1_九年级数学复习专题(一)

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2021年九年级中考数学第三轮冲刺:列方程或方程组解应用题 综合性专题复习(一)

2021年九年级中考数学第三轮冲刺:列方程或方程组解应用题  综合性专题复习(一)

2021年中考数学第三轮冲刺:列方程或方程组解应用题综合性专题复习(一)1、某出租汽车公司计划购买A型和B型两种节能汽车,若购买A型汽车4辆,B 型汽车7辆,共需310万元;若购买A型汽车10辆,B型汽车15辆,共需700万元.(1)A型和B型汽车每辆的价格分别是多少万元?(2)该公司计划购买A型和B型两种汽车共10辆,费用不超过285万元,且A 型汽车的数量少于B型汽车的数量,请你给出费用最省的方案,并求出该方案所需费用.2、新冠肺炎疫情期间,部分小区出现防疫物资紧缺,某爱心组织紧急筹集了部分资金,计划购买甲、乙两种防疫物品共2000件送往各小区,已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元,用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同(1)求甲、乙两种防疫物品每件的价格各是多少元?(2)经调查,各小区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍,若该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品,需筹集资金多少元?3、某养殖场为了响应党中央的扶贫政策,今年起采用“场内+农户”养殖模式,同时加强对蛋鸡的科学管理,蛋鸡的产蛋率不断提高,三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万千克与3.6万千克,现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同.(1)求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率;(2)假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去,且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万千克. 如果要完成六月份的鸡蛋销售任务,那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点?4、某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛,计划购买甲、乙两种奖品共30件.其中甲种奖品每件30元,乙种奖品每件20元.(1)如果购买甲、乙两种奖品共花费800元,那么这两种奖品分别购买了多少件?(2)若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍.如何购买甲、乙两种奖品,使得总花费最少?5、从甲市到乙市乘坐高铁列车的路程为180千米,乘坐普通列车的路程为240千米,高铁列车的平均速度是普通列车的平均速度的3倍,高铁列车的乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了2小时.(1)求高铁列车的平均速度是每小时多少千米;(2)某日王老师要去距离甲市大约405m的某地参加14:00召开的会议,如果他买到当日10:40从甲市至该地的高铁票,而且从该地高铁站到会议地点最多需要1.5h,试问在高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前到达吗?6、端午节前夕,某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽,肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元(1)肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元?(2)由于粽子畅销,商铺决定再购进这两种粽子共300个,其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍,且每种粽子的进货单价保持不变,若肉粽的销售单价为14元,蜜枣粽的销售单价为6元,试问第二批购进肉粽多少个时,全部售完后,第二批粽子获得利润最大?第二批粽子的最大利润是多少元?7、某学校举行“青春心向党建功新时代”演讲比赛活动,准备购买甲、乙两种奖品,小昆发现用480元购买甲种奖品的数目恰好与用360元购买乙种奖品的数目相等,已知甲种奖品的单价比乙种奖品的单价多10元.(1)求甲、乙两种奖品的单价各是多少元?(2)如果需要购买甲乙两种奖品共100个,且甲种奖品的数目不低于乙种奖品数目的2倍,问购买多少个甲种奖品,才使得总购买费用最少?8、某超市销售A、B两款保温杯,已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元,用480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同.(1)A、B两款保温杯的销售单价各是多少元?(2)由于需求量大,A、B两款保温杯很快售完,该超市计划再次购进这两款保温杯共120个,且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍.若A款保温杯的销售单价不变,B款保温杯的销售单价降低10%,两款保温杯的进价每个均为20元,应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大,最大利润是多少元?9、同庆中学为丰富学生的校园生活,准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球(每个足球的价格相同,每个篮球的价格相同),若购买3个足球和2个篮球共需310元,购买2个足球和5个篮球共需500元.(1)购买一个足球、一个篮球各需多少元?(2)根据同庆中学的实际情况,需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个,要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元,这所中学最多可以购买多少个篮球?10、新学期开始时,某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化,打造温馨舒适的学习环境,准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗.据了解,购买A 种花苗3盆,B种花苗5盆,则需210元;购买A种花苗4盆,B种花苗10盆,则需380元.(1)求A、B两种花苗的单价分别是多少元?(2)经九年级一班班委会商定,决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室.种植基地销售人员为了支持本次活动,为该班同学提供以下优惠:购买几盆B种花苗,B种花苗每盆就降价几元,请你为九年级一班的同学预算一下,本次购买至少准备多少钱?最多准备多少钱?11、某汽车运输公司为了满足市场需要,推出商务车和轿车对外租赁业务.下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表:(1)如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元,求一辆轿车的单程租金为多少元?(2)某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训,拟单程租用商务车或轿车前往.在不超载的情况下,怎样设计租车方案才能使所付租金最少?12、某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨,每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元,每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元.设该工厂生产了甲产品x(吨),生产甲、乙两种产品获得的总利润为y(万元).(1)求y与x之间的函数表达式;(2)若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨,每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨.受市场影响,该厂能获得的A原料至多为1000吨,其它原料充足.求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时,能获得最大利润.13、某企业承接了27000件产品的生产任务,计划安排甲、乙两个车间的共50名工人,合作生产20天完成.已知甲、乙两个车间利用现有设备,工人的工作效率为:甲车间每人每天生产25件,乙车间每人每天生产30件.(1)求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产?(2)为了提前完成生产任务,该企业设计了两种方案:方案一甲车间租用先进生产设备,工人的工作效率可提高20%,乙车间维持不变.方案二乙车间再临时招聘若干名工人(工作效率与原工人相同),甲车间维持不变.设计的这两种方案,企业完成生产任务的时间相同.①求乙车间需临时招聘的工人数;②若甲车间租用设备的租金每天900元,租用期间另需一次性支付运输等费用1500元;乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元.问:从新增加的费用考虑,应选择哪种方案能更节省开支?请说明理由.14、某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后,4月份用39000元购进一批相同的T恤衫,数量是3月份的2倍,但每件进价涨了10元.(1)4月份进了这批T恤衫多少件?(2)4月份,经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售,每件标价180元.甲店按标价卖出a件以后,剩余的按标价八折全部售出;乙店同样按标价卖出a件,然后将b件按标价九折售出,再将剩余的按标价七折全部售出,结果利润与甲店相同.①用含a的代数式表示b.②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量,请你求出乙店利润的最大值.15、清明时节“雨后绿初见,择艾作青团”.“元祖“推出一款鲜花青团和一款芒果青团,鲜花青团每个售价是芒果青团的54倍,4月份鲜花青团和芒果青团总计销售6000个.鲜花青团销售额为250000元,芒果青团销售额为280000元.(1)求鲜花青团和芒果青团的售价?(2)5月份正值“元祖”店庆,计划再生产12000个青团回馈新老顾客,但考虑到芒果青团较受欢迎,同时也考虑受机器设备限制,因此芒果青团的个数不少于鲜花青团个数的32,且不多于鲜花青团的2倍,其中,鲜花青团每个让利3元销售,芒果青团售价不变,问:“元祖”如何设计生产方案?可使总销售额最大,并求出总销售额的最大值.16、2020年全民抗疫期间,抗疫志士莫小贝购进一条生产线生产抗疫物质. 已知该生产线的三个操作平台分别排列在同一直线上,顺次是甲、乙、丙,其中甲乙平台之间的距离为40米,乙丙平台之间的距离为60米,操作甲、乙、丙平台分别需要20人、70人、60人. 由于时间仓促无法做到完全自动化,需要在三个平台之间建立一个原材料供给站让工人自取,有如下两个方案:方案一:让所有工人到供给站的距离总和最小;方案二:让甲、丙平台所有工人到供给站的距离之和等于乙平台所有工人到供给站的距离之和.(1)若按照方案一建站,供给站距离甲平台多少米?(2)若按照方案二建站,供给站距离甲平台多少米?(3)在(2)的条件下,若甲平台的工人数增加a 人(22 a ),那么随着a 的增大,供给站将距离甲平台将越来越远,还是越来越近?请说明理由.17、国务院新闻办公室举行新闻发布会,经过7年多的精准扶贫,4年多的脱贫攻坚战,全国现行标准下的贫困人口减少了9348万人。

2021年九年级数学中考复习专题之圆:切割线定理综合运用(一)

2021年九年级数学中考复习专题之圆:切割线定理综合运用(一)

2021年九年级数学中考复习专题之圆:切割线定理综合运用(一)一.选择题1.P是⊙O外一点,PA切⊙O于A,割线PBC交⊙O于点B、C,若PB=BC=3,则PA的长是()A.9 B.3 C.D.182.如图,PA切⊙O于点A,PBC是⊙O的一条割线,且PA=2,BC=2PB,那么PB 的长为()A.2 B.C.4 D.3.如图,⊙O的两条割线PAB,PCD分别交⊙O于点A,B和点C,D.已知PA=6,AB=4,PC=5,则CD=()A.B.C.7 D.244.如图,已知P为⊙O外一点,PO交⊙O于点A,割线PBC交⊙O于点B、C,且PB =BC,若OA=7,PA=4,则PB的长等于()A.B.C.6 D.5.如图,PA切⊙O于点A,PBC是⊙O的割线,如果PB=2,PC=8,那么PA的长为()A.2 B.4 C.6 D.6.如图,在▱ABCD中,过A、B、C三点的圆交AD于E,且与CD相切.若AB=4,BE =5,则DE的长为()A.3 B.4 C.D.7.如图,在以O为圆心的两个同心圆中,A为大圆上任意一点,过A作小圆的割线AXY,若AX•AY=4,则图中圆环的面积为()A.16πB.8πC.4πD.2π8.如图,A、B、C、D为⊙O上的点,直线BA与DC相交于点P,PA=2,PC=CD=3,则PB=()A.6 B.7 C.8 D.99.以半圆中的一条弦BC(非直径)为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D,若,且AB=10,则CB的长为()A.B.C.D.410.如图,从圆O外一点P引圆O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.如果∠APB =60°,PA=8,那么点P与O间的距离是()A.16 B.C.D.二.填空题11.如图,⊙O的半径为,A、B两点在⊙O上,切线AQ和BQ相交于Q,P是AB 延长线上任一点,QS⊥OP于S,则OP•OS=.12.如图,过点P引圆的两条割线PAB和PCD,分别交圆于点A,B和C,D,连接AC,BD,则在下列各比例式中,①;②;③,成立的有(把你认为成立的比例式的序号都填上).13.如图,割线PAB与⊙O交于点A、B,割线PCD与⊙O交于点C、D,PA=PC,PB=3cm,则PD=cm.14.如图,过⊙O外一点P作两条割线,分别交⊙O于A,B和C,D.已知PA=2,PB =5,PD=8,则PC的长是.15.如图,AC为⊙O的直径,PA是⊙O的切线,切点为A,PBC是⊙O的割线,∠BAC 的平分线交BC于D点,PF交AC于F点,交AB于E点,要使AE=AF,则PF应满足的条件是(只需填一个条件).三.解答题16.如图,AB是⊙O的直径,C是AB延长线上的一点,CD是⊙O的切线,D为切点,过点B作⊙O的切线交CD于点E.若AB=CD=2,求CE的长.17.如图所示,⊙O的内接△ABC的AB边过圆心O,CD切⊙O于C,BD⊥CD于D,交⊙O于F,CE⊥AB于点E,FE交⊙O于G.解答下列问题:(1)若BC=10,BE=8,求CD的值;(2)求证:DF•DB=EG•EF.18.如图1,已知Rt△ABC的直角边AC的长为2,以AC为直径的⊙O与斜边AB交于点D,过D点作⊙O的切线(1)求证:BE=DE;(2)延长DE与AC的延长线交于点F,若DF=,求△ABC的面积;(3)从图1中,显然可知BC<AC.试分别讨论在其它条件不变,当BC=AC(图2)和BC>AC(图3)时,直线DE与直线AC还会相交吗?若不能相交,请简要说明理由;若能相交,设交点为F'且DF'=,请再求出△ABC的面积.19.已知:如图,PF是⊙O的切线,PE=PF,A是⊙O上一点,直线AE、AP分别交⊙O 于B、D,直线DE交⊙O于C,连接BC,(1)求证:PE∥BC;(2)将PE绕点P顺时针旋转,使点E移到圆内,并在⊙O上另选一点A,如图2.其他条件不变,在图2中画出完整的图形.此时PE与BC是否仍然平行?证明你的结论.20.如图PAB、PCD是⊙O的两条割线,AB是⊙O的直径.(1)如图甲,若PA=8,PC=10,CD=6.①求sin∠APC的值;②sin∠BOD=;(2)如图乙,若AC∥OD.①求证:CD=BD;②若,试求cos∠BAD的值.参考答案一.选择题1.解:∵PB=BC=3,∴PC=6,∵PA2=PB•PC=18,∴PA=3,故选:C.2.解:设PB=x,则PC=3x,∵PA2=PB•PC,PA=2,BC=2PB,∴x•3x=12,∴x=2.故选:A.3.解:由于PAB、PCD都是⊙O的割线,根据切割线定理可得:PA•PB=PC•PD,即PA•(PA+PB)=PC•PD,∵PA=6,AB=4,PC=5,∴PD=12,即CD=PD﹣PC=7;故选:C.4.解:延长PO交圆于D;设PB=BC=x,∵PB•PC=PA•PD,PB=BC,OA=7,PA=4,∴x•2x=72,∴x=6.故选:C.5.解:∵PA切⊙O于点A,PBC是⊙O的割线,∴PA2=PB•PC=16,即PA=4;故选:B.6.解:连接CE;∵,∴∠BAE=∠EBC+∠BEC;∵∠DCB=∠DCE+∠BCE,由弦切角定理知:∠DCE=∠EBC,由平行四边形的性质知:∠DCB=∠BAE,∴∠BEC=∠BCE,即BC=BE=5,∴AD=5;由切割线定理知:DE=DC2÷DA=,故选:D.7.解:过点A作圆的切线AD,切点是D,∵AD2=AX•AY,AX•AY=4,∴AD=2,∴圆环的面积=πAD2=4π.故选:C.8.解:∵PB,PD是⊙O的割线,∴PA•PB=PC•PD,∵PA=2,PC=CD=3,∴2PB=3×6解得:PB=9.故选:D.9.解:如图,若,且AB=10,∴AD=4,BD=6,作AB关于直线BC的对称线段A′B,交半圆于D′,连接AC、CA′,可得A、C、A′三点共线,∵线段A′B与线段AB关于直线BC对称,∴AB=A′B,∴AC=A′C,AD=A′D′=4,A′B=AB=10.而A′C•A′A=A′D′•A′B,即A′C•2A′C=4×10=40.则A′C2=20,又∵A′C2=A′B2﹣CB2,∴20=100﹣CB2,∴CB=4.故选:A.10.解:连接OA,OP∵PA,PB是⊙O的切线,∠APB=60°,∴∠OPA=∠APB=30°,OA⊥OP,∴OP===,∴点P与O间的距离是.故选:B.二.填空题(共5小题)11.解:连接OQ交AB于M,则OQ⊥AB,连接OA,则OA⊥AQ.∵∠QMP=∠QSP=90°,∴S,P,Q,M四点共圆,故OS•OP=OM•OQ.又∵OM•OQ=OA2=2,∴OS•OP=2.故答案为:2.12.解:∵四边形ABCD是圆内接四边形∴∠PAD=∠C,∠PAD=∠B∴△PAD∽△PCB根据相似三角形的对应边的比相等,得到②③是正确的.13.解:∵PA•PB=PC•PD,PA=PC,PB=3cm∴PB=PD=3cm.14.解:∵PA•PB=PC•PD,PA=2,PB=5,PD=8∴PC==.15.解:∵∠PAC=90°,∠ABC=90°,∴90°﹣∠AFP=90°﹣∠BEP,∴∠APF=∠CPF,∴PF平分∠APC.三.解答题(共5小题)16.解:如图,由切割线定理,得CD2=CB•CA,(2分)CD2=CB(AB+CB),CB2+2CB﹣4=0,解得CB=(负数舍去)连接OD,则OD⊥CD,又EB与⊙O相切,∴EB⊥OC,∴Rt△ODC∽Rt△EBC,(6分)于是,即∴CE=.17.(1)解:∵AB为直径,BD⊥CD∴∠ABC+∠A=90°,∠CBD+∠BCD=90°∵CD为⊙O切线∴∠BCD=∠A∴∠ABC=∠BCD∵CD⊥BD,CE⊥BE∴CE=CD∴CE==6∴CD=6(2)证明:∵CD为切线,BD为割线∴CD2=DF•DB①∵∠ACB=90°,CE⊥AB∴RT△ACE∽RT△CBE∴CE2=EA•EB②∵EG•EF=EA•EB③由①②③及CD=CE得DF•DB=EG•EF.18.(1)证明:连接OD,∴OD⊥DE,∴∠ADO+∠BDE=90°,∵OA=OD,∴∠A=∠ADO,∵∠ACB=90°,∴∠B+∠A=90°,∴∠B=∠BDE,∴BE=DE;(2)解:在直角三角形ODF中,OD=1,DF=,∴∠OFD=30°,∴OF=2,AF=3.∴tan∠A=,∴BC=AC•tan∠A=2×tan30°=.S△ABC=AC•BC=×2×=;(3)解:如图,当BC=AC时,直线DE与直线AC平行;当BC>AC时,在直角三角形ODF′中,OD=1,DF′=,∴∠OF′D=30°,∴OF′=2,AF=1,∴CF′=3,∠BAC=60°,∴tan∠BAC=,∴BC=AC•tan∠BAC=2×tan60°=2.S△ABC=AC•BC=×2×2=2.19.(1)证明:∵PF与⊙O相切,∴PF2=PD•PA.∵PE=PF,∴PE2=PD•PA.∴PE:PD=PA:PE.∵∠APE=∠APE,∴△EPD∽△APE.∴∠PED=∠A.∵∠ECB=∠A,∴∠PED=∠ECB.∴PE∥BC.(2)解:PE与BC仍然平行.证明:画图如图,∵△EPD∽△APE,∴∠PEA=∠D.∵∠B=∠D,∴∠PEA=∠B.∴PE∥BC.20.解:(1)作OE⊥CD于E,连接OC,作DF⊥PB于F.①根据垂径定理,得CE=3.设圆的半径是r.根据勾股定理,得OP2﹣PE2=OC2﹣CE2,(8+r)2﹣169=r2﹣9,解得r=6.则OE=3.则sin∠APC==;②设OF=x.根据勾股定理,得PD2﹣PF2=OD2﹣OF2,256﹣(14+x)2=36﹣x2,解得x=.所以DF=.所以sin∠BOD===.(2)①∵AC∥OD,∴∠1=∠2.又OA=OD,∴∠2=∠3.∴∠1=∠3.所以弧CD=弧BD,所以CD=BD;②∵AC∥OD,∴=.又CD=BD,AB=2OA,∴=.∴cos∠BAD==.。

2021年九年级数学中考复习专题:二次函数综合(考察动点坐标、长度、面积等)(一)

2021年九年级数学中考复习专题:二次函数综合(考察动点坐标、长度、面积等)(一)

