六年级奥数解不定方程
六年级奥数第28讲：不定方程
简单的不定方程所谓有定方程，是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。
解不定方程的方法是：（1）根据整除知识，缩小未知数的取值范围，然后试算求解。
（2）分析末位数字，缩小未知数的取值范围，寻求方程的整数解。
（3）求出一个未知数用另一个未知数表示的式子，然后试算求解。
（4）直接根据方程确定未知数的取值范围，通过试算求解。
例1、马小富在甲公司打工，几个月后又在乙公司兼职。
甲公每月付给他薪金470元，乙公司每月付给他薪金350元。
年终，马小富从两家公司共获薪金7 620元。
问他在甲公司打工多少个月，在乙公司兼职多少个月。
做一做：有A、B、C三种商品若干，价值共300元，其中A商品单价为16元，B商品单价为158元，C商品单价为19元。
那么，全部C商品至少价值多少元？最多价值多少元？例2、要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都损耗1毫米铜管，那么，只有当锯得的38毫米铜管和90毫米的铜管各为多少段时，所损耗的铜管才能最少？做一做：一个同学把他生日的月份乘以31，日期乘以12，然后加起来的和是170，你知道他出生于何月何日吗？例3、某单位的职工到效外植树，其中的男职工，也有女职工，并有31的职工各带一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那么其中女职工有多少人？做一做：一群猴子采摘水蜜桃。
猴王不在的时候，一只大猴子1小时可采摘15千克，一只小猴子1小时可采摘11千克；猴王在场监督的时候，大猴子的51和小猴子的51必须停止采摘，去伺候猴王，有一天采摘了8小时，其中只有第一小时和最后一小时有猴王在场监督，结果共摘3 382千克水密桃。
问：在这个猴群中，共有大猴子多少只？例4、小明用5天时间看完一本200页的故事书。
已知第二天看的页数比第一天多，第三天看的页数是第一天、第二天看的页数之和，第四天看的页数是第五天至少看了多少页？做一做：有一堆围棋子，白子颗数是黑子颗数的3倍。
最新六年级奥数不定方程
精品文档六年级奥数不定方程1、求2343=+y x 的自然数解。
2、求2523=+y x 的自然数解。
3、求3754=+y x 的自然数解。
4、求1635=-y x 的最小自然数解。
5、求方程组的正整数解。
⎩⎨⎧=--=++26325375z y x z y x6、求方程组的正整数解。
⎩⎨⎧=++=-+24237234z y x z y x7、求方程组的正整数解。
⎩⎨⎧=++=++52975681197z y x z y x8、求方程组的正整数解。
⎩⎨⎧=--=++26326475z y x z y x9、一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。
如果弹子数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个？10、某校六（1）班学生48人到公园划船。
如果每只小船可坐3人，每只大船可做5人。
那么需要小船和大船各几只（大、小船都有）？11、甲级铅笔7角钱一枝，乙级铅笔3角钱一枝，小华用六元钱恰好可以买两种不同的铅笔共几枝？12、小华和小强各用6角4分买了若干枝铅笔，他们买来的铅笔中都是是5分一枝和7分一枝的两种，而且小华买来的铅笔比小强多，小华比小强多买来铅笔多少枝？13、买三种水果30千克，共用去80元。
其中苹果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。
问三种水果各买了多少千克？14、有红、黄、蓝三种颜色的皮球共26只，其中蓝皮球的只数是黄皮球的9倍，蓝皮球有多少只？15、用10元钱买25枝笔。
已知毛笔每枝2角，彩色笔每枝4角，铅笔每枝9角。
问每种笔各买几枝（每种都要买）？16、小敏在文具店买了三种贴纸：普通贴纸每张8分，荧光贴纸每张1角，高级贴纸每张2角。
她一共用了一元两角两分钱。
那么，小敏的三种贴纸的总数量最少是多少张？17、某次数学竞赛准备了22枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。
原计划一等奖每人发6枝，二等奖每人发3枝，三等奖每人发2枝。
后来又改为一等奖每人发9枝，二等奖每人发4枝，三等奖每人发1枝。
六年级奥数不定方程
六年级奥数不定方程Prepared on 21 November 2021第六讲不定方程【知识要点】1、许多数学家需要用方程或方程组来求解。
要想获得未知数的唯一解，能独立列出的方程个数必须与未知数的个数相等。
如果方程个数少于未知数的个数，则称之为不定方程或不定方程组，以为此时未知数一般有无数多个解，解是不确定的。
但如果结合具体问题，增加一些对解的限制条件，如只求自然数解等，这样的不定方程的解就只有有限个或唯一一个了。
必须注意，限制条件中，有些是明显的，有些则是隐藏的。
2、求不定方程的自然数解或正整数解，关键是充分利用整除特征，尝试找出第一解；对于其他的所有解，可通过解的规律，逐一罗列出来，并不困难。
【例题精讲】例1：求下列方程的整数解（x＞0，y＞0）。
（1）5x+10y=14；（2）11x+3y=89.【思路点拨】5和10有公因数5，而14没有公因数5，所以原方程无整数解；y=29－3211x，11x－2能被3整除且x＜9。
模仿练习：（1）求满足方程5x+3y=40的自然数解。
（2）设A 和B 都是自然数，且满足11A +7B =7757，求A+B 的值。
例2：某单位职工到郊外植树，其中31的职工各带了一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那么其中有女职工多少人【思路点拨】设有女职工x 人，男职工y 人，那么有孩子3y x +人，这个条件说明3|x+y 。
模仿练习：某小学共有大、中、小宿舍12间，能住80人。
每间大宿舍能住8人，每间中宿舍能住7人，每间小宿舍能住5人。
问中、小宿舍共有多少间例3：有四个自然数A 、B 、C 、D ，它们的和不超过除以B 商5余5；A 除以C 商6余6；A 除以D 商7余7，这四个自然数的和是多少【思路点拨】A=5B+5=6C+6=7D+7，A 一定是5,6,7的公倍数。
模仿练习：有三张扑克牌，牌的数字各不相同，并且都小于10，把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人，每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数。
六年级奥数专题培优讲义不定方程及解析全国通用
六年级奥数专题培优讲义——不定方程及解析知识点梳理：在列方程组解答应用题时，有两个未知数，就需要有两个方程。
有三个未知数，就需要有三个方程。
当未知数的个数多于方程的个数时，这样的方程称为不定方程，为纪念古希腊数学家丢番图，不定方程也称为丢番图方程。
不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足轻重的地位。
而在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。
不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。
不过，我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。
这种情况也不排除它的取值不止一种。
不定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。
如果考虑到题中以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整数的分拆有很大关系）。
解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确求解。
【例1】★求方程2725=+y x 的正整数解。
【解析】因为2y 为偶数，27为奇数，所以5x 为奇数，即x 为奇数⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==15,63,111y x y x y x【小试牛刀】求方程4x ＋10y ＝34的正整数解【解析】因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得 2x ＋5y ＝17，5y 的个位是0或5两种情况，2x 是偶数，要想和为17，5y 的个位只能是5，y 为奇数即可；2x 典型例题的个位为2，所以x 的取值为1、6、11、16……x ＝1时，17－2x ＝15，y ＝3，x ＝6时，17－2x ＝ 5，y ＝1，x ＝11时，17－2x ＝17 －22，无解所以方程有两组整数解为：16,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 【例2】★ 设A ，B 都是正整数，并且满足3317311=+B A ，求B A +的值。
高斯小学奥数六年级上册含答案第07讲 不定方程
练习2、点心店里卖大、小两种蛋糕．一个大蛋糕恰好够7个人吃，一个小蛋糕恰好够4个人吃，现在有100个人要吃蛋糕，应该准备大、小蛋糕各多少个才不浪费？如果每个大蛋糕10元，每个小蛋糕7元，那么至少要花多少钱？
前面的两道例题只要求方程的解是自然数即可，但有的问题除了要求“解必须是自然数”外，还会有一些其它的约束．下面我们就来看几道这样例题．
例3．甲、乙两个小队去植树．甲小队有一人植树12棵，其余每人植树13棵；乙小队有一人植树8棵，其余每人植树10棵．已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数都是四百多棵．问：甲、乙两小队共有多少人？
「分析」不妨设甲小队有 人，乙小队有 人．由“两小队植树棵数相等”，你能列出一个关于 与 的不定方程吗？所列出来的不定方程又该如何求解？
