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江西省百所重点中学2014届下学期高三模拟考试数学试卷(理科,有答案)

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江西省重点高中2014届下学期高三年级模拟考试数学试卷(理科) 有答案

江西省重点高中2014届下学期高三年级模拟考试数学试卷(理科) 有答案

江西省重点高中2014届下学期高三年级模拟考试数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 复数31()1i i+-的共轭复数为 A. 1B. －1C. iD. i -2.函数ln y x=的定义域为 A. (0,2]B. (0,2)C. (0,1)(1,2) D. (0,1)(1,2]3. 在正项等比数列{}n a 中，1a 和19a 为方程210160x x -+=的两根，则81012a a a 等于 A. 16B. 32C. 64D. 2564. 物价部门对九江市的5家商场的某商品的一天销售量与价格进行调查，5家商场的价格x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：是 3.240y x =-+，且20m n +=，则其中的n 等于A. 9B. 10C. 11D. 125. 设2,[0,1]()1,(1,]x x f x x e x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，则0()e f x dx ⎰的值为A. 1B. 2C.43D.236. 函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），右平移3π个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为A. 4x π=-B. 2x π=-C. 8x π=D. 4x π=7. 已知正整数对按如下规律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第60个数对是A. （5，7）B. （6，7）C. （7，6）D. （7，5）8. 下列各命题中正确的命题是①命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题；②命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”；③“函数22()cos sin f x ax ax =-最小正周期为π”是“1a =”的必要不充分条件； ④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“0a b ⋅<”。

江西省百所重点中学高三数学模拟考试 理(扫描版)

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江西省百所重点中学2014届高三数学模拟考试理（扫描版）江西省百所重点中学高三模拟考试数学试卷参考答案(理科)1． C z ＝5－3i1－i ＋2i ＝4＋3i ，则||z ＝5.2． AM ＝{}x |x <－3或x >1，N ＝{}x |1<x <2，则(RM )∪N ＝[－3，2)．3.B 由题意得第3组的频率为0.2，所以第3组的频数等于100×0.2＝20. 4．C ∵S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝14，a 1＋8＋a 3＋6＝6a 2， ∴7a 2＝28，即a 2＝4， ∴a 1·a 3＝a 22＝16.5．A 作出不等式对应的可行域如图，当取点D (m ，2－2m )时，z 取最大值为7m －4，由7m －4≥5得m ≥97，故选A.6．D 在△APF 中，|PA |＝|PF |，|AF |sin 60°＝4，∴|AF |＝83，又∠PAF ＝∠PFA ＝30°，过P 作PB ⊥AF 于B ，则|PF |＝|BF |cos 30°＝12|AF |cos 30°＝83.7．A k ＝2，S ＝4；k ＝3，S ＝11；k ＝4，S ＝26；k ＝5，S ＝57，输出结果，判断框内填“k ＞4”．8．B 若甲、乙两人只有一人参加时，不同的发言顺序有C 12C 35A 44种；若甲、乙同时参加时，不同的发言顺序有A 24A 23种．共C 12C 35A 44＋A 24A 23＝552种．9．C 根据面面平行的性质定理可得AC ∥GD ，EF ∥GD ，∴EF ∥AC ，∵AC ⊥平面AE ，∴EF ⊥平面AE ，故①正确；取DG 的中点O ，连结AO 、EO ，则AO ∥CG ，EO ∥FG ，∴平面AEO ∥平面CF ，即AE ∥平面CF ，故②正确；连结CO 、FO ，则CO ⊥平面DEFG ，∴∠CFO 为所求线面角，∵CO ＝FO ＝2，∴∠CFO ＝π4，故③正确；该多面体的体积V ＝V ADO －BEF ＋V ABC －OFG ＝4，故④错误．10．B ∵AP 0＝2, P 0B=1，则P 1B ＝tan θ＝x ，P 1C ＝2－x ，P 2C ＝P 1C tan θ＝2x－1，P 2D ＝4－2x ，P 3D ＝P 2D tan θ＝4tan θ－2，P 3A ＝4－4x ，P 4A ＝4x －4.∵P 4落在A 、P 0之间，∴0＜4x－4＜2，即23＜x ＜1.∵y ＝S矩形ABCD－S △P 0BP 1-S △P 1C P 2－S △P 2D P 3－S △P 3AP 4＝6－12x －12(2－x )(2x －1)－12(4－2x)(4x －2)－12(4－4x )(4x －4)＝32－12(34x ＋24x )＝32－(17x ＋12x )≤32－451，当且仅当x ＝25117时等号成立，又当x ＝23时，y ＝83；x ＝1时，y ＝3，故选B.11.55 点(tan 5π4，sin(－π6))可化为点(1，－12)，则sin θ＝－55， ∴cos(5π2＋θ)＝－sin θ＝55.12. 213e -11()(2)21,x x x f x ex ae e ae e a =='=+=+=⇒=-则1231012()()1.33x x ex e dx ex e e -=-=-⎰13.1 依题意，|OA →|＝|OC →|＝|AB →|＝2，OA →·OC →＝2×2cos ∠AOC ＝1，cos ∠AOC ＝12，∠AOC ＝π3，则|AC →|＝|OA →|＝|OC →|＝2，∠BAC ＝π3，AB →·AC →＝2×2cos ∠BAC ＝1.14. 5 由题意可知点P 在双曲线的左支上且b >a ，设PF 的中点为M ，双曲线的右焦点为F ′(c ，0)，连结OM 、PF ′(O 为坐标原点)，则|PF ′|＝2|OM |＝2b 且PF ⊥PF ′，∴PF ＝PF ′－2a ＝2b －2a ，|PF |2＋|PF ′|2＝|FF ′|2，即(2b －2a )2＋(2b )2＝(2c )2，得b＝2a ，则该双曲线的离心率e ＝a 2＋4a 2a＝ 5.15．(1)± 2 ⊙C 1的方程化为ρ＝4cos θ＋4sin θ，化简得ρ2＝4ρcos θ＋4ρsin θ，由ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得x 2＋y 2－4x －4y ＝0，其圆心C 1坐标为(2，2)，半径r 1＝22；圆C 2的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ的普通方程是(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝a 2，所以C 2的坐标是(－1，－1)，r 2＝|a |，因为两圆外切，所以|a |＋22＝|C 1C 2|＝（2＋1）2＋（2＋1）2＝32，所以a ＝± 2.(2)3 不等式|x ＋1|－|x －2|＜a 的解集为(－∞，2)，说明解的区间端点2是方程|x ＋1|－|x －2|＝a 的一个根，∴有|2＋1|－|2－2|＝a ，解得a ＝3.16．解：(1)在△ABC 中，根据余弦定理a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，且a 2＋c 2－b 2＝233ac sinB ，∴2ac cos B ＝233ac sin B ，∴tan B ＝ 3.又∵0＜B ＜π，∴B ＝π3.(6分)(2)∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝π－A －B ＝2π3－A .由正弦定理，得c sin C ＝b sin B ＝3sinπ3＝2，∴c ＝2sin C ＝2sin (2π3－A )．∵π6＜A ＜π2，∴π6＜2π3－A ＜π2. ∴12＜sin (2π3－A )＜1.∴c ∈(1，2).(12分) 17．解：(1)∵6S n ＝a 2n ＋3a n ＋2， ①∴6a 1＝a 21＋3a 1＋2，解得a 1＝1或a 1＝2.又6S n －1＝a 2n －1＋3a n －1＋2(n ≥2)， ②由①－②，得6a n ＝(a 2n －a 2n －1)＋3(a n －a n －1)， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－3)＝0.∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝3(n ≥2)．当a 1＝2时，a 2＝5，a 6＝17，此时a 1，a 2，a 6不成等比数列，∴a 1≠2；∴a n ＝3n －2，b n ＝4n －1.(6分)(2)由(1)得T n ＝1×4n －1＋4×4n －2＋…＋(3n －5)×41＋(3n －2)×40， ③∴4T n ＝1×4n ＋4×4n －1＋7×4n －2＋…＋(3n －2)×41. ④由④－③得3T n ＝4n＋3×(4n －1＋4n －2＋…＋41)－(3n －2)＝4n＋12×（1－4n －1）1－4－(3n －2)＝2×4n－(3n ＋1)－1＝2b n ＋1－a n ＋1－1， ∴3T n ＋1＝2b n ＋1－a n ＋1，n ∈N ＋.(12分) 18．解：(1)若该生被录取，则前四项最多有一项不合格，并且第五项必须合格，记A ＝{前四项均合格，且第五项合格}，B ＝{前四项中仅有一项不合格，且第五项合格}，则P (A )＝(12)4·(1－23)＝148，P (B )＝C 14×12×(1－12)3×(1－23)＝112. 又A 、B 互斥，故所求概率为P ＝P (A )＋P (B )＝148＋112＝548.(2)该生参加考试的项数X 可以是2，3，4，5.P (X ＝2)＝12×12＝14，P (X ＝3)＝C 12(1－12)×12×12＝14，P (X ＝4)＝C 13(1－12)×(12)2×12＝316，P (X ＝5)＝1－14－14－316＝516，则X 的分布列为X 2 3 4 5 P14 14316516EX ＝2×14＋3×14＋4×316＋5×516＝5716.(12分)19．解：(1)CM 与BN 交于F ，连结EF . 由已知可得四边形BCNM 是平行四边形， ∴F 是BN 的中点．∵E 是AB 的中点，∴AN ∥EF ， 又EF平面MEC ，AN平面MEC ，∴AN ∥平面MEC .(5分)(2)连结DE .由于四边形ABCD 是菱形，E 是AB 的中点，可得DE ⊥AB .如图，建立空间直角坐标系D －xyz ，则D (0，0，0)，E (3，0，0), C (0，2，0)，M (3，－1，377).CE →＝(3，－2，0)，EM →＝(0，－1，377)．设平面MEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧CE →·n ＝0，EM →·n ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝0，y －377z ＝0.令x ＝2，所以n ＝(2，3，213)， 又平面CDE 的法向量m ＝(0，0，1)，所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n |＝12.所以二面角M —EC —D 的大小是60°.(12分) 20．解：(1)∵CD ＝4105，∴点E (2105，2105)，又∵PQ ＝2105，∴点G (4105，105)，则⎩⎪⎨⎪⎧85a 2＋85b 2＝1，325a 2＋25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝2，∴椭圆方程x 28＋y 22＝1.（4分）(2)设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1，k 2，只需证明k 1＋k 2＝0即可，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则k 1＝y 1－1x 1－2，k 2＝y 2－1x 2－2，直线l 方程为y ＝12x ＋m ，代入椭圆方程x 28＋y 22＝1消去y ，得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0可得x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4.（9分） 而k 1＋k 2＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝（y 1－1）（x 2－2）＋（y 2－1）（x 1－2）（x 1－2）（x 2－2）＝（12x 1＋m －1）（x 2－2）＋（12x 2＋m －1）（x 1－2）（x 1－2）（x 2－2）＝x 1x 2＋（m －2）（x 1＋x 2）－4（m －1）（x 1－2）（x 2－2）＝2m 2－4＋（m －2）（－2m ）－4（m －1）（x 1－2）（x 2－2）＝2m 2－4－2m 2＋4m －4m ＋4（x 1－2）（x 2－2）＝0，（12分）∴k 1＋k 2＝0，故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.（13分） 21．解：(1)因为f (x )在(1，＋∞)上为减函数， 故f ′(x )＝ln x －1（ln x ）2－a ≤0在(1，＋∞)上恒成立．所以当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )max ≤0.又f ′(x )＝ln x －1（ln x ）2－a ＝－(1ln x )2＋1ln x －a ＝－(1ln x －12)2＋14－a ， 故当1ln x ＝12，即x ＝e 2时，f ′(x )max ＝14－a .所以14－a ≤0，于是a ≥14，故a 的最小值为14.(4分)(2)命题“若存在x 1，x 2∈[e ，e 2]，使f (x 1)≤f ′(x 2)＋a 成立”等价于“当x ∈[e ，e 2]时，有f (x )min ≤f ′(x )max ＋a ”．由(1)，当x ∈[e ，e 2]时，有f ′(x )max ＝14－a ，∴f ′(x )max ＋a ＝14.问题等价于“当x ∈[e ，e 2]时，有f (x )min ≤14”.(6分)10当a ≥14时，由(1)，f (x )在[e ，e 2]上为减函数，则f (x )min ＝f (e 2)＝e 22－a e 2≤14，故a ≥12－14e2.(8分)20当a ＜14时，由于f ′(x )＝－(1ln x －12)2＋14－a 在[e ，e 2]上为增函数，故f ′(x )的值域为[f ′(e)，f ′(e 2)]，即[－a ，14－a ]．① 若－a ≥0，即a ≤0，f ′(x )≥0在[e ，e 2]上恒成立，故f (x )在[e ，e 2]上为增函数， 于是，f (x )min ＝f (e)＝e －a e ≥e ＞14，不合题意.(10分)②若－a ＜0，即0＜a ＜14，由f ′(x )的单调性和值域知，存在唯一x 0∈(e ，e 2)，使f ′(x 0)＝0，且满足： 当x ∈(e ，x 0)时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数；当x ∈(x 0，e 2)时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数.(12分)所以，f (x )min ＝f (x 0)＝x 0ln x 0－ax 0≤14，x 0∈(e ，e 2)．所以，a ≥1ln x 0－14x 0＞1ln e 2－14e ＞12－14＝14，与0＜a ＜14矛盾，不合题意． 综上，得a ≥12－14e 2.(14分)。

江西省2014届高三下学期4月联考测试数学(理)试题(word版)

江西省2014届高三下学期4月联考测试数学(理)试题(word版)

江西省高中2014届下学期毕业班4月联考诊断测试数 学（理科类） 2014.4.10本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）。

第一部分1至2页，第二部分3至4页，共150分。

考试时间120分钟。

第一部分 （选择题 共50分）注意事项：用2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案，不能答在草稿纸、试题卷上。

一、本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。

1. 复数2)21(i +（其中i 为虚数单位）的虚部为A.i 4B.i 4-C.4D.-4 2. 函数)2lg(2x x y -∙+=的定义域为A.)0,2(-B.)2,0(C.)2,2(-D.[)2,2- 3. “α是第二象限角”是“0tan sin ＜αα”的A.充分不必要条件B.必要不充分C.充分条件D.既不充分也不必要 4. 设dx x )21(20-=⎰α，则二项式62)(xax +的常数项是A.-240B.240C.-160D.160 5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.323 B.322C.320D.3146. 已知定义域在R 上的函数)(x f 图像关于直线2-=x 对称且当2-≥x 时，43)(-=xx f , 若函数)(x f 在区间),1(k k -上有零点，则符合条件的k 的值是A.-8B.-7C.-6D.-5 7. 阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S 值为A.81-B.81C.161D.321 8. 若X 是一个集合，集合υ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足： （1）υ∈X ，空集∅∈υ；（2）υ中任意多个元素的并集属于υ； （3）υ中任意多个元素的交集属于υ；称υ是集合X 上的一个拓扑.已知集合{}c b a X ,,=，对于下列给出的四个集合υ：9. 如图正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点E 在线段1BB 和线段11B A 上移动,θ=∠EAB ，)2,0(πθ∈，过直线AD AE ,的平面ADFE 将正方体分为两部分，记棱BC 所在部分的体积为)(θV ，则函数)(θV V =，)2,0(πθ∈的大致图像是10.已知椭圆)0(1:2222＞＞b a bya x C =+的左右焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，△21PF F 的重心为G ，内心为I ，且有21F F IG λ=（λ为实数），斜率为1的直线l 经过点1F ，且与圆122=+y x 相切，则椭圆的方程为A.16822=+y xB.14622=+y xC.17922=+y xD.181022=+y x第二部分 （非选择题 共100分）注意事项：必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。

江西省九所重点中学2014届高三数学联合考试试题 理 新人教A版

江西省九所重点中学2014届高三数学联合考试试题 理 新人教A版

江西省九所重点中学2014届高三下学期3月联合考试数学理试题须知事项：1、本试卷分第1卷(选择题)和第2卷(非选择题)两部勿＼．总分为150允考试时间为120分钟．2、本试卷分试题卷和答题卷，第1卷(选择题)的答案应填在答题卷卷首相应的空格内，做在第1卷的无纯一、选择题：本大题共10小题，每一小题5分，共50分．在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．函数()ln(1)f x x =-的定义域是A ．(1，+∞)B ．(2，+∞)C ．【2，+∞)D ．〔1,2)2．集合，i 为虚数单位，复数z=的实部，虚部，模分别为a ，b ，t ，如此如下选项正确的答案是A ．a+b ∈MB ．t ∈MC ．b ∈MD ．a ∈M3．月底，某商场想通过抽取发票的10％估计该月的销售总额．先将该月的全部销售发票存根进展了编号：1,2，3，…，然后拟采用系统抽样的方法获取一个样本．假设从编号为1，2，…，10的前10张发票存根中随机抽取一张，然后再按系统抽样的方法依编号顺序逐次产生第二张、第三张、第四张、…，如此抽样中产生的第二张已编号的发票存根，其编号不可能是A ．13B ．17C ．19D ．234．二项式6223(3,a ax x dx --⎰的展开式第二项系数为则的值为A ．73B ． 3C ．3或73D ．3或—1035．阅读下面的程序框图，输出的结果是A ．9B ．10C ．11D ．126．数列{n a }，假设点〔n ，a n )(n ∈N*)均在直线y 一2=k(x 一5)上，如此数列{a n )的前9项和S 9等于A ．18B ．20C ．22D ．247．如果函数y|x|—2的图像与曲线C ：x 2+y 2=λ恰好有两个不同的公共点，如此实数力的取值范围是 A ．{2}(4，+∞) B ．(2，+∞)C ．{2，4}D ．(4，+∞)8．如图，四边形ABCD 是半径为1的圆O 的外切正方形，△PQR 是圆O 的内接正三角形，当△PQR 绕着圆心O 旋转时，AQ OR ⋅的取值范围是9．假设两曲线在交点P 处的切线互相垂亭，如此称呼两曲线在点P 处正交。

数学_2014年江西省百所重点中学高考数学模拟试卷(理科)(含答案)

数学_2014年江西省百所重点中学高考数学模拟试卷(理科)(含答案)

