2020届山东省烟台市招远一中高三高考诊断性考试数学试卷参考答案
山东省烟台市2020年4月高考诊断性测试数学试题
绝密★启用前2020年高考诊断性测试数学一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知集合{}ln 1x M x y x N y y e ＝＝（＋）,＝｛＝｝，则M N I ＝ A ． ()1,0- B ． 1-∞（，＋） C ． 0∞（，＋）D ．R 2.已知复数z 满足1i 2i z （＋）＝（i 为虚数单位），则z ＝ A ． 1i ＋ B ． 1i - C ． 12i ＋ D ．12i -3.设x R ∈，则221230x x x -<-“”是“＋＞”的 A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4.数列1212:1,(2)n n n n F F F F F F n --｛｝＝＝＝＋＞，最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》，若将数列n F ｛｝的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列n a ｛｝，则数列n a ｛｝的前50项和为A ． 33B ． 34C ． 49D ．505.设ABCD 为平行四边形，4,6,3AB AD BAD π∠u u u u r u u u u r ＝＝＝若点M ，N 满足 ,2,BM MC AN ND u u u u r u u u u r u u u r u u u r ＝＝则NM AM u u u u r u u u u r g ＝A ． 23B ． 17C ． 15D ．96.右图是一块高尔顿板示意图:在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内。
若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落③号球槽的概率为A ． 332B ． 1564C ． 532D ．5167.设P 为直线3440x y -＋＝上的动点，PA PB ，为圆C:2221x y -（）＋＝的两条切线，A B ，为切点，则四边形APBC 面积的最小值为A ． 3B ． 23C ． 5D ．258.已知函数()x xx x e e f x e e---=+，实数m n ，满足不等式220f m n f n --（）＋（）＞，则下列不等关系成立的是A ． 1m n ＋＞B ． 1m n ＋＜C ． 1m n --＞D ．1m n --＜二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分共20分。
2020年4月山东省烟台市普通高中2020届高三毕业班高考诊断性测试(一模)数学参考答案
令 ,得 , ,
于是取 ………………………………………………11分
设平面 与平面 的所成的角二面角的大小为 ,
则 .
所以平面 与平面 的所成的锐二面角的余弦值为 .………………12分
20．解：（1）由调查数据,问卷得分不低于 分的比率为
,
故从该社区随机抽取一名居民其得分不低于 分的概率为 .…………………2分
18．解：设等比数列 的公比为 （ ）,则 , ,
于是 ,…………………………2分
即 ,解得 , （舍去）.…………………………4分
若选 ：则 , ,
解得 ,…………………………6分
所以 ,…………………………8分
,…………………………9分
于是 ……10分
令 ,解得 ,因为 为正整数,所以 的最小值为 .……12分
所以 ,…………………………1分
即 ,…………………………2分
又 ,所以
所以 ,…………………………3分
而 ,
所以 ,
所以 .…………………………4分
（2）因为 …………………………5分
将 , , 代入,得 .…………………………6分
由余弦定理得 ,
于是 ,…………………………8分
即 ,解得 或 .…………………………10分
故 的取值范围为 ,………………4分
显然,当 时,有 ,即不等式 在 上成立,
令 ,则有 ,
所以 ,
即： ；………………6分
（2）由 可得, ,即 ,
令 ,则 ,………………8分
当 时, , 单调递增,当 时, , 单调递减,
故 在 处取得最大值 ,………………10分
又当 时, ,当 时, ,………………11分
【4月烟台市一模数学】山东省烟台市2020届高三4月诊断性模拟考试(一模)数学试卷及答案解析评分标准
A.当 a 1时， f ( x) 在 (0, f (0)) 处的切线方程为 2 x y 1 0
B.当 a 1时， f ( x) 存在唯一极小值点 x0 且 1 f (x0 ) 0 C.对任意 a 0 ， f ( x) 在 ( , ) 上均存在零点
D.存在 a 0 ， f ( x) 在 ( , ) 上有且只有一个零点
合题目要求。
1.已知集合 M x y ln(x 1) ， N y y ex ，则 M I N
A. (1, 0)
B. (1, +)
C. (0, +)
D. R
2.已知复数 z 满足 (1 i) z 2i （ i 为虚数单位），则 z
A.1 i
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B.1 i
C.1 2i
3.设 xR ，则“| x 2 | 1”是“ x2 2 x 3 0 ”的
切点，则四边形 APBC 面积的最小值为
A. 3
B. 2 3
C. 5
D. 2 5
8.已知函数
f
(x)
ex ex
ex ex
，实数 m, n 满足不等式
f
(2m n)
f
(2 n)
0 ，则下列不等关系成立
的是
A. m n 1
B. m n 1
C. m n 1
D. m n 1
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合要求。
10.已知 P 是双曲线 C : x2 y2 1上任一点， A, B 是双曲线上关于坐标原点对称的两点，设直线 3m
PA,
PB
的斜率分别为
k1, k2(k1k2
0），若 |
2020年高三诊断考试理科数学试题答案
2020年高三诊断考试试题答案数学（理科）1．B2．A 3．B4．C5．A 6．B 7．D8．B9．A 10．C11．Ｄ12．D11．【解析】设200(,)4x P x ，则过P 的切线斜率为02x k =，Q 点坐标为0(,1)x -02FQ k x \=-1FQ k k \×=-根据抛物线定义PF PQ = 1l \为FQ 的垂直平分线\x f g h k '''D C OB 为菱形，2''08'4454tan ,''16'28109'''=︒︒=∠D C B 62232''08'4454tan ''212'=⋅=︒⋅=∴D B OC 33''=C B 34''''22=--=∴BC C B BB CC 2272)3435(62''=+⨯=C C BB S 梯形22162662132276=⨯⨯⨯+⨯=∴表S .16．【解析】由余弦定理得︒=∠120A ，1413cos =C ,故2812sin =C.︒=-︒=+3029022AC B,得︒=∠150BIC ,在BIC ∆中，由正弦定理得72sin 14=⨯=CIB .-V 法一：由（Ⅰ）可知PB OE //，又PB AC ⊥，所以AC OE ⊥，⊥AC 平面PAB ，⊂AB 平面PAB ,所以AC AB ⊥，如图二面角为钝角，那么AB OE ，所成的角即为二面角E AC B --的补角，4π=∠PBA ,PB OE //，所以AB OE ，所成的角为4π，因此二面角E AC B --的大小为43π.....................................12分CABP DEO法二：以A 为坐标原点，AB ，AC ，AP 分别为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系，则21,21,21(),1,0,0(),0,1,1(),0,1,0(),0,0,1(),0,0,0(--E P D C B A 所以有95%的把握认为，数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关..............................7分（Ⅲ）10.0850.16150.36250.24350.12450.045527.8()x cm =´+´+´+´+´+´= 20.0450.12150.24250.32350.20450.085532.6()x cm =´+´+´+´+´+´=1220x x \-<\该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果没有差异...............................12分20．【解析】C ABDx（Ⅰ）椭圆的标准方程为：22143x y +=.....................................4分（Ⅱ）由⑴可知(2,0),(0,A B ，设AM 的斜率为k ，则BN 斜率也为k 故直线AM 的方程为(2)y k x =-，直线BN的方程为y kx =-由223412(2)x y y k x ì+=ïí=-ïî得22234(2)12x k x +-=，即2222(34)1616120k x k x k +-+-=k \(y 因为,3232'2xax x x x a x f -+-=-=-）（由0322=-+-a x x 可得:当0412>-=∆a 即3<a 时,有2121,33,33x x a x a x >--=-+=又当)3,0(∈a 时，满足021>>x x ,所以有,0',0∈12<+∞）（）时）和（，（x f x x x 即）上）和（，）在（（+∞,012x x x f 为减函数;,0',12>∈）（）时（x f x x x 即）上，）在（（12x x x f 为增函数.0,0021<><x x a 时，有当,）（）（）时，（则x f x f x x ,0'01>∈为增函数,)(,0',1x f x f x x <+∞∈）（）时（为减函数;当0'03≤≤∆≥）（，时，x f a 恒成立，所以），）在（（∞+0x f 为减函数综上可知：所以）（x g 在），（21上有最小值为）（0000000132ln ln )(x x x x x x x g +-=+--=,又因为），（）则，（252121000∈+∈x x x ,所以），（在）（21000∈>x x g 上恒成立,即a x f x f ln 921-<+）（）（成立......................................................................….........12分22．【解析】（Ⅰ）由条件可知直线l 的普通方程为01-=+y x ，曲线1C 的直角坐标方程为02222=+-+y x y x ，根据曲线1C 的直角坐标方程可知1C 为以)1,1(-为圆心，以2为半径的圆，圆心1C 到直线l 的距离22=d ,由题意R R ∈∃∈∀21x x ，，使得）（）（21x g x f ≥成立，则有min min ）（）（x g x f ≥，即a a ++≥222所以有⎩⎨⎧+≥-≥-2222202）（）（a a a ，解之得[]04,a -∈........................................................................10分。
2020年山东烟台高考诊断性测试
2020年高考诊断性测试化学1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对姓名、考生号和座号。
2.选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
保持卡面清洁，不折叠、不破损。
可能用到的相对原子质量：H1 C12 O16 Na23 Cl35.5 Fe56 Cu64 Se79 Sn119一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
每小题只有一个选项符合题意。
1. 化学与生活密切相关，下列说法错误的是A．将“84”消毒液与75%酒精1:1混合，消毒效果更好B．“霾尘积聚难见路人”，雾霾所形成的气溶胶有丁达尔效应C．用含有橙红色酸性重铬酸钾的仪器检验酒驾，利用的是乙醇的还原性D．电热水器用镁棒防止内胆腐蚀，采用的是牺牲阳极保护法2. N A是阿伏加德罗常数的值。
下列说法正确的是A．26gC2H2与C6H6混合气体中含σ键的数目为3N AB．16.25gFeCl3水解形成的Fe(OH)3胶体粒子数为0.1N AC．电解精炼铜时，当电路中转移N A个电子，阴极析出32 g铜D．标准状况下11.2 LCl2溶于水，溶液中Cl-、ClO-和HClO的微粒数之和为N A3. 下列有机物的命名正确的是A．CH2＝CH—CH＝CH2 1,3-二丁烯B．CH3CH2CH(CH3)OH 2-甲基-1-丙醇C． D.4. 3d能级上最多只能排布10个电子依据的规律是A．洪特规则B．泡利不相容原理C．能量最低原则和洪特规则D．能量最低原则和泡利不相容原理5. 下列实验装置不能达到实验目的的是甲乙丙丁A．用甲装置除去乙烯中的少量酸性气体B．用乙装置完成实验室制取乙酸乙酯C．用丙装置证明温度对化学平衡的影响D．用丁装置验证浓硫酸具有脱水性、强氧化性，SO 2具有漂白性、还原性6. 药物瑞德西韦(Remdesivir)对新冠病毒有明显抑制作用，化合物M是合成瑞德西韦的中间体，下列关于M的说法错误的是A．核磁共振氢谱共有11个吸收峰B．分子中含有3种含氧官能团C．分子中N原子一个是sp2杂化，一个是sp3杂化D．1mol该物质与足量NaOH溶液反应时消耗3molNaOH7. 下列说法不正确的是A．2p和3p轨道形状均为哑铃形，能量也相等B．金属离子的电荷越多、半径越小，金属晶体的熔点越高C．石墨转化为金刚石既有共价键的断裂和生成，也有分子间作用力的破坏D．DNA分子的两条长链中的碱基以氢键互补配对形成双螺旋结构，使遗传信息得以精准复制8．短周期主族元素X、Y、Z、W的原子序数依次增加，K、L、M均是由这些元素组成的氧化物，甲、乙分别是元素Y、W的单质，甲是常见的固体，乙是常见的气体。
山东省烟台市招远第一中学2020届高三三模考试数学试卷
绝密★启用前山东省烟台市招远第一中学2020届高三三模考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.己知集合{}22}{230,|2x A x x x B log x =--≤=<,则A B ⋂=( ) A. []1,3-B. (]0,3C. ()0,2D. [)1,2-2.设复数z 在复平面内对应点的坐标为()4,3-,则复数2iz+ (i 为虚数单位)的模为( )B. 5iD. 53.已知01a b <<<,则( ) A. t an tan a b >B. 1122a b >C. a b ab +<D. 33a b ab <4.天文学中，为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念,星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗,到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森 (M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述,两颗星的星等与亮度满足12212.5l l ()g g m m E E -=-,其中星等为k m 的星的亮度为()1,2k E k =,已知“心宿二” 的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r 倍，则与r 最接近的是（当x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++)( ) A. 1.24B. 1.25C. 1.26D.1.275.函数cos π1ln ,1()e ,1x x x x f x x ⎧⎛⎫->⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≤⎩的图象大致是( )A. B.C. D.6.中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一,古代数学家称直角三角形较短的直角边为勾,另一直角边为股,斜边为弦,其三边长组成的一组数据成为勾股数.现从1〜10这 10个数中随机抽取3个数,则这三个数为勾股数的概率为( ) A. 1120B.160C.130D.1157.在ABC △中,2,3AN NC P =u u u r u u u r 是BN 上一点,若13AP t AB AC =+u u u r u u u r u u u r,则实数t 的值为( )A.23B.25 C.16 D.348.设偶函数()f x 满()1()103xf x x ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭,则不等式10(2)9f x -<的解集为( )A. 4),0,()(⋃-∞+∞B. ()0,4C. ()0,2D. 2),0,()(⋃-∞+∞二、填空题9.已知π3cos 45α⎛⎫ ⎪⎝=⎭-,则sin 2α=_____________.10.2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是脱贫攻坚收官之年根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派5名党员和3名医护人员到三个不同的扶贫村进行调研，要求每个扶贫村至少派党员和医护人员各1名，则所有不同的分派方案种数为________________.11.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，一条渐近线为l ,过点2F 且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若122MF MF =，则双曲线C 的离心率为_____________. 12.如图,四边形ABCD 是边长为2正方形,四边形EFBD 为矩形,且平面ABCD ⊥平面EFBD .若多面体ABCDEF 的体积为163,则DE =__________,该多面体外接球的表面积为____________.三、多项选择题13.某市教研部门对全市高三年级学生的二模数学成绩进行了抽样调查,随机抽取了参加考试的100名学生,其数学成绩均处在,,,,A B C D E 这五个层次内,根据抽样结果得到如下统计图表,则( )A.抽取的学生中女生人数多于男生人数B.抽取的学生中C 层次人数最多C.抽取的学生中E 层次的男生人数为6D.抽取的学生中D 层次男生人数多于女生14.已知函数sin()(0,0,0)f x A x A x ωϕωϕ=+>><<（）的部分图象如图所示，则( )A.()f x 的最小正周期为π2B.(),0x 是()f x 的一个对称中心C.()f x 的最小值为3-D.函数()f x 在区间5ππ,126⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减15.已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形, PA ⊥平面ABC , 2PA AB =.