5.甲、乙、丙三个班向希望工程捐赠图书．已知甲班有1人捐6册，有2人各捐7册，其余都各捐11册；乙班有1人捐6册，3人各捐8册，其余各捐10册；丙班有2人各捐4册，6人各捐7册，其余各捐9册．已知甲班捐书总数比乙班多28册，乙班比丙班多101册，且每个班捐赠的册数都在400与600之间．各班各有多少人？48，49，41
例题3.答案：76
详解：设甲、乙两小队分别有 人和 人．则两队植树棵数分别为 棵和 棵．由分析得： ．将 0、1、2、……代入方程验证 是否是自然数，可以求出方程的 值最小的一组自然数解 ，此时每队的植树棵数均为38棵．
方程的所有其他的自然数解都可以由进行若干次的“ 值增加13且同时 值增加10”得到（也就是方程的其他所有自然数解是 ， ， ，……），每次“ 值增加13且同时 值增加10”意味着每队植树棵数增加130棵，38棵要变为四百多棵，意味着要增加3次，符合要求的自然数解是 ．所以甲队有33人，乙队有43人，两队共有 人．
六年级奥数学习讲义 第40讲 不定方程 练习及答案
第40讲不定方程一、知识要点当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。
如5x－3y ＝9就是不定方程。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。
如5x－3y＝9的解有：x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。
因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。
解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。
二、精讲精练【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。
先将原方程变形，y＝23－3x4。
可列表试验求解：所以方程3x+4y＝23的自然数解为X=1 x=5 Y=5 y=2 练习11、求3x+2y＝25的自然数解。
2、求4x+5y＝37的自然数解。
3、求5x－3y＝16的最小自然数解。
【例题2】求下列方程组的正整数解。
5x+7y+3z＝253x－y－6z＝2这是一个三元一次不定方程组。
解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。
5x+7y+3z＝25 ①3x－y－6z＝2 ②由①×2+②，得13x+13y＝52X+y＝4 ③把③式变形，得y＝4－x。
因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.当x＝1时，y＝3当x＝2时，y＝2当x＝3时，y＝1把上面的结果再分别代入①或②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。
x＝2，y＝2时，z也无正整数解。
x＝3时，y＝1时，z＝1.所以，原方程组的正整数解为 x＝1y＝1z＝1求下面方程组的自然数解。
六年级上册奥数第八讲不定方程
第八讲不定方程一个方程中有两个未知数，未知数的个数多于方程的个数，这样的方程叫做不定方程。
古希腊的数学家丢番图曾写过关于不定方程的书《算术》，所以不定方程又叫丢番图方程，不定方程往往有无数解，但如果有限制条件，例如求自然数解，往往会使解的个数变成有限。
例题精讲例1、一个工人将99颗弹子装入两种盒子中，每个大盒子装12颗，小盒子装5颗，恰好装完，已知盒子数大于10, 问这两种盒子各有多少?例2、甲级铅笔7块钱一支，乙级铅笔3块钱一支。
问张明用60元恰好买两种铅笔共多少支?例3、要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都要损耗1亳米铜管，那么，只有当锯得的38毫米的铜管和90毫米的铜管各为多少段时，所损耗的铜管才能最少?例4、小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分，小明其套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次。
小明套10次共得了61分。
问:小鸡至多被套中多少次?例5、学校里共有12间宿舍，可以住80人，大宿舍住8人，中宿舍住7人，小宿舍住5人，问中宿舍和小宿舍共有多少间?例6、某地水费，不超过10度时，每度0. 45元;超过10度时，每度0.80元。
张家比李家多交水费3.30元，如果两家的用水量都是整数度，问张家、李家各交水费多少元?例7、将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管(加工损耗忽略不计),问剩余部分铝管最少是多少厘米?例8、某种考试已举行24次，共出了426道题。
每次出的题目，有25题，或者16题，或者20题，那么，其中考25题的有多少次?同步训练1、一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的木球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字的和等于21,问小明摸出的球中红球最多不超过多少个?2、篮、排、足球放在一堆共25个，其中篮球个数是足球个数的7倍，求其中排球的个数。
小学六年级奥数 第八章 不定方程
第八章不定方程知识要点如果方程(组)中未知数的个数多于方程的个数，此方程(组)称为不定方程(组)。
如x＋y＝10，1512x ay a-=⎧⎨+=⎩，。
不定方程(组)的解是不确定的。
一般地，如果没有给不定方程的制约条件，那么它就有无限多个解。
小学阶段主要涉及整系数不定方程的整数解。
关于参数方程，就是有时题中给的条件过少，就设一个未知数参与运算，这个参数不影响结果。
例1 (第五届“希望杯”邀请赛试题)一个两位数的中间加上一个0，得到的三位数比原两位数的8倍小1，原来的两位数是。
点拨根据题意，可由原来的两位数和变化后的三位数之间的数量关系列出方程。
解设原来的两位数是ab＝10a＋b，则新数是0a b＝100a＋b。
依题意得 100a＋b＋1＝8(10a＋b)即 20a＋1＝7b所以 a＝71 20 b-因为a，b是整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，所以 a＝1，b＝3即原来的两位数是13。
说明如果方程存在的解不止一个，则要逐一解出，并检验，千万不要漏掉或出现与题意相矛盾的解。
例2 (“迎春杯”邀请赛试题)某工厂为优秀职工发奖金，一等奖每人1800元，二等奖每人1200元，三等奖每人800元。
每种奖都有人领，共有15名优秀职工领取奖金的总数为16000元，获一、二、三等奖的职工各有多少人？点拨根据题意，一、二、三等奖人数之和等于15这一等量关系显而易见，而15名职工领取奖金的总和为16000元这一等量关系也给出，可列出方程。
解设一、二、三等奖依次有x人、y人、z人，则有1800x＋1200y＋800z＝16000即 9x＋6y＋4z＝80又x＋y＋z＝15，将z＝15－x－y代入上式，得9x＋6y＋60－4x－4y＝80整理得 5x＋2y＝20又x，y，z是正整数，解得 x＝2，y＝5，z＝15－x－y＝8。
答：获一等奖的有2人，二等奖的有5人，三等奖的有8人。
例3 100头驴驮100袋物品，一头大驴驮3袋，一头中驴驮2袋，两头小驴驮1袋。
六年级下册奥数第40讲 解不定方程
第40讲解不定方程讲义知识要点当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。
如5x－3y＝9就是不定方程。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制的条件，那么它的解的个数就是有限的了。
如5x－3y＝9的解有：{x＝2.4y＝1，{x＝2.7y＝1.5，{x＝3y＝2，{x＝3.06y＝2.1，{x＝3.6y＝3，……如果限定x，y的解是小于5的正整数，那么解就只有{x＝3y＝2，这一组了。
因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一要将原方程适当变形，把其中的一个末知数用另一个未知数来表示，然后在一定范围内试验求解。
解题时要注意观察未知数前面系数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用消去法把它转化为二元一次不定方程后再求解。
解答应用题时，要根题中的限制条件(有时是明显的，有时是隐蔽的)取道当的值。
例1、求3x＋4y＝23的正整数解。
练习：1.求3x＋2y＝25的正整数解。
2、求4x＋5y＝37的正整数解。
3、求5x－3y＝16的最小正整数解例2、求下面方程组的正整数解{5x＋7y＋3z＝25 x－y－6z＝2。
练习：求下面方程组的正整数解。
1.{4x＋3y－2z＝73x＋2y＋4z＝21， 2.{7x＋9y＋11z＝685x＋7y＋9z＝52， 3.{5x＋7y＋4z＝263x－y－6x＝2例3、一个商人将子弹放进两种盒子里，每个大盒子装12发，每个小盒子装5发，恰好装完。
如果子弹数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个?练习：1、某校六(1)班学生48人到公园划船。
如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人。
那么需要小船和大船各几只?(大、小船都有)2、甲种铅笔7角钱一支，乙种铅笔3角钱一支，小华用6元钱恰好可以买两种不同的铅笔共几支?3、小华和小强各用6元4角买了若干支铅笔，他们买的铅笔中都是5角一支和7角一支的两种，而且小华买的铅笔比小强买的铅笔多，小华比小强多买铅笔多少支?例4、买三种水果30千克，共用去80元。
小学六年级奥数第40讲 不定方程(含答案分析)
第40讲不定方程一、知识要点当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。