2021年九年级数学中考复习专题:二次函数综合(考察动点坐标、长度、面积等)(一)1.如图,抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0),B(1,0),交y轴于点C,点P是该抛物线上一动点,点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与A重合),过点P作PD∥y轴交直线AC于点D.(1)求抛物线的解析式;(2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值;(3)△APD能否构成直角三角形?若能,请直接写出所有符合条件的点P坐标;若不能,请说明理由.2.如图1,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,已知点B坐标为(3,0),点C坐标为(0,3).(1)求抛物线的表达式;(2)点P为直线BC上方抛物线上的一个动点,当△PBC的面积最大时,求点P的坐标;(3)如图2,点M为该抛物线的顶点,直线MD⊥x轴于点D,在直线MD上是否存在点N,使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.3.如图,抛物线y=ax2+bx+2交x轴于点A(﹣3,0)和点B(1,0),交y轴于点C.已知点D的坐标为(﹣1,0),点P为第二象限内抛物线上的一个动点,连接AP、PC、CD.(1)求这个抛物线的表达式.(2)当四边形ADCP面积等于4时,求点P的坐标.(3)①点M在平面内,当△CDM是以CM为斜边的等腰直角三角形时,直接写出满足条件的所有点M的坐标;②在①的条件下,点N在抛物线对称轴上,当∠MNC=45°时,直接写出满足条件的所有点N的坐标.4.如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,点A,B分别位于原点的左、右两侧,BO=3AO=3,过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C,D,BC=CD.(1)求b,c的值;(2)求直线BD的函数解析式;(3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方,点Q在射线BA上.当△ABD与△BPQ相似时,请直接写出所有满足条件的点Q的坐标.5.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于A,B两点(点A位于点B的左侧),与y轴相交于点C,M是抛物线的顶点,直线x=1是抛物线的对称轴,且点C的坐标为(0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)已知P为线段MB上一个动点,过点P作PD⊥x轴于点D.若PD=m,△PCD的面积为S.①求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;②当S取得最值时,求点P的坐标.(3)在(2)的条件下,在线段MB上是否存在点P,使△PCD为等腰三角形?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.6.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3),抛物线的对称轴与直线BC交于点D.(1)求抛物线的表达式;(2)在抛物线的对称轴上找一点M,使|BM﹣CM|的值最大,求出点M的坐标;(3)点E为直线BC上一动点,过点E作y轴的平行线EF,与抛物线交于点F问是否存在点E,使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似?若存在,直接写出点E的坐标.7.如图1,抛物线y=x2+bx+c交x轴于A,B两点,其中点A的坐标为(1,0),与y轴交于点C(0,﹣3).(1)求抛物线的函数解析式;(2)点D为y轴上一点,如果直线BD与直线BC的夹角为15°,求线段CD的长度;(3)如图2,连接AC,点P在抛物线上,且满足∠PAB=2∠ACO,求点P的坐标.8.已知二次函数图象过点A(﹣2,0),B(4,0),C(0,4).(1)求二次函数的解析式.(2)如图,当点P为AC的中点时,在线段PB上是否存在点M,使得∠BMC=90°?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.(3)点K在抛物线上,点D为AB的中点,直线KD与直线BC的夹角为锐角θ,且tanθ=,求点K的坐标.9.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A(0,2),与x轴交于B(﹣3,0)、C两点(点B在点C的左侧),抛物线的顶点为D.(1)求抛物线的表达式;(2)用配方法求点D的坐标;(3)点P是线段OB上的动点.①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E,若PE=PC,求点E的坐标;②在①的条件下,点F是坐标轴上的点,且点F到EA和ED的距离相等,请直接写出线段EF的长;③若点Q是射线OA上的动点,且始终满足OQ=OP,连接AP,DQ,请直接写出AP+DQ的最小值.10.如图1,已知:抛物线y=a(x+1)(x﹣3)交x轴于A,C两点,交y轴于点B,且OB =2CO.(1)求二次函数解析式;(2)在二次函数图象(如图2)位于x轴上方部分有两个动点M、N,且点N在点M的左侧,过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点,当四边形MNHG为矩形时,求该矩形周长的最大值;(3)抛物线对称轴上是否存在点P,使得△ABP为直角三角形?若存在,请直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.参考答案1.解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0),B(1,0),∴,解得,∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3;(2)令x=0,则y=3,∴点C(0,3),则直线AC的解析式为y=﹣x+3,设点P(x,x2﹣4x+3),∵PD∥y轴,∴点D(x,﹣x+3),∴PD=(﹣x+3)﹣(x2﹣4x+3)=﹣x2+3x=﹣(x﹣)2+,∵a=﹣1<0,∴当x=时,线段PD的长度有最大值;(3)①∠APD是直角时,点P与点B重合,此时,点P(1,0),②∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,∴抛物线的顶点坐标为(2,﹣1),∵A(3,0),∴点P为在抛物线顶点时,∠PAD=45°+45°=90°,此时,点P(2,﹣1),综上所述,点P(1,0)或(2,﹣1)时,△APD能构成直角三角形.2.解:(1)∵点B(3,0),点C(0,3)在抛物线y=﹣x2+bx+c图象上,∴,解得:,∴抛物线解析式为:y=﹣x2+2x+3;(2)∵点B(3,0),点C(0,3),∴直线BC解析式为:y=﹣x+3,如图,过点P作PH⊥x轴于H,交BC于点G,设点P(m,﹣m2+2m+3),则点G(m,﹣m+3),∴PG=(﹣m2+2m+3)﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m,=×PG×OB=×3×(﹣m2+3m)=﹣(m﹣)2+,∵S△PBC有最大值,∴当m=时,S△PBC∴点P(,);(3)存在N满足条件,理由如下:∵抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点,∴点A(﹣1,0),∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴顶点M为(1,4),∵点M为(1,4),点C(0,3),∴直线MC的解析式为:y=x+3,如图,设直线MC与x轴交于点E,过点N作NQ⊥MC于Q,∴DE=4=MD,∴∠NMQ=45°,∵NQ⊥MC,∴∠NMQ=∠MNQ=45°,∴MQ=NQ,∴MQ=NQ=MN,设点N(1,n),∵点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离,∴NQ=AN,∴NQ2=AN2,∴(MN)2=AN2,∴(|4﹣n|)2=4+n2,∴n2+8n﹣8=0,∴n=﹣4±2,∴存在点N满足要求,点N坐标为(1,﹣4+2)或(1,﹣4﹣2).3.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+2交x轴于点A(﹣3,0)和点B(1,0),∴抛物线的表达式为:y=a(x+3)(x﹣1)=a(x2+2x﹣3)=ax2+2ax﹣3a,即﹣3a=2,解得:a=﹣,故抛物线的表达式为:y=﹣x2﹣x+2;(2)连接OP,设点P(x,﹣x2﹣x+2),∵抛物线y=﹣x2﹣x+2交y轴于点C,∵S =S 四边形ADCP =S △APO +S △CPO ﹣S △ODC =×AO ×y P +×OC ×|x P |﹣×CO ×OD =4,∴×3×(﹣x 2﹣x +2)+×2×(﹣x )﹣×1×2=4,∴x 1=﹣1,x 2=﹣2, ∴点P (﹣1,)或(﹣2,2);(3)①如图2,若点M 在CD 左侧,连接AM ,∵∠MDC =90°,∴∠MDA +∠CDO =90°,且∠CDO +∠DCO =90°, ∴∠MDA =∠DCO ,且AD =CO =2,MD =CD , ∴△MAD ≌△DOC (SAS )∴AM =DO ,∠MAD =∠DOC =90°, ∴点M 坐标(﹣3,1),若点M 在CD 右侧,同理可求点M '(1,﹣1); ②如图3,∵抛物线的表达式为:y =﹣x 2﹣x +2=﹣(x +1)2+;∴对称轴为:直线x =﹣1,∴点D在对称轴上,∵MD=CD=M'D,∠MDC=∠M'DC=90°,∴点D是MM'的中点,∵∠MCD=∠M'CD=45°,∴∠MCM'=90°,∴点M,点C,点M'在以MM'为直径的圆上,当点N在以MM'为直径的圆上时,∠M'NC=∠M'MC=45°,符合题意,∵点C(0,2),点D(﹣1,0)∴DC=,∴DN=DN'=,且点N在抛物线对称轴上,∴点N(﹣1,),点N'(﹣1,﹣)延长M'C交对称轴与N'',∵点M'(1,﹣1),点C(0,2),∴直线M'C解析式为:y=﹣3x+2,∴当x=﹣1时,y=5,∴点N''的坐标(﹣1,5),∵点N''的坐标(﹣1,5),点M'(1,﹣1),点C(0,2),∴N''C==M'C,且∠MCM'=90°,∴MM'=MN'',∴∠MM'C=∠MN''C=45°∴点N''(﹣1,5)符合题意,综上所述:点N的坐标为:(﹣1,)或(﹣1,﹣)或(﹣1,5).4.解:(1)∵BO=3AO=3,∴点B(3,0),点A(﹣1,0),∴抛物线解析式为:y=(x+1)(x﹣3)=x2﹣x﹣,∴b=﹣,c=﹣;(2)如图1,过点D作DE⊥AB于E,∴CO∥DE,∴,∵BC=CD,BO=3,∴=,∴OE=,∴点D横坐标为﹣,∴点D坐标为(﹣,+1),设直线BD的函数解析式为:y=kx+b,由题意可得:,解得:,∴直线BD的函数解析式为y=﹣x+;(3)∵点B(3,0),点A(﹣1,0),点D(﹣,+1),∴AB=4,AD=2,BD=2+2,对称轴为直线x=1,∵直线BD:y=﹣x+与y轴交于点C,∴点C(0,),∴OC=,∵tan∠CBO==,∴∠CBO=30°,如图2,过点A作AK⊥BD于K,∴AK=AB=2,∴DK===2,∴DK=AK,∴∠ADB=45°,如图,设对称轴与x轴的交点为N,即点N(1,0),若∠CBO=∠PBO=30°,∴BN=PN=2,BP=2PN,∴PN=,BP=,当△BAD∽△BPQ,∴,∴BQ==2+,∴点Q(1﹣,0);当△BAD∽△BQP,∴,∴BQ==4﹣,∴点Q(﹣1+,0);若∠PBO=∠ADB=45°,∴BN=PN=2,BP=BN=2,当△DAB∽△BPQ,∴,∴,∴BQ=2+2∴点Q(1﹣2,0);当△BAD∽△PQB,∴,∴BQ==2﹣2,∴点Q(5﹣2,0);综上所述:满足条件的点Q的坐标为(1﹣,0)或(﹣1+,0)或(1﹣2,0)或(5﹣2,0).5.解:(1)∵直线x=1是抛物线的对称轴,且点C的坐标为(0,3),∴c=3,﹣=1,∴b=2,∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+2x+3;(2)①∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴点M(1,4),∵抛物线的解析式为:y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A,B两点(点A位于点B的左侧),∴0=﹣x2+2x+3∴x1=3,x2=﹣1,∴点A(﹣1,0),点B(3,0),∵点M(1,4),点B(3,0)∴直线BM解析式为y=﹣2x+6,∵点P在直线BM上,且PD⊥x轴于点D,PD=m,∴点P(3﹣,m),∴S△PCD=×PD×OD=m×(3﹣)=﹣m2+m,∵点P在线段BM上,且点M(1,4),点B(3,0),∴0<m≤4∴S与m之间的函数关系式为S=﹣m2+m(0<m≤4)②∵S=﹣m2+m=﹣(m﹣3)2+,∴当m=3时,S有最大值为,∴点P(,3)∵0<m≤4时,S没有最小值,综上所述:当m=3时,S有最大值为,此时点P(,3);(3)存在,若PC=PD=m时,∵PD=m,点P(3﹣,m),点C(0,3),∴(3﹣﹣0)2+(m﹣3)2=m2,∴m1=18+6(舍去),m2=18﹣6,∴点P(﹣6+3,18﹣6);若DC=PD=m时,∴(3﹣﹣0)2+(﹣3)2=m2,∴m3=﹣2﹣2(舍去),m4=﹣2+2,∴点P(4﹣,﹣2+2);若DC=PC时,∴(3﹣﹣0)2+(m﹣3)2=(3﹣﹣0)2+(﹣3)2,∴m5=0(舍去),m6=6(舍去)综上所述:当点P的坐标为:(﹣6+3,18﹣6)或(4﹣,﹣2+2)时,使△PCD为等腰三角形.6.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(1,0)、B(3,0)、C(0,3),∴,解得,∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x+3;(2)∵抛物线对称轴是线段AB的垂直平分线,∴AM=BM,由三角形的三边关系,|BM﹣CM|=|AM﹣CM|<AC,∴点A、C、M三点共线时,|BM﹣CM|最大,设直线AC的解析式为y=mx+n,则,解得,∴直线AC的解析式为y=﹣3x+3,又∵抛物线对称轴为直线x=﹣=2,∴x=2时,y=﹣3×2+3=﹣3,故,点M的坐标为(2,﹣3);(3))∵OB=OC=3,OB⊥OC,∴△BOC是等腰直角三角形,∵EF∥y轴,直线BC的解析式为y=﹣x+3,∴△DEF只要是直角三角形即可与△BOC相似,∵D(2,1),A(1,0),B(3,0),∴点D垂直平分AB且到点AB的距离等于AB,∴△ABD是等腰直角三角形,∴∠ADB =90°,如图,①点F 是直角顶点时,点F 的纵坐标与点D 的纵坐标相同,是1,∴x 2﹣4x +3=1,整理得x 2﹣4x +2=0,解得x =2±, 当x =2﹣时,y =﹣(2﹣)+3=1+, 当x =2+时,y =﹣(2+)+3=1﹣, ∴点E 1(2﹣,1+)E 2(2+,1﹣), ②点D 是直角顶点时,易求直线AD 的解析式为y =x ﹣1,联立,解得,,当x =1时,y =﹣1+3=2,当x =4时,y =﹣4+3=﹣1,∴点E 3(1,2),E 4(4,﹣1),综上所述,存在点E 1(2﹣,1+)或E 2(2+,1﹣)或E 3(1,2)或E 4(4,﹣1),使以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似.7.解:(1)∵抛物线y =x 2+bx +c 交x 轴于点A (1,0),与y 轴交于点C (0,﹣3),∴,解得:,∴抛物线解析式为:y=x2+2x﹣3;(2)∵抛物线y=x2+2x﹣3与x轴于A,B两点,∴点B(﹣3,0),∵点B(﹣3,0),点C(0,﹣3),∴OB=OC=3,∴∠OBC=∠OCB=45°,如图1,当点D在点C上方时,∵∠DBC=15°,∴∠OBD=30°,∴tan∠DBO==,∴OD=×3=,∴CD=3﹣;若点D在点C下方时,∵∠DBC=15°,∴∠OBD=60°,∴tan∠DBO==,∴OD=3,∴DC=3﹣3,综上所述:线段CD的长度为3﹣或3﹣3;(3)如图2,在BO上截取OE=OA,连接CE,过点E作EF⊥AC,∵点A(1,0),点C(0,﹣3),∴OA=1,OC=3,∴AC===,∵OE=OA,∠COE=∠COA=90°,OC=OC,∴△OCE≌△OCA(SAS),∴∠ACO=∠ECO,CE=AC=,∴∠ECA=2∠ACO,∵∠PAB=2∠ACO,∴∠PAB=∠ECA,=AE×OC=AC×EF,∵S△AEC∴EF==,∴CF===,∴tan∠ECA==,如图2,当点P在AB的下方时,设AP与y轴交于点N,∵∠PAB=∠ECA,∴tan∠ECA=tan∠PAB==,∴ON=,∴点N(0,﹣),又∵点A(1,0),∴直线AP解析式为:y=x﹣,联立方程组得:,解得:或,∴点P坐标为:(﹣,﹣),当点P在AB的上方时,同理可求直线AP解析式为:y=﹣x+,联立方程组得:,解得:或,∴点P坐标为:(﹣,),综上所述:点P的坐标为(﹣,),(﹣,﹣).8.解:(1)∵二次函数图象过点B(4,0),点A(﹣2,0),∴设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x﹣4),∵二次函数图象过点C(0,4),∴4=a(0+2)(0﹣4),∴a=﹣,∴二次函数的解析式为y=﹣(x+2)(x﹣4)=﹣x2+x+4;(2)存在,理由如下:如图1,取BC中点Q,连接MQ,∵点A(﹣2,0),B(4,0),C(0,4),点P是AC中点,点Q是BC中点,∴P(﹣1,2),点Q(2,2),BC==4,设直线BP解析式为:y=kx+b,由题意可得:,解得:∴直线BP的解析式为:y=﹣x+,∵∠BMC=90°∴点M在以BC为直径的圆上,∴设点M(c,﹣c+),∵点Q是Rt△BCM的中点,∴MQ=BC=2,∴MQ2=8,∴(c﹣2)2+(﹣c+﹣2)2=8,∴c=4或﹣,当c=4时,点B,点M重合,即c=4,不合题意舍去,∴c=﹣,则点M坐标(﹣,),故线段PB上存在点M(﹣,),使得∠BMC=90°;(3)如图2,过点D作DE⊥BC于点E,设直线DK与BC交于点N,∵点A(﹣2,0),B(4,0),C(0,4),点D是AB中点,∴点D(1,0),OB=OC=4,AB=6,BD=3,∴∠OBC=45°,∵DE⊥BC,∴∠EDB=∠EBD=45°,∴DE=BE==,∵点B(4,0),C(0,4),∴直线BC解析式为:y=﹣x+4,设点E(n,﹣n+4),∴﹣n+4=,∴n=,∴点E(,),在Rt△DNE中,NE===,①若DK与射线EC交于点N(m,4﹣m),∵NE=BN﹣BE,∴=(4﹣m)﹣,∴m=,∴点N(,),∴直线DK解析式为:y=4x﹣4,联立方程组可得:,解得:或,∴点K坐标为(2,4)或(﹣8,﹣36);②若DK与射线EB交于N(m,4﹣m),∵NE=BE﹣BN,∴=﹣(4﹣m),∴m=,∴点N(,),∴直线DK解析式为:y=x﹣,联立方程组可得:,解得:或,∴点K坐标为(,)或(,),综上所述:点K的坐标为(2,4)或(﹣8,﹣36)或(,)或(,).9.解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A(0,2),与x轴交于B(﹣3,0),∴∴∴抛物线解析式为:y=x2﹣x+2;(2)∵y=x2﹣x+2=﹣(x+1)2+,∴顶点D坐标(﹣1,);(3)①∵抛物线y=x2﹣x+2与x轴交于B(﹣3,0)、C两点,∴点C(1,0)设点E(m,m2﹣m+2),则点P(m,0),∵PE=PC,∴m2﹣m+2=1﹣m,∴m=1(舍去),m=﹣,∴点E(﹣,)②如图,连接AE交对称轴于点N,连接DE,作EH⊥DN于H,交y轴于点F,∵点A(0,2),点E(﹣,),∴直线AE解析式为y=﹣x+2,∴点N坐标(﹣1,)∴DH==,HN==,∴DH=NH,且EH⊥DN,∴∠DEH=∠NEH,∴点F到AE,DE的距离相等,∴DN∥y轴,EH⊥DN,∴EH⊥y轴,∴EF=;③在x轴正半轴取点H,使OH=OA=2,∵OH=OA,∠AOP=∠QOH=90°,OP=OQ,∴△AOP≌△HOQ(SAS)∴AP=QH,∴AP+DQ=DQ+QH≥DH,∴点Q在DH上时,DQ+AP有最小值,最小值为DH的长,∴AP+DQ的最小值==.10.解:(1)对于抛物线y=a(x+1)(x﹣3),令y=0,得到a(x+1)(x﹣3)=0,解得x=﹣1或3,∴C(﹣1,0),A(3,0),∴OC=1,∵OB=2OC=2,∴B(0,2),把B(0,2)代入y=a(x+1)(x﹣3)中得:2=﹣3a,a=﹣∴二次函数解析式为=;(2)设点M的坐标为(m,),则点N的坐标为(2﹣m,),MN=m﹣2+m=2m﹣2,GM=矩形MNHG的周长C=2MN+2GM=2(2m﹣2)+2()==∴当时,C有最大值,最大值为;(3)∵A(3,0),B(0,2),∴OA=3,OB=2,由对称得:抛物线的对称轴是:x=1,∴AE=3﹣1=2,设抛物线的对称轴与x轴相交于点E,当△ABP为直角三角形时,存在以下三种情况:①如图1,当∠BAP=90°时,点P在AB的下方,∵∠PAE+∠BAO=∠BAO+∠ABO=90°,∴∠PAE=∠ABO,∵∠AOB=∠AEP,∴△ABO∽△PAE,∴,即,∴PE=3,∴P(1,﹣3);②如图2,当∠PBA=90°时,点P在AB的上方,过P作PF⊥y轴于F,同理得:△PFB∽△BOA,∴,即,∴BF=,∴OF=2+=,∴P(1,);③如图3,以AB为直径作圆与对称轴交于P1、P2,则∠AP1B=∠AP2B=90°,设P1(1,y),∵AB2=22+32=13,由勾股定理得:AB2=P1B2+P1A2,∴12+(y﹣2)2+(3﹣1)2+y2=13,解得:y=1±,∴P(1,1+)或(1,1﹣),综上所述,点P的坐标为(1,﹣3)或(1,)或(1,1+)或(1,1﹣)。

人教版初中数学-学年九年级上学期期末专题复习 专题1:一元二次方程 解析版

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人教版初中数学2019-2020学年九年级上学期期末专题复习专题1:一元二次方程一、单选题1.下列方程中,关于x的一元二次方程是()A. x2+2y=1B. ﹣2=0C. ax2+bx+c=0D. x2+2x=12.一元二次方程x2-x-4=0的一次项系数和常数项分别是()A. 1,-1B. 1,-4C. -1,-4D. -1,43.将一元二次方程化为一般形式,正确的是()A. B. C. D.4.方程的解是()A. B. C. , D.5.关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有实数根,则k的取值范围是( )A. k>-1或k≠0B. k≥-1C. k≤-1或k≠0D. k≥-1且k≠06.一元二次方程x2+4x+2=0的根的判别式的值为()A. 8B. 24C.D.7.已知x1、x2、是一元二次方程x2+x-2=0的两个根,则x1+x2+x1x2的值为()A. 1B. -3C. 3D. -2二、填空题8.方程x2-2ax+3=0有一个根是1,a的值是________。

9.若代数式可化为,则=________,=________.10.定义符号min{a,b}的含义为:当a≥b时,min{a,b}=b;当a<b时,min{a,b}=a,如:min{1,-2)=-2,min{-3,-2)=-3,则方程min{x,-x}=x2-1的解是________.三、计算题11.解下列方程。

(1)x2-5x+6=0(2)(2x+1)(x-4)=5.12.(1)先化简,再求值:(x-2y)2-x(x+3y)-4y2,其中x=-4,y= .(2)已知:x+y=6,xy=4,求下列各式的值x2+y213.按要求解一元二次方程(1)4x2﹣8x+1=0(配方法)(2)7x(5x+2)=6(5x+2)(因式分解法)(3)3x2+5(2x+1)=0(公式法)(4)x2﹣2x﹣8=0.(5)(6x-1)2=25;四、解答题14.如图,在宽为20m,长为27m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为450 ,求道路的宽.15.要组织一次篮球邀请比赛,参赛的队伍每两个队都要比赛一场.赛程安排7天,每天比赛4场,问组织者应该邀请多少个队参赛?五、综合题16.已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1=0.(1)当m=0时,求方程的实数根.(2)若方程有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围.17.在一次聚会上,规定每两个人见面必须握手,且握手1次.(1)若参加聚会的人数为3,则共握手________次;若参加聚会的人数为5,则共握手________次;(2)若参加聚会的人数为n(n为正整数),则共握手________次;(3)若参加聚会的人共握手28次,请求出参加聚会的人数.(4)嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题:若线段AB上共有m个点(不含端点A,B),线段总数为多少呢?请直接写出结论.答案解析部分一、单选题1. D解:A、含有两个未知数,不是一元二次方程,故本选项不符合题意;B、分母中含有未知数,是分式方程,故本选项不符合题意;C、当a=0时不是一元二次方程,故本选项不符合题意;D、是一元二次方程,故本选项符合题意;故答案为:D.【分析】一元二次方程是指含有一个未知数,并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程,根据定义判断即可.2. C解:一元二次方程x2-x-4=0的一次项系数时-1,常数项是-4,故C正确。

专题01 一元二次方程(解析版)-2020-2021学年九年级数学上册期末综合复习专题提优训练

专题01 一元二次方程(解析版)-2020-2021学年九年级数学上册期末综合复习专题提优训练

2020-2021学年九年级数学上册期末综合复习专题提优训练(人教版)专题01 一元二次方程【典型例题】1.(2020·青浦区实验中学期中)下列方程中,关于x 的一元二次方程是( )A .3(x +1)2=2(x +1)B .21x +1x-2=0 C .ax 2+bx +c =0 D .x 2+2x =x 2-1 【答案】A2.(2020·山东泗水初三期中)若()11620m m x mx +++-=是关于x 的一元二次方程,则m =________.【答案】1【专题训练】一、选择题1.(2020·湖南湘潭初三期末)已知关于x 的一元二次方程2240x ax -+=的一个根是2,则a 的值为( )A .-1B .1C .-2D .2 【答案】D2.(2020·山东东平期末)下列方程中一定是一元二次方程的是( )A .22731x y -=+B .25620x y --= C .22x x x x -=+ D .()2320ax b x c +-++=【答案】C3.(2020·安徽安庆期末)若x =2是关于x 的一元二次方程x 2-mx +8=0的一个解.则m 的值是( )A .6B .5C .2D .-6【答案】A4.(2019·四川雁江初三期末)如果关于x 的方程27(3)30m m x x ---+=是一元二次方程,那么m 的值为:( ) A .3± B .3 C .-3 D .都不是【答案】C5.(2020·安徽蚌埠期末)一元二次方程4x 2﹣1=5x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( ) A .4,﹣1,5 B .4,﹣5,﹣1 C .4,5,﹣1 D .4,﹣1,﹣5【答案】B6.(2020·四川米易初三期末)已知a 是方程22430x x --=的一个根,则代数式224a a -的值等于( )A .3B .2C .0D .1 【答案】A7.(2020·安徽铜陵初三期末)已知关于 x 的方程20x ax b ++=有一个根是(0)b b ≠,则a b +的值是( ) A .-1 B .0 C .12 D .1 【答案】A8.(2020·全国初三课时练习)已知m 是方程23220x x --=的值( )A .2BC D【答案】C9.(2019·贵州印江初三期末)将一元二次方程22(1)1(1)2x x x +-=+-写成一般形式_____.【答案】2330x x ++=10.(2020·湖南雨花期末)已知方程ax 2+bx +c =0的一个根是﹣1,则a ﹣b +c =_____.【答案】011.(2020·银川市第十五中学初三一模)关于x 的一元二次方程(m -1)x 2+6x +m 2-m =0的一个根x =0,则m 的值是_____.【答案】012.(2020·贵州印江初三期末)若关于x 的方程||(m 2)m 20m x x --+=为一元二次方程,则m =__________.【答案】-213.(2020·全国初三课时练习)下列方程中,①7x 2+6=3x ;②212x =7;③x 2﹣x =0;④2x 2﹣5y =0;⑤﹣x 2=0中是一元二次方程的有_____. 【答案】①③⑤.14.(2020·全国初三课时练习)把一元二次方程(x ﹣2)2﹣x =7x +6化为一般形式是_____,二次项系数是_____,一次项是_____,常数项是_____.【答案】x 2﹣12x ﹣2=0 1 ﹣12x ﹣215.(2020·河北初三二模)若m 是方程2x 2﹣3x ﹣1=0的一个根,则6m 2﹣9m +2020的值为_____.【答案】202316.(2020·南宁市新民中学初三期中)若关于x 的一元二次方程22(1)410a x x a --+-=的一根是0,则a =___________. 【答案】-117.(2019·全国初二单元测试)把关于x 的方程()()()23x x x -=化成一元二次方程的一般形式,并写出方程中各项与各项的系数. 【答案】解:原方程整理得226918x x x -+=-∴22690x x∴各项与各项的系数分别为:二次项22x ,二次项系数2;一次项-6x ,一次项系数-6;常数项-9.18.(2020·安徽天长龙集九年制学校期中)关于x 的方程27(3)5m m x x ---=是一元二次方程,求m 的值.【答案】解:关于x 的方程27(3)5m m x x ---=是一元二次方程,依题意有,27230m m ⎧-=⎨-≠⎩∴m =-3∴当m =-3时方程27(3)5m m x x ---=是一元二次方程.19.(2018·陕西洛南)如果关于x 的方程(m ﹣3)x |m ﹣1|﹣x +3=0是一元二次方程,求m 的值.【答案】由题意,得|m ﹣1|=2且m ﹣3≠0.解得m =﹣3.即m 的值是﹣3.20.(2020·全国初三课时练习)已知m 是方程x 2-x -2=0的一个实数根,求代数式()221m m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值. 【答案】解:∵m 是方程x 2-x -2=0的根,∴m 2-m -2=0,即m 2-m =2,m 2-2=m .∴()()222221121224m m m m m m m m m m ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫--+=-+=+=⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21.(2020·全国初三课时练习)若m 是一元二次方程||120a x x ---=的一个实数根. (1)求a 的值;(2)不解方程,求代数式()221m m m m ⎛⎫-⋅-+ ⎪⎝⎭的值. 【答案】(1)由于||120a x x ---=是关于x 的一元二次方程, 所以||12a -=,解得3a =±;(2)由(1)知,该方程为220x x --=, 把x =m 代入,得220m m --=,所以22m m -=,①由220m m --=,得210m m --=, 所以21m m-=,② 把①和②代入()221m m m m ⎛⎫-⋅-+ ⎪⎝⎭, 得()2212(11)4m m m m ⎛⎫-⋅-+=⨯+= ⎪⎝⎭, 即()2214m m m m ⎛⎫-⋅-+= ⎪⎝⎭.。

