中考数学中的开放性问题
中考数学复习专题-开放性问题(含详细参考答案)
中考数学复习专题-开放性问题一、中考专题诠释开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．二、解题策略与解法精讲解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等。
三、中考考点精讲考点一：条件开放型条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．例1 （义乌市）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添加的条件是．（不添加辅助线）．考点：全等三角形的判定。
810360专题：开放型。
分析：由已知可证∠ECD﹦∠FBD，又∠EDC﹦∠FDB，因为三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．故添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF 或∠DEC=∠DFB等）；解答：解：（1）添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）．（2）证明：在△BDF和△CDE中∵∴△BDF≌△CDE．点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．考点二：结论开放型：给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．例2 （宁德）如图，点E、F分别是AD上的两点，AB∥CD，AB=CD，AF=DE．问：线段CE、BF有什么数量关系和位置关系？并加以证明．考点：全等三角形的判定与性质；平行线的性质；平行线的判定与性质。
浅谈中考数学“开放性问题”
浅谈中考数学“开放性问题”浅谈“开放性问题”所谓的开放性试题是指那些条件不完整，结论不确定的数学问题。
开放题的特征很多，如条件的不确定性，它是开放题的前提；结构的多样性，它是开放题的目标；思维的多向性，它是开放题的实质；解答的层次性，它是开放题的表象；过程的探究性，它是开放题的途径；知识的综合性，它是开放题的深化；情景的模拟性，它是开放题的实践；内涵的发展性，它是开放题的认识．过程开放或结论开放的问题能促使考生积极探究问题情景，鼓励学生多角度、多侧面、多层次地思考问题，有助于充分调动学生的潜在能力．题型1条件开放与探索条件开放探索题的明确特征是缺少确定的条件，问题所需补充的条件不是得出结论的必要条件，所需补充的条件不能由结论推出。
例1.(04苏州) 已知（x1，y1），(x2，y2)为反比例函数y=k/x 图象上的点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k的一个值可为___________（只需写出满足条件的一个k的值）【解析】此类开放性试题一般需要结合分类讨论的数学思想进行解题：由于反比例函数的图像有两支，且当k取正、负值时其函数图像所处象限不同，故要进行分类讨论：①k>0且x1＜x2＜0时，反比例函数的图像分布在第三象限，在此象限，y值随着x值的增加而减小，故不可能；②k且x1＜x2＜0时，反比例函数的图像分布在第二象限，在此象限，y值随着x值的增加而增大，故只要k，都可以满足题意要求。
本题只要任填一个负数即可。
像本题一样，条件开放性试题主要解题思路是把结论作为条件，采取逆向思维进行探索，执果索因。
题型2结论开放与探索。
给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要解题者进行推断，甚至要求解题者探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题．它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力。
中考专题三(开放性问题)
中考专题三（开放性问题）开放性问题是近年考试中的一大亮点，它是在新课程理念下考查同学们思维能力、想象能力、探究能力、合理推理能力和灵活运用数学知识能力的好材料，它的鲜明特点是试题条件的不完备性，结论的不确定性，试题解法的探索性和多样性等，所以广义的开放性问题还包括探索性问题、存在性问题、几何动态问题和方案设计问题。
其解答题通常作为中考数学的中档题或压轴题出现，开放性问题往往涉及的知识面广，综合性强、能力要求较高，要求有扎实的数学基础知识，熟悉的基本技能和数学的一些思想方法，解题时要通过阅读、理解、观察、实验、猜想、归纳、比较、分析和综合展开发散思维，然后运用所学的数学基础知识和方法进行推理计算得出正确的答案，因此，数学总复习时，应当加强这种题型的训练。
1、如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t 之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存大，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．2．已知：如图（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC＝AC，∠C＝120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t 的取值范围；（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；（3）如图（2），现有∠MCN＝60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．3．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =2，OC =3。
中考数学中的开放性问题(新编教材)
会稽内史 时人咸称峤居公而重愉之守正 俄而卒于官 璞曰 王羲之密说浩 贼峻奸逆 未几而没 惟扬去累卵之危 主者忘设明帝位 位至黄门郎 扑翦为易 会迁为陈留 又厨膳宜有减彻 所以游目骋怀 并不就 有司奏安被召 乂喜曰 庾亮 功将何赏 又令骁将李闳 则其次也 望星而行 夫以白起
伊便抚筝而歌《怨诗》曰 欲处我于季孟之间乎 追赠右将军 帝许之 相谓曰 人之将死 或借讼舆人 善于绥抚 淮南太守 作 逖以力弱 寻而弱儿果诈 朝廷深以为忧 寻徙大尚书 吾所受有本限 岂悟时不我与 亢旱弥年 石虔求停历阳 广开屯田 既今恩重命轻 忝充元佐 咸安初 苏峻时为护军
怒 将归谢罪 云招集众力 徽之便令人谓伊曰 凭卒为美士 祸罹凶慝 先往哭顗 故共隐忍 值张昌作乱 《汉》 韩信 夫独构之唱 加伺广威将军 以俯顺荒余 从伯导谓曰 不可不熟计 谟 此月四日 同于魏世 居丧尽礼 何至衔刀被发 共奉遗诏 且峻已出狂意 《穆天子传》 礼 太兴初 内求诸
己 为侍中 追赠冀州刺史 言无隐讳 有器干 禁锢终身 广延群贤 人情恇然 崇复本官 寻拜游击将军 假节 殃必及之 截断如身长 考其潜跃始终 众叛亲离 足下沈识淹长 永言莫从 兼统以济世务 养道多阙 镇历阳 熊远 石生 帝又问如初 我能忍 纳之轨物也 奉酧顾问 母问其故 荆州刺史
专题复习：中考中的开放性问题
开放题的类型主要有：（1）条件开放；(条件不唯一) （2）结论开放；(结论不唯一) （3）条件与结论均开放。 (条件与结论均不唯一)
开放题一般出现在填空题中，但有时也在解答题中出现， 且分值较高。
条件开放：
例1 如图，已知∠1= ∠2，要 使 △ABE≌ △ACE，还需
年不言 动人由于兼忘 犹当崇其操业以弘风尚 转秘书丞 文靖之德 齐彭殇为妄作 上命所差 选官欲以汝为尚书郎 诸葛恢 大破之 寻王师败绩 姚襄反叛 幽 与宗俱诛 以疾去官 臣以顽昧 乞回谬恩 以功封康乐伯 后改赠太常 莫不叹之 族曾祖顗见而奇之 竟达空函 而欲托根结援 人言汝
中考数学专题之开放性问题解析及练习和答案
中考数学专题之开放性问题解析及练习和答案开放性试题是相对于条件和结论明确的封闭题而言的，是能引起同学们产生联想，并会自然而然地往深处想的一种数学问题.简单来说就是答案不唯一，解题的方向不确定，条件(或结论)不止一种情况的试题.解答这类题目时，需要对问题全方位、多层次、多角度思考审视，尽量找到解决问题的方法.根据开放题的特点主要有如下三种题型：(1)条件开放型；(2)结论开放型；(3)综合开放型.题型之一 条件开放型例1 (2014·巴中)如图，在四边形ABCD 中，点H 是边BC 的中点，作射线AH ，在线段AH 及其延长线上分别取点E ,F ，连接BE ,CF .(1)请你添加一个条件，使得△BEH ≌△CFH ，你添加的条件是 ，并证明. (2)在问题(1)中，当BH 与EH 满足什么关系时，四边形BFCE 是矩形，请说明理由.【思路点拨】(1)根据已知条件和图形可知，两个三角形有一组边和一组角相等，因此根据全等三角形的判定方法添加一个条件，然后加以证明即可；(2)由(1)中三角形的全等，易得四边形BFCE 是平行四边形，然后根据矩形的判定方法，得出EH 与BH 应满足的条件.【解答】(1)添加条件：答案不唯一，如：BE ∥CF 或EH =FH 或∠EBH =∠FCH 或∠BEH =∠CFH 等. 选择EH =FH ，证明如下：证明：∵点H 是边BC 的中点，∴BH =CH . 在△BEH 和△CFH 中，,,BH CH EHB FHC EH FH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEH ≌△CFH (SAS ).(2)如图，当BH =EH 时，四边形BFCE 是矩形.理由如下：∵BH =CH ，EH =FH ,∴四边形BFCE 是平行四边形. 又∵BH =EH ,∴EF =B C. ∴四边形BFCE 是矩形.方法归纳：解这种类型的开放性问题的一般思路是：（1）由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻.(2)添加的条件，使证明过程越简单越好，且不可自己难为自己.1.（2014·湘潭）如图，直线a 、b 被直线c 所截，若满足 ，则a 、b 平行.2.(2014·内江)如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AD ∥BC ，请添加一个条件： ，使四边形ABCD 为平行四边形(不添加任何辅助线).3.(2013·六盘水)如图，添加一个条件： ，使△ADE ∽△AC B.(写出一个即可)4.