上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练：不等式
2017年高考数学一轮总复习第六章不等式第3讲算术平均数与几何平均数课件理
A.有最大值 C.是增函数
B.有最小值 D.是减函数
t2＋1 2 3.已知 t>0，则函数 y＝ t 的最小值为_______.
t2＋1 1 解析：y＝ t ＝t＋ t ≥2 ＝2. 1 1 t· t ＝2，当且仅当 t＝ t 时，ymin
1 16 4.已知 x>0，y>0，且 x＋4y＝1，则 xy 的最大值为_______.
【互动探究】
x y 1.(2015 年福建)若直线a＋b＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则 a
＋b 的最小值等于( C ) A.2 B.3 C.4 D.5
1 1 1 1 解析：由已知，得a＋b＝1，则 a＋b＝(a＋b)×a＋b＝
b a b a 2＋a＋b.因为 a>0，b>0，所以a＋b≥2 b a 当a＝b，即 a＝b＝2 时取等号.
2.会用基本不等式 解决简单的最大
(1)平时突出对基本不等式取
等号的条件及运算能力的强 化训练.
(小)值问题
(2)训练过程中注意对等价转
化、分类讨论及逻辑推理能 力的培养
a＋b 1.基本不等式 ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号. a＋b (3) 2 叫做算术平均数， ab叫做几何平均数，基本不等 式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2.几个常用的重要不等式 (1)a∈R，a2≥0，|a|≥0当且仅当a＝0时取“＝”. ≥ ab. (2)a，b∈R，则a2＋b2____2
1 (3)a>0，则 a＋a≥2.
a2＋b2 a＋b2 (4) 2 ≥ . 2
3.最值定理
高考数学一轮复习第七章不等式第四节基本均值不等式课后作业理(1)
学 习 资 料 汇编【创新方案】2017届高考数学一轮复习 第七章 不等式 第四节 基本（均值）不等式课后作业 理[全盘巩固]一、选择题1．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 2．当x >0时，函数f (x )＝2xx 2＋1有( ) A ．最小值1 B ．最大值1 C ．最小值2 D ．最大值2 3.－aa ＋(－6≤a ≤3)的最大值为( )A ．9 B.92 C ．3 D.3224．若2x ＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]5．已知x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最大值 e 二、填空题6．(2016·开封模拟)已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是________．7．(2016·东莞模拟)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n的最小值为________．8．(2016·潍坊模拟)已知a ，b 为正实数，直线x ＋y ＋a ＝0与圆(x －b )2＋(y －1)2＝2相切，则a 2b ＋1的取值范围是________．三、解答题9．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x －2x 的最大值．10．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．[冲击名校]1．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1 C.94D ．32．(2016·银川模拟)若直线2ax ＋by －2＝0(a >0，b >0)平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则2a ＋1b的最小值是( )A ．2－ 2 B.2－1 C ．3＋2 2 D ．3－2 23．已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________． 4．若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a >1)，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值为________． 5．某地需要修建一条大型输油管道通过240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为x 2＋x 万元．设余下工程的总费用为y 万元．(1)试将y 表示成x 的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y 最小，其最小值为多少？答 案 [全盘巩固]一、选择题1．解析：选C 对选项A ，当x >0时，x 2＋14－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0，∴lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x ，故不成立；对选项B ，当sin x <0时显然不成立；对选项C ，x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立；对选项D ，∵x 2＋1≥1，∴0<1x 2＋1≤1，故不成立． 2．解析：选B f (x )＝2x ＋1x≤22x ·1x＝1. 当且仅当x ＝1x，x >0即x ＝1时取等号．所以f (x )有最大值1.3解析：选B 法一：因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，则由基本(均值)不等式可知，－a a ＋≤－a ＋a ＋2＝92，当且仅当a ＝－32时等号成立． 法二：－aa ＋＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋814≤92，当且仅当a ＝－32时等号成立．4．解析：选D ∵2x＋2y≥22x·2y＝22x ＋y(当且仅当2x ＝2y 时等号成立)，∴2x ＋y≤12，∴2x ＋y≤14，得x ＋y ≤－2. 5．解析：选C ∵x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，∴ln x ·ln y ＝14≤⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋ln y 22，∴ln x ＋ln y ＝ln xy ≥1⇒xy ≥e.二、填空题6．解析：∵圆关于直线对称，∴直线过圆心(－1,2)，即a ＋b ＝1.∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14 7．解析：函数log a (x ＋3)－1恒过定点A (－2，－1)，又点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，∴2m ＋n ＝1.∴1m ＋2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n (2m ＋n )＝4＋n m ＋4m n ≥8，当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时，等号成立．答案：88．解析：由题意知(b,1)到x ＋y ＋a ＝0的距离为2，即b ＋1＋a2＝2，得a ＋b ＝1，a＝1－b ，a 2b ＋1＝－b 2b ＋1＝b ＋2－b ＋＋4b ＋1＝b ＋1＋4b ＋1－4≥0，当且仅当b ＝1，a ＝0时取等号，又a ＞0，b ＞0，所以a 2b ＋1＞0.答案：(0，＋∞) 三、解答题9．解：(1)y ＝x ＋82x －3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32.当x <32时，有3－2x >0，∴3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号，于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)∵0<x <2，∴2－x >0， ∴y ＝x－2x ＝2·x－x≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， ∴当x ＝1时，函数y ＝x－2x 的最大值为 2.10．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y＝1.又x ＞0，y ＞0，则1＝8x ＋2y≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y ·8yx＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， ∴x ＋y 的最小值为18.[冲击名校]1．解析：选Bxy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤14－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，此时z ＝2y 2，2x ＋1y －2z＝－1y2＋2y＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大值为1.2．解析：选C ∵圆心为(1,2)在直线2ax ＋by －2＝0上，∴a ＋b ＝1，∴2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (a ＋b )＝3＋2b a ＋a b ≥3＋2 2.当且仅当2b a ＝ab，即a ＝2－2，b ＝2－1时等号成立．3．解析：依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋22xyx ＋y≤2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，即x ＋22xy x ＋y 的最大值为2.又λ≥x ＋22xyx ＋y，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.答案：24．解析：因为ab －4a －b ＋1＝0，所以b ＝4a －1a －1.又a >1，所以b >0，所以(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝6a ＋2b ＋1＝6a ＋8＋6a －1＋1＝6(a －1)＋6a －1＋15.因为a －1>0，所以6(a －1)＋6a －1＋15≥2 a －6a －1＋15＝27，当且仅当6(a －1)＝6a －1(a >1)，即a ＝2时等号成立，故(a ＋1)·(b ＋2)的最小值为27.答案：275．解：(1)设需要修建k 个增压站，则(k ＋1)x ＝240，即k ＝240x－1.所以y ＝400k ＋(k ＋1)(x 2＋x )＝400⎝⎛⎭⎪⎫240x －1＋240x(x 2＋x )＝96 000x ＋240x －160.因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0<x <240. 故y 与x 的函数关系是y ＝96 000x＋240x －160(0<x <240)．(2)y ＝96 000x＋240x －160≥296 000x·240x －160＝2×4 800－160＝9 440，当且仅当96 000x＝240x ，即x ＝20时等号成立，此时k ＝240x －1＝24020－1＝11.故需要修建11个增压站才能使y 最小，其最小值为9 440万元．敬请批评指正。
高中数学一轮复习考点专题训练：专题35 基本不等式(解析版)
高考数学一轮考点扫描专题35 基本不等式一、【知识精讲】 1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.(2)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).[微点提醒]1.b a ＋a b≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号.2.ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22. 3.21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0).二、【典例精练】考点一 利用基本不等式求最值 角度1 通过配凑法求最值 【例1－1】设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1aa －b 的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】D 【解析】 a 2＋1ab ＋1aa －b ＝(a 2－ab )＋1a 2－ab ＋1ab＋ab ≥2a 2－ab ·1a 2－ab＋21ab×ab ＝4，当且仅当a 2－ab ＝1a 2－ab 且1ab＝ab ， 即a ＝2，b ＝22时取等号，故选D. 角度2 通过常数代换法求最值【例1－2】已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为________． 【答案】3＋2 2【解析】由x >0，y >0，x ＋2y ＝xy ，得2x ＋1y＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y＝3＋2y x ＋xy ≥3＋2 2.当且仅当x ＝2y 时取等号．【解法小结】 在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值. 考点二 基本不等式在实际问题中的应用【例2】 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 【解析】 (1)设所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50，100].所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50，100](或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100]).(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810时等号成立.故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元. 【解法小结】 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. 3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 考点三 基本不等式的综合应用【例3】 (1) (2017·山东高考)若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________． (2)(一题多解)(2018·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________. 【答案】 (1)8 (2)9【解析】（1） ∵直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)， ∴1a ＋2b＝1，∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝4＋4a b ＋b a≥4＋24a b ·ba＝8，当且仅当b a ＝4ab，即a ＝2，b ＝4时，等号成立． 故2a ＋b 的最小值为8.(2)法一 依题意画出图形，如图所示.易知S △ABD ＋S △BCD ＝S △ABC ，即12c sin 60°＋12a sin 60°＝12ac sin 120°， ∴a ＋c ＝ac ，∴1a ＋1c＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c＝5＋c a ＋4a c≥9，当且仅当c a ＝4a c ，即a ＝32，c ＝3时取“＝”.法二 以B 为原点，BD 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则D (1，0)，∵AB ＝c ，BC ＝a ， ∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，32c ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－32a .∵A ，D ，C 三点共线，∴AD →∥DC →. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ＋32c ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1＝0，∴ac ＝a ＋c ，∴1a ＋1c＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c≥9，当且仅当c a ＝4a c ， 即a ＝32，c ＝3时取“＝”. 【解法小结】 基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交汇考查，解决这类问题的策略是： 1.先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点.2.要有利用基本不等式求最值的意识，善于把条件转化为能利用基本不等式的形式.3.检验等号是否成立，完成后续问题. 三、【名校新题】1.(2019·孝感调研)“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由a >b >0，可知a 2＋b 2>2ab ，充分性成立，由ab <a 2＋b 22，可知a ≠b ，a ，b ∈R，故必要性不成立.2.(2019·玉溪一中月考)已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为( )A.12 B.43C.－1D.0【答案】D【解析】 f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号.又1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为0.3.(2019·济南联考)若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A.2B.12C.4D.14【答案B【解析】】因为a >0，b >0，故2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b 时取等号). 又因为2a ＋b ＝4， ∴22ab ≤4⇒0<ab ≤2， ∴1ab ≥12，故1ab 的最小值为12(当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立). 4.(2019·长春质量监测)已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12 D ．16【答案】B【解析】 由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4y ＋1x ＝4x y ＋yx ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B. 5.(2019·江西上饶联考)已知正数a ，b ，c 满足2a －b ＋c ＝0，则ac b2的最大值为( ) A ．8 B ．2 C ．18 D ．16【答案】 C【解析】 因为a ，b ，c 都是正数，且满足2a －b ＋c ＝0，所以b ＝2a ＋c ，所以ac b 2＝ac 2a ＋c2＝ac4a 2＋4ac ＋c2＝14a c ＋ca＋4≤124a c ·c a＋4＝18，当且仅当c ＝2a >0时等号成立．故选C. 6.(2019·太原模拟)若P 为圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，且A (－1，0)，B (1，0)，则|PA |＋|PB |的最大值为( ) A.2 B.2 2C.4D.4 2【答案】B【解析】由题意知∠APB ＝90°，∴|PA |2＋|PB |2＝4，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|PA |＋|PB |22≤|PA |2＋|PB |22＝2(当且仅当|PA |＝|PB |时取等号)， ∴|PA |＋|PB |≤22，∴|PA |＋|PB |的最大值为2 2.7.