解析函数的一个充要条件及高阶导数公式
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第二章 解析函数
在z0解析，若f (z)在区域D内每一点解析，则称f (z)在D
内解析，则称f (z)是D内的一个解析函数（全纯函数或 正则函数）。 如f (z)在 z0不解析, 则称z0为f (z)的奇点。
§1 解析函数的概念
f (z)在 z0解析
函数f (z)在z0的邻域内可导
f (z)在 z0解析 函数f (z)在z0可导 二元函数的微分 [例 ] 的解析性
§3 初等函数 3 乘幂ab与幂函数 [例 ] 求 、 和 的值。
幂函数：
形如：zb=ebLnz（z≠0，b为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ意复常数）
的函数成为幂函数。
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数
性质：
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数 性质：
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数
[例] 计算sin(3+4i) ，cosi，sin6i
|sinz|1和|cosz|1在复数范围内不再成立。 [例] 求方程cosz=0的解。
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数
[例] 求方程sinz+cosz=0的解。
其它复变数三角函数：
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数 双曲函数
性质：
§3 初等函数 4 反三角函数和反双曲函数 设z=cosw，则称w为z的反余弦函数，记作： w=Arccosz
ii) f’(z) =f(z); iii) 当Im(z)=0时, f(z) =ex, 其中x=Re(z)。
§3 初等函数 1 指数函数
为整数)
加法定理
§3 初等函数 2 对数函数
主值
[例] 求Ln1, Ln(-2) 以及它们相应的主值。
§3 初等函数 1 指数函数 总结：
解析函数的高阶导数
1 1 z − z0 ≥ d , ≤ z − z0 d d z − z0 − Δz ≥ z − z0 − Δz > , 2
z∈C
1 取 Δz < d , 则有 2
2 < z − z0 − Δz d 1
ML ( L — C 的长度） ∴ I < Δz 3 πd 显然， lim I = 0 , 从而有
两边在积分号下对 z 0求导得 f (z) 1 f ' ( z0 ) = dz 2 ∫ C 2π i ( z − z 0 )
2! f (z) f " ( z0 ) = dz 3 ∫ 2π i C ( z − z 0 ) n! f (z) ( n) f ( z0 ) = ( n = 1,2, n+1 dz ∫ 2πi C ( z − z0 )
1 I = 2π
∫
C
Δ zf ( z ) dz 2 ( z − z 0 − Δ z )( z − z 0 )
1 ≤ 2π
∫
Δz f ( z ) z − z0 − Δz z − z0
2
C
ds
∵ f ( z )在C上解析， ∴ f ( z )在C上连续 则∃M , ∂ f ( z ) ≤ M , d = min z − z0
)
以下将对这些公式的正确性加以证明。
定理
解析函数 f ( z )的导数仍为解析函数 , n! ( z0 ) = 2π i
它的 n 阶导数为 f
(n)
∫
f (z) ( z − z0 )
n+1
C
dz
( n = 1, 2,
)
其中 C 为在 f ( z )的解析区域 D 内围绕 z 0的 ∀ − 正向简单闭曲线 , 而且它的内部 ⊂ D .
z∈C
1 取 Δz < d , 则有 2
2 < z − z0 − Δz d 1
ML ( L — C 的长度） ∴ I < Δz 3 πd 显然， lim I = 0 , 从而有
两边在积分号下对 z 0求导得 f (z) 1 f ' ( z0 ) = dz 2 ∫ C 2π i ( z − z 0 )
2! f (z) f " ( z0 ) = dz 3 ∫ 2π i C ( z − z 0 ) n! f (z) ( n) f ( z0 ) = ( n = 1,2, n+1 dz ∫ 2πi C ( z − z0 )
1 I = 2π
∫
C
Δ zf ( z ) dz 2 ( z − z 0 − Δ z )( z − z 0 )
1 ≤ 2π
∫
Δz f ( z ) z − z0 − Δz z − z0
2
C
ds
∵ f ( z )在C上解析， ∴ f ( z )在C上连续 则∃M , ∂ f ( z ) ≤ M , d = min z − z0
)
以下将对这些公式的正确性加以证明。
定理
解析函数 f ( z )的导数仍为解析函数 , n! ( z0 ) = 2π i
它的 n 阶导数为 f
(n)
∫
f (z) ( z − z0 )
n+1
C
dz
( n = 1, 2,
)
其中 C 为在 f ( z )的解析区域 D 内围绕 z 0的 ∀ − 正向简单闭曲线 , 而且它的内部 ⊂ D .