2014年江西省百所重点中学高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 复数z =5−3i 1−i+2i 的模为（ ）A 3B 4C 5D 4√22. 已知集合M ={x|x 2+2x −3>0}，N ={x|y =√x−1ln(2x−x 2)}，则(∁R M)∪N 为（ ） A [−3, 2) B (−2, 3] C [−3, 1)∪(1, 2) D [−1, 2)3. 在样本的频率分布直方图中，一共有m(m ≥3)个小矩形，第3个小矩形的面积等于其余m −1个小矩形面积之和的14，且样本容量为100，则第3组的频数是（ ）A 0.2B 25C 20D 以上都不正确4. 设等比数列{a n }，S n 是数列{a n }的前n 项和，S 3=14，且a 1+8，3a 2，a 3+6依次成等差数列，则a 1⋅a 3等于( )A 4B 9C 16D 255. 设变量x ，y 满足约束条件{2x +y −2≥0x −2y +4≥0x −m ≤0，则“m ≥2”是“目标函数z =3x −2y 的最大值不小于5”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 6. 设抛物线x 2＝8y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的倾斜角等于60∘，那么|PF|等于（ ） A 2√3 B 4√3 C 83 D 47. 某程序框图如图所示，若输出的S =57，则判断框内为( )A k >4？B k >5？C k >6？D k >7？8. 某班班会准备从含有甲、乙、丙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，若甲、乙同时参加时，丙不能参加，且甲、乙两人的发言顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有（ ）A 484种B 552种C 560种D 612种9. 如图，已知多面体ABC −DEFG 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，平面ABC // 平面DEFG ，平面BEF // 平面ADGC ，AB =AD =DG =2，AC =EF =1，则下列说法中正确的个数为（ ） ①EF ⊥平面AE ； ②AE // 平面CF ；③在棱CG 上存在点M ，使得FM 与平面DEFG 所成的角为π4； ④多面体ABC −DEFG 的体积为5． A 1 B 2 C 3 D 410.如图，矩形ABCD 中，AB =3，AD =2，一质点从AB 边上的点P 0出发，沿与AB 的夹角为θ的方向射到边BC 上点P 1后，依次反射到边CD ，DA 和AB 上的点P 2，P 3，P 4处．若P 4落在A 、P 0之间，且AP 0=2，设tanθ=x ，五边形P 0P 1P 2P 3P 4的面积为y ，则函数y =f(x)的图象大致是（ ）A B C D二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知点（tan5π4, sin(−π6)）是叫θ终边上一点，则cos(5π2+θ)=________．12. 已知在函数f(x)=ex 2+ae x 图象上点（1, f(1)）处切线的斜率为e ，则∫f 10(x)dx =________．13. 在平面直角坐标系中，菱形OABC 的两个项点为O(0, 0)，A(1, 1)，且OA →⋅OC →=1，则AB →⋅AC →等于________．14. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左焦点为F ，若该双曲线上存在点P ，满足以双曲线虚轴为直径的圆与线段PF 相切与线段PF 的中点，则该双曲线的离心率为________．选做题：请在下列两题中任选一题作答，本题5分.15. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ=4√2cos(θ−π4)，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程是{x =−1+acosθy =−1+asinθ（θ为参数），若圆C 1与圆C 2外切，则实数a =________．16. （不等式选做题）已知不等式|x +1|−|x −2|<a 的解集为(−∞, 2)，则a 的值为________．三、解答题（共6小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a 2+c 2−b 2=2√33acsinB ． （1）求角B 的大小；（2）若b =√3，且A ∈(π6, π2)，求边长c 的取值范围．18. 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n ，满足6S n =a n 2+3a n +2，又a 1，a 2，a 6是等比数列{b n }的前三项．（1）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（2）记T n =a 1b n +a 2b n−1+...+a n b 1，n ∈N +，证明3T n +1=2b n+1−a n+1(n ∈N +)． 19. 某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A 、B 、C 、D 、E 五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A 、B 、C 、D 四项考试不合格的概率均为12，参加第五项不合格的概率为23， （1）求该生被录取的概率；（2）记该生参加考试的项数为X ，求X 的分布列和期望．20. 如图，在菱形ABCD 中，∠DAB =60∘，E 是AB 的中点，MA ⊥平面ABCD ，且在矩形ADNM 中，AD =2，AM =3√77． （1）求证：AC ⊥BN ；（2）求证：AN // 平面MEC ；（3）求二面角M −EC −D 的大小．21. 如图，正方形CDEF 内接于椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，且它的四条边与坐标轴平行，正方形GHPQ 的顶点G ，H 在椭圆上，顶点P ，Q 在正方形的边EF 上．且CD =2PQ =4√105． （1）求椭圆的方程；（2）已知点M(2, 1)，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m(m ≠0)，l 交椭圆于A ，B 两个不同点，求证：直线MA ，MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形． 22. 已知函数f(x)=xlnx −ax(x >0且x ≠1)．（1）若函数f(x)在(1, +∞)上为减函数，求实数a的最小值；（2）若∃x1，x2∈[e, e2]，使f(x1)≤f′(x2)+a成立，求实数a的取值范围．2014年江西省百所重点中学高考数学模拟试卷（理科）答案1. C2. A3. C4. C5. A6. C7. A8. B9. C10. B11. √5512. 1−23e13. 114. √515. ±√216. 317. 解：（1）在△ABC中，根据余弦定理a2+c2−b2=2accosB，且a2+c2−b2=2√33acsinB，∴ 2accosB=2√33acsinB，∴ tanB=√3，又∵ 0<B<π，∴ B=π3；（2）∵ A+B+C=π，∴ C=π−A−B=2π3−A，由正弦定理，得csinC =bsinB=√3sinπ3=2，∴ c=2sinC=2sin(2π3−A)，∵ π6<A<π2，∴ π6<2π3−A<π2．∴ 12<sin(2π3−A)<1，∴ c∈(1, 2)．18. 解：（1）∵ 6S n=a n2+3a n+2，①∴ 6a1=a12+3a1+2，解得a1=1或a1=2．又6S n−1=a n−12+3a n−1+2(n≥2)，②由①-②，得6a n=(a n2−a n−12)+3(a n−a n−1)，即(a n+a n−1)(a n−a n−1−3)=0．∵ a n+a n−1>0，∴ a n−a n−1=3(n≥2)．当a1=2时，a2=5，a6=17，此时a1，a2，a6不成等比数列，∴ a1≠2；∴ a n=3n−2，b n=4n−1．（2）由（1）得T n=1×4n−1+4×4n−2+...+(3n−5)×41+(3n−2)×40，③∴ 4T n=1×4n+4×4n−1+7×4n−2+...+(3n−2)×41．④由④-③得3T n=4n+3×(4n−1+4n−2+...+41)−(3n−2)=4n+12×(1−4n−1)1−4−(3n−2) =2×4n−(3n+1)−1=2b n+1−a n+1−1，∴ 3T n+1=2b n+1−a n+1，n∈N+．19. 该生被录取，则A、B、C、D四项考试答对3道或4道，并且答对第五项．所以该生被录取的概率为P=13[( 12)4+C43(12)3⋅12]=548，该生参加考试的项数X的所有取值为：2，3，4，5．P(X＝2)=12×12=14；P(X＝3)=C21⋅12⋅12⋅12=14；P(X＝4)=C31⋅12⋅( 12)2⋅12=316；P(X＝5)＝1−14−14−316=516．该生参加考试的项数ξ的分布列为：EX＝2×14+3×14+4×316+5×516=5716．20. （共14分）解：（1）证明：连接BD，则AC⊥BD．由已知DN⊥平面ABCD，因为DN∩DB=D，所以AC ⊥平面NDB ．… 又因为BN ⊂平面NDB ， 所以AC ⊥BN ．…（2）CM 与BN 交于F ，连接EF ．由已知可得四边形BCNM 是平行四边形， 所以F 是BN 的中点． 因为E 是AB 的中点， 所以AN // EF ．…又EF ⊂平面MEC ，AN ⊄平面MEC ， 所以AN // 平面MEC ．…（3）由于四边形ABCD 是菱形，E 是AB 的中点，可得DE ⊥AB ．如图建立空间直角坐标系D −xyz ，则D(0, 0, 0)，E(√3，0，0)，C(0, 2, 0)， M(√3，−1，3√77).CE →=(√3,−2.0)，EM →=(0,−1,3√77)．… EM →=(0,−1,3√77)， 设平面MEC 的法向量为n →=(x, y, z)． 则{CE →⋅n =0EM →⋅n =0. 所以{√3x −2y =0y −3√77z =0.令x =2． 所以n →=(2,√3,√213)．…， 又平面ADE 的法向量m →=(0, 0, 1)， 所以．cos <m →，n →>=|m →||n →|˙=12． 所以二面角M −EC −D 的大小是60∘．… 21. （1）解：∵ CD =4√105，∴ 点E(2√105, 2√105)， 又∵ PQ =2√105，∴ 点G(4√105, √105)， ∴ {85a 2+85b 2=1325a 2+25b2=1解得{a 2=8b 2=2， ∴ 椭圆方程x 28+y 22=1．（2）证明：设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1，k 2，只需证明k 1+k 2=0即可，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则直线l 方程为y =12x +m ，代入椭圆方程x 28+y 22=1，消去y ，x 2+2mx +2m 2−4=0可得x 1+x 2=−2m ，x 1x 2=2m 2−4． 而k 1+k 2=y 1−1x 1−2+y 2−1x 2−1=x 1x 2+(m−2)(x 1+x 2)−4(m−1)(x 1−2)(x 2−2)=2m 2−4−2m 2+4m−4m+4(x 1−2)(x 2−2)=0，∴ k 1+k 2=0，故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形． 22. 解：（1）因f(x)在(1, +∞)上为减函数， 故f′(x)=lnx−1(lnx)2−a ≤0在(1, +∞)上恒成立， 又f′(x)=lnx−1(lnx)2−a =−(1lnx)2+1lnx−a =−(1lnx−12)2+14−a ，故当1lnx =12，即x =e 2时，f′(x)max =14−a ， 所以14−a ≤0，于是a ≥14，故a 的最小值为14．（2）命题“若∃x 1，x 2∈[e, e 2]，使f(x 1)≤f ′(x 2)+a 成立”等价于“当x ∈[e, e 2]时，有f(x)min ≤f′(x)max +a”，由（1），当x ∈[e, e 2]时，f′(x)max =14−a ，所以f′(x)max +a =14，问题等价于：“当x ∈[e, e 2]时，有f(x)min ≤14”，①当a ≥14时，由（1），f(x)在[e, e 2]上为减函数，则f(x)min =f(e 2)=e 22−ae 2≤14，故a ≥12−14e 2，；②当a <14时，由于f′(x)=−(1lnx −12)2+14−a 在[e, e 2]上为增函数， 故f′(x)的值域为[f′(e), f′(e 2)]，即[−a, 14−a]．(I)若−a ≥0，即a ≤0，f′(x)≥0在[e, e 2]上恒成立，故f(x)在[e, e 2]上为增函数， 于是，f(x)min =f(e)=e −ae ≥e >14，不合题意；(II)若−a <0，即0<a <14，由f′(x)的单调性和值域知，∃唯一x 0∈(e,e 2)，使f′(x 0)=0， 且满足：当x ∈(e, x 0)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x ∈(x 0，e 2)时，f′(x)>0，f(x)为增函数；所以，f(x)min =f(x 0)=x 0lnx 0−ax 0≤14，x 0∈(e,e 2)，所以a ≥1lnx 0−14x 0>1lne 2−14e >12−14=14，与0<a <14矛盾，不合题意；综上，得a ≥12−14e 2．。

2014年江西省高考数学试卷(理科)答案与解析

2014年江西省高考数学试卷(理科)答案与解析

2014年江西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）（2014•江西）是z的共轭复数，若z+=2，（z﹣）i=2（i为虚数单位），则z=﹣=2）==223．（5分）（2014•江西）已知函数f（x）=5|x|，g（x）=ax2﹣x（a∈R），若f[g（1）]=1，则4．（5分）（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a ﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是（）B5．（5分）（2014•江西）一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（）B6．（5分）（2014•江西）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）=7．（5分）（2014•江西）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）S=0+lg+lg+lg++lg+lg+lg++lgS=lg+lg+lg=lg+lg++lg=lg8．（5分）（2014•江西）若f（x）=x2+2f（x）dx，则f（x）dx=（）f（（﹣，则：，=x（﹣（）﹣，则：，=x（+）=x）+9．（5分）（2014•江西）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以ABπBπ2π=，）．10．（5分）（2014•江西）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=11，AD=7，AA 1=12．一质点从顶点A 射向点E （4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第i ﹣1次到第i 次反射点之间的线段记为l i （i=2，3，4），l 1=AE ，将线段l 1，l 2，l 3，l 4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）．B ．．=|EF|=于是：向量与向量共线；=λ=；，，＞=，，=，二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题记分，本题共5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不等式选做题]坐标系与参数方程选做题12．（2014•江西）若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则=≤θ≤，≤θ≤≤θ≤≤θ≤．]三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）（2014•江西）10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是．3=故答案为：14．（5分）（2014•江西）若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是（﹣ln2，2）．15．（5分）（2014•江西）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，向量=3﹣2与=3﹣的夹角为β，则cosβ=．单位向量与=不妨，==32（，﹣=）=故答案为：16．（5分）（2014•江西）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．的中点，斜率为﹣，则①②，（（）作斜率为﹣：+=1两式相减可得，即b=故答案为：五、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）（2014•江西）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈（﹣，）（1）当a=，θ=时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；（2）若f（）=0，f（π）=1，求a，θ的值．）（﹣，，=））sinx+cosx sinx=﹣sinx+cosx （﹣∈，），）．，），由=﹣﹣，可得﹣﹣=1×，，．﹣18．（12分）（2014•江西）已知首项是1的两个数列{a n}，{b n}（b n≠0，n∈N*）满足a n b n+1﹣a n+1b n+2b n+1b n=0．（1）令c n=，求数列{c n}的通项公式；（2）若b n=3n﹣1，求数列{a n}的前n项和S n．，可得数列，，19．（12分）（2014•江西）已知函数f（x）=（x2+bx+b）（b∈R）（1）当b=4时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间（0，）上单调递增，求b的取值范围．，得到，）恒成立．由单调性求出的范围得答案．）=x ．时，）上为减函数．））上单调递增，）恒成立．，对任意）恒成立．．．的取值范围是20．（12分）（2014•江西）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：AB⊥PD；（2）若∠BPC=90°，PB=，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．，，设，故当PB=，=BM=PO=，××=，（﹣（﹣，，，的法向量为=||=||=21．（13分）（2014•江西）如图，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）．（1）求双曲线C的方程；（2）过C上一点P（x0，y0）（y0≠0）的直线l：﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N．证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．，，﹣a=，﹣相交于点，（，是化简=可得其值为，﹣）•=，t=，，的方程为﹣的方程为：：x=）（，∴==22．（14分）（2014•江西）随机将1，2，…，2n（n∈N*，n≥2）这2n个连续正整数分成A、B两组，每组n个数，A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2；记ξ=a2﹣a1，η=b2﹣b1．（1）当n=3时，求ξ的分布列和数学期望；（2）C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P（C）；（3）对（2）中的事件C，表示C的对立事件，判断P（C）和P（）的大小关系，并说明理由．）的大小关系，即判断）和=，===××××=××=（）＜）＜×，此时）＞；）＞。

江西省重点中学协作体2014届高三第二次联考数学(理)试卷 有答案

江西省重点中学协作体2014届高三第二次联考数学(理)试卷 有答案

江西省重点中学协作体2014届高三第二次联考数学（理科）试卷 有答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =,集合2{|log (1)},{|||,}A x y x B x x a a R ==-=<∈,()U C A B =∅,则实数a 的取值范围是( )A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(0,1)D ．(0,1] 2.函数ln(1)11x y xx -=++的定义域是（ ） A.[1,0)(0,1)- B.[1,0)(0,1]- C.(1,0)(0,1]- D.(1,0)(0,1)-3.已知i 为虚数单位,若复数z 满足(2)12z i i -=+,则z 的共轭复数是( )A ．iB ．i -C ．35iD ．35i-4.关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（ ）①将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化； ②在线性回归分析中，相关系数r 越小，表明两个变量相关性越弱；③已知随机变量ξ服从正态分布(5,1)N ，且(46)0.6826,P ξ≤≤=则(6)0.1587;P ξ>= ④某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为15人.A ．1B ．2C ．3D ．4 5.已知锐角βα,满足：1sin cos ,6αα-=3tan tan 3tan tan =⋅++βαβα，则βα,的大小关系是（ ）A ．βα<B ．αβ>C ．βαπ<<4D.αβπ<<46.程序框图如下图所示，该程序运行后输出的S 的值是（ ）1n = 开始 结束否是 输出S3S = 1+=n n 2014n ≤ 11S S S +=-A ．3B ．12C ．13-D ．2-7.等比数列{}n a 是递减数列，其前n 项积为n T ，若1284T T =，则813a a ⋅=( )A ．1±B ．2±C ．1D ．2 8.已知在二项式32()nx x-的展开式中，仅有第9项的二项式系数最大，则展开式中，有理项的项数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4 9. 已知函数2()2f x x x =-，(1,0)Q ，过点(1,0)P -的直线l 与()f x 的图像交于,A B 两点，则QAB S ∆的最大值为（ ）A. 1B.12C. 13D. 2210.如图，过原点的直线l 与圆221x y +=交于,P Q 两点，点P 在第一象限，将x 轴下方的图形沿x 轴折起，使之与x 轴上方的图形成 直二面角，设点P 的横坐标为x ，线段PQ 的长度记为()f x ，则 函数()y f x =的图像大致是( )二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按所做的第一题评阅记分，本题共5分.11（1）．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点(2,)6π且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( )A.3sin ρθ=B.3cos ρθ=C.sin 3ρθ=D.cos 3ρθ=yxoQP11（2）．（不等式选讲选做题））若存在,R x ∈,使|2|2|3|1x a x -+-≤成立,则实数a 的取值范围是( ) A. [2,4] B. (5,7) C. [5,7] D. (,5][7,)-∞+∞第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷须用黑色签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上. 12.已知2,=a e 为单位向量，当,a e 的夹角为32π时，+a e 在-a e 上的投影为 . 13.若一组数据1,2,0,,8,7,6,5a 的中位数为4，则直线ax y =与曲线2x y =围成图形的面积为 .14.已知双曲线22122:1x y C a b -=和双曲线22222:1y x C a b-=，其中0,b a >>，且双曲线1C 与2C 的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，则双曲线1C 的离心率是 .15.对于定义在D 上的函数()f x ，若存在距离为d 的两条直线1y kx m =+和2y kx m =+，使得对任意x D ∈都有12()kx m f x kx m +≤≤+恒成立，则称函数()()f x x D ∈有一个宽度为d 的通道.给出下列函数：①1()f x x =；②()sin f x x =；③2()1f x x =-；④ln ()x f x x= 其中在区间[1,)+∞上通道宽度可以为1的函数有 (写出所有正确的序号).四、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）如图，设1P ，2P ，…，6P 为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现从这六个点中任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S ． （1）求32S =的概率；（2）求S 的分布列及数学期望()E S ．17.(本小题满分12分）5P 6P2P3P4POP 1在ABC ∆中，2sin 2cos sin 33cos 3A A A A -+=. (1)求角A 的大小；(2)已知,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，若1a =且sin sin()2sin 2,A B C C +-= 求ABC ∆的面积.18．（本小题满分12分）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n 都有612n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若10,c =且对任意正整数n 都有112log n n n c c a +-=,求证：对任意*2311132,4n n n N c c c ≥∈+++<都有.19．（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是平行四边形，1,2==AB AD ， 60=∠ABC ， ⊥PA 面ABCD ，设E 为PC 中点，点F 在线段PD 上且FD PF 2=． （1）求证：//BE 平面ACF ；（2）设二面角D CF A --的大小为θ，若1442|cos |=θ， 求PA 的长．20.（本小题满分13分）已知椭圆:C ()222210x y a b a b +=>>的左焦点F 与抛物线24y x =-的焦点重合，直线202x y -+=与以原点O 为圆心,以椭圆的离心率e 为半径的圆相切.（1）求该椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线交椭圆于,A B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点．记∆GFD 的面积为1S ，∆OED 的面积为2S ．试问：是否存在直线AB ，使得12S S =？说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数xa x x f ln )()(2-=（其中a 为常数）.(1)当0=a 时，求函数的单调区间；（2）当1a =时，对于任意大于1的实数x ，恒有()f x k ≥成立，求实数k 的取值范围； (3)当10<<a 时，设函数)(x f 的3个极值点为321x x x ，，，且321x x x <<. 求证：31x x +＞e2三、填空题：12.377【解析】+a e 在-a e 上的投影为：222()()4137.||7412()+⋅---===-++-a e a e a e a e a e13.92【解析】由中位数的定义可得54,2a +=3a ∴=，∴直线ax y =与曲线2x y =围成图形的面积332230031(3)()23S x x dx x x =-=-⎰92=. 14.512+【解析】由题意,可得两双曲线在第一象限的交点为所以，()36312325C P S ===． (4分) （2）S 的所有可能取值为34，32，334．34S =的为顶角是120的等腰三角形（如△123PP P ），共6种， 所以，()36363410C P S ===． (6分)334S =的为等边三角形（如△135PP P ），共2种， 所以，()363321410C P S ===， ( 8分)(2)sin sin()2sin 2,A B C C +-= ∴sin()sin()4sin cos ,B C B C C C ++-=2sin cos 4sin cos ,B C C C ∴=,cos 0sin 2sin C B C ∴==或， (8分)①当cos 0C =时,3,,tan ,263C B b a B ππ=∴=∴==11331;2236ABC S ab ∆∴==⨯⨯= (10分)②当sin 2sin B C =时,由正弦定理可得2b c =, 又由余弦定理2222cos ,a b c bc A =+-可得分)∴当2n ≥时，112211()()()n n n n n c c c c c c c c ---=-+-+⋅⋅⋅+-+2(21)(23)301n n n =-+-+⋅⋅⋅++=- ， (9分)∴11111()(1)(1)211n c n n n n ==--+-+ (10分) 231111*********(1)232435211n c c c n n n n ∴++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+-+---+ 111131113(1)()2214214n n n n =+--=-+<++ . (12分)),3,1(c PD --=，所以⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-0303cz y x cz y ，取(0,,3)c =m ．(9分)由1442|cos |=⋅=mn m n θ，得1442343222=++c c ．044724=-+c c ，2=c ，所以2=PA . (12分)20. 【解析】(1) 依题意，得1c =,2|00|12,22e -+==即1,2,1,2c a b a =∴=∴= ∴所求椭圆C 的方程为22143x y +=. (5分) △GFD ∽△OED ，∴2||||||||||,(),||||||||||GF DG GF DG DG OE OD OE OD OD =∴⋅= 即12S S 2||(),||DG OD =又12,||||S S GD OD =∴=, (11分)所以22222222243()()43434343k k k k k k k k ----+=++++， 整理得 2890k +=,因为此方程无解，所以不存在直线AB ，使得 12S S =． (13分)21．【解析】(1) xx x x f 2ln )1ln 2()('-=当10<<a 时，0ln 2)(<=a a h ，01)1(<-=a h ，∴ 函数)(x f 的递增区间有),(1a x 和),(3+∞x ，递减区间有),0(1x ，)1,(a ，),1(3x ， 此时，函数)(x f 有3个极值点，且a x =2； ∴当10<<a 时，31,x x 是函数1ln 2)(-+=xax x h 的两个零点，]1,0(e上单调递增, ()01=⎪⎪⎭⎫⎝⎛<'∴e F x F ∴当10<<a 时，ex x 231>+. (14分)。

2014年江西高三数学理科模拟试题

2014年江西高三数学理科模拟试题

精心整理2014年江西高三数学理科模拟试题以下是为大家整理的关于《2014年江西高三数学理科模拟试题》，供1.2.3.4.5.已知数列是等比数列，且，则的值为()A.B.C.D.6.从编号为001,002,……,500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中的编号应该为()A.480B.481C.482D.4837.A.8.9.度为10.角形，其中千米，(),若游客在路线上观赏所获得的“满意度”是路线长度的2倍，在路线EF上观赏所获得的“满意度”是路线的长度，假定该果园的“社会满意度”是游客在所有路线上观赏所获得的“满意度”之和，则下面图象中能较准确的反映与的函数关系的是() 二、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分.11.(1)(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为的直线与曲线(为参数)相交于两点,则=()()12.13.14.15.2行是3、2第题共6小题，共75分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)已知向量,..(1)求函数的最小正周期;(2)求函数在区间上的值域.17.(本小题满分12分)已知A箱装有编号为的五个小球(小球除编号不同之外，其他完全相同)，B箱装有编号为的两个小球(小球除编号不同之外，其他完全相同),甲从A箱中任取一个小球，乙从B箱中任取一个小球，用分别表(1)18.((1)(2)19.(且，.(1)(2)20.(不变(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程;(2)过点的直线与曲线相交于不同的两点，且在之间，设，求的取值范围21.(本小题满分14分)已知函数(1)若,求在点处的切线方程.(2)令，求证：在区间上，存在极值点.(3)令,定义数列:.当且时,求证:对于任意的,恒有.数列(2)则，，，由将,(3),,。

数学_2014年江西省南昌市某校高考数学三模试卷(理科)(含答案)

数学_2014年江西省南昌市某校高考数学三模试卷(理科)(含答案)