如5x－3y ＝9就是不定方程。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。
如5x－3y＝9的解有：x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。
因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。
解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。
二、精讲精练【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。
先将原方程变形，y＝23－3x4。
可列表试验求解：所以方程3x+4y＝23的自然数解为X=1 x=5 Y=5 y=2 练习11、求3x+2y＝25的自然数解。
2、求4x+5y＝37的自然数解。
3、求5x－3y＝16的最小自然数解。
【例题2】求下列方程组的正整数解。
5x+7y+3z＝253x－y－6z＝2这是一个三元一次不定方程组。
解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。
5x+7y+3z＝25 ①3x－y－6z＝2 ②由①×2+②，得13x+13y＝52X+y＝4 ③把③式变形，得y＝4－x。
因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.当x＝1时，y＝3当x＝2时，y＝2当x＝3时，y＝1把上面的结果再分别代入①或②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。
x＝2，y＝2时，z也无正整数解。
x＝3时，y＝1时，z＝1.所以，原方程组的正整数解为 x＝1y＝1z＝1求下面方程组的自然数解。
高斯小学奥数六年级上册含答案第07讲不定方程
第七讲不定方程前我们学习的方程一般都有唯一解，比如方程 3x 4 19只有一个解x 5，方程组x 2y 5只有一组解 2x 3y 8什么样的方程，解不唯一呢？举个简单的例子，二元一次方程唯一，因为每当y 取定一个数值时，x 就会有相应的取值和它对应，使方程成立，这样一来就会有无穷多组解.通常情况下，当未知数的个数大于方程个数时.，这个方程.(或 方程组).就会有无穷多个解.可是方程的解那么多， 究竟哪个才是正确的呢？应该说， 如果不加任何额外的限制条件， 这 无穷多个解都是正确的. 但在实际情况中，我们通常会限定方程的解必须是自然数，这样一来，往往就只有少数几个解能符合要求，甚至在某些情况下所有的解都不对.x 2y 5的解就不対刖•所以这杆的方程才 囚平处方程啊 x+y=10陕。
一个右程龙么含右两个木 如数啊”这样的力稈论町好 多桦1方程个数小于未知数个数怖方 程如叫不罡方4T.不定方程，顾名思义就是“不确定”的方程，这里的不确定主要体现在方程的解上.之本讲我们要学习的就是这样的一类方程（或方程组）：它们所含未知数的个数往往求下列方程的自然数解:(1) x 2y 5 ;(2) 2x 3y 8 ;(4) 4x 5y 20 .本讲我们要学习的就是这样的一类方程（或方程组） ：它们所含未知数的个数往往大于方程的个数， 而未知数本身又有一定的取值范围， 这个范围通常都是自然数——这 类方程就是“不定方程” ．形如 ax by c （ a 、b 、c 为正整数）的方程是二元一次不定方程的标准形式．解 这样的方程， 最基本的方法就是枚举． 那怎样才能枚举出方程的全部自然数解呢？我们 下面结合例题来进行讲解．例1．甲级铅笔 7角一支，乙级铅笔 3角一支，张明用 5元钱买这两种铅笔， 钱恰好花完． 请 问：张明共买了多少支铅笔？「分析」设张明买了甲级铅笔 x 支，乙级铅笔y 支，可以列出不定方程：7x 3y 50, 其中x 和y 都是自然数.怎么求解呢？x 19 x 22 x 25、、y 4 y 2 y 0的不定方程的自然数解时,我们可以先找出一组解,之后其余的所有解都可由这一组解的次变化 a 得到（注意变化的方向相反, 一个增加, 另一个就得减少, 才能保证 ax by 的 大小不变）练习 1、（1）求 3x 5y 35的所有自然数解；（2）求11x 12y160 的所有自然数解.般地,如果m是ax nby xmax byc 的一组解,那么yn 这naam abbn abam bn c .另外,也是 ax by c 的一组解,理由相同.2x 这条性质有什么用呢？我们以求x 10一组自然数解x 10.应用上面的规律,y 10 然数）,所得结果仍然是x 25都是 2x 3y y0增加 2,所得结果也是 b（当n a 时）也是3y 50的自然数解为例, 2x 3y 50的一组解, 所以y 50的自然数解.另外x 每次减少2x 是2x 3y 50的自然数解. 而且这样就已经求出了2x 是：因 b . ,（当 m b 时） a我们容易看出它有13 x 16 x 19 x 228 、 y 、 6 y 、 4 y 2 、 3（只要 x 还是自然数） ,y 每次 x 7x 4 x 1、、也都y12 y 14 y163y 50的自然数解,所以50 的所有自然数解,它们3y x 每次增加3, y 每次减少2 （只要y 还是自x x 16 y6 ax by c （ a 、b 、c 为正整数）7 x 10 x 13 、、 12 y 10 y 8 x 值每次变化 b , y 值每例2．采购员去超市买鸡蛋．每个大盒里有23 个鸡蛋，每个小盒里有16 个鸡蛋．采购员要恰好买500 个鸡蛋，他一共要买多少盒？「分析」采购员要买多少个大盒，多少个小盒？大盒个数与小盒个数之间有什么联系？练习2、点心店里卖大、小两种蛋糕．一个大蛋糕恰好够7 个人吃，一个小蛋糕恰好够4 个人吃，现在有100 个人要吃蛋糕，应该准备大、小蛋糕各多少个才不浪费？如果每个大蛋糕10 元，每个小蛋糕7 元，那么至少要花多少钱？前面的两道例题只要求方程的解是自然数即可，但有的问题除了要求“解必须是自然数”外，还会有一些其它的约束．下面我们就来看几道这样例题．例3．甲、乙两个小队去植树．甲小队有一人植树12 棵，其余每人植树13 棵；乙小队有一人植树8 棵，其余每人植树10 棵．已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数都是四百多棵．问：甲、乙两小队共有多少人？「分析」不妨设甲小队有X人，乙小队有y人•由“两小队植树棵数相等”，你能列出一个关于x与y的不定方程吗？所列出来的不定方程又该如何求解？练习3、天气炎热，高思学校购置了大、小空调若干．每台大空调每天耗电38 度，每台小空调每天耗电13 度．已知所有大空调日耗电量之和恰好比所有小空调日耗电量之和少 1 度．请问：单位里最少购进了多少台空调？例4．将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24 厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：剩余部分最少是多少厘米？「分析」不妨设已经截出了x根长36厘米的管子和y根长24厘米的管子.合金铝管如果刚好能够被用完，方程应该怎么列？列出来的方程有自然数解吗？练习4、酒店里有500 升女儿红，李一白每次路过这里就打走35 升，杜二甫每次路过这里就打走21 升．那么若干天后，酒店剩余的女儿红最少是多少升？二元一次不定方程只要找到一组自然数解，就能利用方程系数有规律地写出所有自然数解•而含有更多未知数的不定方程又当如何求解呢?例5.我国古代数学家张丘建在《算经》一书中提出了“百鸡问题”：鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一.百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？这个问题是说：每只公鸡价值5文钱，每只母鸡价值3文钱，每3只小鸡价值1文钱•要想用100文钱恰好买100只鸡，公鸡、母鸡和小鸡应该分别买多少只？「分析」题中有几个未知量？由这些未知量你能列出几个方程？:；《张丘建算经》■- 张丘建，北魏清河（今山东邢台市清河县）人，中国古代数学家，著有《张丘建算.经》.该书的体例为问答式，条理精密、文辞古雅，是中国古代数学史上少有的杰作.；；《张丘建算经》现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算，:各种等差数列问题的解决，某些不定方程问题的求解. 百鸡问题就是其中一个著名的不定方程问题.- 张丘建所处的年代是中国古代的南北朝时期•尽管当时的中国战火连年，朝代更迭::频繁，且一直处于分裂状态，但数学发展的脚步依然没有停下•与《张丘建算经》同时代的算经还有《孙子算经》和《夏侯阳算经》，而与张丘建本人同时代的数学家还有大＞名鼎鼎的祖冲之.例6.卡莉娅到商店买糖，巧克力糖13元一包，奶糖17元一包，水果糖7.8元一包，酥糖10.4元一包，最后她共花了360元，且每种糖都买了•请问：卡莉娅买了多少包奶糖？「分析」题目中出现了四种糖果，我们不妨设巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分别有x 包、y包、z包和w包，再由已知的单价、总价可以列出方程13x 17y 7.8z 10.4w 360 .这是一个四元一次方程，如果按通常的解法枚举出所有解，势必会有太多可能性需要讨论，过于繁琐•而且题目也没要我们求出所有解，只要我们求出奶糖的数量即可.那有没有办法不求其它糖果，只求奶糖的数量呢？练习6、求22x 26y 33z 65w 194的所有自然数解.气象学家Lorenz 提出一篇论文，名叫“一只蝴蝶拍一下翅膀会不会在德克萨斯州引起 龙卷风？”论述某系统如果初期条件差一点点，结果会很不稳定，他把这种现象戏称做「蝴 蝶效应」•就像我们投掷骰子两次，无论我们如何刻意去投掷，两次的物理现象和投出的点 数也不一定是相同的.Lorenz 为何要写这篇论文呢?这故事发生在1961年的某个冬天，他如往常一般在办公室操作气象电脑.