高考数学--第40讲 椭圆
高考数学椭圆知识点汇总
高考数学椭圆知识点汇总椭圆，作为高考数学中的一个重要知识点，经常出现在考试中。
对于很多学生来说，椭圆可能会让人感到有些困惑和难以掌握。
因此，本文将对高考数学中的椭圆知识点进行汇总，以帮助大家更好地理解和应对考试。
一、基本概念椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a，且以两点连线的中点为中心的闭合曲线。
F1和F2称为椭圆的焦点，连线F1F2的长度称为椭圆的焦距，直线段连接两个焦点的中点和椭圆上一点的长度称为椭圆的半径。
二、标准方程椭圆的标准方程为：(x-x0)²/a² + (y-y0)²/b² = 1 或 (y-y0)²/a² + (x-x0)²/b² = 1，其中(x0, y0)为椭圆的中心坐标，a为长轴长度，b为短轴长度。
三、图形性质1. 在横轴上，椭圆的离心率为e=√(a²-b²)/a，范围为0<e<1。
当e→0时，椭圆变成一个圆。
2. 椭圆关于x、y轴对称，即对于任意(x, y)在椭圆上，则(-x, y)、(x, -y)、(-x, -y)也在椭圆上。
3. 椭圆的离心率小于1，因此离心率为1的图形为双曲线，离心率大于1的图形为抛物线。
四、焦点与半径1. 焦距等于2ae，其中e为焦距与长轴的比值。
2. 椭圆离焦点的距离之和等于椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和。
3. 椭圆的半径r和焦距f的关系为r² = a² - b² = a²(1 - e²) = f² + b²。
五、直线与椭圆的关系1. 直线与椭圆相交于两个点，则这两个点关于椭圆的中心对称。
2. 直线与椭圆相切于一点，则这个点恰好位于椭圆的一个焦点上。
3. 直线既不与椭圆相交也不相切，则直线与椭圆没有交点。
六、椭圆的参数方程椭圆的参数方程为：x = x0 + a*cosθ，y = y0 + b*sinθ，其中θ为参数，0 ≤ θ ≤ 2π。
高考椭圆专题知识点
高考椭圆专题知识点椭圆是高中数学中的一个重要几何形状，也是高考数学中的热点考点之一。
掌握椭圆的基本概念和相关知识点对于解题至关重要。
本文将详细介绍高考椭圆专题的知识点，帮助同学们更好地理解和应用。
一、椭圆的定义和特点椭圆是平面上到两个不重合点的距离之和等于常数的动点构成的轨迹。
其中，这两个点被称为焦点，记作F1和F2，二者之间的距离为2a。
椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c。
椭圆的离心率定义为e=c/a，表示椭圆的瘦胖程度。
椭圆的主要特点包括：1. 对称性：椭圆关于长轴、短轴及原点均具有对称性。
2. 焦点：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为常数。
3. 直径：椭圆上的直径包括长轴和短轴，长轴和短轴的中点都在椭圆上。
4. 首尾距离：椭圆上首尾相接的两个点到两个焦点的距离之和也等于常数。
5. 扇形面积：以焦点和首尾相接的两个焦点连线为半径的扇形面积与椭圆扇形面积的和为常数。
6. 弧长性质：椭圆上的弧长与弦长的关系满足等角弧弦定理。
7. 方程表达：椭圆可以用方程的形式表达，常见的标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1。
二、椭圆的性质与方程推导1. 椭圆的离心率性质：椭圆的离心率e满足0<e<1，当e=0时，为圆。
2. 椭圆的焦点距离性质：椭圆的焦点距离满足2a=c^2=a^2-b^2。
3. 椭圆的焦半径平方和：椭圆上任意一点到两个焦点距离平方之和等于两个焦点距离平方之和。
4. 椭圆的参数方程：椭圆的参数方程为x=a·cosθ，y=b·sinθ。
5. 椭圆的斜轴方程：斜轴方程为(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1，其中(h, k)为椭圆中心坐标。
6. 椭圆的标准方程：标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1。
三、椭圆的相关定理和性质1. 弦长定理：椭圆上两个不相交的弦的长度之积与它们两个弦所夹的角的余弦值成正比。
2. 切线定理：过椭圆上一点的切线与椭圆两焦连线的夹角等于该点切线与椭圆中心连线的夹角。
椭圆高考必会知识点
椭圆高考必会知识点在高考的数学考试中，椭圆是一个重要的考点，学生需要熟悉和掌握相关的知识。
本文将介绍椭圆的定义、性质及其在解决数学问题中的应用。
一、椭圆的定义和性质椭圆是平面上一点到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的轨迹。
其中，两个固定点之间的距离被定义为焦距，焦距的一半被表示为c。
另外，连接两个焦点的长度的一半被定义为半焦距，半焦距的表示为ae。
