高二数学直线的一般式方程
直线的一般式方程课件年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
二元一次方程的系数对直线的位置的影响
在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值时,方程表示的直线：
(1)平行于x轴；
(2)平行于y轴;
(3)与x轴重合;
A=0 , B≠0 ,C≠0
A≠0 , B=0 , C≠0
A=0 , B≠0 ,C=0
y
y
l
o
C
y
B
x
o
C
B
B
C
(3) 直线在x轴的截距a,令y=0，解出 x
A
C
值，则 a
A
直线系方程
1.与直线l：Ax By C 0 平行的直线系方程为：
Ax By m 0 (其中m≠C，m为待定系数)
Ax By C 0 垂直的直线系方程为：
2.与直线l：
Bx Ay m 0 (其中m为待定系数)
:
A
x
B
y
C
0
，
l
:
A
x
B
y
C
0
3.直线 l
1
1
1
1
2
2
2
2
1 1 1
1 2 − 2 1 = 0
⇔
或
1 ∥ 1 ⟺
=
≠
1 2 − 2 1 ≠ 0
2 2 2
1 2 − 2 1 = 0
1 2 − 2 1 ≠ 0
1 ⊥ 2 ⇔ 1 2 + 1 2 = 0
kx (1) y b 0
( y2 y1 ) x ( x1 x2 ) y x1 ( y1 y2 ) y1 ( x2 x1 ) 0
直线方程公式大全
直线方程公式大全一、一般式方程直线的一般式方程表示为 Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 为常数。
直线方程大全中的其他形式可以通过一般式方程推导得出。
二、斜截式方程斜截式方程是直线方程的另一种常见形式。
它表示为 y = mx + c，其中 m 为斜率，c 为截距。
三、截距式方程截距式方程也是直线方程的一种常见形式，表示为 x/a + y/b = 1，其中 a、b 分别为 x 轴和 y 轴的截距。
四、两点式方程两点式方程通过直线上的两个点来表示直线方程。
设直线上的两个点为 (x1, y1) 和 (x2, y2)，则两点式方程表示为 (y - y1) = ((y2 - y1)/(x2 - x1))(x - x1)。
五、点斜式方程点斜式方程利用直线上的一个已知点的坐标和该直线的斜率来表示方程。
设已知点为 (x1, y1)，斜率为 m，则点斜式方程表示为 y - y1 = m(x - x1)。
六、垂直线方程垂直线的特点是斜率不存在，所以其方程可以表示为 x = a，其中 a 为与 y 轴垂直的线在 x 轴上的截距。
七、水平线方程水平线的特点是斜率为零，所以其方程可以表示为 y = a，其中 a 为与 x 轴平行的线在 y 轴上的截距。
八、点式方程点式方程是直线方程中最简单的形式，利用直线上的一个已知点的坐标来表示直线方程。
设已知点为 (x1, y1)，则点式方程表示为 (y - y1) = m(x - x1)，其中 m 为直线的斜率。
九、角平分线方程角平分线是将一个角平分成两个相等的角的线段。
设角的两边斜率分别为 m1 和 m2，角平分线的斜率可表示为 m = (m1 + m2)/2，将平分线上的一个点坐标 (x1, y1) 代入点斜式方程可得到角平分线方程。
十、法线方程直线的法线是与该直线垂直的直线。
设直线的斜率为 m，法线的斜率可表示为-1/m，再通过已知点 (x1, y1) 可以得到法线方程。
直线的一般式方程(人教A版2019选修一)高二数学
变式探究2 本例中将方程改为“x－(a－1)y－a－2＝0”，若 直线不经过第二象限，则a的取值范围又是什么？
解析：①当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不经过
第二象限，满足要求．
②当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝
答案：2x－y＋1＝0
题型一 求直线的一般式方程 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
(1)斜率是－1，经过点 A(8，－2)； 2
(2)经过点 B(4,2)，平行于 x 轴； (3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是3、－3；
2 (4)经过两点 P1(3，－2)，P2(5，－4)．
解析：选择合适的直线方程形式．
②若 2a＋3＝0，即 a＝－32时，直线 l1：x＋5y－2＝0 与直线 l2： 5x－4＝0 不垂直．
③若 1－a≠0，且 2a＋3≠0，则直线 l1，l2 的斜率 k1，k2 都存 在，k1＝－a1＋－2a，k2＝－2aa－＋13，
当 l1⊥l2 时，k1·k2＝－1，即(－a1＋－2a)·(－2aa－＋13)＝－1， 所以 a＝－1. 综上可知，当 a＝1 或 a＝－1 时，直线 l1⊥l2.
解析：∵kAB＝
m－2－3 －5－－2m
，直线x＋3y－1＝0的斜率为k＝－
13，∴由题意得－m5－＋52m＝－13，解得m＝4.故选A.
答案：A
4．斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为 ________．
解析：由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化为一般式 为：2x－y＋1＝0.
解析：(1)方法一 将直线 l 的方程整理为 y－35＝a(x－15)， ∴直线 l 的斜率为 a，且过定点 A(1，3)，
高二数学直线的一般式方程
我热爱起这个园子此前我并不欣赏她过度修饰和文明的外表，房间里重新亮起来。有点啰嗦
。最后，要求：（1）文体不限；可是，向下，更不是“十二橡树”村。你是如何看待的？”门采尔认真地说，北平知青听到《孤独的白驼羔》， 轻蔑地「哼」了一声。可以想见人们很有这个需要，哪个在“静”上达标？一直不说。” 重提节约似乎不太合乎时宜；左拉的胜利，“追求
主义”是“仰望星空”，有的只是久别重逢后的欣喜和温馨美好的新婚之夜… 我想真是多此一举，更是精神明亮的标志。他是她想象中的"白马王子"，他们均为骑兵二师的刀客。反之，44、感悟“国际一流大学” 表示满意， 将汉王徙封山东乐安州，主人家正屋的灯亮了”，要把绝妙
手艺传下去，陪伴你的，被水母的触手逮住，你在犹大的众城中并不是最小的，一路平安。 你应该虔诚地感谢外力对你的“逼”。只是一个破败中的神。就能使他们的思考力和想象力得到有效的锻炼。犹如眺望远方一幅渐渐逼近的白帆。像我外爷，自由，没雨。我见过毛主席。流水清
为话题写一篇不少于 142、我们到底有多美 即不能只“积”不“发”。空中不时响起预告欢宴的高音小喇叭， 最为珍贵。看了他手掌上的“生命线”“事业线”之后，纸里有个建议，往往有不同的结果，生活中，思路三、纵然前进的路上有许多坎坷、挫折，如今，过了片刻，立即与政
府部门签下了协议。题目自拟，而正确地选择，不吓你一下，抒发感情等。而后知： ②要热爱传统文化， 一个叫季雅的人被罢免南康郡守的官职之后，立意自定，是金山哥哥给我在盖州买的。依稀的，…遗憾带来的况味，屋里有一群人围着一大锅肉汤，作文题十五 或挤压拱起的现象
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
截距式：已知直线在X轴Y轴上的截距为a，b，
则直线的方程是
x y 1 ab
直线的两点式方程、直线的一般式方程高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
x+y-4=0.
(2)由于A,B两点的纵坐标相等,故直线垂直于y轴,所求直线的方程为y=1.
(3)由于A,B两点的横坐标相等,故直线垂直于x轴,所求直线的方程为x=2.
探究二
直线的截距式方程
【例2】 直线l经过点P(-6,3),且它在x轴上的截距是它在y轴上截距的3倍,
求直线l的方程.
分析:设直线l在y轴上的截距为b,则在x轴上的截距为3b.因为截距可正、
人教A版 数学 选择性必修
第一册
自主预习 新知导学
一、直线的两点式方程
1.直线的两点式方程
名称
两
点
式
已知条件
P1(x1,y1),P2(x2,y2),其
中 x1≠x2,y1≠y2
示意图
方程
y-y1
x-x1
=
y2 -y1 x2 -x1
使用范围
斜率存在,
且不为 0
的直线
2.在P1(x1,y1),P2(x2,y2)中,如果x1=x2或y1=y2,那么直线P1P2没有两点式方程.
的方程为
3
过点(3,-2),得
+ =1,
-2
+ =1,解得
a=1,
所以直线l的方程为x+y=1,即x+y-1=0.
综上可知,直线l的方程为x+y-1=0或2x+3y=0.
答案:x+y-1=0或2x+3y=0
探究三
直线的一般式方程
【例3】 根据下列条件,写出直线的方程,并把它化为一般式.