平时，他只 需要将温度、湿度、压力等气象数据输入，电脑就会依据三个内建的微分方程式，计算出下 一刻可能的气象数据，因此模拟出气象变化图.这一天，Lorenz 想更进一步了解某段纪录的后续变化， 他把某时刻的气象数据重新输入电脑，让电脑计算出更多的后续结果•当时，电脑处理数据资料的数度不快，在结果出来之 前，足够他喝杯咖啡并和友人闲聊一阵•在一小时后，结果出来了，不过令他目瞪口呆•结 果和原资讯两相比较，初期数据还差不多，越到后期，数据差异就越大了，就像是不同的两 笔资讯.而问题并不出在电脑，问题是他输入的数据差了0.000127,而这些微的差异却造成天壤之别•所以长期的准确预测天气是不可能的.蝴蝶效应课 内 外 堂作业5x 2 y 4z 601. （1）求5x 7y 31的所有自然数解；（2）求5x 2y 4z 60的所有自然数解．x 2 y z 362. 在一次植树节的活动中，参加活动的男生每个人种11 棵树，女生每个人种7棵树，最后所有人一共种了100棵树，那么参加活动的一共有多少人？3. 一张纸上写有25个1.21 和25个1.3．现在要划去其中的一些数，使留下来的数的总和为20.08，那么应划去多少个 1.3？4. 樱木同学特别喜欢吃包子，每天早上都到学一食堂买包子吃．（1）第一天早上，樱木同学花了6元买了一些冬菜包和豆香包，两种包子他都买了．已知冬菜包每个7 角，豆香包每个 5 角，那么樱木同学一共买了多少个包子？（2）第二天早上，樱木同学去学一食堂的路上遇到了晴子．于是樱木邀请晴子一起去吃包子．到学一食堂后，两人除了吃冬菜包和豆香包以外还点了几串羊肉串．已知羊肉串每串1 .2元，最后一共花了18元，所点包子与羊肉串数量总和是25．那么两人最多吃了多少串羊肉串？5. 甲、乙、丙三个班向希望工程捐赠图书．已知甲班有1 人捐6册，有2人各捐7册，其余都各捐11 册；乙班有 1 人捐6册，3人各捐8册，其余各捐 1 0册；丙班有2人各捐4册，6人各捐7册，其余各捐9册．已知甲班捐书总数比乙班多28册，乙班比丙班多101 册，且每个班捐赠的册数都在400与600之间．各班各有多少人？第七讲不定方程例题：例题1. 答案：14 或10详解：由于方程两边除以 3 的余数相同, 7x 3y x mod3 , 50 2 mod3 ,所以x除以3余2 .又因为7x 50，所以x是不超过7的自然数，只能取2或5.当x 2时，y 50 2 7 3 12 , x y 14；当x 5 时, y 50 5 7 3 5 , x y 10．所以张明共买了14支或10支铅笔．例题2. 答案：26详解：设买了大盒鸡蛋x盒，小盒鸡蛋y盒，则23x 16y 500 .考虑方程两边除以16 的余数，得：7x除以16的余数是4.首先要求7x是4的倍数，所以x是4的倍数，验证x 4、8、12、……发现满足7x除以16的余数是4的最小x值是12,相应的y的值是14,即x 12．由于12 16 且14 23,所以方程没有其它自然数解,采购员一共y 14买了12 14 26 盒鸡蛋．例题3. 答案：76详解：设甲、乙两小队分别有x人和y人.则两队植树棵数分别为13x 1棵和10y 2棵.由分析得：10y 13x 1 .将y 0、1、2、……代入方程验证x是否是自然数，可以求出方程的y值最小的一组自然数解y 4，此时每队的植树棵数均为38棵.x3方程的所有其他的自然数解都可以由进行若干次的“y值增加13且同时x值增加10”得到（也就是方程的其他所有自然数解是y 17, y 30, y 43,……），每次“ yx 13 x 23 x 33值增加13且同时x值增加10”意味着每队植树棵数增加130棵，38棵要变为四百多棵，意味着要增加 3 次，符合要求的自然数解是y 43.所以甲队有33 人，乙队有x 3343 人，两队共有33 43 76 人.例题4. 答案：8详解：设已经截出了x根长36厘米的管子和y根长24厘米的管子，那么被截出的管子一共长36x 24y厘米.由36,24 12，得：36x 24y一定是12的倍数.而380不是12 的倍数，所以36x 24y 380是没有自然数解的！管子不可能刚好被用尽，那么最少会剩下多少厘米呢？由于36x 24y —定是12的倍数，小于 380且能被12整除的最大自然数是372，而36x 24y 372的自然数解是存在的，如X 1，也就是截出1根长36厘米的管子和y 1414根长24厘米的管子，能够使得截出的管子总长度达到最大值372厘米•所以剩余部分最少是380372 8厘米.x y z 100详解：设公鸡、母鸡和小鸡分别买了 x 只、y 只和z 只•依题意，得： 1•要5x 3y - z 100 3求这个方程的自然数解， 我们用“消元”的想法把它转化成二元一次不定方程求自然 数解的问题.我们选择“消去” z :将第二个方程乘以3,然后减去第一个方程， 得:例题6.答案：12详解：不妨设巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分别有x 包、y 包、z 包和w 包，则13x 17y 7.8z 10.4w 360 .把系数都化成整数，得：65x 85 y 39z 52w 1800 .由于我们只关心奶糖的数量，我们将未知数y 分为一组，其余未知数分为另一组：65x39z 52w85y1800 .也就是 13 5x 3z 4w 85y1800 .令 u 5x 3z 4w ，则13u 85y 1800 .它的自然数解只有U 60，所以阿奇共买了 12包奶糖.y 12x 0x 4x 8x 12有自然数解是： y 25、 y 18、 y 11和 y 4 .所以我们有四种符合要求的买z 75 z 78 z 81 z 84 x y 4z 值分别为75、78、81、84都是自然数，于是原不定方程的所鸡方案：公鸡 0只，母鸡25只，小鸡75只；公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；公例题5.答案：有四种符合要求的买鸡方案：公鸡 母鸡18只，小鸡78只；公鸡8只，母鸡 小鸡84只 0只，母鸡25只，小鸡75只；公鸡4只, 11只，小鸡81只；公鸡12只，母鸡4只，14x 8y 200，即 7x 4y100，它的所有自然数解是x 0 x 4 x 8 、 、y25y 18y1112 .它们对应的鸡8只，母鸡 11只，小鸡81只；公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只.练习：1. 答案： ( 1 )有三组解： x 0 ； x 5；x 1010；(2)有一组解：x8y 7 y 4y1 y6简答： ( 1)考虑方程两边除以 3 的余数； ( 2) 考虑方程两边除以11 的余数2.答案：有四种购买方案： 1 2个大蛋糕， 4个小蛋糕； 8个大蛋糕， 11 个小蛋糕； 4个大 蛋糕， 18 个小蛋糕； 0 个大蛋糕， 25 个小蛋糕；第一个方案最省钱，只要花12 10 4 7 148 元 简答：求不定方程 7x 4y 100的自然数解即可.3. 答案： 4 台简答： 38x 13y 1 的最小自然数解为x 1， 最少需要大空调 1 台，小空调 3 台y34. 答案：3简答： 注意 35x 21y 是7的倍数.x7 x 6x 55. 答案：( 1) 有三组解： y 1 、 y3 、 y5； (2) 1； 2； 6z2 x 1x简答： ( 1) 消去 x 可解；( 2)求 x yz 9的正整数解即可.16x12y 1 0z 1006 x 015 ； y 140 z 83的余数；(2)消去未知数y ,转化成二元一次不定方程.2. 答案： 12x4x 4，所以参加活动的共有 4 8 12 人. y83. 答案： 17作业：x x2 1. 答案：( 1 )x 2；( 2) yy3z 简答：( 1 )考虑方程两边除以简答：由 11x 7y 100 ，得：简答：设留下来的数中有x 个 1.21 和y 个 1.3，则 1.21x 1.3y 20.08.由于总和的百分位是8，说明x 8或18.仅当x 8相应的y 是整数，求得y 8，所以应该划去25 8 17 个 1.3.4. 答案：( 1) 10；(2) 7x5简答：( 1)设买了冬菜包x 个，豆香包y 个.由7x 5y 60，得：x 5，所以樱木同y5x24x17x10学一共买了5 5 10个包子；( 2)由7x 5y 12z 180,得：y0、y5、y10 x y z 25135z z zx3或y 15 ，所以羊肉串最多有7 串. z75. 答案：甲51 ；乙53；丙49 简答：设甲、乙、丙三个班分别有x 人、y 人、z 人，则由已知可得：20 11(x 3) 30 10(y 4) 28 11x 31 10y，即，所以可知x 是除以10 余 1 的数，y30 10(y 4) 50 9(z 8) 101 10y 89 9z是除以9余8的数.又因为每班捐书册数在400与600之间，所以x只能取51,此时才同时满足y是除以9余8的数，即为53,则z为49.x 1 x 4 x、、y 16 y 14 y 这就告诉我们,在求形如。
6年级奥数-不定方程