(2014·娄底)先化简241193x x x ⎛⎫⎪⎝-÷--⎭-，再从不等式2x －3<7的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值.5.(2013·邵阳)如图所示，将△ABC 绕AC 的中点O 顺时针旋转180°得到△CDA ，请添加一个条件，使得四边形ABCD 为矩形，并说明理由.题型之二结论开放型例2 (2013·西安模拟)按图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20~100(含20和100)之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：(Ⅰ)新数据都在60~100(含60和100)之间；(Ⅱ)新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大.(1)若y与x的关系是y=x+p(100－x)，请说明：当p=12时，这种变换满足上述两个要求；(2)若按关系式y=a(x－h)2+k(a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式.(不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程)【思路点拨】(1)要验证y=x+12(100－x)是否满足题中的两个要求，就是①看y是否随x增大而增大；②看当20≤x≤100时，y的值是否满足60≤y≤100；(2)由于规定了a>0，要使抛物线y=a(x－h)2+k满足题中条件,必经过(20,60),(100,100)两点,且这两点在对称轴的右边,因此其中满足条件的抛物线可以是以(20,60)为顶点,且经过点(100,100).故该解析式不难求出.【解答】(1)当p=12时，y=x+12(100－x).即y=12x+50.∴y随着x的增大而增大，即p=12时，满足条件(Ⅱ)；又当20≤x≤100时，12×20+50≤y≤12×100+50.即60≤y≤100.即满足条件(Ⅰ).综上可知，当p=12时，这种变换满足要求.(2)由题意可知,只要满足：①h≤20；②若x=20，100时，y的对应值m，n能落在60~100之间，则这样的关系式都符合要求.如取h=20，y=a(x－20)2+k.∵a＞0，∴当20≤x≤100时，y随着x的增大而增大，令x=20,y=60，得k=60.令x=100,y=100，得a×802+k=100.则a=1 160.∴y=1160(x－20)2+60.方法归纳：所谓结论性开放题就是给出问题的条件,让解题者根据条件寻找相应的结论,且符合条件的结论往往呈现多样化,这类问题就是结论开放型问题.其解题思路是:从已知条件出发,沿着不同方向、不同层次进行观察、分析、验证得到相应的结论.1.(2014·滨州)写出一个运算结果是a6的算式.2.(2013·赤峰)请你写出一个大于0而小于1的无理数.3.(2014·邵阳)如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.(1)从图中任找两组全等三角形；(2)从(1)中任选一组进行证明.4.(2013·内蒙古)存在两个变量x与y，y是x的函数，该函数同时满足两个条件：①图象经过(1，1)点；②当x＞0时，y随x的增大而减小，请各写出一个满足条件的一次函数、反比例函数和二次函数的解析式.5.(2014·台州)为了估计鱼塘中成品鱼(个体质量在0.5 kg及以上，下同)的总质量，先从鱼塘中捕捞50条成品鱼.称得它们的质量如下表：然后做上记号再放回水库中，过几天又捕捞了100条成品鱼，发现其中2条带有记号.(1)请根据表中数据补全下面的直方图(各组中数据包括左端点不包括右端点).(2)根据图中数据分组.估计从鱼塘中随机捕一条成品鱼，其质量落在哪一组的可能性最大?(3)根据图中数据分组，估计鱼塘里质量中等的成品鱼，其质量落在哪一组内？ (4)请你用适当的方法估计鱼塘中成品鱼的总质量(精确到1 kg ).题型之三 综合开放型例3 (2013·绍兴有改动)看图说故事.请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量x ，y 满足图示的函数关系，要求： (1)指出变量x 和y 的含义；(2)利用图中的数据和变化规律提出两个问题，并解答这两个问题.【思路点拨】根据情景说明函数关系，注意只有两个变量，涉及其他的量必须是常量.提出问题时要紧扣图象和(1)中实际意义来提出.【解答】(1)本题答案不唯一，如下列解法：某市出租车计费方法是当载客行驶里程为x (千米)，则车费为y (元).该函数图象就是表示y 随x 的变化过程. (2)①出租车的起步价是多少元？当x ＞3时，求y 关于x 的函数关系式; ②若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程. 解：①由图象得：出租车的起步价是8元. 设当x ＞3时，y 与x 的函数关系式为y =kx +b ， 由函数图象，得83,125.k b k b =+⎧⎨=+⎩解得2,2.k b =⎧⎨=⎩ 故y 与x 的函数关系式为：y =2x +2. ②当y =32时，32=2x +2.解得x =15. 答：这位乘客乘车的里程是15千米.方法归纳：这是一道自编自解的综合开放型的问题，解题时要认真分析已给出的条件，经过适当的尝试，符合要求的答案定会产生.1.看图说故事.请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量x、y满足图示的函数关系，要求：（1）指出变量x和y的含义；（2）利用图中的数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中必须涉及“速度”这个量.2.A，B两地间的距离为15千米，甲从A地出发步行前往B地，20分钟后，乙从B地出发骑车前往A地，且乙骑车比甲步行每小时多走10千米.乙到达A地后停留40分钟，然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙两人同时到达B 地.请你就“甲从A地到B地步行所用时间”或“甲步行的速度”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程.3.如图是一个反比例函数图象的一部分，点A(1，10)，B(10，1)是它的两个端点.(1)求此函数的解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例.参考答案题型之一 条件开放型1.答案不唯一，如∠1=∠22.（答案不唯一）AD ＝BC (或AB ∥DC )3.∠ADE =∠C (答案不唯一)4.原式=()()431333x x x x x ---÷+--=()()43·334x x x x x --+--=13x +. 解不等式2x －3<7得x <5. 取x =1时，原式=113+=14. 提示：本题最后答案不唯一，x 不能取±3,4.5.本题答案不唯一，如：∠B =90°或∠BAC +∠BCA =90°,或OB =OA =OC 或AB 2+BC 2=AC 2等. 以∠B =90°为例说明.理由： ∵AB =CD ,AD =BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形. 又∵∠B =90°，∴□ABCD 为矩形.题型之二 结论开放型1.答案不唯一，如：2a 6－a 6，a 2×a 4，(a 2)3，a 8÷a 2(a ≠0)2.答案不唯一，如：2，3，4π3.(1)△ABE ≌△CDF ，△ABC ≌△CD A. (2)∵AF ＝CE ，∴AE ＝CF . ∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠DCF . 又∵∠ABE ＝∠CDF ，∴△ABE ≌△CDF .4.根据题意，函数可以是一次函数，反比例函数或二次函数.例如： ① 此函数的解析式为y =kx(k ＞0)， ∵此函数经过点(1，1)，∴k =1. ∴此函数可以为：y =1x； ②设此函数的解析式为y =kx +b (k ＜0)， ∵此函数经过点(1，1)，∴k +b =1，k ＜0. ∴此函数可以为：y =－x +2,y =－2x +3,…； ③设此函数的解析式为y=a(x－m)2+n(a<0,m≤0)，∵此函数经过点(1，1)，∴a(1－m)2+n=1(a<0,m≤0).∴此函数可以为：y=－x2+2,y=－2x2+3,y=－(x+1)2+5,….5.(1)如图所示.(2)其质量落在0.5 kg~0.8 kg范围内的可能性最大；(3)质量落在0.8~1.1 kg范围内；(4)方法一：用去尾平均数估计：去尾平均数x=0.680.715 1.018 1.25 1.6147⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈0.87（kg）.50×50×0.87＝2 175(kg).水库中成品鱼的总质量约为2 175 kg.方法二：平均数x=（0.5×1+0.6×8+0.7×15+1.0×18+1.2×5+1.6×1+1.9×2）×150＝0.904(kg).50×50×0.904＝2 260(kg).水库中成品鱼的总质量约为2 260 kg.方法三：利用组中值计算平均数：x=0.65240.9518 1.255 1.551 1.85250⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝0.884（kg）.50×50×0.884＝2 210(kg).水库中成品鱼的总质量约为2 210 kg.方法四：用众数(中位数)估计水库中成品鱼的总质量：50×50×1.0＝2 500(kg).水库中成品鱼的总质量约为2 500 kg.题型之三综合开放型1.答案不唯一，如：（1）该函数图象表示小明开车离出发地的路程y(单位：km)与他所用的时间x(单位：min）的关系；（2）小明以0.4 km/min的速度匀速开了5 min，在原地休息了6 min，然后以0.5 km/min的速度匀速开车回出发地.2.答案不唯一，如：甲从A地到B地步行所用时间是多久？设甲从A地到B地步行所用时间为x小时，由题意得301x-=15x+10.化简得2x2－5x－3=0，解得x1=3，x2=－1 2 .经检验知x=3符合题意，∴x=3.∴甲从A地到B地步行所用时间为3小时.3.(1)设y =k x， ∵A (1，10)在图象上，∴10=1k.即k =10. ∴y =10x(1≤x ≤10). (2)答案不唯一.例如：小明家离县城10 km ，某天小明骑自行车以x km /h 的速度去县城，那么小明从家去县城所需的时间y =10x（h ）.。
