高二数学复数的几何意义综合测试题
人教版数学高二人教 复数的几何意义课后作业 精品测试
3.1.2一、选择题1．已知a 、b ∈R ，那么在复平面内对应于复数a －bi ，－a －bi 的两个点的位置关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称B在复平面内对应于复数a －bi ，－a －bi 的两个点为(a ，－b )和(－a ，－b )关于y 轴对称．2．复数i ＋i 2在复平面内表示的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B∵i ＋i 2＝－1＋i ，∴复数i ＋i 2对应的点在第二象限．3．设复数z ＝a ＋bi 对应的点在虚轴右侧，则( )A ．a ＞0，b ＞0B ．a ＞0，b ＜0C ．b ＞0，a ∈RD ．a ＞0，b ∈R D复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数．4．复数z 与它的模相等的充要条件是( )A ．z 为纯虚数B ．z 是实数C ．z 是正实数D ．z 是非负实数 D∵z ＝|z |，∴z 为实数且z ≥0.5．复数1＋cos α＋i sin α(π＜α＜2π)的模为( )A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2B 所求复数的模为(1＋cos α)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝4cos 2α2， ∵π＜α＜2π，∴π2＜α2＜π， ∴cos α2＜0， ∴4cos 2α2＝－2cos α2. 6．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( )A ．a ≠2或a ≠1B ．a ≠2或a ≠－1C ．a ＝2或a ＝0D ．a ＝0C由题意知a 2－2a ＝0，解得a ＝0或2.7．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 D∵23<m <1，∴2<3m <3. ∴3m －2>0，m －1<0.8．(2010·福州高二检测)已知复数z 满足|z |＝2，则|z ＋3－4i |的最小值是( )A ．5B ．2C ．7D ．3 D|z |＝2表示复数z 在以原点为圆心，以2为半径的圆上，而|z ＋3－4i |表示圆上的点到(－3,4)这一点的距离，故|z ＋3－4i |的最小值为(－3)2＋42－2 ＝5－2＝3.二、填空题9．(2010·合肥高二检测)已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A ，B ，C ，若O C →＝x O A →＋y O B →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的值是______．5由复数的几何意义可知 O C →＝xOA →＋yOB →即3－2i ＝x (－1＋2i )＋y (1－i )∴3－2i ＝(y －x )＋(2x －y )i由复数相等可得⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝32x －y ＝－2解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝4∴x ＋y ＝510．设(1＋i )sin θ－(1＋i cos θ)对应的点在直线x ＋y ＋1＝0上，则tan θ的值为________． 12 由题意，得sin θ－1＋sin θ－cos θ＋1＝0，∴tan θ＝1211．若复数z 满足z ＝|z |－3－4i ，则z ＝________.76－4i 设复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝a 2＋b 2－3b ＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝76b ＝－4∴z ＝76－4i . 12．已知f (z )＝|1＋z |－z 且f (－z )＝10＋3i ，则复数z 为________．5＋3i设z ＝x ＋yi (x ，y ∈R )，则f (－z )＝|1－x －yi |＋(x ＋yi )＝10＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧(1－x )2＋y 2＋x ＝10，y ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝3.∴z ＝5＋3i . 三、解答题13．如果复数z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i (m ∈R )对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围．∵z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＞0，4m 2－8m ＋3＞0， 解得m ＜－1－52或m ＞32， 即实数m 的取值范围是m ＜－1－52或m ＞32. 14．已知复数z 1＝1＋cos θ＋i sin θ，z 2＝1－sin θ＋i cos θ，且两数的模的平方和不小于2，求θ的取值范围．由已知，得|z 1|2＝(1＋cos θ)2＋sin 2θ＝2＋2cos θ，|z 2|2＝(1－sin θ)2＋cos 2θ＝2－2sin θ.|z 1|2＋|z 2|2≥2，即2＋2cos θ＋2－2sin θ≥2，cos θ－sin θ≥－1cos(θ＋π4)≥－22， 所以2kx －π≤θ≤2kπ＋π2，k ∈Z . 所以θ的取值范围是[2kπ－π，2kπ＋π2]，k ∈Z . 15．已知a ∈R ，z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹是什么？根据复数与复平面上点的对应关系知，复数z 对应的点在第几象限，与复数z 的实部与虚部的符号有关，所以本题的关键是判断(a 2－2a ＋4)与－(a 2－2a ＋2)的符号．求复数z 对应点的轨迹问题，首先把z 表示成z ＝x ＋yi (x 、y ∈R )的形式，然后寻求x 、y 之间的关系，但要注意参数限定的条件．由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，∴复数z 的实部为正数，复数z 的虚部为负数，因此，复数z 的对应点在第四象限． 设z ＝x ＋yi (x ，y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2) 消去a 2－2a 得：y ＝－x ＋2(x ≥3)．∴复数z 的对应点的轨迹是一条射线，方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)．对于求复数z 的轨迹方程问题，关键是要设z ＝x ＋yi (x 、y ∈R )，利用复数相等的充要条件转化为动点(x ，y )关于a 的参数方程，在消去参数a 时，注意观察到a 2－2a 是一个整体，这样可以简化消参数的过程．16．复数z 满足|z ＋3－3i |＝3，求|z |的最大值和最小值．解法一：|z ＋3－3i |≥||z |－|3－3i ||，|z ＋3－3i |≤|z |＋|3－3i |.又∵|z ＋3－3i |＝3，|3－3i |＝12＝23，∴||z |－23|≤3，即3≤|z |≤3 3.解法二：|z ＋3－3i |＝3对应的复数z 在复平面内所表示的图形为以－3＋3i 对应的点P 为圆心，以3为半径的圆，|z |则表示圆上的点z 到原点的距离(如图所示)，O 、P 的连线交此圆于A 、B 两点，显然，|OA |为最大距离，|OB |为最小距离，即|z |最大＝|OP |＋3＝ 33；|z |最小＝|OP |－3＝ 3.。
高二数学复数综合运算试题答案及解析
高二数学复数综合运算试题答案及解析1.已知，其中、为实数，则 .【答案】3【解析】由题意可得：，所以.【考点】复数的运算.2.是虚数单位，复数的共轭复数是A．2＋B．2－C．－1＋2D．－1－2【解析】,共轭复数为.【考点】复数的四则运算和共轭复数.3.已知复数z＝，则|z|＝________．【答案】【解析】∵z＝===，所以|z|==.考点:复数的运算，复数的模4.“a = 1”是“复数(,i为虚数单位)是纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由复数(,i为虚数单位)是纯虚数得，解得=1，故是充要条件，故选C.【考点】纯虚数的概念，充要条件5.已知i为虚数单位，复数，则复数在复平面上的对应点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限【答案】B【解析】由复数的除法运算得==，所以=，在复平面上的对应点为（，位于第三象限，故选B【考点】复数的除法运算，共轭复数的概念，复数的点表示6.若则|z|=A．3B．4C．5D．7【答案】C【解析】复数的模长为,所以，故选C【考点】复数模长计算.7.已知为虚数单位，复数，则复数的虚部是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】，则复数的虚部是。
【考点】复数的除法运算复数的基本概念。
8.已知复数，则 .【答案】5【解析】.【考点】复数的模.9.若复数是纯虚数，则实数的值为（）A．1B．2C．1或2D．-1【答案】B【解析】当，时，复数为纯虚数，由解得或，又，所以．【考点】复数的分类．10.复数z满足是虚数单位)，若复数的实部与虚部相等，则等于（）A．12B．4C．D．l2【答案】D.【解析】∵，∴，∵复数的实部与虚部相等，∴.【考点】复数的计算.11.已知是方程的一个根(为实数)．（1）求的值；（2）试说明也是方程的根.【答案】（1）；（2）证明详见解析.【解析】（1）依题意将代入方程化简整理即可得到，然后根据复数相等的条件得到，进而求出即可；（2）根据（1）中确定的方程，将代入方程的左边，化简得到0，即可说明也是方程的一个根.（其实作为实系数的二次方程，若有虚根，则该二次方程的两根必互为共轭复数.）（1）因为是方程的根∴即∴，得∴的值为 5分（2）因为方程为把代入方程左边得，显然方程成立∴也是方程的一个根 10分【考点】1.复数的四则运算；2.两复数相等的条件.12.是虚数单位,复数在复平面上的对应点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】对于在复平面中对应的点为，,可知在平面上的对应点为，在第四象限．【考点】复数的四则运算，复数的几何意义．13.已知是复数，且，则的最大值为．【答案】6【解析】,在复平面中表示的是单位圆，为表示的点与表示的点距离，结合图象可知最大值为6．【考点】复数的几何意义，数形结合的数学思想．14.复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以复数的虚部为1，故选A.【考点】1.复数的运算；2.复数的基本概念.15.已知复数，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意【考点】复数的运算16.若是纯虚数，则实数的值是【答案】2【解析】因为是纯虚数，所以，解得【考点】纯虚数概念17.若复数满足，则等于【答案】【解析】设z=a+bi（a，b∈R），由得，，∴，解得a=3，b=4，故选B．【考点】1.复数相等的充要条件；2.复数求模．18.（本小题满分12分）已知复数.（1）实数为何值时，复数为纯虚数？（2）若，计算复数.【答案】（1）m=0；（2）.【解析】（1）若z为纯虚数，则z的实部不为0，虚部为0从而可以建立与m有关的方程与不等式，进而求得m的值；（2）当m=2时，z=2+i，代入计算即可求得.（1）复数z为纯虚数，则， 5分解得m=0 6分（2）若m=2，则z=2+i 7分∴ 12分．【考点】 1、纯虚数的概念；2、复数的计算.19.