【参考答案】指对幂函数
利用指幂对函数单调性比较大小解答题
1.已知幂函数()()223*kk f x x k N --∈＝的图象关于y 轴对称，且在区间()0+∞，上是减函数， (1)求函数()f x 的解析式；(2)若>a k ，比较()0.7lna 与()0.6lna 的大小． 【解答】解(1)幂函数()()223*kk f x x k N --∈＝ 的图象关于y 轴对称，2*23013,12k k k k N k ∴--<∴-<<∈∴=，，,；且幂函数()()223*kk f x x k N --∈＝在区间()0+∞，为减函数， ()41k f x x -∴=∴=, ；(2)由(1)知，1a >．①当1a e <<时，()()0.70.601lna lna lna <<∴<,；②当a e =时，()()0.70.61,lna lna lna =∴=； ③当a e >时，()()0.70.61,lna lna lna >∴>．2.设a>0，a≠1，t>0，比较12a log t 与12a t log +的大小，并证明你的结论． 【解答】解：当t>0时，由基本不等式可得12t +≥1t =时取“=”号 ∴1t =时，111222aa a t t log log log log t ++∴==， 1t ≠时，12t t +>， 当01a <<时，a y log x =是单调减函数，∴111222aa a t t log log log log t ++<<; 当1a >时，a y log x =是单调增函数，∴111222aa a t t log log log log t ++>∴>. 3.比较()231log x +与()3x -的大小.答案：解答：要使()231log x +与()3x -有意义，则310330x x x +>∴>->⎧⎨⎩，，()()()22331331log x log x x log x -∴+--=+-()2222313123(3)x log x log x log x +=+--=-（），当2)131(3x x +->，即()2313x x +>-时， 即18x <<时，())()()223130,313log x x log x x +-->∴+>-；当2)131(3x x +-<时，即()2313x x +<-时， 即1x <(舍去)或8x >， ∴当8x >时，()()()()223130,313log x x log x x +--<∴+<-.4.当34a >且1a ≠时，判断()1a log a +与(1)a log a +的大小，并给出证明. 答案：当1a >时，()(1)1a a log a log a ++>； 当314a <<时，()(1)1a a log a log a ++<. 解答：当1a >时，()(1)1a a log a log a ++>； 当314a <<时，()(1)1a a log a log a ++<. 证明如下：()()()()()()22111111a a lg a lg a lg a lgalog a log a lga lg a lgalg a +++-+--==++，(1)当1a >时，()()0101lga lg a lg a lga >+>+>,，．∴()()11101a a a a log a log a log a log a +++->∴+>（）（）,； (2)当314a <<时，()()()()221111a a lg a lg a log a log a lgalg a ++-+-=+()()()()()()()()()211111lg a lga lg a a lg a lga lg a lga lgalg a lgalg a +-++-++=++=，()()231010104a lga lg a lg a a lg <<∴<+>+>=，，,，()()()()2101lg a lga lg aa lgalg a +-+∴<+，()(1)1a a log a log a +∴+<.5.函数()y f x =定义在R 上，对于任意实数m n ,，恒有()()()f m n f m f n +=⋅ ， 且当0x >时，()01f x <<． (1)求证：()01f =；(2)当0x <时，比较()f x 与1的大小. 答案： 解答：(1)∵任意实数m n ,，恒有()()()f m n f m f n +=⋅, 令()()()1,0,110m n f f f ==∴=,∵x>0时，()()()01,011,01f x f f <<∴<<∴=; (2)当0x <时，0x ->， 则()()()()()()()01,01,01()11,f x f f x f x f x f x f x <-<=-=∴∈∴>=-，； 6.求不等式()2120,1x x a a a a -+>≠>中x 的取值范围．答案：当1a >时，{}3|x x >； 当01a <<时，{}3|x x < 解答：()2120,1x x a a a a -+>≠>当1a >时，212,3x x x ->+∴>； 当01a <<时，212,3x x x -<+∴<， 故不等式()2120,1x x aa a a -+>≠>的解集：当1a >时，{}3|x x >，当01a <<时，{}3|x x <.7.若()210,13alog a a <>≠，求实数a 的取值范围． 答案：()0123⎛⎫+ ⎪⎝⎭∞，，解答：213aa log log a <= ， 当1a >时，函数是一个增函数，不等式成立， 当01a <<时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有23a <， 综上可知a 的取值是()0123⎛⎫+ ⎪⎝⎭∞，，. 8.若311,210x a lgx b lgx c lg x ⎛⎫∈=== ⎪⎝⎭，,,，试比较a b c ,,的大小． 答案：b a c << 解答：111010x a lgx ⎛⎫∈∴-<=< ⎪⎝⎭，，，()()320110,a b lgx lgx lgx c a lg x lgx lgx lgx lgx -=-=->-=-=-+>,32 lg x lg x lg x b a c ∴<<∴<<,.9.设()32f x x x=-. (1)指出函数的定义域，证明()f x 为奇函数；(2)判断函数()f x 在()0+∞，上的单调性并用定义证明； (3)试比较()f π与()27f log 的大小关系．答案：解答： (1)()32f x x x=-的定义域为()()00-∞+∞，，， ()()()()3322,f x x x f x f x x x ⎛⎫-=--=--=-∴ ⎪-⎝⎭为奇函数； (2)函数()f x 在()0+∞，上是增函数，证明如下， 任取()120x x ∈+∞,，，且12x x <，则()()()12121212123332(22)()f x f x x x x x x x x x -=---=-+， ()()()1212121230(20)x x x x f x f x x x <∴-+∴<<<，, ， 故()f x 在()0+∞，上是增函数； (3)()()220737log f f log ππ<<<∴>；.10.设x y z R +∈,,，且346x y z ==． (1)求证：1112z x y-=； (2)比较34,6x y z ,的大小． 答案：(1)见证明； (2)346x y z << 解答：(1)证明：∵x y z R +∈,,，且1346x y z ==>，346lgk lgk lgk x y z lg lg lg ∴===,,, 1163214222lg lg lg lg lg z x lgk lgk lgk y lgk lgk∴-=-===,, 1112z x y=∴-；(2)34634346lgk lgk lgk x y z lg lg lg ====== ，1.0336921346k lgk x y z >∴=>=>>∴<<，，，.11.设()()12313a a y log x y log x =+=-,，其中0a >且1a ≠． (1)若12y y =，求x 的值； (2)若12y y >，求x 的取值范围．(1)16x =-； (2)当01a <<时，1136x -<-<； 当a>1时，106x -<<. 解答：(1)()()12,1313313,6a a y y log x log x x x x =+=-∴+=-∴∴=-，，经检验31030x x +>->， ，所以，16x =-是所求的值；(2)当01a <<时，∵12y y >，即()()313a a log x log x +>-，3102031311,36x x x x x⎧⎪+>->-<-+<∴∴<-⎨⎪⎩；当1a >时，∵()()12313a a y y log x log x ∴+>->,， 31012006313x x x x x +>->-<+>⎧⎪∴<⎨⎪⎩-,， 综上，当01a <<时，1136x -<-<；当a>1时，106x -<<. 12.设函数()()21x ax bx a b R ϕ=++∈,.(1)若()10ϕ-=，且对任意实数x 均有()0x ϕ≥成立，求实数a b ,的值；(2)在(1)的条件下，令()()4f x x x ϕ=-，若()g x 与()f x 在()1+∞，上有相同的单调性，()()12312412111x x x mx m x x m x mx <<=+-=-+,,且3411x x >>,，试比较：()()34||g x g x -与()()12||g x g x -的大小． 答案：(1)12a b ==,； (2)①()01m ∈，时，()()()()3412||g x g x g x g x -<-；②0m ≤时，()()()()3412||||g x g x g x g x -≥-； ③1m ≥时，()()()()3412||||g x g x g x g x -≥-(1)10101a b b a ϕ-=∴-+=∴=+（），,，又对任意实数x 均有()0x ϕ≥成立∴0a >且240b ac -≤恒成立，即()210a -≤恒成立，12a b ∴==,；(2)()()()241f x x x x ϕ=-=-在()1+∞， 上单调递增． ∴()g x 在()1+∞，上单调递增． ①()()()()312111322201111m x mx m x mx m x x x mx m x x ∈=+->+-=<+-=，,∴()312x x x ∈,同理可得()412x x x ∈，，由()g x 得单调性可知，()()()()()3412,g x g x g x g x ∈（,从而有 ()()()()3412||g x g x g x g x -<- ；②0m ≤时，()()3122211x mx m x mx m x =+-≥+-()()241211111x x m x mx m x mx x ==-+≤-+=，于是由3411x x >>,及()g x 得单调性可知()()()()()()()()41233412||||g x g x g x g x g x g x g x g x ≤<≤∴-≥-；③1m ≥时，同理可得3142x x x x ≤≥,， 进而可得()()()()3412||||g x g x g x g x -≥- ．13.已知010x a <<>,且1a ≠，试比较()||1a log x +与()||1a log x -的大小，写出判断过程．答案：()()1|1|a a log x log x ->+ 解答：∵已知0111011x x x <<∴+><-<，，．当1a >时，()()()()()2111|11|a a a a a log x log x log x log x log x --+=---+=--，20111011x x x <-<<+∴<-<,，()()()()22101|0|11a a a a log x log x log x log x ∴-<∴-->∴->+，，．当01a <<时，由01x <<，则有()()1010a a log x log x ->+<，，()()()()()2111|110|a a a a a log x log x log x log x log x ∴--+=-++=->，∴()()1|1|a a log x log x ->+．综上可得，当0a >且1a ≠时，总有()()1|1|a a log x log x ->+．14.已知a b R ∈+,，函数()()11x x x xa b f x x R a b+++∈+=. (1)判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论；(2)比较22a b a b++的大小．答案： 解答：(1)函数()()11x x x xa b f x x R a b+++∈+=递增函数，证明如下： 设x y <，则0x y -<，()()()()()()x y x y y y xxyya b a b a b f x f y abab----++=- ，①当a b =时，()f x 为常数函数，此时不单调． ②若a b >，则()()00x yx y x y x y a b ab a b f x f y ----<<->-∴<,,,，此时函数()()11x x x xa b f x x R a b+++∈+=递增函数． ③当a b <，则00x y x y x y x y a b a b a b -----<>->,,，所以()()f x f y <，此时函数()()11x x x x a b f x x R a b +++∈+=递增函数.(2)2222a b a b a b a b++-=++ 123322311322222212a b a b a b a b a b a b a b--+⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝=+⎭--=+，因为幂函数3122x x , 在()0+∞，上单调递增，具有相同的单调性． 所以当a b =时，22a b a b ++=当a b ≠时，22a b a b++> .15.已知()()()()()1101a a f x log x g x log x a a =+=->≠,,． (1)求函数()()f x g x -的定义域；(2)判断函数()()f x g x -的奇偶性，并予以证明； (3)求使()()0f x g x ->的x 的取值范围． 答案：(1)()11-,； (2)奇函数；(3)当 1a >时，01x <<； 当01a <<时，10x -<<. 解答：(1)由于()()()()()1101a a f x log x g x log x a a =+=->≠,,， 故()()()()1111a a axf xg x log x log x log x+-=+--=- ， 1011,10x x x ⎧+>->∴⎨<-⎩<，故函数的定义域为()11-,． (2)令()()()h x f x g x =-，可得()()1111a a x xh x log log h x x x-+-==-=-+-， 故函数()()()h x f x g x =-为奇函数． (3)由()()0f x g x ->可得101a xlog x+>-， 当1a >时，有11 011xx x+∴><<-，； 当01a <<时，有 101101,101111x x x x x x x +⎧<⎪+⎪-<<∴∴-<<⎨+-⎪<⎪-⎩, ， 综上可得，当 1a >时，01x <<； 当01a <<时，10x -<<． 16.已知1m a b >==,,a b 的大小关系，a _____b .答案：< 解答:10m >>><,,,1a m b a b +===∴<=．17.已知1m >，试比较()0.9lgm 与()0.8lgm 的大小．答案：即10m >时，()()0.90.8lgm lgm >；10m =时，()()0.90.8lgm lgm =；110m <<时，()()0.90.8lgm lgm <．解答：()()()0.90.10.8lgm lgm lgm =， 当1lgm >，即10m >时，()0.10.111lgm >> ，∴()()0.90.8lgm lgm >．当1lgm =，即10m =时，()()0.90.8lgm lgm =；当01lgm <<，即110m <<时，()()0.90.8lgm lgm <．18.已知函数()1211xf x log x +-＝.若1a b >>，试比较()f a 与()f b 的大小. 答案：()()f a f b > 解答：函数()1211xf x log x +-＝的定义域为()()11-∞-+∞，，， 再判断函数的单调性，()112212111x f x log log x x +=⎡⎤⎢⎥⎣=+--⎦因为函数21u x x =-（） 在区间()()1,1-∞-+∞，，都是减函数， 所以()f x 在区间()1-∞-，和()1+∞，都是增函数，∵1a b >>，根据()f x 在()f x 上是增函数得， ∴()()f a f b >.19.已知函数()()22401a f x x x a g x log x a a =-+=>≠,（,）．(1)若函数()f x 在[12]m -,上不具有单调性，求实数m 的取值范围； (2)若()()11f g =． (i)求实数a 的值； (ii)设()()123122x t f x t g x t ==,,=，当()01x ∈，时，试比较123t t t ,,的大小．答案：(1)1()2+∞，； (2)(i)2；(ii)213t t t <<. 解答：(1)∵抛物线224y x x a =-+开口向上，对称轴为1x =，∴函数()f x 在(]1-∞，单调递减，在[1)+∞，单调递增， ∵函数()f x 在[12]m -,上不单调， ∴21m >，得12m >，∴实数m 的取值范围1()2+∞，； (2)(i)()()11202f g a a =∴-+=∴=，，， (ii)()221223()121122x t f x x x x t g x log x t =-+=-===,（）,＝， ∴当()01x ∈，时，()()()12321301012t t t t t t ∈∈-∞∈∴<<,,，,，,. 20.已知函数()()101x f x aa a -=>≠,.(1)若函数()y f x =的图象经过()34P ，点，求a 的值； (2)比较1(0)10f lg 与()2.1f -大小，并写出比较过程． 答案：(1)2；(2)当1a >时，)1(( 2.1)100f lgf >-当01a <<时，)1(( 2.1)100f lg f <-. 解答：(1)∵函数()y f x =的图象经过()2344P a ∴=,,．又0a >，所以2a =． (2)当1a >时，)1(( 2.1)100f lg f >-；当01a <<时，)1(( 2.1)100f lg f <-； 证明：由于()3 3.11()2( 2.1)100f lgf a f a --=-=-=,， 当1a >时，xy a =在R 上为增函数， ∵3 3.13 3.1a a --->-∴>， ，即)1(( 2.1)100f lgf >- 当01a <<时，xy a =在R 上为减函数， ∵3 3.13 3.1a a --->-∴<,，故有)1(( 2.1)100f lg f <-. 21.已知函数()3f x x x x R =+∈,．(1)判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论；(2)若a b R ∈,，且0a b +>，试比较()()f a f b +与0的大小． 答案：(1)增函数；(2)()()0f a f b +>.解答：(1)函数()3f x x x x R =+∈,是增函数，证明如下：任取12,x x R ∈，且12x x <，因为()()()()332212121212112210f x f x x x x x x x x x x x -=-+-=-+++<所以函数()3f x x x x R =+∈,是增函数．(2)由0a b +>，得a b >-，由(1)知()()f a f b >， 因为()f x 的定义域为R ，定义域关于坐标原点对称， 又()()()()()333f x x x x x x xf x -=-+-=--=-+=-，所以函数()f x 为奇函数． 于是有()()f b f b -=-，所以()()f a f b >-，从而()()0f a f b +> ． 22.已知函数()()()10xxf x ln a ba b =->>>．(1)判断函数()f x 在其定义域内的单调性(2)若函数()f x 在区间()1+∞，内恒为正，试比较a b -与1的大小关系． 答案：(1)增函数； (2)1a b -≥ 解答:(1)要使函数有意义，则1)10(01x xa aa b x a b b b-∴>>>>>∴>,,,, ()0x f x ∴>∴,的定义域为()0+∞，．设21010x x a b >>>>>,，21122122110xxx xxxxxxxa ab b b b a b a b ∴>>∴->-∴->->,,，，22111x x a b ax bx ∴->-，∵函数y lgx =在定义域上是增函数，()()()()21210,f x f x f x f x ∴∴>-> ， ∴()f x 在()0+∞，是增函数． (2)由(1)知，函数()f x 在()0+∞，是增函数， ∴()f x 在()1+∞，是增函数， 即有()()1f x f >，要使()0f x >恒成立，必须函数的最小值()10f ≥，即()011lg a b lg a b -≥=∴-≥,． 23.已知函数()21px f x x q +=+ 是奇函数，且()522f =.(1)求实数p q ,的值；(2)判断()f x 在[1)+∞，上的单调性，并证明你的结论； (3)若对任意的1t ≥，试比较()21f t t -+与()22f t t -的大小．答案： (1)1,0； (2)增函数；(3)()()2212f t t f t t -+≤-. 解答：(1)∵()f x 是奇函数，∴()()f x f x -=-，()2211,0p x px q x q x q-++-∴=-++∴=，()54152,1222p f p +=∴=∴=,；(2)∵()1f x x x=+，任取12[1)x x ∈+∞,，，且12x x <， ()()()()()121211212122121211111x x x x f x f x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭---=+-+-- 1212121210110,x x x x x x x x <<≤+∞∴-∴-><>，，()()()()121212121,x x x x fx f x x x --∴∴<∴()f x 在[1)+∞，上为增函数； (3)∵211y t t =-+的对称轴12t =， ∴211y t t =-+在[1)+∞，上单调递增，∴11111y ≥-+= ， 又∵222y t t =-的对称轴为12t =， 222112248()y t t t =-=--在[1)+∞，上单调递增， 2211y ∴≥-= ，又()222212121101()(),y y t t t t t t y y ∴----+≥=-≥∴≥=, ，又()f x 在[1)+∞，上的单调递增， ()()()()222112f y f y f t t f t t ∴≥∴-+≤-,.24.已知函数()3f x x x =+．(1)指出()f x 在定义域R 上的奇偶性与单调性(只要求写出结论，无须证明)；(2)已知实数a b c ,,满足000a b b c c a +>+>+>,,，试判断()()()f a f b f c ++与0的大小，并加以证明． 答案：(1)奇函数，增函数； (2)()()()0f a f b f c ++> 解答:(1)∵函数()3f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称又∵()()()()()33f x x x x x f x -=-+-=-+=-，∴()f x 为奇函数，又∵3y x =在R 上单调递增，y x =在R 上单调递增，∴()3f x x x =+在定义域R 上也为增函数．(2)由0a b +>，得a b >-，故()()()f a f b f b >-=-， 于是()()0f a f b +>．同理，()()()()00f b f c f c f a +>+>,．故()()()()()()0f a f b f b f c f c f a +++++> ， 即有()()()0f a f b f c ++>． 25.已知函数()()10f x x x x->=. (1)试判断函数()f x 的单调性，并用单调性的定义证明； (2)设m R ∈，试比较()223f m m -++与()5f m +的大小．答案：(1)增函数；(2)()()2235f m m f m -++<+.解答：(1)()f x 为单调增函数，证明：设120x x >>， 则()()()12121221211111f x f x x x x x x x x x --⎛-+=-+⎫= ⎪⎝⎭，()()1212121210,01> 0,0x x x x f x f x x x ∴->+∴->>>，， ∴()f x 为单调增函数； (2)解：222314455m m m m -++=--+≤+≥（）,，()2235,m m m f x ∴-++<+为单调增函数；()()2235f m m f m ∴-++<+.34.已知指数函数()()01xf x a a a =>≠,图象过点831⎛⎫⎪⎝⎭，. (1)求()f x 的解析式；(2)利用第(1)的结论，比较0.1a -与0.2a -的大小． 答案：(1)()1()2xf x =；(2)0.10.2a a --<. 解答：(1)函数()()01xf x a a a =>≠,图象过点831⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()311,821()2x a a f x ==∴∴=∴, ； (2)由(1)知()()1122x a f x =,=在R 上是减函数．0.10.20.10.2a a --->-∴<,. 26.指数函数()1xy a =-与)1(x y a =具有不同的单调性，比较13()1m a =-与3()1n a=的大小.答案： m n > 解答：因为指数函数()1xy a =-与)1(xy a=具有不同的单调性，所以11101a a ⎧-><<⎪⎨⎪⎩ 或10111a a <-<⎧>⎪⎨⎪⎩ ， ()131333112,1()()1211()28a m a n a ∴>=->-==<<，，m n ∴>.27．已知函数()21xf x a -=(0a >且1a ≠).(1)若函数()f x 的图象经过点)4P ,求a 的值; (2) 判断并证明函数()f x 的奇偶性;(3)比较2()f -与()2.1f -的大小,并说明理由. 答案： (1)2；(2)偶函数；(3)当1a >时,()()2 2.1f f -<-; 当01a <<时,()()2 2.1.f f ->-解答：(1)∵函数()f x 的图象经过点)4P ,24, 2.f a a ∴==∴=(2)函数()f x 为偶函数.∵函数()f x 的定义域为R,且()()22()11x x f x a af x ----===,∴函数()f x 为偶函数.(3)∵21y x =-在(),0-∞上单调递减, ∴当1a >时,()f x 在(),0-∞上单调递减,()()2 2.1f f ∴-<-;当01a <<时,f(x)在(),0-∞上单调递增, ∴()()2 2.1.f f ->-28．函数()(,xf x k a k a =⋅为常数，0a >且1)a ≠的图象经过点()0,1A 和()3,8B ，()()()11f xg x f x -=+.(1)求函数()f x 的解析式； (2)试判断()g x 的奇偶性；(3)记()()()(()2ln 2,ln ln 2,ln ,ln 2a g b g c g d g ====，试比较,,,a b c d 的大小，并将,,,a b c d 按从大到小顺序排列. 答案：(1)()2xf x =；(2)奇函数；(3)a d c b >>>. 解答：(1)由题知0318k a k a ⎧⋅=⎨⋅=⎩，解得12k a ==,，所以()2xf x =. (2)由(1)知，()2121x x g x -=+，所以()()2121x x g x g x ----==-+，显然()g x 的定义域为R ，所以()g x 是定义在R 上的奇函数.(3)因为()21212121x x xg x -==-++，所以()g x 是定义在R 上的增函数，又1ln2ln 12e =<<=，所以210ln2ln 2ln22<<<，()ln ln 20<， 所以()21ln2ln 2ln2ln ln 22>>>，于是，故a d c b >>>.29．已知定义在R 上的奇函数()f x ,在()0,1x ∈时, ()2 41xxf x =+且()()11f f -=. (1)求()f x 上,1[]1x ∈-上的解析式; (2)当()0,1x ∈时,比较()f x 与12的大小. 答案：(1)()()(){}2,1,0412,0,1410,1,0,1xxxxx f x x x ⎧-∈-⎪+⎪⎪=∈⎨+⎪∈-⎪⎪⎩; (2)()12f x <.解答：(1)∵()f x 是R 上的奇函数且()0,1x ∈时,()2 41xxf x =+, ∴当,0()1x ∈-时,()22414(1)x xx xf x f x --=-==-++-. 又由于()f x 为奇函数,()()00(),00f f f ∴=-∴=-, 又()()()()(11,11(),110)f f f f f f =-=-∴=-=- .综上所述,当,1[]1x ∈－时,()()(){}2,1,0412,0,1410,1,0,1xxxx x f x x x ⎧-∈-⎪+⎪⎪=∈⎨+⎪∈-⎪⎪⎩; (2)当()0,1x ∈时,()2 41xxf x =+, ()()()()2211212241 2412241241xxxxx x xf x --⋅--=-==+++-， ()20,1(21)0,410x x x ∈∴->+>， ()()110,22f x f x ∴-<∴<. 30．比较下列各组数的大小： (1)0.2456-⎛⎫⎪⎝⎭与1456-⎛⎫⎪⎝⎭；(2)π1π-⎛⎫ ⎪⎝⎭与1； (3)(0.8)-2与1254-⎛⎫ ⎪⎝⎭. 答案： (1)10.2445566--⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; (2)π11π-⎛⎫> ⎪⎝⎭(3)12250.84--⎛⎫> ⎪⎝⎭.解答：(1)考察函数56xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ∵5016<<，∴函数56xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()-∞∞,+上是减函数. 又10.244->-，∴10.2445566--⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (2)考察函数1πxy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵101π<<，∴函数1πxy ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝在()-∞∞,+上是减函数.又－π<0，∴π111ππ-⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=. (3)先考察函数0.8x y ＝.00.81<<，∴函数0.8xy ＝在()-∞∞,+上是减函数. 又20-<，∴200.80.81>=－.再考察函数54xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ∵514>，∴函数54xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()-∞∞,+上是增函数. 又102-<，∴1255144-⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=. 综上可知，12250.84--⎛⎫> ⎪⎝⎭.31．已知01,b 1,1a ab <<>>，试比较11log log b log b ba ab 、、的大小. 答案：11log b log log b ba ba <<解答：因为01,b 1a <<>,所以log b 0a <,1log 1b b =-,1log 0ba >; 又因为b 1a >，01a <<，所以1b 1a>>; 所以11log b log 1?log b a aa a <=-=； 所以11log b log log b ba b a <<.32．