(2019·衡水中学质检)正数a ，b 满足1a ＋9b＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.[3，＋∞) B.(－∞，3] C.(－∞，6]D.[6，＋∞)【答案】D【解析】 因为a >0，b >0，1a ＋9b＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b≥16，当且仅当b a ＝9ab，即a ＝4，b ＝12时取等号. 依题意，16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立. 又x 2－4x －2＝(x －2)2－6，所以x 2－4x －2的最小值为－6，所以－6≥－m ，即m ≥6.8.(2019·山西模拟)已知不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】 B【解析】 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋y x ＋a ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2，当且仅当a ·x y ＝y x，即ax 2＝y 2时“＝”成立．∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2≥9.∴a ≥4.故选B.9. (2019·厦门模拟)已知f (x )＝32x－(k ＋1)3x＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)B.(－∞，22－1)C.(－1，22－1)D.(－22－1，22－1)【答案】B【解析】由f (x )>0得32x －(k ＋1)3x ＋2>0，解得k ＋1<3x＋23x .又3x ＋23x ≥22(当且仅当3x＝23x ，即x ＝log 3 2时，等号成立).所以k ＋1<22，即k <22－1.10.(2019·上海模拟)设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y ＝1，则xy 的最小值为( )A ．4B ．4 3C ．9D ．16【答案】 D 【解析】32＋x ＋32＋y＝1可化为xy ＝8＋x ＋y ，∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16.故选D.11.(2019·湖南师大附中模拟)已知△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则4a ＋b ＋a ＋bc 的最小值为( )A.2B.2＋ 2C.4D.2＋2 2【答案】D【解析】 因为△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1， 所以12(a ＋b ＋c )×1＝1，所以a ＋b ＋c ＝2，所以4a ＋b ＋a ＋b c ＝2（a ＋b ＋c ）a ＋b ＋a ＋b c ＝2＋2c a ＋b ＋a ＋b c≥2＋22， 当且仅当a ＋b ＝2c ，即c ＝22－2时，等号成立， 所以4a ＋b ＋a ＋bc的最小值为2＋2 2. 12.(2019·绵阳诊断)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ的取值范围为( ) A ．[6，＋∞) B ．[10，＋∞) C ．[12，＋∞) D ．[16，＋∞)【答案】 D【解析】 ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin 2θ，cos 2θ∈(0,1)，∴y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋9cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝10＋cos 2θsin 2θ＋9sin 2θcos 2θ≥10＋2cos 2θsin 2θ·9sin 2θcos 2θ＝16，当且仅当cos 2θsin 2θ＝9sin 2θcos 2θ，即θ＝π6时等号成立．故选D.13. (2019·合肥调研)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥2x －1，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a >0，b >0)的最大值为35，则a ＋b 的最小值为________. 【答案】8【解析】 可行域如图所示，当直线abx ＋y ＝z (a >0，b >0)过点B (2，3)时，z 取最大值2ab ＋3.于是有2ab ＋3＝35，ab ＝16.所以a ＋b ≥2ab ＝8，当且仅当a ＝b ＝4时等号成立， 所以(a ＋b )min ＝8.14. (2019·乐山一中月考)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________.【答案】92【解析】 y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（3－2x ）22＝92， 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立.∵34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，∴函数y ＝4x (3－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜32的最大值为92. 15.(2019·潍坊调研)函数y ＝a1－x(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，且m ，n为正数，则1m ＋1n的最小值为________.【答案】4【解析】∵曲线y ＝a 1－x恒过定点A ，x ＝1时，y ＝1，∴A (1，1).将A 点代入直线方程mx ＋ny －1＝0(m >0，n >0)， 可得m ＋n ＝1，∴1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ·(m ＋n )＝2＋n m ＋mn≥2＋2n m ·mn＝4， 当且仅当n m ＝m n 且m ＋n ＝1(m >0，n >0)，即m ＝n ＝12时，取得等号.16.(2019·河南八校测评)已知等差数列{a n }中，a 3＝7，a 9＝19，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＋10a n ＋1的最小值为________. 【答案】3【解析】∵a 3＝7，a 9＝19， ∴d ＝a 9－a 39－3＝19－76＝2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝7＋2(n －3)＝2n ＋1， ∴S n ＝n （3＋2n ＋1）2＝n (n ＋2)，因此S n ＋10a n ＋1＝n （n ＋2）＋102n ＋2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n ＋1）＋9n ＋1≥12×2（n ＋1）·9n ＋1＝3， 当且仅当n ＝2时取等号.故S n ＋10a n ＋1的最小值为3. 17．(2019·孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (L)与速度x (km/h)(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧175x 2－130x ＋4 900，x ∈[50，80，12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A ，B 两地相距120 km ，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？ 【解析】(1)当x ∈[50,80)时，y ＝175(x 2－130x ＋4 900)＝175[(x －65)2＋675]，所以当x ＝65时，y 取得最小值，最小值为175×675＝9.当x ∈[80,120]时，函数y ＝12－x 60单调递减，故当x ＝120时，y 取得最小值，最小值为12－12060＝10.因为9<10，所以当x ＝65，即该型号汽车的速度为65 km/h 时，可使得每小时耗油量最少． (2)设总耗油量为l L ，由题意可知l ＝y ·120x，①当x ∈[50,80)时，l ＝y ·120x ＝85⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4 900x －130≥85⎝⎛⎭⎪⎫2 x ×4 900x－130＝16，当且仅当x ＝4 900x，即x ＝70时，l 取得最小值，最小值为16；②当x ∈[80,120]时，l ＝y ·120x ＝1 440x－2为减函数，所以当x ＝120时，l 取得最小值，最小值为10.因为10<16，所以当速度为120 km/h 时，总耗油量最少．18. (2019·西安模拟)某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元．(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？ 【解析】 (1)设第n 年获取利润为y 万元．n 年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n 年付出的装修费之和为n ×1＋n n －12×2＝n 2，又投资81万元，n 年共收入租金30n 万元， ∴利润y ＝30n －n 2－81(n ∈N *)．令y >0，即30n －n 2－81>0，∴n 2－30n ＋81<0， 解得3<n <27(n ∈N *)，∴从第4年开始获取纯利润． (2)方案①：年平均利润t ＝30n －81＋n2n＝30－81n－n ＝30－⎝ ⎛⎭⎪⎫81n ＋n ≤30－281n ·n ＝12(当且仅当81n＝n ，即 n ＝9时取等号)，∴年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×9＋46＝154(万元)． 方案②：纯利润总和y ＝30n －n 2－81＝－(n －15)2＋144(n ∈N *)， 当n ＝15时，纯利润总和最大，为144万元，∴纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10＝154(万元)， 两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①.。
上海市16区县2017届高三数学上学期期末考试试题分类汇编不等式
上海市各区县2017届高三上学期期末考试数学试题分类汇编不等式一、填空、选择题1、（宝山区2017届高三上学期期末）不等式102x x +<+的解集为 2、（静安区2017届向三上学期期质量检测）已知b a x f x-=)(0(>a 且1≠a ，R ∈b )，1)(+=x x g ，若对任意实数x 均有0)()(≤⋅x g x f ，则ba 41+的最小值为________． 3、（闵行区2017届高三上学期质量调研）若关于x 的不等式0x ax b->-(),a b ∈R 的解集为()(),14,-∞+∞，则a b +=____．4、（浦东新区2017届高三上学期教学质量检测）若关于x 的不等式1202xx m --<在区间[]0,1内恒成立，则实数m 的取值范围为____________．5、（普陀区2017届高三上学期质量调研）若b a <0<，则下列不等关系中，不．能成立．．．的是（ ）. )A (ba 11>()B ab a 11>- ()C 3131b a <()D 22b a >6、（松江区2017届高三上学期期末质量监控）不等式10x x ->的解集为 ▲7、（松江区2017届高三上学期期末质量监控）解不等式11()022xx -+>时，可构造函数1()()2x f x x =-，由()f x 在x R ∈是减函数，及()(1)f x f >，可得1x <．用类似的方法可求得不等式0arcsin arcsin 362>+++x x x x 的解集为.A (0,1] .B (1,1)- .C (1,1]- .D (1,0)-8、（徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断）已知函数()x f 为R 上的单调函数，()x f1-是它的反函数，点()3,1-A 和点()1,1B 均在函 数()x f 的图像上，则不等式()121<-x f的解集为（ ）（A ）()1,1- （B ）()1,3 （C ）()20,log 3 （D ）()21,log 3 9、（杨浦区2017届高三上学期期末等级考质量调研）若直线1x ya b+=通过点()cos ,sin P θθ，则下列不等式正确的是 ()(A) 221a b +≤ (B) 221a b +≥ (C)22111a b +≤ (D) 22111a b+≥ 10、（长宁、嘉定区2017届高三上学期期末质量调研）设向量)2,1(-=OA ，)1,(-=a OB ，)0,(b -=，其中O 为坐标原点，0>a ，0>b ，若A 、B 、C 三点共线，则ba 21+的最小值为____________．11、（长宁、嘉定区2017届高三上学期期末质量调研）如果对一切正实数x ，y ，不等式yx a x y 9sin cos 42-≥-恒成立，则实数a 的取值范围是…………………（ ） （A ）⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-34, （B ）),3[∞+ （C ）]22,22[- （D ）]3,3[-12、（奉贤区2017届高三上学期期末）若对任意实数x ，不等式21x a ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是___________13、（金山区2017届高三上学期期末）如果实数x 、y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值 是14、（金山区2017届高三上学期期末）已知x 、y R ∈，且0x y >>，则（ ） A.110x y -> B. 11()()022x y -< C. 22log log 0x y +> D. sin sin 0x y ->二、解答题1、（普陀区2017届高三上学期质量调研）已知∈a R ，函数||1)(x a x f += （1）当1=a 时，解不等式x x f 2)(≤；（2）若关于x 的方程02)(=-x x f 在区间[]1,2--上有解，求实数a 的取值范围.2、（青浦区2017届高三上学期期末质量调研）已知函数2()2(0)f x x ax a =->. (1)当2a =时，解关于x 的不等式3()5f x -<<；(2)对于给定的正数a ，有一个最大的正数()M a ，使得在整个区间[0 ()]M a ，上，不等式|()|5f x ≤恒成立. 求出()M a 的解析式；(3)函数()y f x =在[ 2]t t +，的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值.3、（奉贤区2017届高三上学期期末）已知函数()()2log 22-+=x xa ax f ()0>a ，且()21=f ．（1）求a 和()x f 的单调区间；（2）解不等式 ()()12f x f x +->．参考答案： 一、填空、选择题1、解析：原不等式组等价于(x ＋1)（x ＋2）＜0，所以，－2＜x ＜－1，填：（－2，－1）2、43、54、32⎛⎫ ⎪⎝⎭，25、【解析】对于A ：a ＜b ＜0，两边同除以ab 可得，＞，故A 正确，对于B ：a ＜b ＜0，即a ﹣b ＞a ，则两边同除以a （a ﹣b ）可得＜，故B 错误，对于C ，根据幂函数的单调性可知，C 正确， 对于D ，a ＜b ＜0，则a 2＞b 2，故D 正确，故选：B7、A 8、C 9、D6、(0,1)(1,)10、【解析】向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，∴=﹣=（a﹣1，1），=﹣=（﹣b﹣1，2），∵A、B、C三点共线，∴=λ，∴，解得2a+b=1，∴+=（+）（2a+b）=2+2++≥4+2=8，当且仅当a=，b=，取等号，故+的最小值为8，故答案为：811、【解析】∀实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立⇔+≥asinx+1﹣sin2x 恒成立，令f（y）=+，则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，当y＞0时，f（y）=+≥2=3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）min=3；当y＜0时，f（y）=+≤﹣2=﹣3（当且仅当y=﹣6时取“=”），f （y）max=﹣3，f（y）min不存在；综上所述，f（y）min=3．所以，asinx+1﹣sin 2x ≤3，即asinx ﹣sin 2x ≤2恒成立． ①若sinx ＞0，a ≤sinx+恒成立，令sinx=t ，则0＜t ≤1，再令g （t ）=t+（0＜t≤1），则a ≤g （t ）min ． 由于g′（t ）=1﹣＜0，所以，g （t ）=t+在区间（0，]上单调递减， 因此，g （t ）min =g （1）=3， 所以a ≤3；②若sinx ＜0，则a ≥sinx+恒成立，同理可得a ≥﹣3；③若sinx=0，0≤2恒成立，故a ∈R ； 综合①②③，﹣3≤a ≤3． 故选：D ．12、1a ≤- 13.4 14.B二、解答题1、【解】（1）当1=a 时，||11)(x x f +=，所以x x f 2)(≤x x 2||11≤+⇔……（*） ①若0>x ，则（*）变为，0)1)(12(≥-+x x x 021<≤-⇔x 或1≥x ，所以1≥x ；②若0<x ，则（*）变为，0122≥+-xx x 0>⇔x ，所以φ∈x 由①②可得，（*）的解集为[)+∞,1。
上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练：圆锥曲线 含解析
上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练圆锥曲线一、填空、选择题1、（2016年上海高考）已知平行直线012:,012:21=++=-+y x ly x l ，则21,l l 的距离_______________2、（2015年上海高考)抛物线y 2=2px （p ＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p= 2 ．3、（2014年上海高考）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 。
4、（虹口区2016届高三三模）若双曲线2221y x b-=的一个焦点到其渐近线的距离为22则该双曲线的焦距等于________.5、(浦东新区2016届高三三模)抛物线214y x =-的准线方程是6、（杨浦区2016届高三三模）已知双曲线22214x y a -=*()a N ∈的两个焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上一点，满足21212||||||F F PF PF =⋅,P 到坐标原点O 的距离为d ，且59d <<,则2a =7、(虹口区2016届高三三模）过抛物线28xy=的焦点F 的直线与其相交于A ，B 两点,O 为坐标原点．若6,AF =则OAB ∆的面积为 8、(浦东新区2016届高三三模)直线1y kx =+与抛物线22y x=至多有一个公共点,则的取值范围是9、（浦东新区2016届高三三模)设P 为双曲线()22210x y a a-=>上的一点，12F F 、是左右焦点,1223F PFπ∠=，则12F PF ∆的面积等于（ )A.23a B.23 C 。
3D 。
23310、（崇明县2016届高三二模）已知双曲线22221x y a b -=00a b >>（,）的一条渐近线方程是3y x=，它的一个焦点与抛物线216yx=的焦点相同，则双曲线的标准方程为 ．11、(奉贤区2016届高三二模）双曲线2241x y -=的一条渐近线与直线10tx y ++=垂直，则t =________． 12、（虹口区2016届高三二模)如图, 2222+1(0)x y A B a b a b =>>、为椭圆的两个顶点，过椭圆的右焦点F 作轴的垂线，与其交于点C 。
2017届高三数学一轮总复习(人教通用)课件：第6章 第四节 基本不等式
()
A．52
B．3
C．72
D．4
答案：B
第八页，编辑于星期六：一点 八分。
已知 x，y，z 是互不相等的正数，且 x＋y＋z＝1，求证： 1x－11y－11z－1>8.
