15静电场中的导体解答
大学物理-第3章-静电场中的导体
R2 R1
在金属球壳与导体球之间（r0 < r < R1时）：
q r0
作过 r 处的高斯面S1
q
S1 E2 dS 0
得
E2 r
q
40r 2
q
E2 40r 2 er
在金属球壳内（R1< r < R2时）：电场 E3 0
在金属球壳外（ r > R2时）： 作过 r 处的高斯面 S 2
S2
E4
dS
在它形成的电场中平行放置一无限大金属平板。求：
金属板两个表面的电荷面密度？
解：带电平面面电荷密度0 ，导体两面感应电荷面密度分 别为1 和 2，由电荷守恒有
1 2 0 (1)
导体内场强为零（三层电荷产生）
σ0 σ1
σ2
E0 E1 E2 0
(2)
E0
0 1 2 0
(3)
20 20 20
导体表面任一点的电场强度都与导体表面垂 直。
20
2.导体在静电平衡状态下 的一些特殊性质
❖ 导体是等势体，导体表面是等势面。
在导体内部任取两点P和Q，它们之间的电势差可以表示为
VP VQ
Q
E
dl
0
P
❖ 导体表面的电场强度方向与导体的表面相垂直。
❖ 导体上感应电荷对原来的外加电场施加影响，改
Q1
Q2
0
q
q
0
得
E4r
q
4 0 r 2
E4
q
4 0 r 2
er
43
思考：（3）金属球壳和金属球的电势各 为多少？
解：设金属球壳的电势为U壳 ，则：
U壳
R2 E4 dl
大学物理学 大作业参考解答
静电场中的导体和电介质
大作业参考解答
选择题1：当一个带电导体达到静电平衡时， （A）导体表面上电荷密度较大处电势较高； （B）导体表面曲率较大处电势较高； （C）导体内部的电势比导体表面的电势高； （D）导体内任一点与表面上任一点的电势差等于零。
NIZQ 第1页
大学物理学
静电场中的导体和电介质
d a
a
E dx
x
d a d ln ln 0 a 0 a
0 q 1 C U U A U B ln d a
NIZQ 第18页
大学物理学
静电场中的导体和电介质
计算题3：如图所示，在一不带电的金属球旁，有一点电荷 +q，金属球半径为R，点电荷+q与金属球球心的间距为d， 试求： （1）金属球上感应电荷在球心处产生的电场强度。 （2）若取无穷远处为电势零点，金属球的电势为多少？
-σ1 σ1 σ2 -σ2
d1 (A) d2 (C) 1
d2 (B) d1 d2 (D) 2 d1
2
d1
d2
1 2 d1 d2 0 0
NIZQ 第8页
大学物理学
静电场中的导体和电介质
填空题1：如图所示，两同心导体球壳，内球壳带 电量+q，外球壳带电量 -2q . 静电平衡时，外球壳 的内表面带电量为 ；外表面带电量 -q 为 。 -q
q CU r C 0U r q 0
U E E0 d
1 1 1q 2 W qU CU r E0 2 2 2C
NIZQ 第16页
2
计算题1：两块相互平行的导体板a和b ，板面积均为S，
大学物理学
静电场中的导体和电介质
大学物理习题答案 19 静电场中的导体(1)
与球外点电荷 + q 的作用力： F1
=
1 4πε 0
− q′ ⋅ q (r − b)2
，
由于 1 (r − b)2
>
1 r2
⇒
F1
=
1 4πε 0
− q′⋅ q (r − b)2
<
1 4πε 0
− q′⋅q r2
；
左侧电荷 Q
+
q′ 与点电荷 +
q 的作用力： F2
=
1 4πε 0
(Q + q′)⋅ q (r + a)2
50
大学物理习题解答
σ′ =
Q+q 4π R22
= 1.274 ×10−5 C
m2
，金属球外表面场强大小： E
σ′ =
ε0
= 1.44 ×106 V
m.
