泛函分析作业
泛函分析习题
泛函分析习题泛函分析练习题⼀名词解释：1.范数与线性赋范空间2.⽆处稠密⼦集与第⼀纲集3.紧集与相对紧集4.开映射5.共轭算⼦6. 内点、内部：7. 线性算⼦、线性范函：8. ⾃然嵌⼊算⼦9. 共轭算⼦10. 内积与内积空间：11. 弱有界集：12. 紧算⼦：13. 凸集14. 有界集15. 距离16. 可分17. Cauchy 列18.⾃反空间⼆、定理叙述1、压缩映射原理2. 共鸣定理3.逆算⼦定理4. 闭图像定理5.实空间上的Hahn-Banach 延拓定理6、Baire 纲定理7、开映射定理8、Riesz 表现定理三证明题：1.若(,)x ρ是度量空间，则1d ρρ=+也使X 成为度量空间。
证明：,,x y z X ?∈显然有（1）(,)0d x y ≥，(,)0d x y =当且仅当x y =。
（2）(,)(,)d x y d y x =（3）由1()111t f t t t ==-++，(0)t >关于t 单调递增，得 (,)(,)(,)(,)1(,)1(,)(,)x z x y y z d x z x z x y y z ρρρρρρ+=≤+++(,)(,)1(,)1(,)x y y z x y y z ρρρρ≤+++ (,)(,)d x y d y z =+故d 也是X 上的度量。
2，设H 是内积空间，,,,n n x x y y H ∈，则当,n n x x y y →→时，(,)(,)n n x y x y →，即内积关于两变元连续。
证明：22|(,)(,)||(,)|||||||||n n n n n n x y x y x x y y x x y y -=--≤-?-已知 ,n n x x y y →→，即||||0,||||0n n x x y y -→-→。
故有 2|(,)(,)|0n n x y x y -→即 (,)(,)n n x y x y →。
3.考虑[,]C a b 上的⾮线性积分⽅程()(,,())()ba x t k t s x s ds t λ?-=?其中[,],(,,)C a b k t s ?ω∈是[,][,]a b a b R ??上的连续函数，满⾜1212|(,,)(,,)|||k t s k t s b ωωωω-≤-证明当||λ⾜够⼩时，此⽅程存在唯⼀解0[,]x C a b ∈。
泛函分析考试题型及答案
泛函分析考试题型及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设函数空间E为所有连续函数的集合，定义泛函F(u)=∫₀¹u(x)dx，则F(u)是线性的。
A. 正确B. 错误答案：A2. 每一个线性泛函都可以表示为一个内积。
A. 正确B. 错误答案：B3. 泛函分析中的“泛函”一词指的是函数的函数。
A. 正确B. 错误答案：A4. 弱收敛和强收敛是等价的。
A. 正确B. 错误答案：B5. 紧算子总是有界算子。
A. 正确B. 错误答案：A6. 每一个闭算子都是有界的。
A. 正确B. 错误答案：B7. 每一个有界线性算子都是紧算子。
A. 正确B. 错误答案：B8. 每一个线性泛函都可以用Riesz表示定理表示。
A. 正确B. 错误答案：A9. 每一个线性算子都可以分解为一个紧算子和一个有界算子的和。
A. 正确B. 错误答案：B10. 每一个线性算子都可以分解为一个有界算子和一个紧算子的和。
A. 正确B. 错误答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设X是赋范线性空间，如果对于X中的每一个序列{x_n}，都有‖x_n‖→0当且仅当x_n→0，则称X是______空间。
答案：完备2. 设T是线性算子，如果T(X)是X的闭子空间，则称T是______算子。
答案：闭3. 设E是Hilbert空间，如果对于每一个x∈E，都有∥Tx∥≥∥x∥，则称T是______算子。
答案：正4. 设E是Banach空间，如果对于每一个序列{x_n}⊂E，都有∑‖x_n‖<∞当且仅当∑x_n收敛，则称E是______空间。
答案：自反5. 设E是线性空间，如果对于每一个序列{x_n}⊂E，都有∑x_n收敛当且仅当∑‖x_n‖<∞，则称E是______空间。
答案：序列完备三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述Hahn-Banach定理的内容。
答案：Hahn-Banach定理指出，如果X是一个赋范线性空间，p是X 的一个线性子空间，f是p上的一个线性泛函，并且存在一个常数M使得对于所有x∈p，有|f(x)|≤M‖x‖，则存在X上的一个线性泛函F，使得F|p=f，并且对于所有x∈X，有|F(x)|≤M‖x‖。
泛函分析期末试题及答案
泛函分析期末试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是泛函分析的主要研究对象？A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 点集答案：D2. 泛函是指将一个向量空间的元素映射到一个标量的函数。
以下哪个选项是泛函的定义？A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 函数空间的对偶空间答案：C3. 在泛函分析中，范数是一种度量向量空间中向量大小的方法。
以下哪个选项是范数的定义？A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 函数空间的对偶范数答案：B4. 下列哪个不是泛函分析中的基本定理？A. 嵌入定理B. 开铃定理C. Hahn-Banach定理D. Banach-Steinhaus定理答案：B5. 泛函分析中的内积是指满足一定条件的映射。