已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值是 .【答案】【解析】因为，所以若复数为纯虚数，则有.【考点】1.复数的基本概念；2.复数的四则运算.20.已知复数（为虚数单位），则 .【答案】【解析】因为，所以所以本题也可利用复数模的性质进行求解，即【考点】复数的模21.在复平面内，设(是虚数单位)，则复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】因为，所以，该复数对应点的坐标为，落在第一象限，所以选A.【考点】1.复数的四则运算；2.复数的几何意义.22.若复数 (为虚数单位，)是纯虚数，则复数的模是________．【答案】【解析】因为，由复数(为虚数单位，)是纯虚数可得，所以复数的模为.【考点】1.复数的四则运算；2.复数的基本概念.23. 已知a ，b ∈R ，a ＋bi ＝(1＋2i)(1－i) (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为 ． 【答案】4【解析】根据复数乘法法则，将化为，再由两复数相等，它们实部与虚部分别相等得【考点】复数乘法法则，复数相等概念24. 已知复数z ＝1＋i ，求实数a ，b ，使az ＋2b ＝(a ＋2z )2. 【答案】或【解析】∵z ＝1＋i ，∴az ＋2b ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i. 而(a ＋2z )2＝[(a ＋2)＋2i]2＝(a ＋2)2＋4(a ＋2)i ＋4i 2 ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i. ∵az ＋2b ＝(a ＋2z )2，∴解得或25. 已知复数z 1＝3和z 2＝－5＋5i 对应的向量分别为＝a ，＝b ，求向量a 与b 的夹角．【答案】【解析】设a ，b 的夹角为α，a ＝(3,0)，b ＝(－5,5)， 则cos α＝，∵0≤α≤π，∴α＝.26. 复数的共轭复数为 ( )．A ．－iB ．iC ．－iD ．i【答案】C 【解析】＝i ，其共轭复数为－i.27. 已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，复数z 2的虚 部为2，且z 1z 2为实数，求z 2及|z 2|. 【答案】 【解析】z 1＝＋2＝＋2＝＋2＝2－i ，设z 2＝a ＋2i(a ∈R)，则z 1z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i ， 由于z 1z 2为实数， ∴4－a ＝0.∴a ＝4. ∴z 2＝4＋2i |z 2|＝. 28.＝( )．A ．2－iB ．1－2iC ．－2＋iD ．－1＋2i【答案】C【解析】＝＝－2＋i.29.当z＝－时，z100＋z50＋1的值等于()．A．1B．－1C．i D．－i【答案】D【解析】根据题意，当z＝－时，z100＋z50＋1=的值等于-i，故选D.【考点】导数研究函数的单调性点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，易错点在于忽视函数的定义域，属于中档题30.在复数范围内解方程.(i为虚数单位)【答案】z=-±i.【解析】本试题主要考查了复数的运算的问题。
高二数学复数综合运算试题答案及解析
高二数学复数综合运算试题答案及解析1.若，则复数=（）A．B．C．D．5【答案】C【解析】,,答案选C.【考点】复数的概念与运算2.已知为纯虚数，是实数，那么（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设z=bi,由是实数得2b+1=0即,所以,答案选D.【考点】复数的概念与运算3.在复平面内，记复数对应的向量为，若向量绕坐标原点逆时针旋转得到向量所对应的复数为．【答案】.【解析】,,将向量绕坐标原点逆时针旋转，则点在轴上，到原点的距离为，所以对应点的复数为.【考点】复数的概念.4.计算：12|3＋4i|－10（i2010+i2011+i2012＋i2013）＝______ . （其中i为虚数单位）【答案】60【解析】∵，∴=-1-i+1+i=0，且|3+4i|=5，∴12×|3+4i|-10×（i2010+i2011+i2012+i2013）=60，故答案：60．【考点】虚数单位i及其性质．5.已知复数z=(2+i)m2--2(1-i).当实数m取什么值时,复数z是:(1)虚数;(2)纯虚数;(3)复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数?【答案】(1) m≠2且m≠1时,z为虚数;(2)m=-时,z为纯虚数;(3) m=0或m=2时, z为复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.【解析】（1）复数z可表示为z=（2+i）m2﹣2（1﹣i）=2m2﹣2+（m2+2）i．只需令m2+2≠0即可；（2）只需2m2﹣2=0，且m2+2≠0即可；（3）只需2m2﹣2=﹣（m2+2）即可．试题解析：由于m∈R,复数z可表示为z=(2+i)m2-3m(1+i)-2(1-i)=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i.(1)当m2-3m+2≠0,即m≠2且m≠1时,z为虚数.（3分）(2)当即m=-时,z为纯虚数.（3分）(3)当2m2-3m-2=-(m2-3m+2),即m=0或m=2时,z为复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.（4分）【考点】复数的基本概念．6.已知复数，.（1）若为纯虚数，求实数的值；（2）当=1时，若，请问复数在复平面内对应的点在第几象限？【答案】（1）；（2）第四象限【解析】（1）弄清楚纯虚数的概念，纯虚数是实部为0，虚部不为0的复数。
高中数学 专题3.1.2 复数的几何意义测试题(含解析)新人教A版选修1-2-新人教A版高二选修1-
复数的几何意义班级：某某：_____________1．复数z＝3＋i3对应的点在复平面第几象限( )A．一 B．二C．三 D．四答案 D解析由i2＝－1，z＝3－i，对应点坐标为(3，－1)．2．当0<m<1时，z＝(m＋1)＋(m－1)i对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案 D3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( ) A．4＋8i B．8＋2iC．2＋4i D．4＋i答案 C解析A(6,5)，B(－2,3)，∵C为AB的中点，∴C(2,4)，∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.4．已知复数z＝a＋b i(a、b∈R)，当a＝0时，复平面内的点z的轨迹是( )A．实轴 B．虚轴C．原点 D．虚轴除去原点答案 B解析a＝0时，z＝b i，复平面内的点z的轨迹是虚轴．5．已知复数z＝a＋3i在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于( )A．－1＋3i B．1＋3iC．－1＋3i或1＋3i D．－2＋3i答案 A解析因为z在复平面内对应的点位于第二象限，所以a <0，由|z |＝2知，a 2＋32＝2，解得a ＝±1，故a ＝－1，所以z ＝－1＋3i. 6．若θ∈(3π4，5π4)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 ∵θ∈(3π4，5π4)，∴cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0.∴选B.7．复数z ＝icos θ，θ∈[0,2π)的几何表示是( )A ．虚轴B ．虚轴除去原点C ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(0,1)，(0，－1)D ．C 中线段PQ ，但应除去原点答案 C8.设A 、B 为锐角三角形的两个内角，则复数z ＝(cos B －tan A )＋tan B i 对应的点位于复平面的() A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B9．若复数(－6＋k 2)－(k 2－4)i(k ∈R )所对应的点在第三象限，则k 的取值X 围是________． 答案 2<k <6或－6<k <－2解析 ∵z 位于第三象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－6<0，4－k 2<0，∴2<k <6或－6<k <－2.10．复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，求|z |.解 ∵复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1＝0，a ＋1≠0.解得a ＝1，∴z ＝2i.∴|z |＝2.11．若复数z 1＝1－i ，z 2＝3－5i ，则复平面上与z 1，z 2对应的点Z 1与Z 2的距离为________． 答案 2 512．复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则|z |＝______.答案 213.当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点：(1)位于第四象限；(2)位于x 轴负半轴上；(3)在上半平面(含实轴)．解 (1)要使点位于第四象限，须⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－8m ＋15>0m 2＋3m －28<0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m <3或m >5－7<m <4，∴－7<m <3.(2)要使点位于x 轴负半轴上，须⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－8m ＋15<0m 2＋3m －28＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3<m <5m ＝－7或m ＝4，∴m ＝4.(3)要使点位于上半平面(含实轴)，须m 2＋3m －28≥0，解得m ≥4或m ≤－7.。
复数的几何意义测验
复数的几何意义测验一、填空题（共12题，60分）1、写出下面复平面中点所表示的复数= （格式为：a+bi）正确答案：第1空:1+4i解析：2、写出下面复平面中点所表示的复数= （格式为：a+bi）正确答案：第1空:3解析：3、写出下面复平面中点所表示的复数= （格式为：a+bi）正确答案：第1空:i解析：4、写出下面复平面中点所表示的复数= （格式为：a+bi）正确答案：第1空:-3+2i解析：5、写出下面复平面中点所表示的复数= （格式为：a+bi）正确答案：第1空:-2解析：6、写出下面复平面中点所表示的复数= （格式为：a+bi）正确答案：第1空:-3-2i解析：7、写出下面复平面中点所表示的复数= （格式为：a+bi）正确答案：第1空:-3i解析：8、写出下面复平面中点所表示的复数= （格式为：a+bi）正确答案：第1空:4-3i解析：9、复数3-4i的模为正确答案：第1空:5解析：10、复数2+2i的辐角为度正确答案：第1空:45解析：11、复数-3的模为正确答案：第1空:3解析：12、复数2i的辐角为度正确答案：第1空:90解析：二、单选题（共8题，40分）1、复数 2 对应下面复平面内的点A、 AB、 DC、 JD、 G正确答案： A解析：2、复数 -2i 对应下面复平面内的点A、 AB、 DC、 JD、 G正确答案： C解析：3、复数 -2+4i 对应下面复平面内的点A、 EB、 FC、 LD、 K正确答案： A解析：4、复数 4-2i 对应下面复平面内的点A、 BB、 CC、 LD、 K正确答案： C解析：5、复数 4+2i 对应下面复平面内的点A、 BB、 CC、 HD、 I正确答案： A解析：6、复数 -2-4i 对应下面复平面内的点A、 BB、 CC、 HD、 I正确答案： D解析：7、复数-1+i的模和辐角分别为A、 1 ，135°B、C、，45°D、，135° 正确答案： D解析：8、复数-2的模和辐角分别为A、 -2 ，0°B、 -2 ，180°C、 2 ，180°D、 2 ，0°正确答案： C解析：。
