矩形复习
中考数学复习矩形【培优讲练】
9.4.1 矩形同步培优讲练综合知识点1：矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.知识点2：矩形的性质1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.知识点3：矩形的判定1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.一、矩形性质的认识【例1】下列性质中矩形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形【例2】关于矩形，下列说法错误的是()A．四个角相等B．对角线相等C．四条边相等D．对角线互相平分【例3】下列说法中能判定四边形是矩形的是()A ．有两个角为直角的四边形B ．对角线互相平分的四边形C ．对角线相等的四边形D ．四个角都相等的四边形二、利用矩形的性质求角度【例1】如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB C D '''的位置，若旋转角为20︒，则1∠为（ ）A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒【例2】如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O .若60AOB ∠=︒，则OCB ∠的度数为（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°【例3】如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于E ，若30DAO ∠=︒，则BEO ∠的度数为( )A ．45︒B ．60︒C ．65︒D ．75︒三、利用矩形的性质求线段【例1】如图，在矩形COED 中，点D 的坐标是()3,4，则CE 的长是（ ）．A ．3B ．4C ．5D ．6【例2】如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点E 在BC 边上，且1BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边作等边EFG ，且点G 在矩形ABCD 内，连接CG ，则CG 的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．1 D【例3】如图，在ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，P 为边BC 上一动点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为__．四、利用矩形的性质求面积【例1】如图，矩形ABCD 中，4=AD ，10AB =，点E 为直线AB 的一点，连EC ，平移EC 至DF ，连接DE 、CF ，则四边形DECF 的面积是（ ）A ．15B ．40C ．20D ．30【例2】如图，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF //BC ，分别交AB ，CD 于点E ，F ，连接PB ，.PD 若2AE =，8.PF =则图中阴影部分的面积为______．【例3】如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则S △ECF 的值为____．五、矩形有关的折叠问题【例1】如图，矩形ABCD 中，AB =4，AD =6，点E 为AD 中点，点P 为线段AB 上一个动点，连接EP ，将△APE 沿PE 折叠得到△FPE ，连接CE ，DF ，当线段DF 被CE 垂直平分时，AF 则线的长为_______．【例2】如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝10cm，BC＝3cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B'，C'上．在点M从点A运动到点B的过程中，若边MB'与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长为_____cm．【例3】如图，在长方形ABCD中，点M为CD中点，将△MBC沿BM翻折至△MBE，若∠AME＝α，∠ABE＝β，则α与β之间的数量关系为________．△，C D'与AB交于点E，若【例4】如图，将长方形纸片ABCD沿BD所在直线折叠，得到BC D'∠=︒，则2125∠的度数为_________．六、矩形的判定 解答题【例1】如图，ABC ∆中，AC BC =，CD AB ⊥于点D ，四边形DBCE 是平行四边形．求证：四边形ADCE 是矩形．【例2】如图，在ABC ∆中，//AE BC ，AB AC =，D 为BC 中点，AE BD =．（1）求证：四边形AEBD 是矩形．（2）连接CE 交AB 于点F ，若30ABE ∠=︒，2AE =，直接写出EC 的长．【例3】问题情境：在综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中的旋转问题”，如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，()0,0O ，点()5,0A ，点()0,3B ．操作发现：以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ．(1)如图，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；(2)继续探究：如图，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H ，求证：ADB AOB ≌；≠，将ABC沿AC翻折至AB C'，连接B D'．【例4】在平行四边形ABCD中，AB BC'=；(1)求证：B E DE'∥；(2)求证：B D AC(3)在平行四边形ABCD中，已知：460，，将ABC沿AC翻折至AB C'，连接B D'．若以BC B=∠=︒A、C、D、B'为顶点的四边形是矩形，求AC的长．BC=．对角线AC的垂直平分线分别交AB、CD于点【例5】已知：如图，在矩形ABCD中，4AB=，2E、F．求线段CF的长．【例6】如图①，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD =1，AB =5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN相交于点K，得到△MNK，如图①．(1)当点M与点A重合（如图②），且∠BMN=15°时，求△MNK的面积；(2)请你利用备用图探究怎样能够能够使折叠出△MNK的面积最大，最大值是多少【例7】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点E从点A出发，沿边AD，DC向点C运动，A，D关于直线BE的对称点分别为M，N，连接MN．(1)如图，当E在边AD上且DE＝2时，求∠AEM的度数．(2)当N在BC延长线上时，求DE的长，并判断直线MN与直线BD的位置关系，说明理由．(3)当直线MN恰好经过点C DE的长．1．如图，在长方形ABCD中，连接AC，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AD，AC于点E，F，分别以E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧在DAC∠内交于点H，画射线AH交DC于点M．若68ACB∠=︒，则DMA∠的大小为（）A．34︒B．56︒C．66︒D．68︒2．如图，矩形ABCD 中，3AB =，两条对角线,AC BD 所夹的钝角为120︒，则对角线BD 的长为( )A ．3B ．6C ．D ．103．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为点E ，若2EAC CAD ∠=∠，则BAE ∠的度数为（ ）A ．20︒B ．22.5︒C ．30︒D ．45︒4．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作OE BD ⊥，交AD 于点E ，若20ACB ∠=︒，则AOE ∠的大小为__________．5．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，DE AC ⊥于E ，:1:2EDC EDA ∠∠=，则ODE ∠的度数是___________．6．如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转35︒，得到矩形AB C D '''，则α∠=______.︒．7．如图，四边形ABCD 为矩形，则∠ABC =________；若OA =5，则BD =________．8．如图，延长矩形ABCD 边BC 至点E ，使CE BD =，连接AE ，如果40ADB ∠=︒，则E ∠=______．9．如图，平面直角坐标系中，长方形OABC ，点A ，C 分别在y 轴，x 轴的正半轴上，6OA =，3OC =，45DOE ∠=︒，OD ，OE 分别交BC ，AB 于点D ，E ，且2CD =，则点E 坐标为______．9.4.1 矩形同步培优讲练综合知识点1：矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.知识点2：矩形的性质1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.知识点3：矩形的判定1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.一、矩形性质的认识【例1】下列性质中矩形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形【答案】B【解析】解：A、矩形的对角线互相平分，故此选项不符合题意；B、矩形的对角线不一定互相垂直，故此选项符合题意；C、矩形的对角线相等，故此选项不符合题意；D、矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：B．【例2】关于矩形，下列说法错误的是()A．四个角相等B．对角线相等C．四条边相等D．对角线互相平分【答案】C【解析】解：矩形的性质为四个角相等，对角线相等，对角线互相平分，故选：C ．【例3】下列说法中能判定四边形是矩形的是( )A ．有两个角为直角的四边形B ．对角线互相平分的四边形C ．对角线相等的四边形D ．四个角都相等的四边形【答案】D【解析】解：A 、有3个角为直角的四边形是矩形，故错误；B 、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故错误；C 、对角线相等的平行四边形，故错误；D 、四个角都相等的四边形是矩形，故正确；故选：D ．二、利用矩形的性质求角度【例1】如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB C D '''的位置，若旋转角为20︒，则1∠为（）A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒【答案】B【解析】解：设C D ''与BC 交于点E ，如图所示．∵旋转角为20︒，∴20DAD '∠=︒，∴9070BAD DAD ''∠=︒-∠=︒．∵360BAD B BED D '''∠+∠+∠+∠=︒，∴360709090110BED '∠=︒-︒-︒-︒=︒，∴1110BED '∠=∠=︒．故选：B ．【例2】如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O.若60AOB ∠=︒，则OCB ∠的度数为（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45° 【答案】A【解析】解：∵四边形ABCD 是矩，∠AOB ＝60°，∴∠BCD ＝90°，∠COD ＝60°，OC ＝OD ＝1122AC BD =， ∴△COD 是等边三角形，∴∠OCD ＝60°，∴∠OCB ＝90°﹣∠OCD ＝30°，故选：A ．【例3】如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于E ，若30DAO ∠=︒，则BEO ∠的度数为( )A ．45︒B ．60︒C ．65︒D ．75︒【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD=∠ABC=90°，OA=12AC ，OB=12BD ，AC=BD ， ∴OA=OB ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AB=BE ，∵∠DAO=30°，∴∠EAO=15°，∴∠BAO=45°+15°=60°，∴△AOB 是等边三角形，∴∠ABO=60°，OB=AB ，∴∠OBE=90°-60°=30°，OB=BE ，∴∠BEO=12×（180°-30°）=75°． 故选：D ．