证明
第九页，编辑于星期六：一点 八分。
第十一页，编辑于星期六：一点 八分。
设a，b均为正实数，求证：a12＋b12＋ab≥2 2.
第十七页，编辑于星期六：一点 八分。
[变式2] 母题的条件和结论互换即：已知a＞0，b＞0，1a＋1b ＝4，则a＋b的最小值为________．
解析：由1a＋1b＝4，得41a＋41b＝1. ∴a＋b＝41a＋41b(a＋b)＝12＋4ba＋4ab≥12＋2 当且仅当a＝b＝12时取等号． 答案：1
第二十三页，编辑于星期六：一点 八分。
[变式6] 若母题变为：已知各项为正数的等比数列{an}满足 a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an，使得 am·an＝2 2a1， 则m1 ＋n4的最小值为________．
解析
第二十四页，编辑于星期六：一点 八分。
首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排， 绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行 技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的 化工产品．已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可 近似地表示为 y＝12x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳 得到可利用的化工产品价值为 100 元．
第四节
基本不等式
a>0，b>0 a＝b
第一页，编辑于星期六：一点 八分。
2ab 2
高三数学一轮复习第七章不等式第四节基本不等式及其应用课件理
12 y 3x x y
故3x+4y的最小值为5. (3)因为正数x,y满足x+2y=1, 所以 + = +2 (x+2y)=2+ + y x x y x y
2
4y x 4y x =4+ + ≥4+2 x y =8, x y
1 2
1
4y
x
当且仅当 = ,即x=2y时取等号. 所以 + 的最小值为8.
理数
课标版
第四节 基本不等式及其应用
教材研读
1.>0,b>0. 2
(2)等号成立的条件:当且仅当① a=b 时等号成立. (3)其中②
ab 2
ab 称为正数a,b的算术平均数,③
称为正数a,b
的几何平均数.
2.几个重要的不等式
(1)a2+b2≥④ 2ab (a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
ab (2)ab≤ (a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. 2
2
a 2 b2 a b (3) ≥ (a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. 2 2 b a (4) + ≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号. a b
考点突破
考点一 利用基本不等式求最值
典例1 (1)已知a>0,b>0,且4a+b=1,求ab的最大值; (2)若正数x,y满足x+3y=5xy,求3x+4y的最小值;
2 1 (3)已知正数x,y满足x+2y=1,求 + 的最小值. x y
解析 (1)解法一:∵a>0,b>0,4a+b=1,∴1=4a+b≥2 4ab =4 ab ,
高考数学一轮复习专题训练—绝对值不等式
绝对值不等式考纲要求1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b，c∈R)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.知识梳理1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－b|≤|a－c|＋|c－b|，当且仅当(a－c)(c－b)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集.不等式a＞0a＝0a＜0|x|＜a {x|－a＜x＜a}∅∅|x|＞a {x|x＞a或x＜－a}{x|x∈R且x≠0}R(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法．①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法．①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．1．利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨论不全面的问题；若用零点分段法求解，要掌握分类讨论的标准，做到不重不漏．2．绝对值三角不等式|a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.()(2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为∅.()(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立．()(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立．()(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．()答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√2．不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是()A．(－∞，4) B．(－∞，1) C．(1,4) D．(1,5)答案 A解析①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.②当1<x<5时，原不等式可化为x－1－(5－x)<2，∴x<4，∴1<x<4，③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立．综上，原不等式的解集为(－∞，4)．3．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，－3]∪[3，＋∞)解析由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴|x＋1|＋|x－2|的最小值为3，要使原不等式有解，只需|a|≥3，即a≥3或a≤－3.4．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________. 答案 2解析 因为|kx －4|≤2，所以－2≤kx －4≤2，所以2≤kx ≤6.因为不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，所以k ＝2.5．(2021·天津联考)若对任意的x ∈R ，不等式|x －1|－|x ＋2|≤|2a －1|恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案 (－∞，－1]∪[2，＋∞)解析 ∵y ＝|x －1|－|x ＋2|≤|(x －1)－(x ＋2)|＝3， ∴要使|x －1|－|x ＋2|≤|2a －1|恒成立， 则|2a －1|≥3,2a －1≥3或2a －1≤－3， 即a ≥2或a ≤－1，∴实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)． 6．(2021·郑州质量预测)已知函数f (x )＝|x ＋1|－a |x －1|. (1)当a ＝－2时，解不等式f (x )>5； (2)若f (x )≤a |x ＋3|恒成立，求a 的最小值． 解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－3x ，x ≤－1，－x ＋3，－1<x ≤1，3x －1，x >1.当x ≤－1时，由1－3x >5，得x <－43；当－1<x ≤1时，无解；当x >1时，由3x －1>5，得x >2. 故f (x )>5的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪(2，＋∞)． (2)由f (x )≤a |x ＋3|得a ≥|x ＋1||x －1|＋|x ＋3|，由|x －1|＋|x ＋3|≥2|x ＋1|， 得|x ＋1||x －1|＋|x ＋3|≤12，故a ≥12(当且仅当x ≥1或x ≤－3时等号成立)，故a 的最小值为12.考点一 绝对值不等式的解法【例1】 (2020·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝|3x ＋1|－2|x －1|.(1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式f (x )>f (x ＋1)的解集．解 (1)由题设知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤－13，5x －1，－13<x ≤1，x ＋3，x >1.画出y ＝f (x )的图象如图(1)所示．图(1)(2)函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位长度后得到函数y ＝f (x ＋1)的图象，如图(2)所示．图(2)易得y ＝f (x )的图象与y ＝f (x ＋1)的图象的交点坐标为⎝⎛⎭⎫－76，－116. 由图象可知，当且仅当x <－76时，y ＝f (x )的图象在y ＝f (x ＋1)的图象上方． 故不等式f (x )>f (x ＋1)的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－76. 【例2】 (2021·驻马店联考)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|2x －1|(a ∈R)． (1)当a ＝－1时，求不等式f (x )≥2的解集； (2)若f (x )≤2x 的解集包含⎣⎡⎦⎤12，34，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝－1时，不等式f (x )≥2可化为|x －1|＋|2x －1|≥2， 当x ≤12时，不等式为1－x ＋1－2x ≥2，解得x ≤0；当12＜x ＜1时，不等式为1－x ＋2x －1≥2，无解； 当x ≥1时，不等式为x －1＋2x －1≥2，解得x ≥43.综上，原不等式的解集为(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞.(2)因为f (x )≤2x 的解集包含⎣⎡⎦⎤12，34，所以不等式可化为|x ＋a |＋2x －1≤2x ，即|x ＋a |≤1.解得－a －1≤x ≤－a ＋1，由题意知⎩⎨⎧－a ＋1≥34，－a －1≤12，解得－32≤a ≤14.所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－32，14. 感悟升华 1.用零点分段法解绝对值不等式的步骤(1)求零点；(2)划区间、去绝对值符号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．2．含绝对值的函数本质上是分段函数，绝对值不等式可利用分段函数的图象的几何直观性求解，体现了数形结合的思想．【训练1】 (2019·全国Ⅱ卷)已知f (x )＝|x －a |x ＋|x －2|(x －a )． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )<0的解集； (2)若x ∈(－∞，1)时，f (x )<0，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|x ＋|x －2|(x －1)． 当x <1时，f (x )＝－2(x －1)2<0； 当x ≥1时，显然f (x )≥0.所以，不等式f (x )<0的解集为(－∞，1)．(2)当a <1时，若a ≤x <1，则f (x )＝(x －a )x ＋(2－x )(x －a )＝2(x －a )≥0，不合题意；所以a ≥1， 当a ≥1，x ∈(－∞，1)时，f (x )＝(a －x )x ＋(2－x )(x －a )＝2(a －x )(x －1)<0. 所以，a 的取值范围是[1，＋∞)． 考点二 绝对值不等式性质的应用【例3】 设a >0，|x －1|<a 3，|y －2|<a3，求证：|2x ＋y －4|<a .证明 由|x －1|<a 3可得|2x －2|<2a 3，|2x ＋y －4|≤|2x －2|＋|y －2|<2a 3＋a3＝a .【例4】 若f (x )＝⎪⎪⎪⎪3x ＋1a ＋3|x －a |的最小值为4，求a 的值． 解 因为f (x )＝⎪⎪⎪⎪3x ＋1a ＋3|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫3x ＋1a －3x －3a ＝⎪⎪⎪⎪1a ＋3a ，由⎪⎪⎪⎪1a ＋3a ＝4得a ＝±1或a ＝±13.感悟升华 1.求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种： (1)利用绝对值的几何意义．(2)利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥|a |－|b |. (3)利用零点分区间法．2．含绝对值不等式的证明中，关键是绝对值三角不等式的活用． 【训练2】 设函数f (x )＝x 2－x －15，且|x －a |<1. (1)解不等式|f (x )|>5；(2)求证：|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)．(1)解 因为|x 2－x －15|>5，所以x 2－x －15<－5或x 2－x －15>5，即x 2－x －10<0或x 2－x －20>0，解得1－412<x <1＋412或x <－4或x >5，所以不等式|f (x )|>5的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－4或1－412<x <1＋412或x >5.(2)证明 因为|x －a |<1，所以|f (x )－f (a )|＝|(x 2－x －15)－(a 2－a －15)|＝|(x －a )(x ＋a －1)|＝|x －a |·|x ＋a －1|<1·|x ＋a －1|＝|x －a ＋2a －1|≤|x －a |＋|2a －1|<1＋|2a －1|≤1＋|2a |＋1＝2(|a |＋1)，即|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)． 考点三 绝对值不等式的综合应用 角度1 绝对值不等式恒成立问题【例5】 (2021·陇南二诊)已知a ≠0，函数f (x )＝|ax －1|，g (x )＝|ax ＋2|. (1)若f (x )<g (x )，求x 的取值范围；(2)若f (x )＋g (x )≥|2×10a －7|对x ∈R 恒成立，求a 的最大值与最小值之和． 解 (1)因为f (x )<g (x )， 所以|ax －1|<|ax ＋2|，两边同时平方得a 2x 2－2ax ＋1<a 2x 2＋4ax ＋4， 即6ax >－3，当a >0时，x >－12a ，即x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞；当a <0时，x <－12a ，即x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－12a . (2)因为f (x )＋g (x )＝|ax －1|＋|ax ＋2|≥|(ax －1)－(ax ＋2)|＝3， 所以f (x )＋g (x )的最小值为3，所以|2×10a －7|≤3，则－3≤2×10a －7≤3， 解得lg 2≤a ≤lg 5，故a 的最大值与最小值之和为lg 2＋lg 5＝lg 10＝1. 角度2 绝对值不等式能成立问题【例6】 (2021·东北三省三校联考)已知函数f (x )＝|2x ＋a |＋1. (1)当a ＝2时，解不等式f (x )＋x ＜2；(2)若存在a ∈⎣⎡⎦⎤－13，1时，使不等式f (x )≥b ＋|2x ＋a 2|的解集非空，求b 的取值范围． 解 (1)当a ＝2时，函数f (x )＝|2x ＋2|＋1， 不等式f (x )＋x ＜2化为|2x ＋2|＜1－x . 当1－x ≤0时，即x ≥1时，该不等式无解． 当1－x ＞0时，原不等式化为x －1＜2x ＋2＜1－x . 解之得－3＜x ＜－13.综上，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －3＜x ＜－13.(2)由f (x )≥b ＋|2x ＋a 2|， 得b ≤|2x ＋a |－|2x ＋a 2|＋1，设g (x )＝|2x ＋a |－|2x ＋a 2|＋1，则不等式的解集非空，即不等式有解， 所以不等式等价于b ≤g (x )max .由g (x )≤|(2x ＋a )－(2x ＋a 2)|＋1＝|a 2－a |＋1， 所以b ≤|a 2－a |＋1.由题意知存在a ∈⎣⎡⎦⎤－13，1，使得上式成立，而函数h (a )＝|a 2－a |＋1在a ∈⎣⎡⎦⎤－13，1上的最大值为h ⎝⎛⎭⎫－13＝139， 所以b ≤139，即b 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，139. 感悟升华 1.不等式恒成立问题，存在性问题都可以转化为最值问题解决．2．(1)在例6第(1)问，可作出函数y ＝|2x ＋2|与y ＝1－x 的图象，观察、计算边界，直观求得不等式的解集．(2)第(2)问把不等式解集非空，转化为求函数的最值．存在性问题转化方法：f (x )＞a 有解⇔f (x )max ＞a ；f (x )＜a 有解⇔f (x )min ＜a . 【训练3】 (2021·呼和浩特模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋2|x ＋1|. (1)当a ＝1时，解关于x 的不等式f (x )≤6；(2)已知g (x )＝|x －1|＋2，若对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋2|x ＋1|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x －1，x <－1，3，－1≤x ≤12，4x ＋1，x >12.当x <－1时，由－4x －1≤6，得－74≤x <－1；当－1≤x ≤12时，f (x )≤6恒成立；当x >12时，由4x ＋1≤6，得12<x ≤54.综上，f (x )≤6的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－74≤x ≤54. (2)∵对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立， ∴{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}． 又f (x )＝|2x －a |＋2|x ＋1|≥|2x －a －(2x ＋2)| ＝|a ＋2|，g (x )＝|x －1|＋2≥2， ∴|a ＋2|≥2，解得a ≤－4或a ≥0，∴实数a 的取值范围是(－∞，－4]∪[0，＋∞)．1．(2020·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1|. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4的解集； (2)若f (x )≥4，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧7－2x ，x ≤3，1，3<x ≤4，2x －7，x >4.因此，不等式f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤32或x ≥112. (2)因为f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1|≥|a 2－2a ＋1|＝(a －1)2， 故当(a －1)2≥4，即|a －1|≥2时，f (x )≥4. 所以当a ≥3或a ≤－1时，f (x )≥4.当－1<a <3时，f (a 2)＝|a 2－2a ＋1|＝(a －1)2<4. 所以a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 2．