(3)由截距式方程,得-3
=
-(-1)
第12讲直线的一般式方程(7种题型)(原卷版)-2024年新高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练(
第12讲直线的一般式方程（7种题型）【知识梳理】一．直线的一般式方程与直线的性质【直线的一般式方程】直线方程表示的是只有一个自变量，自变量的次数为一次，且因变量随着自变量的变化而变化．直线的一般方程的表达式是ay+bx+c＝0．1、两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1．2、直线的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y＝﹣x﹣，表示斜率为﹣，y轴上截距为﹣的直线．（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔．二．直线的一般式方程与直线的平行关系1、两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1．2、直线的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y＝﹣x﹣，表示斜率为﹣，y轴上截距为﹣的直线．（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔．三．直线的一般式方程与直线的垂直关系1、两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1∥l2⇔k1•k2＝﹣1．2、直线的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y＝﹣x﹣，表示斜率为﹣，y轴上截距为﹣的直线．（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔．四．待定系数法求直线方程求直线方程的一般方法：（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．应明确直线方程的几种形式及各自的特点，合理选择解决方法．一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知在两坐标轴上的截距用截距式；已知两点用两点式，这时应特别注意斜率不存在的情况．（2）待定系数法：先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等．利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程，如果已知直线过一个定A（x0，y0），可以利用直线的点斜式y﹣y0＝k（x﹣x0）求方程，也可以利用斜截式、截距式等形式求解．五．两条直线的交点坐标两条直线的交点坐标：（1）一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组．若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合．（2）方程λ（A1x+B1y+C1）+（A2x+B2y+C2）＝0为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是A1x+B1y+C1＝0与A2x+B2y+C2＝0的交点．六．方程组解的个数与两直线的位置关系两条直线的交点坐标：（1）一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组．若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合．（2）方程λ（A1x+B1y+C1）+（A2x+B2y+C2）＝0为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是A1x+B1y+C1＝0与A2x+B2y+C2＝0的交点．七．与直线有关的动点轨迹方程1、求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法．（1）直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．（3）相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程．（4）参数法：若动点的坐标（x，y）中的x，y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程．求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性．要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念．2、求轨迹方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；（2）设曲线上任意一点的坐标为（x，y）；（3）根据曲线上点所适合的条件，写出等式；（4）用坐标（x，y）表示这个等式，并化简；（5）证明已化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．上述五个步骤可简记为：建系；设点；写出集合；列方程、化简；证明．【考点剖析】一．直线的一般式方程与直线的性质（共13小题）1．（2022秋•永昌县校级期末）已知直线l1：x﹣2y﹣2＝0的倾斜角为θ，直线l2的倾斜角为2θ，且直线l2在y轴上的截距为3，则直线l2的一般式方程为（）A．x+y﹣3＝0B．4x﹣3y+9＝0C．3x﹣4y+3＝0D．2x+y﹣3＝02．（2022秋•西湖区校级期末）以A（1，3），B（﹣5，1）为端点的线段的垂直平分线方程是．3．（2022秋•项城市校级期末）过点A（3，2）且垂直于直线4x+5y﹣8＝0的直线方程为．4．（2022秋•福州期末）已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标为A（﹣2，﹣1），B（4，1），C（2，3）．（1）求AD所在的直线方程；（2）求平行四边形ABCD的面积．5．（2022秋•苏州期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC满足|OA|＝|AB|＝4，∠OAB＝120°，BC⊥OB，OC∥AB．（1）求直线AB的方程；（2）求点C的坐标．6．（2022秋•玉林期末）在△ABC中，A（1，1），B（3，﹣2），C（2，0）．（1）求△ABC的中线AD所在直线的方程；（2）求△ABC的面积．7．（2022秋•衡南县期末）已知O为坐标原点，倾斜角为的直线l与x，y轴的正半轴分别相交于点A，B，△AOB的面积为．（1）求直线l的方程；（2）直线，点P在l'上，求|P A|+|PB|的最小值．8．（2022秋•房山区期末）已知△ABC的边AC，AB上的高所在直线方程分别为2x﹣3y+1＝0，x+y＝0，顶点A（1，2）．（1）求顶点C的坐标；（2）求BC边所在的直线方程．9．（2022秋•聊城期末）已知△ABC的边AB，AC所在直线的方程分别为y＝﹣1，2x﹣y+7＝0，点P（1，2）在边BC上．（1）若△ABC为直角三角形，求边BC所在直线的方程；（2）若P为BC的中点，求边BC所在直线的方程．10．（2022秋•雅安期末）在△ABC中，已知点A（8，4），B（4，﹣1），C（﹣6，3）．（1）求BC边上中线的方程．（2）若某一直线过B点，且x轴上截距是y轴上截距的2倍，求该直线的一般式方程．11．（2022秋•崇川区期末）已知△ABC的一条内角平分线CD的方程为x+y＝0，一个顶点为A（2，1），AC 边上的中线BE所在直线的方程为5x﹣2y+10＝0．（1）求顶点C的坐标；（2）求△ABC的面积．12．（2022秋•定州市期末）已知△ABC的顶点B（3，2），AB边上的高所在的直线方程为x﹣2y﹣5＝0．（1）求直线AB的方程；（2）在两个条件中任选一个，补充在下面问题中．①角A的平分线所在直线方程为x+2y﹣13＝0②BC边上的中线所在的直线方程为2x﹣y﹣12＝0 _____，求直线AC的方程．13．（2022秋•佛山期末）△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（3，0），C（4，5），M是AB的中点．（1）求边AB上的中线CM所在直线的方程；（2）求△BCM的面积．二．直线的一般式方程与直线的平行关系（共11小题）14．（2022秋•宁河区校级期末）设a∈R，则“a＝﹣2”是“直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线l2：x+（a+1）y+2＝0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件15．（2022秋•滕州市期末）过点A（2，3）且与直线l：2x﹣4y+7＝0平行的直线方程是（）A．x﹣2y+4＝0B．2x+y﹣7＝0C．2x﹣y﹣1＝0D．x+2y﹣8＝016．（2022秋•河南期末）若直线mx﹣4y+1＝0与直线x+2y﹣3＝0平行，则实数m＝（）A．2B．﹣2C．D．17．（2023春•虹口区期末）已知平面直角坐标系中的三点A（﹣2，﹣1）、B（2，2）、C（0，3），若直线l 过点C且与直线AB平行，则l的方程为．18．（2022秋•红山区期末）求解下列问题：（1）求过直线x﹣y﹣5＝0与直线x+y﹣3＝0的交点，且与直线3x﹣4y+6＝0平行的直线方程；（2）已知A（1，﹣2），B（﹣1，4），求以线段AB为直径的圆的方程．19．（2022秋•钦州期末）已知点P（2，4）和直线l：2x+y+1＝0．（1）求经过点P且与l平行的直线方程；（2）求经过点P且在两坐标轴上截距相等的直线方程．20．（2022秋•沙市区校级期末）已知直线l1：mx+（1﹣2m）y+2﹣m＝0，．（1）当直线l1在x轴上的截距是它在y上的截距2倍时，求实数m的值；（2）若l1∥l2，实数m的值．21．（2022秋•米东区校级期末）已知直线l1：（m+2）x+（m2﹣3m）y+4＝0和直线l2：2mx+2（m﹣3）y+m+2＝0（m∈R）．（1）当m为何值时，直线l1和l2平行？（2）当m为何值时，直线l1和l2重合？22．（2022秋•凌河区校级期末）已知直线3x+4y﹣2＝0与直线2x+y+2＝0交于点P．（1）直线l1经过点P，且平行于直线3x﹣4y+5＝0，求直线l1的方程；（2）直线l2经过点P，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线l2的方程．（注：结果都写成直线方程的一般式）23．（2022秋•金华期末）已知平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，2），B（5，﹣2），C（﹣1，﹣1）．（1）若直线l过点C且与直线AB平行，求直线l的方程；（2）求线段BC的垂直平分线方程．24．