高中数学(选修2 2)3.3《复数的几何意义》同步测试题2套
高中数学(选修2 2)3.3《复数的几何意义》同步测试题2套高中数学(选修2-2)3.3《复数的几何意义》同步测试题2套3.3复数的几何意义检验一、选择题1.已知复数Z满足Z？2z？3.那么复Z的对应点的轨迹是（）ｂ．线段我c、两点ｄ．两个圆22.两个复数1313i，有以下四个结论：？我2222① 1.②1；③?1；④?3??3?1．??ｃ．3ｄ．4.其中正确结论的个数为（）a、 1b。
回答：B 2。
填空3．设复数z满足条件z?1，那么z?22?i的最大值是答案：4．4．设z?c且z?i?z?1，则复数z在复平面上的对应点z(x，y)的轨迹方程是，z?i的最小值为．答案：x?y?0；三、解答题225.实m，复Z的值是多少？m（1？i）？（M？I）（1）是实数；（2）是一个纯虚数；（3）对应的点位于复平面的第一象限．解：z?(m?m)?(m?1)i．（1）由m?1?0，解得m?1或?1，2222? M1还是？当1时，Z是实数；2??m??1，?m?1?0，（2）由?2解得?M0还是1，？？MM0米？0m0时，z是纯虚数；2.MM0米？1还是m？0，（3）通过？2.解决方案是什么？m?1或m??1，?m?1?0，即m?1或m??1，?m?1或m??1时，z对应的点位于复平面的第一象限。
6.在复平面上，正方形ABCD的两个顶点a和B对应的复数是1？2i、3？5I。
求对应于其他两个顶点C和D的复数。
解决方案：让D的坐标为（x，y）。
ad?x?yi?(1?2i)?x?1?(y?2)i（x？1，y？2），ab？（2，？7），广告？ab有2(x?1)?7(y?2)?0。
而且①公元ab？53，②（x？1）2？（y？2）2？53。
由①②，解得??x??6，?x?8，或?Y0岁？4.zd？？6还是ZD？8.4i由bc?ad，即zc?zb?zd?za，则zc?zd?za?zb，zd？？6.zd？8.4i？？或z??4?7i，z?10?3i.?c?c7．已知??z?i(z?c)，且最大值时的?．解决方案：让Z？A.Bi（a，B？R），那么？？A.（b？1）i。
高中数学学业分层测评9复数的几何意义(含解析)新人教A版选修1_2
复数的几何意义学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·长春高二检测)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i【解析】 由题意知A (6,5)，B (－2,3)，则AB 中点C (2,4)对应的复数为2＋4i. 【答案】 C2．复数z ＝1＋3i 的模等于( ) A ．2 B ．4 C.10D ．2 2【解析】 |z |＝|1＋3i|＝12＋32＝10，故选C. 【答案】 C3．复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，如果|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(1，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】 ∵|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝5， ∴a 2＋4<5，∴－1<a <1. 【答案】 A4．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i【解析】 因为A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点为B (－2,1)，所以向量OB →对应的复数为－2＋i.【答案】 B5．已知复数z 对应的点在第二象限，它的模是3，实部为－5，则z 为( )【导学号：19220042】A ．－5＋2iB ．－5－2iC ．－5＋3iD ．－5－3i【解析】 设z ＝－5＋b i(b ∈R )，由|z |＝－52＋b 2＝3，解得b ＝±2，又复数z 对应的点在第二象限，则b ＝2，∴z ＝－5＋2i. 【答案】 A 二、填空题6．在复平面内，复数z 与向量(－3,4)相对应，则|z |＝________. 【解析】 由题意知z ＝－3＋4i ， ∴|z |＝－2＋42＝5.【答案】 57．已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内对应的点在第三象限，则实数x 的取值范围是________．【解析】 由已知得{ x 2－6x ＋5<0，x －2<0，∴{ 1<x <5，x <2，∴1<x <2. 【答案】 (1,2)8．已知△ABC 中，AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，则BC →对应的复数为________．【解析】 因为AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ， 所以AB →＝(－1,2)，AC →＝(－2，－3)．又BC →＝AC →－AB →＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以BC →对应的复数为－1－5i. 【答案】 －1－5i 三、解答题9．若复数z ＝x ＋3＋(y －2)i(x ，y ∈R )，且|z |＝2，则点(x ，y )的轨迹是什么图形？ 【解】 ∵|z |＝2， ∴x ＋2＋y －2＝2，即(x ＋3)2＋(y －2)2＝4.∴点(x ，y )的轨迹是以(－3,2)为圆心，2为半径的圆．10．实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝(m －3)＋(m 2－5m －14)i 的点： (1)位于第四象限；(2)位于第一、三象限；(3)位于直线y＝x上．【解】(1)由题意得{m－3>0，m2－5m－14<0，得3<m<7，此时复数z对应的点位于第四象限．(2)由题意得{m－3>0，m2－5m－14>0，或{m－3<0，m2－5m－14<0，∴m>7或－2<m<3，此时复数z对应的点位于第一、三象限．(3)要使复数z对应的点在直线y＝x上，只需m2－5m－14＝m－3，∴m2－6m－11＝0，∴m＝3±25，此时，复数z对应的点位于直线y＝x上．[能力提升]1．(2016·吉林高二检测)已知a∈R，且0<a<1，i为虚数单位，则复数z＝a＋(a－1)i 在复平面内所对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】∵0<a<1，∴a>0，且a－1<0，故复数z＝a＋(a－1)i在复平面内所对应的点(a，a－1)位于第四象限．【答案】 D2．已知实数a，x，y满足a2＋2a＋2xy＋(a＋x－y)i＝0，则点(x，y)的轨迹是( ) A．直线B．圆心在原点的圆C．圆心不在原点的圆D．椭圆【解析】因为a，x，y∈R，所以a2＋2a＋2xy∈R，a＋x－y∈R.又a2＋2a＋2xy＋(a ＋x－y)i＝0，所以{a2＋2a＋2xy＝0，a＋x－y＝0，消去a得(y－x)2＋2(y－x)＋2xy ＝0，即x2＋y2－2x＋2y＝0，亦即(x－1)2＋(y＋1)2＝2，该方程表示圆心为(1，－1)，半径为2的圆．【答案】 C3．若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝5，则复数z＝________.【解析】依题意可设复数z＝a＋2a i(a∈R)，由|z|＝5，得a2＋4a2＝5，解得a ＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i.【答案】 1＋2i 或－1－2i4．(2016·黄山高二检测)已知O 为坐标原点，OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i(a ∈R )．若OZ 1→与OZ 2→共线，求a 的值.【导学号：19220043】【解】 因为OZ 1→对应的复数为－3＋4i ， OZ 2→对应的复数为2a ＋i ，所以OZ 1→＝(－3,4)，OZ 2→＝(2a,1)．因为OZ 1→与OZ 2→共线，所以存在实数k 使OZ 2→＝kOZ 1→， 即(2a,1)＝k (－3,4)＝(－3k,4k )， 所以{ 2a ＝－3k ，＝4k ，所以⎩⎨⎧k ＝14，a ＝－38，即a 的值为－38.。
理解复数的几何意义练习题
理解复数的几何意义练习题在数学中，复数是由一个实部和一个虚部组成的数字。
复数可以用来表示平面上的点，并具有很多有趣的几何意义。
本文将通过几个练习题帮助读者更好地理解复数的几何意义。
1. 练习题一：复数的加法和减法考虑两个复数z1 = a + bi和z2 = c + di，其中a、b、c、d是实数。
我们可以将z1和z2表示为平面上的两个点P1和P2。
根据复数的加法和减法定义，我们知道z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i，z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i。
现在，我们可以进行如下练习：1.1 绘制点P1和P2在平面上的位置。
1.2 计算并绘制结果复数z1 + z2和z1 - z2在平面上的位置。
1.3 通过观察平面上的点，你能得出什么结论？2. 练习题二：复数的乘法考虑两个复数z1 = a + bi和z2 = c + di，其中a、b、c、d是实数。
我们可以将z1和z2表示为平面上的两个点P1和P2。
根据复数的乘法定义，我们知道z1 × z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i。
现在，我们可以进行如下练习：2.1 绘制点P1和P2在平面上的位置。
2.2 计算并绘制结果复数z1 × z2在平面上的位置。
2.3 通过观察平面上的点，你能得出什么结论？3. 练习题三：复数的除法考虑两个非零复数z1 = a + bi和z2 = c + di，其中a、b、c、d是实数。
我们可以将z1和z2表示为平面上的两个点P1和P2。
根据复数的除法定义，我们知道z1 ÷ z2 = [(ac + bd)/(c^2 + d^2)] + [(bc - ad)/(c^2 +d^2)]i。
现在，我们可以进行如下练习：3.1 绘制点P1和P2在平面上的位置。
3.2 计算并绘制结果复数z1 ÷ z2在平面上的位置。
3.3 通过观察平面上的点，你能得出什么结论？通过完成上述练习题，我们可以更加直观地理解复数在平面上的几何意义。
复数的几何意义综合测试题(带答案)