不定方程讲义讲义编号 LTJYsxsrl005学员编号：LTJY001 年 级：六年级 课时数： 学员姓名: 辅导科目：数学 学科教师： 学科组长签名及日期教务长签名及日期课 题一次不定方程（组）的整数解问题授课时间：备课时间：教学目标 1.理解不定方程（组）的含义2.掌握一次不定方程（组）的定理和相关解题方法 重点、难点 重点：不定方程定理的理解难点：解不定方程方法与技巧的灵活运用 考点及考试要求 不定方程（组）是数论中的一个重要课题教学内容【写在前面】不定方程（组）是数论中的一个重要课题. 对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决. 【本讲重点】求一次不定方程（组）的整数解 【知识梳理】不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定. 重要定理：设a 、b 、c 、d 为整数，则不定方程c by ax =+有：定理1 若,),(d b a =且d 不能整除c ，则不定方程c by ax =+没有整数解；定理2 若),(00y x 是不定方程c by ax =+且的一组整数解（称为特解），则⎩⎨⎧-=+=aty y bt x x 00,（t 为整数）是方程的全部整数解（称为通解）. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.定理 3 若),(00y x 是不定方程1=+by ax ，1),(=b a 的特解，则),(00cy cx 是方程c by ax =+的一个特解. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.求整系数不定方程c by ax =+的正整数解，通常有以下步骤： （1） 判断有无整数解； （2） 求出一个特解； （3） 写出通解；（4） 有整数t 同时要满足的条件（不等式组），代入命题（2）中的表达式，写出不定方程的正整数解. 解不定方程（组），需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法：（1）分离整系数法； （2）穷举法； （3）因式分解法； （4）配方法； （5）整数的整除性； （6）奇偶分析； （7）不等式分析； （8）乘法公式.【学法指导】【例1】求下列不定方程的整数解（1）862=+y x ； （2）13105=+y x . 【分析】根据定理1、定理2确定方程的整数解.【解答】（1）原方程变形为：43=+y x ， 观察得到⎩⎨⎧==1,1y x 是43=+y x 的一组整数解（特解），根据定理2 ，)(1,31是整数t t y t x ⎩⎨⎧-=+=是原方程的所有整数解.（2）∵（5，10）=5，但5不能整除13，∴根据定理1，原方程的无整数解.【点评】先判断方程是否有整数解，多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解. 求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的.【实践】求下列不定方程的整数解（1）211147=+y x ； （2）11145=-y x .【例2】求方程213197=+y x 的所有正整数解.【分析】此方程的系数较大，不易用观察法得出特解.根据方程用y 来表示x ,再将含y 的代数式分离出整系数部分，然后对分数系数部分进行讨论，赋予y 不同的整数，寻找一个使分数系数部分成为正整数的y 0，然后再求x 0，写出通解，再解不等式组确定方程的正整数解.【解答】∵（7，19）=1，根据定理2，原方程有整数解.由原方程可得75323075314210719213yy y y y x -+-=-+-=-=， 由此可观察出一组特解为x 0=25，y 0=2.∴方程的通解为)(72,1925是整数t ty t x ⎩⎨⎧-=+=.其中⎩⎨⎧>->+072,01925t t ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->72,1925t t ∴721925<<-t ∴0,1-=t 代入通解可得原方程的正整数解为⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,25.9,6y x y x 或 【点评】根据定理2解这类方程，若未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时，可用一个未知数去表示另一个未知数，再利用整数的知识，这是解二元一次不定方程基本的方法，称为分离整系数法. 这样就容易找出一组整数解来. 【实践】求方程2654731=+y 的正整数解.【例3】大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，现有378人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.【分析】本题是不定方程的应用，根据题意列出方程并求出非负整数解即可.【解答】设需要大客车x 辆，小客车y 辆，根据题意可列方程 3783654=+y x ，即2123=+y x .又（3，2）=1，根据定理2，原方程有整数解. 易知⎩⎨⎧==9,1y x 是一个特解，通解为)(99,21是整数t t y t x ⎩⎨⎧-=+=由题意可知⎩⎨⎧≥-≥+099,021t t 解得.3,2,1,0=t 相应地⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.0,7.3,5.6,3.9,1y x y x y x y x 答：需要大客1车辆，小客车9辆；或需要大客车3辆，小客车6辆；或需要大客车5辆，小客车3辆；也可以只要大客车7辆，不要小客车.【点评】一般来说实际问题通常取正整数解或者非负整数解.【实践】某次考试共需做20道小题，对1道得8分，错一道扣5分，不做不得分.某生共得13分，他没做的题目有几道？【例4】某人的生日月份数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347，求此人的生日. 【分析】本题的隐含条件是：月份的取值[1，12]，日期的取值[1，31].【解答】设此人生日的月份数为x ,日期数y. 根据题意可列方程 31x+12y=347.〈方法一〉 〈方法二〉特解：)(3116125165是整数通解：t ty t x y x ⎩⎨⎧-=+=⎩⎨⎧== )31347(|123134712x x y -∴-=答：此人的生日为5月16日.【点评】求出通解后，要利用隐含条件求出符合题意的解. 其中方法二是利用了同余的知识. 【实践】已知有一个三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字和就减少到原来的31，求一切这样三位数的和.【例5】(新加坡数学竞赛题)设正整数m,n 满足698+=+mn n m ，则m 的最大值为 . 【分析】把m 用含有n 的代数式表示，用分离整系数法，再结合整除的知识，求出m 的最大值. 【解答】∵698+=+mn n m ，∴n mn m 968-=-，n m n 96)8(-=- 由题意可得，n≠8，∴8669866729869896-+=-+-=--=--=n n n n n n n m ， ∵m,n 为正整数， ∴ 当n=9时，m 有最大值为75.【点评】此题是求最值的问题，利用分离整系数法是一种典型的常用方法.【实践】(北京市数学竞赛题)有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不能3个连续的正整16550125121121)(512)12(mod 711)12(mod 31347===∴=∴≤+≤∴≤≤+=∴≡∴≡∴y x x t t x t t x x x 代入原方程得：把是整数 .16503131161121251311121是符合题意解解得⎩⎨⎧==∴=∴⎩⎨⎧≤-≤≤+≤∴⎩⎨⎧≤≤≤≤y x t t t y x数的和，那么这8个连续的正整数中最大数的最小值是 .【例6】我国古代数学家张建丘所著《算经》中的“百钱买百鸡”问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁，鸡母，鸡雏各几何？【分析】分析：用x,y,z 来表示鸡翁，鸡母，鸡雏的只数，则可列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++1001003135z y x z y x如何解这个不定方程组？消元转化为不定方程.【解答】解：设鸡翁，鸡母，鸡雏的只数分别为x,y,z.⎪⎩⎪⎨⎧=++=++)2(1003135)1(100z y x z y x (2)×3－(1)得：14x +8y =200，即7x +4y =100.〈方法一〉)(71844.184是整数通解：，特解：t t y t x y x ⎩⎨⎧-=+=⎩⎨⎧== .2,1,07181071804400=∴⎪⎩⎪⎨⎧<->⎩⎨⎧>->+∴⎩⎨⎧>>t t t t t y x 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===844128111878184,z y x z y x z y x 原方程有三组解：相应地 〈方法二〉〉下面的方法同〈方法一为整数）（通解：的特解是其特解为令.75004300.1004750030053,147t ty t x y x y x y x y x ⎩⎨⎧--=+==+⎩⎨⎧-==∴⎩⎨⎧-===+ 〈方法三〉下面方法同〈一〉是整数得：代入把是整数，即，，).(71844718)3(44).(44)4(mod 30:)4(mod 7100)7100(|4)3(71004t ty tx ty t x t t x x x x x y ⎩⎨⎧-=+=∴-=+=+=∴≡≡∴-∴-= 【点评】充分挖掘题目的隐含条件，进而求整数解.【实践】如果1只兔可换2只鸡，2只兔可换3只鸭，5只兔可换7只鹅.某人用20只兔换得鸡、鸭、鹅共30只.问：其中的鸡、鸭、鹅各多少只？ 答案：（2，21，7）、（4，12，14）、（6，3，21）【例7】求方程23732=++z y x 的整数解.【分析】对于三元一次不定方程，可以另外引进一个未知数，将其转化为方程组，然后分别解方程组中的各个方程，从而得到原方程的解.【解答】设t y x =+32，则原方程可看作⎩⎨⎧=+=+)2(.237)1(,32z t t y x 对于方程（1）x =-t ,y =t 是一个特解， 从而（1）的整数解是)()4(.2)3(,3-是整数u u t y u t x ⎩⎨⎧+=-= 又t =2,z =3是方程（2）的一个特解，于是（2）的整数解是)()6(.72)5(,3是整数v v t v z ⎩⎨⎧+=-= 将（6）代入（3）、（4）消去t 得到原方程的所有整数解为：)(.3,272,372是整数、v u v z u v y u v x ⎪⎩⎪⎨⎧-=++=---=【点评】一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的，将解中的参数作适当代换，就可以化为同一形式. 【实践】求方程7892439=+-z y x 的整数解.