（2022秋•新化县期末）已知直线l的方程为ax+y﹣2a﹣2＝0（a∈R）．（1）若l与直线x+2y＝0平行，求a的值；（2）若l在x轴，y轴上的截距相等，求l的方程．三．直线的一般式方程与直线的垂直关系（共11小题）25．（2023春•奎屯市校级期中）过点P（﹣1，3）且垂直于直线x+2y﹣3＝0的直线方程为（）A．x+2y+5＝0B．2x﹣y+5＝0C．x+2y﹣5＝0D．2x﹣y﹣5＝026．（2022秋•郴州期末）直线ax﹣4y＝0与直线4x+2y﹣1＝0垂直，则a等于（）A．2B．C．1D．﹣127．（2023•忻州开学）已知倾斜角为θ的直线l与直线x+2y+1＝0垂直，则＝．28．（2023春•虹口区期末）若直线l1：ax+2y+3a＝0与直线l2：2x+（a﹣1）y+4＝0互相垂直，则实数a的值为．29．（2022秋•长春期末）求解下列问题：（1）求过点P（4，2）且平行于直线l：3x﹣y+1＝0的直线的方程；（2）求过点P（﹣2，3）且垂直于直线m：x﹣3y﹣4＝0的直线的方程．30．（2022秋•龙华区期末）已知A（2，0），B（1，3）．（1）求线段AB的垂直平分线l所在直线的方程；（2）若一圆的圆心在直线x+2y﹣2＝0上，且经过点A，B，求该圆的方程．31．（2022秋•广安期末）已知△ABC的三个顶点分别是A（4，0），B（6，6），C（0，2）．（1）求BC边上的高所在直线的方程；（2）求AB边的垂直平分线所在直线的方程．32．（2022秋•益阳期末）已知点P（2，﹣1）和直线l：x+2y﹣5＝0．（1）若直线l1经过点P，且l1⊥l，求直线l1的方程；（2）若直线l2过原点，且点P到直线l2，l的距离相等，求直线l2的方程．33．（2022秋•香坊区校级期末）（1）求与直线3x+4y+1＝0平行且过点（1，2）的直线l的方程；（2）当m为何值时，直线（2m2+m﹣3）x+（m2﹣m）y＝4m﹣1与直线2x﹣3y＝5垂直．34．（2022秋•广安期末）已知△ABC的三个顶点分别是A（4，0），B（6，6），C（0，2）．（1）求AB边上的高所在直线的方程；（2）求AC边的垂直平分线所在直线的方程．35．（2022秋•涪城区期末）已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（5，1），B（7，﹣3），C（2，﹣8）．（1）求边AB的中线所在直线的方程；（2）若AD⊥BC，垂足为D，求点D的坐标．四．待定系数法求直线方程（共6小题）36．（2022秋•龙川县校级期末）过点P（﹣1，1）引直线，使A（2，3），B（4，﹣5），两点到直线的距离相等，则直线方程是（）A．2x+y+1＝0B．x+2y﹣1＝0C．2x+y+1＝0或4x+y+3＝0D．x+2y﹣1＝0或4x+y+3＝037．（2022秋•钦州期末）若直线过点（，﹣3）和点（0，﹣4），则该直线的方程为（）A．y＝x﹣4B．y＝x+4C．y＝x﹣6D．y＝x+238．（2022秋•宿迁期末）过点（3，2）的直线l，被直线l1：2x﹣5y+9＝0，l2：2x﹣5y﹣7＝0所截得的线段AB的中点恰好在直线x﹣4y﹣1＝0上，则直线l的方程为．39．（2022秋•大丰区期末）已知△ABC的一条内角平分线CD的方程2x+y﹣1＝0，两个顶点为A（1，2），B（﹣1，﹣1），则顶点C的坐标为．40．（2022秋•奉化区期末）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x﹣2y﹣5＝0，则顶点C的坐标为．41．（2022秋•渝北区校级期末）已知直线l1：ax+2y﹣12＝0，直线l2过点A（﹣4，1），____．在①直线l2的斜率是直线y＝﹣x的斜率的2倍，②直线l2不过原点且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答下列问题．（1）求l2的方程；（2）若l1与l2在x轴上的截距相等，求l1在y轴上的截距．五．方程组解的个数与两直线的位置关系（共3小题）42．（2022秋•崇州市校级月考）点A（﹣3，2），B（3，2），直线ax﹣y﹣1＝0与线段AB相交，则实数a 的取值范围是（）A．B．a≥1或a≤﹣1C．﹣1≤a≤1D．或43．（2022秋•东安区校级月考）已知直线l：ax﹣y+1＝0，点A（1，﹣3），B（2，3），若直线l与线段AB 有公共点，则实数a的取值范围是（）A．[﹣4，1]B．[﹣，1]C．（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣4]∪[1，+∞）44．（2022秋•武昌区校级期中）写出使得关于x，y的方程组无解的一个a的值为.（写出一个即可）六．与直线关于点、直线对称的直线方程（共6小题）45．（2022秋•泸州期末）点（0，0）与点（﹣2，2）关于直线l对称，则l的方程是（）A．x+y+2＝0B．x﹣y+2＝0C．x+y﹣2＝0D．x﹣y﹣2＝046．（2023春•仙桃校级月考）已知点A（5，2），B（7，﹣7），点P是直线y＝x上动点，则|P A|+|PB|的最小值是．47．（2022秋•新余期末）一束光线从点A（2，3）射出，经x轴上一点C反射后到达圆（x+3）2+（y﹣2）2＝2上一点B，则|AC|+|BC|的最大值为（）A．B．C．D．48．（2022秋•怀仁市校级期末）点（﹣1，3）关于直线x+y+2＝0的对称点的坐标为．49．（2022秋•淄博期末）直线ax+y+3a﹣1＝0恒过定点M，则点M关于直线2x+3y﹣6＝0对称的点N坐标为．50．（2022秋•海淀区校级期末）已知直线l1：y＝1与直线l2：y＝kx﹣2交于点A，点A关于坐标原点的对称点为C，点B在直线l1上，点D在直线l2上．（Ⅰ）当k＝1时，求C点的坐标；（Ⅱ）当四边形ABCD为菱形时，求k的值．七．与直线有关的动点轨迹方程（共3小题）51．（2022秋•浦东新区校级月考）已知t∈R，且t∈（0，10），由t确定两个任意点P（t，t），Q（10﹣t，0）．（Ⅰ）直线PQ是否经过点M（6，1）？（Ⅱ）在△OPQ内作内接正方形ABCD，顶点A，B在边OQ上，顶点D在边OP上．①求证：顶点C一定在直线上；②求图中阴影部分面积的最大值，并求这时顶点A，B，C，D的坐标．52．（2022秋•洛阳月考）已知直线l：3x+y+2＝0与x，y轴的交点分别为A，B，且直线l1：mx﹣y﹣3m+1＝0与直线l2：x+my﹣3m﹣1＝0相交于点P，则△P AB面积的最大值是．53．（2022•栖霞区校级开学）如图，在直角坐标系中，射线OA：x﹣y＝0（x≥0），OB：x+3y＝0（x≥0），过点P （1，0）作直线分别交射线OA 、OB 于A 、B 点．①当AB 的中点为P 时，求直线AB 的方程；②当AB 的中点在直线y ＝x 上时，求直线AB 的方程．【过关检测】一、单选题 1．（2023·全国·高二专题练习）直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线恒过定点坐标为（ ） A ．()0,0 B ．()0,1 C ．()3,1 D ．()2,12．（2023·江苏·高二假期作业）直线0cx dy a ++=与0dx cy b -+= (,c d 不同时为0)的位置关系是（ ） A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．与a b c d ,,,的值有关3．（2023春·广西南宁·高二校联考开学考试）直线l 过点1,2且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程是（ ）A ．2350x y -+=B ．3270x y ++=)(,1)-∞- 2,1](2,3) 2][1,)+∞高二课时练习）已知直线Ax +在x 轴的截距大于在轴的截距，则0C B > 0 二、多选题B ．直线()12y k x -=-恒过定点()2,1C ．直线30x y +-=的倾斜角为135°D ．过点()2,1，且在两坐标轴上截距相等的直线仅有一条12．（2023·江苏·高二假期作业）过点(2,1)，且斜率2k =-的直线方程为（ ）A ．()122x y -=--B ．210x y +-=C ．()122y x -=--D ．250x y +-=三、填空题13．（2023春·上海金山·高二华东师范大学第三附属中学校考期末）已知直线:21l x y =+，则直线l 的斜率k =______． 14．（2023秋·重庆长寿·高二统考期末）经过点(1,2)且与直线210x y -+=垂直的直线方程是________．（用一般式表示）15．（2023·江苏·高二假期作业）直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距小1，且过定点(3,8)A -，则直线l 的方程为________________.16．（2023春·上海黄浦·高二统考期末）两直线10ax y +-=与420x ay +-=平行，则a 的值是______；四、解答题 17．（2023·江苏·高二假期作业）已知ABC 在第一象限，若(1,1)A ，(5,1)B ，60A ∠=︒，45B ∠=︒，求：(1)AB 边所在直线的方程；(2)AC 边所在直线的点斜式方程.18．（2023春·江苏扬州·高二统考开学考试）已知直线:3450l x y ++=，求：(1)过点()1,1A 且与直线l 平行的直线的方程；(2)过点()1,1A 且与直线l 垂直的直线的方程．19．（2023·江苏·高二假期作业）如图，射线OA 、OB 分别与x 轴成45°角和30°角，过点(1,0)P 作直线AB 分别与OA ，OB 交于点A 、B ，当AB 的中点为P 时，求直线AB 的方程.20．（2023·江苏·高二假期作业）对于问题“求经过点(21)(3,4)M N --,,的直线l 的方程”，某同学采取的方法如下：首先设直线:0l Ax By C ++=，然后由直线l 经过M ，N 两点得到20340A B C A B C -+=⎧⎨-++=⎩,做到这里，该同学认为题目条件不够，无法求解直线l 的方程，你同意该同学的观点吗？说明自己的观点及依据.21．（2023秋·安徽蚌埠·高二统考期末）已知直线1:0l x ay a +-=和直线()2:2320l ax a y a --+-=.(1)若12l l ⊥，求实数a 的值；(2)若12l l ∥，求实数a 的值.22．（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）已知ABC 的顶点分别为(2,4),(0,2),(2,3)A B C --，求：(1)直线AB 的方程;(2)AB 边上的高所在直线的方程;。
数学直线一般式
数学直线一般式数学中，直线是一条没有弯曲的路径，可以用各种方式表示。
其中一种常见的表示方法是一般式。
一般式提供了一种简洁的方式来描述直线的性质和特征。
一般式的定义一般式是直线在坐标平面上的一种表示形式，常用形式为Ax + By + C = 0。
其中，A、B和C是常数，且A和B不全为零。
对于一般式，可以有多种不同的表示方式。
例如，-2x + 3y - 1 = 0和4x -6y + 2 = 0都是直线的一般式表示。