2014年江西省南昌市某校高考数学三模试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若复数a+i 3+4i−1（a 为实数，i 为虚数单位）是纯虚数，则a =( )A 7B −7C 43D −432. 设P ，Q 是两个集合，定义集合P −Q ＝{x|x ∈P 且x ∉Q}为P ，Q 的“差集”，已知P ＝{x|1−2x <0}，Q ＝{x||x −2|<1}，那么P −Q 等于( )A {x|0<x <1}B {x|0<x ≤1}C {x|1≤x <2}D {x|2≤x <3}3. 一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形．该四棱锥的体积等于（ ）A √3B 2√3C 3√3D 6√34. 已知命题p:∃φ∈R ，使f(x)=sin(x +φ)为偶函数；命题q:∀x ∈R ，cos2x +4sinx −3<0，则下列命题中为真命题的是（ ）A p ∧qB (￢p)∨qC p ∨(￢q)D (￢p)∧(￢q)5. 从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为（ ） A 480 B 481 C 482 D 4836. 已知数列{a n }是等比数列，且a 2013+a 2015=∫ 20√4−x 2dx ，则a 2014(a 2012+2a 2014+a 2016)的值为（ ）A π2B 2πC πD 4π27. O 为坐标原点，F 为抛物线C:y 2＝4√2x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|＝4√2，则△POF 的面积为（ ）A 2B 2√2C 2√3D 48. 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( ) A 232 B 252 C 472 D 4849. 已知二次函数f(x)=ax 2+bx +1的导函数为f′(x)，f′(0)>0，f(x)与x 轴恰有一个交点，则f(1)f′(0)的最小值为（ ） A 2 B 32 C3 D 5210. 如图，把圆周长为1的圆的圆心C 放在y 轴上，顶点A(0, 1)，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记AM̂=x ，直线AM 与x 轴交于点N(t, 0)，则函数t ＝f(x)的图象大致为（ ）A B C D二、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分.（1）（坐标系与参数方程选做题）11. 在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线{x =t 2y =t 3（t 为参数）相交于A ，B 两点，则|AB|=( )A 13B 14C 15D 16 一．（不等式选做题）12. 若不等式log 2(|x +1|+|x −2|−m)≥2恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A (−∞, −3] B [−3, −1] C [−1, 3] D (−∞, −1]三、填空题（本大题4个小题，每题5分，共20分，请把答案填在答题卡上）13. 设随机变量ξ服从正态分布N(2, 9)，若P(ξ>c +1)=P(ξ<c −1)，则c =________． 14. 运行如图的程序框图，输出的结果是________15. 已知直线x −y −1=0及直线x −y −5=0截圆C 所得的弦长均为10，则圆C 的面积是________．16. 在平面直角坐标系中，设点P(X, Y)定义[OP]=|x|+|y|，其中O 为坐标原点，对于以下结论：①符合[OP]=1的点P 的轨迹围成的图形的面积为2；②设P 为直线√5x +2y −2=0上任意一点，则[OP]的最小值为1；③设P 为直线y =kx +b(k, b ∈R)上的任意一点，则“使[OP]最小的点P 有无数个”的必要不充分条件是“k =±1”；其中正确的结论有________（填上你认为正确的所有结论的序号）四、解答题：本大题共6小题，共75分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知m →=(cosωx +sinωx, √3cosωx)，n →=(cosωx −sinωx, 2sinωx)，其中ω>0．设函数f(x)=m →⋅n →，且函数f(x)的周期为π．（1）求ω的值；（2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 成等差数列，当f(B)=1时，判断△ABC 的形状．18. 通常把大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称为可入肺颗粒物）称为PM2.5．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，空气质量与PM2.5的关系如下表：空气质量 一级 二级 超标某城市环保局从该市城区2012年冬季每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．（1）从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天数据，求至少有一天空气质量达到一级的概率；（2）从这15天的数据中任取三天的数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列和数学期望．19. 如图所示，PA ⊥平面ABCD ，△ABC 为等边三角形，AP =AB ，AC ⊥CD ，M 为AC 的中点． （1）求证：BM // 平面PCD ；（2）若直线PD 与平面PAC 所成角的正切值为√62，求二面角A −PD −M 的正切值． 20. 已知数列{a n }的前n 项和S n =−a n −(12)n−1+2（n 为正整数）． （I ）令b n =2n a n ，求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； （II ）令c n =n+1na n ，T n =c 1+c 2+...+c n 试比较T n 与5n2n+1的大小，并予以证明．21. 已知F 1，F 2为椭圆E 的左右焦点，点P(1, 32)为其上一点，且有|PF 1|+|PF 2|=4. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过F 1的直线l 1与椭圆E 交于A ，B 两点，过F 2与l 1平行的直线l 2与椭圆E 交于C ，D 两点，求四边形ABCD 的面积S 四边形ABCD 的最大值． 22. 已知函数f(x)=(x 2−2x)⋅lnx +ax 2+2（1）当a =−1时，求f(x)在（1, f(1)）处的切线方程； （2）设函数g(x)=f(x)−x −2；(I)若函数g(x)有且仅有一个零点时，求a 的值；(II)在(I)的条件下，若e −2<x <e ，g(x)≤m ，求m 的取值范围．2014年江西省南昌市某校高考数学三模试卷（理科）答案1. A2. B3. A4. C5. C6. A7. C8. C9. A 10. D 11. D 12. D 13. 2 14. 510 15. 27π 16. ①17. 解：（1）∵ m →=(cosωx +sinωx,√3cosωx)，n →=(cosωx −sinωx,2sinωx)(ω>0)∴ f(x)=2sin(2ωx +π6)˙ ∵ 函数f(x)的周期为π∴ T =2π2ω=π∴ ω=1（2）在△ABC 中f(B)=1∴ 2sin(2B +π6)=1∴ sin(2B =π6)=12又∵ 0<B <π∴ π6<2B +π6<76π∵ 2B +π6=5π5∴ B =π3∵ a ，b ，c 成等差∴ 2b =a +c∴ cosB =cos π3=a 2+c 2−b 22ac=12∴ ac =a 2+c 2−(a+c)24化简得：a =c 又∵ B =π3∴ △ABC 为正三角形18. 解：（1）从茎叶图可知，空气质量为一级的有4天，为二级的有6天，超标的有5天， 记“从15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，至少有一天空气质量达到一级”为事件A ，则P(A)=1−C 113C 153=5891．（2）ξ的可能值为0，1，2，3，P(ξ=0)=C103C153=2491，P(ξ=1)=C51C102C153=4591，P(ξ=2)=C52C101C153=2091，P(ξ=3)=C53C153=291．所以ξ的分布列为E(ξ)=2491×0+4591×1+2091×2+291×3=1．19. （本题满分14分）（1）证明：∵ △ABC为等边三角形，M为AC的中点，∴ BM⊥AC．又∵ AC⊥CD，∴ 在平面ABCD中，有BM // CD．…又∵ CD⊂平面PCD，BM⊄平面PCD，∴ BM // 平面PCD．…（2）解：∵ PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴ PA⊥CD，又∵ AC⊥CD，PA∩AC=A，∴ CD⊥平面PAC．∴ 直线PD与平面PAC所成角为∠DPC．…在Rt△PCD中，tan∠DPC=CDPC =√62．设AP=AB=a，则AC=a,PC=√2a，∴ CD=√62PC=√3a，在Rt△ACD中，AD2=AC2+CD2=4a2，∴ AD=2a．…∵ PA⊥平面ABCD，∴ 平面PAD⊥平面ABCD．在Rt△ACD中，过M作MN⊥AD．又∵ 平面ABCD∩平面PAD=AD，MN⊂平面ABCD，∴ MN⊥平面PAD．在平面PAD中，过N作NH⊥PD，连结MH，则PD⊥平面MNH．∴ ∠MHN为二面角A−PD−M的平面角．…在Rt△ACD中，MN=√34a，AN=14a，ND=74a，∴ NH PA =DNPD，∴ NH =PA⋅DN PD=4√5，∴ tan∠MHN =MN NH=√34a 74√5a =√157， ∴ 二面角A −PD −M 的正切值为√157．… 20. 解：(I)在S n =−a n −(12)n−1+2中，令n =1，可得S 1=−a n −1+2=a 1，即a 1=12...1当n ≥2时，S n−1=−a n−1−(12)n−2+2，∴ a n =S n −S n−1=−a n +a n−1+(12)n−1，…2 ∴ 2a n =a n−1+(12)n−1，即2n a n =2n−1a n−1+1．∵ b n =2n a n ，∴ b n =b n−1+1， 即当n ≥2时，b n −b n−1=1又b 1=2a 1=1，∴ 数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列…4 于是b n =1+(n −1)⋅1=n =2n a n ， ∴ a n =n 2n...6（II ）由(I)得c n =n+1na n =(n +1)(12)n ，所以T n =2×12+3×(12)2+...+(n +1)⋅(12)n∴ 12T n =2×(12)2+3×(12)3...+n ⋅(12)n +(n +1)(12)n+1由①-②得12T n =1+(12)2+(12)3...+(12)n −(n +1)(12)n+1∴ T n =3−n+32n...9T n −5n 2n +1=3−n +32n −5n 2n +1=(n +3)(2n −2n −1)2n (2n +1) (11)于是确定T n 与5n2n+1的大小关系等价于比较2n 与2n +1的大小猜想当n =1，2时，2n <2n +1，当n ≥3时，2n >2n +1．证明如下： （1）当n =3时，由猜想显然成立．（2）假设n =k 时猜想成立．即2k >2k +1则n =k +1时，2k+1=2⋅2k >2(2k +1)=4k +2=2(k +1)+1+(2k −1)>2(k +1)+1所以当n =k +1时猜想也成立 综合（1）（2）可知，对一切n ≥3的正整数，都有2n >2n +1． 21. 解：(1)设椭圆E 的标准方程为x 2a 2 + y 2b 2 = 1(a > b > 0)， 由已知|PF 1|+|PF 2|=4，得2a =4，∴ a =2，又点P(1, 32)在椭圆上，∴ 14 + 94b 2 = 1， ∴ b = √3，椭圆E 的标准方程为x 24 + y 23 = 1．(2)由题意可知，四边形ABCD 为平行四边形， ∴ S ▱ABCD =4S △OAB ，设直线AB 的方程为x =my −1，且A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 由 { x = my − 1，x 24 + y 23 = 1，得(3m 2+4)y 2−6my −9=0， ∴ Δ=36m 2+36(3m 2+4)>0, y 1+y 2 = 6m 3m 2 + 4，y 1y 2=−93m 2 + 4，S △OAB = S △OF 1A + S △OF 1B = 12|OF 1||y 1−y 2| = 12|y 1 − y 2| = 12√(y 1 + y 2)2 − 4y 1y 2= 6√m 2 + 1(3m 2 + 4)2，令m 2+1=t ，则t ≥1， S △OAB =6√t (3t + 1)2 = 6√19t + 1t + 6，又∵ g(t)=9t +1t在[1, +∞)上单调递增，∴ g(t)≥g(1)=10， ∴ S △OAB 的最大值为32．∴ S ▱ABCD 的最大值为6． 22. 解：（1）当a =−1时，f(x)=(x 2−2x)⋅lnx −x 2+2，定义域(0, +∞) ∴ f′(x)=(2x −2)⋅lnx +(x −2)−2x ． ∴ f′(1)=−3， 又f(1)=1，∴ f(x)在（1, f(1)）处的切线方程3x +y −4=0． (2)(I)令g(x)=f(x)−x −2=0则(x 2−2x)⋅lnx +ax 2+2=x +2，即a =1−(x−2)lnxx令ℎ(x)=1−(x−2)lnxx ，则ℎ′(x)=1−x−2lnxx 2令t(x)=1−x −2lnx ，则t′(x)=−x−22∵ x >0，∴ t′(x)<0，∴ t(x)在(0, +∞)上是减函数， 又∵ t(1)=ℎ′(1)=0，∴ 当0<x <1时，ℎ′(x)>0，当x >1时，ℎ′(x)<0， ∴ ℎ(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, +∞)上单调递减， ∴ ℎ(x)max =ℎ(1)=1，∴ 当函数g(x)有且仅有一个零点时a =1，(II)当a =1时，g(x)=(x 2−2x)⋅lnx +x 2−x ， 若e −2<x <e ，g(x)≤m ，只需证明g(x)max ≤m ， ∴ g′(x)=(x −1)(3+2lnx)， 令g′(x)=0得x =1或x =e −32又∵ e −2<x <e ，∴ 函数g(x)在（e −2, e −32 ）上单调递增，在(e −32, 1)上单调递减，在(1, e)上单调递增 又g （e −32）=−12e−3+2e −32，g(e)=2e 2−3e∵ g （e −32 ）=−12e −3+2e −32<2e −32<2e <2e(e −32)=g(e)， ∴ g （e −32 ）<g(e)， ∴ m ≥2e 2−3e。

江西省重点中学盟校2014届高三第二次联考理科数学试卷(带解析)

江西省重点中学盟校2014届高三第二次联考理科数学试卷(带解析)

江西省重点中学盟校2014届高三第二次联考理科数学试卷（带解析）1．已知集合2{|}M x x x =>，4{|,}2xN y y x M ==∈，则M N = ( )A.{x ｜0＜x ＜12} B.{x ｜12＜x ＜1} C.{x ｜0＜x ＜1} D.{x ｜1＜x ＜2}【答案】B 【解析】试题分析：2{|}M x x x =>={01}x x <<，4{|,}2x N y y x M ==∈=1{2}2y x <<，所以M N ={x ｜12＜x ＜1} ，故选B. 考点：1.集合的运算.2.指数函数的性质. 2．已知复数i m z 21+=，i z -=22，若21z z 为实数，则实数m 的值为 （ ） A ．1 B ．1- C ．4 D ．4- 【答案】D 【解析】 试题分析：21z z =2(2)(2)(22)(4)2242(2)(2)555m i m i i m m i m m i i i i +++-++-+===+--+是实数，所以m+4=0，解得m=-4，故选D.考点：复数的运算和有关概念.3．如图给出了计算601614121++++ 的值的程序框图，其中 ①②分别是( )A ．i<30,n=n+2B ．i=30,n=n+2C ．i>30,n=n+2D ．i>30,n=n+1【答案】C 【解析】试题分析：因为2,4,6,8， ，60构成等差数列，首项为2，公差为2，所以2+2（n-1）=60，解得n=30,所以该程序循环了30次，即i>30，n=n+2 ，故选C. 考点：程序框图和算法.4．如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（ ）A ．π320+B ．π324+C ．π420+D ．π424+ 【答案】A 【解析】试题分析：由几何体的三视图，知该几何体的上半部分是棱长为2的正方体， 下半部分是半径为1，高为2的圆柱的一半， ∴该几何体的表面积S=5×22+π×12+12×2π×1×2=20+3π．故选A ． 考点：三视图求面积、体积．5．等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若2132112364(..),27,n n S a a a a a a a -=+++==则（ ）A ．27B ．81C ．243 D.729【答案】C 【解析】试题分析：由已知条件可得S 2=41a ，所以1214a a a +=，即q=213a a =，又因为12327a a a =，所以33127a q =，即1a =1，所以561a a q ==243，故选C.考点：等比数列的性质. 6．以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；③某项测量结果ξ服从正态分布215081N(,),P().σζ≤=，则3019P().ζ≤-=； ④对于两个分类变量X 与Y 的随机变量k 2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大．以上命题中其中真命题的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C 【解析】试题分析：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；不符合分层抽样的定义，是系统抽样的做法，∴①不正确；②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；满足线性相关的定义，②正确；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布215081N(,),P().σζ≤=，则3019P ().ζ≤-=；不符合正态分布的特点，∴③不正确；④对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大．满足随机变量K 2的观测值的特点，④正确． 故选：C ．考点：1.系统与抽样的关系；2.线性相关；3.正态分布的应用.7．单位向量，且0=⋅b a ，则c b a-+的最小值为（ ）A 1B ．1C 1+D 【答案】A 【解析】试题分析：因为0=⋅b a ，所以222222a b a b a b +=++⋅=2则|2a b +=，所以c b a -+22222()22()a b c a b c a b c b a =++=+++⋅-⋅-=3-2()c b a ⋅-，则当c 与b a -同向时，()c b a ⋅-最大，cb a-+2最小，此时，()c b a ⋅-=2，所以c b a -+2≥3-2故c b a -+1，即c b a-+1，故选A ．考点：平面向量数量积的性质及其运算律．8．已知点(,0)(0)F c c ->是双曲线12222=-by a x 的左焦点，离心率为e ，过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆222c y x =+交于点P ，且点P 在抛物线24y cx =上，则=2e （ ）ABCD【答案】D【解析】试题分析：如图，设抛物线y 2=4cx 的准线为l ，作PQ ⊥l 于Q ，双曲线的右焦点为F '，由题意可知F F '为圆x 2+y 2=c 2的直径， ∴设P （x ，y ），（x ＞0），则P F '⊥PF ，且tan ∠PFF ′＝b a， ∴满足22224(1)(2)(3)y cx x y c y bx c a⎧⎪=⎪+=⎨⎪⎪=+⎩，将（1）代入（2）得x 2+4cx-c 2=0，则=-2c ，即x=2)c ，或x=(2)c （舍去） 将x=2)cb a ==y＝y 代242)c =2)=)，∴22b a ==22221c a e a -=-，即e 2=1+故选D ． 考点：双曲线的简单性质．9．已知圆C ：22(2)4x y -+=，圆M ：22(25cos )(5sin )1x y θθ--+-=()R θ∈，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点分别为E 、F ，则P E P F ⋅的最小值是 （ ）A ．5B ．6C ．10D ．12 【答案】B 【解析】试题分析：（x-2）2+y 2=4的圆心C （2，0），半径等于2，圆M （x-2-5co sθ）2+（y-5sinθ）2=1，圆心M （2+5cosθ，5sinθ），半径等于1． ∵|CM|=5>2+1，故两圆相离．∵PE PF ⋅=cos ,PE PF PE PF ⋅<>，要使 PE PF ⋅ 最小，需PE 和PF 最小，且∠EPF 最大，如图所示，设直线CM 和圆M 交于H 、G 两点，则PE PF ⋅ 最小值是HE HF ⋅.|H C|=|CM|-1=5-1=4，=sin ∠CHE=12CE CH =， ∴cos ∠EHF=cos2∠CHE=1-2sin 2∠CHE=12，∴HE HF ⋅=1cos 2HE HF EHF ⋅∠==6，故选 B ． 考点：1.圆的参数方程；2.平面向量数量积的运算；3.圆与圆的位置关系及其判定．10．如图，直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝45°，底边AB ＝5，高AD ＝3，点E 由B 沿折线BCD 向点D 移动，EM ⊥AB 于M ，EN ⊥AD 于N ，设BM ＝x ，矩形AMEN 的面积为y ，那么y 与x 的函数关系的图像大致是（ ）【答案】A 【解析】试题分析：根据已知可得：点E 在未到达C 之前，y=x （5-x ）=5x-x 2；且x≤3，当x 从0变化到2.5时，y 逐渐变大，当x=2.5时，y 有最大值，当x 从2.5变化到3时，y 逐渐变小， 到达C 之后，y=3（5-x ）=15-3x ，x ＞3， 根据二次函数和一次函数的性质．故选：A ． 考点：动点问题的函数图象；二次函数的图象．11．231()x x+的展开式中的常数项为a ，则直线y ax =与曲线2y x =围成图形的面积为 ； 【答案】29 【解析】试题分析：231()x x+的展开式的通项公式为 T r+1=323333r r r r r C x x C x --=， 令3r-3=0，r=1，故展开式的常数项为 a=3． 则直线y=ax 即 y=3x ，由23y xy x =⎧⎨=⎩求得直线y=ax 与曲线y=x 2围成交点坐标为（0，0）、（3，9），故直线y=ax 与曲线y=x 2围成图形的面积为 3322033(3)()023x x x dx x -=-⎰=29，故选C ．考点：二项式定理；定积分在求面积中的应用．12．方程23310(2)x a x a a +++=>两根βαt a n t a n 、，且,(,)22ππαβ∈-，则=+βα ；【答案】34π-或4π【解析】试题分析：由已知可得tan tan 3a αβ+=-，tan tan 31a αβ=+，tan tan 3tan()11tan tan 1(31)aa αβαβαβ+-+===--+因为,(,)22ππαβ∈-，所以παβπ-<+<，所以=+βα34π-或4π.考点：两角和差公式以及正切函数的性质.13．某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车。

数学_2014年江西省某校高考数学模拟试卷(理科)(含答案)

数学_2014年江西省某校高考数学模拟试卷(理科)(含答案)

