浙江省杭州宏升高复学校2011届第三次月考 数学理

杭州宏升高复学校2011届第三次月考
数学试卷（理科）
一． 选择题 : 本大题共10小题, 每小题5分, 共50分． 在每小题给出的四个选项中, 只
有一项是符合题目要求的 ． 1．已知复数z 满足2)1()1(i z i +=-，则z ＝（ ）
A ． －1+ i
B ．1+i
C ． 1－i
D ．－1－i
2
．6
1x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为（ ）
A ．15
B ．15-
C ．20
D ．20-
3．下列不等式不一定成立的是（ ）
A ．),(,22
2
R b a ab b a ∈≥+ B ．),(,232
R b a a a ∈>+
C ．)0(,2|1
|>>+x x
x D ．),(,2
22
2R b a b a b a ∈+≤+ 4．若向量a 与b 的夹角为120° ，且||1,||2,a b c a b ===+
，则有（ ）
A ．c a ⊥
B ．⊥
C ．//
D ．//
5．已知==
-∈x x x 2tan ,54
cos ),0,2(则π
（ ）
A ．247
B ．－247
C ．724
D ．－7
24
6．执行如图的程序框，输出的A ＝( ） A ．2047 B ．2049 C ．1023 D ．1025 7．已知f ( x ) = ⎩⎨
⎧≤->-0
)
(log 0)
5(2x x x x f ,
则f ( 2009 ) 等于( )
A ．–1
B ．0
C ．1
D ．2 8．关于x 的函数)sin()(φφ+=x x f 有以下命题：
①R ∈∀φ，)()2(x f x f =+π； ②R ∈∃φ，)()1(x f x f =+ ③R ∈∀φ，)(x f 都不是偶函数；④R ∈∃φ，使)(x f 是奇函数． 其中假命题的序号是（ ）
A ．①③
B ．①④
C ．②④
D ．②③
（第6题）
9．如图是函数Q(x)的图象的一部分, 设函数f (x) = sinx, g ( x ) =
x
1
, 则Q(x)是( ) A ．
)
()
(x g x f B ．f (x)g (x) C ．f ( x ) – g ( x ) D ．f ( x ) + g ( x )
10．设S ＝2221111++
+223
1211+++ 2241311++
+ …+2
220091200811++，则不大于S 的最大整数[S]等于（ ） A. 2007 B.2008 C.2009 D. 3000
二．填空题: 本大题有7小题, 每小题4分, 共28分． 把答案填在答题卷的相应位置．
11．若数列满足条件: 211=-+n n a a ，且1a =2
3
, 则30a = _ __． 12．在△ABC 中，若∠B ＝60°，sinA=3
1
，BC
＝2，则 AC ＝
13．某篮球运动员在一个赛季的40场
比赛中的得分的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是 ；众数是 . 14．若y x ,满足条件⎩
⎨
⎧≤≤+x y y x 23
，则
y x z 32+=的最大值是__ ___．
15．设函数)3
2sin(2π
+
=x y 的图象关于点P )0,(0x 成中心对称，
若]0,2
[0π
-∈x ，
则0x =__ 16．在下列五个函数中，①x y 2=，②x y 2log =，③2
x y =，
④1
-=x y ，⑤x y 2cos =．当1021<<<x x 时，使2
)
()()2(
2121x f x f x x f +>+恒成立的函数是___ _ （将正确序号都填上）
17．有3张都标着字母A ，6张分别标着数字1，2，3，4，5，6的卡片，若任取其中6张卡片组成牌号，则可以组成的不同牌号的总数等于 .（用数字作答）
(第9题
三． 解答题: 本大题有5小题,共72分． 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点． （Ⅰ）如果A ，B 两点的纵坐标分别为4
5
，
12
13
，求cos α和sin β （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求cos()βα-的值； （Ⅲ）已知点
C (-，求函数()f OA OC α=⋅
的值域．
图4
19、（本小题满分14分）
某商场“十.一”期间举行有奖促销活动,顾客只要在商店购物满８00元就能得到一次摸奖机会.摸奖规则是:在盒子内预先放有5个相同的球,其中一个球标号是０，两个球标号都是４０，还有两个球没有标号。

顾客依次从盒子里摸球，每次摸一个球（不放回），若累计摸到两个没有标号的球就停止摸球，否则将盒子内球摸完才停止.奖金数为摸出球的标号之和（单位：元），已知某顾客得到一次摸奖机会。

（Ⅰ）求该顾客摸三次球被停止的概率；
（Ⅱ）设ξ（元）为该顾客摸球停止时所得的奖金数，求ξ的分布列及数学期望E ξ.
20．（本题14分）数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是不为零的常数，123n = ，，，），且123a a a ，，成等比数列．（1）求c 的值；（2）求{}n a 的通项公式； （3）求数列}{n
n c
n c
a ⋅-的前n 项之和n T ．
21．（本题15分）已知,a R ∈函数)()(2a x x x f -=． （1）当a =3时，求f （x ）的零点；
（2）求函数y ＝f (x )在区间[1,2]上的最小值．
22．（本题15分）已知二次函数f ( x ) = x 2 + a x （a R ∈）．
（1）若函数y = f (sinx +3cosx) (x R ∈）的最大值为3
16
，求()f x 的最小值； （2）当a = 2时,设n ∈N *, S= )3(3)13(13)1(1)(n f n n f n n f n n f n +
--+++++ , 求证:4
3
< S < 2 ;
（3）当a > 2时, 求证f (sin 2xlog 2sin 2x+cos 2xlog 2cos 2x) ≧1 – a , 其中x ∈R , x ≠ k π且x ≠ k π2
π
+(k ∈Z )
杭州宏升高复学校2011届第三次月考
数学试卷（理科）答题卷
一． 选择题 : 本大题共10小题, 每小题5分, 共50分． 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 ．
11． 12. 13. 14. 15． 16. 17． 三. 解答题: （本大题有5小题, 共72分） 18．（本题14分）
19．（本题14分）20．（本题14分）21．（本题15分）22.（本题15分）
18．解：（Ⅰ）根据三角函数的定义，得4sin 5α=
，12
sin 13
β=． 又α是锐角，所以，3
cos 5α=
．……………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，4sin 5α=，12
sin 13
β=．
又α是锐角，β是钝角，
所以 3cos 5α=，5
cos 13
β=-．
所以 5312433
cos()cos cos sin sin ()13
13565
βαβαβα-=+=-⨯+⨯
=．……9分
（Ⅲ）由题意可知，(cos ,sin )OA αα= ，(OC =- ．
所以 ()s i n c o s 2s i n ()
6
f O A O π
αααα=⋅-=- ， 因为 02π
α<<
，所以6
6π
π
π
α-
<-
<
，
所以函数()f OA OC α=⋅ 的值域为(-．……………………………14分
19解（Ⅰ）记“顾客摸球三次被停止”为事件A ，则1122323
51
()55C C A P A A == 分 （Ⅱ）040806ξ 的可能值为：
、、分21222223551
(0)6A C A P A A ξ==+= 113112
2
2322234551(40)3C C A C C A P A A ξ==+=，21331422332445
551(80)92
C C A C C A P A A ξ==+= 分
12 分
111160
040806323
E ξ∴=++= （元）14分。