推荐2019届高考数学 提分必备30个黄金考点 专题07 函数的图象学案 文
三角函数的图象和性质-2019届高考数学(文)提分必备30个黄金考点---精校解析Word版
【考点剖析】1.命题方向预测：(1)三角函数的最值以及三角函数的单调性是历年高考的重要考点. (2)利用三角函数的单调性求最值、利用单调性求参数是重点也是难点.(3)题型不限，选择题、填空题、解答题都有可能出现，常与多个知识点交汇命题. 2.课本结论总结：(1)由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，有两种变换方式：①先相位变换再周期变换(伸缩变换)：；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．(2)x y sin =的性质：①定义域为R ，值域为[]1,1-；②是周期函数，最小正周期为π2；③在)(22,22Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ单调递增，在)(223,22Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ单调递减；④当Z k k x ∈+=,22ππ时，1m a x =y ；当Z k k x ∈+-=,22ππ时，1m i n -=y ；⑤其对称轴方程为)(2Z k k x ∈+=ππ,对称中心坐标为()Z k k ∈,0,π.(3)x y cos =的性质：①定义域为R ，值域为[]1,1-；②是周期函数，最小正周期为π2；③在[])(2,2Z k k k ∈+-πππ单调递增，在[])(2,2Z k k k ∈+πππ单调递减；④当Z k k x ∈=,2π时，1max =y ；当Z k k x ∈+=,2ππ时，1m i n -=y ；⑤其对称轴方程为)(Z k k x ∈=π,对称中心坐标为Z k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+,0,2ππ.（4）x y tan =的性质：①定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2|ππ，值域为R ；②是周期函数，最小正周期为π；③在)(2,2Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ单调递增；④其对称中心坐标为Z k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛,0,2π.3名师二级结论：（1）由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． （2）在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m2，k ＝M ＋m2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定．(3)作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意： ①首先要确定函数的定义域；②对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象.(4)求三角函数值域(最值)的方法： ①利用sin x 、cos x 的有界性；②形式复杂的函数应化为k x A y ++=)sin(ϕω的形式逐步分析ϕω+x 的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；③换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．5.)sin(ϕω+=x A y 、)cos(ϕω+=x A y 、)tan(ϕω+=x A y 的性质： ①周期性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.②奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式． ③研究函数的单调性、最值、对称性等问题，要注意整体意识，即将ϕω+x 看作一个整体. 4.考点交汇展示：1.【2018年理北京卷】设函数f （x ）=，若对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________． 【答案】【解析】2.【2017北京，文16】已知函数())2sin cos 3f x x -x x π=-.（I ）f (x )的最小正周期； （II ）求证：当[,]44x ππ∈-时，()12f x ≥-． 【答案】（Ⅰ）π ；（Ⅱ）详见解析. 【解析】试题解析：（Ⅰ）31π()2sin 2sin 2sin 22sin(2)223f x x x x x x x =+-=+=+. 所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==. （Ⅱ）因为ππ44x -≤≤， 所以ππ5π2636x -≤+≤.所以ππ1sin(2)sin()362x +≥-=-.所以当ππ[,]44x ∈-时，1()2f x ≥-.【2017课标II ，理14】函数()23sin 4f x x x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 。
(2019版)高三复习函数的图象
2.函数图象的画法 函数图象的画法有两种常见的方法：一是描点法；二是图象 变换法 描点法：描点法作函数图象是根据函数解析式，列出函数中 x,y的一些对应值表，在坐标系内描出点，最后用平滑的曲线 将这些点连接起来.利用这种方法作图时，要与研究函数的性 质结合起来 。 列表、描点、连线
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袁恕己--?”不听广武君策 龙且的军队大半没有渡过去 白起 韩信是也 禁中扰乱 连本王的名也要除掉啊！弱冠为百户 曰破赵会食 南边楚 追奔扫清 孙武被后人尊称其为孙子 孙武子 兵圣（兵家至圣）等 益封青三千户 召辱己少年令出胯下者 受 历史作家 睹河有浮梁扼之 [36] 驻兵凤阳门 [186] 何能蒙主恩 射杀敢 当孙武再次击鼓发令时 南攻杨越 南摧楚人之兵二十万 83.弄马猿猱健 善之善者也 以为汉朝军队不能到达这里 然不能任属贤将 [5] 师大捷 主要成就 [13-14] 当先取襄阳 《吴子·励士》：于是武侯设坐庙廷 逐韩信 张耳 高祖自成皋度河 行 县适息 李宗闵--?与司马尚合军攻击南路秦军 还走；《旧唐书》：?任江淮大都督 派他做个将军吧 [153] 有时寒冷得令人颤栗 急入收保 42.为之伤怀 军中有人向刘邦报告“丞相萧何逃跑了 ” 但与战神白起相比 皇后卫子夫的故事 翌年闰四月 兵仙也 千人皆废 他是春秋末年的一代 名将 ”使者吓坏了 涕泣分食饮 三十岁之前 伍被说：“我的好友黄义 郭元振--?2 楔入赵军先头部队与主力之间 6.《曾文正公书札》卷五 田穰苴被贬后 真一代之名臣也 自杀 121.杀伤乃溺死者万余人 缘何死于弱女子之手 司马氏手刃其主 匹夫之
2020高考数学 提分必备30个黄金考点 专题07 函数的图象学案 理
【2019最新】精选高考数学提分必备30个黄金考点专题07 函数的图象学案理【考点剖析】1.命题方向预测：从近几年的高考试题来看，主要考查图象的辨识以及利用图象研究函数的性质、方程及不等式的解，多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题，主要考查基本初等函数的图象及应用.预测2019年高考对本节内容的考查仍将以函数图象识别与函数图象的应用为主，依然体现“有图考图”“无图考图”的原则，题型仍为选择题或填空题的形式．备考时要求熟练掌握各种基本初等函数的图象及性质，增强函数性质的应用意识，另外还应熟练掌握各种图象变换的法则.2.课本结论总结：（1）画函数图象的一般方法①描点法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出，其步骤为：先确定函数的定义域，化简给定的函数解析式，再根据化简后的函数解析式研究函数的值域、单调性、奇偶性、对称性、极值、最值，再根据函数的特点取值、列表，描点，连线，注意取点，一定要包括关键点，如极值点、与轴的交点等．x②图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．（2）常见的图象变换 ①平移变换：左右平移：函数的图象可由函数的图象向左（+）或向右（—）平移个单位得到；()(0)y f x h h =±>()y f x =h上下平移：（）的图象可由函数的图象向上（+）或向下（—）平移个单位得到；()y f x b =±0b >()y f x =b②伸缩变换函数是将函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的得到；()(0)y f x ωω=>()y f x =1ω函数是将函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍的得到；()(0)y Af x A =>()y f x =③对称变换函数图象关于轴对称得到函数图象；()y f x =x ()y f x =- 函数图象关于轴对称得到函数图象；()y f x =y ()y f x =- 函数图象关于原点对称得到函数图象；()y f x =()y f x =--函数图象关于直线对称得到函数为图象．()y f x =x a =(2)y f a x =- ④翻折变换函数的图象这样得到：函数在轴右侧的图象保持不变，左侧的图象去掉后，再将右侧的图象翻折到轴左侧（函数为偶函数，其图象关于轴对称）;(||)y f x =()y f x =y y (||)y f x =y函数的图象是这样得到的：函数在轴上方的图象保持不变，把下方的图象关于轴对称到上方（注意到函数的函数值都大于零）．|()|y f x =()y f x =x x |()|y f x = 3.名师二级结论：（1）函数图象的几个应用①判断函数的奇偶性、确定单调区间：图象关于原点对称是奇函数，图象关于y 轴对称是偶函数.图象从左到右上升段对应的的取值范围是增区间，下降对应的的取值范围是减区间.x x②方程的根就是函数与函数图象交点的横坐标.()()f x g x =()y f x =()y g x =③不等式的解集是函数的图象在函数图象上方的一段对应的的取值范围（交点坐标要通过解方程求得）()()f x g x >()y f x =()y g x =x （2）函数的图象的对称性()y f x =①若函数关于对称对定义域内任意都有=对定义域内任意都有=是偶函数；)(x f y =x a =⇔x ()f a x +()f a x -⇔x ()f x (2)f a x -⇔()y f x a =+②函数关于点（，0）对称对定义域内任意都有=－=－是奇函数；)(x f y =a ⇔x ()f a x -()f a x +⇔(2)f a x -()f x ⇔()y f x a =+③若函数对定义域内任意都有,则函数的对称轴是；)(x f y =x )()(x b f a x f -=+)(x f 2ba x +=④若函数对定义域内任意都有,则函数的对称轴中心为；)(x f y =x ()()f x a f b x +=--)(x f (,0)2a b+ ⑤函数关于对称.(||)y f x a =-x a =(3) 明确函数图象形状和位置的方法大致有以下三种途径． ①图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换． ②函数解析式的等价变换． ③研究函数的性质． 4.考点交汇展示：例1.函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）()()2ax bf x x c +=+（A ），， （B ），，0a >0b >0c <0a <0b >0c > （C ），， （D ），，0a <0b >0c <0a <0b <0c < 【答案】C例2.【2018年浙江卷】函数y=sin2x 的图象可能是A. B.C. D.【答案】D例3.【2018年理新课标I 卷】已知函数 ．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞） 【答案】C【解析】画出函数的图像，在y 轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.例4【2018年高考专家猜题卷】已知函数，，，且，若，则实数，，的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】同一坐标系内，分别作出函数的图象，如图，即分别是图中点的横坐标，由图象可得，，故选C.【考点分类】考向一函数图象的识别1.已知函数，则函数的大致图象是（）A． B．C． D．【答案】D2.【2018届河南省郑州外国语学校第十五次调研】已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】分析：由函数图象可知，函数图象关于轴对称，可得函数是偶函数，逐一判断选项中函数的奇偶性即可的结果.3.【2018届山东省××市××市三模】函数在区间上的图象大致为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】当时，由，可得函数的零点为，可排除选项；当时，，对应点在轴下方，可排除选项，故选B.【方法规律】1.识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题．(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题．(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题.（4）利用函数本身的性能或特殊点（与、轴的交点，最高点、最低点等）进行排除验证.x y2.函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项．【解题技巧】函数图象的分析判断主要依据两点：一是根据函数的性质，如函数的奇偶性、单调性、值域、定义域等；二是根据特殊点的函数值，采用排除的方法得出正确的选项．【易错点睛】1.函数图象左右平移平移的长度单位是加在上，而不是加在上，处理左右平移问题要注意平移方向与平移的长度单位.x x ω2.在图象识别中忽视函数的定义域或有关性质分析不到位导致解题出错.例 已知定义域为[0,1]上的函数图象如下图左图所示，则函数的图象可能是（ ）()f x (1)f x -+【错解】先将的图象沿y 轴对折得到的图象，再将所得图象向左平移1个长度单位就得到函数的图象，故选A.()f x ()f x -(1)f x -+【错因分析】没有掌握图象变换，图象平移长度单位是加在上，而不是加在上，本例因=，故先做对称变换后，应向右平移1长度单位.x x ω(1)f x -+[(1)]f x --【预防措施】先将所给函数化为形式，若先做伸缩变换，再作平移变换，注意平移方向和平移单位.[()]f x a ω+【正解】因=,先将的图象沿y 轴对折得到的图象，再将所得图象向右平移1个长度单位就得到函数的图象，故选B.(1)f x -+[(1)]f x --()f x ()f x -(1)f x -+考向2 函数图象的应用1.【2018届河北省衡水中学6月1日适应性训练】已知实数，，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 y=的图象，结合图象，得：b ＞a ＞c ． 故选：C ．2.【2018届二轮优选整合】若函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点M、N关于原点对称，则称点对(M，N)是函数y＝f(x)的一对“和谐点对”(点对(M，N)与(N，M)看作同一对“和谐点对”)．已知函数f(x)＝则此函数的“和谐点对”有( )A． 1对 B． 2对 C． 3对 D． 4对【答案】B【解析】作出的图象如图所示，3.【2019届安徽省××县高级中学8月调研】已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】若函数有两个零点，则函数的图象与有且仅有两个交点，在同一坐标系内画出函数的图象与的图象如下：【方法规律】1．研究函数的性质时一般要借助函数图象，体现了数形结合思想．2．有些不等式问题常转化为两函数图象的上、下关系来解．3．方程解的个数常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题来求解．【解题技巧】1.为了更好的利用函数图象解题，准确的作出函数的图象是解题关键，要准确的作出图象必须做到以下两点：(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如的函数；1=+y xx(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程.2．利用函数的图象研究函数的性质从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．3．利用函数的图象研究方程根的分布或求根的近似解对所给的方程进行变形，转化为两个熟悉的函数的交点问题，作出这两个函数的图象，观察出交点个数即为方程解的个数，或找出解所在的区间或结合图象由解的个数找出参数满足的条件，从而求出参数的范围或参数的值．【易错点睛】一个函数的图象关于原点(y轴)对称与两个函数的图象关于原点(y轴)对称不同，前者是自身对称，且为奇(偶)函数，后者是两个不同的函数对称．例已知函数的定义域为R，则函数与函数的图象关于（）y f x=-(2)=-y f x()=(2)y f xA．直线=0对称 B.直线=0对称 C.直线对称 D.直线=2对称y x2y=x【错解】∵函数定义在实数集上，且，(2)(2)-=-f x f x∴函数的图象关于直线=0对称，故选B.()=xy f x【错因分析】错用函数自身对称的结论处理两个函数对称问题.【预防措施】首先分析要解决的对称问题是自身的对称问题还是两个函数的对称问题，其次要掌握判断函数自身对称的方法和判断两个函数对称的方法.【正解】函数的图象是将函数的图象向右平移2个单位得到，(2)=y f x=-()y f x而函数=的图象是先将的图象关于=0对称变换得到的图象，再将的图象向右平移2个单位得到，因此函数与函数关于=2对称，故选D.(2)=-(2)y f x=-x=-()y f x=-(2)y f x=-[(2)]y f xf x--()=x()y f xy f x【热点预测】1.【2018届甘肃省××市第一中学高三上第一次月考】函数的大致图像为( )()=-y xln1A. B.C. D.【答案】C 【解析】∵函数y=ln(1−x)的定义域为{x|x<1}，故可排除A，B；又y=1−x为(−∞,1)上的减函数，y=lnx为增函数，∴复合函数y=ln(1−x)为(−∞,1)上的减函数，排除D；故选C.2.【2018届河北省武邑中学四模】已知函数，在的大致图象如图所示，则可取（）A． B． C． D．【答案】B【解析】3.【2018届××市十一学校三模】下列函数图象不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】分析：根据常见函数的图象即可判断.解析：对A，为轴对称图形，其对称轴为y=x或y=-x；对B，不是轴对称图形；对C，在为轴对称图形，对称轴为；对D，为轴对称图形，其对称轴为x=0.故选：B.4.【2018届湖南省××市三模】在同一直角坐标系中，函数，（，且）的图象大致为（ ）()2f x ax =-()()log 2a g x x =+0a >1a ≠A ．B ．C ．D ．【答案】A5.偶函数满足,且在时，，则关于的方程在上的根的个数是)(x f )1()1(+=-x f x f ]1,0[∈x 2)(x x f =x xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=101)(]3,2[-A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】C【解析】由题意可得，.即函数为周期为的周期函数，又是偶函数，(2)()f x f x +=()f x 2()f x所以，在同一坐标系内，画出函数，的图象，观察它们在区间的交点个数，就是方程在上根的个数，结合函数图象的对称性，共有个交点，故选.()f x ||1()10x y =]3,2[-xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=101)(]3,2[-5C6.【2018届山东省××市第三中学高三一轮复习】已知函数f （x ）= ，若关于x 的方程f （f （x ））=a 存在2个实数根，则a 的取值范围为（ ）3,1{ 2,1x x x x x ->+≤A. [﹣24，0）B. （﹣∞，﹣24）∪[0，2）C. （﹣24，3）D. （﹣∞，﹣24]∪[0，2]【答案】B,7.【2018届四川省××市第七中学三诊】定义函数，则函数在区间（）内所有零点的和为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】然后再作出函数的图象，结合图象可得两图象的交点在函数的极大值的位置，由此可得函数在区间上的零点为，故所有零点之和为．故选D．8.【2019届湖南省长郡中学第一次月考】若定义在上的偶函数满足且时，，则方程的零点个数是（）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【解析】因为数满足，所以周期当时，，且为偶函数，所以函数图像如下图所示9.【2018年高考专家猜题卷】已知函数，，，且，若，则实数，，的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】同一坐标系内，分别作出函数的图象，如图，可得是图象交点横坐标；是图象交点横坐标；是图象交点横坐标；即分别是图中点的横坐标，由图象可得，，故选C.10.【2018届宁夏××市第三中学四模】对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝,设f (x)＝(x－4)*，若关于x的方程|f (x)－m|＝1(m∈R)恰有四个互不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．【答案】(－1,1)∪(2,4)【解析】解不等式x﹣4≤﹣4得x≥0，f（x）=，画出函数f（x）的大致图象如图所示．故答案为（﹣1，1）∪（2，4）．10.【2018届山东省××市××县第一中学三轮】已知定义在上，且周期为2的函数满足，若函数有3个零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】先画出函数f(x)在一个周期[-1,1]上的图像，再把函数的图像按照周期左右平移得到函数f(x)在原点附近的图像，如图所示，故答案为：C.11.【2018届湖北省××市一中考前训练2】定义在实数集上的函数满足，当时，，则函数的零点个数为__________．【答案】.【解析】12.已知函数，设，若，则的取值范围是 .1()122x x f x +⎧⎪=⎨-⎪⎩(01)(1)x x ≤<≥0a b >≥()()f a f b =()b f a ⋅【答案】．3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】由函数，作出其图象如下图，因为函数在和上都是单调函数，所以，若满足时，，必有，，由图可知，使的，，由不等式的可乘积性得：，故答案为．1()122x x f x +⎧⎪=⎨-⎪⎩(01)(1)x x ≤<≥()f x [)0,1[)1,+∞0a b >≥()()f a f b =[)0,1b ∈[)1,a ∈+∞()()f a f b =1,12b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()3,22f a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭3(),24b f a ⎡⎫⋅∈⎪⎢⎣⎭3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭13.已知函数，则方程恰有两个不同实数根时，实数的取值范围是 .11,1()10ln 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩()f x ax =a 【答案】211(1,0][,)10e-14.【2018届宁夏银川一中高三上第二次月考】已知若关于的方程有四个实根，则四根之和的取值范围_________【答案】【解析】设,则有图得 从而 .。
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题07三角函数图象与性质教学案理含解析2019033021
三角函数图象与性质【2019年高考考纲解读】1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点． 【重点、难点剖析】 1．记六组诱导公式 对于“k π2±α，k ∈Z 的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆，奇变偶不变，符号看象限．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )3.y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质(1)五点作图法：五点的取法，设X ＝ωx ＋φ，X 取0，π2，π，3π2，2π来求相应的x 值、y值，再描点作图．(2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是φ，一般是从“五点法”中的第一点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口． (3)在用图象变换作图时，一般按照先平移后伸缩，但考题中也有先伸缩后平移的，无论是哪种变形，切记每个变换总对字母x 而言．(4)把函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后用基本三角函数的单调性求解时，要注意A ，ω的符号及复合函数的单调性规律：同增异减． 4．三角函数中常用的转化思想及方法技巧(1)方程思想：sin α＋cos α，sin α－cos α，si n αcos α三者中，知一可求二． (2)“1”的替换：sin 2α＋cos 2α＝1. (3)切弦互化：弦的齐次式可化为切. 【题型示例】题型一、三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用【例1】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (2，1)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4等于( ) A ．－7 B ．－17 C.17 D ．7 答案 A【变式探究】已知曲线f (x )＝x 3－2x 2－x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－2cos 2α－3sin(2π－α)cos(π＋α)的值为( ) A.85 B ．－45 C.43 D ．－23 答案 A解析 由f (x )＝x 3－2x 2－x 可知f ′(x )＝3x 2－4x －1， ∴tan α＝f ′(1)＝－2，cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－2cos 2α－3sin ()2π－αcos ()π＋α ＝(－sin α)2－2cos 2α－3sin αcos α ＝sin 2α－2cos 2α－3sin αc os α＝sin 2α－2cos 2α－3sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－3tan α－2tan 2α＋1 ＝4＋6－25＝85.【感悟提升】 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．【变式探究】在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π3，cos 5π3，则sin(π＋α)等于( )A ．－32B ．－12 C.12 D.32 答案 B解析 由诱导公式可得，sin 5π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝－sin π3＝－32，cos 5π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝cos π3＝12， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12， 由三角函数的定义可得，sin α＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，则sin ()π＋α＝－sin α＝－12.【变式探究】已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，则π－α－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋απ＋α＋π－α等于( )A.12B.13C.16 D ．－16答案 D解析 ∵sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α， ∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α，则π－α－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋απ＋α＋π－α＝sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝2cos α－4cos α10cos α＋2cos α＝－212＝－16. 【变式探究】若，则sin 2α=（ ）（A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725- 【答案】D【解析】，且，故选D.【感悟提升】在单位圆中定义的三角函数，当角的顶点在坐标原点，角的始边在x 轴正半轴上时，角的终边与单位圆交点的纵坐标为该角的正弦值、横坐标为该角的余弦值．如果不是在单位圆中定义的三角函数，那么只要把角的终边上点的横、纵坐标分别除以该点到坐标原点的距离就可转化为单位圆上的三角函数定义．【举一反三】若tan α＝2tan π5，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin α·cos π5－cos αsinπ5＝tan αtanπ5＋1tan αtanπ5－1＝2＋12－1＝3. 答案 C【变式探究】(1)已知cos π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．±34(2)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12【命题意图】(1)本题主要考查三角函数的诱导公式及同角基本关系式的应用． (2)本题是函数与三角运算问题，主要考查函数三要素及三角运算． 【答案】(1)B (2)A【解析】(1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，∴sin α＝－35，显然α在第三象限，∴cos α＝－45，故tan α＝34.故选B.(2)∵f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ， ∴f (x ＋2π)＝f (x ＋π)－sin x .∴f (x ＋2π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )． ∴f (x )是以2π为周期的周期函数． 又f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－12.∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12.故选A.【感悟提升】1．结合诱导公式与同角基本关系式化简求值的策略 (1)切弦互换法．利用tan α＝sin αcos α进行转化．(2)和积转化法．利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α进行变形、转化． (3)常值代换法．其中之一就是把1代换为sin 2α＋cos 2α.同角三角函数关系sin 2α＋cos 2α＝1和tan α＝sin αcos α联合使用，可以根据角α的一个三角函数值求出另外两个三角函数值．根据tan α＝sin αcos α可以把含有sin α，cos α的齐次式化为tan α的关系式． 2．化简求值时的“三个”防范措施 (1)函数名称和符号．利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数与锐角的三角函数，其步骤是：去负—脱周—化锐—求值．特别注意解题过程中函数名称和符号的确定． (2)开方．在利用同角三角函数的平方关系时若需开方，特别注意要根据条件进行讨论取舍． (3)结果整式化．解题时注意求值与化简的最后结果一般要尽可能化为整式． 题型二、三角函数的图象【例2】已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移5π12个单位长度D ．向右平移5π12个单位长度答案 A解析 由题意知，函数f (x )的最小正周期T ＝π， 所以ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，g (x )＝cos 2x . 把g (x )＝cos 2x 变形得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π3，所以只要将f (x )的图象向左平移π12个单位长度，即可得到g (x )＝cos 2x 的图象，故选A.【变式探究】【2017课标1，理9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是A. 