2014年江西省某校高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 下面是关于复数z =2−1+i 的四个命题：其中的真命题为（ ） p 1:|z|=2， p 2:z 2=2i ，p 3:z 的共轭复数为1+i ， p 4:z 的虚部为−1．A p 2，p 3B p 1，p 2C p 2，p 4D p 3，p 42. 已知等比数列{a n }的前三项依次为a −1，a +1，a +4，则a n =( ) A 4⋅(32)n B 4⋅(23)n C 4⋅(32)n−1 D 4⋅(23)n−13. 甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则则下列说法正确的是（ ）A 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 4. 设(5x √x)n的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数和为N ，若M −N =240，则展开式中x 的系数为( )A −150B 150C 300D −3005. 函数f(x)满足f(0)=0，其导函数f′(x)的图象如图，则f(x)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为（ ） A 13B 43C 2D 836. 阅读如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A 0B 1+√2C 1+√22D √2−17. 定义在R 上的奇函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，当x ∈[0, 1]时，f(x)=√x ．又g(x)=cosπx 2，则集合{x|f(x)=g(x)}等于（ ）A {x|x =4k +12，k ∈Z} B {x|x =2k +12，k ∈Z} C {x|x =4k ±12，k ∈Z} D {x|x =2k +1, k ∈Z}8. 一个正方体的展开图如图所示，A ，B ，C ，D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中( )A AB // CDB AB 与CD 相交C AB ⊥CD D AB 与CD 所成的角为60∘9. 若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →=AB →+3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )A 15 B 25 C 35 D 4510. 如图，已知线段AB =√2，但点A 沿着以原点O 为圆心的单位圆上运动时，点B 在x 轴上滑动．设∠AOB =θ，记x(θ)为点B 的横坐标关于θ的函数，则x(θ)在[0,π2]上的图象大致是（ ）A B C D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分共25分．把答案填在答题卷中的横线上．） 11. 函数y =a x (a >0，且a ≠1)在[1, 2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值是________． 12. 在△ABC 中，B =60∘，AC =√3，则AB +2BC 的最大值为________．13. 曲线f(x)=ax 5+lnx 存在垂直y 轴的切线则实数a 的取值范围是________． 14. 设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x =a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率e 的取值范围是________．在下列两题中任选一题，若两题都做，按第①题给分15. 在极坐标系中，点M(4,π3)到曲线ρcos(θ−π3)=2上的点的距离的最小值为________． 16. 若不等式|x +1|+|x −3|≥a +4a 对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知定义域为R 的函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0, ω>0)的一段图象如图所示．（1）求f(x)的解析式；（2）若g(x)=cos3x ，ℎ(x)=f(x)⋅g(x)，求函数ℎ(x)的单调递增区间．18. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n −2(n ∈N ∗)，数列{b n }满足b 1=1，且点P(b n , b n+1)(n ∈N ∗)在直线y =x +2上． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ⋅b n }的前n 项和D n ； (3)设c n =a n ⋅sin 2nπ2−b n ⋅cos 2nπ2(n ∈N ∗)，求数列{c n }的前2n 项和T 2n ．19. 设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ=1． （1）求概率P(ξ=0)；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．20. （附加题-必做题）四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC ，E 是PC 的中点． (I)证明PA // 平面BDE ；(II)求二面角B −DE −C 的平面角的余弦值；(III)在棱PB 上是否存在点F ，使PB ⊥平面DEF ？若存在，请求出F 点的位置；若不存在，请说明理由．21. 已知向量a →=(x,√3y)，b →=(1,0)，且(a →+√3b →)⊥(a →−√3b →)．（I ）求点Q(x, y)的轨迹C 的方程；（II ）设曲线C 与直线y =kx +m 相交于不同的两点M 、N ，又点A(0, −1)，当|AM|=|AN|时，求实数m 的取值范围．22. 设函数f(x)=ax +xlnx ，g(x)=x 3−x 2−3．(1)讨论函数ℎ(x)=f(x)x的单调性；(2)如果存在x 1，x 2∈[0, 2]，使得g(x 1)−g(x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ； (3)如果对任意的s ，t ∈[12，2]，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a 的取值范围．2014年江西省某校高考数学模拟试卷（理科）答案1. C2. C3. C4. B5. B6. B7. B8. D9. C 10. B 11. 12或3212. 2√7 13. (−∞, 0) 14. [√33, 1) 15. 216. (−∞, 0)∪{2} 17. 解：（1）∵ T =(π4−π12)=2π3，∴ ω=2πT=3，∴ f(x)=2sin(3x +φ)． ∵ 点(π12, 2)在图象上，∴ 2sin(3×π12+φ)=2，即sin(φ+π4)=1， ∴ φ+π4=2kπ+π2(k ∈Z)，即φ=2kπ+π4． 故f(x)=2sin(3x +π4)． （2）ℎ(x)=2sin(3x +π4)cos3x=2(sin3xcos π4+cos3xsin π4)cos3x=√2(six3xcos3x +cos 23x) =√22(sin6x +cos6x +1) =sin(6x +π4)+√22． 由2kπ−π2≤6x +π4≤2kπ+π2(k ∈Z)得函数ℎ(x)的单调递增区间为[kπ3−π8, kπ3+π24](k ∈Z)．18. 解：(1)当n=1，a1=2，当n≥2时，a n=S n−S n−1=2a n−2a n−1，∴ a n=2a n−1(n≥2)，∴ {a n}是等比数列，公比为2，首项a1=2，∴ a n=2n.又点P(b n，b n+1)(n∈N∗)在直线y=x+2上，∴ b n+1=b n+2，∴ {b n}是等差数列，公差为2，首项b1=1，∴ b n=2n−1.(2)∵ a n⋅b n=(2n−1)×2n∴ D n=1×21+3×22+5×23+7×24+⋯(2n−3)×2n−1+(2n−1)×2n①2D n=1×22+3×23+5×24+7×25+⋯(2n−3)×2n+(2n−1)×2n+1②①-②得−D n=1×21+2×22+2×23+2×24+⋯2×2n−(2n−1)×2n+1=2+2×4(1−2n−1)1−2−(2n−1)×2n+1=2n+1(3−2n)−6,D n=(2n−3)2n+1+6.(3)c n={2n，n为奇数,−(2n−1)，n为偶数,T2n=(a1+a3+...+a2n−1)−(b2+b4+...b2n)=2+23+⋯+22n−1−[3+7+⋯+(4n−1)]=22n+1−23−2n2−n.19. 解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，∴ 共有8C32对相交棱，∴ P(ξ=0)=8C32C122=411．（2）若两条棱平行，则它们的距离为1或√2，其中距离为√2的共有6对，∴ P(ξ=√2)=6C122=111，P(ξ=1)=1−P(ξ=0)−P(ξ=√2)=611．∴ 随机变量ξ的分布列是：∴ 其数学期望E(ξ)=1×611+√2×111=6+√211．20. 解：(1)以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=CD=2，则A(2, 0, 0)，P(0, 0, 2)，E(0, 1, 1)，B(2, 2, 0)，所以PA →=(2, 0, −2)，DE →=(0, 1, 1)，DB →=(2, 2, 0)． 设n →=(x, y, z)是平面BDE 的一个法向量， 则由{n →⋅DB →=0˙，得{y +z =02x +2y =0；取=−1，则n1→=(1, −1, 1)， ∵√33⋅n →=2−2=0，∴ PA →⊥n1→，又PA ⊄平面BDE ， ∴ PA // 平面BDE ．(2)由(1)知n1→=(1, −1, 1)是平面BDE 的一个法向量，又n2→=DA →=(2, 0, 0)是平面DEC 的一个法向量．设二面角B −DE −C 的平面角为θ，由图可知θ=<n1→，n2→>， ∴ cosθ=cos <n1→，n2→>=|n1→|⋅|n2→|˙=√3×2=√33， 故二面角B −DE −C 余弦值为√33． (3)∵ PB →=(2, 2, −2)，DE →=(0, 1, 1)， ∴ PB →⋅DE →=0+2−2=0，∴ PB ⊥DE ．假设棱PB 上存在点F ，使PB ⊥平面DEF ，设PF →=λPB →(0<λ<1)， 则PF →=(2λ, 2λ, −2λ)，DF →=DP →+PF →=(2λ, 2λ, 2−2λ)， 由PF →⋅DF →=0得4λ2+4λ2−2λ(2−2λ)=0， ∴ λ=13∈(0, 1)，此时PF =13PB ，即在棱PB 上存在点F ，PF =13PB ，使得PB ⊥平面DEF ．21. 解：(I)由题意得：a →+√3b →=(x +√3,√3y)，a →−√3b →=(x −√3,√3y)，∵ (a →+√3b →)⊥(a →−√3b →)，．∴ Q 点的轨迹C 的方程为x 23+y 2=1.…（II ）由{y =kx +m x 23+y 2=1得(3k 2+1)x 2+6mkx +3(m 2−1)=0，由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴ △>0，即m 2<3k 2+1①…（1）当k ≠0时，设弦MN 的中点为P(x p , y p )，x M 、x N 分别为点M 、N 的横坐标，则x p =x M +x N2=−3mk 3k 2+1从而y p =kx p +m =m 3k 2+1k AP =y p +1x p =−m+3k 2+13mk…又|AM|=|AN|，∴ AP ⊥MN ，则−m+3k 2+13mk=−1k即2m =3k 2+1②，将②代入①得2m >m 2，解得0<m <2，由②得k 2=2m−13>0，解得m >12，故所求的m 取值范围是(12，2)．…（2）当k =0时，|AM|=|AN|，∴ AP ⊥MN ，m 2<3k 2+1，解得−1<m <1． ∴ 当k ≠0时，m 的取值范围是(12,2)，当k =0时，m 的取值范围是(−1,1)．… 22. 解：(1)ℎ(x)=a x 2+lnx ， ℎ′(x)=−2a x 3+1x=x 2−2a x 3，①a ≤0，ℎ′(x)≥0，函数ℎ(x)在(0, +∞)上单调递增， ②a >0，ℎ′(x)≥0，x ≥√2a ，函数ℎ(x)的单调递增区间为(√2a ，+∞)， ℎ′(x)≤0，0<x ≤√2a ，函数ℎ(x)的单调递减区间为(0,√2a)；(2)存在x 1，x 2∈[0, 2]，使得g(x 1)−g(x 2)≥M 成立， 等价于：[g(x 1)−g(x 2)]max ≥M ，考察g(x)=x 3−x 2−3，g′(x)=3x(x −23)，由上表可知：g(x)min =g(23)=−8527， g(x)max =g(2)=1，∴ [g(x 1)−g(x 2)]max =g(x)max −g(x)min =11227，所以满足条件的最大整数M =4；(3)当x ∈[12，2]时，f(x)=a+xlnx≥1恒成立，x等价于a≥x−x2lnx恒成立，记ℎ(x)=x−x2lnx，所以a≥ℎmax(x)，又ℎ′(x)=1−2xlnx−x，则ℎ′(1)=0．，1)，记ℎ′(x)=(1−x)−2lnx，x∈[121−x>0，xlnx<0，ℎ′(x)>0，，1)上单调递增，即函数ℎ(x)=x−x2lnx在区间[12记ℎ′(x)=(1−x)−2lnx，x∈(1, 2]，1−x<0, xlnx>0, ℎ′(x)<0，即函数ℎ(x)=x−x2lnx在区间(1, 2]上单调递减，∴ x=1，ℎ(x)取到极大值也是最大值ℎ(1)=1，∴ a≥1.。

2014年江西高考理科数学试卷(带详解)

2014年江西高考理科数学试卷(带详解)

2014·江西卷(理科数学)1.[2014·江西卷] z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A.1＋i B.－1－i C.－1＋i D.1－i 【测量目标】复数的基本运算【考查方式】给出共轭复数和复数的运算，求出z 【参考答案】D 【难易程度】容易【试题解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，所以2a ＝2，－2b ＝2，得a ＝1，b ＝－1，故z ＝1－i. 2.[2014·江西卷] 函数f (x )＝ln(2x －x )的定义域为( )A.(0，1]B.[0，1]C.(－∞，0)∪(1，＋∞)D.(－∞，0]∪[1，＋∞) 【测量目标】定义域【考查方式】根据对数函数的性质，求其定义域 【参考答案】C 【难易程度】容易【试题解析】由2x －x >0，得x >1或x <0.3.[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝||5x ，g (x )＝2ax －x (a ∈R ).若f [g (1)]＝1，则a ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.－1 【测量目标】复合函数【考查方式】给出两个函数，求其复合函数 【参考答案】A 【难易程度】容易【试题解析】由g (1)＝a －1，由()1f g ⎡⎤⎣⎦＝1，得|1|5a －＝1，所以|a －1|＝0，故a ＝1.4.[2014·江西卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若22()c a b ＝－＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.3 D.【测量目标】余弦定理，面积【考查方式】先利用余弦定理求角，求面积 【参考答案】C 【难易程度】容易【试题解析】由余弦定理得， 222cos =2a b c C ab+-＝262ab ab -＝12，所以ab ＝6，所以ABC S ＝1sin 2ab C ＝5.[2014·江西卷] 一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是( )第5题图LLJ73-77A B C D【测量目标】三视图【考查方式】给出实物图，判断俯视图【参考答案】B【难易程度】容易【试题解析】易知该几何体的俯视图为选项B中的图形.6.[2014·江西卷] 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是()表1A.成绩B.视力C.智商【测量目标】卡方分布的应用【考查方式】直接给出表格，观察最大变量与性别的关系【参考答案】D【难易程度】中等【试题解析】根据表格我们可以得出()22 215262214105281636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯，()()2222521651612521671636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯，()()222352248812521281636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯，()()222452143026526861636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯.分析判断24χ最大，所以选择D. 7.[2014·江西卷] 阅读如程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为()第7题图 LLJ78A.7B.9C.10D.11【测量目标】循环结构的程序框图【考查方式】给定带有循环结构的算法程序框图，分析每一次执行的结果并判断是否满足条件，最后得出答案. 【参考答案】B 【难易程度】中等【试题解析】当1i =时，10lglg 33S =+=->-1,123i =+=,3lg 3lg lg 55S =-+=->-1, 325i =+=,5lg 5lg lg 77S =-+=->-1，527i =+=,7lg 7lg lg 99S =-+=->-1 729i =+=,9lg 9lg lg1111S =-+=-<-1所以输出9i =.8.[2014·江西卷] 若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )【测量目标】定积分【考查方式】给出函数的表达式，求积分 【参考答案】B 【难易程度】容易【试题解析】1()0f x dx ⎰＝()211200x f x dx ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰⎰＝130112()03x f x dx x ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰＝112()03f x dx +⎰,得1()0f x dx ⎰＝13－. 9.[2014·江西卷] 在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y－4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.4π 5B.3π4C.(6π-D.5π4【测量目标】直线与圆的位置关系，面积和最值 【考查方式】已知直线与圆的位置关系，求圆的面积 【参考答案】A 【难易程度】中等【试题解析】由题意知，圆C 必过点O (0，0)，故要使圆C 的面积最小，则点O 到直线l 的距离为圆C 的直径，即2r 所以r 4=π5S10.[2014·江西卷] 如图所示，在长方体ABCD 1111A B C D 中，AB ＝11，AD ＝7，1AA ＝12.一质点从顶点A 射向点E (4，3，12)，遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第i －1次到第i 次反射点之间的线段记为(234)i L i ＝，，，1L ＝AE ，将线段1234L L L L ，，，竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是( )第10题图LLJ79A B C D 第10题图 LLJ80-83【测量目标】投影，直线与面的关系【考查方式】利用光的反射原理求其长度并判断图形 【参考答案】C 【难易程度】中等【试题解析】由题意，1L ＝AE ＝13.易知点E 在底面ABCD 上的投影为F (4，3，0)，根据光的反射原理知，直线 AE 和从点E 射向点1E 的直线1E E 关于EF 对称，因此1E (8，6，0)，且21L L ＝＝13.此时，直线1EE 和从点1E 射出所得的直线12E E 关于过点1E (8，6，0)和底面ABCD 垂直的直线对称，得2E ' (12，9，12).因为12>11，9>7，所以这次射出的点应在面11CDD C 上，设为2E ，求得31213==3L E E ，321L L L <＝最后一次，从点2E 射出，落在平面1111A B C D 上，求得4326>3L L =,故选C. 11.[2014·江西卷] (1)(不等式选做题)对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4【测量目标】不等式【考查方式】利用不等式的性质，求最值 【参考答案】C 【难易程度】容易【试题解析】易知|x －1|＋|x |≥1，当且仅当0≤x ≤1时等号成立；|y －1|＋|y ＋1|≥2, 当且仅当－1≤y ≤1时等号成立.故|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3. [2014·江西卷] (2)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A.1cos sin ρθθ=+，π02θ剟 B.1cos sin ρθθ=+，π04θ剟 C.ρ=cos sin θθ+，π02θ剟 D.ρ=cos sin θθ+，π04θ剟 【测量目标】极坐标方程【考查方式】直接把直线方程转化成极坐标方程 【参考答案】A 【难易程度】容易【试题解析】依题意，方程y ＝1－x 的极坐标方程为()cos sin ρθθ+＝1，整理得1cos sin ρθθ=+.因为0≤x≤1，所以 01y剟，结合图形可知π02θ剟. 12.[2014·江西卷] 10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________. 【测量目标】超几何分布【考查方式】根据超几何分布的表达式就可以求出概率 【参考答案】12【难易程度】容易【试题解析】由超几何分布的概率公式可得P (恰好取到一件次品)＝1337410C 12C C = 13.[2014·江西卷] 若曲线y ＝ex－上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________.【测量目标】直线与曲线的位置关系【考查方式】根据直线与曲线的位置关系，求其点的坐标 【参考答案】(－ln 2，2) 【难易程度】容易【试题解析】设点P 的坐标为00()x y ，，exy '－＝－又切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，所以0ex －－＝－2，可得0ln 2x ＝－，此时y ＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2).14.[2014·江西卷] 已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos =3α，向量a ＝3122e e －与b ＝123e e －的夹角为β，则cos β＝________.【测量目标】平面向量的夹角【考查方式】根据平面向量求其夹角的余弦值【难易程度】容易【试题解析】cos = ||||aba b β22=15.[2014·江西卷] 过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆22:22=1(>>0)x y C a b a b+相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________. 【测量目标】直线与椭圆的位置关系，离心率【考查方式】利用交点，联立方程找出关系，求其离心率 【参考答案】=2e 【难易程度】中等【试题解析】设点A (11x y ，)，点B (22x y ，)，点M 是线段AB 的中点，所以12x x ＋＝2，12y y ＋＝2，且2211222222221,1x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式作差可得22122x x a -＝22122()y y b --，即12122()()x x x x a +-＝12122()()y y y y b +--，所以1212y y x x --=y 1－y 2x 1－x 2＝22b a -，即AB k ＝22b a -.由题意可知，直线AB 的斜率为12-，所以22b a-＝12-，即a .又222a b c ＝＋，所以c ＝b ，e =. 16. [2014·江西卷] 已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. (1)当a π4θ=时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值； (2)若π2f ⎛⎫⎪⎝⎭＝0，(π)f ＝1，求a ，θ的值. 【难易程度】容易【测量目标】三角函数最值，参数【考查方式】先转化函数解析式，在利用给定的定义域求其最值，在求参数的值 【试题解析】(1)f (x )＝sin π4x ⎛⎫+⎪⎝⎭＋2cos π2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2(sin x ＋cos x )x＝2cos x－2sin x ＝sin π4x ⎛⎫-⎪⎝⎭.因为x ∈[0，π]，所以π4－x ∈3ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故f (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.(2)由()π02π1f f ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得2cos (12sin )02sin sin 1.a a a θθθθ-=⎧⎨--=⎩又ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，知cos 0θ≠，所以12sin 0(2sin 1)sin 1.a a a θθθ-=⎧⎨--=⎩ 解得1π6a θ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩.17.[2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{}n a ，{}n b (*0n b n ≠∈N ，)满足1112n n n n n n a b a b b b ＋＋＋－＋＝0. (1)令nn na cb =，求数列{}n c 的通项公式； (2)若13n n b －＝，求数列{}n a 的前n 项和.n S 【难易程度】容易【测量目标】等差数列，错位相减【考查方式】先求出等差数列，再利用错位相减求和【试题解析】(1)因为1112n n n n n n a b a b b b ＋＋＋－＋＝0，*0)n b n ≠∈N ，(，所以11n n a b ++－nna b ＝2，即1n n c c ＋－＝2，所以数列{}n c 是以1c ＝1为首项，d ＝2为公差的等差数列，故21.n c n ＝－(2)由13n n b －＝，知1(21)3n n a n －＝－，于是数列{}n a 的前n 项和n S ＝0121133353(21)3n n ⨯⨯⨯⋯⨯－＋＋＋＋－，3n S ＝1211333(23)3(21)3n n n n ⨯⨯⨯⨯ －＋＋＋－＋－， 将两式相减得－2n S ＝1＋1212(333)(2n n ⨯ －＋＋＋－－1)32(22)3n n n ⨯⨯＝－－－，所以(1)31.n n S n ＝－＋18. [2014·江西卷] 已知函数f (x )＝()2x bx b ++∈R . (1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，求b 的取值范围. 【难易程度】中等【测量目标】极值，单调性、函数的导数【考查方式】先利用求导求极值，再利用单调性求参数的取值范围【试题解析】(1)当b＝4时，f′(x)，由f′(x)＝0，得x＝－2或x＝0.所以当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－2，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈10,2⎛⎫⎪⎝⎭时，()0f x'<，f(x)单调递减，故f(x)在x＝－2处取得极小值f(－2)＝0，在x＝0处取得极大值f(0)＝4.(2) f′(x)，易知当x∈10,3⎛⎫⎪⎝⎭时，，依题意当x∈10,3⎛⎫⎪⎝⎭时，有5x＋(3b－2)…0，从而53＋(3b－2)…0，得1.9b…所以b的取值范围为1,9⎛⎤-∞⎥⎝⎦.19.[2014·江西卷]如图，四棱锥P ABCD中，ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD.(1)求证：AB⊥PD.(2)若∠BPC＝90︒，PBPC＝2，问AB为何值时，四棱锥P ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值.第19题图LLJ84【难易程度】中等【测量目标】线面、面面、线线位置关系，夹角的余弦值，法向量的应用【考查方式】先由线面位置关系来证线线位置关系，在建立直角坐标系利用向量求夹角的余弦值【试题解析】(1)证明：因为ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以AB⊥平面P AD，故AB⊥PD.(2)过P作AD的垂线，垂足为O，过O作BC的垂线，垂足为G，连接PG.故PO⊥平面ABCD，BC⊥平面POG，BC⊥PG.在Rt△BPC中，PG，GC，BG设AB ＝m，则OPP-ABCD的体积为1=3V m=因为=mABP-ABCD的体积最大.此时，建立如图所示的空间直角坐标系，各点的坐标分别为O(0，0，0)，B⎫⎪⎪⎝⎭，C⎫⎪⎪⎝⎭，D⎝⎛⎭⎫0，263，0，P⎛⎝⎭，故BP＝⎝⎭，BC＝(0，6，0)，CD⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭.设平面BPC的法向量1(,,1),n x y=则由1n PC⊥,1n BC⊥得y+=⎨⎪=⎩，解得1,0,x y ==1(1,0,1),n = 同理可求出平面DPC 的法向量21(0,,1),2n = ，从而平面BPC 与平面DPC 夹角θ的余弦值为1212cos ||||n n n n θ⋅==⋅第19题图LLJ84b20. [2014·江西卷] 如图，已知双曲线()22:210x C y a a -=>的右焦点F ,点,A B 分别在C 的两条渐近线上，AF OB ⊥，BF OA P (O 为坐标原点).(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点()()000,0P x y y ≠的直线0:021x y l y y a-=与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ，证明点P 在C 上移动时，NFMF恒为定值，并求此定值第20题图 LLJ85【难易程度】较难【测量目标】双曲线方程和离心率、焦点，直线与曲线的位置关系【考查方式】先求出双曲线方程，再利用直线与曲线的位置关系求第二问【试题解析】(1)设(,0)F c ，因为1b =，所以c 直线OB 方程为1y x a =-，直线BF 的方程为1()y x c a =-，解得(,)22c c B a -,又直线OA 的方程为1y x a =，则3(,),.AB c A c k a a =又因为AB ⊥OB ，所以31()1a a-=-，解得23a =，故双曲线C 的方程为22 1.3x y -=(2)由(1)知a =l 的方程为0001(0)3x x y y y -=≠，即0033x x y y -=,因为直线AF 的方程为2x =，所以直线l 与AF 的交点0023(2,)3x M y -,直线l 与直线32x =的交点为003332(,)23x N y-,则220222004(23)9[(2)]x MF NF y x -=+-,因为是C 上一点，则2200 1.3x y -=，代入上式得222002222200004(23)4(23)49[(2)]39[1(2)]3x x MF x NF y x x --===+--+-，所求定值为MF NF =.21.[2014·江西卷] 随机将()1,2,,2,2n n n *⋅⋅⋅∈N …这2n 个连续正整数分成A ,B 两组，每组n 个数，A 组最小数为1a ，最大数为2a ；B 组最小数为1b ，最大数为2b ，记2112,a a b b ξη=-=- (1)当3n =时，求ξ的分布列和数学期望；(2)令C 表示事件ξ与η的取值恰好相等，求事件C 发生的概率()P C ；(3)对(2)中的事件C 的对立事件，判断()P C 和. 【难易程度】难【测量目标】分布列和数学期望，概率，数学归纳法【考查方式】先求出分布列和数学期望，在求出其概率，最后在利用数学归纳法【试题解析】(1)当3n =时，ξ所有可能值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成A ,B 两组，不同的分组方法共有3620C =种，所以ξ的分布列为:133172345.5101052E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=(2)ξ和η恰好相等的所有可能值为1,,1,,2 2.n n n n -+- 又ξ和η恰好相等且等于1n -时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于n 时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等42()63P C ==;当3n …时,()(),P C P C <理由如下：式左边124(2C )16,=+=①式右.那么，当1n m =+时，①(2)!4(22)!(1)(2)(22)!(41)!!(1)!(1)!(1)!(1)!m m m m m m m m m m m m ⨯-+--=+=--++①式右边.即当1n m =+时①式也成立,综合1 2 得，对于3n …的所有正整数，都有()()P C P C <成立.。