椭圆的定义可以用数学方程表示为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a 和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
椭圆的中心为原点O(0,0)，半长轴和半短轴分别与x轴和y轴平行。
椭圆具有以下性质：1. 两焦点关于x轴和y轴对称；2. 长轴与x轴夹角为α，有tanα = b/a；3. 短轴与x轴夹角为β，有tanβ = a/b；4. 长轴和短轴的长度满足a>b。
二、椭圆的方程及常见图形1. 标准方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
通过标准方程，我们可以确定椭圆的形状和大小。
2. 常见图形：根据椭圆的标准方程，我们可以得到不同形状的椭圆。
当a=b时，椭圆变为圆；当a>b时，椭圆在x轴上展开，较短的轴在y轴上；当b>a时，椭圆在y轴上展开，较短的轴在x轴上。
三、椭圆的焦点和准线1. 焦点：椭圆的焦点是椭圆定义中的两个固定点，记为F1和F2。
根据椭圆的定义，任意一点P到焦点F1和F2的距离之和等于常数，即PF1 + PF2 = 2a。
焦点在椭圆的长轴上，且与短轴的中点连线垂直。
2. 准线：椭圆的准线是椭圆上所有与焦点和直径平行的直线。
准线与椭圆的性质密切相关，在解决数学问题中常常需要利用准线的性质进行推导和计算。
四、椭圆的参数方程除了标准方程外，我们还可以通过参数方程来表示椭圆。
椭圆的参数方程为：x = a*cosθy = b*sinθ其中θ为参数，取值范围为0°≤θ≤360°或0≤θ≤2π。
高考数学专题讲解：椭圆
高考数学专题讲解：椭圆定义与基本性质第一部分：椭圆的定义与性质第一部分：椭圆的定义与方程推理【椭圆的定义】：到两个定点的距离之和等于定长的动点轨迹。
规定：定点为椭圆的交点。
【焦点在x 轴】：如下图所示：规定：①以两个焦点的连线为x 轴；②以两个焦点的连线的中垂线为y 轴。
假设：椭圆上任意一点P 的坐标为),(y x ；两个焦点之间的距离（焦距）为c 2。
如下图所示：左焦点1F 的坐标为)0,(c ，右焦点2F 的坐标为)0,(c 假设：定长为a 2。
椭圆的定义式：a PF PF 221=+。
P 点的坐标),(y x ，1F 点的坐标为22221)()0()]([)0,(y c x y c x PF c ++=-+--=⇒-；P 点的坐标),(y x ，2F 点的坐标为221)()0,(y c x PF c +-=⇒；a y c x y c x a PF PF 2)()(2222221=+-+++⇒=+。
化简：22222222)(2)(2)()(y c x a y c x a y c x y c x +--=++⇒=+-+++2222222222222)()(44)())(2())((y c x y c x a a y c x y c x a y c x +-++--=++⇒+--=++⇒cx y c x a a cx y c cx x y c x a a y c cx x 2)(4422)(442222222222222-+--=⇒++-++--=+++⇒22222222222)(])([)(44)(4cx a y c x a cx a y c x a cx a y c x a -=+-⇒-=+-⇒-=+-⇒2224222222242222)2(2])[(x c cx a a y c cx x a x c cx a a y c x a +-=++-⇒+-=+-⇒2242222222224222222222x c a y a c a x a x c cx a a y a c a cx a x a +=++⇒+-=++-⇒)()(22222222224222222c a a y a x c a c a a x c y a x a -=+-⇒-=-+⇒1)()()()()(2222222222222222222222=-+⇒--=-+--⇒ca y a x c a a c a a c a a y a c a a x c a 。
高考数学椭圆的知识点
高考数学椭圆的知识点高考数学中，椭圆是一个重要的几何形状，涉及到的知识点相对较多。
在这篇文章中，我们将探讨椭圆的性质、方程、焦点等相关概念，并且通过一些实例帮助读者更好地理解椭圆的应用。
一、椭圆的性质椭圆是一个闭合的曲线，可以通过一个固定点（称为焦点）和离焦点的距离之和的大小来定义。
具体来说，对于一个给定的椭圆，离焦点的距离之和等于定值2a，其中a是椭圆的半长轴（长轴长度的一半）。
除了焦点和半长轴，椭圆还有一些其他重要的性质。
例如，椭圆的中点称为中心，位于中心的直线称为主轴。
椭圆的半短轴（短轴长度的一半）用b表示，它与椭圆的半长轴有一定的关系，即b^2 = a^2 -c^2，其中c是焦点到中心的距离。
二、椭圆的方程椭圆的方程可以通过两种形式来表示，一种是标准方程，另一种是一般方程。
