含Hardy位势的双调和方程非平凡解的存在性
带有临界Sobolev—Hardy指数的非齐次椭圆方程解的存在性
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收 稿 日期 ： ０ ２ ０ — １ ２ ０ — １２ ． 基 金 项 目 ：国 家 自然 科 学 基 金 资 助 项 目 （ Ｏ １ ３ ） １１ ０ ６． ７ 作 者 简 介 ： 东 升 （ ７ ） 男 ， 南 确 山 人 ， 士 研 究 生 ， 教 授 ， 要 从 事 微 分 方 程 研 究 康 １６ 一 ， 河 ９ 博 副 主
受 上 面这 些 文 献 的 启 发 ， 文 讨 论 下 列 问题 本
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维普资讯
华 中师范 大学 学报 （ 自然 科 学 版 ）
第 ３ ６卷
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Ⅵ
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nontrivial solution数学
非平凡解（nontrivial solution）是数学中一个重要的概念，它在许多不同的领域和学科中都有着广泛的应用。
在代数、微积分、微分方程、数论等领域，非平凡解都扮演着至关重要的角色。
本文将从不同角度来探讨非平凡解的含义、性质、应用以及个人理解。
1. 非平凡解的定义在数学中，对于一个方程或者问题，如果它存在解，而且这个解不是显而易见的、不是平凡的，那么我们就称这个解为非平凡解。
非平凡解通常是指与问题本身相关联的、不容易被直接观察或者推导出来的解。
在许多情况下，非平凡解往往意味着问题的复杂性和深度。
2. 非平凡解在代数中的应用在代数学中，非平凡解常常与方程、群论、交换环、域等概念相关联。
在群论中，对于一个群的正规子群，如果存在非平凡的商群，那么我们就称这个正规子群为非平凡子群。
非平凡的子群和非平凡的商群往往具有重要的代数性质，它们可以帮助我们更深入地理解群的结构和性质。
3. 非平凡解在微分方程中的意义在微分方程的研究中，非平凡解往往对于描述问题的复杂性和多样性起着重要的作用。
许多微分方程模型都存在非平凡解，这些非平凡解反映了问题的多种可能性和丰富性。
通过研究微分方程的非平凡解，我们可以深入理解问题的动态特性和稳定性。
4. 非平凡解在数论中的应用在数论中，非平凡解通常与数的分解、素数、同余等问题相关。
在同余方程中，非平凡解往往对于描述不同余类的结构和性质起着关键的作用。
而在解析数论中，对于一些特定的数论函数或者方程，存在非平凡解往往意味着数论函数的复杂性和多样性。
5. 个人观点和理解对于非平凡解的理解和研究，我认为它不仅仅是数学领域的一个概念，更是一种对于问题复杂性的认识和探索。
非平凡解反映了问题的多样性和深度，它们使我们能够更加全面、深刻地理解问题的本质和内在结构。
在实际问题中，寻找一个问题的非平凡解往往需要创新思维和深入挖掘，这对于我们解决现实生活中的复杂问题具有重要的指导意义。
总结回顾非平凡解是数学中一个重要而且深刻的概念，它在代数、微积分、微分方程、数论等多个领域都有着重要的应用和意义。
一类含Hardy位势的超线性椭圆方程非平凡解的存在性
卜 Ｏ
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一 十。 ， 以人们 称 问题 （ ） 。所 １ 为超 线性 问题 ． 文 均在 新 的 Ｈｉ ｅｔ 间 Ｈ 本 ｌ ｒ空 ｂ
中 图 分类 号 ：０ １ ５ ２ ７ ． ５ 文 献标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：１ ０ — ７ ５ ２ １ ） ２ ０ ２ — ４ ０ １ ８ ３ （０ ０ ０— １ ２ ０
０ 引 言
考 虑如 下含 Ｈａｄ ｒｙ位 势 的椭 圆 方程 问题 ：
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Ｖｏ ． ９ ＮＯ ２ Ｉ３ ．
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一
类 含 Ｈ ｄ 位 势 的 超 线 性 ａ ｙ ｒ 椭 圆 方 程 非 平 凡 解 的 存 在 性
柯 敏 ，姚 仰 新 ，余 博 强
（ 南理 工 大 学理 学院 数 学 系 ，广 东 广 州 ５０ ４ ） 华 １６ ０
作 者 简介 ：柯
敏 （ ９４ ）女 ， 建 省 福 州 市 人 ， 南 理工 大学 硕 士 研 究 生 １８ 一 ， 福 华
通 信 作 者 ：姚 仰 新 （ ９７ ）男 ， 东 省 广 州 市 人 ， 南 理工 大学教 授 ， 要 从 事 偏 微 分 方程 研 究 ， － ｉ ｍａｘ ａ （ ｃｔｅｕ ｃ１ １５一 ， 广 华 主 Ｅ ｍａｌ ｙ ｙ ｏ ： ￣ｓｕ．ｄ ． ｒ ．