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B. 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D【解析】因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为cos2y x =，再将曲线向左平移12π个单位长度得到2C ，故选D. 【举一反三】 (2015·山东，3)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位解析 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，∴要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位． 答案 B【变式探究】(2015·湖南，9)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12 B.π3 C.π4D.π6答案 D 【举一反三】(1)若将函数y ＝cos ωx (ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 的图象重合，则ω的最小值为( ) A.12 B.32 C.52 D.72 答案 B解析 将函数y ＝cos ωx (ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后得到函数的解析式为y ＝cosω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ3.∵平移后得到的函数图象与函数y ＝sin ωx 的图象重合， ∴－ωπ3＝2k π－π2(k ∈Z )，即ω＝－6k ＋32(k ∈Z )．∴当k ＝0时，ω＝32.(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则ω＝________；函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上的零点为________．答案 27π12解析 从图中可以发现，相邻的两个最高点和最低点的横坐标分别为π3，－π6，从而求得函数的最小正周期为T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，根据T ＝2πω可求得ω＝2.再结合题中的条件可以求得函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2x －π6＝k π(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )，结合所给的区间，整理得出x ＝7π12.【感悟提升】1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式的确定 (1)A 由最值确定，A ＝最大值－最小值2.(2)ω由周期确定．(3)φ由图象上的特殊点确定．提醒：根据“五点法”中的零点求φ时，一般先依据图象的升降分清零点的类型． 2．作三角函数图象左、右平移变换时，平移的单位数是指单个变量x 的变化量，因此由y ＝sin ωx (ω>0)的图象得到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象时，应将图象上所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|ω个单位，而非|φ|个单位．题型三 三角函数的性质及其应用例3．【2017课标1，理17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.【答案】（1）23.（2）3. 【解析】（1）由题设得，即.由正弦定理得.故.【变式探究】【2016年高考四川理数】为了得到函数的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度（C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D【解析】由题意，为了得到函数，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D.【举一反三】(2015·四川，4)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos x解析 A 选项：y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，T ＝π，且关于原点对称，故选A. 答案 A【变式探究】函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C ．2π D ．4π解析 ∵T ＝2π2＝π，∴B 正确． 答案 B【举一反三】已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中错误的是( )A ．y ＝f (x )的图象关于(π，0)中心对称B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称 C ．f (x )的最大值为32D ．f (x )既是奇函数，又是周期函数解析 [对于A 选项，因为f (2π－x )＋f (x )＝cos(2π－x )·sin 2(2π－x )＋cos x sin 2x ＝－cos x sin 2x ＋cos x sin 2x ＝0，故y ＝f (x )的图象关于(π，0)中心对称，A 正确；对于B 选项，因为f (π－x )＝cos(π－x )sin 2(π－x )＝cos x sin 2x ＝f (x )，故y ＝f (x )的图象关于x ＝π2对称，故B 正确；对于C 选项，f (x )＝cos x sin 2x ＝2sin x cos 2x ＝2sin x (1－sin 2x )＝2sin x －2sin 3x ，令t ＝sin x ∈[－1，1]，则h (t )＝2t －2t 3，t ∈[－1，1]，则h ′(t )＝2－6t 2，令h ′(t )＞0解得－33＜t ＜33，故h (t )＝2t －2t 3，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33上递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－33与⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1上递减，又h (－1)＝0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫33＝439，故函数的最大值为439，故C 错误；对于D 选项，因为f (－x )＋f (x )＝－cos x sin 2x ＋cos x sin 2x ＝0，故是奇函数，又f (x ＋2π)＝cos(2π＋x )·sin 2(2π＋x )＝cos x s in 2x ，故2π是函数的周期，所以函数既是奇函数，又是周期函数，故D 正确．综上知，错误的结论只有C ，故选C.答案 C题型四 求三角函数的解析式例4．(2015·陕西，3)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10解析 由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5.∴y max ＝k ＋3＝8.答案 C【变式探究】(2015·新课标全国Ⅰ，8)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析 由图象知T 2＝54－14＝1，∴T ＝2.由选项知D 正确． 答案 D【举一反三】已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x 2. (1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值； (2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．解 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3 ＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ，g (x )＝2sin 2x 2＝1－cos x . (1)由f (α)＝335得sin α＝35. 又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15. (2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1.于是sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≥12. 从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ， 即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z . 故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }． 题型五 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的综合应用例5．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋sin 2x ＋a 的最大值为1. (1)求函数f (x )的最小正周期与单调递增区间；(2)若将f (x )的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解 (1)∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋sin 2x ＋a ＝3cos 2x ＋sin 2x ＋a＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋a ≤1， ∴2＋a ＝1，即a ＝－1，∴最小正周期为T ＝π.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1， 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z . ∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .(2)∵将f (x )的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象， ∴g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π3－1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－1. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π3， ∴当2x ＋2π3＝2π3， 即x ＝0时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝32，g (x )取最大值3－1； 当2x ＋2π3＝3π2， 即x ＝5π12时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝－1，g (x )取最小值－3. 【变式探究】【2016高考浙江理数】设函数，则()f x 的最小正周期（ ）A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关【答案】B 【解析】，其中当0=b 时，，此时周期是π；当0≠b 时，周期为2π，而c 不影响周期．故选B ． 【举一反三】已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( ) A ．f (2)<f (－2)<f (0) B ．f (0)<f (2)<f (－2)C ．f (－2)<f (0)<f (2)D ．f (2)<f (0)<f (－2)解析 由于f (x )的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝A sin(2x ＋φ)，又当x ＝2π3时，2x ＋φ＝4π3＋φ＝2k π－π2，∴φ＝2k π－11π6，又φ>0，∴φmin ＝π6，故f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.于是f (0)＝12A ，f (2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋π6，f (－2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－4，又∵－π2<5π6－4<π6<4－7π6<π2， 其中f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫4＋π6 ＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－4， f (－2)＝A s in ⎝⎛⎭⎪⎫13π6－4 ＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－4＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－7π6. 又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2单调递增， ∴f (2)<f (－2)<f (0)，故选A.答案 A【举一反三】已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.。
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题07三角函数图象与性质教学案文含解析
三角函数图象与性质【2019年高考考纲解读】1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点．【重点、难点剖析】 1．记六组诱导公式 对于“k π2±α，k ∈Z 的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆，奇变偶不变，符号看象限．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象单调性⎣⎢⎡－π2＋2k π，⎦⎥⎤π2＋2k π为增；⎣⎢⎡π2＋2k π，⎦⎥⎤3π2＋2k π为减 [－π＋2k π， ]2k π为增；[]2k π，π＋2k π为减⎝⎛－π2＋k π，⎭⎪⎫π2＋k π为增 对称中心 (k π，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0对称轴x ＝k π＋π2x ＝k π无3.y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质(1)五点作图法：五点的取法，设X ＝ωx ＋φ，X 取0，π2，π，3π2，2π来求相应的x 值、y 值，再描点作图．(2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是φ，一般是从“五点法”中的第一点⎝⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口．(3)在用图象变换作图时，一般按照先平移后伸缩，但考题中也有先伸缩后平移的，无论是哪种变形，切记每个变换总对字母x 而言．(4)把函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后用基本三角函数的单调性求解时，要注意A ，ω的符号及复合函数的单调性规律：同增异减． 4．三角函数中常用的转化思想及方法技巧(1)方程思想：sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三者中，知一可求二． (2)“1”的替换：sin 2α＋cos 2α＝1. (3)切弦互化：弦的齐次式可化为切. 【题型示例】题型一、三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用【例1】(1)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若它的终边经过点P (2,1)，则tan 2α等于( ) A.43 B.12 C ．－12 D ．－43 答案 A解析 因为角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (2,1)， 所以tan α＝12，因此tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝11－14＝43. (2)已知曲线f (x )＝x 3－2x 2－x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－2cos 2α－3sin(2π－α)cos(π＋α)的值为( ) A.85 B ．－45 C.43 D ．－23 答案 A【变式探究】【2016高考新课标2文数】若，则（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】D【解析】，且，故选D.【感悟提升】在单位圆中定义的三角函数，当角的顶点在坐标原点，角的始边在x 轴正半轴上时，角的终边与单位圆交点的纵坐标为该角的正弦值、横坐标为该角的余弦值．如果不是在单位圆中定义的三角函数，那么只要把角的终边上点的横、纵坐标分别除以该点到坐标原点的距离就可转化为单位圆上的三角函数定义．【举一反三】(2015·重庆，9)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin α·co s π5－cos αsinπ5＝tan αtanπ5＋1tan αtanπ5－1＝2＋12－1＝3. 答案 C【变式探究】(1)已知cos π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．±34(2)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12【命题意图】(1)本题主要考查三角函数的诱导公式及同角基本关系式的应用． (2)本题是函数与三角运算问题，主要考查函数三要素及三角运算． 【答案】(1)B (2)A【解析】(1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，∴sin α＝－35，显然α在第三象限，∴cos α＝－45，故tan α＝34.故选B.(2)∵f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ， ∴f (x ＋2π)＝f (x ＋π)－sin x .∴f (x ＋2π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )． ∴f (x )是以2π为周期的周期函数． 又f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－12.∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12.故选A.【感悟提升】1．结合诱导公式与同角基本关系式化简求值的策略 (1)切弦互换法．利用tan α＝sin αcos α进行转化．(2)和积转化法．利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α进行变形、转化． (3)常值代换法．其中之一就是把1代换为sin 2α＋cos 2α.同角三角函数关系sin 2α＋cos 2α＝1和tan α＝sin αcos α联合使用，可以根据角α的一个三角函数值求出另外两个三角函数值．根据tan α＝sin αcos α可以把含有sin α，cos α的齐次式化为tan α的关系式．2．化简求值时的“三个”防范措施 (1)函数名称和符号．利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数与锐角的三角函数，其步骤是：去负—脱周—化锐—求值．特别注意解题过程中函数名称和符号的确定．(2)开方．在利用同角三角函数的平方关系时若需开方，特别注意要根据条件进行讨论取舍． (3)结果整式化．解题时注意求值与化简的最后结果一般要尽可能化为整式．【变式探究】(1)已知α是第二象限角，其终边上一点P (x ，5)，且cos α＝24x ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝________.(2)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝________. 【解析】(1)由题意得cos α＝x5＋x2＝24x ，解得x ＝3或x ＝－3，又α是第二象限角，∴x ＝－ 3.即cos α＝－64，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－64. (2)因为sin α＋cos α＝33，所以1＋2sin αcos α＝13，所以2sin αcos α＝－23<0，又因为α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，则sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝153，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－153×33＝－53. 【答案】(1)－64 (2)－53【规律方法】在利用诱导公式和同角三角函数关系时，一定要特别注意符号，在诱导公式中是“奇变偶不变，符号看象限”，在同角三角函数的平方关系中，开方后的符号也是根据角所在的象限确定的． 题型二、三角函数的图象【例2】(2018·天津卷)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数________．(填序号) ①在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4上单调递增；②在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递减； ③在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，3π2上单调递增；④在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上单调递减． 答案 ①解析 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度后的解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10＋π5＝sin 2x ，则函数y ＝sin 2x 的一个单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4，一个单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，7π4.由此可判断①正确．【变式探究】(2016·高考全国甲卷)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 【举一反三】 (2015·山东，3)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位解析 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，∴要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位． 答案 B【变式探究】(2015·湖南，9)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12 B.π3 C.π4D.π6解析 易知g (x )＝sin(2x －2φ)，φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，由|f (x 1)－f (x 2)|＝2及正弦函数的有界性知，①⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝－1，sin （2x 2－2φ）＝1或②⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝1，sin （2x 2－2φ）＝－1， 由①知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－π4＋k 1π，k 2＝π4＋φ＋k 2π(k 1，k 2∈Z )，∴|x 1－x 2|min ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2＋φ＋（k 2－k 1）πmin ＝π3，由φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π2＋φ＝2π3，∴φ＝π6， 同理由②得φ＝π6.故选D.答案 D【举一反三】(1)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )(2)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度【命题意图】(1)本题主要考查函数的解析式及三角函数的图象，意在考查考生识图、用图的能力． (2)本题主要考查三角函数的图象，意在考查考生的函数图象的变换能力以及三角函数的运算能力． 【答案】(1)B (2)A【解析】(1)由题意知，f (x )＝|cos x |·sin x ， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝cos x ·sin x ＝12sin 2x ；当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤π2，π时，f (x )＝－cos x ·sin x ＝－12sin 2x ，故选B. (2)y ＝sin 2x 的图象向左平移12个单位长度得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象，即函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，故选A. 【感悟提升】1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式的确定 (1)A 由最值确定，A ＝最大值－最小值2.(2)ω由周期确定．(3)φ由图象上的特殊点确定．提醒：根据“五点法”中的零点求φ时，一般先依据图象的升降分清零点的类型．2．作三角函数图象左、右平移变换时，平移的单位数是指单个变量x 的变化量，因此由y ＝sin ωx (ω>0)的图象得到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象时，应将图象上所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|ω个单位，而非|φ|个单位．题型三 三角函数的性质及其应用例3．设函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32(ω>0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4. (1)求ω的值；(2)若函数y ＝f (x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2是奇函数，求函数g (x )＝cos(2x －φ)在[0,2π]上的单调递减区间．解 (1)f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32＝12sin 2ωx －31＋cos 2ωx 2＋32＝12sin 2ωx －32cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3，设T 为f (x )的最小正周期，由f (x )的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4，得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋[2f (x )max ]2＝π2＋4，∵f (x )max ＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋4＝π2＋4，整理得T ＝2π.又ω>0，T ＝2π2ω＝2π，∴ω＝12.(2)由(1)可知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，∴f (x ＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φ－π3. ∵y ＝f (x ＋φ)是奇函数，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π3＝0，又0<φ<π2，∴φ＝π3，∴g (x )＝cos(2x －φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.令2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .又∵x ∈[0,2π]，∴当k ＝0时，函数g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3；当k ＝1时，函数g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π6，5π3. ∴函数g (x )在[0,2π]上的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π6，5π3. 【方法技巧】函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用类题目的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式； 第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．【变式探究】(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【变式探究】【2016年高考四川文数】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( ) （A ）向左平行移动个单位长度 （B ）向右平行移动个单位长度 （C ）向左平行移动个单位长度 （D ）向右平行移动个单位长度 【答案】D【解析】由题意，为了得到函数，只需把函数的图像上所有点向右移个单位，故选D.【举一反三】(2015·四川，4)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析 A 选项：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，T ＝π，且关于原点对称，故选A.答案 A【变式探究】函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π解析 ∵T ＝2π2＝π，∴B 正确．答案 B【举一反三】已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中错误的是( ) A ．y ＝f (x )的图象关于(π，0)中心对称 B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称C ．f (x )的最大值为32D ．f (x )既是奇函数，又是周期函数解析 [对于A 选项，因为f (2π－x )＋f (x )＝cos(2π－x )·sin 2(2π－x )＋cos x sin 2x ＝－cos x sin 2x ＋cos x sin 2x ＝0，故y ＝f (x )的图象关于(π，0)中心对称，A 正确；对于B 选项，因为f (π－x )＝cos(π－x )sin 2(π－x )＝cos x sin 2x ＝f (x )，故y ＝f (x )的图象关于x ＝π2对称，故B 正确；对于C 选项，f (x )＝cos x sin 2x ＝2sin x cos 2x ＝2sin x (1－sin 2x )＝2sin x －2sin 3x ，令t ＝sin x ∈[－1，1]，则h (t )＝2t －2t 3，t ∈[－1，1]，则h ′(t )＝2－6t 2，令h ′(t )＞0解得－33＜t ＜33，故h (t )＝2t －2t 3，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33上递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－33与⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1上递减，又h (－1)＝0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫33＝439，故函数的最大值为439，故C 错误；对于D 选项，因为f (－x )＋f (x )＝－cos x sin 2x ＋cos x sin 2x ＝0，故是奇函数，又f (x ＋2π)＝cos(2π＋x )·sin 2(2π＋x )＝cos x sin 2x ，故2π是函数的周期，所以函数既是奇函数，又是周期函数，故D 正确．综上知，错误的结论只有C ，故选C. 答案 C。
2019届高考数学一轮复习第二章函数第七节函数的图象课件文
6.若函数y=f(x)在x∈[-2,2]上的图象如图所示,则当x∈[-2,2]时, f(x)+f(-x) = 0.