复数的几何意义综合测试题（带答案）选修2-23.1.2复数的几何意义一、选择题1．如果复数a＋bi(a，b∈R)在复平面内的对应点在第二象限，则() A．a>0，bB．a>0，b>0C．aD．a0答案]D解析]复数z＝a＋bi在复平面内的对应点坐标为(a，b)，该点在第二象限，需a0，故应选D.2．(2010•北京文，2)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i答案]C解析]由题意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中点C(x，y)，则x＝6－22＝2，y ＝5＋32＝4，∈点C对应的复数为2＋4i，故选C.3．当23A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案]D解析]∈23＜m＜1，∈3m－2>0，m－1＜0，∈点(3m－2，m－1)在第四象限．4．复数z＝－2(sin100°－icos100°)在复平面内所对应的点Z位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案]C解析]z＝－2sin100°＋2icos100°.∈－2sin100°∈Z点在第三象限．故应选C.5．若a、b∈R，则复数(a2－6a＋10)＋(－b2＋4b－5)i对应的点在() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案]D解析]a2－6a＋10＝(a－3)2＋1>0，－b2＋4b－5＝－(b－2)2－16．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是()A．z对应的点在第一象限B．z一定不是纯虚数C．z对应的点在实轴上方D．z一定是实数答案]C解析]∈2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)的值可正、可负、可为0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1≥1，∈排除A、B、D，选C.7．下列命题中假命题是()A．复数的模是非负实数B．复数等于零的充要条件是它的模等于零C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D．复数z1>z2的充要条件是|z1|＞|z2|答案]D解析]①任意复数z＝a＋bi(a、b∈R)的模|z|＝a2＋b2≥0总成立．∈A正确；②由复数相等的条件z＝0∈a＝0b＝0.∈|z|＝0，故B正确；③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R)若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，∈|z1|＝|z2|反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时|z1|＝|z2|，故C正确；④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∈D错．8．已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于10，则实数x的取值范围是()A．－45B．xC．x>－45D．x＝－45或x＝2答案]A解析]由题意知(x－1)2＋(2x－1)2解之得－459．已知复数z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝－1＋ai，若|z1|A．b1B．－1C．b>1D．b>0答案]B解析]由|z1|∈b210．复平面内向量OA→表示的复数为1＋i，将OA→向右平移一个单位后得到向量O′A′→，则向量O′A′→与点A′对应的复数分别为()A．1＋i,1＋iB．2＋i,2＋iC．1＋i,2＋iD．2＋i,1＋i答案]C解析]由题意O′A′→＝OA→，对应复数为1＋i，点A′对应复数为1＋(1＋i)＝2＋i.二、填空题11．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为________________．答案]－∞，－1－52∈32，＋∞解析]复数z对应的点在第一象限需m2＋m－1>04m2－8m＋3>0解得：m32.12．设复数z的模为17，虚部为－8，则复数z＝________.答案]±15－8i解析]设复数z＝a－8i，由a2＋82＝17，∈a2＝225，a＝±15，z＝±15－8i.13．已知z＝(1＋i)m2－(8＋i)m＋15－6i(m∈R)，若复数z对应点位于复平面上的第二象限，则m的取值范围是________．答案]3解析]将复数z变形为z＝(m2－8m＋15)＋(m2－m－6)i∈复数z对应点位于复平面上的第二象限∈m2－8m＋150解得314．若t∈R，t≠－1，t≠0，复数z＝t1＋t＋1＋tti 的模的取值范围是________．答案]2，＋∞)解析]|z|2＝t1＋t2＋1＋tt2≥2t1＋t•1＋tt＝2.∈|z|≥2.三、解答题15．实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝2m＋(4－m2)i的点(1)位于虚轴上；(2)位于一、三象限；(3)位于以原点为圆心，以4为半径的圆上．解析](1)若复平面内对应点位于虚轴上，则2m＝0，即m＝0.(2)若复平面内对应点位于一、三象限，则2m(4－m2)>0，解得m(3)若对应点位于以原点为圆心，4为半径的圆上，则4m2＋(4－m2)2＝4即m4－4m2＝0，解得m＝0或m＝±2.16．已知z1＝x2＋x2＋1i，z2＝(x2＋a)i，对于任意的x∈R，均有|z1|>|z2|成立，试求实数a的取值范围．解析]|z1|＝x4＋x2＋1，|z2|＝|x2＋a|因为|z1|>|z2|，所以x4＋x2＋1>|x2＋a|∈x4＋x2＋1>(x2＋a)2∈(1－2a)x2＋(1－a2)>0恒成立．不等式等价于1－2a＝0或1－2a>0Δ＝－4(1－2a)(1－a2)解得－1所以a的取值范围为－1，12.17．已知z1＝cosθ＋isin2θ，z2＝3sinθ＋icosθ，当θ为何值时(1)z1＝z2；(2)z1，z2对应点关于x轴对称；(3)|z2|解析](1)z1＝z2∈cosθ＝3sinθsin2θ＝cosθ∈tanθ＝332sinθcosθ＝cosθ∈θ＝2kπ＋π6(k∈Z)．(2)z1与z2对应点关于x轴对称∈cosθ＝3sinθsin2θ＝－cosθ∈θ＝kπ＋π6(k∈Z)2sinθcosθ＝－cosθ∈θ＝2kπ＋76π(k∈Z)．(3)|z2|∈3sin2θ＋cos2θ∈kπ－π418．已知复数z1＝3－i及z2＝－12＋32i.(1)求|z1|及|z2|的值并比较大小；(2)设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的轨迹是什么图形？解析](1)|z1|＝|3＋i|＝(3)2＋12＝2|z2|＝－12－32i＝1.∈|z1|＞|z2|.(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2.因为|z|≥1表示圆|z|＝1外部所有点组成的集合．|z|≤2表示圆|z|＝2内部所有点组成的集合，∈1≤|z|≤2表示如图所示的圆环．。
高二数学 3.1.2 复数的几何意义练习 新人教A版选修1-2
3.1.2复数的几何意义一、选择题1．复数z ＝－2＋i ，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] B[解析] 复数z 在复平面内对应的点为(－2,1)，位于第二象限．2．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( )A ．0B ．－3C ．－3iD ．3 [答案] C[解析] 复数的实部为0，虚部为－3，所以对应的复数为－3i.3．复数z ＝1＋(2－sin θ)i 在复平面内对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] A[解析] ∵1>0,2－sin θ>0，∴复数对应的点在第一象限．4．复数z 与它的模相等的充要条件是( )A ．z 为纯虚数B ．z 是实数C ．z 是正实数D ．z 是非负实数[答案] D[解析] ∵z ＝|z |，∴z 为实数且z ≥0.5．已知复数z ＝(m －3)＋(m －1)i 的模等于2，则实数m 的值为( )A ．1或3B ．1C ．3D ．2 [答案] A[解析] 依题意可得m －32＋m －12＝2，解得m ＝1或3，故选A ．6．已知平行四边形OABC ，O 、A 、C 三点对应的复数分别为0、1＋2i 、3－2i ，则向量AB →的模|AB →|等于( )A ． 5B ．2 5C ．4D ．13[答案] D[解析] 由于OABC 是平行四边形，故AB →＝OC →，因此|AB →|＝|OC →|＝|3－2i|＝13，故选D ．二、填空题7．已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内的对应点在第三象限，则实数x 的取值范围是________.[答案] (1,2)[解析] 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－6x ＋5<0x －2<0，解得1<x <2.8．已知复数z 1＝－2＋3i 对应点为Z 1，Z 2与Z 1关于x 轴对称，Z 3与Z 2关于直线y ＝－x 对称，则Z 3点对应的复数为z ＝________.[答案] 3＋2i[解析] Z 1(－2,3)，Z 2(－2，－3)，Z 3(3,2)∴z ＝3＋2i.9．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________.[答案] 12[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋2m －3≠0m 2－9＝0，∴m ＝3，∴z ＝12i ，∴|z |＝12.三、解答题10．如果复数z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围．[解析] ∵z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －1＞04m 2－8m ＋3＞0，解得m ＜－1－52或m ＞32， 即实数m 的取值范围是m ＜－1－52或m ＞32.一、选择题1．已知复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的模小于10，则实数x 的取值范围是( )A ．－45<x <2B ．x <2C ．x >－45D ．x <－45或x >2 [答案] A[解析] 由条件知，(x －1)2＋(2x －1)2<10，∴5x 2－6x －8<0，∴－45<x <2. 2．设复数z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论中正确的是( )A ．复数z 对应的点在第一象限B ．复数z 一定不是纯虚数C ．复数z 对应的点在实轴上方D ．复数z 一定是实数[答案] C [解析] ∵2t 2＋5t －3＝0的Δ＝25＋24＝49>0，∴方程有两根，2t 2＋5t －3的值可正可负，∴A 、B 不正确．又t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1>0，∴D 不正确，∴C 正确．3．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( )A ．1B ．2C ． 5D ．3 [答案] D[解析] |z |＝2，复数z 对应的点在以原点为圆心，半径为2的圆上，|z －i|表示圆上的点到(0,1)的距离，最大为2＋1＝3.4．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是( )A ．(1,5)B ．(1,3)C ．(1，5)D ．(1，3) [答案] C[解析] 由已知，得|z |＝a 2＋1.由0<a <2，得0<a 2<4，∴1<a 2＋1<5.∴|z |＝a 2＋1∈(1，5)．故选C ．二、填空题5．已知复数z 1＝－1＋2i 、z 2＝1－i 、z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A 、B 、C ，若O C →＝x O A →＋y O B →(x 、y ∈R )，则x ＋y 的值是______.[答案] 5[解析] 由复数的几何意义可知，O C →＝xOA →＋yOB →，即3－2i ＝x (－1＋2i)＋y (1－i)，∴3－2i ＝(y －x )＋(2x －y )i.