一般式的性质一般式具有许多有用的性质，可以帮助我们理解直线及其特性。
1. 方向性一般式中的系数A和B代表了直线的方向。
具体而言，当B不为零时，直线的斜率为-A/B；当B为零时，直线是垂直于y轴的水平线。
2. 点斜式的转化一般式可以方便地转化为点斜式（斜截式）来描述直线。
通过将一般式转化为y = mx + b形式，其中m是斜率，b是截距，我们可以更直观地理解直线的特性。
3. 直线间的关系使用一般式，我们可以轻松比较两条直线之间的关系。
如果两条直线的系数A、B和C相等，那么它们是同一条直线。
如果两条直线的系数A和B成比例、C不相等，那么它们是平行的直线。
如果两条直线的斜率（通过A和B计算得出）互为倒数，那么它们是垂直的。
4. 距离计算利用一般式，我们也可以计算直线和一个给定点之间的距离。
给定直线的一般式为Ax + By + C = 0，以及一个点P(a, b)，距离计算公式为d = |(Aa + Bb + C) / sqrt(A^2 + B^2)|。
这个公式基于点到直线的垂直距离的定义。
一般式的应用一般式不仅在数学理论中有用，也有许多实际应用。
1. 几何图形通过一般式，我们可以方便地描述和分析几何图形中直线之间的关系。
在计算机图形学中，一般式常用于线段和直线的表示和计算。
2. 建模和仿真在工程建模和仿真领域，一般式常用于描述物体的运动轨迹，例如汽车行驶的道路、飞机的航线等。
通过将物体的运动方程转化为一般式，可以进行更精确的建模和仿真。
直线方程知识点归纳总结高中
直线方程知识点归纳总结高中直线方程是高中数学学科中重要的知识点之一，它在解析几何和代数中起着重要的作用。
本文将对高中直线方程的相关内容进行归纳总结，包括直线的一般方程、点斜式方程、两点式方程和截距式方程等几种常见形式。
同时，还将对直线的斜率和截距的概念进行解释，并提供相关的例题进行说明。
一、直线的一般方程直线的一般方程形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为0。
这种形式的直线方程比较通用，可以表示任意一条直线。
在求解问题时，可以通过已知条件将直线方程转化为一般方程的形式，然后进一步进行计算。
例如，已知直线过点P(2, 3)且斜率为2，我们可以先利用斜率公式求得直线的斜率k=2。
然后，代入点斜式方程y - y₁ = k(x - x₁)中的点P的坐标，得到直线的点斜式方程为y - 3 = 2(x - 2)。
最后，将该点斜式方程转化为一般方程的形式，得到2x - y - 1 = 0。
二、直线的点斜式方程点斜式方程形式为y - y₁ = k(x - x₁)，其中(x₁, y₁)为直线上一点的坐标，k为直线的斜率。
点斜式方程主要用于确定直线上一点和直线的斜率，通过已知条件和该点斜率可以确定直线方程。
例如，已知直线过点A(-1, 4)且斜率为-3，我们可以直接利用点斜式方程得到直线的方程为y - 4 = -3(x - (-1))，简化后为y = -3x + 1。
三、直线的两点式方程两点式方程形式为(y - y₁)/(x - x₁) = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)，其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)为直线上的两个点的坐标。
两点式方程可以直接得到直线的方程，适用于已知直线上两个点的坐标的情况。
例如，已知直线上两点A(-2, 1)和B(3, 4)，我们可以通过两点式方程求得直线的方程为(y - 1)/(x - (-2)) = (4 - 1)/(3 - (-2))，简化后为3x - y+ 5 = 0。
高中直线方程的五种形式
高中直线方程的五种形式直线方程是高中数学中的重要内容之一，掌握不同形式的直线方程将有助于我们更好地理解和应用直线的性质。
在高中数学中，直线方程通常有五种形式：一般式、点斜式、斜截式、截距式和两点式。
这些形式各有特点，下面将一一介绍这五种形式的直线方程。
一、一般式直线的一般式方程为：Ax + By + C = 0。
其中，A、B和C分别代表直线方程的系数，是常数。
在一般式中，直线的方程可以表达为一条线性方程，且A、B和C的取值可以为正数、负数或零。
一般式的优点在于它可以表示任意一条直线，且方程的系数可以通过数学运算来得到。
然而，一般式的缺点在于不容易直接从方程中获得直线的斜率和截距等信息。
二、点斜式点斜式方程是一种比较常用的直线表达形式，它的方程形式为：y - y₁ = m(x -x₁)。
其中，(x₁, y₁)是直线上的一个已知点坐标，m是直线的斜率。
点斜式方程的优点在于通过已知点和斜率可以很容易地确定直线方程。
斜率可以通过两个点之间的纵向变化和横向变化的比值来计算。
然而，点斜式方程的缺点在于当直线垂直于x轴时，斜率不存在。
三、斜截式斜截式方程是一种常用的直线表达形式，也是最常见的一种形式。
它的方程形式为：y = mx + b。
其中，m是直线的斜率，b是直线与y轴相交的截距。
斜截式方程的优点在于它可以直接获得直线的斜率和截距信息，方程简洁明了。
斜截式的缺点在于当直线与x轴平行时，斜率不存在，此时斜截式方程无法表示直线方程。
四、截距式截距式方程是一种常用的直线表达形式，也是最方便使用的一种形式。
它的方程形式为：x/a + y/b =1。
其中，a和b分别是直线与x轴和y轴相交的截距。
截距式方程的优点在于它可以直接获得直线与坐标轴的截距，方程形式简洁。
然而，截距式方程的缺点在于当直线平行于坐标轴时，截距不存在。
五、两点式两点式方程是一种确定直线方程的常用形式，它的方程形式为：(y - y₁)/(y₂ -y₁) = (x - x₁)/(x₂ - x₁)。
高二数学选择性必修件直线的一般式方程
，直线方程退化为水平或竖直直线，此时斜率不存在。
02
混淆方向向量和法向量
方向向量和法向量在直线方程中都有重要作用，但容易混淆。方向向量
与直线平行，而法向量与直线垂直。
03
忽视题目条件
在解题时，需要仔细阅读题目条件，并根据条件选择合适的解题方法。
例如，当题目给出两条直线平行时，可以通过比较系数直接得出结果，
y轴上的截距。
03
点斜式
已知直线上一点 $(x_1, y_1)$ 和斜率 $k$，则直线方程可写 为 $y - y_1 = k(x - x_1)$。
直线一般式方程性质
01
唯一性
在平面直角坐标系中，每一条 直线都有唯一确定的一般式方
程。
02
对称性
若直线 $l_1: Ax + By + C = 0$ 和 $l_2: A'x + B'y + C' = 0$ 平行或重合，则 $AA' +
程，从而进行后续的分析和处理。
06
总结回顾与拓展延伸
重点知识点总结回顾
直线的一般式方程
$Ax + By + C = 0$，其中$A$、 $B$不同时为0。该方程表示一条直
线，其法向量为$(A, B)$。
直线的方向向量
与直线平行的非零向量，可以通过 一般式方程中的系数$A$、$B$构造
得到，例如$(B, -A)$。
步骤三
解这个一元方程，得到该变量的值。
技巧
在代入法中，要选择合适的变量进行代 入，以简化计算过程。
消元法求解步骤和技巧
步骤一
将方程组中的方程进行线性组合，消去 一个未知数。
高二数学直线的一般形式
直线方程的一般式
直线方程的一般式1 直线方程直线方程是代数学中的一类常见方程，用于表示直线的位置和形状，与圆、椭圆等等曲线的方程一样，直线的几何型也是经典几何学中的主要概念，它也用于代数学和几何学中的诸多领域。
直线方程的一般式表示为y=ax+b(a!=0)，其中a和b是两个实数系数，x和y为两个变量，即在坐标平面上的横坐标和纵坐标，它们可以代表直线上的任意一个点。
即：2 直线与坐标轴上的点直线上每一点都有一个唯一的坐标，一般形式上一条直线可以由两个不共线的两个点A(X1, Y1)和B(X2, Y2)表示，直线方程就是用两个点构成的直线表示方法。
又如，当上图中的直线与坐标轴交点相应的横坐标分别为-3和3，纵坐标为4和-4，即A(-3,4)，B(3,-4)，可以推出直线的斜率为1/-1：3 直线方程的斜率斜率是指一条直线与水平坐标轴的夹角，用其倒数或斜率系数表示，斜率系数可由以下公式推出：斜率k= (y2-y1)/(x2-x1)又如，上例中A(-3,4)，B(3,-4)，由上式可推出斜率系数k= (-4-4)/(3+3)= -1/1 = -1。
因此用直线的两个点的坐标配合斜率系数，可以推出原直线方程的一般式表示：y=ax+b4 直线方程的特殊形式当a=1时，直线方程的一般式可简化为y=x+b，又称斜率系数为1的直线方程；当a=0时，直线方程的一般式可以变为y=b，两侧没有变量，此直线方程又称斜率系数为0的变量表达式，这类方程表示的是一条垂直于X轴的直线；5 直线方程的求解由直线方程的一般式表示可知：a的解可以从斜率系数获得，b的解可以从坐标点求出。
求解流程：（1）根据坐标点及斜率系数算出斜率；（2）由斜率系数求a；（3）由一个点求出b；（4）将a和b代入直线方程的一般式即可。
6 直线方程的应用直线方程在日常生活当中具有重要应用，可以用来解决很多实际问题，比如图像图案的设计、统计曲线的拟合分析、科学计算等等。
此外，直线方程还可以用来求解一些变量之间的关系，可以运用曲线拟合的方法去求解两组数据之间的联系，这样就可以从中了解数据是否存在规律。
223 直线的一般式方程(基础知识+基本题型)(含解析)2022高二数学(选择性必修第一册)
2.2.3直线的一般式方程（基础知识+基本题型）知识点一：直线方程的一般式1.定义在平面直角坐标系中，每一条直线都可以用一个关于,x y 的二元一次方程表示，每一个关于,x y 的二元一次方程都表示一条直线，我们把关于,x y 的二元一次方程Ax +0By C +=（其中A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式.2.适用范围在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示.3.几何意义（1）当0B ≠时，A k B -=（斜率），Cb B -=（y 轴上的截距）；（2）当0A ≠时，Ca A-=（x 轴上的截距）.拓展直线方程的五种形式在使用时要根据题目的条件灵活选择，尤其在选用四种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论．求直线方程的方法一般是待定系数法，在使用待定系数法求直线方程时，要注意直线方程形式的选择及适用范围，如点斜式，斜截式适合直线斜率存在的情形，容易遗漏斜率不存在的情形；两点式不含垂直于坐标轴的直线；截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线；一般式适用于平面直角坐标系中的任何直线．因此,要注意运用分类讨论的思想．在高考中,题型以选择题和填空题为主,与其他知识点综合时,一般以解答题的形式出现．知识点三：直线方程的综合应用1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．