标准方程是这样的：(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h, k)是椭圆的中心坐标。
一般方程则可以表达为Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0，其中A、B、C、D、E是常数。
根据椭圆的方程，我们可以了解到椭圆的形状、大小以及位置等信息。
三、焦点与直角关系除了上述基本概念和性质，椭圆还与焦点和直角有一定的关系。
我们知道，对于一个椭圆来说，焦点和圆心确定的直角称为椭圆的焦点直角。
椭圆上的任意一点与焦点和圆心连成的三条线段构成一个直角。
这个直角关系在解决一些几何问题时非常有用，可以帮助我们确定和利用椭圆的性质，从而解决一些复杂的数学题目。
四、椭圆的应用举例椭圆的应用在生活和科学中是广泛存在的。
下面，我们通过一些例子来说明椭圆的实际应用。
1.卫星轨道：卫星绕地球运行的轨道往往是一个椭圆。
利用椭圆的性质，科学家可以计算出卫星的运行速度和轨道大小，从而更好地控制和管理卫星。
2.天体运动：行星、彗星等天体的运动轨迹也是椭圆。
通过研究椭圆轨道，天文学家可以了解天体的运动规律，从而预测天体的位置和行为。
高三复习椭圆知识点讲解
高三复习椭圆知识点讲解椭圆，作为平面解析几何的一部分，是高三数学的重要知识点之一。
在高三学习阶段，对于椭圆的理解和熟练运用显得尤为重要。
本文将对高三复习椭圆的知识点进行讲解，帮助同学们加深对椭圆的理解，提升解题的能力。
一、椭圆的定义及性质椭圆是平面上到两个定点F1，F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
在椭圆中，常数2a称为长轴，定点F1和F2称为焦点，连结两个焦点的线段称为主轴，主轴的中点称为椭圆的中心。
椭圆还有一些重要的性质，如：离心率、焦距、短半轴等。
二、椭圆的方程在平面直角坐标系中，椭圆的方程有两种形式：标准方程和一般方程。
1. 标准方程：椭圆的标准方程为：$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$和$b$分别是椭圆的长半轴和短半轴。
2. 一般方程：椭圆的一般方程为：$Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0$，其中$A,B,C,D,E$为常数。
三、椭圆的基本性质1. 离心率：椭圆的离心率定义为$\varepsilon = \dfrac{c}{a}$，其中$c$为焦点到中心的距离，$a$为长半轴长。
离心率用来衡量椭圆的扁平程度，范围在0到1之间。
2. 焦距：椭圆的焦距定义为$2ae$，其中$a$为长半轴长，$e$为离心率。
3. 短半轴：椭圆的短半轴$b$满足$b = a\sqrt{1 - \varepsilon^2}$，其中$a$为长半轴长，$\varepsilon$为离心率。
四、椭圆的图像特点1. 椭圆的图像是一个闭合曲线，对称于$x$轴和$y$轴，且关于原点对称。
2. 当$a > b$时，椭圆的图像在$x$轴上开口，称为纵椭圆；当$a < b$时，椭圆的图像在$y$轴上开口，称为横椭圆。
3. 当离心率$\varepsilon = 0$时，椭圆退化为一个圆。
五、常用公式及运用1. 椭圆上一点P的坐标$(x, y)$，可由参数方程表示为：$x =a\cos\theta, y = b\sin\theta$。
高三数学椭圆讲解
高三数学椭圆讲解一、教学任务及对象1、教学任务本节课的教学任务是针对高三学生进行椭圆部分的数学知识讲解。
椭圆作为解析几何中的重要内容，不仅在数学领域有着广泛的应用，同时也与现实生活紧密相连。
通过本节课的学习，使学生能够掌握椭圆的定义、标准方程及其性质，并能运用相关知识解决实际问题。
2、教学对象本节课的教学对象为高三学生，他们在经过前两年的数学学习后，已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力。
此外，学生在学习椭圆之前，已经接触过圆、直线等基本几何图形，对于几何图形的解析方法有一定的了解，这为椭圆的学习奠定了基础。
然而，椭圆相较于其他几何图形具有一定的复杂性和抽象性，因此，在教学过程中，需要关注学生的接受程度，采用适当的教学策略，引导他们逐步理解和掌握椭圆的相关知识。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导过程；（2）掌握椭圆的几何性质，如顶点、焦点、离心率等，并能运用性质解决相关问题；（3）能够运用椭圆知识解决实际应用问题，如椭圆轨道、椭圆截面等；（4）提高学生的逻辑思维能力和空间想象能力，培养他们将实际问题转化为数学问题的能力。
2、过程与方法（1）通过引导学生自主探究椭圆的定义，培养他们主动发现问题的能力；（2）采用问题驱动的教学方法，引导学生从特殊到一般、从具体到抽象的思考过程，培养他们的逻辑思维能力；（3）通过小组合作、讨论交流，培养学生合作解决问题的能力，激发他们的学习兴趣；（4）运用数形结合的方法，将椭圆的几何性质与代数表达式相结合，提高学生的空间想象能力；（5）设计丰富的例题和练习，使学生在实践中掌握椭圆知识，提高解题技巧。
