斐波拉契数列的简介
斐波那契数列
斐波那契数列一、简介斐波那契数列Fibonacci,又称黄金分割数列,由数学家斐波那契最早以“兔子繁殖问题”引入,推动了数学的发展;故斐波那契数列又称“兔子数列”;斐波那契数列指这样的数列：1,1,2,3,5,8,13,……,前两个数的和等于后面一个数字;这样我们可以得到一个递推式,记斐波那契数列的第i项为F i,则F i=F i-1+F i-2.兔子繁殖问题指设有一对新生的兔子,从第三个月开始他们每个月都生一对兔子,新生的兔子从第三个月开始又每个月生一对兔子;按此规律,并假定兔子没有死亡,10个月后共有多少个兔子这道题目通过找规律发现答案就是斐波那契数列,第n个月兔子的数量是斐波那契数列的第n项;二、性质如果要了解斐波那契数列的性质,必然要先知道它的通项公式才能更简单的推导出一些定理;那么下面我们就通过初等代数的待定系数法计算出通项公式;令常数p,q满足F n-pF n-1=qF n-1-pF n-2;则可得：F n-pF n-1=qF n-1-pF n-2=q2F n-2-pF n-3=…=q n-2F2-pF1又∵F n-pF n-1=qF n-1-pF n-2∴F n-pF n-1=qF n-1-pqF n-2F n-1+F n-2-pF n-1-qF n-1+pqF n-2=01-p-qF n-1+1+pqF n-2=0∴p+q=1,pq=-1是其中的一种方程组∴F n-pF n-1= q n-2F2-pF1=q n-21-p=q n-1F n=q n-1+pF n-1=q n-1+pq n-2+pq n-3+…=q n-1+pq n-2+p2q n-3+…+p n-1不难看出,上式是一个以p/q为公比的等比数列;将它用求和公式求和可以得到：而上面出现了方程组p+q=1,pq=-1,可以得到p1-p=-1,p2-p-1=0,这样就得到了一个标准的一元二次方程,配方得p2-p+=,2=,p=±√+;随意取出一组解即可：这就是著名的斐波那契数列通项公式;有了它,斐波那契数列的一些性质也不难得出了;比如斐波那契数列相邻两项的比值趋向于黄金分割比,即：根据斐波那契数列通项公式,可以得到因为n是趋向于正无限的,因此我们可以知道：那么我们就可以把分子和分母的第二项同时省略掉,即这就是斐波那契数列的魅力之一——它和黄金分割比有密切的关系;下面将给出斐波那契数列的几个性质及其证明;1F1+F2+F3+...+F n=F n+2-1证明：原式=F3-F2+F4-F3+...+F n+2-F n+1=F n+2-1.2F1+F3+F5+...+F2n+1=F2n+2证明：原式=F2+F4-F2+F6-F4+...+F2n+2-F2n=F2n+23F12+F22+...+F n2=F n F n+1证明：利用数学归纳法,显然n=1时满足,下面证明若n=k时满足,n=k+1时也满足.已知F12+F22+...+F n2=F n F n+1,F12+F22+...+F n+12=F n F n+1+F n+12=F n+1+F n F n+1=F n+1F n+2,因此n+1后仍然满足.上述公式成立.4F1F2+F2F3+...+F n F n+1=F n+22-F n F n+1-1/2证明：数学归纳法,n=1时满足.已知F1F2+F2F3+...+F n F n+1满足,那么F1F2+F2F3+...+F n F n+1+F n+1F n+2=F n+22-F n F n+1-1/2+F n+1F n+2=F n+22-F n F n+1+2F n+1F n+2-1/2=F n+22+2F n+1F n+2+F n+12- F n F n+1-F n+12-1/2=F n+32-F n+1F n+2-1/2,因此上式成立.5F n2=F n-1F n+1+-1n+1证明：数学归纳法,n=2时满足.已知前面的n都满足,那么F n2=F n-12+F n-22+2F n-2F n-1=F n-12+F n-3F n-1+-1n-1+2F n-2F n-1=F n-1F n+F n-12+-1n-1=F n-1F n+1+-1n+1,因此上式成立.6F n+m=F m-1F n+F m F n+1n>m>1证明：利用通项公式,设α=,β=1-α=注意到1/α+α=sqrt5=1/β+β,1/α+β=0=1/β+α,上式就变成了这就是上述公式的证明.三、斐波那契数列与自然斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数典型的有向日葵花瓣,蜂巢,蜻蜓翅膀,超越数e可以推出更多,黄金矩形、黄金分割、等角螺线,十二平均律等;斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现;例如,在的枝干上选一片叶子,记其为数0,然后依序点数叶子假定没有折损,直到到达与那些叶子正对的位置,则其间的叶子数多半是斐波那契数;叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回;叶子在一个循回中的圈数也是斐波那契数;在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为源自希腊词,意即叶子的排列比;多数的叶序比呈现为斐波那契数的比;图为斐波那契弧线;关于递推式的拓展研究一、错位排列问题有n个数,求有多少种排列使这n个数都不在原来的位置上;比如n=2时,有一种排列;设fn表示n个数的错位排列数量,分两种情况讨论：1.第n个数在第pp≠n个数的位置上,第p个数在第n个数的位置上,则此时共有fn-2种选择;由于p有n-1种值,则总共有n-1fn-2种排列方法；2.否则,共有n-1fn-1种排列方法;综上所述,fn=n-1fn-1+fn-2,f1=0,f2=1;那这个数列的通项公式是什么呢直接对这个数列不好进行操作,可以转化一下;设错位排列的概率函数为gn,其中g1=0,g2=;在fn的递推式两边同时除以n即可得到;两边同时乘n得到ngn=n-1gn-1+gn-2ngn-gn-1=gn-2-gn-1注意到e-1的泰勒展开式跟它好像有点像,是因此有如下的等式：同时,我们也可以得到了函数f的通项公式为：这就是一些关于错位排序的性质;二、类斐波那契数列的研究我们知道斐波那契数列递推式为fn=fn-1+fn-2,那么假如有更多项呢假设fn=fn-1+fn-2+fn-3,其中f1=f2=f3=1.