函数的求导与积分详细解析与归纳
函数的求导与积分详细解析与归纳函数的求导与积分是微积分的两个基本概念和操作。
求导是对函数求导数，表示函数在某一点的变化率；积分是对函数进行求和，表示函数在某一区间上的累积效果。
在数学中，求导和积分是互逆操作，互相补充的关系。
一、函数的求导函数的求导是计算函数在某一点的斜率，即函数的变化率。
在数学中，函数的求导有多种方法，包括基本导数、链式法则、高阶导数等。
1. 基本导数基本导数是对常见函数的求导规则进行总结和归纳。
常见的基本导数规则包括：- 常数函数的导数为0；- 幂函数的导数，如常见的多项式函数；- 指数函数和对数函数的导数；- 三角函数和反三角函数的导数。
通过这些基本导数规则，我们可以求得很多函数的导数，从而进行更复杂的计算。
2. 链式法则链式法则是对复合函数求导的一种方法。
当函数是由两个或多个函数相互嵌套而成时，可以使用链式法则求导。
链式法则可以将一个复合函数求导的问题，转换成对每个函数求导后的乘积形式。
3. 高阶导数高阶导数是对函数进行多次求导的概念。
一阶导数表示函数的变化率，二阶导数表示一阶导数的变化率，以此类推。
高阶导数可以帮助我们更深入地了解函数的性质和变化规律。
二、函数的积分函数的积分是对函数进行加和的操作。
积分的结果可以表示函数在某一区间上的总效果或面积。
在数学中，函数的积分有多种方法，包括不定积分、定积分和变限积分等。
1. 不定积分不定积分是求解函数的原函数的过程。
在不定积分中，可以使用基本积分公式对常见函数进行积分。
不定积分的结果是一个含有常数项的函数，因为对导数的逆运算有无穷多个可能的原函数。
2. 定积分定积分是对函数在某一区间上的积分。
它可以表示函数在该区间上的总效果或面积。
定积分的计算可以使用黎曼和、牛顿-莱布尼茨公式、换元法等方法。
定积分的结果是一个确定的数值。
3. 变限积分变限积分是对函数在不同区间上进行积分的过程。
它可以通过定积分的性质和换元法进行计算。
变限积分的结果是一个关于积分上限和下限的函数。
36解析函数的高阶导数
§6 解析函数的高阶导数一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各高阶导数，它的值也可以用函数在边界上的值通过积分来表示.这一点跟实变函数完全不同.一个实变函数在某一区间上可导，它的导数在这区域上是否连续也不一定，更不要说它有高阶导数存在了.关于解析函数的高阶导数我们有下面的定理.定理 解析函数的导数仍为解析函数，它的n 阶导数为： )(z f 010!()()2()n n cn f z fz i z z π+=-⎰ （）dz （n=1,2,） （3.6.1） 其中C 为在函数的解析域D 内围绕的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部全属于D。
)(z f 0z [证] 设为D 内任意一点，我们先证n=1的情形，即0z 0201()'()2()c f z f zd i z z π=-⎰ z 根据定义0000()('()limz )f z z f z f z z∆→+∆-=∆，从柯西积分公式得0201()()2()c f z f z d i z z π=-⎰ z 001()()2cf z f z z d i z z z π+∆=--∆⎰ z 从而有00200()()1()()[]2(c cf z z f z f z f z dz dz z i z z z z z z π+∆-=-∆∆--∆-⎰⎰ ) 001()2()()cf z dz i z z z z z π=---∆⎰ 220001()1()2()2()()c c f z zf z dz dz i z z i z z z z z ππ∆=+---⎰⎰ -∆ 设后一个积分为I，那么220000()1()12()()2ccz f z dszf z dz I dz z z z z z z z z z zππ∆∆=≤---∆---∆⎰⎰因为在C 上是解析的，所以在C 上连续，有第一章§6知在C 上是有界的.由此可)(z f知比存在一个正数M，使得在C 上有()f z M ≤.设d 为从到曲线C 上各点的最短距离（图3.11），并取0z z ∆适当地小，使其满足12z d ∆≤，那么我们就有 0011,z z d z z d-≥≤-; 00011,2z z z z z z d z z z d--∆≥--∆><--∆2 所以 3dMLzI π∆<， 这里L 为C 的长度. 