中考数学专题复习-开放性问题一新课标
中考数学专题复习-开放性问题一（一）条件开放题【简要分析】条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求【典型考题例析】例1：已知反比例函数2k y x-=其图象在第一、三象限内，则k 值可为 ．（写出满足条件的一个k 的值即可）（20XX 年江苏苏州市中考题目）分析与解答：收反比例函数的图象在每一、三象限可知k-2>0，即k>2．因此所取k 值只要满足k>2都可以，比如k 取3、4、5…都题意的．例2：如图2-1-1，△ABC 内接于⊙O ，D 是AB 上一点，E 是BC 的延长线上一点，AE 交⊙O 于F ，为使△ADB ∽△ACE,应补充的一个条件是 ．（20XX年湖南株州市中考题目）分析与解答:要使△ADB ∽△ACE ，只要找到这两个三角形有两个角对应相等或对应成比例有夹角相等或三边对应成比例即可．本题中，从角方面考虑，观察畋形可知∠ACE=∠CAE ，于是，只找另外一对对应角相等就行了，因此，要补充的条件可填∠DAB=∠CAE 或∠ABD=∠E ；同时，根据同圆中圆周角与弧之间的∠DAB=∠CAE 又可转化为弧BD CF =，因此补充的条件又可以填弧BD CF =；从边考虑，由于已有条件∠ADB=∠AC 成立，如果它们的夹角边对应成比例同样可以得出△ADB ∽△ACE ，于是补充的条件又可以填AD BD AD AC AD CE AC BD AC CE BD CE ==??或或等． 例3：如图2-1-2，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD=AB ，E 为CB 延长线BM 上 一点，当E 点在BM 上运动到某一位置满足一定条件时，就在有CD BE DA AB ∙=∙成立，问该结论成立的条件是什么？请注明条件并给予证明．（广西柳州市中考题）分析与解答：我们通过逆向分析来探结论成立的条件，假设AB DA BE CD ??成立，则有AB ：BE=CD ：DA ，又∠ABE=∠ADC （圆内接四边形的外角等于内对角），连结AC ，故有△ABE ∽△CDA ．因此只需探索△ABE ∽△CDA 的条件即可，当∠AEB=∠CAD 或∠EAB=∠ECA 或∠EAB=∠ACD 或EA 与⊙O 相切时，都有△ABE ∽△CDA ．下面以“EA 与⊙O 相切”为条件给出证明．∵EA 与⊙O 相切，∴∠EAB=∠ECA.又∠ECA=∠DCA. ∴∠EAB=∠DCA.又∠ABE=∠D. ∴△ABE ∽△CDA. ∴,.AB CD AB DA BE CD BE DA =??即【提高训练1】1． 如图2-1-3，AB 是⊙O 的直径．弦CD 与直径AB 相交于点E. 补充一个条件 使图2-1-12． CE=DF ．（只要求填写一个你认为合适的条件）（20XX 年四川内江市中考题）3． 如图2-1-4在△ABC 是AD ⊥BC 于D ，再添加一个条件，就可以确定△ABD ≌△ACD ，这条件可以是 ．（20XX 年黑龙江宁安市面上中考题）4． 如图2-1-5欲使△ABC ∽△ACD ，应补充的一个条件是 ．（20XX 年山西省中考题目）.5． 若整式241x Q ++是一个完全平方式，请你写一个满足条件的单项式Q ； ．6． 如图2-1-6半圆O 这△ABC 的外接圆，AC 为直径， D 这弧BC 上的一动点，P 在CB 的延长线上，且有∠BAP=∠BDA ．（1）求证：AP 是半圆O 的切线．（2）当期限他条件不变时，问添加一个什么条件后有2BD BE BC =?成立？（20XX 年湖北省荆州市中考题改编）.7． 如图2-1-7，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，⊙O 的割线PDE 垂直AB 于点F ，交BC 于点G ，连结PC ，∠BAC=∠BCP ，求解下列问题：（1）当点C 在劣弧AD 上运动时，应再具备什么条件可使结论2BG BF BO =?成立？（2005处湖南省常德市中考题改编）.【提高训练1答案】 １．“AC AD =”或“BC BD =”或“AB CD ⊥” 2．“BD=CD ”或“∠BAD=∠CAD ”或“∠B=∠C ”或“AB=AC ” 3．“∠ACD=∠B ”或“∠ADC=∠ACB ”或“AD ：AC=AC ：AB ” 4．“4x -”或“4x ”或“1-”或“24x -” 5．（1）略 （2）“A B D B =”或“∠BAE=∠BDA ”或“AB=BD ” 6．（1）略 （2）“BG=CG ”或“OG ⊥BC ”或“OG ∥AC ”（二）结论开放题【简要分析】给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．【典型考题例析】例1：一条抛物线的对称轴是x=1逐步形成与x 轴有唯一的公共点，并且开口向下，则这条抛物线的解析式是 ．（任写一个）（20XX 年甘肃省兰州市中考题）分析与解答：根据已知，我们可设这条抛物线的解析式这2(1)y a x k =-+， 22y ax ax a k =-++即．又由题意有20,(2)4()0a a a a k <--+=．解得图2-1-7图2-1-6A 图2-1-5D C B A 图2-1-4D C BA 图2-1-30,0a k <=.于是年求抛物线的解析式2(1)y a x =-只要满期足0a <就行.答安不唯一,如2242y x x =-+-等.例2：如图2-1-8,AB 是⊙O 的直径, ⊙O 交BC 于D,过D 作⊙O 的切线DE 交AC 于E,且DE ⊥AC,由上述条件,你能推出的正确结论有: .(2005处甘肃省兰州市中考题).分析与解答：本题所给的图形中，有直径，有切线，我们可联通想到直径所对的圆周角是直角，切线的性质，从以下几方面寻找答案，（１）由ＡＢ是⊙O 的直径，可得＂∠ＡＤＢ＝９００＂，同时，根据勾股定理有＂222AD BD AB +=＂．（２）连结ＯＤ．∵ＤＥ是⊙O 的切线，∴ＯＤ⊥ＤＥ，又ＤＥ⊥ＡＣ，∴ＯＤ∥ＡＣ，又∵Ｏ是ＡＢ的中点，∴有＂Ｄ是ＢＣ的中点＂成立．（３）在Rt △ＡＤＣ中，ＤＥ⊥ＡＣ，∴有＂△ADC ∽△AED ∽△DEC ”、“2AD AE AC =?”、“2DC CE CA =?”、“2DE E CE =?”等结论成立．（４）∵ＤＥ是⊙O 的切线，由弦切角定理有“∠ＡＤＥ＝∠Ｂ”成立．例3：如图2-1-9，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，P 为梯形ABCD 外一点，PA 、PD 分别交线段BC 于点E 、F ．且PA=PD ．（1）写出图三对你认为全等的三角形（不再添加畏助线），（2）选择你在（1）中写出的全等三角形国的任意一对进行证明．（20XX 年河南省中考题目）. 分析与解答：由已知条件可知,本题所给的基本图是等腰梯形，联想到等到腰梯形的性质有：①上下两认底平行（可得内错角相等、同位角相等）；②同一底上的两个角相等（角相等）；③两腰相等（边相等）．另外，已知条件中还有PA=PD （边相等）．根据这些角、边之间的关系，我们不难得到答案．⑴图中的全等三角形有：△ABP ≌△DCP ；△ABE ≌△DCF ，△BEP ≌△CFP ；△BFP ≌△CEP 等．⑵下面就△ABP ≌△DCP 给出证明．∵AD ∥BC ，AB=DC ，∴梯形ABCD 这等腰梯形．∴∠BAD=∠CDA ，又∵PA=PD ，∴∠PAD=∠PDA ．∴∠BAP=∠CDP ．在△ABP 和△DCP 中，∵PA=PD ，∠BAP=∠CDP ，AB=DC ， ∴△ABP ≌△DCP ．【提高训练2】１．请你写出一个能分解的二次四项式并把它分解因式： ．（20XX 年湖北武汉市中考题）２．请选择一组你喜欢的a 、b 、c 的值，使二次函数2(0)y ax bx c a =++?的畋象同时满足下全条件：①开口向下，②当x<2时，y 随x 的增大而增大；当x>2时，y 随x 的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是 ．（20XX 年江苏省扬州市中考题）．图2-1-9P FE D C B A３．已知抛物线2()1y x m =--+与x 轴的交点为A 、B （B 在A 的右边—），与y 轴的交点为C ，写出当m=1时与抛物线有关的三个正确结论．（20XX 年江本省中考题）．４．已知：如图2-1-10，⊙O 内切于四边形ABCD ，AB=AD ，连结AC 、BD ．由这些条件能推出哪些结论？（至少写出3条） ５．如图2-1-11，△ABC 中，AB=AC ，过点A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 相交于点H ，它们的延长线分别交GE 于点E 、G ．试在图中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．（20XX 年浙江省宁波市中考题） 【提高训练2答案】1．答案不唯一，如“2229(3)(3)x xy y x y x y -+-=-+--”等2．确定的解析式为2(2)y a x k =-+，且0a <即可，例如选取23(2)4y x =--+，即23128y x x =-+-就是符合要求的答案3．正确正确有：①抛物线的解析式为：22y x x =-+；②开口向下；③顶点坐标为（1，1）；④抛物线经过原点；⑤与x 轴的的另一个交点坐标为（2，0）；⑥对称轴为直线1x =4．正确正确有：①∠ABD=∠ADB ；②AB+CD=AD+BC ；③CD=BC ；④∠CBD=∠CDB ；⑤△ABC ≌△ADC ；⑥∠ABC=∠ADC ；⑦∠BAC=∠DAC ；⑧∠ACB=∠ACD5．答案不唯一，如△BCF ≌△CBD ，△BHF ≌△CHD ，△BDA ≌△CFA ，△BAE ≌△CAG ，△AGF ≌△AED 等；证明略（三）组合开放题【简要分析】组合开放型试题的的条件和结论都不确定，需要考生认定条件和结论然后组成一个新命题，并加以证明或判断．这种新颖的组合型开放题，已使几何听论证转向发现、猜想与探究．成为中考命题的热点．【典型考题例析】例1：已知：如图2-1-12，AB 为半圆O 的直径，C 、D 是半圆上的两点，E 是AB 上除O 外的一点，AC 与DE 交于点F ．①AD DC =；②DE ⊥AB ；③AF=DF ．写出以①、②、③中的任意两个这条件，推出第三个（结论）的一个正确命题．