以下哪个选项是内积的定义？A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 内积空间答案：D二、填空题1. 完成下列范数的定义：范数是一个实值函数，对于一个向量空间中的向量x，满足以下三个性质：(1) 正定性：||x|| ≥ 0，且当且仅当x=0时，||x|| = 0；(2) 齐次性：对于任意实数a，||ax|| = |a| · ||x||；(3) 三角不等式：对于任意两个向量x和y，||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||。
2. 填写完整的Hahn-Banach定理的表述：设X是一个实或复数的线性空间，Y是X的一个线性子空间，f是定义在Y上的线性泛函，对于所有的y∈Y，有f(y) ≤ p(y)，其中p是X上的一个次线性泛函，且满足p(y) ≤ p(x)对所有的x∈X成立，则存在一个定义在整个X上的线性泛函F，满足F(x) ≤ p(x)对所有的x∈X成立，并且在Y上，F和f的限制是相等的。
三、计算题1. 对于给定的函数空间C[0,1]，计算函数f(x) = x^2在C[0,1]上的范数。
解答：根据范数的定义，范数是一个实值函数，对于一个向量空间中的向量x，满足以下三个性质：(1) 正定性：||x|| ≥ 0，且当且仅当x=0时，||x|| = 0；(2) 齐次性：对于任意实数a，||ax|| = |a| · ||x||；(3) 三角不等式：对于任意两个向量x和y，||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||。
应用泛函分析习题1
n k =1
27. 设 e1 , e2 ," en 是 n 维线性空间 R 的一个基， ∀ x = 现 在 ， 对 于 给 定 的 a=
n
∑ ξk ek ∈ R n ，规定 x 的范数 || x ||= ∑ ξk 。
k =1
n
∑a e
k =1
n
k k
∈ R n ( ak ∈ R ) ， 在 R n 定 义 泛 函
{
}
1 , ∀x ∈ S 求证： x
Tx − Ty < x − y ，对任意的 x, y ∈ S ，但 T 在 S 上没有不动点。
12. 试在 l 空间中给出一个无限维线性子空间 M ，但 M ≠ l . 13. 设 M 与 N 是 线 性 空 间 X 中 两 个 线 性 子 空 间 ， x, y ∈ X 。 证 明 ：
令 d ∞ ( x, y ) = max | ξi − ηi | 。证明 ( X , d ∞ ) 为一个完备的度量空间。 请给 X × Y 定义两 3. 设 X , Y 为两个度量空间，X × Y = {( x, y ) | x ∈ X , y ∈ Y } 为 X , Y 的 Dicard 积。 种不同的度量。 4. 试证明映射
{
}
∑ ( x, e )( y, e ), ∀x, y ∈ H 。
k =1 k k
∞
。求证：集 26. 设 S = ek ∈ H k ∈ N 是 内 积 空 间 H 中 的 正 交 规 范 系 集 ， m 为 正 整 数 ，
Bm = ek ∈ S x < m ( x, ek )
{
{
}
2
2
} 中至多含有 m −1 个元素。
n =−∞
泛函分析试题及答案
泛函分析试题及答案一、选择题1. 在泛函分析中，以下哪个概念描述了一个函数对于输入变量的敏感程度？A. 泛函B. 导数C. 凸函数D. 可测函数答案：B. 导数2. 设X和Y是两个Banach空间，f:X→Y是一个线性算子。
以下哪个条件可以保证f是有界线性算子？A. f是可逆的B. f是连续的C. f是紧致的D. f是自共轭的答案：B. f是连续的3. 在泛函分析中，以下哪个概念描述了一个函数在每个点上的局部模式与全局模式之间的一致性？A. 可微性B. 凸性C. 全纯性D. 一致连续性答案：B. 凸性4. 设X和Y是两个赋范空间，f:X→Y是一个线性算子。
以下哪个条件可以保证f是有界线性算子？A. f是单射且存在常数C>0，使得对于所有x∈X都有||f(x)|| ≤C||x||B. 对于每个有界集A ⊂ X，f(A)是有界集C. f是连续的D. f是满射答案：A. f是单射且存在常数C>0，使得对于所有x∈X都有||f(x)|| ≤ C||x||二、填空题1. 在Hilbert空间中，内积运算满足线性性和_____________性。
答案：共轭对称性2. 设X是一个有界完备度量空间，那么X是一个____________空间。
答案：Banach空间3. 在泛函分析中，将一个函数的导数定义为其_____________。
答案：弱导数4. 设X是一个线性空间，D是X上的一个有界线性算子。
如果对于所有x和y都有⟨Dx, y⟩ = ⟨x, Dy⟩，那么D被称为______________。
答案：自伴算子三、解答题1. 请简要说明什么是范数，并给出一些范数的例子。
范数是定义在一个线性空间上的一种函数，用于衡量该空间中的向量的大小。
它满足以下三个性质：- 非负性：对于任意向量x，其范数必须大于等于0，即||x|| ≥ 0，并且当且仅当x为零向量时，范数等于0。
- 齐次性：对于任意向量x和任意实数α，有||αx|| = |α| ||x||，其中|α|表示α的绝对值。
泛函分析高级习题
泛函分析高级习题1. 给定一个Hilbert空间H，证明：几何中心C(H)是一个凸集。
解答：要证明几何中心C(H)是一个凸集，需要证明对于任意的x,y∈C(H)和任意的t∈[0,1]，都有tx+(1-t)y∈C(H)。
对于任意的x,y∈C(H)，根据几何中心的定义，我们有∥x-t_m x\|^2 = \inf _{z∈H} ∥ z - tx\|^2，其中t_m表示x的几何中心。
同样地，我们有∥y-t_m y\|^2 = \inf _{z∈H} ∥ z - ty\|^2。
现在，我们来证明tx+(1-t)y也是一个几何中心。