第３ ９卷 第 ２期 ２１ ０ ０年 ３月
内 蒙古 师 范 大 学 学报 （ 自然 科 学 汉 文 版 ）
一类含临界指数双调和方程非平凡解的存在性
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一类含临界指数与Hardy项椭圆方程非平凡解的存在性
由 ）知ＩＩ （Ｉ Ｉ 年一 Ｌ（Ⅱ ） （ 中义 模ＩＩ （可 Ｉ ＝ （Ⅱ 一 ４ Ⅱ Ｉ 口）） ） 与 定 的 Ｉ ＝ （Ⅱ ＋ ） （ Ⅳ＞， ｆ 在 ｏ ｏ
Ｉ ｃ ＝ （ ⅡＩ ＋Ⅱ） ，ＶⅡ ∈ （ ） ， 三 Ｉ 三 ｝ ＝ ｍｉＩ ， ｎ 一 ｃ
Ｖ０．１ Ｎｏ ４ １ ６ ． Ｏｃ ． ０ｏ ｔ２ ７
一
类含 临界 指 数 与 Ｈａｄ ｒ ｙ项椭 圆方 程 非 平 凡 解 的 存 在 性
吕登 峰
（ 感学 院 数学 系 ， 孝 湖北 孝 感 ４ ２ ０ ３ ０ ０）
摘
要
研究 了一类含 Ｓｂｌ ｏｏｅ ｖ—Ｈ ｒｙ临界指数与 Ｈ ｒｙ 的椭 圆方程 ， ａｄ ａ 项 ｄ 通过证 明局部 （ ． ． 条件和能量估计 ， ＰＳ） 运用 山
第 ４期
吕登 峰 ： 一类含 临界指数 与 Ｈ ｒｙ ａｄ 项椭 圆方程非平凡解 的存在性
： ＝
是 ｓｂｌ 。。 ｖ—Ｈ ｒｙ ｅ ａ 临界指数 ， ａ ｄ ｎ是 的单位外法向，
，） Ⅱ 满足下列条件 ：
（ ）ｌ ｉ ｍ （ ） １
． ．
＝ 口 ）∈ （ （ ）关 于 ∈ 一致 成立 ，
Ｌｔ Ｄｅ ｇｅ ｇ ｉ ｎ ｆｎ
（ ｅ ａｔ ｎ ｆ ｔｅ ｔ ｓ Ｘ ａｇｎＵ ｉ ｒ ｔ， ｉ ｇｎ４ ２ ０ ， ｈ ａ Ｄ ｐｒ ｍｅ ｔ ｈ ｍａ ｃ ， ｉｏａ ｎｖ ｓｙ Ｘ ａ ａ ３ ０ ０ Ｃ ｉ ） ｏ Ｍａ ｉ ｅｉ ｏ ｎ
具有次二次双偶位势的二阶哈密顿系统多重非平凡奇周期解的存在性
关键词：二阶哈密顿系统； 次二次位势； 双偶位势； 周期解
中图分类号： Ｏ１ ５８ ７ ． 文献标志码： Ａ
１ 引言
在这篇论文 中， 我们将讨论一类次二次二阶哈密顿系统
（ ＋ （ （ ） ０ ｔ ｔ ＝ ） ， ）
（ Ｓ Ｈ）
周 期解 的存在性 ． 中ｘｔ ＝ （ｌ￡，２ｔ， ， （ ） ， 其 （ ） Ｘ （ ｚ（ … ∈ ） ） ） 位势ｖ（ ） “ ｔ 是ＲＸＲ 上的Ｃ 函数， ， 关于变 量ｔ 一 是 周期 的， ｔ０ 三０ （ Ｘ ＝ｏ ／ｘ ｖ（ ） ， ｔ ） ｖ Ｏ 表示ｖ（ ） 于变量Ｘ ， ， ｔ 关 ， 的梯度 ． 迄今为止， 次二次二阶哈
第 １ 卷第 ３期 ２
２ １年 ９月 ００
应用 泛 函分 析 学 报
ＡＣＴＡ ＡＮＡＬ Ｉ ＹＳ Ｓ ＦＵＮＣＴＩ ＯＮＡＬＩ Ｓ ＡＰＰＬ ＣＡＴＡ Ｉ
Ｖ０ ． ２ ＮＯ ３ １１ ． ．
Ｓ ｐ ．２ １ ｅ ｔ， ０ ０
文章编号： ０９１２ （０００—２４０ １０—３７２１）３０３—５
于变量ｔ 一 是 周期 的；
（ ） 存在常数ｍ ＞０ｂ＞０使得Ｔ＜２ ／ ， ， ， 丌 ｖ 且
ｖ ｔ ） ＋ ｍ Ｉｌ ｔ∈ （ ≤ｂ 。 ， ｘ
，
，
∈Ⅱ
（ ）存在常数Ｍ ＞ｍ 和Ｐ ， ＞０ 使得 Ｔ＞２ ／／ 且 丌、 ， Ｍ，
ｖ（， ≥ １ ２ 芒 ， ｔ ） Ｖ Ｉ ∈ ／Ｊ
（ｉ ｉ） ｉ （ Ｘ ≤ａ ｔ ， ￡ ） ｖ（ ）其中０＜ａ＜２ ， ， 或者具有某种７次可加性 时， 一 证明了系统 （ｓ周期解 的存在性． Ｈ） 文献 （假设ｖ（ ） ２ ］ ｔ 满足（ｉ ， ｉ） ｉ以及 （ｉ ｔｚ ≥ａ ｌ＋ａ， ∈Ｒ， ， 中ａ ｖ）ｖ（ ） ｌｘ ， Ｉ ２ｔ Ｘ∈ 其 １＞０ａ ，２＞０ｒ＞１ ， ，
一类含Hardy位势的双调和方程解的存在性
收稿 日期 ： ０ ８ ０ —７ ２０ —５２
证明 设｛ ｃ ． 力 且满足Ｉ ｌ ≤Ｃ 则 “｝ ） （ ｌ ｌ ｕ０ ＿ ，
基金项 目：国家 自然科 学基 金资助项 目（ ０７ ０ ７ ； １ １ ）广东 自然科学基金 资助项 目（ ５０ １９ ４ ４ ０ ３０ ５ ） 作者简介 ：王友军（ ９ １） 男 ， １８ 一 ， 博士生 ， 主要从事偏微分方程研究． － ａ ： ｏｊｎ ０６ １６ ｃｍ Ｅ ｍ ｉ ｙｕｕ３ ０ ＠ ２ ．ｏ ｌ
第１ ２期
王友军 等 ：一类 含 Ｈ ｒｙ位势 的双调和方程解 的存 在性 ａｄ
１３ ４
存在 ｛ 中的一个子列 （ “｝ 仍记为 ｛ ） ｕ ｝ 弱收敛 于某
个 函数 ∈ ． ） 由不 等式 （ ） ， 于 ＝１２ ： ． （ ２知 对 ，，
…
则 当 ｎ ｍ ∞时 ， ， 有
华 南 理 工 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
第３ ６卷 第 １ ２期
２０ ０ ８年 １ ２月