2021年九年级数学中考复习专题之圆:切线长定理综合运用(一)

2021年九年级数学中考复习专题之圆:切线长定理综合运用(一)

2021年九年级数学中考复习专题之圆:切线长定理综合运用(一)一.选择题1.如图所示,P是⊙O外一点,PA,PB分别和⊙O切于A,B两点,C是上任意一点,过C作⊙O的切线分别交PA,PB于D,E.若△PDE的周长为12,则PA的长为()A.12 B.6 C.8 D.42.如图,△MBC中,∠B=90°,∠C=60°,MB=,点A在MB上,以AB为直径作⊙O与MC相切于点D,则CD的长为()A.B.C.2 D.33.如图中,CA,CD分别切圆O1于A,D两点,CB、CE分别切圆O2于B,E两点.若∠1=60°,∠2=65°,判断AB、CD、CE的长度,下列关系何者正确()A.AB>CE>CD B.AB=CE>CD C.AB>CD>CE D.AB=CD=CE4.如图,AB、AC是⊙O的切线,B、C为切点,∠A=50°,点P是圆上异于B、C,且在上的动点,则∠BPC的度数是()A.65°B.115°C.115°或65°D.130°或65°5.如图,半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上,且与其余三边BC、CD、DA相切,若BC=2,DA=3,则AB的长()A.等于4 B.等于5 C.等于6 D.不能确定6.如图,已知PA,PB分别切⊙O于点A、B,∠P=60°,PA=8,那么弦AB的长是()A.4 B.8 C.4D.87.如图所示,PA,PB是⊙O的切线,且∠APB=40°,下列说法不正确的是()A.PA=PB B.∠APO=20°C.∠OBP=70°D.∠AOP=70°8.如图,⊙O是△ABC的内切圆,点D、E分别为边AC、BC上的点,且DE为⊙O的切线,若△ABC的周长为25,BC的长是9,则△ADE的周长是()A.7 B.8 C.9 D.169.如图,半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上,且与其余三边BC,CD,DA相切,若AB=10,BC=4,则AD的长()A.4 B.5 C.6 D.710.已知:如图,以定线段AB为直径作半圆O,P为半圆上任意一点(异于A、B),过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C,连接OC、BP,过点O作OM∥CD分别交BC与BP于点M、N.下列结论:①S四边形ABCD=AB•CD;②AD=AB;③AD=ON;④AB为过O、C、D三点的圆的切线.其中正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个二.填空题11.如图,⊙O是四边形ABCD的内切圆,连接OA、OB、OC、OD.若∠AOB=108°,则∠COD的度数是.12.一个菱形的周长是20cm,两对角线之比是4:3,则该菱形的内切圆的半径是cm.13.如图,P是⊙O的直径AB的延长线上一点,PC、PD切⊙O于点C、D.若PA=6,⊙O的半径为2,则∠CPD=.14.如图,已知:PA、PB、EF分别切⊙O于A、B、D,若PA=10cm,那么△PEF周长是cm.若∠P=35°,那么∠AOB=,∠EOF=.15.如图,P是⊙O外的一点,PA、PB分别与⊙O相切于点A、B,C是上的任意一点,过点C的切线分别交PA、PB于点D、E,若△PDE的周长是10,则PA=.三.解答题16.已知:如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别是A、B,Q为AB上一点,过Q点作⊙O的切线,交PA、PB于E、F点,已知PA=12cm,求△PEF的周长.17.如图,AC是⊙O的直径,∠ACB=60°,连接AB,分别过A、B作圆O的切线,两切线交于点P,若已知⊙O的半径为1,求△PAB的周长.18.如图,点B在⊙O外,以B点为圆心,OB长为半径画弧与⊙O相交于两点C,D,与直线OB相交A点.当AC=5时,求AD的长.19.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,以AB为直径的⊙O与DC相切于E.已知AB=8,边BC比AD大6.(1)求边AD、BC的长;(2)在直径AB上是否存在一动点P,使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似?若存在,求出AP的长;若不存在,请说明理由.20.如图,P是⊙O外的一点,PA、PB分别与⊙O相切于点A、B,C是上的任意一点,过点C的切线分别交PA、PB于点D、E.(1)若PA=4,求△PED的周长;(2)若∠P=40°,求∠AFB的度数.参考答案一.选择题1.解:∵PA,PB分别和⊙O切于A,B两点,∴PA=PB,∵DE是⊙O的切线,∴DA=DC,EB=EC,∵△PDE的周长为12,即PD+DE+PE=PD+DC+EC+PE=PD+AD+EB+PE=PA+PB=2PA=12,∴PA=6.故选:B.2.解:在直角△BCM中,tan60°==,得到BC==2,∵AB为圆O的直径,且AB⊥BC,∴BC为圆O的切线,又CD也为圆O的切线,∴CD=BC=2.故选:C.3.解:∵∠1=60°,∠2=65°,∴∠ABC=180°﹣∠1﹣∠2=180°﹣60°﹣65°=55°,∴∠2>∠1>∠ABC,∴AB>BC>AC,∵CA,CD分别切圆O1于A,D两点,CB、CE分别切圆O2于B,E两点,∴AC=CD,BC=CE,∴AB>CE>CD.故选:A.4.解:如图,连接OB、OC,∵AB、AC是⊙O的切线,∴∠OBA=∠OCA=90°,∵∠A=50°,∴∠BOC=130°,∵∠BOC=2∠P,∴∠BPC=65°;故选:C.5.解:如图,连接OC,OD,设⊙O的半径为r,∵BC、CD、DA与半⊙O相切,∴AD边上的高和AO边上的高都为r,∴AO=AD,同理BO=BC,∴AB=AO+BO=AD+BC=2+3=5.故选:B.6.解:∵PA,PB分别切⊙O于点A、B,∴PA=PB,又∠P=60°,∴△APB是等边三角形,∴AB=PA=8.故选:B.7.解:∵PA,PB是⊙O的切线,且∠APB=40°,∴PA=PB,∠APO=∠BPO,∠A=∠B=90°,∴∠OBP=∠OAP,∴C是错误的.故选:C.8.解:∵AB、AC、BC、DE都和⊙O相切,∴BI=BG,CI=CH,DG=DF,EF=EH.∴BG+CH=BI+CI=BC=9,∴C△ADE=AD+AE+DE=AD+AE+DF+EF=AD+DG+EH+AE=AG+AH=C△ABC﹣(BG+EH+BC)=25﹣2×9=7.故选:A.9.解:连接OC,OD,设⊙O的半径为r,∵BC、CD、DA与半⊙O相切,∴AD和AO的高为r,∴AO=AD,同理BO=BC,∴AB=AO+BO=AD+BC,又知AB=10,BC=4,故知AD=6,故选:C.10.解:连接OD、AP,∵DA、DP、BC分别是圆的切线,切点分别是A、P、B,∴DA=DP,CP=CB,∠A=90°=∠B=∠DPO,∴AD+BC=DP+CP=CD,∴S四边形ABCD=(AD+BC)•AB=AB•CD,∴①正确;∵AD=DP<OD,∵四边形ODPN是平行四边形,得到OD=NP<BP<AB,则AD<AB,∴②错误;∵AB是圆的直径,∴∠APB=90°,∵DP=AD,AO=OP,∴D、O在AP的垂直平分线上,∴OD⊥AP,∵∠DPO=∠APB=90°,∴∠OPB=∠DPA=∠DOP,∵OM∥CD,∴∠POM=∠DPO=90°,在△DPO和△NOP中∠PON=∠DPO,OP=OP,∠DOP=∠OPN,∴△DPO≌△NOP,∴ON=DP=AD,∴③正确;∵AP⊥OD,OA=OP,∴∠AOD=∠POD,同理∠BOC=∠POC,∴∠DOC=×180°=90°,∴△CDO的外接圆的直径是CD,∵∠A=∠B=90°,取CD的中点Q,连接OQ,∵OA=OB,∴AD∥OQ∥BC,∴∠AOQ=90°,∴④正确.故选:C.二.填空题(共5小题)11.解:如图所示:连接圆心与各切点,在Rt△DEO和Rt△DFO中,∴Rt△DEO≌Rt△DFO(HL),∴∠1=∠2,同理可得:Rt△AFO≌Rt△AMO,Rt△BMO≌Rt△BNO,Rt△CEO≌Rt△CNO,∴∠3=∠4,∠5=∠7,∠6=∠8,∴∠5+∠6=∠7+∠8=108°,∴2∠2+2∠3=360°﹣2×108°,∴∠2+∠3=∠DOC=72°.故答案为:72°.12.解:如图所示:菱形ABCD,对角线AC,BD,可得菱形内切圆的圆心即为对角线交点,设AB与圆相切于点E,可得OE⊥AB,∵一个菱形的周长是20cm,两对角线之比是4:3,∴AB=5cm,设BO=4x,则AO=3x,故(4x)2+(3x)2=25,解得:x=1,则AO=3,BO=4,故EO•AB=AO•BO,解得:EO=.故答案为:.13.解:∵PA=6,⊙O的半径为2,∴PB=PA﹣AB=6﹣4=2,∴OP=4,∵PC、PD切⊙O于点C、D.∴∠OPC=∠OPD,∴CO⊥PC,∴sin∠OPC==,∴∠OPC=30°,∴∠CPD=60°,故答案为:60°.14.解:∵PA、PB、EF分别切⊙O于A、B、D.∴AE=ED,DF=FR∴△PEF周长是PE+PF+EF=PE+EA+PF+FR=PA+PR=2PA=20cm;∵PA、PB、EF分别切⊙O于A、B∴∠PAO=∠PRO=90°∴∠AOB=360°=90°﹣90°﹣35°=145°;∴∠EOF=∠AOB=72.5°故答案是:20,145°,72.5°.15.解:∵DA,DC都是圆O的切线,∴DC=DA,同理EC=EB,PA=PB,∴△PDE的周长=PD+PE+DE=PD+DC+PE+BE=PA+PB=2PA=10,∴PA=5;故答案为5.三.解答题(共5小题)16.解:∵PA、PB是⊙O的切线,切点分别是A、B,∴PA=PB=12,∵过Q点作⊙O的切线,交PA、PB于E、F点,∴EB=EQ,FQ=FA,∴△PEF的周长是:PE+EF+PF=PE+EQ+FQ+PF,=PE+EB+PF+FA=PB+PA=12+12=24,答:△PEF的周长是24.17.解:∵PA,PB是圆O的切线.∴PA=PB,∠PAB=60°∴△PAB是等边三角形.在直角△ABC中,AB=AC•sin60°=2×=∴△PAB的周长为PA+PB+AB=3.18.解:连接OC、OD.∵OA是⊙B的直径,∴∠OCA=∠ODA=90°,∴AC、AD都是⊙O的切线.∴AD=AC=5.19.解:(1)方法1:过D作DF⊥BC于F,在Rt△DFC中,DF=AB=8,FC=BC﹣AD=6,∴DC2=62+82=100,即DC=10.(1分)设AD=x,则DE=AD=x,EC=BC=x+6,∴x+(x+6)=10.∴x=2.∴AD=2,BC=2+6=8.(4分)方法2:连OD、OE、OC,由切线长定理可知∠DOC=90°,AD=DE,CB=CE,设AD=x,则BC=x+6,由射影定理可得:OE2=DE•EC.(2分)即:x(x+6)=16,解得x1=2,x2=﹣8,(舍去)∴AD=2,BC=2+6=8.(4分)(2)存在符合条件的P点.设AP=y,则BP=8﹣y,△ADP与△BCP相似,有两种情况:①△ADP∽△BCP时,∴y=;(6分)②△ADP∽△BPC时,∴y=4.(7分)故存在符合条件的点P,此时AP=或4.(8分)20.解:(1)∵DA,DC都是圆O的切线,∴DC=DA,同理EC=EB,∵P是⊙O外的一点,PA、PB分别与⊙O相切于点A、B∴PA=PB,∴三角形PDE的周长=PD+PE+DE=PD+DC+PE+BE=PA+PB=2PA=8,即三角形PDE的周长是8;(2)连接AB,∵PA=PB,∴∠PAB=∠PBA,∵∠P=40°,∴∠PAB=∠PBA=(180﹣40)=70°,∵BF⊥PB,BF为圆直径∴∠ABF=∠PBF=90°﹣70°=20°∴∠AFB=90°﹣20°=70°.答:(1)若PA=4,△PED的周长为8;(2)若∠P=40°,∠AFB的度数为70°.。

2021年九年级数学中考复习专题之圆:切割线定理综合运用(一)

2021年九年级数学中考复习专题之圆:切割线定理综合运用(一)

2021年九年级数学中考复习专题之圆:切割线定理综合运用(一)一.选择题1.P是⊙O外一点,PA切⊙O于A,割线PBC交⊙O于点B、C,若PB=BC=3,则PA的长是()A.9 B.3 C.D.182.如图,PA切⊙O于点A,PBC是⊙O的一条割线,且PA=2,BC=2PB,那么PB 的长为()A.2 B.C.4 D.3.如图,⊙O的两条割线PAB,PCD分别交⊙O于点A,B和点C,D.已知PA=6,AB=4,PC=5,则CD=()A.B.C.7 D.244.如图,已知P为⊙O外一点,PO交⊙O于点A,割线PBC交⊙O于点B、C,且PB =BC,若OA=7,PA=4,则PB的长等于()A.B.C.6 D.5.如图,PA切⊙O于点A,PBC是⊙O的割线,如果PB=2,PC=8,那么PA的长为()A.2 B.4 C.6 D.6.如图,在▱ABCD中,过A、B、C三点的圆交AD于E,且与CD相切.若AB=4,BE =5,则DE的长为()A.3 B.4 C.D.7.如图,在以O为圆心的两个同心圆中,A为大圆上任意一点,过A作小圆的割线AXY,若AX•AY=4,则图中圆环的面积为()A.16πB.8πC.4πD.2π8.如图,A、B、C、D为⊙O上的点,直线BA与DC相交于点P,PA=2,PC=CD=3,则PB=()A.6 B.7 C.8 D.99.以半圆中的一条弦BC(非直径)为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D,若,且AB=10,则CB的长为()A.B.C.D.410.如图,从圆O外一点P引圆O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.如果∠APB =60°,PA=8,那么点P与O间的距离是()A.16 B.C.D.二.填空题11.如图,⊙O的半径为,A、B两点在⊙O上,切线AQ和BQ相交于Q,P是AB 延长线上任一点,QS⊥OP于S,则OP•OS=.12.如图,过点P引圆的两条割线PAB和PCD,分别交圆于点A,B和C,D,连接AC,BD,则在下列各比例式中,①;②;③,成立的有(把你认为成立的比例式的序号都填上).13.如图,割线PAB与⊙O交于点A、B,割线PCD与⊙O交于点C、D,PA=PC,PB=3cm,则PD=cm.14.如图,过⊙O外一点P作两条割线,分别交⊙O于A,B和C,D.已知PA=2,PB =5,PD=8,则PC的长是.15.如图,AC为⊙O的直径,PA是⊙O的切线,切点为A,PBC是⊙O的割线,∠BAC 的平分线交BC于D点,PF交AC于F点,交AB于E点,要使AE=AF,则PF应满足的条件是(只需填一个条件).三.解答题16.如图,AB是⊙O的直径,C是AB延长线上的一点,CD是⊙O的切线,D为切点,过点B作⊙O的切线交CD于点E.若AB=CD=2,求CE的长.17.如图所示,⊙O的内接△ABC的AB边过圆心O,CD切⊙O于C,BD⊥CD于D,交⊙O于F,CE⊥AB于点E,FE交⊙O于G.解答下列问题:(1)若BC=10,BE=8,求CD的值;(2)求证:DF•DB=EG•EF.18.如图1,已知Rt△ABC的直角边AC的长为2,以AC为直径的⊙O与斜边AB交于点D,过D点作⊙O的切线(1)求证:BE=DE;(2)延长DE与AC的延长线交于点F,若DF=,求△ABC的面积;(3)从图1中,显然可知BC<AC.试分别讨论在其它条件不变,当BC=AC(图2)和BC>AC(图3)时,直线DE与直线AC还会相交吗?若不能相交,请简要说明理由;若能相交,设交点为F'且DF'=,请再求出△ABC的面积.19.已知:如图,PF是⊙O的切线,PE=PF,A是⊙O上一点,直线AE、AP分别交⊙O 于B、D,直线DE交⊙O于C,连接BC,(1)求证:PE∥BC;(2)将PE绕点P顺时针旋转,使点E移到圆内,并在⊙O上另选一点A,如图2.其他条件不变,在图2中画出完整的图形.此时PE与BC是否仍然平行?证明你的结论.20.如图PAB、PCD是⊙O的两条割线,AB是⊙O的直径.(1)如图甲,若PA=8,PC=10,CD=6.①求sin∠APC的值;②sin∠BOD=;(2)如图乙,若AC∥OD.①求证:CD=BD;②若,试求cos∠BAD的值.参考答案一.选择题1.解:∵PB=BC=3,∴PC=6,∵PA2=PB•PC=18,∴PA=3,故选:C.2.解:设PB=x,则PC=3x,∵PA2=PB•PC,PA=2,BC=2PB,∴x•3x=12,∴x=2.故选:A.3.解:由于PAB、PCD都是⊙O的割线,根据切割线定理可得:PA•PB=PC•PD,即PA•(PA+PB)=PC•PD,∵PA=6,AB=4,PC=5,∴PD=12,即CD=PD﹣PC=7;故选:C.4.解:延长PO交圆于D;设PB=BC=x,∵PB•PC=PA•PD,PB=BC,OA=7,PA=4,∴x•2x=72,∴x=6.故选:C.5.解:∵PA切⊙O于点A,PBC是⊙O的割线,∴PA2=PB•PC=16,即PA=4;故选:B.6.解:连接CE;∵,∴∠BAE=∠EBC+∠BEC;∵∠DCB=∠DCE+∠BCE,由弦切角定理知:∠DCE=∠EBC,由平行四边形的性质知:∠DCB=∠BAE,∴∠BEC=∠BCE,即BC=BE=5,∴AD=5;由切割线定理知:DE=DC2÷DA=,故选:D.7.解:过点A作圆的切线AD,切点是D,∵AD2=AX•AY,AX•AY=4,∴AD=2,∴圆环的面积=πAD2=4π.故选:C.8.解:∵PB,PD是⊙O的割线,∴PA•PB=PC•PD,∵PA=2,PC=CD=3,∴2PB=3×6解得:PB=9.故选:D.9.解:如图,若,且AB=10,∴AD=4,BD=6,作AB关于直线BC的对称线段A′B,交半圆于D′,连接AC、CA′,可得A、C、A′三点共线,∵线段A′B与线段AB关于直线BC对称,∴AB=A′B,∴AC=A′C,AD=A′D′=4,A′B=AB=10.而A′C•A′A=A′D′•A′B,即A′C•2A′C=4×10=40.则A′C2=20,又∵A′C2=A′B2﹣CB2,∴20=100﹣CB2,∴CB=4.故选:A.10.解:连接OA,OP∵PA,PB是⊙O的切线,∠APB=60°,∴∠OPA=∠APB=30°,OA⊥OP,∴OP===,∴点P与O间的距离是.故选:B.二.填空题(共5小题)11.解:连接OQ交AB于M,则OQ⊥AB,连接OA,则OA⊥AQ.∵∠QMP=∠QSP=90°,∴S,P,Q,M四点共圆,故OS•OP=OM•OQ.又∵OM•OQ=OA2=2,∴OS•OP=2.故答案为:2.12.解:∵四边形ABCD是圆内接四边形∴∠PAD=∠C,∠PAD=∠B∴△PAD∽△PCB根据相似三角形的对应边的比相等,得到②③是正确的.13.解:∵PA•PB=PC•PD,PA=PC,PB=3cm∴PB=PD=3cm.14.解:∵PA•PB=PC•PD,PA=2,PB=5,PD=8∴PC==.15.解:∵∠PAC=90°,∠ABC=90°,∴90°﹣∠AFP=90°﹣∠BEP,∴∠APF=∠CPF,∴PF平分∠APC.三.解答题(共5小题)16.解:如图,由切割线定理,得CD2=CB•CA,(2分)CD2=CB(AB+CB),CB2+2CB﹣4=0,解得CB=(负数舍去)连接OD,则OD⊥CD,又EB与⊙O相切,∴EB⊥OC,∴Rt△ODC∽Rt△EBC,(6分)于是,即∴CE=.17.(1)解:∵AB为直径,BD⊥CD∴∠ABC+∠A=90°,∠CBD+∠BCD=90°∵CD为⊙O切线∴∠BCD=∠A∴∠ABC=∠BCD∵CD⊥BD,CE⊥BE∴CE=CD∴CE==6∴CD=6(2)证明:∵CD为切线,BD为割线∴CD2=DF•DB①∵∠ACB=90°,CE⊥AB∴RT△ACE∽RT△CBE∴CE2=EA•EB②∵EG•EF=EA•EB③由①②③及CD=CE得DF•DB=EG•EF.18.(1)证明:连接OD,∴OD⊥DE,∴∠ADO+∠BDE=90°,∵OA=OD,∴∠A=∠ADO,∵∠ACB=90°,∴∠B+∠A=90°,∴∠B=∠BDE,∴BE=DE;(2)解:在直角三角形ODF中,OD=1,DF=,∴∠OFD=30°,∴OF=2,AF=3.∴tan∠A=,∴BC=AC•tan∠A=2×tan30°=.S△ABC=AC•BC=×2×=;(3)解:如图,当BC=AC时,直线DE与直线AC平行;当BC>AC时,在直角三角形ODF′中,OD=1,DF′=,∴∠OF′D=30°,∴OF′=2,AF=1,∴CF′=3,∠BAC=60°,∴tan∠BAC=,∴BC=AC•tan∠BAC=2×tan60°=2.S △ABC=AC•BC=×2×2=2.19.(1)证明:∵PF与⊙O相切,∴PF2=PD•PA.∵PE=PF,∴PE2=PD•PA.∴PE:PD=PA:PE.∵∠APE=∠APE,∴△EPD∽△APE.∴∠PED=∠A.∵∠ECB=∠A,∴∠PED=∠ECB.∴PE∥BC.(2)解:PE与BC仍然平行.证明:画图如图,∵△EPD∽△APE,∴∠PEA=∠D.∵∠B=∠D,∴∠PEA=∠B.∴PE∥BC.20.解:(1)作OE⊥CD于E,连接OC,作DF⊥PB于F.①根据垂径定理,得CE=3.设圆的半径是r.根据勾股定理,得OP2﹣PE2=OC2﹣CE2,(8+r)2﹣169=r2﹣9,解得r=6.则OE=3.则sin∠APC==;②设OF=x.根据勾股定理,得PD2﹣PF2=OD2﹣OF2,256﹣(14+x)2=36﹣x2,解得x=.所以DF=.所以sin∠BOD===.(2)①∵AC∥OD,∴∠1=∠2.又OA=OD,∴∠2=∠3.∴∠1=∠3.所以弧CD=弧BD,所以CD=BD;②∵AC∥OD,∴=.又CD=BD,AB=2OA,∴=.∴cos∠BAD==.。

人教版九年级上册数学专题复习(九个专题)

人教版九年级上册数学专题复习(九个专题)