三、利用矩形的性质求线段【例1】如图，在矩形COED 中，点D 的坐标是()3,4，则CE 的长是（ ）．A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】 解：四边形COED 是矩形， CE OD ∴=，点D 的坐标是()3,4，5OD ∴=，5CE ∴=，故选：C ．【例2】如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点E 在BC 边上，且1BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边作等边EFG ，且点G 在矩形ABCD 内，连接CG ，则CG 的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．1 D【答案】B【解析】解：如图，以EC 为边作等边三角形ECH ，过点H 作HN BC ⊥于N ，HM AB ⊥于M ，又∵90ABC ∠=︒，∴四边形MHNB 是矩形，∴MH BN =，∵1BE =，2AB =，3BC =，∴2EC =，∵EHC △是等边三角形，HN EC ⊥，∴2EC EH ==，1EN NC ==，60HEC ∠=︒，∴2BN MH ==，∵FGE △是等边三角形，∴FE FG =，60FEG HEC ∠=︒=∠，∴FEH GEC ∠=∠，在FEH △和GEC 中，FE GE FEH GEC HE EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS FEH GEC ≌，∴FH GC =，∴当FH AB ⊥时，FH 有最小值，即GC 有最小值，∴点F 与点M 重合时，2FH HM ==，故选B ．【例3】如图，在ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，P 为边BC 上一动点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为__．【答案】65【解析】解：如图，连接AP ，3AB =，4AC =，5BC =，90EAF ∴∠=︒，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，∴四边形AEPF 是矩形，EF ∴，AP 互相平分．且EF AP =，EF ∴，AP 的交点就是M 点．当AP 的值最小时，AM 的值就最小，∴当⊥AP BC 时，AP 的值最小，即AM 的值最小．1122AP BC AB AC ⋅=⋅， AP BC AB AC ∴⋅=⋅，3AB =，4AC =，5BC =，534AP ∴=⨯，125AP ∴=， 65AM ∴=； 故答案为：65．四、利用矩形的性质求面积【例1】如图，矩形ABCD 中，4=AD ，10AB =，点E 为直线AB 的一点，连EC ，平移EC 至DF ，连接DE 、CF ，则四边形DECF 的面积是（ ）A ．15B ．40C ．20D ．30【答案】B【解析】解：已知平移EC 至DF ，则EC DF ∥，EC DF =四边形CEDF 是平行四边形，则122410402CEDF CED S S CD DA CD DA ==⨯⨯⨯==⨯= 故选：B ．【例2】如图，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF//BC ，分别交AB ，CD 于点E ，F ，连接PB ，.PD 若2AE =，8.PF =则图中阴影部分的面积为______．【答案】16【解析】解：作PM AD ⊥于M ，交BC 于N ．则有四边形AEPM ，四边形DFPM ，四边形CFPN ，四边形BEPN 都是矩形，ADC ABC SS ∴=，AMP AEP S S =，PBE PBN S S =，PFD PDM S S =，PFC PCN S S =， ADC AMP PFC ABC AEP PCN S S S S S S ∴--=--，即BEPN DFPM S S =矩形矩形， 12882DFP PBE S S ∴==⨯⨯=， 8816S ∴=+=阴影，故答案为：16【例3】如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则S △ECF 的值为____．【答案】10825【解析】如图，连接BF ，，∵BC=6，点E 为BC 的中点，∴BE=3， 又∵AB=4，∴，由折叠可知：BF ⊥AE （对应点的连线必垂直于对称轴），∴BH=431255 AB BEAE•⨯==，∴BF=245，∵EF=BE=CE，∴∠BFC=90°，根据勾股定理可得：185，S△ECF=12S△BCF=12×12×185×245=10825，故答案为：108 25．五、矩形有关的折叠问题【例1】如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E为AD中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，DF，当线段DF被CE垂直平分时，AF则线的长为_______．【答案】18 5【解析】解：连接AF交PE于O，连接DF，∵矩形ABCD，∴BC=AD=6,CD=AB=4，∵线段DF被CE垂直平分时，∴CF=CD=4,ED=EF，∵将△APE沿PE折叠得到△FPE，∴PE是线段AF的垂直平分线，∴AE=EF,AF=2OA，∴AE=ED=EF，∵AD=AE+ED=6，∴AE=ED=EF=3，设AP=x，则PF=AP=x，BP=4-x，PC=PF+FC=x+4，∵PC2=BP2+BC2,即（x+4）2=（4-x）2+62∴x=94，∵154 =，∴1122PE AO PA AE=，即115193 2424AO⨯=⨯⨯，解得：AO=95，∴AF=2AO=185．故答案为185．【例2】如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝10cm，BC＝3cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B'，C'上．在点M从点A运动到点B的过程中，若边MB'与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长为_____cm．1【解析】如图1中，当点M与A重合时，AE＝EN，设AE＝EN＝xcm，在Rt△ADE中，则有x2＝32+（9﹣x）2，解得x＝5，∴DE＝10﹣1-5＝4（cm），如图2中，当点M运动到MB′⊥AB时，DE′的值最大，DE′＝10﹣1﹣3＝6（cm），如图3中，当点M运动到点B′落在CD时，NB'=DB′（即DE″）＝10﹣1＝（9（cm），∴点E的运动轨迹E→E′→E″，运动路径＝EE′+E′B′＝6﹣4+6﹣（91）（cm）．1．【例3】如图，在长方形ABCD中，点M为CD中点，将△MBC沿BM翻折至△MBE，若∠AME＝α，∠ABE＝β，则α与β之间的数量关系为________．【答案】3290βα-=︒【解析】如图，延长BE 交AD 于点N ，设BN 交AM 于点O ．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D=∠C=90°，AD=BC ，∵DM=MC ，∴△ADM ≌△BCM(SAS)，∴∠DAM=∠CBM ，∵△BME 是由△MBC 翻折得到，∴∠CBM=∠EBM=12(90°−β)，∵∠DAM=∠MBE ，∠AON=∠BOM ，∴∠OMB=∠ANB=90°−β，在△MBE 中，∵∠EMB+∠EBM=90°，∴α+(90°−β)+12(90°−β)=90°，整理得：3β−2α=90°故答案为：3β−2α=90°【例4】如图，将长方形纸片ABCD 沿BD 所在直线折叠，得到BC D '△，C D '与AB 交于点E ，若125∠=︒，则2∠的度数为_________．【答案】40︒【解析】解：在矩形ABCD 中，90C ∠=︒，AB CD ∥，∴190CBD ∠+∠=︒，1ABD ∠=∠，125∠=︒，∴65CBD ∠=︒，25ABD ∠=︒，由折叠可知：2ABD CBD ∠+∠=∠，∴2652540CBD ABD ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：40︒．六、矩形的判定 解答题【例1】如图，ABC ∆中，AC BC =，CD AB ⊥于点D ，四边形DBCE 是平行四边形．求证：四边形ADCE 是矩形．【答案】见解析【解析】证明：AC BC =，CD AB ⊥，90ADC ∴∠=︒，AD BD =．在DBCE 中，//EC BD ，EC BD =，//EC AD ∴，EC AD =．∴四边形ADCE 是平行四边形．又90ADC ∠=︒，∴四边形ADCE 是矩形．【例2】如图，在ABC ∆中，//AE BC ，AB AC =，D 为BC 中点，AE BD =．（1）求证：四边形AEBD 是矩形．（2）连接CE 交AB 于点F ，若30ABE ∠=︒，2AE =，直接写出EC 的长．【答案】见解析【解析】（1）证明：//AE BD ，AE BD =，∴四边形AEBD 是平行四边形，AB AC =，D 为BC 的中点，AD BC ∴⊥，90ADB ∴∠=︒，∴四边形AEBD 是矩形．（2）解：四边形AEBD 是矩形，90AEB DBE ∴∠=∠=︒，2BD AE ==，30ABE ∠=︒，BE ∴==24BC BD =，EC ∴=，【例3】问题情境：在综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中的旋转问题”，如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，()0,0O ，点()5,0A ，点()0,3B ．操作发现：以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ．(1)如图，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；(2)继续探究：如图，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H ，求证：ADB AOB ≌；【答案】(1)()1,3D (2)证明见解析【解析】（1）解：∵()5,0A ，()0,3B ，∴5OA =，3OB =，∵四边形AOBC 是矩形，∴3AC OB ==，5OA BC ==，90OBC C ∠=∠=︒，∵矩形ADEF 是由矩形AOBC 旋转得到，∴5AD AO ==，在Rt ADC 中，4CD =，∴1BD BC CD =-=，∴()1,3D ．（2）证明：四边形ADEF 是矩形，90ADE ∴∠=︒，点D 在线段BE 上，90ADB ∴∠=︒，由旋转的性质得：AD AO =，在Rt ADB 和Rt AOB △中，AB AB AD AO =⎧⎨=⎩， ∴()Rt Rt HL ADB AOB ≅．【例4】在平行四边形ABCD 中，AB BC ≠，将ABC 沿AC 翻折至AB C '，连接B D '．(1)求证：B E DE '=；(2)求证：B D AC '∥；(3)在平行四边形ABCD 中，已知：460BC B =∠=︒，，将ABC 沿AC 翻折至AB C '，连接B D '．若以A 、C 、D 、B '为顶点的四边形是矩形，求AC 的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC AD BC =，∥，∴EAC ACB ∠=∠，由折叠的性质可知ACB ACB BC B C ''∠=∠=，，∴EAC ACB '∠=∠，BC AD '=，∴AE CE =，∴B C CE AD AE '-=-，即B E DE '=；（2）证明：∵B E DE '=， ∴()11802CB D B DA B ED '''∠=∠=︒-∠， 同理可得()11802EAC ECA AEC ∠=∠=︒-∠， ∵AEC B ED '∠=∠，∴ACB CB D ''∠=∠，∴B D AC '∥；（3）解：分两种情况：①如图1所示：∵四边形ACDB 是矩形，∴90CAB '∠=︒，∴90BAC ∠=︒，∵=60B ∠︒，∴30ACB ∠=︒， ∴122AB BC ==,∴AC②如图2所示：∵四边形ACB D '是矩形，∴90ACB '∠=︒，∴90ACB ∠=︒，∵460BC B =∠=︒，，∴30BAC ∠=︒，∴28AB AC ==,∴AC综上所述：AC 的长为【例5】已知：如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2BC =．对角线AC 的垂直平分线分别交AB 、CD 于点E 、F ．求线段CF 的长．【答案】52CF =【解析】解：连接AF ，如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴42CD AB AD BC ====，，∵EF 是AC 的垂直平分线，∴AF CF =，设CF x =，则4DF CD CF x =-=- ，在Rt ADF 中，222AF DF DA +＝，即22224x x =+-（），解得：x =52， ∴52CF ＝【例6】如图①，四边形ABCD 是一张矩形纸片，AD =1，AB =5．在矩形ABCD 的边AB 上取一点M ，在CD 上取一点N ，将纸片沿MN 折叠，使MB 与DN 相交于点K ，得到△MNK ，如图①．