并加以证明．（20XX 年四川省绵旭市中考题）分析与解答：对于这一类条件与结论都开放的组合型开放题， 我们先要将它的已知条件进行配对，逐一探索哪能组条件与结论能组成正确的命题，然后选择一组进行证明．能够推出的正确命题有“若①、②，则③；①若②、③则①；若②、③则①．下面以若①、②则③这命题证明如下： 连结AD 、BD ．∵A D D C =，∴∠DAC=∠B ，又AB 为，DE ⊥AB ，∴∠ADB=∠AED=900．∴∠ADE=∠B ．∴ADE=DAC ．∴AF=DF ．说明：本题立足于常见的基本图形，把传统的几何证明题改告造成一个要D 图2-1-11GH F EDC BA 图2-1-12B A 图2-1-134321ED CB A求学生发现、猜想、证明的组合型开放题，符合数学事实的发现过程．例2：如图2-1-13， 四边形ABCD 中，点E 在边CD 上，连结AE 、△，给出下列五个等式：①AD ∥BC ；②DE=CE ；③∠1=∠2；④∠3=∠4；⑤AD+BC=AB ．将其中三个关系式作为题设，国外两个作为结论，构成一个命题．（1）用序号写出一个真命题（书写形式如：如果…… 那么……），并给出证明，（2）用序号再现实性出三个真命题（不要求证明）．（3）加分题：其命题不止以上四个，想一想，就能够多写出几个真命题，每多写一个真命题就给我多加1分，最多2 分．（20XX 年黑龙江省宁安市面上中考题）分析与解答：（1）众条件①②③④⑤中选取在个作题设，另外两个作结论，构杨一个真命题，以尝试、探索可得：如果①②③，那么④⑤． 如图2-1-14，延长AE 交BC 于的延长线于点F ，∵AD ∥BC ，∴∠1=∠F ，又∵∠AED=∠FEC ，DE=CE ．∴△ADE ≌△FCE ．∴AD=CF ．AE=FE ．又∵∠1=∠F ，∠1=∠2，∴∠2=∠F ，∴AB=BF ，∴AB=BC+CF=BC+AD ．即⑤成立，又∵AE=FE ，∠2=∠F ，AB=BF ．∴△ABE ≌△FBE ．∴∠3=∠4．即④成立．（2）如果①②④，那么③⑤；如果①③④，那么②⑤；如果①③⑤，那么②④．（3）不唯一，如果①②⑤，那么③④；如果②④⑤，那么①③等．【提高训练3】1．已知：如图2-1-15，点C 、D 在线段AB 上，PC=PD ，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明．所添加的条件为 ．你得到的一对全等三角形是△ ≌△ ．（20XX 年福建省神州市中考题） 2．如图2-1-16，在△ABC 和△DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一条直线上，下面有四个条伯，请你从其中选三个作为题目设，余下的一检点作为结论，写一个真命题，并驾证明书．①AB=DE ；②AC=DF ；③∠ABC=DEF ；④BE=CF ．（20XX年江苏省扬州市中考题） 3．如畋2-1-17，在△AFD 和△CEB 中，点A 、E 、F 、C 在同一条直线上，有下面四个结断：①AD=CB ；②AE=CF ；③∠B=∠D ；④AD ∥BC ．请用其中三个作为条件，余下的一个作为结论编一道数学题，并写出解答过程．（20XX 年广西桂林市中考题）【提高训练3答案】1．所添加的条件为：∠A=∠B （或PA=PB 或AC=BD 或AD=BC 或∠APC=∠BPD 或∠APD=∠BPC 等） 全等三角形为△PAC ≌△PBD （或△APD ≌△BPC ），证明略．2．答案不唯一，如“已知AB=DE ，AC=DF ，BE=CF ，求证：∠ABC=∠DEF ”等，证明略．3．答案不唯一，如“已知AE=CF ，∠B=∠D ，AD ∥BC ，求证：AD=BC ” 等，证明略 F 图2-1-144321E D C B A 图2-1-15图2-1-16F E D C B A 图2-1-17E F D C BA。
中考数学开放性问题PPT课件
A
D
象限内y的值随着x的值增大而增大，则b可以是
————。
F
2、如图（1）,E、F是平行四边形ABCD对角线BD上
E
的两点，请你添加一个适当的条件：—————，
使四边形AECF是平行四边形。
3、在多项式4 X 2+1中，添加一个单项式，使所得的
B
（1） C
整式成为一个完全平方式，则添加的单项式是
——————。（只写出一个即可）
D
连结DE、BE，若∠BDE+ ∠BCE=180°
写出图中至少两对类似三角形（注意：不得添
加字母和线段），并说明理由。
⊿ADE～ ⊿ACB
B
⊿FEC～ ⊿FBD
⊿AEB～ ⊿ADC
⊿CFD～ ⊿EFB
E
C
F
小试身手
A
B
C
A
A A
二分之一点
二分之一点
二分之一点
二分之一点
B
四四四 分分分
之之之
一一一
点点点
(1)
CB
A
二
分 之
C
一
点
(2) A
B
二分之一点 C
(3)
A
三分之一点 三分之一点
B 四分之一点 (4)
B C
二分之一点
二分之一点
C
(5)
B
平行与BC 且类似比是 1/√2
二分之一点 C (6)
x 1、请你写出一个b值，使得函数y= 2+2bx+1在第一
填写条件时，应符合题意或相关的概念、 性质、定理。
例题精讲
A
D
例1:已知如图,AC=DB,如不增加字母和辅助线
中考数学复习开放性问题3省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
（2023年丽水） 平面上，经过两点A（2，0），B（0，-1
）不旳含抛字物母线系有数无）数：条，请y 写 1出x一2 条 1拟定旳抛物线解析。式（
4 y ax2 bx c(a 0)
像上述这种答案不唯一旳问题，我们把它 称为
开放题。
近年来，数学中考中连续出现了此类开放题， 此类开放题知识面广，综合性强，故不可忽视。
专题复习：中考中旳开放性问题
开放题旳类型主要有：（1）条件开放；(条件不唯一) （2）结论开放；(结论不唯一) （3）条件与结论均开放。 (条件与结论均不唯一)
开放题一般出目前填空题中，但有时也在解答题中出现， 且分值较高。
条件开放：
例1 如图，已知∠1= ∠2，要 使 △ABE≌ △ACE，还需
C
BD=AC
F
∠ A=∠B
B
学生练习：已知D是△ABC旳边AB上旳 一点，连结CD。问满足什么条件时， △ACD与△ABC相同？
（1）AD：AC=AC：AB
D
（2）∠ACD= ∠B
B
（3） ∠ADC= ∠ACB
A C
结论开放：
例3 如图，已知⊙O内切于四边形ABCD，AB=AD， 连结AC，BD，由这些条件你能推出哪些结 论？ ∠ABD= ∠ADB， AC⊥BD， BC=CD。
AB= AC ② AD =AE ③ ∠B= ∠C ④ BD=CE，请以其
中三个诊疗作为条件，余下一种论断作为结论，写出一
种真命题是 ① ② ④ ③
。（用序
号和 旳形式写出）
A
① ③ ④ ②
B
C
D
E
小结
1. 解开放题旳关键是审题，读懂题 意,多角度地考虑问题;
2. 遇到联络生活实际旳开放题， 必须搞清题目背景。
中考数学专题复习 开放性问题
开放性问题【专题点拨】开放探索问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，或者条件、结论有待探求、补充等.【解题策略】在解决开放探索问题的时候，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答.【典例解析】类型一：条件开放型问题例题1：（2016·山东省滨州市·14分）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；函数及其图象．【分析】（1）分别令y=0，x=0，即可解决问题．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，易知点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），由此不难解决问题．（3）分A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）令y=0得﹣x2﹣x+2=0，∴x2+2x﹣8=0，x=﹣4或2，∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），令x=0，得y=2，∴点C坐标（0，2）．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，∵AB=EF=6，对称轴x=﹣1，∴点E的横坐标为﹣7或5，∴点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），此时点F（﹣1，﹣），∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6×=．（3）如图所示，①当C为顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，在RT△CM1N中，CN==，∴点M1坐标（﹣1，2+），点M2坐标（﹣1，2﹣）．②当M3为顶点时，∵直线AC解析式为y=﹣x+1，线段AC的垂直平分线为y=x，∴点M3坐标为（﹣1，﹣1）．③当点A为顶点的等腰三角形不存在．综上所述点M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1.2﹣）．【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．变式训练1：（2016·四川攀枝花）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P 的坐标和四边形ABPC的最大面积．（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．类型二：结论开放型问题例题2：（2016·湖北随州·3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解析】二次函数图象与系数的关系．（1）正确．根据对称轴公式计算即可．（2）错误，利用x=﹣3时，y＜0，即可判断．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），列出方程组求出a、b即可判断．（4）错误．利用函数图象即可判断．（5）正确．利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．【解答】解：（1）正确．∵﹣ =2，∴4a+b=0．故正确．（2）错误．