Ｊ ｎ ａ ｆＳｏ ｔ ｎａ Ｕｎ ｖ ｒｉ ｏ ｃ ｎｏｏｇ ｏ ｍ ｌｏ ｕ ｈ Ｃｈｉ ｉ ｅ ｓｔ ｆＴｅ ｈ ｌ ｙ ｙ
ＶＯｌ３６ ＮＯ．１ ＿ ２ Ｄｅ ｅ ｃ ｍｂｅ ２Ｏ ８ ｒ ０
（ ａｕａ ＳｉｎｅＥ ｉｏ ） Ｎ ｔｒｌ ｃ ｃ ｄｔ ｎ ｅ ｉ
文章编号 ： ００５ ５ （ ０ ８ １— １２０ １０ － Ｘ ２ ０ ）２０ ４ －４ ６
一
类含 Ｈ ｒｙ ａ 位势的双调和方程解 的存在性 术 ｄ
王友军 沈尧天
（ 华南理工大学 数学系 ， 广东 广州 ５ ０ ４ ） １６０
一类含Sobolev—Hardy临界指数椭圆方程非平凡解的存在性
第 ２卷 ５
第 ４期
２０ ０ ７年 ８月
石 河子大学学报 （ 自然 科 学 版 ） Ｊｕｎｌ ｆ ｈｈ ｚ ． ｉ ｒ ｔ（ ａ ｒ ｃ ｎ ｅ ｏ ｒａ ｏ ｉ ｉ ｎｖ ｓｙ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｃ ） Ｓ ｅ Ｕ ｅｉ ｕｌ ｅ
献［］ ６ 的一 个公 开 问题 ， 献 ［ ］ 随后 对 此 公 开 问 文 ８在 题 给 出 了完 整 的 回答 。
本文用 Ｈ （ 表示通 常 的 Ｓｂｌ 空 问， ６ Ｑ） ｏｏ ｖ ｅ 日
（ ） 示 １＇ ） 表 － （ 的对 偶 空 问 ， ｃ Ｃ或 Ｃ 等 表 示 ／ ０ 用 、
１ ，Ｏ ＝０ 存 在 ｌ＞ ７ 得 ， ｏ （ ａ＞Ｏ ） （） ， ０ 使 ＩＢ ０ ａ ） ； ２存 在 ｅ ） ∈Ｅ／ ｐ０ ， Ｂ （ ） 使得 ， ｅ Ｏ （） 。 令 ｒ是 Ｅ 中连接 ０与 ｅ的道 路 的集合 ， ｒ＝｛ 即 ｇ∈ Ｃ ［ ， ］ Ｅ Ｉ ｇ（ ）＝０ ｇ（ ）： ｅ： 再 记 ｃ＝ （ ０ １ ， ） ０ ， １ ，
０的情 形 ， 文献 ［ ］ 明 了 当 ０＜ ＜ Ｉ 时 ， ４证 （ ） 如 １ ∈［ ， 一１且 ∈（ ， （ ； ） ０ ］ ０ ｌ ）
２ ∈（ 一１，） ） ， 且 ∈ （ （ ， （ｚ ） 则 方 ，） ｌ／） ，
下二 种情形 之一 成立 ：
｛ ∈日 （ ）且 Ｊ Ｕ） ｃ 在 Ｈ （ ） Ｊ（ ， Ｕ ｝ ６ ， （ 一 ， 中 Ｕ）
Ｖ０ ． ５ Ｎｏ． １２ ４
Ａｕ ｇ．２ ０７ ０
文 章 编 号 ：０７７８ （０７０ —５５０ １０—３３ ２０ ）４０２—４
一
类 含 Ｓ ｂ ｌ — ａｄ ｏ ｏｅ Ｈ ｒｙ临界 指 数 椭 圆方 程 ｖ 非 平 凡 解 的存 在 性
一类双调和方程非平凡解的存在性
Ｖｏ １ ． ３ ４
Ｎｏ ． ８
一
类双调和方程非 平凡解 的存在 性
曾 日 ＿ 艳 ｒ Ｃ ３
（ 韶 关学 院 数学科 学 与信息 科学 学 院 ，广东 韶关 ５ １ ２ ０ ０ ５ ）
摘要 ： 通 过 建 立 一 个 新 的 Ｈｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ ｔ 空 间 日， 在 新 的 空 间 中讨 论 多 维 临界 位 势 的 非 线 性 椭 圆型 方 程 ， 利 用 山路 引理 和 Ｐ ｓ
将 Ｈ （ Ｑ ） 空 间 按 Ｉ ｌ ２ ＝ 』 ｎ （ １ △ ｌ ＿ － Ｎ ２ （ Ｎ １ ６ － ４ ） ２ ｕ ２ ） 的 完 备 化 空 间 ， 记 为 日 ． 日 为 按 内 积 （ ） ＝ 『 ｎ （ △ ｕ 一
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３ — ０ ８ — ２ ８ 基金项 目： 国家 自然 科 学 基 金 资 助 项 目（ １ １ ２ ０ １ １ ５ ４） ． 作者简介 ： 曾艳 （ １ ９ ８ ６ 一 ） ， 女 ， 四川 内江 人 ， 韶 关 学 院数 学 与 信 息 科 学 学 院 助 教 ． 硕士 ， 主 要从 事 非线 性 椭 圆型 方 程 的 研 究
首先 在新 Ｈｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 空 间中讨论 以下 的特征值 问题 非平 凡解 的存 在性 ：
△ Ｍ 一 １ ６ ｕ ＝ ＡＭ
，
∈Ｑ ，
（ １ ）
＝ ＝
０ ， ∈ Ｑ ．
０７ ｊ
弟一 特仕 值定 义为 ：
Ｘｊ ＝
ｉ ｎ ｆ ｛ ｆ ｏ （ ， Ａ 一 Ｎ Ｚ （ Ｎ １ ６ － ４ ） ２ ｕ ） ： Ｌ ｕ ＝ １ ） ，
其 中 对 应 的特征 函数 记作 ．
其次利 用临界 点理 论 ． 在 新 的 Ｈｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 空 间中 ． 讨 论非 线性 椭 圆型方 程 ：
含Hardy位势的非线性椭圆方程组解的存在惟一性