人教版九年级上册数学专题复习(九个专题)专题一:解一元二次方程1、直接开方解法1)$x-6+\sqrt{3}=2\sqrt{2}$解:移项得$x=6-2\sqrt{2}-\sqrt{3}$2)$(x-3)^2=2$解:两边开方得$x-3=\pm\sqrt{2}$,即$x=3\pm\sqrt{2}$ 2、用配方法解方程1)$x+2x-1=0$解:合并同类项得$3x-1=0$,移项得$x=\frac{1}{3}$2)$x-4x+3=0$解:合并同类项得$-3x+3=0$,移项得$x=1$3、用公式法解方程1)$2x^2-7x+3=0$解:根据一元二次方程的求根公式,$x=\frac{7\pm\sqrt{7^2-4\times2\times3}}{4}$,即$x=\frac{1}{2}$或$x=3$2)$x^2-x-1=0$解:同样根据求根公式,$x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$,即$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$4、用因式分解法解方程1)$3x(x-2)=2x-4$解:移项得$3x^2-6x-2x+4=0$,合并同类项得$3x^2-8x+4=0$,将其因式分解为$3(x-2)(x-\frac{2}{3})=0$,即$x=2$或$x=\frac{2}{3}$2)$2x-4=x+5$解:移项得$x=3$5、用十字相乘法解方程1)$x^2-x-90=0$解:将其因式分解为$(x-10)(x+9)=0$,即$x=10$或$x=-9$ 2)$2x^2+x-10=0$解:将其因式分解为$(2x-5)(x+2)=0$,即$x=\frac{5}{2}$或$x=-2$专题二:化简求值1、$\frac{x^2+y^2-2xy}{x-y}$,其中$x=2+1$,$y=2-1$解:将$x$和$y$的值代入得$\frac{(2+1)^2+(2-1)^2-2(2+1)(2-1)}{2+1-(2-1)}=\frac{3}{2}$2、$\frac{4x-6}{x-1}\cdot\frac{x-2}{x-1}$,任选一个数$x$代入求值解:将$x$代入得$\frac{4x-6}{x-1}\cdot\frac{x-2}{x-1}=\frac{4x^2-14x+12}{(x-1)^2}$专题三:根与系数的关系1、已知关于$x$的一元二次方程$x-4x-2k+8=0$有两个实数根$x_1$,$x_2$。

2021年九年级数学中考复习专题之圆的考察:相交弦定理的运用(一)

2021年九年级数学中考复习专题之圆的考察:相交弦定理的运用(一)

2021年九年级数学中考复习专题之圆的考察:相交弦定理的运用(一)一.选择题1.如图,⨀O的两条弦AB、CD相交于点E,AC和DB的延长线交于点P,下列结论中成立的是()A.PC•CA=PB•BD B.CE•AE=BE•EDC.CE•CD=BE•BA D.PB•PD=PC•PA2.如图,在⊙O中,弦AC,BD交于点E,连结AB、CD,在图中的“蝴蝶”形中,若AE=,AC=5,BE=3,则BD的长为()A.B.C.5 D.3.如图,⊙O的弦AB、CD相交于点P,若AP=6,BP=8,CP=4,则CD长为()A.16 B.24 C.12 D.不能确定4.如图,正方形ABCD内接于⊙O,点P在劣弧AB上,连接DP,交AC于点Q.若QP=QO,则的值为()A.B.C.D.5.如图,矩形ABCD为⊙O的内接四边形,AB=2,BC=3,点E为BC上一点,且BE=1,延长AE交⊙O于点F,则线段AF的长为()A.B.5 C.+1 D.6.如图,⊙O的弦AB、CD相交于点P,若AP=3,BP=4,CP=2,则CD长为()A.6 B.12 C.8 D.不能确定7.如图,⊙O的直径AB与弦CD交于点E,AE=6,BE=2,CD=2,则∠AED的度数是()A.30°B.60°C.45°D.36°8.如图,点P为弦AB上的一点,连接OP,过点P作PC⊥OP,PC交⊙O于C,且⊙O的半径为3.若AP=4,PB=1,则OP的长是()A.2 B.2C.D.9.在⊙O中,弦AB和CD相交于P,且AB⊥CD,如果AP=4,PB=4,CP=2,那么⊙O的直径为()A.4 B.5 C.8 D.1010.如图,圆中两条弦AC,BD相交于点P.点D是的中点,连结AB,BC,CD,若BP=,AP=1,PC=3.则线段CD的长为()A.B.2 C.D.二.填空题11.如图,⊙O中,弦AB、CD相交于点P,若AP=5,BP=4,CP=3,则DP为.12.如图,已知⊙O的两条弦AB、CD相交于点E,且E分AB所得线段比为1:3,若AB=4,DE﹣CE=2,则CD的长为.13.如图,⊙O的弦AB、CD相交于点E,若AE:DE=3:5,则AC:BD=.14.如图,在⊙O中,弦BC,DE交于点P,延长BD,EC交于点A,BC=10,BP=2CP,若=,则DP的长为.15.如图,⊙O的弦AB、CD相交于点E,若CE:BE=2:3,则AE:DE=.三.解答题16.如图,弦AB与CD相交于⊙O内一点P,PC>PD.(1)试说明:△PAC∽△PDB;(2)设PA=4,PB=3,CD=8,求PC、PD的长.17.如图,在⊙O中,弦AD,BC相交于点E,连接OE,已知AD=BC,AD⊥CB.(1)求证:AB=CD;(2)如果⊙O的直径为10,DE=1,求AE的长.18.九年级学生小刚是一个喜欢看书的好学生,他在学习完第二十四章圆后,在家里突然看到爸爸的初中数学书上居然还有一个相交弦定理(圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等),非常好奇,仔细阅读原来就是:PA•PB=PC•PD,小刚很想知道是如何证明的,可已证明部分污损看不清了,只看到辅助线的做法,分别连结AC、BD.聪明的你一定能帮他证出,请在图1中做出辅助线,并写出详细的证明过程.小刚又看到一道课后习题,如图2,AB是⊙O弦,P是AB上一点,AB=10cm,PA=4cm,OP=5cm,求⊙O的半径,愁坏了小刚,乐于助人的你肯定会帮助他,请写出详细的证明过程.19.如图,(1)已知:P为半径为5的⊙O内一点,过P点最短的弦长为8,则OP=(2)在(1)的条件下,若⊙O内有一异于P点的Q点,过Q点的最短弦长为6,且这两条弦平行,求PQ的长.(3)在(1)的条件下,过P点任作弦MN、AB,试比较PM•PN与PA•PB的大小关系,且写出比较过程.你能用一句话归纳你的发现吗?(4)在(1)的条件下,过P点的弦CD=,求PC、PD的长.20.请阅读下列材料:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.即如图1,若弦AB、CD交于点P,则PA•PB=PC•PD.请你根据以上材料,解决下列问题.已知⊙O的半径为2,P是⊙O内一点,且OP=1,过点P任作﹣弦AC,过A、C两点分别作⊙O的切线m和n,作PQ⊥m于点Q,PR⊥n于点R.(如图2)(1)若AC恰经过圆心O,请你在图3中画出符合题意的图形,并计算:的值;(2)若OP⊥AC,请你在图4中画出符合题意的图形,并计算:的值;(3)若AC是过点P的任一弦(图2),请你结合(1)(2)的结论,猜想:的值,并给出证明.参考答案一.选择题1.解:∵∠P=∠P,∠A=∠D,∴△PAB∽△PDC,∴=,∴PB•PD=PC•PA,故选:D.2.解:EC=AC﹣AE=,由相交弦定理得,AE•EC=DE•BE,则DE==,∴BD=DE+BE=,故选:B.3.解:∵AP•BP=CP•DP,∴PD=,∵AP=6,BP=8,CP=4,∴PD=12,∴CD=PC+PD=12+4=16.故选:A.4.解:如图,设⊙O的半径为r,QO=m,则QP=m,QC=r+m,QA=r﹣m.在⊙O中,根据相交弦定理,得QA•QC=QP•QD.即(r﹣m)(r+m)=m•QD,所以QD=.连接DO,由勾股定理,得QD2=DO2+QO2,即,解得所以,故选:D.5.解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=90°,∴AE===,∵BC=3,BE=1,∴CE=2,由相交弦定理得:AE•EF=BE•CE,∴EF==,∴AF=AE+EF=;故选:A.6.解:∵AP•BP=CP•DP,∴PD=,∵AP=3,BP=4,CP=2,∴PD=6,∴CD=PC+PD=2+6=8.故选:C.7.解:连接OD,过圆心O作OH⊥CD于点H.∴DH=CH=CD(垂径定理);∵CD=2,∴DH=.又∵AE=6,BE=2,∴AB=8,∴OA=OD=4(⊙O的半径);∴OE=2;∴在Rt△ODH中,OH===(勾股定理);在Rt△OEH中,sin∠OEH==,∴∠OEH=45°,即∠AED=45°.8.解:延长CP交圆于一点D,连接OC,∵PC⊥OP,∴PC=PD,∴PC2=PA•PB,∵AP=4,PB=1,∴PC2=4×1,∴PC=2,∴OP===.故选:C.9.解:∵AB⊥CD,AP=PB=4,∴CD为⊙O的直径,由相交弦定理得,PA•PB=PC•PD,即2PD=16,解得,PD=8,故选:D.10.解:连接OD交AC于H,如图,∵点D是的中点,∴OD⊥AC,AH=CH=2,∴PH=1,∵AP•PC=BP•PD,∴PD==,在Rt△PDH中,DH==,在Rt△DCH中,CD==.故选:A.二.填空题(共5小题)11.解:由相交弦定理得,PA•PB=PC•PD,∴5×4=3×DP,解得,DP=,故答案为:.12.解:∵E分AB所得线段比为1:3,AB=4,∴AE=1,EB=3,由相交弦定理得,AE•EB=CE•ED,∴1×3=CE×(CE+2),解得,CE1=1,CE2=﹣3(舍去),则CE=1,DE=2,∴CD=1+3=4,故答案为:4.13.解:∵弦AB、CD相交于点E,∴∴∠C=∠B,∠A=∠D,∴△ACE∽△DBE,∴==,故答案为:3:5.14.解:如图,作CH∥DE交AB于H.设DP=2a.∵PD∥CH,∴===,∴CH=3a,∵BD:AD=2:3,∴BD:AD=BD:BH,∴AD=BH,∴BD=AH,∴AH:AD=2:3,∴CH∥DE,∴==,∴DE=a,∴PE=a﹣2a=a,∵BC=10,BP:PC=2:1,∴PB=,PC=,∵PB•PC=PD•PE,∴5a2=,∴a=(负根已经舍弃),∴PD=2a=.故答案为.15.解:∵⊙O的弦AB、CD相交于点E,∴AE•BE=CE•DE,∴AE:DE=CE:BE=2:3,故答案为:2:3.三.解答题(共5小题)16.(1)证明:由圆周角定理得,∠A=∠D,∠C=∠B,∴△PAC∽△PDB;(2)解:由相交弦定理得到,PA•PB=PC•PD,即3×4=PC×(8﹣PC),解得,PC=2或6,则PD=6或2,∵PC>PD,∴PC=6,PD=2.17.(1)证明:如图,∵AD=BC,∴=,∴﹣=﹣,即=,∴AB=CD;(2)如图,过O作OF⊥AD于点F,作OG⊥BC于点G,连接OA、OC.则AF=FD,BG=CG.∵AD=BC,∴AF=CG.在Rt△AOF与Rt△COG中,,∴Rt△AOF≌Rt△COG(HL),∴OF=OG,∴四边形OFEG是正方形,∴OF=EF.设OF=EF=x,则AF=FD=x+1,在直角△OAF中.由勾股定理得到:x2+(x+1)2=52,解得x=5.则AF=3+1=4,即AE=AF+3=7.18.解:(1)圆的两条弦相交,这两条弦被交点分成的两条线段的积相等.已知,如图1,⊙O的两弦AB、CD相交于E,求证:AP•BP=CP•DP.证明如下:连结AC,BD,如图1,∵∠C=∠B,∠A=∠D,∴△APC∽△DPB,∴AP:DP=CP:BP,∴AP•BP=CP•DP;所以两条弦相交,被交点分成的两条线段的积相等.(2)过P作直径CD,如图2,∵AB=10,PA=4,OP=5,∴PB=10﹣4=6,PC=OC+OP=R+5,PD=OD﹣OP=R﹣5,由(1)中结论得,PA•PB=PC•PD,∴4×6=(R+5)×(R﹣5),解得R=7(R=﹣7舍去).所以⊙O的半径R=7cm.19.解:(1)连接OP,过点P作CD⊥OP于点P,连接OD.根据题意,得CD=8,OD=5.根据垂径定理,得PD=4,根据勾股定理,得OP=3;(2)根据平行线的性质和垂线的性质,知O、P、Q三点共线.根据(1)的求解方法,得OQ=4,则PQ=1或7;(3)连接AM、BN.∵∠A=∠N,∠M=∠B,∴△APM∽△NPB,∴,即PM•PN=PA•PB;(4)作直径AB,根据相交弦定理,得PC•PD=PA•PB=(5﹣3)(5+3)=16,又CD=,设PC=x,则PD=﹣x,则有x(﹣x)=16,解得x=3或x=.即PC=3或,PD=或3.20.解:(1)AC过圆心O,且m,n分别切⊙O于点A,C,∴AC⊥m于点A,AC⊥n于点C.∵PQ⊥m于点Q,PR⊥n于点R,∴Q与A重合,R与C重合.∵OP=1,AC=4,∴PQ=1,PR=3,∴+=1+=.(2)连接OA,∵OP⊥AC于点P,且OP=1,OA=2,∴∠OAP=30°.∴AP=.∵OA⊥直线m,PQ⊥直线m,∴OA∥PQ,∠PQA=90°.∴∠APQ=∠OAP=30°.在Rt△AQP中,PQ=,同理,PR=,∴.(3)猜想.证明:过点A作直径交⊙O于点E,连接EC,∴∠ECA=90°.∵AE⊥直线m,PQ⊥直线m,∴AE∥PQ且∠PQA=90°.∴∠EAC=∠APQ.∴△AEC∽△PAQ.∴①同理可得:②①+②,得:+=+∴=()=•=.过P作直径交⊙O于M,N,根据阅读材料可知:AP•PC=PM•PN=3,∴=.。

九年级中考数学复习专题-【圆的计算与证明】专项巩固复习(一)

九年级中考数学复习专题-【圆的计算与证明】专项巩固复习(一)

2021年九年级中考数学复习专题-【圆的计算与证明】专项巩固复习(一)一.选择题1.如图,圆O通过五边形OABCD的四个顶点.若=150°,∠A=75°,∠D=60°,则的度数为何?()A.25°B.40°C.50°D.60°2.《九章算术》总共收集了246个数学问题,这些算法要比欧洲同类算法早1500多年,对中国及世界数学发展产生过重要影响.在《九章算术》中有很多名题,下面就是其中的一道.原文:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”翻译:如图,CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD于点E.CE=1寸,AB=10寸,则可得直径CD的长为()A.13寸B.26寸C.18寸D.24寸3.若直线l与半径为5的⊙O相离,则圆心O与直线l的距离d为()A.d<5 B.d>5 C.d=5 D.d≤54.如图,将边长为6的正六边形铁丝框ABCDEF(面积记为S1)变形为以点D为圆心,CD为半径的扇形(面积记为S2),则S1与S2的关系为()A.S1=S2B.S1<S2C.S1=S2D.S1>S25.如图,一块直径为a+b的圆形钢板,从中挖去直径分别为a与b的两个圆,则剩下的钢板的面积为()A.2πab B.C.D.6.如图,已知正五边形ABCDE内接于⊙O,连结BD,CE相交于点F,则∠BFC的度数是()A.60°B.70°C.72°D.90°7.如图,在△ABC中,AB=AC.以AB为直径作半圆O,交BC于点D,交AC于点E,若∠C =70°,则∠ABE的度数是()A.50°B.65°C.70°D.80°8.如图,△ABC内接于⊙O,将沿BC翻折,交AC与点D,连接BD,若∠BAC=68°,则∠ABD的度数为()A.22°B.32°C.44°D.68°9.如图,AB是⊙O的直径,OC是⊙O的半径,点D是半圆AB上一动点(不与A、B重合),连结DC交直径AB与点E,若∠AOC=60°,则∠AED的范围为()A.0°<∠AED<180°B.30°<∠AED<120°C.60°<∠AED<120°D.60°<∠AED<150°10.如图,在圆O中,弦AB=4,点C在AB上移动,连接OC,过点C做CD⊥OC交圆O于点D,则CD的最大值为()A.2B.2 C.D.11.如图,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=8,BC=6,P是△ABC内部的一个动点,满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长的最小值为()A.B.2 C.D.12.如图,半径OA⊥弦BC于点D,将⊙O沿BC对折交AD于点E,tan∠ABE=,△ABE的面积为36,则OD的长为()A.3 B.C.4 D.二.填空题13.如图,四边形ABCD内接于⊙O,连接AC,若AC=AD,且∠DAC=50°,则∠B的度数为.14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,⊙O为ABC的内切圆,OA,OB与⊙O 分别交于点D,E,则劣弧DE的长是.15.如图,圆锥底面半径为rcm,母线长为5cm,侧面展开图是圆心角为216°的扇形,则r 为cm.16.如图,在平面直角坐标系中,点P在第一象限,以P为顶点的抛物线经过原点,与x 轴正半轴相交于点A,⊙P与y轴相切于点B,交抛物线于点C、D.若点A的坐标为(a,0),CD=b,则△PCD的周长为.(用含a、b的代数式表示)三.解答题17.如图,在△ABC中,AB=AC,以边AB为直径的⊙O交边BC于点D,交边AC于点E.过D点作DF⊥AC于点F.(1)求证:DF是⊙O的切线;(2)求证:CF=EF;(3)延长FD交边AB的延长线于点G,若EF=3,BG=9时,求⊙O的半径及CD的长.18.平面直角坐标系xOy中,对于点A和线段BC,给出如下定义:若△ABC是等腰直角三角形,则称点A为BC的“等直点”;特别的,若△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,则称点A为BC的“完美等直点”.(1)若B(﹣2,0),C(2,0),则在D(0,2),E(4,4),F(﹣2,﹣4),G(0,)中,线段BC的“等直点”是;(2)已知B(0,﹣6),C(8,0).①若双曲线y=上存在点A,使得点A为BC的“完美等直点”,求k的值;②在直线y=x+6上是否存在点P,使得点P为BC的“等直点”?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若B(0,2),C(2,0),⊙T的半径为3,圆心为T(t,0).当在⊙T内部,恰有三个点是线段BC的“等直点”时,直接写出t的取值范围.19.如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,cos C=,DC=5,BC=6,以点B为圆心,BD为半径作圆弧,分别交边CD、BC于点E、F.(1)求sin∠BDC的值;(2)联结BE,设点G为射线DB上一动点,如果△ADG相似于△BEC,求DG的长;(3)如图2,点P、Q分别为边AD、BC上动点,将扇形DBF沿着直线PQ折叠,折叠后的弧D'F'经过点B与AB上的一点H(点D、F分别对应点D',F'),设BH=x,BQ=y,求y关于x的函数关系式(不需要写定义域).20.如图,A,P,B,C是⊙O上的四个点,∠APC=∠CPB=60°.(1)求证:△ABC是等边三角形.(2)若⊙O的半径为2,求等边△ABC的边心距.21.如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=8,点P是射线AC上一点(不与点A、C重合),过P作PM⊥AB,垂足为点M,以M为圆心,MA长为半径的⊙M与边AB相交的另一个交点为点N,点Q是边BC上一点,且CQ=2CP,联结NQ.(1)如果⊙M与直线BC相切,求⊙M的半径长;(2)如果点P在线段AC上,设线段AP=x,线段NQ=y,求y关于x的函数解析式及定义域;(3)如果以NQ为直径的⊙O与⊙M的公共弦所在直线恰好经过点P,求线段AP的长.22.已知:⊙O的两条弦AB,CD相交于点M,且AB=CD.(1)如图1,连接AD.求证:AM=DM.(2)如图2,若AB⊥CD,在弧BD上取一点E,使弧BE=弧BC,AE交CD于点F,连接AD、DE.①判断∠E与∠DFE是否相等,并说明理由.②若DE=7,AM+MF=17,求△ADF的面积.参考答案一.选择题1.解:连接OB、OC,∵OA=OB=OC=OD,∴△OAB、△OBC、△OCD,皆为等腰三角形,∵∠A=75°,∠D=60°,∴∠1=180°﹣2∠A=180°﹣2×75°=30°,∠2=180°﹣2∠D=180°﹣2×60°=60°,∵=150°,∴∠AOD=150°,∴∠3=∠AOD﹣∠1﹣∠2=150°﹣30°﹣60°=60°,则的度数为60°.故选:D.2.解:连接OA,AB⊥CD,由垂径定理知,点E是AB的中点,AE=AB=5,OE=OC﹣CE=OA﹣CE,设半径为r寸,由勾股定理得,OA2=AE2+OE2=AE2+(OA﹣CE)2,即r2=52+(r﹣1)2,解得:r=13,所以CD=2r=26,即圆的直径为26寸.故选:B.3.解:∵直线l与⊙O的位置关系是相离,∴d>r,∴r=5,∴d>5,故选:B.4.解:由题意:的长度=24,∴S2=×24×6=72=18×4=18,∵S1=×6×3×6=54=18×3=18,∴S1>S2,故选:D.5.解:剩余部分是大圆面积减去两个挖去的小圆面积,即:S=()2π﹣()2π﹣()2π=π,故选:B.6.解:如图所示:∵五边形ABCDE为正五边形,∴BC=CD=DE,∠BCD=∠CDE=108°,∴∠CBD=∠CDB=∠CED=∠DCE==36°,∴∠BFC=∠BDC+∠DCE=72°.故选:C.7.解:∵AB=AC,∠C=70°,∴∠BAC=40°,∵AB是直径,∴∠BAE+∠ABE=90°,∴∠ABE=90°﹣∠BAE=90°﹣40°=50°,故选:A.8.解:∵将沿BC翻折,交AC与点D,∴∠A+∠BDC=180°,∵∠A=68°,∴∠BDC=112°,∴∠ADB=180°﹣∠BDC=68°,∴∠ABD=180°﹣68°﹣68°=44°,故选:C.9.解:如图1,当点E在线段AO上时,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∵∠AOC=60°,∴∠ADC=30°,∴∠BDE=60°,∴∠AED>∠BDE,∴∠AED>60°;如图2,当点E在线段OB上时,∵∠ADE=AOC=30°,∴∠DEB>30°,∵∠AED+∠DEB=180°,∴∠AED<150°,∴∠AED的范围为60°<∠AED<150°,故选:D.10.解:如图,连接OD,∵CD⊥OC,∴∠DCO=90°,∴CD==,当OC的值最小时,CD的值最大,OC⊥AB时,OC最小,此时D、B两点重合,∴CD=CB=AB=2,即CD的最大值为2,故选:B.11.解:取AB的中点O,连接OP,∵∠ABC=90°,∴∠ABP+∠PBC=90°,∵∠PAB=∠PBC,∴∠BAP+∠ABP=90°,∴∠APB=90°,∴OP=OA=OB(直角三角形斜边中线等于斜边一半),∴点P在以AB为直径的⊙O的一部分弧线上,连接OC交⊙O于点P,此时PC最小,其最小值为OC﹣OP,在Rt△BCO中,∵∠OBC=90°,BC=6,OP=OB=4,∴OC===2,∴PC=OC﹣OP=2﹣4.∴PC最小值为2﹣4.故选:D.12.解:连接BF,∵将⊙O沿BC对折交AD于点E,∴BE=BF,DE=DF,∵AF是⊙O的直径,∴∠ABF=90°,∴∠A+∠F=90°,∵半径OA⊥弦BC于点D,∴∠F+∠FBD=90°,∴∠EBD=∠FBD=∠A,∴∠ABE=90°﹣2∠A,连接OB,∵OA=OB,∴∠A=∠ABO,∴∠ABO=∠DBE,∴∠ABE=∠OBD,∵tan∠ABE=,∴tan∠OBD=,设OD=x,则BD=4x,则OB==x,∵DE=DF=OF﹣OD=x﹣x,∴AE=AD﹣DE=x+x﹣(﹣1)x=2x,∵△ABE的面积为36=AE•BD=×2x•4x=36,解得:x=3,∴OD=3,故选:A.二.填空题(共4小题)13.解:∵AC=AD,且∠DAC=50°,∴∠D=∠ACD==65°,∴∠B=180°﹣∠D=180°﹣65°=115°,故答案为:115°.14.解:∵∠C=90°,AC=8,BC=6,∴AB==10,∵⊙O为ABC的内切圆,∴OD==2,OB平分∠BAC,OC平分∠ABC,∴∠AOB=90°+∠C=90°+×90°=135°,∴劣弧DE的长==π.故答案为π.15.解:根据题意得2πr=,解得r=3(cm).故答案为3.16.解:过P作PE⊥OA于E,∵P为抛物线的顶点,∴OE=OA=a,连接PB,∵⊙P与y轴相切于点B,∴PB⊥OB,∴四边形PBOE是矩形,∴PB=OE=a,∴PC=PD=PB=a,∴△PCD的周长为=PC+PD+CD=a+b,故答案为:a+b.三.解答题(共6小题)17.(1)证明:如图1,连接OD,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,∵OB=OD,∴∠ABC=∠ODB,∴∠C=∠ODB,∴OD∥AC,∵DF⊥AC,∴DF⊥OD,∴DF是⊙O的切线;(2)证明:如图2,连接DE,∵四边形AEDB为圆内接四边形,∴∠CED=∠ABC,∵∠ABC=∠C,∴∠CED=∠C,∴CD=DE,∵DF⊥CE,∴CF=EF;(3)解:如图3,连接AD,∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∵AB=AC,∴CD=BD,∵OD∥AC,∴△GOD∽△GAF,∴,∴设⊙O的半径是r,则AB=AC=2r,∴AF=2r﹣3,OG=9+r,AG=9+2r,∴,∴r=,即⊙O的半径是.∴AC=AB=9,∵∠CED=∠ABC,∠ECD=∠ACB,∴△CED∽△CBA,∴,∴,∴CD=3.18.解:(1)如图1,观察图形可知:△BDC和△FBC是等腰直角三角形,所以线段BC的“等直点”是D和F,故答案为:D和F;(2)①分两种情况:i)当点A在第四象限时,如图2,∵点A为BC的“完美等直点”,∴△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,∵B(0,﹣6),C(8,0),∴OB=6,OC=8,∴BC=10,∴AB=AC=5,过A作AE⊥x轴于E,AF⊥y轴于F,∵∠BAC=∠EAF=90°,∴∠CAE=∠BAF,∵AB=AC,∠AEC=∠AFB=90°,∴△AEC≌△AFB(AAS),∴AE=AF,设AE=x,则AF=OE=x,CE=8﹣x,∴AC2=CE2+AE2,即,解得:x=1(舍)或7,∴A(7,﹣7),∴k=﹣7×7=﹣49;ii)当点A1在第一象限时,如图2,同理可得A1(1,1),∴k=1×1=1,综上,k的值是﹣49或1;②如图3,过C作PC⊥BC,交直线y=x+6于点P,过P作PE⊥x轴于E,∵∠PCB=∠PCE+∠BCO=∠BCO+∠OBC=90°,∴∠PCE=∠OBC,∵∠PEC=∠BOC=90°,∴△PEC∽△COB,∴=,设CE=3x,PE=4x,则PC=5x,AE=PE=4x,∵OA=6,∴OE=4x﹣6=8﹣3x,∴x=2,∴PC=10=BC,∵∠PCB=90°,∴△ABC是等腰直角三角形,∴点P为BC的“等直点”,且P(2,8);(3)分三种情况:①在⊙T内部,恰有三个点A,O,G是线段BC的“等直点”时,如图4,△ABC,△BCG,△OBC都是等腰直角三角形,当⊙T经过点G时,连接TG,∵OG=OC=2,TG=3,∴OT==,如图5,⊙T经过点F时,△BCF,△BCH,△BCP是等腰直角三角形时,连接TF,同理得TC=,∴OT=﹣2,∴当在⊙T内部,恰有三个点是线段BC的“等直点”时,t的取值范围﹣<t≤2﹣;②在⊙T内部,恰有三个点F,O,G是线段BC的“等直点”时,如图6,⊙T经过点A时,OT=AT﹣OA=3﹣2=1,如图7,⊙T经过点P时,连接TP,过P作PE⊥x轴于E,∴TE=,∴OT=OE﹣TE=4﹣,∴当在⊙T内部,恰有三个点是线段BC的“等直点”时,t的取值范围1≤t≤4﹣;③在⊙T内部,恰有三个点F,O,P是线段BC的“等直点”时,如图8,⊙T经过点G时,同理得:OT=,如图9,⊙T经过点O时,此时OT=3,∴在⊙T内部,恰有三个点是线段BC的“等直点”时,t的取值范围≤t<3;综上,在⊙T内部,恰有三个点是线段BC的“等直点”时,t的取值范围﹣<t≤2﹣或1≤t≤4﹣或≤t<3.19.解:(1)如图1中,连接BE,过点D作DK⊥BC于K,过点B作BJ⊥CD于J.在Rt△CDK中,∵∠DKC=90°,CD=5,cos∠C==,∴CK=3,∵BC=6,∴BK=CK=3,∵AD∥BC,∠ABC=90°,∴∠A=90°∵DK⊥BC,∴∠A=∠ABC=∠DKB=90°,∴四边形ABKD是矩形,∴AD=BK=3,∴DB=DC=5,DK===4,=•BC•DK=•CD•BJ,∵S△DCB∴BJ=,∴DJ===,∵BD=BE,BJ⊥DE,∴DJ=JE=,∴EC=CD﹣DJ=JE=5﹣=,∴sin∠BDC===.(2)如图2中,∵AD∥BC,∴∠ADG=∠DBC,∵DB=DC,∴∠DBC=∠C,∴∠ADG=∠C,∵△ADG相似△BEC,∴有两种情形:当△ADG∽△BCE时,∴=,∴=,∴DG=,当△ADG∽△ECB时,=,=,∴DG=.(3)如图3中,过点B作BJ⊥PQ交于J,连接BJ,JH,JQ,过点J作JG⊥BH于G,过点Q作QK⊥JH于K.由题意:QB=QJ=y,BJ=BD=5,∵JB=JH,JG⊥BH,∴BG=GH=x,∴JG==,∵∠GBQ=∠BGK=∠QKG=90°,∴四边形BGKQ是矩形,∴BQ=GK=y,QK=GB=x,在Rt△QKJ中,∵JQ2=QK2+KJ2,∴y2=x2+(﹣y)2,∴y=.20.(1)证明:在⊙O中,∵∠BAC与∠CPB是对的圆周角,∠ABC与∠APC是所对的圆周角,∴∠BAC=∠CPB,∠ABC=∠APC,又∵∠APC=∠CPB=60°,∴∠ABC=∠BAC=60°,∴△ABC为等边三角形;(2)过O作OD⊥BC于D,连接OB,则∠OBD=30°,∠ODB=90°,∵OB=2,∴OD=1,∴等边△ABC的边心距为1.21.(1)解:如图1,在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,AC=4,BC=8,∴,设⊙M的半径长为R,则,过M作MH⊥BC,垂足为点H,∴MH∥AC,∵MH∥AC,∴△BHM∽△BCA,∴,∵⊙M与直线BC相切,∴MA=MH,∴,∴,即.(2)如图2,∵AP=x,∴CP=4﹣x,∵CQ=2CP,∴CQ=8﹣2x,∴BQ=BC﹣CQ=8﹣(8﹣2x)=2x,过Q作QG⊥AB,垂足为点G,∵,∴,∴,同理:,∵PM⊥AB,∴∠AMP=90°,∴,∵AP=x,∴,∴,在Rt△QNG中,根据勾股定理得,QN2=NG2+QG2,∴,∴(0<x<4);(3)当点P在线段AC上,如图3,设以NQ为直径的⊙O与⊙M的另一个交点为点E,连接EN,MO,则MO⊥EN,∴∠NMO+∠ANE=90°,∵以NQ为直径的⊙O与⊙M的公共弦所在直线恰好经过点P,即P、E、N在同一直线上,又∵PM⊥AB,MA=MN,∴PN=PA,∴∠PAN=∠ANE,∵∠ACB=90°,∴∠PAN+∠B=90°,∴∠NMO=∠B,连接AQ,∵M、O分别是线段AN、NQ的中点,∴MO∥AQ∴∠NMO=∠BAQ,∴∠BAQ=∠B,∴QA=QB,在Rt△QAC中,根据勾股定理得,QA2=AC2+QC2,∴(2x)2=42+(8﹣2x)2,∴,同理:当点P在线段AC的延长线上,,即线段AP的长为或.22.(1)证明:如图1,∵AB=CD,∴=,即+=+,∴=,∴∠A=∠D,∴AM=DM;(2)①∠E与∠DFE相等.理由如下:连接AC,如图,∵弧BE=弧BC,∴∠CAB=∠EAB,∵AB⊥CD,∴AC=AF,∴∠ACF=∠AFC,∵∠ACF=∠E,∠AFC=∠DFE,∴∠DFE=∠E;②∵∠DFE=∠E,∴DF=DE=7,∵AM=DM,∴AM=MF+7,∵AM+MF=17,∴MF+7+MF=17,解得MF=5,∴AM=12,∴S=×7×12=42.△ADF。