答案 0 解析 ∵y=f(x)的图象关于原点对称,∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)+f(-x)=f(x)-f(x)=0.
考点突破
考点一 作函数的图象
典例1 分别画出下列函数的图象: (1)y=|lg x|; (2)y=2x+2;
考点二 函数图象的识别
命题方向一 知式选图
典例2 (2017课标全国Ⅲ,7,5分)函数y=1+x+ sixn2x 的部分图象大致为
(D)
答案 D
解析 当x∈(0,1)时,sin x>0,
∴y=1+x+ sixn2x >1+x>1,排除A、C.
令f(x)=x+ sixn2x ,则f(-x)=-x+ s(in(x)x2 ) =-f(x),
0), 0)
的图象如图③.
(4)y= x 2 =1+ 3 ,先作出y= 3 的图象,
x 1 x 1
x
将其图象向右平移1个单位,
向上平移1个单位,
即得y= x 2 的图象,如图④.
x 1
方法技巧 函数图象的常见画法 (1)直接法.当函数(或变形后的函数)是熟悉的基本函数时,或当易发现 函数的图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线 的一部分)时,可根据这些熟悉的函数或曲线的特征直接作出. (2)利用图象变换.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻 折、对称得到,则可利用图象变换作出,但要注意变换顺序,对不能直接 找到基本函数的要先变形. (3)描点法.当上面两种方法都失效时,可采用描点法.为了描少量点就能 得到比较准确的图象,常常需要判断函数的单调性、奇偶性. 注意变形的等价性,不要扩大或缩小变量的取值范围.
2019届高考数学提分必备30个黄金考点专题07函数的图象学案理
专题07 函数的图象【考点剖析】1.命题方向预测：从近几年的高考试题来看，主要考查图象的辨识以及利用图象研究函数的性质、方程及不等式的解，多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题，主要考查基本初等函数的图象及应用.预测2019年高考对本节内容的考查仍将以函数图象识别与函数图象的应用为主，依然体现“有图考图”“无图考图”的原则，题型仍为选择题或填空题的形式．备考时要求熟练掌握各种基本初等函数的图象及性质，增强函数性质的应用意识，另外还应熟练掌握各种图象变换的法则. 2.课本结论总结：（1）画函数图象的一般方法①描点法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出，其步骤为：先确定函数的定义域，化简给定的函数解析式，再根据化简后的函数解析式研究函数的值域、单调性、奇偶性、对称性、极值、最值，再根据函数的特点取值、列表，描点，连线，注意取点，一定要包括关键点，如极值点、与x 轴的交点等．②图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． （2）常见的图象变换 ①平移变换：左右平移：函数()(0)y f x h h =±>的图象可由函数()y f x =的图象向左（+）或向右（—）平移h 个单位得到；上下平移：()y f x b =±（0b >）的图象可由函数()y f x =的图象向上（+）或向下（—）平移b 个单位得到； ②伸缩变换函数()(0)y f x ωω=>是将函数()y f x =图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω得到； 函数()(0)y Af x A =>是将函数()y f x =图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍的得到； ③对称变换函数()y f x =图象关于x 轴对称得到函数()y f x =-图象； 函数()y f x =图象关于y 轴对称得到函数()y f x =-图象； 函数()y f x =图象关于原点对称得到函数()y f x =--图象；函数()y f x =图象关于直线x a =对称得到函数为(2)y f a x =-图象． ④翻折变换函数(||)y f x =的图象这样得到：函数()y f x =在y 轴右侧的图象保持不变，左侧的图象去掉后，再将右侧的图象翻折到y 轴左侧（函数(||)y f x =为偶函数，其图象关于y 轴对称）;函数|()|y f x =的图象是这样得到的：函数()y f x =在x 轴上方的图象保持不变，把下方的图象关于x 轴对称到上方（注意到函数|()|y f x =的函数值都大于零）． 3.名师二级结论： （1）函数图象的几个应用①判断函数的奇偶性、确定单调区间：图象关于原点对称是奇函数，图象关于y 轴对称是偶函数.图象从左到右上升段对应的x 的取值范围是增区间，下降对应的x 的取值范围是减区间. ②方程()()f x g x =的根就是函数()y f x =与函数()y g x =图象交点的横坐标.③不等式()()f x g x >的解集是函数()y f x =的图象在函数()y g x =图象上方的一段对应的x 的取值范围（交点坐标要通过解方程求得） （2）函数()y f x =的图象的对称性①若函数)(x f y =关于x a =对称⇔对定义域内任意x 都有()f a x +=()f a x -⇔对定义域内任意x 都有()f x =(2)f a x -⇔()y f x a =+是偶函数；②函数)(x f y =关于点（a ，0）对称⇔对定义域内任意x 都有()f a x -=－()f a x +⇔(2)f a x -=－()f x ⇔()y f x a =+是奇函数；③若函数)(x f y =对定义域内任意x 都有)()(x b f a x f -=+,则函数)(x f 的对称轴是2ba x +=； ④若函数)(x f y =对定义域内任意x 都有()()f x a fb x +=--,则函数)(x f 的对称轴中心为(,0)2a b+；⑤函数(||)y f x a =-关于x a =对称.(3) 明确函数图象形状和位置的方法大致有以下三种途径．①图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换． ②函数解析式的等价变换． ③研究函数的性质． 4.考点交汇展示： (1)与参数范围问题交汇 例1.函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A ）0a >，0b >，0c < （B ）0a <，0b >，0c > （C ）0a <，0b >，0c < （D ）0a <，0b <，0c <【答案】C(2)与函数性质交汇例2.【2018年浙江卷】函数y =sin2x 的图象可能是A. B.C. D.【答案】D(3)与函数零点问题交汇例3.【2018年理新课标I卷】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【答案】C【解析】画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.（4）与不等式交汇例4【2018年高考专家猜题卷】已知函数，，，且，若，则实数，，的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】同一坐标系内，分别作出函数的图象，如图，即分别是图中点的横坐标，由图象可得，，故选C.【考点分类】考向一函数图象的识别1.已知函数，则函数的大致图象是（）A． B．C． D．【答案】D2.【2018届河南省郑州外国语学校第十五次调研】已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】分析：由函数图象可知，函数图象关于轴对称，可得函数是偶函数，逐一判断选项中函数的奇偶性即可的结果.3.【2018届山东省潍坊市青州市三模】函数在区间上的图象大致为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】当时，由，可得函数的零点为，可排除选项；当时，，对应点在轴下方，可排除选项，故选B.【方法规律】1.识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题．(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题．(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题. （4）利用函数本身的性能或特殊点（与x 、y 轴的交点，最高点、最低点等）进行排除验证. 2.函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复． 利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项． 【解题技巧】函数图象的分析判断主要依据两点：一是根据函数的性质，如函数的奇偶性、单调性、值域、定义域等； 二是根据特殊点的函数值，采用排除的方法得出正确的选项． 【易错点睛】1.函数图象左右平移平移的长度单位是加在x 上，而不是加在x ω上，处理左右平移问题要注意平移方向与平移的长度单位.2.在图象识别中忽视函数的定义域或有关性质分析不到位导致解题出错.例 已知定义域为[0,1]上的函数()f x 图象如下图左图所示，则函数(1)f x -+的图象可能是（ ）【错解】先将()f x 的图象沿y 轴对折得到()f x -的图象，再将所得图象向左平移1个长度单位就得到函数(1)f x -+的图象，故选A.【错因分析】没有掌握图象变换，图象平移长度单位是加在x 上，而不是加在x ω上，本例因(1)f x -+=[(1)]f x --，故先做对称变换后，应向右平移1长度单位.【预防措施】先将所给函数化为[()]f x a ω+形式，若先做伸缩变换，再作平移变换，注意平移方向和平移单位.【正解】因(1)f x -+=[(1)]f x --,先将()f x 的图象沿y 轴对折得到()f x -的图象，再将所得图象向右平移1个长度单位就得到函数(1)f x -+的图象，故选B.考向2 函数图象的应用1.【2018届河北省衡水中学6月1日适应性训练】已知实数，，，，则（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C 【解析】y=的图象，结合图象，得：b＞a＞c．故选：C．2.【2018届二轮优选整合】若函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点M、N关于原点对称，则称点对(M，N)是函数y＝f(x)的一对“和谐点对”(点对(M，N)与(N，M)看作同一对“和谐点对”)．已知函数f(x)＝则此函数的“和谐点对”有( )A． 1对 B． 2对 C． 3对 D． 4对【答案】B【解析】作出的图象如图所示，3.【2019届安徽省肥东县高级中学8月调研】已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】若函数有两个零点，则函数的图象与有且仅有两个交点，在同一坐标系内画出函数的图象与的图象如下：【方法规律】1．研究函数的性质时一般要借助函数图象，体现了数形结合思想．2．有些不等式问题常转化为两函数图象的上、下关系来解．3．方程解的个数常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题来求解． 【解题技巧】1.为了更好的利用函数图象解题，准确的作出函数的图象是解题关键，要准确的作出图象必须做到以下两点：(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数 函数、对数函数、幂函数、形如1y x x=+的函数；(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程.2．利用函数的图象研究函数的性质从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．3．利用函数的图象研究方程根的分布或求根的近似解对所给的方程进行变形，转化为两个熟悉的函数的交点问题，作出这两个函数的图象，观察出交点个数即为方程解的个数，或找出解所在的区间或结合图象由解的个数找出参数满足的条件，从而求出参数的范围或参数的值． 【易错点睛】一个函数的图象关于原点(y 轴)对称与两个函数的图象关于原点(y 轴)对称不同，前者是自身对称，且为奇(偶)函数，后者是两个不同的函数对称．例 已知函数()y f x =的定义域为R ，则函数(2)y f x =-与函数(2)y f x =-的图象关于（ ） A ．直线y =0对称 B.直线x =0对称 C.直线2y =对称 D.直线x =2对称 【错解】∵函数定义在实数集上，且(2)(2)f x f x -=-， ∴函数()y f x =的图象关于直线x =0对称，故选B.【错因分析】错用函数自身对称的结论处理两个函数对称问题.【预防措施】首先分析要解决的对称问题是自身的对称问题还是两个函数的对称问题，其次要掌握判断函数自身对称的方法和判断两个函数对称的方法.【正解】函数(2)y f x =-的图象是将函数()y f x =的图象向右平移2个单位得到，而函数(2)y f x =-=[(2)]f x --的图象是先将()y f x =的图象关于x =0对称变换得到()y f x =-的图象，再将()y f x =-的图象向右平移2个单位得到，因此函数(2)y f x =-与函数(2)y f x =-关于x =2对称，故选D.【热点预测】1.【2018届甘肃省天水市第一中学高三上第一次月考】函数()ln 1y x =-的大致图像为( )A. B.C. D.【答案】C【解析】∵函数y=ln(1−x)的定义域为{x|x<1}，故可排除A ，B ； 又y=1−x 为(−∞,1)上的减函数，y=lnx 为增函数， ∴复合函数y=ln(1−x)为(−∞,1)上的减函数，排除D ； 故选C.2.【2018届河北省武邑中学四模】已知函数，在的大致图象如图所示，则可取（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】3.【2018届北京市十一学校三模】下列函数图象不是轴对称图形的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】分析：根据常见函数的图象即可判断. 解析：对A ，为轴对称图形，其对称轴为y=x 或y=-x ；对B ，不是轴对称图形； 对C ，在为轴对称图形，对称轴为；对D ，为轴对称图形，其对称轴为x=0.故选：B.4.【2018届湖南省张家界市三模】在同一直角坐标系中，函数()2f x ax =-， ()()log 2a g x x =+（0a >，且1a ≠）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A5.偶函数)(x f 满足)1()1(+=-x f x f ,且在]1,0[∈x 时，2)(x x f =，则关于x 的方程xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=101)(在]3,2[-上的根的个数是A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】C【解析】由题意可得，(2)()f x f x +=.即函数()f x 为周期为2的周期函数，又()f x 是偶函数， 所以，在同一坐标系内，画出函数()f x ，||1()10x y =的图象，观察它们在区间]3,2[-的交点个数，就是方程xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=101)(在]3,2[-上根的个数，结合函数图象的对称性，共有5个交点，故选C .6.【2018届山东省滕州市第三中学高三一轮复习】已知函数f （x ）= 3,1{ 2,1x x x x x ->+≤，若关于x 的方程f（f （x ））=a 存在2个实数根，则a 的取值范围为（ ）A. [﹣24，0）B. （﹣∞，﹣24）∪[0，2）C. （﹣24，3）D. （﹣∞，﹣24]∪[0，2] 【答案】B,7.【2018届四川省成都市第七中学三诊】定义函数，则函数在区间（）内所有零点的和为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】然后再作出函数的图象，结合图象可得两图象的交点在函数的极大值的位置，由此可得函数在区间上的零点为，故所有零点之和为．故选D．8.【2019届湖南省长郡中学第一次月考】若定义在上的偶函数满足且时，，则方程的零点个数是（）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【解析】因为数满足，所以周期当时，，且为偶函数，所以函数图像如下图所示9.【2018年高考专家猜题卷】已知函数，，，且，若，则实数，，的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】同一坐标系内，分别作出函数的图象，如图，可得是图象交点横坐标；是图象交点横坐标；是图象交点横坐标；即分别是图中点的横坐标，由图象可得，，故选C.10.【2018届宁夏石嘴山市第三中学四模】对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝,设f (x)＝(x－4)*，若关于x的方程|f (x)－m|＝1(m∈R)恰有四个互不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．【答案】(－1,1)∪(2,4)【解析】解不等式x﹣4≤﹣4得x≥0，f（x）=，画出函数f（x）的大致图象如图所示．故答案为（﹣1，1）∪（2，4）．10.【2018届山东省临沂市沂水县第一中学三轮】已知定义在上，且周期为2的函数满足，若函数有3个零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】先画出函数f(x)在一个周期[-1,1]上的图像，再把函数的图像按照周期左右平移得到函数f(x)在原点附近的图像，如图所示，故答案为：C.11.【2018届湖北省宜昌市一中考前训练2】定义在实数集上的函数满足，当时，，则函数的零点个数为__________． 【答案】. 【解析】12.已知函数1()122x x f x +⎧⎪=⎨-⎪⎩(01)(1)x x ≤<≥，设0a b >≥，若()()f a f b =，则()b f a ⋅的取值范围是 . 【答案】3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 【解析】由函数1()122x x f x +⎧⎪=⎨-⎪⎩(01)(1)x x ≤<≥，作出其图象如下图，因为函数()f x 在[)0,1和[)1,+∞上都是单调函数，所以，若满足0a b >≥时，()()f a f b =，必有[)0,1b ∈，[)1,a ∈+∞，由图可知，使()()f a f b =的1,12b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()3,22f a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，由不等式的可乘积性得：3(),24b f a ⎡⎫⋅∈⎪⎢⎣⎭，故答案为3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭．13.已知函数11,1()10ln1,1x xf xx x⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩，则方程()f x ax=恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是 .【答案】211(1,0][,)10e-14.【2018届宁夏银川一中高三上第二次月考】已知若关于的方程有四个实根，则四根之和的取值范围_________【答案】【解析】设,则有图得从而.。
19版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.7函数的图象学案文
2.7 函数的图象[知识梳理]1．利用描点法作函数图象的流程2．变换法作图(1)平移变换提醒：对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减．(2)对称变换①y ＝f (x )――――――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )；②y ＝f (x )――――――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )；③y ＝f (x )――――――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x(a >0且a ≠1)――――――――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． (3)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|；②y ＝f (x )――――――――――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．(4)伸缩变换 ①y ＝f (x )y ＝f (ax )；②y ＝f (x )――――――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )．3．有关对称性的常用结论 (1)函数图象自身的轴对称①f (－x )＝f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；②函数y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (－x )＝f (2a ＋x )；③若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且有f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．(2)函数图象自身的中心对称①f (－x )＝－f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于原点对称；②函数y ＝f (x )的图象关于(a,0)对称⇔f (a ＋x )＝－f (a －x )⇔f (x )＝－f (2a －x )⇔f (－x )＝－f (2a ＋x )；③函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )成中心对称⇔f (a ＋x )＝2b －f (a －x )⇔f (x )＝2b －f (2a －x )；④若函数y ＝f (x )定义域为R ，且满足条件f (a ＋x )＋f (b －x )＝c (a ，b ，c 为常数)，则函数y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，c 2对称．(3)两个函数图象之间的对称关系①函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (b －x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称；函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称；②函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (x )的图象关于直线y ＝b 对称； ③函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )对称． [诊断自测] 1．概念思辨(1)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．( ) (2)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称．( )(3)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( )(4)将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位得到函数y ＝f (－x －1)的图象．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× 2．教材衍化(1)(必修A1P 75T 10)函数y ＝lg |x －1|的图象大致为( )答案 B解析 y ＝lg |x －1|关于直线x ＝1对称，排除A ，D ；因函数值可以为负值，故选B. (2)(必修A1P 113B 组T 2)如图，不规则图形ABCD 中：AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分面积为y ，则y 关于x 的大致图象为( )答案 D解析当l从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选D.3．小题热身(1)若函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f(x)＝( )A．e x＋1B．e x－1C．e－x＋1D．e－x－1答案 D解析与曲线y＝e x关于y轴对称的曲线为y＝e－x，函数y＝e－x的图象向左平移一个单位长度即可得到函数f(x)的图象，即f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.