则( )A. //CD 平面PAEB.平面PAB ⊥平面PAEC.直线CD 与PFD.直线PD 与平面ABC 所成的角为45︒16.设F 为抛物线()2:20C y p p =>的焦点, K 为C 的准线与x 轴的交点,点P A B 、、在抛物线C 上, ,PKF PFK αβ∠=∠= , AB 中点M 在准线上的投影为N , 则( ) A.tan cos αβ= B.若AB 过焦点F ,则11AF BF+为定值C. α的最大值是π4D.若2π3AFB ∠==,则MN AB四、解答题17.在①1142,4b a b a =-=+,②1122,3b a b a ==,③11221,3b a b a =+=-这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作答,已知数列{}n a 满足()2*31223...N 2222n n a a a a n n ++++=∈,数列{}n b 为等比数列,且_______________,n S 为数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和,是否存在正整数k ,使得2020k S ≥成立?若存在,求出k 的最小值若不存在,请说明理由18.在锐角ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且cos cos sin a B b A C +=. (1)求角C 的大小(2)若4a =，ABC △面积为ABC △外接圆面积.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，面APB ⊥面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，//AB CD , AB BC ⊥，30ABP ∠=︒，1AP BC CD ===，2AB =.(1)求证：AP CP ⊥；(2)求二面角B PC D --的余弦值.20.自新冠疫情爆发以来，人们积极响应国家号召尽量深居简出，根据中国消费者信心研究：超过40%的消费者更加频繁地使用线上购物，使得线上购物和送货上门的需求量激增，越来越多的消费者也首次通过第三方APP 、品牌官方网站和微信社群等平台进行购物. 某天猫专营店统计了2020年3月5日至9日这5天到该专营店购物的人数y 和时间第x 天的数据，列表如下：日到该专营店购物的人数（取整数）；（若0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合，计算精确到0.01），参考数据：65.88附：相关系数()()nii xx y y r --=∑,回归直线方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为：121()()ˆ()niii nii x x yy bx x ==--=-∑∑,ˆˆay bx =-. (2)运用分层抽样的方法从第1天和第5天到该店购物的人中随机抽取7人，再从这7人中任取3人进行奖励，求这3人取自不同天的概率(3)该天猫专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案： 方案一：购物金额每满100元可减10元;方案二：一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为13，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折某顾客计划在此专营店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选哪种方案更优惠？21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，A 为椭圆上一点，1AFF △的周长为4+12F AF ∠最大时的余弦值为12-.（1）求椭圆C 的方程（2）若点B 和A 为x 轴同侧两点，且1221180AF F BF F ∠+∠=︒，求四边形12AF F B 面积的最大值及此时直线AF 的方程. 22.已知函数1ln f x x a x=++（）. (1)当12a =-时，求函数()f x 在22f （，（）)处的切线方程(2)当0a >时，讨论函数()22()1a F x af x a x x-=-+-（）在0,2（）上的单调性 (3)当0,ln2a ∈（），证明：函数e x g x f x =（）（）存在唯一极值点0x ，且00g x >（）.参考答案1.答案：B 解析：2.答案：C 解析：3.答案：D 解析：4.答案：C解析：设“心宿二”的星等是1m ,“天津四”的星等是2m ,“心宿二”的亮度是1E ,“天津四”的亮度是2E ， 则12121.00, 1.25,m m E rE ===，∵两颗星的星等与亮度满足12212.5l l ()g g m m E E -=-， ∴221 1.25 2.5lg lg ()E rE -=-， 即：lg 0.1r =，∴()20.1101 2.30.1 2.70.110.230.027 1.257r =≈+⨯+⨯=++=， ∴与r 最接近的是1.26，故选：C. 5.答案：A 解析：解析：7.答案：C解析：设BP mBN =u u u r u u u r,由题意可知, AP AB BP AB mBN =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()(1)AB m AN AB mAN m AB =+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , ∵23AN NC =u u u r u u u r ,∴25AN AC =u u u r u u u r ,。
2020届山东省烟台市高考诊断性测试(4月)数学试题
【解析】
【分析】
根据折线图中的数据变化趋势，逐项判断.
【详解】
选项A，16天中每新增确诊病例数量有起伏，19日的降幅最大，而20日又上升，所以错误；
选项B，根据图象16天中每日新增确诊病例大部分小于新增疑似病例，因此16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数，所以正确；
选项C，根据图象可得新增确诊、新增疑似、新增治愈病例最大值与最小值的差都大于2000人，所以正确；
7．A
【解析】
【分析】
由切线的性质可得四边形 面积为 ，求出 ，又 为圆心 到直线 的距离，即可求解.
【详解】
圆 的圆心 ，半径为 ，
为两条切线， 为切点， ，
四边形 面积为 ，
故当 最小时，四边形 面积最小，
又 最小值为圆心 到直线 的距离 ，
，
故四边形 面积最小值为 .
故选：A.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系、切线的性质，等价转化为点到直线距离是解题的关键，属于中档题.
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】
本题考查充分不必要条件的判定，属于基础题.
4．B
【解析】
【分析】
根据 为 除以2的余数，依次写出 的各项，从而可得 是按1,1,0的周期排列规律，即可求出结论.
【详解】
依次写出 的各项 ，
为 除以2的余数，依次写出 各项为
，
各项是按 的周期规律排列，
从① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充到上面问题中并作答.
19．如图，三棱锥 中，点 分别是 的中点，点 是 的重心.
（1）证明： 平面 ；
（2）若平面 平面 ， ， ， ， ，求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值.
2024年山东省烟台市高三一模卷数学试题及答案
2024年高考诊断性测试数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合R U =，集合{}{}2230,02A xx x B x x =+−<=≤≤∣∣，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A.()3,0−B.()1,0−C.()0,1D.()2,32.若5250125(12)x a a x a x a x −=++++L ，则24a a +=（ ）A.100B.110C.120D.1303.若点()1,2A 在抛物线22y px =上，F 为抛物线的焦点，则AF =（ ） A.1 B.2 C.3 D.44.若π1cos 43α⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则sin2α=（ ） A.59−B.59C.79− D.795.将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（ ）A.3B.6C.10D.156.设,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A.若a ∥,b α∥α，则a ∥b B.若,a b 与α所成的角相等，则a ∥bC.若,a αβ⊥∥,b α∥β，则a b ⊥D.若,,a b αβαβ⊥⊥⊥，则a b ⊥7.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x −=，当01x ≤≤时，()21xf x =−，则()2log 12f =（ ） A.13−B.14− C.13 D.128.在平面直角坐标系xOy 中，点()()1,0,2,3A B −，向量OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r，且40m n −−=.若P 为椭圆2217y x +=上一点，则PC u u u r 的最小值为（ ）D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知12,z z 为复数，下列结论正确的有（ ） A.1212z z z z +=+ B.1212z z z z ⋅=⋅C.若12z z ⋅∈R ，则12z z =D.若120z z ⋅=，则10z =或20z =10.先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为,x y ，设事件A =“(1)log x y +为整数”，B =“x y +为偶数”，C =“2x y +为奇数”，则（ ） A.()16P A =B.()112P AB = C.事件B 与事件C 相互独立 D.()718P AC =∣ 11.给定数列{}n a ，定义差分运算：2*11Δ,ΔΔΔ,n n n n n n a a a a a a n N ++=−=−∈.若数列{}n a 满足2n a n n =+，数列{}n b 的首项为1，且()1*Δ22,n n b n n N −=+⋅∈，则（ ）A.存在0M >，使得Δn a M <恒成立B.存在0M >，使得2Δn a M <恒成立C.对任意0M >，总存在*n ∈N ，使得n b M >D.对任意0M >，总存在*n ∈N ，使得2Δnnb M b > 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若圆22()(1)1x m y −+−=关于直线y x =对称的圆恰好过点()0,4，则实数m 的值为__________. 13.在三棱锥P ABC −中，2PB PC ===，且,,APB BPC CPA E F ∠∠∠==分别是,PC AC 的中点，90BEF ∠=o ，则三棱锥P ABC −外接球的表面积为__________，该三棱锥外接球与内切球的半径之比为__________.（本小题第一空2分，第二空3分.）14.若函数()sin 1f x x x ωω=+−在[]0,2π上佮有5个零点，且在ππ,415⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上单调递增，则正实数ω的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已如曲线()()22ln ,f x ax x x b a b =+−+∈R 在2x =处的切线与直线210x y ++=垂直.（1）求a 的值：（2）若()0f x ≥恒成立，求b 的取值范围.16.（15分）如图，在三棱柱111ABC A B C −中，,3,2AB AC AB AD DB ⊥===，O 为BC 的中点，1A O ⊥平面ABC .（1）求证：1AA OD ⊥；（2）若1AA =1B AA O −−的余弦值.17.（15分）联合国新闻部将我国农历二十四节气中的“谷雨”定为联合国中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉的贡献.某大学拟在2024年的联合国中文日举行中文知识竞赛决赛决赛分为必答､抢答两个环节依次进行.必答环节，共2道题，答对分别记30分､40分，否则记0分：抢答环节，包括多道题，设定比赛中每道题必须进行抢答，抢到并答对者得15分，抢到后未答对，对方得15分：两个环节总分先达到或超过100分者获胜，比赛结束.已知甲､乙两人参加决赛，且在必答环节，甲答对两道题的概率分别41,53，乙答对两道题的概率分别为21,32，在抢答环节，任意一题甲､乙两人抢到的概率都为12，甲答对任意一题的概率为512，乙答对任意一题的概率为34，假定甲､乙两人在各环节､各道题中答题相互独立（1）在必答环节中，求甲､乙两人得分之和大于100分的概率： （2）在抢答环节中，求任意一题甲获得15分的概率：（3）若在必答环节甲得分为70分，乙得分为40分，设抢答环节经过X 道题抢答后比赛结束，求随机变量X 的分布列及数学期望.18.（17分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>经过点()2,0A −l 过点()3,0D 且与双曲线C 交于两点,P Q （异于点A ）.（1）求证：直线AP 与直线AQ 的斜率之积为定值.并求出该定值：（2）过点D 分别作直线,AP AQ 的垂线.垂足分别为,M N ，记,ADM ADN V V 的面积分别为12,S S ，求12S S ⋅的最大值.19.（17分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆A 沿着x 轴正向无滑动地滚动，点M 为圆A 上一个定点，其初始位置为原点,O t 为AM 绕点A 转过的角度（单位：弧度，0t ≥）.（1）用t 表示点M 的横坐标x 和纵坐标y ：（2）设点M 的轨迹在点()()0000,0M x y y ≠处的切线存在，且倾斜角为θ，求证：1cos2y θ+为定值： （3）若平面内一条光滑曲线C 上每个点的坐标均可表示为()()()[],,,x t y t t αβ∈，则该光滑曲线长度为()()F F βα−，其中函数()F t 满足()F t ='.当点M 自点O 滚动到点E时，其轨迹»OE为一条光滑曲线，求»OE 的长度.2024年高考诊断性测试数学参考答案及评分标准一、选择题A CBC BD A A 二、选择题9.ABD 10.BCD 11.BC 三、填空题12.4 13.10π214.95[,]42四、解答题15.解：（1）x ax x f 212)('−+=, ··································· 2分 直线210x y ++=的斜率21−=k ,由题意知2)2('=f ， ··································· 4分 即2114=−+a ，所以21=a . ···································· 5分 （2）)(x f 的定义域为)0(∞+，. ··································· 6分 因为()0f x ≥，所以x x x b ln 2212+−−≥.设),0(,ln 221)(2+∞∈+−−=x x x x x g ，则max ()b g x ≥.························ 8分 xx x x x x x x x g )2)(1(221)('2++−=+−−=+−−= ··················· 9分 当)1,0(∈x 时，0)('>x g ，所以)(x g 在)1,0(单调递增，当),1(+∞∈x 时，0)('<x g ，所以)(x g 在),1(+∞单调递减， ··············· 11分 所以max 3()(1)2g x g ==−. 所以23−≥b . ······························· 13分16.解：（1）因为AB AC ⊥，3AB ==，所以60ACB ∠=，12OA BC == ············································ 1分因为3AB =，2AD DB =，所以1DB =.在DBO 中，30DBO ∠=，1DB =，OB =，由余弦定理222121cos301OD ︒=+−⨯=，所以1OD =. ········· 3分在ADO 中，1OD =，2AD =，AO =AO OD ⊥. ····· 4分因为1AO ⊥平面ABC ，OD ⊂平面ABC ， 所以1A O OD ⊥. ····················································· 5分因为1AOAO O =，所以OD ⊥平面1AOA . ······································ 6分 因为1AA ⊂平面1AOA ，所以1AA OD ⊥； ····································· 7分 （2）由（1）可知，1,,OA OD OA 两两垂直，以O 为坐标原点，1,,OA OD OA 方向分别为,,x y z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz −. ······ 8分因为1AA =AO =13AO =. ············· 9分则A ， 1(0,0,3)A，3(,,0)22B −. ··········· 10分可得133(,,3)22BA =−，333(,,0)22BA =−， 设(,,)x y z =m 为平面1ABA 的一个法向量，则33023022x y z x y −+=⎨⎪−=⎪⎩，取x =，则3y =，1z =， 故=m ， ····························· 12分 由题意可知，(0,1,0)=n 为平面 ······················· 13分因为3cos ,||||13<>===m n m n m n ，所以二面角1B AA O −−的余弦值为13. ······························· 15分17.解：（1）两人得分之和大于100分可分为甲得40分、乙得70分，甲得70分、乙得40分，甲得70分、乙得70分三种情况，所以得分大于100分的概率112141114121753325332533245p =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. ·························· 4分（2）抢答环节任意一题甲得15分的概率15111212243p =⨯+⨯=. ············ 7分 （3）X 的可能取值为2,3,4,5.