通信第三章 常见函数的傅里叶变换

(t)
…
-T0 O T0 2T0 t
求T0 (t) 的指数傅里叶级数和三角傅里叶级数。
解
Fn
1 T0
T0 2
T0 2
(t)e jn0tdt
1 T0
T0 (t)
1 T0
e jn0t
n
a0
1 T0
又
an
2 T0
T0 2
T0 2
(t) cos
n0tdt
2 T0
bn 0
T0 (t)
的三角傅里叶级数为：T0
第3章 傅里叶变换
重点：
1.傅里叶级数定义及适用条件 2.常见周期信号的频谱,非周期性信号的频谱 3.傅里叶变换的定义及适用条件及性质 4.周期信号的傅里叶变换 5.抽样定理 6.功率频谱与能量频谱 7.系统频域分析法 8.希尔伯特变换
3.1 傅里叶变换的产生
傅里叶1768年生于法国,1807年提 出“任何周期信号都可用正弦函数 级数表示”, 1822年在“热的分析 理论”一书中再次提出。1829年 狄里赫利给出傅里叶变换收敛条件。 傅里叶变换得到大规模的应用，则 是到了上世纪60年代之后。
nT0 )
n
[ A
A T0
(t
nT0 )][u(t
nT0 )
u(t
(n
1)T0 )]
将 f (t) 去除直流分量，则仅剩交流分量 fAC (t)
fAC (t)
f
(t)
A [u(t
T n 0
nT0 ) u(t
(n 1)T0 )]
n
[
A
A T0
(t
nT0
)]{
(t
nT0
)
（2）利用直接法求解
10 A
A
a0 T0
tdt
T T0
0
2
an 0
bn
2 T0
0 T0
A T0
t
sin
n0tdt
A nπ
故
f (t) A A sin n0t
2 π n1 n
3.2.3 傅里叶级数的MATLAB仿真实现
常称为f(t)的截断傅里叶级数表示式。
N
N
N
f (t)
1 2
[cne j(n1t n ) ]
n
1 2
[ Ane j(n1t ) ]
n
式中
An cne jn an2 bn2 (cosn jsinn ) 复指数
幅度 cn an2 bn2
n
arctan( bn an
)
相位
An 的具体求法如下：
2
An an jbn T
t2 t1
设周期矩形脉冲：脉宽为，脉冲幅度为E，周期为T1
f (t)
E
T1
/ 2 o / 2
T1 t
f (t) E[u(t ) u(t )], T1 t T1
2
2
2
2
f (t)是偶函数
a0
E
T1
,
bn 0,
an
E1 Sa( n1 )
π
2
cn
a0
E
, T1
cn
E1 Sa( n1 )
E 2
T1 t 2
f (t) E
2
f (t) E 2
T1
o
2
E
sin 21t 2
T1 t 2
T1
o
T1
t
2
E2
cos 21t
2
3.4 常见周期信号的频谱
3.4.1 频谱的概念
振幅频谱
频 （幅频特性图） 谱 图
相位频谱
（相频特性图）
表示信号含有的各个频率分量 的幅度值。其横坐标为频率 （单位为赫兹），纵坐标对应各 频率分量的幅度值 。Fn
其中
1
2π T
2π t2 t1
三角函数集也可表示为：
周期的终点
周期的起点 周期 基频
{cos(n1t),sin(n1t) n 0,1, 2, }
满足： （1）正交性：函数集中的任意函数两两相正交，有
t2 t1
cos(n1t) sin(m1t)dt
0
t2
t1
t2
t1
cos(n1t) cos(m1t)dt 0 sin(n1t) sin(m1t)dt 0
偶谐函数
满足 f (t T / 2) f (t) 的周期为T 的 函数；即平移半个周期后信号与原信 号重合。
2．横轴对称性 （1）奇谐函数的傅里叶级数中只有奇次谐波分量。 （2）偶谐函数的傅里叶级数中只有偶次谐波分量。