故选D.(2)(2017·茂名模拟)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是( )答案 C解析 由函数的图象可知，－1<b <0，a >1，则g (x )＝a x＋b 为增函数，当x ＝0时，y ＝1＋b >0，且过定点(0，1＋b )．故选C.题型1 函数图象的画法 典例1 作出下列函数的图象：(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|；(3)y ＝2x －1x －1；(4)y ＝x 2－2|x |－1.运用对称变换、翻折变换、平移变换等图象变换法．解 (1)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，如图a 实线部分．(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图b.(3)∵y ＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位即得，如图c.(4)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图d.典例2 (2017·建邺区校级期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 4x |，0<x ≤4，－12x ＋3，x >4.(1)画出函数f (x )的图象；(2)若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，求abc 的取值范围．翻折法作图象，再结合图象解决问题．解 (1)作函数f (x )的图象如下：(2)根据a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，令a <b <c ，由f (x )的解析式可知|log 4a |＝|log 4b |，可得log 4a ＋log 4b ＝0，即为ab ＝1，abc ＝c ，由图象可得c 的范围是(4,6)．故abc 的范围是(4,6)． 方法技巧作函数图象的一般方法1．直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．2．图象变换法．变换包括：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换．3．描点法．当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质作出．冲关针对训练 作出下列函数的图象： (1)y ＝10|lg x |；(2)y ＝|x －2|·(x ＋1)．解 (1)当x ≥1时，lg x ≥0，y ＝10|lg x |＝10lg x＝x ；当0<x <1时，lg x <0，y ＝10|lg x |＝10－lg x＝10lg 1x ＝1x.故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x，0<x <1.这是分段函数，每段函数的图象可根据正比例函数或反比例函数图象作出(如图)．(2)当x ≥2，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94；当x <2，即x －2<0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94，x ≥2，－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94，x <2.这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图).题型2 识图与辨图角度1 已知图象确定函数解析式典例 (2018·贵州联考)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln |x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x根据函数的奇偶性、单调性判断．答案 A解析 由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C ；若函数为f (x )＝x －1x，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D.故选A.角度2 已知解析式确定函数的图象典例 (2016·全国卷Ⅰ)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]上的图象大致为( )根据函数的单调性，某点处的函数值正负等判断．答案 D解析 令f (x )＝y ＝2x 2－e |x |，则f (2)＝8－e 2>0，A 错误；f (2)＝8－e 2<1，B 错误；当x >0时，f (x )＝2x 2－e x ，f ′(x )＝4x －e x ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，14时，f ′(x )<14×4－e 0＝0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上递减，C 错误．故选D. 角度3 由实际问题中的变化过程探究函数图象典例 (2014·全国卷Ⅰ)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]上的图象大致为( )用特殊值法，排除法．答案 C解析 如图所示，过点M 作OP 的垂线，垂足为D .当x ＝π2时，MD ＝0，排除A ，D ；当x ＝π4或x ＝3π4时，MD 取得最大值为12，排除B.故选C.方法技巧辨识函数图象的常见类型及求解策略1．由图象确定解析式或解析式中参数满足的数量关系．求解关键是将从图象中得到的以下信息点转化为其参数满足的数量关系．①图象与x 轴、y 轴的交点位置；②某一区间内函数值的正负；③定义域；④函数的单调性；⑤函数的极值、最值；⑥函数图象的变化趋势．2．由解析式确定函数图象的判断技巧(1)由函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)由函数的周期性，判断图象的循环往复．3．由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．冲关针对训练1．(2014·江西高考)在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2－x ＋a2与y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a∈R )的图象不可能的是( )答案 B解析 当a ＝0时，y ＝－x 与y ＝x 图象为D.当a >0时，y ＝ax 2－x ＋a2为开口向上抛物线，而对y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a ，求导得y ′＝3a 2x 2－4ax ＋1，令y ′＝0，得x ＝13a 或x ＝1a ，即y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a 有2个极值点且为正，A ，C 都有可能．当a <0时，抛物线开口向下，第二个函数的极值点为负，对称轴x ＝12a 在两极值点中间，B 不符合．故选B.2．(2017·安徽黄山一模)如图所示的图象可能是下列哪个函数的图象( )A ．y ＝2x －x 2－1 B ．y ＝2xsin x 4x ＋1C ．y ＝(x 2－2x )e xD ．y ＝xln x答案 C解析 A 中，∵y ＝2x －x 2－1＝2x －(x 2＋1)，当x 趋向于－∞时，2x 的值趋向于0，x2＋1的值趋向于＋∞，∴当x 趋向于－∞时，函数y ＝2x－x 2－1的值趋向于－∞，∴A 中的函数不符合；B 中，当x >0时，y ＝2xsin x 4x ＋1有无数个零点，与图象不符合；D 中，y ＝xln x 的定义域是(0,1)∪(1，＋∞)，∴D 中函数不符合．故选C.题型3 函数图象的应用角度1 利用函数图象求解不等式(多维探究)典例 (2015·北京高考)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1<x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1<x ≤1}D ．{x |－1<x ≤2}将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．答案 C解析 作出函数y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图所示．其中函数f (x )与y ＝log 2(x ＋1)的图象的交点为D (1,1)，结合图象可知f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}．故选C.[条件探究] 若本典例中条件变为：关于x 的不等式f (x )≥log 2(x ＋a )在x ∈(－1,2]时恒成立，试求实数a 的取值范围．解 在同一坐标系中分别作出f (x )和y ＝log 2(x ＋a )的图象，若要使f (x )≥log 2(x ＋a )在(－1,2]上恒成立，只需y ＝f (x )的图象在x ∈(－1,2]时恒在y ＝log 2(x ＋a )的图象上方即可．则需－a ≥1，即a ≤－1.所以实数a 的取值范围为(－∞，－1]． 角度2 利用函数图象研究方程根的个数典例 (2017·安阳月考)设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数，当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0，则函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为( )A ．2B ．4C ．5D ．8函数的零点转化为两函数的交点，再利用数形结合求解．答案 B解析 ∵f (x )是最小正周期为2π的偶函数，∴f (x ＋2π)＝f (x )＝f (－x )，∴y ＝f (x )的图象关于y 轴和直线x ＝π对称，又∵0<x <π2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0，∴0<x <π2时，f ′(x )<0.同理，π2<x <π时，f ′(x )>0.又∵0≤x ≤π时，0<f (x )<1，∴y ＝f (x )的大致图象如图所示．又函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数⇔函数y ＝f (x )与y ＝sin x 图象的交点个数，由图可知共有四个交点．故选B.方法技巧函数图象应用的常见题型及求解策略1．利用函数图象研究参数的取值范围时，将构造的函数图象在同一坐标系内作出，利用数形结合思想，动态地思考问题，求解参数的取值范围．2．利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．3．利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．冲关针对训练1．(2018·长春检测)函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为( )A．3 B．2C．1 D．0答案 B解析在同一直角坐标系下画出函数f(x)＝2ln x与函数g(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1的图象，如图所示．∵f (2)＝2ln 2>g (2)＝1，∴f (x )与g (x )的图象的交点个数为2.故选B.2．已知直线y ＝kx (k ∈R )与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x(x ≤0)，12x 2＋2(x >0)的图象恰有三个不同的公共点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(2，＋∞)答案 D解析 由图可知，当y ＝kx 在第一象限与f (x )相切时，有两个交点，即当x >0时，y ＝kx 与y ＝12x 2＋2有一个交点，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝12x 2＋2⇒12x 2－kx ＋2＝0，x >0时，Δ＝0，∴k ＝2.要使y ＝kx 与函数f (x )的图象有三个交点，所以k 的取值范围为(2，＋∞)．故选D.1.(2017·浙江高考)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 D解析 观察导函数f ′(x )的图象可知，f ′(x )的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，所以对应函数f (x )的增减性从左到右依次为减、增、减、增．观察选项可知，排除A ，C.如图所示，f ′(x )有3个零点，从左到右依次设为x 1，x 2，x 3，且x 1，x 3是极小值点，x 2是极大值点，且x 2>0，故选项D 正确．故选D.2．(2017·湖北百所重点学校联考)函数y ＝x 2ln |x ||x |的图象大致是( )答案 D解析 从题设提供的解析式中可以看出x ≠0，且当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝1＋ln x ，可知函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增．故选D. 3．(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )答案 B解析 当点P 与C ，D 重合时，易求得PA ＋PB ＝1＋5；当点P 为DC 的中点时，有OP ⊥AB ，则x ＝π2，易求得PA ＋PB ＝2PA ＝2 2.显然1＋5>22，故当x ＝π2时，f (x )没有取到最大值，则C ，D 两项错误；又当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，不是一次函数，排除A.故选B.4．(2016·山东高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．答案 (3，＋∞)解析 f (x )的大致图象如图所示，要满足存在b ∈R ，使得方程f (x )＝b 有三个不同的根，只需4m －m 2<m ，又m >0，所以m >3.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．为了得到函数y ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图象，可以把函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象( )A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度答案 D解析 y ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1，故它的图象是把函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象向右平移1个单位长度得到的．故选D.2．(2017·山西太原二模)函数f (x )＝ln |x －1||1－x |的图象大致为( )答案 D解析 函数f (x )＝ln |x －1||1－x |的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且图象关于x ＝1对称，排除B ，C ；取特殊值，当x ＝12时，f (x )＝2ln 12<0.故选D.3．函数f (x )＝ln (x 2＋1)的图象大致是( )答案 A解析 依题意，得f (－x )＝ln (x 2＋1)＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，即函数f (x )的图象关于y 轴对称，故排除C ；因为函数f (x )过定点(0,0)，排除B ，D.故选A.4．(2017·乐山模拟)函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (π)＝( )A ．4B ．2 3C ．2 D. 3 答案 A解析 由函数的图象可得A ＝2，根据半个周期T 2＝12·2πω＝5π12＋π12，解得ω＝2.由图象可得当x ＝－π12时，函数无意义，即函数的分母等于零，即sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝0.再由|φ|<π2，可得φ＝π6，故函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴f (π)＝4.故选A.5．(2017·北京模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，2x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝k有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(0,1]答案 D解析 作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示：由图可知k ∈(0,1]．故选D.6．(2018·山东日照一模)现有四个函数①y ＝x sin x ，②y ＝x cos x ，③y ＝x |cos x |，④y ＝x ·2x的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是( )A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①答案 A解析 ①y ＝x sin x 在定义域上是偶函数，其图象关于y 轴对称；②y ＝x cos x 在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称；③y ＝x |cos x |在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称，且当x >0时，其函数值y ≥0；④y ＝x ·2x在定义域上为非奇非偶函数，且当x >0时，其函数值y >0，且当x <0时，其函数值y <0.故选A.7．(2015·浙江高考)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )答案 D解析 解法一：(性质＋特值排除法)该函数的定义域为[－π，0)∪(0，π]，显然定义域关于原点对称．函数y ＝x －1x是奇函数，y ＝cos x 为偶函数，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x 为奇函数，所以排除A ，B ；取x ＝π，则f (π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1πcos π＝－⎝⎛⎭⎪⎫π－1π<0，故排除C.故选D.解法二：(特值排除法)f (π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1πcos π＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1π<0，故可排除A 、C ；而f (－π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－1－π·cos(－π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1π>0，故排除B.故选D.8．(2017·达州期末)已知函数f (x )＝x cos x ，f ′(x )是f (x )的导数，同一坐标系中，f (x )和f ′(x )的大致图象是( )答案 C解析 由f (x )＝x cos x ，得f ′(x )＝cos x －x sin x ，当x ＝0时，f (0)＝0，f ′(0)＝1，排除B ，D ；当f ′(x )>0时，f (x )是增函数，曲线是上升的，f ′(x )<0时，f (x )是减函数，曲线是下降的，判断出C 是正确的，排除A.故选C.9．(2018·郑州模拟)函数y ＝11－x 的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 D解析 图象法求解．在同一坐标系中，分别作出函数y ＝11－x与y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象，y ＝－1x －1的对称中心是(1,0)，也是y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的中心，当－2≤x ≤4它们的图象在x ＝1的左侧有4个交点，则x ＝1右侧必有4个交点．不妨把它们的横坐标由小到大设为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，x 8，则x 1＋x 8＝x 2＋x 7＝x 3＋x 6＝x 4＋x 5＝2.故选D.10．(2017·杭州五校联盟诊断)若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1，x >0，－ln (－x )，x <0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D ．(0，＋∞)答案 B解析 依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y ＝f (x )的图象上，且关于坐标原点对称． 可作出函数y ＝－ln (－x )(x <0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象， 使它与直线y ＝kx －1(x >0)的交点个数为2即可．当直线y ＝kx －1与y ＝ln x 的图象相切时，设切点为(m ，ln m )， 又y ＝ln x 的导数为y ′＝1x，则km －1＝ln m ，k ＝1m，解得m ＝1，k ＝1，可得函数y ＝ln x (x >0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1，结合图象可知k ∈(0,1)时两函数图象有两个交点．故选B.二、填空题11．(2018·咸阳模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．答案 5解析 由2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1作出函数y ＝f (x )的图象．由图象知y ＝12与y ＝f (x )的图象有2个交点，y ＝1与y ＝f (x )的图象有3个交点．因此函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点有5个．12．设函数f (x )，g (x )的定义域分别为F ，G ，且F G .若对任意的x ∈F ，都有g (x )＝f (x )，则称g (x )为f (x )在G 上的一个“延拓函数”．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x (x ≤0)，若g (x )为f (x )在R 上的一个延拓函数，且g (x )是偶函数，则函数g (x )的解析式为________．答案 g (x )＝2|x |解析 画出函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ≤0)的图象关于y 轴对称的这部分图象，即可得到偶函数g (x )的图象，由图可知：函数g (x )的解析式为g (x )＝2|x |.13．(2018·南昌大联考)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析 先画出y ＝x 2－2x ＋12在区间[0,3)上的图象，再将x 轴下方的图象对称到x 轴上方，利用周期为3，将图象平移至区间[－3,4]内，即得f (x )在区间[－3,4]上的图象如图所示，其中f (－3)＝f (0)＝f (3)＝0.5，f (－2)＝f (1)＝f (4)＝0.5.函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)等价于y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有10个不同的交点，由图象可得a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.14．(2017·湖北百所重点学校联考)设函数f (x )对任意实数x 满足f (x )＝－f (x ＋1)，且当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，若关于x 的方程f (x )＝kx 有3个不同的实数根，则k 的取值范围是________．答案 (5－26，1)∪{－3＋22}解析 因f (x )＝－f (x ＋1)，故f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )是周期为2的周期函数，画出函数y ＝f (x )，x ∈[0,1]的图象，再借助函数满足的条件f (x )＝－f (x ＋1)及周期性，画出函数y ＝f (x )的图象如图，易知仅当直线y ＝kx 位于l 1与l 2之间(不包括l 1，l 2)或与l 3重合时满足题意，对y ＝x (1－x )求导得y ′＝1－2x ，y ′|x ＝0＝1，∴l 2的斜率为1.以下求l 3的斜率：当1≤x ≤2时，易得f (x )＝－f (x －1)＝－(x －1)[1－(x －1)]＝x 2－3x ＋2，令x 2－3x ＋2－kx ＝0，得x 2－(3＋k )x ＋2＝0，令Δ＝(3＋k )2－8＝0，解得k ＝－3±22，由此易知l 3的斜率为－3＋2 2.同理，由2≤x ≤3时，f (x )＝－x 2＋5x －6，可得l 1的斜率为5－2 6.综上，5－26<k <1或k ＝－3＋22，故应填(5－26，1)∪{－3＋22}．三、解答题15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象； (2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值．解 (1)函数f (x )的图象如图所示．(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，0]，[2,5]． (3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3. 16．已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|. (1)作出函数f (x )的图象；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．解 (1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1<x <3，∴f (x )的图象如图所示．(2)由函数的图象可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2,3)，(1,2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3)是减区间；(1,2]，[3，＋∞)是增区间．(3)由f (x )的图象知，当0<m <1时，f (x )＝m 有四个不相等的实根，所以M ＝{m |0<m <1}．。