因为甲任意一题得15分的概率为13，所以任意一题乙得15分的概率为23. ····· 8分 211(2)()39P X ===， 121214(3)33327P X C ==⨯⨯⨯=， 1243121228(4)()()333381P X C ==⨯⨯⨯+=， 13334412121232(5)()()33333381P X C C ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. ··················· 12分所以的分布列为·································· 13分所以142832326()2345927818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ····················· 15分 18.解：（1）由题意知，2a =，c a= 又因为222=+c a b ， ··················· 2分解得4=b .所以，双曲线C 的方程为221416x y −=. ············································· 3分 设直线l 的方程为3x my =+，联立2214163x y x my ⎧−=⎪⎨⎪=+⎩，消x 可得，22(41)24200m y my −++=. ··············· 4分不妨设1122(,),(,)P x y Q x y ， 则12m ≠±，且1222441m y y m −+=−，1222041y y m =−. ························· 5分 所以12122121212225()25AP AQ y y y y k k x x m y y m y y =⋅=+++++ ····················· 7分 45=−. ····························· 9分 （2）设直线AP 的方程为(2)y k x =+，则直线1:(3)DM y x k=−−，联立(2)1(3)y k x y x k =+⎧⎪⎨=−−⎪⎩，解得251M k y k =+， ····································· 11分 用45k −替换上式中的k 可得21002516N ky k −=+. ······························· 13分 故21222253125||4(1)(2516)M N k S S y y k k ⋅==++ ································· 15分 223125162541k k=++.因为22162540k k +≥=，当且仅当5k =±时，“=”成立，所以12312581S S ⋅≤， 故12S S ⋅的最大值为312581. ························· 17分 19.解：（1）由题意可得1cos y t =−，||OB BM t ==，所以||sin sin x OB t t t =−=−， ································ 2分所以sin x t t =−，1cos y t =−. ································ 4分（2）证明：由复合函数求导公式t x t y y x '''=⋅，所以sin 1cos x tt x t t y x y t y x x t '''⋅'===''−. ·········································· 7分 所以sin tan 1cos ttθ=−，因为222222cos 21cos 22cos sin cos tan 1θθθθθθ+===++ 20222(1cos )1cos sin 22cos ()11cos t t y t t t −===−=−+−，所以01+cos2y θ为定值1. ········································· 10分（3）由题意，()2|sin |2t F t '===. ·········· 13分因为02t ≤≤π，sin 02≥所以()2sin 2tF t '=，所以()4cos 2tF t c =−+（c 为常数）， ······································ 15分(2)(0)(4cos )(4cos0)8F F c c π−=−π+−−+=,所以OE 的长度为8. ································· 17分。
2020届高三数学上学期第一次诊断考试试题(含解析)
2020届高三数学上学期第一次诊断考试试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：集合，而，所以，故选C.【考点】集合的运算【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.2. 设p：x<3，q：-1<x<3，则p是q成立的（）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析】根据充分条件与必要条件的概念，即可判断出结果.【详解】∵，∴，但，∴是成立的必要不充分条件，故选C.【点睛】本题主要考查充分、必要条件的判断.熟记概念即可，属于常考题型.3.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A. y=lnxB.C. y=sinxD. y=cosx【答案】D【解析】【详解】选项A：的定义域为（0,+∞），故不具备奇偶性，故A错误；选项B：是偶函数，但无解，即不存在零点，故B错误；选项C：是奇函数，故C错；选项D：是偶函数，且，，故D项正确.考点：本题主要考查函数的奇偶性和零点的概念.4.已知命题那么（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据全称命题否定是特称命题即可写出答案.【详解】命题则为故选B【点睛】本题考全称命题的否定形式，属于简单题.5.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：分母不等于零，对数真数大于零，所以，解得.考点：定义域.6.若函数为偶函数，则实数a的值为（）A. 1B.C. 0D. 0或【答案】D【解析】∵函数为偶函数，∴，即，∴，解得或．选D．7.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（）A. －1B. 0C. 1D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则，和复数的定义即可得到答案．【详解】复数，所以复数的虚部为1，故选C．【点睛】本题主要考查了复数的运算法则和复数的概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则和复数的概念及分类是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8.设函数则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据分段函数的形式，分段解不等式，最后求并集.【详解】当时，，，解得所以当时，，解得：所以：，综上可知不等式的解集是.故选：D【点睛】本题考查分段函数，解不等式，重点考查计算能力，属于基础题型.9.设则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由在区间是单调减函数可知，，又，故选.考点：1.指数函数的性质；2.函数值比较大小.10.曲线在处的切线斜率是（）A. 1B. -1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】由导数的几何意义，曲线在处的切线斜率即为，先求的导函数，再取即可得解.【详解】解:由,则,所以,即曲线在处的切线斜率是，故选B.【点睛】本题考查了导数的几何意义，重点考查了运算能力，属基础题.11.定义域为的奇函数的图象关于直线对称，且，则A. 4034B. 2020C. 2018D. 2【答案】C【解析】【分析】先求出函数的周期，再结合已知条件求解.【详解】因为函数的图像关于直线x=2对称，所以，所以所以，所以函数的周期是8,所以.故选C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对称性及函数的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意不等式等价于，转化为求函数的最大值.【详解】不等式等价于存在，使成立，即设当时，所以 .故选：A【点睛】本题考查根据不等式存在性问题求参数的取值范围，重点考查转化与化归的思想，属于基础题型.二、填空题（每空5分，共20分）13.=______．【答案】【解析】【详解】试题分析：．考点：对数的运算．14.已知偶函数在上单调递减，若，则的取值范围是____________.【答案】【解析】偶函数在单调递减，不等式等价为，则，即，则，即不等式的解集为，故答案为.【方法点晴】本题主要考查抽象函数的奇偶性、抽象函数的单调性及抽象函数解不等式，属于难题.根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成后再利用单调性和定义域列不等式组.15.函数的单调递增区间是_________．【答案】【解析】设，或为增函数，在为增函数，根据复合函数单调性“同增异减”可知：函数的单调递增区间是.16.给出下列四个命题：①命题“若，则”的逆否命题；②“，使得”的否定是：“，均有”；③命题“”是“”的充分不必要条件；④：，：，且为真命题．其中真命题的序号是________．（填写所有真命题的序号）【答案】①④【解析】分析】对于①，由原命题与其逆否命题同真同假，因为原命题为真，即①为真命题；对于②，特称命题的否定为全称命题,原命题在否定时出错,则②为假命题；对于③，先求“”的充要条件，再判断其充要条件与“”的充要性即可；对于④，因为为真命题，为真命题，故且为真命题.【详解】解：对于①，命题“若，则”为真命题，由原命题与其逆否命题同真同假，即①为真命题；对于②，命题“，使得”的否定是：“，均有”，则②为假命题；对于③，“”的充要条件为“”，即命题“”是“”的必要不充分条件，则③为假命题；对于④，因为，所以为真命题，因为，所以为真命题，故且为真命题，则④为真命题；故答案为①④【点睛】本题考查了四种命题的关系及充分必要条件，重点考查了逻辑推理能力，属基础题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．17.已知全集为，函数的定义域为集合，集合.（1）求；（2）若，，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求集合,再求其补集，再求即可；（2）由，根据空集的定义，即空集是任意集合的子集，则需讨论，两种情况，再列不等式组求解即可.【详解】【解】（1）由得，函数的定义域.，，得.，∴.（2），①当时，满足要求，此时，得；②当时，要，则，解得；由①②得，.【点睛】本题考查了集合的交、并、补运算及集合间的包含关系，并利用集合间的关系求解参数的范围，重点考查了集合思想及分类讨论的数学思想方法，属中档题.18.已知：（为常数）；：代数式有意义．（1）若，求使“”为真命题的实数的取值范围；（2）若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）通过解不等式得到：，：，求两个不等式的交集即可；（2）若是成立的充分不必要条件，则，列式求解即可.试题解析：：等价于：即；：代数式有意义等价于：，即（1）时，即为若“”为真命题，则，得：故时，使“”为真命题的实数的取值范围是，（2）记集合，若是成立的充分不必要条件，则，因此：，，故实数的取值范围是．19.已知函数．（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；（2）若f（x）在上的值域是，求a的值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义，按照取值，作差，变形，定号，即可证出；（2）根据（1）可知，函数f（x）在上单调递增，所以，解出即可．【详解】（1）证明：设x2＞x1＞0，则x2﹣x1＞0，x1x2＞0，∵，∴f（x2）＞f（x1），∴f（x）在（0，+∞）上是单调递增的．（2）∵f（x）在（0，+∞）上是单调递增的，∴f（x）在上单调递增，∴，即，，∴．【点睛】本题主要考查函数单调性的证明和应用，属于基础题．20.设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.(1)判断f(x)的奇偶性；(2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式.【答案】(1) f(x)是偶函数(2)【解析】试题分析：（1）因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)，又f（x）是最小正周期为 2的函数，所以f(x＋2)＝f(x)，则 f(－x)＝f(x)，所以得f（x）是偶函数；（2）由-1≤x≤0时，f（x）=-x，根据f(x)是偶函数得当0≤x≤1时，f（x）解析式；由f（x）是最小正周期为 2的函数，得1≤x≤2时，f（x）解析式.试题解析：(1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x).又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x).又f(x)的定义域为R，∴f(x)是偶函数.(2)当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]，则f(x)＝f(－x)＝x；进而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.故21.已知函数是奇函数．（1）求实数的值；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设，可得，求出的表达式，利用奇函数的定义可得出函数在时的解析式，由此可求出实数的值；（2）作出函数的图象，可得出函数的单调递增区间为，于是可得出，进而得出关于实数的不等式组，解出即可.【详解】（1）为奇函数，当时，，则，则，；（2）由（1）可得，作出函数如下图所示：由图象可知，函数的单调递增区间为，由题意可得，则，解得.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查奇函数解析式的求解，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，考查运算求解能力，属于中等题.22.设是上的奇函数，，当时，.（1）求的值；（2）当时，求的图象与轴所围成图形的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由可推出函数是以4为周期的周期函数，再利用函数的周期性及奇偶性可得，再利用函数在上的解析式即可得解，（2）由函数的周期性、奇偶性及函数在上的解析式，作出函数在的图像，再求的图象与轴所围成图形的面积即可.【详解】解：（1）由得，，所以是以4为周期的周期函数，所以.（2）由是奇函数且，得，即.故知函数的图象关于直线对称.又当时，，且图象关于原点成中心对称，则的图象如下图所示.当时，的图象与轴围成的图形面积为，则.【点睛】本题考查了函数的周期性、奇偶性及函数的图像，主要考查了函数性质的应用，重点考察了作图能力，属中档题.2020届高三数学上学期第一次诊断考试试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：集合，而，所以，故选C.【考点】集合的运算【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.2. 设p：x<3，q：-1<x<3，则p是q成立的（）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析】根据充分条件与必要条件的概念，即可判断出结果.【详解】∵，∴，但，∴是成立的必要不充分条件，故选C.【点睛】本题主要考查充分、必要条件的判断.熟记概念即可，属于常考题型.3.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A. y=lnxB.C. y=sinxD. y=cosx【答案】D【解析】【详解】选项A：的定义域为（0,+∞），故不具备奇偶性，故A错误；选项B：是偶函数，但无解，即不存在零点，故B错误；选项C：是奇函数，故C错；选项D：是偶函数，且，，故D项正确.考点：本题主要考查函数的奇偶性和零点的概念.4.已知命题那么（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据全称命题否定是特称命题即可写出答案.【详解】命题则为故选B【点睛】本题考全称命题的否定形式，属于简单题.5.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：分母不等于零，对数真数大于零，所以，解得.考点：定义域.6.若函数为偶函数，则实数a的值为（）A. 1B.C. 0D. 0或【答案】D【解析】∵函数为偶函数，∴，即，∴，解得或．选D．7.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（）A. －1B. 0C. 1D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则，和复数的定义即可得到答案．【详解】复数，所以复数的虚部为1，故选C．【点睛】本题主要考查了复数的运算法则和复数的概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则和复数的概念及分类是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8.设函数则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据分段函数的形式，分段解不等式，最后求并集.【详解】当时，，，解得所以当时，，解得：所以：，综上可知不等式的解集是.故选：D【点睛】本题考查分段函数，解不等式，重点考查计算能力，属于基础题型.9.设则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由在区间是单调减函数可知，，又，故选.考点：1.指数函数的性质；2.函数值比较大小.10.曲线在处的切线斜率是（）A. 1B. -1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】由导数的几何意义，曲线在处的切线斜率即为，先求的导函数，再取即可得解.【详解】解:由,则,所以,即曲线在处的切线斜率是，故选B.【点睛】本题考查了导数的几何意义，重点考查了运算能力，属基础题.11.定义域为的奇函数的图象关于直线对称，且，则A. 4034B. 2020C. 2018D. 2【答案】C【解析】【分析】先求出函数的周期，再结合已知条件求解.