已知函数()2f x ax bx c =++(0a >且0bc ≠).(1)若()()()0111f f f ==-=,试求()f x 的解析式;(2)令()2g x ax b =+,若()10g =,又()f x 的图像在x 轴上截得的弦的长度为l ,且02l <≤,试比较b 、c 的大小.答案：(1)()21f x x x =+-或()21f x x x =--；(2)0c b >>. 解答：(1)由已知()()()0111f f f ==-=,有()()22a b c a b c a b c a b c ++=-+⇒++=-+,得()40b a c +=．∵0bc ≠,∴0b ≠,∴0a c +=,由0a >知,0c <； ∵1c =,∴1c =-，则1,1a b ==±； ∴()21f x x x =+-或()21f x x x =--．(2)()2g x ax b =+,由()10g =且0a >,知20,0a b b +=<且0a >, 设方程()0f x =的两根为12,x x ,则12122,b c x x x x a a+=-==,∴12x x -== 由已知1202x x <-≤,∴01ca≤<；又∵0,0a bc >≠,∴0c >； 又0b <,∴0c b >>．33．设()f x 是定义在R 上的奇函数,且对任意a 、b ∈R ,当0a b +≠时,都有()()0f a f b a b+>+.(1)若a b >,试比较()f a 与()f b 的大小关系; (2)若()()923290x xxf f k -⋅+⋅->对任意[)0,x ∞∈+恒成立,求实数k 的取值范围.答案：(1)()()f a f b >； (2).1k <. 解答：(1)因为a b >,所以0a b ->,由题意得:()()0f a f b a b+->-；所以()()0f a f b +->；又()f x 是定义在R 上的奇函数,()()f b f b ∴-=-，()()0f a f b ∴->； 即()()f a f b >.(2)由(1)知()f x 为R 上的单调递增函数,()()923290x x x f f k -⋅+⋅->对任意[)0,x ∞∈+恒成立, ()()92329x x x f f k ∴-⋅>-⋅-，即()()92329x x x f f k -⋅>-⋅, 923293923x x x x x k k ∴-⋅>-⋅∴<⋅-⋅，对任意[)0,x ∞∈+恒成立,即k 小于函数[)3923,0,xxu x ∞=⋅-⋅∈+的最小值.令3x t =,则[]1,t ∞∈+；即22113923323133xxu t t t ⎛⎫=⋅-⋅=-=--≥ ⎪⎝⎭； 1k ∴<.34．已知函数()211,0f x x a x a a ⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭(1)当12a =时,解不等式()0f x ≤; (2)比较1a a与的大小;(3)解关于x 的不等式()0f x ≤. 答案：(1)1{|2}2x x ≤≤; (2)当01a <<时,有1a a >；当1a >时,有1a a <；当1a =时,1a a=; (3)当01a <<时,1{|}x a x a ≤≤;当1a >时,1{|}x x a a≤≤;当1a =时,{}1x ∈.解答： (1)当12a =时,有不等式()23102f x x x =-+≤, ∴()1202x x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭, ∴不等式的解集为：1{|2}2x x ≤≤; (2)∵()()111a a a a a+--=且0a > ∴当01a <<时,有1a a> 当1a >时,有1a a < 当1a =时,1a a=;(3)∵不等式()()10f x x x a a ⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭当01a <<时,有1a a >,∴不等式的解集为1{|}x a x a ≤≤; 当1a >时,有1a a <,∴不等式的解集为1{|}x x a a≤≤;当1a =时,不等式的解集为{}1x ∈. 35．比较下列各题中两个幂的值的大小: (1)352.1,35π;(2)13(-,13( 1.4)--;(3)452()3-,453()4.答案： (1)33552.1π<；(2)1133(( 1.4)-->-；(3)4455((23))34-<.解答：(1) ∵35y x =为R 上的增函数,又33552.1, 2.1ππ∴<<.(2) ∵13y x-=在(),0-∞上为减函数,且 1.40<-<,∴1133(( 1.4)-->-.(3)∵45y x =为R 上的偶函数,∴4455((22))33-=,又函数45y x =在[)0,+∞上为增函数,且2334<,∴4455()3(23)4<,即4455((23))34-<.36．已知函数()2()f x x a x =+∈R .(1)对任意的12,x x ∈R ,比较()()1212f x f x +⎡⎤⎣⎦与12()2x x f +的大小; (2)若10,11a x -≤≤-≤≤,求证:()11f x -≤≤. 答案： (1)()()12121)22(x x f x f x f ⎡⎤+≥⎣⎦+； (2)见证明. 解答：(1)对任意的12,x x ∈R ,有()()1212122()x x f x f x f ⎡⎤+-⎣⎦+ 222121222(2)x x a x x a +++=--22121224x x x x +-=()212104x x =-≥,所以()()12121)22(x x f x f x f ⎡⎤+≥⎣⎦+. (2)由于()2,11,10f x x a x a =+-≤≤-≤≤, 则当0x =时,()1min f x a =≥-; 当1x =±时,()1 1.max f x a =+≤ 综上可知,()11f x -≤≤. 37．比较下列各组数的大小：(1)3log 2.5与3 log 3.7. (2)0.2 log 2与0.2 log 4.1. (3)3log 0.24与0.2 log 0.24. (4) log 3a 与 log 3.1a . 答案：(1)332.5 3.7log log <； (2)0.20.22 4.1log log > ； (3)30.20.240.24log log <； (4)当1a >时，3 3.1a a log log <； 当01a <<时，3 3.1a a log log > 解答：(1)因为()3f x log x =为增函数，且2.5 3.7<，所以332.5 3.7log log <. (2)因为()0.2f x log x =为减函数，且2 4.1<，所以0.20.22 4.1log log >(3)因为330.2410log log <=，0.20.20.2410log log >＝ ，所以30.20.240.24log log <. (4)当1a > 时，因为()a f x log x =为增函数，且3 3.1<，所以3 3.1a a log log <； 当01a <<时，同理可得，3 3.1a a log log > 38．比较()3.412b -与()3.5112()2b b -<且0b ≠)的大小，答案：当0b <时， 3.43.5()(121)2b b -<-；当102b <<时，102b <<.(1)当11b ->，即0b <时，()12xy b =- 递增. 所以 3.43.5()(121)2b b -<-.(2)当0121b <<－，即102b <<时，()12xy b =-递减， 所以 3.43.5()(121)2b b ->- .综上所述，当0b <时， 3.43.5()(121)2b b -<-；当102b <<时，102b <<. 39．已知()()1log 32log 2x x f x g x =+=，，试比较()f x 与()g x 的大小. 答案：当01x <<或43x >时，()() f x g x >; 当403x <<时，()() f x g x <; 当43x =时，()() f x g x =. 解答：()() log 3log 4x x f x x g x ==，，所以()()3 log 4x x f x g x -=； 当01x <<时，3log 04xx>，所以()()f xg x >; 当403x <<时，3log 04xx<，所以()() f x g x <; 当43x =时，3log 04xx=，所以()() f x g x =; 当43x >时，3log 04xx>，所以()() f x g x >; 综上所述：当01x <<或43x >时，()() f x g x >; 当403x <<时，()() f x g x <; 当43x =时，()() f x g x =. 40．已知()(0xf x a a =>,且)1,a ≠当12x x ≠时,比较(12()2x x f +与()()122f x f x +的大小. 答案：()()1212()22f x f x x x f ++<()12122,()2x x xx x f x a f a ++=∴=,()()121211()22x x f x f x a a ⎡⎤+⎣⎦+=. ∵0a >,且121,a x x ≠≠, ∴10x a >,20x a >,且12x x a a ≠,∴121221()2x x x x a a a ++>=,即()()1212()22f x f x x x f ++<. 41.设二次函数()2f x x ax a =++,方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<.(1)求实数a 的取值范围; (2)试比较()()()010f f f -与116的大小,并说明理由. 答案：(1)(0,3-； (2)()()()101016f f f -<. 解答：(1)令()()()21g x f x x x a x a =-=+-+,则由题意可得()()0,101,210,00,a g g ∆>⎧⎪-⎪<<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩，0,11,3a 3a a a ⎧>⎪∴-<<⎨⎪<->+⎩或，03a ∴<<- 故所求实数a的取值范围是(0,3-).(2)()()()()()2010012f f f g g a -==,令()22h a a =.∵当0a >时()h a 单调增加,∴当03a <<-时,()20323((217(h a h <<-=-=-116=<,即()()()101016f f f -<.42．()()21x xa f x a a a -=--,其中0a >,且1a ≠. (1)判断函数()f x 在(),-∞+∞上的单调性,并加以证明;(2)判断()22f -与()()11,33f f --与()22f -的大小关系,由此归纳出一个更一般的结论,并加以证明. 答案：(1)增函数；(2)()()()()2211,3322f f f f ->-->-. 解答：(1)当01a <<时，201aa <-,x x a a --为减函数，根据复合函数的性质可得()f x 在(),-∞+∞上是增函数； 当1a >时，201aa >-，x x a a --为增函数，根据复合函数的性质可得()f x 在(),-∞+∞上是增函数；综上，0a >,且1a ≠时，()f x 在(),-∞+∞上是增函数. (2)()()()()2211,3322f f f f ->-->- . 一般的结论:()()()*(11.)f n n f n n n N +-+>-∈证明如下:上述不等式等价于()()11f n f n +-> ,即21111n n na a a+++>+, 化简得1()(110)n n aa +-->,在0a >,且1a ≠的条件下,()1()110n n aa +-->显然成立,故()()()*1()1f n n f n n n N +-+>-∈成立.43. 已知()log (01),a f x x a a =>≠,若120,0,x x >>判断121[()()]2f x f x +与12()2x x f +的大小，并加以证明． 答案：①当1a >时，12121[()()]()22x x f x f x f ++≤； ②当01a <<时，12121[()()]()22x x f x f x f ++≥． 解答： 由题可得121212()()log log log ()a a a f x f x x x x x +=+=，因为120,0x x >>，所以21212()2x x x x +≤(当且仅当12x x =时取“=”号)． ①当1a >时，21212log ()log ()2a a x x x x +≤， 12121211(log log )log ()log ()222a a a a x x x x x x +∴+=≤， 即12121[()()]()22x x f x f x f ++≤(当且仅当12x x =时取“=”号)． ②当01a <<时，21212log ()log ()2a a x x x x +≥ ， 12121211(log log )log ()log ()222a a a a x x x x x x +∴+=≥ 即12121[()()]()22x x f x f x f ++≥(当且仅当12x x =时取“=”号)． 44.已知3201,log (1),log (1),a a a a x a y a >≠=+=+,试比较,x y 的大小.答案：.x y >解答：322(1)(1)(1)a a a a +-+=-，∴当1a >时，10a -> ，∴3211,log a a a y x +>+=在(0,)+∞上递增，∴.x y >当01a <<时，10a -<，∴3211,log (0,)a a a y x +<+=+∞因在上递减，∴.x y > 综上知：.x y >45.不等式223221x x k x x ++≥++ ，对任意实数x 都成立，满足条件自然数k 最大值为a ，若已知0mn m n >≠,，试比较()22134alog m mn n ++与()2126alog m mn +的大小．答案：()()222113426aalog m mn n log m mn ++<+解答：不等式223221x x k x x ++≥++ 对于任意的实数x 均成立，等价于()()23220k x k x k -+-+-≤ 对于任意的实数x 均成立． 当3k =时，101x x +≤∴≤-,，不满足题意；当3k ≠时，()()230243(20)k m k k ⎧⎨<-<----⎩， 解得3k <，∵满足条件自然数k 最大值为a ，30a mn m n ∴=>≠,,，()222222342620m mn n m mn m mn n m n ∴++--=-+=->， 2223426m mn n m mn ∴++>+，∵对数函数13y log x =为减函数，()()222113426aalog m mn n log m mn ∴++<+.46.定义在R 上的函数()f x 满足()()4f x f x +=，当26x ≤≤时，()||1()2x m f x n -=+，且()831f = ． (1)求m n ,的值；(2)比较2()2f log m 与2()f log n 的大小． 答案： (1)4，30；(2)22()()2f log m f log n >. 解答：(1)∵()()4f x f x +=，故函数的一个周期为4． 当26x ≤≤时，()()())26(12x m nf x f f -+∴=＝，，26112642))2((m n m nm m m -+-+∴=∴-=-∴=，，，()()4418431302()f f n n -+∴=＝＝＝，；(2)由(1)的计算知，当26x ≤≤时，()4()1302x f x -+＝ 图象的对称轴为4x =， 且在4x =处()f x 取最大值．又()()()22234()()305f log m f f f log f =<<,，由函数解析式可知()()22352()()f f f log m f log n =∴>，.47.函数()(x f x k a k a =⋅，为常数，01a a ≠＞,)的图象经过点1(0)A ，和8(3)B ,，()()()11f xg x f x -=+. (1)求函数()f x 的解析式；(2)试判断()g x 的奇偶性；(3)记()()()(()2222a g ln b g ln ln c g d g ln ====、、， ，试比较a b c d ，，， 的大小，并将a b c d ，，，从大到小顺序排列.答案：(1)()2x f x =；(2)奇函数；(3)a d c b >>>.解答：(1)代入1(0)A ，和8(3)B ,中得 031128k a k a k a ⎧⋅=∴==⎨⋅=⎩，,， 即有()2x f x = ；(2)∵()()()21212121x x x x g x g x g x ----=∴-==-++，， 又()210x x R g x +≠∈∴,，是定义在R 上的奇函数．(3)∵()21212121x x x g x -==-++， ∴g(x)是定义在R 上的增函数，21122122222ln e ln lne ln ln ln ln <<∴<<<<，，， ()()220222ln ln ln ln ln ln <∴>>>，,()()()()2(222g ln g ln g g ln ln ∴>>>， a d c b >>>.48.若()2f x x x b =-+，且()22()()21f log a b log f a a ⎡⎤⎣=⎦=≠,．。
高考《指对幂比较大小》专题
高考《指对幂比较大小》专题2019年（ ）月（ ）日 班级 姓名2014—文数—辽宁卷4.已知01a <<，log 2log 3a a x =+，1log 52a y =，log 21log 3a a z =-，则（ ） A ．x y z >> B ．z y x >>C ．y x z >>D ．z x y >>4．C2006—文数—天津卷4. 设)2(log log ,2log ,3log 3232===R Q P（A ）P Q R <<（B ）Q R P << （C ）P R Q << （D ）Q P R <<（4）A2014—文数—天津卷4. 设a =log 2π，b =log π，c =π﹣2，则（ ） A ． a ＞b ＞cB ． b ＞a ＞cC ． a ＞c ＞bD ． c ＞b ＞a【答案】C【解析】log 2π＞1，logπ＜0，0＜π﹣2＜1，即a ＞1，b ＜0，0＜c ＜1，∴a ＞c ＞b2009—文数—天津卷5. 设0.3113211log 2,log ,32a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则A. a b c <<B.a c b <<C. b c a <<D.b a c << 【答案】B【解析】由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到10,0<<<c a ，而13log 2>=b ，因此选B 。
2009—理数—全国2卷7.设32log ,log 3,log 2a b c π===A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. b c a >>解：322log 2log 2log 3b c <<>2233log 3log 2log 3log a b a b c π<=<∴>∴>> .故选A.2014—理数—全国3卷6. 已知432a =，254b =，1325c =，则（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A试题分析：因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ．考点：幂函数的图象与性质．【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．2009—文数—全国2卷7.设2lg ,(lg ),lg a e b e c ===（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）c a b >> （D ）c b a >> （7）B2007—理数—全国2卷8. 以下四个数中的最大者是(A) (ln2)2 (B) ln(ln2)(D) ln28．D2003—理数—北京卷2. 设5.1344.029.01)21(,8,4-===y y y ，则 （ ）A ．y 3> y 1> y 2B ．y 2> y 1> y 3C ．y 1> y 2> y 3D ．y 1> y 3> y 22．D2011—理数—天津卷7. 已知324log 0.3log 3.4log 3.615,5,,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>【解答】解：∵log 23.4＞1，log 43.6＜1， 又y=5x 是增函数， ∴a ＞b ，＞==b而log 23.4＞log 2＞log 3，∴a ＞c故a ＞c ＞b ． 故选C ．2010—文数—天津卷6. （2010•天津）设a =log 54，b =（log 53）2，c =log 45则（ ） A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c【解答】解：∵a=log 54＜log 55=1，b=（log 53）2＜（log 55）2，c=log 45＞log 44=1， ∴c 最大，排除A 、B ；又因为a 、b ∈（0，1），所以a ＞b ， 故选D ．2013—理数—全国2卷8.设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )．A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c答案：D解析：根据公式变形，lg 6lg 21lg 3lg 3a ==+，lg10lg 21lg 5lg 5b ==+，lg14lg 21lg 7lg 7c ==+，因为lg 7＞lg 5＞lg 3，所以lg 2lg 2lg 2lg 7lg 5lg 3<<，即c ＜b ＜a .故选D.2008—理数—全国2卷4. 若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ ） A ．a <b <cB ．c <a <bC ． b <a <cD ． b <c <a【答案】C【解析】取12112331ln ln 212ln 111ln 28a x e e x eb xc x ---⎧⎪===-⎪⎪<=<⇒==-⎨⎪⎛⎫⎪==-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，b <a <c也可以如下解：121331ln ln 2111ln 0ln 2ln 1211ln 28a x e e x x x b x c x --⎧⎪===-⎪⎪<<⇒-<<=-⇒==-⎨⎪⎛⎫⎪==-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，取 当然从1311ln 02ln ln ln e x x x x x-<<⇒-<<<<，可以严格推导出：比较费时间。
通用版高一数学指对幂函数高频考点知识梳理
(每日一练)通用版高一数学指对幂函数高频考点知识梳理单选题1、已知函数f(x)=te x−lnx+lnt对任意x∈(0,+∞)都有f(x)≥0，则正数t的最小值为（）A．e2B．1e2C．e D．1e答案：D解析：转化f(x)≥0为e x+lnt+x+lnt≥e lnx+lnx，令g(x)=x+lnx，则g(x+lnt)≥g(lnx)，结合g(x)的单调性分析即得解根据题意得f(x)=te x−lnx+lnt=e x+lnt−lnx+lnt≥0，即e x+lnt+x+lnt≥x+lnx=e lnx+lnx，令g(x)=x+lnx，则g(x+lnt)≥g(lnx)，由于y=x,y=lnx都在(0,+∞)单调递增故g(x)在x∈(0,+∞)上单调递增，所以x+lnt≥lnx，所以lnt≥lnx−x在(0,+∞)上恒成立，令ℎ(x)=lnx−x,ℎ′(x)=1x −1=1−xx(x>0)令ℎ′(x)>0∴x<1，故函数ℎ(x)在(0,1)单调递增；令ℎ′(x)<0∴x>1，故函数ℎ(x)在(1,+∞)单调递减故ℎ(x)max=ℎ(1)=−1所以lnt ≥(lnx −x)max =−1，即t ≥1e ，所以正数t 的最小值为1e .故选：D2、已知a =ln0.5，b =30.2，c =0.30.5，则实数a ，b ，c 的大小关系为A ．c >b >aB ．b >a >cC ．a >b >cD ．b >c >a答案：D解析：本题首先可以结合指数函数与对数函数性质得出a <0、b >1以及0.3<c <1，然后通过对比即可得出结果。
因为a =ln0.5<ln1=0，所以a <0，因为b =30.2>30=1，所以b >1，因为c =0.30.5<0.30=1，c =0.30.5>0.31=0.3，所以0.3<c <1，综上所述，b >c >a ，故选D 。
高一数学指对幂函数典型例题
(每日一练)高一数学指对幂函数典型例题单选题1、已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ）A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b答案：A解析：由题意可得a 、b 、c ∈(0,1)，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由b =log 85，得8b =5，结合55<84可得出b <45，由c =log 138，得13c =8，结合134<85，可得出c >45，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.由题意可知a 、b 、c ∈(0,1)，a b =log 53log 85=lg3lg5⋅lg8lg5<1(lg5)2⋅(lg3+lg82)2=(lg3+lg82lg5)2=(lg24lg25)2<1，∴a <b ； 由b =log 85，得8b =5，由55<84，得85b <84，∴5b <4，可得b <45；由c =log 138，得13c =8，由134<85，得134<135c ，∴5c >4，可得c >45. 综上所述，a <b <c .故选：A.小提示：本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.2、函数y =log a (3x −1)(a >0,a ≠1)的图象过定点（ ）A ．(23,1)B ．(−1,0)C ．(23,0)D ．(0,−1) 答案：C解析：利用真数为1可求得定点的坐标.对于函数y =log a (3x −1)(a >0,a ≠1)，令3x −1=1，可得x =23，则y =log a 1=0， 因此，函数y =log a (3x −1)(a >0,a ≠1)的图象过定点(23,0). 故选：C.3、函数f(x)={a x ,(x <0)(a −2)x +3a,(x ≥0)，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<0成立，则a 的取值范围是（ ）A ．a ∈(0,1)B ．a ∈[13,1)C ．a ∈(0,13]D ．a ∈[13,2) 答案：C解析：根据条件可知f(x)在R 上单调递减，从而得出{0<a <1a −2<03a ⩽1，解出a 的范围即可．解：∵f(x)满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，∴f(x)在R 上是减函数，因为f(x)={a x ,(x <0)(a −2)x +3a,(x ≥0)∴ {0<a <1a −2<0(a −2)×0+3a ⩽a 0，解得0<a ⩽13， ∴a 的取值范围是(0,13]．故选：C ．4、设2a =5b =m ，且1a +1b =2，则m =（ ）A ．√10B ．10C ．20D ．100答案：A解析：根据指数式与对数的互化和对数的换底公式，求得1a =log m 2，1b =log m 5，进而结合对数的运算公式，即可求解.由2a =5b =m ，可得a =log 2m ，b =log 5m ，由换底公式得1a =log m 2，1b =log m 5，所以1a +1b =log m 2+log m 5=log m 10=2，又因为m >0，可得m =√10．故选：A.5、函数y =ln (3−4x )+1x的定义域是（ ） A ．(−∞,34)B ．(0,34) C ．(−∞,0)∪(0,34)D ．(34,+∞)答案：C解析：根据具体函数定义域的求解办法列不等式组求解.由题意，{3−4x >0x ≠0 ⇒x <34且x ≠0，所以函数的定义域为(−∞,0)∪(0,34). 故选：C。
专题 幂、指数、对数函数(七大题型)(解析版)
