数理统计知识梳理

X 1, X
2
,… ， X
n
它们都是随机变量 抽样的过程要求具有代表性和独立性

设总体为随机变量X，n 维随机向量
( X 1 , X 2 ,… ， X n ) 称为X的简单随机样本，简称样本，若
（1）每个 X i 与X有相同的分布； （2）( X 1 , X 2 , … ， X n ) 相互独立

服 从 自 由 度 为 （ k 1， k 2） 的 F 分 布 ， 记 F （ k 1， k 2） 。

F分布一个重要特点
F1（ k 1， k 2） =
1 F（ k 2， k 1）
3、统计量
设 X 1 , X 2 , … ， X n 是 来 自 总 体 X 的 一 个 样 本 ， g( x1 , x 2 , … ， x n ) 是 一 个 连 续 函 数 。 如 果 g中 不 包 涵 任 何 未 知 数 参 数 ， 则 称 g(X 1 , X 2 , … ， X n )为 统 计 量 。
3、两类错误

略
1、关于正态总体均值的假设检验
的置信区间（
S， 2 S） （ n 1） （ n 1）
2 2 1 2
（ n-1 ）
（ n-1 ）
三、假设检验
1、基本思想 假设检验是一种概率性质的反证法。人们普 遍的经验认为小概率事件在一次试验中很难 发生，假设检验就是以这条经验作为原则， 认为如果小概率事件在一次试验中发生可以 推翻原假设。
2
X S/ n
~ t （ n 1） P{|
X S/ n
| t （ n 1） 1 }
1 2
的 置 信 区 间 （X t （ n-1 ）
1 2
S n
， t （ n-1 ） X
1 2
S n
）
（ 3） 求 和 的 置 信 区 间
2
由
i 1 n
称为样本的似然函数。
最大似然估计法的基本思想： 找出使样本观察值出现的概率为最大的参数 值，将它作为未知参数的估计值 怎样使样本观察值出现的概率为最大？


求似然函数的最大值点
^ ^ ^
若 似 然 函 数 L L （ x 1， x 2， … x n； 1， 2， … m） 在 1， 2， m 取 到 最 大 … 值 ， 则 称 1， 2， m 分 别 为 1， 2， … m的 最 大 似 然 估 计 。 …
n称为样本容量，( X , X
1
2
,… ， X n )
也称为来自总体的样本
由于样本
( X 1 , X 2 ,… ， X n )
是n次试验的结果，因此它们是
n个随机变量。但做了试验后，记录下来的是它们在试 验中所取得的数值，得到一串数据
( x1 , x 2 , … ， x n )
这串数据称为样本的观察值。
常用统计量
（ 1） 样 本 均 值 ： X =
X n
i 1
1
n
i n
（ 2） 样 本 方 差 （ 修 正 ） ： S
2
1 n-1
（ X i X）
2 i 1 2
（3） 样 本 标 准 差 ： S
2
1 n-1
（ X i X）
i 1
n
（ 4） 样 本 心 矩 ： M k
i 1 n
x 1， x 2， … x n， 记 联 合 密 度 L L （ x 1， x 2， … x n； 1， 2， … m） = f （ x ， 1， 2， … m）
i 1 n
称为样本的似然函数。
对 于 离 散 型 总 体 X ， 设 它 的 概 率 分 布 为 P{X x} p （ x ， 1， 2， … m） 对 于 给 定 的 一 组 样 本 值 x 1， x 2， … x n， 记 联 合 概 率 分 布 L L （ x 1， x 2， … x n； 1， 2， … m） p （ x ， 1， 2， … m）
2
X
/ n
~ N （0,1 ）
P{|
X
/ n
1
|
1

2
} 1 } 1
即 P {X

n
1

2
X

n

2
的 置 信 区 间 （X

n
1

2
， X

n
1

2
）
（ 2） 未 知 ， 求 的 置 信 区 间 ， 用 S 代 替
数理统计知识梳理
一、重要知识点
1、基本概念 （1）总体与个体 在统计学中，人们习惯的把所研究的全部元 素组成的集合称为总体，而把组成总体的每 个元素称为个体。