2014年江西省八所重点中学联考高考数学模拟试卷(理科)

2014年江西省八所重点中学联考高考数学模拟试卷(理科)

2014年江西省八所重点中学联考高考数学模拟试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共55.0分)1.若集合A={0，1，2，3}，集合B={x|-x∈A，1-x∉A}，则集合B的元素的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】解：若-x=0∈A，则1-x=1∈A，∴此时x=0，不成立，若-x=1∈A，则1-x=2∈A，∴此时x=-1，不成立，若-x=2∈A，则1-x=3∈A，∴此时x=-3，不成立，若-x=3∈A，则1-x=4∉A，∴此时x=-3，满足条件，故B={-3}，故选：A．根据条件-x∈A，1-x∉A分别对元素进行讨论即可得到结论．本题主要考查集合元素关系的判断，比较基础．2.设i为虚数单位，则=（）A.1B.-1C.iD.-i【答案】C【解析】解：∵∴复数的运算结果是i，故选C．进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理分子和分母进行复数的乘法运算，约分得到结果．本题考查复数的代数形式的除法运算，本题解题的关键是熟练应用除法运算的法则，求解数字时要细心，本题是一个基础题．3.一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，则这个几何体的俯视图一定不是（）A. B. C. D.【解析】解：A中几何体的侧视图是左侧面在过里面侧棱和中心高线确定面上的正投影，能满足和正视图侧视图为边长为1的正方形；满足题目的要求，正确；B的俯视图是一扇形，是三分之一圆柱，从正视图与侧视图的高为1的线段，正视图的长度大于1，不满足要求．C可以是正方体，以其正视图和侧视图也可是边长为1的正方形．满足题目的要求，正确；选项D从俯视图看出正方体去掉四分之一圆锥后的几何体．故其正视图与侧视图是边长为1的正方形．满足题目的要求，正确；故选：B．四个图形的高均可取1，A可以是三棱柱，B可是三分之一圆柱，C可以是正方体，D 从俯视图看出正方体去掉四分之一圆锥后的几何体．本题考查三视图的理解与应用，解决三视图问题，要掌握视图原则，关键是图形在与目光视线垂直面上的正投影．4.已知=（2，-1，3），=（-1，4，-2），=（7，5，λ），若、、三向量共面，则实数λ等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：∵=（2，-1，3），=（-1，4，-2）∴与不平行，又∵、、三向量共面，则存在实数X，Y使=X+Y即解得λ=故选D由已知中=（2，-1，3），=（-1，4，-2），=（7，5，λ），若、、三向量共面，我们可以用向量、作基底表示向量，进而构造关于λ的方程，解方程即可求出实数λ的值．本题考查的知识点是共线向量与向量及平面向量基本定理，其中根据、、三向量共面，与不共线，则可用向量、作基底表示向量，造关于λ的方程，是解答本题的关键．5.已知数列{a n}是等比数列，且a2013+a2015=dx，则a2014（a2012+2a2014+a2016）的值为（）A.π2B.2πC.πD.4π2【答案】A解：由定积分的几何意义可得dx表示圆x2+y2=4在第一象限的图形的面积，即四分之一圆，故可得a2013+a2015=dx=×π×22=π，∴a2014（a2012+2a2014+a2016）=a2014•a2012+2a2014•a2014+a2014•a2016=+2a2013•a2015=（a2013+a2015）2=π2故选：A求定积分可得a2013+a2015=π，由等比数列的性质变形可得a2014（a2012+2a2014+a2016）=（a2013+a2015）2，代值计算可得．本题考查等比数列的性质，涉及定积分的求解，属中档题．6.从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为（）A.480 B.481 C.482 D.483【答案】C【解析】解：∵样本中编号最小的两个编号分别为007，032，∴样本数据组距为32-07=25，则样本容量为，则对应的号码数x=7+25（n-1），当n=20时，x取得最大值为x=7+25×19=482，故选：C．根据系统抽样的定义得到，编号之间的关系，即可得到结论．本题主要考查系统抽样的应用，根据条件确定组距是解决本题的关键，比较基础．7.如图是一个算法的流程图，最后输出的x=（）A.-4B.-7C.-10D.-13【答案】C【解析】解：第一次运行，S=0，x=2，S=2，不满足条件S≤-20，第二次运行，x=2-3=-1，S=2-1=1，不满足条件S≤-20，第三次运行，x=-1-3=-4，S=1-4=-3，不满足条件S≤-20，第四次运行，x=-4-3=-7，S=-3-7=-10，不满足条件S≤-20，第五次运行，x=-7-3=-10，S=-10-10=-20，满足条件S≤-20，输出x=-10，故选：C．根据程序框图，直接运行即可得到结论．本题主要考查程序框图的识别和运行，根据条件分别进行运行即可得到结论，比较基础．8.二项式展开式中的第三项与第五项的系数之比为-，其中i为虚数单位，则展开式的常数项为（）A.72B.-72iC.45D.-45i【答案】C【解析】解：二项式展开式中的第三项的系数为，第五项的系数，∴二项式展开式中的第三项与第五项的系数之比为==-，解得n=10．∴二项式展开式的通项公式为T r+1=•（-i）r•．令20-=0，求得r=8，∴展开式的常数项为=45，故选：C．根据二项式展开式中的第三项与第五项的系数之比为=-，求得得n=10．在二项式展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得展开式的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．9.已知双曲线＞，＞的左右焦点分别为F1，F2，e为双曲线的离心率，P是双曲线右支上的点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，则OB=（）A.aB.bC.eaD.eb【答案】A【解析】解：由题意知：F1（-c，0）、F2（c，0），内切圆与x轴的切点是点A，∵|PF1|-|PF2|=2a，及圆的切线长定理知，|AF1|-|AF2|=2a，设内切圆的圆心横坐标为x，则|（x+c）-（c-x）|=2a∴x=a．在三角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，PC=PF2，∴在三角形F1CF2中，有：OB=CF1=（PF1-PC）=（PF1-PF2）=×2a=a．根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把|PF1|-|PF2|=2a，转化为|AF1|-|AF2|=2a，从而求得点H的横坐标．再在三角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在三角形F1CF2中，利用中位线定理得出OB，从而解决问题．本题考查双曲线的定义、切线长定理．解答的关键是充分利用三角形内心的性质．10.如图是某果园的平面图，实线部分DE、DF、EF游客观赏道路，其中曲线部分EF是以AB为直径的半圆上的一段弧，点O为圆心，△ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形，其中AB=2千米，∠EOA=∠FOB=2x（0＜x＜），若游客在路线DE、DF上观赏所获得的“满意度”是路线长度的2倍，在路线EF上观赏所获得的“满意度”是路线的长度，假定该果园的“社会满意度”y是游客在所有路线上观赏所获得的“满意度”之和，则下面图象中能较准确的反映y与x的函数关系的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：（Ⅰ）因为OA=AB=1，∠EOA=∠FOB=2x，连结OD，由OD=OE=OF=1，得∠FOD=∠EOD=，∴DE=DF==（sinx+cosx），∠EOF=π-4x，∠C0E=，则EF=2CE=2OE sin（）=2cos2x，∵游客在路线DE、DF上观赏所获得的“满意度”是路线长度的2倍，在路线EF上观赏所获得的“满意度”是路线的长度，∴y=4（sinx+cosx）+2cos2x，根据三角函数关系，求出DE，DF，和EF的长度，利用满意度的定义，建立函数关系，即可得到结论．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用条件求出DE，EF，DF的长度是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．11.在直角坐标系x O y中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|=（）A.13B.14C.15D.16【答案】D【解析】解：∵直线的极坐标方程为ρcosθ=4，化为普通方程是x=4；把x=4代入曲线方程（t为参数）中，解得t=±2，∴y=±8；∴点A（4，8），B（4，-8）；∴|AB|=|-8-8|=16．故选：D．把直线的极坐标方程化为普通方程，代入到曲线的参数方程中，求出A、B两点的坐标，即可求出|AB|．本题考查了参数方程与极坐标方程的应用问题，解题时把直线的极坐标方程化为普通方程，再代入曲线的参数方程中，即可容易的解答．12.若不等式log2（|x+1|+|x-2|-m）≥2恒成立，则实数m的取值范围为（）A.（-∞，-3]B.[-3，-1]C.[-1，3]D.（-∞，-1]【答案】D【解析】解：∵不等式log2（|x+1|+|x-2|-m）≥2恒成立，∴|x+1|+|x-2|-m≥22，化为|x+1|+|x-2|≥4+m，∵|x+1|+|x-2|≥3，∴3≥4+m，解得m≤-1．∴实数m的取值范围为（-∞，-1]．故选：D．由于不等式log2（|x+1|+|x-2|-m）≥2恒成立⇔|x+1|+|x-2|-m≥22，求出|x+1|+|x-2|的最小值即可．本题考查了对数的运算性质、绝对值的几何意义、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本技能方法，属于基础题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)【解析】解：画出正态分布N（0，1）的密度函数的图象如下图：由图象的对称性可得，若P（ξ＞1）=p，则P（ξ＜-1）=p，∴则P（-1＜ξ＜1）=1-2p，P（-1＜ξ＜0）=．故填：．画出正态分布N（0，1）的密度函数的图象，由图象的对称性可得结果．本题考查正态分布，学习正态分布时需注意以下问题：1．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的．14.设实数x，y满足不等式组，则的取值范围是______ ．【答案】[-1，1]【解析】解：约束条件，对应的平面区域如下图示：ω==的表示可行域内的点P（x，y）与点Q（0，-1）连线的斜率的倒数，由图可知ω=的取值范围是[-1，1]，故答案为：[-1，1]．根据已知的约束条件，，画出满足约束条件的可行域，分析ω=的取值表示的几何意义，结合图象即可给出ω=的取值的取值范围．平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．15.已知f[f（x0）]=3，则x0= ______ ．＜若【答案】或【解析】解：当x0≤0时，由题意知f（x0）=x02≥0，f[f（x0）]=-2sinx02，不可能等于3．当π＞x0＞0时，由题意知f（x0）=-2sinx0＜0，f[f（x0）]=4sin2x0=3，∴sinx0=，∴x0=或，故答案为或．当x0≤0时，由题意知f（x0）=x02≥0，f[f（x0）]=-2sinx02，不可能等于3．当π＞x0＞0时，由题意知f（x0）=-2sinx0＜0，f[f（x0）]=4sin2x0=3，解得sinx0=，可得x0的值．本题考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点．16.已知一正整数的数阵如图所示（从上至下第1行是1，第2行是3、2，…），则数字2014是从上至下第______ 行中的从左至右第______ 个数．【答案】63；61【解析】解：∵每行正整数的个数与行数相同，1+2+3+••+n=∴≥2014，＜解得n=63，因为第62行的第一数是=1953，所以第63行的第一个数是1954，因为2014-1954+1=61，所以2014是从上至下第63行中的行中的从左至右第第61个数．故答案为：63；61根据奇数行，依次增加1，偶数行，依次减少1，每行正整数的个数与行数相同，即可得到结论．本题考查数列的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)17.已知向量=（cos（x-），sin（x-）），=（cos（x-），sin（x+）），f（x）=2•-1．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[-，]上的值域．【答案】解：（1）∵f（x）=2•-1=cos（2x-）+2sin（x-）sin（x+）=sin（2x-），∴函数的最小正周期为=π．（2）∵x∈[-，]，∴2x-∈[-，]，∴当2x-=时，函数取得最大值为1，当2x-=-时，函数取得最小值为-．故函数的值域为[-，1]．【解析】（1）利用两个向量的数量积公式、三角恒等变换、化简f（x）的解析式为f（x）=sin （2x-），由此可得函数的最小正周期．（2）根据[-，]，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值，可得函数的值域．本题主要考查两个向量的数量积公式、三角恒等变换、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18.已知A箱装有编号为1，2，3，4，5的五个小球（小球除编号不同之外，其他完全相同），B箱装有编号为2，4的两个小球（小球除编号不同之外，其他完全相同），甲从A箱中任取一个小球，乙从B箱中任取一个小球，用X，Y分别表示甲，乙两人取得的小球上的数字．（1）求概率P（X＞Y）；（2）设随机变量ξ=，，＜，求ξ的分布列及数学期望．【答案】解：（1）P（x＞y）==．（2）由题设条件知ξ的所有可能取值为2，3，4，5，P（ξ=3）==，P（ξ=4）=，P（ξ=5）==，∴ξ的分布列为：∴Eξ=2×+3×+4×+5×=．【解析】（1）利用古典概率计算公式能求出P（x＞y）的概率．（2）由题设条件知ξ的所有可能取值为2，3，4，5，分别求出P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），P（ξ=5），由此能求出ξ的分布列和数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意排列组合的合理运用．19.已知数列{a n}中，a1=-，当n≥2时，2a n=a n-1-1．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）设b n=，数列{b n}前n项的和为S n，求证：S n＜2．【答案】解：（1）当n≥2时，2a n=a n-1-1⇒2（a n+1）=a n-1+1∴=，∴数列{a n+1}是以a1+1=为首项，公比为的等比数列--------3分∴a n+1=⇒a n=-1-------------------------------6分（2）b n===2（）------9分∴s n=2（）+2（）+…+2（）=2（1-）＜2-------------------------------------------12分【解析】（1）由递推公式构造构造数列{a+1}为等比数列，即求得；本题考查递推数列求通项公式的方法----构造法，及利用裂项相消法对数列求和，应多体会其特点．20.如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E、F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4．将四边形EFCD沿EF折起成如图2的位置，使AD=AE．（1）求证：AF∥平面CBD；（2）求平面CBD与平面DAE所成锐角的余弦值．【答案】（1）证明：取DE的中点G，连结FG，AG，CG，∵翻折前E、F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4，∴翻折后AD=AE=2CF，∴CF DG，CG AB，∴FG∥CD，AG∥BC，∴平面AFG∥平面CBD，∴AF∥平面CBD．（2）如图以AE中点为原点，AE为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意知A（-1，0，0），D（0，0，），B（-1，-2，0），E（1，0，0），∴DE的中点坐标为（，，），∵，∴C（，，），∵是平面ADE的一个法向量，即，，，设平面BCD的一个法向量为，，，∵，，，，，，∴，令x=2，则y=2，z=-2，∴，，，∴cos＜，＞==，∴面CBD与面DAE所面角的余弦值为．（1）取DE的中点G，连结FG，AG，CG，由已知条件推导出FG∥CD，AG∥BC，从而得到平面AFG∥平面CBD，由此能证明AF∥平面CBD．（2）如图以AE中点为原点，AE为x轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出面CBD与面DAE所面角的余弦值．本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21.如图，为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变．（1）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；（2）过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设=λ，求λ的取值范围．【答案】解：（1）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4．∴曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆．设其长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，则2a=2，∴a=，c=2，b=1．∴曲线C的方程为+y2=1．（2）设直线l的方程为y=kx+2，代入+y2=1，得（1+5k2）x2+20kx+15=0．△=（20k）2-4×15（1+5k2）＞0，得k2＞．由图可知=λ由韦达定理得，将x1=λx2代入得两式相除得∵＞，∴＜＜，∴＜＜，即＜＜∴＜＜，∵＞，∴解得＜＜①∵，M在D、N中间，又∵当k不存在时，显然λ=（此时直线l与y轴重合）综合得：≤λ＜1．【解析】（1）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，根据|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2判断出曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆．设其长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，则首先可知a，根据|AB|=4求得c，则b可求得，进而求得椭圆的方程．（2）设直线l的方程代入椭圆方程，消去y，根据判别式大于0求得k的范围，根据题意可知=λ，根据韦达定理求得x1+x2和x1+x2的表达式，将x1=λx2代入两式相除，根据k的范围求得λ的范围，进而根据M在D、N中间，判断出λ＜1，综合可得答案．本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，问题的解决具有入口宽、方法灵活多样等，而不同的解题途径其运算量繁简差别很大，故此类问题能有效地考查考生分析问题、解决问题的能力，是高考题常考的类型．22.已知函数f（x）=ln（x2+a）（a＞0）（1）若a=2，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（2）令g（x）=f（x）-x3，求证：在区间（0，）上，g（x）存在唯一极值点．（3）令h（x）=，定义数列{x n}：x1=0，x n+1=h（x n）．当a=2且x k∈（0，]（k=2，3，4…）时，求证：对于任意的m∈N*，恒有|x m+k-x k|＜．【答案】（1）解：若a=2，f（x）=ln（2+x2），则f （x）=，f （1）=，f（1）=ln3，所以所求的切线方程为y-ln3=（x-1）即2x-3y+3ln3-2=0；（2）证明：g （x）=f （x）-2x2=2x（-x）等价于φ（x）=-x在（0，）上有唯一零点．事实上，φ （x）=-1＜0，x∈（0，），所以φ（x）在（0，）上单调递减，且φ（0）=＞0，φ（）=＜0，故在区间（0，）上，g（x）存在唯一极值点．（3）证明：当a=2时，h（x）==，x1=0，x2=，x3=，|x3-x2|=，x k∈（0，]，从而|x k+1-x k|=||=＜|x k-x k-1|＜|x k-1-x k-2|＜…＜|x3-x2|=•＜，所以|x m+k-x k|＜|x m+k-x m+k-1|+|x m+k-1-x m+k-2|+…|x k+1-x k|＜+++…+==＜．【解析】（1）求出函数的导数f （x），求出切线的斜率，应用点斜式方程写出切线方程；（2）g （x）=f （x）-2x2=2x（-x）等价于φ（x）=-x在（0，）上有唯一零点，通过导数得到φ（x）在（0，）上单调递减，判断且φ（0）、φ（）的符号，由零点存在定理，即可得证；（3）当a=2时，求出h（x），x1=0，x2=，x3=，|x3-x2|=，x k∈（0，]，则|x k+1-x k|＜…＜|x3-x2|=•＜，所以|x m+k-x k|＜|x m+k-x m+k-1|+|x m+k-1-x m+k-2|+…|x k+1-x k|应用放缩和等比数列的求和公式，即可得证．本题考查导数的应用：求切线方程、求极值，同时考查函数的零点存在定理，考查不等式的证明：放缩法，是一道综合题，有一定的难度．。

江西省重点中学盟校2014届高三第一次联考数学(理)试题(解析版)

江西省重点中学盟校2014届高三第一次联考数学(理)试题(解析版)