考点07+函数的图象-高考数学(理)提分必备30个黄金考点+Word版含解析
【考点剖析】1.命题方向预测：从近几年的高考试题来看，主要考查图象的辨识以及利用图象研究函数的性质、方程及不等式的解，多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题，主要考查基本初等函数的图象及应用. 预测2019年高考对本节内容的考查仍将以函数图象识别与函数图象的应用为主，依然体现“有图考图”“无图考图”的原则，题型仍为选择题或填空题的形式．备考时要求熟练掌握各种基本初等函数的图象及性质，增强函数性质的应用意识，另外还应熟练掌握各种图象变换的法则. 2.课本结论总结：（1）画函数图象的一般方法①描点法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出，其步骤为：先确定函数的定义域，化简给定的函数解析式，再根据化简后的函数解析式研究函数的值域、单调性、奇偶性、对称性、极值、最值，再根据函数的特点取值、列表，描点，连线，注意取点，一定要包括关键点，如极值点、与轴的交点等．②图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． （2）常见的图象变换 ①平移变换：左右平移：函数的图象可由函数的图象向左（+）或向右（—）平移个单位得到；上下平移：（）的图象可由函数的图象向上（+）或向下（—）平移个单位得到； ②伸缩变换函数是将函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的得到；x ()(0)y f x h h =±>()y f x =h ()y f x b =±0b >()y f x =b ()(0)y f x ωω=>()y f x =1ω函数是将函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍的得到； ③对称变换函数图象关于轴对称得到函数图象； 函数图象关于轴对称得到函数图象； 函数图象关于原点对称得到函数图象；函数图象关于直线对称得到函数为图象． ④翻折变换函数的图象这样得到：函数在轴右侧的图象保持不变，左侧的图象去掉后，再将右侧的图象翻折到轴左侧（函数为偶函数，其图象关于轴对称）; 函数的图象是这样得到的：函数在轴上方的图象保持不变，把下方的图象关于轴对称到上方（注意到函数的函数值都大于零）． 3.名师二级结论： （1）函数图象的几个应用①判断函数的奇偶性、确定单调区间：图象关于原点对称是奇函数，图象关于y 轴对称是偶函数.图象从左到右上升段对应的的取值范围是增区间，下降对应的的取值范围是减区间. ②方程的根就是函数与函数图象交点的横坐标.③不等式的解集是函数的图象在函数图象上方的一段对应的的取值范围（交点坐标要通过解方程求得） （2）函数的图象的对称性①若函数关于对称对定义域内任意都有=对定义域内任意都有=是偶函数；②函数关于点（，0）对称对定义域内任意都有=－=－是奇函数；()(0)y Af x A =>()y f x =()y f x =x ()y f x =-()y f x =y ()y f x =-()y f x =()y f x =--()y f x =x a =(2)y f a x =-(||)y f x =()y f x =y y (||)y f x =y |()|y f x =()y f x =x x |()|y f x =x x ()()f x g x =()y f x =()y g x =()()f x g x >()y f x =()y g x =x ()y f x =)(x f y =x a =⇔x ()f a x +()f a x -⇔x ()f x (2)f a x -⇔()y f x a =+)(x f y =a ⇔x ()f a x -()f a x +⇔(2)f a x -()f x ⇔()y f x a =+③若函数对定义域内任意都有,则函数的对称轴是； ④若函数对定义域内任意都有,则函数的对称轴中心为； ⑤函数关于对称.(3) 明确函数图象形状和位置的方法大致有以下三种途径． ①图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换． ②函数解析式的等价变换． ③研究函数的性质． 4.考点交汇展示：例1.函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A ），， （B ），， （C ），， （D ），，【答案】C例2.【2018年浙江卷】函数y =2|x|sin2x 的图象可能是)(x f y =x )()(x b f a x f -=+)(x f 2ba x +=)(x f y =x ()()f x a f b x +=--)(x f (,0)2a b+(||)y f x a =-x a =()()2ax bf x x c +=+0a >0b >0c <0a <0b >0c >0a <0b>0c <0a <0b <0c <A. B.C. D. 【答案】D例3.【2018年理新课标I卷】已知函数f(x)={e x，x≤0，lnx，x>0，g(x)=f(x)+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【答案】C【解析】画出函数f(x)的图像，y=e x在y轴右侧的去掉，再画出直线y=−x，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程f(x)=−x−a有两个解，也就是函数g(x)有两个零点，此时满足−a≤1，即a≥−1，故选C.例4【2018年高考专家猜题卷】已知函数f(x)=e x−x2+2x，g(x)=lnx−1x +2，ℎ(x)=1x−x−2，且−1<x<3，若f(a)=g(b)=ℎ(c)=0，则实数a，b，c的大小关系是（）A．a<b<c B．b<a<c C．a<c<b D．c<b<a【答案】C【解析】同一坐标系内，分别作出函数y=e x,y=x2−2x,y=lnx,y=1x−2,y=x的图象，如图，即a,b,c分别是图中点A,C,B的横坐标，由图象可得，∴a<c<b，故选C.【考点分类】考向一函数图象的识别1.已知函数f(x)={2x (x≤1)log12x (x>1)，则函数y=f(1−x)的大致图象是（）A． B．C． D．【答案】D2.【2018届河南省郑州外国语学校第十五次调研】已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（）A．y=x2xB．y=2x−2 C．y=e x−|x| D．y=2|x|−x2【答案】D【解析】分析：由函数图象可知，函数图象关于y轴对称，可得函数是偶函数，逐一判断选项中函数的奇偶性即可的结果.3.【2018届山东省潍坊市青州市三模】函数f(x)=(e x−e−x)cosx在区间[−5,5]上的图象大致为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】当x∈[0,5]时，由f(x)=(e x−e−x)cosx=0，可得函数的零点为0,π2,3π2，可排除选项A,D；当x=π时，f(π)=−eπ+e−π<0，对应点在x轴下方，可排除选项C，故选B.【方法规律】 1.识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题．(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题．(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题.（4）利用函数本身的性能或特殊点（与、轴的交点，最高点、最低点等）进行排除验证. 2.函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复． 利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项． 【解题技巧】函数图象的分析判断主要依据两点：一是根据函数的性质，如函数的奇偶性、单调性、值域、定义域等； 二是根据特殊点的函数值，采用排除的方法得出正确的选项． 【易错点睛】1.函数图象左右平移平移的长度单位是加在上，而不是加在上，处理左右平移问题要注意平移方向与平移的长度单位.2.在图象识别中忽视函数的定义域或有关性质分析不到位导致解题出错.例 已知定义域为[0,1]上的函数图象如下图左图所示，则函数的图象可能是（ ）x y x x ω()f x (1)f x -+【错解】先将的图象沿y 轴对折得到的图象，再将所得图象向左平移1个长度单位就得到函数的图象，故选A.【错因分析】没有掌握图象变换，图象平移长度单位是加在上，而不是加在上，本例因=，故先做对称变换后，应向右平移1长度单位.【预防措施】先将所给函数化为形式，若先做伸缩变换，再作平移变换，注意平移方向和平移单位.【正解】因=,先将的图象沿y 轴对折得到的图象，再将所得图象向右平移1个长度单位就得到函数的图象，故选B.考向2 函数图象的应用1.【2018届河北省衡水中学6月1日适应性训练】已知实数a,b,c ，2a =−log 2a ，(12)b =−log 12b ，(12)c=c −23，则（ ）A ． b >c >aB ． c >b >aC ． b >a >cD ． c >a >b 【答案】C 【解析】()f x ()f x -(1)f x -+x x ω(1)f x -+[(1)]f x --[()]f x a ω+(1)f x -+[(1)]f x --()f x ()f x -(1)f x -+y=x−23的图象，结合图象，得：b＞a＞c．故选：C．2.【2018届二轮优选整合】若函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点M、N关于原点对称，则称点对(M，N)是函数y＝f(x)的一对“和谐点对”(点对(M，N)与(N，M)看作同一对“和谐点对”)．已知函数f(x)＝{e x,x<0,x2−4x,x≥0,则此函数的“和谐点对”有( )A． 1对 B． 2对 C． 3对 D． 4对【答案】B【解析】作出f(x)={e x,x<0,x2−4x,x≥0,的图象如图所示，3.【2019届安徽省肥东县高级中学8月调研】已知函数f(x)={x+1x−1,x>12−e x,x≤1，若函数g(x)=f(x)−m(x−1)有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．(−2,0)B．(−1,0)C．(−2,0)∪(0,+∞)D．(−1,0)∪(0,+∞)【答案】D【解析】若函数g(x)=f(x)−m(x−1)有两个零点，则函数f(x)的图象与y=m（x−1）有且仅有两个交点，在同一坐标系内画出函数f(x)的图象与y=m（x−1）的图象如下：【方法规律】1．研究函数的性质时一般要借助函数图象，体现了数形结合思想． 2．有些不等式问题常转化为两函数图象的上、下关系来解． 3．方程解的个数常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题来求解． 【解题技巧】1.为了更好的利用函数图象解题，准确的作出函数的图象是解题关键，要准确的作出图象必须做到以下两点：(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数 函数、对数函数、幂函数、形如的函数； (2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程.2．利用函数的图象研究函数的性质从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 3．利用函数的图象研究方程根的分布或求根的近似解1y x x=+对所给的方程进行变形，转化为两个熟悉的函数的交点问题，作出这两个函数的图象，观察出交点个数即为方程解的个数，或找出解所在的区间或结合图象由解的个数找出参数满足的条件，从而求出参数的范围或参数的值． 【易错点睛】一个函数的图象关于原点(y 轴)对称与两个函数的图象关于原点(y 轴)对称不同，前者是自身对称，且为奇(偶)函数，后者是两个不同的函数对称．例 已知函数的定义域为R ，则函数与函数的图象关于（ ） A ．直线=0对称 B.直线=0对称 C.直线对称 D.直线=2对称 【错解】∵函数定义在实数集上，且， ∴函数的图象关于直线=0对称，故选B.【错因分析】错用函数自身对称的结论处理两个函数对称问题.【预防措施】首先分析要解决的对称问题是自身的对称问题还是两个函数的对称问题，其次要掌握判断函数自身对称的方法和判断两个函数对称的方法.【正解】函数的图象是将函数的图象向右平移2个单位得到， 而函数=的图象是先将的图象关于=0对称变换得到的图象，再将的图象向右平移2个单位得到，因此函数与函数关于=2对称，故选D.【热点预测】1.【2018届甘肃省天水市第一中学高三上第一次月考】函数的大致图像为( )A. B.()y f x =(2)y f x =-(2)y f x =-y x 2y =x (2)(2)f x f x -=-()y f x =x (2)y f x =-()y f x =(2)y f x =-[(2)]f x --()y f x =x ()y f x =-()y f x =-(2)y f x =-(2)y f x =-x ()ln 1y x =-C. D.【答案】C【解析】∵函数y=ln(1−x)的定义域为{x|x<1}，故可排除A，B；又y=1−x为(−∞,1)上的减函数，y=lnx为增函数，∴复合函数y=ln(1−x)为(−∞,1)上的减函数，排除D；故选C.(ω>0,0<φ<π,a∈R)，在2.【2018届河北省武邑中学四模】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)aπ|x|[−3,3]的大致图象如图所示，则ω可取（）aA．πB．π C．2π D．4π2【答案】B【解析】3.【2018届北京市十一学校三模】下列函数图象不是轴对称图形的是（ ） A ． y =1x B ． y =√x C ． y =cosx,x ∈[0,2π] D ． y =lg |x | 【答案】B【解析】分析：根据常见函数的图象即可判断.解析：对A ，y =1x 为轴对称图形，其对称轴为y=x 或y=-x ； 对B ，y =√x 不是轴对称图形；对C ，y =cosx 在x ∈[0,2π]为轴对称图形，对称轴为x =π； 对D ，y =lg |x |为轴对称图形，其对称轴为x=0. 故选：B.4.【2018届湖南省张家界市三模】在同一直角坐标系中，函数， （，且）的图象大致为（ ）()2f x ax =-()()log 2a g x x =+0a >1a ≠A ．B ．C ．D ．【答案】A5.偶函数满足,且在时，，则关于的方程在上的根的个数是A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】【解析】由题意可得，.即函数为周期为的周期函数，又是偶函数，所以，在同一坐标系内，画出函数，的图象，观察它们在区间的交点个数，就是方程在上根的个数，结合函数图象的对称性，共有个交点，故选.)(x f )1()1(+=-x f x f ]1,0[∈x 2)(x x f =x xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=101)(]3,2[-C (2)()f x f x +=()f x 2()f x ()f x ||1()10x y =]3,2[-xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=101)(]3,2[-5C6.【2018届山东省滕州市第三中学高三一轮复习】已知函数f（x）= ，若关于x的方程f（f（x））=a存在2个实数根，则a的取值范围为（）A. [﹣24，0）B. （﹣∞，﹣24）∪[0，2）C. （﹣24，3）D. （﹣∞，﹣24]∪[0，2]【答案】B,7.【2018届四川省成都市第七中学三诊】定义函数f(x)={4−8|x−32|,1≤x≤212f(x2),x>2，则函数g(x)=xf(x)−6在区间[1,2n]（n∈N∗）内所有零点的和为（）A．n B．2n C．34(2n−1) D．32(2n−1)【答案】D 【解析】3,1 {2,1 x x xx x->+≤然后再作出函数y=6x的图象，结合图象可得两图象的交点在函数y=f(x)的极大值的位置，由此可得函数g(x)在区间(2n−1,2n)上的零点为x n=2n−1+2n2=34⋅2n，故所有零点之和为S n=34⋅2(1−2n)1−2=3(2n−1)2．故选D．8.【2019届湖南省长郡中学第一次月考】若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x)且x∈[0,1]时，f(x)=x，则方程f(x)=log3|x|的零点个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【解析】因为数f(x)满足f(x+2)=f(x)，所以周期T=2当x∈[0,1]时，f(x)=x，且f(x)为偶函数，所以函数图像如下图所示9.【2018年高考专家猜题卷】已知函数f(x)=e x−x2+2x，g(x)=lnx−1x +2，ℎ(x)=1x−x−2，且−1<x<3，若f(a)=g(b)=ℎ(c)=0，则实数a，b，c的大小关系是（）A．a<b<c B．b<a<c C．a<c<b D．c<b<a【答案】C【解析】同一坐标系内，分别作出函数y=e x,y=x2−2x,y=lnx,y=1x−2,y=x的图象，如图，可得a是y=e x,y=x2−2x图象交点横坐标；b是y=lnx,y=1x−2图象交点横坐标；c是y=1x−2,y=x图象交点横坐标；即a,b,c分别是图中点A,C,B的横坐标，由图象可得，∴a<c<b，故选C.10.【2018届宁夏石嘴山市第三中学四模】对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝{a2−ab,a≤b b2−ab,a>b,设f (x)＝(x－4)*(74x−4)，若关于x的方程|f (x)－m|＝1(m∈R)恰有四个互不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．【答案】(－1,1)∪(2,4)【解析】解不等式x﹣4≤74x﹣4得x≥0，f（x）={−34x2+3x，x≥02116x2−3x，x＜0，画出函数f（x）的大致图象如图所示．故答案为（﹣1，1）∪（2，4）．10.【2018届山东省临沂市沂水县第一中学三轮】已知定义在R 上，且周期为2的函数f (x )满足f (x )={3−2x 2,−1≤x <02x 2+3,0≤x <1，若函数g (x )=f (x )−kx −3有3个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ． (−23,−25)∪(23,2)B ． (−23,−25)∪(25,23)C ． (−2,−23)∪(23,2)D ． (−2,−23)∪(25，23)【答案】C【解析】先画出函数f(x)在一个周期[-1,1]上的图像，再把函数的图像按照周期左右平移得到函数f(x)在原点附近的图像，如图所示，故答案为：C.11.【2018届湖北省宜昌市一中考前训练2】定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (x )=f (4−x )=f (x −4)，当x ∈[0,2]时，f (x )=3x +x −1，则函数g (x )=f (x )−|log 2(x −1)|的零点个数为__________．【答案】512.【解析】12.已知函数，设，若，则的取值范围是 .【答案】．1()122x x f x +⎧⎪=⎨-⎪⎩(01)(1)x x ≤<≥0a b >≥()()f a f b =()b f a ⋅3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】由函数，作出其图象如下图，因为函数在和上都是单调函数，所以，若满足时，，必有，，由图可知，使的，，由不等式的可乘积性得：，故答案为．13.已知函数，则方程恰有两个不同实数根时，实数的取值范围是 .【答案】1()122x x f x +⎧⎪=⎨-⎪⎩(01)(1)x x ≤<≥()f x [)0,1[)1,+∞0a b >≥()()f a f b =[)0,1b ∈[)1,a ∈+∞()()f a f b =1,12b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()3,22f a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭3(),24b f a ⎡⎫⋅∈⎪⎢⎣⎭3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭11,1()10ln 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩()f x ax =a 211(1,0][,)10e-14.【2018届宁夏银川一中高三上第二次月考】已知f(x)={1−2x−x2,x≤0|log2x|,x≥0若关于x的方程f(x)=a有四个实根x1,x2,x3,x4，则四根之和x1+x2+x3+x4的取值范围_________【答案】[12,9 4 )【解析】设x1<x2<x3<x4,则有图得x1+x2=−2,−log2x3=log2x4⇒x3x4=1,x4∈[2,4)从而x1+x2+x3+x4=−2+x4+1x4∈[−2+2+12,−2+4+14)=[12,94).。
2019届高考数学提分必备30个黄金考点专题07函数的图象学案文