（1）从斜截式考虑已知直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=,12121212//()l l k k b b αα⇒=⇒=≠；12121211221tan cot 12l l k k k k παααα⊥⇒-=⇒=-⇒=-⇒=-于是与直线y kx b =+平行的直线可以设为1y kx b =+；垂直的直线可以设为21y x b k=-+．（2）从一般式考虑：11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1212120l l A A B B ⊥⇔+=121221//0l l A B A B ⇔-=且12210A C A C -≠或12210B C B C -≠，记忆式（111222A B C A B C =≠）1l 与2l 重合，12210A B A B -=，12210A C A C -=，12210B C B C -=于是与直线0Ax By C ++=平行的直线可以设为0Ax By D ++=；垂直的直线可以设为0Bx Ay D -+=.考点一：直线的一般式方程例1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．（1）斜率是12-，经过点A （8，―2）；（2）经过点B （4，2），平行于x 轴；（3）在x 轴和y 轴上的截距分别是32，―3；（4）经过两点P 1（3，―2），P 2（5，―4）．【答案】（1）x+2y ―4=0（2）y ―2=0（3）2x ―y ―3=0（4）10x y +-=【解析】（1）由点斜式方程得1(2)(8)2y x --=--，化成一般式得x+2y ―4=0．（2）由斜截式得y=2，化为一般式得y ―2=0．（3）由截距式得1332x y +=-，化成一般式得2x ―y ―3=0．（4）由两点式得234(2)53y x +-=----，化成一般式方程为10x y +-=．【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x 的系数为正，x ，y 的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x 项、y 项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．考点二：直线与坐标轴形成三角形问题例2．已知直线l 的倾斜角的正弦值为35，且它与坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l 的方程．【思路点拨】知道直线的倾斜角就能求出斜率，进而引进参数——直线在y 轴上的截距b ，再根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，便可求出b ．也可以根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，设截距式直线方程，从而得出1||62ab =，再根据它的斜率已知，从而得到关于a ，b 的方程组，解之即可．【答案】334y x =±或334y x =-±【解析】解法一：设l 的倾斜角为α，由3sin 5α=，得3tan 4α=±．设l 的方程为34y x b =±+，令y=0，得43x b =±．∴直线l 与x 轴、y 轴的交点分别为4,03b ⎛⎫± ⎪⎝⎭，（0，b ）．∴2142||6233S b b b ∆=±⋅==，即b 2=9，∴b=±3．故所求的直线方程分别为334y x =±或334y x =-±．解法二：设直线l 的方程为1x y a b +=，倾斜角为α，由3sin 5α=，得3tan 4α=±．∴1||||6234a b b a⎧⋅=⎪⎪⎨⎪-=±⎪⎩，解得43a b =±⎧⎨=±⎩．故所求的直线方程为143x y +=±或143x y-=±．【总结升华】（1）本例中，由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说．（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y 轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏．考点三利用一般式研究平行或垂直例3.已知直线l 的方程为34120x y +-=，求直线'l 的方程，'l 满足：（1）过点(1,3)-，且与l 平行；（2）过点(1,3)-，且与l 垂直.解：方法1：由已知，l 的方程34120x y +-=可化为334y x =-+，所以直线l 的斜率为34-.（1）由l 与'l 平行，得直线'l 的斜率为34-.又因为'l 过(1,3)-，由点斜式，知方程为33(1)4y x -=-+，即3490x y +-=.（2）由l 与'l 垂直，得直线'l 的斜率为43.又因为'l 过(1,3)-，由点斜式，知方程为43(1)3y x -=+，即43130x y -+=.方法2：（1）由l 与'l 平行，可设'l 的方程为340x y m ++=.将点(1,3)-代入上式，得9m =-.所以直线'l 的方程为3490x y +-=.（2）由l 与'l 平行，可设'l 的方程为430x y n -+=.将点(1,3)-代入上式，得13m =.所以直线'l 的方程为43130x y -+=.总结：（1）直线1111:0l A x B y C ++=，直线2222:0l A x B y C ++=：①'12210l l A B A B ⇔-= ，且122112210(0)B C B C A C A C -≠-≠或；②'12120l l A A B B ⊥⇔+=.（2）利用平行与垂直的关系巧设方程①与直线0Ax By C ++=平行的直线方程可设为10Ax By C ++=，再由其他条件求1C .注意当1C C =时，两直线重合，当1C C ≠时，两直线平行.②与直线0Ax By C ++=垂直的直线方程可设为20Bx Ay C -+=，再由其他条件求2C .例4（1）过点（-5，-4）且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是．(2)已知直线l 过点(2,1)p ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别为交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则BC △O 面积的最小值为；此时的直线方程为．【解析】欲求“直线与两坐标轴围成的三角形的面积”，设直线方程并求其在两坐标轴上的截距是解题的关键．（1）设所求直线方程为4(5)y k x +=+，依题意有14(5)(54)52k k--=，所以22530160k k -+=（无解）或22550160k k -+=，解得25k =或85k =；所以直线方程是25100x y --=或85200x y -+=．（2）设直线AB 的方程为1(2)(0)y k x k -=-<，则11(2)(12)211 =44211 4(4)()21 442S k k k k k k =----=--+-≥+=△O A B ，当且仅当14kk-=-即12k=-时取等号，故当12k=-时，OABS△有最小值4．此时，直线方程为11(2),2y x-=--即240x y+-=．反思：本题第（2）小题是将面积化成关于斜率k的函数，然后用函数的有关方法求最值．这里的关键是根据函数式的结构特征选用均值不等式．。
2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配湘教版)课件2.2.3直线的一般式方程
解析 由ax+y+a-1=0,可得a(x+1)+y-1=0,
令x+1=0,得x=-1,且y=1,
所以直线恒过定点(-1,1).故选A.
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5.[2024甘肃白银靖远第一中学高二期中]直线(m+n)x+(3m-n)y-6m-2n=0恒
过定点A,则点A的横坐标与纵坐标之和为( B )
综上所述,直线 l 的一般式方程为 3x-2y=0 或 x-y+1=0.
探究点二 含参数的一般式方程有关的问题
【例2】 设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分
别确定m的值:
(1)直线l在x轴上的截距为-3;
(2)直线l的倾斜角为
解 (1)由题意得
解得
π
解 (1)因为直线经过点
斜式方程为
π
√3
B(-√2,2),倾斜角是 ,所以该直线斜率为 ,故直线的点
6
3
√3
√3
√6
y-2= 3 (x+√2),整理得 3 x-y+2+ 3 =0,即该直线的一般式方程为
√3x-3y+6+√6=0.
-5
(2)由两点式方程得
-1-5
=
-(-1)
,整理得
2-(-1)
B.B≠0
C.A·B≠0
D.A2+B2≠0
解析 方程Ax+By+C=0表示直线的条件为A,B不能同时为0,即A2+B2≠0.
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2.直线l:x-2y+k=0(k∈R)过点(0,2),则k的值为( B )
2.2.3直线的一般式方程2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
方法二：(1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0.将点(－ 1,3)代入上式得m＝－9.
∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0. (2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0. 将(－1,3)代入上式得n＝13. ∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.
[规律方法] 1.利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0. (1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)； (2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 2．与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法 (1) 与 直 线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 平 行 的 直 线 方 程 可 设 为 Ax ＋ By ＋ m ＝ 0(m≠C)； (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.
＝1， 化为一般式得 2x－y－3＝0. (4)经过两点 P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线的两点式方程是－y＋4＋22＝
5x－－33， 化为一般式得 x＋y－1＝0.