6. 题目有误！
7. 点电荷 − Q 位于空腔导体内，静电平衡后，空腔导体内表面感应电荷的电量为 + Q ，空腔导体原来电中性，
不带电，则空腔导体外表面感应电荷的电量为 − Q ；所以空腔导体外表面的净余电荷总量是 − Q ，空腔导体内表
− VC
=
E2
⋅d
=
σ2 ε0
d2 ；
B
A
C
σ1 σ2
−σ1 −σ2
由于 B 和 C 板用导线相连，电势相等，即VB = VC ⇒ VA −VB = VA −VC
即
σ1 ε0
d1
=
σ2 ε0
d2
⇒ σ1 = d2 . σ 2 d1
（第 10 题图）
11. （1）金属平板静电平衡后，金属平板 A 和 B 相邻两表面电荷电量等量异号，设电荷面密度分别为 σ 和 − σ ；
大学物理-静电场中的导体、电容器
孤立导体球
1 q 电势: 电势: V = 4 πε0 R 孤立导体球的电容为: 孤立导体球的电容为:
q = 4 πε0R 1 q 4 πε0 R 孤立导体的电容仅取决于导体的几何形状和大 小,与导体是否带电无关. 与导体是否带电无关.
地球的电容: 地球的电容: C = 4 π ε 0 R = 4 π× 8.85 × 10 12 × 6.4 × 10 6 F
S
+
左底
侧面
∫
+
右底
∫
= 0+0+0
q1 q 2
E dS = 1 (σ 2 S + σ 3 S) ∫
S
ε0
σ 2 = σ 3
σ1 σ 4 EI = EIII = = ε0 ε0
I S
II
S
III S
σ1 = σ 4
σ1 σ 2
A
σ3 σ4
B
导体的静电平衡性质
静电场中的导体与电介质
qA
qB
I
+q
R1
l
+q
R2
导体的静电平衡性质
静电场中的导体与电介质
例 2 有一外半径R1 = 10cm 和内半径R2 = 7cm 的金属球壳, 的金属球壳,在球壳内放一半径 R3 = 5cm 的同心金 8 属球, 的正电荷, 属球,若使球壳和金属球均带有 q = 10 C 的正电荷, 两球体上的电荷如何分布?球心的电势为多少? 问 两球体上的电荷如何分布?球心的电势为多少? 解 根据静电平衡的条件求电荷分布 作球形高斯面 S1 +q
r
∫
S3
E3 dS = ∑qi ε0 = 0
i
R2
静电场中的导体
R1
22
Vo
E dl
0 R3
0 R1
R2
E1 E3
dl
dl
R2
R3
E2
dl
R1 E4 dl
q (1 1 2)
4 π ε0 R3 R2 R1
2.31103 V
R1=10 cm，R2=7 cm R3=5 cm，q=10-8 C
2q
q
q
R3
R2 R1
23
S4
E4
dS
2q ε0
2q E4 4 π ε0r 2 (r R1)
S4
R1
2q
S3
q
R33
rr
R2
R1111
R1
21
E1 0
(r R3 )
E2
4
q π ε0r 2
(R3 r R2 )
E3 0
(R1 r R2 )
E4
2q 4 π ε0r 2
(r R1)
2q
q
q
R3
电势也会受到影响 25
二 电介质的极化
电介质 无极分子：（氢、甲烷、石蜡等） 有极分子：（水、有机玻璃等）
26
电介质分子可分为有极和无极两类:
（1）分子中的正电荷等效中心 与负电荷等效
中心重合的称为无极分子（如H2、 CH4、CO2）
无极分子在电场中, 无极分子
E
正负电荷中心会被 拉开一段距离,产生 感应电偶极矩，这 称为位移极化。
1 CU 2 2
+++++++++
---------
+ dq
静电场中的导体
一、导体的静电平衡条件
+
++++ + + + +
感应电荷
静电平衡条件
导体 内部 的场
E0
E E0 E'
E'
静电平衡时
E E' E0
E E0 E' 0
外场
E0
•静电平衡条件： 导 感应场 E '
体内部场强为0。
导体内部的场 E
二、处于静电平衡的导体的性质
1.静电平衡时导体为等势体，导体表面 为等势面。
R2 R3
(1)球壳B内、外表面上的电量及球A和球壳B的电势
(2)将球壳B接地然后断开，再把金属球A接地，求金 属球A和球壳B内、外表面上各带有的电量以及球A 和球壳B的电势