【例8】(海峡两岸友谊赛试题)甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学没人有31个核桃，三组共有核桃总数是365个.问：三个小组共有多少名同学？【分析】设甲组同学a 人，乙组同学b 人，丙组同学c 人，由题意得365313028=++c b a . 要求c b a ++，可以运用放缩法从确定c b a ++的取值范围入手.【解答】设甲组同学a 人，乙组同学b 人，丙组同学c 人，则365313028=++c b a .∵)(31365313028)(28c b a c b a c b a ++<=++<++，∴2836531365<++<c b a .∵c b a ++是整数，∴c b a ++=12或13.但当c b a ++=13时，得132=+c b ，无正整数解. 答：三个小组共有12名同学.【点评】整体考虑和的问题，巧妙运用放缩法.【实践】Alice wants to buy some radios, pens and bags. If she buys 3 radios,6 pens,2 bags,she will pay ¥302. If she buys 5radios,11 pens,3 bags,she will pay ¥508. Question: How much will Alice pay for 1 radio,1 pen and 1 bag?【例9】一个布袋里有红、黄、蓝三种颜色大小相同的木球.红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3.小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标的数字和等于21.（1） 小明摸出的球中，红球的个数最多不超过几个？（2） 若摸出的球中三种颜色都有，有多少种不同的摸法？【分析】由于知道三种球的个数和，因此可设二元.第（2）问计数问题的实质是就是求正整数解的组数. 【解答】（1）设小明摸的红球有x 个，黄球有y 个，蓝球有）（y x --10个，则21)10(32=--++y x y x ， 整理，得x y 29-=，因为x 、y 均为正整数，可知x 的最大值为4.即红球最多不超过4个.（2）由（1）知蓝球的个数是1)29(1010+=---=--=x x x y x z ，又∵.290.01,029,0,0,0,0<<⎪⎩⎪⎨⎧>+>->∴⎪⎩⎪⎨⎧>>>x x x x z y x 解得 ∴.4,3,2,1=x因此共有4种不同的摸法，如下：（1，7，2），（2，5，3），（3，3，4），（4，1，5）.【点评】此题求的是未知数的范围及可能取值的个数，因此不需要求出方程的通解，而是根据题意对未知数的限制利用不等式分析出未知数的取值范围，以及整数解的个数.【实践】已知有两堆水泥，若从第一堆中取出100袋放进第二堆，则第二堆比第一堆多一倍；相反，若从第二堆中取出一些放进第一堆，则第一堆比第二堆多5倍.问第一堆中可能的最少水泥袋数是多少？并在这种情况下求出第二堆水泥的袋数.【例10】设非负整数n ，满足方程n z y x =++2的非负整数（x,y,z ）的组数记为n a . （1）求3a 的值；（2）求2001a 的值.【分析】审清题中n a 的n 与方程n z y x =++2是同一个非负整数，3a 的含义是方程32=++z y x 的非负整数解的（x,y,z ）的组数.【解答】（1）当n=3时，原方程为32=++z y x ，由于.10,0,0≤≤≥≥z y x 得 当z=1时，方程为x+y=1，其解（x,y ）=(0,1),(1,0) 有2组；当z=0时，方程为x+y=3，其解（x,y ）=(0,3),(1,2)，(2,1),(3,0) 有4组. 综上，3a =6.（2）当n=2001时，原方程为20012=++z y x ，由于.10000,0,0≤≤≥≥z y x 得当z=1000时，方程为x+y=1，其解有2组；当z=999时，方程为x+y=3，其解有4组； 当z=998时，方程为x+y=5，其解（x,y ）=(0,5),(1,4)，(2,3),(3,2)，(4,1),(5,0)有6组；…； 当z=0时，方程为x+y=2001，其解（x,y ）=(0,2001),(1,2000)，…，(2001,0) 有2002组.综上，2001a =2+4+6+…+2002=1003002.【点评】此题综合较强，涉及解不定方程、分类讨论、计数等方面的知识，需要灵活运用所学只是解决问题. 【实践】一次不定方程x+y+z=1999的非负整数解有( )个 CA.20001999B.19992000C.2001000D.2001999【总结反思】以上介绍了初中数学竞赛中一次不定方程的基本解法、各种解题技巧以及应用. 解不定方程的基本方法是分离整系数法，要熟练掌握. 在具体应用问题上，能将实际问题转化为不定方程的问题，并根据题意挖掘题目的隐含条件，也就是未知数的取值范围.【题海拾贝】1.（2000年希望杯竞赛题）若a 、b 均为正整数，且2a>b ，2a+b=10，则b 的值为（ ） A. 一切偶数 B.2、4、6、8 C.2、4、6 D.2、42. 若正整数x,y 满足2004a=15y ，则 x+y 的最小值为 .3. 如果三个既约真分数6,432b a ，的分子都加上b ，这时得到的三个分数之和为6. 求这三个既约真分数的和.4. （重庆市竞赛题）一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒、3粒、4粒或6粒地取出，最终盒内都剩余1粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完.问：盒子里装有多少粒棋子？5. （2006年国际城市竞赛题）一辆汽车下坡的速度是72km/h ，在平地上的速度是63km/h ，上坡的速度是56km/h.汽车从A 地到B 地用了4h ，而返程用了4小时40分，求AB 两地的距离.学生签名： 签字日期：。
小学六年级奥数 第40周 不定方程
第四十周不定方程专题简析：当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。
如5x－3y＝9就是不定方程。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。
如5x－3y＝9的解有：x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6………y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。
因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。
解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。
例1．求3x+4y＝23的自然数解。
先将原方程变形，y＝23－3x4。
可列表试验求解：所以方程3x+4y＝23的自然数解为X=1 x=5Y=5 y=2练习一1、求3x+2y＝25的自然数解。
2、求4x+5y＝37的自然数解。
3、求5x－3y＝16的最小自然数解。
例2求下列方程组的正整数解。
5x+7y+3z＝253x－y－6z＝2这是一个三元一次不定方程组。
解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。
5x+7y+3z＝25 ①3x－y－6z＝2 ②由①×2+②，得13x+13y＝52X+y＝4 ③把③式变形，得y＝4－x。
因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.当x＝1时，y＝3当x ＝2时，y ＝2 当x ＝3时，y ＝1把上面的结果再分别代入①或②，得x ＝1，y ＝3时，z 无正整数解。
x ＝2，y ＝2时，z 也无正整数解。
x ＝3时，y ＝1时，z ＝1. 所以，原方程组的正整数解为 x ＝1 y ＝1 z ＝1 练习2求下面方程组的自然数解。
举一反三-六年级奥数分册~第40周 不定方程
第四十周 不定方程专题简析：当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。
如5x －3y ＝9就是不定方程。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。
如5x －3y ＝9的解有：x ＝2.4x ＝2.7 x ＝3.06 x ＝3.6……… y ＝1 y ＝1.5 y ＝2.1 y ＝3如果限定x 、y 的解是小于5的整数，那么解就只有x ＝3，Y ＝2这一组了。
因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。
解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。
例1．求3x+4y ＝23的自然数解。
先将原方程变形，y ＝23－3x4。
可列表试验求解： 所以方程3x+4y ＝23的自然数解为X=1 x=5Y=5 y=2 练习一1、 求3x+2y ＝25的自然数解。
2、 求4x+5y ＝37的自然数解。
3、 求5x －3y ＝16的最小自然数解。
例2求下列方程组的正整数解。
5x+7y+3z ＝25 3x －y －6z ＝2这是一个三元一次不定方程组。
解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。
5x+7y+3z ＝25 ① 3x －y －6z ＝2 ②由①×2+②，得13x+13y ＝52X+y ＝4 ③ 把③式变形，得y ＝4－x 。
因为x 、y 、z 都是正整数，所以x 只能取1、2、3. 当x ＝1时，y ＝3当x ＝2时，y ＝2 当x ＝3时，y ＝1把上面的结果再分别代入①或②，得x ＝1，y ＝3时，z 无正整数解。
六年级奥数第二十四讲 不定方程 全集