江西省重点中学盟校2014届高三第一次联考数学（理）试题（解析版）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()1z =i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.已知,m n 是两条不同直线,,,αβγ是三个不同平面,则下列命题正确的是( ) A ．若αα//,//n m ,则n m // B ．若,αγβγ⊥⊥,则α∥β C ．若βα//,//m m ,则βα// D ．若,m n αα⊥⊥,则m ∥n【答案】D 【解析】试题分析：对于A ，平行于同一平面的两条直线可能相交，平行或异面，故A 不正确；对于Ｂ，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是相交或平行，故D 不正确． 对于Ｃ，因为平行于同一直线的两个平面的位置关系是相交或平行，故Ｃ不正确； 对于Ｄ，利用垂直于同一个平面的两直线平行，可知Ｄ正确；故选Ｄ． 考点：平面与平面平行的判定，与性质．4.为了调查你们学校高中学生身高分布情况，假设你的同桌抽取的样本容量与你抽取的样本容量相同且抽样方法合理，则下列结论正确的是( ) A ．你与你的同桌的样本频率分布直方图一定相同 B ．你与你的同桌的样本平均数一定相同 C ．你与你的同桌的样本的标准差一定相同 D ．你与你的同桌被抽到的可能性一定相同5.下列函数中，与函数111()22x x f x -+=-的奇偶性、单调性均相同的是( )A ．x y e =B ． ln(y x =C ． 2y x =D ．tan y x =6.已知直线1x y +=与圆22x y a +=交于A 、B 两点，O 是原点，C 是圆上一点，若OC OB OA =+，则a 的值为( )A ．1BC ．2D ．47.设lg lg lg 111()121418x x x f x =+++++，则1()()=f x f x+( ) A ． 1 B ．2C ．3D ．48.如图，函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，||2πϕ≤）与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足(2,0)P ，4PQR π∠=，M 为QR 的中点，PM = 则A 的值为( )A B ．8 D ．169.给出下列命题，其中真命题的个数是( )①存在x R∈，使得007sin cos2sin24x xπ+=成立;②对于任意的三个平面向量a、b、c，总有()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅成立;③相关系数r (||1r≤)，||r值越大，变量之间的线性相关程度越高.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】试题分析：因为sin cos4x x xπ⎛⎫+=+≤⎪⎝⎭72sin2sin244ππ>=，故①为假命题，对于②向量的数量积不满足结合律，故为假命题，③由相关性判断方法可知，为真命题，综上可知，真命题的个数为1，故选Ｂ．考点：命题真假判断．10.如图，已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长是1，点E 是对角线1AC 上一动点，记AE x =（0x <<,过点E 平行于平面1A BD 的截面将正方体分成两部分，其中点A 所在的部分的体积为()V x ，则函数()y V x =的图像大致为( )A BC D第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.已知3sin a xdx π=⎰，则61()x ax+的展开式中的常数项是__________．C 1A 第10题图12.下图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有__________个．【答案】313.春节期间，某单位安排甲、乙、丙三人于正月初一至初五值班，每人至少值班一天，且每人均不能连续值班两天，其中初二不安排甲值班，则共有__________种不同的值班安排方案．【答案】28【解析】试题分析：每人均不能连续值班两天，其中初二不安排甲值班的方法数为2222232⨯⨯⨯⨯=种，其中包含甲乙甲乙甲，甲丙甲丙甲，乙丙乙丙乙，丙乙丙乙丙四种情况不符合，故有32428-=种． 考点：排列组合．14.过双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左焦点(,0)F c -(0)c >，作倾斜角为6π的直线FE 交该双曲线右支于点P ，若1()2OE OF OP =+，且0OE EF ⋅=，则双曲线的离心率为__________．选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分． 15（1）．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1)sin cos 2(:1=+θθρC 与曲线)0(,:2>=a a C ρ的一个交点在极轴上，则a 的值为__________．【答案】2三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且有tan tan sin 3cos A C BC+=．（1）求cos A 的值；（2）若2b =，3c =，D 为BC 上一点．且2CD DB =,求AD 的长．【答案】（1）1cos 3A =；（2）AD =． 【解析】试题分析：（1）由tan tan sin 3cos A C BC+=，首先对其进行切割化弦，得到sin sin 3sin cos cos cos A C BA C C+=，去分母，化为整式，利用两角和与差的三角函数公式化简，再利用三角形内角和为180︒，利用诱导公式即可求出cos A 的值；（2）求AD 的长，由2b =，3c =，1cos 3A =，利用余弦定理可求出a 的值，发现ABC ∆是等腰三角形，从而得1cos 3C =，再由2CD DB =，可求得2DC =，在A C D 中利用余弦定理可求出AD 的长．17.（本小题满分12分）江西某品牌豆腐食品是经过A 、B 、C 三道工序加工而成的，A 、B 、C 工序的产品合格率分别为34、23、45．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工的产品都为合格时产品为一等品；恰有两次合格为二等品；其它的为废品，不进入市场． （1）生产一袋豆腐食品，求产品为废品的概率；（2）生产一袋豆腐食品，设X 为三道加工工序中产品合格的工序数，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）产品为废品的概率为1P =；（2）X 的分布列数学期望13360E ξ=． 【解析】试题分析：（1）产品为废品包含三道工序加工的产品都不合格，三道工序加工的产品有一道工序合格，其他两道工序不合格，而三道工序加工的产品有一道工序合格，其他两道工序不合格又包含，三道工序加工的产品有第一道工序合格，其他两道工序不合格，三道工序加工的产品有第二道工序合格，其他两道工序不合格，三道工序加工的产品有第三道工序合格，其他两道工序不合格，显然彼此互斥，有互斥事件与独立事件的概率求法，即可求出；（2）设X 为三道加工工序中产品合格的工序数，求X 的分布列和数学期望，由题意可知，三道加工工序中产品合格的工序数为0,1,2,3ξ=，分别求出概率，即得分布列，从而得数学期望．18.（本题满分12分）如图，三棱锥P ABC -中，AB AC ==4BC =，PC =点P 在平面ABC 内的射影恰为ABC ∆的重心G ，M 为侧棱AP 上一动点． （1）求证：平面PAG ⊥平面BCM ；（2）当M 为AP 的中点时，求直线BM 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）详见解析；（2）sin θ=．试题解析：（1）取BC 中点D ，连接AD 、PD ，∵PG ⊥平面ABC ，∴PG BC ⊥等腰ABC ∆中，G 为重心，∴AG BC ⊥∴BC ⊥平面PAG∴平面PAG ⊥平面BCM ……………6分（2）ABC ∆中，6AD = ∴2GD =∵BC ⊥平面PAG ∴ CD PD ⊥∴PD =∴6GP =过G 作BC 的平行线为x 轴，AG 为y 轴，GP 为z 轴建立空间直角坐标系(2,0)B 2 , (2,0)C -2 , (0,6)P 0 , (4,0)A 0 , -∴ (2,3)M 0 , -设直线BM 与平面PBC 所成角为θ设平面PBC 的法向量为n(0,0)CB = 4 , (2,6)PB = 2 , - ∴(3,1)n = 0 ,(4,3)BM = -2 , - ∴||sin |cos ,|||||290n BM n BM n BM θ⋅=<>==⋅……………12分 考点：面面垂直的判断定理，直线与平面所成的角的求法．19.（本题满分12分）已知数列{}n a 前n 项和为n S ，向量(,)a n = 2 与(,)n b n S = +1 ，且a b λ=，R λ∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求21{}n n a a +的前n 项和n T ，不等式3log (1)4n a T a <-对任意的正整数n 恒成立，求a 的取值范围．试题解析：（1）∵a b λ= ∴ //a b ∴ (1)2n n n S += 1121n n n S S n a S n -- ≥⎧=⎨ =⎩ ∴ n a n = ……………4分20.（本题满分13分）设定圆22:(16M x y +=，动圆N过点0)F 且与圆M 相切，记动圆N 圆心N 的轨迹为C .（1）求轨迹C 的方程；（2）已知(,)A -2 0 ，过定点(,)B 1 0 的动直线l 交轨迹C 于P 、Q 两点，APQ ∆的外心为N ．若直线l 的斜率为1k ，直线ON 的斜率为2k ，求证：12k k ⋅为定值．【答案】（1）2214x y +=；（2） 【解析】试题分析：（1）求轨迹C的方程，由题意定圆22:(16M x y +=，动圆N过点(0)F 且与圆M相切，可知点0)F在圆22:(16M x y +=内，由此可得圆N 内切于圆M ，可得||||4||NM NF FM +=>，根据椭圆定义可知轨迹C 为椭圆，故可求出轨迹C 的方程；（2）求证：12k k ⋅为定值，由题意直线PQ 斜率不为0，可设直线PQ 为1x my =+， 设点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由22144x my x y =+⎧⎨+=⎩ ⇒22(4)230m y my ++-=，由根与系数关系得1221222434m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，写出直线AP 的中垂线方程，与直线AQ 的中垂线方程，求出点N 的坐标，即得直线ON 的斜率，从而可得12k k ⋅为定值．试题解析：（1）∵点(0)F在圆22:(16M x y +=内 ∴圆N 内切于圆M ∴||||4||NM NF FM +=>∴点N 的轨迹C .的方程为2214x y += ……………5分同理可得直线AQ 的中垂线方程为：22322y y mx x y =--- ………7分 ∴点N 的坐标满足 1122322322y y mx x y y y mx x y ⎧+=--⎪⎪⎨⎪+=--⎪⎩ ⇒ 12121212332222332222()()22y y x x y y y y y mx x x y y ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=-+-+⎪⎩⇒ 1212121211322()3()2x y y y mx x y y y y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=-+-+⎪⎩⇒2232(4)32224x m m y mx mx m -⎧=⎪+⎪⎨⎪+=-+⎪+⎩ ……9分⇒ 2222y mx mx mx +=-- ⇒ 23y k m x ==- 又 ∵直线l 的斜率为1k ∴11k m=（0m ≠）⇒ 123k k =- ………13分 考点：椭圆的方程，直线与二次曲线的位置关系．21.（本题满分14分） 已知函数()ln a f x ax bx x=++ （a 、b 为常数），在1x =-时取得极值． （1）求实数b 的取值范围；（2）当1a =-时，关于x 的方程()2f x x m =+有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围；（3）数列{}n a 满足1111n n a a -=-+ （*n N ∈且2n ≥），112a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：12n n S a n n a e +-⋅≥（*n N ∈,e 是自然对数的底）． 【答案】（1）1b <且12b ≠；（2）3ln 2m >-；（3）详见解析． 【解析】 试题分析：（1）求实数b 的取值范围，因为函数()f x 在1x =-时取得极值，故()f x 在1x =-有定义，得0a <，可对函数()f x 求导得，22'()bx x a f x x +-=，则1x =-是220bx x a x+-=的根，这样可得,a b 的关系是，再由a 的范围可求得b 的取值范围；（2）当1a =-时，关于x 的方程()2f x x m =+有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围，当1a =-时，由1a b -=-得10b a =+=，代入得1()ln 2g x x x x=++ (0)x >，对()g x 求导，判断单调性，即可得函数()()2g x f x x =+的最小值；（3）求证：12n n S a n n a e +-⋅≥，即证ln ln 21n n n n a S a +≥+-，因此需求出数列{}n a 的通项公式及前n 项和为n S ，由数列{}n a 满足1111n n a a -=-+ （*n N ∈且2n ≥），112a =，得111n n n a a a --=+，即1111n n a a -=+，可求得11n a n =+，它的前n 项和为n S 不好求，由此可利用式子中出现111231n ++⋅⋅⋅++代换n S ，由（2）知1()ln 23ln 2g x x x x =++≥-，令1n x n =+得，21ln ln 211n n n n +≥-++，n 取1,2,3,，叠加可证得结论．（3）1111n n a a -=-+ ∴ 111n n n a a a --=+ ∴ 1111n n a a -=+ ∴ 11n n a =+ ∴ 11n a n =+ ………………10分 由（2）知1()ln 23ln 2g x x x x=++≥-。

2014年江西省师大附中高考数学模拟试卷(理科)

2014年江西省师大附中高考数学模拟试卷(理科)