• 例:有一块大金属平板,面 积为S,带有总电量Q,在 其近旁平等放置第二块 大金属板,此板原来不带 电.求静电平衡时,金属板 上的电荷 分布及其空间
如尖端放电
三、静电空腔内表面无电荷,全部电 荷分布于外表面。
证明：在导体内作高斯面
S
E
dS
q
0
导体内 E 0, q 0
面内电荷是否会等量异号？
如在内表面存在等量异号 电荷，则腔内有电力线， 电势沿电力线降落，所以 导体不是等势体，与静电 平衡条件矛盾。
所以内表面无电荷，所有电荷分布于外表 面。
• 不管外电场如何变化，由于导体表面电 荷的重新分布，总要使内部场强为 0。
• 空腔导体具有静电屏蔽作用。例如：高 压带电作业人员穿的导电纤维编织的工 作服。
2.腔内有电荷
空腔原带有电荷 Q ，将 q 电荷放入空腔内。 结论：
静电场中的导体与电介质一章习题解答
静电场中的导体与电介质一章习题解答习题8—1 A 、B 为两个导体大平板，面积均为S ，平行放置，如图所示。
A 板带电+Q 1，B 板带电＋Q 2，如果使B 板接地，则AB 间电场强度的大小E 为：［ ］ (A)S Q 012ε (B) SQ Q 0212ε- (C) S Q 01ε (D) SQ Q 0212ε+解：B 板接地后，A 、B 两板外侧均无电荷，两板内侧带等值异号电荷，数值分别为+Q 1和-Q 1，这时AB 间的场应是两板内侧面产生场的叠加，即SQS Q S Q E 01010122εεε=+=板间 所以，应该选择答案(C)。
习题8—2 C 1和C 2两个电容器，其上分别标明200pF(电容量)，500V(耐压值)和300pF ，900V 。
把它们串联起来在两端加上1000V 的电压，则［ ］(A) C 1被击穿，C 2不被击穿 (B) C 2被击穿，C 1不被击穿 (C) 两者都被击穿 (D) 两者都不被击穿 答：两个电容器串联起来，它们各自承受的电压与它们的电容量成反比，设C 1承受的电压为V 1，C 2承受的电压为V 2，则有231221==C V V ①100021=+V V ②联立①、②可得V 6001=V ， V 4002=V可见，C 1承受的电压600V 已经超过其耐压值500V ，因此，C 1先被击穿，继而1000V 电压全部加在C 2上，也超过了其耐压值900V ，紧接着C 2也被击穿。
所以，应该选择答案(C)。
习题8—3 三个电容器联接如图。
已知电容C 1=C 2=C 3，而C 1、C 2、C 3的耐压值分别为100V 、200V 、300V 。
则此电容器组的耐压值为［ ］(A) 500V (B) 400V (C) 300V (D) 150V (E) 600V解：设此电容器组的两端所加的电压为u ，并且用C 1∥C 2表示C 1、C 2两电容器的并联组合，这时该电容器组就成为C 1∥C 2与C 3的串联。
静电场中的导体
'
'
13
电偶极矩： 斜柱体的体积：
' ql Sl V Sl cos
电极化强度矢量的大小： p
' p cos pn
3、电介质的极化规律，极化率：
' V cos
p
极化强度矢量与该点的合场强有关，并与介质有关 对大多数各向同性电介质
2、电容器及其电容： 平板电容：
同轴柱形电容器 设 长 为 l
s c 0 d
C AB
qA U A UB
带电量为 q 外半径为 RB
8
内半径为 RA 则 q l
L
E 2 0 r B U AB E dl
A
RB
q c 2 0 U AB
同心球形电容器
1.0 102 m 处的电势
3、把点电荷移开球心，导体球壳的电势是否变化？
10 4 . 0 10 解：1、 V 9 109 40 R2 3.0 10 2
q
+q
-q
120v
2、定义
R1
+q
V1
R1
q 4 0 r
2
r1
dr
R2
q 4 0 r
0
s
E
0
2
尖端放电的实质 三、静电屛蔽：
+
+ + + + +
+ +
四、导体存在时静电场的计算： 例1、金属板面积为S，带电量为 Q。近旁平行放置第二块不 带电大金属板。 1、求电荷分布和电场分布；
第十二章 静电场中的导体和电介质作业答案
B E dx
A
B A
q1 q2 S20
dx
q1 q2 20S
d