【详解】因为函数的图像关于直线x=2对称，所以，所以所以，所以函数的周期是8,所以.故选C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对称性及函数的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意不等式等价于，转化为求函数的最大值.【详解】不等式等价于存在，使成立，即设当时，所以 .故选：A【点睛】本题考查根据不等式存在性问题求参数的取值范围，重点考查转化与化归的思想，属于基础题型.二、填空题（每空5分，共20分）13.=______．【答案】【解析】【详解】试题分析：．考点：对数的运算．14.已知偶函数在上单调递减，若，则的取值范围是____________.【答案】【解析】偶函数在单调递减，不等式等价为，则，即，则，即不等式的解集为，故答案为.【方法点晴】本题主要考查抽象函数的奇偶性、抽象函数的单调性及抽象函数解不等式，属于难题.根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成后再利用单调性和定义域列不等式组.15.函数的单调递增区间是_________．【答案】【解析】设，或为增函数，在为增函数，根据复合函数单调性“同增异减”可知：函数的单调递增区间是.16.给出下列四个命题：①命题“若，则”的逆否命题；②“，使得”的否定是：“，均有”；③命题“”是“”的充分不必要条件；④：，：，且为真命题．其中真命题的序号是________．（填写所有真命题的序号）【答案】①④【解析】分析】对于①，由原命题与其逆否命题同真同假，因为原命题为真，即①为真命题；对于②，特称命题的否定为全称命题,原命题在否定时出错,则②为假命题；对于③，先求“”的充要条件，再判断其充要条件与“”的充要性即可；对于④，因为为真命题，为真命题，故且为真命题.【详解】解：对于①，命题“若，则”为真命题，由原命题与其逆否命题同真同假，即①为真命题；对于②，命题“，使得”的否定是：“，均有”，则②为假命题；对于③，“”的充要条件为“”，即命题“”是“”的必要不充分条件，则③为假命题；对于④，因为，所以为真命题，因为，所以为真命题，故且为真命题，则④为真命题；故答案为①④【点睛】本题考查了四种命题的关系及充分必要条件，重点考查了逻辑推理能力，属基础题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．17.已知全集为，函数的定义域为集合，集合.（1）求；（2）若，，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求集合,再求其补集，再求即可；（2）由，根据空集的定义，即空集是任意集合的子集，则需讨论，两种情况，再列不等式组求解即可.【详解】【解】（1）由得，函数的定义域.，，得.，∴.（2），①当时，满足要求，此时，得；②当时，要，则，解得；由①②得，.【点睛】本题考查了集合的交、并、补运算及集合间的包含关系，并利用集合间的关系求解参数的范围，重点考查了集合思想及分类讨论的数学思想方法，属中档题.18.已知：（为常数）；：代数式有意义．（1）若，求使“”为真命题的实数的取值范围；（2）若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）通过解不等式得到：，：，求两个不等式的交集即可；（2）若是成立的充分不必要条件，则，列式求解即可.试题解析：：等价于：即；：代数式有意义等价于：，即（1）时，即为若“”为真命题，则，得：故时，使“”为真命题的实数的取值范围是，（2）记集合，若是成立的充分不必要条件，则，因此：，，故实数的取值范围是．19.已知函数．（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；（2）若f（x）在上的值域是，求a的值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义，按照取值，作差，变形，定号，即可证出；（2）根据（1）可知，函数f（x）在上单调递增，所以，解出即可．【详解】（1）证明：设x2＞x1＞0，则x2﹣x1＞0，x1x2＞0，∵，∴f（x2）＞f（x1），∴f（x）在（0，+∞）上是单调递增的．（2）∵f（x）在（0，+∞）上是单调递增的，∴f（x）在上单调递增，∴，即，，∴．【点睛】本题主要考查函数单调性的证明和应用，属于基础题．20.设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.(1)判断f(x)的奇偶性；(2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式.【答案】(1) f(x)是偶函数(2)【解析】试题分析：（1）因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)，又f（x）是最小正周期为 2的函数，所以f(x＋2)＝f(x)，则 f(－x)＝f(x)，所以得f（x）是偶函数；（2）由-1≤x≤0时，f（x）=-x，根据f(x)是偶函数得当0≤x≤1时，f（x）解析式；由f（x）是最小正周期为 2的函数，得1≤x≤2时，f（x）解析式.试题解析：(1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x).又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x).又f(x)的定义域为R，∴f(x)是偶函数.(2)当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]，则f(x)＝f(－x)＝x；进而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.故21.已知函数是奇函数．（1）求实数的值；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设，可得，求出的表达式，利用奇函数的定义可得出函数在时的解析式，由此可求出实数的值；（2）作出函数的图象，可得出函数的单调递增区间为，于是可得出，进而得出关于实数的不等式组，解出即可.【详解】（1）为奇函数，当时，，则，则，；（2）由（1）可得，作出函数如下图所示：由图象可知，函数的单调递增区间为，由题意可得，则，解得.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查奇函数解析式的求解，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，考查运算求解能力，属于中等题.22.设是上的奇函数，，当时，.（1）求的值；（2）当时，求的图象与轴所围成图形的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由可推出函数是以4为周期的周期函数，再利用函数的周期性及奇偶性可得，再利用函数在上的解析式即可得解，（2）由函数的周期性、奇偶性及函数在上的解析式，作出函数在的图像，再求的图象与轴所围成图形的面积即可.【详解】解：（1）由得，，所以是以4为周期的周期函数，所以.（2）由是奇函数且，得，即.故知函数的图象关于直线对称.又当时，，且图象关于原点成中心对称，则的图象如下图所示.当时，的图象与轴围成的图形面积为，则.【点睛】本题考查了函数的周期性、奇偶性及函数的图像，主要考查了函数性质的应用，重点考察了作图能力，属中档题.。
山东省烟台市2020年高考诊断性测试(高三一模)数学试题参考答案
2020年高考诊断性测试数学参考答案一、单项选择题1.C2.B3.A4.B5.B6.D7.A8.C二、多项选择题9.BC 10.AC11.B C12.ABD三、填空题13.45-14.30015.1216.24x y =，四、解答题17．解：（1）因为2cos cos +cos )a A b C c B =，由正弦定理得所以2sin cos cos sin cos )A A B C C B =+,…………………………1分即2sin cos )A A B C =+，…………………………2分又B C A π+=-，所以sin()sin()sin B C A A π+=-=所以2sin cos A A A =，…………………………3分而0A π<<，sin 0A ≠所以cos 2A =，所以6A π=.…………………………4分（2）因为11sin 22ABCBCS bc A a h ∆==⋅…………………………5分将b =3BC h =，1sin 2A =代入，得3a =.…………………………6分由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，于是222232c c =+-⨯，…………………………8分即29180c c -+=，解得3c =或6c =.…………………………10分18．解：设等比数列{}n b 的公比为q （0q >），则18b q=，38b q =，于是8384q q-⨯=，…………………………2分即2620q q +-=，解得12q =，23q =-（舍去）.…………………………4分若选①：则142a b ==，41434202S a d ⨯=+=，解得2d =，…………………………6分所以2(1)222n n n S n n n -=+⨯=+，…………………………8分1111(1)1n S n n n n ==-++，…………………………9分于是12111111111+(1)((122311k k T S S S k k k =++=-+-++-=-++ ……10分令1151116k ->+，解得15k >，因为k 为正整数，所以k 的最小值为16.……12分若选②：则142a b ==，113232(2)2a d a d ⨯+=+，解得12a d ==.下同①.若选③：则142a b ==，113(2)(3)8a d a d +-+=，解得43d =.………………6分于是2(1)42422333n n n S n n n -=+⨯=+，…………………8分131311(2(2)42n S n n n n =⨯=-++，……………………9分于是31111111[(1)()((4324112k T k k k k =-+-++-+--++ 3111(1)4212k k =+--++9311()8412k k =-+++，………………………………………10分令1516k T >，得111124k k +<++，注意到k 为正整数，解得7k ≥，所以k 的最小值为7.………………………12分19．解：（1）证明：延长EG 交BC 于点D ,点D 为BC 的中点，因为,D E 分别是棱,BC AB 的中点,所以DE 是ABC ∆的中位线，所以//DE AC ，…………………………2分又DE PAC ⊄平面，AC PAC ⊂平面，所以//DE PAC 平面.同理可证//EF PAC 平面.………………………………………3分又DE EF E = ，,DE DEF EF DEF ⊂⊂平面平面，所以平面//DEF PAC 平面，……………………………………4分因为GF DEF ⊂平面，所以//GF PAC 平面.………………………………5分（2）连接PE ，因为PA PB =，E 是AB 的中点，所以PE AB ⊥，又平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB I 平面ABC AB =，PE ⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABC .以E 为坐标原点，以向量,EB EP所在的方向分别作为y 轴、z 轴的正方向，以与向量,EB EP垂直的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -.………6分设1EB =，则(0,0,0)E ，(0,0,1)P ，11(0,,)22F ，31,,0)62G ，11(0,,22FE =-- ，31,0,)62FG =- ，11(0,,)22FP =- .……………………7分设平面EFG 的一个法向量为(,,)x y z =m ，则00FE FG ⎧=⎪⎨=⎪⎩m m ，即030y z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，令1z =，得1y =-，3x =(3,1,1)=-m …………………………9分又平面PFG 的一个法向量为111(,,)x y z =n ，则00FG FP ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n ，即1111300x z y z ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，令11y =，得11z =，13x =，于是取(3,1,1)=n ………………………………………………11分设平面EFG 与平面PFG 的所成的角二面角的大小为θ，则3cos cos ,5θ=<>=== m n m n m n .所以平面CFG 与平面EFG 的所成的锐二面角的余弦值为35.………………12分20．解：（1）由调查数据，问卷得分不低于60分的比率为13011090110100600.61000+++++=，故从该社区随机抽取一名居民其得分不低于60分的概率为0.6 (2)分（2）由题意得列联表如下：…………3分2K 的观测值21000(250270330150) 5.542400*********k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯…………………5分因为5.542 3.841>所以有95%的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关.………………6分（3）由题意知，分层抽样抽取的10人中，男性6人，女性4人.………………7分随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3，其中0364310(0)n n C C P C ξ++==，1264310(1)n n C C P C ξ++==,2164310(2)n n C C P C ξ++==,36310(3)n n C P C ξ++==,………………9分所以随机变量ξ的分布列为不太了解比较了解男性250330女性150270ξ123P0364310n n C C C ++1264310n n C C C ++2164310n n C C C ++36310n n C C ++0312213646464633331010101001232n n n n n n n n C C C C C C C E C C C C ξ++++++++=⨯+⨯+⨯+⨯≥………………10分12213364646101232n n n n C C C C C C ++++⨯+⨯+⨯≥,可得，116(6)4(6)(5)(6)(5)(4)(10)(9)(8)23n n n n n n n n n ++++++++≥+++，23(6)(1772)2(10)(9)(8)n n n n n n +++≥+++，3(6)2(10)n n +≥+，解得2n ≥.…………………………………………12分21．解：（1）由()0f x ≤可得，1ln (0)xa x x+≥>，令1ln ()x h x x +=，则221(1ln )ln ()x x x x h x x x ⋅-+-'==，………………1分当(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当(1+)x ∈∞，时，()0h x '<，()h x 单调递减，故()h x 在1x =处取得最大值，………………3分要使1ln xa x+≥，只需(1)1a h ≥=，故a 的取值范围为1a ≥，………………4分显然，当1a =时，有1ln 1xx+≤，即不等式ln 1x x <-在(1,)+∞上成立，令11()n x n n *+=>∈N ，则有111ln 1n n n n n ++<-=，所以231111ln ln ln11223n n n ++++<++++ ，即：1111ln(1)23n n++++>+ ；………………6分（2）由()()f x g x =可得，21ln (1)e x x a x x +-=-，即21ln (1)e x xa x x+=--，令21ln ()(1)e x x t x x x +=--，则22ln ()(1)e x xt x x x-'=--，………………8分当(0,1)x ∈时，()0t x '>，()t x 单增，当(1+)x ∈∞，时，()0t x '<，()t x 单减，故()t x 在1x =处取得最大值(1)1t =，………………10分又当0x →时，()t x →-∞，当+x →∞时，()t x →-∞，………………11分所以，当1a =时，方程()()f x g x =有一个实数解；当1a <时，方程()()f x g x =有两个不同的实数解；当1a >时，方程()()f x g x =没有实数解 (12)分22．解：（1）将点的坐标代入椭圆C 的方程得22224214a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得2284a b ==，，所以椭圆C 的方程为22184x y +=．……3分（2）设11((,)P t Q x y .因为以PQ 为直径的圆恒过点O ，所以110OP OQ x t =+=，即1y =……………………4分因为Q 点在椭圆上，所以2211184x y +=.（i）将1y =212324x t =+，221244t y t =+，于是22222114=(8)4()OP OQ t x y ++++2264244t t =+++,t ∈R .…………5分因为2264244t t +++2264+4204t t =+++20≥36=当且仅当2264+4=4t t +，即=2t ±时，取等号.所以224OP OQ +的取值范围为[36,)+∞.……………………………………7分（ii ）存在.定圆的方程为224xy +=.假设存在满足题意的定圆，则点O 到直线PQ 的距离为定值.因为11((,)P t Q x y ，所以直线PQ方程为11()(()0x t y y x t -----=，整理可得1111(()0y x x t y ty ----+=，………………………………8分所以O 到直线PQ的距离d =，…………………………9分由（i）知，1y =，得212324x t =+，221244t y t =+，110x t +=，注意到10x ≠，知11t x =-.所以222111||||ty t -+=+=+，…………………10分=2===，……………………11分所以2d r ==，因此，直线PQ 与圆224x y +=恒相切.…………………………………………12分。
2020年高考诊断性测试数学参考答案20200417
则
nnFFGP
0 0
，即
x1 y1
3z1 0 z1 0
，
令 y1 1 ，得 z1 1， x1 3 ，
于是取 n ( 3,1,1)
………………………………………………11 分
设平面 EFG 与平面 PFG 的所成的角二面角的大小为 ，
高三数学参考答案 第 3页（共 7页）
则 cos cos m, n mn 3 3 . m n 5 5 5
FP
(0,
1
,
1
)
.