由复数相等可得⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝32x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝4.∴x ＋y ＝5.6．设(1＋i)sin θ－(1＋icos θ)对应的点在直线x ＋y ＋1＝0上，则tan θ的值为________.[答案] 12[解析] 由题意，得sin θ－1＋sin θ－cos θ＋1＝0，∴tan θ＝12. 三、解答题7．已知a ∈R ，则复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在复平面的第几象限内？复数z 的对应点的轨迹是什么曲线？[解析] a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1.由实部大于0，虚部小于0可知，复数z 的对应点在复平面的第四象限内．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2)．消去a 2－2a ，得y ＝－x ＋2(x ≥3)．所以复数z 的对应点的轨迹是以(3，－1)为端点，－1为斜率，在第四象限的一条射线．8．设z ∈C ，则满足条件|z |＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应的点Z 的集合是什么图形？[解析] 解法一：|z |＝|3＋4i|得|z |＝5.这表明向量OZ →的长度等于5，即点Z 到原点的距离等于5.因此，满足条件的点Z 的集合是以原点O 为原点，以5为半径的圆．解法二：设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，则|z |2＝x 2＋y 2.∵|3＋4i|＝5，∴由|z |＝|3＋4i|得x 2＋y 2＝25，∴点Z 的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆．。
苏教版数学高二- 选修2-2试题 3.3《复数的几何意义》(2)
3.3 复数的几何意义 同步检测（2）一、基础过关1．复数z ＝11－i 的共轭复数是________． 2．若z ＝21－i，那么z 100＋z 50＋1的值是________． 3．复数z ＝－1＋i 1＋i－1.在复平面内，z 所对应的点在第______象限． 4．已知z ＝(2－i)3，则z·z ＝________.5．复平面内点A 、B 、C 对应的复数分别为i 、1、4＋2i ，由A→B→C→D 按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则|BD →|等于________．6．已知复数z ＝2－i 1－i，其中i 是虚数单位，则|z|＝________. 二、能力提升7．已知(a －i)2＝2i ，那么实数a ＝________.8．设复数z 满足条件|z|＝1，那么|z ＋22＋i|的最大值是________．9．已知a ∈R ，z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹是什么？10．设复数z ＝1＋i 2＋31－i 2＋i ，若z 2＋a·z ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．11．在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数是2＋i.(1)如果点A 关于实轴的对称点为B ，求向量OB →对应的复数；(2)如果(1)中点B 关于虚轴的对称点为C ，求点C 对应的复数．三、探究与拓展12．是否存在复数z ，使其满足z ·z ＋2i z ＝3＋ai ？如果存在，求实数a 的取值范围；如果不存在，请说明理由．答案 1.1＋i 22．i3．二4．1255.136.1027．－18．49．解 由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，∴复数z 的实部为正数，虚部为负数，因此，复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋yi (x 、y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－a 2－2a ＋2消去a 2－2a 得：y ＝－x ＋2 (x≥3)．∴复数z 的对应点的轨迹是一条射线，方程为y ＝－x ＋2 (x≥3)．10．解 z ＝1＋i 2＋31－i 2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i＝3－i2－i 5＝1－i. 因为z 2＋a·z ＋b ＝1＋i ，所以(1－i)2＋a(1－i)＋b ＝1＋i.所以(a ＋b)－(a ＋2)i ＝1＋i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－a ＋2＝1，解得a ＝－3，b ＝4. 即实数a ，b 的值分别是－3,4.11．解 (1)设所求向量OB →对应的复数为z 1＝a ＋bi(a ，b ∈R )，则点B 的坐标为(a ，b)．已知A(2,1)，由对称性可知a ＝2，b ＝－1.所以OB →对应的复数为z 1＝2－i.(2)设所求点C 对应的复数为z 2＝c ＋di(c ，d ∈R )，则C(c ，d)．由(1)，得B(2，－1)．由对称性可知，c ＝－2，d ＝－1.故点C 对应的复数为z 2＝－2－i.12．解 设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R )，则原条件等式可化为x 2＋y 2＋2i(x －yi)＝3＋ai.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2y ＝3，2x ＝a. 消去x ，得y 2＋2y ＋a 24－3＝0.所以当Δ＝4－4⎝⎛⎭⎫a 24－3＝16－a 2≥0，即－4≤a≤4时，复数z 存在． 故存在满足条件的复数z ，实数a 的取值范围为－4≤a≤4.。
人教版数学高二B版选修2-2学业测评 3.1.3 复数的几何意义
学业分层测评(建议用时：45分钟)一、选择题1．(2016·青岛高二检测)在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 ∵sin 2>0，cos 2<0，∴复数z 对应的点(sin 2，cos 2)在第四象限．故选D.【答案】 D2．已知复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( )A ．a ≠2或a ≠1B ．a ≠2，且a ≠1C ．a ＝0D ．a ＝2或a ＝0 【解析】 由题意，得a 2－2a ＝0，得a ＝0或a ＝2.故选D.【答案】 D3．在复平面内，O 为原点，向量OA→对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为点B ，则向量OB→对应的复数为( ) A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i【解析】 因为复数－1＋2i 对应的点为A (－1,2)，点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B (－2,1)，所以OB→对应的复数为－2＋i. 【答案】 B4．已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹是( )A ．1个圆B ．线段C ．2个点D ．2个圆【解析】 由题意知(|z |－3)(|z |＋1)＝0，即|z |＝3或|z |＝－1，∵|z |≥0，∴|z |＝3，∴复数z 对应点的轨迹是1个圆．【答案】 A5．实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )【导学号：05410066】A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 由题意可得复数z ＝－2＋i ，故在复平面内对应的点为(－2,1)，在第二象限，故选B.【答案】 B二、填空题6．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝______.【解析】 复数z 1＝2－3i 对应的点为(2，－3)，则z 2对应的点为(－2,3)，所以z 2＝－2＋3i.【答案】 －2＋3i7．已知在△ABC 中，AB→，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，则BC →对应的复数为________．【解析】 因为AB→，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，所以AB →＝(－1,2)，AC→＝(－2，－3)，又BC →＝AC →－AB →＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以BC→对应的复数为－1－5i. 【答案】 －1－5i8．已知3－4i ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|1－5i|，|x －y i|，|y ＋2i|的大小关系为________．【解析】 由3－4i ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，得x ＝3，y ＝－4.而|1－5i|＝1＋52＝26，|x －y i|＝|3＋4i|＝32＋42＝5，|y ＋2i|＝|－4＋2i|＝(－4)2＋22＝20， ∵20<5<26，∴|y ＋2i|<|x －y i|<|1－5i|.【答案】 |y ＋2i|<|x －y i|<|1－5i|三、解答题9．如果复数z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围．【解】 ∵复数z 对应的点在第一象限．∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1>0，4m 2－8m ＋3>0， 解得m <－1－52或m >32.所以实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－52∪⎝⎛⎭⎪⎫32，＋∞. 10．已知x ，y ∈R ，若x 2＋2x ＋(2y ＋x )i 和3x －(y ＋1)i 是共轭复数，求复数z ＝x ＋y i 和z .【解】 若两个复数a ＋b i 与c ＋d i 共轭，则a ＝c ，且b ＝－d .由此可得到关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＝3x ，2y ＋x ＝y ＋1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ z ＝i ，z ＝－i 或⎩⎪⎨⎪⎧z ＝1，z ＝1.1．已知复数z 对应的向量为O Z →(O 为坐标原点)，O Z →与实轴正向的夹角为120°，且复数z 的模为2，则复数z 为( )A ．1＋3iB ．2C ．(－1, 3)D ．－1＋3i 【解析】 设复数z 对应的点为(x ，y )，则x ＝|z |·cos 120°＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1， y ＝|z |·sin 120°＝2×32＝3，∴复数z 对应的点为(－1, 3)，∴z ＝－1＋3i.【答案】 D2．与x 轴同方向的单位向量e 1，与y 轴同方向的单位向量e 2，它们对应的复数分别是( )A ．e 1对应实数1，e 2对应虚数iB ．e 1对应虚数i ，e 2对应虚数iC ．e 1对应实数1，e 2对应虚数－iD ．e 1对应实数1或－1，e 2对应虚数i 或－i【解析】 e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)．【答案】 A3．复数z ＝－5－12i 在复平面内对应的点到原点的距离为__________.【导学号：05410067】【解析】 复数z ＝－5－12i 在复平面内对应点Z (－5，－12)，所以点Z 与原点O 的距离为|OZ |＝(－5)2＋(－12)2＝13.【答案】 13 4．已知O 为坐标原点，OZ →1对应的复数为－3＋4i ，OZ →2对应的复数为2a ＋i(a ∈R )．若OZ →1与OZ →2共线，求a 的值． 【解】 因为OZ →1对应的复数为－3＋4i ，OZ →2对应的复数为2a ＋i ，所以 OZ →1＝(－3,4)，OZ →2＝(2a,1)．因为OZ →1与OZ →2共线，所以存在实数k 使OZ →2＝ kOZ →1，即(2a,1)＝k (－3,4)＝(－3k,4k )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝－3k ，1＝4k ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝14，a ＝－38， 即a 的值为－38.。