3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学学科的兴趣和热情，激发他们主动学习的积极性；（2）通过椭圆的学习，让学生体会数学的优美和严谨，培养他们追求真理的精神；（3）引导学生认识到数学知识在实际生活中的广泛应用，增强他们的应用意识；（4）培养学生面对困难时勇于挑战、坚持不懈的精神，使他们具备克服挫折的能力；（5）通过小组合作学习，培养学生团结协作、互帮互助的品质，提高他们的人际沟通能力。
高考文科椭圆知识点
高考文科椭圆知识点椭圆是高考文科数学中的一个重要知识点，其在平面几何和解析几何中都有广泛的应用。
椭圆的性质和公式是考试中常见的考点，下面我们将详细讲解椭圆的相关知识。
一、基本定义椭圆是指平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
定义中，F1和F2称为焦点，线段F1F2的长度为2c，2a为焦点到椭圆的任意点P的距离之和，a为椭圆的半长轴，c为椭圆的焦距。
二、标准方程椭圆的标准方程可以表示为(x-x0)²/a² + (y-y0)²/b² = 1，其中(x0,y0)为椭圆的中心坐标，a为椭圆的半长轴长度，b为椭圆的半短轴长度。
三、焦点及焦距的计算对于椭圆，焦点到椭圆上任意点P的距离之和等于2a。
根据焦点定义和距离公式，可以得到焦点F1的坐标为(x0-c,y0)，焦点F2的坐标为(x0+c,y0)，焦距等于2c。
四、离心率的计算离心率是一个衡量椭圆形状的参数，可以通过离心率e的计算公式e=c/a来求得。
离心率的范围是0到1，当e=0时，表示椭圆退化成一条线段；当e=1时，表示椭圆退化成一个抛物线。
五、常见性质1. 长轴和短轴：椭圆的长轴是通过焦点并且垂直于长轴的直线段，短轴是通过焦点并且垂直于短轴的直线段。
2. 对称性：椭圆具有两个重要的对称轴，分别是长轴和短轴，对称轴相交于椭圆的中心。
3. 离心率与形状：离心率越接近于0，椭圆的形状越扁平；离心率越接近于1，椭圆的形状越接近于圆形。
4. 弦长定理：椭圆上两点A、B之间的弦长等于焦半径之和。
5. 切线方程：椭圆上的切线方程可以通过代入标准方程和求导得到。
六、解析几何中的应用1. 椭圆的直径：椭圆上任意两点之间的线段称为椭圆的直径，直径的长度等于长轴的长度。
2. 焦点和直角：椭圆的焦点和椭圆上任意一点及其到直径的垂足构成的三角形是一个直角三角形。
3. 椭圆与直线的交点：椭圆与直线的交点可以通过将直线方程代入椭圆的方程组来求解。
高三数学关于椭圆的知识点
高三数学关于椭圆的知识点椭圆是解析几何中的一个重要概念，它在数学和物理等领域都有广泛的应用。
本文将介绍高三数学中关于椭圆的知识点，包括定义、性质和相关公式。
一、椭圆的定义椭圆是一个平面上的几何图形，其定义为到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a的点的集合。
这两个定点称为椭圆的焦点，常数2a称为长轴的长度。
二、椭圆的性质1. 焦点与顶点的关系：椭圆的焦点在其长轴上，且离顶点的距离等于椭圆的离心率e乘以长轴的长度。
2. 弦的性质：对于一个椭圆，通过焦点F1、F2的弦恰好与椭圆的法线相互垂直。
3. 离心率的性质：椭圆的离心率e是一个介于0和1之间的实数，用来描述椭圆的独特程度。
当e=0时，椭圆退化为一个圆；当e=1时，椭圆退化为一个抛物线。
4. 外接矩形的性质：椭圆的外接矩形的面积等于长轴长度a乘以短轴长度b。
三、椭圆的相关公式1. 椭圆的标准方程：对于一个以原点为中心的椭圆，其标准方程可以表示为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a为长轴的一半，b为短轴的一半。
2. 椭圆的焦点坐标：以原点为中心的椭圆的焦点坐标可以表示为(-c, 0)和(c, 0)，其中c^2 = a^2 - b^2。
3. 椭圆的离心率公式：椭圆的离心率e可以表示为e = c/a。
4. 椭圆的焦距公式：椭圆的焦距f可以表示为f = 2a。
四、椭圆的应用椭圆在数学和物理中有广泛的应用。
在数学领域，椭圆用于描述曲线的形状和方程的解。
在物理领域，椭圆用于描述行星的轨道、卫星的轨道和拱桥的形状等。
例如，开普勒定律描述了行星运动的规律，其中行星绕太阳的轨道是一个椭圆。
根据椭圆的性质和公式，可以推导出行星的速度和轨道半径之间的关系。
在构造和设计领域，椭圆也被广泛使用。
例如，建筑师使用椭圆曲线来设计拱形建筑物，这样可以增加结构的稳定性和美观性。
总结：椭圆是解析几何中的重要概念，具有许多特殊性质和应用。
掌握椭圆的定义、性质和相关公式，对于解决数学和物理中的问题具有重要的意义。
高考数学总复习40椭圆
0
,
9 b2
1,b
3.