如果，那么，从而得0→∆z 0→I 000200()()1()()lim2()z cf z z f z f z f z d z i z z π∆→+∆-'==∆-⎰ z ， （3.6.2）图3.11这表明了在的导数可以由把（3.5.1）的右端在积分号下对求导而得. )(z f 0z 0z 我们再利用（3.6.2）以及推出（3.6.2）的方法去求极限：zz f z z f z ∆'-∆+'→∆)()(lim000，便可得到''0302!()()2()c f z f zd i z z π=-⎰ z . 到这里我们已经证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.依次类推，用数学归纳法可以证明：()()010!()2()n n c n f z f z d i z z π+=-⎰ z [证毕]公式（3.6.1）可以这样记忆：把柯西积分公式（3.5.1）的两边对求n 阶导数，右边求导在积分号下进行，求导时把被积函数看作是的函数，而把0z 0z z 看作常数.高阶导数公式的作用，不在于通过积分来求导，而在于通过求导来求积分. 例1 求下列积分的值，其中C 为正向圆周：1>=r z。
柯西积分公式 解析函数的高阶导数公式
曲线积分求得； 2）已知积分曲线：z x(t) iy(t) ， （ t ），则复变积
分可化为定积分来计算； 3）对于解析函数的积分，可通过牛顿—莱布尼兹公式计
算； 4）对于沿封闭曲线的积分，往往以柯西积分定理，复合
闭路定理、闭路变形公式、柯西积分公式、高阶导数公式等 为工具。
3.5柯西积分公式 3.6解析函数的高阶导数公式
一、柯西积分公式
定理 1：(柯西积分公式)如果 f (z) 在区域 E 内解析，C 为
E 内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于 E ，z 为
C 内的任一点，则
fБайду номын сангаас
(z)
1
2 i
C
f
( )d
z
。
证明：z C
，令 F( )
f ( ) z
1
1） 2i
sin z
z 4 z dz ，2）
z
2
ez dz z 1
。
例 4：计算 I
zi 1 2
1 dz z(z2 1)
。
sin z
例 5：计算 I C
z
2
4 1
dz
,其中：
1） C
:
z
1
1 2
，2） C
:
z
1
1 2
，3） C :
z
2.
二、高阶导数公式
d
注 1.解析函数的导数仍是解析函数。
注 2. 析不在于通过积分求导，而是通过
求导来求积分，即
C
(
z
f
(z z0
) )
n1
分可化为定积分来计算； 3）对于解析函数的积分，可通过牛顿—莱布尼兹公式计
算； 4）对于沿封闭曲线的积分，往往以柯西积分定理，复合
闭路定理、闭路变形公式、柯西积分公式、高阶导数公式等 为工具。
3.5柯西积分公式 3.6解析函数的高阶导数公式
一、柯西积分公式
定理 1：(柯西积分公式)如果 f (z) 在区域 E 内解析，C 为
E 内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于 E ，z 为
C 内的任一点，则
fБайду номын сангаас
(z)
1
2 i
C
f
( )d
z
。
证明：z C
，令 F( )
f ( ) z
1
1） 2i
sin z
z 4 z dz ，2）
z
2
ez dz z 1
。
例 4：计算 I
zi 1 2
1 dz z(z2 1)
。
sin z
例 5：计算 I C
z
2
4 1
dz
,其中：
1） C
:
z
1
1 2
，2） C
:
z
1
1 2
，3） C :
z
2.
二、高阶导数公式
d
注 1.解析函数的导数仍是解析函数。
注 2. 析不在于通过积分求导，而是通过
求导来求积分，即
C
(
z
f
(z z0
) )
n1
调和函数
由共轭调和函数定义和解析函数的实部和虚部是调和函数， 可得定理3.18
定理3.18 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解
析 , 则在区域 D 内 v(x,y) 必为 u(x,y) 的共轭调 和函数.
共轭调和函数定义2： 设 u( x , y ) 为区域 D 内给定的调和函数 ,我
们把使 u iv 在 D 内构成解析函数的调和 函数 v ( x , y ) 称为 u( x , y ) 的 共轭调和函数.
的共轭调和函数 v(x,y)，使得函数 f (z)=u＋iv是D上
的解析函数? 或者已知调和函数 v(x,y) 时，是否存在共轭调和函 数 u(x,y) ，使得 f (z)=u＋iv 是D上的解析函数?
回答是肯定的，以下用举例的方法加以说明.