2014年江西省师大附中高考数学模拟试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知集合M={1，z（1+i）}，i为虚数单位，N={3，4}，若M∪N={1，2，3，4}，则复数z在复平面上所对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】解：∵集合M={1，z（1+i）}，i为虚数单位，N={3，4}，若M∪N={1，2，3，4}，∴z（1+i）=2，z===1-i，复数z对应的点（1，-1），在第四象限．故选：D．利用集合的并集关系，推出复数z满足的方程，求出复数z，即可判断复数z在复平面上所对应的点所在象限．本题考查集合的基本运算，复数代数形式的混合运算以及复数的几何意义，基本知识的考查．2.函数f（x）=的定义域为（）A.（0，1）B.（0，1]C.[0，1）D.[0，1]【答案】A【解析】解：要使函数有意义，则＞＞，即＞＜，∴0＜x＜1，即函数的定义域为（0，1），故选：A．根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．本题主要考查函数定义域的求法，根据函数成立的条件是解决本题的关键，比较基础．3.（理）若a=（x-1）dx，b=（e x-1）dx，c=（sinx-1）dx，则（）A.a＜b＜cB.b＜c＜aC.c＜a＜bD.a＜c＜b【答案】C【解析】解：根据积分公式可得a=（x-1）dx=（）|=，b=（e x-1）dx=（e x-x）|=e-2＞0，c=（sinx-1）dx=（-cosx-x）|=-cos1，∴c＜a＜b，故选：C．根据积分公式分别计算a，b，c的值即可比较大小．本题主要考查函数值的大小比较，根据函数的积分公式求出对应的积分值是解决本题的关键，要求熟练掌握相应的积分公式．4.设正项等比数列{a n}的前n项和为S n，公比为q，若S k-2=3，S k=15，S k+2=63，则q=（）A.-2B.2C.-4D.4【答案】B【解析】解：设正项等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，由题意可得a k-1+a k=S k-S k-2=15-3=12，a k+1+a k+2=S k+2-S k=63-15=48，∴q2===4，解得：q=2，故选：B．设正项等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，由题意可得a k-1+a k=S k-S k-2=15-3=12，a k+1+a k+2=S k+2-S k=63-15=48，两式相除可得q2，可得答案．本题考查等比数列的性质，涉及前n项和与通项公式的关系，属中档题．5.已知函数f（x）=sin（ωx+φ），对任意的实数x均存在a使得f（a）≤f（x）≤f（0）成立，且|a|的最小值为，则函数f（x）的单调递减区间为（）A.[kπ-，kπ]（k∈Z）B.[kπ，kπ+]（k∈Z）C.[2kπ-，2kπ]（k∈Z）D.[2kπ，2kπ+]（k∈Z）【答案】B【解析】解：∵对任意的实数x均存在f（a）≤f（x）≤f（0），∴f（0）为函数的最大值，f（a）为函数最小值．即f（0）=sinφ=1，即φ=+2kπ，k∈Z，∴f（x）=sin（ωx++2kπ）=cosωx，∵f（a）为函数最小值．∴f（a）=cos（aω）=-1，∵|a|的最小值为，∴|a|的最小值为，即=，∴最小周期T=π，此时=π，∴ω=2，∴f（x）=cos2x，由2kπ≤2x≤2kπ+π，（k∈Z），得，（k∈Z），即函数的单调递减区间为[，]（k∈Z），故选：B．根据条件f（a）≤f（x）≤f（0），确定函数的最大值和最小值，进而确定φ的值，由|a|的最小值为，得到函数的最小周期，解得ω=2，然后根据三角函数的单调性即可求出函数的单调减区间．本题考查了三角函数的图象和性质，解答的关键是由题意求出三角函数的解析式，考查了与余弦函数有关的复合函数的单调性，是中档题．6.已知椭圆：+=1（0＜b＜2），左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若||+||的最大值为5，则b的值是（）A.1B.C.D.【答案】D【解析】解：由题意：+|AB|=4a=8∵的最大值为5，∴|AB|的最小值为3当且仅当AB⊥x轴时，取得最小值，此时A（-c，），B（-c，-）代入椭圆方程可得：∵c2=4-b2∴∴b=故选D．利用椭圆的定义，结合∵的最大值为5，可得当且仅当AB⊥x轴时，|AB|的最小值为3，由此可得结论．本题考查椭圆的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．7.已知平面α，命题甲：若a∥α，b∥α，则a∥b，命题乙：若a⊥α，b⊥α，则a∥b，则下列说法正确的是（）A.当a，b均为直线时，命题甲、乙都是真命题B.当a，b均为平面时，命题甲、乙都是真命题C.当a为直线，b为平面时，命题甲、乙都是真命题D.当a为平面，b为直线时，命题甲、乙都是假命题【答案】D【解析】解：对于A，当a，b均为直线时，命题甲是假命题、乙是真命题，故不正确；对于B，当a，b均为平面时，命题甲是真命题、乙是假命题，故不正确；对于C，当a为直线，b为平面时，命题甲、乙都是假命题，故不正确；对于D，当a为平面，b为直线时，命题甲、乙都是假命题，正确．故选：D．根据线面平行、垂直的性质与判定，进行判断，即可得出结论．本题主要考查对空间点、线、面位置关系的概念、定理的理解和应用，属于中档题．8.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A.-40B.-20C.20D.40【答案】D【解析】解：令二项式中的x为1得到展开式的各项系数和为1+a∴1+a=2∴a=1∴==∴展开式中常数项为的与的系数和∵展开式的通项为T r+1=（-1）r25-r C5r x5-2r令5-2r=1得r=2；令5-2r=-1得r=3展开式中常数项为8C52-4C53=40故选D给x赋值1求出各项系数和，列出方程求出a；将问题转化为二项式的系数和；利用二项展开式的通项公式求出通项，求出特定项的系数．本题考查求系数和问题常用赋值法、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．9.已知函数f（x）=x2+2x的图象在点A（x1，f（x1））与点B（x2，f（x2））（x1＜x2＜0）处的切线互相垂直，则x2-x1的最小值为（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】解：∵x1＜x2＜0，∴f（x）=x2+2x+，∴f′（x）=2x+2，∴函数f（x）在点A，B处的切线的斜率分别为f′（x1），f′（x2），∵函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，∴f′（x1）f′（x2）=-1，∴（2x1+2）（2x2+2）=-1．∴2x1+2＜0，2x2+2＞0，∴x2-x1=[-（2x1+2）+（2x2+2）]≥=1，当且仅当-（2x1+2）=2x2+2=1，即x1=-，x2=-时等号成立．∴函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2-x1的最小值为1．故选：B．利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，因为切线互相垂直，可得f′（x1）f′（x2）=-1，即（2x1+2）（2x2+2）=-1．可得x2-x1=[-（2x1+2）+（2x2+2）]，再利用基本不等式的性质即可得出．本题主要考查了基本函数的性质、利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、基本不等式的性质，属于中档题．10.一电子广告，背景是由固定的一系列下顶点相接的正三角形组成，这列正三解形的底边在同一直线上，正三角形的内切圆由第一个正三角形的O点沿三角形列的底边匀速向前滚动（如图），设滚动中的圆与系列正三角形的重叠部分（如图中的阴影）的面积S关于时间t的函数为S=f（t），则下列图中与函数S=f（t）图象最近似的是（）A. B. C.D.【答案】B【解析】解：滚动中的圆与系列正三角形的重叠部分（如图中的阴影）的面积S关于时间t的关系呈周期性变化，且两者之间是非线性变化，故排除答案D；当圆滚动到两三角形的连接点时，阴影部分的面积取最小值，但仍不为0，故排除答案C又由当t=0时，阴影部分的面积取最大值，可排除答案A故选：B根据滚动中的圆与系列正三角形的重叠部分（如图中的阴影）的面积S关于时间t的关系为非线性关系，可排除D答案；根据函数的最小值不为0，可排除C，根据t=0时，函数取最大值，可排除A．本题考查的知识点是函数的图象，其中根据题意分析出函数的周期性，最值…并也图象一一比照，利用排除法求解是解答的关键．二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)11.已知两个不共线的单位向量，，=t+（1-t），若=0，则t= ______ ．【答案】【解析】解：∵=t+（1-t），=0，即[t+（1-t）]=0，∴=0，∵，是两个不共线的单位向量，∴．∴t+（1-2t）•cosθ-（1-t）=0，即（2t-1）（1-cosθ）=0，∴2t-1=0或1-cosθ=0，∴t=或θ=0，∵，不共线，∴θ≠0，∴t=，故答案为：．根据=t+（1-t），=0，化简并合并，运用向量的平方等于模的平方，并应用两向量的数量积定义计算化简，注意条件，是两个不共线的单位向量的运用，舍去θ=0即可．本题主要考查平面向量的数量积的运算，注意运用向量的平方等于模的平方，同时注意条件的充分运用．12.在△OAB中，∠AOB=120°，OA=OB=2，边AB的四等分点分别为A1，A2，A3，A1靠近A，执行如图算法后结果为______ ．【答案】9【解析】解：∵△OAB中，∠AOB=120°，OA=OB=2，∴AA2=3，AA1=，AA3=，OA2=，则由余弦定理可得OA=，则cos∠AOA3==，∴三次运行的结果是S==（）=3=3×=9，故答案为：9．根据程序框图进行运行，得到不满足条件的取值，即可得到结论．本题主要考查程序框图的应用和识别，根据向量积的定义和运算性质，以及余弦定理是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．13.已知f（x）=+sinx，则f（-2）+f（-1）+f（0）+f（1）+f（2）= ______ ．【答案】5【解析】解：∵f（x）=+sinx，∴f（x）+f（x）=+sinx++sin（-x）=，则f（0）=1，f（-2）+f（-1）+f（0）+f（1）+f（2）=2+2+1=5，故答案为：5．根据条件求解f（x）+f（-x）=2，然后即可得到结论．本题主要考查函数值的计算，利用条件得到f（x）+f（-x）=2是解决本题的关键．14.为了考察某校各班参加数学竞赛的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最小值为______ ．【答案】4【解析】解：设样本数据为：x1，x2，x3，x4，x5，平均数=（x1+x2+x3+x4+x5）÷5=7；方差s2=[（x1-7）2+（x2-7）2+（x3-7）2+（x4-7）2+（x5-7）2]÷5=4．从而有x1+x2+x3+x4+x5=35，①（x1-7）2+（x2-7）2+（x3-7）2+（x4-7）2+（x5-7）2=20．②若样本数据中的最大值为11，不妨设x5=11，则②式变为：（x1-7）2+（x2-7）2+（x3-7）2+（x4-7）2=4，由于样本数据互不相同，这是不可能成立的．若样本数据为4，6，7，8，10，代入验证知①②式均成立，此时样本数据中的最小值为4．故答案为：4．设样本数据为：x1，x2，x3，x4，x5，由已知条件推导出x1+x2+x3+x4+x5=35，（x1-7）2+（x2-7）2+（x3-7）2+（x4-7）2+（x5-7）2=20，由此能求出样本数据中的最小值为4．本题考查样本数据中的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平均数公式和方差公式的合理运用．15.在极坐标系中，定点A（2，），点B在直线ρcosθ+ρsinθ=0上运动，则线段AB的最短长度为______ ．【答案】【解析】解：∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入直线ρcosθ+ρsinθ=0，可得x+y=0…①，∵在极坐标系中，定点A（2，），∴在直角坐标系中，定点A（0，2），∵动点B在直线x+y=0上运动，∴当线段AB最短时，直线AB垂直于直线x+y=0，∴k AB=，设直线AB为：y-2=x，即y=x+2…②，联立方程①②求得交点B（-，），∴|AB|=．故答案为：．将直线ρcosθ+ρsinθ=0化为一般方程，再利用线段AB最短可知直线AB与已知直线垂直，设出直线AB的方程，联立方程求出B的坐标，从而求解．此题主要考查极坐标与一般方程之间的转化，是一道基础题，注意极坐标与一般方程的关系：ρ=，tanθ=，x=ρcosθ，y=ρsinθ．16.若函数f（x）=log2（|x-1|+|x-5|-a）的值域为R，则实数a的取值范围为______ ．【答案】{a|a≥4}【解析】解：由于函数f（x）=log2（|x-1|+|x-5|-a）的值域为R，则可得y=|x-1|+|x-5|-a可以取所有的正数，根据绝对值的几何意义可知|x-1|+|x-5|≥5-1=4，故a≥4，即实数a的取值范围为{a|a≥4}．故答案为：{a|a≥4}．由题意函数的值域为R，则可得y=|x-1|+|x-5|-a可以取所有的正数，又由绝对值的几何意义即可得到答案．本题主要考查了由二次函数与对数函数复合的复合函数，解题的关键是要熟悉对数函数的性质和熟练掌握绝对值的解法，解题时容易误认为△＜0，要注意区别与函数的定义域为R的限制条件．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)17.ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，＜C＜，且．（1）判断△ABC的形状（2）若，求的取值范围、【答案】解：（1）sin B sin A-sin B sin2C=sin A sin2C-sin B sin2Csin B=sin2C，因为＜＜，所以B=π-2C B+C=π-Cπ-A=π-C A=C即△ABC为等腰三角形．（2）因为又所以，而，＜＜所以＜＜＜＜，，【解析】本题考查的知识点是两角和与差的正弦公式，倍角公式，解三角形，平面向量的数量积运算，向量的模等知识点．（1）要判断△ABC的形状，我们可由，结论正弦定理边角互化的原则，将式子中边全部化为对应角的正弦值，然后根据两角和与差的正弦公式，倍角公式，得到sin B=sin2C，又由因为＜＜，我们易判断三角形的形状．（2）由，两边平方后，根据（1）的结论，我们可求出B的表达式及取值范围，进而求出的取值范围．要根据某个恒成立的三角函数关系式，判断三角形的形状，一般的思路是分析角与角的关系，如果有三个角相等，则为等边三角形；如果只能得到两个角相等，则为普通的等腰三角形；如果两个角和为90°，或一个角为90°，则为直角三角形．18.正项数列{a n}的前n项和为S n满足：S n2+2n S n-22n+1=0．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：对于任意的n∈N*，都有T n ＜2．【答案】（1）解：，，解得当n=1时，a1=S1=2．当n≥2时，，∵n=1不适合，∴，，．（2）证明：当n=1时，，T1=b1=1＜2．当n≥2时，=＜综上，对于任意的n∈N*，都有T n＜2．【解析】（1）由已知条件推导出，由此能求出，，．（2）当n=1时，T1=b1=1＜2．当n≥2时，，由此利用裂项求和法能证明对于任意的n∈N*，都有T n＜2．本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．19.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）；（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为ξ，求ξ的分布列与期望．下面的临界值表供参考：（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）【答案】解：（1）列联表补充如下：----------------------------------------（3分）（2）∵K2=≈8.333＞7.879------------------------（5分）∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关．---------------------（6分）（3）喜爱打篮球的女生人数ξ的可能取值为0，1，2．-------------------------（7分）其概率分别为P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=--------------------------（10分）故ξ的分布列为：ξ的期望值为：Eξ=0×+1×+2×=---------------------（12分）【解析】（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率，做出喜爱打篮球的人数，进而做出男生的人数，填好表格．（2）根据所给的公式，代入数据求出临界值，把求得的结果同临界值表进行比较，看出有多大的把握说明打篮球和性别有关系．（3）喜爱打篮球的女生人数ξ的可能取值为0，1，2，通过列举得到事件数，分别计算出它们的概率，最后利用列出分布列，求出期望即可．本题是一个统计综合题，包含独立性检验、离散型随机变量的期望与方差和概率，本题通过创设情境激发学生学习数学的情感，帮助培养其严谨治学的态度．20.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．（1）求证：BC⊥平面ACFE；（2）若点M在线段EF上移动，试问是否存在点M，使得平面MAB与平面FCB所成的二面角为45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【答案】解：（1）∵在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC，∴∠DAC=∠DCA=∠CAB，∵梯形ABCD是等腰梯形，得∠DAB=∠ABC=60°，∴∠CAB=∠DAB=30°，得△ABC中，∠ACB=180°-（∠CAB+∠ABC）=90°，即AC⊥BC，（3分）又∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，BC⊂平面平面ABCD，∴BC⊥平面ACFE；（5分）（2）由（1）知AC、BC、CF两两互相垂直，以C为坐标原点，AC、BC、CF所在直线分别为x轴、y轴、z轴轴，建立空间直角坐标系如图，∵R t△ABC中，BC=1，∠ABC=60°，∴AC=BC tan60°=，可得A、B的坐标分别为A（，0，0），B（0，1，0），设M（a，0，1），则，，，，，，（7分）设=（x，y，z）是平面AMB的一个法向量，则（9分）取x=1，得=（1，，），（10分）∵，，是平面FCB的一个法向量，∴若平面MAB与平面FCB所成的二面角为45°，得cos＜，＞==（12分）化简，得2+（）2=0，显然此方程无实数解，（13分）因此，线段EF上不存在点M使得平面MAB与平面FCB所成的二面角为45°．（14分）【解析】（1）由AB∥CD且AD=DC，得∠DAC=∠DCA=∠CAB，得根据等腰梯形的性质结合题中的数据算出∠CAB=∠DAB=30°，得△ABC中∠ACB=90°，从而AC⊥BC．最后根据平面ACEF⊥平面ABCD，结合面面垂直的性质定理即可证出BC⊥平面ACFE；（2）以C为坐标原点，AC、BC、CF所在直线分别为x轴、y轴、z轴轴，建立空间直角坐标系如图．结合题中数据得到A、B的坐标，设M（a，0，1）从而得出、的坐标，利用垂直向量数量积为0的方法算出=（1，，）是平面AMB的一个法向量，结合，，是平面FCB的一个法向量．利用空间向量的夹角公式算出向量、的余弦之值，由平面MAB与平面FCB所成的二面角为45°，建立关于a的方程并得到此方程无实数解．由此可得不存在点M，使得平面MAB与平面FCB所成的二面角为45°．本题给出特殊多面体，求证线面垂直并探索二面角的大小问题．着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和利用空间向量研究平面与平面所成角等知识点，属于中档题．21.已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C2：的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x2+y2=1上．（Ⅰ）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；（Ⅱ）过点F的直线交抛物线C1于A、B两不同点，交y轴于点N，已知，，求证：λ1+λ2为定值．（Ⅲ）直线l交椭圆C2于P、Q两不同点，P、Q在x轴的射影分别为P′、Q′，′′，若点S满足：，证明：点S在椭圆C2上．【答案】（Ⅰ）解：由C1：y2=2px（p＞0）的焦点F（，0）在圆O：x2+y2=1上，得：，解得p=2，∴抛物线C1：y2=4x；由椭圆C2：的上、下焦点（0，c），（0，-c）及左、右顶点（-a，0），（a，0）均在圆O：x2+y2=1上，可得：a2=1，c2=1，∴a=c=1，则b==，∴椭圆C2：；（Ⅱ）证明：设直线AB的方程为y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），则N（0，-k），直线与抛物线联立，消元可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，∴x1+x2=，x1x2=1，∵，，∴λ1（1-x1）=x1，λ2（1-x2）=x2，∴，，∴λ1+λ2==-1为定值；（Ⅲ）证明：设P（x3，y3），Q（x4，y4），则P′（x3，0），Q′（x4，0），∵，∴S（x3+x4，y3+y4），∵′′，∴2x3x4+y3y4=-1①，∵P，Q在椭圆上，∴②，③，由①+②+③得（x3+x4）2+=1．∴点S在椭圆C2上．【解析】（Ⅰ）由C1：y2=2px（p＞0）焦点F（，0）在圆O：x2+y2=1上，可求p的值；同理由椭圆的上、下焦点（0，c），（0，-c）及左、右顶点（-a，0），（a，0）均在圆O：x2+y2=1上可解得椭圆C2的方程；（Ⅱ）设直线AB的方程与抛物线联立，消元，利用韦达定理，结合，，从而可求λ1、λ2的值，即可得证；（Ⅲ）设P，Q的坐标，利用，确定S的坐标，利用′′及P，Q在椭圆上，即可证得结论．本题考查了抛物线与椭圆的方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是设点的坐标，然后联立方程，利用向量知识求解，是压轴题．22.设函数f（x）=，g（x）=alnx，其中a≠0．（Ⅰ）若函数y=g（x）图象恒过定点P，且点P在y=f（x）的图象上，求m的值；（Ⅱ）当a=8时，设F（x）=f′（x）+g（x），讨论F（x）的单调性；（Ⅲ）在（I）的条件下，设G（x）=，曲线y=G（x）上是否存在两点P、Q，使△OPQ（O为原点）是以O为直角顶点的直角三角形，且该三角形斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由．【答案】解：（I）令lnx=0，则x=1，即函数y=g（x）的图象过定点P（1，0），又点P在y=f（x）的图象上，所以f（1）=m+（4+m）=0，解得m=-3．（II）F（x）=mx2+2（4+m）x+8lnx，定义域为（0，+∞），F′（x）=2mx+（8+2m）+==．∵x＞0，则x+1＞0，∴当m≥0时，2mx+8＞0，F′（x）＞0，此时F（x）在（0，+∞）上单调递增，当m＜0时，由F′（x）＞0得0＜x＜-，F′（x）＜0，得x＞-，此时F（x）在（0，-）上为增函数，在（，+∞）上为减函数，综上，当m≥0时，F（x）在（0，+∞）上为增函数，m＜0时，在（0，-）上为增函数，在（，+∞）上为减函数．（III）由条件（I）知G（x）=，假设曲线y=G（x）上存在两点P、Q满足题意，则P、Q两点只能在y轴两侧，设P（t，G（t））（t＞0），则Q（-t，t3+t2），∵∠POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴，∴-t2+G（t）（t3+t2）=0①．（1）当0＜t≤1时，G（t）=-t3+t2，此时方程①为-t2+（-t3+t2）（t3+t2）=0，化简得t4-t2+1=0，此方程无解，满足条件的P、Q两点不存在．（2）当t＞1时，G（t）=alnt，方程①为：-t2+alnt•（t3+t2）=0，即=（t+1）lnt，设h（t）=（t+1）lnt（t＞1），则h′（t）=lnt++1，当t＞1时，h′（t）＞0，即h（t）在（1，+∞）上为增函数，∴h（t）的值域为（h（1），+∞）），即（0，+∞），∴＞0，∴a＞0．综上所述，如果存在满足条件的P、Q，则a的取值范围是a＞0．【解析】（I）点P与a的取值无关，令lnx=0即可求点P，代入y=f（x），可得m值；（Ⅱ）m=8时，求出F（x），F′（x），在定义域内按m≥0，m＜0两种情况讨论解不等式F′（x）＞0，F′（x）＜0即可；（Ⅲ）由（I）知G（x）=，先假设曲线y=G（x）上存在满足题意的两点P、Q，易知P、Q两点在y轴两侧，由此可设P（t，G（t））（t＞0）、Q（-t，t3+t2），由题意知∠POQ为直角，从而有，即-t2+G（t）（t3+t2）=0①．分（1）0＜t≤1时，（2）t＞1时两种情况进行讨论，此时可知G（t）表达式，（1）种情况易判断，（2）种情况分离出参数a后构造函数，转化为求函数值域可以解决；本题考查利用导数研究函数的单调性，考查对数函数的特殊点，考查学生对存在性问题的探究解决能力，解决（Ⅲ）问的关键通过分析条件合理设点P、Q的坐标．。

数学_2014年江西省某校高考数学三模试卷(理科)(含答案)

数学_2014年江西省某校高考数学三模试卷(理科)(含答案)

2014年江西省某校高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知R 是实数集，M ={x|2x <1}，N ={y|y =√x −1+1}，N ∩∁R M =( ) A (1, 2) B [0, 2] C ⌀ D [1, 2]2. 已知复数z =2+i ，z ¯是z 的共轭复数，则z¯z对应的点位于（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 3. 下列说法正确的是（ ）A 若已知两个变量具有线性相关关系，且它们正相关，则其线性回归直线的斜率为正 B 直线l 垂直于平面α的充要条件为l 垂直于平面α内的无数条直线 C 若随机变量ξ∼N(10, 0.12)，且P(9.9<ξ<10.1)=0.6826，则P(ξ>10.1)=0.3174 D 已知命题P:∀x ∈R ，x 2−2x +2>0，则￢p:∃x ∈R ，x 2−2x +2<0 4. 下列命题正确的个数是（ ）①命题“∃x 0∈R ，x 02+1>3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+1≤3x”；②函数f(x)=cos 2ax −sin 2ax 的最小正周期为π”是“a =1”的必要不充分条件；③x 2+2x ≥ax 在x ∈[1, 2]上恒成立⇔(x 2+2x)min ≥(ax)min 在x ∈[1, 2]上恒成立； ④“平面向量a →与b →的夹角是钝角”的充分必要条件是“a →⋅b →<0”． A 1 B 2 C 3 D 45. 若函数y =sin(ωx +π3)的图象向右平移π6个单位后与函数y =cosωx 的图象重合，则ω的值可能为（ ）A −1B −2C 1D 26.如图所示，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，BD ∩AC =0，M 是线段D 1O 上的动点，过点M 做平面ACD 1的垂线交平面A 1B 1C 1D 1于点N ，则点N 到点A 距离的最小值为（ ） A √2 B √62 C2√33D 1 7. 若二项式(1x +x 2)3展开式中的常数项为k ，则直线y =kx 与曲线y =x 2围成的封闭图形的面积为（ ） A 3 B 92 C 9 D 2728. 存在两条直线x =±m 与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)相交于A ，B ，C ，D 四点，若四边形ABCD 为正方形，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A (√2，+∞) B (√3，+∞) C (1,√2) D (1,√3)9. 已知⊙O 的半径为1，PA 、PB 为其两条切线，A 、B 为两切点，则PA →⋅PB →的最小值为（ ）A −2B 2C 3−2√2D 2√2−310. 已知函数f(x)＝x 3+ax 2+bx +c 有两个极值点x 1，x 2，若f(x 1)＝x 1<x 2，则关于x 的方程3（f(x)）2+2af(x)+b ＝0的不同实根个数为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．11. 在等比数列{a n }中，a 4，a 12是方程x 2+2011x +121=0的两根，则a 8=________． 12. 如图所示的流程图，输出y 的值为3，则输入x 的值为________．13. 在区间[0, 1]上任意取两个实数a ，b ，则函数f(x)=12x 3+ax −b 在区间[−1, 1]上有且仅有一个零点的概率为________．14. 设点p 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >0, b >0)上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，I 为△PF 1F 2的内心，若S △IPF1+S △IPF2=2S △IF1F2，则该椭圆的离心率是________．三、选做题：请在下列两题中任选一题作答．若两题都做则按第一题评阅计分，本题共5分．【不等式选做题】15. 若不等式|x −a|−|x|<2−a 2对x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【坐标系与参数方程选做题】16. 在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若点P 为直线ρcos(θ+π4)−√2=0上一点，点Q 为曲线{x =t y =14t 2（t 为参数）上一点，则|PQ|的最小值为________．四、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若b =4，BA →⋅BC →=8． （1）求a 2+c 2的值；（2）求函数f(B)=√3sinBcosB +cos 2B 的值域．18. 数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1=t ，a n+1=2S n +1(n ∈N ∗)． （1）当t 为何值时，数列{a n }为等比数列？（2）在（1）的条件下，若等差数列{b n }的前n 项和T n 有最大值，且T 3=15，又a 1+b 1，a 2+b 2，a 3+b 3成等比数列，求T n ．19. 现有正整数1，2，3，4，5，…n ，一质点从第一个数1出发顺次跳动，质点的跳动步数通过抛掷骰子来决定：骰子的点数小于等于4时，质点向前跳一步；骰子的点数大于4时，质点向前跳两步．（1）若抛掷骰子二次，质点到达的正整数记为ξ，求Eξ和Dξ； （2）求质点恰好到达正整数6的概率．20. 如图(1)，在三角形ABC 中，BA =BC =2√2，∠ABC =90∘，点O ，M ，N 分别为线段的中点，将ABO 和MNC 分别沿BO ，MN 折起，使平面ABO 与平面CMN 都与底面OMNB 垂直，如图(2)所示． （1）求证：AB // 平面CMN ；（2）求平面ACN 与平面CMN 所成角的余弦； （3）求点M 到平面ACN 的距离．21. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F 2(3, 0)，离心率为e ． （1）若e =√32，求椭圆的方程； （2）设直线y =kx(k >0)与椭圆相交于A ，B 两点，若AF 2→⋅BF 2→=0，且√22<e ≤√32，求k 的取值范围．22. 已知函数f(x)=mx −mx ，g(x)=2lnx ．（1）当m =2时，若直线l 过点(0, −4)且与曲线y =f(x)相切，求直线l 的线方程； （2）当m =1时，判断方程f(x)=g(x)在区间(1, +∞)上有无实根；（3）若x ∈(1, e]时，不等式f(x)−g(x)<2恒成立，求实数m 的取值范围．2014年江西省某校高考数学三模试卷（理科）答案1. D2. D3. A4. B5. A6. B7. B8. A9. D 10. A 11. −11 12. 1 13. 78 14. 1215. (−1, 1) 16. √2217. 解：（1）∵ BA →⋅BC →=8，∴ accosB =8， 由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2accosB =a 2+c 2−16， ∵ b =4，∴ a 2+c 2=32；（2）∵ a 2+c 2≥2ac ， ∴ ac ≤16， ∵ accosB =8， ∴ cosB =8ac≥12，∵ B ∈(0, π)， ∴ 0<B ≤π3，∵ f(B)=√3sinBcosB +cos 2B =√32sin2B +12(1+cos2B)=sin(2B +π6)+12，∵ π6<2B +π6≤5π6，∴ sin(2B +π6)∈[12, 1]， 则f(B)的值域为[1, 32]．18. 解：（1）由a n+1=2S n +1 ①可得a n =2s n−1+1 (n ≥2)②两式作差得 a n+1−a n =2a n ⇒a n+1=3a n ．因为数列{a n }为等比数列⇒a 2=2s 1+1=2a 1+1=3a 1⇒a 1=t =1． 所以数列{a n }是首项为1，公比为3的等比数列 ∴ a n =3n−1．（2）设等差数列{b n }的公差为d ，由T 3=15⇒b 1+b 2+b 3=15⇒b 2=5，所以可设b 1=5−d ，b 3=5+d ． 又a 1=1，a 2=3，a 3=9．由题得(5−d +1)(5+d +9)=(5+3)2．⇒d =−10，d =2． 因为等差数列{b n }的前n 项和T n 有最大值，且b 2=5，所以d =−10． 解得b 1=15， 所以T n =15n +n(n−1)2×(−10)=20n −5n 2．19. 解：(1)ξ的可能取值为3，4，5…P(ξ=3)=23×23=49，P(ξ=4)C 21⋅23⋅13=49，P(ξ=5)=13×13=19…ξ的分布列为Eξ=3×49+4×49+5×19=113Dξ=49(3−113)2+49(4−113)2+19(5−113)2=49…（2）质点恰好到达6有三种情形①抛掷骰子五次，出现点数全部小于等于4，概率P 1=(23)5=32243；…②抛掷骰子四次，出现点数三次小于等于4，一次大于4，概率为P 2=C 41(23)313=3281； ③抛掷骰子三次，出现点数一次小于等于4，二次大于4，概率P 3=C 32(13)223=29…所以P =32243+3281+29=182243 即质点恰好到达正整数6的概率为182243． …20. （1）证明：∵ OB // MN ，OB ⊈平面CMN ，MN ⊂平面CMN ， ∴ OB // 平面CMN ；∵ OA // MC ，OA ⊈平面CMN ，MC ⊂平面CMN ， ∴ OA // 平面CMN ，∵ OA ∩OB =O ，∴ 平面OAB // 平面CMN ， 又AB ⊂平面OAB ， ∴ AB // 平面CMN…（2）解：分别以OB ，OM ，OA 为x ，y ，z 轴建立坐标系，则A(0, 0, 2)，B(2, 0, 0)，M(0, 1, 0)，C(0, 1, 1)，N(1, 1, 0)， ∴ AC →=(0,1,−1)，NC →=(−1,0,1)， 设平面ANC 的法向量为n →=(x,y,z)， 则有{n →⋅NC →=−x +z =0˙，令x =1，得n →=(1,1,1)，而平面CMN 的法向量为：OM →=n 1→=(0,1,0)， |cos <n →，n 1→>|=|n|→⋅|n 1→|˙=√33… （3）解：MC →=(0,0,1)，由（2）知平面ANC 的法向量为：n →=(1,1,1)， ∴ d =|n →|˙=√33… 21. 解：（1）由题得：c =3，ca=√32⇒a =2√3，b =√3．故椭圆方程为x 212+y 23=1；（2）由{x 212+y 23=1y =kx得(b 2+a 2k 2)x 2−a 2b 2=0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，∴ x 1+x 2=0，x 1x 2=−a 2b 2b 2+a 2k2，又AF 2→=(3−x 1, −y 1)，BF 2→=(3−x 2, −y 2)，∴ AF 2→⋅BF 2→=(1+k 2)x 1x 2+9=0，即−a 2(a 2−9)(1+k 2)a 2k 2+(a 2−9)+9=0，∴ k 2=a 4−18a 2+81−a 4+18a 2=−1−81−a 4+18a 2，∵√22<e ≤√32， ∴ 2√3≤a ≤3√2，12≤a 2≤18， ∴ k 2≥18，即 k ∈(−∞, −√24]∪[√24, +∞)． 22. 解：（1）令切点为(x 0, y 0)， 当m =2时，f(x)=2x −2x ，f ′(x)=2+2x 2，∴ 直线l 的斜率k =f ′(x 0)=2+2x 02，切线l 的方程为y −(2x 0−2x 0)=(2+2x 02)(x −x 0)又∵ 直线l 过点(0, −4) ∴ x 0=1，∴ 切线方程为y =4x −4；（2）m =1时，令ℎ(x)=f(x)−g(x)=x −1x −2lnx ， 则ℎ′(x)=1+1x 2−2x =(x−1)2x 2≥0，∴ ℎ(x)在(0, +∞)上为增函数，又ℎ(1)=0，∴ f(x)=g(x)在(1, +∞)内无实数根；−2lnx<2恒成立，即m(x2−1)<2x+2xlnx恒成立，（3）mx−mx则当x∈(1, e]时，x2−1>0，m<2x+2xlnx恒成立，x2−1，只需m小于G(x)的最小值，令G(x)=2x+2xlnxx2−1G′(x)=−2(x2lnx+lnx+2)，(x2−1)2∵ 1<x≤e，∴ lnx>0，∴ 当x∈(1, e]时G′(x)<0，∴ G(x)在(1, e]上单调递减，∴ G(x)在(1, e]的最小值为G(e)=4e，e2−1)．则m的取值范围是(−∞,4ee2−1。

