性质,可大大简化求解的过程与难度.圆的一般方程中也含有三个参数,必须具备三个独立的条件才能确定一个圆.在用待定系数法求圆的方程时,要注意结合题目的条件先选择好圆的方程,再确定参数.要注意圆的一般方程与标准方程的互化.疑难突破1.在方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0中,当D 2+E 2-4F≤0时,它表示什么图形? 剖析:由于方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0可变形为(x+2D )2+(y+2E )2=4422F E D -+,因此,当D 2+E 2-4F=0时,原方程即为(x+2D )2+(y+2E )2=0,此时,这个方程表示一个点(-2D ,-2E )； 当D 2+E 2-4F ＜0时,这个方程即为不等式(x+2D )2+(y+2E )2＜0,而这个不等式的解集为空集,此时,这个方程不表示任何图形.当D 2+E 2-4F ＞0时,方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示一个圆,此时这个方程叫做圆的一般方程.由(x+2D )2+(y+2E )2=4422F E D -+可知,圆心为(-2D ,-2E ),半径为2422F E D -+. 2.如何求圆关于一个点、一条直线的对称圆的方程？剖析:圆C:(x-a)2+(y-b)2=r 2关于点P(x 0,y 0)对称的圆的方程也就是找圆心C(a,b)关于点P(x 0,y 0)的对称点,得到对称圆的圆心,半径不变;同理求圆关于直线mx+ny+p=0对称的圆的方程,只需求圆心关于直线的对称点.圆是一种非常优美、特殊的图形,确定了圆心和半径,圆就完全确定下来,利用对称特点把问题转化.在解决问题时,要考虑图形的特点和性质.如一个圆关于某条直线对称,则直线一定经过圆心.两个等圆的对称轴方程是两圆的方程相减所得方程.。
高中数学 2.3 圆的方程 2.3.2 圆的一般方程课堂探究
2.3.2 圆的一般方程课堂探究探究一二元二次方程表示圆的条件方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的两种判断方法：(1)(配方法)对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆；(2)(运用圆的一般方程的判断方法求解)即通过判断D2＋E2－4F是否为正，确定它是否表示圆．【典型例题1】若关于x，y的方程x2＋mxy＋y2＋2x－y＋n＝0表示的曲线是圆，则m ＋n的取值范围是( )A.5,4⎛⎫-∞⎪⎝⎭B.5,4⎛⎤-∞⎥⎝⎦C.5,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭D.5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭解析：因为x2＋mxy＋y2＋2x－y＋n＝0表示圆，所以222242(1)40, 0,D E F nm⎧+-=+-->⎨=⎩解得n＜54，所以m＋n＜54.答案：A探究二用待定系数法求圆的方程1．用待定系数法求圆的方程的大致步骤如下：2．对圆的一般方程和标准方程的选择：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径来列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再利用待定系数法求出常数D，E，F.【典型例题2】 (1)已知A(－1,1)，B(6,0)，C(－1,7)，则△ABC的外接圆的方程是__________．解析：设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A，B，C三点的坐标代入方程，解方程组得D＝－6，E＝－8，F＝0，从而圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.答案：x2＋y2－6x－8y＝0(2)求圆心在y＝－x上且过两点(2,0)，(0，－4)的圆的一般方程，并把它化成标准方程．解：探究三与圆有关的轨迹问题圆是一个双重对称图形，与圆有关的轨迹问题可结合圆的有关性质解决，解决的方法可以是直接法、定义法、相关点代入法等．(1)直接法：根据题设，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点所满足的关系式；(2)定义法：当所列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出点的轨迹方程；(3)相关点代入法：若动点P(x，y)因为圆上的另一动点Q(x1，y1)而运动，且x1，y1可用x，y表示，则将Q点的坐标代入已知圆的方程，求得动点的轨迹方程．【典型例题3】已知一曲线是与两定点(0,0)和(3,0)距离之比为m(m>0)的点的轨迹，求此曲线方程，并说明是什么曲线．思路分析：设动点坐标为(x，y)，将题设条件等式用方程给出，化简方程为最简形式即可．解：设所求曲线上任一点的坐标为P(x，y)，＝m，即(m 2－1)x 2＋(m 2－1)y 2－6m 2x ＋9m 2＝0.当m ＝1时，x ＝32，其轨迹为两点的中垂线； 当m≠1时，方程可化为2231m x m ⎛⎫- ⎪-⎝⎭2＋y 2＝231m m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭2，其轨迹是以223,01m m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭为圆心，以231m m -为半径的圆． 点评 求轨迹方程与轨迹是不同的，求轨迹方程时只需要求出方程，求轨迹时，不仅要求出轨迹方程，还要指出方程表示的图形，如果方程中含有参数要分类讨论，如有不符合条件的点要舍去．【典型例题4】 已知点P 在圆C ：x 2＋y 2－8x －6y ＋21＝0上运动，求线段OP 的中点M 的轨迹方程．