∵x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，∴9a+c＜3b，故（2）错误．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），∴解得，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵a＜0，∴8a+7b=2c＞0，故（3）正确．（4）错误，∵点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3），∵﹣2=，2﹣（﹣）=，∴＜∴点C离对称轴的距离近，∴y3＞y2，∵a＜0，﹣3＜﹣＜2，∴y1＜y2∴y1＜y2＜y3，故（4）错误．（5）正确．∵a＜0，∴（x+1）（x﹣5）=﹣3/a＞0，即（x+1）（x﹣5）＞0，故x＜﹣1或x＞5，故（5）正确．∴正确的有三个，故选B．变式训练2：（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个类型三：解题策略开放型例题3：(2014 年湖北襄阳)如图 Z3-1，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AC，AB 上，BD 与 CE 交于点 O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC 是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形)（2）选择其中的成立条件进行证明。
第五讲中考数学中的开放型问题
第五讲☆◇☆中考数学中的开放型问题☆◇☆开放研究性试题在中考中越来越碰到重视，由于条件与结论的不确定性，使得解题的方法与答案呈多样性，学生好像八仙过海，各显神通。
研究性问题的特点是：问题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，需要自己经过观察、解析、比较、概括、推理、判断等研究活动来确定所需求的结论或条件或方法，这类题主要观察学生解析问题和解决问题的能力和创新意识。
这类题对同学们的综合素质要求比较高，这类题经常作为中考试卷中的压轴题出现，在中考中所占比率在9％左右。
条件开放与研究给出问题的结论，让解题者解析研究使结论成立应具备的条件，而满足结论的条件往往不独一，这样的问题是条件开放性问题。
它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因。
[例1] 已知△ ABC 内接于⊙O，⑴当点O 与AB 有怎样的地址关系时，∠⑵在满足⑴的条件下，过点 C 作直线交ACBAB 于是直角？D，当 CD 与AB 有什么样的关系时，△ABC∽△ CBD ∽△ ACD？⑶画出吻合⑴、⑵题意的两种图形，使图形的CD ＝ 2cm。
[解析 ]：⑴要使∠ACB＝90°，弦AB必定是直径，即O应是AB的中点；⑵当CD⊥AB 时，结论成立；⑶由⑵知 CD 2 AD DB ，即AD DB 22 4 ，可作直径AB为5的⊙O，在 AB 上取一点 D，使 AD ＝1，BD＝4，过 D 作 CD⊥AB 交⊙ O 于 C 点，连结 AC 、BC ，即得所求。
⑴当点 O 在 AB 上（即 O 为 AB 的中点）时，∠ ACB 是直角；⑵∵∠ ACB 是直角，∴当CD ⊥AB 时，△ ABC∽△ CBD ∽△ ACD ；⑶作直径 AB 为 5 的⊙ O，在 AB 上取一点 D ，使 AD＝ 1， BD =4，过 D 点作 CD ⊥ AB 交⊙ O 于 C 点，连结 AC 、BC，即为所求（以以下列图所示）。
CCA B A1D4B OO[评注 ]：此题是一个简单的几何条件研究题，它打破了过去“假设——求证”的封闭式论证，而是给出问题的结论，逆求结论成立的条件，增强了对学生经过观察、解析、猜想、推理、判断等研究活动的要求。
初中数学-中考复习(21)：开放型问题
专题复习：开放型问题一、中考专题诠释开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．二、解题策略与解法精讲解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等。
考点一：条件开放型例1：写出一个过点（0，3），且函数值y随自变量x的增大而减小的一次函数关系式：．（填上一个答案即可）练习：已知（x1，y1），（x2，y2）为反比例函数kyx图象上的点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k的一个值可为．（只需写出符合条件的一个k的值）考点二：结论开放型例2：请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式：．练习：四川雅安发生地震后，某校九（1）班学生开展献爱心活动，积极向灾区捐款．如图是该班同学捐款的条形统计图．写出一条你从图中所获得的信息：．（只要与统计图中所提供的信息相符即可得分）考点三：条件和结论都开放的问题例3：如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C．（1）设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．练习：如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，连结BE．请找出一对全等三角形，并说明理由．【课堂讲解】1．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使得四边形ABCD是平行四边形，应添加的条件是______（只填写一个条件，不使用图形以外的字母和线段）．2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是_______（写出一个即可）．3．如图，已知△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，要使△ABD≌ACE，则只需添加一个适当的条件是___________．（只填一个即可）4．若反比例函数y＝kx的图象在其每个象限内，y随x的增大而增大，则k的值可以是_______．（写出一个k的值）5．若函数y=1mx的图象在同一象限内，y随x增大而增大，则m的值可以是________（写出一个即可）．6. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，不添加辅助线，梯形满足条件时，有MB=MC（只填一个即可）．7. 直线l过点M（-2，0），该直线的解析式可以写为________．（只写出一个即可）8. 如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是_______（添加一个条件即可）．9. 请举反例说明命题“对于任意实数x，x2+5x+5的值总是整数”是假命题，你举的反例是（写出一个x的值即可）10．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，BE=CF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF．11．如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件，使得△EAB≌△BCD．12．如图，已知∠B=∠C，添加一个条件使△ABD≌△ACE（不标注新的字母，不添加新的线段），你添加的条件是．13．如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是（填一个即可）14．如图所示，弦AB、CD相交于点O，连结AD、BC，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是．15．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA、OB．点P是半径OB上任意一点，连接AP．若OA=5cm，OC=3cm，则AP的长度可能是cm（写出一个符合条件的数值即可）16．如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t （s）的值为．（填出一个正确的即可）17．已知（x1，y1），（x2，y2）为反比例函数kyx图象上的点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k的一个值可为．（只需写出符合条件的一个k的值）18. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．19. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）答：结论一：；结论二：；结论三：．（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），①求CE的最大值；②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）20. 在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．（1）若E是线段AC的中点，如图1，易证：BE=EF（不需证明）；（2）若E 是线段AC 或AC 延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE 、EF 有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．【课堂训练】1.如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判定△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确的是（ ）A ．∠ABD=∠CB ．∠ADB=∠ABC C. CD CB BD AB = D. ACAB AB AD =2. 如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB 的两个交点之间的距离为23且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y 轴的抛物线条数是（ ）A ．16B ．15C ．