对于tx+(1-t)y，我们有：∥tx+(1-t)y-t_m (tx+(1-t)y)\|^2 = \inf _{z∈H} ∥ z - (tx+(1-t)y)\|^2根据三角不等式，我们可以得到：∥tx+(1-t)y-t_m (tx+(1-t)y)\|^2 ≤ ∥tx-t_m tx\|^2 + ∥(1-t)y - t_m (1-t)y\|^2根据几何中心的定义，有：∥tx+(1-t)y-t_m (tx+(1-t)y)\|^2 ≤ ∥tx-t_m tx\|^2 + ∥(1-t)y - t_m (1-t)y\|^2 = 0由此可见，tx+(1-t)y的几何中心是它自身。
因此，tx+(1-t)y∈C(H)。
由此可见，几何中心C(H)是一个凸集。
2. 给定一个可分的Hilbert空间H，证明：存在一个可数的规范正交集。
解答：假设H中的可数稠密集为{u_n}，即对于任意的x∈H和ε>0，存在某个n使得∥x-u_n∥<ε。
我们定义一个新的集合{v_n}，其中v_n = u_n/∥u_n∥。
显然，{v_n}是一个可数集合。
现在我们来证明{v_n}是一个规范正交集。
首先，我们证明{v_n}是一个正交集。
对于不同的m和n，我们有：(v_m，v_n) = (u_m/∥u_m∥, u_n/∥u_n∥) = (u_m,u_n)/(∥u_m∥∥u_n∥)当m≠n时，u_m和u_n分别对应于H中的不同向量，因此它们的内积为0：(u_m, u_n) = 0因此，(v_m，v_n) = 0，即{v_n}是一个正交集。
泛函分析口算练习题及答案2023
泛函分析口算练习题及答案2023题一：设X是赋范空间，Y是巴拿赫空间，f∈L(X,Y)，证明ε＞0，存在δ＞0，使得对于任意x∈X，当∥x∥＜δ时，有∥f(x)∥＜ε成立。
证明：由于f∈L(X,Y)，根据巴拿赫空间的定义，存在常数M＞0，使得对于任意x∈X，有∥f(x)∥≤M∥x∥成立。
取ε＞0，设δ＝ε/M，则对于任意x∈X，当∥x∥＜δ时，有∥f(x)∥≤M∥x∥＜M(ε/M)＝ε，即∥f(x)∥＜ε成立。
题二：设X是赋范空间，Y是巴拿赫空间，E是X的闭线性子空间，证明存在一个线性连续泛函f，使得E是f的核。
证明：考虑商空间X/E，定义映射π：X→X/E，映射π是线性映射。
由于E是闭线性子空间，根据商空间的定义，X/E是赋范空间。
取f(x)=0，其中x∈E，则对于任意x∈E，有π(x)=E，即π(x)=0。
根据线性映射的定义，f(x)是线性泛函。
同时，由于π是连续映射，根据连续映射的定义，f(x)是线性连续泛函。
又因为对于任意x∈E，有f(x)=0，即E是f的核。
综上所述，存在一个线性连续泛函f，使得E是f的核。
题三：设X是非空集合，d是X上的度量，则(X,d)是完备度量空间的充要条件是每个柯西序列都在X中收敛。
证明：充分性：设(X,d)是完备度量空间，取X中的柯西序列{xn}，即对于任意ε＞0，存在正整数N，使得当m,n＞N时，有d(xm,xn)＜ε成立。
根据柯西序列的定义，对于上述柯西序列，存在x∗∈X，使得lim(n→∞)d(xn,x∗)＝0。
由度量的定义，当m,n＞N时，有d(xm,x∗)≤d(xm,xn)+d(xn,x∗)＜ε+d(xn,x∗)。
根据极限的定义，当n→∞时，有d(xn,x∗)→0。
因此，对于任意ε＞0，存在正整数N，使得当n＞N时，有d(xn,x∗)＜ε成立，即柯西序列{xn}收敛于x∗。
必要性：设(X,d)中的每个柯西序列都在X中收敛，取X中的柯西序列{xn}，根据题设，该柯西序列在X中收敛于某一元素x∗。
泛函分析习题
第七章 度量空间和赋范线性空间复习题：1。
设(,)X d 为一度量空间，令0000(,){|,(,)},(,){|,(,)},U x x x X d x x S x x x X d x x εεεε=∈<=∈≤问0(,)U x ε的闭包是否等于0(,)S x ε?2.设[,]C a b ∞是区间[,]a b 上无限次可微函数的全体，定义()()()()01|()()|(,)max.21|()()|r r r r r a t b r f t g t d f g f t g t ∞≤≤=-=+-∑ 证明[,]C a b ∞按(,)d f g 成度量空间.3。
设B 是度量空间X 中闭集,证明必有一列开集12,,,,n O O O 包含B ,而且1.n n O B ∞==4.设(,)d x y 为空间X 上的距离，证明(,)(,)1(,)d x y d x y d x y =+也是X 上的距离.5。
证明点列{}n f 按题2中距离收敛于[,]f C a b ∞∈的充要条件为n f 的各阶导数在[,]a b 上一致收敛于f的各阶导数.6.设[,]B a b ⊂,证明度量空间[,]C a b 中的集 {|t , (t)=0}fB f ∈当时为[,]C a b 中的闭集，而集 {||()|}(0)A ft B f t a a =∈<>当时,为开集的充要条件是B 为闭集。
7。
设E 及F 是度量空间中两个集，如果(,)0d E F >，证明必有不相交开集O 及G 分别包含E 及F 。
8.设[,]B a b 表示[,]a b 上实有界函数全体，对[,]B a b 中任意两元素,[,]f g B a b ∈，规定距离为(,)sup |()()|.a t bd f g f t g t ≤≤=-证明[,]B a b 不是可分区间.9.设X 是可分距离空间，f 为X 的一个开覆盖，即f 是一族开集，使得对每个x X∈，有f 中开集O ，使x O ∈，证明必可从f 中选出可数个集组成X 的一个覆盖. 10。
泛函分析作业(一)
泛函分析作业（一）BY0807112 吴耀第一题(0,1)和[0，1]是如何对应的。
解答：(构造一) 设(0,1)区间的全体有理数集合为Q ，全体无理数集合为R ，则有：(0,1),Q R Q R ==Φ [0,1]{0}{1}Q R =Q 为可列集，可以表示为11{,,...,...}n Q m m m =，可作映射:[0,1](0,1)f −−→如下：11201(),1,2,...n n m x m x f x m x m n xx R +=⎧⎪=⎪=⎨==⎪⎪∈⎩ 可见，以上映射为一一映射，故(0,1)和[0，1]对等。