三、 偏积分法 如果已知一个调和函数 u, 那末就可以利用C-R方程 求得它的共轭调和函数 v, 从而构成一个解析函数 u+vi. 这种方法称为偏积分法.
x iy iC z 3 iC
3
再由 f(0)=i,得出 C＝1，故 f(z)=z3+i
方法二：两次积分法：首先由C-R条件得： vy=ux=3x2-3y2
v( x, y) v y ( x, y)dy 3x 2 3 y 2 dy 3x 2 y y 3 x
xe x e iy iye x e iy x(1 i ) iy(1 i ) c ze (1 i )z c,
z
由 f (0) 0,
得 c 0,
z
所求解析函数为 f ( z ) ze (1 பைடு நூலகம் )z.
例3.18 求 k 值, 使 u x 2 ky2 为调和函数. 再求v , 使
3.4解析函数的高阶导数
∫C
π5i cos πz 2πi dz = (cos πz )( 4 ) z == − ; 12 ( z − 1)5 (5 − 1)!
ez ( 2) 函数 2 内有两个奇点： 在 C 内有两个奇点： z = ± i ． y 2 ( z + 1) 1 C i 在 C 内作正向圆周 C1 : z − i = , 2 1 o C 2 : z + i = . 根据复合闭路定理 −i C 2 z z e e z e ( z + i )2 ( z − i )2 ∫C ( z 2 + 1)2 dz = ∫C1 ( z − i )2 dz + ∫C dz 2 (z + i) ′ ′ z z 2πi e 2πi e = ( z + i )2 + ( 2 − 1)! ( z − i )2 ( 2 − 1)!
z0 在C 内, g ( z0 ) = 2(6 z0 + 1)π i .
2
小结与思考
高阶导数公式是复积分的重要公式. 高阶导数公式是复积分的重要公式 它表明了 解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重要的 解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重要的 结论, 同时表明了解析函数与实变函数的本质区别. 结论 同时表明了解析函数与实变函数的本质区别 高阶导数公式
2! f (ζ ) dζ , 再继续一次得 f ′′(z) = 2π i ∫C 3 (ζ − z)
( n)
依次下去可推测 f
或改写为 f
( n)
n! f (ζ ) (z) = ∫C (ζ − z)n+1 dζ , 2π i
n! f (z) (z0 ) = ∫C (z − z )n+1 dz (z0在C内部) 2π i 0 (n = 1,2,L ).
函数解析的充要条件
盐城工学院基础部应用数学课程组
(3) w z Re( z) x xyi,
2
u x , v xy,
2
u 2 x, x
u 0, y
v y, x
v x. y
四个偏导数均连续
仅当 x y 0 时, 满足柯西－黎曼方程, 故函数 w z Re( z) 仅在 z 0 处可导,
盐城工学院基础部应用数学课程组
附：知识广角 —— 关于C - R 条件
1746年，达朗贝尔(D’Alemert)在研究流体力学时首先提到 u v u v , . 了如下的关系式： x y y x
1755年，欧拉(Euler)也提到了上述关系式。 1777年，欧拉的两篇研究报告(1793年与1794年才发表)中 , 证明了条件的必要性，即 若函数 f ( z ) u iv 是解析函数，则上述关系式成立。
柯 西
A. L. Cauchy (1789～1857)
法国数学家
数学史上最多产的数学家之一。 复变函数论的奠基人之一。 数理弹性理论的奠基人之一 。
盐城工学院基础部应用数学课程组
附：人物介绍 —— 柯西
在纯数学和应用数学方面的功力相当深厚。很多数学定理 和公式都是以他的名字命名的，如柯西不等式、柯西积分 公式等等。 在论文写作数量上，柯西仅次于欧拉。他一生中总共发表 了 789 篇论文和几本书。他的全集从 1882 年开始出版，直
a 2, b 1, c 1, d 2.
盐城工学院基础部应用数学课程组
内容小结 1.函数点可导的充要条件:
u( x, y )与 v( x, y ) 在某点处可微, 并且满足柯西－ 黎曼方程
u v , x y
(3) w z Re( z) x xyi,
2
u x , v xy,
2
u 2 x, x
u 0, y
v y, x
v x. y
四个偏导数均连续
仅当 x y 0 时, 满足柯西－黎曼方程, 故函数 w z Re( z) 仅在 z 0 处可导,
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附：知识广角 —— 关于C - R 条件
1746年，达朗贝尔(D’Alemert)在研究流体力学时首先提到 u v u v , . 了如下的关系式： x y y x
1755年，欧拉(Euler)也提到了上述关系式。 1777年，欧拉的两篇研究报告(1793年与1794年才发表)中 , 证明了条件的必要性，即 若函数 f ( z ) u iv 是解析函数，则上述关系式成立。
柯 西
A. L. Cauchy (1789～1857)
法国数学家
数学史上最多产的数学家之一。 复变函数论的奠基人之一。 数理弹性理论的奠基人之一 。
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附：人物介绍 —— 柯西
在纯数学和应用数学方面的功力相当深厚。很多数学定理 和公式都是以他的名字命名的，如柯西不等式、柯西积分 公式等等。 在论文写作数量上，柯西仅次于欧拉。他一生中总共发表 了 789 篇论文和几本书。他的全集从 1882 年开始出版，直
a 2, b 1, c 1, d 2.