解法一：设点M(x ，y)，点P(x 0，y 0)， 则00,2,2x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以002,2.x x y y =⎧⎨=⎩ 因为点P(x 0，y 0)在圆C ：x 2＋y 2－8x －6y ＋21＝0上，所以x20＋y20－8x 0－6y 0＋21＝0.所以(2x)2＋(2y)2－8·(2x)－6·(2y)＋21＝0.即点M 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x －3y ＋214＝0. 解法二：设点M 的坐标为(x ，y)，连接OC ，PC ，取线段OC 的中点A ，连接MA. 圆C 的方程可化为(x －4)2＋(y －3)2＝4，圆心C(4,3)，|CP|＝2，则点A 的坐标为32,2⎛⎫⎪⎝⎭. 如图所示，在△OCP 中，M ，A 分别是OP ，OC 的中点，则|MA|＝12|CP|，即|MA|＝1. 又当O ，C ，P 三点共线时，|MA|＝1.所以点M 的轨迹是以A 为圆心，1为半径的圆．所以点M 的轨迹方程为(x －2)2＋32y ⎛⎫- ⎪⎝⎭2＝1. 探究四 求圆关于点(线)对称的圆 1．求圆C ：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2关于点P(x 0，y 0)对称的圆的方程，首先要找出圆心C(a ，b)关于点P(x 0，y 0)的对称点，得到对称圆的圆心，半径不变，即得所求圆的方程．2．求圆关于直线mx ＋ny ＋p ＝0对称的圆的方程，只需求出圆心关于直线的对称点即可．【典型例题5】 试求圆C ：x 2＋y 2－x ＋2y ＝0关于直线l ：x －y ＋1＝0对称的曲线C′的方程．思路分析：对称圆的圆心坐标变化、半径不变，另外可利用相关点法来求． 解法一：设P′(x，y)为所求曲线C′上任意一点，P′关于l 的对称点为P(x 0，y 0)，则P(x 0，y 0)在圆C 上． 由题意可得000010,2211,x x y y y y x x ++⎧-+=⎪⎪⎨-⎪⋅=--⎪⎩ 解得001,1.x y y x =-⎧⎨=+⎩ (*) 因为P(x 0，y 0)在圆C 上，所以x 20＋y 20－x 0＋2y 0＝0，将(*)代入，得(y －1)2＋(x ＋1)2－(y －1)＋2(x ＋1)＝0.化简，得x 2＋y 2＋4x －3y ＋5＝0，即曲线C′的方程是x 2＋y 2＋4x －3y ＋5＝0.解法二：(特殊对称)圆C 关于直线l 的对称图形仍然是圆，且半径不变，故只需求圆心C′，圆心C 1,12⎛⎫-⎪⎝⎭关于直线l ：x －y ＋1＝0的对称点为C′32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，因此所求圆C′的方程为(x ＋2)2＋32y ⎛⎫-⎪⎝⎭2＝54.。
高中数学人教B版必修二学案：2.3.2 圆的一般方程
2.3.2 圆的一般方程[学习目标] 1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径.2.会在不同条件下求圆的一般式方程.[知识链接]1.圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，它的圆心坐标为(a ，b )，半径为r .2.点与圆的位置关系有点在圆外、点在圆上、点在圆内，可以利用代数法与几何法进行判断. [预习导引]1.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方得：⎝⎛⎭⎫x ＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4. (1)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点，该点的坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2； (2)当D 2＋E 2－4F <0时，方程不表示任何图形；(3)当D 2＋E 2－4F >0时，方程表示的曲线为圆，它的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径等于12.2.比较二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0和圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，可以得出以下结论：当二元二次方程具有条件： (1)x 2和y 2的系数相同，且不等于0，即A ＝C ≠0； (2)没有xy 项，即B ＝0；(3)D 2＋E 2－4AF >0时，它才表示圆.要点一 圆的一般方程的概念例1 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径. (1)2x 2＋y 2－7y ＋5＝0； (2)x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0； (3)x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0； (4)2x 2＋2y 2－5x ＝0.解 (1)∵方程2x 2＋y 2－7y ＋5＝0中x 2与y 2的系数不相同，∴它不能表示圆.(2)∵方程x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0中含有xy 这样的项. ∴它不能表示圆.(3)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0化为(x －1)2＋(y －2)2＝－5， ∴它不能表示圆.(4)方程2x 2＋2y 2－5x ＝0化为⎝⎛⎭⎫x －542＋y 2＝⎝⎛⎭⎫542， ∴它表示以⎝⎛⎭⎫54，0为圆心，54为半径长的圆. 规律方法 二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，应满足的条件是：①A ＝C ≠0，②B ＝0，③D 2＋E 2－4AF >0.