专题07 函数的图象【考点剖析】1.命题方向预测：从近几年的高考试题来看，主要考查图象的辨识以及利用图象研究函数的性质、方程及不等式的解，多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题，主要考查基本初等函数的图象及应用.预测2019年高考对本节内容的考查仍将以函数图象识别与函数图象的应用为主，依然体现“有图考图”“无图考图”的原则，题型仍为选择题或填空题的形式．备考时要求熟练掌握各种基本初等函数的图象及性质，增强函数性质的应用意识，另外还应熟练掌握各种图象变换的法则. 2.课本结论总结：（1）画函数图象的一般方法①描点法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出，其步骤为：先确定函数的定义域，化简给定的函数解析式，再根据化简后的函数解析式研究函数的值域、单调性、奇偶性、对称性、极值、最值，再根据函数的特点取值、列表，描点，连线，注意取点，一定要包括关键点，如极值点、与x 轴的交点等．②图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． （2）常见的图象变换 ①平移变换：左右平移：函数()(0)y f x h h =±>的图象可由函数()y f x =的图象向左（+）或向右（—）平移h 个单位得到；上下平移：()y f x b =±（0b >）的图象可由函数()y f x =的图象向上（+）或向下（—）平移b 个单位得到； ②伸缩变换函数()(0)y f x ωω=>是将函数()y f x =图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω得到； 函数()(0)y Af x A =>是将函数()y f x =图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍的得到； ③对称变换函数()y f x =图象关于x 轴对称得到函数()y f x =-图象； 函数()y f x =图象关于y 轴对称得到函数()y f x =-图象； 函数()y f x =图象关于原点对称得到函数()y f x =--图象；函数()y f x =图象关于直线x a =对称得到函数为(2)y f a x =-图象． ④翻折变换函数(||)y f x =的图象这样得到：函数()y f x =在y 轴右侧的图象保持不变，左侧的图象去掉后，再将右侧的图象翻折到y 轴左侧（函数(||)y f x =为偶函数，其图象关于y 轴对称）;函数|()|y f x =的图象是这样得到的：函数()y f x =在x 轴上方的图象保持不变，把下方的图象关于x 轴对称到上方（注意到函数|()|y f x =的函数值都大于零）． 3.名师二级结论： （1）函数图象的几个应用①判断函数的奇偶性、确定单调区间：图象关于原点对称是奇函数，图象关于y 轴对称是偶函数.图象从左到右上升段对应的x 的取值范围是增区间，下降对应的x 的取值范围是减区间. ②方程()()f x g x =的根就是函数()y f x =与函数()y g x =图象交点的横坐标.③不等式()()f x g x >的解集是函数()y f x =的图象在函数()y g x =图象上方的一段对应的x 的取值范围（交点坐标要通过解方程求得） （2）函数()y f x =的图象的对称性①若函数)(x f y =关于x a =对称⇔对定义域内任意x 都有()f a x +=()f a x -⇔对定义域内任意x 都有()f x =(2)f a x -⇔()y f x a =+是偶函数；②函数)(x f y =关于点（a ，0）对称⇔对定义域内任意x 都有()f a x -=－()f a x +⇔(2)f a x -=－()f x ⇔()y f x a =+是奇函数；③若函数)(x f y =对定义域内任意x 都有)()(x b f a x f -=+,则函数)(x f 的对称轴是2ba x +=； ④若函数)(x f y =对定义域内任意x 都有()()f x a fb x +=--,则函数)(x f 的对称轴中心为(,0)2a b+；⑤函数(||)y f x a =-关于x a =对称.(3) 明确函数图象形状和位置的方法大致有以下三种途径．①图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换． ②函数解析式的等价变换． ③研究函数的性质． 4.考点交汇展示： (1)与参数范围问题交汇 例1.函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A ）0a >，0b >，0c < （B ）0a <，0b >，0c >（C ）0a <，0b >，0c < （D ）0a <，0b <，0c <【答案】C(2)与函数性质交汇例2.【2018年浙江卷】函数y =sin2x 的图象可能是A. B.C. D.【答案】D(3)与函数零点问题交汇例3.【2018届重庆市綦江中学高三高考适应性考试】已知函数若关于的方程恰有两个不同的实根，则实数的取值范围为A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，方程可化为，即，故或，可得，至少有一个根，记，显然函数在和上单调递增，只需函数的图象及直线有一个交点，由图可知，当或时，直线与函数的图象有一个交点；当时，直线与函数的图象有两个交点；当时直线与函数的图象有三个交点综上，当或时，方程有两个不同的实根，实数的取值范围为，故选B .（4）与不等式交汇例4【2018年高考专家猜题卷】已知函数，，，且，若，则实数，，的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】同一坐标系内，分别作出函数的图象，如图，【考点分类】考向一函数图象的识别1.已知函数，则函数的大致图象是（）A． B．C． D．【答案】D2.【2018届河南省郑州外国语学校第十五次调研】已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】分析：由函数图象可知，函数图象关于轴对称，可得函数是偶函数，逐一判断选项中函数的奇偶性即可的结果.详解：由函数图象可知，函数图象关于轴对称，函数是偶函数，对，，函数不是偶函数；对，，函数不是偶函数；对，，函数不是偶函数；对，，是偶函数，故选D.3.【2018届山东省潍坊市青州市三模】函数在区间上的图象大致为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【方法规律】1.识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题．(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题．(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题.（4）利用函数本身的性能或特殊点（与x、y轴的交点，最高点、最低点等）进行排除验证.2.函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项． 【解题技巧】函数图象的分析判断主要依据两点：一是根据函数的性质，如函数的奇偶性、单调性、值域、定义域等； 二是根据特殊点的函数值，采用排除的方法得出正确的选项． 【易错点睛】1.函数图象左右平移平移的长度单位是加在x 上，而不是加在x ω上，处理左右平移问题要注意平移方向与平移的长度单位.2.在图象识别中忽视函数的定义域或有关性质分析不到位导致解题出错.例 已知定义域为[0,1]上的函数()f x 图象如下图左图所示，则函数(1)f x -+的图象可能是（ ）【错解】先将()f x 的图象沿y 轴对折得到()f x -的图象，再将所得图象向左平移1个长度单位就得到函数(1)f x -+的图象，故选A.【错因分析】没有掌握图象变换，图象平移长度单位是加在x 上，而不是加在x ω上，本例因(1)f x -+=[(1)]f x --，故先做对称变换后，应向右平移1长度单位.【预防措施】先将所给函数化为[()]f x a ω+形式，若先做伸缩变换，再作平移变换，注意平移方向和平移单位.【正解】因(1)f x -+=[(1)]f x --,先将()f x 的图象沿y 轴对折得到()f x -的图象，再将所得图象向右平移1个长度单位就得到函数(1)f x -+的图象，故选B.考向2 函数图象的应用1.【2018届河北省衡水中学6月1日适应性训练】已知实数，，，，则（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】2.【2018届二轮优选整合】若函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点M、N关于原点对称，则称点对(M，N)是函数y＝f(x)的一对“和谐点对”(点对(M，N)与(N，M)看作同一对“和谐点对”)．已知函数f(x)＝则此函数的“和谐点对”有( )A． 1对 B． 2对 C． 3对 D． 4对【答案】B【解析】作出的图象如图所示，由题意可得函数f(x)的“和谐点对”数即为函数和函数的图象的交点个数．由图象知，函数f(x)有2对“和谐点对”．3.【2019届安徽省肥东县高级中学8月调研】已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由图可得：当时，满足条件；由时与相切得：0时，满足条件；故，故选：D ． 【方法规律】1．研究函数的性质时一般要借助函数图象，体现了数形结合思想． 2．有些不等式问题常转化为两函数图象的上、下关系来解． 3．方程解的个数常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题来求解． 【解题技巧】1.为了更好的利用函数图象解题，准确的作出函数的图象是解题关键，要准确的作出图象必须做到以下两点：(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数 函数、对数函数、幂函数、形如1y x x=+的函数；(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程.2．利用函数的图象研究函数的性质从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．3．利用函数的图象研究方程根的分布或求根的近似解对所给的方程进行变形，转化为两个熟悉的函数的交点问题，作出这两个函数的图象，观察出交点个数即为方程解的个数，或找出解所在的区间或结合图象由解的个数找出参数满足的条件，从而求出参数的范围或参数的值． 【易错点睛】一个函数的图象关于原点(y 轴)对称与两个函数的图象关于原点(y 轴)对称不同，前者是自身对称，且为奇(偶)函数，后者是两个不同的函数对称．例 已知函数()y f x =的定义域为R ，则函数(2)y f x =-与函数(2)y f x =-的图象关于（ ） A ．直线y =0对称 B.直线x =0对称 C.直线2y =对称 D.直线x =2对称【错解】∵函数定义在实数集上，且(2)(2)f x f x -=-， ∴函数()y f x =的图象关于直线x =0对称，故选B.【错因分析】错用函数自身对称的结论处理两个函数对称问题.【预防措施】首先分析要解决的对称问题是自身的对称问题还是两个函数的对称问题，其次要掌握判断函数自身对称的方法和判断两个函数对称的方法.【正解】函数(2)y f x =-的图象是将函数()y f x =的图象向右平移2个单位得到，而函数(2)y f x =-=[(2)]f x --的图象是先将()y f x =的图象关于x =0对称变换得到()y f x =-的图象，再将()y f x =-的图象向右平移2个单位得到，因此函数(2)y f x =-与函数(2)y f x =-关于x =2对称，故选D.【热点预测】1.【2018届甘肃省天水市第一中学高三上第一次月考】函数()ln 1y x =-的大致图像为( )A. B.C. D.【答案】C2.【2018届河北省武邑中学四模】已知函数，在的大致图象如图所示，则可取（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】3.【2018届北京市十一学校三模】下列函数图象不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】分析：根据常见函数的图象即可判断.解析：对A，为轴对称图形，其对称轴为y=x或y=-x；对B，不是轴对称图形；对C，在为轴对称图形，对称轴为；对D，为轴对称图形，其对称轴为x=0.故选：B.4.【2018届湖南省张家界市三模】在同一直角坐标系中，函数()2f x ax =-， ()()log 2a g x x =+（0a >，且1a ≠）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A5.偶函数)(x f 满足)1()1(+=-x f x f ,且在]1,0[∈x 时，2)(x x f =，则关于x 的方程xx f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=101)(在]3,2[-上的根的个数是A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】C【解析】由题意可得，(2)()f x f x +=.即函数()f x 为周期为2的周期函数，又()f x 是偶函数， 所以，在同一坐标系内，画出函数()f x ，||1()10x y =的图象，观察它们在区间]3,2[-的交点个数，就是方程xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=101)(在]3,2[-上根的个数，结合函数图象的对称性，共有5个交点，故选C .6.【2018届山东省滕州市第三中学高三一轮复习】已知函数f（x）=3,1{2,1x x xx x->+≤，若关于x的方程f（f（x））=a存在2个实数根，则a的取值范围为（）A. [﹣24，0）B. （﹣∞，﹣24）∪[0，2）C. （﹣24，3）D. （﹣∞，﹣24]∪[0，2]【答案】B,7.【2018届四川省成都市第七中学三诊】定义函数，则函数在区间（）内所有零点的和为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得，故函数的零点即为函数和函数图象交点的横坐标．由可得，函数是以区间为一段，其图象为在水平方向上伸长为原来的2倍，同时在竖方向上缩短为原来的．从而先作出函数在区间上的图象，再依次作出在上的图象（如图）．8.【2019届湖南省长郡中学第一次月考】若定义在上的偶函数满足且时，，则方程的零点个数是（）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【解析】因为数满足，所以周期当时，，且为偶函数，所以函数图像如下图所示由图像可知，方程有四个零点所以选C9.【2018年高考专家猜题卷】已知函数，，，且，若，则实数，，的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】同一坐标系内，分别作出函数的图象，如图，10.【2018届宁夏石嘴山市第三中学四模】对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝,设f (x)＝(x－4)*，若关于x的方程|f (x)－m|＝1(m∈R)恰有四个互不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．【答案】(－1,1)∪(2,4)【解析】解不等式x﹣4≤﹣4得x≥0，f（x）=，画出函数f（x）的大致图象如图所示．10.【2018届山东省临沂市沂水县第一中学三轮】已知定义在上，且周期为2的函数满足，若函数有3个零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】先画出函数f(x)在一个周期[-1,1]上的图像，再把函数的图像按照周期左右平移得到函数f(x)在原点附近的图像，如图所示，11.【2018届湖北省宜昌市一中考前训练2】定义在实数集上的函数满足，当时，，则函数的零点个数为__________．【答案】.【解析】定义在上的函数，满足，上的偶函数，因为满足，函数为周期为的周期函数，且为上的偶函数，因为时，，所以，在上递增，且值域为根据周期性及奇偶性画出函数的图象和的图象，如图，根据的图象在上单调递增函数，当时，，当时，的图象与函数无交点，结合图象可知有个交点，故答案为.12.已知函数1()122xxf x+⎧⎪=⎨-⎪⎩(01)(1)xx≤<≥，设0a b>≥，若()()f a f b=，则()b f a⋅的取值范围是 . 【答案】3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭．13.已知函数11,1()10ln1,1x xf xx x⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩，则方程()f x ax=恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是 .【答案】211(1,0][,)10e-【解析】∵方程()f x ax=恰有两个不同实数根，∴()y f x=与y ax=有2个交点，∵a表示直线y ax=的斜率，∴'1yx=，设切点为00(,)x y，1kx=，所以切线方程为001()y y x xx-=-，而切线过原点，所以1y=，2x e=，21ke=，所以直线1l的斜率为21e，直线2l与1110y x=+平行，所以直线2l的斜率为110，所以当直线在1l和2l之间时,符合题意，所以实数a的取值范围是211[,)10e，还有一部分是在3l的位置向下旋转一直到转平为止都符合题意，这时实数a的取值范围是(1,0]-，所以综上所述，实数a的取值范围是211(1,0][,)10e-.14.【2018届宁夏银川一中高三上第二次月考】已知若关于的方程有四个实根，则四根之和的取值范围_________【答案】。
2019高考数学考点突破——函数的应用函数的图象学案
函数的图象【考点梳理】1．利用描点法作函数的图象 方法步骤：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)； (4)描点连线．2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )的图象―――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象；②y ＝f (x )的图象――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象；③y ＝f (x )的图象――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；④y ＝a x(a ＞0且a ≠1)的图象――――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象． (3)伸缩变换 ①y ＝f (x )的图象y ＝f (ax )的图象；②y ＝f (x )的图象―――――――――――――――――――――→a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a ，横坐标不变y ＝af (x )的图象． (4)翻转变换①y ＝f (x )的图象―――――――――――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象；②y ＝f (x )的图象―――――――――――――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象．【考点突破】考点一、作函数的图象【例1】作出下列函数的图象： (1)y ＝|lg(x －1)|；(2)y ＝2x ＋1－1；(3)y ＝x 2－|x |－2.[解析] (1)首先作出y ＝lg x 的图象C 1，然后将C 1向右平移1个单位，得到y ＝lg(x －1)的图象C 2，再把C 2在x 轴下方的图象作关于x 轴对称的图象，即为所求图象C 3：y ＝|lg(x －1)|.如图①所示(实线部分)．(2)y ＝2x ＋1－1的图象可由y ＝2x 的图象向左平移1个单位，得y ＝2x ＋1的图象，再向下平移一个单位得到，如图②所示．(3)y ＝x 2－|x |－2＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2x ≥0，x 2＋x －2x <0，其图象如图③所示．【类题通法】画函数图象的一般方法(1)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；(2)图象变换法．若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出． 【对点训练】分别画出下列函数的图象：(1)y ＝|log 2(x ＋1)|；(2)y ＝|x －1|，x ∈R ；(3)y ＝2x －1x －1.[解析] (1)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图①.(2)可先作出y ＝x －1的图象，将x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方，x 轴上方的图象保持不变可得y ＝|x －1|的图象．如图②中实线部分所示．(3)∵y ＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图③.① ② ③考点二、识图与辨图【例2】(1)函数y ＝ln |x |－x 2的图象大致为( )(2)如图，矩形ABCD 的周长为8，设AB ＝x (1≤x ≤3)，线段MN 的两端点在矩形的边上滑动，且MN ＝1，当N 沿A →D →C →B →A 在矩形的边上滑动一周时，线段MN 的中点P 所形成的轨迹为G ，记G 围成的区域的面积为y ，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )[答案] (1) A (2) D[解析] (1)函数y ＝ln |x |－x 2的定义域为{x |x ≠0}且为偶函数，所以排除选项B ，D.又当x >0时，y ＝ln x －x 2，y ′＝1x －2x ，令y ′＝0，解得x ＝22，或x ＝－22(舍去)．则当0<x <22时，函数y ＝ln |x |－x 2单调递增；当x >22时，函数y ＝ln |x |－x 2单调递减．故选A.(2)法一：由题意可知点P 的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为12的扇形．因为矩形ABCD 的周长为8，AB ＝x ， 则AD ＝8－2x2＝4－x ，所以y ＝x (4－x )－π4＝－(x －2)2＋4－π4(1≤x ≤3)，显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，且当x ＝2时，y ＝4－π4∈(3,4)，故选D.法二：在判断出点P 的轨迹后，发现当x ＝1时，y ＝3－π4∈(2,3)，故选D.【类题通法】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象． 【对点训练】1．函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]的图象大致为( )[答案] D[解析] ∵f (x )＝2x 2－e |x |，x ∈[－2，2]是偶函数，又f (2)＝8－e 2∈(0，1)，故排除A ，B.设g (x )＝2x 2－e x ，则g ′(x )＝4x －e x.又g ′(0)＜0，g ′(2)＞0，∴g (x )在(0，2)内至少存在一个极值点，∴f (x )＝2x 2－e |x |在(0，2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.2．如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )A B C D[答案] B[解析] 当点P 沿着边BC 运动，即0≤x ≤π4时，在Rt △POB 中，|PB |＝|OB |tan ∠POB ＝tan x ， 在Rt △PAB 中，|PA |＝|AB |2＋|PB |2＝4＋tan 2x ，则f (x )＝|PA |＋|PB |＝4＋tan 2x ＋tan x ，它不是关于x 的一次函数，图象不是线段，故排除A 和C ；当点P 与点C 重合，即x ＝π4时，由上得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝4＋tan2π4＋tan π4＝5＋1，又当点P 与边CD 的中点重合，即x ＝π2时，△PAO 与△PBO 是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝|PA |＋|PB |＝2＋2＝22，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，故又可排除D.综上，选B. 考点三、函数图象的应用【例3】已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0) [答案] C[解析] 将函数f (x )＝x |x |－2x去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．【类题通法】 研究函数性质：①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值．②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性． ④从图象与x 轴的交点情况，分析函数的零点等． 【对点训练】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)[答案] D[解析] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0的图象如图所示，由图象知只有D 正确．【例4】已知函数f (x )满足：①定义域为R ；②∀x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x )；③当x ∈[－1，1]时，f (x )＝－|x |＋1.则方程f (x )＝12log 2|x |在区间[－3，5]内解的个数是( )A ．5B ．6C ．7D ．8 [答案] A[解析] 依题意画出y ＝f (x )与y ＝12log 2|x |的图象如图所示，由图可知，解的个数为5.【类题通法】研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解． 【对点训练】已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．[答案] 5[解析] 方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或1.作出y ＝f (x )的图象，由图象知零点的个数为5.【例5】函数f (x )是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式f xcos x＜0的解集为________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎪⎫1，π2[解析] 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，y ＝cos x ＞0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4上，y ＝cos x ＜0.由f (x )的图象知在⎝⎛⎭⎪⎫1，π2上f x cos x ＜0，因为f (x )为偶函数，y ＝cos x 也是偶函数， 所以y ＝f xcos x为偶函数，所以f xcos x ＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.【类题通法】研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解． 【对点训练】如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( ) A ．{x |－1<x ≤0} B ．{x |－1≤x ≤1} C ．{x |－1<x ≤1} D ．{x |－1<x ≤2}[答案] C[解析] 令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )图象如图．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}．。