江西省百所重点中学2014届高三模拟考试理科综合试题(扫描版)

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江西省百所重点中学高三模拟考试理科综合试卷参考答案1.C2.D3.B4.B5.D6.C7.C8.B9.B10.A11.D12.D13.C14.B15.A16.A17.D18.D19.BD20.BCD21.AD22. 52.5（2分）0.75（3分）23.（1）如图甲所示（3分）（2）如图乙所示（2分）24.解:（1）设小物块的初动能为E k,小物块做平抛运动下落的高度为:h=错误！未找到引用源。

gt2即t=错误！未找到引用源。

=0.4 s（1分）小球在D点时,由牛顿第二定律,得轨道对小物块的支持力F N满足F N-mg=m错误！未找到引用源。

代入数据解得F N=68 N（1分）由牛顿第三定律,得小物块对轨道的压力F N′=F N=68 N,方向竖直向下。

（1分）（3）物块在平台上产生的热量Q1=μmgs=6 J（1分）设小物块最终与木板达到的共同速度的大小为v,小物块在木板上滑行的过程中,小物块与长木板的加速度大小分别为:a1=μg=3 m/s2a2=错误！未找到引用源。

=1 m/s2（1分）速度分别为v =v D -a 1t ,v =a 2t （1分） 对物块和木板组成的系统,由能量守恒定律得:Q 2=错误！未找到引用源。

m 错误！未找到引用源。

-错误！未找到引用源。

（m+M ）v 2 =10.875 J （1分）解得:Q=Q 1+Q 2=16.875 J 。

（1分）25.解：（1）在第四象限，小球做匀速圆周运动，有：qE ＝mg （1分）得E ＝mg q（1分）设粒子在第四象限做圆周运动的半径为r ，运动轨迹如图中①所示，由几何关系知，BC 为直径，得： r 1＝2l （1分）由牛顿第二定律，得：q v B 0＝m v 2r 1（1分） 联立解得B 0＝mq 2g l。

（1分） （3）结合已知条件，可得小球运动的轨迹如图中②所示，由几何知识得：22r 2＋r 2＝2l （1分） q v B 1＝m v 2r 2（1分） T ＝2πm qB 1（1分） t ＝34T （1分） 联立解得t ＝3（2－2）π2l g。

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江西省百所重点中学2014届下学期高三年级模拟考试数学试卷（理科）有答案本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 复数i iiz 2135+--=的模为A. 3B. 4C. 5D. 242. 已知集合{}()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--==>-+=222ln 1|,032|x x x y x N x x x M ，则()N M C R ⋃为A. )2,3[-B. ]3,2(-C. ()2,1)1,3[⋃-D. )2,1[-3. 在样本的频率分布直方图中，一共有()3≥n n 个小矩形，第3个小矩形的面积等于其余1-n 个小矩形面积和的0.25，且样本容量为100，则第3组的频数为A. 15B. 20C. 24D. 304. 设等比数列{}n a ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，143=S ，且6,3,8321++a a a 依次成等差数列，则31a a ⋅等于A. 4B. 9C. 16D. 255. 设变量y x ,满足约束条件2202400x y x y x m +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则“2≥m ”是“目标函数y x z 23-=的最大值不小于5”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 设抛物线y x 82=的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的倾斜角等于60°，那么|PF|等于A. 32B. 34C. 4D.38 7. 某程序框图如下图所示，若输出的57=S ，则判断框内填A. 4>kB. 5>kC. 6>kD. 7>k8. 某班班会准备从含甲、乙、丙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，若甲、乙同时参加时丙不能参加，且甲、乙两人的发言顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有A. 484种B. 552种C. 560种D. 612种9. 如图，已知多面体ABC-DEFG 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF ∥平面ADGC ，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，则下列说法中正确的个数为①EF ⊥平面AE ； ②AE ∥平面CF ；③在棱CG 中存在点M ，使得FM 与平面DEFG 所成的角为4π； ④多面体ABC-DEFG 的体积为5。

A. 1B. 2C. 3D. 410. 如图，矩形ABCD 中，AB=3，AD=2，一质点从AB 边上的点0P 出发，沿与AB 的夹角为θ的方向射到边BC 上点1P 后，依次反射到边CD 、DA 和AB 上的2P 、3P 、4P 处，若4P 落在A 、0P 之间，且20=AP ，设x =θtan ，五边形43210P P P P P 的面积为y ，则函数()x f y =的图像大致是第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

11. 已知点⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-6sin ,45tanππ是角θ终边上一点，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπ25cos =__________。

12. 已知在函数()x ae ex x f +=2图像上点()()1,1f 处切线的斜率为e ，则()⎰=1dx x f __________。

13. 在平面直角坐标系中，菱形OABC 的两个顶点为O （0，0），A （1，1），且1=⋅，则=⋅__________。

14. 已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左焦点为F ，若该双曲线上存在点P ，满足以双曲线虚轴为直径的圆与线段PF 相切于线段PF 的中点，则该双曲线的离心率为__________。

三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分。

15. （1）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆1C 的方程为⎪⎭⎫⎝⎛-=4cos 34πθρ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程是⎩⎨⎧+-=+-=θθsin 1,cos 1a y a x （θ为参数），若圆1C 与圆2C 外切，则实数=a __________。

（2）（不等式选做题）已知不等式a x x <--+|2||1|的解集为()2,∞-，则a 的值为__________。

四、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16. （本小题满分12分） 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且332222=-+b c a B ac sin 。

（1）求角B 的大小；（2）若3=b ，且⎪⎭⎫⎝⎛∈2,6ππA ，求边长c 的取值范围。

17. （本小题满分12分）已知正项数列{}n a ，其前n 项和n S 满足2362++=n n n a a S ，又621,,a a a 是等比数列{}n b 的前三项。

（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）记+-∈+++=N n b a b a b a T n n n n ,...1121，证明：()+++∈-=+N n a b T n n n 11213。

18. （本小题满分12分）某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A 、B 、C 、D 、E 五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试。

已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A 、B 、C 、D 四项考试不合格的概率均为21，参加第五项不合格的概率为32。

（1）求该生被录取的概率；（2）记该生参加考试的项数为X ，求X 的分布列和期望。

19. （本小题满分12分）如图，在菱形ABCD 中，∠DAB=60°，E 是AB 的中点，MA ⊥平面ABCD ，且在矩形ADNM 中，AD=2，AM=773。

（1）求证：AN ∥平面MEC ；（2）求二面角M-EC-D 的大小。

20. （本小题满分13分）如图，正方形CDEF 内接于椭圆()012222>>=+b a by a x ，且它的四条边与坐标轴平行，正方形GHPQ 的顶点G ，H 在椭圆上，顶点P ，Q 在正方形的边EF 上，且CD=2PQ=5104。

（1）求椭圆的方程；（2）已知点M （2，1），平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为()0≠m m ，l 交椭圆于A 、B 两个不同点，求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形。

21. （本小题满分14分） 已知函数()()x f ax xxx f '-=,ln 是()x f 的导数。

（1）若函数()x f 在()∞+,1上是减函数，求实数a 的最小值。

（2）若存在[]221,,e e x x ∈，使()()a x f x f +'≤21成立，求实数a 的取值范围。

参考答案：1. C z ＝5－3i 1－i＋2i ＝4＋3i ，则||z ＝5。

2. A M ＝{}x |x<－3或x>1，N ＝{}x |1<x<2，则（R M ）∪N ＝[－3，2）.3. B 由题意得第3组的频率为0.2，所以第3组的频数等于100×0.2＝20.4. C ∵S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝14，a 1＋8＋a 3＋6＝6a 2， ∴7a 2＝28，即a 2＝4，∴a 1·a 3＝a 22＝16.5. A 作出不等式对应的可行域如图，当取点D （m ，2－2m ）时，z 取最大值为7m －4，由7m －4≥5得m≥97，故选A.6. D 在△APF 中，|PA|＝|PF|，|AF|sin 60°＝4，∴|AF|＝83，又∠PAF ＝∠PFA ＝30°，过P 点作PB ⊥AF 于点B ，则|PF|＝|BF|cos 30°＝12|AF|cos 30°＝83.7. A k ＝2，S ＝4；k ＝3，S ＝11；k ＝4，S ＝26；k ＝5，S ＝57，输出结果，则判断框内填“k ＞4”.8. B 若甲、乙两人只有一人参加时，不同的发言顺序有C 12C 35A 44种；若甲、乙同时参加时，不同的发言顺序有A 24A 23种，共C 12C 35A 44＋A 24A 23＝552种.9. C 根据面面平行的性质定理可得AC ∥GD ，EF ∥GD ，∴EF ∥AC ，∵AC ⊥平面AE ，∴EF ⊥平面AE ，故①正确；取DG 的中点O ，连接AO 、EO ，则AO ∥CG ，EO ∥FG ， ∴平面AEO ∥平面CF ，即AE ∥平面CF ，故②正确；连接CO 、FO ，则CO ⊥平面DEFG ，∴∠CFO 为所求线面角，∵CO ＝FO ＝2，∴∠CFO ＝π4，故③正确；该多面体的体积V ＝V ADO－BEF＋V ABC －OFG ＝4，故④错误.10. B ∵AP 0＝2, P 0B=1，则P 1B ＝tan θ＝x ，P 1C ＝2－x ，P 2C ＝P 1C tan θ＝2x －1，P 2D ＝4－2x ，P 3D ＝P 2Dtan θ＝4tan θ－2，P 3A ＝4－4x ，P 4A ＝4x －4.∵P 4落在A 、P 0之间，∴0＜4x －4＜2，即23＜x ＜1. ∵y ＝S矩形ABCD －S △P0BP1-S △P1CP2－S △P2DP3－S △P3AP4＝6－12x －12（2－x ）（2x －1）－12（4－2x ）（4x －2）－12（4－4x ）（4x －4）＝32－12（34x ＋24x ）＝32－（17x ＋12x ）≤32－451，当且仅当x ＝25117时等号成立，又当x ＝23时，y ＝83；x ＝1时，y ＝3，故选B.11.55 点（tan 5π4，sin （－π6））可化为点（1，－12），则sin θ＝－55，∴c os （5π2＋θ）＝－sin θ＝55.12. 213e -11()(2)21,x x x f x ex ae e ae e a =='=+=+=⇒=-则1231012()()1.33x x ex e dx ex e e -=-=-⎰13. 1 依题意，|OA →|＝|OC →|＝|AB →|＝2，OA →·OC →＝2×2cos ∠AOC ＝1，cos ∠AOC ＝12，∠AOC ＝π3，则|AC →|＝|OA →|＝|OC →|＝2，∠BAC ＝π3，AB →·AC →＝2×2cos ∠BAC ＝1.14. 5 由题意可知点P 在双曲线的左支上且b>a ，设PF 的中点为M ，双曲线的右焦点为F′（c ，0），连接OM 、PF′（O 为坐标原点），则|PF′|＝2|OM|＝2b 且PF ⊥PF′，∴PF ＝PF′－2a ＝2b －2a ，|PF|2＋|PF′|2＝|FF′|2，即（2b －2a ）2＋（2b ）2＝（2c ）2，得b ＝2a ，则该双曲线的离心率e ＝a 2＋4a 2a＝ 5.15. （1）±2 ⊙C 1的方程化为ρ＝4cos θ＋4sin θ，化简得ρ2＝4ρcos θ＋4ρsin θ，由ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得x 2＋y 2－4x －4y ＝0，其圆心C 1坐标为（2，2），半径r 1＝22；圆C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋acos θ，y ＝－1＋asin θ的普通方程是（x ＋1）2＋（y ＋1）2＝a 2，所以C 2的坐标是（－1，－1），r 2＝|a|，因为两圆外切，所以|a|＋22＝|C 1C 2|＝（2＋1）2＋（2＋1）2＝32，所以a ＝±2.（2）3 不等式|x ＋1|－|x －2|＜a 的解集为（－∞，2），说明解的区间端点2是方程|x ＋1|－|x －2|＝a 的一个根，∴有|2＋1|－|2－2|＝a ，解得a ＝3.16. 解：（1）在△ABC 中，根据余弦定理a 2＋c 2－b 2＝2accos B ，且a 2＋c 2－b 2＝233acsin B ，∴2accos B ＝233acsin B ，∴tan B ＝ 3.又∵0＜B ＜π，∴B ＝π3.（6分）（2）∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝π－A －B ＝2π3－A.由正弦定理，得c sin C ＝b sin B ＝3sinπ3＝2， ∴c ＝2sin C ＝2sin （2π3－A ）.∵π6＜A ＜π2，∴π6＜2π3－A ＜π2. ∴12＜sin （2π3－A ）＜1.∴c ∈（1，2）.（12分） 17. 解：（1）∵6S n ＝a 2n ＋3a n ＋2， ① ∴6a 1＝a 21＋3a 1＋2，解得a 1＝1或a 1＝2. 又6S n －1＝a 2n －1＋3a n －1＋2（n≥2）， ② 由①－②，得6a n ＝（a 2n －a 2n －1）＋3（a n －a n －1）， 即（a n ＋a n －1）（a n －a n －1－3）＝0. ∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝3（n≥2）.当a 1＝2时，a 2＝5，a 6＝17，此时a 1，a 2，a 6不成等比数列，∴a 1≠2；∴a n ＝3n －2，b n＝4n －1.（6分）（2）由（1）得T n ＝1×4n －1＋4×4n －2＋…＋（3n －5）×41＋（3n －2）×40， ③∴4T n ＝1×4n ＋4×4n －1＋7×4n －2＋…＋（3n －2）×41. ④由④－③得3T n ＝4n ＋3×（4n －1＋4n －2＋…＋41）－（3n －2）＝4n＋12×（1－4n －1）1－4－（3n－2）＝2×4n －（3n ＋1）－1＝2b n ＋1－a n ＋1－1， ∴3T n ＋1＝2b n ＋1－a n ＋1，n ∈N ＋.（12分）18. 解：（1）若该生被录取，则前四项最多有一项不合格，并且第五项必须合格，记A ＝{前四项均合格，且第五项合格}，B ＝{前四项中仅有一项不合格，且第五项合格}，则P （A ）＝41()2·（1－23）＝148，P （B ）＝C 14×12×（1－12）3×（1－23）＝112. 又A 、B 互斥，故所求概率为 P ＝P （A ）＋P （B ）＝148＋112＝548.（2）该生参加考试的项数X 可以是2，3，4，5. P （X ＝2）＝12×12＝14，P （X ＝3）＝C 12（1－12）×12×12＝14， P （X ＝4）＝C 13（1－12）×（12）2×12＝316，P （X ＝5）＝1－14－14－316＝516，则X 的分布列为EX ＝2×14＋3×14＋4×316＋5×516＝5716.（12分）19. 解：（1）CM 与BN 交于F ，连接EF. 由已知可得四边形BCNM 是平行四边形， ∴F 是BN 的中点.∵E 是AB 的中点，∴AN ∥EF ，又EF平面MEC ，AN平面MEC ，∴AN ∥平面MEC.（5分）（2）连接DE ，由于四边形ABCD 是菱形，E 是AB 的中点，可得DE ⊥AB.如图，建立空间直角坐标系D －xyz ，则D （0，0，0），E （3，0，0）, C （0，2，0），M （3，－1，377）.CE →＝（3，－2，0），EM →＝（0，－1，377）.设平面MEC 的法向量为n ＝（x ，y ，z ）， 则⎩⎪⎨⎪⎧CE →·n ＝0，EM →·n ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝0，y －377z ＝0.令x ＝2，所以n ＝（2，3，213）， 又平面CDE 的法向量m ＝（0，0，1）， 所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n |＝12.所以二面角M —EC —D 的大小是60°.（12分） 20. 解：（1）∵CD ＝4105，∴点E （2105，2105），又∵PQ ＝2105，∴点G （4105，105），则⎩⎨⎧85a 2＋85b 2＝1，325a 2＋25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝2，∴椭圆方程x 28＋y 22＝1.（4分）（2）设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1，k 2，只须证明k 1＋k 2＝0即可，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则k 1＝y 1－1x 1－2，k 2＝y 2－1x 2－2，直线l 的方程为y ＝12x ＋m ，代入椭圆方程x 28＋y 22＝1消去y ，得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0，可得x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4.（9分） 而k 1＋k 2＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝（y 1－1）（x 2－2）＋（y 2－1）（x 1－2）（x 1－2）（x 2－2）＝（12x 1＋m －1）（x 2－2）＋（12x 2＋m －1）（x 1－2）（x 1－2）（x 2－2）＝x 1x 2＋（m －2）（x 1＋x 2）－4（m －1）（x 1－2）（x 2－2）＝2m 2－4＋（m －2）（－2m ）－4（m －1）（x 1－2）（x 2－2）＝2m 2－4－2m 2＋4m －4m ＋4（x 1－2）（x 2－2）＝0，（12分）∴k 1＋k 2＝0，故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.（13分） 21. 解：（1）因为f （x ）在（1，＋∞）上为减函数， 故f′（x ）＝ln x －1（ln x ）2－a≤0在（1，＋∞）上恒成立.所以当x ∈（1，＋∞）时，f′（x ）max ≤0.又f′（x ）＝ln x －1（ln x ）2－a ＝－（1ln x ）2＋1ln x －a ＝－（1ln x －12）2＋14－a ，故当1ln x ＝12，即x ＝e 2时，f′（x ）max ＝14－a.所以14－a≤0，于是a≥14，故a 的最小值为14.（4分）（2）命题“若存在x 1，x 2∈[e ，e 2]，使f （x 1）≤f′（x 2）＋a 成立”等价于 “当x ∈[e ，e 2]时，有f （x ）min ≤f′（x ）max ＋a”.由（1）知，当x ∈[e ，e 2]时，有f′（x ）max ＝14－a ，∴f′（x ）max ＋a ＝14.11 问题等价于“当x ∈[e ，e 2]时，有f （x ）min ≤14”.（6分） 10当a≥14时，由（1），f （x ）在[e ，e 2]上为减函数， 则f （x ）min ＝f （e 2）＝e 22－ae 2≤14，故a≥12－14e 2.（8分） 20当a ＜14时，由于f′（x ）＝－（1ln x －12）2＋14－a 在[e ，e 2]上为增函数， 故f′（x ）的值域为[f′（e ），f′（e 2）]，即[－a ，14－a]. ①若－a≥0，即a≤0，f′（x ）≥0在[e ，e 2]上恒成立，故f （x ）在[e ，e 2]上为增函数，于是，f （x ）min ＝f （e ）＝e －ae≥e ＞14，不合题意.（10分） ②若－a ＜0，即0＜a ＜14，由f′（x ）的单调性和值域知， 存在唯一x 0∈（e ，e 2），使f′（x 0）＝0，且满足：当x ∈（e ，x 0）时，f′（x ）＜0，f （x ）为减函数；当x ∈（x 0，e 2）时，f′（x ）＞0，f （x ）为增函数.（12分）所以，f （x ）min ＝f （x 0）＝x 0ln x 0－ax 0≤14，x 0∈（e ，e 2）. 所以，a≥1ln x 0－14x 0＞1ln e 2－14e ＞12－14＝14，与0＜a ＜14矛盾，不合题意. 综上，得a≥12－14e 2.（14分）。

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