(构造二) 记集合1110,1,,,...,,...,[0,1]23M N M n ⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭,做如下映射:[0,1](0,1)f → 1/2,0()1/(2),1/,1,2,...,x f x n x n n x x N =⎧⎪=+==⎨⎪∈⎩可见，以上映射为一一映射，故(0,1)和[0，1]对等。
第二题证明Cantor 集K 是完备的。
证明：在 Cantor 中任取一点0x ,根据定义，0,,N n N δ∀>∃∈> 时01(,)3n nd x x δ≤< 即对任何0δ>，0(,)B x δ包含点(0)n x n ≠，即0x 为K 的极限点（聚点），因此K 是完备的。
第三题举两个非连续可测函数的例子，至少有一个不是几乎处处为0的函数 解答：1、考虑Dirichlet 函数1,()[0,1]0,x D x x x ⎧=∈⎨⎩为有理数为无理数设1212,E E E E E = 为[0,1]上的有理数，为[0,1]上的无理数，显然12E E φ= ， 由于1E 是可列点集，所以1()0m E =，即有()0,..D x a e E =于。
显然这个函数可测，且非连续。
2、考虑定义在E=[0,1]上的函数，以及[0,1]子集{|}2S x r ==为[0,4]上的有理数,因为S 与[0,4]上的有理数对等，由有理数集可列可知S 是可列集，可定义函数如下：0,()[0,1]1,x S f x x x S∈⎧=∈⎨∉⎩显然()0m S =，即有()1,..f x a e E =于。
泛函分析习题及参考答案
∑
∞
ξi( n ) < ε p 对任何自然数 n 成立。
1 p
p
p⎞ ⎛ ∞ (n) (n) 证明：必要性证明，由 d ( xn , x) = ⎜ ∑ ξi − ξi ⎟ → 0 可知， ξi → ξi ， i = 1, 2, ⎝ i =1 ⎠
。
由 x = (ξ1 ,
∞
, ξi , ) ∈ l p 可知， ∀ε > 0 ，存在 N1 > 0 ，使得
1 3
1 3
1 1 1 ⎧ ⎫ O( x, ) ∩ O( y, ) = Φ ，从而 ⎨O( x, ) x ∈ M ⎬ 是一族互不相交的球，其总数是不可数的。 3 3 3 ⎩ ⎭
（或：由 ∪O 因此 {y n }至少也有不可数个，这与 {y n }是可数的相矛盾。 （yn , ） ⊃l ⊃M 以
∞
1 3
p p
En
∫x
n
பைடு நூலகம்
− x dt +
p
Fn
∫x
n
− x dt 。此时，
p
1 1 ⎡ ⎤ p p p p p p x x dt ( x dt ) ( x dt ) − ≤ + ⎢ ⎥ ， ∫ x n − x dt < (b − a ) ⋅ ε 。 n n ∫ ∫ ∫ ⎢ En ⎥ Fn En En ⎣ ⎦
依测度收敛于 x(t ) 。
， 令n → ∞， 可得 m( E ( x n − x ≥ σ ) → 0 。 即 x n (t )
由 x(t ) 的积分绝对连续性可知，对任何 ε > 0 ，存在 δ 1 > 0 ，使得 e ⊂ E ，me < δ 1 时，
( ∫ x(t ) dt ) <
泛函分析答案
泛函分析答案：1、 所有元素均为0的n ×n 矩阵2、 设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。
子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。
3、 设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。
4、 设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。
5、 设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件：（1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x)（3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z) for every x,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义：设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }Td 2(x,y)=(21||niii x y=-∑)1/2d 1(x,y)=1||ni i i x y =-∑d p (x,y) = (1||np iii x y=-∑ )1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i nx y ≤≤-6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)→0(n →∞)，这时记作0lim nn xx -->∞=，或简单地记作x n →x 07、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iff x=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数（3）||x+y||≤||x||+||y||,for every x,y ∈E8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。
《泛函分析》作业答案汇总(修改)