(word完整版)九年级数学复习专题-------将军饮马专题1

(word完整版)九年级数学复习专题-------将军饮马专题1

专题一利用轴对称解决两条线短之和最小值问题一:问题的背景古希腊一位将军要从A地出发到河边(如下图MN)去饮马,然后再回到驻地B。

问怎样选择饮马地点,才能使路程最短?分析:在河边饮马的地点有许多处,把这些地点与A、B连接起来的两条线段的长度之和,就是从A地到饮马地点(P),再回到B地的路程之和。

现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的那个点来。

具体操作:在图上过A点作河边MN的垂线,垂足为C,延长AC 到A ',A '是A地对于河边MN的对称点;连结A B交河边MN于P, 那么P点就是题目所求的饮马地点。

原因:为什么饮马的地点选择在P点能使路程最短呢?因为AC= A C, AP 与BP的长度之和就是A P与B P的长度之和,即是AB的长度;而选择河边的任何其他点,如E,路程AE+EB二A 'E+BE>AB, 故P点就是符合要求的点。

(等腰三角形)(菱形)二:基本模型(K型)基础训练1、如图,正方形边长为8, M在CD上,且DM=2 N是AC上一动点,贝U ND+NM 的最小值为多少?2、如图,菱形ABCD中, / BAD=60 ,M是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,若AB长是3,则PM+PB勺最小值为多少?3、如图,已知点P是边长为2的正三角形ABC的中线AD上的动点,E是AC边的中点,则PC+PE勺最小值是多少?4、如图,在等腰直角三角形ABC中,AC=BC=2 / ACB=90 , D是BC中点,E是AB边上一动点,则EC+ED勺最小值是多少?5、如图,正三角形ABC的边长为2, M为BC中点,P为AC上一动点,贝U PB+PM 的最小值为多少?6等腰直角三角形ABC的直角边长为2,E是斜边AB的中点,P是AC边上的一动点,则PB+PM最小值为________________ 。

7、在三角形ABC中,点D,E分别为AB,AC边上的中点,BC=6 BC边上的高为4,若点P为BC边上一个动点,则三角形PDE周长的最小值是多少?8、如图,在矩形ABCD中, AD=3 / CAB=30、点P是线段AC上的动点,点Q是线段CD上的动点,贝U AQ+PQ勺最小值是多少?提咼训练1、如图,在直角三角形ABC中、/ ACB=90 , AC=6,BC=8 AD为/BAC的平分线。

九年级上数学专题复习一:待定系数法求二次函数表达式(含答案)

九年级上数学专题复习一:待定系数法求二次函数表达式(含答案)

专题复习一 待定系数法求二次函数表达式二次函数表达式的三种形式:①一般式y=ax 2+bx+c(a ≠0);②顶点式y=a(x-m)2+k(a ≠0);③交点式(分解式)y=a(x-x 1)(x-x 2),求函数表达式时要根据已知条件合理选择表达式形式.1.一抛物线和抛物线y=-2x 2的形状、开口方向完全相同,顶点坐标是(-1,3),则该抛物线的函数表达式为(B ).A.y=-2(x-1)2+3B.y=-2(x+1)2+3C.y=-(2x+1)2+3D.y=-(2x-1)2+32.如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax 2+bx+c 的图象顶点为点A(-2,-2),且过点B(0,2),则y 关于x 的函数表达式为(D ).A.y=x 2+2B.y=(x-2)2+2C.y=(x-2)2-2D.y=(x+2)2-2(第2题) (第3题) (第4题) (第8题)3.如图所示为抛物线的图象,根据图象可知,抛物线的函数表达式可能为(A ). A.y=-x 2+x+2 B.y=-21x 2-21x+2 C.y=-21x 2-21x+1 D.y=x 2-x-2 4.如图所示,二次函数y=x 2+bx+c 的图象过点B(0,-2).该二次函数的图象与反比例函数y=-x8的图象交于点A(m ,4),则这个二次函数的表达式为(A ).A.y=x 2-x-2B.y=x 2-x+2C.y=x 2+x-2D.y=x 2+x+2 5.抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)经过(1,2)和(-1,-6)两点,则a+c= -2 .6.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于A(1,0),B(3,0)两点,与y 轴交于点C(0,3),则二次函数的表达式为 y=x 2-4x+3 .7.老师给出一个函数,四位同学各指出了这个函数的一个性质:①函数的图象不经过第三象限;②函数的图象经过第一象限;③当x <2时,y 随x 的增大而减小;④当x <2时,y >0. 已知这四位同学的叙述都正确,请构造出满足上述所有性质的一个函数: y=(x-2)2(不唯一) . 8.如图所示,将Rt △AOB 绕点O 逆时针旋转90°,得到△A1OB1,若点A 的坐标为(2,1),过点A ,O ,A1的抛物线的函数表达式为 y=65x 2-67x . 9.根据下列条件求二次函数的表达式.(1)二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点的横坐标是-21,23,与y 轴交点的纵坐标是-5,求这个二次函数的表达式.(2)二次函数图象的顶点在x 轴上,且图象过点(2,-2),(-1,-8),求此函数的表达式.【答案】(1)设抛物线的函数表达式为y=a (x+21)(x-23).把点(0,-5)代入,得a ×21×(-23)=-5,解得a=320.∴抛物线的函数表达式为y=320(x+21)(x-23)=320x 2-320x-5.(2)设抛物线的函数表达式为y=a (x-k )2.把点(2,-2),(-1,-8)代入,得()()⎪⎩⎪⎨⎧-=---=-812222k a k a ,解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=592k a ,或⎩⎨⎧=-=12k a .∴抛物线的函数表达式为y=-92(x-5)2或y=-2(x-1)2.(第10题)10.在平面直角坐标系中,抛物线y=2x 2+mx+n 经过点A(0,-2),B(3,4). (1)求抛物线的函数表达式及对称轴.(2)设点B 关于原点的对称点为C ,点D 是抛物线对称轴上一动点,且点D 的纵坐标为t ,记抛物线在A ,B 两点之间的部分为图象G(包含A ,B 两点).若直线CD 与图象G 有公共点,结合函数图象,求点D 纵坐标t 的取值范围.【答案】(1)把点A(0,-2),B(3,4)代入抛物线y=2x 2+mx+n ,得⎩⎨⎧=++-=43182n m n ,解得⎩⎨⎧-=-=24n m .∴抛物线的函数表达式为y=2x 2-4x-2,对称轴为直线x=1.(第10题答图)(2)如答图所示,作出抛物线在A ,B 两点之间的图象G.由题意得C(-3,-4),二次函数y=2x 2-4x-2的最小值为-4,由函数图象得出点D 纵坐标的最小值为-4.设直线BC 的表达式为y=kx+b ,将点B ,C 的坐标代入得⎩⎨⎧-=+-=+4343b k b k ,解得⎪⎩⎪⎨⎧==034b k .∴直线BC 的表达式y=34x.当x=1时,y=34,∴t 的取值范围是-4≤t ≤34.11.已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象经过点A(1,0),B(0,-3),且对称轴为直线x=2,则这条抛物线的顶点坐标为(B ).A.(2,3)B.(2,1)C.(-2,1)D.(2,-1)12.若一次函数y=x+m 2与y=2x+4的图象交于x 轴上同一点,则m 的值为(D ). A.2 B.±2 C.2 D.±213.若所求的二次函数图象与抛物线y=2x 2-4x-1有相同的顶点,且在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大,在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小,则所求二次函数的表达式为(D ). A.y=-x 2+2x-5 B.y=ax 2-2ax+a-3(a >0) C.y=-2x 2-4x-5 D.y=ax 2-2ax+a-3(a <0)14.如图所示,已知二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过点(-1,0),(1,-2),该图象与x 轴的另一个交点为点C ,则AC 长为 3 .(第14题) (第16题)15.已知二次函数的图象经过原点及点(-2,-2),且图象与x 轴的另一个交点到原点的距离为4,那么该二次函数的表达式为 y=21x 2+2x 或y=-61x 2+32x . 16.如图所示,直线y=x+2与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,AB ⊥BC ,且点C 在x 轴上.若抛物线y=ax 2+bx+c 以点C 为顶点,且经过点B ,则这条抛物线的函数表达式为 y=21x 2-2x+2 .(第17题)17.如图所示,Rt △AOB 的直角边OA 在x 轴上,OA=2,AB=1,将Rt △AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到Rt △COD ,抛物线y=-65x 2+bx+c 经过B ,D 两点. (1)求二次函数的表达式.(2)连结BD ,点P 是抛物线上一点,直线OP 把△BOD 的周长分成相等的两部分,求点P 的坐标.【答案】(1)∵Rt △AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到Rt △COD ,∴CD=AB=1,OC=OA=2.则点B(2,1),D(-1,2),代入y=-65x 2+bx+c ,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=++-26512310c b c b ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==31021c b .∴二次函数的表达式为y=-65x 2+21x+310.(第17题答图) (2)如答图所示,∵OA=2,AB=1,∴B(2,1).∵直线OP 把△BOD 的周长分成相等的两部分,且OB=OD ,∴DQ=BQ ,即点Q 为BD 的中点,D(-1,2).∴点Q 坐标为(21,23).设直线OP 的表达式为y=kx ,将点Q 坐标代入,得21k=23,解得k=3.∴直线OP 的表达式为y=3x.由⎪⎩⎪⎨⎧++-==310216532x x y xy 得⎩⎨⎧==3111y x ,⎩⎨⎧-=-=12422y x .∴点P 的坐标为(1,3)或(-4,-12).(第18题)18.在平面直角坐标系中,抛物线y=ax 2+bx+2过B(-2,6),C(2,2)两点. (1)试求抛物线的函数表达式.(2)记抛物线的顶点为D ,求△BCD 的面积. (3)若直线y=-21x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B ,C)部分有两个交点,求b 的取值范围.【答案】(1)由题意⎩⎨⎧=++=+-22246224b a b a ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-==121b a .∴抛物线的函数表达式为y=21x 2-x+2.(2)如答图所示,∵y=21x 2-x+2=21(x-1)2+23.∴顶点D 的坐标为(1,23),对称轴为直线x=1.设直线BC 的函数表达式为y=kx+b.将B (-2,6),C (2,2)代入,得⎩⎨⎧=+=+-2262b k b k ,解得⎩⎨⎧=-=41b k .∴直线BC 的函数表达式为y=-x+4,∴对称轴与BC 的交点H(1,3).∴S △BDC=S△BDH+S △DHC =21×23×3+21×23×1=3. (3)由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=221212x x y b x y 消去y 得x 2-x+4-2b=0,当Δ=0时,直线与抛物线相切,1-4(4-2b)=0,解得b=815.当直线y=-21x+b 经过点C 时,b=3,当直线y=-21x+b 经过点B 时,b=5.∵直线y=-21x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B ,C)部分有两个交点,∴815<b ≤3.(第19题)19.【贵港】将如图所示的抛物线向右平移1个单位,再向上平移3个单位后,得到的抛物线的函数表达式为(A ).A.y=(x-1)2+1B.y=(x+1)2+1C.y=2(x-1)2+1D.y=2(x+1)2+120.【广州】已知抛物线y1=-x 2+mx+n ,直线y 2=kx+b ,y 1的对称轴与y 2交于点A(-1,5),点A 与y 1的顶点B 的距离是4. (1)求y 1的函数表达式.(2)若y 2随着x 的增大而增大,且y 1与y 2都经过x 轴上的同一点,求y 2的函数表达式. 【答案】(1)∵抛物线y1=-x 2+mx+n ,直线y 2=kx+b ,y 1的对称轴与y 2交于点A(-1,5),点A与y 1的顶点B 的距离是4.∴B(-1,1)或(-1,9).∴-()12-⨯m=-1,()()14142-⨯--⨯m n =1或9,解得m=-2,n=0或8.∴y1=-x 2-2x 或y1=-x 2-2x+8.(2)①当y1=-x 2-2x 时,抛物线与x 轴的交点是(0,0)和(-2,0).∵y 1的对称轴与y 2交于点A(-1,5),∴y 1与y 2都经过x 轴上的同一点(-2,0).把(-1,5),(-2,0)代入得⎩⎨⎧=+-=+-025b k b k ,解得⎩⎨⎧==105b k .∴y 2=5x+10.②当y1=-x 2-2x+8时,令-x 2-2x+8=0,解得x=-4或2.∵y 2随着x 的增大而增大,且过点A(-1,5),∴y 1与y 2都经过x 轴上的同一点(-4,0).把(-1,5),(-4,0)代入得⎩⎨⎧=+-=+-045b k b k ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==32035b k .∴y 2=35x+320.综上可得y 2=5x+10或y 2=35x+320.21.如图所示,直线y=-21x+2与x 轴交于点B ,与y 轴交于点C ,已知二次函数的图象经过点B ,C 和点A(-1,0). (1)求B ,C 两点的坐标. (2)求该二次函数的表达式.(3)若抛物线的对称轴与x 轴的交点为点D ,则在抛物线的对称轴上是否存在点P ,使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出点P 的坐标;如果不存在,请说明理由. (4)点E 是线段BC 上的一个动点,过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ,当点E 运动到什么位置时,四边形CDBF 的面积最大?求出四边形CDBF 的最大面积及此时点E 的坐标.(第21题) 图1 图2(第21题答图)【答案】(1)令x=0,可得y=2;令y=0,可得x=4,∴B,C 两点的坐标分别为B (4,0),C (0,2).(2)设二次函数的表达式为y=ax 2+bx+c ,将点A ,B ,C 的坐标代入表达式得⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-204160c c b a c b a ,解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=22321c b a .∴该二次函数的表达式为y=-21x 2+23x+2.(3)存在.∵y=-21x 2+23x+2=-21(x-23)2+825,∴抛物线的对称轴是直线x=23.∴OD=23.∵C (0,2),∴OC=2.在Rt △OCD 中,由勾股定理得CD=25.∵△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形,∴CP 1=DP 2=DP 3=CD.如答图1所示,作CH ⊥对称轴直线x=23于点H ,∴HP 1=HD=2,∴DP 1=4.∴P 1(23,4),P 2(23,25),P 3(23,-25). (4)如答图2所示,过点C 作CM ⊥EF 于点M ,设E (a ,-21a+2),F (a ,-21a 2+23a+2),∴EF=-21a 2+23a+2-(-21a+2)=-21a 2+2a (0≤a ≤4).∵S 四边形CDBF =S △BCD +S △CEF +S △BEF =21BD·OC+21EF·CM+21EF·BN=25+21a (-21a 2+2a )+21(4-a )(-21a 2+2a )=-a 2+4a+25=-(a-2)2+213,∴当a=2时,四边形CDBF 的面积最大,最大面积为213,此时点E 坐标为(2,1).。

2021年九年级数学中考复习专题之圆:切线的判定与性质(一)

2021年九年级数学中考复习专题之圆:切线的判定与性质(一)