专题幂、指数、对数函数(七大题型)目录：01幂函数的相关概念及图像02幂函数的性质及应用03指数、对数式的运算04指数、对数函数的图像对比分析05比较函数值或参数值的大小06指数、对数(函数)的实际应用07指数、对数函数的图像与性质综合及应用01幂函数的相关概念及图像1(2024高三·全国·专题练习)若幂函数y=f x 的图象经过点2,2，则f16=()A.2B.2C.4D.12【答案】C【分析】利用已知条件求得幂函数解析式，然后代入求解即可.【解析】设幂函数y=f x =xα，因为f x 的图象经过点2,2，所以2α=2，解得α=1 2，所以f x =x 12，所以f16=1612=4.故选：C2(2024高三·全国·专题练习)结合图中的五个函数图象回答问题：(1)哪几个是偶函数，哪几个是奇函数？(2)写出每个函数的定义域、值域；(3)写出每个函数的单调区间；(4)从图中你发现了什么？【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析；(4)答案见解析.【分析】根据已知函数图象，数形结合即可求得结果.【解析】(1)数形结合可知，y =x 2的图象关于y 轴对称，故其为偶函数；y =x ,y =x 3,y =1x的图象关于原点对称，故都为奇函数.(2)数形结合可知：y =x 的定义域是0,+∞ ，值域为0,+∞ ；y =x ,y =x 3的定义域都是R ，值域也是R ；y =1x的定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ，值域也为-∞,0 ∪0,+∞ ；y =x 2的定义域为R ，值域为0,+∞ .(3)数形结合可知：y =x 的单调增区间是：0,+∞ ，无单调减区间；y =x ,y =x 3的单调增区间是：R ，无单调减区间；y =1x的单调减区间是：-∞,0 和0,+∞ ，无单调增区间；y =x 2的单调减区间是-∞,0 ，单调增区间是0,+∞ .(4)数形结合可知：幂函数均恒过1,1 点；幂函数在第一象限一定有图象，在第四象限一定没有图象.对幂函数y =x α，当α>0，其一定在0,+∞ 是单调增函数；当α<0，在0,+∞ 是单调减函数.3(2022高一上·全国·专题练习)如图所示是函数y =x mn(m 、n ∈N *且互质)的图象，则()A.m ，n 是奇数且mn<1 B.m 是偶数，n 是奇数，且m n<1C.m 是偶数，n 是奇数，且mn>1 D.m ，n 是偶数，且mn>1【答案】B【分析】根据图象得到函数的奇偶性及0,+∞ 上单调递增，结合m 、n ∈N *且互质，从而得到答案.【解析】由图象可看出y =x mn为偶函数，且在0,+∞ 上单调递增，故m n ∈0,1 且m 为偶数，又m 、n ∈N *且互质，故n 是奇数.故选：B02幂函数的性质及应用4(2023高三上·江苏徐州·学业考试)已知幂函数f x =m 2+2m -2 x m 在0,+∞ 上单调递减，则实数m 的值为()A.-3 B.-1C.3D.1【答案】A【分析】根据幂函数的定义，求得m =-3或m =1，结合幂函数的单调性，即可求解.【解析】由函数f x =m 2+2m -2 x m 为幂函数，可得m 2+2m -2=1，即m 2+2m -3=0，解得m =-3或m =1，当m =-3时，函数f x =x -3在0,+∞ 上单调递减，符合题意；当m =1时，函数f x =x 在0,+∞ 上单调递增，不符合题意.故选：A .5(23-24高三上·安徽·阶段练习)已知幂函数f x =m 2-5m +5 x m -2是R 上的偶函数，且函数g x =f x -2a -6 x 在区间1,3 上单调递增，则实数a 的取值范围是()A.-∞,4B.-∞,4C.6,+∞D.-∞,4 ∪6,+∞【答案】B【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出m 的值，可得出函数f x 的解析式，再利用二次函数的单调性可得出关于实数a 的不等式，即可解得实数a 的取值范围.【解析】因为幂函数f x =m 2-5m +5 x m -2是R 上的偶函数，则m 2-5m +5=1，解得m =1或m =4，当m =1时，f x =x -1，该函数是定义域为x x ≠0 的奇函数，不合乎题意；当m =4时，f x =x 2，该函数是定义域为R 的偶函数，合乎题意.所以，f x =x 2，则g x =x 2-2a -6 x ，其对称轴方程为x =a -3，因为g x 在区间1,3 上单调递增，则a -3≤1，解得a ≤4.故选：B ．6(23-24高三上·上海静安·阶段练习)已知a ∈-1,2,12,3,13，若f x =x a为奇函数，且在0,+∞ 上单调递增，则实数a 的取值个数为()A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】a =-1时，不满足单调性，a =2或a =12时，不满足奇偶性，当a =3或a =13时，满足要求，得到答案.【解析】当a =-1时，f x =x -1在0,+∞ 上单调递减，不合要求，当a =2时，f -x =-x 2=x 2=f x ，故f x =x 2为偶函数，不合要求，当a =12时，f x =x 12的定义域为0,+∞ ，不是奇函数，不合要求，当a =3时，f -x =-x 3=-x 3=-f x ，f x =x 3为奇函数，且f x =x 3在0,+∞ 上单调递增，满足要求，当a =13时，f -x =-x 13=-x 13=-f x ，故f x =x 13为奇函数，且f x =x 13在0,+∞ 上单调递增，满足要求.故选：B7(22-23高三下·上海·阶段练习)已知函数f x =x 13，则关于t 的表达式f t 2-2t +f 2t 2-1 <0的解集为.【答案】-13,1 【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.【解析】由题意可知，f x 的定义域为-∞,+∞ ，所以f -x =-x 13=-x 13=-f x ，所以函数f x 是奇函数，由幂函数的性质知，函数f x =x 13在函数-∞,+∞ 上单调递增，由f t 2-2t +f 2t 2-1 <0，得f t 2-2t <-f 2t 2-1 ，即f t 2-2t <f 1-2t 2 ，所以t 2-2t <1-2t 2，即3t 2-2t -1<0，解得-13<t <1，所以关于t 的表达式f t 2-2t +f 2t 2-1 <0的解集为-13,1 .故答案为：-13,1 .8(23-24高三上·河北邢台·期中)已知函数f x =m 2-m -1 x m 2+m -3是幂函数，且在0,+∞ 上单调递减，若a ,b ∈R ，且a <0<b ,a <b ，则f a +f b 的值()A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断【答案】B【分析】由幂函数的定义与性质求得函数解析式，确定其是奇函数，然后利用单调性与奇偶性可判断.【解析】由m 2-m -1=1得m =2或m =-1，m =2时，f (x )=x 3在R 上是增函数，不合题意，m =-1时，f (x )=x -3，在(0,+∞)上是减函数，满足题意，所以f (x )=x -3，a <0<b ,a <b ，则b >-a >0，f (-a )>f (b )，f (x )=-x 3是奇函数，因此f (-a )=-f (a )，所以-f (a )>f (b )，即f (a )+f (b )<0，故选：B .9(2023·江苏南京·二模)幂函数f x =x a a ∈R 满足：任意x ∈R 有f -x =f x ，且f -1 <f 2 <2，请写出符合上述条件的一个函数f x =．【答案】x 23(答案不唯一)【分析】取f x =x 23，再验证奇偶性和函数值即可.【解析】取f x =x 23，则定义域为R ，且f -x =-x 23=x 23=f x ，f -1 =1，f 2 =223=34，满足f -1 <f 2 <2.故答案为：x 23.10(2022高三·全国·专题练习)已知函数f (x )=x 2，g (x )=12x-m(1)当x ∈[-1,3]时，求f (x )的值域；(2)若对∀x ∈0,2 ，g (x )≥1成立，求实数m 的取值范围；(3)若对∀x 1∈0,2 ，∃x 2∈[-1,3]，使得g (x 1)≤f (x 2)成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)[0,9]；(2)m ≤-34；(3)m ≥-8.【分析】(1)由二次函数的性质得出值域；(2)将问题转化为求g (x )在0,2 的最小值大于或等于1，再根据指数函数的单调性得出实数m 的取值范围；(3)将问题转化为g (x )在0,2 的最大值小于或等于f (x )在[-1,3]上的最大值9，从而得出实数m 的取值范围．【解析】(1)当x ∈[-1,3]时，函数f (x )=x 2∈[0，9]∴f (x )的值域0,9(2)对∀x ∈0,2 ，g (x )≥1成立，等价于g (x )在0,2 的最小值大于或等于1．而g (x )在0,2 上单调递减，所以12 2-m ≥1，即m ≤-34(3)对∀x 1∈0,2 ，∃x 2∈[-1,3]，使得g (x 1)≤f (x 2)成立，等价于g (x )在0,2 的最大值小于或等于f (x )在[-1,3]上的最大值9由1-m ≤9，∴m ≥-803指数、对数式的运算11(23-24高三上·山东泰安·阶段练习)(1)计算14-124ab -1 30.1-1⋅a 3⋅b -312的值；．(2)log 37+log 73 2-log 949log 73-log 73 2； (3)log 39+12lg25+lg2-log 49×log 38+2log 23-1+ln e 【答案】(1)85；(2)2；(3)4【分析】根据指数幂运算公式和对数运算公式计算即可.【解析】(1)原式=412⋅4ab -13210⋅a 32b -32=2⋅8a 32b-3210⋅a 32b-32=85；(2)原式=log 37+log 73 2-log 73 2-log 3272×log 37=log 37×log 37+2log 73 -log 37×log 37=log 37×2log 73=2；(3)原式=log 31232+lg5+lg2-log 2232×log 323+2log 23×2-1+ln e12=4+1-3+32+12=4.12(23-24高一上·湖北恩施·期末)(1)计算：lg 12-lg 58+lg12.5-log 89⋅log 278.(2)已知a 12+a -12=3，求a +a -1+2a 2+a -2-2的值.【答案】(1)13；(2)15【分析】(1)根据对数的运算法则和运算性质，即可求解；(2)根据实数指数幂的运算性质，准确运算，即可求解.【解析】(1)由对数的运算公式，可得原式=-lg2-lg5-3lg2 +3lg5-1-23log 32×log 23=13.(2)因为a 12+a -12=3，所以a +a -1+2=9，可得a +a -1=7，所以a 2+a -2+2=49，可得a 2+a -2=47，所以a +a -1+2a 2+a -2-2=7+247-2=15.04指数、对数函数的图像对比分析13(2024·四川·模拟预测)已知函数y =x a ，y =b x ，y =log c x 在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则()A.log 12c <b a <sin bB.log 12c <sin b <b aC.sin b <b a <log 12cD.sin b <log 12c <b a【答案】B【分析】根据幂函数，指数与对数函数的性质可得a ,b ,c 的取值范围，进而根据指对数与三角函数的性质判断即可.【解析】因为y =x a 图象过1,1 ，故由图象可得a <0，又y =b x 图象过0,1 ，故由图象可得0<b <1，又y =log c x 图象过1,0 ，故由图象可得c >1.故log 12c <log 121=0，0<sin b <1，b a >b 0=1，故log 12c <sin b <b a .故选：B14(2024高三·全国·专题练习)在同一平面直角坐标系中，函数y =1a x，y =log a x +12 (a >0，且a ≠1)的图象可能是()A. B.C. D.【答案】D 【解析】略15(2024·陕西·模拟预测)已知函数f x 的部分图象如图所示，则f x 的解析式可能为()A.f x =e x -e -xB.f x =1-2e x+1C.f x =x xD.f x =x ln x 2+2【答案】D【分析】结合指数函数的图象与性质即可判断AB 选项错误，对C 代入x =2判断C 错误，则可得到D 正确.【解析】根据函数f (x )的图象，知f (1)≈1，而对A 选项f 1 =e -e -1>2排除A ；对B 选项f x =1-2e x +1，因为e x +1>1，则2e x +1∈0,2 ，则f x =1-2e x +1∈-1,1 ，但图象中函数值可以大于1，排除B ；根据C 选项的解析式，f (2)=22≈2.8，而根据函数f (x )的图象，知f (2)≈1，排除C . 故选：D .16(23-24高三上·山东潍坊·期中)已知指数函数y =a x ，对数函数y =log b x 的图象如图所示，则下列关系成立的是()A.0<a <b <1B.0<a <1<bC.0<b <1<aD.a <0<1<b【答案】B【分析】根据题意，由指数函数以及对数函数的单调性即可得到a ,b 的范围，从而得到结果.【解析】由图象可得，指数函数y =a x 为减函数，对数函数y =log b x 为增函数，所以0<a <1,b >1，即0<a <1<b .故选：B17(23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)函数f (x )=x 22x -2-x 的图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】利用函数的性质和特值法对不符合题意的选项加以排除，即可得出答案.【解析】因为2x -2-x ≠0，所以x ≠0，定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ；因为f (x )=x 22x -2-x ，所以f -x =x 22-x -2x ，故f x =-f -x ，所以f x 为奇函数，排除B ，当x 趋向于正无穷大时，x 2、2x -2-x 均趋向于正无穷大，但随x 变大，2x -2-x 的增速比x 2快，所以f x 趋向于0，排除D ，由f 1 =23，f 12 =24，则f 1 >f 12，排除C .故选：A .05比较函数值或参数值的大小18(2024·全国·模拟预测)已知a =12a,12b=log a b ,a c=log12c ，则实数a ,b ,c 的大小关系为()A.a <b <cB.a <c <bC.c <b <aD.c <a <b【答案】D【分析】由函数单调性，零点存在性定理及画出函数图象，得到a ,b ,c ∈0,1 ，得到log a b <1=log a a ，求出b>a ，根据单调性得到c =12 a c<12a=a ，从而得到答案.【解析】令f x =12x-x ，其在R 上单调递减，又f 0 =1>0,f 1 =12-1=-12<0，由零点存在性定理得a ∈0,1 ，则y =log a x 在0,+∞ 上单调递减，画出y 1=12x与y =log a x 的函数图象，可以得到b ∈0,1 ，又y 2=a x 在R 上单调递减，画出y 2=a x 与y 3=log 12x 的函数图象，可以看出c∈0,1，因为12b<12 0=1，故log a b<1=log a a，故b>a，因为a,c∈0,1，故a c>a1=a，由a c=log12c得，c=12a c<12 a=a．综上，c<a<b．故选：D．【点睛】指数和对数比较大小的方法有：(1)画出函数图象，数形结合得到大小关系；(2)由函数单调性，可选取适当的“媒介”(通常以“0”或“1”为媒介)，分别与要比较的数比较大小，从而间接地得出要比较的数的大小关系；(3)作差(商)比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差(商)，看其值与0(1)的关系，从而确定所比两值的大小关系．19(2023·江西赣州·二模)若log3x=log4y=log5z<-1，则()A.3x<4y<5zB.4y<3x<5zC.4y<5z<3xD.5z<4y<3x【答案】D【分析】设log3x=log4y=log5z=m<-1，得到x=3m,y=4m,z=5m，画出图象，数形结合得到答案.【解析】令log3x=log4y=log5z=m<-1，则x=3m,y=4m,z=5m，3x=3m+1,4y=4m+1,5z=5m+1，其中m+1<0，在同一坐标系内画出y=3x,y=4x,y=5x，故5z<4y<3x故选：D20(2024高三下·全国·专题练习)已知函数f x =e x，g x =ln x，正实数a，b，c满足f a =ga ，fb g b =g a ，gc +f g a c=0，则()A.b<a<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a【答案】B【分析】由f a =g a 可得0<a <1，结合f b g b =g a 可判断b 的范围，再由g c +f g a c =0可得ln c +a c =0，结合e a =1a 可判断a ，c 大小关系，进而可得答案.【解析】由题得，g x =1x ，由f a =g a ，得e a =1a ，即1a>1，所以0<a <1．由f b g b =g a ，得e b ln b =ln a ，因为ln a <0，e b >0，所以ln b <0，又e b >1，所以ln a =e b ln b <ln b ，所以0<a <b <1．由g c +f g a c =0，得ln c +e ln a c=0，即ln c +a c =0．易知a c >0，所以ln c <0，所以0<c <1，故a <a c ．又e a =1a，所以a =-ln a ，所以-ln c =a c >a =-ln a ，所以ln c <ln a ，所以c <a ，所以c <a <b ．故选：B ．【点睛】思路点睛：比较大小常用方法：(1)同构函数，利用单调性比较；(2)取中间值进行比较；(3)利用基本不等式比较大小；(4)利用作差法比较大小.21(2023·浙江绍兴·二模)已知f x 是定义域为R 的偶函数，且在(-∞,0)上单调递减，a =f ln2.04 ，b =f -1.04 ，c =f e 0.04 ，则()A.a <b <cB.a <c <bC.c <b <aD.c <a <b【答案】A【分析】令g x =e x -x -1，利用导数求得g x 在(0,1)单调递增，得到g x >g 0 =0，得到e 0.04>1.04，再由对数函数的性质，得到ln2.04<1.04<e 0.04，再由函数f x 的单调性与奇偶性f ln2.04 <f 1.04 <f e 0.04 ，即可求解.【解析】令g x =e x -x -1,x ∈(0,1)，可得g x =e x -1>0，所以g x 在(0,1)单调递增，又由g 0 =0，所以g x >g 0 =0，即g 0.04 >0，可得e 0.04>0.04+1=1.04，又由ln2.04∈(0,1)，所以ln2.04<1.04<e 0.04，因为f x 是定义域为R 的偶函数，且在(-∞,0)上单调递减，则f x 在(0,+∞)上单调递增，且b =f -1.04 =f (1.04)，所以f ln2.04 <f 1.04 <f e 0.04 ，即f ln2.04 <f -1.04 <f e 0.04 ，所以a <b <c .故选：A .06指数、对数(函数)的实际应用22(2024·安徽合肥·二模)常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T (单位：天)．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为T 1,T 2．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的14，则T 1,T 2满足的关系式为()A.-2+512T1=512T2B.2+512T1=512T2C.-2+log2512T1=log2512T2D.2+log2512T1=log2512T2【答案】B【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可得答案．【解析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，则512天后，甲的质量为：1 2512T1，乙的质量为：12 512T2，由题意可得12512T2=14⋅12 512T1=12 2+512T1，所以2+512T1=512T2．故选：B．23(2024·黑龙江哈尔滨·一模)酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？( )(结果取整数，参考数据：lg3≈0.48,lg7≈0.85)A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】设经过x个小时才能驾驶，则0.6×100×1-30%x<20，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得.【解析】设经过x个小时才能驾驶，则0.6×100×1-30%x<20即0.7x<1 3 .由于y=0.7x在定义域上单调递减，x>log0.713=lg13lg0.7=lg1-lg3lg7-1=-0.480.85-1=0.480.15=3.2.他至少经过4小时才能驾驶.故选：D.07指数、对数函数的图像与性质综合及应用24(2024·山东聊城·二模)已知函数f x 为R上的偶函数，且当x>0时，f x =log4x-1，则f-223=()A.-23B.-13C.13D.23【答案】A【分析】根据偶函数的定义可得f-22 3=f223 ，结合函数解析式和对数的运算性质即可求解.【解析】因为f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x)，则f-22 3=f223 =log4223-1=log22223-1=log2213-1=13-1=-23.故选：A25(2023·江西南昌·三模)设函数f x =a x0<a<1，g x =log b x b>1，若存在实数m满足：①f (m )+g (m )=0；②f (n )-g (n )=0，③|m -n |≤1，则12m -n 的取值范围是()A.-12,-14B.-12,-3-54C.-34,-12D.-3+54,-12【答案】D【分析】由①f (m )+g (m )=0，②f (n )-g (n )=0解出0<m <1，n >1，解出12m -n <-12；结合③转化为线性规划问题解出z >-3+54.【解析】函数f x =a x 0<a <1 ，g x =log b x b >1 ，若存在实数m 满足：①f (m )+g (m )=0；②f (n )-g (n )=0，即a m =-log b m ，且a n =log b n ，则a n -a m =log b mn <0，则0<mn <1，且0<m <1，n >1，所以12m -n <-12，又因为③|m -n |≤1，则0<mn <1m -n ≤1 ，令z =12m -n ，不防设x =m ，y =n ，则转化为线性规划问题，在A 点处z 取最小值.由y =1xy =x +1 解得x =-1+52y =5+12，代入解得z >-3+54.故选：D .26(2022高三·全国·专题练习)已知函数f x =log a ax +9-3a (a >0且a ≠1)．(1)若f x 在1,3 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若f 3 >0且存在x 0∈3,+∞ ，使得f x 0 >2log a x 0成立，求a 的最小整数值．【答案】(1)1,92 (2)7【分析】(1)设g x =ax +9-3a ，得到g x 在1,3 上是增函数，且g 1 >0，即可求解；(2)由f 3 >0，的得到a >1，把不等式f x 0 >2log a x 0，转化为a >x 0+3，结合题意，即可求解.【解析】(1)解：由函数f x =log a ax +9-3a ，设g x =ax +9-3a ，由a >0且a ≠1，可得函数g x 在1,3 上是增函数，所以a >1，又由函数定义域可得g 1 =9-2a >0，解得a <92，所以实数a 的取值范围是1,92．(2)解：由f 3 =log a 9>0，可得a >1，又由f x 0 >2log a x 0，可得log a ax 0+9-3a >log a x 20，所以ax 0+9-3a >x 20，即a >x 0+3，因为存在x 0∈3,+∞ ，使得f x 0 >2log a x 0成立，可得a >6，所以实数a 的最小整数值是7．27(23-24高二下·湖南·阶段练习)已知函数f x =x 2+x ,-2≤x ≤14log 12x ,14<x ≤c ，若f (x )的值域是[-2,2]，则c 的值为()A.2B.22C.4D.8【答案】C【分析】画出函数图像，由分段函数中定义域的范围分别求出值域的取值范围再结合二次函数和对数运算可得正确结果.【解析】当-2≤x ≤14时，f x =x 2+x =x +12 2-14∈-14,2，因为f x 的值域是-2，2 ，又f x =log 12x 在14，c上单调递减，所以log 12c =-2,∴c =4.故选：C .28(22-23高一上·辽宁本溪·期末)若不等式x -1 2<log a x (a >0，且a ≠1)在x ∈1,2 内恒成立，则实数a 的取值范围为()A.1,2B.1,2C.1,2D.2,2【答案】B【分析】分析出0<a <1时，不成立，当a >1时，画出f x =log a x ，g x =x -1 2的图象，数形结合得到实数a 的取值范围.【解析】若0<a <1，此时x ∈1,2 ，log a x <0，而x -1 2≥0，故x -1 2<log a x 无解；若a >1，此时x ∈1,2 ，log a x >0，而x -1 2≥0，令f x =log a x ，g x =x -1 2，画出两函数图象，如下：故要想x -1 2<log a x 在x ∈1,2 内恒成立，则要log a 2>1，解得：a ∈1,2 .故选：B .29(2022高二下·浙江·学业考试)已知函数f x =3⋅2x +2，对于任意的x 2∈0,1 ，都存在x 1∈0,1 ，使得f x 1 +2f x 2+m =13成立，则实数m 的取值范围为．【答案】log 216,log 213 【分析】双变量问题，转化为取值范围的包含关系，列不等式组求解【解析】∵f x 1 ∈5,8 ∴13-f x 1 2∈52,4，∴f x 2+m =3⋅2x 2+m+2∈3⋅2m +2,3⋅21+m +2 ，由题意得3⋅2m +2≥523⋅2m +1+2≤4⇒2m≥162m +1≤23⇒log 216≤m ≤log 213 故答案为：log 216,log 21330(21-22高三上·湖北·阶段练习)已知函数p (x )=m x -4+1(m >0且m ≠1)经过定点A ，函数-∞,2 且a ≠1)的图象经过点A ．(1)求函数y =f (2a -2x )的定义域与值域；(2)若函数g x =f (2x λ)⋅f (x 2)-4在14,4上有两个零点，求λ的取值范围．【答案】(1)定义域为(-∞,2)，值域为(-∞,2)；(2)[1，+∞)【分析】(1)根据对数函数的性质，求得定点A (4,2)，代入函数f x =log a x ，求得a =2，进而求得y =f (2a -2x )=log 2(4-2x )，结合对数函数的性质，求得函数的定义域与值域；(2)由(1)知，化简得到函数g x =2λ(log 2x )2+2log 2x -4，设t =log 2x ，则t ∈[-2,2]，转化为h x =2λt 2+2t -4在[-2,2]上有两个零点，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.【解析】(1)解：令x -4=0，解得x =4，所以p (4)=m 0+1=2，所以函数p (x )过点A (4,2)，将点A 的坐标代入函数f x =log a x ，可得log a 4=2，解得a =2，又由函数y =f (2a -2x )=log 2(4-2x )，由4-2x >0，解得x <2，所以函数y =f (2a -2x )的定义域为(-∞,2)，又由0<4-2x <4，所以函数y =f (2a -2x )的值域为(-∞,2).(2)解：由(1)知，函数g x =f (2x λ)⋅f (x 2)-4=log 2(2x λ)⋅log 2x 2-4=2λ(log 2x )2+2log 2x -4在14,4上有两个零点，设t =log 2x ，则t ∈[-2,2]，因为t 为关于x 的单调递增函数，所以g x 在14,4有两个零点，等价于函数h x =2λt 2+2t -4在[-2,2]上有两个零点，①当λ=0时，由h x =2t -4=0，可得t =2，函数h x 只有一个零点，所以λ=0不合题意；②当λ>0时，由Δ=4+32λ>0-2<-12λ<2h -2 =8λ-8≥0h 2 =8λ≥0，解得λ≥1；③当λ<0时，由Δ=4+32λ>0-2<-12λ<2h -2 =8λ-8≤0h 2 =8λ≤0，此时不等式组的解集为空集，综上可得，实数λ的取值范围是[1,+∞).一、单选题1(2024·黑龙江·二模)已知函数y =a 12|x |+b 的图象经过原点，且无限接近直线y =2，但又不与该直线相交，则ab =()A.-1 B.-2C.-4D.-9【答案】C【分析】由题意可得a +b =0且b =2，求出a ，即可求解.【解析】因为函数y =f (x )=a 12 x +b 图象过原点，所以a 12+b =0，得a +b =0，又该函数图象无限接近直线y =2，且不与该直线相交，所以b =2，则a =-2，所以ab =-4.故选：C2(2024·上海闵行·二模)已知y =f (x )，x ∈R 为奇函数，当x >0时，f (x )=log 2x -1，则集合{x |f (-x )-f (x )<0}可表示为()A.(2,+∞)B.(-∞,-2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,0)∪(2,+∞)【答案】D【分析】利用函数奇偶性可得不等式f (-x )-f (x )<0等价于f (x )>0，再求出函数解析式，利用对数函数单调性解不等式可得结果.【解析】因为y =f (x )为奇函数，所以f (-x )-f (x )<0等价于-2f (x )<0，即f (x )>0；当x >0时，f (x )=log 2x -1，即f (x )=log 2x -1>0，解得x >2；当x <0时，-x >0，可得f (-x )=-f x =log 2-x -1，所以f x =1-log 2-x ，解不等式f x =1-log 2-x >0，可得-2<x <0，综上可得集合{x |f (-x )-f (x )<0}可表示为(-2,0)∪(2,+∞).故选：D3(2024·北京通州·二模)某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S (单位：平方米)与时间t (单位：月)的关系式为S =a t +1(a >0，且a ≠1)，图象如图所示．则下列结论正确的个数为()①浮萍每个月增长的面积都相等；②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；③浮萍面积每个月的增长率均为50%；④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1+t 2=t 3．A.0B.1C.2D.3【答案】B【分析】由已知可得出S =2t +1，计算出萍蔓延1月至2月份增长的面积和2月至3月份增长的面积，可判断①的正误；计算出浮萍蔓延4个月后的面积，可判断②的正误；计算出浮萍蔓延每个月增长率，可判断③的正误；利用指数运算可判断④的正误.【解析】由已知可得a 1=2，则S =2t +1.对于①，浮萍蔓延1月至2月份增长的面积为23-22=4(平方米)，浮萍蔓延2月至3月份增长的面积为24-23=8(平方米)，①错；对于②，浮萍蔓延4个月后的面积为25=32(平方米)，②对；对于③，浮萍蔓延第n 至n +1个月的增长率为2n +2-2n +12n +1=1，所以，浮萍蔓延每个月增长率相同，都是100%，③错；对于④，若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则2t 1+1=3，2t 2+1=4，2t 3+1=12=3×4=2t 1+1⋅2t 2+1=2t 1+t 2+2，所以t 3=t 1+t 2+1，④错.故选：B .4(2024·天津红桥·二模)若a =2313，b =log 1225，c =3-14，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a >b >cB.b >c >aC.b >a >cD.a <b <c【答案】C【分析】根据给定条件，利用幂函数、对数函数性质，并借助媒介数比较大小.【解析】b =log 1225>log 1212=1，a =23 13=23 4 112=1681 112>381 112=1314=c ，而a =2313<1，所以a ，b ，c 的大小关系为b >a >c .故选：C5(2024·全国·模拟预测)已知函数f (x )=log a x 3-ax 2+x -2a (a >0且a ≠1)在区间(1,+∞)上单调递减，则a 的取值范围是()A.0,23 B.23,1C.(1,2]D.[2,+∞)【答案】A【分析】对数函数的单调性与底数有关，分0<a <1和a >1两种情况讨论，此外还要注意对数函数的定义域，即真数为正；复合函数单调性满足“同增异减”，根据对数函数单调性结合题干中“在区间(1,+∞)上单调递减”得到真数部分函数的单调性，从而求得a 的取值范围.【解析】设函数g x =x 3-ax 2+x -2a ，则g x =3x 2-2ax +1．①若0<a <1，则y =log a x 在定义域上单调递减．又f x =log a x 3-ax 2+x -2a 在区间1,+∞ 上单调递减，所以g x 在区间1,+∞ 上单调递增，故gx ≥0对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．又g 1 =4-2a ≥0，所以对任意的x ∈1,+∞ ,g x ≥0显然成立．又因为g x >0对任意x ∈1,+∞ 恒成立，所以g 1 =2-3a ≥0，故0<a ≤23．②若a >1，则y =log a x 在定义域上单调递增．又f x =log a x 3-ax 2+x -2a 在区间1,+∞ 上单调递减，所以g x 在区间1,+∞ 上单调递减，故gx ≤0对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．因为抛物线y =3x 2-2ax +1的开口向上，所以g x ≤0不可能对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．所以a 的取值范围为0,23．故选：A ．6(2024·宁夏固原·一模)已知函数f x 的部分图像如图所示，则f x 的解析式可能为()A.f x =e x -e -x 4x -3 B.f x =e x -e -x3-4x C.f x =e x +e -x4x -3D.f x =x x -1【答案】A【分析】利用f x 在1,+∞ 上的值排除B ，利用奇偶性排除排除C ，利用f x 在1,+∞ 上的单调性排除D ，从而得解.