《泛函分析》作业1、对,x y R ∀∈，令21(,)()d x y x y =-，2(,)d x y =，问1(,)d x y ，2(,)d x y 是度量空间吗？2、)(2E L 表可测集E 的平方L e b e s g u 可积函数，2,()x y L E ∀∈令{}122(,)()()Ed x y x t y t dt=-⎰，证明2((),)L E d 是度量空间。
3、S 表示所有数列组成的集， S y x ∈∀,,}{},{i i y y x x ==，令||1||21),(1i i i i i iy x y x y x d -+-=∑∞=，则S 是度量空间。
4、}|{122∞<=∑∞=i i i x x l ，2,l y x ∈∀，2121})({),(i i i y x y x d -=∑∞=，证明),(2d l 是度量空间。
5、度量空间的收敛点列是有界的。
6、设),(2d R 是度量空间，,n x y R ∈，1(,)n x x x = ，1(,)n y y y = ，||max ),(1i i ni y x y x d -=≤≤，{}()(,),(1,2,)m n x R d m ⊂= ，()1(,)m m m n x x x = ，),....,()0()0(1)0(n x x x=，(,)n x R d ∈，，证明()()(1)m x x m i i x →→∞⇔∀≤≤，()()m ii x x m →→∞。
7、证明,0),,(,0>∃∈∀r r x s x 使),(),(0,0r x s r x s ⊂。
8、证明：,),(,0O ≠⋂>∀⇔∈-A x s A x εε用此结论证,AB A B = 。
9、证明（1）任意闭集交是闭集。
（2）有限个闭集的并是闭集。
10、证明开球是开集，闭球是闭集。
11、设(,)X d 是度量空间，A B C X ⊆，，，若B 在A 中稠密，C 在B 中稠密，，证明C 在A 中稠密。
泛函分析试题二
泛函分析试题二
一、 叙述题(20分)
叙述内积空间的定义并验证: 在实n 维欧氏空间n R 中，对),,,(21n x x x x =∀, n
n R y y y y ∈=),,,(21 , 定义i n
i i y x y x ∑==1),(, 则n R 在),(⋅⋅下是内积空间. 二、 证明题(每小题15分，共60分)
1． 设X 是距离空间, ρ是其上的距离. 令)
,(1),(~y x y x ρρρ
+=，证明ρ~也是X 上的距离.
2． 证明: 准紧集为紧集的充要条件是它为闭的. 3．设X ,1X 是赋范线性空间，T 是X 上到1X 中的线性算子，则T 在某一点X
x ∈0连续的充要条件是T 在X 上连续的.
4．设H 是内积空间，H y x ∈,，则y x ⊥的充要条件是任何数α，有||||||||x y x ≥+α.
三、 问答题(20分)
设T 是赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 的线性算子, 如果T 的零空间}|{)(θ==Tx x T N 是闭集, 问T 是否有界? 当T 是有界算子时, )(T N 是闭集吗?。
泛函分析习题参考答案
泛函分析习题参考答案一、设),(y x d 为空间X 上的距离，试证：),(1),(),(~x y d x y d x y d +=也是X 上的距离。
证明：显然,0),(~≥y x d 并且y x y x d y x d =⇔=⇔=0),(0),(~。
再者，),(~),(1),(),(1),(),(~y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+=；最后，由tt t +-=+1111的单调增加性及),(),(),(y z d z x d y x d +≤，可得 ),(),(1),(),(),(1),(),(),(1),(),(),(1),(),(~y z d z x d y z d y z d z x d z x d y z d z x d y z d z x d y x d y x d y x d +++++=+++≤+=),(~),(~),(1),(),(1),(y z d z x d y z d y z d z x d z x d +=+++≤。
二、设1p ≥，1()()(,,,)i n n p n x l ξξ=∈， ,2,1=n ，1(,,,)pi x l ξξ=∈，则n →∞时，1()1(,)0pp n n i i i d x x ξξ∞=⎛⎫=-→ ⎪⎝⎭∑的充要条件为)1(n →∞时，()n i i ξξ→，1,2,i =；)2(0ε∀>，存在0N >，使得()1pn i i N ξε∞=+<∑对任何自然数n 成立。
必要性证明：由1()1(,)0ppn n i i i d x x ξξ∞=⎛⎫=-→ ⎪⎝⎭∑可知，()n i i ξξ→，1,2,i =。
由1(,,,)pi x lξξ=∈可知，ε∀>，存在10N >，使得11(2ppi i N εξ∞=+<∑，并且1n N >时，()1(2p n p i i i εξξ∞=-<∑。
泛函分析试题七