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题07三角函数图象与性质教学案文含解析
三角函数图象与性质【2019年高考考纲解读】1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点．【重点、难点剖析】 1．记六组诱导公式对于“k π2±α，k ∈Z 的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆，奇变偶不变，符号看象限．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )3.y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质(1)五点作图法：五点的取法，设X ＝ωx ＋φ，X 取0，π2，π，3π2，2π来求相应的x 值、y 值，再描点作图．(2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是φ，一般是从“五点法”中的第一点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口．(3)在用图象变换作图时，一般按照先平移后伸缩，但考题中也有先伸缩后平移的，无论是哪种变形，切记每个变换总对字母x 而言．(4)把函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后用基本三角函数的单调性求解时，要注意A ，ω的符号及复合函数的单调性规律：同增异减． 4．三角函数中常用的转化思想及方法技巧(1)方程思想：sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三者中，知一可求二． (2)“1”的替换：sin 2α＋cos 2α＝1. (3)切弦互化：弦的齐次式可化为切. 【题型示例】题型一、三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用【例1】(1)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若它的终边经过点P (2,1)，则tan 2α等于( ) A.43 B.12 C ．－12 D ．－43 答案 A解析 因为角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (2,1)， 所以tan α＝12，因此tan 2α＝2tan α1－tan2α＝11－14＝43.(2)已知曲线f (x )＝x 3－2x 2－x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－2cos 2α－3sin(2π－α)cos(π＋α)的值为( ) A.85 B ．－45 C.43 D ．－23 答案 A【变式探究】【2016高考新课标2文数】若，则（ ）（A ）（B ）（C ） （D ）【答案】D【解析】，且，故选D.【感悟提升】在单位圆中定义的三角函数，当角的顶点在坐标原点，角的始边在x 轴正半轴上时，角的终边与单位圆交点的纵坐标为该角的正弦值、横坐标为该角的余弦值．如果不是在单位圆中定义的三角函数，那么只要把角的终边上点的横、纵坐标分别除以该点到坐标原点的距离就可转化为单位圆上的三角函数定义．【举一反三】(2015·重庆，9)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin α·cos π5－cos αsin π5＝tan αtanπ5＋1tan αtanπ5－1＝2＋12－1＝3. 答案 C【变式探究】(1)已知cos π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．±34(2)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12【命题意图】(1)本题主要考查三角函数的诱导公式及同角基本关系式的应用． (2)本题是函数与三角运算问题，主要考查函数三要素及三角运算． 【答案】(1)B (2)A【解析】(1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，∴sin α＝－35，显然α在第三象限，∴cos α＝－45，故tan α＝34.故选B.(2)∵f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ， ∴f (x ＋2π)＝f (x ＋π)－sin x .∴f (x ＋2π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )． ∴f (x )是以2π为周期的周期函数． 又f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－12.∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12.故选A.【感悟提升】1．结合诱导公式与同角基本关系式化简求值的策略(1)切弦互换法．利用tan α＝sin αcos α进行转化．(2)和积转化法．利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α进行变形、转化． (3)常值代换法．其中之一就是把1代换为sin 2α＋cos 2α.同角三角函数关系sin 2α＋cos 2α＝1和tan α＝sin αcos α联合使用，可以根据角α的一个三角函数值求出另外两个三角函数值．根据tan α＝sin αcos α可以把含有sin α，cos α的齐次式化为tan α的关系式．2．化简求值时的“三个”防范措施 (1)函数名称和符号．利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数与锐角的三角函数，其步骤是：去负—脱周—化锐—求值．特别注意解题过程中函数名称和符号的确定． (2)开方．在利用同角三角函数的平方关系时若需开方，特别注意要根据条件进行讨论取舍． (3)结果整式化．解题时注意求值与化简的最后结果一般要尽可能化为整式．【变式探究】(1)已知α是第二象限角，其终边上一点P (x ，5)，且cos α＝24x ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝________.(2)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝________. 【解析】(1)由题意得cos α＝x 5＋x2＝24x ，解得x ＝3或x ＝－3，又α是第二象限角，∴x ＝－ 3.即cos α＝－64，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－64. (2)因为sin α＋cos α＝33，所以1＋2sin αcos α＝13，所以2sin αcos α＝－23<0，又因为α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，则sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝153，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－153×33＝－53. 【答案】(1)－64 (2)－53【规律方法】在利用诱导公式和同角三角函数关系时，一定要特别注意符号，在诱导公式中是“奇变偶不变，符号看象限”，在同角三角函数的平方关系中，开方后的符号也是根据角所在的象限确定的．题型二、三角函数的图象【例2】(2018·天津卷)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数________．(填序号) ①在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4上单调递增；②在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递减； ③在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，3π2上单调递增；④在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上单调递减． 答案 ①解析 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度后的解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10＋π5＝sin 2x ，则函数y ＝sin 2x 的一个单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4，一个单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，7π4.由此可判断①正确．【变式探究】(2016·高考全国甲卷)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3【举一反三】 (2015·山东，3)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位 D ．向右平移π3个单位解析 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，∴要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位． 答案 B【变式探究】(2015·湖南，9)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6解析 易知g (x )＝sin(2x －2φ)，φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，由|f (x 1)－f (x 2)|＝2及正弦函数的有界性知，①⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x1＝－1，sin （2x2－2φ）＝1或②⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x1＝1，sin （2x2－2φ）＝－1， 由①知⎩⎪⎨⎪⎧x1＝－π4＋k1π，k2＝π4＋φ＋k2π(k 1，k 2∈Z )，∴|x 1－x 2|min ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2＋φ＋（k2－k1）πmin ＝π3，由φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π2＋φ＝2π3，∴φ＝π6， 同理由②得φ＝π6.故选D.答案 D【举一反三】(1)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )(2)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度【命题意图】(1)本题主要考查函数的解析式及三角函数的图象，意在考查考生识图、用图的能力． (2)本题主要考查三角函数的图象，意在考查考生的函数图象的变换能力以及三角函数的运算能力． 【答案】(1)B (2)A【解析】(1)由题意知，f (x )＝|cos x |·sin x ， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝cos x ·sin x ＝12sin 2x ； 当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤π2，π时，f (x )＝－cos x ·sin x ＝－12sin 2x ，故选B. (2)y ＝sin 2x 的图象向左平移12个单位长度得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象，即函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，故选A. 【感悟提升】1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式的确定 (1)A 由最值确定，A ＝最大值－最小值2.(2)ω由周期确定．(3)φ由图象上的特殊点确定．提醒：根据“五点法”中的零点求φ时，一般先依据图象的升降分清零点的类型．2．作三角函数图象左、右平移变换时，平移的单位数是指单个变量x 的变化量，因此由y ＝sin ωx (ω>0)的图象得到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象时，应将图象上所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|ω个单位，而非|φ|个单位．题型三 三角函数的性质及其应用例3．设函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32(ω>0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4. (1)求ω的值；(2)若函数y ＝f (x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2是奇函数，求函数g (x )＝cos(2x －φ)在[0,2π]上的单调递减区间． 解 (1)f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32＝12sin 2ωx －3＋cos 2ω2＋32＝12sin 2ωx －32cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3，设T 为f (x )的最小正周期，由f (x )的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4，得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋[2f (x )max ]2＝π2＋4，∵f (x )max ＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋4＝π2＋4，整理得T ＝2π.又ω>0，T ＝2π2ω＝2π，∴ω＝12.(2)由(1)可知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，∴f (x ＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φ－π3. ∵y ＝f (x ＋φ)是奇函数，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π3＝0，又0<φ<π2，∴φ＝π3，∴g (x )＝cos(2x －φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.令2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z . 又∵x ∈[0,2π]，∴当k ＝0时，函数g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3；当k ＝1时，函数g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π6，5π3. ∴函数g (x )在[0,2π]上的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π6，5π3. 【方法技巧】函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用类题目的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式； 第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．【变式探究】(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【变式探究】【2016年高考四川文数】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动个单位长度 （B ）向右平行移动个单位长度 （C ）向左平行移动个单位长度 （D ）向右平行移动个单位长度【答案】D 【解析】由题意，为了得到函数，只需把函数的图像上所有点向右移个单位，故选D. 【举一反三】(2015·四川，4)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos x解析 A 选项：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，T ＝π，且关于原点对称，故选A. 答案 A【变式探究】函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C ．2π D ．4π解析 ∵T ＝2π2＝π，∴B 正确． 答案 B【举一反三】已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中错误的是( )A ．y ＝f (x )的图象关于(π，0)中心对称B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称 C ．f (x )的最大值为32D ．f (x )既是奇函数，又是周期函数解析 [对于A 选项，因为f (2π－x )＋f (x )＝cos(2π－x )·sin 2(2π－x )＋cos x sin 2x ＝－cos x sin 2x ＋cos x sin 2x ＝0，故y ＝f (x )的图象关于(π，0)中心对称，A 正确；对于B 选项，因为f (π－x )＝cos(π－x )sin 2(π－x )＝cos x sin 2x ＝f (x )，故y ＝f (x )的图象关于x ＝π2对称，故B 正确；对于C 选项，f (x )＝cos x sin 2x ＝2sin x cos 2x ＝2sin x (1－sin 2x )＝2sin x －2sin 3x ，令t ＝sin x ∈[－1，1]，则h (t )＝2t －2t 3，t ∈[－1，1]，则h ′(t )＝2－6t 2，令h ′(t )＞0解得－33＜t ＜33，故h (t )＝2t －2t 3，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33上递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－33与⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1上递减，又h (－1)＝0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫33＝439，故函数的最大值为43，故C错误；对于D选项，因为f(－x)＋f(x)＝－cos x sin 2x＋cos x sin 2x＝0，故是奇函数，又9f(x＋2π)＝cos(2π＋x)·sin 2(2π＋x)＝cos x sin 2x，故2π是函数的周期，所以函数既是奇函数，又是周期函数，故D正确．综上知，错误的结论只有C，故选C.答案 C。
最新2019年高考数学(文)热点题型和提分秘籍07 函数的图象(教学案)-最新(解析版)
1．在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数。
2．会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题。
热点题型一 作函数的图象例1、作出下列函数的图象。
(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12|x|；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝2x －1x －1。
解析：(1)作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x 图象中x≥0部分，加上y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x 的图象中x ＞0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12|x|的图象(图1)1 图2 3【提分秘籍】函数图象的画法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象。
(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象。
(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响。
【举一反三】作出下列函数的图象：(1)y ＝x 3|x|； (2)y ＝x ＋2x －1； (3)y ＝|log 2x －1|；(3)先作出y ＝log 2x 的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留x 轴上方的部分，将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方来，即得y ＝|log 2x －1|的图象，如图③所示。
学科#网热点题型二 函数图象的辨识例2、（2018年全国III 卷）函数的图像大致为[来源:学科网ZXXK]A. AB. BC. CD. D【答案】D 【解析】当时，，排除A,B.,当时，,排除C ，故正确答案选D.【变式探究】【2017课标1，文8】函数sin21cos x y x =-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】C【提分秘籍】 有关图象辨识问题的常见类型及解题思路(1)由实际情景探究函数图像：关键是将生活问题转化为我们熟悉的数学问题求解，但要注意实际问题中的定义域。
2019年高考数学总复习 专题2.7 函数的图象导学案 理