又2a 3 2b,a 9.
所以此时椭圆的方程为 y2 x2 1. 81 9
综上所述, 所求椭圆的方程为
x2 y2 1或 y2 x2 1.
9
81 9
2设椭圆的标准方程为mx2 ny2 1m 0, n 0,因为椭
圆经过点P 2 3,1 ,Q
3, 2
b a
, b
c, 故e
2. 2
2设 F1Q r1, F2Q r2, F1QF2 ,
r1 r2 2a,| F1F2 | 2c,
cos r12 r22 4c2 (r1 r2 )2 2r1r2 4c2
2r1r2
2r1r2
a2 r1r2
1≥
r1
a2
r2 2
2
1
0,
当且仅当r1 r2时, cos 0,
第四十讲 椭圆
回归课本
1.椭圆的定义
(1)定义:平面内两定点为F1､F2,当动点P满足条件点P到点F1､ F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)时,P点的轨迹为椭圆 ;F1､F2是椭圆的两个焦点.
(2)定义的数学表达式为:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|). (3)注意:定义中,“定值大于|F1F2|”(即2a>2c)是必要条件.
86
25 25
[反思感悟]在求椭圆的标准方程时, 会遇到焦点位置不确 定而有两种结果的情况, 这时应注意分类讨论.由于分类讨 论较复杂,因此在处理椭圆焦点位置不确定的情况时, 有
时可直接设椭圆方程为Ax2 By2 1A 0, B 0,或由已
知条件设椭圆系
如
x2 a2
y2 b2
高考椭圆专题知识点总结
高考椭圆专题知识点总结椭圆作为数学中的一个重要概念，是高考数学中的一个重要考点。
本文将对椭圆的相关知识进行总结，从基本概念到具体应用进行阐述，探讨其在高考中的应对策略。
一、椭圆的基本概念椭圆是平面上的一个几何图形，其定义为到两个定点F₁、F₂的距离之和等于定值2a的点集合。
F₁、F₂称为椭圆的焦点，而直线段F₁F₂的长度为椭圆的主轴。
与主轴垂直的直径称为椭圆的次轴，两轴的交点称为椭圆的中心。
二、椭圆的数学描述椭圆的数学表示是(x/a)²+(y/b)²=1或(x/a)²/(y/b)²=1，其中a为椭圆的长半轴，b为椭圆的短半轴。
根据椭圆的性质，由于离心率e=√(a²-b²)/a<1，椭圆是离心率小于1的一类曲线。
三、椭圆的参数方程椭圆的参数方程是x=a*cosθ，y=b*sinθ，其中θ为参数。
通过参数方程，我们可以很方便地求得椭圆上的各个点的坐标。
此外，椭圆的参数方程还可以用来求椭圆中心、焦点等相关信息。
四、椭圆的常见性质1. 椭圆的离心率e满足0<e<1，离心率为0时即为圆。
2. 椭圆的长半轴a和短半轴b满足a>b>0。
3. 椭圆的焦距2c满足c²=a²-b²，其中c为焦点F₁F₂到中心的距离。
五、椭圆的相关定理1. 椭圆的切线定理：椭圆上任意一点处的切线斜率等于该点对应的椭圆的切线的倾角的正切值。
2. 椭圆的法线定理：椭圆上任意一点处的法线斜率等于该点对应的椭圆的切线的倾角的负倒数。
3. 椭圆的切线和法线的判定：切线和法线的直线方程满足x²/a²+y²/b²=1和bx/a²y+ay/b²x=1。
六、椭圆的应用椭圆在现实生活中有丰富的应用。
例如，椭圆的形状被广泛应用于汽车或自行车的轮胎、卫星的轨道等。
在高考数学中，椭圆的知识点也常常涉及到与其他几何图形的相互关系以及坐标变换等问题。
高三数学椭圆知识点归纳
高三数学椭圆知识点归纳椭圆是高中数学中的一个重要概念，它在代数几何和解析几何等领域有广泛的应用。
本文将对高三数学中的椭圆知识点进行归纳和总结，帮助读者更好地理解和掌握这一内容。
1. 椭圆的定义和性质椭圆可以通过一定的几何条件得到：对于给定的两个焦点F1和F2以及一个固定的常数c，椭圆上的任意一点P到F1和F2的距离之和等于常数c。
椭圆的中心是焦点的中垂线的交点，称为圆心O。
椭圆的性质包括：- 椭圆上的任意两点到两个焦点的距离之和等于常数c。
- 椭圆的离心率e满足0<e<1，离心率越小，椭圆的形状越扁。
- 椭圆是一个闭合曲线，它的内部被椭圆内部所围成。
2. 椭圆方程的一般形式椭圆的方程可以表示为标准形式和一般形式。
标准形式：(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。