苏教版数学高二 选修2-2测评21 复数的几何意义
学业分层测评(二十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是________.【解析】 ∵复数6＋5i ，－2＋3i 对应点分别为A ，B ，∴点A (6,5)，B (－2,3).∴中点C (2,4)，其对应复数2＋4i.【答案】 2＋4i2.(2016·启东中学月考)若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i.(a ∈R )是纯虚数，则|z |＝________.【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，解得a ＝1，则z ＝2i ，故|z |＝2. 【答案】 23.复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)位于第________象限.【解析】 ∵z ＝i·(1＋i)＝－1＋i ，∴复数z 对应复平面上的点是(－1,1)，该点位于第二象限.【答案】 二4.已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A ，B ，C ，若OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的值是________.【导学号：01580070】【解析】 由复数的几何意义，知3－2i ＝x (－1＋2i)＋y (1－i)，∴3－2i ＝y －x ＋(2x －y )i.根据复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝y －x ，－2＝2x －y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.∴x ＋y ＝5. 【答案】 55.已知i 为虚数单位，复数z ＝－12＋32i 的共轭复数为z ，则z ＋|z |＝________. 【解析】 z ＝－12－32i ，|z |＝1，∴z ＋|z |＝12－32i. 【答案】 12－32i6.已知|z －3|＝1，则|z －i|的最大值为________.【解析】 由|z －3|＝1知z 表示以(3,0)为圆心，1为半径的圆，|z －i|表示点(0,1)到圆上的距离，则|z －i|的最大值为10＋1. 【答案】 10＋1 7.(2016·江西师大附中三模)设复数z ＝－1－i(i 是虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|(1－z )·z |＝________. 【解析】 z ＝－1＋i ，则|(1－z )·z |＝|(2＋i)·(－1＋i)|＝|－3＋i|＝10. 【答案】 108.复数z ＝x ＋1＋(y －2)i(x ，y ∈R )，且|z |＝3，则点Z (x ，y )的轨迹是________.【解析】 ∵|z |＝3，∴(x ＋1)2＋(y －2)2＝3，即(x ＋1)2＋(y －2)2＝32.故点Z (x ，y )的轨迹是以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆.【答案】 以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆二、解答题9.已知复数z ＝1＋a i(a ∈R )，ω＝cos α＋isin α，α∈(0,2π)，若z ＝z ＋2i ，且|z －w |＝5，求角α的值.【解】 由题意知1＋a i ＝1＋(2－a )i ，则a ＝2－a ，即a ＝1，∴z ＝1＋i.由|z －w |＝5得(1－cos α)2＋(1－sin α)2＝5，整理得sin α＋cos α＝－1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－22， ∵0<α<2π，∴π4<α＋π4<94π，∴α＋π4＝5π4或α＋π4＝7π4，∴α＝π或α＝3π2.10.已知复数z 满足(z －2)i ＝a ＋i(a ∈R ).(1)求复数z ；(2)a 为何值时，复数z 2对应的点在第一象限.【解】 (1)由(z －2)i ＝a ＋i ，得z －2＝a ＋i i ＝1－a i ，∴z ＝3－a i.(2)由(1)得z 2＝9－a 2－6a i ，∵复数z 2对应的点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧9－a 2>0，－6a >0，解得－3<a <0. 故当a ∈(－3,0)时，z 2对应的点在第一象限.[能力提升]1.在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，那么BC →对应的复数为________.【解析】 由OB →＝OA →＋AB →，知OB →对应的复数为(－2＋i)＋(1＋5i)＝－1＋6i ，又BC →＝OC →－OB →，∴BC →对应的复数为(3＋2i)－(－1＋6i)＝4－4i.【答案】 4－4i2.(2016·宜昌模拟)已知复数z 满足(1＋i)z ＝1－i ，其中i 为虚数单位，则|z |＝________.【解析】 由(1＋i)z ＝1－i 得z ＝1－i 1＋i ＝－i ，∴|z |＝1. 【答案】 13.(2016·镇江二模)在复平面内，复数z ＝i 1－i ＋i 2 014表示的点所在的象限是________.【解析】 z ＝i 1－i＋i 2 014＝i －12＋i 2＝－32＋12i ，对应点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，故在第二象限.【答案】 第二象限4.已知O 为坐标原点，O Z →1对应的复数为－3＋4i ，O Z →2对应的复数为2a ＋i(a ∈R ).若O Z →1与O Z →2共线，求a 的值.【解】 因为O Z →1对应的复数为－3＋4i ，O Z →2对应的复数为2a ＋i ，所以O Z →1＝(－3,4)，O Z →2＝(2a,1).因为O Z →1与O Z →2共线，所以存在实数k 使O Z →2＝kOZ →1，即(2a,1)＝k (－3,4)＝(－3k,4k )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝－3k ，1＝4k ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝14，a ＝－38，即a 的值为－38.。
高中数学312复数的几何意义评估训练 A选修22 试题
3． 复数的几何意义双基达标限时20分钟1．过原点和3－i 对应点的直线的倾斜角是( )．A.π6 B ．－π6C.2π3D.5π6解析 ∵3－i 在复平面上的对应点是(3，－1)，∴tan α＝－1－03－0＝－33(0≤α<π)，∴α＝56π.答案 D2．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 ∵23<m <1，∴3m －2>0，m －1<0，∴点(3m －2，m －1)在第四象限．答案 D3．假如复数z ＝1＋a i 满足条件|z |<2，那么实数a 的取值范围是( )．A ．(－22，22)B ．(－2,2)C ．(－1,1)D ．(－3，3)解析 因为|z |<2，所以1＋a 2<2，那么1＋a 2<4，a 2<3，解得－3<a <3，应选D. 答案 D4．复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，那么实数a 的值是________．解析 由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a )一共线可知a ＝5. 答案 55．复数z ＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模为________．解析 |z |＝1＋cos α2＋sin 2α＝2＋2cos α＝4cos 2α2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2.∵π<α<2π，∴π2<α2<π，cos α2<0，∴|z |＝－cos α2.答案 －cos α26．实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2－5m －14)i 的点．(1)位于第四象限？ (2)位于第一、三象限？ (3)位于直线y ＝x 上？解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0，m 2－5m －14<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <3或者m >5，－2<m <7.解得－2<m <3或者5<m <7，此时复数z 对应的点位于第四象限．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0，m 2－5m －14>0或者⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0，m 2－5m －14<0.可等价转化为(m 2－8m ＋15)(m 2－5m －14)>0，即(m －3)(m －5)(m ＋2)(m －7)>0，利用“数轴标根法〞可得：m <－2或者3<m <5或者m >7，此时复数z 对应的点位于第一、三象限．(3)要使点Z 在直线y ＝x 上，需m 2－8m ＋15＝m 2－5m －14，解得m ＝293.此时，复数z 对应的点位于直线y ＝x 上．综合进步限时25分钟7．以下命题中为假命题的是( )．A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|>|z 2|解析 A 中任意复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立，∴A 正确；B 中由复数为零的条件z ＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0⇔|z |＝0，故B 正确；C 中假设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1、b 1、a 2、b 2∈R )，假设z 1＝z 2，那么有a 1＝a 2，b 1＝b 2，∴|z 1|＝|z 2|，反之由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，如z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时，|z 1|＝|z 2|，故C 正确；D 中两个复数不能比拟大小，但任意两个复数的模总能比拟大小，∴D 错． 答案 D8．