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内容小结 1.函数点可导的充要条件:
u( x, y )与 v( x, y ) 在某点处可微, 并且满足柯西－ 黎曼方程
u v , x y
2.2 解析函数的充要条件
解 析
记 f (z) a i b, 由 w u i v , z x i y 有
函
u i v (a b i)( x i y) o(|z|),
数
u ax - b y o(|z|),
v bx a y o(|z|),
故 u( x, y) 和 v( x, y) 在点 ( x, y) 处可微，且
§2.2 解析函数的充要条件
§2.2 解析函数的充要条件
第 二
一、点可导的充要条件
章 二、区域解析的充要条件
解 析 函 数
1
§2.2 解析函数的充要条件
§2.2 解定理 函数 w f (z) u( x, y) i v( x, y) 在点 z x i y 处可导
函
数 推论 若函数 u( x, y) 和 v( x, y) 的四个偏导数 ux , uy , vx , vy
在区域 D内存在且连续，并满足 C - R方程，则函数
w f (z) u( x, y) i v( x, y) 在区域 D 内解析。
6
§2.2 解析函数的充要条件
例 讨论函数 w z 的可导性与解析性。
解 析
v vy y vx x o (| z |) ,
函 数
又由 u 和 v 满足 C - R 方程：ux vy , uy -vx , 得
u ux x - uvxy y o (| z |) ,
v uvyx y vx x o (| z |) ,
z
w u i v (ux i vx ) ( x i y) o(|z|), 即 f (z) 在 z x i y 处可微(可导)，且 f (z) ux i vx .
5
§2.2 解析函数的充要条件
§2.2 解析函数的充要条件
解析函数
u v u v , . x y y x
Cauchy Riemann 方程 (简称 C R 方程)
定理 2.1 (可导的充要条件) f ( z ) u iv 在 z x iy 可导 (1) u、v 可微； ( 2) u、v 满足 C R 方程 : u v u v , . x y y x
例3 研究函数 h( z ) z 的解析性.
2
解： h( z0 z ) h( z0 ) z0 z z0 z z ( z0 z )( z0 z ) z0 z0 z z0 z z0 , z z h( z0 z ) h( z0 ) (1) z0 0, lim 0. z 0 z ( 2) z0 0, 令 z0 z 沿直线 y y0 k ( x x0 ) 趋于 z0 ,
记作
dw f ( z 0 z ) f ( z0 ) f ( z0 ) lim . dz z z0 z 0 z
或
w f ( z0 )z o(| z |) ( z 0),
也称 df ( z0 ) f ( z0 )z 或 f ( z0 )dz 为 f ( z ) 在 z0 处
解析函数的运算法则
(1) 在区域 D 内解析的两个函数 f ( z ) 与 g( z ) 的 和、差、积、商(除去分母为零的点)在 D 内解析.
( 2) 设函数 g( z ) 在 z 平面上的区域 D 内解析, 函数 w f ( ) 在 平面上的区域G 内解析. 如果 对 D 内的每一个点z , 函数 g( z ) 的对应值 都属 于 G , 那末复合函数w f [ g( z )] 在 D 内解析.
因此 h( z ) z 仅在 z 0 处可导, 而在其他点都
高阶导数公式
推论：
(1) f ( z )在正向简单闭曲线C所围成的区域及C上解析 (2) z0为C内任意一点 f ( z) 则有 f ( n ) ( z ) n! 0 C ( z z0 ) n1 dz 或 2i
f ( z) 2i ( n ) C ( z z0 ) n1 dz n! f ( z0 )(n 1,2,...)