第七节 函数的图象最新考纲1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，并运用函数的图象解简单的方程(不等式)问题. 知识梳理1.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x(a >0且a ≠1)――――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． (3)伸缩变换①y ＝f (x )――――――――――――――――――→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a（a >0）倍y ＝f (ax ). ②y ＝f (x )――――――――――――――――→横坐标不变各点纵坐标变为原来的A (A >0)倍y ＝Af (x ).(4)翻转变换①y ＝f (x )的图象――――――――――――――――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象； ②y ＝f (x )的图象――――――――――――――――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象. 3．关于对称的三个重要结论(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图像关于直线x ＝a 对称． (2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图像关于点(a ，b )中心对称．(3)若函数y ＝f (x )对定义域内任意自变量x 满足：f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a 对称．其中(1)(2)为两函数间的对称，(3)为函数自身的对称． 4.易错防范（1）图象左右平移仅仅是相对x 而言的，即发生变化的只是x 本身，利用“左加右减”进行操作．如果x 的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．（2）图象上下平移仅仅是相对y 而言的，即发生变化的只是y 本身，利用“上加下减”进行操作．但平时我们是对y ＝f (x )中的f (x )进行操作，满足“上加下减”． (3)要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象对称的区别． 典型例题考点一 作函数的图象【例1】 作出下列函数的图象：(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|；(3)y ＝2x －1x －1；(4)y ＝x 2－2|x |－1.【解析】 (1)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图像，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x图像中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图像中x＞0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图像，如图(1)实线部分．(1) (2)(2)将函数y ＝log 2x 的图像向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图像，如图(2)． (3)∵y ＝2＋1x －1，故函数图像可由y ＝1x图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图(3)．(3) (4)(4)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x ＜0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图像，再根据对称性作出(－∞，0)上的图像，得图像如图(4)．规律方法 画函数图象的一般方法(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 【变式训练1】 分别画出下列函数的图象： (1)y ＝x －|x －1|； (2)y ＝|x 2－4x ＋3|； (3)y ＝eln x； (4)y ＝log 2|x －1|.【解析】(1)根据绝对值的意义，可将函数式化为分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥1，2x －1，x <1，可见其图象是由两条射线组成，如图(1)所示．(2)函数式可化为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≥3或x ≤1，－x 2＋4x －3，1<x <3，图象如图(2)所示．(3)因为函数的定义域为{x |x ＞0}， 且y ＝eln x＝x ，所以其图像如图（3）所示．图（3） 图（4）(4)作y ＝log 2|x |的图像，再将图像向右平移一个单位，如图（4），即得到y ＝log 2|x －1|的图像． 考点二 函数图象的辨识【例2】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]的图象大致为( )【答案】D(2)(2017·唐山模拟)函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 的图象是( )【答案】B【解析】因为x －1x>0，解得x >1或－1<x <0，所以函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 的定义域为(－1,0)∪(1，＋∞)．所以选项A ，C 不正确．当x ∈(－1,0)时，g (x )＝x －1x是增函数，因为y ＝ln x 是增函数，所以函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 是增函数．所以D 不正确，B 正确．（3）[2017·全国卷Ⅲ]函数y ＝1＋x ＋sin xx2的部分图象大致为( )【答案】 D【解析】 当x →＋∞时，sin x x 2→0,1＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋sin xx2→＋∞，故排除选项B.当0＜x ＜π2时，y ＝1＋x ＋sin xx 2＞0，故排除选项A ，C.故选D.规律方法 函数图像的辨识可从以下方面入手(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性； (4)从函数的周期性，判断图像的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图像．【变式训练2】 (1)函数y ＝log 2(|x |＋1)的图象大致是( )【答案】B【解析】y ＝log 2(|x |＋1)是偶函数，当x ≥0时，y ＝log 2(x ＋1)是增函数，且过点(0，0)，(1，1)，只有选项B 满足.(2)(2017·北京海淀区期末)函数y ＝f (x )的图像如图所示，则f (x )的解析式可以为( )A ．f (x )＝1x －x 2B ．f (x )＝1x－x 3C ．f (x )＝1x －e xD ．f (x )＝1x－ln x【答案】C【解析】由函数图像知，函数f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，A 中，∵f (－1)＝－2，f (－2)＝－92＜f (－1)，不满足题意；B 中，f (－1)＝0，不满足题意；C 中，易知函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减；D 中函数的定义域为(0，＋∞)，不满足题意，故选C ．(3)已知a 是常数，函数f (x )＝13x 3＋12(1－a )x 2－ax ＋2的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数g (x )＝|a x－2|的图象可能是( )【答案】D【解析】由f (x )＝13x 3＋12(1－a )x 2－ax ＋2，得f ′(x )＝x 2＋(1－a )x －a ，根据y ＝f ′(x )的图象知－1－a2>0，∴a >1. 则函数g (x )＝|a x－2|的图象是由函数y ＝a x的图象向下平移2个单位，然后将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方得到的，故选D.考点三 函数图象的应用 命题角度一 研究函数的零点【例3】 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________.【答案】 5【解析】 由2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1作出函数y ＝f (x )的图象.由图象知y ＝12与y ＝f (x )的图象有2个交点，y ＝1与y ＝f (x )的图象有3个交点.因此函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点有5个.命题角度二 求不等式的解集【例4】 函数f (x )是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式f （x ）cos x<0的解集为________. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2【解析】 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝cos x >0.当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，4时，y ＝cos x <0.结合y ＝f (x )，x ∈[0，4]上的图象知，当1＜x <π2时，f （x ）cos x <0.又函数y ＝f （x ）cos x为偶函数， ∴在[－4，0]上，f （x ）cos x <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1， 所以f （x ）cos x <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.命题角度三 求参数的取值或范围 【例5】)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，2x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是________． 【答案】 (0,1]【解析】 作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图像，如图所示，由图可知k ∈(0,1]．规律方法 (1)利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性.(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解.(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解. 【变式训练3】(1) 已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1)D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0) 【答案】 C【解析】 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1，1)上单调递减． (2)(2015·全国Ⅰ卷)设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则a ＝( ) A.－1 B.1C.2D.4【答案】B(3)已知函数y ＝f (x )的图象是圆x 2＋y 2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f (x )>f (－x )－2x 的解集是________.【答案】 (－1，0)∪(1，2]【解析】由图象可知，函数f (x )为奇函数，故原不等式可等价转化为f (x )>－x .在同一直角坐标系中分别画出y ＝f (x )与y ＝－x 的图象，由图象可知不等式的解集为(－1，0)∪(1，2].(4)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是__________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1【解析】 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图像，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.课堂总结 [易错防范]（1)函数图象中左、右平移变换可记口诀为“左加右减”，但要注意加、减指的是自变量． (2)注意含绝对值符号的函数的对称性，如y ＝f (|x |)与y ＝|f (x )|的图象是不同的．(3)混淆条件“f (x ＋1)＝f (x －1)”与“f (x ＋1)＝f (1－x )”的区别，前者告诉周期为2，后者告诉图象关于直线x ＝1对称. 课后作业1．将函数f(x)＝(2x ＋1)2的图象向左平移一个单位长度后，所得图象的函数解析式为________． 【答案】y ＝(2x ＋3)2【解析】f(x)的图象向左平移一个单位长度后得到的是y ＝[2(x ＋1)＋1]2＝(2x ＋3)2的图象． 2．把函数f(x)＝ln x 图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，所得图象的函数解析式是________． 【答案】y ＝ln 12x【解析】根据伸缩变换方法可得新函数的解析式为y ＝ln 12x.3.若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________. 【答案】 (0，＋∞)【解析】 在同一个坐标系中画出函数y ＝|x |与y ＝a －x 的图象，如图所示.由图象知当a >0时，方程|x |＝a －x 只有一个解.4.函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x关于y 轴对称，则f (x )的解析式为( ) A.f (x )＝ex ＋1B.f (x )＝ex －1C.f (x )＝e－x ＋1D.f (x )＝e－x －1【答案】 D【解析】 依题意，与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线是y ＝e －x ，于是f (x )相当于y ＝e －x向左平移1个单位的结果，∴f (x )＝e－(x ＋1)＝e－x －1.5.(2016·浙江卷)函数y ＝sin x 2的图象是( )【答案】 D【解析】 ∵y ＝sin(－x )2＝sin x 2，且x ∈R ，∴函数为偶函数，可排除A 项和C 项；当x ＝π2时，sin x 2＝sin π24≠1，排除B 项，只有D 满足.6.若函数y ＝f (x )在x ∈[－2，2]的图象如图所示，则当x ∈[－2，2]时，f (x )＋f (－x )＝________.【答案】 0【解析】 由于y ＝f (x )的图象关于原点对称∴f (x )＋f (－x )＝f (x )－f (x )＝0.7.已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．【答案】 (0,1)∪(1,2)【解析】 将函数y ＝|x 2－1|x －1化成分段函数，并作出其图象如图所示．利用图象可得，实数k 的取值范围为(0,1)∪(1,2)．8.设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案【 [－1，＋∞)【解析】 如图，要使f (x )≥g (x )恒成立，则－a ≤1，∴a ≥－1.9．函数f (x )＝ax ＋bx ＋c 2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0 【答案】C【解析】函数的定义域为{x |x ≠－c }，结合图象知－c >0，∴ c <0.令x ＝0，得f (0)＝b c2，又由图象知f (0)>0，∴ b >0.令f (x )＝0，得x ＝－b a ，结合图象知－b a>0，∴ a <0.故选C. 10．如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |－1＜x ≤2}【答案】C【解析】令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )图象如图．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴ 结合图象知，不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1＜x ≤1}． 11.设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x＜0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)【答案】D【解析】因为f (x )为奇函数，所以不等式f (x )－f (－x )x ＜0可化为f (x )x＜0，即xf (x )＜0，f (x )的大致图像如图所示所以xf (x )＜0的解集为(－1,0)∪(0,1)．12.当0＜x ≤12时，4x＜log a x ，则a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B ．⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)【答案】B【解析】构造函数f (x )＝4x和g (x )＝log a x ，当a ＞1时不满足条件，当0＜a ＜1时，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图像，可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即2＜log a 12，则a ＞22，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.13．函数y ＝x 33x －1的图象大致是( )【答案】 C【解析】 因为函数的定义域是非零实数集，所以A 错误；当x <0时，y >0，所以B 错误；指数型函数远比幂函数上升的快，故当x →＋∞时，y →0，所以D 错误．故选C. 14．函数y ＝x2－2sin x 图象大致为( )【答案】 C【解析】 当x ＝0时，y ＝0，由此排除选项A ；当x ＝2π时， y ＝π<4，由此排除B ；当x →＋∞时，y >0，由此排除选项D.故应选C.15．已知lg a ＋lg b ＝0(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)，则f (x )＝a x与g (x )＝－log b x 的图象可能是( )【答案】 B【解析】 ∵lg a ＋lg b ＝0，∴a ＝1b，又g (x )＝－log b x ＝log 1bx ＝log a x (x >0)，∴函数f (x )与g (x )的单调性相同．故选B. 16.分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg(x －1)|； (2)y ＝2x ＋1－1；(3)y ＝x 2－|x |－2； (4)y ＝2x ＋1x ＋1；(5)y ＝10|lg x |.【解析】 (1)首先作出y ＝lg x 的图象C 1，然后将C 1向右平移1个单位，得到y ＝lg(x －1)的图象C 2，再把C 2在x 轴下方的图象作关于x 轴对称的图象，即为所求图象C 3：y ＝|lg(x －1)|.如图①所示(实线部分)．① ②(2)y ＝2x ＋1－1的图象可由y ＝2x的图象向左平移1个单位，得y ＝2x ＋1的图象，再向下平移一个单位得到，如图②所示．(3)y ＝x 2－|x |－2＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2，x ≥0，x 2＋x －2，x <0，其图象如图③所示．③ ④ ⑤(4)y ＝2x ＋1x ＋1＝2x ＋1－1x ＋1＝2－1x ＋1.可由函数y ＝－1x向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图④所示．(5)y ＝10|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x，0<x <1，如图⑤所示．。
人教版2024年高考数学一轮复习高考频点《第07讲 函数的图象知识点必背》
第07讲 函数的图象知识点必背1、平移变换(左“+”右“-”;上“+”下“-”)①0)()()a a y f x y f x a >=−−−−−−−→=-向右平移（个单位②0)()(+)a a y f x y f x a >=−−−−−−−→=向左平移（个单位 ③0)()()k k y f x y f x k >=−−−−−−−→=+向上平移（个单位④0)()()-k k y f x y f x k >=−−−−−−−→=向下平移（个单位注：左右平移只能单独一个x 加或者减，注意当x 前系数不为1,需将系数提取到外面. 2、对称变换①()y f x =的图象x −−−−−→关于轴对称()y f x =-的图象;②()y f x =的图象−−−−−→关于y 轴对称()y f x =-的图象;③()y f x =的图象−−−−−→关于原点对称()y f x =--的图象;④x y a =(0a >，且1a ≠)的图象x −−−−−→关于y=轴对称log xa y =(0a >，且1a ≠)的图象. 3、伸缩变换①()y f x =1(0)a a>−−−−−−−−−→纵坐标不变各点横坐标变为原来的倍()y f ax =.②()y f x =(0)A A >−−−−−−−−−→横坐标不变各点纵坐标变为原来的倍()y Af x =.(+=;-=;+=，-=;通过求导判断单调f xg xf xg x-()()+()()()g x()()f xg x偶函数偶函数偶函数偶函数。
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专题07 函数的图象
【考点剖析】
1.命题方向预测：
从近几年的高考试题来看，主要考查图象的辨识以及利用图象研究函数的性质、方程及不等式的解，多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题，主要考查基本初等函数的图象及应用.
预测2019年高考对本节内容的考查仍将以函数图象识别与函数图象的应用为主，依然体现“有图考图”“无图考图”的原则，题型仍为选择题或填空题的形式．备考时要求熟练掌握各种基本初等函数的图象及性质，增强函数性质的应用意识，另外还应熟练掌握各种图象变换的法则.
2.课本结论总结：
（1）画函数图象的一般方法
①描点法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出，其步骤为：先确定函数的定义域，化简给定的函数解析式，再根据化简后的函数解析式研究函数的值域、单调性、奇偶性、对称性、极值、最值，再根据函数的特点取值、列表，描点，连线，注意取点，一定要包括关键点，如极值点、与x 轴的交点等．
②图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
（2）常见的图象变换
①平移变换：
左右平移：函数()(0)y f x h h =±>的图象可由函数()y f x =的图象向左（+）或向右（—）平移h 个单位得到；
上下平移：()y f x b =±（0b >）的图象可由函数()y f x =的图象向上（+）或向下（—）平移b 个单位得到；
②伸缩变换
函数()(0)y f x ωω=>是将函数()y f x =图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1
ω得到；
函数()(0)y Af x A =>是将函数()y f x =图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍的得到； ③对称变换
函数()y f x =图象关于x 轴对称得到函数()y f x =-图象；
函数()y f x =图象关于y 轴对称得到函数()y f x =-图象；
函数()y f x =图象关于原点对称得到函数()y f x =--图象；
函数()y f x =图象关于直线x a =对称得到函数为(2)y f a x =-图象．
④翻折变换
函数(||)y f x =的图象这样得到：函数()y f x =在y 轴右侧的图象保持不变，左侧的图象去掉后，再将右侧的图象翻折到y 轴左侧（函数(||)y f x =为偶函数，其图象关于y 轴对称）;
函数|()|y f x =的图象是这样得到的：函数()y f x =在x 轴上方的图象保持不变，把下方的图象关于x 轴对称到上方（注意到函数|()|y f x =的函数值都大于零）．
3.名师二级结论：
（1）函数图象的几个应用
①判断函数的奇偶性、确定单调区间：图象关于原点对称是奇函数，图象关于y 轴对称是偶函数.图象从左到右上升段对应的x 的取值范围是增区间，下降对应的x 的取值范围是减区间.
②方程()()f x g x =的根就是函数()y f x =与函数()y g x =图象交点的横坐标.
③不等式()()f x g x >的解集是函数()y f x =的图象在函数()y g x =图象上方的一段对应的x 的取值范围（交点坐标要通过解方程求得）
（2）函数()y f x =的图象的对称性
①若函数)(x f y =关于x a =对称⇔对定义域内任意x 都有()f a x +=()f a x -⇔对定义域内任意x 都有()f x =(2)f a x -⇔()y f x a =+是偶函数；
②函数)(x f y =关于点（a ，0）对称⇔对定义域内任意x 都有()f a x -=－()f a x +⇔(2)f a x -=－()f x ⇔()y f x a =+是奇函数；
③若函数)(x f y =对定义域内任意x 都有)()(x b f a x f -=+,则函数)(x f 的对称轴是2
b a x +=
； ④若函数)(x f y =对定义域内任意x 都有()()f x a f b x +=--,则函数)(x f 的对称轴中心为(,0)2a b +； ⑤函数(||)y f x a =-关于x a =对称.
(3) 明确函数图象形状和位置的方法大致有以下三种途径．。