(1)当点M 与点A 重合（如图②），且∠BMN=15°时，求△MNK 的面积；(2)请你利用备用图探究怎样能够能够使折叠出△MNK 的面积最大，最大值是多少【答案】(1)△MNK 的面积为1 (2)△MNK 的面积最大值为1.3【解析】（1）解：∵四边形ABCD 是矩形，∴在图1、图2中，DNAB ，∴∠DNM=∠BMN ，又∵折叠，∴∠BMN =∠KMN ，∴∠KMN=∠KNM ，∴NK=MK ，∵△MNK 的面积S=12NK•AD=12NK ，∴S=12MK ，图2中，由折叠知，∠KAN=∠NAB=15°，∵DN AB ，∴∠KNA=∠NAB，∴∠KNA=∠KAN=15°，KA=KN，∴在Rt ADK中，∠DKA=30°，KA=2AD=2∴△MNK的面积S=12NK•AD=12NK，∴S=12AK=1；（2）有以下两种情况：情况一：如图3，将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合．设MK=MB=x，则AM=5-x．由勾股定理得：12+ (5-x)2=x2，解得，x=2.6，即MD= ND= 2.6，∴S△MNK= S△ACK=12×1×2.6 =1.3；情况二：如图4，将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC．设MK=AX= CK=x，则DK=5-x，同理可得MK=NK=2.6，∴S△MNK= S△ACK=12×1×2.6 =1.3，∴△MNK的面积最大值为1.3．【例7】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点E从点A出发，沿边AD，DC向点C运动，A，D关于直线BE的对称点分别为M，N，连接MN．(1)如图，当E在边AD上且DE＝2时，求∠AEM的度数．(2)当N 在BC 延长线上时，求DE 的长，并判断直线MN 与直线BD 的位置关系，说明理由．(3)当直线MN 恰好经过点C 时，求DE 的长．【答案】(1)∠AEM ＝90° (2)MN BD ∥，理由见解析 (3)DE 的长为【解析】（1）解：如图1，∵DE ＝2，∴AE ＝AB ＝6，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝90°，∴∠AEB ＝∠ABE ＝45°．由对称性知∠BEM ＝45°，∴∠AEM ＝90°．（2）解：如图2，∵AB ＝6，AD ＝8，∴BD ＝10，∵当N 落在BC 延长线上时，BN ＝BD ＝10，∴CN ＝2．设DE EN x ==，则6CE x =-，∵222CE CN EN +=，解得：103x =， ∴103DE EN ==． ∵BM ＝AB ＝CD ，MN ＝AD ＝BC ，∴Rt Rt (H )L BMN DCB ≌，∴∠DBC ＝∠BNM ，∴MN BD ∥；（3）分类讨论：①如图3，当E 在边AD 上时，∴∠BMC ＝90°，∴MC =．∵BM ＝AB ＝CD ，∠DEC ＝∠BCE ，∴△BCM ≌△CED(AAS)，∴DE ＝MC ＝②如图4，当点E 在边CD 上时，∵BM ＝6，BC ＝8，∴MC ＝∴8CN MN MC =-=-设DE EN y ==，则6CE y =-，∴222(6)(8y y -=-+，解得：y =∴DE =综上所述，DE 的长为1．如图，在长方形ABCD 中，连接AC ，以A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AD ，AC 于点E ，F ，分别以E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧在DAC ∠内交于点H ，画射线AH 交DC 于点M ．若68ACB ∠=︒，则DMA ∠的大小为（ ）A ．34︒B ．56︒C ．66︒D ．68︒【答案】B【解析】 解：四边形ABCD 是长方形，90,D AD BC ∴∠=︒， 68DAC ACB ∴∠=∠=︒，由题意可知，AM 平分DAC ∠，1342DAM DAC ∴∠=∠=︒， 9056DMA DAM ∴∠=︒-∠=︒，故选：B ．2．如图，矩形ABCD 中，3AB =，两条对角线,AC BD 所夹的钝角为120︒，则对角线BD 的长为( )A ．3B ．6C ．D ．10【答案】B【解析】解：在矩形ABCD 中，OA OB =，∵两条对角线,AC BD 所夹的钝角为120︒ 60AOB ∠∴=︒，AOB ∴是等边三角形，3OB AB ∴==，2236BD OB ∴==⨯=．故选：B ．3．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为点E ，若2EAC CAD ∠=∠，则BAE ∠的度数为（ ）A ．20︒B ．22.5︒C ．30︒D ．45︒【答案】B【解析】 解：四边形ABCD 是矩形，AC BD ∴=，OA OC =，OB OD =，OA OB OD ∴==，即AOB 、AOD △均为等腰三角形， OAD ODA ∠=∠∴，OAB OBA ∠=∠，AOE ∠是等腰AOD △的一个外角，2AOE OAD ODA OAD ∴∠=∠+∠=∠，2EAC CAD ∠=∠，EAO AOE ∠∠∴=，AE BD ⊥，90AEO ∴∠=︒，即AEO △是等腰直角三角形，45AOE ∴∠=︒，()()111801804567.522OAB OBA AOB ∴∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒， 67.54522.5BAE OAB OAE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：B ．4．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作OE BD ⊥，交AD 于点E ，若20ACB ∠=︒，则AOE ∠的大小为__________．【答案】50︒【解析】∵四边形ABCD 是矩形，OA OB OC OD ∴===，20ACB ∠=︒，20OBC OCB ∴∠=∠=︒，40AOB OBC OCB ∴∠=∠+∠=︒，OE BD ⊥，904050AOE BOE AOB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：50︒．5．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，DE AC ⊥于E ，:1:2EDC EDA ∠∠=，则ODE ∠的度数是___________．【答案】30︒【解析】【解答】解：∵:1:2EDC EDA ∠∠=，90EDC EDA ∠+∠=︒，∴30EDC ∠=︒，60EDA ∠=︒，∵DE OC ⊥，∴9060DCE EDC ∠︒=︒-∠=，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA OD OC ==，∴ODC 是等边三角形，∵DE OC ⊥， ∴1302ODE CDE ODC ∠=∠=∠=︒， 故答案为：30︒．6．如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转35︒，得到矩形AB C D '''，则α∠=______.︒【答案】125 【解析】解：将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转35︒得到矩形AB C D '''，∴903555BAD ∠=︒-︒='︒，∵360BAD ABC AD C α∠+∠+∠'+='∠'︒，∴360909055125α∠=︒-︒-︒-︒=︒，故答案为：125．7．如图，四边形ABCD 为矩形，则∠ABC=________；若OA=5，则BD=________．【答案】 90︒ 10【解析】∵四边形ABCD 是矩形，OA=5，∴ABC ∠=90︒，210BD AC OA ===，故答案为：9010︒，． 8．如图，延长矩形ABCD 边BC 至点E ，使CE BD =，连接AE ，如果40ADB ∠=︒，则E ∠=______．【答案】20°【解析】解：连接AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=30°，∴∠E=∠DAE，又∵BD=CE，∴CE=CA，∴∠E=∠CAE，∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E=40°，即∠E=20°，故答案为：20°．9．如图，平面直角坐标系中，长方形OABC，点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上，6OA=，3OC=，45DOE∠=︒，OD，OE分别交BC，AB于点D，E，且2CD=，则点E坐标为______．【答案】6,6 5⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】解：过点E作EF OD⊥，过点F作FN OC⊥，并延长NF交AB延长线于点M，如下图：则90EFO FNO ∠=∠=︒，∴90OFN EFM ∠+∠=︒，90OFN FON ∠+∠=︒ ∴FON EFM ∠=∠在矩形OABC 中，//AB OC ，63OA BC OC AB ====， ∴90M FNO ∠=∠=︒∴四边形BCNM 为矩形∴6MN BC ==，//CD MN ，BM CN = ∴AM ON =∵45DOE ∠=︒∴EFO △为等腰直角三角形，EF OF =∴FON EFM △≌△∴MF ON =，EM FN =设MF ON x ==，则6EM FN x ==-，(,6)F x x - 设直线OD 解析式为y kx =由题意可知(3,2)D ，代入y kx =得，32k =，解得23k =， 又∵点(,6)F x x -在直线OD 上，∴263x x -= 解得185x =，即181255AM ON FN EM ====， ∴65AE AM EM =-=∴点E 坐标为6,65⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为6,65⎛⎫ ⎪⎝⎭。
矩形的复习
A
B
C
D
E
F
G
H
图1
图2
图3
图4
4.在矩形ABCD中,E.F分别是AD、BC的 中点,连EF. 求证:四边形AEFB是矩形
2.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD 为BC边上的中线,已知BC=10,则 AD=＿＿5 ＿.
3. 矩形的一条边长为 a ,两条对角 线所成的锐角为 60°,求矩形的面 积.
工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:
(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图1)使 AB=CD,EF=GH
(2)摆放成如图2的四边形,则这时窗框的形状是＿＿＿＿＿＿,根 据的数学原理是＿＿＿＿＿＿＿;
平行四边形
1.定义: 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 边
2.性质: 角
对角线
3.判定方法:
矩形
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。
矩形的性质
边： 对边平行且相等
角： 四个角都是直角
对角线： 对角线相等且平分
矩形的判定
有一个角是直角的平行四边形 有三个角是直角的四边形 对角线相等的平行四边形
求证:四边形EFGH是矩形
D
H
G
A
C
E
F
B
8.求证:等腰三角形底边上任意一点到两腰的 距离之和等于一腰上的高.
(画出图形,写出已知.求证.证明)
再见
A ED
B
Hale Waihona Puke FC5.如图， ABCD 各内角平分线围成 四边形EFGH.
矩形复习
B′ D
F
G C
C′
如图，矩形A EF折叠 折叠， 如图，矩形A1BlC1D1沿EF折叠，使B1点 落在A 边上的B BG折叠 折叠， 落在A1D1边上的B处；沿BG折叠，使D1 点落在D处且BD BD过 点落在D处且BD过F点. (2)连结B 判断△ BG的形状 的形状， (2)连结B1B；判断△B1BG的形状，并写 连结 出判断过程． 出判断过程．
在矩形ABCD中 过点C 在矩形ABCD中，过点C作直线 ABCD CE⊥BD，垂足为E BAD的平分 CE⊥BD，垂足为E，交∠BAD的平分 线于点F 则线段CF BD相等吗 CF与 相等吗？ 线于点F，则线段CF与BD相等吗？说 明理由. 明理由.
A O B E D C
F
小小设计师
如图,对任意三角形 将它分成若干块 如图 对任意三角形,将它分成若干块 再 对任意三角形 将它分成若干块,再 拼成一个与原三角形等面积的矩形.(请 拼成一个与原三角形等面积的矩形 请 你设计的方案至少3种 你设计的方案至少 种)
小小设计师
教学反思： 教学反思：
通过本节课的学习,你一定熟练掌握了矩 通过本节课的学习 你一定熟练掌握了矩 形性质与判定方法,不妨说说看 不妨说说看. 形性质与判定方法 不妨说说看 本节课你还有哪些收获?说说看 本节课你还有哪些收获 说说看. 说说看
预习指南
探索菱形的性质
E
⑵当△ABC满足什么条 ABC满足什么条 件时,四边形DEFB DEFB是矩 件时,四边形DEFB是矩 形.