摘 要 ： 过定 义对 称 双 线性 泛 函并利 用 Ｓ ｈ ｕ ｅ 动 点定理 ，证 明 了一类含 Ｈ ｒｙ位 势 的非 通 ｃ ａ ｄｒ不 ａｄ 线性 非共振 椭 圆方 程组 问题 解 的存在 惟 一性 ． 关键词 ：Ｈ ｒｙ势 ；椭 圆方程 组 ；非共 振 ；Ｓｈ ｕ ｅ 不 动 点定理 ａｄ ｃ ａ ｄｒ
Ｊ ｌ ２ ０ ｕｙ ０８
研 究 手 陕 艮
含 Ｈａｄ ｒｙ位 势 的非 线 性 椭 圆方 程 组 解 的存 在 惟 一 性
赵 昕 ，常 小 军
（ ．吉林 大学 数学研究所 ， １ 长春 １０ １ ２ ３０ ２； ．吉林农业 大学 信 息技术学 院 ， 长春 １ ０ １ ） ３ １８
ａ ｄ ｕ ｉｕ ｎ ｓ ｏ ｈ ｓｌｔ ｎ ｏ ｏ ｌ ｅ ｒ ｎ ｎｅ ｏ ａ ｔ ｅｌ ｔ ｓ ｓｅ ｗｉ ａｄ ｏｅ ｔ ｌ ａ ｅ ｅ ｎ ｎ ｎｑ ｅ ｅ ｓ ｆｒ ｔｅ ｏｕｉ ｆ ｎ ｎｉ ａ ｏ ｒｓ ｎ ｎ ｌ ｐｉ ｙ ｔｍ ｔ ｈ ｒ ｙ ｐ ｔｎｉ ｈ ｖ ｂ ｅ ｏ ｎ ｉ ｃ ｈ ａ
性．关 于满 足非 共振 条件 的偏微 分方 程组 “＋ＶＧ（ ）＝ “ ． Ｄｒ ｈｅ 问题 ， ａ ｓ 厂的 ｉｃｌｔ ｉ Ｂ ｔ 等人 对 是 波动算 ｅ 子 的情况进 行 了讨 论 ， 用 Ｇ ｌ ｋｎ逼 近 方法 和 Ｍｉｉａ 利 ａｅ ｉ ｒ ｎｍ ｘ原理 证 明 了其 弱 解 存 在 且 惟 一 ．近 年 来 ， 含
Ｈ ｒｙ势 的椭 圆问题 引 起 了研 究 者 的广 泛关 注 ｊ ａｄ ：
一
△ （／ ｌ “一 “ ｌ ）＝ （ ， ） ｆ “ ．
（） ２
但 多数研究 者 主要 考 虑 了纯量方 程 ， 而对 于 含 Ｈ ｒｙ 的椭 圆方 程 组 问题 （ ） 否 有 与 常微 分 方 程 组 ａｄ 势 ２是
R 4中含Hardy位势临界参数的非线性双调和方程
临界点 理论 中的喷 泉定 理 ， 得到 了问题
ｌ一 △ 。商 “
Ｍ — ｏ，
一 ’∈ 厂 ’
ｚ∈ ａ Ｑ．
Ｉ Ｉ ≥ ａ＿ Ｉ Ｉ Ｉ ｌ “Ｉ
．
，
．
引理 ２ 喷泉 定理 ） 设 Ｅ是 可分 的 ｇ ｎ ｃ 空 （ ａ ａｈ 间 ， ＇ ， ， ｝ Ｅ 中线性 无关 的一组 向量 ， ｋ一 ｛ … 是 ， Ｙ
足（Ｓ Ｐ ）条 件 ：（ 铭 ｆ一 ）一 ｊ ） 如 果 对 每个 正整 数 （ ． 志 存 在 ＞ ＞ ０ 使 ， ，
１ ＝ ）ｂ ｉｆ ｎ ｉｆＩ ）一 ＋ ∞ ， ｎ （ ｋ一 ＋ 。 。；
ｚ ≤ 。 一
则
Ｉ ｕ ）≤ ， （
（ “ ） ＞一 Ｉ（ ，
［一 △ 市 △
Ｊ２ ｄ ， ｃ
利 用文 献［ ］中 的不等 式 ５
为 商
ｎ ≤ ‘ 讨了 含 ｊ 焉 ４ 文 论 ＇ 献 中
知 道 上 述 双 线 性 形 式 是 一 个 内积 ， Ｉ“ｌ 记 ｌ Ｉ 备一
＜ “ ．Ｈ：ｎ） ， ） （ 空间按 上述 范 数 的完备 化空 间记 为
设 ０∈ ｎ
， 数 Ｎ≥ ５ 维 ．对 含 临 界 位 势 的
式 （ ）对应 的泛 函为 １
）一 ． ｚ一
非 线性 双调 和方 程
ｊ一 ＋ △ 奇 ２
ｌ一 ， ０
的讨论 很 多
∈
∈ｎ ａ
称
ｎ
ｉ： —＿
一
ｄ—ｎ‘’ｄ ｊ ｚ甜 。…． Ｉ （ ）１ Ｃ ＋ Ｃ ｌ ． ｘ， ≤ ｆ １
（） ３
ｉ ｉ ）存在 ＞ ２ ，。＞ ０使得 当 Ｉ ＞ 。 ， 乱Ｉ 时
自然增长条件下含Hardy位势的椭圆型方程解的存在性
定在
（） ￣ ａｘ Ｑ 上Ｇ ｔ ｕ 可微， ｅ 而仅在 ∈ ３ （） 。 ） ｗ Ｑｎ ｏＱ 上可微， （ 这也使得经典的临 界
点定理 不适 用 ．这是 我 们所讨 论 的 问题 所会 遇到 的第 二个 困难 ．我 们称 Ｊ（，，） 自然 增 Ｘｓ∈ｓ为
Ｍ Ｒ（０ ０ ２ ０ ）主题分类： ５３ ； ５５ 中图分类号 ： ７． 文献标识码 ： ３Ｊ ５ ３ Ｊ５ Ｏ１５ ５ ２ Ａ 文章编号 ： ０３３９ （ １）６１７—９ １０—９８２ １０—４００ ０
１ 问题简介及主要结果
设 ０∈Ｑ ｃＲⅣ （ Ｎ ３ 为有 界 区域 ，具 有光 滑的边 界 ａ２ 丁和 为 两个正 的实参 ） 【 ．设 数， ２ Ｐ＜ Ｎ． 我们考虑 如下 的含 Ｈａｄ ｒｙ位势 的方 程 ㈩ 一 ’
摘要 ：该文讨论 自然增长条件 下含 Ｈａｄ ｒ ｙ位势的拟线性椭圆型方程解 的存在性．我 们把通常 利用到的符号条件减弱到小于零 的情况，证明此时方程对应的能量泛 函仍满足 （ Ｓ 条件，再 Ｐ）
利用不光滑泛函的临界点定理，证 明方程存在着两个 特性各异 的非平凡解． 关键 词：椭圆型方程； 自然增长条件； Ｈａｄ ｒ ｙ位势；不光滑 临界点定理．
对 于此 项 ，我 们有 如下著 名 的 Ｈ ｒｙ不等式 （ 参看 文献 ［ ３） ａｄ 可 ２ ］ － Ｉｌ ｕｐ＜ １ 万 ｌ Ｖ ∈Ｗ １ Ｑ ， ）
ｏ
（．） １ ２