跟踪演练1 如果x 2＋y 2－2x ＋y ＋k ＝0是圆的方程，则实数k 的范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，54 解析 由题意可知(－2)2＋12－4k >0， 即k <54.要点二 求圆的一般方程例2 已知△ABC 的三个顶点为A (1,4)，B (－2,3)，C (4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径.解 方法一 设△ABC 的外接圆方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， ∵A ，B ，C 在圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋16＋D ＋4E ＋F ＝0，4＋9－2D ＋3E ＋F ＝0，16＋25＋4D －5E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝2，F ＝－23，∴△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5. 方法二 设△ABC 的外接圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，∵A 、B 、C 在圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(4－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(3－b )2＝r 2，(4－a )2＋(－5－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，r ＝5，即外接圆的圆心为(1，－1)，半径为5，∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25，展开易得其一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0. 方法三 ∵k AB ＝4－31＋2＝13，k AC ＝4＋51－4＝－3，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC .∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形. ∴圆心是线段BC 的中点， 坐标为(1，－1)，r ＝12|BC |＝5.∴外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25. 展开得一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0. 规律方法 应用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D 、E 、F .跟踪演练2 已知A (2,2)，B (5,3)，C (3，－1)，求三角形ABC 的外接圆的方程. 解 设三角形ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2D ＋2E ＋F ＋8＝0，5D ＋3E ＋F ＋34＝0，3D －E ＋F ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12，即三角形ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0. 要点三 求动点的轨迹方程例3 等腰三角形的顶点是A (4,2)，底边一个端点是B (3,5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？ 解 设另一端点C 的坐标为(x ，y ).依题意，得|AC |＝|AB |.由两点间距离公式，得(x －4)2＋(y －2)2＝(4－3)2＋(2－5)2，整理得(x －4)2＋(y －2)2＝10.这是以点A (4,2)为圆心，以10为半径的圆，如图所示，又因为A 、B 、C 为三角形的三个顶点，所以A 、B 、C 三点不共线.即点B 、C 不能重合且B 、C 不能为圆A 的一直径的两个端点.因为点B 、C 不能重合，所以点C 不能为(3,5). 又因为点B 、C 不能为一直径的两个端点， 所以x ＋32≠4，且y ＋52≠2，即点C 不能为(5，－1).故端点C 的轨迹方程是(x －4)2＋(y －2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))，它的轨迹是以点A (4,2)为圆心，10为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点. 规律方法 求与圆有关的轨迹问题常用的方法.①直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式.②定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.③相关点法：若动点P (x ，y )随着圆上的另一动点Q (x 1，y 1)运动而运动，且x 1，y 1可用x ，y 表示，则可将Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P 的轨迹方程.跟踪演练3 已知直角△ABC 的两个顶点A (－1,0)和B (3,0)，求直角顶点C 的轨迹方程. 解 方法一 设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线， 所以x ≠3且x ≠－1.又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3.且k AC ·k BC ＝－1，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0. 