已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|， 即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥1.则当x ≥1时，f (x )＝2>1恒成立，所以x ≥1； 当－1<x <1时，f (x )＝2x >1， 所以12<x <1；当x ≤－1时，f (x )＝－2<1.故不等式f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12. (2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|<1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1；若a >0，|ax －1|<1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <2a ， 所以2a≥1，故0<a ≤2. 综上，a 的取值范围为(0,2]．3．(2021·安徽江南十校模拟)已知函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|.(1)求不等式f (x )<x ＋3的解集；(2)若不等式m －x 2－2x ≤f (x )在R 上恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)当x <－2时，f (x )<x ＋3可化为1－x －x －2<x ＋3，解得x >－43，无解； 当－2≤x ≤1时，f (x )<x ＋3可化为1－x ＋x ＋2<x ＋3，解得x >0，故0<x ≤1； 当x >1时，f (x )<x ＋3可化为x －1＋x ＋2<x ＋3，解得x <2，故1<x <2. 综上可得，f (x )<x ＋3的解集为(0,2)．(2)不等式m －x 2－2x ≤f (x )在R 上恒成立，可得m ≤x 2＋2x ＋f (x )恒成立， 即m ≤[]x 2＋2x ＋f x min .y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1的最小值为－1，此时x ＝－1.f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|≥|x －1－x －2|＝3，当且仅当－2≤x ≤1时，取得等号， 则[x 2＋2x ＋f (x )]min ＝－1＋3＝2，所以m ≤2，即m 的取值范围是(－∞，2]．4．已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －m |.(1)若f (x )≥2，求m 的取值范围；(2)已知m ＞1，若∃x ∈(－1,1)，f (x )≥x 2＋mx ＋3成立，求m 的取值范围． 解 (1)因为f (x )＝|x ＋1|＋|x －m |≥|m ＋1|，所以只需|m ＋1|≥2，所以m ＋1≥2或m ＋1≤－2，解得m ≥1或m ≤－3，即m 的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．(2)因为m ＞1，所以当x ∈(－1,1)时，f (x )＝m ＋1，所以f (x )≥x 2＋mx ＋3，即m ≥x 2＋mx ＋2，所以m (1－x )≥x 2＋2，m ≥x 2＋21－x ， 令g (x )＝x 2＋21－x ＝1－x 2－21－x ＋31－x ＝(1－x )＋31－x－2(－1＜x ＜1)． 因为－1＜x ＜1，所以0＜1－x ＜2，所以(1－x )＋31－x≥23(当且仅当x ＝1－3时取“＝”)， 所以g (x )min ＝23－2，所以m ≥23－2.故实数m 的取值范围是[23－2，＋∞)．5．(2021·南昌摸底测试)已知f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|.(1)求不等式f (x )≥2的解集；(2)若f (x )≥a |x |恒成立，求a 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|≥2，①当x ≤－12时，⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－12，－2x －1－x ＋1≥2⇒x ≤－23； ②当－12<x <1时，⎩⎪⎨⎪⎧ －12<x <1，2x ＋1－x ＋1≥2⇒0≤x <1；③当x ≥1时，⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，2x ＋1＋x －1≥2⇒x ≥1. 综上所述，f (x )≥2的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－23∪[0，＋∞)． (2)由题意知|2x ＋1|＋|x －1|≥a |x |恒成立，①当x ＝0时，2≥a ·0恒成立，得a ∈R ；②当x ≠0时，|2x ＋1|＋|x －1||x |＝⎪⎪⎪⎪2＋1x ＋⎪⎪⎪⎪1－1x ≥a 恒成立， 因为⎪⎪⎪⎪2＋1x ＋⎪⎪⎪⎪1－1x ≥⎪⎪⎪⎪2＋1x＋1－1x ＝3，所以a ≤3. 综上所述，符合条件的实数a 的取值范围是(－∞，3]．6．(2021·长春模拟)已知函数f (x )＝|x ＋2|＋|x －1|－a .(1)当a ＝4时，求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的定义域为R ，设a 的最大值为s ，当正数m ，n 满足12m ＋n ＋2m ＋3n ＝s 时，求3m ＋4n 的最小值．解 (1)当a ＝4时，|x ＋2|＋|x －1|－4≥0，当x <－2时，－x －2－x ＋1－4≥0，解得x ≤－52； 当－2≤x ≤1时，x ＋2－x ＋1－4≥0，解得x ∈∅；当x >1时，x ＋2＋x －1－4≥0，解得x ≥32. ∴函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－52或x ≥32. (2)∵函数f (x )的定义域为R ，∴|x ＋2|＋|x －1|－a ≥0对任意的x ∈R 恒成立，∴a ≤|x ＋2|＋|x －1|对任意的x ∈R 恒成立，又|x ＋2|＋|x －1|≥|x ＋2－x ＋1|＝3，∴a ≤3，∴s ＝3，∴12m ＋n ＋2m ＋3n＝3，且m >0，n >0， ∴3m ＋4n ＝(2m ＋n )＋(m ＋3n )＝13[(2m ＋n )＋(m ＋3n )]·⎝⎛⎭⎫12m ＋n ＋2m ＋3n ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋22m ＋n m ＋3n ＋m ＋3n 2m ＋n ≥13(3＋22)＝1＋223，当且仅当m ＝1＋2215，n ＝3＋215时取等号， ∴3m ＋4n 的最小值为1＋223.。
高考数学一轮复习 第7章 不等式 2 第2讲 一元二次不等式及其解法教案 理-高三全册数学教案
第2讲 一元二次不等式及其解法1．一元一次不等式ax >b (a ≠0)的解集 (1)当a >0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >b a ；(2)当a <0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <b a ．2．三个“二次”间的关系判别式Δ＝b 2－4acΔ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx＋c (a >0)的 图象一元二次方 程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根有两相异实 根x 1，x 2(x 1<x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b 2a没有实 数根ax 2＋bx ＋c>0(a >0)的解集{x |x >x 2或x <x 1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c<0(a >0) 的解集{x |x 1<x <x 2}∅∅(1)f （x ）g （x ）>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)；(2)f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0（≤0），g （x ）≠0.4．绝对值不等式的解法(1)|f (x )|>|g (x )|⇔[f (x )]2>[g (x )]2；(2)|f (x )|>g (x )⇔f (x )>g (x )或f (x )<－g (x )； (3)|f (x )|<g (x )⇔－g (x )<f (x )<g (x )．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( ) (2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( )(4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( )(5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( )答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√(教材习题改编)不等式2x 2－x －3>0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1<x <32B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >32或x <－1 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－32<x <1 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >1或x <－32解析：选B.2x 2－x －3>0⇒(x ＋1)(2x －3)>0， 解得x >32或x <－1.所以不等式2x 2－x －3>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >32或x <－1. 不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞)解析：选A.由不等式x －12x ＋1≤0，可得⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0，解得－12<x ≤1，所以不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1.设二次不等式ax2＋bx ＋1>0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1<x <13，则ab 的值为________． 解析：由不等式ax2＋bx ＋1>0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1<x <13，知a <0且ax2＋bx ＋1＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝13，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－1＋13＝－b a，－13＝1a ，所以a ＝－3，b ＝－2，ab ＝6. 答案：6若不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是__________．解析：因为不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， 所以Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16. 所以a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)一元二次不等式的解法(高频考点)一元二次不等式的解法是高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度为中档题．高考对一元二次不等式解法的考查主要有以下三个命题角度：(1)解不含参数的一元二次不等式； (2)解含参数的一元二次不等式；(3)已知一元二次不等式的解集求参数．[典例引领]角度一 解不含参数的一元二次不等式(1)解不等式：－x 2－2x ＋3≥0；(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x <0，解不等式f (x )>3.【解】 (1)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x 2＋2x －3≤0.方程x 2＋2x －3＝0的解为x 1＝－3，x 2＝1.而y ＝x 2＋2x －3的图象开口向上，可得原不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集是{x |－3≤x ≤1}．(2)由题意⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2＋2x >3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2＋2x >3，解得x >1.故原不等式的解集为{x |x >1}．角度二 解含参数的一元二次不等式(分类讨论思想)解关于x 的不等式：12x 2－ax >a 2(a ∈R )．【解】 因为12x 2－ax >a 2，所以12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0. 令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.①当a >0时，－a 4<a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－a 4，或x >a 3；②当a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；③当a <0时，－a 4>a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <a 3，或x >－a 4.综上所述：当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－a 4，或x >a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <a 3，或x >－a 4.角度三 已知一元二次不等式的解集求参数已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________．【解析】 由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.即不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0， 解得x ≥3或x ≤2.【答案】 {x |x ≥3或x ≤2}(1)解一元二次不等式的方法和步骤 (2)解含参数的一元二次不等式的步骤①二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．②判断相应方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系． ③确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[通关练习]1．(2018·陕西西安模拟)若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x x －1≤0，B ＝{x |x 2<2x }，则A ∩B ＝( ) A ．{x |0<x <1} B ．{x |0≤x <1} C ．{x |0<x ≤1} D ．{x |0≤x ≤1}解析：选A.因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x x －1≤0＝{x |0≤x <1}， B ＝{x |x 2<2x }＝{x |0<x <2}，所以A ∩B ＝{x |0<x <1}，故选A.2．(2018·广东清远一中模拟)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B ．(1，3)C ．(－1，3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选C.关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax <b 的解集是(1，＋∞)，所以a ＝b <0，所以不等式(ax ＋b )(x －3)>0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，所以所求解集是(－1，3)．故选C.3．不等式0<x 2－x －2≤4的解集为________．解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －6≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x ＋1）>0，（x －3）（x ＋2）≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}． 答案：[－2，－1)∪(2，3]一元二次不等式恒成立问题(高频考点)一元二次不等式恒成立问题是每年高考的热点，题型多为选择题和填空题，难度为中档题．高考对一元二次不等式恒成立问题的考查有以下三个命题角度：(1)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R )确定参数的范围； (2)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈[a ，b ])确定参数的范围； (3)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围．[典例引领]角度一 形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R )确定 参数的范围若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 当a －2＝0，即a ＝2时不等式为－4<0， 对一切x ∈R 恒成立．当a ≠2时，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4（a －2）2＋16（a －2）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <2－2<a <2，解得－2<a <2. 所以实数a 的取值范围是(－2，2]． 【答案】 (－2，2]角度二 形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈[a ，b ])确定参数的范围(转化与化归思想)若不等式x 2＋mx －1<0对于任意x ∈[m ，m ＋1]都成立，则实数m 的取值范围是________．【解析】 由题意，得函数f (x )＝x 2＋mx －1在[m ，m ＋1]上的最大值小于0，又抛物线f (x )＝x 2＋mx －1开口向上，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝m 2＋m 2－1<0，f （m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－1<0，2m 2＋3m <0， 解得－22<m <0.【答案】⎝⎛⎭⎪⎪⎫－22，0 角度三 形如f (x )≥0(f (x )≤0)(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围．【解】 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9，则－1≤a ≤1. 因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以(1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去． (2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4.则实数x 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．