泛函分析试题七一、叙述问答题(每小题10分，共20分)1. 叙述内积空间的定义.2. 验证: 在2维欧氏空间2R 中,对任意的),(21x x x =,221),(R y y y ∈=, 定义i i i y x y x ∑==21),(, 则2R 在),(⋅⋅下是一个内积空间. 二. 证明题 (第1, 2小题各10分，第3, 4小题各15分，共50分)1. 设),2,1}({ =n F n 为紧空间中的一列闭集, 满足 ⊃⊃⊃⊃n F F F 21, 且φ≠n F . 证明：φ≠⋂∞=n n F 1.2. 设Y X ,都是距离空间, Y X f →:是一致连续的, }{n x 是X 中的基本列, 证明: )}({n x f 是Y 中的基本列.3．设}{n x 是实内积空间X 中的一列点,且对一切X y ∈有),(),(lim y x y x n n =∞→， 证明：若||||||||lim x x n n =∞→, 则x x n n =∞→lim . 4. 设G 是赋范线性空间E 的子空间, E x ∈0. 若对于上E 任一满足)(0)(G x x f ∈=的有界线性泛函f ,有0)(0=x f . 证明: G x ∈0.三. 判断分析题 (每小题15分, 共30分)1. 设X 是完备的距离空间, T 是由X 到X 自身的映射, 并且对于任意的X y x ∈,, y x ≠, 有),(),(y x d Ty Tx d <成立. 问：T 在X 中是否存在不动点？并给出理由(证明或举反例).2. 设T 是赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 的线性算子, 如果T 的零空间}|{)(θ==Tx x T N 是X 闭子空间, 问T 是否有界? 当T 是有界算子时, )(T N 是闭集吗?。
泛函分析考试题
判断题：(1) 设X 是线性赋范空间，X 中的单位球是列紧集，则X 必为有限维。
√ (2) 距离空间中的列紧集都是可分的。
√(3) 若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。
× (4) 任何一个Hilbert 空间都有正交基。
×(5) 设X 是线性赋范空间，T 是X →X 的有界线性算子，若T 既是单射又是满射，则T 有逆算子。
× (6) 设X 是线性赋范空间，若X 与X *同构，则X 必是完备的。
√ (7) 设X 是Hilbert 空间，T 是线性算子，满足()(),,,,Tx y x Ty x y X =∈，则()T L X ∈。
√(8) 设M X ⊆是线性赋范闭子空间，若0x M ∉，则一定存在f X *∈，使()000,,1Mff x x f ===。
×(9) 设X 是Banach 空间，T 是X 上线性算子，如果()D T 是X 中的闭集且在X 中稠密，则T 有界。
√(10) 设{}n a l ∞⊆，定义2l 上的算子T 为{}(){}n n n T a ξξ=，则(){}p n T a σ=。
√1.设X 是有限维赋范空间，试证：X 上任意两个范数都是等价范数。
证明：令()()1212,,,X X X X =∙=∙，显然必存在有一个范数较强，不妨假设存在一个M>0，使得21x M x ≤。
取单位算子()12,I L X X ∈，这时有21Ix M x ≤，故I 是有界线性算子，显然I 是单射，满射，由逆算子定理可知，I 存在逆算子1I -，且有界，因而1121I x I x --≤，所以12,∙∙等价。
2.设X 是有限维赋范空间，试证：X 中弱收敛等价于按范数收敛。
证明：显然，在X 中按范数收敛的序列一定是弱收敛。
另一方面，取{}01,n n x X x X ∞=⊆∈，使得0w n x x −−→，即对于任意的T X *∈使得0lim n n Tx Tx →∞=。
1_泛函分析作业
et−s x(s) ds = y (t)
其中, y (t) ϵ C[ 0 , 1 ] 为一给定函数，λ 为常数，| λ |<1, 求证存在唯一解 x(t) ϵ C[ 0 , 1 ]. 解：定义映射 T = λ 列积分问题： e x(t) = ξ + λ
0 −t
∫1
0
e−s x(s) ds 要证明原命题有唯一解，即求连续函数满足下 ∫
tϵ[0,1]
max λ | u(s) − v (s) |= ρ(u, v )
即当 ρ(u, v )→0, ρ(T u, T v ) → 0 故存在不动点，唯一性显然，即原命题得证。 1.2.2 在一个度量空间 (H , ρ) 上，求证：基本列是收敛列，当且仅当其中存在一 串收敛子列。 先证明，基本列存在一串收敛子列，先列出一基本列及其子列。
4
说明: 首先非常感谢老师愿意为我这个非数学专业的学生批改作业，荣幸之 至。 1. 很抱歉第一次作业做的很糟糕。原因有很多，但是自己会尽力赶上。在完成 作业前看到了一个版本的参考书里有一模一样的题，所以坦白涉嫌抄袭，蓝 色部分是遇到的题目中炒过来的步骤，也是我没想到的。 2. 因为之前没有用过 Latex，所以在第一次排版上有太多的缺陷，老师如果愿 意尽管指出来，再次感谢老师！感觉到老师虽然顽皮亲切，但是对学生要求 却很高，学生惶恐，会尽力赶上。
泛函分析作业 1
邵晨 2016 年 9 月 15 日 1.1.5. 设 T 是压缩映射, 求证 T n (n ϵ N) 也是压缩映射，并说明逆命题不成立。 证原命题 : 因为 T 是压缩映射，所以存在 0 < α < 1, 使 ρ(T x, T y ) αρ(x, y ), ∀ x, y ϵ H
泛函分析练习题
列集与列紧集
例题1. 证明⎭
⎬⎫⎩⎨⎧= ,2sin 1,2cos 1,sin 1,cos 1,21t t t t A πππππ是紧距离空间。
第八章 有界线性算子和连续线性泛函
第九章 例1: , , 则 。
第十章 例2：设 是赋范线性空间, 则 上的任意线性泛函皆连续。
第十一章 内积空间和希尔伯特空间
题1: 设 是内积空间 的非空子集, 证明: , 。
题2: 设 为Hilbert 空间 的线性子空间, 若 在 上的投影 皆存在。
证明: 。
题3: 设 是Hilbert 空间 的非空子空间。
证明: 是 中包含 的最小闭子空间。
题4: 设 是希尔伯特空间 的闭子空间, , 证明: 。
题5: 设 是 内所有实值连续函数全体所构成的集合, 为 内奇连续函数全体, 是 内偶连续函数全体。
证明: 。
题6：设 是Hilbert 空间, 是其中的规范正交系, ,
证明: 函数 当且仅当 时达到极小值。
题7: 设是内积空间的规范直交系, 证明: 。
题8: 设是Hilbert空间的规范直交系, 证明: 完全成立
题9: 设是Hilbert空间的完全规范直交系, 又设, 是中的规范直交系, 且满足, 证明: 。