如果原信号既不是奇谐函数也不是偶谐函数，那 么其傅里叶级数展开式中就会既包含有奇次谐波分 量也包含有偶次谐波分量。
(t
(n
1)T0
)}
A T0
A
n
(t
nT0
)
A T0
A( 1 T0
2 T0
cos n0t)
n1
2A T0
cos n0t
n1
fAC (t)
2A T0
n1
t
cos n0 d
A π
n1
sin n0t
n
fD A / 2
故
f (t) A A sin n0t
2 π n1 n
2π
第一个过零点再增加一倍
结论
• 由大变小，Fn 第一过零点频率增大，即
所以
称为信号的带宽， 确定了带宽。
• 由大变小，频谱的幅度变小。
• 由于 T 不变，谱线间隔不变，即 2π /T 不变。
2）脉冲宽度不变, 周期T变化
情况 1：
时，谱线间隔
第一个过零点
谱线间隔 2π π
T 2
f (t) 1
f (t)
Fn e j(n1t )
n
式中
Fn
t2 f (t)(e jn1t )* dt
t1
t2 (e jn1t )(e jn1t )* dt
1 T
t1
t2 f (t)e jn1tdt
t1
Fn
Fn
e jn
An 2
例 已知冲激序列
…
T0 (t) (t kT0 )
k
T0 (t) (t T0 )
f (t )cos(n1t )dt
j2 T
t2 t1
f (t )sin(n1t )dt
2 T
t2 t1
f (t)[cos(n1t ) jsin(n1t)]dt
2 T
t2 f (t )e jn1tdt
t1
2. 直接从复变正交函数集推导 将原函数 f (t)在复变正交函数空间
{ej(n1t) n 1, 2, }中展开，有
表示信号含有的各个频率分量 的相位。其横坐标为频率；纵坐 标对应各频率分量的相位 （n 单 位常用度或弧度）。
例
f
(t
)
1,
kT t kT
2
2
，求频谱
0,
其它
f (t) 1
T
2
o 2
T
t
解 （1）单边频谱：
An
4
n1T
sin( n1
2
),
2 ,
T
n 0
n0
2
T
Sa( n1
2
)
（2）双边频谱：
1
Fn T
/2
e jn1 tdt
1
e jn1 t
/2
2
sin
n1 2
b
b2 4ac
/ 2
T jn1 / 2 T n1
2a
T
sin
n1 2
n1
2
T
Sa( n1
2
),
n 0, 1, 2,
包络线
频谱图随参数的变化规律： 1）周期T不变，脉冲宽度变化
情况1：
T 4
3.4.2 常见周期信号的频谱
典型周期信号的频谱分析，可利用傅里叶级数或傅 里叶变换。典型周期信号如下：
1. 周期矩形脉冲信号 2. 周期对称方波信号 3. 周期锯齿脉冲信号 4. 周期三角脉冲信号 5. 周期半波余弦信号 6. 周期全波余弦信号
1. 周期矩形脉冲信号 (1) 周期矩形脉冲信号的傅里叶级数求解
备正交函数的三个条件：
1. 归一化：
t2 t1
fi (t) fi*(t)dt
1
2. 归一正交化：
t2 t1
fi
(t)
f
* j
(t
)dt
0，
i
j
3. 归一化完备性：可以用其线性组合表示任意信号
3.2.1 傅里叶级数的三角形式
设三角函数的完备函数集为：
{1, cos1t,sin 1t, cos 21t,sin 21t, , cos k1t,sin k1t, }
,
Fn
T
Sa( n
T
)
1 4
Sa( n
4
)
第一个过零点为n =4 。 Fn 在 2π/ 有 4值1（谱线）
T
f (t)
1
2
o
2
谱线间隔 2π T
1 Fn
4
2
O
T
t
第一个过零点：
Sa(
2
)
0
π 2
2π
情况2：
T 8
,
Fn
T
Sa( n
T
)
1 8
Sa( n
8
)
第一个过零点n=8
脉冲宽度缩小一倍
3.3 周期信号的对称性