(1)不等式恒成立问题的求解方法①一元二次不等式在R 上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解．②一元二次不等式f (x )≥0在x ∈[a ，b ]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围．③一元二次不等式对于参数m ∈[a ，b ]恒成立确定x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)求解不等式恒成立问题的数学思想求解此类问题常利用分类讨论思想及转化与化归思想，如例22是不等式与函数的转化，例23是主元与次元的转化，而例21是对二次项系数是否为0进行讨论．[通关练习]1．若函数y ＝mx 2－（1－m ）x ＋m 的定义域为R ，则m 的取值范围是________．解析：要使y ＝mx 2－（1－m ）x ＋m 有意义，即mx 2－(1－m )x ＋m ≥0对∀x ∈R 恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，（1－m ）2－4m 2≤0，解得m ≥13.答案：m ≥132．若关于x 的不等式4x－2x ＋1－a ≥0在[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为________． 解析：因为不等式4x－2x ＋1－a ≥0在[1，2]上恒成立，所以4x－2x ＋1≥a 在[1，2]上恒成立．令y ＝4x －2x ＋1＝(2x )2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1.因为1≤x ≤2，所以2≤2x≤4.由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x ＝1时，y 取得最小值0， 所以实数a 的取值范围为(－∞，0]． 答案：(－∞，0]解分式不等式的关键是先将给定不等式移项，通分，整理成一边为商式，另一边为0的形式，再通过等价转化化成整式不等式(组)的形式进行求解．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值． 易错防范(1)对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形．(2)当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集是R 还是∅，要注意区别．(3)不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述． 1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( ) A ．(1，2) B ．[1，2] C ．[1，2)D ．(1，2]解析：选D.A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．2．若不等式ax 2＋bx ＋2<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－12，或x >13，则a －ba 的值为( ) A.56 B.16 C ．－16D ．－56解析：选A.由题意得ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12与13，所以－ba＝－12＋13＝－16，则a －b a ＝1－b a ＝1－16＝56. 3．不等式x －43－2x<0的解集是( )A ．{x |x <4}B ．{x |3<x <4}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32或x >4 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪32<x <4 解析：选C.不等式x －43－2x <0等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32(x －4)>0，所以不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32或x >4.4．若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1，4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2，5]解析：选A.x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立， 只需a 2－3a ≤4即可，解得－1≤a ≤4.5．(2018·福建龙岩模拟)已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，若不等式f (x )>0的解集是(－1，3)，则不等式f (－2x )<0的解集是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 解析：选A.不等式f (x )>0的解集是(－1，3)，故f (x )<0的解集是{x |x <－1或x >3}，故f (－2x )<0的解集为{x |－2x <－1或－2x >3}，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－32或x >12.6．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2.答案：{x |0<x <2}7．函数y ＝lg （1－x ）－2x 2＋12x ＋32的定义域为________． 解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋12x ＋32>0，1－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x －16<0，1－x >0，解得－2<x <1， 即原函数的定义域为{x |－2<x <1}．答案：(－2，1)8．(2018·江西南昌模拟)在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是________．解析：由题意，知(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，所以－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0，所以4y 2－4y －3<0，解得－12<y <32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，329．若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12<x <2.(1)求实数a 的值；(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集．解：(1)由题意知a <0，且方程ax 2＋5x －2＝0的两个根为12，2，代入解得a ＝－2.(2)由(1)知不等式为－2x 2－5x ＋3>0， 即2x 2＋5x －3<0，解得－3<x <12，即不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－3，12.10．(2018·合肥市第二次教学质量检测)已知函数f (x )＝4－|ax －2|(a ≠0)． (1)求函数f (x )的定义域；(2)若当x ∈[0，1]时，不等式f (x )≥1恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)要使函数有意义，需4－|ax －2|≥0，即|ax －2|≤4，|ax －2|≤4⇔－4≤ax －2≤4⇔－2≤ax ≤6. 当a >0时，函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－2a≤x ≤6a ；当a <0时，函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪6a≤x ≤－2a .(2)f (x )≥1⇔|ax －2|≤3，记g (x )＝|ax －2|，因为x ∈[0，1]，所以需且只需⎩⎪⎨⎪⎧g （0）≤3g （1）≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧2≤3|a －2|≤3⇔－1≤a ≤5，又a ≠0，所以－1≤a ≤5且a ≠0.1．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1，1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( ) A ．(－1，0) B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．不能确定解析：选C.由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2.又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1，1]时，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2.2．(2018·陕西咸阳模拟)已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是( ) A ．13 B ．18 C ．21D ．26解析：选C.设f (x )＝x 2－6x ＋a ，其图象为开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，如图所示．若关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧f （2）≤0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧22－6×2＋a ≤0，12－6×1＋a >0，解得5<a ≤8，又a ∈Z ，故a ＝6，7，8.则所有符合条件的a 的值之和是6＋7＋8＝21.3．对于实数x ，当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，则关于x 的不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集为________．解析：由4[x ]2－36[x ]＋45<0，得32<[x ]<152，又当且仅当n ≤x <n＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，所以[x ]＝2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为[2，8)． 答案：[2，8)4．不等式x 2＋8y 2≥λy (x ＋y )对于任意的x ，y ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．解析：因为x 2＋8y 2≥λy (x ＋y )对于任意的x ，y ∈R 恒成立， 所以x 2＋8y 2－λy (x ＋y )≥0对于任意的x ，y ∈R 恒成立，即x 2－λyx ＋(8－λ)y 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2y 2＋4(λ－8)y 2＝y 2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0， 解得－8≤λ≤4. 答案：[－8，4]5．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解：(1)由题意得y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎪⎫1＋850x .因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0，得x ≤2.所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为[0，2]．(2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.6．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )·(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0， 即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1，或x >2}； 当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}． (2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， 因为a >0，且0<x <m <n <1a，所以x －m <0，1－an ＋ax >0. 所以f (x )－m <0，即f (x )<m .。
高考数学一轮复习第7章不等式及推理与证明专题研究1一元二次方程根的分布课件理
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二、补笔记
上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一 遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。
(3) 一 根 在 (1 ， 2) 内 ， 另 一 根 在 ( － 1 ， 0) 内 ， 应 满 足 ff（（10））ff（（2－）1<）0<，0即m（（－22mm＋－13））<×0，（－m）<0解得－12<m<0.
(4)一根在(－1，1)内，另一根不在(－1，1)内，应满足 f(－ 1)f(1)<0，即(2m＋1)(－2m－3)<0，∴m>－12或 m<－32，又∵m－ 1≠0，∴m≠1.
【定理 1】 （即一个根 x1<小k<于x2k，一个根大于k）⇔af(k)<0.
【定理 2】
Δ＝b2－4ac≥0， （即k<两x根1≤都x2大于k）⇔a－f（2bak>）k. >0，
【定理 3】
Δ＝b2－4ac≥0， （即x1两≤根x2都<k小于k）⇔a－f（2bak<）k. >0，
编后语
常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
1.4基本不等式专项训练高三数学一轮复习
第一章 集合、常用逻辑用语与不等式第四节 基本不等式1.不等式（x －2y ）＋1x －2y≥2成立的前提条件为（ ）A.x ≥2yB.x ＞2yC.x ≤2yD.x ＜2y 2.若a ，b 都是正数，则(1+ba )(1+4a b)的最小值为（ ）A.5B.7C.9D.133.已知x ＞0，y ＞0，且x ＋2y ＋2，则xy （ ） A.有最大值为1 B.有最小值为1 C.有最大值为12D.有最小值为124.要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（ ） A.80元 B.120元 C.160元D.240元5.（多选）下列不等式一定成立的有（ ） A.x ＋1x ≥2B.2x （1－x ）≤14C.x 2＋3x 2+1≥2√3－1D.√x ＋√x≥26.（多选）若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＋4，则下列不等式恒成立的是（ ） A.0＜1ab ≤14 B.1a ＋1b ≥1 C.log 2a ＋log 2b ＜2D.1a 2＋b 2≤187.√（3－a)(a+6）（－6≤a≤3）的最大值为.8.已知x＞0，y＞0，且2x＋y＋1，则x＋yxy的最小值为.9.写出一个关于a与b的等式，使1a2＋9b2是一个变量，且它的最小值为16，则该等式为.10.已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＋0，求：（1）xy的最小值；（2）x＋y的最小值.11.已知a，b为正实数，且a＋4b－√ab－3＋0，则ab的取值范围是（）A.（－∞，2]B.＋32，2＋C.＋0，32＋ D.（0，1]12.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够利用图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示的图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＋a，BC＋b，则该图形可以完成的无字证明为（）A.a＋b2≥√ab（a＞0，b＞0） B.a2＋b2≥2√ab（a＞0，b＞0）C.2aba＋b ≤√ab（a＞0，b＞0） D.a＋b2≤√a2＋b22（a＞0，b＞0）13.（多选）若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＋1，则下列不等式成立的是（）A.a＋b＋c≤√3B.（a＋b＋c）2≥3C.1a ＋1b＋1c≥2√3 D.a2＋b2＋c2≥114.已知a，b为正实数，且满足a＋b＋1.证明：（1）a2＋b2≥12；（2）√1a ＋2b≥1＋√2.15.甲、乙两地相距1 000 km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80 km/h，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的14，固定成本为a元.（1）将全程运输成本y（单位：元）表示为速度v（单位：km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？参考答案与解析1.B因为不等式成立的前提条件是x－2y和1x－2y均为正数，所以x－2y＞0，即x＞2y，故选B.2.C因为a，b都是正数，所以＋1＋ba ＋＋1＋4ab＋＋5＋ba＋4ab≥5＋2√ba·4ab＋9（当且仅当b＋2a时等号成立）.故选C.3.C 因为x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2，所以x ＋2y ≥2√x ·2y ，即2≥2√2xy ，xy ≤12，当且仅当x ＋2y ，即x ＋1，y ＋12时，等号成立.所以xy 有最大值，且最大值为12.4.C 由题意知，体积V ＋4 m 3，高h ＋1 m ，所以底面积S ＋4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4x m ，又设总造价是y 元，则y ＋20×4＋10×＋2x ＋8x ＋≥80＋20√2x ·8x ＋160，当且仅当2x ＋8x ，即x ＋2时取得等号.5.CD 对于A ，当x ＜0时，x ＋1x ＜0，故A 错误；对于B ，2x （1－x ）＋－2x 2＋2x ＋－2＋x －12＋2＋12≤12，故B 错误；对于C ，x 2＋3x 2+1＋x 2＋1＋3x 2+1－1≥2√（x 2+1）·3x 2+1－1＋2√3－1，当且仅当x 2＋√3－1时取等号，故C 正确；对于D ，√x ＋√x ≥2√√x ·√x ＋2，当且仅当x ＋1时取等号，故D 正确.故选C 、D.6.BD 因为a ＞0，b ＞0，所以ab ≤＋a ＋b 2＋2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＋b ＋2时等号成立，则ab ≤＋42＋2＋4≤a 2＋b 22，当且仅当a ＋b ＋2时等号成立，则1ab≥14，a 2＋b 2≥8，1a 2＋b2≤18，当且仅当a ＋b ＋2时等号成立，则log 2a ＋log 2b ＋log 2ab ≤log 24＋2，当且仅当a ＋b ＋2时等号成立，故A 、C 不恒成立，D 恒成立；对于B 选项，1a ＋1b ＋a ＋b ab＋4ab ≥4×14＋1，当且仅当a ＋b ＋2时等号成立，故B 恒成立.7.92解析：当a ＋－6或a ＋3时，√（3－a)(a +6）＋0；当－6＜a ＜3时，√（3－a)(a +6）≤3－a ＋a+62＋92，当且仅当3－a ＋a ＋6，即a ＋－32时取等号.8.3＋2√2 解析：x ＋yxy ＋1x ＋1y ＋＋1x ＋1y ＋（2x ＋y ）＋3＋yx ＋2xy ≥3＋2√y x ·2xy＋3＋2√2，当且仅当yx ＋2xy ，即x ＋1－√22，y ＋√2－1时等号成立，所以x ＋y xy的最小值为3＋2√2.9.a 2＋b 2＋1（答案不唯一） 解析：该等式可为a 2＋b 2＋1，下面证明该等式符合条件.1a2＋9b2＋＋1a2＋9b2＋（a 2＋b 2）＋1＋9＋9a 2b 2＋b 2a 2≥10＋2√9a 2b 2·b 2a 2＋16，当且仅当b 2＋3a 2时取等号，所以1a 2＋9b 2是一个变量，且它的最小值为16.10.解：（1）由2x ＋8y －xy ＋0，得8x ＋2y ＋1. 又x ＞0，y ＞0， 则1＋8x ＋2y ≥2 √8x ·2y ＋√xy，得xy ≥64，当且仅当8x ＋2y ，即x ＋16且y ＋4时，等号成立. 所以xy 的最小值为64.（2）由2x ＋8y －xy ＋0，得8x ＋2y ＋1， 则x ＋y ＋(8x ＋2y )（x ＋y ）＋10＋2xy ＋8yx ≥10＋2 √2x y ·8yx＋18.当且仅当2x y＋8y x，即x ＋12且y ＋6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.11.D 因为a ＋4b －√ab －3＋0，所以a ＋4b ＋√ab ＋3≥2√a ·4b ，当且仅当a ＋4b 时取等号，因为a ，b 为正实数，所以0＜ab ≤1.故选D.12.D 由题意可得圆O 的半径r ＋OF ＋12AB ＋a ＋b 2，又由OC ＋OB －BC ＋a ＋b 2－b ＋a －b 2，在Rt＋OCF 中，可得FC 2＋OC 2＋OF 2＋＋a －b 2＋2＋＋a ＋b 2＋2＋a 2＋b 22，因为FO ≤FC ，所以a ＋b 2≤√a2＋b 22，当且仅当a ＋b时取等号.故选D.13.BD 由基本不等式可得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，∴2（a 2＋b 2＋c 2）≥2（ab ＋bc ＋ca ）＋2，∴a 2＋b 2＋c 2≥1，当且仅当a ＋b ＋c ＋±√33时，等号成立.∴（a ＋b ＋c ）2＋a 2＋b 2＋c 2＋2（ab ＋bc ＋ca ）≥3，∴a ＋b ＋c ≤－√3或a ＋b ＋c ≥√3.若a ＋b ＋c ＋－√33，则1a ＋1b ＋1c ＋－3√3＜2√3.因此A 、C 错误，B 、D 正确.14.证明：（1）因为a ＋b ＋1，a ＞0，b ＞0，所以a 2＋b 2＋12（a 2＋b 2＋a 2＋b 2）≥12（a 2＋b 2＋2ab ）＋12（a ＋b ）2＋12（当且仅当a ＋b 时取等号）. （2）1a ＋2b ＋(1a ＋2b )（a ＋b ）＋3＋2ab ＋ba ≥3＋2√2ab ×ba ＋3＋2√2＋（1＋√2）2＋当且仅当2ab ＋ba ，即a ＋√2－1，b ＋2－√2时等号成立＋，所以√1a ＋2b ≥1＋√2.15.解：（1）由题意，得可变成本为14v 2元，固定成本为a 元，所用时间为1 000v，所以y ＋1 000v＋14v 2＋a ＋＋1 000＋14v ＋av＋，定义域为（0，80].（2）y ＋1 000＋14v ＋av ＋≥1 000×2√a4＋1 000√a （元），当14v ＋av 时，得v ＋2√a ，因为0＜v ≤80， 所以当0＜a ≤1 600时，货车以v ＋2√a km/h 的速度行驶，全程运输成本最小；当a ≥1 600时，函数y ＋1 000＋14v ＋av ＋在（0，80]上单调递减，故货车以80 km/h 的速度行驶，全程运输成本最小.。