A
B F C
如图,在 如图 在△ABC中,∠C＝90°,AC＝BC, P 中∠ ＝ ° ＝ 上一点,PE⊥AC,PF ⊥BC,垂足分别 是AB上一点 上一点 ⊥ 垂足分别 的中点. 为E、F,D是AB的中点 试判断 与DF的 、 是 的中点 试判断DE与 的 关系，并说明理由. 关系，并说明理由
9.4矩形+复习课件-2023-2024学年苏科版数学八年级下册
7.已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点， DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平分线． 求证：四边形DECF是矩形．
C
F
E
A
D
B
8.如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交
于点E、F、G、H，四边形EFGH是怎样的特殊 四边形？证明你的结论。
A
D
H
E
G
F
B
C
三、小结 【问题1】矩形有哪些性质？有哪几种判定方法？试填写下表
2、矩形的一条对角线与一边的夹角为40°， 则两条对角线相交所成的锐角是（ ） （A）20° （B）40° （C）60° （D）80°
3、矩形具有而平行四边行不具有的的性质是（ ）
（A）对角相等
（B）对角线相等
（C）对角线互相平分 （D）对边平行且相等
4、 已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相 交于点O，且 AC＝2AB． （1）求证：△AOB是等边三角形．
矩形复习
一、矩形的定义及性质 【问题1】 怎样的平行四边形是矩形？
一、矩形的定义及性质 【问题2】 矩形有哪些性质？ （注意书写）
2、矩形的性质
A
D边
矩形的对边平行且相等
B
C 角 矩形的四个角都是直角
矩形的性质：
矩形的对角线相等且互
对角线 相平分
对称性
矩形既是轴对称图形又 是中心对称图形
1、在矩形ABCD中AC与ＢＤ交于点Ｏ，图中有_______个直角三 角形，有______个等腰三角形。
（× ）
选择题
4. 具备条件____的四边形是矩形．
A．两条对角线相等 B．对角线互相垂直 C．一组对角是直角 D．有三个角是直角
矩形的定义和性质复习
矩形
学习目标
1.掌握矩形的定义、性质、判定。 2.探索掌握直角三角形的性质。 3、会运用这些性质判定来解决简单问题。
直角三角形性质
直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半 解题指导：矩形问题
连接对角线
转化
直角三角形或等腰三角形
边
角
对角线 对角线 互相平分
对称性 中心对 称图形
（3） 已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°， 则两条对角线所夹锐角的度数为 （ D ）
（A）50° （B）60° （C）70° （D）80°
4. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性 质是（ A ）. A、对角线相等 B、对边相等 C、对角相等 D、对角线互相平分 5、 矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm， 则它的对角线长是 5 cm.
用一用
某学校因地制宜:先向北量6m,再向东量8m,接着向南量 6m,最后向西量8m,在圈出的这块空地上建一个草坪. (1)圈出的空地是什么形状? (2)考虑到护理草坪,学校购置了一台自动喷水器, 这台 机器的最大喷水距离为5m,问这台机器能对整个草坪进 行护理吗?若能,则喷水器应安放在何处;若不能,请说明 理由.
2.平行四边形是矩形. ( 有一个角是直角的平行四边形是矩形
)
3.平行四边形具有的性质(如平行四边形的对边平行且相 等;平行四边形的对角相等;平行四边形的对角线互相平 分.) 矩形也具有. ( √ )
训练营
A
已知 如图: △ABC是Rt△， ∠ABC=Rt∠， BD是斜边AC上的中线
B
D
┓
C
1 若BD=3㎝，则AC＝ 6
D 6 O
北 西 南
8
C
第十九章 矩形(经典复习)
第十九章矩形（经典复习）：矩形的定义和性质：1. 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫长方形）。
2. 矩形的性质性质1. 矩形的四个角都是直角。
几何语言：∵四边形ABCD是矩形；∴性质2. 矩形的对角线相等。
几何语言：∵四边形ABCD是矩形；∴3. 直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
几何语言：∵在Rt△ABC中，OA=OC（OB是AC边上的中线）∴4. 矩形的判定方法方法1：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
方法2：对角线相等的平行四边形是矩形。
几何语言：∵∴ABCD是矩形方法3：有三个角是直角的四边形是矩形。
几何语言：∵∴四边形ABCD是矩形。
总结：矩形具有平行四边形的一切性质，矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等且互相平分，矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，矩形的对称中心是其对角线的交点，矩形的对称轴，分别是通过对边中点的直线。
矩形邻边垂直，对边平行且相等。
1、判断题（1）矩形的对角线互相平分。
（）（2）矩形的对角线互相垂直。
（）（3）对角线相等的四边形是矩形。
（）（4）矩形具有平行四边形的一切性质。
（）（5）对角线相等的平行四边形是矩形。
（）2、在四边形ABCD中，AB∥CD,AB=CD,请添加一个条件，使四边形ABCD是矩形，可以添加的条件是。
3、（2011.黄冈）如图，矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为第3题第4题第5题4、如图所示，一个农村居民侧面截图，屋坡AF,AG分别架在墙体的点B,点C处，且AB=AC，侧面四边形BDEC为矩形，若测得∠FAG=1100，则∠FBD等于 .5、（2011.哈尔滨）如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0，∠AOB=600，AB=5，则AD的长是6、已知⊿ABC为直角三角形，∠C=900，∠A=300，D是AB的中点，则⊿BCD的形状为（）A.直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形7、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=900，M,N分别是AC,BD的中点，求证：（1）DM=MB(2) MN⊥BD能力提升训练：勾股定理和矩形的性质相结合：1、（1）（2011.宜宾中考）如图所示，在矩形ABCD中，已知AD=8，折叠纸片AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（）A. 3B. 4C. 5D. 6（2）如图所示，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使得点A与C重合，则折痕EF的长是cm。
中考数学复习《矩形》专项提升训练(附答案)
中考数学复习《矩形》专项提升训练(附答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.如图，将矩形ABCD沿AE折叠，若∠BAD′＝30°，则∠AED′等于( )A.30°B.45°C.60°D.75°2.矩形的对角线一定具有的性质是( )A.互相垂直B.互相垂直且相等C.相等D.互相垂直平分3.一个矩形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为(﹣1，﹣1)，(﹣1，2)，(3，﹣1)，则第四个顶点的坐标为( )A.(2，2)B.(3，2)C.(3，3)D.(2，3)4.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.已知矩形ABCD的对角线AC＝8 cm，∠AOD＝120°，则AB的长为( )A. 3 cmB.2 cmC.2 3 cmD.4 cm5.如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地.根据图中数据，计算耕地的面积为( )A.600m2B.551m2C.550m2D.500m26.如图，矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥EC，EF＝EC，DE＝2，矩形周长为16，则AE长是( )A.3B.4C.5D.77.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是( )A.测量对角线是否相互平分B.测量两组对边是否分别相等C.测量一组对角是否为直角D.测量四边形的其中三个角是否都为直角8.如图，已知▱ABCD的四个内角的角平分线分别交于E，F，G，H.试说明四边形EFGH 的形状是( ).A.平行四边形B.矩形C.任意四边形D.不能判断其形状9.已知,线段AB，BC，∠ABC＝90°.求作：矩形ABCD.以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是( )A.两人都对B.两人都不对C.甲对，乙不对D.甲不对，乙对)10.如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF 中点，连接PB，则PB的最小值是( )A.2B.4C. 2D.2 2二、填空题11.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝6cm，BC＝8cm，则EF＝cm.12.如图，▱ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E、F不重合，若△ACD 的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为．13.如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF＝60°，则∠AEF＝______．14.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为点O，E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点，若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为____.15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为．16.如图，矩形ABCD中，AB=7cm,BC=3cm,P、Q两点分别从A、B两点同时出发，沿矩形ABCD的边逆时针运动，速度均为1cm/s，当点P到达B点时两点同时停止运动，若PQ长度为5cm时，运动时间为s．三、解答题17.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°．(1)求证：四边形ABCD是矩形．(2)若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？18.如图，在矩形ABCD中，AD＝12，AB＝7，DF平分∠ADC，AF⊥EF.(1)求证：AF＝EF；(2)求EF长.19.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8.将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处.(1)求EF的长；(2)求四边形ABCE的面积.20.如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE＝CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．(1)求证：OE＝OF；(2)若BC＝23，求AB的长．21.如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF.(1)求证：D是BC的中点；(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论.22.如图，在平行四边形ABCD中，AB≠BC，连接AC，AE是∠BAD的平分线，交边DC的延长线于点F．