一般形式：Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0，其中A、B、C、D和E是常数，且A和B不能同时为0。
3. 椭圆的焦点和直径椭圆的焦点是椭圆上的两个特殊点，它们与椭圆的几何特性密切相关。
椭圆的焦点到圆心的距离称为焦距，记为f。
椭圆的两条主轴分别是纵轴和横轴，它们的长度分别是2a和2b。
椭圆的两个焦点和两条主轴之间有以下关系：- 焦点到圆心的距离等于椭圆的半长轴长度，即OF1 = OF2 = a。
- 焦点、圆心和椭圆上的任意一点构成的三角形恒定，即△OF1P ≌△OF2P。
4. 椭圆的离心率和焦半径椭圆的离心率是一个重要的参数，它用于刻画椭圆的形状特征。
离心率e定义为焦距与椭圆的半长轴之比，即e = f/a。
离心率越小，椭圆的形状越趋向于圆形；离心率越接近于1，椭圆的形状越扁平。
椭圆的焦半径是椭圆上任意一点到两个焦点之间的距离，它满足下列关系：- 焦半径的平方等于离心率与椭圆上该点到圆心距离的乘积，即PF^2 = 2aPF。
高三椭圆知识点课件
高三椭圆知识点课件1. 椭圆的定义与特点椭圆是平面上一点到两个定点的距离之和等于常数值的轨迹。
对于椭圆，其中心就是两个定点的中点，称为焦点，两个定点距离的一半是椭圆的半长轴，两焦点连线的垂直平分线称为椭圆的直径，直径的一半是椭圆的半短轴。
2. 椭圆的方程椭圆的标准方程为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度。
当a=b时，椭圆退化为圆。
3. 椭圆的焦点与准线椭圆的焦点是平面上到椭圆上任意一点距离之和等于半长轴长度的两个点，焦点与椭圆的半长轴的交点称为准线。
4. 椭圆的离心率椭圆的离心率表示椭圆形状的圆度程度，计算公式为e = c/a，其中c为焦点到中心的距离，a为半长轴的长度。
离心率是0到1之间的实数，当离心率接近于0时，椭圆趋向于圆形，当离心率接近于1时，椭圆则趋向于长条形。
5. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程x = h + a*cosθ，y = k + b*sinθ，其中θ为角度，(h,k)为椭圆的中心坐标。
6. 椭圆的性质与应用椭圆有许多重要的性质和应用。
例如，焦点到椭圆上任意一点的距离和等于定点到该点的距离差的绝对值；椭圆的周长可以通过椭圆的参数方程以及积分的方法求得；椭圆还被广泛应用于天体力学、通讯技术等领域。
7. 椭圆与其他几何图形的关系椭圆与其他几何图形有一些重要的关系。
与椭圆相似的图形有椭球体和椭圆锥，它们都具有类似的性质；椭圆还可以通过割椭圆法生成抛物线；直角坐标系中的椭圆可以通过仿射变换转化为标准方程，使得其焦点在坐标轴上。
8. 高三椭圆知识点总结高三阶段学习椭圆的知识是为了准备应对高考数学考试中相关的考点。
在椭圆的学习中，需要掌握椭圆的定义与特点、方程的推导与应用、焦点与准线的概念、离心率的计算等基础知识。
此外，还需要能够灵活运用参数方程、掌握椭圆与其他几何图形的关系。
高考数学一轮复习 40椭圆精品课件 新人教版
(3)涉及椭圆定义的问题时,一定要注意“2a>2c”这一个前提
条件.因为当平面内的动点与定点F1､F2的距离之和等于 |F1F2|时,其动点轨迹就是线段F1F2;当平面内的动点与定点 F1､F2的距离之和小于|F1F2|时,其轨迹不存在.
【典例1】一动圆与已知圆O1:(x+3)2+y2=1外切,与圆O2:(x3)2+y2=81内切,试求动圆圆心的轨迹方程.
(2)椭圆的定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的和为常数 (大于|F1F2|)的动点的轨迹(或集合)叫做椭圆.这两个定 点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.用集 合表示:椭圆上的点M满足集合
P M | |M F 1 | |M F 2 | 2 a , F 1 F 2 2 c , a 0 , c 0 , a , c
类型二
求椭圆的标准方程
解题准备:(1)定义法;
(2)待定系数法.若已知焦点的位置可唯一确定标准方程;若
焦点位置不确定,可采用分类讨论来确定方程的形式,也可
以直接设椭圆的方程为Ax2+By2=1,其中A,B为不相等的正
来求常解数,或以由避已免知讨条论件和设繁椭琐圆的系计算.如ax22
y2 b2
,
0
故动圆圆心的轨迹方程为
x2 y2 1.