……………………7 分
22
62
22
设平面 EFG 的一个法向量为 m (x, y, z) ，
则
mmFFGE
0 0
，即
x
y
z0 3z 0
，
令 z 1，得 y 1， x 3 ，于是取 m ( 3, 1,1) …………………………9 分
又平面 PFG 的一个法向量为 n (x1, y1, z1) ，
所以平面 CFG 与平面 EFG 的所成的锐二面角的余弦值为 3 . 5
………………12 分
20．解：（1）由调查数据，问卷得分不低于 60 分的比率为 130 110 90 110 100 60 0.6 ， 1000
故从该社区随机抽取一名居民其得分不低于 60 分的概率为 0.6 . …………………2 分
又 DE EF E ， DE 平面DEF, EF 平面DEF ，
所以平面 DE F / / 平面PAC ，
……………………………………4 分
因为 GF 平面DEF ，所以 GF / / 平面PAC .
………………………………5 分
（2）连接 PE ，因为 PA PB ， E 是 AB 的中点，所以 PE AB ， 又平面 PAB 平面 ABC ，平面 PAB I 平面 ABC AB ， PE 平面 PAB ， 所以 PE 平面 ABC . 以 E 为坐标原点，以向量 EB, EP 所在的方向分别作为 y 轴、 z 轴的正方向，以与向量
山东省烟台招远市2024届高考三模 数学试题【含答案】
2024年全国新高考Ⅰ卷模拟试题数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知集合{}2log 1A x x =>，{}04B x x =<<，则()R A B ⋂=ð（）A ．{}24x x <<B ．{}24x x ≤<C ．{}02x x <≤D ．{}2x x ≤2．若复数z 满足22i z z =--，则z 的最小值为（）A ．1B CD ．23．若椭圆22143x y +=与椭圆2221y x b+=（1b >）的离心率相同，则实数b 的值为（）A B ．43C D ．544．一袋子中装有5个除颜色外完全相同的小球，其中3个红球，2个黑球，从中不放回的每次取出1个小球，连续取两次，则取出的这两个小球颜色不同的概率为（）A ．310B ．25C ．1225D ．355．若圆22230x y ax a ++++-=与x 轴没有交点，则实数a 的取值范围为（）A ．()2,6B ．()3,5C ．()()2,35,6 D ．()()2,36,+∞ 6．若函数()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且只有一条对称轴和一个对称中心，则正整数ω的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知向量a ，b 满足4a = ，b 在a 方向上的投影向量为12a，且()2b a b ⊥- ，则a b + 的值为（）A ．4B ．C ．16D ．488．若定义在R 上的函数()f x 满足：π04f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且对任意1x ，2x ∈R ，都有()()()121212π44f x x f x x f x f x ⎛⎫++-=⋅+ ⎪⎝⎭，则（）A ．()00f =B ．()f x 为偶函数C ．π是()f x 的一个周期D ．()f x 图象关于π4x =对称二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的有（）A ．数据1，2，5，7，10的80%分位数为8.5B ．设随机变量()4,X B p ～，若()0.75D X =，则()1E X =C ．已知回归直线方程为 0.3y bx =-，若样本中心为()2,4.7，则 2.5b =D ．()1212,,,0n n x x x x x x ⋯<<<< 的极差小于122x x +，2311,,,222n n n x x x x x x -+++⋯的极差10．如图1，半圆O 的直径为4，点B ，C 三等分半圆，P ，Q 分别为OB ，OC 的中点，将此半圆以OA 为母线卷成如图2所示的圆锥，D 为BC 的中点，则在图2中，下列结论正确的有（）A ．PQB ．AD ⊥平面OBC C ．//PQ 平面ABCD ．三棱锥-P ABC 与Q ABC -公共部分的体积为1411．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin c a B =，则（）A ．AB 边上的高为2cB ．11tan tan A B +为定值C ．sin cos cos C A B的最小值为2D ．若tan 3C =，则224105a b ab +=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．614x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的中间一项的系数为.13．已知双曲线Γ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线方程为y =，其右焦点为F ，若直线y kx =与Γ在第一象限的交点为P 且PF x ⊥轴，则实数k 的值为.14．在平面直角坐标系中，若定义两点()111,A x y 和()222,A x y 之间的“t 距离”为1212121212max ,11t x xy y A A x x y y ⎧⎫--⎪⎪=⎨⎬+-+-⎪⎪⎩⎭，其中{}max ,p q 表示p ，q 中的较大者，则点()10,0A 与点()21,2A 之间的“t 距离”为；若平面内点(),A x y 和点()01,1A 之间的“t 距离”为12，则A 点的轨迹围成的封闭图形的面积为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．为提高学生对航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某学校组织学生参加航天科普知识挑战赛，比赛共设置A ，B ，C 三个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为50分，答对问题A ，B ，C 分别加10分，20分，30分，答错任一题减10分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于40分或答完三题时累计分数不足80分，答题结束，挑战失败；当累计分数大于或等于80分时，答题结束，挑战成功；③每位参加者按问题A ，B ，C 顺序作答，直至挑战结束.设甲同学能正确回答出问题A ，B ，C 的概率分别为45，34，12，且回答各题正确与否互不影响.(1)求甲同学挑战成功的概率；(2)用X 表示甲同学答题结束时答对问题的个数，求X 的分布列和数学期望()E X .16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC BB ===，M ，N 分别为1BB ，AC 中点，且1C M AB ⊥．(1)证明：11C M A N ⊥；(2)若D 为棱11A B 上的动点，当DN 与平面ABC 所成角最大时，求二面角A DM N --的余弦值.17．在数列{}n a 中，已知112n n n n a a a a ++=+，143a =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若2n n n b a a =-，n S 为数列{}n b 的前n 项和，证明：419n S <≤.18．已知抛物线C ：22y px =（0p >）过点()1,2，F 为C 的焦点，A ，B 为C 上不同于原点O 的两点.(1)若OA OB ⊥，试探究直线AB 是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由；(2)若AF BF ⊥，求AFB △面积的最小值.19．已知函数()()e xf x x a a =+∈R .(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当3a =时，若方程()()()1f x x xm f x x f x -+=+-有三个不等的实根，求实数m 的取值范围.1．C【分析】解对数不等式化简集合A ，由集合的交并补混合运算即可得解.【详解】因为{}{}2log 12A x x x x =>=，所以{}R |2A x x =£ð，因为{}04B x x =<<，所以(){}R 02A B x x ⋂=<≤ð.故选：C.2．B【分析】由复数的几何意义即可求解.【详解】若复数z 满足22i z z =--，则由复数的几何意义可知复数z 对应的点集是线段OA 的垂直平分线，其中()()0,0,2,2O A ，所以z 的最小值为12OA ==故选：B.3．A【分析】由离心率相等列出关于b 的方程求解即可.【详解】若椭圆22143x y +=与椭圆2221y x b +=（1b >）的离心率相同，则224314b b --=，解得1b =>满足题意.故选：A.4．D【分析】分第一次取出为红球和黑球两种情况求解即可.【详解】由题意，第一次取出可能为红球或黑球，故连续取两次，则取出的这两个小球颜色不同的概率为3223354545⨯+⨯=.故选：D 5．C【分析】求出圆心坐标利用几何法得到不等式，解出即可.【详解】22230x y ax a ++++-=即22211522244a x y a a ⎛⎫⎛⎫+++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20115244a a -+>，解得3a <或5a >，且其圆心坐标为,22a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，若该圆与x 轴没有交点，则2>()()2,35,6a ∈ 故选：C.6．C【分析】先得出ππππ,4434x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，然后结合已知列出关于ω的不等式组，结合ω是正整数即可得解.【详解】由题意0ω>且ω是整数，若π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππππ,4434x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，若函数()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且只有一条对称轴和一个对称中心，所以*ππ3ππ,N 342ωω<+<∈，解得*915,N 44ωω<<∈，即3ω=.故选：C.7．B【分析】根据题意结合投影向量可得8a b ⋅=，再根据垂直关系可得4b = ，进而可求模长.【详解】由题意可知：4a = ，即0a ≠，因为b 在a 方向上的投影向量为21162a b a b a a a a ⎛⎫⎛⎫⋅⋅== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r rr r r r ，可得8a b ⋅= ，又因为()2b a b ⊥- ，则()2222160b a b a b b b ⋅-=⋅-=-=r r r r r r r ，可得4b =，则222248a a a b b b =+⋅=++r r r r r r，所以a b += 故选：B.8．D【分析】首先得出()f x 的对称中心以及周期，结合剩下的已知()()()121212π44f x x f x x f x f x ⎛⎫++-=⋅+ ⎪⎝⎭来构造函数()13πsin 24f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，以此排除ABC ，并证明D 选项.【详解】在()()()121212π44f x x f x x f x f x ⎛⎫++-=⋅+ ⎪⎝⎭中，令13π4x =，得223π3π044f x f x ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3π,04⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心，在()()()121212π44f x x f x x f x f x ⎛⎫++-=⋅+ ⎪⎝⎭中，令2π2x =，得12ππ022f x f x ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()()π2πf x f x f x =--=-，2π是()f x 的一个周期，接下来我们构造反例说明ABC 错误，然后证明D 正确：首先对于ABC 而言，由以上分析不妨设()()3πsin ,04f x a x a ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，而()()121212123π3πsin sin 44f x x f x x a x x a x x ⎛⎫⎛⎫++-=+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭121212123π3π3π3πsin cos cos sin sin cos cos 4444a x x a x x a x x a x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123π2sin cos 4a x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()22121212π3ππ3π3π44sin sin 4sin cos 44444f x f x a x x a x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若要()()()121212π44f x x f x x f x f x ⎛⎫++-=⋅+ ⎪⎝⎭恒成立，只需212123π3π2sin cos 4sin cos 44a x x a x x ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，只需224a a =-，因为0a ≠，所以12a =-，从而满足题意的()f x 可以是()13πsin 24f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，但是()13π0sin 024f ⎛⎫=--=≠ ⎪⎝⎭，故A 错误；3π13π3π13πsin 0424424f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=≠=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 错误；2π是函数()f x 的一个最小正周期，故C 错误；现在我们来证明D 是正确的：对于D ，由以上分析有，π3π9ππ4444f x fx f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，这表明()f x 图象关于π4x =对称，故D 正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：关键是得出3π,04⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心，且2π是函数()f x 的一个周期，由此即可顺利得解.9．AC【分析】根据第p 百分位定义计算可判断A ；根据二项分布的期望和方差计算可判断B ；根据回归直线方程必过样本中心代入计算可判断C ；根据极差的概念计算可判断D.【详解】对A ，因为580%4⨯=，所以第80%分位数为7108.52+=，故A 正确；对B ，因为随机变量()4,X B p ～，所以()4(1)0.75D X p p =-=，解得14p =或34p =，当14p =时，()1E X =，当34p =时，()3E X =，故B 错误；对C ，因为样本中心()2,4.7在回归直线方程 0.3y bx =-上，所以20.3 4.7b -=，解得 2.5b =，故C 正确；对D ，原数据极差为：1n x x -，新数据极差为：11222n n x x x x -++-，因为()11121210222n n n n n x x x x x xx x x x --+-+-+---=<，所以()1212,,,0n n x x x x x x ⋯<<<< 的极差大于122x x +，2311,,,222n n n x x x x x x -+++⋯的极差，故D 错误.故选：AC 10．ACD【分析】对于A ，先求出圆锥的底面圆半径，再利用正弦定理求出BC ，进而可判断；对于B ，由勾股定理逆定理结合222AD OD AO +≠，可得AD 与OD 不垂直，由此即可判断；对于C ，由中位线定理得//PQ BC ，结合线面平行的判定定理即可判断；对于D ，连接,BQ CP 交于点E ，连接OE 并延长OE ，可知OE 交BC 于点D ，则三棱锥-P ABC 与三棱锥Q ABC -公共部分即为三棱锥E ABC -，再确定点E 的位置即可求解体积并判断D.【详解】对于A ，在图2中，设圆锥的底面圆半径为r ，则12π4π2r =⨯，解得1r =，因为在图1中，点B 、C 三等分半圆，所以在图2中，点B 、C 为圆锥的底面圆周的三等分点，所以ABC 为等边三角形，所以22sin 60BCr ==︒，所以BC =又因为点P 、Q 分别是OB 、OC 的中点，所以1322PQ BC ==A 正确；对于B ，连接,,OD AC AB ，因为三角形ABC 3OBC 为等腰三角形，点D 是BC 的中点，所以2231322AD OD OB BD =-=，，而2AO =，所以222913444AD OD AO +=+≠=，这表明AD 与OD 不垂直，故B 错误；对于C ，因为点P 、Q 分别是OB 、OC 的中点，所以//PQ BC ，因为PQ ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以//PQ 平面ABC ，故C 正确；对于D ，连接,BQ CP 交于点E ，连接OE 并延长OE ，则由对称性可知OE 必定交BC 于点D ，则三棱锥-P ABC 与三棱锥Q ABC -公共部分即为三棱锥E ABC -，因为点,P Q 分别是OB 、OC 的中点，所以E 为OBC 的重点，所以1133DE OD ==由上易知，圆锥的轴截面为边长为23，所以111131333333224E ABC O ABC V --⎛==⨯⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，所以三棱锥M ABC -与三棱锥N ABC -公共部分的体积为14，故D 正确.