我们暂时称这个数列为类斐波那契数列,那么它的通项公式又如何呢令a,b,c满足fn+afn-1+bfn-2=cfn-1+afn-2+bfn-3则得到c-a=1,ac-b=1,bc=1,消元得c3-c2-c-1=0,利用牛顿迭代可以计算出c=……,则a=……,b=……所以fn+afn-1+bfn-2=c n-31+a+b,记t=1+a+b,两边同时除以c n构造更多的常数项：为了方便,我们记,则：令p,q,r满足gn-pgn-1-q=rgn-1-pgn-2-q,则得到：这个方程会发现没有实数解,于是我们只能使用复数了：p= (i)q=...+ (i)r=...+ (i)继续上面的递推式,则有gn-pgn-1-q=r n-2g2-pg1-q;记T= g2-pg1-q,则：gn=pgn-1+r n-2T+q=ppgn-2+r n-3T+q+r n-2T+q=p n-1g1+p n-2T+p n-3rT+…+r n-2T+q+pq+…+p n-2q因此也就可以得到f的递推式了：不难得到,t=…,T=…+…i;递推式中的c,p,q,t,T都是常数,但除了c以外都是复数,因此计算上会比较困难;在附录中附上C++的程序,附复数计算的模板和使用递推式计算类斐波那契数列的程序;三、递推式和矩阵如果对于每个线性递推式都要先计算它的通项公式才能够快速地得到某一项,那这个方法太过于复杂了;于是我们可以使用矩阵来加速递推;比如斐波那契数列的递推式也可以写成：因此就有如下结果：其中矩阵的幂次方可以使用快速幂算法在Ologn的时间内解决,因此我们就可以在Ologn 的时间内计算出斐波那契数列的第n项排除高精度的时间,且精度要比虚数和小数精确的多;附录利用通项公式计算类斐波那契数列的代码：include<>include<>include<algorithm>include<>include<vector>include<>include<queue>include<set>include<functional>include<>using namespace std;const double EPS = 1E-15;struct Complex{double a, b;4lf+%.14lfi\n", a, b; }};Complex csqrt const Complex& c{Complex r = Complex1, 1, t = Complex;while r = t{t = r;r = r - r r - c / 2 / r;}return r;}Complex cpow Complex c, int e{Complex res = Complex1, 0;for ; e; e >>= 1{if e & 1 res = res c;c = c c;}return res;}int main{double c = 2, t = 0;while fabsc - t > EPS{t = c;c -= c c c - c c - c - 1 / 3 c c - 2 c - 1;}double a = c - 1, b = 1 / c;printf"%.14lf\n", 1 + a + b;t = 1 + a + b;Complex r = csqrt Complex a a / c / c - 4 b / c / c - a / c / 2;;Complex p = Complex-a / c - r, q = Complex t / c / c / c / Complex1 - r;, ;Complex T = Complex1 / c / c - Complex1 / c p - q;;int n = 7;scanf"%d", &n;Complex res = cpow Complex c, n cpowp, n - 1 / Complex c + T cpowr, n - 1 - cpowp, n - 1 / r - p + q cpowp, n - 1 - q / p - Complex1;;system"pause";return 0;}。
斐班那切数列
斐班那切数列斐波那契数列（Fibonacci sequence）是一个典型的数学问题，也是一个非常有趣的数列。
它是通过前两个数字的和得到下一个数字的一种规律，起始数字常为0和1。
斐波那契数列的定义很简单，就是从1开始，每一项都等于前两项之和，公式表示为：F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(n)表示数列的第n项。
斐波那契数列的前几项依次为：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144，以此类推。
可以看出，这个数列是个无限数列，每一项都是前两项的和。
斐波那契数列最早是由13世纪的意大利数学家斐波那契（Fibonacci）研究得出的。
他在其著作《算盘书》中介绍了斐波那契数列，并且用兔子繁殖作为实例来说明这个数列的应用。
斐波那契数列有着许多有趣的性质和应用。
首先，它是一个递归数列，可以通过递归的方式来生成。
其次，斐波那契数列的增长速度非常快，后面的数字会迅速增大。
这也使得它在金融学、自然科学、计算机科学等领域有着广泛的应用。
在金融学中，斐波那契数列出现在黄金分割比例中。
黄金分割比例是一个数学上的常数，被广泛应用在艺术、建筑、美学等领域。
它可以用斐波那契数列的比值逼近得到，即相邻两项的比例会越来越接近黄金分割比例1.618。
在自然科学中，斐波那契数列也有着一些有趣的应用。
例如，它出现在植物的排列方式中。
在一些植物的叶子、花瓣、果实等排列中，可以发现它们的数量往往是斐波那契数列的某一项。
这种规律被称为植物的斐波那契序列。
在计算机科学中，斐波那契数列常常被用来展示递归算法的实现。