令为I
1 2i f (z) 1 C ( z z0 )2 dz 2i zf ( z ) C ( z z0 z )( z z0 )2 dz
1 I 2
zf ( z ) C ( z z0 z )( z z0 )2 dz 1 2
z f ( z ) z z 0 z z z 0
C D z0
注：常用于计算函数沿闭曲线的积分！
2i dz dz C ( z z ) n 1 z z0 r ( z z ) n1 0 0 0
n0 n0
z0
r
例1 求下列积分值, C为正向圆周: z r 1
cosz ez 1) dz 2) dz 5 2 2 C ( z 1) C (1 z )
再利用 )式及推导)的方法可证 2的情形. ( ( n
f ' ( z 0 z ) f ' ( z 0 ) f ' ' ( z0 ) lim z 0 z 2! f (z) C ( z z0 )3 dz 依次类推，用数学归纳法可得 2i
注：定理表明解析函数的导数仍为解析函数。
C1
e e ( z i )2 ( z i )2 dz dz 2 2 C2 ( z i ) (z i)
z
z
2-2 函数解析的充要条件
u=0 v=10
x 0 y 0
x 0 y 0
u ax by 1x 2 y , v bx ay 2 x 1y
当 y 0 时，
0
当 x 0 时，
u u u u lim b lim 2 b lim a lim 1 a y 0 y y 0 y x 0 x x 0 x
z 0
令 f z a ib ， z 1 i 2 其中 lim 1 0 , lim 2 0
故
ax by 1x 2 y i bx ay 2 x 1y
u iv a ibx iy 1 i 2 x iy
u e x cos y
[解] w x yi 故 u =x ,v =-y
[解 ]
v e x sin y
u v 1 1 x y u v 00 y x
不满足C-R方程
u v x e cos y x y
u v x e sin y y x
0 0
v v v v lim a lim 1 a lim b lim 2 b y 0 y y 0 y x 0 x x 0 x
u v 因此 u(x,y)和v(x,y)在(x,y)可微, 且 x y
0
u v y x
u v v u i i y 1 i 3 x 2 i 4 y x x y x y
x0 y0
根据柯西-黎曼方程得
f z z f z u v x y i 1 i 3 2 i 4 所以 z x x z z
第二章3解析函数的充要条件
Δ→0
设( + Δ) − () = Δ + Δ， ′ = + ,
(Δ) = 1 + 2
所以Δ + Δ = ( + )(Δ + Δ) + (1 + 2 )(Δ + Δ)
= Δ − Δ + 1 Δ − 2 Δ
+(Δ + Δ + 2 Δ + 1 Δ)
=
−
= −.
充分性
由于 + Δ −
= ( + Δ, + Δ) − (, ) + [( + Δ, + Δ) − (, )]
= Δ + Δ
由(, ), (, )在点(, )可微，可知
Δ =
Δ +
( + ∆) − ()
1 ( ∆ ) + 2 ( ∆ )
⇒
=
+
+
Δ
∆
′ ()
( + ∆) − ()
=
+
= lim
∆→0
Δ
即 在 = + 处可导.
注：函数 = , + , 在一点可导的一个充分条件：
=− .
证明：必要性
( + Δ) − ()
()在 = + 处可导， ⇒ () = lim
存在
Δ→0
Δ
∀ > 0, ∃ > 0, 当0 < Δ < 时，有
设( + Δ) − () = Δ + Δ， ′ = + ,
(Δ) = 1 + 2
所以Δ + Δ = ( + )(Δ + Δ) + (1 + 2 )(Δ + Δ)
= Δ − Δ + 1 Δ − 2 Δ
+(Δ + Δ + 2 Δ + 1 Δ)
=
−
= −.
充分性
由于 + Δ −
= ( + Δ, + Δ) − (, ) + [( + Δ, + Δ) − (, )]
= Δ + Δ
由(, ), (, )在点(, )可微，可知
Δ =
Δ +
( + ∆) − ()
1 ( ∆ ) + 2 ( ∆ )
⇒
=
+
+
Δ
∆
′ ()
( + ∆) − ()
=
+
= lim
∆→0
Δ
即 在 = + 处可导.
注：函数 = , + , 在一点可导的一个充分条件：
=− .
证明：必要性
( + Δ) − ()
()在 = + 处可导， ⇒ () = lim
存在
Δ→0
Δ
∀ > 0, ∃ > 0, 当0 < Δ < 时，有
课件：解析函数的充要条件
3
解析函数的判定方法: (1) 如果能用求导公式与求导法则证实复变函 数 f (z) 的导数在区域D内处处存在, 则可根据 解析函数的定义断定f (z) 在 D内是解析的.