【解析】对于B ，当x >1时，f x =e x -e -x 3-4x，易知e x -e -x >0，3-4x <0，则f x <0，不满足图象，故B 错误；对于C ，f x =e x +e -x 4x -3，定义域为-∞,-34 ∪-34,34 ∪34,+∞ ，又f (-x )=e -x +e x 4-x -3=e x +e -x4x -3=f (x )，则f x 的图象关于y 轴对称，故C 错误；对于D ，当x >1时，f x =x x -1=x x -1=1+1x -1，由反比例函数的性质可知，f x 在1,+∞ 上单调递减，故D 错误；检验选项A ，f x =e x -e -x4x -3满足图中性质，故A 正确.故选：A .7(2024·陕西西安·模拟预测)已知函数f x =12x +1,x <01x +2,x ≥0，则不等式f a 2-1 >f 3 的解集为()A.-2,2B.0,+∞C.-∞,0D.-∞,-2 ∪2,+∞【答案】A【分析】判断函数f x 的单调性，再利用单调性解不等式即可.【解析】f x =12x +1,x <01x +2,x ≥0，易知y =12x +1在-∞,0 单调递减，y =1x +2在0,+∞ 单调递减，且f x 在x =0处连续，故f x 在R 上单调递减，由f a 2-1 >f 3 ，则a 2-1<3，解得-2<a <2,故不等式f a 2-1 >f 3 的解集为-2,2 .故选：A8(2024·甘肃兰州·一模)已知y =f x 是定义在R 上的奇函数，且对于任意x 均有f x +1 +f x -1 =0，当0<x ≤1时，f x =2x -1，若f [ln (ea )]>f (ln a )(e 是自然对数的底)，则实数a 的取值范围是()A.e -1+2k <a <e 1+2k (k ∈Z )B.e -32+k <a <e 12+2k(k ∈Z )C.e -1+4k <a <e 1+4k (k ∈Z ) D.e-32+4k <a <e 12+4k(k ∈Z )【答案】D【分析】首先分析函数的周期性与对称性，画出函数在-2,2 上的函数图象，结合图象可知在-2,2 内要满足f [ln (ea )]>f (ln a )，只需-32<ln a <12，即可求出a 的范围，再结合周期性即可得解.【解析】因为y =f x 是定义在R 上的奇函数，所以f 0 =0且图象关于原点对称，又f x +1 +f x -1 =0，所以f x +1 =-f x -1 =f 1-x ，所以f x +4 =f 1-x +3 =-f 2+x =-f 1-x +1 =-f -x =f x ，f -1+x =f 3+x =f 1-2+x =f -1-x ，f 2+x =f -2+x =-f 2-x ，所以函数的周期为4且函数图象关于x =1+2k k ∈Z 和2k ,0 k ∈Z 对称，又当0<x ≤1时，f x =2x -1，所以f x 在区间-2,2 上的图象如下所示：由图可知，在-2,2 内要满足f [ln (ea )]=f (1+ln a )>f (ln a )，则-32<ln a <12，即e -32<a <e 12，再根据函数的周期性可知e -32+4k <a <e12+4k(k ∈Z ).故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键是由题意分析出函数的周期为4且函数图象关于x =1+2k k ∈Z 和2k ,0 k ∈Z 对称，再结合函数在-2,2 上的图象.二、多选题9(2024·河南洛阳·模拟预测)下列正确的是()A.2-0.01>2-0.001B.log 23>log 2π-1C.log 1.85<log 1.75D.log 33.01>e -0.01【答案】BCD【分析】利用指数函数的性质判断A ；由对数函数的性质判断B ，C ；由对数函数的性质可得log 33.01>1，由指数函数的性质可得e -0.01<1，即可判断．【解析】解：对于A ，因为-0.01<-0.001，所以2-0.01<2-0.001，所以A 错误；对于B ，因为log 23>log 2π2=log 2π-1，所以B 正确；对于C ，因为log 1.85>0,log 1.75>0，所以log 1.85=ln5ln1.8<ln5ln1.7=log 1.75，所以C 正确；对于D ，因为log 33.01>log 33=1,e -0.01<e 0=1，所以log 33.01>e -0.01，所以D 正确.故选：BCD ．10(2024·全国·模拟预测)已知实数a ，b 满足log 3a +log b 3=log 3b +log a 4，则下列关系式中可能正确的是()A.∃a ,b ∈(0,+∞)，使|a -b |>1B.∃a ,b ∈(0,+∞)，使ab =1C.∀a ,b ∈(1,+∞)，有b <a <b 2D.∀a ,b ∈(0,1)，有b <a <b【答案】ABC【分析】由原方程可得log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a ，构适函数，由函数的单调性得出值域，根据函数的值域判断A ；令ab =1，代入原方程转化为判断(ln b )2=ln3×ln122是否有解即可判断B ；条件变形放缩后构造函数，利用函数的单调性得出a ,b 大小，判断CD .【解析】由log 3a +log b 3=log 3b +log a 4得log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a ，令f (x )=log 3x -1log 3x ，则f (x )分别在(0,1)和(1,+∞)上单调递增，令g (x )=log 3x -1log 4x，则g (x )分别在(0,1)和(1,+∞)上单调递增，当x ∈(0,1)时，f x 的值域为R ，当x ∈(2,+∞)时，g (x )的值域为log 32-2,+∞ ，所以存在b ∈(0,1),a ∈(2,+∞)，使得f (b )=g (a )；同理可得，存在b ∈(2,+∞),a ∈(0,1)，使得f (b )=g (a )，因此∃a ,b ∈(0,+∞)，使|a -b |>1，故选项A 正确．令ab =1，则方程log 3a +log b 3=log 3b +log a 4可化为log b 3+log b 4=2log 3b ，由换底公式可得(ln b )2=ln3×ln122>0，显然关于b 的方程在(0,+∞)上有解，所以∃a ,b ∈(0,+∞)，使ab =1，故选项B 正确．当a ,b ∈(1,+∞)时，因为log 3b -1log 3b =log 3a -1log 4a <log 3a -1log 3a ，所以f (b )<f (a )．又f x 在(1,+∞)上单调递增，所以b <a ．因为log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a >log 4a -1log 4a ，令h (x )=x -1x，则h (x )在(0,+∞)上单调递增．因为h log 3b >h log 4a ，所以log 3b >log 4a ，从而log 3b >log 4a =log 2a >log 3a ，所以b >a ．综上所述，b <a <b 2，故选项C 正确．当a ,b ∈(0,1)时，因为log 3b -1log 3b =log 3a -1log 4a >log 3a -1log 3a ，所以f (b )>f (a )．又f x 在(0,1)上单调递增，所以b >a ．因为log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a <log 4a -1log 4a ．令h (x )=x -1x，则h (x )在(0,+∞)上单调递增，因为h log 3b <h log 4a ，所以log 3b <log 4a ，从而log 3b <log 4a =log 2a <log 3a ，所以b <a ．综上所述，b 2<a <b ，故选项D 错误．故选：ABC ．【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据对数式的运算规则和对数函数的单调性求解.11(2024·重庆·三模)已知函数f x =log 62x +3x ，g x =log 36x -2x .下列选项正确的是()A.f 12<g 12 B.∃x 0∈0,1 ，使得f x 0 =g x 0 =x 0C.对任意x ∈1,+∞ ，都有f x <g xD.对任意x ∈0,+∞ ，都有x -f x ≤g x -x【答案】BCD【分析】根据2+3>6，3>6-2即可判断A ；根据2x 0+3x 0=6x 0，令h x =6x -2x -3x ，结合零点的存在性定理即可判断B ；由f x -x =log 613 x +12 x 、g x -x =log 32x-23 x ，结合复合函数的单调性可得f x -x 和g x -x 的单调性，即可判断C ；由选项BC 的分析可得6f x-6x =3x -3g x，分类讨论当x ∈0,x 0 、x ∈x 0,+∞ 时x -f x 与g x -x 的大小，进而判断D .【解析】A ：因为2+3 2=5+26>6 2，所以2+3>6，3>6- 2.因为f 12 =log 62+3 >log 66=12，g 12 =log 36-2 <log 33=12，所以f 12 >g 12，故A 错误；B ：若f x 0 =g x 0 =x 0，则f x 0 =log 62x 0+3x 0=x 0=log 66x 0，即2x 0+3x 0=6x，g x 0 =log 36x 0-2x 0 =x 0=log 33x 0，可得6x 0-2x 0=3x 0，令h x =6x -2x -3x ，因为h 0 =-1，h 1 =1，所以∃x 0∈0,1 ，使得h x 0 =0，即2x 0+3x 0=6x 0，故B 正确；C ：因为f x -x =log 62x +3x -log 66x =log 62x +3x 6x =log 613 x +12 x ，且y =13 x +12 x 在1,+∞ 上单调递减，所以f x -x 也单调递减，可得f x -x <log 612+13<0，因为g x -x =log 36x -2x -log 33x =log 36x -2x 3x =log 32x -23 x .又y =2x -23 x 在1,+∞ 上单调递增，所以g x -x 也单调递增，得g x -x >log 32-23>0，即f x -x <g x -x ，因此，对于任意的x ∈1,+∞ ，都有f x <g x ，故C 正确；D ：由B 可知：∃x 0∈0,1 ，使得h x 0 =0，结合C 的结论，可知当x ∈0,x 0 ，f x >x ，g x <x ，即g x <x <f x ，当x ∈x 0,+∞ 时，f x <x ，g x >x ，即f x <x <g x ，因为6f x =2x +3x ，3g x =6x -2x ，得2x =6f x -3x =6x -3g x ，即6f x -6x =3x -3g x ，当x ∈0,x 0 时，有6x 6f x -x -1 =3g x 3x -g x -1 ，因为6x >3g x ，所以6f x -x -1<3x -g x -1，所以0<f x -x <x -g x ，因此可得g x -x ≤x -f x <0，即x -f x ≤g x -x ，当x ∈x 0,+∞ ，有6f x 6x -f x -1 =3x 3g x -x -1 ，因为6f x >3x ，所以6x -f x -1<3g x -x -1，可得0<x -f x <g x -x ，即x -f x ≤g x -x ，因此，对于任意的x ∈0,+∞ ，都有x -f x ≤g x -x ，故D 正确.故选：BCD .【点睛】方法点睛：证明不等式的恒成立问题的求解策略：形如f x ≥g x 的恒成立的求解策略：1、构造函数法：令F x =f x -g x ，利用导数或基本函数的单调性求得函数F x 的单调性与最小值，只需F x min ≥0恒成立即可；2、参数分离法：转化为a ≥φx 或a ≤φx 恒成立，即a ≥φx max 或a ≤φx min 恒成立，只需利用导数求得函数φx 的单调性与最值即可；3，数形结合法：结合函数y =f x 的图象在y =g x 的图象的上方(或下方)，进而得到不等式恒成立.三、填空题12(2023·河南·模拟预测)已知幂函数f x =m 2-6m +9 x m 满足f 1 =2，则f 2 =．【答案】4【分析】由幂函数的定义结合导数求得m ，进而可得答案.【解析】由幂函数的定义可得m 2-6m +9=1，解得m =2或m =4，当m =2时，f x =x 2，f x =2x ，f 1 =2符合题意；当m =4时，f x =x 4，f x =4x 3，f 1 =4，不符合题意．故f x =x 2，f 2 =4．故答案为：4.13(2024·全国·模拟预测)已知函数f x =x x -1,g x =e x -1-e -x +1+1，则f x 与g x 的图象交点的纵坐标之和为．【答案】2【分析】分析函数的奇偶性，由图象的平移变换求解即可.【解析】对于f x =x x -1=1x -1+1，可以把f x 的图象看作：由f 1x =1x -1的图象向上平移1个单位长度得到，而f 1x 的图象可看作由f 2x =1x 的图象向右平移1个单位长度得到；对于g x =e x -1-e -x +1+1=e x -1-1e x -1+1的图象可看作由g 1x =e x -1-1e x -1的图象向上平移1个单位长度得到，而g 1x 的图象可看作由g 2x =e x -1e x 的图象向右平移1个单位长度得到．易知f 2x =1x 与g 2x =e x -1ex 都为奇函数，公众号：慧博高中数学最新试题则易知f 2x 与g 2x 的图象共有两个关于原点对称的交点，且交点的纵坐标之和为0．因为将函数图象向右平移不改变f 1x 与g 1x 两函数图象交点处函数值的大小，所以f 1x 与g 1x 的图象交点的纵坐标之和为0，又将函数图象向上平移1个单位长度会使得原交点处的函数值都增加1，则f x 与g x 的图象的两个交点的纵坐标与f 1x 与g 1x 的图象两个交点的纵坐标相比都增加1，故f x 与g x 的图象交点的纵坐标之和为2．故答案为：214(2024·全国·模拟预测)已知定义在-∞,0 ∪0,+∞ 上的函数f x ，对于定义域内任意的x ，y ，都有f xy =f x +f y ，且f x 在0,+∞ 上单调递减，则不等式f x <log 2x +12的解集为.【答案】x x <-1 或x >1【分析】由f xy =f x +f y ，利用赋值法，得到函数f x 的奇偶性，构造函数F x =f x -log 2x +12，研究其单调性和奇偶性，再由F 1 =0，将不等式f x <log 2x +12转化为F x <F 1 求解.【解析】由f xy =f x +f y ，令x =y =1，得f 1 =f 1 +f 1 ，所以f 1 =0.令x =y =-1，得f -1 =0.令y =-1，得f -x =f x +f -1 =f x ，所以函数f x 为偶函数.构造函数F x =f x -log 2x +12，因为F -x =F x ，所以F x 为偶函数，且在0,+∞ 上为减函数.因为F 1 =f 1 -log 21+12=0，所以不等式f x <log 2x +12等价于F x =f x -log 2x +12<0=F 1 ，所以F x <F 1 ，即x >1，所以x <-1或x >1，故不等式f x <log 2x +12的解集为x |x <-1 或x >1 .故答案为：x |x <-1 或x >1 .。
指数对数幂函数比较大小必刷题
µ专题 指对幂比较大小必刷100题1任务一:善良模式(基础)1-40题一、单选题1已知a=53-12，b=log25，c=log37，则a，b，c的大小顺序是()A.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.b>c>a 【答案】D【解析】因为a=53-12=35 12<1，b=log25>log24=2，1=log33<c=log37<log39=2，所以b>c>a故选：D2已知a=ln 1π，b=e13，c=logπ3，则a,b,c大小顺序为()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a 【答案】D【解析】∵a=ln 1π<ln1=0，b=e13>e0=1，0=logπ1<c=logπ3<logππ=1，∴b>c>a.故选：D.3已知a=ln 1π，b=e13，c=logπ3，则a,b,c大小顺序为()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a 【答案】D【解析】因为a=ln 1π<ln1=0，b=e13>e0=1，c=logπ3∈0,1所以b>c>a故选：D【点睛】本题考查的是对数、指数幂的比较，较简单.4设a=34-34，b=43 2，c=log232，则a，b，c的大小顺序是A.b<a<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b 【答案】B【解析】a=34-34=43 34>1,且43 34<43 2=b,又c=log232<log22=1.故c<a<b.故选：B【点睛】本题主要考查了利于指数对数函数的单调性对函数值大小进行比较,属于基础题型.5a,b,c均为正实数，且2a=log12a，12b=log12b，12c=log2c，则a,b,c的大小顺序为A.a <c <bB.b <c <aC.c <b <aD.a <b <c【答案】D 【解析】试题分析：∵a ,b ,c 均为正实数，∴2a >2-b =log 12b ，而2a =log 12a ，∴log 12a >log 12b ，∴a <b ．又12c=log 2c 且12b=log 12b ，由图象可知c >1，0<b <1，故a <b <c ，故选D ．考点：利用函数图象比较大小.6若a =0.20.8，b =0.80.2，c =1.10.3，d =lg0.2，则a ，b ，c ，d 的大小关系是()A.c >b >a >dB.c >a >b >dC.b >c >a >dD.a >c >b >d【答案】A【解析】由指数函数的单调性知：0.20.2>0.20.8，1.10.3>1.10=1由幂函数的单调性知：0.80.2>0.20.2，所以c >1>b =0.80.2>0.20.2>0.20.8=a >0，又由对数函数的单调性可知：d =lg0.2<lg1=0综上有：c >b >a >d .故选：A7设a =log 3π，b =2log 32，c =4ln 1e ，则a ，b ，c 大小关系为()A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b【答案】B 【解析】解：因为ln 1e<ln1=0，所以0<4ln 1e <40=1，即0<c <1，又2log 32=log 322=log 34>log 3π>log 33=1，即b >a >1，所以b >a >c ；故选：B8已知5a =2,b =ln2,c =20.3，则a ,b ,c 的大小关系为()A.a >b >cB.c >b >aC.b >c >aD.c >a >b【答案】B【解析】由5a =2⇒a =log 52=log 54<log 55⇒a <12，由ln e 2>ln 4>ln e ⇒1>b >12，c =20.3>1，所以c >b >a ，故选：B 9已知a =454.1,b =45-0.9,c =540.1，则这三个数的大小关系为()A.a >c >bB.b >c >aC.c >a >bD.c >b >a【答案】B【解析】b =45-0.9=540.9，因为y =54x在R 上单调递增﹐则b >c >1，又a =454.1<45=1.故b >c >a .故选：B .10若a =225,b =325,c =12 25,d =1325，则a ，b ，c ，d 的大小关系是()A.a >b >c >dB.b >a >d >cC.b >a >c >dD.a >b >d >c【答案】C【解析】解：a =225>20=1,b =325>30=1,c =1225<12=1,d =1325<13=1，另外a b =225325=2325<23=1，则b >ac d =12 251325=3225>32=1，则c >d故b >a >c >d 故选：C .11已知a =12-0.8，b =log 1223，c =40.5则a ，b ，c 的大小关系是()A.a <c <bB.a <b <cC.c <b <aD.b <a <c【答案】D 【解析】a =12-0.8=20.8∈1,2 ，b =log 1223=log 232∈0,1 ，c =40.5=2，显然b <a <c ，故选：D12已知3a =2，b =ln2，c =20.3，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a >b >cB.c >b >aC.b >c >aD.c >a >b【答案】B【解析】由3a =2可得，a =log 32=ln2ln3，因为ln3>1>ln2>0，所以ln2ln3<ln2<1，又因为c =20.3>20=1，所以c >b >a .故选：B .13已知a =43，b =log 34，c =3-0.1，则a 、b 、c 的大小关系为()A.a >b >cB.c >b >aC.b >a >cD.a >c >b【答案】A 【解析】因为a =43=log 3343，343 3=34=81>43=64，所以log 3343>log 34，即a >b .又因为b=log34>log33=1，c=3-0.1<30=1，即b>c，所以a>b>c.故选：A14设0<x<π2，记a=lnsin x，b=sin x，c=esin x，则比较a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a 【答案】A【解析】因为0<x<π2，所以b=sin x∈0,1，a=lnsin x<0，c=e sin x>1，所以a<b<c，故选：A15若a=2 23，b=323，c=1223，d=13 23，则a，b，c，a的大小关系是()A.a>b>c>dB.b>a>d>cC.b>a>c>dD.a>b>d>c 【答案】C【解析】∵23>0∴幂函数y=x23在0,+∞上单调递增，又∵3>2>12>13>0，∴323>223>1223>13 23，∴b>a>c>d故选：C.16已知a=0.31.7，b=1.70.3，c=log0.31.7，则a，b，c的大小关系为() A.a<c<b B.c<b<a C.c<a<b D.b<c<a【答案】C【解析】解：根据指数函数的性质知，0<0.31.7<0.30=1，1.70.3>1.70=1所以0<a<1<b；根据对数函数的性质知，log0.31.7<log0.31=0，所以c<0；所以a，b，c的大小关系是c<a<b.故选：C.17已知a=log262，b=log3142，c=232，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a【答案】A【解析】解：c=232>20=1，0<a=log262<log22=12，12=log33<log3142=b<1，∴a<b<c.故选：A．18已知a=1.20.5，b=0.51.5，c=22，则这三个数的大小关系为()A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a【答案】D【解析】因为a =1.20.5>1.20=1，所以a >1.因为b =0.51.5<0.51=12，所以0<b <12.而c =22，所以12<c <1，故b <c <a .故选D .19已知a =ln22，b =ln33，c =ln55，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a <b <cB.a <c <bC.b <a <cD.c <a <b【答案】D【解析】因为a -b =ln22-ln33=3ln2-2ln36=ln8-ln96<0，所以a <b ；又a -c =ln22-ln55=5ln2-2ln510=ln32-ln2510>0，所以a >c ，所以c <a <b .故选：D .20设a =log 20.3,b =log 120.4,c =0.40.3，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a <b <cB.c <a <bC.b <c <aD.a <c <b【答案】D【解析】∵log 20.3<log 21=0，∴a <0，∵log 120.4=-log 20.4=log 252>log 22=1，∴b >1，∵0<0.40.3<0.40=1，∴0<c <1，∴a <c <b .故选：D .21若x ∈(e -1,1)，a =ln x ，b =12ln x，c =2ln x ，则a ，b ，c 的大小关系为()A.c >b >aB.b >a >cC.a >b >cD.b >c >a【答案】D【解析】因x ∈(e -1,1)，且函数y =ln x 是增函数，于是-1<a <0；函数y =2x 是增函数，-1<ln x <0<-ln x <1，而12 ln x =2-ln x ，则1<12ln x<2，12<2ln x <1，即12<c <1<b <2，综上得：b >c >a 故选：D22已知a =log 32,b =15 35,c =13-23，则a ,b ,c 的大小关系是()A.a <b <cB.b <a <cC.a <c <bD.b <c <a【答案】B【解析】由函数y =log 3x 在0,+∞ 上单调递增，可得12=log 33<log 32=a <1,，由函数y =15x 在R 上单调递减，可得b =15 35<15 12=15<12,由函数y =13 x 在R 上单调递减，可得c =13 -23>13 0=1, 因此b <a <c故选：B23设a=4323,b=43 34,c=32 34，则a,b,c的大小关系是()A.a>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.b>c>a 【答案】C【解析】因为函数y=43x在R上是增函数，所以43 23<43 34，即a<b，又因为函数y=x34在(0,+∞)上是增函数，所以4334<32 34，所以b<c，故a<b<c.故选：C24已知a=ln12020+20192020，b=ln12021+20202021，c=ln12022+20212022，则a，b，c的大小关系是()A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b 【答案】A【解析】构造函数f x =ln x+1-x，f x =1x-1=1-xx，当0<x<1时，fx >0，f x 单调递增，所以f12020>f12021>f12022，a>b>c.故选：A25已知a=log35,b=1213,c=log1316，则a，b，c的大小关系为()A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b 【答案】D【解析】c=log1316=log36，因为函数y=log3x在0,∞上单调递增，所以log33=1<a=log35<log36<log1316=c，因为函数y=12x在R上单调递减，所以b=12 13<12 0=1，所以c>a>b故选：D【点睛】思路点睛：指数式、对数式、幂值比较大小问题，思路如下：思路一、对于同底数的幂值或对数式，直接根据指数函数或对数函数的单调性比较大小；思路二、对于不同底数的幂值或对数式，化为同底数的幂值或对数式，再根据思路一进行比较大小；或者找中间量(通常找0和1)进行比较.26已知1<1a<1b,M=a a,N=a b,P=b a，则M,N,P的大小关系正确的为()A.N<M<PB.P<M<NC.M<P<ND.P<N<M 【答案】B【解析】解：∵1<1a<1b，∴0<b<a<1，∴指数函数y=a x在R上单调递减，∴a b>a a，即N>M，又幂函数y=x a在0,+∞上单调递增，∴a a>b a，即M>P，∴N>M>P，故选：B .27已知a =sin3，b =log 3sin3，c =3sin3，则a ，b ，c 的大小关系是()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.c >b >a【答案】C 【解析】因为π2<3<π，所以a =sin3∈0,1 ，b =log 3sin3<log 31=0，c =3sin3>30=1，所以c >a >b .故选：C28设a =315，b =153，c =log 315，则a ，b ，c 的大小关系为().A.b <a <cB.a <c <bC.c <a <bD.c <b <a【答案】D【解析】指数函数y =3x ,y =15x分别是R 上的增函数和减函数，15>0,3>0，则315>30>153>0，对数函数y =log 3x 在(0,+∞)上单调递增，0<15<1，则log 315<log 31=0，所以有315>153>log 315，即c <b <a .故选：D29已知e a =π，2b =3，c =sin2021∘，则a ，b ，c 大小关系为()A.c <a <bB.c <b <aC.a <c <bD.a <b <c【答案】A【解析】由e a =π，得a =lnπ，因为π≈3.14,e ≈2.7128,e e ≈4.48，所以ln e <lnπ<ln e e ，即ln e <a <ln e e ，所以1<a <32，由2b =3，得b =log 23>log 222=32，又c =sin2021∘=sin 5×360∘+221∘ =sin221∘<0，所以c <a <b ，故选：A30已知a =log 53,b =log 169,c =0.3a -2，则a ，b ，c 的大小关系是()A.a >b >cB.a >c >bC.c >a >bD.c >b >a【答案】D【解析】b =log 4232=log 43<log 44=1，所以0<a <b <1，c =0.3a -2=0.3log 53-2=310 log 5325=103 log 5253>103 log 55=103>1，所以c >b >a .故选：D31已知a =log 31.5，b =log 0.50.1，c =0.50.2，则a 、b 、c 的大小关系为()A.a <b <cB.a <c <bC.b <c <aD.c <a <b。
指对幂函数知识点总结(供参考)
【（1）根式的概念①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的nn 是偶数时，正数a 的正的nn 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a=；当n为奇数时，a=；当n为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)rr r ab a b a b r R =>>∈【（1）对数的定义 ①若(0,1)xaN a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a xN =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0aa M N >≠>>，那么①加法：log log log ()aa a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-=③数乘：log log ()n aa n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤loglog (0,)bn a anM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且 【函数值的 变化情况a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()xy ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的性质 ①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义: 一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象 （3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x=是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x=是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x=是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．。