故选：ACD.11．ABD【分析】对A ，根据AB 边上的高为sin a B 求解即可；对B ，由正弦定理结合三角恒等变换化简即可；对C ，由正弦定理结合三角恒等变换化简，结合B 中112tan tan A B+=，再根据基本不等式求解即可；对D ，根据三角形内角关系，结合两角和差的正切公式与正弦定理判断即可.【详解】对A ，AB 边上的高为sin a B ，由题意sin 2ca B =，故A 正确；对B ，由正弦定理2sin c a B =即()sin sin 2sin sin C A B A B =+=，故sin cos cos sin 2sin sin A B A B A B +=，又锐角ABC ，故cos cos 2sin sin B A B A +=，即112tan tan A B+=，故B 正确；对C ，()sin sin sin cos cos sin tan tan cos cos cos cos cos cos A B CA B A B A B A B A B A B++===+，又112tan tan A B +=，故()111tan tan tan tan 2tan tan A B A B A B ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭1tan tan 12222tan tan 2B A A B ⎛⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当tan tan tan tan B AA B =，即tan tan 1A B ==时取等号，此时π4A B ==，π2C =，与锐角ABC 矛盾，故C 错误；对D ，()()tan tan πtan 3C A B A B ⎡⎤=-+=-+=⎣⎦，即tan tan 31tan tan A B A B +=--，又112tan tan A B +=，即tan tan 2tan tan A B A B +=，故2tan tan 31tan tan A BA B=--，解得tan tan 3A B =，故tan tan 6A B +=.则()tan 6tan 3A A -=，即2tan 6tan 30A A -+=，解得tan 3A =±故tan 3A =tan 3B =tan 3A =tan 3B =不妨设tan 3A =+tan 3B =则sin A =sin B =故2sinA ，2sinB =，sin sin 20A B ==，故22410sin sin sin sin 5A A B B +=，由正弦定理224105a b ab +=，故D 正确.故选：ABD 12．52【分析】中间一项是第4项，结合二项展开式的系数的计算公式即可求解.【详解】因为614x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式共有7项，它的中间一项是第4项，所以614x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的中间一项的系数为336361205C 2482-⎛⎫== ⎪⎝⎭.故答案为：52.13．32【分析】根据双曲线的渐近线方程可得2b a c =⇒=，由PF x ⊥轴得2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，利用斜率公式可得结果.【详解】因为双曲线Γ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的渐近线方程为b y x a =±，依题意有b a =即2b c a =⇒=，又右焦点为(),0F c ，且PF x ⊥轴，所以2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，所以22223322OPb b a a k kc ac a =====，故答案为：32.14．234【分析】第一空：直接根据“t 距离”的定义计算即可求解；第二空：根据“t 距离”的定义分两种情况讨论得出A 点的轨迹是正方形的四条线段；由此即可得解.【详解】第一空：点()10,0A 与点()21,2A 之间的“t 距离”为121212121212122max ,max ,max ,111112233t x xy y A A x x y y ⎧⎫--⎪⎪⎧⎫⎧⎫====⎨⎬⎨⎬⎨⎬+-+-++⎩⎭⎩⎭⎪⎪⎩⎭；第二空：若平面内点(),A x y 和点()01,1A 之间的“t 距离”为12，则0111max ,11112tx y AA x y ⎧⎫--⎪⎪==⎨⎬+-+-⎪⎪⎩⎭，不妨设011112t x AA x -==+-，解得0x =或2x =，此时11112y y -≤+-，即02y ≤≤，由对称性可知，当0y =或2y =时，02x ≤≤，如图所示：()()()()0,0,2,0,2,2,0,2O B C D ，所以A 点的轨迹就是正方形OBCD 的四条线段，则A 点的轨迹围成的封闭图形的面积为224⨯=.故答案为：23；4.【点睛】关键点点睛：关键是严格按照“t 距离”的定义进行计算，由此即可顺利得解.15．(1)740(2)分布列见解析，数学期望()E X 为6940【分析】（1）用()=1,2,3i M i 表示甲第i 个问题回答正确，()=1,2,3i N i 表示甲第i 个问题回答错误，分析甲同学能进入下一轮包括12123,M M N M M ，分别求概率，再相加；（2）分析出ξ的可能取值：0，1，2，分别求概率，写出分布列，求出数学期望即可.【详解】（1）用()=1,2,3i M i 表示甲第i 个问题回答正确，()=1,2,3i N i 表示甲第i 个问题回答错误，则()()()123431,,542P M P M P M ===;()()()123111,,542P N P N P N ===.记事件Q ：甲同学能进入下一轮的概率，则：()()()1212343131275454240P Q P M M M M P N +==⨯+⨯⨯=.即甲同学能进入下一轮的概率为740.（2）由题意知X 的可能取值：0，1，2，∴;()()1211105420P X P N N ===⨯=,()()()1231234111317154254240P X P M N N P N M N ==+=⨯⨯+⨯⨯=，()()()()12123123431314113125454254240P X P M M P N M M P M N M ==++=⨯+⨯⨯+⨯⨯=，∴X 的分布列为：X012()P X k =1207403140∴()17316901220404040E X =⨯+⨯+⨯=,即数学期望()E X 为6940.16．(1)证明过程见解析【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，证明110C M A N ⋅=即可；（2）当DN 与平面ABC 所成角最大时，求出此时点D 的位置，再求出二面角所对应的两个平面的法向量，结合向量夹角公式即可运算求解.【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，而AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1BB AB ⊥，1BB BC ⊥，因为1C M AB ⊥，11C M BB M ⋂=，1C M ⊂平面11B BCC ，1BB ⊂平面11B BCC ，所以AB ⊥平面11B BCC ，因为BC ⊂平面11B BCC ，所以AB BC ⊥，因为1BB AB ⊥，1BB BC ⊥，所以1,,BC BA BB 两两互相垂直，以点B 为坐标原点，1,,BC BA BB 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为12AB BC BB ===，M ，N 分别为1BB ，AC 中点，所以()()()()10,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,2B C A B ，()()()()110,2,2,0,2,2,0,0,1,1,1,0C A M N ，所以()()112,0,1,1,1,2C M A N =--=--，所以11220C M A N ⋅=-+=，所以11C M A N ⊥，即11C M A N ⊥；（2）由（1）得()()()()10,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,2B C A B ，()()()()110,2,2,0,2,2,0,0,1,1,1,0C A M N ，设()()0,,2,02D d d ≤≤，所以()1,1,2DN d =--，因为1BB ⊥平面ABC ，所以取平面ABC 的一个法向量为()110,0,1BB n BB == ，设DN 与平面ABC 所成角为π,0,2θθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以DN 与平面ABC 所成角的正弦值为sin cos ,n DN n DN n DN θ⋅===若要DN 与平面ABC 所成角最大，则当且仅当sin θ=所以当且仅当1d =时，sin θ=()0,1,2D ，因为1,BC BA BC BB ⊥⊥，1BA BB B ⋂=，BA ⊂平面11BAA B ，1BB ⊂平面11BAA B ，所以BC ⊥平面11BAA B ，因为D ∈平面11BAA B ，M ∈平面11BAA B ，A ∈平面11BAA B ，所以平面DMA 和平面11BAA B 是同一个平面，所以BC ⊥平面DMA ，所以可取平面DMA 的一个法向量为()11,0,0BCn BC==，若D 的坐标为()0,1,2，且注意到()()0,0,1,1,1,0M N ，所以()()0,1,1,1,0,2DM DN =--=-，设平面DMN 的法向量为()2222,,n x y z =，由220DM n DN n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，可得2222020y z x z --=⎧⎨-=⎩，令21z =，解得222,1x y ==-，所以取平面DMN 的一个法向量为()22,1,1n =-，由图可知二面角A DM N --是锐角，所以二面角A DM N --的余弦值为121212cos ,3n n n n n n ⋅==，综上所述，二面角A DM N --的余弦值为3.17．(1)11221n n n a ++=-(2)证明见解析【分析】（1）构造等比数列数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭即可求得通项公式；（2）代入（1）中{}n a 的通项公式可得()121221n n n b ++=-，再根据1n S S ≥，结合1112121n n n b +<---累加求和证明即可.【详解】（1）由112n n n n a a a a ++=+可得0n a ≠，则1111122n n a a +=⨯+，即1111112n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以11141a -=-为首项，12为公比的等比数列.故1111114221n n n a -+-=-⨯=-，则11112n n a +=-，11221n n n a ++=-.（2）()()12212121n n nn n n n b a a a a ++=---==.易得0n b >，故1149n S S b ≥==.又()()()()()112111112221121212122212121n n n n n n n n n n n b +++++++=<==--------，故1122321111111 (212121212121)...n n n n S b b b +=-+-++-=-++-----+111121n +=-<-.综上有419n S <≤，即得证.18．(1)直线AB 过定点()4,0(2)(43-【分析】（1）首先根据已知点求出抛物线方程，设:AB x my n =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立抛物线方程，有12124,4y y m y y n +==-，结合OA OB ⊥，由向量垂直的坐标表示可列出方程，由此解出n ，进一步检验判别式即可得解；（2）由AF BF ⊥得条件等式22614n n m -+=，进一步得出n 的取值范围是3n ≥+或03n <≤-AFB △面积，结合n 的范围即可得解.【详解】（1）已知抛物线C ：22y px =（0p >）过点()1,2，所以2242p ==，所以抛物线C 的方程为224y px x ==，直线AB 斜率不可能为0，否则直线AB 与抛物线没有两个交点，故可设:AB x my n =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立抛物线C 的方程为24y x =，可得2440y my n --=，()2Δ160m n =+>，由韦达定理有12124,4y y m y y n +==-，因为OA OB ⊥，所以()21221212124016y y OA OB x x y y y y n n ⋅=+=+=-= ，因为A ，B 为C 上不同于原点O 的两点，所以0n ≠，所以4n =，经检验符合题意；即:4AB x my =+，所以直线AB 过定点()4,0；（2）显然()1,0F ，由（1）得，12124,4y y m y y n +==-，因为AF BF ⊥，所以()()()()2121212*********y y AF BF x x y y y y my n my n ⋅=--+=++-+++ 2214420n n m n =-+--=，即有条件等式22614n n m -+=成立，而()()()()2222Δ1646116421410m n n n n n n n =+=-++=-+=->，所以首先有1n ≠，其次226140n n m -+=≥，322n ≥+322n ≤-，因为n 为直线:AB x my n =+在x 轴上的截距，且,A B 与O 相异，由图可知0n >，从而n 的取值范围是322n ≥+032n <≤-()222121212114AB m y m y y y y =+-=++-()2222211616141441m m n m n m ++=+-+-()()32461115n n n n +-+---点()1,0F 到直线:AB x my n =+的距离为()()()222121212115161441n n n n d n n m n n m ----====--+-+++所以AFB △的面积可表示为：()()()()()3221111512215AFB n S AB d n n n n n -=--=--- ，因为n 的取值范围是322n ≥+032n <≤-所以1222n -≥+或11222n -<-≤-所以当322n =-1222n -=-()()(2min 32214322AFB S =-=- ，综上所述，AFB △面积的最小值为(432-.【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键是得出n 的取值范围以及AFB △面积的表达式，由此即可顺利得解.19．(1)当0a ≥时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当a<0时，()f x 在()(,ln a ∞⎤---⎦上单调递增，在())ln ,a ∞⎡--+⎣上单调递减.(2)210,9e 3e ⎛⎫ ⎪+⎝⎭【分析】（1）直接使用导数的符号判断单调性；（2）将方程化为()()2e 3e 90x x x m x m --⋅-⋅-=，再讨论方程()g x t =的解的个数，然后得到方程2390t mt m --=的根满足的条件，即可求出实数m 的取值范围.【详解】（1）求导知()1e x f x a ='+.当0a ≥时，由()1e 10xf x a '=+≥>可知，()f x 在(),∞∞-+上单调递增；当a<0时，对()ln x a <--有()()ln 1e 1e0a xf x a a --=+>+⋅='，对()ln x a >--有()()ln 1e 1e 0a x f x a a --=+<+⋅='，所以()f x 在()(,ln a ∞⎤---⎦上单调递增，在())ln ,a ∞⎡--+⎣上单调递减.综上，当0a ≥时，()f x 在(),∞∞-+上单调递增；当a<0时，()f x 在()(,ln a ∞⎤---⎦上单调递增，在())ln ,a ∞⎡--+⎣上单调递减.（2）当3a =时，()3e xf x x =+，故原方程可化为3e 13e 3exx xx m x +=++.而()23e 13e 3e 3e 3e 3e 3e x x x x x x x x x x x x x x +-=-=+++，所以原方程又等价于()23e 3e xx x m x =+.由于2x 和()3e 3e x x x +不能同时为零，故原方程又等价于()23e 3e x x x m x =⋅+.即()()2e 3e 90x x x m x m --⋅-⋅-=.设()e xg x x -=⋅，则()()1e xg x x -=-⋅'，从而对1x <有()0g x '>，对1x >有()0g x '<.故()g x 在(],1-∞上递增，在[)1,+∞上递减，这就得到()()1g x g ≤，且不等号两边相等当且仅当1x =.然后考虑关于x 的方程()g x t =：①若0t ≤，由于当1x >时有()e 0xg x x t -=⋅>≥，而()g x 在(],1-∞上递增，故方程()g x t=至多有一个解；而()110eg t =>≥，()0e e t g t t t t --=⋅≤⋅=，所以方程()g x t =恰有一个解；②若10et <<，由于()g x 在(],1-∞上递增，在[)1,+∞上递减，故方程()g x t =至多有两个解；而由()()122222e2e e 2e 2e 12e 22x x x x xxx x g x x g g -------⎛⎫=⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅≤⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭有1222ln 1ln 222ln 2e 2e t t g t t -⋅-⎛⎫≤⋅<⋅= ⎪⎝⎭，再结合()00g t =<，()11e g t =>，()22ln 2ln 2e ln e 1t>>=，即知方程()g x t =恰有两个解，且这两个解分别属于()0,1和21,2ln t ⎛⎫ ⎪⎝⎭；③若1t e=，则()11e t g ==.由于()()1g x g ≤，且不等号两边相等当且仅当1x =，故方程()g x t =恰有一解1x =.④若1e t >，则()()11eg x g t ≤=<，故方程()g x t =无解.由刚刚讨论的()g x t =的解的数量情况可知，方程()()2e 3e 90x x x m x m --⋅-⋅-=存在三个不同的实根，当且仅当关于t 的二次方程2390t mt m --=有两个不同的根12,t t ，且110,e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，21,e t ∞⎛⎤∈- ⎥⎝⎦.一方面，若关于t 的二次方程2390t mt m --=有两个不同的根12,t t ，且110,e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，21,e t ∞⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，则首先有()20Δ93694m m m m <=+=+，且1212119e em t t t -=≤<.故()(),40,m ∞∞∈--⋃+，219e m >-，所以0m >.而方程2390t mt m --=的解是32m ±，两解符号相反，故只能132m t +=，232m t -=.所以11e t >=，即23e m >这就得到203e m ->≥，所以22243e m m m ⎛⎫->+ ⎪⎝⎭，解得219e 3e m <+.故我们得到2109e 3em <<+；另一方面，当2109e 3e m <<+时，关于t 的二次方程2390t mt m --=有两个不同的根132m t +=，232m t -=.且有1302m t +=>，22116e 13319e 3e 9e 3e 2et +⋅+⋅++===，210et =≤.综上，实数m 的取值范围是210,9e 3e ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.【点睛】关键点点睛：对于取值范围问题，使用分类讨论法是最直接的手段.。