题10: , 证明: 。
题11: 设, 证明: 。
题12: 在, 将用格莱姆-施密特方法正交化为规范直交系。
泛函分析作业(二)
泛函分析作业（二）BY0807112 吴耀第一题试举出一个无穷维Hilbert 空间，并指出它的一个正规正交基 解答：考虑2l ，定义内积：∞==∀1}{j j x ξ,+∞<∑∞=21j j ξ,∞==1}{j j y η,+∞<∑∞=21j jη,2,l y x ∈ ∑∞==1),(j jjy x ηξ首先验证满足内积的四条假设. 1)==∑∞=1),(j j j x x ξξ021≥∑∞=j j ξ,且00),(=⇔=x x x ;2)),(),(),(z y z x z y x +=+显然成立;3)K ∈∀α,=),(y x α),(11y x j j j j jjαηξαηαξ==∑∑∞=∞=;4)=),(x y ==∑∑∞=∞=11j jjj jjηξξη),(y x所以2l 是按照如上内积定义的内积空间。
下面说明该内积空间是完备的。
由定义有：==∑∞=1),(j j j x x ξξ221x j j=∑∞=ξ,可见由内积诱导的范数恰好是2l 在以前定义的范数：2121)(∑∞==j jx ξ，，以前已经证明这一个完备的赋范线性空间，所以，该内积空间是完备的。
总之，2l 是一个无穷维Hilbert 空间。
下面指出这个无穷维Hilbert 空间的一个正规正交基。
,...)...0,1,...0,0,0(,...),...,0,1,0(,...),0,0,1(21===n e e e下证∞=1}{j j e 是2l 的一个正规正交基。
显然有：⎩⎨⎧≠==ji ji e e j i ,0,1),( 21}{l x j j ∈=∀∞=ξ,使得0),(=n e x ,则有j ξ=0，0=x 。
故∞=1}{j j e 是2l 的一个正规正交基。
第二题X 是内积空间，K ∈∈n m n m X y y y x x x βββααα,...,,,...,,,,...,,,,...,21212121,则：),(,1111j i j m i nj i n j j j m i i i y x y x βαβα∑∑∑∑=====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛. 证明：首先根据定义，证明如下等式：K ∈∈∀21,,,,ββX z y x),(),(),(),(),(),(21212121z x y x x z x y x z y z y x ββββββββ+=+=+=+则有：),(,,,11111111j i j m i nj i m i n j j j i i m i n j j j i i n j j j m i i i y x y x y x y x βαβαβαβα∑∑∑∑∑∑∑∑=========⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 证毕。
电子科技大学-泛函分析(江泽坚)-作业题答案
P46:第一章习题：1.验证(),()d m 满足距离定义。
解：设{}i x ξ=，{}i y η=属于X ，α是数，()1,sup .j j j d x y ξη≥=-(1)对j ∀，有0j j ξη-≥，所以1sup j j j ξη≥-，(),0d x y ≥，且1sup 00j j j j j j j ξηξηξη≥-=⇔-=⇔=，即(),0d x y =当且仅当.x y =(2) ()()11,sup sup ,j j j j j j d x y d y x ξηηξ≥≥=-=-=；(3)设{}i z ζ=()()1111,sup sup ()()sup sup ,(,)j j j j j j j j j j j j j j d x z d x y d y z ξζηξξζηξξζ≥≥≥≥=-≤-+-≤-+-=+综上(1)，(2)，(3)，(),d 满足距离定义。
3.试证明：在空间()s 中的收敛等价于坐标收敛。
证：设{}()(),1,2,n n jx s n ξ=∈=，{}()(0)0jx s ξ=∈，()⇒若0n x x →，则必有()(0)lim ,1,2,n j j n j ξξ→∞==，否则，j N +∃∈，00ε>，与正整数列的子序列{}1k k n ∞=，使()(0)0,1,2,k n j j k ξξε-≥=，因为()1tf t t=+是单调递增， 所以()()(0)00()(0)011,,1,2,2211k k k n j j n j jn j jd x x k ξξεεξξ-≥⋅≥⋅=++-，这与()0,0k n d x x →矛盾， 故()s 中的收敛可推出坐标收敛。
()⇐若()(0)lim ,1,2,n j j n j ξξ→∞==，则对j ∀，0ε∀>，0N N +∃∈，0n N ∀>，()(0)2n j jεξξ-<，()()(0)0()(0)1111,,1,2,2211n j j n j j n j j j j d x x k ξξεεξξ∞∞==-=⋅<⋅=++-∑∑，由ε的任意性得()0,0.n d x x → 故命题得证。
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1. 在二维空间2R 中,对每一点(,)z x y =,令1
z
x y =+，2
z
=，
3max(,)z
x y =，1
44
4
4
()z
x y =+
（1） 求证()1,2,3,4i i = 都是2R 的范数
（2） 画出()2,i
R ()1,2,3,4i =各空间中的单位球面图形
（3） 在2R 中取定三点()()()0,0,1,0,0,1,O A B ===试在上述四种不同范数下求
出O A B ∆三边的长度
解：(1)下证 1
z
x y =+为范数：
首先，()2