高考数学一轮复习专题训练—基本不等式及其应用
基本不等式及其应用考纲要求1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．知识梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．2．两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时取等号．3．利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大)．1.b a ＋ab≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号． 2．ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22. 3.21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)． 4．应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错． 5．在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．( ) (2)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为4.( )(4)x ＞0且y ＞0是x y ＋yx ≥2的充要条件．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)×解析 (1)不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ； 不等式a ＋b 2≥ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0.(2)函数y ＝x ＋1x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值．(3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 没有最小值．(4)x >0且y >0是x y ＋yx≥2的充分不必要条件．2．若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．9 B ．18C ．36D ．81答案 A解析 因为x ＋y ＝18，所以xy ≤x ＋y2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立．3．若x <0，则x ＋1x ( )A ．有最小值，且最小值为2B ．有最大值，且最大值为2C ．有最小值，且最小值为－2D ．有最大值，且最大值为－2 答案 D解析 因为x <0，所以－x >0，x ＋1x ＝－⎣⎡⎦⎤－x ＋⎝⎛⎭⎫－1x ≤－2－x ·⎝⎛⎭⎫－1x ＝－2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所以x ＋1x≤－2.4．(2021·东北三省三校联考)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．4答案 C解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2x －2×1x －2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，故选C.5．(2020·玉溪一中月考)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大． 答案 15152解析 设矩形的长为x m ，宽为y m ．则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号．6．(2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________．答案 14解析 由题设知a －3b ＝－6，又2a>0,8b>0，所以2a＋18b ≥22a·18b ＝2·2a －3b 2＝14，当且仅当2a ＝18b ，即a ＝－3，b ＝1时取等号．故2a ＋18b 的最小值为14.考点一 利用基本不等式求最值角度1 配凑法求最值【例1】 (1)(2021·成都诊断)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________．(2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．(3)已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则( )A ．f (x )有最小值4B ．f (x )有最小值－4C ．f (x )有最大值4D ．f (x )有最大值－4答案 (1)92(2)1 (3)A解析 (1)y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎡⎦⎤2x ＋3－2x 22＝92，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32，∴函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎫0＜x ＜32的最大值为92. (2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －5＋14x －5＋3＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－25－4x ·15－4x＋3＝－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(3)f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1＋1x ＋1－2＝－(x ＋1)＋1－x ＋1＋2. 因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0， 所以f (x )≥21＋2＝4， 当且仅当－(x ＋1)＝1－x ＋1，即x ＝－2时，等号成立． 故f (x )有最小值4.角度2 常数代换法求最值【例2】 若正数m ，n 满足2m ＋n ＝1，则1m ＋1n 的最小值为( )A ．3＋2 2B ．3＋ 2C ．2＋2 2D ．3答案 A解析 因为2m ＋n ＝1，则1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ·()2m ＋n ＝3＋n m ＋2mn ≥3＋2n m ·2mn＝3＋22， 当且仅当n ＝2m ，即m ＝2－22，n ＝2－1时等号成立，所以1m ＋1n 的最小值为3＋22，故选A.角度3 消元法求最值【例3】 (2020·江苏卷)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R)，则x 2＋y 2的最小值是________． 答案 45解析 由题意知y ≠0.由5x 2y 2＋y 4＝1，可得x 2＝1－y 45y 2，所以x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y 2＝15⎝⎛⎭⎫1y 2＋4y 2≥15×21y 2×4y 2＝45，当且仅当1y 2＝4y 2，即y ＝±22时取等号．所以x 2＋y 2的最小值为45. 感悟升华 利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点： ①具备条件——正数；②验证等号成立．(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．【训练1】 (1)已知实数x ，y >0，且x 2－xy ＝2，则x ＋6x ＋1x －y 的最小值为( )A ．6B ．6 2C ．3D ．3 2(2)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________． 答案 (1)A (2)5解析 (1)由x ，y >0，x 2－xy ＝2得x －y ＝2x ，则1x －y ＝x 2，所以x ＋6x ＋1x －y ＝x ＋6x ＋x2＝3⎝⎛⎭⎫x 2＋2x ≥3×2x 2×2x＝6， 当且仅当x 2＝2x ，即x ＝2，y ＝1时等号成立，所以x ＋6x ＋1x －y的最小值为6.(2)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫15y ＋35x ＝135＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5⎝⎛⎭⎫当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立，所以3x ＋4y 的最小值是5. 考点二 基本不等式的综合应用【例4】 (1)(2021·湘东七校联考)已知f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x ＋1(a >0，b >0)在x ＝1处取得极值，则2a ＋1b的最小值为( )A.3＋223B ．3＋2 2C ．3D ．9(2)已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．2B ．4C ．6D ．8答案 (1)C (2)B解析 (1)因为f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x ＋1(a >0，b >0)，所以f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b －4. 因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以f ′(1)＝0，所以1＋2a ＋b －4＝0，解得2a ＋b ＝3. 所以2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·13·(2a ＋b )＝13⎝⎛⎭⎫5＋2b a ＋2a b ≥13⎝⎛⎭⎫5＋22b a ·2a b ＝3(当且仅当a ＝b ＝1时取等号)．故选C. (2)已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋ay 的最小值大于或等于9，∵1＋a ＋y x ＋axy ≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立，∴a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4， 即正实数a 的最小值为4，故选B.感悟升华 1.当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值．2．求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定相关成立的条件，从而得到参数的值或范围．【训练2】 (1)在△ABC 中，A ＝π6，△ABC 的面积为2，则2sin C sin C ＋2sin B ＋sin Bsin C的最小值为( ) A.32B ．334C ．32D ．53(2)在△ABC 中，点D 是AC 上一点，且AC →＝4AD →，P 为BD 上一点，向量AP →＝λAB →＋μAC →(λ>0，μ>0)，则4λ＋1μ的最小值为( )A ．16B ．8C ．4D ．2答案 (1)C (2)A解析 (1)由△ABC 的面积为2，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc sin π6＝2，得bc ＝8，在△ABC 中，由正弦定理得 2sin C sin C ＋2sin B ＋sin B sin C ＝2c c ＋2b ＋b c＝2·8b8b ＋2b ＋b 8b ＝168＋2b 2＋b 28 ＝84＋b 2＋b 2＋48－12≥284＋b 2·b 2＋48－12＝2－12＝32，当且仅当b ＝2，c ＝4时，等号成立，故选C.(2)由题意可知，AP →＝λAB →＋4μAD →，又B ，P ，D 共线，由三点共线的充要条件可得λ＋4μ＝1，又因为λ>0，μ>0，所以4λ＋1μ＝⎝⎛⎭⎫4λ＋1μ·(λ＋4μ)＝8＋16μλ＋λμ≥8＋216μλ·λμ＝16，当且仅当λ＝12，μ＝18时等号成立，故4λ＋1μ的最小值为16.故选A. 考点三 基本不等式的实际应用【例5】 网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和， 则该公司最大月利润是________万元． 答案 37.5解析 由题意知t ＝23－x －1(1<x <3)，设该公司的月利润为y 万元，则y ＝⎝⎛⎭⎫48＋t 2x x －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x ＋12－3＝45.5－⎣⎡⎦⎤163－x ＋13－x ≤45.5－216＝37.5，当且仅当x ＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元．感悟升华 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． 3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解． 【训练3】 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________． 答案 30解析 一年的总运费与总存储费用之和为y ＝6×600x ＋4x ＝3 600x ＋4x ≥23 600x·4x ＝240，当且仅当3 600x＝4x ，即x ＝30时，y 有最小值240.A 级 基础巩固一、选择题1．已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B ．a b ＋ba ≥2C.⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ≥2D ．a 2＋b 2>2ab答案 C解析 因为a b 和ba 同号，所以⎪⎪⎪⎪ab ＋b a ＝⎪⎪⎪⎪a b ＋⎪⎪⎪⎪b a ≥2. 2．若3x ＋2y ＝2，则8x ＋4y 的最小值为( ) A ．4 B ．4 2 C ．2 D ．2 2答案 A解析 因为3x ＋2y ＝2，所以8x ＋4y ≥28x ·4y ＝223x＋2y＝4，当且仅当3x ＋2y ＝2且3x ＝2y ，即x ＝13，y ＝12时等号成立．故选A.3．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1，lg x ＋1lg x≥2 B.1x 2＋1<1(x ∈R) C ．当x >0时，x ＋1x≥2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值答案 C解析 对于A ，当0<x <1时，lg x <0，不等式不成立； 对于B ，当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，不等式不成立； 对于C ，当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时等号成立； 对于D ，当0<x ≤2时，y ＝x －1x 单调递增，所以当x ＝2时，取得最大值，最大值为32.4．已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( )A ．3B ．5C ．7D ．9答案 C解析 ∵x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，∴x ＋1＋y ＝2⎝⎛⎭⎫1x ＋1＋1y (x ＋1＋y )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋y x ＋1＋x ＋1y ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2y x ＋1·x ＋1y ＝8，当且仅当y x ＋1＝x ＋1y ，即x ＝3，y ＝4时取等号，∴x ＋y ≥7，故x ＋y 的最小值为7.5．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元 答案 C解析 由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4x m ，又设总造价是y 元，则y ＝20×4＋10×(2x ＋8x)≥80＋202x ·8x ＝160，当且仅当2x ＝8x，即x ＝2时取得等号． 6．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是( )A ．6B ．233C ．4D ．23 答案 B解析 x 2＋y 2＋xy ＝1⇒(x ＋y )2－xy ＝1，∵xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，当且仅当x ＝y 时取等号，∴(x ＋y )2－⎝⎛⎭⎫x ＋y 22≤1， 即34(x ＋y )2≤1，∴－233≤x ＋y ≤233， ∴x ＋y 的最大值是233.故选B. 7．(2021·郑州一模)若log 2x ＋log 4y ＝1，则x 2＋y 的最小值为( )A ．2B ．2 3C ．4D ．2 2答案 C解析 因为log 2x ＋log 4y ＝log 4x 2＋log 4y ＝log 4(x 2y )＝1，所以x 2y ＝4(x >0，y >0)，则x 2＋y ≥2x 2y ＝4，当且仅当x 2＝y ＝2时等号成立，即x 2＋y 的最小值为4.故选C.8．