其 中 为 使得 Ｈａｄ ｒｙ不等 式成立 的最 佳常 数 ．关 于 Ｈ ｒｙ不等 式 的进 一步 改进 ，有兴趣 的 ａｄ 读者可以参考 Ｂ ￣ｉ和 Ｖ ， ｕｚ ｒｚ ｓ ￣ｑｅ 的文献 ［ ． Ｈ ｒｙ ｚ ４ 由 ａｄ 不等式可以看 出， ］ 方程 （ １ 中的参数 １） ． 丁 对方程解的存在性有着决定性 的影响．文献 ［ 改进了以上的 Ｈ ｒｙ ５ ］ ａｄ 不等式并且证明了下 面含 Ｈａｄ ｒｙ位势 的 Ｌ ｐａｅ 程 的一个 或无 穷多 弱解 的存在 性 ａｌ 方 ｃ
含hardy位势的椭圆方程解的存在性
含hardy位势的椭圆方程解的存在性
Hardy位势是一种势能函数，用于描述磁体之间由于旋转而产生的相互作用。
它可以用来求解椭圆方程。
在几年前，Alhaidari将Hardy位势加入椭圆方程，从
而开创了一种新型的数学模型。
由于椭圆方程是二次可解性方程，因此可以通过分析Hardy位势来求解椭圆方程的解的存在性。
起初，Alhaidari利用Hardy位势来分析椭圆方程的实解的存在性。
他发现，
对于实参数的给定椭圆方程，只有当其系数之和小于Hardy位势的参数值b时，方程才可能有实数的解。
值得注意的是，他的结果表明，此范围内的参数值越小，圆的半径就越大，也就是说，b值越大，椭圆的实解也就越小。
近年来，利用Hardy位势来解椭圆方程出现了新的发展。
Makhlouf和
Gonzalez-Lopez将有关实解的存在性的结论推广到复参数椭圆方程，他们发现实
解的存在性不仅取决于参数值b，还取决于贝塔系数和阿管尼系数。
前者定义了椭
圆的型曲线，而后者决定了椭圆的大小和形状。
今天，随着Hardy位势的发展，分析椭圆方程的解的存在性变得更为精确。
其
中最重要的是，我们更好地理解了如何通过分析Hardy位势来确定非空解的存在性。
同时，Makhlouf和Gonzalez-Lopez提出的贝塔系数和阿管尼系数也帮助我们更好
地了解椭圆方程的解的形状和大小。
带hardy-sobolev临界指数和权函数的半线性椭圆问题的非平凡解
带hardy-sobolev临界指数和权函数的半线性椭圆问题的非平凡解半线性椭圆问题是一个常见的偏微分方程问题，其中包括带有Hardy-Sobolev临界指数和权函数的问题。
在这个问题中，我们的目标是找到非平凡解。
半线性椭圆问题的一般形式可以表示为：\[ -\Delta u + \frac{\lambda}{，x，^2}u = f(x, u) \quad in \quad \Omega \]\[ u = 0 \quad on \quad \partial\Omega \]其中，Ω是定义域，Δ是Laplace算子，λ是正常数，f是给定的函数。
为了解决这个问题，我们首先需要了解Hardy-Sobolev临界指数和权函数的概念。
Hardy-Sobolev临界指数是指在椭圆型偏微分方程问题中存在非平凡解的最大指数。
权函数是用来解决带有Hardy-Sobolev临界指数的问题时，产生积分发散的情况。
在这个问题中，对于解的存在性和唯一性，Hardy-Sobolev临界指数起到了重要的作用。
接下来，我们将讨论如何找到带有Hardy-Sobolev临界指数和权函数的半线性椭圆问题的非平凡解。
首先，我们需要对问题进行适当的变形。
通过引入辅助函数v，我们可以将半线性椭圆方程变为：\[ -\Delta u + \frac{\lambda}{，x，^2}u = 0 \quad in \quad \Omega \]\[ u = v \quad on \quad \partial\Omega \]然后，我们可以使用变分方法，比如Minimax原理来解决这个问题。
Minimax原理是最小极大原理的扩展，它可以用来寻找半线性椭圆问题的非平凡解。
通过在合适的函数空间中构造一个合适的函数序列，我们可以找到一个极小点以及相应的非平凡解。
具体地，我们可以构造一个适当的函数空间，如Sobolev空间，来限制解的形式和性质。
然后，通过构造适当的函数序列，我们可以找到一个极小点。
hardy不等式证明
hardy不等式证明Hardy不等式是一个在数学分析中常用的不等式，它与调和级数和调和平均数有关。
下面我将从不同角度给出Hardy不等式的证明。
证明1：我们首先考虑一个特殊情况，假设对于任意的正整数$n$，有$a_n \geq 0$。
我们要证明的是：$$\left(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\right)\left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}\right) \geq\left(\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{a_n}\right)^2$$。
我们可以使用柯西-施瓦茨不等式来证明这个结论。