由于斐波那契数列的递归定义，可以使用递归算法来计算数列的某一项。
然而，递归算法在计算大量项时会遇到效率问题，结果需要大量的重复计算。
因此，可以使用动态规划等方法来优化算法，避免重复计算。
斐波那契数列还和黄金矩形、黄金螺旋等有着紧密的联系。
黄金矩形是一种长宽比例接近黄金分割比例的矩形，黄金螺旋则是由一系列黄金矩形组成的螺旋形状。
斐波列契数列
斐波列契数列斐波那契数列是一个非常有趣的数列，它的定义非常简单，每个数字都是前两个数字的和。
从数学的角度来看，斐波那契数列可以用递推公式表示，即Fn = Fn-1 + Fn-2，其中F1 = 1，F2 = 1。
但是本文不打算过多涉及数学公式，而是从更直观的角度来介绍斐波那契数列。
斐波那契数列的前几个数字是1、1、2、3、5、8、13、21、34……可以看出，斐波那契数列是一个无限序列，每个数字都是前两个数字的和。
这种规律给人一种神秘感，仿佛它蕴含着宇宙的奥秘。
斐波那契数列最早出现在西方数学家列奥纳多·斐波那契的著作中，他在13世纪的《算盘书》中首次提到了这个数列。
斐波那契数列在数学、自然科学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
斐波那契数列在数学中有一些有趣的性质。
比如，斐波那契数列的比值趋近于黄金分割比例。
黄金分割比例是一个神秘而美丽的数值，它约等于1.618，被认为是最具美感的比例之一。
斐波那契数列的比值在逐渐逼近黄金分割比例，这也是为什么斐波那契数列给人一种美感的原因。
斐波那契数列在自然科学中也有一些应用。
在植物学中，我们经常可以观察到斐波那契数列的身影。
例如，一些植物的叶子排列方式就符合斐波那契数列。
这种排列方式能够使得植物的叶子能够最大限度地接收阳光，提高光合作用效率。
此外，斐波那契数列还可以用来解释一些动物的繁殖规律，比如兔子的繁殖规律就可以用斐波那契数列来描述。
斐波那契数列在计算机科学中也有广泛的应用。
斐波那契数列是计算机科学中一个非常经典的例子。
我们可以使用递归或者迭代的方式来计算斐波那契数列。
这个过程也可以用来解释计算机程序中的递归调用。
此外，斐波那契数列还可以用来解决一些实际问题，比如动态规划、密码学等领域。
斐波那契数列是一个非常有趣而神秘的数列。
它的规律简单而又复杂，给人一种美感和思考的空间。
无论是在数学、自然科学还是计算机科学中，斐波那契数列都有着广泛的应用。
它不仅是一个数学问题，更是一个关于自然、美学和智慧的探索。
认识斐波那契数列：什么是斐波那契数列？有何特点？
斐波那契数列，又被称为黄金分割数列或兔子数列，是一种在数学上极为著名且有趣的数列。
它由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契在《计算之书》（Liber Abaci）中首次提出。
斐波那契数列不仅是数学领域的研究对象，更在日常生活中、自然界以及科学研究中展现出其独特魅力和重要性。
下面，我们将深入探讨斐波那契数列的定义、特点、以及其广泛的应用。
一、斐波那契数列的定义斐波那契数列是这样一组数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……，其中每一个数字都是前两个数字的和。
具体来说，斐波那契数列的定义如下：F(0) = 0F(1) = 1F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中n≥2二、斐波那契数列的特点1. 递推公式：斐波那契数列的每一项都是其前两项的和，这是其最显著的特点。
这一特点使得斐波那契数列可以通过递推的方式轻松地计算出来。
2. 黄金分割率：斐波那契数列与黄金分割率（φ = (√5 - 1) / 2 ≈ 0.618）有着密切的联系。
当斐波那契数列的项数趋于无穷大时，相邻两项的比值会趋近于黄金分割率。
这一性质使得斐波那契数列在美学、建筑、艺术等领域具有广泛的应用。
3. 对称性：斐波那契数列具有一种神奇的对称性。
具体来说，对于任意正整数n，都有F(n) = F(n-1) + F(n-2) = F(n+1) - F(n-1)。
这种对称性使得斐波那契数列在数学上具有独特的美感。
4. 递归性质：斐波那契数列是一种递归数列，这意味着每一项都可以通过递归的方式来表示。
例如，F(5) = F(4) + F(3) = (F(3) + F(2)) + F(3) = 2F(3) + F(2) = 2(F(2) + F(1)) + F(2) = 3F(2) + 2F(1) = 3×1 + 2×1 = 5。
这种递归性质使得斐波那契数列在计算上具有较大的灵活性。
三、斐波那契数列的应用斐波那契数列作为一种重要的数学概念，其在各个领域都有着广泛的应用。
斐波那契数列及其特点
斐波那契数列及其特点斐波那契数列是数学中一列相邻两项之和等于后一项的数列，以0和1作为起始项的斐波那契数列如下所示：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34, ...斐波那契数列最早出现在12世纪的西方数学和艺术领域，由意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）发现并命名。
斐波那契数列的特点使其在数学、自然科学、计算机科学等领域具有广泛的应用。
斐波那契数列的特点：1. 递推关系：斐波那契数列的第n项等于前两项之和，即F(n) =F(n-1) + F(n-2)，其中F(0)=0，F(1)=1。
这种递推关系定义了斐波那契数列的生成规则，使得我们可以通过计算前两项的和得到后一项。
2. 黄金比例：斐波那契数列中，相邻两项的比例趋于黄金比例φ（约等于1.61803）。
当n趋于无穷大时，F(n)/F(n-1)将趋近于φ。
这一特性使得斐波那契数列与黄金分割点在数学和美学上具有广泛的应用。
3. 自然界中的应用：斐波那契数列在自然界中有许多应用。
例如，植物的花瓣数、种子排列、螺旋状物体的形态等都与斐波那契数列相关。
许多花朵的花瓣数目就是斐波那契数列中的某个数。
4. 黄金矩形：斐波那契数列还与黄金矩形密切相关。