为了便于分析，我们常常把要研究的随机变 量X定义为总体，所谓总体的分布也就是指随 机变量X的分布


（2）样本 为了对总体X的分布规律进行各种研究，就必须进 行抽样观测。 假设我们做了n次观测，观测的结果记为
^
^
^
优良性评估
（1）无偏性：参数与其估计量同期望 （2）有效性：方差最小 （3）一致性：依概率收敛

区间估计
设 总 体 的 一 个 未 知 参 数 ， 若 对 给 定 0 1)， 统 计 量 （
1 （ x 1， x 2， … x n） 和 2 （ x 1， x 2， … x n） ，1 2 ， 1 2
t

k
服 从 自 由 度 为 k 的 t分 布 ， 记 t（ k ）

（3）F分布
设 随 机 变 量 X与 Y独 立 ， 并 且 都 服 从 分 布 ， 自 由 度 分 别 为
2
k 1， k 2， 即 X ~ （ k 1） ， Y~ （ k 2） ,则 随 机 变 量
2 2
F=
X/k 1 Y/k 2
似 然 方 程 组 ： 由 多 元 函 数 求 极 值 的 方 法 ， 知 1， 2， m 必 须 满 足 方 程 组 ： … L 0 1 L 0 2 …… L 0 m
^ ^ ^
^
^
^
由 于 ln L 与 L 在 相 同 的 1， 2， m 达 到 极 大 值 ， 所 以 在 实 际 应 用 中 … 往往用更为简单的对数形式 ln L 0 1 ln L 0 2 …… ln L 0 m 通常，极大似然估计量具有一致性，但不一定具有无偏性。
^
的 估 计 值 。
最大似然估计法

1、似然函数
对 于 连 续 型 总 体 X ， 设 X 的 密 度 函 数 为 f （ x ， 1， 2， … m） 设 X 1， X 2， … X n 是 来 自 总 体 X 的 一 个 样 本 ， 则 X 1， X 2， … X n 的 联 合 密 度 为 f （ x ， 1， 2， … m） 对 于 给 定 的 一 组 样 本 值 ，
n 1
2
S ~ （ n 1）
2 2
有 P{
2 1
（ n 1） <
2
n 1
2
S （ n 1） }=1
2 2 2 2 2
（ n-1 ） S （ n-1 ） S 2 得 的置信区间（ 2 ， 2 ） （ n 1） （ n 1）
2 1 2

2、步骤
（ 1） 提 出 原 假 设 H 0 （ 2） 选 择 检 验 的 统 计 量 并 找 出 在 假 设 H 0 成 立 的 条 件 下 ， 该 统 计 量 所服从的概率分布 （ 3） 根 据 所 给 的 显 著 水 平 ， 查 概 率 分 布 临 界 值 表 ， 找 出 检 验 统 计 量 的 临 界 值 ， 并 确 定 否 定 域 （ 4） 用 样 本 值 计 算 统 计 量 的 值 ， 将 其 与 临 界 值 比 较 ， 根 据 比 较 结 果 ， 确 定 样 本 值 是 否 落 入 否 定 域 ， 最 后 对 H 0作 出 结 论
2分 布 的 重 要 性 质
X 1 ~ （ m ） ， X 2 ~ （ n ） ， 则 X 1 X 2 ~ （ m + n ）
2 2 2

（2）t分布
设 随 机 变 量 与 独 立 ， 并 且 服 从 标 准 正 态 分 布 N （0， ， 1）
服 从 自 由 度 为 k的 2分 布 ， 则 随 机 变 量
X n
i 1 n
1
n
k i
1 n
（ X i X）
k i 1
二、参数估计
1、点估计 （1）最大似然估计 （2）矩估计 2、区间估计

点 估 计 问 题 就 是 要 根 据 总 体 X 的 样 本 （ X 1， X 2， … X n） 去 估 计 未 知 参 数 ， 即 构 造 统 计 量 T = h （ X 1， X 2， … X n） 作 为 的 估 计 。 通 常 记 作 （ X 1， X 2， … X n） ， 用 以 估 计 未 知 参 数 的 统 计 量 h 称 为 估 计 量 。 如 果 （ x 1， x 2， … x n） 是 样 本 观 察 值 ， 则 T = h （ x 1， x 2， … x n） 就 是 估 计 量 T 的 观 察 值 。 或 称 为 未 知 参 数
样本的观察值就是指样本的一次实现， 是一个常数向量

有时样本观察值也称为样本，因此样本一词 具有二重性
2、几种重要分布