3. 有一接地的金属球，用一弹簧吊起，金属球原来不带电．若在它的下方放置一电荷
为q的点电荷，如图所示，则 C
(A) 只有当q 0时，金属球才下移．
(B) 只有当q 0时，金属球才下移．
(C) 无论q是正是负金属球都下移．
(D) 无论q是正是负金属球都不动．
0
Q球
1 2
q
二、填空题
1. 地球表面附近的电场强度约为100N/C，方向垂直地面向下，假设地球上的电荷都均
匀分布在地球表面上，则地面的电荷密度为______。
分析：地球是一个等势体，里边的场强为零，达到静电平衡，表面附近的场强
E
0
100
0 100 8. 85 1012 100 8. 85 1010 C2 m-2
q UAB
q
1
UAB
q
1
UAB 40RB外表面
1
q UAB
1 4 0 R B外表面
40RB外表面
q UAB
q UAB
4 0 R B外表面
q
1
UAB
q
1
UAB 40RB外表面
jintian 2. 在空气平行板电容器中，平行地插上一块各向同性均匀电介质板，如图所示，当电 容器充电后，若忽略边缘效应，则电介质中的场强E与空气中的场强E0相比较，应
q
分析：一带电量为q、半径为R的金属薄球壳，里边的场强为零，电介质不被极化，电介质
不产生附加电场，壳外是真空，壳外的场强就是电量q产生的场强。半径为R的金属薄球壳
是一个等势体，
E U壳
静电场中的导体和电介质习题解答
第十章 静电场中的导体和电介质一 选择题1. 半径为R 的导体球原不带电，今在距球心为a 处放一点电荷q ( a ＞R )。
设无限远处的电势为零，则导体球的电势为 ( )20200π4 . D )(π4 . C π4 . B π4 .A R)(a qaR a q a qR a q o --εεεε 解：导体球处于静电平衡，球心处的电势即为导体球电势，感应电荷q '±分布在导体球表面上，且0)(='-+'+q q ，它们在球心处的电势⎰⎰'±'±='='='q q q R R q V 0d π41π4d 00εε 点电荷q 在球心处的电势为 aqV 0π4ε=据电势叠加原理，球心处的电势aqV V V 00π4ε='+=。
所以选（A ）2. 已知厚度为d的无限大带电导体平板，两表面上电荷均匀分布，电荷面密度均为 ，如图所示，则板外两侧的电场强度的大小为 ( )0002 . D . C 2 . B 2 .A εdE=εE=E E σσεσεσ== 解：在导体平板两表面外侧取两对称平面，做侧面垂直平板的高斯面，根据高斯定理，考虑到两对称平面电场强度相等，且高斯面内电荷为S 2σ，可得 0εσ=E 。
所以选（C ）3. 如图，一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R ，在腔内离球心的距离为 d 处(d<R )，固定一电量为+q 的点电荷。
用导线把球壳接地后，再把地线撤去，选无穷远处为电势零点，则球心o 处的电势为 ( ))R d (q R d q11π4 D. 4πq C.π4 B. 0 A.000-εεε 解：球壳内表面上的感应电荷为-q ，球壳外表面上的电荷为零，所以有)π4π4000Rq d q V εε-+=。
所以选（ D ）4. 半径分别为R 和r 的两个金属球，相距很远，用一根细长导线将两球连接在一起并使它们带电，在忽略导线的影响下，两球表面的电荷面密度之比R /r 为 ( )A ． R ／r B. R 2 / r 2 C. r 2 / R 2 D.r / R解：两球相连，当静电平衡时，两球带电量分别为Q 、q ，因两球相距很远，所以电荷在两球上均匀分布，且两球电势相等，取无穷远为电势零点，则r q R Q 00π4π4εε= 即 rRq Q = Rrr q R Q r R ==22 4/4/ππσσ 所以选（D ）o R d +q ． 选择题3图选择题2图d5. 一导体球外充满相对介质电常数为εr 的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E ，则导体球面上的自由电荷面密度为 ( )A. ε0 EB. ε0εr EC. εr ED. (ε0εr ε0) E解：根据有介质情况下的高斯定理⎰⎰∑=⋅q S D d ，取导体球面为高斯面，则有S S D ⋅=⋅σ，即E D r 0εεσ==。