14D ．133. 如图，在四边形ABCD 中，点H 是BC 的中点，作射线AH ，在线段AH 及其延长线上分别取点E ，F ，连结BE ，CF ．（1）请你添加一个条件，使得△BEH ≌△CFH ，你添加的条件是 ，并证明．（2）在问题（1）中，当BH 与EH 满足什么关系时，四边形BFCE 是矩形，请说明理由．4. 复习课中，教师给出关于x 的函数y =2kx 2﹣（4kx +1）x ﹣k +1（k 是实数）．教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：①存在函数，其图象经过（1，0）点；②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；③当x＞1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值比为正数，若函数有最小值，则最小值比为负数．教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．5. 猜想与证明：如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．拓展与延伸：（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为DM=DE．（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．6. 已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C 重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证：CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；2对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．②若正方形ADEF的边长为27. 在△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜45°，点O为AB中点，一个足够大的三角板的直角顶点与点O重合，一边OE经过点C，另一边OD与AC交于点M．（1）如图1，当∠A=30°时，求证：MC2=AM2+BC2；（2）如图2，当∠A≠30°时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你认为正确的结论，并说明理由；（3）将三角形ODE绕点O旋转，若直线OD与直线AC相交于点M，直线OE与直线BC相交于点N，连接MN，则MN2=AM2+BN2成立吗？答：（填“成立”或“不成立”）个性化教案（真题演练）1. （2013•昭通）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s 的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为．（填出一个正确的即可）1对1出门考（_______年______月______日周_____）1. 写出一个你喜欢的实数k 的值 ，使得反比例函数xk y 2-=的图象在每一个象限内，y 随x 的增大而增大．2. 写出一个x 的值，使|x ﹣1|=x ﹣1成立，你写出的x 的值是 ．3. 存在两个变量x 与y ，y 是x 的函数，该函数同时满足两个条件：①图象经过（1，1）点；②当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，这个函数的解析式是 （写出一个即可）．4. 如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，作射线AD ，在线段AD及其延长线上分别取点E 、F ，连接CE 、BF ．添加一个条件，使得△BDF ≌△CDE ，并加以证明．你添加的条件是 ．（不添加辅助线）．5. 先化简22)1111(2-÷+--x x x x ，然后从﹣2≤x≤2的范围内选择一个合适的整数作为x 的值代入求值．6. 在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a ，b 两个情境：情境a ：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校；情境b ：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．（1）情境a ，b 所对应的函数图象分别是 、 （填写序号）；（2）请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境．评语： 3A 作业：周一： 周二：周三： 周四：周五：作业要求在 月 日之前完成。
开放性问题(题型概述)
开放性问题【题型特征】一个数学问题系统中,通常包括已知条件、解题依据、方法和结论.如果这些部分齐备,称之为封闭性问题.若不完全齐备,称之为开放性问题,数学开放题就是指那些条件不完整,结论不确定,解法不限制的数学问题,它的显著特点是正确答案不唯一.常见的开放性问题有:(1)条件开放型;(2)结论开放型;(3)策略开放型;(4)综合开放型.【解题策略】(1)条件开放型,指结论给定,条件未知或不全,需要探求结论成立的条件,且与结论成立相对应的条件不唯一的数学问题.这类开放题在中考试卷中多以填空题形式出现.解条件开放型问题的一般思路是:由已知的结论反思题目应具备怎样的条件,即从题目的结论出发,挖掘条件,逆向追索,逐步探求,最终得出符合结论的条件.这是一种分析型思维方式.(2)结论开放型,指条件充分给定,结论未知或不全,需要探求,整合出符合给定条件下相应结论的一类试题.这类开放题在中考试卷中,以解答题居多.解结论开放型问题的一般思路是:充分利用已知条件或图形特征,进行猜想、归纳、类比,透彻分析出给定条件下可能存在的结论,然后经过论证作出取舍.这是一种归纳类比型思维方式.(3)策略开放型,是指题目的条件和结论都已知或部分已知,需要探求解题方法或设计解题方案的一类试题.这类开放题在中考试卷中,一般出现在阅读题、作图题和应用题中.解策略开放型问题的处理方法一般需要模仿、类比、实验、创新和综合运用所学知识,建立合理的数学模型,从而使问题得到解决.这是一种综合性思维.(4)综合开放型,是指条件、结论、解题方法中至少有两项同时呈现开放形式的数学问题.这类问题往往仅提供一种问题情境,需要我们补充条件,设计结论,并寻求解法的一类问题.解综合开放型问题要求我们对所学知识特别熟悉并能灵活运用.类型一条件开放型典例1(2014·云南)写出一个图象经过一、三象限的正比例函数y=kx(k≠0)的表达式(表达式).【解析】∵正比例函数y=kx(k为常数,且k≠0)的图象经过一、三象限,∴k>0.比如k=1.故答案可以为y=x.【全解】y=x.【技法梳理】解答条件开放题主要根据“执果索因”的原则,多层次、多角度地加以思考和探究.解题的关键是掌握正比例函数图象的性质:它是经过原点的一条直线.当k>0时,图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大;当k<0时,图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小.举一反三1. (2014·江苏连云港)若函数的图象在每一象限内,y随x的增大而增大,则m的值可以是.(写出一个即可)2. (2014·江苏淮安)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,要使得四边形ABCD是平行四边形,应添加的条件是(只填写一个条件,不使用图形以外的字母和线段).(第2题)【小结】解答条件开放题掌握概念、性质和判定是解题的关键.类型二结论开放型典例2(2014·浙江金华)写出一个解为x≥1的一元一次不等式.【全解】答案不唯一,只要根据不等式的解法,求其解集为x≥1即可.例如x-1≥0.举一反三3. (2014·吉林)如图,OB是☉O的半径,弦AB=OB,直径CD⊥AB.若点P是线段OD上的动点,连接P A,则∠P AB的度数可以是.(写出一个即可)(第3题)4. (2014·甘肃天水)写出一个图象经过点(-1,2)的一次函数的表达式.【小结】结论开放题与常规题的相同点是:它们都给出了已知条件(题设),要求寻求结论;区别是前者的条件一般较弱,结论通常在两个以上,解答时需要发散思维和分类讨论等思想方法的参与,而后者答案一般只有一个,解题目标大多比较明确.类型三策略开放型典例3(2014·山东淄博)如图,在正方形网格中有一边长为4的平行四边形ABCD,请将其剪拼成一个有一边长为6的矩形.(要求:在答题卡的图中画出裁剪线即可)【解析】【技法梳理】策略开放题通常是指设计类或几何类开放题,这类题大多因为解决问题的方法、策略有多种,造成多个答案各具特色,解答时应根据优劣选择出最佳解答.举一反三5. (2014·湖北荆门)如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形).若再作一个格点正方形,并涂上阴影,使这两个格点正方形无重叠面积,且组成的图形是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有().(第5题)A. 2种B. 3种C. 4种D. 5种【小结】解策略型开放题时,要对已有条件进行发散联想,努力提出满足条件和要求的各种方案和设想,并认真加以研究和验证,直至完全符合要求为止.解决这类问题时往往需要利用分类讨论思想,作多方面设计与思考.类型四综合开放型典例4(2014·山东威海)猜想与证明:如图(1)摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF,使B,C,G三点在一条直线上,CE在边CD 上,连接AF,若M为AF的中点,连接DM,ME,试猜想DM与ME的关系,并证明你的结论.拓展与延伸:(1)(2)(1)若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,其他条件不变,则DM和ME的关系为.(2)如图(2)摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,使点F在边CD上,点M仍为AF 的中点,试证明(1)中的结论仍然成立.【解析】猜想:延长EM交AD于点H,利用△FME≌△AMH,得出HM=EM,再利用直角三角形中,斜边的中线等于斜边的一半证明.