设复数z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，那么以下结论中正确的选项是( )．A ．复数z 对应的点在第一象限B ．复数z 一定不是纯虚数C ．复数z 对应的点在实轴上方D ．复数z 一定是实数解析 ∵z 的虚部t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1恒为正， ∴z 对应的点在实轴上方，且z 一定是虚数，排除D.又z 的实部2t 2＋5t －3＝(t ＋3)(2t －1)可为正、为零、为负，∴选项A 、B 不正确． 答案 C9． 复数z ＝x －2＋y i 的模是22，那么点(x ，y )的轨迹方程是 ________________．解析 由模的计算公式得x －22＋y 2＝22，∴(x －2)2＋y 2＝8. 答案 (x －2)2＋y 2＝810．实数m 满足不等式|log 2m ＋4i|≤5，那么m 的取值范围为________．解析 由题意知(log 2m )2＋16≤25，即(log 2m )2≤9， －3≤log 2m ≤3，所以2－3≤m ≤23，即18≤m ≤8.答案 18≤m ≤811．设z 为纯虚数，且|z －1|＝|－1＋i|，求复数z .解 ∵z 为纯虚数，∴设z ＝a i(a ∈R 且a ≠0)， 又|－1＋i|＝2，由|z －1|＝|－1＋i|， 得a 2＋1＝2，解得a ＝±1，∴z ＝±i.12．(创新拓展)a ∈R ，z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹是什么？解 由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，∴复数z 的实部为正数，复数z 的虚部为负数，因此，复数z 的对应点在第四象限． 设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－a 2－2a ＋2，消去a 2－2a 得：y ＝－x ＋2(x ≥3)． ∴复数z 的对应点的轨迹是一条射线， 方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
高二数学复数的几何意义试题
高二数学复数的几何意义试题1.（12分）已知z、w为复数，（1+3i）z为实数，w=.【答案】w＝1+7i或w＝－1－7i.【解析】设w＝x+yi(x，y∈R)，、复数z用复数w表示，整理（1+3i）z的虚部为0，和，可求出x，y，即得到复数w.设w＝x+yi(x，y∈R)，依题意得(1+3i)(2+i)w＝(－1+7i)w为实数，且|w|＝5，∴，………………………………………………………………8分解之得或，…………………………………………………10分∴w＝1+7i或w＝－1－7i.………………………………………………12分2.复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】解：因为，在复平面上对应的点位于第一象限，选A3.在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】对应的点在第三象限.4.复平面上的正方形的三个顶点表示的复数有三个为那么第四个顶点对应的复数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】把复数在复平面内对应的点画出来，四个点组成正方形，所以第四个顶点对应的复数是.5.（本小题满分12分）若复数（1）若在复平面内对应的点在第二象限内，求的取值范围.（2）若为纯虚数时，求.【答案】（1）（2）【解析】（1）z在复平面内对应的点为(m-1,m+1),.(2)z为纯虚数m=1,所以a=2i,所以然后分子分母同乘以分母的共轭复数化简即可.解：（1）（2）6.若i为虚数单位，右图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是（）A．E B． F C．G D．H【答案】D【解析】,对应点的坐标为(2,-1),对应的点为H。
7.在复平面内，复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】解：因为，因此对应的点在第一象限。
8.已知复数（、R）,且满足，则复数在复平面内对应的点位于第象限.【答案】四【解析】解：因为复数（、R）,且满足，故复数在复平面内对应的点位于第四象限9.设，则=A．2B．5C．D．【答案】D【解析】,应选D。
复数的几何意义达标测验练习含答案解析高二数学北京海淀
复数的几何意义课时自测·当堂达标1.下面是关于复数z=2-i的四个命题:p1:|z|=5;p2:z2=3-4i;p3:z的共轭复数为-2+i;p4:z的虚部为-1，其中真命题为( )A.p2，p3B.p1，p2C.p2，p4D.p3，p4【解析】选C.因为|z|==，z2=4-4i-1=3-4i ，=2+i，z的虚部为-1，所以p2，p4是真命题.2.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0，则复数z对应点的轨迹是( )A.1个圆B.线段C.2个点D.2个圆【解析】选A.由题意知(|z|-3)(|z|+1)=0，即|z|=3或|z|=-1，因为|z|≥0，所以|z|=3，所以复数z对应点的轨迹是1个圆.3.已知复数z对应的点落在虚轴上且满足|z-1|=3，则z为( )A.±2iB.2iC.±2iD.-2i【解析】选C.设z=ai(a≠0，a∈R)，则=3，a=±2，z=±2i.4.(2018·菏泽高二检测)已知x，y∈R，i为虚数单位，若1+xi=(2-y)-3i，则|x+yi|= ( )A. B.3 C. D.12【解析】选A.1+xi=(2-y)-3i ⇒⇒则|x+yi|=.5.在复平面内画出复数z 1=+i ，z 2=-1，z 3=-i 对应的向量，，，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系. 【解析】根据复数与复平面内的点一一对应，可知点Z 1，Z 2，Z 3的坐标分别为，(-1，0)，，则向量，，如图所示.|z 1|==1，|z 2|=|-1|=1，|z 3|==1.在复平面xOy 内，点Z 1，Z 3关于实轴对称，且Z 1，Z 2，Z 3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上.。
高中数学 复数的几何意义跟踪训练含解析64
复数的几何意义[A 组 学业达标]1．已知复数z ＝1＋i,则下列命题中正确的个数为( )①|z|＝2；②z 的虚部为i ；③z 在复平面上对应点在第一象限． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：|z|＝12＋12＝2,故①正确；z 的虚部为1,故②错误；z 在复平面上对应点是(1,1),在第一象限,故③正确． 答案：C2．复数z ＝cos 2π3＋isin π3在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因cos 2π3＜0,sin π3＞0,故复数z ＝cos 2π3＋isin π3对应的点在第二象限．答案：B3．在复平面内,复数6＋5i,－2＋3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点,则点C 对应的复数是( ) A ．4＋i B ．2＋4i C ．8＋2iD ．4＋8i解析：因为复数6＋5i,－2＋3i 对应的点分别为A(6,5),B(－2,3),且C 为线段AB 的中点,根据中点坐标公式可得C(2,4),则点C 对应的复数是2＋4i. 答案：B4．若复数z 满足方程|z ＋1－3i|＝2,则z 在复平面上表示的图形是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．抛物线D ．双曲线解析：原方程可化为|z －(－1＋3i)|＝2,其几何意义表示z 的坐标和(－1,3)之间的距离为2,满足圆的定义,故表示的图形是圆． 答案：B5．在复平面内,复数z 1,z 2对应点分别为A,B.已知A(1,2),|AB|＝25,|z 2|＝41,则z 2等于( ) A ．4＋5i B ．5＋4iC ．3＋4iD ．5＋4i 或15＋325i解析：设z 2＝x ＋yi(x,y ∈R),由条件得⎩⎪⎨⎪⎧x －12＋y －22＝20，x 2＋y 2＝41.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝325.故选D.答案：D6．已知3－4i ＝x ＋yi(x,y ∈R),则|1－5i|,|x －yi|,|y ＋2i|的大小关系为________． 解析：由3－4i ＝x ＋yi(x,y ∈R), 得x ＝3,y ＝－4,而|1－5i|＝1＋－52＝26,|x －yi|＝|3＋4i|＝32＋42＝5, |y ＋2i|＝|－4＋2i|＝－42＋22＝20.因为20＜5＜26,所以|y ＋2i|＜|x －yi|＜|1－5i|. 答案：|y ＋2i|＜|x －yi|＜|1－5i|7．复数z ＝3＋4i 对应的向量OZ →所在直线的斜率为________． 解析：由z ＝3＋4i 知,OZ →＝(3,4),所以直线的斜率：k ＝43.答案：438．已知复数z 1＝－1＋2i,z 2＝1－i,z 3＝3－2i,它们所对应的点分别是A,B,C,若OC →＝xOA →＋yOB →(x,y ∈R),则x ＋y 的值是________．解析：由复数的几何意义可知,OC →＝xOA →＋yOB →,即3－2i ＝x(－1＋2i)＋y(1－i),所以3－2i ＝(y －x)＋(2x －y)i.由复数相等可得,⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.所以x ＋y ＝5.答案：59．实数m 取什么值时,复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 在复平面内对应的点： (1)位于虚轴上？ (2)位于第一、三象限？(3)位于以原点为圆心,4为半径的圆上？解析：(1)若复数z 在复平面内的对应点位于虚轴上,则2m ＝0,即m ＝0.(2)若复数z 在复平面内的对应点位于第一、三象限,则2m(4－m 2)＞0,解得m ＜－2或0＜m ＜2.故满足条件的实数m 的取值范围为(－∞,－2)∪(0,2)．(3)若复数z 的对应点位于以原点为圆心,4为半径的圆上,则4m 2＋4－m 22＝4,即m 4－4m 2＝0,解得m ＝0或m ＝±2.10．复数i,1,4＋2i 分别对应平面上A,B,C 三点,另取一点D 作平行四边形ABCD,求BD 的长．解析：由题意得向量AB →对应的复数为1－i,设D 对应的复数为x ＋yi(x,y ∈R),则DC →＝(4－x,2－y),由AB →＝DC →,得⎩⎪⎨⎪⎧1＝4－x ，－1＝2－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.所以D 对应的复数为3＋3i,所以BD →＝(2,3),则|BD →|＝13,即BD 的长为13.[B 组 能力提升]11．复数z ＝1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为( ) A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2解析：|z|＝1＋cos α2＋sin 2α＝2＋2cos α＝4cos2α2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2.因为π＜α＜2π,所以π2＜α2＜π,cos α2＜0,于是|z|＝－2cos α2.故选B.答案：B12．满足条件|z －i|＝|3＋4i|的复数z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．一条直线 B ．两条直线 C ．圆D ．椭圆解析：设z ＝x ＋yi,因为|z －i|＝|3＋4i|,所以x 2＋y －12＝5.