静电场中的导体和电介质
2.1.1 导体的静电平衡条件 当一带电体系中的电荷静止不动，从而电场分布不随时间变化时，则该带电体系达到了静电平衡。 均匀导体的静电平衡条件就是其体内场强处为0。 从导体静电平衡条件还可导出以下推论： （1）导体是个等位体，导体表面是个等位面。 （2）导体以外靠近其表面地方的场强处处与表面垂直。
2.2.3 电容器的并联、串联 （1） 并联 电容器并联时，总电容等于个电容器电容之和。 (2) 串联 电容器串联后，总电容的倒数是各电容器电容的到数之和
2.2.4 电容器储能（电能） 设每一极板上所带电荷量的绝对值为Q,两极板间的电压为U,则电容器储存的电能 从这个意义上说，电容C也是电容器储能本领大小的标志。
（2）极化电荷的分布与极化强度矢量的关系 以位移极化为模型，设想介质极化时，每个分子中的正电“重心”相对负电“重心”有个位移l。用q代表分子中正、负电荷的数量，则分子电矩P分子=ql。设单位体积内有 n个分子，则极化强度矢量P=np分子=nql。
取任意闭合面S,根据电荷守恒定律，P通过整个闭合面S的通量应等于S面内净余的极化电荷∑q′的负值 ，即 这个公式表达了极化强度矢量P与极化电荷分布的一个普遍关系。
（3）库仑平方反比率的精确验证 用实验方法来研究导体内部是否确实没有电荷，可以比库仑扭秤实验远为精确的验证平方反比律。 卡文迪许的验证实验装置见教材中图2-11。实验时，先使连接在一起的球1和壳3带电，然后将导线抽出，将球壳3的两半分开并移去，再用静电计检验球1上的电荷。反复实验结果表明球1上总没有电荷。
（1） 平行板电容器 平行板电容器由两块彼此靠得很近的平行金属极板组成。设两极板A、B的面积为S , 带电量分别为±q , 则电荷的面密度分别为 ±σe =±q/S 根据式（2.1），场强为 E = σe/ε0 ， 电位差为 根据电容的定义
静电场中的导体
物理学
势面。
1.2 静电平衡导体上的电荷分布
（1）导体内部各处的净电荷为零， 电荷只分布在导体的表面
如下图所示，由于导体内的电场强度E处处为零，所以通 过导体内任意高斯面的电通量为零，即
S E dS 0
根据高斯定理可知，此时高斯面 所包围的电荷量的代数和必然为零。 因为此高斯面是任意的，因此可得上 述表述是正确的。
若把金属导体放在外电场中，导体内部的自由电子在电 场力的作用下作宏观定向运动，从而使导体内正负电荷重新 分布。这种在外电场作用下，引起导体中电荷重新分布而呈 现出的带电现象，称为静电感应现象。
2．静电平衡条件
如下图所示，在电场强度为E0的匀强电场中放入一块金 属板。在电场力的驱动下，金属内部的电子逆着外电场的方
E dS E dS+ E dS+ E dS
S
上底
ห้องสมุดไป่ตู้
下底
侧面
E S +0 S +E S cos E S 2
此高斯面包围的净电荷为σΔS，根据高斯定理有
所以
ES S 0
E0
由上式可知，在静电平衡时，导体表面上各处的面电荷密 度与该表面外附近处的场强的大小成正比。
（3）孤立的导体处于静电平衡时，它的表面 各处的电荷面密度与各处表面的曲率有关，曲 率越大的地方，电荷面密度越大
对于腔内有带电体的空腔导体，如右图所示，空腔内表面 必定带有与腔内带电体等量异号的电荷，外表面带有与腔内带 电体等量同号的电荷。若导体接地，则空腔内带电体的电荷变 化将不再影响导体外的电场。
如下图所示，对于在腔内带电体的空腔导体外还有一带 电体B，由于静电感应，空腔导体外表面上的电荷及其带电 体B上的电荷将重新分布。静电平衡时，空腔导体有如下特 点：
大学物理下 静电场中的导体和电介质习题解答
q
q q
2．如图所示，一带负电荷的金属球，外面同 心地罩一不带电的金属球壳，则在球壳中一点 P处的场强大小与电势（设无穷远处为电势零 点）分别为：
(A) E = 0，U > 0． (B) E = 0，U < 0． B
(C) E = 0，U = 0． (D) E > 0，U < 0．