2021年九年级数学中考复习专题之圆:切线的判定与性质(一)一.选择题1.下列说法中,正确的是()A.圆的切线垂直于经过切点的半径B.垂直于切线的直线必经过切点C.垂直于切线的直线必经过圆心D.垂直于半径的直线是圆的切线2.如图,直线l:y=﹣x+1与坐标轴交于A,B两点,点M(m,0)是x轴上一动点,以点M为圆心,2个单位长度为半径作⊙M,当⊙M与直线l相切时,m的值为()A.4或﹣4 B.4﹣或4+C.﹣4+或4+ D.4﹣或4+ 3.如图,直线l1∥l2,⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B.点M和点N分别是l1和l2上的动点,MN沿l1和l2平移.⊙O的半径为1,∠1=60°.下列结论错误的是()A.B.l1和l2的距离为2C.若∠MON=90°,则MN与⊙O相切D.若MN与⊙O相切,则4.如图,∠ACB=60°,半径为3的⊙O切BC于点C,若将⊙O在CB上向右滚动,则当滚动到⊙O与CA也相切时,圆心O移动的水平距离为()A.3 B.3C.6πD.5.如图,AB是⊙O的直径,=,过点C作BD的垂线交BD的延长线于点E,交BA 的延长线于点F,已知AB=2,∠F=30°,则四边形ABEC的面积是()A.2B.C.D.6.如图,⊙O的半径为3,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∠A=60°,∠D=110°,的度数是70°,直线l与⊙O相切于点A.在没有滑动的情况下,将⊙O沿l向右滚动,使O点向右移动70π,则此时⊙O与直线l相切的切点所在的劣弧是()A.B.C.D.7.已知抛物线y=a(x﹣3)2+(a≠0)过点C(0,4),顶点为M,与x轴交于A,B两点.如图所示以AB为直径作圆,记作⊙D,下列结论:①抛物线的对称轴是直线x =3;②点C在⊙D外;③直线CM与⊙D相切.其中正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个8.如图,在等边△ABC中,点O在边AB上,⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E,F是AC上的点,判断下列说法错误的是()A.若EF⊥AC,则EF是⊙O的切线B.若EF是⊙O的切线,则EF⊥ACC.若BE=EC,则AC是⊙O的切线D.若BE=EC,则AC是⊙O的切线9.如图,在矩形ABCD中,BC=8,以AB为直径作⊙O,将矩形ABCD绕点B旋转,使所得矩形A'BC'D'的边C'D'与⊙O相切,切点为E,边A'B与⊙O相交于点F.若BF=8,则CD长为()A.9 B.10 C.8D.1210.如图,在矩形ABCD中,AD=80cm,AB=40cm,半径为8cm的⊙O在矩形内且与AB、AD均相切.现有动点P从A点出发,在矩形边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动,当点P到达D点时停止移动;⊙O在矩形内部沿AD向右匀速平移,移动到与CD相切时立即沿原路按原速返回,当⊙O回到出发时的位置(即再次与AB相切)时停止移动.已知点P与⊙O同时开始移动,同时停止移动(即同时到达各自的终止位置).当⊙O到达⊙O1的位置时(此时圆心O1在矩形对角线BD上),DP与⊙O1恰好相切,此时⊙O移动了()cm.A.56 B.72 C.56或72 D.不存在二.填空题11.直线l经过点A(4,0),B(0,2),若⊙M的半径为1,圆心M在x轴上,当⊙M 与直线l相切时,则点M的坐标.12.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P是对角线AC上的动点,以点P为圆心,PC长为半径作⊙P.当⊙P与矩形ABCD的边相切时,CP的长为.13.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=16,点D在边BC上,点E在边AB 上,沿DE将△ABC折叠,使点B与点A重合,连接AD,点P是线段AD上一动点,当半径为5的⊙P与△ABC的一边相切时,AP的长为.14.如图,以△ABC的边AB为直径的⊙O恰好过BC的中点D,过点D作DE⊥AC于E,连结OD,则下列结论中:①OD∥AC;②∠B=∠C;③2OA=AC;④DE是⊙O的切线;⑤∠EDA=∠B,正确的序号是.15.如图,直线y=x﹣3交x轴于点A,交y轴于点B,点P是x轴上一动点,以点P 为圆心,以1个单位长度为半径作⊙P,当⊙P与直线AB相切时,点P的坐标是.三.解答题16.如图,三角形ABC中,AC=10,AB=12.以BC为直径作⊙O交AB于点D,交AC于点G,D为AB的中点,DF⊥AC,垂足为F,交CB的延长线于点E.(1)求证:直线EF是⊙O的切线;(2)求sin∠E的值.17.如图,圆O的直径AB=12cm,C为AB延长线上一点,点P为中点,过点B作弦BD∥CP,连接PD.(1)求证:CP与圆O相切;(2)若∠C=∠D,求四边形BCPD的面积.18.如图,在△ABC中,以AC为直径的⊙O交BC于点D,过点D作DE⊥AB于点E,延长DE交CA的延长线于点F,延长BA交⊙O于G,且∠BAF=2∠C.(1)求证:DE为⊙O的切线;(2)若tan∠EFC=,求的值.19.如图,点B为⊙O外一点,点A为⊙O上一点,点P为OB上一点且BP=BA,连接AP并延长交⊙O于点C,连接OC,OC⊥OB.(1)求证:AB是⊙O的切线;(2)若OB=10,⊙O的半径为8.求AP的长.20.如图,以△ABC的边AB为直径画⊙O,交AC于点D,半径OE∥BD,连接BE、DE、BD,BE交AC于点F,若∠DEB=∠DBC.(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)若BF=BC,求证:四边形OEDB是菱形.参考答案一.选择题1.解:A、圆的切线垂直于经过切点的半径;故本选项正确;B、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;故本选项错误;C、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心;故本选项错误;D、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线;故本选项错误;故选:A.2.解:在y=﹣x+1中,令x=0,则y=1,令y=0,则x=,∴A(0,1),B(,0),∴AB=2;如图,设⊙M与AB相切与C,连接MC,则MC=2,MC⊥AB,∵∠MCB=∠AOB=90°,∠ABO=∠CBM,∴△BMC~△BAO,∴=,即=,∴BM=4,∴OM=4﹣,或OM=4+.∴m=﹣4,m=4+.故选:C.3.解:如图1,过点N作NC⊥AM于点C,∵直线l1∥l2,⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B,⊙O的半径为1,∴CN=AB=2,∵∠1=60°,∴MN==,故A与B正确;如图3,若∠MON=90°,连接NO并延长交MA于点C,则△AOC≌△BON,故CO=NO,△MON≌△MOM′,故MN上的高为1,即O到MN的距离等于半径.故C正确;如图2,∵MN是切线,⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B,∴∠AMO=∠1=30°,∴AM=;∵∠AM′O=60°,∴AM′=,∴若MN与⊙O相切,则AM=或;故D错误.故选:D.4.解:设⊙O与CA相切于点P,此时和CB相切于点D,连接OC,OD、OP.∵⊙O与CA相切,⊙O与CB相切,∴∠OCD=∠ACB=30°,∵OP=OD=3,∴CD=3.故选:B.5.解:连接OD、OC、BC,如图:∵AB是⊙O的直径,AB=2,∴∠ACB=90°,OA=OB=AB=1,∵BE⊥FE,∠F=30°,∴∠ABC=90°﹣∠F=60°,∵OB=OD,∴△OBD是等边三角形,∴∠BOD=60°,∵=,∴∠AOC=∠COD=60°,∵OA=OC,∴△AOC是边长为1的等边三角形,∴AC=OA=1,∠OAC=60°,∴∠ABC=90°﹣60°=30°,∴BC=AC=,∠CBE=60°﹣30°=30°,∴CE=BC=,BE=CE=,∴四边形ABEC的面积=△ABC的面积+△BCE的面积=×1×+××=;故选:B.6.解:连结OC、OD、OA,如图,∵∠D=110°,∴∠B=180°﹣∠D=70°,∴∠AOC=2∠B=140°,∵∠A=60°,∴∠BOD=120°,∵的度数是70°,∴∠COD=70°,∴∠AOD=70°,∠BOC=50°,∴AD弧的长度==π,∴BC弧的长度==π,∵70π=6π•12﹣2π,而2π>π,∴向右移动了70π,此时与直线l相切的弧为.故选:C.7.解:由抛物线y=a(x﹣3)2+可知:抛物线的对称轴x=3,故①正确;∵抛物线y=a(x﹣3)2+过点C(0,4),∴4=9a+,解得:a=﹣,∴抛物线的解析式为y=﹣(x﹣3)2+,令y=0,则﹣(x﹣3)2+=0,解得:x=8或x=﹣2,∴A(﹣2,0),B(8,0);∴AB=10,∴AD=5,∴OD=3∵C(0,4),∴CD==5,∴CD=AD,∴点C在圆上,故②错误;由抛物线y=a(x﹣3)2+可知:M(3,),∵C(0,4),∴直线CM为y=x+4,直线CD为:y=﹣x+4,∴CM⊥CD,∵CD=AD=5,∴直线CM与⊙D相切,故③正确;故选:C.8.解:A、如图,连接OE,则OB=OE,∵∠B=60°∴∠BOE=60°,∵∠BAC=60°,∴∠BOE=∠BAC,∴OE∥AC,∵EF⊥AC,∴OE⊥EF,∴EF是⊙O的切线∴A选项正确B、∵EF是⊙O的切线,∴OE⊥EF,由A知:OE∥AC,∴AC⊥EF,∴B选项正确;C、∵∠B=60°,OB=OE,∴BE=OB,∵BE=CE,∴BC=AB=2BO,∴AO=OB,如图,过O作OH⊥AC于H,∵∠BAC=60°,∴OH=AO≠OB,∴C选项错误;D、如图,∵BE=EC,∴CE=BE,∵AB=BC,BO=BE,∴AO=CE=OB,∴OH=AO=OB,∴AC是⊙O的切线,∴D选项正确.故选:C.9.解:连接OE,延长EO交BF于点M,∵C'D'与⊙O相切,∴∠OEC′=90°,又矩形A'BC'D'中,A'B∥C'D',∴∠EMB=90°,∴BM=FM,∵矩形ABCD绕点B旋转所得矩形为A′BC′D′,∴∠C′=∠C=90°,AB=CD,BC=B′C=8,∴四边形EMBC'为矩形,∴ME=8,设OB=OE=x,则OM=8﹣x,∵OM2+BM2=OB2,∴(8﹣x)2+42=x2,解得x=5,∴AB=CD=10.故选:B.10.解:存在这种情况,设点P移动速度为v1cm/s,⊙O2移动的速度为v2cm/s,由题意,得==,如图②:设直线OO1与AB交于E点,与CD交于F点,⊙O1与AD相切于G点,若PD与⊙O1相切,切点为H,则O1G=O1H.易得△DO1G≌△DO1H,∴∠ADB=∠BDP.∵BC∥AD,∴∠ADB=∠CBD∴∠BDP=∠CBD,∴BP=DP.设BP=xcm,则DP=xcm,PC=(80﹣x)cm,在Rt△PCD中,由勾股定理,得PC2+CD2=PD2,即(80﹣x)2+402=x2,解得x=50,此时点P移动的距离为40+50=90(cm),∵EF∥AD,∴△BEO1∽△BAD,∴=,即=,EO1=64cm,OO1=56cm.①当⊙O首次到达⊙O1的位置时,⊙O移动的距离为40cm,此时点P与⊙O移动的速度比为==,∵≠,∴此时PD与⊙O1不能相切;②当⊙O在返回途中到达⊙O1位置时,⊙O移动的距离为2(80﹣16)﹣56=72(cm),∴此时点P与⊙O移动的速度比为==,此时PD与⊙O1恰好相切.此时⊙O移动了72cm,故选:B.二.填空题(共5小题)11.解:∵直线l经过点A(4,0),B(0,2),∴AB==2,设M坐标为(m,0)(m>0),即OM=m,若M′在A点左侧时,AM′=4﹣m,当AB是⊙O的切线,∴∠M′C′A=90°,∵∠M′AC′=∠BAO,∠M′C′A=∠BOA=90°,∴△M′AC′∽△BAO,∴=,即=,解得:m=4﹣,此时M′(4﹣,0);若M在A点右侧时,AM=m﹣4,同理△AMN∽△BAO,则有=,即=,解得:m=4+.此时M(4+,0),综上所述,M(4﹣,0)或(4+,0),故答案为:M(4﹣,0)或(4+,0),12.解:作PE⊥AD于E,PF⊥AB于F,在Rt△ABC中,AC==5,由题意可知,⊙P只能与矩形ABCD的边AD、AB相切,当⊙P与AD相切时,PE=PC,∵PE⊥AD,CD⊥AD,∴PE∥CD,∴△APE∽△ACD,∴=,即=,解得,CP=,当⊙P与AB相切时,PF=PC,∵PF⊥AB,CB⊥AB,∴PF∥BC,∴△APE∽△ACD,∴=,即=,解得,CP=,综上所述,当⊙P与矩形ABCD的边相切时,CP的长或,故答案为:或.13.解:设BD=x,由折叠知AD=BD=x,CD=16﹣x,在Rt△ACD中,由勾股定理得,x2=82+(16﹣x)2,解得,x=10,∴BD=10,∵AB=,∴AE=BE=AB=4,∴DE=,∴点P是线段AD上运动时,⊙P不可能与AB相切,分两种情况:①当⊙P与AC相切时,过点P作PF⊥AC于点F,如图1,∴PF=5,PF∥CD,∴△APF∽△ADC,∴,即,∴;②⊙P与BC相切时,过点P作PG⊥BC于点G,如图2,∴PG=5,PG∥AC,∴△DPG∽△DAC,∴,即,∴DP=,∴AP=10﹣,综上,AP的长为或.14.解:连接AD,∵D为BC中点,点O为AB的中点,∴OD为△ABC的中位线,∴OD∥AC,①正确;∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°=∠ADC,即AD⊥BC,又BD=CD,∴△ABC为等腰三角形,∴∠B=∠C,②正确;∵DE⊥AC,且DO∥AC,∴OD⊥DE,∵OD是半径,∴DE是⊙O的切线,∴④正确;∴∠ODA+∠EDA=90°,∵∠ADB=∠ADO+∠ODB=90°,∴∠EDA=∠ODB,∵OD=OB,∴∠B=∠ODB,∴∠EDA=∠B,∴⑤正确;∵D为BC中点,AD⊥BC,∴AC=AB,∵OA=OB=AB,∴OA=AC,∴③正确,故答案为:①②③④⑤.15.解:∵直线y=x﹣3交x轴于点A,交y轴于点B,∴令x=0,得y=﹣3,令y=0,得x=3,∴A(3,0),B(0.﹣3),∴OA=3,OB=3,∴AB=6,设⊙P与直线AB相切于D,连接PD,则PD⊥AB,PD=1,∵∠ADP=∠AOB=90°,∠PAD=∠BAO,∴△APD∽△ABO,∴=,∴=,∴AP=2,∴OP=3﹣2或OP=3+2,∴P(3﹣2,0)或P(3+2,0),故答案为(3﹣2,0)或P(3+2,0).三.解答题(共5小题)16.证明:(1)连接OD、CD,∵BC是直径,∴CD⊥AB,∵AC=BC,∴D是AB的中点,∵O为CB的中点,∴OD∥AC,∵DF⊥AC,∴OD⊥EF,∴直线EF是⊙O的切线;(2)连BG,∵BC是直径,∴∠BDC=90°,∴CD===8,∵AB•CD=2S△ABC=AC•BG,∴BG==,∴CG===,∵BG⊥AC,DF⊥AC,∴BG∥EF.∴∠E=∠CBG,∴sin∠E=sin∠CBG===.17.(1)证明:连接OP,交BD于点E,∵点P为的中点.∴BD⊥OP,∵BD∥CP,∴∠OEB=∠OPC=90°∴PC⊥OP,∴CP与⊙O相切于点P;(2)解:∵∠C=∠D,∵∠POB=2∠D,∴∠POB=2∠C,∵∠CPO=90°,∴∠C=30°,∵BD∥CP,∴∠C=∠DBA,∴∠D=∠DBA,∴BC∥PD,∴四边形BCPD是平行四边形,∵PO=AB=6,∴PC=6,∵∠ABD=∠C=30°,∴OE=OB=3,∴PE=3,∴四边形BCPD的面积=PC•PE=6×3=18.18.解:(1)连接OD,∵OC=OD,∴∠C=∠ODC,∵∠BAF=2∠C,∠BAF=∠B+∠C,∴∠B=∠C,∴∠B=∠ODC,∴AB∥OD,∵DE⊥AB,∴OD⊥DF,∴DE为⊙O的切线;(2)过O作OH⊥AG于点H,则AH=GH,EF∥OH,∴∠AOH=∠EFA,∵tan∠EFC=,∴tan∠AOH==,∴设AH=3x,则AG=2AH=6x,OH=4x,∴,∴AC=2AO=10x,OD=OA=5x,∵tan∠EFC==,设AE=3y,则EF=4y,∴AF=,∵AE∥OD,∴△AEF∽△ODF,∴,即,∴,∴AE=3y=2x,∴BE=AB﹣AE=10x﹣2x=8x,∴=.19.(1)证明:∵BP=BA,OA=OC,∴∠BAP=∠BPA,∠PAO=∠C,∵OC⊥OB,∴∠COP=90°,∴∠OPC+∠C=90°,∵∠OPC=∠BPA,∴∠BAP=∠OPC,∴∠BAP+∠OAP=90°,即∠BAO=90°,∴AB⊥OA,又∵OA为⊙O的半径,∴AB是⊙O的切线;(2)解:如图,作BD⊥AP于点D,∵⊙O的半径为8,∴CO=OA=8,由(1)得:∠BAO=90°,∴AB===6,∴BP=BA=6,∴OP=OB﹣BP=4,在Rt△CPO中,OP=4,CO=8,∴CP===4,∵BA=BP,BD⊥AP,∴AD=PD,∠BDP=90°=∠COP,∵∠BPD=∠CPO,∴△BPD∽△CPO,∴=,即=,解得:PD=,∴AP=2PD=.20.证明:(1)∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠A+∠ABD=90°,∵∠A=∠DEB,∠DEB=∠DBC,∴∠A=∠DBC,∵∠DBC+∠ABD=90°,∴BC是⊙O的切线;(2)∵OE∥BD,∴∠OEB=∠DBE,∵OE=OB,∴∠OEB=∠OBE,∴∠OBE=∠DBE,∵BF=BC,∠ADB=90°,∴∠CBD=∠EBD,∵∠DEB=∠DBC,∴∠EBD=∠DBE,∴∠DEB=∠OBE,∴ED∥OB,∵ED∥OB,OE∥BD,OE=OB,∴四边形OEDB是菱形.。

2021年九年级数学中考复习分类专题:等边三角形的判定与性质(一)

2021年九年级数学中考复习分类专题:等边三角形的判定与性质(一)