第40讲不定方程一、知识要点当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。
如5x－3y ＝9就是不定方程。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。
如5x－3y＝9的解有：x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。
因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。
解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。
二、精讲精练【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。
先将原方程变形，y＝23－3x4。
可列表试验求解：所以方程3x+4y＝23的自然数解为X=1 x=5 Y=5 y=2 练习11、求3x+2y＝25的自然数解。
2、求4x+5y＝37的自然数解。
【例题2】求下列方程组的正整数解。
5x+7y+3z＝253x－y－6z＝2这是一个三元一次不定方程组。
解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。
5x+7y+3z＝25 ①3x－y－6z＝2 ②由①×2+②，得13x+13y＝52X+y＝4 ③把③式变形，得y＝4－x。
因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.当x＝1时，y＝3当x＝2时，y＝2当x＝3时，y＝1把上面的结果再分别代入①或②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。
x＝2，y＝2时，z也无正整数解。
x＝3时，y＝1时，z＝1.所以，原方程组的正整数解为 x＝1y＝1z＝1求下面方程组的自然数解。
小学六年级奥数第40讲 不定方程(含答案分析)
第40讲不定方程一、知识要点当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。
如5x－3y ＝9就是不定方程。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。
如5x－3y＝9的解有：x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。
因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。
解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。
二、精讲精练【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。
先将原方程变形，y＝23－3x4。
可列表试验求解：所以方程3x+4y＝23的自然数解为X=1 x=5 Y=5 y=2 练习11、求3x+2y＝25的自然数解。
2、求4x+5y＝37的自然数解。
3、求5x－3y＝16的最小自然数解。
【例题2】求下列方程组的正整数解。
5x+7y+3z＝253x－y－6z＝2这是一个三元一次不定方程组。
解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。
5x+7y+3z＝25 ①3x－y－6z＝2 ②由①×2+②，得13x+13y＝52X+y＝4 ③把③式变形，得y＝4－x。
因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.当x＝1时，y＝3当x＝2时，y＝2当x＝3时，y＝1把上面的结果再分别代入①或②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。
x＝2，y＝2时，z也无正整数解。
x＝3时，y＝1时，z＝1.所以，原方程组的正整数解为 x＝1y＝1z＝1求下面方程组的自然数解。
小学数学6年级培优奥数讲义第30讲解不定方程（学生版）
⼩学数学6年级培优奥数讲义第30讲解不定⽅程（学⽣版）第30讲解不定⽅程学习⽬标①熟练掌握不定⽅程的解题技巧；②能够根据题意找到等量关系设未知数解⽅程；③学会解不定⽅程的经典例题。
知识梳理历史概述不定⽅程是数论中最古⽼的分⽀之⼀．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定⽅程，因此常称不定⽅程为丢番图⽅程．中国是研究不定⽅程最早的国家，公元初的五家共井问题就是⼀个不定⽅程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定⽅程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的⼤衍求⼀术将不定⽅程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定⽅程经常以应⽤题的形式出现，除此以外，不定⽅程还经常作为解题的重要⽅法贯穿在⾏程问题、数论问题等压轴⼤题之中．在以后初⾼中数学的进⼀步学习中，不定⽅程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重⽬的是让学⽣学会利⽤不定⽅程这个⼯具，并能够在以后的学习中使⽤这个⼯具解题。
运⽤不定⽅程解应⽤题步骤1、根据题⽬叙述找到等量关系列出⽅程2、根据解不定⽅程⽅法解⽅程3、找到符合条件的解典例分析考点⼀：不定⽅程与数论例1、把2001拆成两个正整数的和，⼀个是11的倍数(要尽量⼩)，⼀个是13的倍数(要尽量⼤)，求这两个数．考点⼆：不定⽅程与应⽤题例1、有两种不同规格的油桶若⼲个，⼤的能装8千克油，⼩的能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶．问：⼤、⼩油桶各⼏个？例2、某次聚餐，每⼀位男宾付130元，每⼀位⼥宾付100元，每带⼀个孩⼦付60元，现在有13的成⼈各带⼀个孩⼦，总共收了2160元，问：这个活动共有多少⼈参加(成⼈和孩⼦)？例3、甲、⼄两⼈⽣产⼀种产品，这种产品由⼀个A配件与⼀个B配件组成．甲每天⽣产300个A配件，或⽣产150个B配件；⼄每天⽣产120个A配件，或⽣产48个B配件．为了在10天内⽣产出更多的产品，⼆⼈决定合作⽣产，这样他们最多能⽣产出多少套产品？例4、有⼀项⼯程，甲单独做需要36天完成，⼄单独做需要30天完成，丙单独做需要48天完成，现在由甲、⼄、丙三⼈同时做，在⼯作期间，丙休息了整数天，⽽甲和⼄⼀直⼯作⾄完成，最后完成这项⼯程也⽤了整数天，那么丙休息了天．例5、实验⼩学的五年级学⽣租车去野外开展“⾛向⼤⾃然，热爱⼤⾃然”活动，所有的学⽣和⽼师共306⼈恰好坐满了5辆⼤巴车和3辆中巴车，已知每辆中巴车的载客⼈数在20⼈到25⼈之间，求每辆⼤巴车的载客⼈数．例6、公鸡1只值钱5，母鸡⼀只值钱3，⼩鸡三只值钱1，今有钱100，买鸡100只，问公鸡、母鸡、⼩鸡各买⼏只？考点三：不定⽅程与⽣活中的应⽤题例1、某地⽤电收费的标准是：若每⽉⽤电不超过50度，则每度收5⾓；若超过50度，则超出部分按每度8⾓收费．某⽉甲⽤户⽐⼄⽤户多交3元3⾓电费，这个⽉甲、⼄各⽤了多少度电？例2、马⼩富在甲公司打⼯，⼏个⽉后⼜在⼄公司兼职，甲公司每⽉付给他薪⾦470元，⼄公司每⽉付给他薪⾦350元．年终，马⼩富从两家公司共获薪⾦7620元．他在甲公司打⼯个⽉，在⼄公司兼职个⽉．例3、⼩明、⼩红和⼩军三⼈参加⼀次数学竞赛，⼀共有100道题，每个⼈各解出其中的60道题，有些题三⼈都解出来了，我们称之为“容易题”；有些题只有两⼈解出来，我们称之为“中等题”；有些题只有⼀⼈解出来，我们称之为“难题”．已知每个题都⾄少被他们中的⼀⼈解出，则难题⽐容易题多道．例4、某男孩在2003年2⽉16⽇说：“我活过的⽉数以及我活过的年数之差，到今天为⽌正好就是111．”请问：他是在哪⼀天出⽣的？课堂狙击1、甲、⼄⼆⼈搬砖，甲搬的砖数是18的倍数，⼄搬的砖数是23的倍数，两⼈共搬了300块砖．问：甲、⼄⼆⼈谁搬的砖多？多⼏块？2、单位的职⼯到郊外植树，其中有男职⼯，也有⼥职⼯，并且有13的职⼯各带⼀个孩⼦参加．男职⼯每⼈种13棵树，⼥职⼯每⼈种10棵树，每个孩⼦都种6棵树，他们⼀共种了216棵树，那么其中有多少名男职⼯？3、14个⼤、中、⼩号钢珠共重100克，⼤号钢珠每个重12克，中号钢珠每个重8克，⼩号钢珠每个重5克．问：⼤、中、⼩号钢珠各有多少个？实战演练4、某服装⼚有甲、⼄两个⽣产车间，甲车间每天能⽣产上⾐16件或裤⼦20件；⼄车间每天能⽣产上⾐18件或裤⼦24件．现在要上⾐和裤⼦配套，两车间合作21天，最多能⽣产多少套⾐服？5、每辆⼤汽车能容纳54⼈，每辆⼩汽车能容纳36⼈．现有378⼈，要使每个⼈都上车且每辆车都装满，需要⼤、⼩汽车各⼏辆？6、某区对⽤电的收费标准规定如下：每⽉每户⽤电不超过10度的部分，按每度0.45元收费；超过10度⽽不超过20度的部分，按每度0.80元收费；超过20度的部分按每度1.50元收费．某⽉甲⽤户⽐⼄⽤户多交电费7.10元，⼄⽤户⽐丙⽤户多交3.75元，那么甲、⼄、丙三⽤户共交电费多少元？(⽤电都按整度数收费)7、甲、⼄、丙、丁、戊五⼈接受了满分为10分(成绩都是整数)的测验．已知：甲得了4分，⼄得了最⾼分，丙的成绩与甲、丁的平均分相等，丁的成绩刚好等于五⼈的平均分，戊⽐丙多2分．求⼄、丙、丁、戊的成绩．课后反击1、某⼈打靶，8发共打了53环，全部命中在10环、7环和5环上．问：他命中10环、7环和5环各⼏发？2、⼩花狗和波斯猫是⼀对好朋友，它们在早晚见⾯时总要叫上⼏声表⽰问候．若是早晨见⾯，⼩花狗叫两声，波斯猫叫⼀声；若是晚上见⾯，⼩花狗叫两声，波斯猫叫三声．细⼼的⼩娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见⾯．在这15天内它们共叫了61声．问：波斯猫⾄少叫了多少声？3、⼩伟听说⼩峰养了⼀些兔和鸡，就问⼩峰：“你养了⼏只兔和鸡？”⼩峰说：“我养的兔⽐鸡多，鸡兔共24条腿．”