P
球壳内表面带正电荷，外表面带负电荷 金属球壳是一个等势体
ε1 ε2
5. 一导体球外充满相对介电常量为εr的均匀电介质，若测得导 体表面附近场强为 E ，则导体球面上的自由电荷面密度ε0 εr E 。
D ds Dds ds D
s
D
0
r
E
6. 一电荷为q的点电荷，处在半径为R、介电常量为ε1的各向同性、
均匀电介质球体的中心处，球外空间充满介电常量为ε2的各向同
性、均匀电介质，则在距离点电荷r (r<R) 处的场强为
，
电势 (选U∞=0)为
。
D ds qi
s
i
4r 2 Dr q
Er Dr
U
E
4Rrq1rR2
Er d r , U
q 4π1
1 r
1 R
q 4 2 R
2 1 qr R
7. 两金属球的半径之比为1:4，带等量的同号电荷。当两者的距 离远大于两球半径时，系统具有电势能W04 r
q 4 r
0
0
球心O点处总电势为分布在球壳内、外表面上的电荷和点电荷
q在O点产生的电势的代数和，
U 0
Uq
Uq
UQq
q 4 r
0
q 40R1
q Q 4 R
02
(整理)静电场中的导体和电介质习题详解
习题二一、选择题1．如图所示，一均匀带电球体，总电量为+Q ，其外部同心地罩一内、外半径分别为1r 和2r 的金属球壳。
设无穷远处为电势零点，则球壳内半径为r 的P 点处的场强和电势为［ ］ （A ）200, 44Q QE U r rεε==ππ； （B ）010, 4QE U r ε==π；（C ）00, 4QE U rε==π；（D ）020, 4QE U r ε==π。
答案：D解：由静电平衡条件得金属壳内0=E ；外球壳内、外表面分别带电为Q -和Q +，根据电势叠加原理得000202Q Q Q QU r r r r εεεε-=++=4π4π4π4π2．半径为R 的金属球与地连接，在与球心O 相距2d R =处有一电量为q 的点电荷，如图所示。
设地的电势为零，则球上的感应电荷q '为［ ］（A ）0； （B ）2q ； （C ）2q-； （D ）q -。
答案：C解：导体球接地，球心处电势为零，即000044q q U dRπεπε'=+=（球面上所有感应电荷到球心的距离相等，均为R ），由此解得2R qq q d '=-=-。
3．如图，在一带电量为Q 的导体球外，同心地包有一各向同性均匀电介质球壳，其相对电容率为r ε，壳外是真空，则在壳外P 点处(OP r =)的场强和电位移的大小分别为［ ］ （A ）2200,44r Q Q E D rr εεε==ππ； （B ）22,44r Q QE D r r ε==ππ； （C ）220,44Q Q E D r r ε==ππ； （D ）2200,44Q QE D r r εε==ππ。
答案：C解：由高斯定理得电位移 24QD r =π，而 2004D QE r εε==π。
4．一大平行板电容器水平放置，两极板间的一半空间充有各向同性均匀电介质，另一半为空气，如图所示。
当两极板带上恒定的等量异号电荷时，有一个质量为m 、带电量为+q 的质点，在极板间的空气区域中处于平衡。
静电场中的导体例题
σ σ1 σ 2 −σ
S1
σ1 = −σ σ 2 = σ
得板间电场 E = σ ε0
5
S2
A
B
d1 d2 d3
d
插入金属板后，AB板间电压：
∫ U= A′ B
B E ⋅ dl
A
=
σ ε0
⋅
d1
+
0
×
d2
+
σ ε0
⋅
d3
=
σ ε0
(d1
+
d3 )=
2 σ d= 3 ε0
2 3
U
AB
σ σ1 σ 2 −σ
S
1
ε0
=qi
S内
0
→ σ 2∆s1
+ σ 3∆s2
=0
(电荷的正负将 自然得出。)
A
d σ1 σ2
∆S1
B
σ3 σ4
∆S2
∆s1 =∆s2
σ 3 = −σ 2 2
A
B
导体板内某点a的电场
Ea
=
σ1 2ε 0
−
σ2 2ε 0
−
σ3 2ε 0
−
σ4 2ε 0
=
0
(说明：计算时均假设为正电荷。 计算后会得出电荷实际的正负。)
求两板间的电势差：
σ1 、σ4 产生的场强相互抵消； σ1 σ 2 σ 3 σ 4
σ2 、σ3 产生的场强等大同向。