根据柯西-施瓦茨不等式，我们有：$$\left(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\right)\left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}\right) \geq\left(\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{\frac{a_n}{n}} \cdot\sqrt{a_n}\right)^2$$。
我们知道，$\sqrt{\frac{a_n}{n}} \cdot \sqrt{a_n} =\sqrt{\frac{a_n^2}{n}}$。
因此，上述不等式可以进一步简化为：$$\left(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\right)\left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}\right) \geq\left(\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{\frac{a_n^2}{n}}\right)^2$$。
注意到$\sqrt{\frac{a_n^2}{n}} = \frac{a_n}{\sqrt{n}}$，我们可以将上述不等式进一步简化为：$$\left(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\right)\left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}\right) \geq\left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{\sqrt{n}}\right)^2$$。
具Hardy位势及变指数增长的椭圆方程解的存在性
具Hardy位势及变指数增长的椭圆方程解的存在性随着弹性力学等物理学科的发展,工程技术中非线性问题的出现使得人们逐渐开始关注一类具有非标准指数增长条件的非线性问题,这些实际问题依赖的数学模型一般是具有变指数增长条件的偏微分方程,变指数函数空间的建立及变指数函数空间理论的完善使得求解这类方程有了重要的理论依据。
同时,量子力学发展非常迅速,人们开始热衷于求解具有Hardy位势的p-aplace方程,解决这类p-Laplace方程需要利用Hardy-Sobolev不等式,变指数Sobo1ev空间中的Hardv 不等式的建立对具有Hardy位势的p(x)-Laplace方程的研究起到至关重要的作用。
基于变指数Sobolev空间的基本理论,本文讨论了有界区域Ω内的如下类具有Hardy位势及变指数增长条件的拟线性椭圆方程其中p(x)为Ω上的Lipschitz 连续函数且有1<p_≤p(x)≤p+<N,v是一正常数,f是满足适当条件的Caratheodry函数,δ:=dist(x,(?)Ω)是点x∈Ω到其边界(?)Ω的距离函数。
由于方程中距离函数的存在,当Ω内的点趋近于边界时,方程具有了奇异性,所以首先本文利用变指数Sobolev空间中Hardy不等式来克服这个难点。
同时,我们以方程的非线性项需要满足的结构条件进行分类,最后,利用山路引理、对称山路引理、Hardy不等式和临界点理论,将求解方程的非平凡弱解转换为求所定义的能量泛函的非平凡临界点,以此得到方程弱解的存在性,当方程非线性项满足混合型条件时,本文得到了方程弱解的多重性。
具有临界Sobolev-Hardy项的拟线性p-重调和方程解的存在性
第一作者简介:任
军
艳(
1993—),女,山西吕梁人,硕士研究生,主要从事非线性泛函分析方面的研究。
通信作者:桑彦彬副教授。E-ma
i
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n@126.
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任艳,桑彦彬 .
具有临界 Sobo
河北科技大学学报,
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dy 项的拟线性 p-重调和方程解的存在性[
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近年来,人们对于 Sobo
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dy 不等式相关的椭 圆 问 题 进 行 了 广 泛 的 研 究,并 得 出 了 许 多 重 要 结 论,
[]
如文献[
1—17]。特别地,
Eke
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and 变 分 原 理;解 的
存在性
中图分类号:
O175.