,z x y R ∀=∈由绝对值性质知1
0z
x y =+≥，1
0z
=当x=y=0时，
其次，∀()112
1,z x y R ∈=， ()222
2,z x y R ∈=
12
12121
z z x x y y +=+++
1212x x y y ≤+++ ()()1
122
x
y x y ≤
+++
12
1
1
z z +=
再次，2
1
1,,K z z z R ∀∂∈∀∈∂=∂
下证2
z
=
首先，()2
,z x y R ∀=∈，由根式性质知2
0z
=≥ 当x=y=0时， 2
0z
=
其次，∀()112
1,z x y R ∈=， ()222
2,z x y R ∈=
22212
12122
()()z z x x y y +=+++2222
1212121222x x y y x x y y =+++++
2
2
2
2
2
12122
x x y y ≤+++
2
≤
2
1
2
2
2
)(z z +=
所以 12
2
z z +=
2
≤ 1
2
2
2
z z =+
再次，2
2
2
,,K z z
z R ∀∂∈∀∈∂=∂
下证3
m ax(,)z
x y =为范数：
首先，()2
,z x y R ∀=∈，由绝对值性质知3
m ax(,)z
x y =0≥
当x=y=0时，
3
0z =
其次，∀()112
1,z x y R ∈=， ()222
2,z x y R ∈=
12
12123
max(,)z z x x y y +=++
1212m a x (,)
x x y y ≤++ ()()112
2m a x ,m a x ,x y x y =+
1
2
3
3
z z =+
再次，2
3
3
,,K z z z
R ∀∂∈∀∈∂=∂
下证1
4
4
4
4
()z
x y =+为范数：
首先，()2
,z x y R ∀=∈，由4次根式性质知1
444
4
()z
x y =+0≥
当x=y=0时， 4
0z
=
其次，∀()112
1,z x y R ∈=， ()222
2,z x y R ∈=
由Minkowski 不等式可得
12
4
z z +()()1
4
44
1212[]x x y y =+++()
()
114
4
4
4
4
4
12
12
x x y y ≤+++ 1
2
4
4
z z =+
再次， 2
4
4
,,K z z
z
R ∀∂∈∀∈∂=∂
综上：()1,2,3,4i i = 都是2R 的范数
（2）画图如下
（3）()1,0,OA =()0,1,OB =()1,1,AB =- 在范数1，1
z
x y =+下计算三边长度如下： 10OA =+1=，011OB =+=，
112AB =-+=
在范数2下计算三边为1O A ==, 1OB =
=,AB =
=
在范数3，3
max(,)z
x y =下计算三边长度如下：()ax 1,01OA m ==，
()ax 0,11OB m ==,()ax 1,11AB m =-=
在范数4，14
44
4
()z
x y =+下计算三边长度如下：14
44
(10)1OA =+=
1
44
4(01)1OB =+=,11
4444
((1)1)2AB =-+=
2. 在[]0,1C 中，对每一个[]0,1f C ∈，令()
12
12
1
()f
f x dx
=
⎰
，求证：1 和2 是
[]0,1C 中的两个等价范数
证明：对任意[]0,1x ∈显然12
x x
≤
又1
22
2
0(1)()x
x f x dx =
+⎰ 1
1
2
2
()()f x dx x f x dx =
+
⎰
⎰
1
20
2()f x d x
≤⎰21
2x =所以知2
1
x
≤
综上所述：1
2
x
x
≤1≤
3. 设1X ,2X 是两个*B 空间，11x X ∈和22x X ∈的序对()12,x x 全体构成空间
12X X X =⨯，并赋予范数12
12
max(,)x x x =，其中()12,x x x =，11x X ∈，
22x X ∈，1 和2 分别是1X 和2X 的范数。
求证：如果1X ，2X 是B 空间，那么X 也
是B 空间。
证明：（1）先证1212max(,)x x x =为范数 首先，已知11x ，2
2
x 范数，
所以1212max(,)0x x x =≥，当110x =，2
20x =时12
12
max(,)0x x x ==
其次，112212(,),(,)z x x z y y ∀==X ∈
121122
12
max(,)z z x y x y +++=
1
1221
12
2
m a x (,)x y x
y
+≤+
12121212,)m a x (m a x ,()x x y y +
≤12z z =+
再次，显然2
,,R K z x x ∀∂∈∀∈∂=∂
（2）设{}n x 是X 中的基本列,其中()()()()
12=,n n n x x x ，
则()()0n m x x -→,n m →∞（）
()()111()()222
,0n m n m x x n m x x ⎧-→⎪⇒→∞⎨-→⎪⎩（）因为1X 是B 空间，所以∃11x X ∈使得()11n x x →；
又因为2X 是B 空间，所以22x X ∃∈使得()
2
2n x x →。
令12(,)x x x = 下证()
n x
x →。
事实上，0,N N ε∀>∃∈,
使得()
()
2
n m x x
ε
-<,n m N ∀>（） ()()
111()()22
22
,2n m n m x x n m N x x εε⎧-<⎪⎪⇒∀>⎨⎪-<⎪⎩（）
()
11
1()2222
2n n x x m n N x x εε⎧-≤⎪→∞⎪∀>⎨
⇒⎪-≤⎪⎩（） 由此有()()
()
()
1
12
2
1
2
max
,n n n x
x x
x x x -=--
2
ε
ε≤
< n N ∀>（）
所以如果1X ，2X 是B 空间，那么X 也是B 空间。