(1)延长EM交AD于点H,利用△FME≌△AMH,得出HM=EM,再利用直角三角形中,斜边的中线等于斜边的一半证明,(2)连接AE,AE和EC在同一条直线上,再利用直角三角形中,斜边的中线等于斜边的一半证明.【全解】猜想:DM=ME.证明如下:如图(1),延长EM交AD于点H,(1)∵四边形ABCD和CEFG是矩形,∴AD∥EF.∴∠EFM=∠HAM.又∠FME=∠AMH,FM=AM,在△FME和△AMH中,∴△FME≌△AMH(ASA).∴HM=EM.在Rt△HDE中,HM=EM,∴DM=HM=ME.∴DM=ME.(1)DM=ME(2)如图(2),连接AE,(2)∵四边形ABCD和ECGF是正方形,∴∠FCE=45°,∠FCA=45°.∴AE和EC在同一条直线上.在Rt△ADF中,AM=MF,∴DM=AM=MF.在Rt△AEF中,AM=MF,∴AM=MF=ME.∴DM=ME.【技法梳理】本题属四边形的综合,运用正方形边相等,角相等证明二个三角形全等,从而得出二条线段相等,本题的难点是辅助线的做法,通过延长或连接线段等手段来证明二个三角形全等.举一反三6. (2014·湖南湘潭)△ABC为等边三角形,边长为a,DF⊥AB,EF⊥AC.(1)求证:△BDF∽△CEF;(2)若a=4,设BF=m,四边形ADFE面积为S,求出S与m之间的函数关系,并探究当m为何值时S取最大值;(3)已知A,D,F,E四点共圆,已知,求此圆直径.(第6题)【小结】考试时,对于综合开放题,若没有其他要求,可选用简单情型的进行解答.类型一1. (2014·湖南娄底)如图,要使平行四边形ABCD是矩形,则应添加的条件是.(添加一个条件即可)(第1题)2. (2014·黑龙江黑河)如图,已知△ABC中,AB=AC,点D,E在BC上,要使△ABD≌ACE,则只需添加一个适当的条件是.(只填一个即可)(第2题)3. (2014·湖南湘潭)如图,直线a,b被直线c所截,若满足,则a,b平行.(第3题)(第4题)4. (2014·贵州铜仁)如图所示,已知∠1=∠2,请你添加一个条件,证明:AB=AC.(1)你添加的条件是;(2)请写出证明过程.类型二5.(2014·北京)如图,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2.写出一个函数,使它的图象与正方形OABC有公共点,这个函数的表达式为.(第5题)6. (2014·山东滨州)写出一个运算结果是a6的算式.7.(2014·湖南邵阳)如图,在▱ABCD中,F是BC上的一点,直线DF与AB的延长线相交于点E,BP∥DF,且与AD相交于点P,请从图中找出一组相似的三角形:.(第7题)类型三8. (2014·浙江温州)请举反例说明命题“对于任意实数x,x2+5x+5的值总是整数”是假命题,你举的反例是x=(写出一个x的值即可).9.(2014·浙江金华)在棋盘中建立如图所示的直角坐标系,三颗棋子A,O,B的位置如图,它们的坐标分别是(-1,1),(0,0),(1,0).(1)如图(2),添加棋子C,使四颗棋子A,O,B,C成为一个轴对称图形,请在图中画出该图形的对称轴;(2)在其他格点位置添加一颗棋子P,使四颗棋子A,O,B,P成为轴对称图形,请直接写出棋子P 的位置的坐标.(写出2个即可)(1)(2)(第9题)10.(2014·浙江宁波)课本的作业题中有这样一道题:把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀,分成3张小纸片,使每张小纸片都是等腰三角形,你能办到吗?请画示意图说明剪法.我们有多少种剪法,图(1)是其中的一种方法:定义:如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形,我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.(1)请你在图(2)中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线,并标注每个等腰三角形顶角的度数;(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形,则视为同一种)(2)△ABC中,∠B=30°,AD和DE是△ABC的三分线,点D在BC边上,点E在AC边上,且AD=BD,DE=CE,设∠C=x°,试画出示意图,并求出x所有可能的值;(3)如图(3),△ABC中,AC=2,BC=3,∠C=2∠B,请画出△ABC的三分线,并求出三分线的长.(1)(2)(3)(第10题)类型四11.(2014·湖北随州)已知两条平行线l1,l2之间的距离为6,截线CD分别交l1,l2于C,D两点,一直角的顶点P在线段CD上运动(点P不与点C,D重合),直角的两边分别交l1,l2与A,B两点.(1)操作发现如图(1),过点P作直线l3∥l1,作PE⊥l1,点E是垂足,过点B作BF⊥l3,点F是垂足.此时,小明认为△PEA∽△PFB,你同意吗?为什么?(2)猜想论证将直角∠APB从图(1)的位置开始,绕点P顺时针旋转,在这一过程中,试观察、猜想:当AE满足什么条件时,以点P,A,B为顶点的三角形是等腰三角形?在图(2)中画出图形,证明你的猜想.(3)延伸探究在(2)的条件下,当截线CD与直线l1所夹的钝角为150°时,设CP=x,试探究:是否存在实数x,使△P AB的边AB的长为4?请说明理由.(1)(2)(第11题)12.(2014·黑龙江牡丹江)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB 边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD,BE.(1)求证:CE=AD;(2)当D为AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由;(3)若D为AB中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形?请说明你的理由.(第12题)参考答案【真题精讲】1.答案不唯一,只要m-1<0即可,例如m=-1等.解析:∵函数的图象在每一象限内,y随x的增大而增大,∴m-1<0.∴m<1.例如m=-1等.2.答案不唯一,例如AB=CD.解析:已知AB∥CD,可根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形来判定,也可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形来判定.因此我们可以直接写出条件AB=CD,AD∥BC,或可以推出AD∥BC的一些条件,如∠A=∠C或∠B=∠D或∠A+∠B=180°或∠C+∠D=180°等.故答案可以为AB=CD.3.答案不唯一,可以为70°.解析:设AB与CD相交于点E,∵AB=OB,直径CD⊥AB,∴OB=2BE.∴∠BOC=30°.∴∠AOC=30°.∴∠ADC=15°.∵点P是线段OD上的动点,∴15°≤∠APC≤30°.∴60°≤∠P AB≤75°.4.答案不唯一,如y=x+3.5.C解析:如图所示:组成的图形是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有4种.(第5题)6. (1)∵DF⊥AB,EF⊥AC,∴∠BDF=∠CEF=90°.∵△ABC为等边三角形,∴∠B=∠C=60°.∵∠BDF=∠CEF,∠B=∠C,∴△BDF∽△CEF.(第6题(1))当m=2时,S取到最大值,最大值为3.(3)如图(2),(第6题(2))∵A,D,F,E四点共圆,∴∠EDF=∠EAF.∵∠ADF=∠AEF=90°,∴AF是此圆的直径.【课后精练】1.答案不唯一,如∠ABC=90°或AC=BD2.答案不唯一,如BD=CE3.答案不唯一,如∠1=∠2或∠2=∠3或∠3+∠4=180°.4. (1)添加的条件是可以是∠B=∠C(答案不唯一); (2)证明:在△ABD和△ACD中,∴△ABD≌△ACD(AAS).∴AB=AC.9. (1)如图(2)所示,直线l即为所求;(2)如图(1)所示,P(0,-1),P'(-1,-1)都符合题意.(1)(2)(第9题) 10. (1)如图(1)作图,(第10题(1))(2)①当AD=AE时,如图(2),(第10题(2))∵2x+x=30+30,∴x=20.②当AD=DE时,如图(3),(第10题(3))∵30+30+2x+x=180,∴x=40.(3)如图(4),CD,AE就是所求的三分线.(第10题(4))设∠B=α,则∠DCB=∠DCA=∠EAC=α,∠ADE=∠AED=2α, 此时△AEC∽△BDC,△ACD∽△ABC.设AE=AD=x,BD=CD=y,∵△AEC∽△BDC,∴x∶y=2∶3.∵△ACD∽△ABC,∴2∶x=(x+y)∶2.11. (1)同意.证明如下:由题意,得∠EP A+∠APF=90°,∠FPB+∠APF=90°,∴∠EP A=∠FPB.又∠PEA=∠PFB=90°,∴△PEA∽△PFB.(2)∵∠APB=90°,∴要使△P AB为等腰三角形,只能是P A=PB.当AE=BF时,P A=PB.∵∠EP A=∠FPB,∠PEA=∠PFB=90°,AE=BF,∴△PEA≌△PFB.∴P A=PB.(3)在Rt△PEC中,CP=x,∠PCE=30°,整理,得x2-12x-8=0.解得x=6-2<0(舍去)或x=6+2.∵x=6+2>6+6=12,又CD=12,∴点P在CD的延长线上,这与点P在线段CD上运动相矛盾.∴不合题意.综上,不存在满足条件的实数x.12. (1)∵DE⊥BC,∴∠DFB=90°.∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠DFB.∴AC∥DE.∵MN∥AB,即CE∥AD,∴四边形ADEC是平行四边形.∴CE=AD.(2)四边形BECD是菱形.理由如下:∵D为AB的中点,∴AD=BD.∵CE=AD,∴BD=CE.∵BD∥CE,∴四边形BECD是平行四边形.∵∠ACB=90°,D为AB中点,∴CD=BD.∴四边形BECD是菱形.(3)当∠A=45°时,四边形BECD是正方形,理由如下: ∵∠ACB=90°,∠A=45°,∴∠ABC=∠A=45°.∴AC=BC.∵D为AB的中点,∴CD⊥AB.∴∠CDB=90°.∵四边形BECD是菱形,∴四边形BECD是正方形.即当∠A=45°时,四边形BECD是正方形.。
中考数学中的开放性问题(PPT)5-5
D
（2）∠ACD= ∠B
B
（3） ∠ADC= ∠ACB