(1)证明：CE＝CF；(2)若∠B＝60°，BC＝2AB，试判断四边形ABFC的形状，并说明理由．23.如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，连接BE，F为BE中点，且AF＝BF(1)求证：四边形ABCD为矩形；＝5，CD＝4，求CG．(2)过点F作FG⊥BE，垂足为F，交BC于点G，若BE＝BC，S△BFG参考答案1.C2.C.3.B4.D.5.B.6.A7.D.8.B9.A10.D.11.答案为：2.5.12.答案为：3．13.答案为：75°.14.答案为：12；15.答案为：2.4.16.答案为: 3或717.证明：(1)∵AO＝CO，BO＝DO∴四边形ABCD是平行四边形∴∠ABC＝∠ADC∵∠ABC＋∠ADC＝180°∴∠ABC＝∠ADC＝90°∴四边形ABCD是矩形；(2)解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2 ∴∠FDC＝36°∵DF⊥AC∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°∵四边形ABCD是矩形∴OC＝OD∴∠ODC＝54°∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．18.证明：(1)∵四边形ABCD是矩形∴∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝DC＝7，BC＝AD＝12 ∴∠BAF＋∠AFB＝90°∵DF平分∠ADC∴∠ADF＝∠CDF＝45°∴△DCF是等腰直角三角形∴FC＝DC＝7∴AB＝FC∵AF⊥EF∴∠AFE＝90°∴∠AFB＋∠EFC＝90°∴∠BAF＝∠EFC在△ABF和△FCE中∠BAF＝∠EFC；AB＝FC；∠B＝∠C∴△ABF≌△FCE(ASA)∴EF＝AF；(2)解：BF＝BC﹣FC＝12﹣7＝5在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF＝＝，则EF＝AF＝.19.解：(1)设EF＝x依题意知：△CDE≌△CFE∴DE＝EF＝x，CF＝CD＝6.∵在Rt△ACD中，AC＝10∴AF＝AC﹣CF＝4，AE＝AD﹣DE＝8﹣x.在Rt△AEF中，有AE2＝AF2＋EF2即(8﹣x)2＝42＋x2解得x＝3，即：EF＝3.(2)由(1)知：AE＝8﹣3＝5∴S＝(5＋8)×6÷2＝39.梯形ABCE20.证明：(1)在矩形ABCD中，AB∥CD∴∠BAC＝∠FCO在△AOE和△COF中∴△AOE≌△COF(AAS)∴OE＝OF；(2)解：如图，连接OB∵BE＝BF，OE＝OF∴BO⊥EF∴在Rt△BEO中，∠BEF＋∠ABO＝90°由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA＝OB＝OC ∴∠BAC＝∠ABO又∵∠BEF＝2∠BAC，即2∠BAC＋∠BAC＝90°，解得∠BAC＝30°∵BC＝2 3∴AC＝2BC＝4 3∴AB＝6．21.(1)证明：∵AF∥BC∴∠AFE＝∠DCE∵点E为AD的中点∴AE＝DE在△AEF和△DEC中∴△AEF≌△DEC(AAS)∴AF＝CD∵AF＝BD∴CD＝BD∴D是BC的中点；(2)若AB＝AC，则四边形AFBD是矩形.理由如下：∵△AEF≌△DEC∴AF＝CD∵AF＝BD∴CD＝BD；∵AF∥BD，AF＝BD∴四边形AFBD是平行四边形∵AB＝AC，BD＝CD∴∠ADB＝90°∴平行四边形AFBD是矩形.22.证明：(1)如图(1)∵AE是∠BAD的平分线∴∠BAF＝∠DAF∵在平行四边形ABCD中∴AB∥DF，AD∥BC∴∠BAF＝∠F，∠DAF＝∠CEF∴∠F＝∠DAF＝∠CEF∴CE＝FC；(2)解：四边形ABFC是矩形理由：如图(2)，∵∠B＝60°，AD∥BC∴∠BAC＝120°∵∠BAF＝∠DAF∴∠BAF＝60°，则△ABE是等边三角形可得AB＝BE＝AE，∠BEA＝∠AFC＝60°∵BC＝2AB∴AE＝BE＝EC∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°在△ABE和△FCE中∵∴△ABE≌△FCE(ASA)∴AB＝FC又∵AB∥FC∴四边形ABFC是平行四边形再由∠BAC＝90°，故四边形ABFC是矩形．23.证明：(1)∵F为BE中点，AF＝BF∴AF＝BF＝EF∴∠BAF＝∠ABF，∠FAE＝∠AEF在△ABE中，∠BAF＋∠ABF＋∠FAE＋∠AEF＝180°∴∠BAF＋∠FAE＝90°又四边形ABCD为平行四边形∴四边形ABCD为矩形.(2)解：连接EG，过点E作EH⊥BC，垂足为H∵F为BE的中点，FG⊥BE∴BG＝GE＝5，CD＝4∵S△BFG＝10＝0.5BGEH∴S△BGE∴BG＝GE＝5在Rt△EGH中，GH＝3在Rt△BEH中，BE＝45＝BC∴CG＝BC﹣BG＝45﹣5．第11 页共11 页。
矩形的性质与判定复习课ppt
应用一：在几何作图中的应用
利用矩形性质进行精确的几何作图。
在几何作图中，可以利用矩形的性质进行精确的线段和 角度的绘制。例如，可以利用矩形的对角线长度相等且 互相平分这一性质，绘制出一个等腰直角三角形。
利用矩形性质进行实际工程和生活中的设计和操作。
应用二：在工程和生活中的实际应用
在工程和生活中，可以利用矩形的性质进行各种设计和 操作
总结与思考
对矩形性质与判定的总结
矩形的基本性质
矩形的四个角是直角，对角线相等，对边相等。这些性质在判定 矩形时非常重要。
矩形判定的方法
矩形的判定方法有两种，一种是使用定义，另一种是通过平行四 边形的性质进行转化。
矩形性质与判定的应用
矩形的性质和判定在实际生活中有着广泛的应用，如制作门窗、 桌面等。
在物理学中的应用
矩形在物理学中也有着广泛的应用 ，如力学中的刚体、电磁学中的电 磁波等。了解矩形的性质可以帮助 我们更好地理解这些物理现象。
VS
在工程学中，矩形的性质被广泛应 用于各种设计和制造过程中，如建 筑设计、机械制造等。了解矩形的 性质可以帮助工程师更好地进行设 计和制造。
在日常生活中的应用
已知矩形的长为a，宽为b，则矩形的面积S=ab。 当已知矩形的长和宽时，可以直接利用矩形面积公 式求解面积。
技巧二：利用矩形性质证明相似图形
利用矩形性质以及相似图形的判定定理，证明 两个矩形相似。
当两个矩形的对应边成比例，且对应角相等时 ，这两个矩形相似。可以利用矩形的性质证明 两个矩形相似。
矩形性质在实际问题中的应用
矩形是特殊的平行四边形，因为它也满足平行四边形的所有 性质。
矩形的性质
对角线相等
矩形的对角线相等，并且对角 线互相平分。
中考复习——矩形
矩形、菱形、正方形考点一矩形1、矩形的定义：有一个角等于直角的平行四边形叫作矩形。
2、矩形的性质：除具有平行四边形的性质外还有以下性质：（1）矩形的四个角都为直角。
（2）矩形的对角线互相平分且相等。
（3）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线所在的直线，有两条。
3、矩形的判定：（1）有一个角为直角的平行四边形是矩形。
（2）有三个角为直角（四个角都是直角）的四边形是矩形。
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形或对角线相等的平行四边形是矩形。
考点二菱形1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。
2、菱形的性质：菱形除具平行四边形的所有性质外还有以下性质：（1）菱形的四条边都相等。
（2）菱形的对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分每一组对角。
（3）菱形是既是中心对称图形又是轴对称图形，对角线所在的直线是对称轴，有两条。
（4）菱形的面积等于对角线长乘积的一半。
3、菱形的判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）四条边相等的四边形是菱形。
（3）对角线互相平分且垂直的四边形是菱形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
考点三正方形1、正方形的定义：①有一组邻边相等的矩形叫作正方形。
②有一个角为直角的菱形叫作正方形。
2、正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相平分、垂直且相等，正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，对边中点的连线所在直线、对角线所在的直线是对称轴，有4条。
3、正方形的判定：（1）有一角为直角的菱形是正方形。
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形。
（3）对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形。
注意：。
正方形既是菱形又是矩形.例题：1、对角线_____的平行四边形是菱形。
2、如图，在菱形ABCD 中，AB ＝3，∠ABC ＝60°，则对角线AC ＝______.3、季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在荷中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的矩形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为280m ，且桥．宽忽略．．．不计．．，则小桥总长为 ．4、如图，矩形ABCD 中，E 是BC 中点，矩形ABCD 的周长是20cm ，AE = 5cm ，则AB 的长为__________cm ．图 1A B C DE5、如图，在四边形ABCD 中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E、F、G、H 分别为边AD、AB、BC、CD 的中点.若AC =8，BD= 6，则四边形EFGH 的面积为.6、如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：，使得平行四边形ABCD为菱形．7、如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD 的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则△AEF 的周长=cm．8、矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∠AOD=120°，AC=8，则△ABO 的周长为（ ）A.16B.12C.24D.209、如图，在ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ,过点O 作EF ⊥AC 交BC 于点E ，交AD 于点F ，连接AE 、CF .则四边形AECF 是（ ）A ．梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形EF OB A CD9、如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD 和CEFG 并排放在一起，连结BD 并延长交EG 于点T ，交FG 于点P ，则GT = ( ) A ．2 B ．22C ．2D ．110、如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°．已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（）AB DCA．25 B．20 C．15 D．10练一练：1、对角线_____的四边形是矩形。
矩形的复习1-
A
B
C
D1
图2
图3
图4
4.在矩形ABCD中,E.F分别是AD、BC的 中点,连EF. 求证:四边形AEFB是矩形
A ED
B
FC
5.如图， ABCD 各内角平分线围成 四边形EFGH.
求证:四边形EFGH是矩形
A
D
G
FH
B
E
C
6.延长等腰△ABC的腰BA至点D,使 AD=AB,延长CA至点E,使EA=AC
求证:四边形BCDE是矩形
E
D
A
B
C
7.四边形ABCD的对角线AC⊥BD,E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA的中点
求证:四边形EFGH是矩形
D
H
G
A
C
E
F
B
8.求证:等腰三角形底边上任意一点到两腰的 距离之和等于一腰上的高.