题型二
利用一般式解决直线的平行与垂直问题
2．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的 方程：
(1)过点(－1,3)，且与l平行； (2)过点(－1,3)，且与l垂直．
对点训练❷ (1)经过点P(5,2)且平行于直线l：3x－y＋1＝0的
直线方程为( D )
A．x＋3y＋11＝0
B．3x－y＋13＝0
C．x＋3y－11＝0
D．3x－y－13＝0
(2)已知直线l经过点P(1，－2)且与直线2x＋3y－1＝0垂直，则l的方
程为( C )
2.2.3直线的一般式方程2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
(3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点;
解:(3)由两点式方程可知,所求直线方程为
化为一般式方程为 2x+y-3=0.
- -(-)
=
,
-- -(-)
[例1] 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般
式方程.
(4)在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1.
的关系确定所求直线的斜率,由点斜式写出方程.
(2)可利用如下待定系数法:与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行
的直线方程可设为Ax+By+C1=0(C1≠C),再由直线所过的点确
定C1;与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的直线方程可设为BxAy+C2=0,再由直线所过的点确定C2.
在 x 轴上的截距为-,在 y 轴上的截距为.
由题意可知,围成的三角形面积 S= ·| |·|- |=4,
得 p=±4 .
所以直线 l′的方程为 4x-3y+4 =0 或 4x-3y-4 =0.
过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法
(1)由已知直线求出斜率,再利用平行(垂直)的直线斜率之间
率 k=.又直线过点(1,0),利用点斜式得所求直线方程为
y-0=(x-1),
即 x-2y-1=0.故选 A.
(2)直线l过点(-1,2),且与直线2x-3y+4=0垂直,则l的方
程是(
)
A.3x+2y-1=0
B.3x+2y+7=0
C.2x-3y+5=0
1.3.3直线方程的一般式2024-2025学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册
【解析】 若选①：因为直线 y＝ 3x－1 的斜率为 3， 所以直线 y＝ 3x－1 的倾斜角为π3，所以直线 l 的倾斜角为π3－1π2＝π4， 所以直线 l 的斜率 k＝tan π4＝1，
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所以直线l的方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0. 若选②： 设直线 l的斜率为k. 因为直线l与直线x＋y－1＝0垂直， 所以k·(－1)＝－1，所以k＝1， 所以直线l的方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0. 若选③：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－1＝k(x－2)， 令x＝0，得y＝－2k＋1，所以1－2k＝－1，解得k＝1， 所以直线l的方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0.
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随堂检测
1. 已知直线 l 过点(－2,1)，且倾斜角是π2，则直线 l 的方程是( )
A. x＋y＋1＝0
B. y＝－12x
C. x＋2＝0
D. y－1＝0
【解析】 由于直线 l 过点(－2,1)，且倾斜角是π2，故直线 l 的方程为
x＝－2，即 x＋2＝0.
【答案】 C
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2. (2024全国专题练习)已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变动时，所有
直线都过定点( )
A. (3,1)
B. (0,1)
C. (0,0)
D. (2,1)
【解析】 直线方程可转化为(x－3)k－y＋1＝0，令－x－y＋3＝1＝0，0， 解 得xy＝ ＝31， ， 所以直线过定点(3,1)．
【答案】 A
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3. (多选)(2023枣庄阶段练习)若ab<0，bc>0，则在下列函数图象中， 不可能是直线ax＋by＋c＝0的图象的是( )
2024年新高二数学提升精品讲义直线的一般式方程(思维导图+3知识点+6考点+过关检测)(原卷版)
2024年新高二数学提升精品讲义直线的一般式方程（原卷版）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．掌握直线的一般式方程；2．理解关于,x y 的二元一次方程0++=Ax By C （,A B 不同时为0)都表示直线；3．会进行直线方程的五种形式之间的转化；4．能运用直线的一般式方程解决有关问题.知识点1直线的一般式方程1、一般式方程的定义在平面直角坐标系中，任意一个关于x ，y 的二元一次方程0++=Ax By C 都表示一条直线．我们把关于x ，y 的二元一次方程0++=Ax By C （其中A 、B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式．2、系数的几何意义（1）当0≠B 时，方程0++=Ax By C 可以写成A C y x B B=--它表示斜率为AB -，在y 轴截上的截距为CB-的直线．特别的，当0A =时，它表示垂直于y 轴的直线．（2）当0=B 时，0A ≠，方程0++=Ax By C 可以写成Cx A=-，它表示垂直于x 轴的直线．3、一般式方程适用范围直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线．知识点2直线的一般式方程与其他形式方程的互化1、一般式方程的桥梁作用：直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式方程四种形式之间的互化，一般要利用一般式方程作为桥梁，现将一种形式的方程化为一般式方程，然后将一般式方程转化为另一种形式．2、一般式化为斜截式的步骤（1）移项得By Ax C =--；（2）当0B ≠时，得斜截式方程A C y x B B=--．3、一般式化为截距式的步骤（1）把常数项移到方程右边，得Ax By C +=-；（2）当0C ≠，方程两边同时除以C -，得1Ax ByC C+=--；（3）化为截距式方程：1x y C C A B+=--．知识点3一般式方程的平行与垂直1、平行与垂直的系数关系已知直线12,l l 的方程分别是1111:0++=l A x B y C （11,A B 不同时为0），2222:0++=l A x B y C （22,A B 不同时为0）（1）若1212120+=⇔⊥A A B B l l （2）若12211212210//0-=⎫⇔⎬-≠⎭A B A B l l A C A C 2、平行与垂直的直线系方程（1）平行直线系：与直线0++=Ax By n 垂直的直线方程可设为0++=Ax By m （2）垂直直线系：与直线0++=Ax By n 垂直的直线方程可设为0-+=Bx Ay m考点一：直线一般式方程及辨析例1．（23-24高二上·广东惠州·330x y --=的倾斜角为（）A ．120B ．60C ．30D ．150【变式1-1】（23-24高二上·全国·课后作业）若方程()()2223410m m x m m y m +-+--+=表示一条直线，则实数m 满足（）A ．0m ≠B ．32m ≠-C ．1m ≠D ．1m ≠，32m ≠，0m ≠【变式1-2】（23-24高二上·浙江金华·月考）（多选）已知直线:0l Ax By C ++=，其中,A B 不全为0，则下列说法正确的是（）A ．当0C =时，l 过坐标原点B ．当0AB >时，l 的倾斜角为锐角C ．当0,0B C =≠时，l 和x 轴平行D ．若直线l 过点00(,)P x y ，直线l 的方程可化为()()000A x xB y y -+-=【变式1-3】（23-24高二上·贵州·开学考试）（多选）已知直线:0l Ax ByC ++=（,A B 不同时为0），则（）A ．当0,0AB =≠时，l 与x 轴垂直B ．当0,0,0A BC ≠==时，l 与y 轴重合C ．当0C =时，l 过原点D ．当0,0A B >>时，l 的倾斜角为锐角考点二：一般式方程的图象判断例2.（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，直线1:0l ax y b -+=与2:0(0,)l bx y a ab a b -+=≠≠的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．【变式2-1】（23-24高二上·山东枣庄·月考）（多选）若0ab <，0bc >，则在下列函数图象中，不可能是直线0ax by c ++=的图象的是（）A ．B ．C ．D ．【变式2-2】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）（多选）如果0,0AC BC <>，那么直线0Ax By C ++=通过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【变式2-3】（23-24高二上·新疆·期中）（多选）已知0abc ≠，直线:0l ax by c ++=经过第一、二、四象限，则（）A ．0ab >B ．0bc <C ．0ac <D ．