高中数学指对幂比较大小6大题型(解析版)
指对幂比较大小6大题型命题趋势函数“比大小”是非常经典的题型，难度不以，方法无常，很受命题者的青睐。
高考命题中，常常在选择题或填空题中出现这类型的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序。
这类问题的解法往往可以从代数和几何来那个方面加以探寻，即利用函数的性质与图象解答。
满分技巧比较大小的常见方法1.单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较；2.作差法、作商法：(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法；3.中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小；4.估值法：(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值；5.构造函数，运用函数的单调性比较：构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律(1)对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f()外衣”比较大小；(2)有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小。
6.放缩法：(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；(2)指数和幂函数结合来放缩；(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩；(4)“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数(主要是整数多一些)，那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系。
热点题型解读【题型1利用单调性比较大小】【例1】(2022秋·福建宁德·高三统考期中)设a=0.30.3,b=0.30.5,c=0.50.3,d=0.50.5，则a,b,c,d的大小关系为()A.b>d>a>cB.b>a>d>cC.c>a>d>bD.c>d>a>b【答案】D【解析】因为y=0.3x以及y=0.5x是R上的单调减函数，故可得0.30.3>0.30.5，0.50.3>0.50.5，即a>b，c>d；又因为a=0.30.3=0.0270.1,d=0.50.5=0.31250.1，而y=x0.1是0,+∞上的单调增函数，则0.031250.1>0.0270.1，即d>a.故c>d>a>b.故选：D.【变式1-1】(2022秋·四川眉山·高三校考阶段练习)若a=0.40.5,b=0.50.4,c=log324，则a，b，c的大小关系是()A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b【答案】D【解析】c=log324=25=0.4，因为y=0.4x在R上为减函数，所以c=0.41<a=0.40.5<0.40.4，因为y=x0.4在x∈0,+∞上为增函数，所以b=0.50.4>0.40.4，所以a<b，所以c<a<b，故选：D.【变式1-2】(2022·陕西宝鸡·统考一模)已知实数a,b,c满足e2a2=e3b3=e5c5=2，则()A.a>b>cB.a<b<cC.b>a>cD.c>a>b 【答案】A【解析】因为e2a2=e3b3=e5c5=2，所以e2a=4,e3b=6,e5c=10，即得2a=ln4,3b=ln6,5c=ln10得a=ln2,b=ln36,c=ln510，因为y =ln x 是0,+∞ 上的增函数，比较2,36,510的大小关系即是a ,b ,c ，的大小关系 ，2,36,510同时取15次幂，因为幂函数y =x 15在0,+∞ 上是单调递增的，比较215,65,103即可，因为215=524288,65=7776,103=1000 所以215>103>65即2>510>36，即得a >b >c .故选:A .【变式1-3】(2023·全国·高三专题练习)已知a =0.30.5,b =0.30.6，c =2512，则a 、b 、c 的大小关系为()A.a <b <cB.c <a <bC.b <a <cD.c <b <a【答案】C【解析】函数y =0.3x 是定义域R 上的单调减函数，且0.5<0.6，则0.30.5>0.30.6，即a >b ，又函数y =x 0.5在(0,+∞)上单调递增，且0.3<25，于是得0.30.5<2512，即c >a ，所以a 、b 、c 的大小关系为b <a <c ．故选：C【变式1-4】(2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测)已知f x =-x 2-cos x ，若a =f e -34，b =f ln45，c =f -14 ，则a ，b ，c 的大小关系为()A.c <b <a B.c <a <bC.b <c <aD.a <c <b【答案】D【解析】因为f (x )=-x 2-cos x ,x ∈R ，定义域关于原点对称，f (-x )=-(-x )2-cos (-x )=-x 2-cos x =f x ，所以f (x )为R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )=-2x +sin x ,，设g x =-2x +sin x ，则g (x )=-2+cos x ，∵-1≤cos x ≤1，∴g x <0，所以g (x )即f (x )在[0,+∞)上单调递减，所以f (x )≤f (0)=0，所以f (x )在[0,+∞)上单调递减，又因为f (x )为偶函数，所以f (x )在(-∞,0]上单调递增，又因为ln45<0,-14<0，b =f ln 45 =f -ln 45 =f ln 54 ，c =f -14 =f 14又因为e -34>e -1=1e >14，因为14=ln e 14，e 14 4=e ,54 4≈2.4<e ，所以e 14>54，所以ln e 14>ln 54，即14>ln 54，所以e -34>14>ln 54，所以f e -34 <f 14 <f ln 54 ，即a <c <b .故选：D .【变式1-5】(2022·全国·高三专题练习)(多选)下列大小关系中正确的是()A.91.5>32.7B.37 47<47 37C.log1213<log312 D.1.70.2>0.92.1【答案】ABD【解析】对于A，因为91.5=33，而y=3x是增函数，所以33>32.7，即91.5>32.7，故A正确；对于B，根据指数函数y=37x为单调递减可知，3747<37 37，又由幂函数y=x37为单调递增可知，3737<47 37所以3747<37 37<47 37，故B正确；对于C，由换底公式可知log1213=log23，根据对数函数单调性可知log1213=log23>0，log312<log31=0，所以log1213>log312，故C错误；对于D，由指数函数单调性可知1.70.2>1.70=1,0.92.1<0.90=1，所以1.70.2>0.92.1，故D正确；故选：ABD.【题型2作差作商法比较大小】【例2】(2022·云南昆明·昆明一中校考模拟预测)已知a=e13，b=ln2，c=log32，则a,b,c的大小关系为()A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.c>b>a【答案】B【解析】∵a=e13>e0=1，b=ln2<ln e=1，c=log32<log33=1∴a最大，∵b-c=ln2-log32=lg2lg e-lg2lg3=lg2⋅1lg e-1lg3>0，∴b>c，∴a>b>c，故选：B【变式2-1】(2022秋·陕西咸阳·高三校考阶段练习)若a=sin4，b=log53，c=lg6，d=e0.01，则()．A.a<b<c<dB.a<c<b<dC.b<c<d<aD.a<d<b<c【答案】A【解析】由题意，a=sin4<0,d=e0.01>1，0<b=log53<1,0<c=lg6<1，只需比较b,c的大小，而log53-lg6=lg3lg5-lg6=lg3-lg5⋅lg6lg5=lg3-1-lg2lg2+lg3lg5=lg2⋅-1+lg6lg5<0,∴b<c，综上a <b <c <d .故选：A【变式2-2】(2022·全国·高三专题练习)已知m 5=4，n 8=9，0.9p =0.8，则正数m ，n ，p 的大小关系为()A.p >m >nB.m >n >pC.m >p >nD.p >n >m【答案】A【解析】由m 5=4，得m =415=225<2，由n 8=9，得n =918=314，因此，m n =225314=225×20314×20120=2835 120=256243 120>1，即2>m >n ，由0.9p =0.8，得p =log 0.90.8>log 0.90.81=2，于是得p >m >n ，所以正数m ，n ，p 的大小关系为p >m >n .故选：A【变式2-3】(2022·贵州贵阳·校联考模拟预测)已知a =log 45，b =54，c =log 56，则a 、b 、c 这三个数的大小关系为()A.c <b <aB.a <c <bC.c <a <bD.b <c <a【答案】C【解析】因为4a =4log 45=2log 25=log 225<log 232=5，所以a <54，即a <b ，因为a -c =log 45-log 56=ln5ln4-ln6ln5=(ln5)2-ln4×ln6ln4×ln5>(ln5)2-ln4+ln622ln4×ln5=(ln 25)2-(ln 24)2ln4×ln5>0，所以a >c ，综上：c <a <b .故选：C .【变式2-4】(2022秋·四川内江·高三校考阶段练习)已知a =30.2,b =log 67,c =log 56，则()A.a >b >cB.b >c >aC.a >c >bD.c >a >b【答案】C【解析】对b ,c ，log 56-log 67=lg6lg5-lg7lg6=lg 26-lg5⋅lg7lg5⋅lg6因为lg5⋅lg7<lg5+lg72 2=12lg35 2=lg 235<lg 26，即lg 26-lg5⋅lg7>0，所以log 56-log 67>0，即c >b ；对a ,c ，又30.2>e 0.2，令g x =e x -1-x ，则g x =e x -1，所以当x >0时，g x >0，当x <0时，g x <0，所以g (x )min =g 0 =0，即e x ≥1+x ，当且仅当x =0时取等号，所以30.2>e 0.2>1+0.2=1.2，令f x =x 5-log 5x ，则f x =15-1x ln5=x ln5-55ln5⋅x，所以当x>5ln5时f x >0，所以f x 在5ln5,+∞上单调递增，显然5>5ln5，又f5 =0，即f6 =65-log56>f5 =0，即65>log56，所以30.2>e0.2>65>log56，即a>c>b.故选：C【题型3中间值/估值法比较大小】【例3】(2023·全国·模拟预测)已知a=0.54，b=log50.4，c=log0.50.4，则a，b，c的大小关系是()A.b>a>cB.a>c>bC.c>a>bD.a>b>c【答案】C【解析】根据指数函数单调性和值域，y=0.5x在R上递减，结合指数函数的值域可知， a=0.54∈0,0.50=0,1；根据对数函数的单调性，y=log5x在(0,+∞)上递增，则b=log50.4<log51=0，y=log0.5x在(0,+∞)上递减，故c=log0.50.4>log0.50.5=1，即c>1>a>0>b，C选项正确.故选：C【变式3-1】(2022秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习)已知a=log23，b=20.4，c=13-13，则a，b，c的大小关系是()A.b<a<cB.a<c<bC.a<b<cD.b<c<a 【答案】C【解析】由题知，0=log21<log23<log24=1，即：0<a<1，又b=20.4>20=1，所以b>a；∵b15=20.415=26=64，c15=13-1315=13 -5=35=243∴b15<c15，∴b<c，所以：a<b<c.故选：C.【变式3-2】(2023秋·福建泉州·高三校考阶段练习)已知a=4e，b=log34lnπ，c=131.7，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a 【答案】D【解析】根据指数函数的单调性可得a=4e>e0=1，0<c=131.7<130=1，根据对数函数的单调性可得b=log34lnπ<log341=0，所以b<c<a，故选：D.【变式3-3】(2022秋·河南郑州·高三安阳一中校联考阶段练习)设a=20.2，b=0.50.5，c=log0.50.2，则( )A.a <b <cB.b <c <aC.c <a <bD.b <a <c【答案】D【解析】对a ：y =2x 在R 上单调递增，则20.2<21=2,20.2>20=1，即1<a <2；对b ：0.50.5=0.5，y =x 在0,+∞ 上单调递增，则0.50.5=0.5<1=1,0.5>0=0，即0<b <1；对c ：y =log 0.5x 在0,+∞ 上单调递减，则log 0.50.2>log 0.50.25=2，即c >2；综上所述：b <a <c .故选：D .【变式3-4】(2022秋·江西·高三校联考阶段练习)已知a =22，b =e ，c =22.5，则a ，b ，c 的大小关系是()(参考数据：ln2≈0.693)A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b【答案】C【解析】∵y =2x 在R 上单调递增，且2<2<2.5，∴22<22<22.5，则a <4c ,c b =e ≈2.7，又∵ln a =ln22=2ln2≈0.980<1，且y =e x 在R 上单调递增，∴e ln a <e 1，即a <b ，故c >b >a .故选：C .【变式3-5】(2022·全国·高三专题练习)已知a =ln40.25，b =4ln0.25，c =0.250.25，则()A.a >c >bB.b >c >aC.c >a >bD.b >a >c【答案】C【解析】由a =ln40.25=ln22，b =4ln0.25=124ln2=142ln2<14，c =0.250.25=22，所以b <14<a <12<c .故选：C 【变式3-6】(2023·全国·高三专题练习)(多选)已知a =log 2x ，b =2x ，c =3x ，其中x ∈1,2 ，则下列结论正确的是()A.a >log b cB.a b >b cC.a b <b cD.log a b <log b c【答案】CD【解析】因为x ∈1,2 ，所以a ∈0,1 ，b ∈2,4 ，c ∈3,9 ，且b <c ，所以log b c >1>a ，故A 错误；因为a b ∈0,1 ，b c >1，即a b <b c ，故B 错误，C 正确；因为log a b <0，log b c >0，即log a b <log b c ，故D 正确.故选：CD .【题型4含变量比较大小】【例4】(2022秋·河南·高三上蔡第一高级中学阶段练习)已知x∈π4,π2,a=12 sin-x ,b=2cos-x ,c=2tan x，则()A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.c>a>b 【答案】D【解析】由题意得a=12sin-x=2-1-sin x=2sin x，b=2cos(-x)=2cos x，因为当x∈π4,π2时，tan x>sin x>cos x，且y=2x是增函数，所以c>a>b.故选:D.【变式4-1】(2022·全国·高三专题练习)设0<θ<π2，a=sin2θ，b=2sinθ，c=log2sinθ，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b 【答案】D【解析】因为0<θ<π2，所以0<sinθ<1，且0<sin2θ≤1，所以a∈0,1，b=2sinθ>1，c=log2sinθ<0，所以c<a<b.故选：D.【变式4-2】(2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习)已知f x =2022x-2022-x-ln x2+1-x，当0<x<π2，a=cos x，b=lncos x，c=e cos x，试比较f a ，f b ，f c 的大小关系()A.f a <f c <f bB.f b <f c <f aC.f c <f a <f bD.f b <f a <f c【答案】D【解析】∵f x =2022x-2022-x-ln x2+1-x=2022x-2022-x+ln(x2+1+x)，∴f(x)在R上是增函数，由x∈0,1时，ln x<x<e x知，b<a<c，∴f b <f a <f c ，故选：D【变式4-3】(2023·全国·高三专题练习)已知x∈π4,π2且a=2sin2x+1e2sin2x，b=cos x+1e cos x，c=sin x+1e sin x，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.c<a<b 【答案】C【解析】构造函数f x =x+1e xx>0，则a=2sin2x+1e2sin2x=f2sin2x，b=cos x+1e cos x=f cos x，c=sin x+1e sin x=f sin x．因为f x =e x-x+1e xe x2=-xe x<0在0,+∞上恒成立，所以函数f x 在0,+∞上单调递减.又因为x∈π4,π2，所以2sin2x-sin x=sin x2sin x-1>0，且sin x>cos x，故a<c<b.故选：C．【题型5构造函数比较大小】【例5】(2023·广西桂林·统考一模)已知a、b、c∈1,+∞，2e a ln3=9a，3e b ln2=8b，2e c-2=c，则()A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b【答案】A【解析】因为a、b、c∈1,+∞，由2e a ln3=9a可得ae a=ln99，由3e b ln2=8b可得be b=ln88，由2e c-2=c可得ce c=2e2，构造函数f x =ln xx，其中x>0，则f x =1-ln xx2，当0<x<e时，f x >0；当x>e时，f x <0.所以，函数f x 的增区间为0,e，减区间为e,+∞，因为e<e2<8<9，所以，f e2 >f8 >f9 ，即ce c>be b>ae a，即f ec>f e b >f e a ，因为a、b、c∈1,+∞，则e a、e b、e c∈e,+∞，所以，e a>e b>e c，因此，a>b>c.故选：A.【变式5-1】(2022秋·广东广州·高三校考期中)函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时f(x)+xf (x)>0(其中f (x)是f(x)的导函数)，若a=30.3⋅f(30.3)，b=logπ3⋅f(logπ3)，c=ln19⋅f ln19，则( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c【答案】B【解析】令F x =xf x ，又f x 为定义在R上的偶函数，则F-x=-xf-x=-xf x =-F x ，故F x 为定义在R上的奇函数；又F (x)=f(x)+xf (x)，由题可知，当x<0时，F (x)>0，即F x 在-∞,0单调递增，结合F x 是R上的奇函数可知，F x 为R上的单调增函数；又30.3>30=1=logππ>logπ3>logπ1=0=ln1>-ln9=ln 1 9，又a=30.3⋅f(30.3)，b=logπ3⋅f(logπ3)，c=ln 19⋅f ln19，故a>b>c.故选：B.【变式5-2】(2022秋·四川成都·高三校考阶段练习)已知a=2022，b=2121，c=2220，则()A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b【答案】C【解析】由a=2022，b=2121，可得ln a=22ln20,ln b=21ln21，则ln aln b=22ln2021ln21=ln2021ln2122，令f(x)=ln xx+1(x>e2)，则f (x)=x+1-x ln xx(x+1)2(x>e2)，令g(x)=x+1-x ln x(x>e2)，则g (x)=-ln x<0，所以g(x)在(e2,+∞)上单调递减，又g(e2)=e2+1-2e2=-e2+1<0，所以当x∈(e2,+∞)时，g(x)<0，所以f (x)<0，所以f(x)在(e2,+∞)上单调递减，从而0<f(x)<f(e2)=2e2+1，所以f(20)>f(21)，即ln a>ln b，从而可知a>b.由b=2121，a=2220，可得ln b=21ln21,ln c=20ln22，则ln bln c=21ln2120ln22=ln2120ln2221，令h(x)=ln(x+1)x(x>e2-1)，则h (x)=x-(x+1)ln(x+1)x2(x+1)(x>e2-1)，令m(x)=x-(x+1)ln(x+1)(x>e2-1)，则m (x)=-ln(x+1)<0，所以m(x)在(e2-1,+∞)上单调递减，又m(e2-1)=-e2-1<0，所以当x∈(e2-1,+∞)时，m(x)<0，所以h (x)<0，所以h(x)在(e2-1,+∞)上单调递减，从而0<h(x)<h(e2-1)=2e2-1，所以h(20)>h(21)，即ln b>ln c，从而可知b>c.综上可得a>b>c.故选：C【变式5-3】(2022·全国·高三专题练习)已知a=0.7e0.4,b=e ln1.4,c=0.98，则a,b,c的大小关系是( )A.a>c>bB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b【答案】A【解析】构造f x =ln x-1e x，x>0，则f x =1x-1e，当0<x<e时，f x >0，当x>e时，f x <0，所以f x =ln x-1e x在0<x<e上单调递增，在x>e上单调递减，所以f x ≤f e =ln e-1=0，故ln x≤1e x，当且仅当x=e时等号成立，因为x2>0，所以ln x2≤x2e⇒2ln x≤x2e⇒ln x≤x22e⇒ln2x≤(2x)22e=2e x2，当x=e2时，等号成立，当x=0.7时，ln1.4<2e×(0.7)2=0.98e⇒e ln1.4<0.98，所以b<c构造g x =e x-1-x，则g x =e x-1-1，当x>1时，g x >0，当x<1时，g x <0，所以g x =e x-1-x在x>1单调递增，在x<1上单调递减，故g x ≥g1 =0，所以e x-1≥x，当且仅当x=1时，等号成立，故e x-1≥x⇒e2x-1≥2x，当且仅当x=0.5时，等号成立，令x=0.7，则e0.4>1.4⇒0.7e0.4>0.98，所以a>c，综上:a>c>b，故选：A【变式5-4】(2022秋·广东河源·高三河源市河源中学阶段练习)设a=12×106+1102，b=e0.01-1，c=ln1.02，则a,b,c的大小关系为()A.c<a<bB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c 【答案】C【解析】a=12×106+1102=12×10-6+10-2<12×10-4+10-2，b=e0.01-1=e10-2-1，令f x =e x-1-12x2+x，则f x =e x-x-1，令g x =e x-x-1，则g x =e x-1，当x>0时，g x >0，所以函数g x 在0,+∞上递增，所以g x >g0 =0，即f x >f 0 =0，所以函数f x 在0,+∞上递增，所以f10-2>f0 =0，即e10-2-1>12×10-4+10-2，所以a<b，令h x =e x-1-ln2x+1，则h x =e x-22x+1=2x+1e x-22x+1，令m x =2x+1e x-2，则m x =2x+3e x，当x>0时，m x >0，所以函数m x 在0,+∞上递增，m0.1=1.2e0.1-2=235e0.1-1 ，因为35e0.110=35 10×e=35 7×27e125<35 7×81125<1，所以35e0.1<1，所以m0.1=1.2e0.1-2=235e0.1-1<0，所以当0<x<0.1时，m x <0，即h x <0，所以函数h x 在0,0.1上递减，所以h0.01<h0 =0，即e0.01-1-ln1.02<0，所以b<c，综上所述a<b<c.故选：C.【变式5-5】(2022·全国·高三专题)设a =110,b =e 111-1,c =1110ln 1110，则a ，b ，c 大小关系是_______．【答案】b <a <c【解析】令f (x )=1+x ln 1+x -x ，x >-1，则f (x )=ln 1+x +1-1=ln 1+x ，令f (x )>0，得x >0，即f (x )在0,+∞ 上单调递增，∵110>0，∴f 110 >f (0)，即1110ln 1110>110，即c >a ，令g (x )=e 1011x -1-x ，则g (x )=1011e 1011x -1，令g (x )<0得x <1110ln 1110，即g (x )在-∞,1110ln 1110单调递减，因为0<110<1110ln 1110，所以g 110 <g (0)，即e 1011×110-1-110<0，所以e 111-1<110，即b <a .所以b <a <c .【题型6数形结合法比较大小】【例6】(2022·全国·高三专题练习)已知y =x -m x -n +2022(m <n )，且α,β(α<β)是方程y =0的两根，则α,β,m ,n 的大小关系是()A.α<m <n <βB.m <α<n <βC.m <α<β<nD.α<m <β<n【答案】C【解析】f x =x -m x -n +2022(m <n )为二次函数，开口向上，因为α,β(α<β)是方程y =0的两根，故α,β(α<β)为图象与x 轴的两个交点横坐标，其中f m =f n =2022，画出图象如下：显然m <α<β<n ，故选：C【变式6-1】(2023秋·陕西西安·高三统考期末)已知a =log 32，b =log 43，c =log 54，则a ，b ，c 的大小关系为()A.c <a <bB.a <b <cC.b <a <cD.c <b <a【答案】B【解析】方法一：设函数为f x =log x x -1 ，而f x =log x x -1 =lg x -1lg x. 如图，y =lg x -1 的图象在y =lg x 的下方，而且随着x 的增大，y =lg x -1 的图象与y =lg x 的图象越来越接近，即当x >2时，f x =log x x -1 =lg x -1lg x的值越来越大，所以有，a <b <c .方法二：构造函数f x =log x x -1 ，x >1则a =f 3 ，b =f 4 ，c =f 5 f x =log x x -1 =ln x -1ln x ，f x =ln x -ln x -1ln x2>0在1,+∞ 上恒成立，所以，函数f x =log x x -1 在1,+∞ 上单调递增，所以，f 3 <f 4 <f 5 ，即a <b <c .故选：B .【变式6-2】(2022秋·江苏扬州·高三期末)已知正实数a ，b ，c 满足e c +e -2a =e a +e -c ，b =log 23+log 86，c +log 2c =2，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a <b <c B.a <c <bC.c <a <bD.c <b <a【答案】B【解析】e c +e -2a =e a +e -c ⇒e c -e -c =e a -e -2a ，故令f x =e x -e -x ，则f c =e c -e -c ，f a =e a -e -a ．易知y =-e -x =-1ex 和y =e x均为0,+∞ 上的增函数，故f x 在0,+∞ 为增函数．∵e -2a <e -a ，故由题可知，e c -e -c =e a -e -2a >e a -e -a ，即f c >f a ，则c >a >0．易知b =log 23+log 236=log 2336>2，log 2c =2-c ，作出函数y =log 2x 与函数y =2-x 的图象，如图所示，则两图象交点横坐标在1,2 内，即1<c <2，∴c <b ，∴a <c <b ．故选：B ．【变式6-3】(2023·全国·高三专题)已知a =e π,b =πe ,c =2 eπ，则这三个数的大小关系为()A.c <b <aB.b <c <aC.b <a <cD.c <a <b【答案】A【解析】令f x =ln x x ,x >0 ，则f x =1-ln xx 2,x >0 ，由f x >0，解得0<x <e ，由f x <0，解得x >e ，所以f x =ln xx,x >0 在0,e 上单调递增，在e ,+∞ 上单调递减；因为π>e ，所以f π <f e ，即lnππ<ln ee ，所以e lnπ<πln e ，所以lnπe <ln e π，又y =ln x 递增，所以πe <e π，即b <a ；2 eπ=2 π e ，在同一坐标系中作出y =2 x 与y =x 的图象，如图：由图象可知在2,4 中恒有x >2 x ，又2<π<4，所以π>2 π，又y =x e 在0,+∞ 上单调递增，且π>2 π所以πe >2 π e =2 eπ，即b >c ；综上可知：c <b <a ，故选：A限时检测(建议用时：60分钟)1.(2022·全国·高三专题练习)log 23，log 812，lg15的大小关系为()A.log 23<log 812<lg15B.log 812<lg15<log 23C.log 23>log 812>lg15D.log 812<log 23<lg15【答案】C【解析】由题知,log 23=log 22⋅32 =1+log 232=1+1log 322，log 812=log 88⋅32 =1+log 832=1+1log 328，lg15=lg 10⋅32 =1+lg 32=1+1log 3210，∵0<log 322<log 328<log 3210，∴log 23>log 812>lg15，故选：C ．2.(2022·四川资阳·统考二模)设a =1.02，b =e 0.025，c =0.9+20.06sin ，则a ，b ，c 的大小关系是()A.c <b <aB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b【答案】D【解析】令f x =e x -x ，则f x =e x -1，当x >0，f x >0，，此时f x 单调递增，当x <0，f x <0，此时f x 单调递减，所以f x >f 0 =e 0-0=1，所以f 0.02 =e 0.02-0.02>1，即e 0.02>1.02，所以b =e 0.025>e 0.02>1.02=a ；又设 g x =x -x sin ,g x =x -1cos ≤0，恒成立，∴当x >0， g x 单调递减， g x =x -x sin <g 0 =0当x >0时，有x <x sin ，则0.06sin <0.06，所以c =0.9+20.06sin <0.9+2×0.06=1.02=a ，综上可得c <a <b ．故选：D ．3.(2022·全国·高三专题练习)已知a =log 32,b =52log ,c =3a ，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a <b <cB.b <a <cC.c <a <bD.c <b <a【答案】B 【解析】因为12=log 33<a =log 32<1，b =52log <55log =12，所以b <a ，又c =3a =3log 32=2，所以b <a <c .故选：B .4.(2022·全国·高三专题练习)设a =log 23，b =0.50.2log ，c =0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为()A.b >c >aB.b >a >cC.a >c >bD.a >b >c【答案】B【解析】因1=log 22<log 23<log 24=2，则1<a <2，而b =0.50.2log =1215log =25log >log 24=2，又0<0.50.2<0.50=1，即有0<c <1，因此b >2>a >1>c >0，B 正确.