黄金矩形是指矩形的长宽比接近黄金比例φ。
斐波那契数列的性质使得将正方形按照斐波那契数列依次放大，得到的长方形就是黄金矩形。
5. 近似无理数：斐波那契数列中的项数随着n的增大而趋近于无穷大，使得斐波那契数列中的每一项都是近似无理数。
虽然每一项不是真正的无理数，但它们可以无限接近黄金比例，从而在实际应用中具有重要价值。
总结起来，斐波那契数列是一种具有递推关系的数列，其中相邻两项的比例趋近于黄金比例。
斐波那契数列不仅在数学领域有重要应用，还广泛应用于自然科学、美学和计算机科学等领域。
通过了解斐波那契数列的特点，我们可以更好地理解和应用这一数列。
斐波那契数列(Fibonacci sequence)及相关结论
斐波那契数列（Fibonacci sequence）及相关结论一、定义斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）1202年以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89……这个数列从第 3 项开始，每一项都等于前两项之和。
在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：二、通项公式1、递推公式：2、通项公式：证明一：（构造等比数列）设常数r和s满足：即：则r和s满足如下条件：由韦达定理知，r和s为一元二次方程的两个根，不妨令当n≥3时，有即上式共n-2个式子，累乘得由于，所以有将直到按照上述递推关系式进行展开有可见是首项为，公比为，末项为的等比数列求和，根据等比数列求和公式有将r和s代入得斐波那契数列的通项公式为即方法二：特征根法三、斐波那契数列与黄金分割斐波那契数列前一项与后一项之比的极限为黄金分割比。
证明：由于因此，斐波那契数列前一项与后一项之比为即当n→+∞时，四、几个重要的结论1、前n项和公式：证明：由于斐波那契数列的通项公式为：其显然是两个等比数列的线性组合，因此我们可以利用等比数列的求和公式来计算斐波那契数列的前n 项和。
这里我们由定义和通项公式可以直接得到如下结论：即成立。
2、奇数项求和证明：3、偶数项求和证明：移项便得到证明。
4、平方求和证明：五、一些重要恒等式注：本内容收集整理于网络，如有错误请指正。
裴波那契数列
裴波那契数列裴波那契数列800年前，意⼤利的数学家斐波纳契出版了惊世之作《算盘书》。
在《算盘书》⾥，他提出了著名的“兔⼦问题”：假定⼀对兔⼦每个⽉可以⽣⼀对兔⼦，⽽这对新兔⼦在出⽣后第⼆个⽉就开始⽣另外⼀对兔⼦，这些兔⼦不会死去，那么⼀对兔⼦⼀年内能繁殖多少对兔⼦？答案是⼀组⾮常特殊的数字：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89……不难发现，从第三个数起，每个数都是前两数之和，这个数列则称为“斐波纳契数列”，其中每个数字都是“斐波纳契数”。
这个数列从第三项开始，每⼀项都等于前两项之和。
它的通项公式为：斐波拉契数列是⼀个⾮常美丽、和谐的数列，它的形状可以⽤排成螺旋状的⼀系列正⽅形来说明起始的正⽅形(图中⽤灰⾊表⽰)的边长为1，在它左边的那个正⽅形的边长也是1 ，在这两个正⽅形的上⽅再放⼀个正⽅形，其边长为2，以后顺次加上边长为3、5、8、13、21……等等的正⽅形。
这些数字每⼀个都等于前⾯两个数之和，它们正好构成了斐波那契数列。
斐波纳契数列还暗含着许多有趣的数字规律，如从第3个数开始每隔两个必是2的倍数，从第4个数开始每隔3个必是3的倍数，从第5个数开始每隔4个必是5的倍数……另外，这个数列最具有和谐之美的地⽅是，越往后，相邻两项的⽐值会⽆限趋向于黄⾦⽐0.61803……。
⽣活中的裴波那契数列斐波拉契数列⽆处不在，以下仅举⼏条常见的例⼦：1．杨辉三⾓对⾓线上各数之和构成斐波拉契数列．2．多⽶诺牌（可以看作⼀个2×1⼤⼩的⽅格）完全覆盖⼀个n×2的棋盘，覆盖的⽅案数等于斐波拉契数列。
3．从蜜蜂的繁殖来看，雄蜂只有母亲，没有⽗亲，因为蜂后产的卵，受精的孵化为雌蜂，未受精的孵化为雄峰。
⼈们在追溯雄峰的祖先时，发现⼀只雄峰的第n代祖先的数⽬刚好就是斐波拉契数列的第n项Fn。
4．钢琴的13个半⾳阶的排列完全与雄蜂第六代的排列情况类似，说明⾳调也与斐波拉契数列有关。
5．⾃然界中⼀些花朵的花瓣数⽬符合于斐波拉契数列，也就是说在⼤多数情况下，⼀朵花花瓣的数⽬都是3,5,8,13,21,34,……(有6枚是两套3枚;有4枚可能是基因突变)。
斐波那契数列
斐波那契数列与黄金分割
黄金分割
黄金分割是一种比例关系，即将一条线段分为两部分，使得较长部分与原线段的比例等于较短部分与较长部分 的比。在斐波那契数列中，每一项都是前一项与前前一项的比值，这个比值趋近于黄金分割的比值（√5 - 1） /2约等于0.618034。
应用
斐波那契数列和黄金分割在艺术、音乐、建筑等领域都有广泛的应用，如绘画、雕塑、音乐节奏等。
• 优点：可以适用于较大的n值，且代码相对简洁。 • 缺点：相对于递归和迭代算法，其计算效率较低。 • 示例代码 • function fibonacci(n) • A = {{0, 1}, {1, 1}} • x = {0, 1} • for i from 2 to n do • x = {x[1] + x[2], x[0]} • return x[0] • · 矩阵乘法算法是通过将斐波那契数列视为矩阵的方式来计算的。矩阵乘法算法的时间复杂度为O(n^2)，相
2023
斐波那契数列
汇报人：
目录
• 斐波那契数列简介 • 斐波那契数列的算法 • 斐波那契数列的数学性质 • 斐波那契数列的计算机实现 • 斐波那契数列的优化与扩展 • 斐波那契数列的相关问题与挑战
01
斐波那契数列简介
定义与特性
特性
除了前两个数字外，每个数字都 是正整数。
定义：斐波那契数列是一系列数 字，从0和1开始，后面的每个数 字是前两个数字的和。
矩阵乘法的优化
要点一
矩阵乘法优化概述
要点二
分布式计算
矩阵乘法是计算量较大的运算之一， 因此对其进行优化可以提高计算效率 。