(2021·厦门联考)对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，则实数a 的最大值为( ) A. 2B ．2 2C ．4D ．92 答案 B解析 ∵对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，∴m 2＋2n 2≥amn ，即a ≤m 2＋2n 2mn ＝m n ＋2n m 恒成立， ∵m n ＋2n m ≥2m n ·2n m ＝22，当且仅当m n ＝2n m即m ＝2n 时取等号，∴a ≤22，故a 的最大值为22，故选B.二、填空题 9．若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________． 答案 8解析 由题设可得1a ＋2b＝1，∵a >0，b >0， ∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b＝4＋b a ＋4a b ≥4＋2b a ·4a b＝8⎝⎛⎭⎫当且仅当b a ＝4a b ，即b ＝2a ＝4时，等号成立. 故2a ＋b 的最小值为8.10．已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．答案 6解析 法一(换元消元法)由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x >0，y >0，所以x ＋3y ≥23xy ， 所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0，令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.法二(代入消元法)由x ＋3y ＋xy ＝9，得x ＝9－3y 1＋y， 所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y＋3y ＝9＋3y 21＋y ＝31＋y 2－61＋y ＋121＋y＝3(1＋y )＋121＋y－6≥231＋y ·121＋y －6 ＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y )＝121＋y，即y ＝1，x ＝3时取等号， 所以x ＋3y 的最小值为6.11．(2020·天津卷)已知a ＞0，b ＞0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为__________． 答案 4解析 因为a ＞0，b ＞0，ab ＝1，所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b ≥2a ＋b 2·8a ＋b＝4，当且仅当a ＋b 2＝8a ＋b，即a ＋b ＝4时，等号成立．故12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为4. 12．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．答案 23＋2 解析 ∵x >1，∴x －1>0， ∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2x －2＋3x －1＝x －12＋2x －1＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立． B 级 能力提升13．(2020·西安一模)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0) B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2ab a ＋b≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0) 答案 D解析 由图形可知OF ＝12AB ＝12(a ＋b )，OC ＝⎪⎪⎪⎪12a ＋b －b ＝⎪⎪⎪⎪12a －b ， 在Rt △OCF 中 ，由勾股定理可得CF ＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋⎝⎛⎭⎫a －b 22＝12a 2＋b 2， ∵CF ≥OF ，∴12a 2＋b 2≥12(a ＋b )(a >0，b >0)．故选D. 14．(2021·山东名校联考)正实数a ，b 满足a ＋3b －6＝0，则1a ＋1＋43b ＋2的最小值为( ) A.13B ．1C ．2D ．59 答案 B解析 由题意可得a ＋3b ＝6，所以1a ＋1＋43b ＋2＝19[(a ＋1)＋(3b ＋2)]⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋43b ＋2 ＝19⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋3b ＋2a ＋1＋4a ＋13b ＋2≥1， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1＝3b ＋2，a ＋3b ＝6，即a ＝2，b ＝43时等号成立．故1a ＋1＋43b ＋2的最小值为1，选B.15．若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________． 答案 4解析 ∵a ，b ∈R ，ab >0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab ＝4， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎨⎧ a 2＝22，b 2＝24时取得等号．16．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R)，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫－83，＋∞ 解析 对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (x )＝x ＋8x≥42， 当且仅当x ＝22时等号成立，又g (2)＝6，g (3)＝173， ∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173. ∴－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－83，＋∞.。
上海市2016届高考数学一轮复习 专题突破训练 不等式 理
上海市2016届高三数学理一轮复习专题突破训练不等式一、填空、选择题1、（2014年上海高考）若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为 . 2、（静安、青浦、宝山区2015届高三二模）已知：当0x >时，不等式11kx b x≥++恒成立，当且仅当13x =时取等号，则k = 3、（闵行区2015届高三二模）如果0a b <<，那么下列不等式成立的是 ( )(A) 2a ab <. (B) 2ab b -<-. (C)11a b <. (D) b a a b>. 4、（浦东新区2015届高三二模）不等式32x>的解为 3log 2x > 5、（普陀区2015届高三二模）不等式01xx>-的解集为 ()0,1 6、（徐汇、松江、金山区2015届高三二模）下列不等式中，与不等式302x x-≥-同解的是（ ） （A ）()()320x x --≥ （B ）()()320x x --> （C ）203x x -≥- （D ）302xx -≥- 7、（长宁、嘉定区2015届高三二模）已知定义在R 上的单调函数)(x f 的图像经过点)2,3(-A 、)2,2(-B ，若函数()f x 的反函数为)(1x f -，则不等式51)2(21<+--x f 的解集为8、（金山区2015届高三上期末）不等式：11>x的解是 ▲ 9、（虹口区2015届高三上期末）若正实数a b ，满足ab =32，则2a b +的最小值为 10、（静安区2015届高三上期末）已知实数x 、y 满足1+≥y x ，则xy 2-的取值范围是 11、（徐汇区2015届高三上期末）若实数,x y 满足4xy =，则224x y +的最小值为 12、（青浦区2015届高三上期末）已知正实数,x y 满足24xy x y ++=，则x y +的最小值为 13、（上海市十三校2015届高三第二次（3月）联考）实数x 、 y 满足，则x - y 的最大值为__________.14、（奉贤区2015届高三4月调研测试（二模））若2log 2x y x y =-+，则的值域为_____________15、（崇明县2015届高三上期末）若0a <，0b <，则22b a p a b=+与q a b =+的大小关系为……………………………（ ）A. p q <B. p q ≤C. p q >D. p q ≥二、解答题1、（2013年上海高考）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.2、（闵行区2015届高三二模）某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x 个月的需求量y （万吨）与x 的函数关系为*0,116,)y p x x =>≤≤∈N ，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．（1）试写出第x 个月石油调出后，油库内储油量M （万吨）与x 的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m 的取值范围．3、（长宁、嘉定区2015届高三二模）某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数)(x f 与时刻x （时）的关系为4321)(2++-+=a a x x x f ，)24,0[∈x ，其中a 是与气象有关的参数，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0a ．若用每天)(x f 的最大值为当天的综合污染指数，并记作)(a M ．（1）令12+=x xt ，)24,0[∈x ，求t 的取值范围；（2）求)(a M 的表达式，并规定当2)(≤a M 时为综合污染指数不超标，求当a 在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．4、（崇明县2015届高三第二次高考模拟）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()35kC x x =+(010)x ≤≤，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用 之和．（1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值．5、（宝山区2015届高三上期末）解不等式组|1|3213-<⎧⎪⎨>⎪-⎩x x6、（宝山区2015届高三上期末）有根木料长为6米，要做一个如图的窗框，已知上框架与下框 架的高的比为1∶2，问怎样利用木料，才能使光线通过的窗框面积 最大（中间木档的面积可忽略不计）.7、某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到．x 元．公司拟投入21(600)6x -万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入．．．与总投入．．．之和？并求出此时商品的每件定价．8、某小商品2012年的价格为8元/件,年销量为a 件，现经销商计划在2013年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格为4元/件，经测算，该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k ，该商品的成本价格为3元/件。
最经典上海-高三一轮数学(理)复习第76讲柯西不等式、排序不等式及应用
【拓展演练 3】 在△ABC 中，角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c.求证： π3≤aAa＋＋bbB＋＋ccC<π2.
证明：不妨设 a≤b≤c，于是 A≤B≤C，由排序不等式： a·A＋b·B＋c·C≥aA＋bB＋cC； a·A＋b·B＋c·C≥bA＋cB＋aC； a·A＋b·B＋c·C≥cA＋aB＋bC. 三式相加得：3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C) ＝π(a＋b＋c)， 得aAa＋＋bbB＋＋ccC≥π3.
即aa212＋aa232＋…＋aa2n－n 1＋aa2n1≥a1＋a2＋…＋an＝5， 故所求最小值为 5.
二 利用柯西不等式证明不等式
【例 2】(2012·福建省泉州市 3 月质量检查)已知函数 f(x) ＝|x－2|＋|x－4|的最小值为 m，实数 a，b，c，n，p，q 满足 a2＋b2＋c2＝n2＋p2＋q2＝m.
2.(2013·湖北卷)设 x，y，z∈R，且满足：x2＋y2＋z2＝1，
x＋2y＋3z＝ 14，则 x＋y＋z＝
.
解析：根据柯西不等式有
(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2，
当1x＝2y＝3z时“＝”成立． 不妨令 x＝k，y＝2k，z＝3k，则由 x2＋y2＋z2＝1，
≥ [x－x－1]2＋[y－y－1]2＝ 2， 当且仅当 x＝1－x，y＝1－y， 即 x＝12，y＝12时，等号成立． 故 f(x)的最小值为 2.
4．已知 a>0，b>0，c>0，且 a＋b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的
最小值是
.
解
析
：
因
为
(a
＋
b＋
1 c)( a
＋
1 b
上海2017届高三数学理一轮复习专题突破训练
上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练集合与常用逻辑用语一、集合1、（2016年上海高考）（2016年浙江高考）已知集合{}{}213,4,P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R R 则()P Q ⋃=R ðA ．[2,3]B ．( -2,3 ]C ．[1,2)D ．(,2][1,)-∞-⋃+∞2、（2015年上海高考）全集U=R ．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x ≤3}，则Α∩∁U Β= {1，4} ．3、（2014年上海高考）已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{}{}22,,a b a b =，则a b += .4、（虹口区2016届高三三模）设集合103x M xx ⎧+⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，{}21x N x =≥，则M N ⋂=__________ 5、（崇明县2016届高三二模）已知全集U R =，{}2|20A x x x =-<，{}|1B x x =≥， 则U A C B =6、（虹口区2016届高三二模）设集合{}2M x x x ==，{}20N x log x =≤，则=N M __________ 7、（黄浦区2016届高三二模）已知集合{1,3,21}A m =--，集合2{3,}B m =，若B A ⊆，则实数m =8、（闵行区2016届高三二模）集合{}2|30A x x x =-<，{}2B x x =<，则A B 等于9、（浦东新区2016届高三二模）已知全集U R =,若集合|01x A x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则U C A = 10、（闸北区2016届高三二模）已知集合{||2|}A x x a =-<，2{|230}B x x x =--<，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是11、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）设集合},2||{R ∈<=x x x A ，},034{2R ∈≥+-=x x x x B ，则A B =I ________12、（青浦区2016届高三上学期期末）已知{(,)}A x y y x b ==+，2{(,)34}B x y y x x ==--, 满足AB ≠∅，则实数b 的取值范围是13、（松江区2016届高三上学期期末）已知全集{}1,2,3,4U =，A 是U 的子集，满足{}}{1,2,32A=，{}1,2,3A U =，则集合A = ▲ ．14、（杨浦区2016届高三上学期期末）已知全集U=R ，集合102x A xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎭⎩，则集合U A =ð_____________.15、（崇明县2016届高三上学期期末）若集合 A ＝{x | ｜x −1 ｜＜2}，B ＝2|04x x x -⎧⎫<⎨⎬+⎩⎭，则 AB ＝二、常用逻辑用语1、（2016年上海高考）设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件2、（2015年上海高考）设z 1，z 2∈C ，则“z 1、z 2中至少有一个数是虚数”是“z 1﹣z 2是虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ． 必要非充分条件 C ．充要条件 D ． 既非充分又非必要条件3、（2014年上海高考）设,a b ∈R ，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的 （ ）(A) 充分条件.(B) 必要条件.(C) 充分必要条件.(D) 既非充分又非必要条件.4、（浦东新区2016届高三三模）若a b 、为实数，则0a b <<是22a b >的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件5、（杨浦区2016届高三三模）已知数列{}n a 的前n 项和nn S p q =+(0,1)p p ≠≠，则“1q =-”是“数列{}n a 为等比数列”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6、（崇明县2016届高三二模）“12x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的………………（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不不充分也不必要条件7、（虹口区2016届高三二模） 3a =“”是“直线2(2)0a a x y -+=和直线310x y ++=平行”的( )（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件8、（黄浦区2016届高三二模）已知直角坐标平面上两条直线方程分别为1111,0l a x b y c ++=，2222,0l a x b y c ++=，那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9、（闵行区2016届高三二模）若l m 、是两条直线，m ⊥平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ）. (A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既非充分又非必要条件 10、（浦东新区2016届高三二模） “112x <<”是“不等式11x -<成立”的（ ） （A ）充分非必要条件. （B ）必要非充分条件. （C ）充要条件. （D ）既非充分亦非必要条件. 11、（青浦区2016届高三上学期期末）14a =是“直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=相互垂直”的 ………………………………………………………（ ）.（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件12、（松江区2016届高三上学期期末）．设,a b R ∈，则“a b >”是“a b >”的.A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件13、（徐汇区2016届高三上学期期末）设,a b 为实数，则“01ab <<”是“1b a<”的-----------------------------（ ）A ． 充分不必要条件B ．必要不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 14、（杨浦区2016届高三上学期期末）设,a b 是两个单位向量,其夹角为θ,则“36πθπ<<”是“1||<-b a ”的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件15、（闸北区2016届高三上学期期末）“抛物线2y ax =的准线方程为2y =”是“抛物线2y ax=的焦点与双曲线2213y x -= 的焦点重合”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案 一、集合 1、B2、解：∵全集U=R ，集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x ≤3}， ∴（∁U B ）={x|x ＞3或x ＜2}，∴A ∩（∁U B ）={1，4}， 故答案为：{1，4}．3、【解析】：第一种情况：22,a a b b ==，∵0ab ≠，∴1a b ==，与已知条件矛盾，不符；第二种情况：22,a b b a ==，∴431a a a =⇒=，∴210a a ++=，即1a b +=-；4、[)0,35、(0,1)6、[]0,17、18、()2,3-9、[]0,1 10、3a ≥ 11、]1,2(- 12、1223b -≤≤ 13、{}2,4 14、()[),12,-∞-+∞15、（－1,2）二、常用逻辑用语 1、A2、解：设z 1=1+i ，z 2=i ，满足z 1、z 2中至少有一个数是虚数，则z 1﹣z 2=1是实数，则z 1﹣z 2是虚数不成立，若z 1、z 2都是实数，则z 1﹣z 2一定不是虚数，因此当z 1﹣z 2是虚数时， 则z 1、z 2中至少有一个数是虚数，即必要性成立，故“z 1、z 2中至少有一个数是虚数”是“z 1﹣z 2是虚数”的必要不充分条件， 故选：B ． 3、B4、【答案】A【解析】①220a b a b <<⇒>；②若22a b a b >⇒> 5、C6、B7、A8、B9、C 10、A 11、A 12、B 13、D 14、A 15、A。