2020届山东省烟台市高考诊断性测试数学(理)模拟试题有答案(已审阅)
山东省烟台市高三下学期高考诊断性测试理科数学试题一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.已知集合{}{}31,0,1,2,3,1log xA B x y=-==-,则集合A∩B=A. {}0,1,2 B. {}1,2 C. {}0,1,2,3 D. {}1,2,32.已知复数543izi=+(i是虚数单位),则z的虚部为A.45i B.45i- C.45D.45-3.某产品广告宣传费与销售额的统计数据如右表，根据数据表可得回归直线方程y b x a∧∧∧=+,其中2b∧=,据此模型预测广告费用为9千元时,销售额为A.17万元B.18万元C.19万元D.20万元4已知等差数数列{}n a的前项和为S n,若a3+a7=6,则S9等于A.15B.18C.27D.395.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当(1,0)x∈-时, ()xf x e-=,则9()2f=e ee e6.已知32()nxx+的展开式的各项系数和为243,则展开式中x2的系数为A. 5B.40C.20D.107.设变量x、y满足约束条件20240x yx yx y--≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩,则12z x y=-的最最大值为A.-6B.32C.73D.38.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,书中有一问题:“今有方物一束,外周一匝有三十二枚,问积几何?“该著作中提出了一种解决此问题的方法:“重置二位,左位减八,余加右位,至尽虚减一,即得.”通过对该题的研究发现,若一束方物外周一匝的枚数n是8的整数倍时,均可采用此方法求解,右图是解决这类问题的程序框图,若输入n=24,则输出的结果为A.23B.47C.24D.48 9.若函数2()4sin sin ()cos 21(0)24x f x x x ωπωωω=⋅++->在2[,]33ππ-上是增函数,则ω的取值范围是A. [0,1)B. 3[,)4+∞ C. [1,)+∞ D. 3(0,]410.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为为F 1、F 2,过F 2作倾斜角为60︒的直线与y 轴和双曲线的左支分别交于点A 、B,若21()2OA OB OF =+u u u r u u u r u u u u r,则该双曲线的离心率为323+511.已知函数y =f(x )对任意的(0,)x π∈满足'()sin ()cos f x x f x x > (其中'()f x 为函 数f (x )的导函数),则下列不等式成立的是 A. ()2()46f ππ<B. ()2()46f ππ>C. ()2()64f ππ>D. ()2()64f ππ<12.已知函数322()()3f x ax bx cx d a b =+++<在R 上是单调递增函数,则23cb a- 的最小值是A.1B.2C.3D.4 二、填空题:本大题共有4个小题,每小题5分,共20分13.若非零向量a r 、b r 满足,(32)0a a a b a =-⋅=r r r r,则a r 与b r 的夹角为_______。
山东省招远一中2020届高三数学上学期10月月考试题 理
山东省招远一中2020届高三数学上学期10月月考试题 理一、选择题 1.已知集合A=，B=，则（ ）A ．A B.A B=R C. A B=D. A=2．若函数的—个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程的一个近似根（精确度为）为（ ） A ．B ．C ．D ．3.已知f （x ）定义在R 上，对任意x 有f （x+4）=f(x)+2,若函数y=f （x-1）的图象关于直线x=1对称，f(-3)=3,则f （2020）=（ ） A.-3+B. 3+C. 3-D.34．已知函数()21cos 2f x x t x =-．若其导函数()'f x 在R 上单调递增，则实数t 的取值范围为（ ）A ． 11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ． 11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ． []1,1- D ． 11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5．函数1lg 1lg xy x-=+（1x ≥）的值域是（ ）A ．[]1,1-B ．[1,1)-C ．(1,1]-D ．()1,1-6．设函数()f x 的导函数为()f x '，若()f x 为偶函数，且在()0,1上存在极大值，则()f x '的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知⎩⎨⎧≥<+-=)1(,log )1(,4)13()(x x x a x a x f a是（－),+∞∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）Ａ.()1,0 Ｂ.⎪⎭⎫⎢⎣⎡31,71 Ｃ.⎪⎭⎫ ⎝⎛31,0 Ｄ.⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,718．若函数f(x)=x 3-3x 在(a,6-a 2)上有最小值,则实数a 的取值范围是( ) A ． (-5,1) B ． [-5,1) C ． [-2,1) D ． (-5,-2] 9．设'()f x 为函数()f x 的导函数，且()sin 2'(),3f x x x f π=+⋅则()12f π与()3f π的大小关系是（ ） A ．123f f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．123f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．123f f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．不能确定 10.已知f （x ）=x 2-ax （）与g （x ）=的图象上存在关于y=x 对称的点，则a 的取值范围是（ ） A. B.C. D.11．定义在上的函数满足，的导函数为，且满足，当时，，则使得不等式的解集为（ ） A ． B ． C ．D ．12．定义在实数集R 上的奇函数()f x 满足()()+2=-f x f x ，且当[]1,1x ∈-时， ()f x x=，则下列四个命题：①()20180f =； ②函数()f x 的最小正周期为2；③当[]2018,2018x ∈-时，方程()12f x =有2020个根；④方程()5log f x x =有5个根.其中真命题的个数为（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 二、填空题 13．函数f （x ）=，若f （f （1）），则a 的取值范围为_________，14．已知函数()3221f x x x ax =+-+在区间()1,1-上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围是15．若函数2)()(c x x x f -=在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________；16．设已知函数2()log f x x =，正实数m ，n 满足m n <，且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则n m += ．三、解答题 17.已知集合A=，B=，（1）当m=时，求A B ；（2）若A B ，求实数m 的取值范围； （3）若A B=，求实数m 的取值范围。
山东省烟台一中2020届高三上学期第一次联考检测数学试题 Word版含答案
数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}23100,A x x x B x x m =--≤=≥，若2m ≤-，则A. A B ⊂≠B. B A ⊂≠C. A B =∅ID. A B R ⋃=2.若复数z 满足()1234i z i +=-，则z 的实部为 A.1B. 1-C.2D. 2-3.命题“20002,x x x π∃≥≥”的否定是 A. 20002,x x x π∃<≥B. 20002,x x x π∃<<C. 22,x x x π∀≥≤D. 22,x x x π∀≥<4.首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为111,,234，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是 A.2324B.524C.1124D.1245.如图，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，点B 在双曲线的右支上，矩形OFBD 与矩形AEGF 相似，且矩形OFBD 与矩形AEGF 的面积之比为2：1，则该双曲线的离心率为 A. 22+B. 2C. 12+D. 22 6.若()421ax x -+的展开式中5x 的系数为56-，则实数a 的值为A. 2-B.2C.3D.47.函数()()sin 0,2h t A t A πωϕωϕ⎛⎫=+><0,<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若把()h t 的图象向右平移2个单位长度后得到函数()f t 和图象，则()2019f =A.3 B.12C. 1D. 38.如图，在平行四边形ABCD 中，M 是BC 的中点，且AD=DM ，N 是线段BD 上的动点，过点N 作AM 的垂线，垂足为H ，当AM MN ⋅u u u u r u u u u r 最小时，HC =u u u rA. 1344AB AD +u u ur u u u rB. 1142AB AD +u u ur u u u rC. 1324AB AD +u u ur u u u rD. 3142AB AD +u u ur u u u r9.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知3sin cos 2b A a B b c A -=-=，则 A.6π B.4π C.3π D.23π 10.已知某几何体的三视图如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为 A.163B.1623C.16D. 16211.已知圆()()221:3221C x y -+-=和焦点为F 的抛物线221:8,C y x N C =是上一点，M是2C 上 ，当点M 在1M MF MN +时，取得最小值，当点M 在2M MF MN -时，取得最大值，则12M M = A. 22B. 32C. 42D. 1712.已知方程()3230x a x x -+=有4个不同的根，则实数a 的取值范围是A. 4,9⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. 2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭C. ()0,+∞D. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()cos 121x x f x a x =+++是奇函数，则实数a 的值为_____________. 14.恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，恩格尔系数越小，消费结构越完善，生活水平越高.某学校社会调查小组得到如下数据：若y x 与之间有线性相关关系，老张年个人消费支出总额为2.8万元，据此估计其恩格尔系数为_____________. 参考数据：5522115 1.1,5 2.5i i i i i x y x y x x ==-⋅=--=∑∑.参考公式：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅，其回归直线$y bx a =+$的斜率和截距的最小二乘估计分别为$1221,ni ii nii x ynx ybay bx xnx==-⋅==--∑∑$$. 15．国家的精准扶贫极大地激发了农村贫困村民的生产积极性．新春伊始，某村计划利用2019年国家专项扶贫款120万元兴建两个扶贫产业：毛驴养殖和蔬菜温室大棚．建一个养殖场的费用是9万元，建一个温室大棚的费用是12万元．根据村民意愿，养殖场至少要建3个，温室大棚至少要建2个，并且由于建设用地的限制，养殖场的数量不能超过温室大棚数量的2倍，则建养殖场和温室大棚个数之和的最大值为__________．16．已知某个机械零件是由两个有公共底面的圆锥组成的，且这两个圆锥有公共点的母线互相垂直，把这个机械零件打磨成球形，该球的半径最大为1，设这两个圆锥的高分别为12,h h ，则12h h +的最小值为__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分． 山东中学联盟17．(12分)已知数列{}n a 满足0n a ≠，且1133n n n n a a a a ++-=，等比数列{}n b 中，2146,3,9b a b b ===．(1)证明：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式 (2)求数列{}1n n a a +的前n 项和n S ．18．(12分)如图所示的几何体中，,,2,22,BE BC EA AC BC AC ⊥⊥==45,//,2ACB AD BC BC AD ∠==o ．(1)求证：AE ⊥平面ABCD ；(2)若60ABE ∠=o，点F 在EC 上，且满足EF=2FC ，求二面角F —AD —C 的余弦值．19．(12分)某科技公司新研制生产一种特殊疫苗，为确保疫苗质量，定期进行质量检验．某次检验中，从产品中随机抽取100件作为样本，测量产品质量体系中某项指标值，根据测量结果得到如下频率分布直方图：(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)技术分析人员认为，本次测量的该产品的质量指标值X 服从正态分布()2,12.2Nμ，若同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，计算μ，并计算测量数据落在(187.8，212.2)内的概率；(3)设生产成本为y 元，质量指标值为x ，生产成本与质量指标值之间满足函数关系0.4,205,0.8100,205.x x y x x ≤⎧=⎨->⎩假设同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，试计算生产该疫苗的平均成本． 山东中学联盟 参考数据：()()2~,0.6827X NP X μσμσμσ-<<+≈，则,(2P X μσ-<<)2μσ+≈0.9545．20．(12分)已知椭圆()222210x y C a b a b+=>>：的左、右焦点分别为12,F F 直线12y =与椭圆C 交于A ，B 两点，且11AF BF ⊥． (1)求椭圆C 的方程．(2)不经过点12F F 和的直线():0,0l y kx m k m =+<>被圆224x y +=截得的弦长与椭圆C的长轴长相等，且直线l 与椭圆C 交于D ，E 两点，试判断2F DE ∆的周长是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由．21．(12分)已知函数()2,xf x e ax a R =-∈．(I)当1a =时，求过点(0，1)且和曲线()y f x =相切的直线方程；(2)若函数()f x 在()0,+∞上有两个不同的零点，求实致a 的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程](10分) 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，曲线2C 的参数方程为23,12x t y t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)．