因此，直角顶点C 的轨迹方程为 x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1).方法二 △ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形，设顶点C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1.由勾股定理得|AC |2＋|BC |2＝|AB |2， 即(x ＋1)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝16， 化简得x 2＋y 2－2x －3＝0. 因此，直角顶点C 的轨迹方程为 x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1).1.圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A.(2,3) B.(－2,3) C.(－2,－3) D.(2,－3)答案 D解析 －D 2＝2，－E2＝－3，∴圆心坐标是(2，－3).2.方程x 2＋y 2－x ＋y ＋k ＝0表示一个圆，则实数k 的取值范围为( ) A.k ≤12B.k ＝12C.k ≥12D.k <12答案 D解析 方程表示圆⇔1＋1－4k >0⇔k <12.3.方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形为( ) A.以(a ，b )为圆心的圆 B.以(－a ，－b )为圆心的圆 C.点(a ，b ) D.点(－a ，－b )答案 D解析 原方程可化为：(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0.所以它表示点(－a ，－b ). 4.圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋m ＝0的直径为3，则m 的值为________. 答案114解析 ∵(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－m ， ∴r ＝5－m ＝32，∴m ＝114.5.圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝________. 答案 3解析 圆心(1,2)到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离为|3×1＋4×2＋4|5＝3.1.圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，来源于圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件.2.圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出适当方程，以便简化解题过程.3.曲线的轨迹问题，要作简单地了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤.。
2013高二数学教案2.3.2《圆的一般方程》(新人教B版必修2)
圆的一般方程教学目标（1）掌握圆的一般方程并由圆的一般方程化成圆的标准方程；（2）能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题；（3）解题过程中能分析和运用圆的几何性质．教学重点圆的一般方程的认识和圆的两种方程的选择使用．教学难点圆的一般方程的认识过程和判断二元二次方程是否为圆方程．教学过程一、问题情境1．情境：方程22(1)(2)4x y -+-=表示怎样的图形？2．问题：方程22(1)(2)4x y -+-=是几元几次方程？二元二次方程一定表示圆吗？二、学生活动观察方程22(1)(2)4x y -+-=整理后的形式222410x y x y +--+=，得到是关于,x y 的二元二次方程，且22,x y 项的系数相等不为零，不含有xy 项；反过来，像这样的二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=一定表示圆吗？三、建构数学将方程220x y Dx Ey F ++++=配方，得22221()()(4)224D E x y D E F +++=+-与圆的标准方程进行比较得到：1．当2240D E F +->时，方程表示以(,)22D E --的圆；2．当2240D E F +-=时，方程表示一个点(,)22D E --； 3．当2240D E F +-<时，方程无实数解，即方程不表示任何图形；方程22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->叫做圆的一般方程．四、数学运用1．例题：例1．求过三点12(0,0),(1,1),(4,2)O M M 的圆的方程；分析：由于12(0,0),(1,1),(4,2)O M M 不在同一条直线上，因此经过12,,O M M 三点有唯一的圆．解：法一：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，∵12,,O M M 三点都在圆上，∴12,,O M M 三点坐标都满足所设方程，把12(0,0),(1,1),(4,2)O M M 代入所设方程， 得：02042200F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩解之得：860D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以，所求圆的方程为22860x y x y +-+=．法二：也可以求1OM 和2OM 中垂线的交点即为圆心，圆心到O 的距离就是半径也可以求的圆的方程：22860x y x y +-+=．法三：也可以设圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=将点的坐标代入后解方程组也可以解得22(4)(3)25x y -++=例2．