(画出图形,写出已知.求证.证明)
“无我”是一种超脱，人贵有知人之智。 请以“有我和无我”为话题，写一篇文章。所写内容必须在这个话题范围之内，立意自定，文体自选，要写出所选文体的特征来，题目自拟，不少于800字。 [写作提示]生活中，有人太重视自我，心中只有“我”；有人从不看重自 我，心中只装着别人和天下，心中从无“我”。“有我”者，能看到自己，是一种自知，人需要自知，需要对自己的正确定位与评价：“无我”者，是一种超脱，是一种境界，是一种情操，更是一种舍我为人的体现。根据材料去发掘、展望、评判，我们会明白“有我”与“无我”其实是社会 的需要，对于社会的存在、稳定和发展有很重要的深层含义，建立起关爱自我、善待自我的理念，学会正确处理“有我”与“无我”的关系。这样，文章的主题自然就达到准确、深刻的标准了。 作文题四十六 阅读下列材料，根据要求作文。 美国钢铁大王卡耐基说：微笑是一种神奇 的电波，它会使别人在不知不觉中同意你。在一次盛大的宴会上，一个平日对卡耐基很有意见的商人在角落里大肆抨击卡耐基。当卡耐基站在人群中听到他高谈阔论的时候，他还不知道，这使得宴会主人非常尴尬，而卡耐基却安详地站在那里，脸上挂着微笑。等到抨击他的人发现他的时候， 那人感到非常难堪，卡耐基的脸上依然堆着笑容，走上去亲热地跟他握手，好像完全没有听见他讲自己的坏话一样。后来，此人成了卡耐基的好朋友。 请以“微笑的力量”为题，结合自己的感受，写一篇文章。文体不限，题目自拟。800字左右。 [写作提示]“为人处世”类话题， 是近年高考的热点。“微笑”在这里是一种平和、宽容的生活态度。写作时只有掌握以下技法，才能让文章脱颖而出：用细小的故事折射人物的品质，一个会心的微笑，一个歉疚的笑脸，一串诚恳的笑声，都是写作的好题材，要学会用细小的事件写出自己的感受或人物的品质；用细腻的描写 记录心灵的痕迹，要尽量挑选那些富于表现力的、有意义的细节，写出人物复杂的内心世界，让心灵的波澜在曲折的情节中放射美丽的光彩；用新颖的形式增添创新的色彩。这类文章往往具有时间跨度大、故事性强、适应范围广等特点，可以尝试用日记、小故事、童话等形式进行写作。 作 文题四十七 阅读下面的材料，根据要求作文。 有一个故事，说固执人、马大哈、懒惰者和机灵鬼四个人结伴出游，结果在沙漠中迷了路。这时他们身上带的水已经喝光，正当四人面临死亡威胁时，上帝给了他们四只杯子，并为他们祈来了一场雨。但这四只杯子有一只是没有底儿的， 有两只盛了半杯脏水，只有一只杯子是拿来就能用的。 固执人得到的是那只拿来就能用的好杯子，但他当时已经绝望至极，固执地认为即使喝了水也走不出沙漠，下雨时他干脆把杯口朝下，拒绝接水。马大哈得到的是没有底儿的坏杯子，由于他做事马虎，结果下雨的时候杯子成了漏斗。 懒惰者得到的是一只盛了脏水的杯子，他懒得将脏水倒掉，下雨时继续用它接水，虽然很快接满了，可喝下这杯脏水后染上了重症。机灵鬼得到的也是一只盛有脏
中考数学复习专题20 矩形(解析版)
专题20 矩形1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2．矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线平分且相等。
3．矩形判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形。
4．矩形的面积：S矩形=长×宽=ab【例题1】（2019广西桂林）将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则ADAB的值为()A．65B．2C．32D．3【答案】B【解析】由折叠可得，AE OE DE==，CG OG DG==，E∴，G分别为AD，CD的中点，设2CD a=，2AD b=，则2AB a OB==，DG OG CG a===，3BG a=，2BC AD b==，90C∠=︒，Rt BCG∴∆中，222CG BC BG+=，即222(2)(3)a b a+=，专题知识回顾专题典型题考法及解析222b a ∴=， 即2b a =，∴2b a =，∴AD AB的值为2 【例题2】（2019贵州省安顺市） 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D 为斜边BC 上的一个动点，过D 分别作DM ⊥AB 于点M ，作DN ⊥AC 于点N ，连接MN ，则线段MN 的最小值为 .【答案】512 【解析】连接AD ，即可证明四边形AMDN 是矩形；由矩形AMDN 得出MN ＝AD ，再由三角形的面积关系求出AD 的最小值，即可得出结果．连接AD ，如图所示：∵DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，∴∠AMD ＝∠AND ＝90°，又∵∠BAC ＝90°，∴四边形AMDN 是矩形；∴MN ＝AD ，∵∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，∴BC ＝5，当AD ⊥BC 时，AD 最短，此时△ABC 的面积＝21BC •AD ＝21AB •AC ， ∴AD 的最小值＝125AB AC BC ⋅=， ∴线段MN 的最小值为512。
中考数学复习----《矩形的性质》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《矩形的性质》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2.矩形的性质：①具有平行四边形的一切性质。
②矩形的四个角都是直角。
③矩形的对角线相等。
④矩形既是一个中心对称图形，也是轴对称图形。
对角线交点是对称中心，过一组对边中点的直线是矩形的对称。
⑤由矩形的对角线的性质可知，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
练习题1．（2022•无锡）雪花、风车……展示着中心对称的美，利用中心对称，可以探索并证明图形的性质．请思考在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为（）A．扇形B．平行四边形C．等边三角形D．矩形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A．扇形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；C．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：B．2．（2022•安徽）两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（）A．α﹣90°B．α﹣45°C．180°﹣αD．270°﹣α【分析】根据矩形的性质和三角形外角的性质，可以用含α的式子表示出∠2．【解答】解：由图可得，∠1＝90°+∠3，∵∠1＝α，∴∠3＝α﹣90°，∵∠3+∠2＝90°，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣（α﹣90°）＝90°﹣α+90°＝180°﹣α，故选：C．3．（2022•西宁）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝7，点E在AB边上，AE＝5．若点P是矩形ABCD边上一点，且与点A，E构成以AE为腰的等腰三角形，则等腰三角形AEP的底边长是．【分析】分情况讨论：①当AP＝AE＝5时，则△AEP是等腰直角三角形，得出底边PE ＝AE＝5即可；②当P1E＝AE＝5时，求出BE，由勾股定理求出P1B，再由勾股定理求出底边AP1即可．【解答】解：如图所示，①当AP＝AE＝5时，∵∠BAD＝90°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴底边PE＝AE＝5；②当P1E＝AE＝5时，∵BE＝AB﹣AE＝8﹣5＝3，∠B＝90°，∴P1B＝，∴底边AP1＝；综上所述：等腰三角形AEP1的底边长为5或4；故答案为：5或4．4．（2022•青海）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F，若AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为．【分析】首先结合矩形的性质证明△AOE≌△COF，得△AOE、△COF的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为△BDC的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，∴OA＝OC，AB＝CD＝3，AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO；又∵∠AOE＝∠COF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF，∴S△AOE＝S△COF，∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△COF+S△BOF+S△COD＝S△BCD，∵S△BCD＝BC•CD＝＝6，∴S阴影＝6．故答案为6．5．（2022•吉林）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的1AC，连接EF．若AC＝10，则EF＝．中点，点F在对角线AC上，且AF＝4【分析】由AF＝AC可得点F为AO中点，从而可得EF为△AOD的中位线，进而求解．【解答】解：在矩形ABCD中，AO＝OC＝AC，AC＝BD＝10，∵AF＝AC，∴AF＝AO，∴点F为AO中点，又∵点E为边AD的中点，∴EF为△AOD的中位线，∴EF＝OD＝BD＝．故答案为：．6．（2022•黔东南州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．若AC＝10，则四边形OCED的周长是．【分析】先证四边形OCED是平行四边形，得OC＝DE，OD＝CE，再由矩形的性质得OC＝OD＝5，则OC＝OD＝CE＝DE，得平行四边形OCED是菱形，即可得出结论．【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∴OC＝DE，OD＝CE，∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OC＝AC＝5，OD＝BD，BD＝AC，∴OC＝OD＝5，∴OC＝OD＝CE＝DE，∴平行四边形OCED是菱形，∴菱形OCED的周长＝4OC＝4×5＝20，故答案为：20．7．（2022•十堰）“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡AF，AG分别架在墙体的点B，C处，且AB＝AC，侧面四边形BDEC为矩形．若测得∠FBD＝55°，则∠A＝°．【分析】利用矩形的性质可得∠DBC＝90°，从而利用平角定义求出∠ABC的度数，然后利用等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝35°，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．【解答】解：∵四边形BDEC为矩形，∴∠DBC＝90°，∵∠FBD＝55°，∴∠ABC＝180°﹣∠DBC﹣∠FBD＝35°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝35°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝110°，故答案为：110．8．（2022•宜昌）如图，在矩形ABCD中，E是边AD上一点，F，G分别是BE，CE的中点，连接AF，DG，FG，若AF＝3，DG＝4，FG＝5，矩形ABCD的面积为．【分析】由矩形的性质得出∠BAE＝∠CDE＝90°，AD∥BC，由直角三角形斜边上中线的性质及三角形中位线的性质求出BE＝6，CE＝8，BC＝10，由勾股定理的逆定理得出△BCE是直角三角形，∠BEC＝90°，进而求出＝24，即可求出矩形ABCD 的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE＝∠CDE＝90°，AD∥BC，∵F，G分别是BE，CE的中点，AF＝3，DG＝4，FG＝5，∴BE＝2AF＝6，CE＝2DG＝8，BC＝2FG＝10，∴BE2+CE2＝BC2，∴△BCE是直角三角形，∠BEC＝90°，∴＝＝24，∵AD∥BC，∴S矩形ABCD＝2S△BCE＝2×24＝48，故答案为：48．9．（2022•邵阳）已知矩形的一边长为6cm，一条对角线的长为10cm，则矩形的面积为cm2．【分析】利用勾股定理列式求出另一边长，然后根据矩形的面积公式列式进行计算即可得解．【解答】解：∵长方形的一条对角线的长为10cm，一边长为6cm，∴另一边长＝＝8cm ，∴它的面积为8×6＝48cm 2．故答案为：48．10．（2022•丽水）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN ．已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5．AE ＝a ，DE ＝b ，且a ＞b ．（1）若a ，b 是整数，则PQ 的长是 ；（2）若代数式a 2﹣2ab ﹣b 2的值为零，则PQMNABCD S S 矩形四边形的值是 ．【分析】（1）直接根据线段的差可得结论；（2）先把b 当常数解方程：a 2﹣2ab ﹣b 2＝0，a ＝b +b （负值舍），根据四个矩形的面积都是5表示小矩形的宽，最后计算面积的比，化简后整体代入即可解答．【解答】解：（1）由图可知：PQ ＝a ﹣b ，故答案为：a ﹣b ；（2）∵a 2﹣2ab ﹣b 2＝0，∴a 2﹣b 2＝2ab ，（a ﹣b ）2＝2b 2，∴a ＝b +b （负值舍），∵四个矩形的面积都是5．AE ＝a ，DE ＝b ，∴EP ＝，EN ＝，则＝＝＝＝＝＝3+2．故答案为：3+2．11．（2022•日照）如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（）A．27°B．53°C．57°D．63°【分析】根据题意可知AE∥BF，∠EAB＝∠ABF，∠ABF+27°＝90°，等量代换求出∠EAB，再根据平行线的性质求出∠AED．【解答】解：如图，∵AE∥BF，∴∠EAB＝∠ABF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠ABC＝90°，∴∠ABF+27°＝90°，∴∠ABF＝63°，∴∠EAB＝63°，∵AB∥CD，∴∠AED＝∠EAB＝63°．故选：D．12．（2022•包头）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，点E，F分别在AD，BC边上，EF ∥AB，AE＝AB，AF与BE相交于点O，连接OC．若BF＝2CF，则OC与EF之间的数量关系正确的是（）A．2OC＝5EF B．5OC＝2EF C．2OC＝3EF D．OC＝EF【分析】过点O作OH⊥BC于点H，得出四边形ABFE是正方形，再根据线段等量关系得出CF＝EF＝2OH，根据勾股定理得出OC＝OH，即可得出结论．【解答】解：过点O作OH⊥BC于点H，∵在矩形ABCD中，EF∥AB，AE＝AB，∴四边形ABFE是正方形，∴OH＝EF＝BF＝BH＝HF，∵BF＝2CF，∴CH＝EF＝2OH，∴OC＝＝＝OH，即2OC＝EF，故选：A．13．（2022•泰安）如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝4，点P 是线段BC 上一动点，点M 为线段AP 上一点，∠ADM ＝∠BAP ，则BM 的最小值为（ ）A ．25B ．512C ．13﹣23D ．13﹣2【分析】如图，取AD 的中点O ，连接OB ，OM ．证明∠AMD ＝90°，推出OM ＝AD ＝2，点M 的运动轨迹是以O 为圆心，2为半径的⊙O ．利用勾股定理求出OB ，可得结论．【解答】解：如图，取AD 的中点O ，连接OB ，OM ．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°，AD ＝BC ＝4，∴∠BAP +∠DAM ＝90°，∵∠ADM ＝∠BAP ，∴∠ADM +∠DAM ＝90°，∴∠AMD ＝90°，∵AO ＝OD ＝2，∴OM＝AD＝2，∴点M的运动轨迹是以O为圆心，2为半径的⊙O．∵OB＝＝＝，∴BM≥OB﹣OM＝﹣2，∴BM的最小值为﹣2．故选：D．。
矩形复习
F
探究： ABC满足什么条件时 四边形ADEF 满足什么条件时， ADEF是矩 （2）探究：当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩 形；
Q AFED 是矩形 ∴ ∠ DAF = 90 o ∴ ∠ BAC = 360 o − 90 o − 2 × 60 o = 150 o
变式：若把题目改为以 AFED的边 AFED的边 AF，AD为边作正三角形ADB， 为边作正三角形ADB AF，AD为边作正三角形ADB， ACF，探索△BCE是什么三角形 ACF，探索△BCE是什么三角形.