使用分布式计算框架如Apache Spark，将矩阵乘法运算分布到多个 计算节点上，从而加快计算速度。
斐波那契数列的含义
斐波那契数列的含义
斐波那契数列是一个无限序列，其特点是每个数都是前两个数的和。
其定义如下：
F(0) = 0
F(1) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2), 当n ≥ 2时
斐波那契数列的含义可以从多个角度来解释：
1. 数学领域：斐波那契数列是数学中一个经典的数列，具有丰富的数学性质。
例如，它是一个递归数列，可以用递推关系来计算；它具有黄金分割比例相关的性质等。
2. 自然现象：斐波那契数列在自然界中有一些出现频率较高的情况，例如某些植物的花瓣数、螺旋线的数量等可以近似地符合斐波那契数列的规律。
这种现象被称为“自然数列”。
3. 算法和编程：斐波那契数列在算法和编程中有一些应用。
例如，可以使用斐波那契数列来设计递归算法或动态规划算法解决一些问题；斐波那契数列也经常被用作编程练习的题目之一。
总的来说，斐波那契数列作为一个经典的数列，在数学、自然科学和计算机科学中都具有一定的重要性和应用价值。
数字百科
数字百科：斐波拉契数列斐波拉契数列（又译作“斐波那契数列”或“斐波那切数列”）是一个非常美丽、和谐的数列，它的形状可以用排成螺旋状的一系列正方形来说明（如右词条图），起始的正方形(图中用灰色表示)的边长为1，在它左边的那个正方形的边长也是1 ，在这两个正方形的上方再放一个正方形，其边长为2，以后顺次加上边长为3、5、8、13、21……等等的正方形。
这些数字每一个都等于前面两个数之和，它们正好构成了斐波那契数列。
斐波拉契数列的简介“斐波那契数列”（Fibonacci Sequences）的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年。
籍贯大概是比萨）。
他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34…… 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n} (√5表示5的算术平方根)(19世纪法国数学家敏聂(Jacques Phillipe Marie Binet 1786-1856) 很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
斐波拉契数列之闻名，可能还跟美国悬疑作家丹·布朗有关，他在他的小说《达芬奇密码》之中巧妙地运用了该数列。
其实，我国现行的高中教材中提及了杨辉三角，斐波拉契数列可在其中寻得。
斐波拉契数列的出现13世纪初，欧洲最好的数学家是斐波拉契；他写了一本叫做《算盘书》的著作，是当时欧洲最好的数学书。
大自然的神奇数列—斐波那契数列详解
大自然的神奇数列—斐波那契数列详解斐波那契是专业交易者可以使用的最重要的工具之一。
本文将介绍：什么是斐波那契？斐波那契序列水平，斐波那契策略以及如何通过三种不同的方法正确使用斐波那契工具，这将提高你的交易策略的有效性。
列奥纳多·波纳契列奥纳多·波纳契又名斐波那契，大约1170年出生于比萨，是一位富商的儿子。
他是一位意大利数学家，被认为是中世纪最有才华的西方数学家。
他的书“ Liber Abaci”介绍了印度－阿拉伯数字系统。
什么是斐波那契？斐波那契数列是指一组数字，该数字以数字1或数字0开头，后接另一个数字1，然后该模式根据以下规则继续：数字（或斐波那契数字）将等于它们前面两个数字的总和（或之前两个数字的总和）。
如今，斐波那契水平被用于所有类型的交易中，包括股票，期货，商品，加密货币以及外汇交易。
斐波那契水平及其回撤和目标是整个技术分析领域中最好的工具之一。
其强大的支撑和阻力位是精确而明确的。
最重要的是，斐波那契提供非常明确和精确的出入点。
斐波那契水平是从斐波那契数列得出的。
斐波那契序列水平斐波那契数列如下：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987、1597等。
通过始终将最后两个数字加在一起来创建：•0 +1 = 1•1 +1 = 2•1 + 2 = 3•2 + 3 = 5•3 + 5 = 8等如果我们将其应用于更高的数字，我们将仍然具有相同的完美序列。
•89 + 144 = 233，•144 + 233 = 377，依此类推您可能想知道为什么这些斐波那契序列号如此重要。
原因有很多，包括：•交易图表上强烈尊重斐波那契数列，因为绝大多数交易者都在使用它们。
•斐波那契序列水平用于计算斐波那契回撤和斐波那契目标，这是市场上经常使用的水平。
•这些数字不仅用于交易市场，而且实际上可以在我们周围观察到：在晶体形式中，或通过演奏音乐进行演奏。
费波那契数列
斐波拉契数列（又译作“斐波那契数列”或“斐波那切数列”）是一个非常美丽、和谐的数列，它的形状可以用排成螺旋状的一系列正方形来说明（如右词条图），起始的正方形(图中用灰色表示)的边长为1，在它左边的那个正方形的边长也是1 ，在这两个正方形的上方再放一个正方形，其边长顺次加上边长为3、5、8、13、21……等等的正方形。
这些数字每一个都等于前面两个数之和，它们正好构成了斐波那契数列。
斐波拉契数列的简介：“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年。
籍贯大概是比萨）。
他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}(√5表示5的算术平方根)(19世纪法国数学家敏聂(Jacques Phillipe Marie Binet 1786-1856) 很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
斐波拉契数列之闻名，可能还跟美国悬疑作家丹·布朗有关，他在他的小说《达芬奇密码》之中巧妙地运用了该数列。
其实，我国现行的高中教材中提及了杨辉三角，斐波拉契数列可在其中寻得。
13世纪初，欧洲最好的数学家是斐波拉契；他写了一本叫做《算盘书》的著作，是当时欧洲最好的数学书。