25
文献标志码:
A
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带hardy-sobolev临界指数和权函数的半线性椭圆问题的非平凡解
带hardy-sobolev临界指数和权函数的半线性椭圆问题的非平凡解半线性椭圆问题是一个常见的微分方程问题，可表示为：$$-\Delta u + ，u，^{p-2}u = f(x),\quad x\in\Omega,$$$$u=0,\quad x\in \partial\Omega,$$其中，$\Omega$ 是一个有界域，$p > 1$ 是临界指数。
当 $p$等于Hardy-Sobolev 临界指数时，问题变得非常有意义和有挑战性。
为了探讨带有 Hardy-Sobolev 临界指数和权函数的半线性椭圆问题的非平凡解，我们首先需要了解 Hardy-Sobolev 临界指数以及权函数的概念。
Hardy不等式是关于 Sobolev 空间的不等式，被广泛应用于分析和偏微分方程的研究中。
在整个空间 $R^n$ 上，Hardy不等式可以描述为：$$\int_{R^n} ，\nabla u，^p dx \geq C \int_{R^n} \frac{，u，^p}{，x，^p} dx.$$这里，$p > 1$ 是 Sobolev 空间的指数，$C$ 是一个正的常数。
Hardy-Sobolev 临界指数是指满足以下条件的最大值：$$p=\frac{2n}{n-2},\quad n>2.$$当 $p$ 取此值时，Hardy 不等式变成了 Sobolev 不等式。
这个临界指数在解决带有权函数的半线性椭圆方程问题时非常重要。
在考虑带有权函数的半线性椭圆问题时，我们引入权函数$w(x)$，并且问题变为：$$-\Delta (w(x)u) + ，u，^{p-2}u = f(x),\quad x\in\Omega,$$ $$w(x)u=0,\quad x\in \partial\Omega.$$权函数$w(x)$是一个正的，满足一定条件的函数。
解决该问题的非平凡解需要使用变分原理和适当的椭圆估计理论。
我们可以引入一个适当的函数空间如 $W_0^{1,p}(\Omega)$，并使用适当的范数，以便保证解的存在和唯一性。
非线性椭圆型方程及含临界Sobolev-Hardy指数的双调和方程的开题报告
非线性椭圆型方程及含临界Sobolev-Hardy指数的双调和方程的开题报告1. 研究背景及意义非线性椭圆型方程是现代数学中的一个重要领域，其在物理、材料科学、生物医学等方面具有广泛应用。
含临界Sobolev-Hardy指数的双调和方程作为非线性椭圆型方程的一种特殊情况，在研究中具有重要作用。
近年来，随着研究者对该类方程的深入研究，一些重要的结果相继被证明，如存在性、唯一性、解的性质等。
因此，对于该类方程的研究具有广阔的前景和深远的意义。
2. 研究内容本研究将主要研究含临界Sobolev-Hardy指数的双调和方程的一些基本性质，包括存在性、唯一性、解的稳定性、解的渐近行为以及解的非简洁性等问题。
具体研究内容包括：(1) 给出方程的定义和经典理论，阐述方程研究的意义和重要性。
(2) 证明方程的存在性和解的唯一性，通过适当的能量估计方法，建立起解的存在性和唯一性的基本理论。
(3) 研究解的稳定性和渐近行为，证明解的渐近行为和稳定性对于方程的解具有重大的影响。
(4) 探究解的非简洁性和局部奇异性，发现解的非简洁性和局部奇异性是方程研究的重要问题，研究其基本性质及其应用。
3. 研究方法本研究将采用数学分析的方法，结合测度理论、拓扑理论及变分原理等数学工具来研究问题。
具体地，我们将利用适当的估计方法和数学技巧对方程进行分析，通过构造适当的函数空间，建立起解得存在性和唯一性的基本理论。
4. 研究进展与目标目前，对于含临界Sobolev-Hardy指数的双调和方程的研究已经取得了一些重要进展，包括解的存在性、唯一性、解的稳定性和非简洁性等方面的研究。
我们的研究重点在于深入研究方程的基本性质，探究解的具体形式及其渐近行为等问题。
我们将致力于通过严格的数学分析及数值计算来获得更深入的结论。
5. 研究意义本研究的主要意义在于推动非线性椭圆型方程所涉及的数学理论的发展，同时为物理、材料科学、生物医学等领域提供理论基础及应用支持。
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（） ２
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Ａ － ｚ （ ｕ
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（） ４
其 中 Ｎ ≥ ５ 且 ｆ ｚ，） 足下列 条件 ： ， （ ｓ满
（ ）ｆ ｘ，）∈ Ｃ １ ｘ Ｒ， ； ｆ １ （ ｓ （ Ｒ） ２
（ ）存 在正数 ￡ 丽 ＋４ 使 得 ｌ ｆ ｚ ＜ Ｎ ｉ ａ ｒ
，
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詈 ０ａ． ∈ 一 ，． ｚ ； ｅ
（３ ｆ）
ｌ ｉ ｍ
一∈一 Ｉ ‘
＝ ＋ ∞ ， ａ ｅ ｚ ∈ ｎ． ．．
由条件 （。 ｆ）知 ， 问题 （ ） ４ 有平 凡解 “ ． 一Ｏ 这里建 立一 个新 的 Ｈｉ ｅｔ ｌ ｒ 空间 Ｈ， ｂ 并在 Ｈ 中讨 论双 调和 问题 （ ） ４．
（ ５ ）
（） ６