设σ2 >0 (QA>QB) ，则电场方向
如图所示。
U= AB
E=d
2 σ 2 =d 2ε 0
σ2 d ε0
A
B
d
x
●当 QB =−QA < 0 → σ=1 σ=4 0 此时电场只分布
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解: 球壳内电场为0 球壳电荷守恒
q
U
in o
in
0 q
in
q
a
q
ex
r
O b
ex
q
in
Q q
q
q in ex
Q
1 4
0
qi
in
4 0 a
4 0 a
Uo Uo Uo Uo
q q Qq a b r
解: 有导线相连，导体球与内球 壳为等势体，不考虑导体球 与球壳的相互作用时，
Ur
U
R2
O
R1 r
q 4 0r
R2
R1
U
U R 1 R 2
Q 2 Q1 q 4 0 R2
q
R 1 Q 2 R 2 Q 1 r R1 r R 2
Q1 q 1 1 R R 4 0 1 2
s
2 0
（B） E 0
s
2 0
, E0
s
2 0
（C） E 0
s
2 0
s
2 0
（D） E 0
s
2 0
, E0
s
s
2 0
E0
大带电平板将在其两侧产生电场，电场 强度的方向分别向左、向右，场强为
E
s
2 0
E
E
静电场中的导体
第六章 静电场中的导体与电介质
4．一空心导体球壳，其内、外半径分别为R1和R2，带 电荷q，如图所示．当球壳中心处再放一电荷为q的点电 荷时，则导体球壳的电势(设无穷远处为电势零点)为 (A)
a 1 b
U 12
1
E dl
1
E dl
L
E dl
R
E dl
sa
2 0
0
sb
2 0
s
2 0
b a
2 d
图 3质
3．如图，两块“无限大”平行导体板，相距为2d，都 与地连接. 在板间均匀充满着正离子气体(与导体板绝缘)， 离子数密度为n，每个离子的电荷为q．如果忽略气体中 的极化现象，可以认为电场分布相对中心平面OO'是对 称的．试求两板间的场强分布和电势分布． 解: 由高斯定理有，E r 2 s
d d r
s 2r 0
Er
nqr
0
Ur
E
r
dr
r
nqr
0
dr
r
2
nq 2 0
d
r
2
2d O
O'
静电场中的导体
第六章 静电场中的导体与电介质
4．半径分别为R和r的两个导体球，相距甚远．用细 导线连接两球并使它带电，电荷面密度分别为s1和s2. 忽略两个导体球的静电相互作用和细导线上电荷对导体 球上电荷分布的影响．试证明:s1/s2=r/R. 证: 因有导线相连，两球为等势体，不考虑相互作用时
q
ex
in
0 q
in
q
q
in
2q q
ex
q
q
2q
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第六章 静电场中的导体与电介质
三、计算题
1. 如图，一内半径为a、外半径为b的金属球壳，带有 电荷Q，在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q．设无 限远处为电势零点，试求：1) 球壳内外表面上的电荷. 2) 球心O点处，由球壳内表面上电荷产生的电势．3) 球 心O点处的总电势．
U1
s 1 4 R
4 0 R
2
U2
s 2 4 r
4 0r
r R
2
s 1R s 2r
s1 s2
s2
r d
s1
R
静电场中的导体
第六章 静电场中的导体与电介质
5. 如图，半径分别为R1和R2 (R2 >R1)的两个同心导体 薄球壳，分别带有电荷Q1和Q2，今将内球壳用细导线 与远处半径为r的导体球相联，导体球原来不带电，试 求相联后导体球所带电荷q．
q
静电场中的导体
第六章 静电场中的导体与电介质
2．如图，一带正电荷的物体M，靠近一不带电的金属 导体N，N的左端感应出负电荷，右端感应出正电荷. 若 将N的左端接地，则 N （A）N上的负电荷入地． M （B）N上的正电荷入地． （C）N上的电荷不动． （D）N上的所有电荷都入地． 导体N接地,其电势为零,只有保留负感应电 荷,由负电荷产生的电势与带正电的M产生的电 势叠加才可能出现零值.