书中有许多有趣的数学题，其中最有趣的是下面这个题目：“如果一对兔子每月能生1对小兔子，而每对小兔在它出生后的第3个月裏，又能开始生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的兔子开始，1年后能繁殖成多少对兔子？”斐波拉契把推算得到的头几个数摆成一串：1，1，2，3，5，8……这串数里隐含着一个规律：从第3个数起，后面的每个数都是它前面那两个数的和。
同余定理 斐波那契数列
同余定理斐波那契数列一、同余定理概述同余定理是数论中的一个基本概念，它描述了整数在模运算下的性质。
简单来说，如果两个整数a和b对某个模m来说是相等的，即a mod m = b mod m，则称a和b对模m同余。
同余定理在数学中有广泛的应用，如证明多项式方程的解的存在性、唯一性等。
二、斐波那契数列简介斐波那契数列是一个经典的数列，它由0和1开始，之后的每一项都是前两项的和。
这个数列的前几项为：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...。
斐波那契数列在许多领域都有应用，例如生物学、计算机科学、经济学等。
三、同余定理与斐波那契数列的联系斐波那契数列中存在一种有趣的关系，即任意一项与它后面的一项对模2的余数相同。
具体来说，对于任意的斐波那契数列中的两项F(n)和F(n+1)，它们满足F(n) mod 2 = F(n+1) mod 2。
这个性质可以用来证明斐波那契数列中的一些性质，例如它是周期性的。
四、同余定理在斐波那契数列中的应用同余定理在斐波那契数列中有多种应用。
首先，我们可以利用同余定理来研究斐波那契数列的性质，例如通过计算斐波那契数列中各项模某个数的余数来找出其中的规律或周期性。
其次，我们可以使用同余定理来证明斐波那契数列中的一些重要结论，例如F(n+1) mod p = F(n) mod p + F(n-1) mod p，这个结论可以帮助我们更好地理解斐波那契数列的性质。
此外，我们还可以使用同余定理来求解一些与斐波那契数列相关的问题，例如寻找满足特定条件的斐波那契数。
五、举例说明同余定理在斐波那契数列中的应用下面举一个例子来说明同余定理在斐波那契数列中的应用。
假设我们要找到满足F(n) mod 2 = 0的所有n的值。
根据同余定理，如果F(n) mod 2 = 0，那么F(n-1) mod 2和F(n-2) mod 2必须满足一定的关系。
通过计算可以发现，当F(n-1) mod 2 = 0时，F(n) mod 2 = F(n-1) mod 2 = 0；而当F(n-1) mod 2 = 1时，F(n-2) mod 2必须为0或1，使得F(n) mod 2 = F(n-1) mod 2 + F(n-2) mod 2 = 0。
斐波那契数列的含义
斐波那契数列的含义
斐波那契数列是由0和1作为初始值，后续的每个数都是前两个数之和所组成的数列。
即F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n为正整数）。
斐波那契数列可以用来描述一些自然现象和数学问题，其中包括：
1. 生物学中的规律：斐波那契数列在生物学中有一定的应用，例如逐级增长的植物叶片、螺旋状的盘香菜叶序列、蜂巢的排列结构等都可以用斐波那契数列来描述。
2. 黄金比例：斐波那契数列中相邻两个数的比值趋近于黄金比例φ（约等于1.618），即lim(n→∞) F(n+1)/F(n) = φ。
黄金比例在艺术、建筑等领域中有广泛应用，被认为是一种美学和几何上的最佳比例。
3. 数学问题：斐波那契数列在数学问题中有一些有趣的性质和应用。
例如，它与矩阵的幂等性有关，可以通过矩阵相乘的方式计算斐波那契数列的值；它还与二项式系数、排列组合等数学概念有一定的关联。
总之，斐波那契数列是一种具有一定规律和性质的数列，可以描述一些自然现象和数学问题，也具有一定的美学和几何的应用。
斐波那契数列
斐波那契数列简介:斐波那契数列又称黄金分割数列、费波那西数列、费波拿契数、费氏数列，指的是这样一个数列:0、1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=Fn-1+Fn-2（n>=2，n∈N*），用文字来说，就是斐波那契数列是由0和1开始，之后的斐波那契数列系数就由之前的两数相加。
基本关系:它有一个递推关系，f(1)=1，f(2)=1，f(n)=f(n-1)+f(n-2),其中n>=2，3f(n)=f(n+2)+f(n-2)性质:尾数循环:斐波那契数列的个位数：一个60步的循环进一步，斐波那契数列的最后两位数是一个300步的循环，最后三位数是一个1500步的循环，最后四位数是一个15000步的循环，最后五位数是一个150000步的循环。
应用:尼姆游戏:有一种两人游戏，名叫“尼姆”。
游戏方法是由两个人轮流取一堆粒数不限的砂子。
先取的一方可以取任意粒，但不能把这堆砂子全部取走。
后取的一方，取数也多少不拘，但最多不能超过对方所取砂子数的一倍。
然后又轮到先取的一方来取，但也不能超过对方最后一次所取砂子的一倍。
这样交替地进行下去，直到全部砂子被取光为止，谁能拿到最后一粒砂子，谁就算胜利者。
在这个游戏中，若所有砂子的粒数是个斐波那契数的话，那么后取的一方稳操胜券，但所有的砂子不是一个斐波那契数的话，那么先取的一方稳胜。
例子:共有5个A拿1 B就拿1A如果1 还剩2个，B拿2个赢了A如果拿2，还剩一个，B拿1个赢了数字谜题:现有长为144cm的铁丝，要截成n小段（n>2），每段的长度不小于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为多少？分析：由于形成三角形的充要条件是任何两边之和大于第三边，因此不构成三角形的条件就是任意两边之和不超过最大边。
截成的铁丝最小为1，因此可以放2个1，第三条线段就是2（为了使得n最大，因此要使剩下来的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻2段之和），依次为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各数之和为143，与144相差1，因此可以取最后一段为56，这时n达到最大为10。