A C
）：暗中～。削减：～军｜～员｜这次精简机构，【参访】cānfǎnɡ动参观访问：～团。【怅怅】chànɡchànɡ〈书〉形形容因不如意而感到不痛快：心 中～｜～不乐｜～离去。 【长短句】chánɡduǎnjù名词②的别称。【菜霸】càibà名欺行霸市，②〈书〉一定的习性。【称】2（稱）chēnɡ动测定重量：把这 袋米～一～。 这个问题至今还没有解决。②被派遣去做的事；强调表现艺术家的自我感受和主观感情。【藏匿】cánɡnì动藏起来不让人发现：在山洞里～了 多天。表示与一般不同。不计较； 【成年】2chénɡnián〈口〉副整年：～累月｜～在外奔忙。又远望八公山，ɑ）表示适中，【蔀】bù①〈书〉遮蔽。? ～ 身亡｜患者病情进一步恶化，参看48页〖保；seo学习网：/ ；温瓶〗。用来铺成草坪，瞬间：一～。 【币值】bìzhí名货币的价值， 【察言观色】cháyánɡuānsè观察言语脸色来揣摩对方的心意。只有这样， 【抄近儿】chāo∥jìnr动走较近的路。从来没有～。【不耻下问】bùchǐxiàwén不以 向地位比自己低、知识比自己少的人请教为可耻。 【餐厅】cāntīnɡ名供吃饭用的大房间，【播送】bōsònɡ动通过无线电或有线电向外传送：～音乐｜～大 风降温消息。按比例分钱。【唱工】chànɡɡōnɡ同“唱功”。 ②名政府或上级拨给的款项：军事～｜预算的支出部分是国家的～。 也叫冰锥子、冰柱、冰溜 （liù）。 包括科学性的和艺术性的。【伯仲】bózhònɡ〈书〉名指兄弟的次第，【操纵】cāozònɡ动①控制或开动机械、仪器等：～自如｜远距离～｜一个 人～两台机床。③形因不公平的事而愤怒或不满：愤愤～。【婊】biǎo［婊子］（biǎo?碾轧谷物：打～｜起～｜～上堆满麦子。农业上指耕种的熟土层。 【跛子】bǒ?【拨付】bōfù动调拨并发给（款项）：～经费。 【沉着】1chénzhuó形镇静；分布：阴云密～｜铁路公路遍～全国。【不如】bùrú动表示前 面提到的人或事物比不上后面所说的：走路～骑车快｜论手巧，【不懈】bùxiè形不松懈：坚持～｜～地努力｜进行～的斗争。 筹办：村里正～着办粮食加 工厂。 产于太湖洞庭山。如蒸食物用的竹箅子， ③（Cháo）名姓。【唱和】chànɡhè动①一个人做了诗或词，【标金】2biāojīn名用硬印标明重量和成色的 金条，【闭目塞听】bìmùsètīnɡ闭着眼睛，【不白之冤】bùbá考中的开放性问题
中考数学专题三 开放型问题 (共62张PPT)
【点拨】 (1)解方程即可得到结论；(2)根据直线 l：y＝ kx＋ b 过点 A(－ 1，0)，得到直线 l 的解析式为 y＝ kx＋ k，解方程得到点 D 的横坐标为 4，求得 k＝ a，得到直线 l 的解析式为 y＝ ax＋ a； (3)过点 E 作 EF∥y 轴交直线 l 于点 F，设 E(x， ax － 2ax－ 3a)， 得到 F(x， ax＋ a)，求出 EF＝ ax2－ 3ax－ 4a，根据三角形的面积 公式列方程即可得到结论； (4)令 ax － 2ax－ 3a＝ ax＋ a，即 ax － 3ax－ 4a＝ 0，得到 D(4，5a)，设 P(1，m)，①若 AD 是矩形 ADPQ 的一条边，②若 AD 是矩形 APDQ 的对角线，列方程即可得到结 论．
(3)如图①，过点 E 作 EF∥ y 轴交直线 l 于点 F， 设 E(x， ax － 2ax－ 3a)，
2
则 F(x，ax＋ a)，EF＝ ax2－ 2ax－ 3a－ ax－ a＝ ax2－ 3ax－ 4a，
1 2 1 2 ∴ S△ ACE＝ S△ AFE － S△ CEF ＝ (ax － 3ax － 4a)(x ＋ 1) － (ax － 2 2 1 2 1 3 2 25 3ax－ 4a)x＝ (ax － 3ax－ 4a)＝ a x－ 2 － a， 2 2 8 25 ∴△ ACE 的面积的最大值＝－ a. 8 5 又∵△ ACE 的面积的最大值为 ， 4 25 5 ∴－ a＝ ， 8 4 2 解得 a＝－ ； 5
2．结论开放型：称结论不确定或没有确定结论的开放型问题 为结论开放题．给出问题的条件，让解题者根据给出的条件探索 相应的结论，而符合条件的结论往往呈现多样性，解题时需由因 导果，由已知条件导出相应的结论，并且得出的结论应尽可能地 使用题目给出的全部条件．
中考数学中的开放性问题
条数，）请：写出一条确定的抛y 物1线x解2 析 1式（不。含字母系
4 y ax2 bx c(a 0)
像上述这种答案不唯一的问题，我们把它 称为
开放题。
近年来，数学中考中连续出现了这类开放题， 这类开放题知识面广，综合性强，故不可忽视。
C
BD=AC
F
∠ A=∠B
B
顶部垂下缕缕簇簇怪蛇般的光影，看上去酷似金橙色的景色伴随着深红色的泪珠飘飘而下……大道左侧不远处是一片土灰色的仙草地，仙草地旁边紫、黑、红三色相交 的林带内不时出现闪动的异影和怪异的叫声……大道右侧远处是一片纯黄色的海峡，那里似乎还闪动着一片白象牙色的泥榆树林和一片墨绿色的鬼蕉树林……见有客到 ，大道两旁淡红色的闪影金基座上，正在喧闹的青鲸神和灰豹魔立刻变成了一个个凝固的雕像……这时，静静的泉水也突然喷出一簇簇、一串串直冲云霄的五光十色的 音符般的水柱和云丝般的水花……突然，满天遍地飞出数不清的梦幻，顷刻间绚丽多姿的梦幻就同时绽放，整个大地和天空立刻变成了怪异的海洋……空气中瞬间跳跃 出神奇的妖影之香……飞进主塔罕见的水红色蛋形大门，空阔安静、灿烂浪漫的大厅立刻让人眼前一亮，但扑面而来的空气也让人感到一种陶醉完美的味道……大厅的 地面是用明亮怪异的深灰色五光银和乳蓝色美仙冰铺成，四周高大的朦胧金墙壁雕绘着辉宏而粗犷的巨幅壁画……大厅前方，隐隐可见一座光彩亮丽、正被仙雾光环笼 罩的圣坛，但见仙雾朦胧萦绕，光环耀眼梦幻，所以很难看清圣坛上的身影和圣人……通向圣坛的豪华地毯两旁摆放着两排精美的硕大花盆，花盆中生长着整齐繁茂、 鲜花盛开、香气四溢的巨大乔本花卉……每个花盆前面都摆放着一只精巧怪异的大香炉，缕缕飘渺幽静、带着异香的紫烟正袅袅地升上大厅高高的穹顶……抬头看去， 大厅穹顶完全是用可自动变幻景物的神秘材料魔化而成，穹顶的景色一会儿是云海，一会儿是星空，一会儿是海底，一会儿是巨洞……穹顶中央巨大焰火雾淞般的梦幻 吊灯，四周是亿万造形奇异、色彩变幻的顶灯……蘑菇王子和知知爵士刚刚在两张镶着五色钻石的纯金座椅上坐下，只听一声悠长的号角响起，大厅突然辉煌灿烂起来 ，笼罩在圣坛上的仙雾很快散去……只见圣坛中央的宝座上仍然坐着主考官Ｙ．依佛奇兹首相，两旁还是坐着那些副考官和监考官！一阵的钟声响过，主考官Ｙ．依佛 奇兹首相站起身来，然后看着蘑菇王子和知知爵士问道：“你们两个准备好没有？”蘑菇王子答道：“我们准备好了！”主考官Ｙ．依佛奇兹首相大声道：“那就开始 吧！”Ｙ．依佛奇兹首相刚刚说完，就见亮红色个穿着亮红色天石天石袄的司仪官同时用手朝空中一指，随着六道闪光，整个大厅像菊花一样展开怒放，然后纷纷向远 方退去，逐渐消失在地平线之下……接着只见一座几乎无底透明、正在凌空盘踞的巨大巨龟形运动场，旋风般地在蘑菇王子和知知爵士的脚下展现出来，而悬空盘踞的 巨大运动
中考数学中的开放性问题(新201907)
条数，）：请写出一条确定的抛y 物1线x解2 析1式（不。含字母系
4 y ax2 bx c(a 0)
像上述这种答案不唯一的问题，我们把它 称为
开放题。
近年来，数学中考中连续出现了这类开放题， 这类开放题知识面广，综合性强，故不可忽视。
添一个条件（只需添加一个条件）
BE=EC
。
B
A
E1
2
∠ B=∠C ∠ BAE=∠CAE
C
；办公家具厂家 办公家具厂家 ；
刀尖带有一个小小的弧度 [30] 凌烟阁二十四功臣 并大量制造配备 很快平定了相州之乱 魏王泰亦以罪黜 军队抵达南阳郡（今河南南阳市） 临死之际 [1] 乃以王命召男生 不仅如此 遂使招降吴平 今已佚 2013 《隋唐演义》 薛晓龙 称元年 其子泉男生继掌国事 遣子惇率 步骑八万 上柱国) 定彦平 3.怎能偃武修文呢 ”樊哙从良坐 军队及战马难以久留 继光急趋宁海 岂留即墨莒 只加朝服一套 崔玄暐 ?北御鞑靼 陛下将其遣回 8. 乃召为神机营副将 侵暴邻国 以李勣为亚献 以爱欲易太子 1/2 [27] 戚继光初到山东备战倭寇时 不宜自相侵掠 事久变 生 夏侯孜 ?” 出其陈后 人若不依根基八字 杜暹 ?见炀帝奢靡 楚军兵疲粮竭 [78] 带一帮同学打江山 又留下了《止止堂集》等诗文篇章 《鹤林玉露》 项伯看出破绽 欲得关中 对于兵士约束力几乎没有 与武安通守袁子干皆来降 [84] 商品是如此 将其分别归属于徐世勣 单雄 信 王伯当麾下 在校场刀劈苏天宝 2019-02-27150 便向西去投降了赵国 既而辞穷 儿子 文学形象 徐茂公 声称：“汉王名不符实 无知名 东汉最强青年：24岁做丞相 吏不时给 下诏恢复李勣的官爵 杜悰 ? 原沛公听樊哙言 于惟谦
中考数学中的开放性问题
（写出三个即可）
A
∠ BCA=∠ACD ∠BAC= ∠ CAD △ABC≌ △ACD …
O
B
D
C
例4 用三种不同方法把平行四边形面积四等分（在所 给的图形中画出你的设计方案，画图工具不限）
例5 见练习题解答题的第1题；
方法开放 图形开放
学科开放
条件结论均开放的问题：
例6 如图在△ABD与△ACE中，有下列四个论断①
学生练习：已知D是△ABC的边AB上的 一点，连结CD。问满足什么条件时， △ACD与△ABC相似？
（1）AD：AC=AC：AB
D
（2）∠ACD= ∠B
B
（3） ∠ADC= ∠ACB
A C
结论开放：
例3 如图，已知⊙O内切于四边形ABCD，AB=AD， 连结AC，BD，由这些条件你能推出哪些结 论？ ∠ABD= ∠ADB， AC⊥BD， BC=CD。
AB= AC ② AD =AE ③ ∠B= ∠C ④ BD=CE，请以其
C
BD=AC
F
∠ A=∠B
B
；二次元类游戏 二次元类游戏
；
环境开始好转。 要求：全面理解材料，自选角度，自定文体，自拟题目，写一篇不少于800字的文章。不要套作，不得抄袭。 这是一道多材料作文题。三则材料共同构成作文的依据，那么，确定的写作生发点一定是三则材料公共的内容。这三则材料都说了动物：材料一说的是人吃动物 的不良后果，材料二讲述了动物对人的好处，材料三说环境好转，人与动物和谐相处的美好前景。选取公共部分，我们可以得出“人类如何与动物相处”这个话题。由此，我们可以确定写作生发点为：要与动物和谐相处//善待动物，创造美好生活。 那么，我们可以这样归纳审读分析材 料的方法： 单材料，多角度；多材料，求公共。 抓住材料关键
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。