已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 中点M 的坐标(,)x y 中,x y 满足的关系？并说明该关系表示什么曲线？ 解：设点A 的坐标是00(,)x y ，由于点B 的坐标是(4,3)，且M 是AB 的中点，所以0043,22x y x y ++==（＊） 于是，有0024,23x x y y =-=-因为点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，所以点A 的坐标满足方程22(1)4x y ++=，即2200(1)4x y ++=（＊＊）将（＊）式代入（＊＊），得22(241)(23)4x y -++-=， 整理得2233()()122x y -+-=所以,x y 满足的关系为：2233()()122x y -+-= 其表示的曲线是以33(,)22为圆心，１为半径的圆．说明：该圆就是M 点的运动的轨迹；所求得的方程就是M 点的轨迹方程：点M 的轨迹方程就是指点M 的坐标(,)x y 满足的关系式．例3． 某圆拱桥的示意图如右图，该圆拱的跨度AB 是36米，拱高OP 是6米，在建造时，每隔3米需用一个支柱支撑，求支柱22A P 的长度（精确到0.01米）．解：以线段AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点建立直角坐标系，那么点,,A B P 的坐标分别为(18,0),(18,0),(0,6)-；设圆拱所在的圆的的方程为220x y Dx Ey F ++++=，∵点,,A P B 在所求的圆上，则坐标代入得： 2221818018180660D F D F E F ⎧++=⎪-+=⎨⎪++=⎩，解之得048324D E F =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴圆拱所在的圆的方程为22483240x y y ++-=；将点2P 的横坐标6x =代入圆方程，解得24 5.39y =-+≈（舍去负值） 答：支柱22A P 的长约为5.39米．五、回顾小结：1．圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=及其条件2240D E F +->；2．方程思想求圆的一般方程．。
高中数学 2.3.1圆的标准方程学案一 新人教B版必修2
圆的标准方程1．本节重点是圆的标准方程结构特征的正确理解与认识；在给定条件下求圆的标准方程的一般思维方法。
难点是用数形结合法求圆的标准方程。
2．在得到圆的标准方程222)()(r b ya x =-+-之后，用“曲线与方程”的思想解释坐标满足方程的点一定在曲线上。
即若点M 在圆上，由上述结论可知，点M 的坐标适合方程；反之，若N 的坐标适合方程，说明点N 与圆心A 的距离为r 。
3．对于圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，应强调其圆心为C(a ,b )，半径为r ，注意方程中的减号。
4．提出坐标法的思想，即根据给出的圆心坐标以及半径写出圆的方程——从几何到代数；根据坐标是否满足方程，来认识所对应的几何对象之间的关系——从代数到几何。
5．在引导学生列关于a 、b 、r 的方程或方程组时，要注意联系平面几何的知识，尤其是其中的一些直角三角形、垂弦定理。
1．在本节的学习中，要注意圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，通过两点间的距离公式理解和记忆，且通过圆的标准方程可以直接得到圆心和半径、通过圆心和半径可以直接得到圆的标准方程。
2．在掌握了标准方程之后，要能从“是”、“否”两个方面来判断点与方程的关系， 3．要注意数形结合思想及方程思想的运用。
4．求标准方程常用待定系数法，根据题目的条件列出关于a 、b 、r 的方程或方程组。
情景创设栏目功能：激起学生的学习本节知识、探究问题、发现问题的兴趣和斗志，同时也能更好地体现新课标理念.编写说明：1.在报刊、网络或相关信息上精选或精编一段新颖的、可读性强的、趣味性强的与本节相关的生产、生活、社会、科技等美文、小故事、图片等，作为本节知识的导入，引导学生去探索、发现问题，激发学生的学习兴趣.2.如果与本节相关的材料确实不好找，也可以从知识回顾的角度或自己精编一个与本节有关的问题去写.3.注意篇幅不易过长.乎。
世界上最巨大的摩天轮是座落于泰晤士河畔的英航伦敦眼，距地总高达135公尺．然而，由于伦敦眼属于观景摩天轮结构，有些人认为其在排行上应该与重力式摩天轮分开来计算．因此目前世界最大的重力式摩天轮应位于日本福冈的天空之梦福冈，是直径112公尺，离地总高120公尺的摩天轮。
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方程
条件
图形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
D2＋E2－4F＜0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
表示一个点，点的坐标为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
D2＋Байду номын сангаас2－4F>0
表示以 为圆心，以 为半径的圆
思考若一个二元方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则系数A，B，C，D，E，F应满足什么条件？
2.3.2圆的一般方程
预习导航
课程目标
学习脉络
1．掌握圆的一般方程的形式．
2．能根据圆的一般方程求得圆的圆心和半径．
3．能根据已知条件求圆的一般方程．
4．了解二元二次方程、圆的标准方程和圆的一般方程之间的关系.
1．圆的一般方程
圆的一般方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，限制条件是D2＋E2－4F>0.
提示：应满足的条件是①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4AF>0.