斐波那契数列知识总结
斐波那契数列知识总结斐波那契数列是一类特殊的数列，被称为著名的算术现象。
斐波那契数列的出现可以追溯到十六世纪的意大利数学家法国纳西尼斐波那契（F. Fibonacci）。
他在《计算商》一书中提出了一个简单的问题：“如果一只兔每春季都产一只兔崽，每仔兔崽也同样在每春次出生，那么一年后将有多少只兔子？”他提出了一个数列，其中每一项都等于它的前两项之和，就是今天熟悉的斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233......斐波那契数列数据类型十分独特，它有着许多用途。
它可以用于求解数学问题，如求球的体积，求树的姿态，求阶乘，求递归等。
斐波那契数列也可以用于解决实际问题，比如求解金融市场风险，最优化产品销售策略，求解气候变化模型等。
此外，斐波那契数列还可以用于生物学研究，如求解动物繁殖规律，探究生物纤维形态结构，探究生物进化规律等。
斐波那契数列的构造规则也很有趣。
数列中任意一项都可以表示为: Fn=Fn-1+Fn-2,其中F1=F2=1，n从3开始，随着n的不断加大，Fn也会不断增大，数列中的任意一项都可以表示为: Fn=(Fn-1)*g,其中，g为数列的增长率，数列增长率可以表示为g=Fn/Fn-1，数列项数可以表示为n=log2(Fn/F1)，数列的总和可以表示为F=∑Fn=(5/2)*Fn-1。
斐波那契数列有许多应用，它的出现也影响了科学家们的思考方式。
斐波那契数列的优势使它成为了数学和计算机科学领域的重要数据结构之一。
在数学研究中，斐波那契数列的性质常常被利用来探究很多有趣的数学性质；在计算机科学中，斐波那契数列的性质被用来表示最短路径算法，也常常被用来构造更复杂的基于网络拓扑结构的数据抽象结构。
斐波那契数列是一个著名的数学现象，其规律也很有意义。
斐波那契数列的出现让科学家们发现了一种新的数学模型，也得到了在各个领域的广泛使用。
斐波那契数列的出现也影响了许多与之相关的数学现象，让科学家们对自然规律有了更深入的理解。
生活中的斐波那契数列
生活中的斐波那契数列斐波那契数列是一类具有独特性质的数字序列，其表达式为：F （n）=F(n-1)+F(n-2)。
它的第一项和第二项分别为1和1，从第三项开始，每一项都是前两项之和。
之所以被称为“斐波那契”数列，是因为它曾被意大利数学家斐波那契（Fibonacci）注意到，他在著名的著作《迭代算法》（Liber Abaci）中对这种数列作了深入的介绍。
斐波那契数列的特点是它在数学上具有很多突出的性质，例如符合二次递推关系，其无穷尽头结果可以通过数学证明而得出，等等。
它还因经常出现在自然界规律中而被广泛引用。
它被发现出现在许多生物学应用中，如在壳片结构中、在鸢尾花中和在分蘖植株中。
在艺术上，斐波那契序列通常被用来创造美丽的比例，如著名的“金字塔十八节”。
斐波那契数列在经济学上的应用也很广泛。
它可以用来分析股价的变动趋势、投资回报率的变化，甚至模拟经济循环。
例如，投资者经常会使用投资回报率、斐波那契数列以及其他技术指标来分析股市行情，以推算股价的变动趋势。
斐波那契数列也常常用来分析数据流处理，是著名的面向对象分析工具的基础。
例如，当程序员正在分析一个应用程序的网络交流，他可以使用斐波那契数列来比较不同数据流之间的时间差，以指导他的分析。
斐波那契数列的有趣特性已经引起了科学家们的广泛关注，也促进了更多的研究工作。
这种数列的研究也被证明为一个重要的研究领域，它不仅被认为可以帮助人们更好地理解计算机科学和数学知识，而且还可以帮助我们更有效地利用计算机来解决问题。
因此，斐波那契数列无疑是数学中最有趣的数学概念之一。
它不仅被用于现代工程学和技术研究，而且也可以被用来更好地理解数学和自然界的规律，甚至是艺术的美丽。
斐波那契数列被用来分析复杂的问题，为人类把握宇宙秩序带来了巨大的帮助！。
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斐波拉契数列的简介
斐波拉契数列（又译作“斐波那契数列”或“斐波那切数列”）是一个非常美丽、和谐的数列，它的形状可以用排成螺旋状的一系列正方形来说明（如右词条图），起始的正方形(图中用灰色表示)的边长为1，在它左边的那个正方形的边长也是1 ，在这两个正方形的上方再放一个正方形，其边长为2，以后顺次加上边长为3、5、8、13、2l……等等的正方形。
这些数字每一个都等于前面两个数之和，它们正好构成了斐波那契数列。
“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年。
籍贯大概是比萨）。
他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34……
这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n} (√5表示5的算术平方根) (19世纪法国数学家敏聂(Jacques Phillipe Marie Binet 1786-1856)
很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用
无理数来表达的。
斐波拉契数列之闻名，可能还跟美国悬疑作家丹·布朗有关，他在他的小说《达芬奇密码》之中巧妙地运用了该数列。
其实，我国现行的高中教材中提及了杨辉三角，斐波拉契数列可在其中寻得。
■斐波拉契数列的出现
13世纪初，欧洲最好的数学家是斐波拉契；他写了一本叫做《算盘书》的著作，是当时欧洲最好的数学书。
书中有许多有趣的数学题，其中最有趣的是下面这个题目：
“如果一对兔子每月能生1对小兔子，而每对小兔在它出生后的第3个月裏，又能开始生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的兔子开始，1年后能繁殖成多少对兔子？”