A E B O F C D
G
再下一城
如图，矩形纸片ABCD ABCD中 AB=3厘米 BC=4厘米 厘米， 厘米， 4, 如图，矩形纸片ABCD中，AB=3厘米，BC=4厘米， 现将A 重合，使纸片折叠压平， 现将A、C重合，使纸片折叠压平， 设折痕为EF 试确定重叠部分△AEF的面积 EF。 的面积。 设折痕为EF。试确定重叠部分△AEF的面积。 G A F D
3、田村有一口呈四边形的池塘，在它 的四个角 、B、 、田村有一口呈四边形的池塘， 的四个角A、 、 C、D处均种有一棵大核桃树．田村准备开挖鱼池建养鱼 处均种有一棵大核桃树． 、 处均种有一棵大核桃树 想使池塘面积扩大一倍， 核桃树不动， 苗，想使池塘面积扩大一倍，又想保持 核桃树不动，并 要求扩建后的池塘成平行四边形形状， 要求扩建后的池塘成平行四边形形状， 请问田村能否实 现这一设想?若能 请你设计并画出图形；若不能， 若能， 现这一设想 若能，请你设计并画出图形；若不能，请说 明理 由．
判断下列说法是否正确？ 判断下列说法是否正确？ 是否正确 ⑴对角线相等的四边形是矩形 （ X ） ⑵对角线互相平分且相等的四边形是矩形( √ ） 对角线互相平分且相等的四边形是矩形(
矩形复习课(优秀教案)
矩形复习课(优秀教案)介绍本教案旨在帮助学生复和巩固矩形的相关知识，包括定义、性质、特点和计算方法等。
通过丰富多样的活动和练，学生能够更好地理解和应用矩形的概念。
教学目标1. 理解矩形的定义和性质。
2. 能够识别和描述矩形的特点。
3. 掌握计算矩形的周长和面积的方法。
4. 能够运用所学知识解决实际问题。
教学内容1. 矩形的定义和性质。
2. 矩形的特点和判断方法。
3. 矩形的周长和面积计算。
4. 实际问题的应用。
教学过程导入教师使用图片或实物展示矩形，引发学生对矩形的兴趣，并激发他们关于矩形的思考。
概念阐述教师通过简单明了的语言介绍矩形的定义和性质，以及其特点和判断方法。
计算练教师给学生提供一些矩形的边长，引导学生计算矩形的周长和面积。
教师可以设计一些简单的计算题目，以增加学生的练机会。
应用练教师设计一些与日常生活有关的问题，要求学生应用所学知识解决。
例如，计算书桌的面积、寻找一个矩形形状相似的物体等。
综合评价教师提供一份综合评价作业，包括选择题、填空题和简答题，以测试学生对矩形的掌握程度。
并根据学生的表现给予相应的反馈和指导。
教学资源1. 矩形实物或图片。
2. 计算工具，如尺子、纸张等。
学生评价1. 学生对于矩形的定义和性质是否有清晰的理解。
2. 学生是否能够正确计算矩形的周长和面积。
3. 学生是否能够灵活运用所学知识解决实际问题。
教学参考以上是矩形复习课的优秀教案，希望能对您的教学有所帮助。
矩形复习课件
04
矩形的角度
角度的性质
矩形内角和为360度
矩形有四个内角，每个内角都是直角 ，因此它们的和为360度。
对角线相等
邻角互补
矩形的两个相邻角的角度和为180度 ，即一个角的度数加上另一个角的度 数等于180度。
矩形的对角线长度相等，这是由于矩 形的对边平行且等长。
角度的特殊值
直角
矩形的角度中有一个是直角，即90 度。
矩形与平行四边形的联系与区别
总结词
矩形是特殊的平行四边形，它们之间的联系在于都有两组平行的边，但矩形的相对边等 长且所有角为直角，而一般的平行四边形不一定具备这些性质。
详细描述
矩形和平行四边形之间既有联系也有区别。首先，矩形和平行四边形都是平行四边形的 一种，这意味着它们都有两组平行的边。然而，矩形是平行四边形的一种特殊情况，其 相对边等长且所有角为直角。相比之下，一般的平行四边形可能不具备这些性质。因此
对角线与面积的关系
面积法
根据矩形面积和对角线长度关系，公式为 $S = frac{1}{2} times d times h$，其中 $S$ 是矩形面积 ，$d$ 是对角线长度，$h$ 是矩形高。
勾股定理法
利用勾股定理计算矩形面积，公式为 $S = frac{1}{2} times a times b$，其中 $S$ 是矩形面积，$a$ 和 $b$ 是矩形相邻两边长度。
矩形复习
目 录
• 矩形的定义与性质 • 矩形的周长与面积 • 矩形的对角线 • 矩形的角度 • 矩形的对称性
01
矩形的定义与性质
定义
总结词
矩形是一种具有四个直角的平行 四边形，其相对边等长且平行。
详细描述
矩形通常由四个直角和两组平行 的边组成。在几何学中，矩形是 一种特殊的平行四边形，其特点 是所有相对边都相等且平行。
矩形的复习
§12.2 几种特殊的平行四边形第一课时 矩形 重点、难点:矩形的识别方法的掌握和灵活运用。
教学准备:三角板、活动的平行四边形木框 教学流程：问题：用木制的平行四边形，将其直立在地面上轻轻的推动点D ，你会发现什么？你知道为什么还是平行四边形吗？当改变平行四边形的内角时，使其一个内角恰好为直角，此时是什么图形？1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2.矩形的性质：① 具有平行四边形的一切性质；② 四个角都是直角；③ 对角线相等且相互平分；④ 既是中心对称图形，又是轴对称图形。
对称轴有四条。
3.矩形的识别：① 四个角都是直角的四边形是矩形。
② 四个角都相等的四边形是矩形。
③ 对角线相等的的平行四边形是矩形。
巩固新知例：如图，矩形ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86，对角线的长是13，那么矩形的周长是多少？解：△AOB 、△BOC 、△COD 和△AOD 四个小三角形的周长和为86，又AC=BD=13 所以 AB+BC+CD+DA=86-2(AC+BD)=86-52A CB D=34即矩形ABCD 的周长等于34.练习 已知，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD ，E 是垂足， ∠DAE ∶∠EAB=2∶1，求∠CAE 的度数。
4、判断①有一个角是直角的四边形是矩形。
②两条对角线相等的四边形是矩形。
③四个角都是直角的四边形是矩形。
课堂小结1.通过本堂课的探索,你有何收获?最想说的一句话是什么？2. 反思一下你所获成功的经验,课后写好数学日记,与同学交流!D C。
矩形的复习1-
A
B
C
D
E
F
G
H
图1
图2
图3
图4
4.在矩形ABCD中,E.F分别是AD、BC的 中点,连EF. 求证:四边形AEFB是矩形
A ED
B
FC
5.如图， ABCD 各内角平分线围成 四边形EFGH.
求证:四边形EFGH是矩形
A
D
G
FH
B
E
C
6.延长等腰△ABC的腰BA至点D,使 AD=AB,延长CA至点E,使EA=AC
求证:四边形BCDE是矩形
E
D
A
B
C
7.四边形ABCD的对角线AC⊥BD,E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA的中点
求证:四边形EFGH是矩形
D
H
G
A
C
E
F
B
8.求证:等腰三角形底边上任意一点到两腰的 距离之和等于一腰上的高.