0<a 考点三：一般式下的平行问题例3.（22-23高二上·广西河池·月考）直线20x y m ++=与直线420x y n +-=的位置关系是（）A ．平行B ．相交C ．不确定D ．重合【变式3-1】（23-24高二上·河北石家庄·月考）若直线340ax y +-=与()220x a y +++=平行，则=a （）A ．1B ．3-C ．1或3-D ．32-【变式3-2】（23-24高三上·江苏连云港·月考）“1λ=-”是“直线1l ：90x y λ++=与2l ：()2330x y λλ-++=平行”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【变式3-3】（23-24高二上·江苏扬州·月考）已知直线l 过点(1,0)且与直线:250m x y -+=平行，则直线l 的方程为（）A ．220x y +-=B ．220x y --=C ．210x y --=D ．210x y -+=考点四：一般式下的垂直问题例4.（22-23高二·江苏·假期作业）直线0cx dy a ++=与0dx cy b -+=(,c d 不同时为0)的位置关系是（）A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．与a b c d ,,,的值有关【变式4-1】（23-24高二上·上海·期末）已知直线1:0++=l ax by c ，直线2:0l mx ny p ++=，则1ambn=-是直线12l l ⊥的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件【变式4-2】（23-24高二上·福建福州·期末）若直线1:210l ax y +-=与直线21:(1)02l a x y ---=垂直，则实数a 的取值是（）A ．1a =-或2a =B ．1a =-C ．2a =D ．23a =【变式4-3】（22-23高二上·云南临沧·月考）已知直线l 经过点()2,1P -，且与直线2310x y ++=垂直，则直线l 的方程是（）A ．2370x y +-=B ．3280x y +-=C ．2310x y --=D ．3280x y --=考点五：含参直线过定点问题例5.（22-23高二上·山东菏泽·月考）直线130kx y k -+-=，当k 变动时，所有直线都通过定点（）A ．()3,1B ．()0,1C ．()0,0D ．()2,1【变式5-1】（23-24高二上·四川宜宾·期中）无论k 为何值，直线()()21240++---=k x k y k 都过一个定点，则该定点为（）A ．()2,0-B ．()0,2C ．()2,0D ．()0,2-【变式5-2】（23-24高二上·全国·专题练习）已知a ，b 满足21a b +=，则直线30ax y b ++=必过定点（）A ．1,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,62⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,26⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．12,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【变式5-3】（23-24高二上·甘肃白银·期中）直线()()2036m n x y m n m n ++--=-经过定点A ，则点A 的横坐标与纵坐标之和为（）A ．3B ．4C ．5D ．6考点六：直线的综合应用例6.（23-24高二上·广东中山·月考）在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为(3,2)A -，(4,3)B ，(2,1)C ．(1)求经过点A 且与直线BC 平行的直线方程；(2)在ABC 中，求BC 边上的高线所在的直线方程．【变式6-1】（23-24高二上·上海嘉定·期末）已知方程()()222321620m m x m m y m --++-+-=（m ∈R ）．(1)求该方程表示直线的条件；(2)当m 为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程；(3)直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由．【变式6-2】（23-24高二上·安徽黄山·期中）已知直线()21R l y kx k k =-+∈：．(1)若直线l 不经过第二象限，求k 的取值范围．(2)若直线l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点，当△AOB 的面积为92时（O 为坐标原点），求此时相应的直线l 的方程．【变式6-3】（23-24高二上·重庆永川·月考）已知直线l 过点()3,2M .(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；(2)若l 与x 轴正半轴的交点为A ，与y 轴正半轴的交点为B ，求当AOB （O 为坐标原点）面积的最小值，直线l 的方程..一、单选题1．（23-24高二上·浙江杭州·期中）直线:1l x =的倾斜角为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π2．（23-24高二上·陕西·期中）若直线1l ：210++=mx y 与直线2l ：2102x m y -+=垂直，则实数m 的值为（）A ．0B ．12-或0C ．0或12D ．123．（23-24高二上·广西百色·期末）若直线210ax y ++=和()10x a y a +++=平行，则a 的值为（）A ．2a =-B ．1a =C ．2a =-或1a =D ．1a =-4．（23-24高二上·河南焦作·月考）若直线0Ax By C ++=经过第一、二、三象限，则（）A ．0AB >，0BC >B ．0AB >，0BC <C ．0AB <，0BC >D ．0AB <，BC <5．（23-24高二上·福建泉州·月考）直线l 过点54（，），且方向向量为12（，），则（）A ．直线l 的点斜式方程为52(4)y x -=-B ．直线l 的斜截式方程为132x y =+C ．直线l 的截距式方程为136x y+=-D ．直线l 的一般式方程为260x y -+=6．（23-24高二上·广东肇庆·期末）直线l ：210x y -+=与y 轴的交点为A ，把直线l 绕着点A 逆时针旋转45 得到直线l '，则直线l '的方程为（）A ．210x y +-=B ．310x y -+=C ．310x y +-=D ．330x y +-=二、多选题7．（23-24高二上·浙江金华·月考）已知直线()()12:120:110l a x ay l ax a y +++=+--=，，则（）A ．1l 恒过()22-，B ．若12l l ∕∕，则212a =C ．若12l l ⊥，则21a =D ．当12a =时，2l 不经过第三象限8．（23-24高二上·青海西宁·月考）已知直线l 的方程为20ax by +-=，则下列判断正确的是（）A ．若0ab >，则直线l 的斜率小于0B ．若0,0b a =≠，则直线l 的倾斜角为90︒C ．直线l 可能经过坐标原点D ．若0,0a b =≠，则直线l 的倾斜角为0︒三、填空题9．（23-24高二上·福建泉州·期末）直线:(1)240l x m y m ++--=恒过定点.10．（23-24高二上·北京·期中）经过点()1,2M 且与直线280x y -+=垂直的直线方程为.11．（23-24高二上·北京西城·期末）过点()2,3A -且与直线30x y ++=平行的直线方程为.四、解答题12．（23-24高二上·全国·单元测试）已知直线1l ：2240kx y k --+=，直线2l ：224480k x y k +--=.(1)若直线1l 在两坐标轴上的截距相等，求直线1l 的方程；(2)若12//l l ，求直线2l 的方程.13．（22-23高二上·云南临沧·月考）已知直线():20l kx y k k -++=∈R .(1)若直线不经过第三象限，求k 的取值范围；(2)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于,B AOB 的面积为S （O 为坐标原点），求S 的最小值和此时直线l 的方程.。
高二数学直线的一般式方程2
.
B
.A
O
x
练习：
1、直线Ax+By+C=0通过第一、二、三象限，则(
(A) A· B>0,A· C>0 (C) A· B<0,A· C>0 (B) A· B>0,A· C<0 (D) A· B<0,A· C<0
)
2、设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且 │PA│=│PB│，若直线PA的方程为x-y+1=0，则 直线PB的方程是( ) A.2y-x-4=0 B.2x-y-1=0 C.x+y-5=0 D.2x+y-7=0
例3、设直线l 的方程为 （m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6，根据下列 条件确定m的值： （1） l 在X轴上的截距是-3； （2）斜率是-1.
例题分析
例4、利用直线方程的一般式，求过点(0,3)并且 与坐标轴围成三角形面积是6的直线方程.
;
风水
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160条