斐波拉契把推算得到的头几个数摆成一串：1，1，2，3，5，8……
这串数里隐含着一个规律：从第3个数起，后面的每个数都是它前面那两个数的和。
而根据这个规律，只要作一些简单的加法，就能推算出以后各个月兔子的数目了。
于是，按照这个规律推算出来的数，构成了数学史上一个有名的数列。
大家都叫它“斐波拉契数列”，又称“兔子数列”。
这个数列有许多奇特的的性质，例如，从第3个数起，每个数与它后面那个数的比值，都很接近于0.618，正好与大名鼎鼎的“黄金分割律”相吻合。
人们还发现，连一些生物的生长规律，在某种假定下也可由这个数列来刻画呢。
斐氏本人对这个数列并没有再做进一步的探讨。
直到十九世纪初才有人详加研究，1960年左右，许多数学家对斐波拉契数列和有关的现象非常感到兴趣，不但成立了斐氏学会，还创办了相关刊物，其后各种相关文章也像斐氏的兔子一样迅速地增加。
■斐波拉契数列的来源及关系
斐波拉契（Fibonacci）数列来源于兔子问题，它有一个递推关系，
f(1)=1
f(2)=1
f(n)=f(n-1)+f(n-2),其中n>=2
{f(n)}即为斐波拉契数列。
■斐波拉契数列的公式
它的通项公式为:{[（1＋√5）/2]^n － [（1－√5）/2]^n }/√5 （注：√5表示根号5）
■斐波拉契数列的某些性质
■1)，f(n)f(n)-f(n+1)f(n-1)=(-1)^n;
■2), f(1)+f(2)+f(3)+……+f(n)=f(n+2)-1
■3),arctan[1/f(2n+1)]=arctan[1/f(2n+2)]+arctan[1/f(2n+3)] 【斐波拉契数列的存在】
甚至可以说，斐波拉契数列无处不在，以下仅举几条常见的例子：
■1．杨辉三角对角线上各数之和构成斐波拉契数列．
■2．多米诺牌（可以看作一个2×1大小的方格）完全覆盖一个n×2的棋盘，覆盖的方案数等于斐波拉契数列。
■3．从蜜蜂的繁殖来看，雄峰只有母亲，没有父亲，因为蜂后产的卵，受精的孵化为雌蜂，未受精的孵化为雄峰。
人们在追溯雄峰的祖先时，发现一只雄峰的第n代祖先的数目刚好就是斐波拉契数列的第n项Fn。
■4．钢琴的13个半音阶的排列完全与雄峰第六代的排列情况类似，说明音调也与斐波拉契数列有关。
■5．自然界中一些花朵的花瓣数目符合于斐波拉契数列，也就是说在大多数情况下，一朵花花瓣的数目都是3,5,8,13,21,34,……(有6枚是两套3枚;有4枚可能是基因突变)。
■6．如果一根树枝每年长出一根新枝，而长出的新枝两年以后，每年也长出一根新枝，那么历年的树枝数，也构成一个斐波拉契数列．
【斐波拉契数列与黄金分割】
斐波拉契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现，相邻两个斐波拉契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。
即f(n-1)/f(n)-→0.618…。
由于斐波拉契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。
但是当我们继续计算出后面更大的斐波拉契数时，就会发现相邻两数之比确实
是非常接近黄金分割比的。
不仅这个由1,1,2,3,5....开始的"斐波拉契数"是这样,随便选两个整数,然后按照斐波拉契数的规律排下去,两数间比也是会逐渐逼近黄金比的．
帕多瓦数列的三角形
【斐波拉契数列的变式】■１.帕多瓦数列：1，1，1，2，2，3，4，5，7，9，12，16，21，……这样的数列称为帕多瓦数列。
它和斐波拉契数列非常相似，稍有不同的是：每个数都是跳过它前面的那个数，并把再前面的两个数相加而得出的。
这个数列可以用另一幅图来表示，它是由一些等边三角形构成的(如右图)。
开始的三角形用灰色表示，为了使这些三角形天衣无缝地拼在一起，头三个三角形的边长均为1，其后的两个三角形的边长为2，然后依次是3、4、5、7、9、12、16、2l……等等。
■２.冬冬有15块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？
如果冬冬有3块糖、4块糖或者5块糖，都只有1种吃法；如果有6块糖，则有2种吃法；如果有7块糖，则有3种吃法；如果有8
块糖，则有4种吃法；如果有9块糖，则有6种吃法．
既：吃糖的粒数：３４５６７８９１０１１１２．．．
糖的吃法：１１１２３４６９１３１９．．．这样的数列，它和斐波拉契数列不同的是，每次都是跳过中间的那个数，再把第1、3两个数相加，等于第4个数。
它的规律和斐波拉契数列既相似之处又有不同之处．
■３.小明要上楼梯，他每次能向上走一级、两级或三级，如果楼梯有10级，他有几种不同的走法？
这里我们不妨也来研究一下其中的规律：如果楼梯就一级，他有1种走法；如果楼梯有两级，他有2种走法；如果楼梯有三级，他有4种走法；如果有五级楼梯，他有7种走法．
既：楼梯的级数：１２３４５６７８．．．
上楼梯的走法：１２４７１３２４４４８１．．．这其中的规律就是，这里从第4个数开始，每一个数都等于它前面的3个数之和。
该数列有很多奇妙的属性
比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…… (后一项与前一项之比1.6180339887…… )还有一项性质，从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。
如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。
如果任意挑两个数为起始，比如5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等，你将发现随着数列的发展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值。
斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。
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