故选：B 5.(2022·全国·高三专题练习)已知a =0.50.6，b =0.60.5，c =log 65，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a <b <cB.a <c <bC.b <a <cD.b <c <a【答案】A【解析】因为y =0.5x 在R 上为单调递减函数，所以0.50.6<0.50.5，又因为y =x 12在0,+∞ 上为单调递增函数，所以0.512<0.612，即0.50.5<0.60.5，所以0.50.5<0.60.5，即a <b ，又因为0.60.5=3512=35<1625=45，又因为5=555=53125，645=564=51296<53125=5，即有645<5所以6645log <65log ，即45<65log ，所以0.60.5<65log ，即b <c ，综上所述：a <b <c .故选：A .6.(2022·全国·高三)已知定义在R 上的函数f x =x ⋅2x ,a =f 53log ,b =f 72ln,c =-f 512log，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a >b >cB.b >c >aC.b >a >cD.c >b >a【答案】B【解析】因为定义在R 上的函数f x =x ⋅2x ，对于∀x ∈R ，都有f -x =-x ⋅2-x =-x ⋅2x =-f x ，所以函数f x =x ⋅2x 为R 上的奇函数，当x ∈0,+∞ 时，函数f x =x ⋅2x ，则f x =2x +2x 2⋅x ln >0x >0 ，所以函数f x =x ⋅2x 在0,+∞ 上单调递增，因为,a =f 53log ，c =-f 512log =-f 52-1log =-f -52log =f 52log ，由对数函数5x log x >0 的性质可知：52log >53log >0，所以f 52log >f 53log ，也即c >a ，又因为72ln>e ln =1>52log ，所以f 72ln >f 52log ，则有b >c ，所以b >c >a ，故选：B .7.(2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习)已知a =1012，b =1111，c =1210，则a ，b ，c 的大小关系为()A.b >c >a B.b >a >cC.a >c >bD.a >b >c【答案】D【解析】构造f x =22-x x ln ，x ≥10，f x =-x ln +22x-1，f x =-x ln +22x-1在10,+∞ 时为减函数，且f 10 =-10ln +115-1=65-10ln <65-e 2ln =65-2<0，所以f x =-x ln +22x -1<0在10,+∞ 恒成立，故f x =22-x x ln 在10,+∞ 上单调递减，所以f 10 >f 11 >f 12 ，即1210>1111>1012ln ln ln ，所以1012>1111>1210，即a >b >c .故选：D .8.(2022秋·山东·高三校联考阶段练习)若a =e 0.1,b = 1.2,c =-0.9ln ，则a ，b ，c 的大小关系为()．A.a >b >c B.a >c >bC.b >a >cD.c >b >a【答案】A【解析】令f x =e x -x -1x >0 ，则f x =e x -1>0，∴f x 在0,+∞ 上单调递增，∴f x >f 0 =0,a =e 0.1>0.1+1=1.1> 1.2=b ，令g x =x ln -x +1x >0 ，则g x =1x -1=1-xx，由g x >0得0<x <1，g x 递增；由g x <0得x >1，g x 递减，∴g x max =g 1 =0，∴x ln ≤x -1．∴c =-0.9ln =10.9ln<10.9-1=19<1<b ，故选：A ．9.(2022·四川南充·统考一模)设定义R 在上的函数y =f x ，满足任意x ∈R ，都有f x +4 =f x ，且x ∈0,4 时，xf x >f x ，则f 2021 ，f 2022 2，f 20233的大小关系是()A.f 2021 <f 2022 2<f 20233B.f 2022 2<f 2021 <f 20233C.f 2023 3<f 20222<f 2021 D.f 2023 3<f 2021 <f 20222【答案】A【解析】依题意，任意x ∈R ，都有f x +4 =f x ，所以f x 是周期为4的周期函数.所以f 2021 =f 1 ,f 2022 2=f 2 2,f 2023 3=f 33.构造函数F x =f x x 0<x ≤4 ,Fx =xf x -f x x 2>0，所以F x 在区间0,4 上单调递增，所以F 1 <F 2 <F 3 ，即f 1 1<f 2 2<f 3 3，也即f 2021 <f 2022 2<f 20233.故选：A10.(2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习)若a =2 1.01ln ln ,b =3πln2ln ,c =232ln ，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a <c <bB.a <b <cC.c <b <aD.b <c <a【答案】B【解析】依题意：a =2 1.01ln ln ,b =23πlnln =2π3lnln ,c =22ln 13，由f x =2x ln 单调递增，故只需比较 1.01ln ,π3ln,213的大小即可；又1.01<π3<e ∴ 1.01ln <π3ln <1<213,∴2 1.01ln ln <2π3ln ln <22ln 13∴a <b <c 故选:B11.(2022秋·江苏徐州·高三学业考试)设a =0.23,b =30.2,c =22log ，则a ，b ，c 的大小关系是()A.a <b <cB.a <c <bC.c <a <bD.b <a <c【答案】A【解析】因为a =0.23<0.20=1，又因为32log 0.2=532log >1，则32log >0.2，2=332log >b =30.2>30=1，得b =30.2∈1,2 ，而c =22log =2，所以，a <b <c ．故选：A ．12.(2022秋·江苏常州·高三统考阶段练习)已知x =0.52log ,y =0.90.5log ,z =0.50.9，则x ,y ,z 的大小关系是()A.z >y >xB.x >z >yC.y >x >zD.y >z >x【答案】D【解析】设f x =0.5x log ，则根据对数函数单调性知f x 为减函数，则f 2 <f 1 ，即0.52log <0.51log =0；设g x =0.9x log ，g x 单调递减，则g 0.5 >g 0.9 ，即0.90.5log >0.90.9log =1；设h x =0.5x ，则根据指数函数单调性可知，h x 单调递减，则h 0.9 <h 0 ，即0<0.50.9<0.50=1.综上可知y >z >x ，故选：D13.(2022秋·广东·高三校联考阶段练习)已知实数a =23log ，b =π4cos ，c =32log ，则这三个数的大小关系正确的是()A.a >b >cB.b >a >cC.b >c >aD.a >c >b【答案】A【解析】因为23log >22log =1=33log >32log ，所以a >1>c ，又因为1>b =π4cos=22=12=48>49=23，而c =32log =92log <82log =23，所以1>b >c ，所以a >b >c ，故选：A .14.(2022秋·天津东丽·高三校考阶段练习)设a =38log ,b =21.1,c =0.81.1，则a ，b ，c 的大小关系是()A.b <a <cB.c <b <aC.c <a <bD.a <c <b【答案】C【解析】因为1=33log <38log <39log =2，所以1<a <2，又b =21.1>21=2，c =0.81.1<0.80=1，所以c <a <b .故选：C .15.(2022·陕西渭南·统考一模)已知a =22，b =πln ，c =1360sin ，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a <b <cB.a <c <bC.c <a <bD.c <b <a【答案】C【解析】∵b =πln >e ln =1,∴b >1，∵1360sin <1350sin =22，∴c <22，∵c <22=a <1，因此c <a <b .故选：C .16.(2022秋·江西·高三校联考阶段练习)已知a =312,b =23log ,c =23，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a >c >bB.c >b >aC.b >a >cD.a >b >c【答案】D【解析】a =312=3>1,b =23log <1,c =23<1∴a 最大，BC 错；c =23=log 2223=log 234=16log 216，b =log 23=16log 227，∴b >c 故选：D 17.(2022·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习)已知a =1.11.2，b =1.21.1，c = 1.21.1log ，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a >b >cB.b >a >cC.b >c >aD.c >b >a【答案】B【解析】显然a =1.11.2>1.10=1，b =1.21.1>1.20=1，c = 1.21.1log < 1.21.2log =1，a b=10a 10b 10=101.1121.21.1=101.1111.211×1.1=101112 11×1.1=101112 9×121144×1.1，显然0<1112<1，有0<1112 9<1，0<121144×1.1=133.1144<1，于是得ab<1，即1<a <b ，所以b >a >c .故选：B18.(2022秋·四川成都·高三校考期中)已知函数f x =e -x -e x 2，且a =-f 1π1πln ，b =f 1e ，c =f πe x，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a <b <cB.b <c <aC.a <c <bD.b <a <c【答案】D【解析】f x =e -x -e x 2的定义域为R ，满足f -x =-f x ，函数是奇函数，并且函数单调递减，a =-f 1π1πln =-f -πln π =f πln π ,b =f 1e =f e ln e ，c =f πe x =f e x ln e x，设函数g x =x ln x ，令g x =1-xln x 2=0，x =e ，当x ∈0,e 时，g x >0，g x 单调递增，当x ∈e ,+∞ ，g x <0，g x 单调递减，所以当x =e 时，函数取得最大值1e，因为e x>π>e ，所以e x ln ex <πln π<e ln e ，因为函数f x 单调递减，所以f e x ln e x>f πln π >f eln e，即b <a <c .故选：D19.(2022·四川宜宾·统考模拟预测)已知a =2.525，b =7557，c =313，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a <b <cB.b <a <cC.c <b <aD.b <c <a【答案】D【解析】由题意可知a =2.525=2.5615=152.56=15244.140625，c =313=1535=15243，故c <a ；又b =7557=1.41521=211.415=212.7445，c =313=2137，因为2.7445<37，故b <c ，综合可得b <c <a ，故选：D .20.(2022秋·天津河东·高三天津市第七中学校考期中)若a =26ln 4，b =2ln 3ln ，c =22π ln 4，则a ，b ，c 的大小关系是()A.a >b >cB.c >b >aC.c >a >bD.b >a >c【答案】C【解析】a -b =26ln 4-2ln 3ln =2ln +3ln 2-42ln 3ln 4=2ln -3ln24>0，∴a >b ，而2π ln >6ln >0，∴22π ln 4>26ln 4，即c >a ，因此c >a >b .故选：C .。
指对幂函数及函数与方程(5知识点+4重难点+7技巧+4易错)(原卷版)2025高考数学一轮知识清单
专题04指对幂函数及函数与方程（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）知识点1指数幂与对数1、根式与分数指数幂（1）根式的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >，且*n ∈N 。
n 叫做根指数，a 叫做被开方数．（2）根式的性质（1n >，且n *∈N ）：n a =；,,,.na n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数（3）分数指数幂的表示正分数指数幂：规定：mn a =()0,,,1a m n n *>∈>N 负分数指数幂：规定：1m nmnaa-==()0,,,1a m n n *>∈>N 性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义2、指数幂的运算性质（1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂a α（0a >，α为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．（2）指数幂的运算性质①(0,,)+=>∈r s r s a a a a r s R ．②()=sra rs a (0,,)a r s >∈R ．③()=r ab r r a b (0,0,)a b r >>∈R ．3、对数与对数运算（1）对数的概念：如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底数N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，log a N 叫做对数式。
（2）对数的性质对数式与指数式的互化：a x ＝N ⇔x ＝log a N (a >0，且a ≠1)；①log a 1＝0，②log a a ＝1，③a log a N ＝N ，④log a a N ＝N (a >0，且a ≠1).指数式与对数式的关系（3）对数的的运算法则与换底公式：如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0运算法则：①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ②log a MN＝log a M －log a N③log a M n ＝n log a M (n ∈R )换底公式：①log a b ＝log c blog c a(a >0，且a ≠1，c >0，且c ≠1，b >0)，选用换底公式时，一般选用e 或10作为底数。
微专题17 指对运算及指对幂比较大小(解析版)
微专题17指对运算及指对幂比较大小【方法技巧与总结】知识点一、指对幂比较大小（1）单调性法（2）中间量法（3）分类讨论法（4）比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若0A B A B ->⇔>；0A B A B -<⇔<；0A B A B -=⇔=；②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1A B >，或1AB<即可．【题型归纳目录】题型一：指对数互化题型二：换底公式的应用题型三：利用指对幂函数的单调性比较题型四：利用中间值比较题型五：利用换底公式转化后比较题型六：利用两图像交点转化后比较题型七：含变量指对幂大小比较【典型例题】题型一：指对数互化例1．（河北省沧州市部分学校2022届高三上学期10月联考数学试题）设92a =，83b =，则log ()a ab =（）A ．281log 39+B ．381log 29+C ．281log 39-D ．381log 29-【答案】A【解析】98228log ()log log 1log 1og 33l 9a a a ab a b =+=+=+．故选：A例2．（2022·江苏省灌南高级中学高一阶段练习）已知()328,0log ,0x x f x x ax x ⎧+≤=⎨+>⎩，若()()08f f a =，则实数a 等于（）A ．2B ．2-C ．3D ．3-【答案】B【解析】因为()328,0log ,0x x f x x ax x ⎧+≤=⎨+>⎩，则()09f =，所以，()()()09298f f f a a ==+=，解得2a =-.故选：B.例3．（2022·上海市杨浦高级中学高一期中）化简29log 3x 的结果为（）A ．x B ．1xC ．xD ．1||x 【答案】C 【解析】223329loglog log 333x x xx ===，故选：C变式1．（2022·全国·高一单元测试）若2log 31x =，则33x x -+=（）A ．52B ．36C ．103D ．32【答案】A 【解析】由题得321log 2log 3x ==，所以331log log 22153333222xx-+=+=+=．故选：A ．变式2．（2022·全国·100y =，则lg lg x y ⋅的最大值是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D100y =等号两边同时取对数，得)lglg1002y ==，即1lg lg 24x y +=，令()lg R t y t =∈，则lg 84x t =-，所以()()22lg lg 84484144x y t t t t t ⋅=-=-+=--+≤，即lg lg x y ⋅的最大值是4（此时1t =，对应410,10y x ==）.故选：D变式3．（2022·全国·高一单元测试）已知53a =，32b =，则5log 10ab -=（）A ．1B ．2C ．5D ．4【答案】A【解析】∵53a =，32b =，∴5log 3a =，3log 2b =，5553log 10log 10log 3log 2ab -=-⨯=5555555log 2log 10log 3log 10log 2log 51log 3-⨯=-==．故选：A变式4．（2022·上海市建平中学高一期中）若正数a 满足lg24a =，则=a ___________．【答案】100【解析】因为正数a 满足lg24a =，所以lg 2lg lg 4a =，即lg 2lg 2lg 2a ⨯=，所以lg 2a =，解得210100a ==.故答案为：100.变式5．（2022·全国·高一课时练习）()()532log log log 0x =，则12x -=___________.【解析】因()()532log log log 0x =，则()32log log 1x =，即2log 3x =，解得328x ==，所以11228x--=.故答案为：4题型二：换底公式的应用例4．（2022·全国·高一单元测试）化简4839(2log 3log 3)(log 2log 2)=++____________【答案】2【解析】原式2233111(2log 3log 3)(log 2log 2)232=⨯++2343log 3log 2232=⨯=.故答案为：2.例5．（2022·上海·高一单元测试）已知182,1.52x y ==，则12x y-=______;【答案】3【解析】由题设，1832log 2,log 2x y ==，则2221832121234log 182log log (18)3log 2log 229x y -=-=-=⨯=.故答案为：3例6．（2022·上海·高一单元测试）已知1a b >>，若5log log ,2b aa b b a a b +==，则2+a b =___________.【答案】8【解析】由5log log 2a b b a +=，且log log 1a b b a ⋅=所以log ,log a b b a 是方程25102x x -+=的两根，解得log 2b a =或1log 2b a =，又1a b >>，所以log 2b a =，即2a b =，又b a a b =从而22b a b b a b =⇒=，且2a b =，则2b =，4a =．所以28a b +=.故答案为：8.变式6．（2022·江苏·南通一中高一阶段练习）已知23a b m ==且112a b+=，则m 等于（）AB ．6C ．12D ．36【答案】A【解析】由23a b m ==得2log a m =，3log b m =，11log 2log 3log 62m m m a b+=+==，26m =，m =，故选：A ．变式7．（2022·全国·高一课时练习）若23691log 3log log 62m ⨯⨯=，则实数m 的值为（）A ．4B ．6C ．9D ．12【答案】A【解析】∵2369lg 3lg lg 6log 3log log 6lg 2lg 36lg 9m m ⨯⨯=⨯⨯2lg 3lg lg 6lg 11log lg 22lg 62lg 34lg 242m m m =⨯⨯===,∴2log 2m =，∴4m =．故选：A ．变式8．（2022·全国·高一课时练习）已知lg 2a =，lg 3b =，则36log 5=（）A ．221a b a +-B ．12a a b -+C ．22a a b-+D ．122a a b-+【答案】D【解析】因为lg 2a =，lg 3b =，所以()36lg51lg 21log 5lg362lg 2lg322aa b--===++．故选：D.变式9．（2022·湖南·长沙麓山国际实验学校高一开学考试）已知0b >，5log b a =，lg b c =，510d =，则下列等式一定成立的是（）A ．d ac =B ．a cd=C ．c ab=D ．d a c=+【答案】B【解析】5log ,lg b a b c ==，两式相除得55log ,log 10lg b a ab c c==，又5510,log 10d d =∴=，所以ad cd a c=⇒=.故选：B.变式10．（2022·全国·高一单元测试）已知2log 3a =，则下列能化简为12aa+的是（）A ．8log 3B ．18l og 3C ．18l og 6D ．12log 3【答案】B【解析】对于A ，382211log 3log 3log 333a ===，A 错误；对于B ，222182222log 3log 3log 3log 3log 18log 22log 312log 312aa====+++，B 正确；对于C ，2222182222log 6log 2log 31log 31log 6log 18log 22log 312log 312aa +++====+++，C 错误；对于D ，222122222log 3log 3log 3log 3log 122log 2log 32log 32aa====+++，D 错误.故选：B.变式11．（2022·贵州·遵义航天高级中学高一阶段练习）已知35a b =且211a b+=，则a 的值为（）A ．3log 15B ．5log 15C ．3log 45D ．5log 45【答案】C【解析】令350a b k ==>，则35log ,log a k b k ==，351111log 3,log 5log log k k a k b k ====，又211a b+=，∴2log 3log 5log 451k k k +==，即45k =，∴3log 45a =.故选：C.变式12．（2022·江苏·高一）已知2243xy==，则3y xxy-的值为（）A ．1B ．0C ．1-D ．2【答案】C【解析】因为2243x y ==，所以224log 3,log 3x y ==，由换底公式和对数的运算性质可得33333322433131813log 2log 24log 8log 24log log 1log 3log 3243y x xy x y -=-=-=-=-===-.故选：C题型三：利用指对幂函数的单调性比较例7．（2022·湖南省衡南县衡云中学高一开学考试）已知0.130.12,0.3,0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a c b<<【答案】C【解析】∵0.3x y =是减函数，30.10>>，所以30.10.30.31<<，又0.121>，∴b c a <<．故选：C ．例8．（2022·山东·青岛二中高一期中）下列大小关系不正确的是（）A ．()()42532.5 2.5->-B ．()132220.45--⎛⎫< ⎪⎝⎭C ．11221332--⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ． 1.60.22.52->【答案】C【解析】A 选项：()()44552.5 2.5-=，()()22332.5 2.5-=，因为2.51>，4253>又因为指数函数 2.5x y =在R 上单调递增，所以()()42532.5 2.5>，即()()42532.5 2.5->-，故A 正确；B 选项：()332220.45--⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为2015<<，1322->-；又因为指数函数25xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以()132220.45--⎛⎫< ⎪⎝⎭，故B 正确；C 选项：因为12113-⎛⎫> ⎪⎝⎭，12312-⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以11221332--⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；D 选项：因为 1.62.51>，0.221-<，所 1.60.22.52->，故D 正确；故选:C.例9．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）下列各组不等式正确的是（）A ．0.7 3.12.30.8>B ． 2.5 2.90.70.7-->C ．0.30.61.9 1.9>D ．0.90.32.7 2.7<【答案】A【解析】对于A,由于0.702.3 2.31>=， 3.10.8100.8<=，故0.7 3.12.30.8>,故正确，对于B,由于0.7x y =为单调递减函数，所以 2.5 2.90.70.7--<，故错误，对于C ，由于 1.9x y =为单调递增函数，所以0.30.61.9 1.9<，故错误，对于D ，由于 2.7x y =为单调递增函数，所以0.90.32.7 2.7>，故错误,故选：A变式13．（2022·全国·高一课时练习）已知432a =，254b =，1325c =，236d =，则（）A ．b a d c <<<B ．b c a d <<<C ．c d b a <<<D ．b a c d<<<【答案】D【解析】由题得4133216a ==，2155416b ==，1325c =，2133636d ==，因为函数13y x =在R 上单调递增，所以a c d <<．又因为指数函数16x y =在R 上单调递增，所以b a <．故选:D ．题型四：利用中间值比较例10．（2022·浙江·杭十四中高一期末）设实数3log 5a =，151log 3b =，124c -=，则（）A ．b c a >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b a c>>【答案】C【解析】因为3331log log 5lo 392g =<<=，即12a <<，又155511log log log 3log 5123==<=，即112b <<，12142c -==，所以a b c >>；故选：C例11．（2022·全国·高一专题练习）已知0.30.80.81.6, 1.6,0.7a b c ===，则（）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．b c a >>D ．a b c>>【答案】A【解析】 1.6x y =是增函数，故0.30.81.6 1.6a b =<=，而0.30.81.610.7c >>=，故c a b <<.故选：A.例12．（2022·新疆喀什·高一期末）已知12312113,log log 23-===a b c ，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】C【解析】因为1200313-<<=，所以01a <<，因为331log log 102<=，所以0b <，因为112211log log 132>=，即1c >，所以c a b >>.故选：C变式14．（2022·全国·益阳平高学校高一期末）已知0.21.5a =，0.20.8log 1.20.8b c ==，，则（）A ．a c b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．c a b>>【答案】A【解析】因为0.20.20.81.51,log 1.20,0.8(0,1),a b c =>=<=∈，所以a c b>>故选：A变式15．（2022·陕西安康·高一期中）设253a =，325b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，32log 5c =，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a>>【答案】A【解析】结合指数函数性质和对数函数性质可知205331a =>=，30220155b ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，332log log 105c =<=，∴a b c >>，故选：A.变式16．（2022·河南焦作·高一期中）设163a =，162b -=，1ln 2c =，则（）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b<<【答案】A【解析】由题得106331a =>=，106221b -=<=，且0b >，1ln ln102c =<=，所以c b a <<．故选：A变式17．（2022·广东·深圳科学高中高一期中）已知0.13.2a =，2log 0.3b =，3log 2c =，则（）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．a c b>>【答案】D【解析】因为0.13.2a =，所以1a >；因为2log 0.3b =，所以0b <；因为3log 2c =，所以01c <<；所以a c b >>故选：D.变式18．（2022·云南玉溪·高一期末）已知e 0.4a =，3log 4b =，43log 4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b <<B ．c a b<<C ．c b a<<D ．b c a<<【答案】B 【解析】由e 033443log log 100.40.4log 3log 414c a b =<=<==<==<，所以c a b <<.故选：B变式19．（2022·湖北·测试·编辑教研五高一阶段练习）已知1312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1253b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，235log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c b a<<C ．c a b<<D ．b a c<<【答案】C【解析】1311122a ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，10255133b ⎛⎫⎛⎫=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22335log log 102c =<=，10b a c ∴>>>>.