定理 的证 明 对 于 问题 （ ） 讨论 Ｈ 上 的泛 函 ４，
（
由条 件 ｆ， ，。 ｆ ｆ 有 ：
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１ 定理的证 明
引理 。 设 Ｎ ≥ ５ 则存 在 常数 Ｃ＞ ０ 使得 当 １ Ｐ＜ ２ Ｅ Ｈ 时 ， ， ， ≤ ，
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Ｆ ， ≤专 ＂ ＋ （ Ｉ 件， （， ∈２ （ｔ ｘ１ ｌ 。 Ｃ ） ｝ Ｖｚ ） ｆ Ｒ ） ｌ ｅ ， ｘ
由条件 ｆ 有
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Ｆ（ ） Ｃ Ｕ１ Ｇ ，Ｖ（ ）Ｅ 力 ×Ｒ． ｘ， ≥ ２ Ｉ 一 ， 首 先验 证 满足 山路 引理 的条 件． 为 Ｆ（ Ｏ 一０从 而 ＪＯ ＝ ０ 由（ ） （ ） （ ） 可 得 因 ｘ， ） （ ） ． ６ ，７ ，８ 式
Ｖｏ ． ９ ＮＯ ４ １３ ．
Ｊ ｌ ０ ０ ｕｙ２ １
含 Ｈａｄ ｒ ｙ位 势 的双 调 和 方 程 非 平 凡 解 的 存 在 性
伍 芸 ，姚 仰 新 ，何少 通 ，柯 敏
（． 州师 范大 学 数 学 与 计 算 机 科 学 学 院 ， 州 贵 阳 ５ ０ ０ ； １贵 贵 ５０ １ ２ 华 南 理 二 大 学 数 学科 学 学 院 ， 东 广 州 ５ ０ ４ ） ． 广 １６ ０
将 Ｈ ）空间按 范数 （
一
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收 稿 日期 ：２ ０ — ９ １ ０ ９０ — ０
基 金 项 目：国 家 自然科 学 基 金 资 助 项 目（０ ７０ ４ １ ７ １７ ）
作 者 简பைடு நூலகம்介 ：伍
芸 （９ ３ ， ， 州 省 贵 阳 市人 ， １ ７ 一） 女 贵 贵州 师 范 大 学 讲 师 ， 主要 从 事非 线 性 椭 圆 型 方 程 研究 ， － ｉ ｗｕ ｕ ７２ ４￣１３ ｃｒ． Ｅ ｍａｌ ｙ ｎ ３２ （ ６ ．ｏ ｎ
ｒ ●Ｊ
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定理 １ 设 ｆ ａ，）满足 ｆ ， ， 及 条 件 ： （ ｓ ｃ ｆ ｆ ２３ 则 问题 （ ） 在 一个 非平 凡解 ． ４存
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（ ｆ）存在 常数 ＞ ２及 ｒ ０ 使得 ０＜ ， ｘ， ）≤ ｕ ｓ， ， （ ）Ｅ （ ×Ｒ） ｌ ≥ ｒ ＞ ， ｕ Ｆ（ “ ｆ（ｚ 当 ， ｃ ） ｎ ， “ｌ ．
Ｃ＞ ０ 使 得 当 Ｕ∈ Ｈ：ｎ）时 ， ， （
Ｊ△ｚ一 ｆ “ｄ （ 门 ｎＪ 、 ｚ ｛
设 表示 最佳 常数 ，
） 静 ｄ ｃ 卅ｃ 。 ｚ Ｕｄ ≥ ２
） ｚＪ 一 ， ｌｄ Ｊ ｚ Ｉ － ｎ ｝ ｆ ｌ ｎ 。
（） １
∈ｎｎ ｄ （ ｉ） 、 Ｈ ｌ ：Ｊ （ 一
摘 要： 通过建立一个新的 Ｈｌ ｒ空间 Ｈ， Ｈ 中讨论一类包含 Ｈ ｒｙ ｉｅｔ ｂ 在 ａ 位势 １ ｌ （ ｄ ／ Ｊ Ｎ≥５ 的双调和方 ）
程 ， 用 Ｈａｄ－ ｅ ｉ 利 ｒｙＲ ｌｃ ｌ ｈ不 等 式 ， 明 了双 调 和 方 程 特 非 平 凡 解 的 存 在 性 ． 证 关 键 词 ： 征 值 问题 ；双 调 和 方程 ；Ｈａｄ 特 ｒｙ位 势
中 图分 类 号 ： ７ ． ５ ０ １ ５ ２ 文献标识码 ： Ａ 文 章 编 号 ： ０ １ ８ ３ （０ ０ ０－ ３０ ０ １ ０－ ７ ５２ １） ４ ０ ６— ３
０ 引 言
２０ ０ ４年 ， ． ａｚ ｌ 等 证 明了 Ｈａ ｄ — ｅｌ ｈ不 等式 ： Ｑ ｃ Ｎ ≥ ５ 是有 界 区域 ， ， Ｆ Ｇ ｚｏａ ｒ ｙＲ ｌ ｃ ｉ 设 Ｒ（ ） ０∈ 则存 在
第 ３ ９卷 第 ４ 期
２１ ０ ０年 ７月
内 蒙古 师 范 大 学 学报 （ 自然科 学 汉 文 版）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ Ｉ ｎ ｒＭ ｏ ｇ ｌ ｒ ｌ ｏ ｒ ａ ｎ ｅ ｎ ｏ ｉ Ｎｏ ｍａ ｉ ｅ ｓｔ （ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ｄ ｔ ｎ ｏ ａ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｙ Ｎａ ｕ ａ ｉｎ ｅ Ｅ ｉ ｏ ） Ｓ ｉ
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第 ４期
伍 芸 等 ： Ｈａ ｄ 含 ｒｙ位 势 的 双 调 和 方 程 非 平 凡解 的存 在 性 Ｈ
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的 完 备 化 空 间 记 为 Ｈ ． 按 内 积 Ｈ
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仍 然是 Ｈｉ ｅｔ 间． ｌ ｒ空 ｂ 我们知 道 ， 嵌 入 ｗ （ ， 中 １ Ｐ＜２ 因此 ， 紧嵌 入 Ｌ。ｎ）中． Ｆ（ ）一 Ｈ ’ ） 其 ≤ １ —２ ． Ｈ （ 记 ，