1、矩形具有而一般的平行四边形不具有的
性质是( C )
A、对角相等 B、对边相等 C、对角线相等 D、对角线互相平分
2.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD 为BC边上的中线,已知BC=10,则 AD=＿＿5 ＿.
3. 矩形的一条边长为 a ,两条对角 线所成的锐角为 60°,求矩形的面 积.
对角线相等且平分的四边形
直角三角形的性质
1、在直角三角形中，_3_0_度___角所对的直角边 等于斜边的_一__半____。 2、在直角三角形中，斜边上的_中__线___等于斜 边的_一__半___。
； 西安轻质隔墙板
；
大的生存空间和心灵空间。 ? 4.猫逮老鼠天经地义，坚守自己的责任和本分，不甘心做一只只会享受的宠物。 ? 其次，其余的猫
矩形的性质与判定复习
1、 如图，矩形纸片ABCD中，AB=3厘米，BC=4厘 米，现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF。 试确定重叠部分△AEF的面积。
G A F D
B
E
C
练习2 如图，将矩形ABCD纸片 对折，设折痕为MN，再把B点叠 在折痕线MN上，若AB=3，则 C ）。 折痕AE的长为（ (A) 33/2 (B) 33/4 (C ) 2 (D夹角 是40°，则两条对角线所成的锐角的 度数是（ ） A、100° B、90° C、80° D、70°
2、矩形的一边长为6，各边中点围成的四 边形的周长是20 ，则矩形的对角线长 为 ，面积为 。
3、平行四边形四个内角的平分线，如果能围成 一个四边形，那么这个四边形一定是（ ） A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、等腰梯形 4、如图，矩形ABCD中，O是对角线的交点， A D 若AE⊥BD于E，且 OE∶OD＝1∶2， AE＝ 3 cm， O E 则∠AOD = ， C B DE＝ cm。 第 3 题图
B
C E
A
F D
B E MG A
C B' N D
2、求角的度数
例3 将长方形ABCD的纸片， 沿EF折成如图所示；已知 EFG=55º ，则FGE= 70º。
A B G D'
F E C'
D C
练习3如图，矩形ABCD沿 BE折叠，使点C落在AD边上 的F点处，如果ABF=60º ， 则CBE等于（ A ）。 (A)15º (B)30º (C )45º (D)60º
∟
A
∟D
O ∟
1、定义：
2、性质和判定： 性 边 角 对角线 质
B
有一个角是 直角 的 平行四边形 叫矩形。
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小明家有一块平行四边形菜地，菜 地中间有一口井，为了浇水的方便，小 明建议妈妈经过水井修一条路，可以把 菜地分成面积相等的两部分. 同学们， 你知道聪明的小明是怎么帮妈妈分的吗？
A
●
D
M
典型例题
例1、已知：如图，在矩形ABCD中，BC=4 3 ， √ AE⊥ BD，垂足为E，∠BAE=30º， 则Δ ECD的面 积是__________ 6 3 √
)
M
C
N E F
D
3、如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处， 如果∠BAF=60°，那么∠DAE等于（A ） A．15° B．30° C．45° D．60°
1．矩形具有平行四边形不一定具有的 性质是（ D ） A．对角相等 B A B，对角线互相平分 C．对边平行且相等 D．对角线相等 D E C 2：在矩形ABCD中，AB=10cm，AD=5cm，E是 CD上的一点，且AE=10cm，则∠CBE等于 ( ) ∵∠D=90ο,AE=10,AD=5 ∴∠AED=30ο ∵AB=AE∴∠ABE=∠AEB=75ο ∴∠CBE=∠ABC－∠ABE=90ο－75ο =15ο
从对角线
天天练
平行且相等 1、平行四边形的对边___________, 相等 互补 对角________,邻角_____________ 2、平行四边形的对角线互相______. 平分 中心对称图形 3、平行四边形是______________ 距离 4、平行线之间的______处处相等。
天天练
D
A E B H
H
C
典型例题
例2、如图，已知E为平行四边形ABCD中 DC边延长线上的一点，且CE=DC，连结AE， 分别交BC、BD的延长线于F、G，连结AC交 BD于O，连结OF。 求证 ：AB=2OF。 A D C E
G
B F
O
△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直 线MN∥BC, ，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外 角平分线于点F． (1)求证：EO=FO (2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形?并证明 你的结论．
知识要点 3、有关概念或推论
平行线段 （1）夹在两条平行线间的___________线段相等。
（2）两条平行线中，一条直线上的 任一点 到另一条直线的距离 ___________到______________________,叫做 这两条平行线的距离. 斜边上的中线 （3）直角三角形____________________ 等于斜边 的一半.
A
D O C
1、如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O， 12 ∠AOB= 60°，AB=6，则AC=_______ B
2、已知矩形的周长是24，相邻两边之比是1：2，那么这个矩 32 形的面积是_____________ 3、矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和 5 为15，则短边长为____________
探索：如果已知四边形ABCD是一个平行四边形 任意 那么再加什么条件就可以变为矩形呢？
（要求：必须根据从我们探讨的矩形 A 的特征出发，即从“角”、“对角线”考虑）。
D O C
B
有一个角是直角的平行四边形是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形
判断下列说法是否正确？ ⑴对角线相等的四边形是矩形； （ ） ） ⑵对角线互相平分且相等的四边形是矩形（ ⑶有一个角是直角的四边形是矩形； （ ） ⑷有三个角是直角的四边形是矩形； （ ） ⑸四个角都相等的四边形是矩形； （ ）
O
例2、如图，M，N是 □ ABCD的对边 AD,BC上的中点，且 AD=2AB。试说明 四边形PMQN是矩形。
A M D
P
B N
Q
CHale Waihona Puke 例1、已知如图四边形ABCD中AB⊥BC， AD∥BC，AD=BC，试说明四边形ABCD A D 是矩形。 证明：∵ AD=CB AD∥CB ∴四边形ABCD是平行四边形 B C ∵AB⊥BC A D ∴∠B=90° O ∴ □ ABCD是矩形 练习：已知如图四边形ABCD中 AO=BO=CO=DO，试说明四 边形ABCD是矩形。
矩形的复习
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。
矩形的性质
具有平行四边形的一切特征 四个角都是直角 对角线相等且平分 有一个角是直角的平行四边形 有三个角是直角的四边形 对角线相等的平行四边形 对角线相等且平分的四边形
矩形的判定
2、根据平行四边形、矩形的性质与判定填空
平行四边形 性 质 边 角 对角线 矩形
⑹对角线相等，且有一个角是直角的四边形
是矩形； （ ）
⑺对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。 （
）
天天练 直角 1、矩形的四个内角都是______。 相等 互相平分 2、矩形的对角线______且 __________。 30度 3、在直角三角形中，______角所对的直角边 一半 等于斜边的_______。 中线 4、在直角三角形中，斜边上的______等于斜 一半 边的______。
1、已知如图矩形ABCD中AE⊥BD，BF⊥AC， E、F分别为垂足，试说明AE=BF的理由。
D E F C
A
B
例2、BD、BE分别是∠ABC与它的邻 补角的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD， 求证：四边形AEBD是矩形。 A E
21
D C
P
B
2、已知□ ABCD的对角线AC、BD 相交于点O，Δ AOB是等边三角形， 你能说明这个平行四边形是矩形吗 ？
4．直角三角形斜边上的高和斜边上的中线分 别是5cm和6cm，则它的面积是—— A
∵∠ACB=90ο,中线CD=6cm ∴斜边AB=12cm ∵CE⊥AB，CE=5cm D E B
C ∴△ABC的面积为:12×5÷2=30(cm2)
6.矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,AE 垂直于BD于E，若∠DAE=3∠BAE，则∠EAC=？ ∵四边形ABCD是矩形 A ∴OA=OD ∴∠OAD=∠ODA ∵∠DAE=3∠BAE ， B ∠DAE+∠BAE=90ο ∴∠BAE=22.5ο ∴∠ADO=∠BAE=22.5ο ∴∠EAC=90ο－2×22.5ο=45ο E C D
A D O B C
4、请在横线上写出原因，在括号里填理由 ∵四边形ABCD是矩形
∴____________________ (
)
1、矩形具有而一般的平行四边形不具有的性质是( C A、对角相等 B、对边相等 C、对角线相等 D、对角线互相平分 2、把一张长方形的纸条按图那样折叠，若得到 A ∠AME＝70o ，则∠EMN＝（ C ） A、45o B、50o B C、55o D、60o
平行 ４、两组对边______的四边形是平行四边形。 相等 ５、两组对边______的四边形是平行四边形。 ６、一组对边______且______的四边形是平行四 平行 相等 边形。 相等 7、两组对角______的四边形是平行四边形。 互相平分 8、对角线__________的四边形是平行四边形。
田村有一口呈四边形的池塘，在它 的四个角A、B、C、 D处均种有一棵大核桃树．田村准备开挖鱼池建养鱼苗， 想使池塘面积扩大一倍，又想保持 核桃树不动，并要求 扩建后的池塘成平行四边形形状， 请问田村能否实现这 一设想?若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理 由．
E
B F
A
H
O
C
D
G
谁正确？
一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟， 一天，师傅有事外出，两徒弟就自已在家练习用 两块四边形的废料各做了一扇矩形式的门，完事 之后，两人都说对方的门不是矩形，而自已 的是 矩形。 甲的理由是：“我用角尺量我的门任意三个角， 发现它们都是直角。所以我这个四边形门就是矩形”。 乙的理由是：“我用直尺量这个门的两条对角 线，发现它们的长度相等，所以我这个四边形门 就是矩形”。 根据它们的对话，你能肯定谁的门一定是矩形， 为什么？
对边平行且相等 对角相等 互相平分
两组对边分别平行的四边形 两组对边分别相等的四边形
对边平行且相等 四个角都是直角 相等且互相平分
判 定 方 法
从边
有一个角是直角的平行四边形
一组对边平行且相等的四边形 从角 有三个角是直角的四边形
两组对角分别相等的 四边形 对角线互相平分的 四边形
对角线相等的平行四边形
A
M E B C
F
N
O
D
拓展思维：
1、 如图，矩形纸片ABCD中，AB=3厘米，BC=4厘 米，现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF。 试确定重叠部分△AEF的面积。
G A F D
B
C
E