故选：C.题型五：利用换底公式转化后比较例13．（2022·江苏省响水中学高一阶段练习）已知正数,,x y z ，满足346x y z ==，则下列说法不正确的是（）A ．1112x y z+=B ．346x y z>>C．3(2x y z+>D ．22xy z >【答案】B【解析】设3461x y z m ===>，则346log ,log ,log x m y m z m ===∴111log 3,log 4,log 6m m m x y z===对A ：1111log 3log 4log 3log 2log 622m m m m m x y z+=+=+==，A 正确；对B ：由题意可得：1131log 333m x x ==，同理可得：114,6log 4log 646m m y z ==∵log 3log 44log 33log 4log 81log 640341212m m m m m m ---==>log 4log 63log 42log 6log 64log 360461212m m m m m m ---==>∴log 3log 4log 60346m m m >>>，则346x y z <<，B 错误；对C：∵3466log log lg 6lg 6lg 2lg 3log log lg 3lg 4lg 3l 313222g 2x y x y z z m z m m m +>+=+=+=++⨯>∴3(2x y z +>，C 正确；对D ：()324266lg 2lg 3log log lg 6lg 6lg 3lg 2lo 1222lg 2lg 3g log lg 3lg lg 3242lg m m xy z m m +⎛⎫⨯=⨯==+=+> ⎪⨯⎝⎭∴22xy z >，D 正确；故选：B.例14．（2022·湖北黄石·高一期中）若实数a ，b 满足23log 3log 2a =+，345a a b +=，则（）．A ．2a b <<B ．2b a >>C ．2a b >>D ．2b a <<【答案】C【解析】因为2log 30>，所以23221log 3log 2log 32log 3a =+=+>,即2a >，故345a a b +=，即222534345b a a =+>+=，故2b >，令()345,(2)x x x g x x =+->，则222222()334455,(2)x x x g x x ---=⋅+⋅-⋅>，故22222222222()334455(34)455x x x x x g x -----=⋅+⋅-⋅<+⋅-⋅2225(45)0x x --=-<，即有()3450,(2)x x x g x x =+-<>，所以3504a a a -<+，即345a a a +<，即55b a <，故b a <，故2a b >>，故选：C.例15．（2022·天津·南开中学高一期中）已知32a =，ln 2b =，0.32c =，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．c a b>>【答案】B【解析】由32a =可得，3ln 2log 2ln 3a ==，因为ln 31ln 20>>>，所以ln 2ln 21ln 3<<，又因为0.30221c =>=，所以c b a >>.故选：B.变式20．（2022·全国·高一课前预习）已知43a =，3log 4b =，4log 5c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b>>【答案】A【解析】4133334log 3log 813a ===，3133log 4log 64b ==，因为>8164，所以11338164>，所以113333log 81log 64>，即a b >，由3log 4b =，4log 5c =，443444413log 51log 5l log og 53log 4log 3log b c -=--⋅=-=，因为4444log 30,log 50,log 3log 5>>≠，则()()222444441113log 53log log log l 515214og 44⋅<+=<⨯=，所以4413l o 0l g og 5-⋅>，即0b c ->，所以b c >，所以a b c >>.故选：A.变式21．（2022·云南省下关第一中学高一期中）已知5log 2a =，7log 2b =，112c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c<<C ．c b a<<D ．c a b<<【答案】A【解析】5ln 2log 2ln 5a ==，7ln 2log 2ln 7b ==，0ln 2ln 5ln 7<<<，01b a ∴<<<，11212c -⎛⎫==> ⎪⎝⎭，则b a c <<故选：A题型六：利用两图像交点转化后比较例16．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()ln f x x =，()lg g x x =，3()log h x x =，直线(0)y a a =<与这三个函数的交点的横坐标分别是123,,x x x ，则123,,x x x 的大小关系是（）.A ．231x x x <<B ．132x x x <<C ．123x x x <<D ．321x x x <<【答案】A【解析】由1ln x a =得11aax e e -⎛⎫== ⎪⎝⎭，由2lg x a =得211010aa x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，由33log x a =得3133aax -⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为函数(0)y x αα=>在(0,)x ∈+∞上单调递增，所以111310aaae ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即231x x x <<故选：A.例17．（2022·安徽宣城·高一期末）设a ，b ，c 均为正数，且122log aa =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a c b <<B ．c a b<<C ．a b c<<D ．b a c<<【答案】C【解析】在同一坐标系中分别画出2,xy =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =，12log y x =的图象，2x y =与12log y x =的交点的横坐标为a ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12log y x =的图象的交点的横坐标为b ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图象的交点的横坐标为c ，从图象可以看出a b c <<．故选：C例18．（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期末）已知方程220x x +=、2log 20x x +=、320x x +=的根分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序为（）．A ．a b c >>B ．b c a>>C ．c a b>>D ．b a c>>【答案】B【解析】由3()0h x x x =+=得0x =，0c ∴=，由方程220x x +=得22x x =-的根为a ，由方程2log 20x x +=得2log 2x x =-的根为b .在同一平面直角坐标系中画出2x y =、2log y x =、2y x =-的图象，由图象知，0a <，0b >，a c b ∴<<.故选：B变式22．（2022·天津·静海一中高一阶段练习）已知函数32()22,()log 2,()2x f x x g x x x h x x x =++=++=++的零点分别是,,a b c ，则,,a b c 的大小顺序为（）A ．b c a >>B ．c a b>>C ．b a c>>D ．a b c>>【答案】A【解析】函数()22x f x x =++的零点a 为2x y =与2y x =--的图像的交点的横坐标；函数2()log 2g x x x =++的零点b 为2log y x =与2y x =--的图像的交点的横坐标；函数3()2f x x x =++的零点c 为3y x =与2y x =--的图像的交点的横坐标；在同一个直角坐标系中作出2x y =，2log y x =，3y x =，2y x =--的图像，如图示：根据图像可知:2a <-,01b <<,1c =-.b c a ∴>>故选:A变式23．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）已知3113311log , 3log , log 33m kn m n k ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,m n k 的大小关系是（）A ．m n k >>B ．m n k<<C ．n m k<<D ．n k m<<【答案】D【解析】画出13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3log y x =，3x y =，13log y x =的图像，如图所示：根据图像知：n k m <<.故选：D.变式24．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）已知()12log f x x =，()2log g x x =，()lg h x x =，若()()()f a g b h c ==，则,,a b c 的大小关系可能是（）A ．a b c <<B ．a b c==C ．a b c>>D ．b a c>>【答案】ABC【解析】分别作出三个函数的图象，如图：当()()()0f a g b h c ===时，有1a b c ===，故B 有可能；当()()()0f a g b h c ==>时，如图中x 轴上方的虚线所表示，此时有01a b c <<<<，故A 有可能；当()()()0f a g b h c ==<时，如图中x 轴下方的虚线所表示，此时有01c b a <<<<，故C 有可能；除此三种情况，()()()f a g b h c ==时，没有其它情况，故D 不可能，故选：ABC题型七：含变量指对幂大小比较例19．（2022·全国·高一课时练习）已知0<a <b <1，设m =b ln a ，n =a ln b ，ln ln()ln ap b=，则m ，n ，p 的大小关系为（）A ．m <n <p B ．n <m <pC ．p <m <nD ．p <n <m【答案】A【解析】因0<a <b <1，则1b a>，且ln a ＜ln b ＜0，即有ln 1ln a b >，因此，ln ln()0ln ab >，即p >0，又m <0，n <0，则ln ln 1ln ln m b a b an a b a b==⋅>，于是得m <n <0，所以m <n <p .故选：A例20．（2022·全国·高一课时练习）已知三个实数a ，a b a =，aa c a =，其中01a <<，则这三个数的大小关系是（）A ．a c b <<B ．a b c<<C ．b a c<<D ．c a b<<【答案】A【解析】∵01a <<，∴由指数函数的性质，有101a a a a <<=，∴1a a a >>．再由指数函数的性质得aa a a a a <<，即a cb <<．故选：A例21．（2022·河南开封·高一期中）若01a b <<<，a x b =，b y b =，b z a =，则x ，y ，z 的大小关系为（）A ．y z x <<B ．y x z<<C ．x z y<<D ．z y x<<【答案】D【解析】由01a b <<<指数函数()x f x b =是R 上的减函数，0()()(0)1f b f a f ∴<<<=，即01b a b b <<<，幂函数()b g x x =，在()0,∞+上是增函数，0(0)()()(1)1g g a g b g ∴=<<<=，即01b b a b <<<，01b b a a b b ∴<<<<，故z y x <<．故选：D ．变式25．（2022·江苏南京·高一期末）已知01x <<，若22log ,2,x a x b c x ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a<<【答案】B【解析】当01x <<时，22log 0,2,101x x x ><<<，故a c b <<，故选：B.变式26．（2022·全国·高一课时练习）设函数())f n n =-，()ln(g n n =-，则()f n 与()g n 的大小关系是（）A ．()()f n g n >B ．()()f ng n <C ．()()f ng n ≥D ．()()f ng n ≤【答案】Bn 和n ()()f n g n ≠.令1n =，())1)ln10f n n =-=-<=，()ln(ln10g n n =-==.所以()()f n g n <.故选：B变式27．（2022·全国·高一单元测试）设x ，y ，z 为正实数,且235log log log 0x y z ==>,则,,235x y z的大小关系不可能是（）A ．235x y z <<B ．235x y z ==C ．532z y x <<D ．325y x z <<【答案】D【解析】令235t=log log log 0x y z ==>，则2t x =，3t y =，5t z =，所以1112,3,5235t t t x y z---===，当t=1时，B 正确；当t>1时，A 正确；当0<t<1时，C 正确；故选D.变式28．（2022·全国·高一专题练习）已知235log log log 1x y z ==>，则2x，3y ，5z 的大小排序为（）A ．235x y z<<B ．325y x z <<C ．523z x y <<D ．532z y x<<【答案】D【解析】方法一：设235log log log 1x y z k ===>.则122k x -=，133ky -=，155k z-=，又10k -<，所以111235k k k --->>，可得532z y x<<.方法二：由235log log log 1x y z ==>.得2351log 1log 1log 0x y z -=-=-<，即235235log log log 0x y z==<，可得532z y x<<.故选：D变式29．（2022·江苏·高一专题练习）若()01x ∈，，则下列结论正确的是（）A ．122lg x x x >>B ．122lg x x x >>C ．122lg x x x>>D ．12lg 2x x x >>【答案】A 【解析】()01x ∈，，lg lg10x ∴<=，1201x <<，0221x >=，122lg xx x ∴>>，故选：A ．变式30．（2022·四川·成都铁路中学高一阶段练习）已知log 3>log 3>0b a ，则下列不等式一定成立的是（）A ．11a b>B ．1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．2log ()0a b ->D ．21a b -<【答案】B【解析】log 3>log 3>0b a ，由换底公式，有330<log <log b a ，解得1a b >>，∴11a b<，A 选项错误；函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，∴1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 选项正确；0a b ->，但>1a b -不一定成立，不能得到2log ()0a b ->，C 选项错误；02>2=1a b -，D 选项错误.故选：B变式31．（2022·四川凉山·高一期末（理））非零实数a ，b 满足a b >，则下列结论正确的是（）A ．11a b<B ．2b a a b+>C ．22ac bc >D ．e 1a b ->【答案】D【解析】对于A ，当2,1a b ==-，满足：非零实数a ，b 且a b >，而111>12a b=-=，故A 不正确；对于B ，当2,1a b ==-，满足：非零实数a ，b 且a b >，而152222b a a b +=--=-<，故B 不正确；对于C ，当0c =时，22ac bc =，故C 不正确；对于D ，因为非零实数a ，b 满足a b >，所以0a b ->，所以e 1a b ->，故D 正确，故选：D.【过关测试】一、单选题1．（2022·天津南开·高一期末）三个数220.81log 1.41a b ==，，0.312c =之间的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b c a<<【答案】A【解析】由题意220.810.80.640.5a =>=>，即112a <<，21log 1.41log 2b =<=，即102b <<，0.310221c =>=，综上：c a b >>故选：A2．（2022·天津·高一期末）设0.40.40.4log 0.5,0.3,0.5a b c --===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．b c a >>B ．c b a >>C ．b a c>>D ．c a b>>【答案】A【解析】因为0.4log y x =在()0,+∞上单调递减，所以0.40.40.4log 1log 0.5log 0.4<<，即01a <<，因为0.4y x =在()0,+∞上单调递增，又11100.3,0.523--==，即110.30.51-->>，所以()()0.40.4110.40.0.513-->>，即0.40.410.30.5-->>，故1b c >>，所以b c a >>.故选：A.3．（2022·陕西汉中·高一期末）已知0.60.622e log 0.6a b c -===，，，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b>>【答案】C【解析】由于0.60.602022e e >2log 0.6lo <0<g 1a b c -====<=1,0=1，，故a b c >>，故选：C4．（2022·全国·高一课时练习）正实数,,a b c 满足422,33,log 4ab a bc c -+=+=+=，则实数,,a b c 之间的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c<<C ．a c d<<D ．b c a<<【答案】A【解析】22a a -+=，即220a a -+-=，即22a a -=-，2x y -=与2y x =-的图象在()0,∞+只有一个交点，则220x x -+-=在()0,∞+只有一个根a ，令()22xf x x -=+-，()21222204f -=+-=>，()11112202f -=+-=-<，()()120f f <，则12a <<；33b b +=，即330b b +-=，即33b b =-，由3xy =与3y x =-的图象在()0,∞+只有一个交点，则330x x +-=在()0,∞+只有一个根b ，令()33xg x x =+-，()113310g =+-=>，12115330222g ⎛⎫=+--< ⎪⎝⎭，()1102g g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故112b <<；4log 4c c +=，即4log 4c c =-，即4log 40c c +-=，由4log y x =与4y x =-的图象在()0,∞+只有一个交点，则4log 40x x +-=在()0,∞+只有一个根c ，令()4log 4h x x x =+-，()444log 4410h =+-=>，()4433log 34log 310h =+-=-<，()()340h h <，则34c <<；b a c∴<<故选：A.5．（2022·云南·昭通市第一中学高一阶段练习）已知函数()113x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，设51(log )6a f =，1()2b f =，32(2)c f =，则a b c ，，的大小关系为（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c b a<<D ．c a b<<【答案】A【解析】可知()f x 在(,1)-∞上单调递增，(1,)+∞上单调递减，且图像关于1x =对称5511log log 165<=-，而32223<<故选：A6．（2022·全国·高一课时练习）已知三个函数112()21,()e 1,()log (1)1x x f x x g x h x x x --=+-=-=-+-的零点依次为,,a b c ，则,,a b c 的大小关系（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】D【解析】∵函数1()21x f x x -=+-为增函数，又11(0)210,(1)102f f -=-=-<=>，∴()0,1a ∈，由1()e 10x g x -=-=，得1x =，即1b =，∵2()log (1)1h x x x =-+-在()1,+∞单调递增，又223331(log (1)10,(2)log (21)21102222h h =-+-=-<=-+-=>，∴322c <<，∴c b a >>.故选：D.7．（2022·湖北省红安县第一中学高一阶段练习）已知x ，y ，z 都是大于1的正数，且x y z ==，令32,,a x b y c z ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．b a c>>【答案】D【解析】由==，令k ===；x，y ，z 均大于1；0k ∴>；∴2222,3,6kkkx y z ===；∴2232,3,6kkk a b c ===；∴,3,k k k a b c ===，3>>(0)ky x k =>是单调增函数，b ac ∴>>，8．（2022·新疆·乌市一中高一期末）设a ＝2019202220212022⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝2021202220192022⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝2019202220192022⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a>>【答案】B 【解析】因为20192022y x=在(0,)+∞上单调递增，20192022xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减所以201922020192022212022202202120192022202201920222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫>> ⎪⎝⎭，故a c b >>.故选：B9．（2022·河南开封·高一期末）已知实数31log 10a =，0.82b =，c =a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b<<【答案】A【解析】解析：由题31log 010<，0.8122<<，01<<，即有a c b <<.故选：A.10．（2022·全国·池州市第一中学高一开学考试）若202112022a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120212022b =，20221log 2021c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b c a<<C ．c b a<<D ．c a b<<【答案】D【解析】∵2021011120222022⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭0＜＜，所以()202110,12022⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，102021202220221>=，所以1202120221>；202220221log log 102021<=，∴c a b <<．故选：D ．11．（2022·江西·高一期末）已知0.116a =，0.350.5b -=，4log 3.9c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．c a b<<【答案】B【解析】因为0.10.40.350.3516220.5>1a b -==>==，4log 3.91c =<，所以c b a <<，故选:B.12．（2022·江西景德镇·高一期末）已知123a =，9log 2b =，2log c =a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a >b >cB ．c >b >aC ．b >a >cD ．a c b>>【答案】D【解析】由题意可得：102331a =>=，99log 291log b =<=，22log log 21c =<=故有：,a b a c >>921log 232log b ==，221log 32c =故14b c=，又01,01b c <<<<又221log log 2=112c <<则有：2114044c b c c c c--=-=<故有：b c <综上可得：b c a <<故选：D 二、填空题13．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学高一期中）若2322ln(ln1.01),ln ln ,ln 23a b c π⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为____________．【答案】c b a >>【解析】因为22ln ln 33ln 2ln ln l 3n b πππ⎛⎫=⎛ ⎪⎫== ⎪⎝⎭⎭⎝，132ln 22ln 23c ==，所以构造函数()2ln f x x =，由对数函数的性质知，()f x 在()0,∞+上单调递增，所以只需比较ln1.01，ln3π，132的大小，由于1.013 3.03π⨯=<，故1.013π>所以13ln3ln1.0112π<<<所以132ln ln 322ln(ln1.01)2ln 2ln 23a b cπ⎛⎫< =⎪⎭=⎝<==故答案为：a b c<<14．（2022·全国·高一课时练习）已知222,log ,log (log ),(log ),a a a a a x a M x N x P x <<===则M 、N 、P 的大小顺序是_____.【答案】M P N>>【解析】由2a x a <<，即2a a <，可得01a <<，所以201a x a <<<<，故1log 2a x <<，所以log (log )0a a N x =<，22(log )log log (log 2)0a a a a P M x x x x -=-=-<且1P >，综上，M P N >>.故答案为：M P N >>15．（2022·全国·高一）11222111323⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，的大小关系是________．【答案】11222111332⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】指数函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，由123>，知1221133⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；幂函数12y x =是增函数，11221111,()()2323>∴>.所以11222111332⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：11222111332⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭16．（2022·福建师大附中高一期末）正实数a ，b ，c 满足a +2-a =2，b +3b =3，c +4log c =4，则实数a ，b ，c 之间的大小关系为_________.【答案】b a c <<【解析】由220a a -=->⇒02a <<⇒1214a -<<⇒722(1,4a a -=-∈，由330b b =->⇒03b <<，又330b b =->⇒01b <<，当01c <<时，4log 40c c =-<，显然不成立；当1c =时，4log 0413c =≠-=，不成立；当1c >时，4log 40c c =->⇒14c <<⇒40log 1c <<⇒34c <<；综上，b a c <<.故答案为：b a c <<三、解答题17．（2022·湖南·高一课时练习）比较a ，b ，c 的大小：(1)已知12x <<，()22log a x =，22log b x =，()22log log c x =；(2)已知3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =．【解析】(1)∵12x <<，2220log 1log log 21x ∴=<<=，即()2log 0,1x ∈，()222log log log 10c x ∴=<=，()()21222log log log a x x x =<=，∴0＜2log a x <，∴2222log 2log log b x x x a ==>>，∴c ＜0＜a ＜b ，c a b ∴<<；(2)()333log 6log 321log 2a ==⨯=+，()555log 10log 521log 2b ==⨯=+，()777log 14log 721log 2c ==⨯=+，又0lg3lg5lg7<<<，lg2lg2lg2lg3lg5lg7∴>>，357log 2log 2log 2∴>>，3571log 21log 21log 2∴+>+>+，即a ＞b ＞c ﹒。
指对函数幂函数高考题
1. 指对幂函数（全国二4）若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ C ） A ．a <b <cB ．c <a <bC ． b <a <cD ． b <c <a9.（北京卷2）若0.52a =，πlog 3b =，22πlog sin 5c =，则（ A ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >> （2009全国卷Ⅱ文）设2lg ,(lg ),a e b e c ===（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）c a b >> （D ）c b a >> 答案：B解析：本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0,知a>b,又c=21lge, 作商比较知c>b,选B 。
（2009天津卷文）设3.02131)21(,3log ,2log ===c b a ，则A a<b<cB a<c<bC b<c<aD b<a<c 【答案】B【解析】由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到10,0<<<c a ，而13l og 2>=b ，因此选B 。
【考点定位】本试题考查了对数函数和指数函数的性质运用，考查了基本的运算能力。