则x 2＋(y －1)2＝25,所以复数z 对应点的轨迹是圆． 答案：C13．若t ∈R,t≠－1,t≠0,则复数z ＝t 1＋t ＋1＋t t i 的模的取值范围是________．解析：|z|2＝⎝⎛⎭⎪⎫t 1＋t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t t 2≥2·t 1＋t ·1＋t t ＝2.(当且仅当t 1＋t ＝1＋t t ,即t ＝－12时,等号成立)．所以|z|≥ 2. 答案：[2,＋∞)14．设z ＝log 2(m 2－3m －3)＋i·log 2(m －3)(m ∈R),若z 对应的点在直线x －2y ＋1＝0上,则m 的值是________．解析：因为log 2(m 2－3m －3)－2log 2(m －3)＋1＝0, 整理得 log 22m 2－3m －3m －32＝0, 所以2m 2－6m －6＝m 2－6m ＋9, 即m 2＝15,m ＝±15.又因为m －3＞0且m 2－3m －3＞0, 所以m ＝15. 答案：1515．已知复数z 1＝3－i,z 2＝cos θ＋isin θ. (1)求|z 1|及|z 2|,并比较大小；(2)设z ∈C,满足条件|z 2|≤|z|≤|z 1|的点Z 的集合是什么图形？ 解析：(1)|z 1|＝32＋－12＝2,|z 2|＝cos 2θ＋sin 2θ＝1,所以|z 1|＞|z 2|. (2)由|z 2|≤|z|≤|z 1|,得1≤|z|≤2.因为|z|≥1表示圆|z|＝1外部及圆上所有点组成的集合,|z|≤2表示圆|z|＝2内部及圆上所有点组成的集合,故符合题设条件的点的集合是以O 为圆心,以1和2为半径的圆所夹的圆环(包括圆)． 16．已知复数z 0＝a ＋bi(a,b ∈R),z ＝(a ＋3)＋(b －2)i,若|z 0|＝2,求复数z 对应点的轨迹．解析：设z ＝x ＋yi(x,y ∈R),则复数z 的对应点为P(x,y),由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋3，y ＝b －2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x －3，①b ＝y ＋2.②因为z 0＝a ＋bi,|z 0|＝2,所以a 2＋b 2＝4. 将①代入②得(x －3)2＋(y ＋2)2＝4.所以点P 的轨迹是以(3,－2)为圆心,2为半径的圆.。
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选修2-2 3.1.2 复数的几何意义一、选择题1．如果复数a ＋b i(a ，b ∈R )在复平面内的对应点在第二象限，则( )A ．a >0，b <0B ．a >0，b >0C ．a <0，b <0D ．a <0，b >0 [答案] D[解析] 复数z ＝a ＋b i 在复平面内的对应点坐标为(a ，b )，该点在第二象限，需a <0且b >0，故应选D.2．(2018·北京文，2)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i [答案] C[解析] 由题意知A (6,5)，B (－2,3)，AB 中点C (x ，y )，则x ＝6－22＝2，y ＝5＋32＝4，∴点C 对应的复数为2＋4i ，故选C.3．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] D[解析] ∵23＜m ＜1，∴3m －2>0，m －1＜0， ∴点(3m －2，m －1)在第四象限．4．复数z ＝－2(sin100°－icos100°)在复平面内所对应的点Z 位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] C[解析] z ＝－2sin100°＋2icos100°. ∵－2sin100°<0,2cos100°<0， ∴Z 点在第三象限．故应选C.5．若a 、b ∈R ，则复数(a 2－6a ＋10)＋(－b 2＋4b －5)i 对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案] D[解析]a2－6a＋10＝(a－3)2＋1>0，－b2＋4b－5＝－(b－2)2－1<0.所以对应点在第四象限，故应选D.6．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是()A．z对应的点在第一象限B．z一定不是纯虚数C．z对应的点在实轴上方D．z一定是实数[答案] C[解析]∵2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)的值可正、可负、可为0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1≥1，∴排除A、B、D，选C.7．下列命题中假命题是()A．复数的模是非负实数B．复数等于零的充要条件是它的模等于零C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D．复数z1>z2的充要条件是|z1|＞|z2|[答案] D[解析]①任意复数z＝a＋b i(a、b∈R)的模|z|＝a2＋b2≥0总成立．∴A正确；②由复数相等的条件z ＝0⇔⎩⎨⎧a ＝0b ＝0.⇔|z |＝0，故B 正确；③若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1、b 1、a 2、b 2∈R ) 若z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，∴|z 1|＝|z 2| 反之由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，如z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时|z 1|＝|z 2|，故C 正确；④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D 错．8．已知复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的模小于10，则实数x 的取值范围是( )A ．－45<x <2 B ．x <2 C ．x >－45 D ．x ＝－45或x ＝2 [答案] A[解析] 由题意知(x －1)2＋(2x －1)2<10， 解之得－45<x <2.故应选A.9．已知复数z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝－1＋a i ，若|z 1|<|z 2|，则实数b 适合的条件是( )A ．b <－1或b >1B ．－1<b <1C ．b >1D ．b >0 [答案] B [解析] 由|z 1|<|z 2|得a 2＋b 2<a 2＋1，∴b 2<1，则－1<b <1.10．复平面内向量OA→表示的复数为1＋i ，将OA →向右平移一个单位后得到向量O ′A ′→，则向量O ′A ′→与点A ′对应的复数分别为( )A ．1＋i,1＋iB ．2＋i,2＋iC ．1＋i,2＋iD ．2＋i,1＋i [答案] C[解析] 由题意O ′A ′→＝OA →，对应复数为1＋i ，点A ′对应复数为1＋(1＋i)＝2＋i.二、填空题11．如果复数z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )对应的点在第一象限，则实数m 的取值范围为________________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ [解析] 复数z 对应的点在第一象限需⎩⎨⎧m 2＋m －1>04m 2－8m ＋3>0解得：m <－1－52或m >32. 12．设复数z 的模为17，虚部为－8，则复数z ＝________.[答案] ±15－8i[解析] 设复数z ＝a －8i ，由a 2＋82＝17，∴a 2＝225，a ＝±15，z ＝±15－8i.13．已知z ＝(1＋i)m 2－(8＋i)m ＋15－6i(m ∈R )，若复数z 对应点位于复平面上的第二象限，则m 的取值范围是________．[答案] 3<m <5[解析] 将复数z 变形为z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2－m －6)i ∵复数z 对应点位于复平面上的第二象限∴⎩⎨⎧m 2－8m ＋15<0m 2－m －6>0解得3<m <5.14．若t ∈R ，t ≠－1，t ≠0，复数z ＝t1＋t ＋1＋t t i 的模的取值范围是________．[答案] [2，＋∞)[解析] |z |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t 1＋t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋t t 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t 1＋t ·1＋t t ＝2. ∴|z |≥ 2. 三、解答题15．实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 的点(1)位于虚轴上； (2)位于一、三象限；(3)位于以原点为圆心，以4为半径的圆上．[解析] (1)若复平面内对应点位于虚轴上，则2m ＝0，即m ＝0. (2)若复平面内对应点位于一、三象限，则2m (4－m 2)>0，解得m <－2或0<m <2.(3)若对应点位于以原点为圆心，4为半径的圆上， 则4m 2＋(4－m 2)2＝4即m 4－4m 2＝0，解得m ＝0或m ＝±2.16．已知z 1＝x 2＋x 2＋1i ，z 2＝(x 2＋a )i ，对于任意的x ∈R ，均有|z 1|>|z 2|成立，试求实数a 的取值范围．[解析] |z 1|＝x 4＋x 2＋1，|z 2|＝|x 2＋a |因为|z 1|>|z 2|，所以x 4＋x 2＋1>|x 2＋a | ⇔x 4＋x 2＋1>(x 2＋a )2⇔(1－2a )x 2＋(1－a 2)>0恒成立．不等式等价于1－2a ＝0或⎩⎨⎧1－2a >0Δ＝－4(1－2a )(1－a 2)<0解得－1<a ≤12所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，12.17．已知z 1＝cos θ＋isin2θ，z 2＝3sin θ＋icos θ，当θ为何值时(1)z 1＝z 2；(2)z 1，z 2对应点关于x 轴对称； (3)|z 2|< 2. [解析](1)z 1＝z 2⇔⎩⎨⎧cos θ＝3sin θsin2θ＝cos θ⇒⎩⎪⎨⎪⎧tan θ＝332sin θcos θ＝cos θ⇒θ＝2k π＋π6(k ∈Z )．(2)z 1与z 2对应点关于x 轴对称⇒⎩⎨⎧cos θ＝3sin θsin2θ＝－cos θ⇒⎩⎪⎨⎪⎧θ＝k π＋π6(k ∈Z )2sin θcos θ＝－cos θ⇒θ＝2k π＋76π(k ∈Z )． (3)|z 2|<2⇒(3sin θ)2＋cos 2θ< 2⇒3sin 2θ＋cos 2θ<2⇒sin 2θ<12 ⇒k π－π4<θ<k π＋π4(k ∈Z )．18．已知复数z 1＝3－i 及z 2＝－12＋32i. (1)求|z 1|及|z 2|的值并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？ [解析] (1)|z 1|＝|3＋i|＝(3)2＋12＝2|z 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－32i ＝1.∴|z 1|＞|z 2|.(2)由|z 2|≤|z |≤|z 1|，得1≤|z |≤2.因为|z |≥1表示圆|z |＝1外部所有点组成的集合． |z |≤2表示圆|z |＝2内部所有点组成的集合，∴1≤|z |≤2表示如图所示的圆环．。