(1)求曲线1C 的极坐标方程；(2)若曲线1C 与曲线2C 交于P ，Q 两点，且()2,1A -，求11AP AQ+的值23．[选修4—5：不等式选讲](10分) 设函数()2.f x x x a =--+ (1)若不等式()2f x <-的解集为32x x >，求实数a 的值； (2)若[]3,1a ∈--，求证：对任意的实数()()(),,22x y f y f x f y -+≤≤+．数学试题答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A2.B3.D4.C5.A6.B7.D8.C9.C 10.A 11.D 12.A 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 12-14. 0.148 15.12 16. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分．17.（1）0n a ≠，且1331n n n n a a a a +-=+，等号两边同时除以13,n n a a +得11113n n a a +-=，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列.（2分） 因为{}n b 是等比数列，所以2264,b b b =又463,9b b ==，所以299b =，所以21b =，（4分） 所以()()121111121111,333n n a b n n a a +===+-=+-=，故32n a n =+.（6分） （2）由（1）知()()191192323n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，（8分） 所以11111111399.344523333n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=-++-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭（12分） 18.解：（1）在ABC ∆中，2,45,BC AC ACB ==∠=o由余弦定理可得2222cos 454AB BC AC BC AC =+-⨯⨯⨯=o， 所以2AB =，所以222,AC AB BC =+所以ABC ∆是直角三角形，AB BC ⊥. （2分） 又,BE BC AB BE B ⊥⋂=，所以BC ⊥平面ABE.（4分）因为AE ⊂平面ABE ，所以BC AE ⊥，因为,EA AC AC BC C ⊥⋂=,所以AE ⊥平面ABCD.（6分） （2）由（1）知，BC ⊥平面ABE ，所以平面BEC ⊥平面AEB ，在平面ABE 中，过点B 作Bz BE ⊥，则Bz ⊥平面BEC ，如图，以B 为原点，BE,BC 所在直线分别为,x y 轴建立空间直角坐标系B xyz -，则()()()()0,0,0,0,2,0,4,0,0,1,0,3,B C E A ()1,1,3D ,因为2EF FC =，所以44,,033F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，易知()140,1,0,,,333AD AF ⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ,(7分)设平面ADF 的法向量为(),,m x y z =，则0,0,AD n AF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r 即0,1430,3,0,933y x y z z y x =⎧⎪⎨+-====⎪⎩令则， 所以()9,0,3n =为平面ADF 的一个法向量，(9分)由（1）知EA ⊥平面ABCD ，所以()3,0,3EA =-u u u r为平面ABCD 的一个法向量. （10分）设二面角F AD C --的平面角为α，由图易知α为锐角，则27cos 23221EA n EA n α⋅===⨯⋅u u u r u u u r， 所以二面角F AD C --的余弦值为27.（12分） 19.（1）由()100.0090.0220.0330.0240.0081a a ⨯++++++=， 解得0.002a =.(4分)（2）依题意，1700.021800.091900.222000.332100.24μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+2200.082300.02200⨯+⨯=，故()2~200,12.2X N ，所以()()187.8212.220012.220012.20.6827.P X P X <<=-<<+≈故测量数据落在()187.8212.2，内的概率约为0.6827.（8分） （3）根据题意得0.41700.020.41800.090.41900.220.4200y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()()()0.330.82101000.240.82201000.080.82301000.0275.04+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯=故生产该疫苗的平均成本为75.04. （12分）20.（1）因为6e =，所以2222213c b a a =-=，则2222133b a b a==，即，所以椭圆C 的方程可化为22233x y b +=，由22233,1,2x y b y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得x =不妨令11,,22A B ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭（2分） 易知()()121111,0,,0,,,,22F c F c F A c F B c ⎫⎛⎫-==⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭u u u ru u u r ，则 因为11AF BF ⊥，所以110F A F B ⋅=u u u r u u u r ,即22313044c b -++=， 又22222,3a c b a b =+=，所以2213b a ==，，所以椭圆C 的方程为22 1.3x y +=（5分）（2）由（1）知椭圆C的长轴长为因为直线():0,0l y kx m k m =+<>被圆224x y +=截得的弦长为椭圆C 的长轴相等，所以圆224x y +=的圆心O （O 为坐标原点）到直线l 的距离1d ==1=，即221.m k =+（7分）设()()1122,,,D x y E x y ，联立方程，得221,3,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得()()222316310,k x kmx m +++-= ()()()222222236123111231240,k m k m k m k ∆=-+-=-+=>()2121222316,,3131m kmx x x x k k -=+=-++所以12DE x =-=221m k =+，所以2,31DE k =-+易知2DF ===11.x x -=(9分)同理223EF x =-，（10分）所以()22122331DF EF x xk+=+=+，所以2F DE∆的周长是223131k k+-=++.所以2F DE∆的周长为定值，为（12分）21.（1）当()()21,2x xa f x e x f x e x'==-=-时，，当点()0,1为切点时，所求直线的斜率为()01f'=，则过点()0,1且和曲线()y f x=相切的直线方程为10x y-+=（2分）当点()0,1不是切点时，设切点坐标为()000,,0x y x≠，则所求直线的斜率为()0002xf x e x'=-，所以0012xye xx--=，①易知0200,xy e x=-②由①②可得020012xxe xe xx---=即()()020200000021,110,x x xx e x e x x e x-=-----=设()()11x xg x e x g x e'=--=-，则，所以当0x>时，()()000g x x g x''><<，当时，，所以()()10xg x e x=--+∞在，上单调递增，在()0-∞，上单调递减，又()00010,g e=--=所以()1xg x e x=--有唯一的零点0x=，因为x≠，所以方程()()00110xx e x---=的根为1x=，即切点坐标为()1,1e-，故所求切线的斜率为()12f e'=-，则过点()0,1且和曲线()y f x=相切的直线方程为()210e x y--+=.（4分）综上，所求直线的方程为10x y-+=或()210e x y--+=.（5分）（2）解法一()()22211x xx xax axf x e ax e h xe e⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭，令，因为0xe >，所以函数()f x 的零点就是函数()h x 的零点，当()()00,a h x h x ≤>时，没有零点，所以()f x 没有零点. 当0a >时，()()2xax x h x e-'=，当()0,2x ∈时，()()02,h x x '<∈+∞，当时，()0h x '>，所以()()02h x 在，上单调递减，在()2+∞，上单调递增， 故()2421ah e=-是函数()()0h x +∞在，上的最小值.（7分） 当()()()22004e h a h x ><+∞，即，在，上没有零点，即()()0f x +∞在，上没有零点；当()()()22004e h a h x ==+∞，即，在，上只有一个零点，即()()0f x +∞在，上只有一个零点；易知对任意的x R ∈，都有xe x >，即33x x e >，所以327xx e >，即3127xx e<，令27x a =，则()32327272727127aa a a e e=<，所以()2327272710,a a h a e =->故()()227h x a 在，上有一个零点，因此()()0h x +∞在，上有两个不同的零点，即()()0f x +∞在，上有两个不同的零点.（11分）综上，若函数()()0f x +∞在，上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（12分）解法二 由()210x x f x a e ==可得，令()()()20,x x k x x e=∈+∞，则函数()f x 在()0,+∞上有两个不同的零点，即直线1y a=与函数()k x 的图象在()0,+∞上有两个不同的交点，（7分）()()()22202,x xx x x x k x k x x e e --''====，令得当()0,2x ∈时，()()02,k x x '>∈+∞，当时，()0k x '<，所以()k x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减，所以()()0k x +∞在，上的最大值为()242,k e=因为()00k =，并且当2x >时，20,x x e>所以当2140a e <<时，()()0k x +∞在，上的图象与直线1y a=有两个不同的交点，（10分） 即当24e a >时，函数()()0f x +∞在，上有两个不同的零点.所以，若函数()()0f x +∞在，上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（12分）22.（1）因为曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），所以其普通方程为()22222440x y x y x -+=+-=，即，又cos ,sin x y ρθρθ==，所以其极坐标方程为24cos 0=4cos ρρθρθ-=，即.（4分）（2）设P,Q 两点对应的参数分别为12t t ，，曲线2C 的参数方程23,12x t y t =+⎧⎨=-+⎩（t为参数）可化为2,1x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入曲线1C 的普通方程2240x y x +-=，可得230,t -=所以12123,t t t t =-+=则12121212121111t t t t AP AQ t t t t t t +-+=+===.（10分） 23.（1）因为不等式()2f x <-的解集为32x x >，所以32x =是方程()2f x =-的根，所以33322222f a ⎛⎫=--+=-⎪⎝⎭，解得14a a ==-或， 当()42a f x =-<-时，的解集为∅，不合题意，舍去. 经验证，当1a =时不等式()2f x <-的解集为32x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭，符合题意，所以1a =. （5分）（2）因为()()222x x a x x a a --+≤--+=+， 即()2f x a ≤+，所以对任意的实数(),,22,x y a f x a -+≤≤+①()()2222,a f y a a f y a -+≤≤+-+≤-≤+，即②①+②得()()2222a f x f y a -+≤-≤+， 因为[]3,1a ∈--，所以21,21a a +≤-+≥-，所以()()()()()2222f x f y f y f x f y -≤-≤-+≤≤+，则.（10分）。
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因为
当且仅当 ,即 时,取等号.
所以 的取值范围为 .……………………………………7分
（ ）存在.定圆的方程为 .
假设存在满足题意的定圆,则点 到直线 的距离为定值.
因为 ,所以直线 方程为
,
整理可得 ,…………………8分
所以 到直线 的距离 ,…………………9分
由（ ）知, ,得 , ,
所以,当 时,方程 有一个实数解；当 时,方程 有两个不同的实数解；当 时,方程 没有实数解. ………………12分
22.解：（1）将点的坐标代入椭圆 的方程得
,解得 ,所以椭圆 的方程为 ．……3分
（2）设 .因为以 为直径的圆恒过点 ,
所以 ,即 .………4分
因为 点在椭圆上,所以 .
（ ）将 代入椭圆,得 , ,
又 , ,
所以平面 ,………………4分
因为 ,所以 .………5分
（2）连接 ,因为 , 是 的中点,所以 ,
又平面 平面 ,平面 平面 , 平面 ,
所以 平面 .
以 为坐标原点,以向量 所在的方向分别作为 轴、 轴的正方向,以与向量 垂直的方向为 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 .………6分
20.解：（1）由调查数据,问卷得分不低于 分的比率为
,
故从该社区随机抽取一名居民其得分不低于 分的概率为 .……………………2分
不太了解
比较了解
男性
250
330
女性
150
270
（2）由题意得列联表如下：
……………3分
的观测值 ………5分
因为5.542
所以有 的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关.………………6分
要使 ,只需 ,
故 的取值范围为 ,………………4分
显然,当 时,有 ,即不等式 在 上成立,
令 ,则有 ,
所以 ,
即： ； ………………6分
（2）由 可得,Байду номын сангаас,即 ,
令 ,则 ,………………8分
当 时, , 单调递增,当 时, , 单调递减,
故 在 处取得最大值 ,………………10分
又当 时, ,当 时, ,………………11分
设 ,则 , , , ,
, , .………7分
设平面 的一个法向量为 ,
则 ,即 ,
令 ,得 , ,于是取 ………9分
又平面 的一个法向量为 ,
则 ,即 ,
令 ,得 , ,
于是取 ………11分
设平面 与平面 的所成的角二面角的大小为 ,
则 .
所以平面 与平面 的所成的锐二面角的余弦值为 . ………12分
于是 ,………………8分
,………………9分
于是
,………………10分
令 ,得 ,
注意到 为正整数,解得 ,所以 的最小值为 .………………12分
19.解：（1）证明：延长 交 于点 ,点 为 的中点,
因为 分别是棱 的中点,
所以 是 的中位线,所以 ,………………2分
又 , ,
所以 .
同理可证 . ………………3分
2020届山东省烟台市招远一中高三高考诊断性考试
数学参考答案
一、单项选择题
1.C2.B3.A4.B 5.B 6. D 7.A 8.C
二、多项选择题
9.BC 10.AC 11.BC 12. ABD
三、填空题
13. 14. 15. 16. ,
四、解答题
17.解：（1）因为 ,由正弦定理得
所以 , …………………………1分
,注意到 ,知 .
所以 ,…………………10分
又
,………………………11分
所以 ,
因此,直线 与圆 恒相切.………………………………12分
2020届山东省烟台市招远一中高三高考诊断性考试数学试卷
于是 ,………………………2分
即 ,解得 , （舍去）. ……………4分
若选 ：则 , ,
解得 ,…………6分
所以 ,…………………8分
,…………………………9分
于是 ……10分
令 ,解得 ,因为 为正整数,所以 的最小值为 .……12分
若选 ：则 , ,解得 .
下同 .
若选 ：则 , ,解得 .………………6分
即 ,…………………………2分
又 ,所以
所以 ,…………………………3分
而 ,
所以 ,
所以 . …………………………4分
（2）因为 …………………………5分
将 , , 代入,得 .…………………………6分
由余弦定理得 ,
于是 ,…………………………8分
即 ,解得 或 .…………………………10分
18.解：设等比数列 的公比为 （ ）,则 , ,
（3）由题意知,分层抽样抽取的10人中,男性 人,女性 人.………………7分
随机变量 的所有可能取值为 ,
其中 , , , ,………………9分
所以随机变量 的分布列为
0
1
2
3
………………10分 ,
可得, ,
,
,
解得 . ………………12分
21解：（1）
由 可得, ,
令 ,则 ,…………1分
当 时, , 单调递增,当 时, , 单调递减,故 在 处取得最大值,……………3分