上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练
上海市届高三数学理一轮复习专题突破训练函数一、填空、选择题_ _ _x 1、(年上海高考)已知点(3,9)在函数f(x)=1+a的图像上，则f(x)的反函数f (x)= ______________________ 、(年上海高考)设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f(x)・g(x)、f (x) h(x)、g(x) h(x)均为增函数，则f(x)、g(x)、h(x)中至少有一个增函数；②若f (x) g(x) > f (x) h(x) > g(x) h(x)均是以T 为周期的函数，则f(x)、g(x)、h(x)均是以T为周期的函数，下列判断正确的是( )A、①和②均为真命题B、①和②均为假命题C、①为真命题，②为假命题D、①为假命题，②为真命题、(年上海高考)方程( -)(-)的解为___________ .、(年上海高考)设「()为()「€[,]的反函数，则()「()的最大值为2x x € (a)、(年上海高考)设f (x)=」；''若f(2) =4，贝U a的取值范围为__________________ .[x , x 可a ,心).2 1、(年上海高考)若f(X)= X3- X 2，则满足f(X)::： 0的x的取值范围是 __________________ .、(虹口区届高三三模)若函数f (x) =(x — a) x (a^ R)存在反函数f °(x)，则f⑴+ f十/)=、(虹口区届高三三模)若函数y二f (x)的图像与函数y = 3x'a的图像关于直线y = - x对称，且f(-1) f(-3)=3，则实数a等于()()-1 ( ) 1 () 2 () 4、(杨浦区届高三三模)函数y =log2(x，1)的反函数为 ____________(2x +a x> 0、(崇明县届高三二模)已知函数f(x) = < ，若f(x)的最小值是a，则a= ______________ .x2—ax, x vO、(奉贤区届高三二模)函数y = ■ 2x -1的定义域是.(用区间表示)、(虹口区届高三二模)已知函数f(x)的对应关系如下表：若函数f(x)不存在反函数，则实数m的取值集合为_____________________、(静安区届高三二模)若函数 F x二f x x2为奇函数，且()()+，已知()，贝U (-)的值为( )、(浦东新区届高三二模)方程log2(9x -7^2 log2(3x 1)的解为 __________________、(徐汇、金山、松江区届高三二模)定义在R上的奇函数f (x),当x _ 0时，卩og X+食序I p, 1 ,f(x)= 21 - x-3,x E 1,垃)，则关于x的函数F (x) = f (x) -a(0 ::：a ：：： 1)的所有零点之和为(结果用a表示).、(闸北区届高三二模) 设函数f (x) =a x+a」(a>0且a式1)，且f(1) 3 ，则f(0 +⑪乜的值是_、(长宁、青浦、宝山、嘉定四区届高三二模)设 a 0且a = 1，若函数f (x^ a xJ 2的反函数的图像经过定点P，则点P的坐标是._ l1-2x-3, 1W x ：：2 、(崇明县届高三二模)已知函数f(x)是定义在上的函数，且f(x)二1 1,f x , x > 22 2则函数y=2xf(x)—3在区间(1,2016)上的零点个数为________________ .In(1+x), x^O、(闸北区届高三上学期期末) 函数f (x)二1的单调性为_________ ;奇偶性为__________ ；In , x 01 _x、(长宁区届高三上学期期末)方程+ -=的解是.、(闵行区届高三上学期期末)若函数 f (x)二2心(a ：= R)满足f (1 • x)二f (1 -x)，且f (x)在[m,=)上单调递增，则实数m的最小值等于____________ . ____f (x)弋崔-3x)的定义域为(青浦区届高三上学期期末)函数(金山区届高三上学期期末)如图,为定圆的直径，点为半圆上的动点. 过点作的垂线，垂足为, 过作的垂线，垂足为•记x(浦东新区届高三三模)已知函数f x 二 ax 2g x ]=x -二、解答题 、(年上海高考)已知a R ，函数f (x) =log 2(丄■ a).x()当a =5时，解不等式f (x) 0；()若关于x 的方程f (x)-log 2[(a-4)x 2^ 5^0的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；1()设a ・0,若对任意r ^,1],函数f (x)在区间[t,t 1]上的最大值与最小值的差不超过，求a的取值范围• 、(年上海高考)设常数 a_0,函数f(x^^—a2 -a()若a = 4，求函数y = f (x)的反函数y = f *(x)； ()根据a 的不同取值，讨论函数y = f (x)的奇偶性，并说明理由y =3”」(-仁x ：：：0)的反函数是()g x(x 一*)• y -1 log 3x( x 一 1)• y =、._1 g x(x 一 Jf (x^ 2 5x 10x 2 10x 3 5x 4 x 5，则其反函数的解析式为( ).()y =1 +引x -1 ()y - -15x -1()y =1 _ 5 百 ()y = _1_、. x_1弧的长为，线段(静安区届高三上学期期末)函数y = 一:::x 三 1) (闵行区届高三上学期期末)设()f x 0在x ・1,2上恒成立，求a 的取值范围；()当a 0时，对任意的x i 1,31，存在X 2 - 1,3］，使得f X i _ g X 2恒成立，求a 的取值范围。
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上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练不等式一、填空、选择题1、（2016年上海高考）设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________2、（2016年上海高考）设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则b a +的取值范围是____________3、（2014年上海高考）若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为 . 4、（崇明县2016届高三二模）已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 5、（静安区2016届高三二模）若不等式组0,34,34x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是 .6、（闵行区2016届高三二模）若0m >，0n >，1m n +=，且1t m n+（0t >）的最小值为9，则t =7、（浦东新区2016届高三二模）设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，则目标函数2z x y =+的最大值为_____．8、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）设定义在R 上的奇函数)(x f y =，当0>x 时，42)(-=xx f ，则不等式0)(≤x f 的解集是__________________． 9、（静安区2016届高三二模）下列不等式一定成立的是 （ ）A ．21lg()lg (0)4x x x +>> B ．1sin 2(,)sin x x k k Z xπ+≥≠∈ C ．212||()x x x R +≥∈D ．211()1x R x >∈+ 10、（闵行区2016届高三二模）如果a b >，那么下列不等式中正确的是（ ）. (A)11a b> (B) 22a b > (C) ()()lg 1lg 1a b +>+ (D) 22a b > 11、（杨浦区2016届高三二模）.设x ,y ,z 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（ ）A.2211x x x x++≥ C.1||2x y x y-+-≥ D.||||||x y x z y z --+-≤ 12、（崇明县2016届高三上学期期末）若log 21a b =-则a +b 的最小值为 . 13、（黄浦区2016届高三上学期期末）不等式|1|1x -<的解集用区间表示为 ．14、（静安区2016届高三上学期期末）已知各项皆为正数的等比数列{}n a （n N *∈ ），满足7652a a a =+，若存在两项m a 、n a 14a =，则14m n+的最小值为 . 15、（青浦区2016届高三上学期期末）设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 成等比数列，则b aa b +的取值范围_______．16、（黄浦区2016届高三上学期期末）已知x ∈R ，下列不等式中正确的是 [答] ( C )．A ．1123x x>B ．221111x x x x >-+++ C ．221112x x >++ D ．2112||1x x >+ 17、（金山区2016届高三上学期期末）若m 、n 是任意实数，且m >n ，则( )．(A) m 2>n 2 (B)1<m n(C) lg(m –n )>0 (D) nm )21()21(<18、（普陀区2016届高三上学期期末）下列命题中的假命题是（ ）A. 若0a b <<，则11a b >B. 若11a >，则01a <<C. 若0a b >>，则44a b >D. 若1a <，则11a< 19、（杨浦区2016届高三上学期期末）下列四个命题中，为真命题的是 （ ）A. 若a b >，则22ac bc >B. 若a b >，c d >则a c b d ->-C. 若a b >，则22a b > D. 若a b >，则11a b<二、解答题1、（2013年上海高考）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.2、（普陀区2016届高三二模）某企业参加A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元.根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润⎪⎭⎫ ⎝⎛-500310x a 万元（0>a ），A 项目余下的工人每人每年创造利润需要提高%2.0x（1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B 项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A 项目调出的人数不能超过总人数的%40时，才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围.3、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）已知函数()2.f x x a a =-+ （1）若不等式()6f x <的解集为()1,3-，求a 的值；（2）在（1）的条件下，若存在0,x R ∈使00()()f x t f x ≤--，求t 的取值范围．4、（闸北区2016届高三二模）某公司生产的某批产品的销售量P 万件（生产量与销售量相等）与促销费用x 万元满足42+=x P (其中a x ≤≤0，a 为正常数)．已知生产该批产品还需投入成本)1(6P P +万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为)204(P+元／件．（1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数； （2）当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？第21题图ABDCE5、（宝山区2015届高三上期末）解不等式组|1|3213-<⎧⎪⎨>⎪-⎩x x6、（宝山区2015届高三上期末）有根木料长为6米，要做一个如图的窗框，已知上框架与下框 架的高的比为1∶2，问怎样利用木料，才能使光线通过的窗框面积 最大（中间木档的面积可忽略不计）.7、（闵行区2016届高三上学期期末）某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路1l 、2l ，海岸边界MPN 近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB ，且直线AB 与曲线MPN 有且仅有一个公共点P （即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN 是函数ay x=图像的一段，点M 到1l 、2l 的距离分别为8千米和1千米，点N 到2l 的距离为10千米，以1l 、2l 分别为x y 、轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，设点P 的横坐标为p . （1）求曲线段MPN 的函数关系式，并指出其定义域；（2）若某人从点O 沿公路至点P 观景，要使得沿折线OAP 比沿折线OBP 的路程更近，求p 的取值范围.8、（青浦区2016届高三上学期期末）如图，有一块平行四边形绿地ABCD ，经测量2,1BC CD ==百米百米，120BCD ∠=o ，拟过线段BC 上一点E 设计一条直路EF （点F 在四边形ABCD 的边上，不计路的宽度），将绿地分为面积之比为1︰3的左右两部分，分别种植不同的花卉，设EC x =百米，EF y =百米． （1）当点F 与点D 重合时，试确定点E 的位置； （2）试求x 的值，使路EF 的长度y 最短．9、（闸北区2016届高三上学期期末）经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴；为迎接2015年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销；经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p （万件）与促销费用x （万元）满足231p x =-+（其中0x a ≤≤，a 为正常数），已知生产该产品还需投入成本102p +万 元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为20(4)p+元，假定厂家的生产能力完全能 满足市场的销售需求；（1）将该产品的利润y （万元）表示为促销费用x （万元）的函数； （2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值；参考答案一、填空、选择题 1、【答案】（2,4） 【解析】试题分析：由题意得：1x 31-<-<，解得2x 4<<. 2、【答案】2+∞（，） 【解析】试题分析：将方程组中的（1）式化简得y 1ax =-，代入（2）式整理得(1ab)x 1b -=-，方程组无解应该满足1ab 0-=且1b 0-≠，所以ab 1=且b 1≠，所以由基本不等式得a b 2+>=.3、【解析】：2222x y x +≥⋅=4、3 5、736、47、148、]2,0[]2,(Y --∞9、C 10、D 11、C12 13、(0,2) 14、14143()(5)662m n m n m n n m ++=++≥15、 16、C 17、D 18、D 19、C二、解答题1、【解答】(1)根据题意，33200(51)30005140x x x x+-≥⇒--≥ 又110x ≤≤，可解得310x ≤≤ (2)设利润为y 元，则4290031161100(51)910[3()]612y x x x x =⋅+-=⨯--+ 故6x =时，max 457500y =元．2、【解】（1）根据题意可得，()()≥⨯+-%2.010101000x x 101000⨯……3分 展开并整理得，05002≤-x x ……5分解得5000≤≤x ，最多调出的人数为500人……6分（2）⎩⎨⎧⨯≤≤≤%4010005000x x ，解得4000≤≤x ……7分()()%2.010101000500310x x x x a ⨯+⋅-≤⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-，对于任意的[]400,0∈x 恒成立……9分即%210201010005031022x x x x ax --+⨯≤- 即10002502++≤x x ax 对于任意的[]400,0∈x 恒成立……10分 当0=x 时，不等式显然成立；当4000≤<x 时，1250000250111000250+⎪⎭⎫⎝⎛+=++≤x x x x a ……11分 令函数xx x f 250000)(+=，可知函数)(x f 在区间[]400,0上是单调递减函数……12分 故()1025400)(min ==f x f ，故1.511000250≥++xx ……13分故1.50≤<a ，所以实数a 的取值范围是1.50≤<a ……14分3、【解答】（1）()26,f x x a a =-+<即26.x a a -<-60,626,a a x a a ->⎧∴⎨-+<-<-⎩即6,33,a a x <⎧⎨-<<⎩-----------------------------------------3分 6,31, 2.33,a a a <⎧⎪∴-=-=⎨⎪=⎩即----------------------------------------------------------------------6分 （2）2a =时，()22 2.f x x =-+若存在0,x R ∈使00()(),f x t f x ≤--即00()(),t f x f x ≥+----------------------8分 则[]min ()().t f x f x ≥+------------------------------------------------------------------10分()()22224f x f x x x +-=-+++Q (22)(22)48,x x ≥--++=当[]1,1x ∈-时等号成立8,t ∴≥即[)8,.t ∈+∞----------------------------------------14分 4、解：（1）由题意知， )1(6)204(pp x p p y +--+= 将42+=x P 代入化简得： x x y 2322419-+-= （0x a ≤≤）. ……………6分 （2）10)2(216322)2216(2322=+⨯+-≤+++-=x x x x y ， 上式当且仅当2216+=+x x ,即2=x 时，取等号。