那么⼩峰养了多少兔和鸡？4、有两⼩堆砖头，如果从第⼀堆中取出100块放到第⼆堆中去，那么第⼆堆将⽐第⼀堆多⼀倍．如果相反，从第⼆堆中取出若⼲块放到第⼀堆中去，那么第⼀堆将是第⼆堆的6倍．问：第⼀堆中的砖头最少有多少块？5、某次数学竞赛准备了35⽀铅笔作为奖品发给⼀、⼆、三等奖的学⽣，原计划⼀等奖每⼈发给6⽀，⼆等奖每⼈发给3⽀，三等奖每⼈发给2⽀，后来改为⼀等奖每⼈发13⽀，⼆等奖每⼈发4⽀，三等奖每⼈发1⽀．那么获⼆等奖的有⼈．6、蓝天⼩学举⾏“迎春”环保知识⼤赛，⼀共有100名男、⼥选⼿参加初赛，经过初赛、复赛，最后确定了参加决赛的⼈选．已知参加决赛的男选⼿的⼈数，占初赛的男选⼿⼈数的20%；参加决赛的⼥选⼿的⼈数，占初赛的⼥选⼿⼈数的12.5%，⽽且⽐参加初赛的男选⼿的⼈数多．参加决赛的男、⼥选⼿各有多少⼈？7、甲、⼄两⼈各有⼀袋糖，每袋糖都不到20粒．如果甲给⼄⼀定数量的糖后，甲的糖就是⼄的2倍；如果⼄给甲同样数量的糖后，甲的糖就是⼄的3倍．甲、⼄两⼈共有多少粒糖？1、(资优博雅杯)⽤⼗进制表⽰的某些⾃然数，恰等于它的各位数字之和的16倍，则满⾜条件的所有⾃然数之和为___________________.2、(我爱数学夏令营)将⼀群⼈分为甲⼄丙三组，每⼈都必在且仅在⼀组．已知甲⼄丙的平均年龄分为37，23，41.甲⼄两组⼈合起来的平均年龄为29；⼄丙两组⼈合起来的平均年龄为33．则这⼀群⼈的平均年龄为 .3、(迎春杯复赛)在新年联欢会上，某班组织了⼀场飞镖⽐赛．如右图，飞镖的靶⼦分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每⼈可以扔若⼲次飞镖，脱靶不得分，投中靶⼦就可以得到相应的分数．若恰好投在两块(或三块)区域的交界线上，则得两块(或三块)区域中分数最⾼区域的分数．如果⽐赛规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖⾄少需要投中次飞镖．考点⼀：不定⽅程与数论重点回顾直击赛场考点⼆：不定⽅程与应⽤题考点三：不定⽅程与⽣活中的应⽤题不定⽅程的试值技巧1、奇偶性2、整除的特点(能被2、3、5等数字整除的特性)3、余数性质的应⽤(和、差、积的性质及同余的性质) ?本节课我学到我需要努⼒的地⽅是名师点拨学霸经验。
六年级奥数拉分提升-第33讲不定方程
不定方程是指未知数个数多于方程个数，且对解有一定限制(比如要求解为正整数等)的方程。
1．倍数确定法
2．尾数确定法
3．余数确定法
4．崔氏瞪眼法
5．蒙猜凑试多位一体傻算法
(★★)
搞定以下三个小题，别用傻算法啦(*^__^*)
()145100x y +=
()24598x y += ()34599x y +=
(★★★)
求7x ＋19y ＝213的所有正整数解。
(★★★)
崔气球把他的生日的月份乘以30，日期乘以11，然后加起来和数是350，他是生日是几月几日？
(★★★)
大客车有48个座位，小客车有30个座位.现有306名旅客，要使每个旅客都有座位而且车上无空位。
需要大、小客车各多少辆？
(★★★)
豆花和麦口是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候。
若是早晨见面，豆花叫两声，麦口叫一声；若是晚上见面，豆花叫两声，麦口叫三声。
帅帅对它们的叫声统计了不定方程。
小学六年级奥数不定方程(最新)
【#小学奥数# 导语】方程（equation）是指含有未知数的等式。
是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，使等式成立的未知数的值称为解或根。
以下是?无忧考网整理的《小学六年级奥数不定方程》相关资料，希望帮助到您。
1.小学六年级奥数不定方程1、圆珠笔每支5角，彩色日记本每本8角现在有6元3角钱。
问圆珠笔和彩色日记本各买多少，才使钱正好用光？答案：圆珠笔11支，笔记本1本。
2、六年级某班同学48人到公园里去划船，如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人，那么需要小船和大船各几只？（大船小船都有）答案：小船x大船y列方程：3x+5y＝48x，y都是正整数解得：x＝1，y＝9x＝6，y＝6x＝11，y＝33、装水瓶的盒子有大小两种，大的能装7个，小的能装4个，要把41个水瓶装入盒内。
问需大、小盒子个多少个？答案：设大的x个，小的y个，有：7x+4y=41根据奇偶关系知道：x只能取奇数x=1，y=8.5舍去x=3，y=5满足x=5，y=1.5舍去2.小学六年级奥数不定方程1、一个工人将99颗弹子装入两种盒子中，每个大盒子装12颗，小盒子装5颗，恰好装完，已知盒子数大于10，两种盒子各有多少？2、某水果店运来桔子、苹果、香蕉共15筐，价值860元，已知每箱桔子40元，每箱苹果50元，每箱香蕉70元，三种水果各运多少箱？3、一次数学竞赛准备了22只铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生，原计划发给一等奖每人6只，二等奖每人3只，三等奖每人2支，后来改为一等奖每人9只，二等奖每人4只，三等奖每人1只，一、二、三等奖的学生各有几人？4、小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分，小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分，小鸡至多被套中多少次？5、庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知每7个大和尚每天共吃41个馒头，每29个小和尚每天共吃11个馒头。
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学科教师辅导讲义
学员编号：年级：六年级课时数：3
学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：
授课主题第30讲——解不定方程
授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结
教学目标①熟练掌握不定方程的解题技巧；
②能够根据题意找到等量关系设未知数解方程；
③学会解不定方程的经典例题。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
历史概述
不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．
考点说明
在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。
运用不定方程解应用题步骤
1、根据题目叙述找到等量关系列出方程
2、根据解不定方程方法解方程
3、找到符合条件的解
典例分析
知识梳理
P(Practice-Oriented)——实战演练
➢课堂狙击
1、甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是18的倍数，乙搬的砖数是23的倍数，两人共搬了300块砖．问：甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？
2、单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有1
3
的职工各带一个孩子参加．男职工每人种
13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子都种6棵树，他们一共种了216棵树，那么其中有多少名男职工？
3、14个大、中、小号钢珠共重100克，大号钢珠每个重12克，中号钢珠每个重8克，小号钢珠每个重5克．问：大、中、小号钢珠各有多少个？
4、某服装厂有甲、乙两个生产车间，甲车间每天能生产上衣16件或裤子20件；乙车间每天能生产上衣18
件或裤子24件．现在要上衣和裤子配套，两车间合作21天，最多能生产多少套衣服？
实战演练
6、蓝天小学举行“迎春”环保知识大赛，一共有100名男、女选手参加初赛，经过初赛、复赛，最后确定了参加决赛的人选．已知参加决赛的男选手的人数，占初赛的男选手人数的20%；参加决赛的女选手的人数，占初赛的女选手人数的12.5%，而且比参加初赛的男选手的人数多．参加决赛的男、女选手各有多少人？
7、甲、乙两人各有一袋糖，每袋糖都不到20粒．如果甲给乙一定数量的糖后，甲的糖就是乙的2倍；如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖就是乙的3倍．甲、乙两人共有多少粒糖？
直击赛场
1、（资优博雅杯）用十进制表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的16倍，则满足条件的所有自然数之和为___________________.
2、（我爱数学夏令营）将一群人分为甲乙丙三组，每人都必在且仅在一组．已知甲乙丙的平均年龄分为37，23，41.甲乙两组人合起来的平均年龄为29；乙丙两组人合起来的平均年龄为33．则这一群人的平均年龄为 .
3、(迎春杯复赛)在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如右图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．若恰好投在两块(或三块)区域的交界线上，则得两块(或三块)区域中分数最高区域的分数．如果比赛规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中次飞镖．
S(Summary-Embedded)——归纳总结重点回顾
考点一：不定方程与数论
考点二：不定方程与应用题
考点三：不定方程与生活中的应用题
名师点拨
不定方程的试值技巧
1、奇偶性
2、整除的特点（能被2、
3、5等数字整除的特性）
3、余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）
学霸经验
➢本节课我学到
➢我需要努力的地方是。