(2) 如果复变函数 f (z) u iv 中 u,v 在 D 内 的各一阶偏导数都存在且连续(因而 u, v( x, y) 可微)并满足 C R 方程, 那么根据解析函数 的充要条件可以断定 f (z) 在 D 内解析.
Died: 23 May 1857 in Sceaux (near Paris),
France
16
u v , u v . x y y x
2
根据定理一, 可得函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在 点 z x yi 处的导数公式:
f (z) u i v 1 u v . x x i y y
函数在区域 D内解析的充要条件 定理二 函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在其定义 域 D内解析的充要条件是 : u( x, y)与 v( x, y) 在 D 内可微, 并且满足柯西－黎曼方程.
ux (0,0)
lim
x0
u( x,0) x
u(0,0) 0
0
vy (0,0),
uy
(0,0)
lim
y0
u(0,
y) y
u(0,0) 0
0
vx
(0,0),
柯西－黎曼方程在点z 0 成立.
8
但当 z 沿第一象限内的射线y kx 趋于零时,
f (z) f (0) z0
xy
x iy
k, 1 ik
4
二、典型例题
例1 判定下列函数在何处可导, 在何处解析: (1) w z; (2) f (z) e x (cos y i sin y); (3) w z Re(z).
解析函数的判定方法: (1) 如果能用求导公式与求导法则证实复变函 数 f (z) 的导数在区域D内处处存在, 则可根据 解析函数的定义断定f (z) 在 D内是解析的.
(2) 如果复变函数 f (z) u iv 中 u,v 在 D 内 的各一阶偏导数都存在且连续(因而 u, v( x, y) 可微)并满足 C R 方程, 那么根据解析函数 的充要条件可以断定 f (z) 在 D 内解析.
Died: 23 May 1857 in Sceaux (near Paris),
France
16
u v , u v . x y y x
2
根据定理一, 可得函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在 点 z x yi 处的导数公式:
f (z) u i v 1 u v . x x i y y
函数在区域 D内解析的充要条件 定理二 函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在其定义 域 D内解析的充要条件是 : u( x, y)与 v( x, y) 在 D 内可微, 并且满足柯西－黎曼方程.
ux (0,0)
lim
x0
u( x,0) x
u(0,0) 0
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vy (0,0),
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(0,0)
lim
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u(0,
y) y
u(0,0) 0
0
vx
(0,0),
柯西－黎曼方程在点z 0 成立.
8
但当 z 沿第一象限内的射线y kx 趋于零时,
f (z) f (0) z0
xy
x iy
k, 1 ik
4
二、典型例题
例1 判定下列函数在何处可导, 在何处解析: (1) w z; (2) f (z) e x (cos y i sin y); (3) w z Re(z).
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１ ｒ ０ ， ｒ ０ 在 区域 Ｄ 内可微 ． １ ， ） （ ， ） ， （ 再由 ｃ ． 程： ．一 方 ＝ ， ＝一
关 键词 ： 解析 函数 ； 自变 量 ； 数 导 中图 分类 号 ： １２ １ ０ ７． 文献 标识 码 ： Ａ 文章 编 号 ：０１ ７４ ｛０８０ 一ＯＯ —０ １０ — ５２２０ ）１ Ｏ３ ２
定 义 如果 函数 ｆ ｚ 在 区域 Ｄ 内可微 ， （） 则称 厂ｚ 为区域 Ｄ 内的解 析 函数 ． （） 引理 １ 设 函数 厂ｚ （）＝ Ｍ ｒ０ ＋ｉ（， ）ｚ （ ，） ｖ ｒ０ ，
＝
＋
（） 、１
Ｄｕ 十 ｜ Ｄｖ ＋Ｙ 一
Ｄｕ Ｄｒ
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’２ ，