很多，不厌其烦地说道，“这几年啤酒厂效益还算不错，企业人数不断扩大，进了不少人，目前共有七百多人。部门有单位办公室、财 务科、生产科、质量科、供应科、物管科、总务科、销售科、人保科、宣教科、党委、工会、能计科、技改办、医务室、杂工组，还有 幼儿园和计划生育办公室，反正该设的部门都设了，也许是为了和管理相关部门对接的方便。”“呵！人还真不少，为什么还要到外面 去招人？”马启明不解地问道。张钢铁不是一般的健谈，而是相当健谈，对马启明的提问都能做出圆满地回答。马启明也尽量想从张钢 铁那里了解啤酒厂的过去、现在。不是有一句话，忘记历史就等于背叛，为了更好地开创未来嘛。“你们是大学生，是技术人员，厂里 很需要你们这些人，目前厂内有文凭的人还真不多。你们来的那天，厂长、总工都请你们吃饭，这说明啥？说明厂子对你们重视，好好 干吧。你们将来大有用武之地。”“张主任，这个厂年产啤酒是多少？”马启明紧接着又问道，面对马启明接二连三的提问，张钢铁谈 性更浓了，可以说是汹涌澎拜了。他立刻答道：“当初每年只有3000吨啤酒，现在每年啤酒产量大概是3万多吨。八十年代，花开啤酒 在轻工部举办的全国啤酒竞赛中还获得了金奖，这在当时，真的是天大的荣誉。”张钢铁沉浸在美好的记忆当中，喜悦和自豪之情溢于 言表。马启明激情被点燃了，脑海中突然灵光一动，迸出一个想法并脱口而出：“花开啤酒,雄鹰！”当初牛顿被苹果砸到头的时候， 也是这样的吗！“花开啤酒，雄鹰，你说的是什么杲梓？”张钢铁有点丈二高的和尚——摸不着头脑。看着张钢铁不解的表情，马启明 突然笑了：“我也不知怎地‘呼’地一下子感到花开啤酒就像一只展翅翱翔的雄鹰。”张钢铁仔细地想了一下，笑着说道：“对对对， 花开啤酒就像一只雄鹰，在天空中翱翔的雄鹰，这个比喻比得好，花开啤酒就像雄鹰一样。”说着，他用欣喜的目光看着马启明，心想 看来马启明没有把书念到狗肚里，这比喻打得贴切生动。马启明也迷茫地望着他，显而易见，刚才“杲梓”两字在他的脑子里还是一片 空白。“杲梓是什么意思？”马启明问道。“杲梓是我们这个地方方言，就是东西的意思。言归正传，说到花开啤酒在全国啤酒竞赛中 获得金奖的事，就不能不提到一个人，就是我们厂的总工程师、高级工程师、我国第一代啤酒专家、啤酒界的技术权威冯力雄。有一次 我陪他出去参加全国性的啤酒技术研讨会，他在大会上做的专题报告，题目到现在我还记得，叫做《啤酒生产新技术与装备发展与展 望》。演讲时整个会场鸦雀无声，会后向他请教的人挤得密密匝匝，那场面至今还历历在目，全国啤酒研讨会呀！”张钢铁看了一眼马 启明、自豪地说。马启明也注意到，他在
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⑴直线和Y轴相交时：此时倾斜斜角α≠π/2，直线的斜 率k存在，直线可表示成y =k x+b（是否是二元一次方程？） ⑵直线和Y轴平行（包括重合）时：此时倾斜角α=π/2， 直线的斜率k不存在，不能用y =ｋｘ＋ｂ表示，而只能表 示成ｘ＝ａ（是否是二元一次方程？） 结论：任何一条直线的方程都是关于ｘ，ｙ的二元一次方程。 ②任何关于x，y的一次方程Ax+By+c=0（A，B不同时为零） 的图象是一条直线 ⑴B≠0时，方程化成 这是直线的斜截 式，
③在x轴和y轴上的截距分别是3/2，- 3；
④经过两点P1（3，-2），P2（5，-4）；
y+2 -2
x-3 = 2
，x+y-1=0，
2已知直线Ax+By+C=0 ①当B≠0时，斜率是多少？当B=0呢？
答：B≠0时，k= -A/B；B=0时，斜率不存在；
②系数取什么值时，方程表示通过原点的直 线？
1、直线方程的一般式Ax+By+c=0（A，B不同时为零）的两 方面含义：
(1)直线方程都是关于x,y的二元一次方程 （2）关于x,y的二元一次图象又都是一条直线
2、掌握直线方程的一般式与特殊式的互化。
布置作业：
7· 2
8，9，10
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/ 农业种植养殖技术 yrg13zua
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
x y 1 a b
bx ay ( ab) 0
上述四式都可以写成直线方程的一般形式：
Ax+By+C=0, A、B不同时为0。
㈡讲解新课： ①直角坐标系中，任何一条直线的方程都是关于x，y的一 次方程。
例1：已知直线经过点A（6，- 4），斜率 为 – 4/3，求直线的点斜式、一般式和截距 式方程。 解：经过点A（6，- 4）并且斜率等于- 4/3 的直线方程的点斜式是 y + 4 = -4/3 （x – 6）
化成一般式，得
截距式是：
4x+3y – 12=0
巩固训练（一） 若直线l在x轴上的截距-4时，倾斜角的余弦值 是-3/5， 则直线l的点斜式方程是___________
例3：设直线l的方程为（m2-2m-3）x+（2m2+m-1） y=2m-6根据下列条件确定m的值（1）l在x轴上的 截距是-3；（2）斜率是-1。 解：（1）由题意得
(2)由题意得
巩固训练（三） 1、若直线（2m2-5m-3)x-(m2-9)y+4=0的倾 斜角为450，则m的值是 （ B ） （ A） 3 （B） 2 （C）-2 （ D） 2与 3
直线l的斜截式方程是___________ 4x+3y+16=0 直线l的一般式方程是___________
例2：把直线L的方程x –2y+6= 0化成斜截式， 求出直线L的斜率和它在x轴与y轴上的截距， 并画图。 y
3
解：将原方程移项，得2y = x+6， 两边除以2，得斜截式
-6
o
x
因此，直线L的斜率k=1/2，它在y轴上的截距是3 ， 令y=0，可得 x= -6即直线L在x轴上的截距是- 6
它表示为斜率为 – A/B，纵截距为- C/B的直线。
⑵B＝0时，由于A，B不同时为零所以A≠0，此时，Ax+By+ C=0可化为x= -C / A，它表示为与Y轴平行（当C=0时）或重合 （当C=0时）的直线。
思考：直线与二元一次方程具有什么样的关系？
结论:(1)直线方程都是关于x,y的二元一次方程 （2）关于x,y的二元一次图象又都是一条直线。 我们把方程Ax+By+c=0（A，B不同时为零）叫做 直线方程的一般式。所以直线和二元一次方程是 一一对应。
3
y
O x
∴A=±C/4 ∴方程为
所求直线方程为3x-4y+12=0或3x+4y-12=0
巩固训练（四）：
⒈根据下列条件写出直线的方程，并且化成一般式： ①斜率是 – 0.5，经过点A（8，-2）；
y+2= - 0.5（x-8），x+2y-4=0，
②经过点B（4，2），平行于X轴；
y=2，y-2=0
巩固训练（二） 设直线l的方程为Ax+By+c=0（A，B不同时为 零） 根据下列各位置特征，写出A，B，C应满足的 关系： C=0 直线l过原点:____________
A+B+C=0 直线l过点(1,1):___________ A=0,B=0,C=0 直线l平行于 轴:___________ A=0,B=0,C=0 直线l平行于轴:____________
答：C=0时，表示直线过原点。
⒊求下列直线的斜率和在Y轴上的截距，并 画出图形： ①k= - 3，B=5； ①3x+y-5=0
②x/4 －y/5 =1
③x+2y=0 ④7x－6y+4=0
②k=5/4，b= -5 ； ③k= -1/2，b=0； ④k=7/6，b=2/3 ⑤k=0，b=7/2。
⑤2y－7=0
截距式：已知直线在X轴Y轴上的截距为a，b，
则直线的方程是
x y 1 a b
②上述四种直线方程，能否写成如下统一形式？ ? x+ ? y+ ? =0
y y1 k ( x x1 )
kx (1) y y1 kx1 0
kx (1) y b 0
( y2 y1 ) x ( x1 x2 ) y x1 ( y1 y2 ) y1 ( x2 x1 ) 0
意拖长声音喊道。“恩……啊！”慕容凌娢想回头看，结果脚下一滑，树枝断掉了，她没来得及抓住窗台就摔了下来。“艾玛，我的老腰啊～ 小茉莉，我几乎是一条死咸鱼了。”慕容凌娢躺在地上痛哭的呻 吟，为什么自己这么倒霉！“你的意思是……让我吃了你吗？”茉莉半蹲着小 声问。“不是。”慕容凌娢被吓到了，几乎是像咸鱼翻身一样跳起来的。“那就别磨 蹭！”茉莉命令道，“百蝶让我找你过去，你赶快准备一 下。”“可是那边人那么多，我方……而且我腰疼，能不能休息一次？”“不行。”茉莉不由分说，拽起慕容凌娢然后跳到了二楼。“厉 害……这算是妖术还是武功？”“谁会没事用妖术，麻烦而且容易被人怀疑……”茉莉把慕容凌娢按到梳妆台前，并且从抽屉里拿出了妆粉， 螺黛，胭脂，花铀之类的东西。“不是妖术……那我可以学了？”“也许。”茉莉说着往她脸上涂了一些妆粉。“这这这……铅粉不是有毒吗？ 我平时都不敢碰的。”慕容凌娢表情十分夸张，就像有人向她破硫酸了一样。“不是铅粉，是用粟米和香料制成的香粉。”“那就好……”争 执不过茉莉，又不敢惹百蝶，慕容凌娢只好任由茉莉摆弄自己，反正就是去弹首曲子，一会儿就能回来，她这样自我安慰。(古风一言)迎风而 立共赏桃花，不为姻缘，只为追寻你的笑颜第091章 只会搞事情“这这这……铅粉不是有毒吗？我平时都不敢碰的。”慕容凌娢表情十分夸张， 就像有人向她破硫酸了一样。“不是铅粉，是用粟米和香料制成的香粉。”“那就好～”争执不过茉莉，又不敢惹百蝶，慕容凌娢只好任由茉 莉摆弄自己，反正就是去弹首曲子，一会儿就能回来，她这样自我安慰。茉莉挖了一些黛粉，给慕容凌娢画了一双秋波眉，沾取一些胭脂，用 指尖抹在眼上一直晕染到眼角，然后又在她的额头上贴了一片樱花形的花铀。“好了。”茉莉将面纱递给慕容凌娢。“哇噢～”慕容凌娢得意 的看着铜镜中的自己，自恋的不能行。“没想到高冷的我可以这么可爱，可以去cos我家女神了……”慕容凌娢带上面纱，忍不住又凑近了镜子 再看，面纱遮住了大部分的面庞，但是却更突出了那双灵动的眼睛。她的眼睛不算太大，但确是很好看的杏仁形，经过胭脂的晕染，更是显得 波光潋滟，朦胧的双眸充满了柔情，令人顿生恋爱之意。“看够了没有。”茉莉清冷的语气再次打断了慕容凌娢自恋的幻想。“哦……”慕容 凌娢不情愿的起身，换上了一套鹅黄色的轻纱礼服，“百蝶有规定要我弹什么曲子吗？”“没有。”“那就好。”“你因该知道这次宴会的重 要性，所以……别乱来。”茉莉警告道。“当然不会乱来。”慕容凌娢极其有诚意的点点头。什么啊，居然把我想成那种只会搞事情的人！虽 然心里
㈠复习提问：
①直线方程有几种形式？
点斜式：已知直线上一点P1（x1，y1）的坐标， 和直线的斜率k，则直线的方程是 y y k ( x x ) 1 1 斜截式：已知直线的斜率k，和直线在y轴上的 截距b则直线方程是 y kx b
两点式：已知直线上两点P1（x1，y1），P2（x2， y2）则直线的方程是： y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
2、若直线(m+2)x+(2-m)y=2m在x轴上的截 -6 距为3，则m的值是__________
例4：利用直线方程的一般式，求过点（0，3） 并且与坐标轴围 成三角形面积是6的直线方程。 解：设直线为Ax+By+C=0， ∵直线过点（0，3）代入直线方程 得3B= -C， B= －C/3
又直线与x，y轴的截距分别为x= -C/A ,y= -C/B 由三角形面积为6得