（2009全国卷Ⅱ理）设323log ,log log a b c π===A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. b c a >>解：322log 2log log bc <<>2233l o l o g 2l o g 3l og a b a b c π<=<∴>∴>> .故选A. （ 2010年高考全国卷I 理科8）设a=3log 2,b=In2,c=125-,则A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a4.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析】 a=3log 2=21log 3, b=In2=21log e,而22log 3log 1e >>,所以a<b, c=125-=222log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b.（2010全国卷2理数）（10）若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8 【答案】A 【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力..【解析】332211',22y x k a --=-∴=-，切线方程是13221()2y a a x a ---=--，令0x =，1232y a -=，令0y =，3x a =，∴三角形的面积是121331822s a a -=⋅⋅=，解得64a =.故选A.（2010全国卷2理数）（2）.函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是（A ） 211(0)x y e x +=-> （B ）211(0)x y e x +=+> （C ）211(R)x y e x +=-∈ （D ）211(R)x y e x +=+∈ 【答案】D【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。
期末复习3+幂指对函数参考答案
2022-2023省常中高一数学期末复习3（幂指对函数）参考答案班级姓名一、单项选择题1.函数()2xx f x x=⋅的图象大致形状是()BABCD 2.已知a ＞1，b ＜－1，则函数y ＝log a (x －b )的图象不经过()DA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.函数122x y -+=+的图象可以由函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象()CA.先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到B.先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到C.先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到D.先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到4.牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为0T ，则经过一定时间t （单位：分钟）后的温度T 满足()012t ha a T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，其中a T 是环境温度，h 称为半衰期，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃．经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从降至75℃开始大约还需要等待()（参考数据：lg30.4771≈，lg 50.6990≈，lg11 1.0414≈）BA．3分钟B．5分钟C．7分钟D．9分钟5.设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则下列关系式正确的是(CA.ff (322-)232-B.f f (232-)322-C.f (322-)＞f (232-)＞f D.f (232-)＞f (322-)＞f 6.若存在正数x ，使2x (x －a )＜1成立，则a 的取值范围是()AA.(－1，＋∞)B.(－2，＋∞)C.(0，＋∞)D.(－∞，＋∞)7.已知函数()22log 042708433x x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，，，若a b c d ,,,互不相同，且满足，()()()()f a f b f c f d ===则abcd 的取值范围是()CA ．()3233，B ．()3234，C ．()3235，D ．()3236，二、多项选择题8.下列运算中正确的是()ABDA．353log 83log 2log 5=B．1383272-⎛⎫= ⎪⎝⎭3π=-D．2log 71ln(ln e)72-⎛⎫+= ⎪⎝⎭9.下列命题中正确的是()ACDA．幂函数21(22)m y m m x -=--的图像关于y 轴对称B．函数y =[0,+)∞C．若lg 2a =，lg 3b =，则2log 122b a=+D．若函数()log (2)a f x ax =-在(0,1)上是减函数，则实数a 的范围为(1,2]10.若1a b >>，01c <<，则下列判断正确的是()BCA．c ca b <B．c cab ba >C．log log b a a c b c<D．log log a b c c<11.已知函数f (x )＝log a |x －1|在区间(0，1)上是减函数，那么下列结论中正确的是()ADA.f (x )在(1，＋∞)上单调递增且无最大值B.f (x )在(1，＋∞)上单调递减且无最小值C.f (x )在定义域内是偶函数D.f (x )的图象关于直线x ＝1对称三、填空题12．已知点1,273⎛⎫ ⎪⎝⎭在幂函数()()2af x t x =-的图象上，则t a +=______.013．已知函数2()log x f x =，实数,a b 满足0a b <<，且()()f a f b =，若()f x 在2,a b ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2，则1b a+=________.414．若0x >，0y >，且()71428log log log x y x y ==+，则y x =15．已知()f x 是定义在R 上且周期为6的奇函数，当(0,3)x ∈时，2()lg(2)f x x x m =-+.若函数()f x 在区间[3,3]-上有且仅有5个零点（互不相同），则实数m 的取值范是．19188⎛⎤⎧⎫⋃⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭，16．已知函数()2log 421x xy a a =+⋅+-的值域为R .则实数a 的取值范围是__________.1a ≥或1)a ≤-+17．已知实数α，β满足3e e αα=，4(ln 1)e ββ-=，其中e 是自然对数的底数，则αβ=___________.4e 四、解答题18.已知1155(3)(12)a a ---<+，求实数a 的取值范围．1342a a -<<<-或19.已知定义域为R 的函数2()2xx b f x a-=+是奇函数．（1）求a ，b 的值；（2）用定义证明()f x 在R 上为减函数；（3）若对于任意t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求实数k 的取值范围．（1）1,1a b ==（2）证明略（3）13k <-20.已知函数()lg 2a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，其中a 是大于0的常数．（1）求函数()f x 的定义域；（2）当a ∈(1，4)时，求函数()f x 在区间[2，＋∞)上的最小值；（3）若对任意x ∈[2，＋∞)恒有()f x ＞0，求a 的取值范围．(1)由20a x x +->，得x 2－2x ＋a ＞0，当a ＞1时，x 2－2x ＋a ＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)；当a ＝1时，定义域为{x|x＞0且x≠1}；当0＜a ＜1时，定义域为{|011x x x <<->+．(2)设g(x)＝x＋a/x－2，当a∈(1，4)，x∈[2，＋∞)时，任取2≤x 1<x 2，则g(x 1)－g(x 2)＝x 1＋a x 1－x 2－a x 2＝(x 1－x 2)(1－a /x 1x 2).因为2≤x 1<x 2，a∈(1，4)，所以x 1－x 2<0，1－a x 1x 2>0，所以g(x 1)－g(x 2)<0，即g(x 1)<g(x 2)，所以g(x)＝x＋a/x－2在区间[2，＋∞)上是增函数，所以()lg 2a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在区间[2，＋∞)上是增函数，所以()lg 2a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在区间[2，＋∞)上的最小值为f(2)＝lga/2.(3)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)＞0，即x＋a/x－2＞1对任意x∈[2，＋∞)恒成立，所以a＞3x－x 2对任意x∈[2，＋∞)恒成立．令h(x)＝3x－x 2，而h(x)＝3x－x 2＝－(x－3/2)2＋9/4在区间[2，＋∞)上是减函数，所以h(x)max＝h(2)＝2，所以a＞2，即a 的取值范围为(2，＋∞)．21．已知函数()()22log 21xf x x =+-．（1）证明：()f x 是偶函数；（2）设函数()()22f x xx g x m +=+⋅，[]20,log 3x ∈，是否存在实数m ，使得()g x 的最小值为0？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．（1）证明：对任意的x ∈R ，210x +>，则函数()()22log 21xf x x =+-的定义域为R ，()()2221212log 212log 12log 22x xx x f x x x x-+⎛⎫-=++=++=+ ⎪⎝⎭()()()2222log 212log 22log 21x x x x x f x =+-+=+-=，因此，函数()()22log 21xf x x =+-为偶函数.（2）解：()()()()()222log 2122221212x f x xx x x xg m x m ++=+⋅+=⋅⋅=++-+，因为[]20,log 3x ∈，令[]212,4x t =+∈，设()2h t t mt m =+-，其中[]2,4t ∈.当22m-≤时，即当4m ≥-时，函数()h t 在[]2,4上单调递增，此时()()min 240h t h m ==+=，解得4m =-，合乎题意；当242m <-<时，即当84m -<<-时，()2min 024m m h t h m ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭，解得4m =-或0，均不合乎题意；当42m-≥时，即当8m ≤-时，函数()h t 在[]2,4上单调递减，此时()()min 41630h t h m ==+=，解得163m =-，不合乎题意.综上所述，4m =-.。
高三指对幂函数
指对数运算和函数图象与性质一、同步知识梳理（实际上课使用时可以采用思维导图的方式讲解梳理）指数函数1．根式(1)根式的概念如果一个数的n 次方等于a (n ＞1且n ∈N *)，那么这个数叫做a 的n 次方根．也就是，若x n ＝a ，则x 叫做__________，其中n ＞1且n ∈N *.式子na 叫做__________，这里n 叫做__________，a 叫做____________．(2)根式的性质①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号________表示．②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a 的正的n 次方根用符号________表示，负的n 次方根用符号________表示．正负两个n 次方根可以合写为________(a ＞0)．③(na )n ＝______.④当n 为奇数时，na n ＝______；当n 为偶数时，na n ＝|a |＝______________.⑤负数没有偶次方根．2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：a n ＝n a a a ∙∙∙个(n ∈N *)．②零指数幂：a 0＝______(a ≠0)．③负整数指数幂：a －p ＝________(a ≠0，p ∈N *)．④正分数指数幂：m na ＝______(a >0，m 、n ∈N *，且n >1)．⑤负分数指数幂：-m na＝__________＝________(a >0，m 、n ∈N *，且n >1)．⑥0的正分数指数幂等于______，0的负分数指数幂____________．(2)有理数指数幂的性质①a r a s ＝__________(a >0，r 、s ∈Q )；②(a r )s ＝________(a >0，r 、s ∈Q )；③(ab )r ＝__________(a >0，b >0，r ∈Q )．3．指数函数的图象与性质a>10<a<1y ＝xy ＝x2y ＝x3上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．2)－1＋(2－3)0＋2[(2)-1＋322(2)且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a、b的取值范围是＝0.故不可能成立的是③④.故选B将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①、②、③、④、⑤、的图象经过的“卦限”是.轴方向延伸；轴、y轴无限接近，但永不相交.的图象，由图象指出函数的单调区间，并说明它的图象可由函数y＝log2x的图象经过怎x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围.3.6，则f (a )>f (－a )，则实数__________．的图象如图所示，则a ＋b 的值是11-22(0.02)(0.32)]0.062 5⨯÷②②。
高中数学高一上指对幂函数
指对幂函数一．选择题（共29小题）1．已知a=log 3，b=（），c=log，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b2．已知a=log 2e，b=ln2，c=log，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b3．已知a=21.2，b=（）﹣0.8，c=ln2，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a4．若a=30.4，b=0.43，c=log0.43，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a5．设实数a=log23，b=（），c=log2，则有（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a6．若2a=5b=10，则+=（）A．B．1 C．D．27．函数y=3﹣x（﹣2≤x≤1）的值域是（）A．[3，9]B．[，9]C．[，3]D．[，]8．如果a＞1，b＜﹣1，那么函数f（x）=a x+b的图象在（）A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限D．第一、二、四象限9．函数y=2﹣|x|的大致图象是（）A．B．C．D．10．若a＞1，则函数y=a x与y=（1﹣a）x2的图象可能是下列四个选项中的（）A．B．C．D．11．已知函数g（x）=3x+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为（）A．t≤﹣1 B．t＜﹣1 C．t≤﹣3 D．t≥﹣312．若f（x）=（2a﹣1）x是增函数，那么a的取值范围为（）A．a＜B．＜a＜1 C．a＞1 D．a≥113．函数f（x）=（a﹣1）x在（﹣∞，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜2 C．1＜a＜2 D．a≠114．设，则f（3）的值是（）A．128 B．256 C．512 D．815．已知函数f（x）=log2（3+x）+log2（3﹣x），则f（1）=（）A．1 B．log26 C．3 D．log2916．函数y=ln（x2+2x﹣3）的单调递减区间是（）A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）17．已知函数y=x a（a∈R）的图象如图所示，则函数y=a﹣x与y=log a x在同一直角坐标系中的图象是（）A．B．C．D．18．在同一坐标系中，函数y=10x与y=lgx的图象之间的关系是（）A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．关于直线y=x对称19．已知点（a，）在幂函数f（x）=（a﹣1）x b的图象上，则函数f（x）是（）A．奇函数B．偶函数C．定义域内的减函数D．定义域内的增函数20．若幂函数y=f（x）的图象经过点（﹣2，4），则在定义域内（）A．为增函数B．为减函数C．有最小值D．有最大值21．已知幂函数f（x）的图象过点（4，），则f（8）的值为（）A．B．64 C．2 D．22．若函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m是幂函数，且图象与坐标轴无交点，则f（x）（）A．是偶函数B．是奇函数C．是单调递减函数 D．在定义域内有最小值23．幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），则幂函数y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．24．函数y=的图象是（）A．B． C．D．25．若三个幂函数y=x a，y=x b，y=x c在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．a＞c＞b26．已知幂函数f（x）=k•xα的图象经过点（），则k﹣α=（）A．B．1 C．D．227．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）A．y=x B．y=lgx C．y=2x D．y=28．若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c b C．a c＜b c D．c a＞c b29．函数y=a x﹣a（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B． C．D．二．填空题（共11小题）30．若a＞0且a≠1，则函数y=a x﹣1﹣1的图象经过定点．31．函数y=a x﹣2+2（a＞0且a≠1）一定过定点．32．函数f（x）=a2x﹣3+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则P点的坐标是．33．不等式（）＜2﹣2x的解集是．34．若3x=4y=36，则=．35．已知lg2=a，lg3=b，则log36=（用含a，b的代数式表示）．36．函数y=log a（2x﹣3）+4的图象恒过定点A，且点A在幂函数f（x）的图象上，则f（3）=．37．函数y=log a（x﹣1）+1（a＞1）的图象必过定点．38．函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间是．39．幂函数f（x）=（m2﹣3m+3）x m的图象关于y轴对称，则实数m=．40．如果幂函数的图象不过原点，则m的值是．指对幂函数参考答案一．选择题（共29小题）1．D；2．D；3．B；4．D；5．A；6．B；7．B；8．B；9．C；10．C；11．A；12．C；13．C；14．B；15．C；16．A；17．C；18．D；19．A；20．C；21．A；22．B；23．C；24．C；25．C；26．A；27．D；28．B；29．C；二．填空题（共11小题）30．（1，0）；31．（2，3）；32．（，4）；33．{x|x＞3或x＜﹣1}；34．1；35．；36．9；37．（2，1）；38．（﹣∞，﹣2）；39．2；40．1；。
通用版高一数学指对幂函数题型总结及解题方法
(每日一练)通用版高一数学指对幂函数题型总结及解题方法单选题1、若函数f(x)=ln(ax+√x2+1)是奇函数，则a的值为（）A．1B．－1C．±1D．0答案：C解析：根据函数奇函数的概念可得ln(−ax+√x2+1)+ln(ax+√x2+1)=0，进而结合对数的运算即可求出结果. 因为f(x)=ln(ax+√x2+1)是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0．即ln(−ax+√x2+1)+ln(ax+√x2+1)=0恒成立，所以ln[(1−a2)x2+1]=0，即(1−a2)x2=0恒成立，所以1−a2=0，即a=±1．当a=1时，f(x)=ln(x+√x2+1)，定义域为R，且f(−x)+f(x)=0，故符合题意；当a=−1时，f(x)=ln(−x+√x2+1)，定义域为R，且f(−x)+f(x)=0，故符合题意；故选：C.2、若2x=3，2y=4，则2x+y的值为（）A．7B．10C．12D．34答案：C解析：根据指数幂的运算性质直接进行求解即可.因为2x=3，2y=4，所以2x+y=2x⋅2y=3×4=12，故选：C3、若a>1，b<0，且a b+a−b=2√2，则a b−a−b=（）A．-2B．-4C．2D．4答案：A解析：对a b+a−b=2√2两边平方，可得a2b+a−2b的值，进而可计算出(a b−a−b)2，再根据已知条件判断出a b−a−b的符号，开方即可．a b+a−b=2√2，则(a b+a−b)2=a2b+2+a−2b=8，故a2b+a−2b=6，(a b−a−b)2=a2b+a−2b−2=4，a>1，b<0，故a b−a−b<0，故a b−a−b=−2.故选：A小提示：本题考查指数幂的运算，考查完全平方公式的应用，属于基础题．解答题4、计算或化简：（1）0.001−13−(√3−2√2)+1634+100×(√3√53)6；（2）log354−log32+5log56+log74⋅log27.答案：（1）125；（2）11.解析：（1）根据指数幂的运算性质计算可得结果；（2）根据对数的运算性质计算可得结果.（1）原式=[(110)3]−13−1+(24)34+100×3352=10−1+8+4×27=125.（2）原式=log 3542+6+2log 72⋅log 27==log 333+6+2lg2lg7⋅lg7lg2=3+6+2=11. 5、计算：（1）√(−4)33−(12)0+0.2512×(√2)−4； （2）已知：x 12+x −12=3，求x 2+x −2−2x+x −1−3的值． 答案：（1）−3；（2）454．解析：（1）利用根式和指数幂运算求解；（2）由x 12+x −12=3，平方得到x +x −1=7，再平方得到x 2+x −2=47，代入求解. （1）√(−4)33−(12)0+0.2512×(√2)−4， =−4−1+12×(√2)4=−3.（2）由x 12+x −12=3，平方得x +x −1+2=9，即x +x −1=7，x +x −1=7平方得x 2+x −2+2=49， 即x 2+x −2=47，所以原式=x 2+x −2−2x+x −1−3=454．。
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数学高考基础知识归纳整理及基本训练第五节．指对数函数的图像与性质【基本知识点归纳】（1）指数函数：)1,0(≠>=a a a y x指数运算法则： ； ； 。
指数函数：y=x a (a>o,a≠1)，图像恒过点（0，1），单调性与a 的值有关，在解题中，往往要对a 分a>1和0<a<1两种情况进行讨论，要能够画出函数图像的简图。
（2）对数函数：)1,0(log ≠>=a a x y a对数运算法则： ； ； ；对数：如果a （0,1a a >≠）的b 次幂等于N ，就是N a b =，数b 就叫做以a 为底的N 的对数，记作b N a =log （0,1a a >≠，负数和零没有对数）；其中a叫底数，N 叫真数.（1）对数运算：1211log 231log ()log log log log log 1log log log log log log log log log log 1log log ...log log (0,0,0,1,0,1,0,1,a n a a a aa a n a a a a N ba b a b c a a a n a nM M N M N M N N M n MM n N a N N a b c a a a a a M N a a b b c c a -⋅=+=-=⋅==⋅⋅=⇒⋅⋅⋅=>>>≠>≠>≠①②③④⑤⑥换底公式：⑦推论：以上2,, (01)n a a >≠且对数函数：y=x a log (a>o,a≠1) 图像恒过点（1，0），单调性与a 的值有关，在解题中，往往要对a 分a>1和0<a<1两种情况进行讨论，要能够画出函数图像的简图。
注意：（1）x a y =与x y a log =的图像关系是 ；（2）比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较。
幂函数一般形式： ；其中x 为 ；a 为指数函数形式： ；其中x 为 ；a 为例11、下列函数是幂函数的为：①x y 2=②2x y =③x y 22=④21x y =⑤2-=xy ⑥313x y = 2、幂函数的定义域、值域①0x y =定义域为 ；值域为②x y = 定义域为 ；值域为③2x y =定义域为 ；值域为④3x y =定义域为 ；值域为 ⑤1-=x y 定义域为 ；值域为⑥21x y =定义域为 ；值域为3、以上幂函数中是偶函数的有 ；是奇函数的有4、当0>a 时，幂函数在),0(+∞上的单调性是 增函数 ；当0<a 时，幂函数在),0(+∞上的单调性是 减函数5、所有幂函数在),0(+∞上都有意义，图像都经过点 （1,1） ；例2、当10<<x 时，比较2)(x x f =；21)(x x g =；2)(-=x x h 的大小关系。
例3、已知)(322+--∈=N m x y m m 的图像关于y 轴对称，在),0(+∞上递减，求满足33)23()1(m m a a ---<+的a 的范围。
例4、（1）已知函数)2(log )(221++=kx x x f 的定义域为R ，求k 的取值范围。
（2）已知函数)2(log )(221++=kx x x f 的值域为R ，求k 的取值范围。
例5.函数12+=-x a y (0>a ，且1≠a )的图象必经过点( D )(A)(0，1) (B)(1，1) (C) (2， 0) (D) (2，2)例6. 求值：)223(log 29log 2log 3777+-解：原式 01log 9)223(2log 7237==⨯=例7. 求下列函数的定义域、值域：①41212-=--x y ; ②)54(log 231++-=x x y ①解:要使函数有意义，则须：211204x ---≥即：21211x x ---⇒-≥≤≤ ∵11x -≤≤,∴210x --≤≤从而 2211x ----≤≤,∴2111242x --≤≤, ∴21110244x ---≤≤,∴102y ≤≤,∴定义域为[-1,1]，值域为21,0[ ②要使函数有意义，则须：5105405422<<-⇒<--⇒>++-x x x x x 由51<<-x ,∴在此区间内 9)54(max 2=++-x x , ∴ 2045x x -++≤≤ 从而 21133log (45)log 92x x -++=-≥即：值域为2y -≥,∴定义域为[-1,5]，值域为,2[+∞-例8.已知3log 1)(x x f += ，2log 2)(x x g = ,试比较)()(x g x f 和的大小。
解：3()()log 4x x f x g x -= ①当143314x x x >⎧⎪⇒>⎨>⎪⎩或 01013014x x x <<⎧⎪⇒<<⎨<<⎪⎩时 ()()f x g x > ②当34143x x ==即时 ()()f x g x = ③当04133014x x x >⎧⎪⇒<<⎨<<⎪⎩或 01314x x x φ<<⎧⎪⇒∈⎨>⎪⎩ 时 ()()f x g x < 综上所述：4(0,1)(,)3x ∈⋃+∞时()()f x g x >；例9.求函数)183(log 221--=x x y 的单调减区间，并用单调定义给予证明。
解：∵定义域 2318063x x x x -->⇒><-或,∴单调减区间是),6(+∞. 设1212,(6,)x x x x ∈+∞<且 则211112log (318)y x x =-- ,221222log (318)y x x =--∵211(318)x x ---222(318)x x --=2121()(3)x x x x -+-,又∵216x x >>,∴210x x ->,2130x x +->∴222318x x --211318x x >--,又∵底数1012<<,∴210y y -<,21y y < ∴函数)183(log 221--=x x y 在(6,)+∞上是减函数.【指数与对数函数基本训练】【A 组】A 组参考答案 一、选择题：DDDCC CBBBA AA二、填空题：13、3214、0 15、12(1)1p +-161 三、解答题：17、（1）1a - （2）5218、2400元19、（1）23 （2）11020、（1）(1,1)- （2）(0,1)21、奇函数，函数是减函数。
【B 组】B 组答案一、选择题1.B2.C3.D4.B5.B6.C7.D8.A9.D 10.D二、填空题11.（0，1） 12.（-∞，1）、（-∞，0） 13.（0.5，1） 14.（3，+∞）三、解答题15.由x ∈[1，2]，得2≤2x ≤4∴f(x)的定义域为[2，4]即2≤log 2x ≤4，得4≤x ≤16，∴函数的定义域)(log 2x f 为[4，16]。
16..),1(log )1(log .11,1)1(log )1(log 0log 10.11,10232323232323Q P Q P a a a a a a a ②Q P a a x y a a a a a a y a ①a a a a a x >>+>+∴+>+>>>+>+∴∞+=<<+<+<∞+∞-=<<综上知即即时，当即）上递减，，在（时，又当即）上递减知，在（时，有当 17. x 须满足,11011,0110<<->-+⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠x x x xx x 得由 所以函数)(x f 的定义域为（－1，0）∪（0，1）.因为函数)(x f 的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x ，有)()11log 1(11log 1)(22x f xx x x x x x f -=-+--=+---=-，所以)(x f 是奇函数. 研究)(x f 在（0，1）内的单调性，任取x 1、x 2∈（0，1），且设x 1<x 2 ，则,0)112(log )112(log ,011)],112(log )112([log )11(11log 111log 1)()(1222211222212222112121>----->------+-=-++--+-=-x x x x x x x x x x x x x x x f x f 由 得)()(21x f x f ->0，即)(x f 在（0，1）内单调递减，由于)(x f 是奇函数，所以)(x f 在（－1，0）内单调递减.18.（1）∵x ∈R 时，2x +1>0恒成立，∴f(x)的定义域是R 。
f(x)在R 上是增函数.证明略。
（2）由)11(11log )()(),11(11log .11,011,02,112,1212212<<--+=∴<<--+=∴<<->-+∴>-+=+-=-x xx x f x f y y y x y y y y y y x x x x 的反函数为即解得。