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[反思感悟]先根据定义判断轨迹的类型,再用待定系数法求轨 迹方程的方法叫定义法.用定义法求轨迹方程时,应首先充 分挖掘图形的几何性质,找出动点满足的几何条件,看其是 否符合某种曲线的定义,如本例,根据平面几何知识,列出内 切､外切的条件后,可发现利用动圆的半径过渡,恰好符合椭 圆的定义,从而用待定系数法求解,这里充分利用椭圆的定 义是解题的关键.
2019年高考理科数学复习全国版提分宝典全考点普查教学课件：第40课椭圆(共149张PPT)
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小积累
椭圆中“焦点三角形”的有关性质
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一张图学透 椭圆的 定义
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一 张 图学 透
一张图学透 椭圆的标准 方程和几何 性质
高考常考知识点椭圆
高考常考知识点椭圆椭圆，作为高中数学中的一个重要概念，常常会在高考中出现。
椭圆具有许多特殊的性质和应用，不仅有助于我们理解数学知识，还在生活中有诸多应用。
在本文中，我们将深入探讨椭圆的基本定义、性质以及一些常见的应用。
椭圆是一个几何图形，由平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹组成。
这两个定点被称为焦点，而连接两个焦点并穿过椭圆任意一点的线段被称为焦半径。
椭圆的中心位于焦点连线的中点，被称为中点。
首先，我们来了解椭圆的基本性质。
椭圆有两条特殊的轴，分别为长轴和短轴。
长轴的长度是两个焦点的距离的两倍，而短轴的长度是通过中点和长轴上任意一焦点得到的线段的长度。
这两条轴垂直于彼此，并且长轴与短轴的交叉点被称为椭圆的中心。
椭圆的焦半径之和等于椭圆的长轴的长度，这是椭圆的一个重要性质。
根据这个性质，我们可以快速计算出其他一些重要的值，如椭圆的离心率。
离心率是一个反映椭圆形状的重要指标，它定义为焦半径与长轴之比的绝对值。
当离心率小于1时，椭圆接近于圆形，当离心率等于1时，椭圆是一个抛物线，当离心率大于1时，椭圆呈现出椭球形状。
除了这些基本的性质之外，椭圆还有一些其他的特殊性质。
例如，椭圆的周长可以通过一个著名的公式计算得到：周长等于π乘以长轴和短轴的平均值再乘以2。
此外，椭圆还有一个关于焦半径和斜率的重要关系，即斜率的平方与焦半径的平方之和是一个常数。
除了以上基本性质之外，椭圆还在生活中有许多应用。
例如，在天文学中，椭圆轨道描述了行星、彗星和卫星围绕太阳或其他物体的运动。
在工程学中，椭圆的焦点被广泛应用于声音和光学设备的设计中，以实现聚焦和增强信号。
总结来说，椭圆是高考中常考的一个重要的数学概念，它具有许多特殊的性质和应用。
通过理解椭圆的定义和基本性质，我们可以更好地理解椭圆在现实世界中的应用，如行星轨道和光学设备的设计。
掌握椭圆的知识，不仅有助于我们在高考中取得好成绩，还有助于我们更好地理解和应用数学知识。
天津高考数学椭圆知识点
天津高考数学椭圆知识点椭圆是高中数学中的一个重要概念，在天津高考的数学考试中也是常见的题型。
本文将介绍天津高考数学中关于椭圆的知识点，帮助同学们更好地掌握椭圆的性质和解题技巧。
一、椭圆的定义和基本性质椭圆是指平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的集合，其中F1和F2被称为椭圆的焦点，而2a则是椭圆的长轴长度。
椭圆还有一个重要的性质是：对于椭圆上的任意一点P，它到两个焦点的距离之和等于常数2a。
二、椭圆的方程1. 椭圆的标准方程椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴的长度。
标准方程的特点是椭圆的中心位于原点(0, 0)。
2. 椭圆的常用方程除了标准方程外，我们还可以通过一些特殊情况来得到椭圆的方程。
例如，当椭圆的中心为(h, k)时，其方程可以表示为(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1。
三、椭圆的性质1. 离心率与焦点椭圆的离心率e定义为焦点到椭圆中心的距离与半长轴长度的比值，即e = F1C / a。
离心率决定了椭圆的形状，当e<1时，椭圆是紧凑的；当e=1时，椭圆是一个特殊的圆；当e>1时，椭圆是扁平的。
2. 焦点和准线椭圆中的焦点F1和F2与半长轴之间的连线称为准线，准线与半长轴的夹角是一个固定的角度，可以通过tanθ = b/a来计算。
3. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以表示为x = a*cosθ和y = b*sinθ，其中θ是参数，取值范围为[0, 2π)。
四、椭圆的应用1. 椭圆的几何意义椭圆在几何学中有广泛的应用，例如描述行星的轨道、设计车轮等。
2. 椭圆的光学应用通过椭圆的光学性质，可以制造出能够将光线聚焦或散开的透镜，用于眼镜、望远镜等光学仪器中。
五、椭圆的解题技巧1. 确定椭圆的方程类型，是标准方程还是常用方程，根据已知条件选择合适的方程表达形式。
2. 利用椭圆的性质，例如离心率、焦点和准线的关系，来解决与椭圆有关的问题。
高考数学知识点椭圆
高考数学知识点椭圆近年来，高考数学的难度逐渐提高，考察的知识点也越来越复杂。