2021年九年级数学中考复习分类专题:等边三角形的判定与性质(一)一.选择题1.关于等边三角形,下列说法中错误的是()A.等边三角形中,各边都相等B.等腰三角形是特殊的等边三角形C.两个角都等于60°的三角形是等边三角形D.有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形2.如图,四边形ABCD为菱形,AB=2,∠DAB=60°,点E、F分别在边DC、BC上,且CE=CD,CF=CB,则S△CEF=()A.B.C.D.3.如图,半径为1的半圆O上有两个动点A,B,CD为直径,若AB=1,则四边形ABCD 的面积的最大值为()A.B.4C.D.4.如图,△ABC是等边三角形,P是三角形内任意一点,D、E、F分别是AC、AB、BC 边上的三点,且PF∥AB,PD∥BC,PE∥AC.若PF+PD+PE=a,则△ABC的边长为()A.a B.a C.a D.a5.如图,△MNP中,∠P=60°,MN=NP,MQ⊥PN,垂足为Q,延长MN至G,取NG=NQ,若△MNP的周长为12,MQ=a,则△MGQ周长是()A.8+2a B.8+a C.6+a D.6+2a6.如图,四边形ABCD中,AC,BD是对角线,△ABC是等边三角形.∠ADC=30°,AD=3,BD=5,则CD的长为()A.B.4 C.D.4.57.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上的点,过点D作DE⊥AB交BC于点F,交AC的延长线于点E,连接CD,∠DCA=∠DAC,则下列结论正确的有()①∠DCB=∠B;②CD=AB;③△ADC是等边三角形;④若∠E=30°,则DE=EF+CF.A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④8.如图,AB=AC,AE=EC=CD,∠A=60°,若EF=2,则DF=()A.3 B.4 C.5 D.69.如图,在边长为2的等边三角形ABC中,D为边BC上一点,且BD=CD.点E,F 分别在边AB,AC上,且∠EDF=90°,M为边EF的中点,连接CM交DF于点N.若DF∥AB,则CM的长为()A.B.C.D.10.如图,在平面直角坐标系中xOy中,已知点A的坐标是(0,1),以OA为边在右侧作等边三角形OAA1,过点A1作x轴的垂线,垂足为点O1,以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2,再过点A2作x轴的垂线,垂足为点O2,以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3,…,按此规律继续作下去,得到等边三角形O2018A2018A2019,则点A2019的纵坐标为()A.()2016B.()2017C.()2018D.()2019二.填空题11.已知半径为2的⊙O中,弦AC=2,弦AD=,则∠AOD=,∠COD =.12.如图,某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A,B两点,“九曲桥”的每一段与AC 平行或BD平行,若AB=100m,∠A=∠B=60°,则此“九曲桥”的总长度为.13.如图,在一个池塘两旁有一条笔直小路(B,C为小路端点)和一棵小树(A为小树位置).测得的相关数据为:∠ABC=60°,∠ACB=60°,BC=48米,则AC=米.14.如图,在△ABC中,AB=1.8,BC=3.9,∠B=60°,将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE,当点B的对应点D恰好落在BC边上时,则CD的长为.15.如图,在矩形ABCD中,AB=3,∠ACB=60°,点F是对角线AC上的一个动点,连接DF,以DF为斜边作∠FDE=60°的直角三角形DEF,使点E和点A位于DF两侧,点F从点A到点C的运动过程中,点E的运动路径长是.三.解答题16.如图,△ABC是等边三角形,DF⊥AB,DE⊥CB,EF⊥AC,求证:△DEF是等边三角形.17.在等边△ABC中,(1)如图1,P,Q是BC边上两点,AP=AQ,∠BAP=20°,求∠AQB的度数;(2)点P,Q是BC边上的两个动点(不与B,C重合),点P在点Q的左侧,且AP =AQ,点Q关于直线AC的对称点为M,连接AM,PM.①依题意将图2补全;②求证:PA=PM.18.如图1,图2,△ABC是等边三角形,D、E分别是AB、BC边上的两个动点(与点A、B、C不重合),始终保持BD=CE.(1)当点D、E运动到如图1所示的位置时,求证:CD=AE.(2)把图1中的△ACE绕着A点顺时针旋转60°到△ABF的位置(如图2),分别连接DF、EF.①找出图中所有的等边三角形(△ABC除外),并对其中一个给予证明;②试判断四边形CDFE的形状,并说明理由.19.如图,点O是等边△ABC内一点,D是△ABC外的一点,∠AOB=110°,∠BOC =α,△BOC≌△ADC,∠OCD=60°,连接OD.(1)求证:△OCD是等边三角形;(2)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;(3)探究:当α为多少度时,△AOD是等腰三角形.20.已知在平面直角坐标系内A(4,0)、B(2,0),点P是y轴正半轴上一个动点,联结AP.过点O作OD⊥PA,垂足为D.联结BD并延长交y轴于点F.(1)如果OD=2,求PF的长;(2)如果PD=PF,求OP的长.21.如图所示,已知一个面积为S的等边三角形,现将其各边n等分(n为大于2的整数),并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形.(1)当n=5时,共向外作出了个小等边三角形,每个小等边三角形的面积为,这些小等边三角形的面积和为;(用含S的式子表示)(2)当n=k时,共向外作出了个小等边三角形,每个小等边三角形的面积为,这些小等边三角形的面积和为;(用含k和S的式子表示)(3)若大等边三角形的面积为100,则当n=10时,共向外作出了多少个小等边三角形?这些小等边三角形的面积和为多少?参考答案一.选择题1.解:A、等边三角形中,各边都相等,此选项正确;B、等边三角形是特殊的等腰三角形,此选项错误;C、两个角都等于60°的三角形是等边三角形,此选项正确;D、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形,此选项正确;故选:B.2.解:∵四边形ABCD为菱形,AB=2,∠DAB=60°∴AB=BC=CD=2,∠DCB=60°∵CE=CD,CF=CB∴CE=CF=∴△CEF为等边三角形∴S△CEF==故选:D.3.解:过点O作OH⊥AB于点H,连接OA,OB,分别过点A、H、B作AE⊥CD、HF ⊥CD,BG⊥CD于点E、F、G,∵AB=1,⊙O的半径=1,∴OH=,∵垂线段最短,∴HF<OH,∴HF=(AE+BG),∴S四边形ABCD=S△AOC+S△AOB+S△BOD=×=,=,,故选:C.4.解:延长EP交BC于点G,延长FP交AC于点H,如图所示:∵PF∥AB,PD∥BC,PE∥AC,∴四边形AEPH、四边形PDCG均为平行四边形,∴PE=AH,PG=CD.又∵△ABC为等边三角形,∴△FGP和△HPD也是等边三角形,∴PF=PG=CD,PD=DH,∴PE+PD+PF=AH+DH+CD=AC,∴AC=a;故选:D.5.解:∵△MNP中,∠P=60°,MN=NP∴△MNP是等边三角形.又∵MQ⊥PN,垂足为Q,∴PM=PN=MN=4,NQ=NG=2,MQ=a,∠QMN=30°,∠PNM=60°,∵NG=NQ,∴∠G=∠QMN,∴QG=MQ=a,∵△MNP的周长为12,∴MN=4,NG=2,∴△MGQ周长是6+2a.故选:D.6.解:如图,以CD为边作等边△CDE,连接AE.∵∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD=∠ACE,∴在△BCD和△ACE中,,∴△BCD≌△ACE(SAS),∴BD=AE.又∵∠ADC=30°,∴∠ADE=90°.在Rt△ADE中,AE=5,AD=3,于是DE=,∴CD=DE=4.故选:B.7.解:∵在△ABC中,∠ACB=90°,DE⊥AB,∴∠ADE=∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,∠ACD+∠DCB=90°,∵∠DCA=∠DAC,∴AD=CD,∠DCB=∠B;故①正确;∴CD=BD,∵AD=CD,∴CD=AB;故②正确;∠DCA=∠DAC,∴AD=CD,但不能判定△ADC是等边三角形;故③错误;∵若∠E=30°,∴∠A=60°,∴△ACD是等边三角形,∴∠ADC=60°,∵∠ADE=∠ACB=90°,∴∠EDC=∠BCD=∠B=30°,∴CF=DF,∴DE=EF+DF=EF+CF.故④正确.故选:B.8.解:如图,过点E作EG⊥BC,交BC于点G∵AB=AC,∠A=60°,∴△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,∵EC=CD,∴∠CED=∠CDE=∠ACB=30°,∴∠AEF=30°,∴∠AFE=90°,即EF⊥AB,∵△ABC是等边三角形,AE=CE,∴BE平分∠ABC,∴EG=EF=2,在Rt△DEG中,DE=2EG=4,∴DF=EF+DE=2+4=6;方法二、∵AB=AC,∠A=60°,∴△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,∵EC=CD,∴∠CED=∠CDE=∠ACB=30°,∵△ABC是等边三角形,AE=CE,∴BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE=30°=∠CDE,∴BE=DE,∠BFD=90°,∴BE=2EF=4=DE,∴DF=DE+EF=6;故选:D.9.解:∵等边三角形边长为2,BD=CD,∴BD=,CD=,∵等边三角形ABC中,DF∥AB,∴∠FDC=∠B=60°,∵∠EDF=90°,∴∠BDE=30°,∴DE⊥BE,∴BE=BD=,DE=,如图,连接DM,则Rt△DEF中,DM=EF=FM,∵∠FDC=∠FCD=60°,∴△CDF是等边三角形,∴CD=CF=,∴CM垂直平分DF,∴∠DCN=30°,DN=FN,∴Rt△CDN中,DN=,CN=,∵M为EF的中点,∴MN=DE=,∴CM=CN+MN=+=,故选:C.10.解:∵三角形OAA1是等边三角形,∴OA1=OA=1,∠AOA1=60°,∴∠O1OA1=30°.在直角△O1OA1中,∵∠OO1A1=90°,∠O1OA1=30°,∴O1A1=OA1=,即点A1的纵坐标为;同理,O2A2=O1A2=()2,O3A3=O2A3=()3,即点A2的纵坐标为()2,点A3的纵坐标为()3,…∴点A2019的纵坐标为()2019.故选:D.二.填空题(共5小题)11.解:如图,在△AOD中,∵OA2+OD2=22+22=8,AD2=(2)2=8,∴OA2+OD2=AD2,∴∠AOD=90°;连接OC,∵OA=OC=AC=2,∴△AOC是等边三角形,∴∠AOC=60°.∴∠COD=∠AOC+∠AOD=60°+90°=150°或∠COD=∠AOD﹣∠AOC=90°﹣60°=30°.故答案为:90°;150°或30°.12.解:如图,延长AC、BD交于点E,延长HK交AE于F,延长NJ交FH于M.由题意可知,四边形EDHF,四边形MNCF,四边形MKGJ是平行四边形,∵∠A=∠B=60°,△ABC是等边三角形,∴ED=FM+MK+KH=CN+JG+HK,EC=EF+FC=JN+KG+DH,∴“九曲桥”的总长度是AE+EB=2AB=200m.故答案为:200m.13.解:∵∠ABC=60°,∠ACB=60°,∴∠BAC=60°,∴△ABC是等边三角形,∵BC=48米,∴AC=48米.故答案为:48.14.解:由旋转的性质可得:AD=AB,∵∠B=60°,∴△ABD是等边三角形,∴BD=AB,∵AB=1.8,BC=3.9,∴CD=BC﹣BD=3.9﹣1.8=2.1.故答案为:2.1.15.解:E的运动路径是线段EE'的长;∵AB=3,∠ACB=60°,∴BC=,当F与A点重合时,在Rt△ADE'中,AD=,∠ADE'=60°,∴DE'=AD=,∠CDE'=30°,当F与C重合时,∠EDC=60°,∴∠EDE'=90°,∠DEE'=30°,在Rt△DEE'中,EE'===;故答案为.三.解答题(共6小题)16.证明:∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC,∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°,∵DF⊥AB,DE⊥CB,EF⊥AC,∴∠DAB=∠ACF=∠CBE=90°,∴∠FAC=∠BCE=∠DBA=30°,∴∠D=∠E=∠F=180°﹣90°﹣30°=60°,∴DF=DE=EF,∴△DEF是等边三角形.17.解:(1)∵△ABC为等边三角形∴∠B=60°∴∠APC=∠BAP+∠B=80°∵AP=AQ∴∠AQB=∠APC=80°,(2)①补全图形如图所示,②证明:过点A作AH⊥BC于点H,如图.由△ABC为等边三角形,AP=AQ,可得∠PAB=∠QAC,∵点Q,M关于直线AC对称,∴∠QAC=∠MAC,AQ=AM∴∠MAC+∠PAC=∠PAB+∠PAC=60°,∵AP=AM,∴△APM为等边三角形∴PA=PM.18.证明:(1)∵△ABC是正三角形,∴BC=CA,∠B=∠ECA=60°,又∵BD=CE,∴△BCD≌△CAE,∴CD=AE.(2)①图中有2个正三角形,分别是△BDF,△AFE.由题设,有△ACE≌△ABF,∴CE=BF,∠ECA=∠ABF=60°,又∵BD=CE,∴BD=CE=BF,∴△BDF是正三角形,∵AF=AE,∠FAE=60°,∴△AFE是正三角形.②四边形CDFE是平行四边形.∵∠FDB=∠ABC=60°,∴FD∥EC,又∵FD=FB=EC,∴四边形CDFE是平行四边形.19.解:(1)∵△BOC≌△ADC,∴OC=DC,∵∠OCD=60°,∴△OCD是等边三角形.(2)△AOD是直角三角形.理由如下:∵△OCD是等边三角形,∴∠ODC=60°,∵△BOC≌△ADC,α=150°,∴∠ADC=∠BOC=α=150°,∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=150°﹣60°=90°,∴△AOD是直角三角形.(3)∵△OCD是等边三角形,∴∠COD=∠ODC=60°.∵∠AOB=110°,∠ADC=∠BOC=α,∴∠AOD=360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD=360°﹣110°﹣α﹣60°=190°﹣α,∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=α﹣60°,∴∠OAD=180°﹣∠AOD﹣∠ADO=180°﹣(190°﹣α)﹣(α﹣60°)=50°.①当∠AOD=∠ADO时,190°﹣α=α﹣60°,∴α=125°.②当∠AOD=∠OAD时,190°﹣α=50°,∴α=140°.③当∠ADO=∠OAD时,α﹣60°=50°,∴α=110°.综上所述:当α=110°或125°或140°时,△AOD是等腰三角形.20.解:(1)∵OD⊥PA,∴∠ADO=90°,∵OD=2,OA=4,∴OD=OA,∴∠OAP=30°,∴∠AOD=60°,∵OB=2,∴OD=OB,∴△ODB是等边三角形,∴∠OBF=60°,∴OF=OB=2,∵OP=OA=,∴PF=OF﹣OP=;(2)∵PF=PD,∴∠PFD=∠PDF,∵OB=2,OA=4,∴OB=AB,∵OD⊥AP,∴BD=AB,∴∠ADB∠BAD,∵∠PDE=∠ADB,∴∠PFD=∠PDF=∠ADB=∠BAD,∵∠POD+∠AOD=AOD+∠OAD=90°,∴∠POD=∠OAD,∴∠POD=∠OFD,∴OD=DF,∴OD=BD=2,∴OD=OA,∴∠OAD=30°,∴OP=OA=.21.解:(1)当n=5时,共有3×(5﹣2)=9个小等边三角形,∴每个小三角形与大三角形边长的比=,∵大三角形的面积是S,∴每个小三角形的面积为S,这些小等边三角形的面积和为S;(2)由(1)可知,当n=k时,共有3×(k﹣2)=3(k﹣2),每个小等边三角形的面积为S,每个小三角形的面积和为S.故答案为:(1)9,S,S;(2)3(k﹣2),S,S;(3)当S=100,n=10时,3(n﹣2)=3×(10﹣2)=24(个),S =×100=24.即共向外作出了24个小等边三角形,这些小等边三角形的面积和为24.21 / 21。

人教版九年级数学中考总复习 专题一 作图专题 含解析及答案

人教版九年级数学中考总复习   专题一 作图专题  含解析及答案

专题一作图专题1.如图所示,小明利用一块平面镜使此时的太阳光水平射入隧道内。

请你通过作图画出平面镜并标出反射角的角度。

答案:如图所示解析:根据光的反射定律,反射角等于入射角,作反射光线和入射光线夹角的角平分线就是法线的位置;由图知,反射光线和入射光线的夹角为180°-60°=120°,则反射角等于入射角等于60°。

2.图中的A'B'是物体AB经过平面镜M后所成的像,请在图中画出该物体。

答案:如图所示3.如图所示,点光源S置于平面镜前,请画出点光源S的成像光路图。

答案:如图所示解析:从点光源S向镜面任意发出两条入射光线,入射点分别是O1、O2;根据光的反射定律,画出这两条入射光线的反射光线;将这两条反射光线反向延长,相交于点S',点S'即为点光源S在平面镜中所成的像。

4.如图所示,在平静的湖边上方有一盏路灯,潜水员在水下E处看到了路灯的像,图中A、B两点,其中一点是路灯的发光点,另一点是路灯的像点。

请你区分发光点、像点,在图中画出水下E处的潜水员看到路灯的光路图。

答案:如图所示解析:根据光从空气中斜射入水中时,折射角小于入射角,可知A为路灯的发光点,B为像点,连接EB与界面的交点即为入射点,光路图如图所示。

5.如图所示,平面镜垂直于凸透镜主光轴且在凸透镜左侧焦点上,请完成光路图。

答案:如图所示6.如图所示,请在图中画出力F的力臂l及物体所受重力的示意图。

答案:如图所示7.如图所示,某人在A处提起物体,请在图中画出最省力的绳子绕法。

答案:如图所示解析:从动滑轮上挂钩开始,依次绕过定滑轮和动滑轮,绳端回到人的手中,提升物体绳子条数为3,是最省力的绕法。

8.根据下面左侧电路实物图,在下面右侧方框内画出对应的电路图。

答案:如图所示9.设计一个病床呼叫电路。

要求:开关S1控制指示灯L1和电铃,开关S2控制指示灯L2和电铃。

请在图中连线,形成符合要求的完整电路图。

【浙教版】九年级数学下册期末高效复习专题1:二次函数 附参考答案解析

【浙教版】九年级数学下册期末高效复习专题1:二次函数 附参考答案解析

专题1 二次函数题型一 二次函数的图象和性质例 1 对于抛物线y =-x 2+2x +3,有下列四个结论:①它的对称轴为x =1; ②它的顶点坐标为(1,4);③它与y 轴的交点坐标为(0,3),与x 轴的交点坐标为(-1,0)和(3,0); ④当x >0时,y 随x 的增大而减小. 其中正确的个数为( C ) A .1 B .2 C .3D .4【解析】 ①对称轴为x =-b 2a =-22×(-1)=1,∴①正确;②y =-x 2+2x +3=-(x -1)2+4,∴它的顶点坐标为(1,4),∴②正确;③y =-x 2+2x +3,当x =0时,y =3,当y =0时,-x 2+2x +3=0,x 1=-1,x 2=3,∴y =-x 2+2x +3与y 轴的交点坐标为(0,3),与x 轴的交点坐标为(-1,0)和(3,0),∴③正确;④∵a =-1<0,∴当x >1时,y 随x 的增大而减小,∴④错误.故正确的选项有①②③三个. 【点悟】 二次函数的性质,常常从对称轴、顶点坐标、最大值(最小值),增减性等角度分析.变式跟进1.小张同学说出了二次函数的两个条件: (1)当x <1时,y 随x 的增大而增大; (2)函数图象经过点(-2,4).则符合条件的二次函数表达式可以是( D ) A .y =-(x -1)2-5 B .y =2(x -1)2-14 C .y =-(x +1)2+5D .y =-(x -2)2+202.求下列函数的图象的对称轴、顶点坐标及与x 轴的交点坐标. (1)y =4x 2+24x +35; (2)y =-3x 2+6x +2; (3)y =x 2-x +3; (4)y =2x 2+12x +18. 解:(1)∵y =4x 2+24x +35,∴对称轴是直线x =-3,顶点坐标是(-3,-1), 解方程4x 2+24x +35=0,得x 1=-52,x 2=-72,故它与x 轴交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫-52,0,⎝ ⎛⎭⎪⎫-72,0;(2)∵y =-3x 2+6x +2,∴对称轴是直线x =1,顶点坐标是(1,5), 解方程-3x 2+6x +2=0, 得x 1=1+153,x 2=1-153, 故它与x 轴的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫1+153,0,⎝ ⎛⎭⎪⎫1-153,0; (3)∵y =x 2-x +3,∴对称轴是直线x =12,顶点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12,114,解方程x 2-x +3=0,无解,故它与x 轴没有交点; (4)∵y =2x 2+12x +18,∴对称轴是直线x =-3,顶点坐标是(-3,0), 当y =0时,2x 2+12x +18=0,∴x 1=x 2=-3, ∴它与x 轴的交点坐标是(-3,0).题型二 二次函数的平移例 2 将抛物线y =-2x 2+1向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度所得的抛物线表达式为( C )A .y =-2(x +1)2B .y =-2(x +1)2+2 C .y =-2(x -1)2+2D .y =-2(x -1)2+1【点悟】 二次函数图象的平移实质上是顶点位置的变化,只要确定平移前、后的顶点坐标,就可以确定抛物线的平移规律.变式跟进3.将抛物线y =2x 2+4x -5的图象向左平移2个单位,再向上平移1个单位,所得抛物线表达式是( C ) A .y =2(x +1)2-7 B .y =2(x +1)2-6 C .y =2(x +3)2-6D .y =2(x -1)2-6题型三 二次函数与一元二次方程和不等式的关系例 3 [2016·宁夏]若二次函数y =x 2-2x +m 的图象与x 轴有两个交点,则m 的取值范围是__m <1__. 【解析】 ∵二次函数y =x 2-2x +m 的图象与x 轴有两个交点,∴Δ>0,∴4-4m >0,∴m <1.【点悟】 抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴的交点的横坐标x 1,x 2,就是方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两个根,判断抛物线与x 轴是否有交点,只要判断b 2-4ac 与0的大小即可.变式跟进4.已知二次函数y =x 2-2x +m (m 为常数)的图象与x 轴的一个交点为(-1,0),则关于x 的一元二次方程x2-2x +m =0的两个实数根是( D ) A .x 1=1,x 2=2 B .x 1=1,x 2=3 C .x 1=-1,x 2=2D .x 1=-1,x 2=3【解析】 二次函数y =x 2-2x +m (m 为常数)的对称轴是x =1,(-1,0)关于x =1的对称点是(3,0).则一元二次方程x 2-2x +m =0的两个实数根是x 1=-1,x 2=3.5.[2017·高邮二模]如图1,二次函数y 1=ax 2+bx +c 与一次函数y 2=kx 的图象交于点A 和原点O ,点A 的横坐标为-4,点A 和点B 关于抛物线的对称轴对称,点B 的横坐标为1,则满足0<y 1<y 2的x 的取值范围是__-4<x <-3__.图1 第5题答图【解析】 如答图所示,∵点A 的横坐标为-4,点A 和点B 关于抛物线的对称轴对称,点B 的横坐标为1,∴抛物线的对称轴为x =-32,∵二次函数y 1=ax 2+bx +c 与一次函数y 2=kx 的图象交于点A 和原点O ,∴C 点坐标为(-3,0),则满足0<y 1<y 2的x 的取值范围是-4<x <-3.题型四 二次函数的图象与系数之间的关系例 4 如图2,已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象与x 轴交于点A (-1,0),与y 轴的交点B 在(0,-2)和(0,-1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x =1.下列结论: ①abc >0; ②4a +2b +c >0;③4ac -b 2<8a ; ④13<a <23; ⑤b >c .其中含所有正确结论的选项是( D )图2A .①③B .①③④C .②④⑤D .①③④⑤【解析】 ①∵函数开口方向向上,∴a >0,∵对称轴在原点右侧,∴ab 异号,∵抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴,∴c <0,∴abc >0,故①正确;②∵图象与x 轴交于点A (-1,0),对称轴为直线x =1,∴图象与x 轴的另一个交点为(3,0), ∴当x =2时,y <0,∴4a +2b +c <0,故②错误;③∵图象与x 轴交于点A (-1,0),∴当x =-1时,y =(-1)2a +b ×(-1)+c =0,∴a -b +c =0,即a =b -c ,c =b -a ,∵对称轴为直线x =1,∴-b 2a=1,即b =-2a ,∴c =b -a =(-2a )-a =-3a ,∴4ac -b 2=4a (-3a )-(-2a )2=-16a 2<0.∵8a >0,∴4ac -b 2<8a ,故③正确;④∵图象与y 轴的交点B 在(0,-2)和(0,-1)之间,∴-2<c <-1,∴-2<-3a <-1,∴23>a >13,故④正确;⑤∵a >0,∴b -c >0,即b >c ,故⑤正确.【点悟】 二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0),①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小.当a >0时,抛物线向上开口;当a <0时,抛物线向下开口;|a |还可以决定开口大小,|a |越大开口就越小.②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置.当a 与b 同号时(即ab >0),对称轴在y 轴左侧;当a 与b 异号时(即ab <0),对称轴在y 轴右侧(简称:左同右异).③常数项c 决定抛物线与y 轴交点,抛物线与y 轴交于(0,c ).变式跟进6.[2016·孝感]如图3是抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的部分图象,其顶点坐标为(1,n ),且与x 轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间.则下列结论: ①a -b +c >0; ②3a +b =0; ③b 2=4a (c -n ); ④一元二次方程ax 2+bx +c =n -1有两个不相等的实数根. 其中正确结论的个数是( C )图3A .1B .2C .3D .4【解析】 ∵抛物线与x 轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,而抛物线的对称轴为直线x =1,∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(-2,0)和(-1,0)之间.∴当x =-1时,y >0,即a -b +c >0,∴①正确;∵抛物线的对称轴为直线x =-b2a =1,即b =-2a ,∴3a +b =3a -2a =a ,∴②错误;∵抛物线的顶点坐标为(1,n ),∴4ac -b 24a=n ,∴b 2=4ac -4an =4a (c -n ),∴③正确;∵抛物线与直线y =n 有一个公共点,∴抛物线与直线y =n -1有2个公共点,∴一元二次方程ax 2+bx +c =n -1有两个不相等的实数根,∴④正确.题型五 二次函数的实际应用例 5 [2016·潍坊]旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用,假定每辆观光车一天内最多只能出租一次,且每辆车的日租金x (元)是5的倍数,发现每天的运营规律如下:当x 不超过100元时,观光车能全部租出;当x 超过100元时,每辆车的日租金每增加5元,租出去的观光车就会减少1辆,已知所有观光车每天的管理费是1 100元.(1)优惠活动期间,为使观光车全部租出且每天的净收入为正,则每辆车的日租金至少应为多少元?(注:净收入=租车收入-管理费)(2)当每辆车的日租金为多少时,每天的净收入最多?解:(1)由题意知,若观光车能全部租出,则0≤x ≤100,由50x -1 100>0,解得x >22, ∵x 是5的倍数,∴每辆车的日租金至少为25元;(2)设每天的净收入为y 元,当0≤x ≤100时,y 1=50x -1 100,∵y 1随x 的增大而增大,∴当x =100时,y 1的最大值为50×100-1 100=3 900. 当x >100时,y 2=⎝⎛⎭⎪⎫50-x -1005x -1 100=-15x 2+70x -1 100=-15(x -175)2+5 025. 当x =175时,y 2的最大值是5 025,∵5 025>3 900,∴当每辆车的日租金为175元时,每天的净收入最多,最多收入是5 025元.【点悟】 应用二次函数解决实际问题中的最优化问题,实际上就是求函数的最大值(或最小值).解题时,要先根据题目提供的条件确定函数关系式,并将它配成顶点式,y =a (x -h )2+k ,再根据二次函数的性质确定最大值或最小值.变式跟进7.[2016·杭州]把一个足球垂直水平地面向上踢,时间t (s)与该足球距离地面的高度h (m)适用公式h =20t -5t 2(0≤t ≤4).(1)当t =3时,求足球距离地面的高度; (2)当足球距离地面的高度为10 m 时,求t 的值;(3)若存在实数t 1,t 2(t 1≠t 2),当t =t 1或t 2时,足球距离地面的高度都为m (m),求m 的取值范围. 解:(1)当t =3时,h =20t -5t 2=15(m), ∴此时足球离地面的高度为15 m ; (2)∵h =10,∴20t -5t 2=10,即t 2-4t +2=0,解得t =2+2或t =2-2,∴经过2+2或2- 2 s 时,足球距离地面的高度为10 m ;(3)∵m ≥0,由题意得t 1和t 2是方程20t -5t 2=m 的两个不相等的实数根, ∴b 2-4ac =202-20m >0,解得m <20, ∴m 的取值范围是0≤m <20.题型六 二次函数的综合题例 6 [2017·浙江月考]如图4,抛物线C 1:y =-3x 2+23x 的顶点为A ,与x 轴的正半轴交于点B . (1)将抛物线C 1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍,求变换后得到的抛物线的表达式;(2)将抛物线C 1上的点(x ,y )变为(kx ,ky )(|k |>1),变换后得到的抛物线记作C 2,抛物线C 2的顶点为C ,求抛物线C 2的表达式(用k 表示);(3)在(2)条件下,点P 在抛物线C 2上,满足S △PAC =S △ABC ,且∠ACP =90°.当k >1时,求k 的值.图4 例6答图解:(1)∵y =-3x 2+23x =-3(x -1)2+3, ∴抛物线C 1经过原点O ,点A (1,3)和点B (2,0)三点, ∵将抛物线C 1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍, ∴变换后的抛物线经过原点O ,(2,23)和(4,0)三点.设变换后抛物线的表达式为y =ax 2+bx ,将(2,23)和(4,0)代入, 得⎩⎨⎧4a +2b =23,16a +4b =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-32,b =23, ∴变换后抛物线的表达式为y =-32x 2+23x ; (2)∵抛物线C 1经过原点O ,点A (1,3)和点B (2,0)三点,将抛物线C 1上的点(x ,y )变为(kx ,ky )(|k |>1),变换后得到的抛物线记作C 2,则抛物线C 2过原点O ,(k ,3k ),(2k ,0)三点,∴抛物线C 2的表达式为y =-3kx 2+23x ;(3)∵y =-3kx 2+23x =-3k(x -k )2+3k ,∴O ,A ,C 三点共线,且顶点C 为(k ,3k ).如答图,∵S △PAC =S △ABC ,k >1,∴BP ∥AC , 过点P 作PD ⊥x 轴于D ,过点B 作BE ⊥AO 于E .由题意知△ABO 是边长为2的正三角形,四边形CEBP 是矩形, ∴OE =1,CE =BP =2k -1,∵∠PBD =60°, ∴BD =k -12,PD =32(2k -1),∴P ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k +32,32(2k -1), ∴32(2k -1)=-3k ⎝ ⎛⎭⎪⎫k +322+23⎝ ⎛⎭⎪⎫k +32,解得k =92.变式跟进8.[2017·诸城校级月考]如图5,在矩形OABC 中,OA =5,AB =4,点D 为边AB 上一点,将△BCD 沿直线CD 折叠,使点B 恰好落在OA 边上的点E 处,分别以OC ,OA 所在的直线为x 轴,y 轴建立平面直角坐标系.图5(1)求OE 的长;(2)求经过O ,D ,C 三点的抛物线的表达式;(3)一动点P 从点C 出发,沿CB 以每秒2 个单位长的速度向点B 运动,同时动点Q 从E 点出发,沿EC 以每秒1个单位长的速度向点C 运动,当点P 到达点B 时,两点同时停止运动.设运动时间为t s ,当t 为何值时,DP =DQ .解:(1)∵CE =CB =5,CO =AB =4, ∴在Rt △COE 中,OE =CE 2-CO 2=52-42=3;(2)设AD =m ,则DE =BD =4-m , ∵OE =3,∴AE =5-3=2,在Rt △ADE 中,由勾股定理可得AD 2+AE 2=DE 2,即m 2+22=(4-m )2,解得m =32,∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,-5,∵C (-4,0),O (0,0),∴设过O ,D ,C 三点的抛物线为y =ax (x +4), ∴-5=-32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32+4,解得a =43,∴抛物线表达式为y =43x (x +4)=43x 2+163x ;(3)∵CP =2t ,∴BP =5-2t , 由折叠的性质,得BD =DE =52,在Rt △DBP 和Rt △DEQ 中,⎩⎪⎨⎪⎧DP =DQ ,BD =ED ,∴Rt △DBP ≌Rt △DEQ (HL ),∴BP =EQ ,∴5-2t =t ,∴t =53.过关训练1.已知,二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图1所示,则以下说法不正确的是( C )图1A .根据图象可得该函数y 有最小值B .当x =-2时,函数y 的值小于0C .根据图象可得a >0,b <0D .当x <-1时,函数值y 随着x 的增大而减小【解析】 由图象可知:A.抛物线开口向上,该函数y 有最小值,此选项正确;B.当x =-2时,图象在x 轴的下方,函数值小于0,此选项正确;C.对称轴为x =-1,a >0,则b >0,此选项错误;D.当x <-1时,y 随x 的增大而减小,此选项正确.2.抛物线y =(x +2)2-1可以由抛物线y =x 2平移得到,下列平移方法中正确的是( B ) A .先向左平移2个单位,再向上平移1个单位 B .先向左平移2个单位,再向下平移1个单位 C .先向右平移2个单位,再向上平移1个单位 D .先向右平移2个单位,再向下平移1个单位【解析】 ∵函数y =x 2的图象沿x 轴向左平移2个单位长度,得y =(x +2)2;然后y 轴向下平移1个单位长度,得y=(x+2)2-1,故选B.3.一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( C )A B C D4.如图2,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(-1,0),其对称轴为直线x=1,下列结论中正确的是( D )图2A.abc>0 B.2a-b=0C.4a+2b+c<0 D.9a+3b+c=0【解析】∵抛物线的开口向下,则a<0,对称轴在y轴的右侧,∴b>0,图象与y轴交于正半轴上,∴c>0,∴abc<0;∵对称轴为x=1,∴-b2a=1,∴-b=2a,∴2a+b=0;当x=2时,4a+2b+c>0;当x=3时,9a+3b+c=0.5.已知二次函数y=3x2+36x+81.(1)写出它的顶点坐标;(2)当x取何值时,y随x的增大而增大;(3)求出图象与x轴的交点坐标;(4)当x取何值时,y有最小值,并求出最小值;(5)当x取何值时,y<0.解:(1)∵y=3x2+36x+81=3(x+6)2-27,∴顶点坐标为(-6,-27);(2)∵抛物线的对称轴为x=-6,且抛物线的开口向上,∴当x>-6时,y随x的增大而增大;(3)当3x2+36x+81=0时,得x1=-3,x2=-9,∴该函数图象与x轴的交点为(-9,0),(-3,0);(4)∵抛物线的顶点坐标为(-6,-27), ∴当x =-6时,y 有最小值,最小值为-27;(5)∵该函数图象与x 轴的交点为(-9,0),(-3,0),且抛物线的开口向上, ∴当-9<x <-3时,y <0.6.已知二次函数的图象以A (-1,4)为顶点,且过点B (2,-5). (1)求该二次函数的表达式;(2)求该二次函数图象与y 轴的交点坐标.解:(1)由顶点A (-1,4),可设二次函数关系式为y =a (x +1)2+4(a ≠0). ∵二次函数的图象过点B (2,-5), ∴-5=a (2+1)2+4,解得a =-1. ∴二次函数的关系式是y =-(x +1)2+4; (2)令x =0,则y =-(0+1)2+4=3, ∴图象与y 轴的交点坐标为(0,3).7.如图3,已知抛物线y =x 2+bx +c 经过A (-1,0),B (3,0)两点.图3(1)求抛物线的表达式和顶点坐标; (2)当0<x <3时,求y 的取值范围;(3)点P 为抛物线上一点,若S △PAB =10,求出此时点P 的坐标. 解:(1)把A (-1,0),B (3,0)分别代入y =x 2+bx +c 中,得⎩⎪⎨⎪⎧1-b +c =0,9+3b +c =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧b =-2,c =-3, ∴抛物线表达式为y =x 2-2x -3. ∵y =x 2-2x -3=(x -1)2-4, ∴顶点坐标为(1,-4);(2)由图可得当0<x <3时,-4≤y <0; (3)∵A (-1,0),B (3,0),∴AB =4.设P (x ,y ),则S △PAB =12AB ·|y |=2|y |=10,∴|y |=5,∴y =±5.①当y =5时,x 2-2x -3=5,解得x 1=-2,x 2=4, 此时P 点坐标为(-2,5)或(4,5);②当y =-5时,x 2-2x -3=-5,方程无解. 综上所述,P 点坐标为(-2,5)或(4,5).8.如图4,在一面靠墙的空地上用长为24 m 的篱笆围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB 为x m ,面积为S m 2.(1)求S 与x 的函数关系式及自变量的取值范围; (2)已知墙的最大可用长度为8 m , ①求所围成花圃的最大面积;②若所围花圃的面积不小于20 m 2,请直接写出x 的取值范围.图4解:(1)S =x (24-4x )=-4x 2+24x (0<x <6); (2)①S =-4x 2+24x =-4(x -3)2+36, 由24-4x ≤8,24-4x >0,解得4≤x <6, 当x =4时,花圃有最大面积为32;②令-4x 2+24x =20时,解得x 1=1,x 2=5, ∵墙的最大可用长度为8,即24-4x ≤8, ∴x ≥4,∴4≤x ≤5.9.[2017·三原校级月考]东方小商品市场一经营者将每件进价为80元的某种小商品原来按每件100元出售,一天可售出100件.后来经过市场调查,发现这种小商品单价每降低1元,其销量可增加10件. (1)该经营者经营这种商品原来一天可获利润__2__000__元; (2)若设后来该小商品每件降价x 元,该经营者一天可获利润y 元.①若该经营者经营该商品一天要获利润2 090元,求每件商品应降价多少元?②求出y 与x 之间的函数关系式,并求出当x 取何值时,该经营者所获利润最大,且最大利润为多少元? 解:(1)若商店经营该商品不降价,则一天可获利润:100×(100-80)=2 000(元); (2)①设该商品每件降价x 元,依题意,得(100-80-x )(100+10x )=2 090, 即x 2-10x +9=0,解得x 1=1,x 2=9. 答:每件商品应降价1元或9元; ②根据题意得y =(100-80-x )(100+10x ) =-10x 2+100x +2 000,当x =-b2a =5时,y 最大=2 250元,答:该经营者所获最大利润为2 250元.10.[2016·泰安]如图6,在平面直角坐标系中,抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点坐标为(2,9),与y 轴交于点A (0,5),与x 轴交于点E ,B .图6(1)求二次函数y =ax 2+bx +c 的表达式;(2)过点A 作AC 平行于x 轴,交抛物线于点C ,点P 为抛物线上的一点(点P 在AC 上方),作PD 平行于y 轴交AB 于点D ,问当点P 在何位置时,四边形APCD 的面积最大?并求出最大面积.解:(1)设抛物线的表达式为y =a (x -2)2+9, 把A (0,5)代入得4a +9=5,解得a =-1, ∴y =-(x -2)2+9=-x 2+4x +5; (2)当y =0时,-x 2+4x +5=0,解得x 1=-1,x 2=5,∴E (-1,0),B (5,0), 设直线AB 的表达式为y =mx +n ,把A (0,5),B (5,0)代入,得m =-1,n =5, ∴y =-x +5,设P (x ,-x 2+4x +5),则D (x ,-x +5),PD =-x 2+4x +5+x -5=-x 2+5x ,∵AC =4, ∴四边形APCD 的面积=12AC ·PD =12×4×(-x 2+5x )=-2x 2+10x ,当x =-102×(-2)=52时,四边形APCD 的面积最大,最大面积为252.11.[2017·双台子区校级一模]如图7,在平面直角坐标系中,二次函数y =x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A ,B (3,0)两点,与y 轴交于c (0,-3),点P 是直线BC 下方抛物线上的动点.(1)求出二次函数的表达式;图7(2)连结PO ,PC ,并将△POC 沿y 轴对折,得到四边形POP ′C ,那么是否存在点P ,使得四边形POP ′C 为菱形?若存在,求出点P 的坐标,若不存在,请说明理由;(3)当点P 运动到什么位置时,四边形ACPB 的面积最大?求出此时P 的坐标和四边形ACPB 的最大面积. 解:(1)把B (3,0),C (0,-3)代入y =x 2+bx +c ,得⎩⎪⎨⎪⎧9+3b +c =0,c =-3,解得⎩⎨⎧b =-2,c =-3,∴这个二次函数的表达式为y =x 2-2x -3; (2)存在.理由如下:如答图①,作OC 的垂直平分线交直线BC 下方的抛物线于点P ,垂足为点E .则PO =PC , ∵△POC 沿CO 翻折,得到四边形POP ′C , ∴OP ′=OP ,CP ′=CP ,∴OP ′=OP =CP ′=CP , ∴四边形POP ′C 为菱形,∵C 点坐标为(0,-3), ∴E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-32,∴点P 的纵坐标为-32, 把y =-32代入y =x 2-2x -3,得x 2-2x -3=-32,解得x =2±102, ∵点P 在直线BC 下方的抛物线上, ∴x =2+102,∴满足条件的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2+102,-32;第11题答图① 第11题答图②(3)如答图②,作PF ⊥x 轴于点F ,交BC 于点E ,BC 的表达式为y =x -3,设E (m ,m -3),P (m ,m 2-2m -3).则PE =m -3-(m 2-2m -3)=-m 2+3m =-⎝ ⎛⎭⎪⎫m -322+94,S △BCP =S △BEP +S △CEP=12PE ·FB +12EP ·OF =12EP ·OB =12×3⎣⎢⎡⎦⎥⎤-⎝ ⎛⎭⎪⎫m -322+94 =-32⎝ ⎛⎭⎪⎫m -322+278,∵-32<0,∴当m =32时,S 最大=278,此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,-154;∵A (-1,0),B (3,0),C (0,-3),又∵S 四边形ACPB =S △ABC +S △PBC ,S △ABC =12×4×3=6=定值,∴当△PBC的面积最大时,四边形ACPB的面积最大,最大面积为6+278=758.。