dW dq U qdq 4 0 R
Q
W
dW
4
0
qdq
0
R
Q
2
8 0 R
E
l
4 0r
2
, U
l
2 0
ln
b a
(B) E
a r
l
4 0r
2
,U
l
2 0
b
ln
b r
E
l
2 0r
,
U
l
2 0
ln
a
E
l
2 0r
, U
l
2 0
ln
b r
b
O r P
2 πrlE
ll 0
U
2
r
l
0
dr r
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第六章 静电场中的导体与电介质
二、填空题
1．在静电场中有一立方形均匀导体，边长为a．已知 立方导体中心O处的电势为U0，则立方体顶点A的电势 为 U0 ． A
O
静电场中的导体为等势体.
a
2. 如图，将一负电荷从无穷远处移到一个不带电的导 体附近，则导体内的电场强度______________，导体的 不变（均为0） 减小 电势______________．(填增大、不变、减小) +-
q 4 0 R1
(B)
q 4 0 R 2
(C)
q 2 0 R1
(D)
q 0 R 2
R1
q
R2
-q
q +q
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第六章 静电场中的导体与电介质
5. 如图，一长直导线横截面半径为a，导线外同轴地套 一半径为b的薄圆筒，两者互相绝缘，并且外筒接地。 设导线单位长度的电荷为+l，并设地的电势为零，则 两导体之间的P点( OP = r )的场强大小和电势分别为： (A) (C) (D)
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第六章 静电场中的导体与电介质
3．一带电大导体平板二个表面的电荷面密度的代数 和为s，置于电场强度为 E0 的均匀外电场中，且使板面 垂直于 E0 的方向．设外电场分布不因带电平板的引入 而改变，则板的附近左、右两侧的合场强为：
（A） E 0
s
2 0 , E0 , E0
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第六章 静电场中的导体与电介质
6. 假想从无限远处陆续移来微量电荷使一半径为R的 导体球带电．(1) 当球上已带有电荷q时，再将一个电荷 元dq从无限远处移到球上的过程中，外力作多少功？ (2) 使球上电荷从零开始增加到Q的过程中，外力共作 多少功？ 解:
U q 4 0 R
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第六章 静电场中的导体与电介质
一、选择题
1．有一接地的金属球，用一弹簧吊起，金属球原来不 带电．若在它的下方放置一电量为q的点电荷，则 （A）只有当q>0时，金属球才下移． （B）只有当q<0时，金属球才下移． （C）无论q是正是负金属球都下移． （D）无论q是正是负金属球都不动．
无论q是正是负,金属球下 方均出现与q异号的感应电荷, 它与q之间相互吸引.
静电场中的导体 第六章 静电场中的导体与电介质 3. 三块互相平行的导体板，相互之间的距离d1和d2比 板面积线度小得多，外面二板用导线连接．中间板上 带电，设左右两面上电荷面密度分别为s1和s2，如图所 示．则比值s1/s2为 d2/d1 .
Eds
s ds 0
E
s 0
s1 s2
外面两板相连时为等势体，
静电场中的导体
第六章 静电场中的导体与电介质
2．厚度为d的“无限大”均匀带电导体板两表面单位 面积上电荷之和为s．试求图示离左板面距离为a的一 点与离右板面距离为b的一点之间的电势差． 解: 由高斯定理知，两表面内E=0； 两表面外侧， E 2 ds
2 L R
s ds 0
E
2
s
2 0
U Ed
s 1d 1 0
s 2d 2 0
d1 d2
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第六章 静电场中的导体与电介质
4．一空气平行板电容器，两极板间距为d，充电后板 间电压为U．然后将电源断开，在两板间平行地插入一 厚度为d/3的金属板，则板间电压变成U' =__________．
CU Q C
0S
d
1
C U Q
2 C C 1
C1
0S
d 3
d
C
3 2
C
U
2 3
U
s
U
s
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第六章 静电场中的导体与电介质
5．如图，两同心导体球壳，内球壳带电荷+q，外球壳 带电荷-2q．静电平衡时，外球壳的电荷分布为：内表 -q -q 面___________ ；外表面___________． 球壳内电场为0 球壳电荷守恒