椭圆作为高考数学中的一个重要知识点，经常出现在高考试题中。
椭圆是一种在平面上的几何图形，它具有许多特殊的性质和应用。
本文将从椭圆的定义、常用公式、性质和应用等方面，深入探讨高考数学中的椭圆知识点。
首先，我们来了解椭圆的定义。
椭圆可以由一个动点与一个定点和一个定长的线段构成。
这个动点称为焦点，定点与焦点的连线称为半径。
根据焦点和半径之间的关系，可以得到椭圆的定义为：平面上到焦点和到半径的距离之和为定值的点的轨迹。
接下来，我们来介绍椭圆的常用公式。
椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长。
根据半轴长的关系，椭圆可以分为长轴和短轴。
椭圆的几何中心为原点(0,0)，且椭圆对称于x轴和y 轴。
此外，还存在以原点为中心的椭圆方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。
除了椭圆的标准方程外，还有其他与椭圆相关的常用公式。
例如，椭圆的离心率公式为：$e=\frac{c}{a}$，其中$c$为焦点到原点距离，$a$为长轴的长度。
离心率决定了椭圆的形状，当离心率小于1时，椭圆是完全闭合的，当离心率等于1时，椭圆变成抛物线。
接下来，我们来探讨椭圆的性质。
椭圆具有很多独特的性质，其中一些常见的性质包括：椭圆的离心率小于1；椭圆的焦点到准线的距离之和等于长轴的长度；椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于常数；椭圆的离心角等于其对应的圆的圆心角。
这些性质为解决椭圆相关问题提供了重要的数学基础。
最后，我们来探讨椭圆在实际生活中的应用。
椭圆作为一种重要的几何图形，广泛应用于工程、建筑、天文学等领域。
在工程中，椭圆可以用来描述车轮轮廓、聚光灯的反射镜形状等。
在建筑中，椭圆常被应用于拱形建筑物的设计。
在天文学中，椭圆被用来描述行星公转轨道。
2020年高考数学(理)第40课 椭圆精品课件一轮复习
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数学 低段
第40课 方法便笺
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第40课 第（21）题
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随 堂 普 查 练 40 Ⅰ
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第四十讲 椭圆
班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________
一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)
1． 设P 是椭圆x 29＋y 24
＝1上一动点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则cos ∠F 1PF 2的最小值是( ) A.12 B.19 C ．－19 D ．－59
解析：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，由题意m ＋n ＝6，
c ＝5，则cos ∠F 1PF 2＝m 2＋n 2－(2c )22mn ＝(m ＋n )2－4c 2－2mn 2mn ＝4b 22mn －1≥2×4⎝ ⎛⎭
⎪⎫m ＋n 22－1＝－19. 答案：C
2．定义：离心率e ＝5－12的椭圆为“黄金椭圆”，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的一个焦点为F (c,0)(c >0)，P 为椭圆E 上的任意一点，若a ，b ，c 不是等比数列，则( )
A ．E 是“黄金椭圆” B. E 一定不是“黄金椭圆”
C. E 不一定是“黄金椭圆”
D. 可能不是“黄金椭圆”
解析：假设E 为黄金椭圆，则e ＝c a ＝5－12， 即c ＝5－12
a ，
∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫5－12a 2＝5－12a 2＝ac . 即a ，b ，c 成等比数列，与已知矛盾，故椭圆E 一定不是“黄金椭圆”．答案：B
3． 已知F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△ABF 2为钝角三角形，则椭圆C 的离心率e 的取值范围为( )
A ．(0，2－1)
B ．(0，3－1)
C ．(2－1,1)
D ．(3－1,1)
解析：由△ABF 2为钝角三角形，得AF 1>F 1F 2，∴b 2a
>2c ，化简得c 2＋2ac －a 2<0，∴e 2＋2e －1<0，又0<e <1，解得0<e <2－1，选A. 答案：A
4．B 1、B 2是椭圆短轴的两端点，O 为椭圆中心，过左焦点F 1作长轴的垂线交椭圆于P ，若|F 1B 2|
是|OF 1|和|B 1B 2|的等比中项，则|PF 1||OB 2|
的值是( ) A. 2 B.22 C.32 D.23
解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 令x ＝－c 得y 2＝b 4a 2，∴|PF 1|＝b 2a ， ∴|PF 1||OB 2|＝b 2
a b ＝b a
，。