人教版九年级上册数学专题复习(九个专题)

人教版九年级上册数学专题复习(九个专题)

九年级上册数学专题复习(九个专题)专题一 解一元二次方程1、直接开方解法方程(1)2(6)30x -+= (2) 21(3)22x -=2、用配方法解方程(1)2210x x +-= (2) 2430x x -+=3、用公式法解方程(1)03722=+-x x (2) 210x x --=4、用因式分解法解方程(1)3(2)24x x x -=- (2)22(24)(5)x x -=+5、用十字相乘法解方程(1)2900x x --= (2)22100x x +-=专题二 化简求值1、先化简,再求值:x2+y2-2xy x -y÷(x y -yx ),其中x =2+1,y =2-1.2、先化简:先化简:12164--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---x x x x x ,再任选一个你喜欢的数x 代入求值.专题三 根与系数的关系1、已知关于x 的一元二次方程24280x x k --+=有两个实数根1x ,2x . (1)求k 的取值范围;(2)若33121224x x x x +=,求k 的值.2、已知关于x 的一元二次方程26250x x a -++=有两个不相等的实数根1x ,2x . (1)求a 的取值范围;(2)若221212x x x x +-≤30,且a 为整数,求a 的值.3、已知关于x 的方程0)1()12(2=-+--m m x m x ,(1)求证:不论m 为何值,方程总有两个不相等的实数根;(2)若方程的两实数根分别为1x ,2x ,且满足11)(21221-⋅=-x x x x ,求实数m 的值.专题四 统计与概率1、现有A 、B 、C 三个不透明的盒子,A 盒中装有红球、黄球、蓝球各1个,B 盒中装有红球、黄球各1个,C 盒中装有红球、蓝球各1个,这些球除颜色外都相同.现分别从A 、B 、C 三个盒子中任意摸出一个球.(1)从A 盒中摸出红球的概率为_________;(2)用画树状图或列表的方法,求摸出的三个球中至少有一个红球的概率.2、现有A 、B 两个不透明袋子,分别装有3个除颜色外完全相同的小球.其中,A 袋装有2个白球,1个红球;B 袋装有2个红球,1个白球.(1)将A 袋摇匀,然后从A 袋中随机取出一个小球,求摸出小球是白色的概率; (2)小华和小林商定了一个游戏规则:从摇匀后的A ,B 两袋中随机摸出一个小球,摸出的这两个小球,若颜色相同,则小林获胜;若颜色不同,则小华获胜.请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平.3、2019年中国北京世界园艺博览会(以下简称“世园会”)于4月29日至10月7日在北京延庆区举行.世园会为满足大家的游览需求,倾情打造了4条各具特色的趣玩路线,分别是:A.“解密世园会”、B.“爱我家,爱园艺”、C.“园艺小清新之旅”和D.“快速车览之旅”.李欣和张帆都计划暑假去世园会,他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览,每条线路被选择的可能性相同.(1)李欣选择线路C.“园艺小清新之旅”的概率是多少?(2)用画树状图或列表的方法,求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率.专题五圆知识点一:证切线,求半径1、如图所示,已知⊙O为四边形ABCD的外接圆,O为圆心,若∠BCD=120°,AB=AD=2,则⊙O的半径长为 .2、如图所示,AB 是⊙O的直径,EF,EB是⊙O的弦,且EF=EB,EF与AB交于点C,连接OF,若∠AOF=40°,则∠F的度数是 .3、如图所示,AB为半圆O的直径,C为半圆O上一点,AD与过点C的切线垂直,垂足为D,AD交半圆O于点E.(1)求证:AC平分∠DAB;(2)若AE=2DE,试判断以O,A,E,C为顶点的四边形的形状,并说明理由.4、如图所示,△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交BC于点D,点E为AC延长线上一点,且∠CDE=12∠BAC.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)若AB=3BD,CE=2,求⊙O的半径.5、如图所示,AB是⊙O的直径,OC⊥AB,弦CD与OB交于点F,过圆心O作OG∥BD,交过点A所作⊙O的切线于点G,连结GD并延长与AB的延长线交于点E.(1)求证:GD是⊙O的切线;(2)若OF:OB=1:3,⊙O的半径为3,求AG的长.知识点二求不规则图形的阴影面积1、如图所示,AC是半圆O的一条弦,以弦AC为折线将弧AC折叠后过圆心O,⊙O的半径为2,则圆中阴影部分的面积为.EDBOAC2、如图所示,在Rt △ABC 中,∠ABC =90°,AB =23,BC =2,以AB 的中点O 为圆心,OA 的长为半径作半圆交AC 于点D,则图中阴影部分的面积为___________.3、如图所示,∠AOB =90°,∠B =30°,以点O 为圆心,OA 为半径作弧交AB 于点A,点C,交OB 于点D,若OA =3,则阴影部分的面积为________.4、如图所示,AB 为⊙O 的直径,AC 平分∠BAE 交⊙O 于点C ,AE ⊥EC 于点E .(1)试判断CE 与⊙O 的位置关系,并说明理由;(2)若D 为AC 的中点,⊙O 的半径为2,求图中阴影部分的面积.专题六 二次函数实际应用1、一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶,该茶叶的成本价是80元/kg ,销售单价不低于120元/kg .且不高于180元/kg ,经销一段时间后得到如下数据:销售单价x (元/kg ) 120 130 ... 180 每天销量y (kg ) 100 95 (70)设y 与x 的关系是我们所学过的某一种函数关系.(1)直接写出y 与x 的函数关系式,并指出自变量x 的取值范围; (2)当销售单价为多少时,销售利润最大?最大利润是多少?2、传统的端午节即将来临,我县某企业接到一批粽子生产任务,约定这批粽子的出厂价为每只4元,按要求在20天内完成.为了按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人李明第x 天生产的粽子数量为y 只,y 与x 满足如下关系:⎩⎨⎧≤≤+≤≤=)()(20680206034x x x x y ,请解答以下问题:(1)李明第几天生产的粽子数量为280只?(2)如图所示,设第x 天生产的每只粽子的成本是p 元,p 与x 之间的关系可用图中的函数图象来刻画,求p 与x 之间的函数关系式;(3)若李明第x 天创造的利润为w 元,求w 与x 之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大?最大利润是多少元?(利润=出厂价-成本)3、如图所示,在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆,围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃,设花圃的宽AB为x米,面积为S平方米.(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围;(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大,最大值是多少?(3)若墙的最大可用长度为8米,求围成的最大面积.专题七反比例函数的相关计算1、如图4,一次函数y=-x+3的图像与反比例函数y=kx(k≠0)在第一象限的图像交于A(1,a)和B两点,与x轴交于点C.(1)求反比例函数的解析式;(2)若点P在x轴上,且△APC的面积为6,求点P的坐标.2、已知反比例函数y=5mx(m为常数,且m≠5).(1)若在其图象的每个分支上,y随x的增大而增大,求m的取值范围;(2)若其图象与一次函数y=-x+1图象的一个交点的纵坐标是3,求m的值.3、如图所示,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,△ABO的边AB垂直于x轴,垂足为点B,反比例函数kyx(x>0)的图象经过AO的中点C,且与AB相交于点D,OB=4,AD=3,则k值为()A.4B.3C.2D.1专题八 三角形全等与旋转的综合应用1、如图1所示,已知△ABC ≌△EBD ,∠ACB =∠EDB =90°,点D 在AB 上,连接CD 并延长交AE 于点F .(1)猜想:线段AF 与EF 的数量关系为______;(2)探究:若将图1所示的△EBD 绕点B 顺时针方向旋转,当∠CBE 小于180°时,得到图2所示,连接CD 并延长交AE 于点F ,则(1)中的结论是否还成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;(3)拓展:图1中所示,过点E 作EG ⊥CB ,垂足为点G .当∠ABC 的大小发生变化,其它条件不变时,若∠EBG =∠BAE ,BC =6,直接写出AB 的长.F EDC BAFDEBC A(图1) (图2)专题九 二次函数的综合应用1、已知抛物线22y ax ax c =-+过点A (-1,0)和C (0,3),与x 轴交于另一点B ,顶点为D . (1)求抛物线的解析式,并写出D 点的坐标;(2)如图1所示,E 为线段BC 上方的抛物线上一点,EF ⊥BC ,垂足为F ,EM ⊥x 轴,垂足为M ,交BC 于点G .当BG=CF 时,求△EFG 的面积;(3)如图2所示,AC 与BD 的延长线交于点H ,在x 轴上方的抛物线上是否存在点P ,使∠OPB =∠AHB ?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.xyCH D BA O yx M D CG FBA O E(图1) (图2)2.(满分3+4+5=12分)如图所示,抛物线y=ax 2+bx-3与轴交于A ,B 两点(A 点在B 点左侧),A(-1,0),B(3,0),直线L 与抛物线交于,两点,其中点的横坐标为. (1)求抛物线的函数解析式; (2)是线段AC 上的一个动点,过点作y 轴的平行线交抛物线于点,求线段PE 长度的最大值;(3)点是抛物线上的动点,在x 轴上是否存在点,使,,,这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的点坐标;如果不存在,请说明理由.。

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九年级数学复习专题一:(数与式)
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列各组数中互为相反数的是( )
A.5和
B.-|-|和-(-)
C.-和
D.-5和
2.(2019·梧州中考)下列计算正确的是( )
A.3x-x=3
B.2x+3x=5x2
C.(2x)2=4x2
D.(x+y)2=x2+y2
3.(2019·桂林中考)将数47 300 000用科学记数法表示为( )
A.473×105
B.47.3×106
C.4.73×107
D.4.73×105
4.计算--的结果是( )
A.1
B.-1
C.--
D.-
5.下列计算正确的是( )
A.(x+y)2=x2+y2
B.(x-y)2=x2-2xy-y2
C.(x+2y)(x-2y)=x2-2y2
D.(-x+y)2=x2-2xy+y2
6.(2019·攀枝花中考)用四舍五入法将130 542精确到千位,正确的是( )
A.131 000
B.0.131×106
C.1.31×105
D.13.1×104
7.已知=1,y2=4,且x<y,则x-y的值为 ( )
A.±3
B.±5
C.+1或+3
D.-1或-3
8.若-3a2m+1b3与a5b n+1是同类项,则mn的值为 ( )
A.4
B.3
C.
D.
9.已知分式的值为0,那么x的值是( )
A.-1
B.-2
C.1
D.1或-2
10.实数a,b在数轴上的位置如图,化简|a-b|+-的值为( )
A.2a-c
B.-2a+c
C.-2b+c
D.-2b-c
11.(2019·益阳中考)下列运算正确的是 ( )
A.=-2
B.(2)2=6
C.+=
D.×=
12.若将代数式中的任意两个字母互相替换,代数式不变,则称这个代数式为完全对称式.如在代数式a+b+c中,把a和b互相替换,得b+a+c;把a和c互相替换,得c+b+a;把b和c…;a+b+c就是完全对称式.下列三个代数
式:①(a-b)2;②ab+bc+ca;③a2b+b2c+c2a,其中为完全对称式的是( )
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
二、填空题(本大题共6小题,满分18分,只要求填写最后结果,每小题填对得3分)
13.若分式有意义,则_ .
14.(2019·烟台模拟)若a+b=5,ab=3,则a2+b2=___.
15.(2019·梧州模拟)分解因式:x3-xy2=_ .
16.(2019·柳州模拟)已知(x-2y+3)2+=0,则x+y=___ .
17.若a2n=5,b2n=16,则(ab)n=___ .
18.一列单项式:-x2,3x3,-5x4,7x5,…,按此规律排列,则第7个单项式为
___ .
三、解答题(本大题共8小题,满分共66分.解答应写出证明过程或计算步骤(含相应的文字证明))
19.(5分)(1)(2019·深圳中考)计算:-2cos 60°++(π-3.14)0.
(2)(2019·巴中中考)计算:+(3-π)0+|-2|+2sin 60°-.
20.(6分)分解因式:(1)x2-2x+(x-2). (2)(2a+b)2-(a+2b)2.
21.(7分)(2019·重庆模拟)先化简,再求
值:[(x+3y)2-(x-3y)2-(3y+x)(x-3y)-9y2]÷(2x),其中x,y满足x2-4x+y2+2y+5=0.
22.(8分)(2019·黄石中考)先化简,再求值:÷,其中|x|=2.
23.(8分)如图,边长为a,b的矩形,它的周长为14,面积为10,求a2+b2的值.
24.(10分)已知A=(x-3)÷-1.
(1)化简A.
(2)若x满足不等式组且x为整数时,求A的值.
25.(10分)(2019·昭平县期中)王老师给学生出了一道题:
求(2a+b)(2a-b)+2(2a-b)2+(2ab2-16a2b)÷(-2a)的值,其中a=,b=-1,同学们看了题目后发表不同的看法.小张说:“条件b=-1是多余的.”小李说:“不给这个条件,就不能求出结果,所以不多余.”
(1)你认为他们谁说的有道理?为什么?
(2)若x m等于本题计算的结果,试求x2m的值.
26.(12分)小乐发明了一个魔术盒,当任意有理数对(a,b)放入盒中时,会得到一个新的有理数:a3+3a2b+3ab2+b3.
例如把(3,-2)放入其中,就会得到33+3×32×(-2)+3×3×(-2)2+(-2)3=1.
(1)现将有理数对(-2,3)放入盒中得到有理数m,再将有理数对(m,-7)放入盒中后,得到的有理数是多少?
有位老师认为这样难度不够,建议修改如下:
(2)小乐先放入有理数对(2 018,-2 019),如果再放入有理数对(-2 019,2 018),那么两次得到的有理数会相等吗?请你说明理由.
(3)在(2)中,你还能放入有理数对(-2 017,______),(________,-2 017)使两次得到的有理数相等.
(4)小乐先放入有理数对(m,n),请你放入有理数对(________,________),让得到的有理数与小乐得到的有理数相等.。

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