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（） ２ ，
象．／／ ｓ ＂ ｉ３ ｎ ￣
当 ｎ＝ 后＋１ 时得
（）× ＋（）×Ｙ （）×Ｙ一（）× 分另得 １ ２ ，１ ２ ０
鱼 ｚ
一 ｖ ａｕ ＋Ｙ
一ａ ａ 一一 ‘ ｙ’ ｙ
Ｖ ｘ Ｙ ， （ ， ） 区域 Ｄ 内有 连续偏导数 ， （ ，）ｖｘＹ 在 并且
Ｏｘ — Ｄｒ ａＵ Ｄｕ
并 ／ ） ＋宝＝ 一 ． 且， ＝ （ ｚ
引理 ３ 若 函数 ｚ ）在 区域 Ｄ 内解 析 ， 则
（ ： 注 此处 区域 Ｄ是 限制 在从原 点沿 负实轴 割
破 的 ｚ 面 内） 平
一 ’ ｒ ｒ （＞） ｒ ａ—｛ ｒ ｏ
＝
， ＝ 一
１ Ｄｕ
则 ｚ ）在 点 可微 ， 且 ｆ（ ）＝ （ｏＯ— 并 ｚ ｃｓ
ｓ （ ｒ ＋ Ｏ ｒＤ ＋ Ｏ ） ｉ ） ｒ ｎ Ｏ ）＝ ｚ ｒ ｒ ．
（） （ ，） （ ，） ２ Ｍ ｒ０ ， ｒ０ 在区域 Ｄ内满足极坐标的 Ｃ． ． 一 方程 ：
一 ’ ｒ ｒ （＞） ÷ ＝÷ ｒ ｏ ｒ ａ— ， 一
＝
收 稿 日期 ：０７—１ —３ ２０ １ ０
作者简介： 胡 平（９ ）女（ １ ３一 ， 回族）河南人 ， ６ ， 副教授
证 明 充分 陛 应用引理 １ 及定 义 ， 厂ｚ 使 （） 在 区域 Ｄ 内处处成立 可得 ．
．
必 要性 根据 ｚ＝ ｌ ： ＦＯＯ＋ｉｓ Ｏ： ＇ ｅ ＣＳ ｒｉ ｎ
＋
引理 ２ 函数 ｚ ）＝ ｕ ｘ Ｙ ＋ｉ（ ， ） （ ， ） ｖ ｘ Ｙ 在区 域 Ｄ 内解 析 的充要条件是 （） １ 二元 函数 ｕ ｘ Ｙ ，（ ， ） （ ， ） ｖ ｘ Ｙ 在区域 Ｄ 内有 连续偏导数 ； （） （ ， ） ， ） 区域 Ｄ 内满足 Ｃ． ２ｕｘＹ ， （ Ｙ 在 一Ｒ． 方程 ：
Ｄｕ
一 一
一
设
．
厂 ）＝ １ ｒ０ ＋ｉ ｒ０ （ ， ，） ｖ ，） （ （
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，ｃｎ ＋ ） ａｔ 上 ＋ ｒａ
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（ ｋ＝一１０ １ ，，）
Ｖ ｘＹ （ ， ）＋ｉ （ ， ） Ｖ ｘ Ｙ
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一
已知
ｚ ）在 区域 Ｄ 内解 析 ， 据 引理 ２ 根 ，
ｚ 在 区域 Ｄ 内具 有 各 阶导 数 ， ） 并且 它们 也 在 Ｄ
内解析 ． 定理 函数 ｚ ）＝ Ｍ ｒ ０ （ ， ）＋ｉ（ ， ） ｚ： ｖ ｒ０ ， ｒ ｅ 在区域 Ｄ 内解析 的充要条件是 （） １ 二元 函数 Ｍ ｒ ０ ， ｒ０ 在 区域 Ｄ 内可 （ ，） （ ， ） 微；
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极坐标的 Ｃ 一Ｒ 方程成立 ： ． ．
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维普资讯
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青 海师范大学学报 （ 自然科 学版 ）
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利用归纳法， 并反复应用此公式 设 ｎ ＝ 后时有
维普资讯
２０ 正 ０８
青海师 范大学学报 （ 自然科 学版 ） Ｊ ｒａ ｏ ｉ ｈｉ ｏ ａ Ｕ ｉ ｒ ｔ Ｎ ｔｒ ｃ ｎｅ ｏｎ ｌ ｆ ｎ ａ Ｎ ｒ ｌ ｎ ｅ ｉ （ ａ ａ Ｓ ｉ ｃ） ｕ Ｑ ｇ ｍ ｖ ｓｙ ｕ ｌ ｅ
２０ ０８
Ｎｏ． １
第 １ 期
解 析 函数 的一个 充要条件及 高 阶导数 公式
胡 平
（ 青海师范大学 数学与信息科学系， 青海 西宁 ８１０） １ ８ ３ ０ 摘 要： 本文将解析函数的 自 变量表为指数形式 ， 证明了解析函数 的一个充要条件 ， 并给出了该形式下的高阶导数公式
．
并且 有
（ ）＝ （Ｏ ／ 一ｉｉ ） ｚ ＣＳ ￣ ｓｎ （
＋
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可微 的 ， 且满 足极坐标 的 Ｃ． 一Ｒ． 方程 ：
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